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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN

EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN

Manual de un taller para iniciar a estudiantes que cursan el primer

semestre de Educación Mención Matemática de la ULA en la

demostración matemática a través de la resolución de problemas

geométricos.

TUTOR:

Prof. Jonathan Linares.

Integrantes:

Fernández V. Sergio.

CI: 16.655.958

Medina R. Luís A.

CI: 14.267.190

Mérida 4 de Octubre de 2010

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Universidad de Los Andes

Facultad de Humanidades

Escuela de Educación


COMISIÓN DE MEMORIA DE GRADO

Titulo de la Memoria de Grado: Manual de un taller para iniciar a estudiantes que

cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática de la ULA en la

demostración matemática a través de la resolución de problemas geométricos.

Autor (es): Fernández Vielma Sergio. CI: 16.655.958

Medina Ramírez Luís A. CI: 14.267.190

Tutor: Prof. Jonathan Linares

Jurados Sugeridos:

Prof. Jonathan Linares, Prof. Yazmary.

Rondón, Prof. José Gregorio Fonseca .

Fecha:

4 de Octubre de 2010

Palabras Claves: Manual de un taller, Resolución de problemas geométricos,

Demostración matemática.

RESUMEN:

A través de una prueba diagnóstico se pudo notar que el 97.5 % los estudiantes del

segundo semestre de educación matemática poseen deficiencias para resolver

problemas predemostrativos y realizar demostraciones, en función de abordar la

problemática antes expuesta la presente investigación se centró en el diseño de un

manual para un taller que permita iniciar en la demostración matemática a través de la

resolución de problemas geométricos, a estudiantes que cursan el primer semestre de

Educación Mención Matemática de la Universidad de Los Andes. La investigación se

desarrolló bajo los parámetros de investigación proyectiva, con un diseño de Fuente

Mixta, Transeccional Contemporáneo y Univariable. La población estuvo compuesta en

primer lugar para la selección de los problemas geométricos por cuatro textos de

resolución de problemas matemáticos; en segundo lugar para la validez del manual por

cinco docentes especialistas en matemática de la Universidad de los Andes

específicamente de la Facultad de Humanidades y Educación. Diseñado el manual se

validó por medio del juicio de expertos y dado que el 96.09% de los docentes

evaluadores calificaron con la máxima categoría (Bueno), se puede concluir que en

opinión de los jueces el manual está bien elaborado y puede ser aplicado en un taller.

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ÍNDICE

Introducción. 4

CAPÍTULO I. Contextualización de la temática.

1.1 Descripción general del tema. 5

1.2 Justificación de la investigación. 6

1.3 Planteamiento del problema. 7

1.4 Objetivos de la investigación. 6 9

CAPÍTULO II. Marco Teórico.

2.1 Antecedentes. 10

2.2 Bases teóricas. 12

2.2.1 Marco Epistemológico. 12

2.2.2 Marco Psicopedagógico. 13

2.2.3 Marco teórico Matemático. 14

2.3 Contexto Curricular. 18

CAPÍTULO III. Marco Metodológico.

3.1 Tipo de Investigación. 20

3.2 Diseño de Investigación. 20

3.3 Definición de eventos: proceso generador y evento a modificar. 20

3.4 Población y Muestra. 21

3.5 Técnica e instrumentos de recolección de datos. 21

3.6 Procedimiento. 21

3.7 Tipo de análisis a utilizar. 22

CAPITULO IV. Resultados del Diagnóstico.

4.1 Antecedentes del estudio. 23

4.2 Diagnóstico de Necesidades. 26

4.3 Evaluación de las condiciones actuales y explicaciones tentativas. 27

4.4 Posibles tendencias futuras. 27

3

4.5 Síntesis diagnóstica. 28

CAPÍTULO V. Presentación de la propuesta.

5.1 Justificación de la propuesta. 29

5.2 Objetivos de la propuesta. 30

5.3 Contenido de la propuesta. 30

5.4 Recursos utilizados para su aplicación. 6 33

5.5 Desarrollo de la propuesta. 34

CAPÍTULO VI. Discusión de los resultados.

6.1 Factibilidad del modelo propuesto. 57

6.2 Control y evaluación de procesos. 60

6.3 Conclusiones. 61

6.4 Limitaciones y recomendaciones finales. 62

Referencias bibliográficas. 64

4

Introducción

En el proceso de enseñanza de las matemáticas es primordial que el estudiante aprenda

a formular preguntas y a buscar distintas alternativas que le permitan encontrar

respuestas a esas preguntas, para ello el docente debe crear o fomentar estrategias

didácticas de enseñanza que le proporcionen garantías de que los estudiantes aprendan;

una alternativa es la resolución de problemas, ya que el estudiante intenta encontrar

solución o soluciones del problema planteado, en el cual tiene que discutir las ideas en

torno al problema, usar representaciones, contraejemplos, estrategias cognitivas. Esta

estrategia, la de resolución de problemas permite que el estudiante transite a través de la

observación, el análisis, la argumentación y la formulación de conjeturas, acciones todas

útiles para la enseñanza de la demostración matemática. En este trabajo de investigación

la idea fundamental se centro en el diseño de un manual como herramienta didáctica que

puede ser utilizado por medio de un taller para iniciar a estudiantes en la demostración

matemática a través de la resolución de problemas de tipo geométrico, donde el

estudiante pueda transitar por: la observación, el análisis, la argumentación y la

formulación de conjeturas. El manual presenta una serie de objetivos, una metodología de

trabajo, y está constituido por cuatro capítulos. En él se presentan cuatro problemas por

capítulo, también se muestra de manera detallada una estrategia de evaluación que

permitirá al facilitador que aplique el manual, la evaluación continua del taller.

La investigación se estructuro de la siguiente manera: En el primer capítulo se presenta la

descripción general del tema, así como también la justificación de la investigación, se

plantea la problemática y los objetivos de la investigación. El segundo capítulo se refiere

al marco teórico y se presenta los antecedentes, las bases teóricas y el fundamento

curricular. El tercer capitulo expone el marco metodológico consistente en el tipo de

investigación, el diseño de la investigación, población y muestra, procedimiento y técnica

de recolección de datos. El capítulo cuatro consta del diagnóstico, en el cual se describe

el antecedente de estudio, diagnostico de necesidades, evaluación de las condiciones

actuales, posibles tendencias y síntesis diagnostica. El capitulo cinco presenta la

propuesta (manual del taller) donde se describe: justificación, finalidades y metas, fases,

funcionamiento descripción del manual. Finalmente el capitulo seis detalla la discusión de

los resultados, factibilidad del modelo propuesto, control y evaluación de los procesos,

conclusiones y recomendaciones finales.

5

CAPITULO 1

Contextualización de la temática.

1.1 Descripción general del tema.

En el proceso de la enseñanza de la matemática podemos considerar la demostración

como uno de los ejes principales de esta disciplina puesto que Dreyfus (2000), citado por

Arrieta y Bravo (2002) explica que: “las demostraciones (entendidas en sentido amplio)

deberían estar presentes de forma subyacente en todos los componentes del currículo de

matemáticas” (p.1), de manera que la demostración cumple un papel muy importante en

el desarrollo cognitivo de los estudiantes de matemática. Por su parte Larios (2001)

considera que la demostración matemática debe tomarse en cuenta en la educación y

para ello se debe analizar dos aspectos fundamentales en la enseñanza de la misma: en

primer lugar, que las funciones de la demostración son: la de explicar, sistematizar,

descubrir, comunicar y que no solamente es la de verificar, y en segundo lugar que se

deben realizar actividades con los estudiantes donde se involucre la observación, el

análisis, la argumentación y la formulación de conjeturas acciones estas que pueden

parecer extrañas en el quehacer matemático pero que pueden ser de gran utilidad a la

hora de enseñar matemática.

Este tipo de actividades pueden plasmarse a través de un taller sustentado en la técnica

de resolución de problemas de tipo geométrico, tal como ha sido señalado por algunos

docentes de matemática de la Facultad de Humanidades y Educación de la ULA, quienes

a través de un cuestionario que se les aplicó, proponen actividades en grupo como

talleres (ver resultados del diagnóstico capitulo IV). Estas actividades en grupo (talleres)

pueden ser utilizadas para abordar la problemática presentada por un grupo de

estudiantes que cursan la asignatura Geometría I del segundo semestre (B-2008) de

Educación Mención Matemática, la cual gira en torno al aprendizaje que tienen los

estudiantes con respecto al contenido demostración matemática debido a que al presentar

una prueba diagnóstica, en su totalidad no realizaron las demostraciones que se les pedía

en dos de los ítems (ver resultados del diagnóstico capitulo IV). Al respecto, los docentes

encuestados creen que se debe iniciar a los estudiantes en la demostración matemática

utilizando como estrategia didáctica la resolución de problemas. A tal fin se pretende crear

el manual de un taller para iniciar en la demostración matemática a través de la resolución

6

de problemas geométricos a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación

Mención Matemática de la Universidad de los Andes.

1.2 Justificación de la investigación.

Uno de los principales obstáculos que pueden encontrar los profesores y los estudiantes

en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas universitarias, proviene del

contenido demostración matemática; una de las razones posiblemente se debe a: que los

estudiantes de Bachillerato se les enseña una matemática basada en procedimientos

algorítmicos y de cálculo sin enseñarles los aspectos relevantes de la deducción e

inducción y poderlos iniciar en la demostración matemática (ver Evaluación de las

condiciones actuales y explicaciones tentativas capitulo IV). Cadenas y Rivas (2006)

consideran que: “Para el lector que se inicia en el ámbito del estudio de las matemáticas

universitarias, este aspecto de las demostraciones, posiblemente nuevo para él,

constituye el soporte fundamental del conocimiento que debe llegar a dominar” (p.93).

Por su parte en la Universidad de Los Andes, específicamente en la Facultad de

Humanidades y Educación se plantea la enseñanza de la demostración matemática a los

estudiantes de Educación Mención Matemática y los mismos deben realizar

demostraciones de proposiciones y teoremas, como se puede apreciar a través de la

revisión del programa de la asignatura Matemática I. Una de las razones que motivan el

desarrollo de la presente investigación es que no se han desarrollado trabajos de

investigación relacionados con la enseñanza de la demostración matemática en la

Escuela de Educación de la Universidad de los Andes.

Otra razón que impulsa el desarrollo de la presente investigación se debe a los resultados

pocos satisfactorios de una prueba diagnóstica que se aplicó a estudiantes que cursan la

asignatura geometría I del segundo semestre (B-2008) en la Facultad de Humanidades y

Educación, debido a que dichos resultados mostraron que los estudiantes poseen

deficiencias al resolver problemas predemostrativos y al realizar demostraciones (ver

resultados del diagnóstico capitulo IV). Sin embargo, es posible lograr motivar el

aprendizaje del contenido demostración matemática, mediante la resolución de problemas

geométricos que permitan presentar el constructivismo no como una teoría de aprendizaje

sino también como una herramienta de enseñanza, al respecto una alternativa es el

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diseño un taller que permitirá un espacio de trabajo en grupo en el que se realiza un

proceso de enseñanza-aprendizaje y que puede ser utilizado como metodología de

trabajo en la que se integran la teoría, la práctica y el trabajo en equipo.

Por tanto, esta investigación se centra en diseñar el manual de un taller basado en la

resolución de problemas como estrategia didáctica, para iniciar en la demostración

matemática a los estudiantes del primer semestre de Educación mención Matemática, que

a lo largo de todo el estudio de pre-grado tienen que cursar asignaturas en las áreas que

conforman la carrera, en las cuales tendrá que realizar necesariamente demostraciones

de teoremas o proposiciones que fundamentan el quehacer matemático de la carrera.

1.3 Planteamiento del problema.

El proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática se ha convertido en los últimos

años en una actividad bastante compleja, y por ende se requieren de nuevos métodos de

enseñanza que sean innovadores y ayuden a facilitar los aprendizajes, un método que

puede resultar innovador en la enseñanza de la matemáticas es el taller que es definido

por Gonzáles M, citado por Bravo N (s/f) como: “tiempo - espacio para la vivencia, la

reflexión y la conceptualización; como síntesis del pensar, el sentir y el hacer. Como el

lugar para la participación y el aprendizaje” (p.2). En relación con los talleres algunos

docentes de matemática de la Facultad de Humanidades y Educación, encuestados a

través de un cuestionario creen que se puede ser utilizar para la enseñanza de la

demostración matemática (ver resultados del diagnóstico capitulo IV).

Para tomar en cuenta el taller como actividad para la enseñanza de la demostración se

debe considerar que: la demostración matemática tiene diferentes enfoques para ser

enseñada, puesto que puede ser utilizada para la verificación o validación de

proposiciones o teoremas. Cadenas y Rivas (2006) definen: “Las demostraciones en

matemáticas son razonamientos o sucesiones de razonamientos, y éstos deben ser

razonamientos válidos” (p.123), esta definición es formal y la función de la misma es la

de ver que un hecho matemático es verdadero. Sin embargo Larios (2001) toma en

cuenta que hay demostraciones que explican por qué un hecho matemático es

verdadero, lo cual es de gran importancia en la enseñanza de la matemática, pues

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proporciona un medio de explicación a los estudiantes de los procesos lógicos deductivos

ó inductivos que se presentan al realizar demostraciones.

En relación con la enseñanza de las matemáticas, Polya (1962) citado por Larios (2001)

señala que existen problemas que se demuestran (problemas de demostración

matemática) y que pueden ser incluidos como actividades beneficiosas en el proceso de

enseñanza y aprendizaje de la matemática. Para ello es importante tomar en cuenta los

problemas de tipo geométrico puesto que permiten la visualización, elemento importante

para realizar demostraciones; por su parte Larios (2001) considera que la resolución de

problemas se puede utilizar como estrategia didáctica a través de actividades con los

estudiantes donde se involucre la observación, el análisis, la argumentación y la

formulación de conjeturas.

Sin embargo, para promover y fomenta en los alumnos las habilidades en la resolución

de problemas de demostración matemática de tipo geométrico, se debe tomar en cuenta

que los estudiantes durante sus estudios previos de matemática no han sido iniciados en

la demostración matemática, al respecto Acuña (1996), citado por Larios (2003) opina

que: “Los alumnos de ingreso al nivel medio superior no tienen herramientas para

enfrentarse a situaciones como las de argumentar, conjeturar o demostrar, pues todas sus

herramientas mentales han sido desarrolladas para otro tipo de problemas, como el

cálculo, la construcción y el uso de algoritmos”(p.172). Estas herramientas constituyen

conocimientos parcialmente construidos que obstaculizan la comprensión y uso de la

demostración matemática.

Para determinar si los estudiantes han sido iniciados en la demostración matemática

durantes sus estudios previos, se aplicó una prueba diagnóstica a estudiantes de la ULA

que cursan la asignatura Geometría I del segundo semestre (B-2008) de Educación

Mención Matemática en la Facultad de Humanidades y Educación, la finalidad principal

era determinar los conocimientos que tienen los estudiantes en torno al aprendizaje de la

demostración Matemática y los resultados fueron poco satisfactorios debido a que se

pudo notar que el 97.5 % de los estudiantes poseen deficiencias para resolver problemas

predemostrativos y realizar demostraciones, las cuales develaron que la problemática

gira en torno al aprendizaje que tienen los estudiantes con respecto al contenido

demostración matemática (ver resultados del diagnóstico capitulo IV); por su parte los

9

docentes de matemática de la Facultad de Humanidades y Educación, encuestados

mediante un cuestionario, creen que se debe iniciar a los estudiantes en la demostración

matemática (ver resultados del diagnóstico capitulo IV). Así pues, en función de la

problemática y con los razonamientos que se han venido realizando, se puede plantear la

siguiente interrogante: ¿Cuáles serán las características de un taller para iniciar a

estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática de la

Universidad de los Andes en la demostración matemática a través de la resolución de

problemas geométricos?

1.4 Objetivos de la investigación.

1.4.1 Objetivo General

Diseñar el manual de un taller para iniciar en la demostración matemática a estudiantes

que cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática de la Universidad de

los Andes a través de la resolución de problemas geométricos.

1.4.2 Objetivos Específicos

Seleccionar problemas geométricos que permitan involucrar: la observación, el

análisis, la argumentación y la formulación de conjeturas.

Crear el manual del taller basándose en la resolución de problemas geométricos.

Validar el diseño del taller, tomando en cuenta los juicios de los expertos en

educación mención matemática.

10

CAPITULO 2

Marco teórico.

2.1 Antecedentes.

En un trabajo desarrollado en Argentina por Ibarra, Méndez y Velásquez (S/f), cuyo

objetivo de investigación se centró en la argumentación lógica como actividad previa a la

demostración matemática; el desarrollo de la misma se llevó acabo a través de diferentes

actividades: encuestas dirigidas a docentes, pruebas dirigidas a estudiantes y análisis de

los libros de textos. La encuesta aplicada a docentes de las escuelas de la Ciudad de

Salta, determinó que las actividades propuestas por los docentes para la enseñanza de la

matemática, se centran en definiciones y conceptos, y por tanto no desarrollan actividades

que puedan conducir a plantear hipótesis, hacer conjeturas y posibles demostraciones.

Como consecuencia de lo anterior aplicaron una prueba a estudiantes de Polimodal y del

Primer año de la carrera del profesorado de matemática, al analizar las respuestas de los

estudiantes concluyeron que: ambos grupos no fueron capaces de argumentar ni de

realizar formalmente la demostración que se les pedía en la prueba. En cuanto al análisis

de libros de texto arrojó como resultado que las actividades propuestas en los libros se

basan en el desarrollo de aplicaciones algorítmicas de fórmulas, siendo muy débiles los

elementos referentes a definiciones, justificaciones, demostraciones y argumentaciones.

En el trabajo desarrollado por Ibarra, Méndez y Velásquez se realiza un análisis detallado

de los factores que influyen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la demostración

matemática, estos factores (los estudiantes, los docentes, los textos) se deben tomar en

cuenta para la elaboración del manual de un taller que tiene por finalidad iniciar a

estudiantes en la demostración matemática en donde se debe tener presente la

argumentación lógica como actividad previa a la demostración matemática.

Por su parte, Peñaranda y Velazco (2005), abordan el desarrollo de las competencias

matemáticas, por medio de una propuesta pedagógica, como objetivo de investigación,

dirigida a estudiantes que cursan el primer semestre en Licenciatura de Matemática e

Informática, que den solución a los problemas que presentaron los estudiantes en una

prueba diagnóstico; la prueba consta de ocho cuestionarios referentes a resolución de

problemas matemáticos y situaciones reales, cada cuestionario con un nivel de dificultad

superior, el mismo fue aplicado uno por semana a estudiantes de forma voluntaria. La

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propuesta pedagógica está basada en la pedagogía por proyectos, un enfoque que

permite a los estudiantes poner en acción sus pensamientos fundamentada en el

constructivismo como teoría de aprendizaje, a través de actividades de reflexión donde

involucran: acción interpretativa, argumentativa y propositiva, las cuales no están aisladas

sino que ponen al estudiante en situaciones reales, permitiéndole un aprendizaje

significativo, y que tienen como propósito un resultado concreto: resolver situaciones

problemáticas desarrollando las competencias matemáticas. La estructura de la propuesta

tiene elementos de importancia que pueden tomarse como referentes para la elaboración

del taller que se pretende diseñar, es decir en vez de tomar la acción interpretativa,

argumentativa y propositiva para la elaboración de actividades, se pueden tomar como

referencia otros indicadores, que pueden ser: la observación, el análisis, la argumentación

y la formulación de conjeturas, dimensiones todas útiles para la elaboración del taller,

bajo el esquema de la propuesta pedagógica, y que permita iniciar a los estudiantes en la


Por otro lado, Isabel Echenique Urdiain (2006), emprende un estudio donde aborda la

resolución de problemas matemáticos en primaria, la investigación empleó una estrategia

compuesta por dos etapas: la primera teórica, donde sugiere algunas ideas sobre las

competencias matemáticas y describe pautas guiar a los alumnos en el proceso de

resolución de problemas, mientras que la segunda etapa consiste en un taller de

resolución de problemas el cual es desarrollado en cuatro ciclos y cursos, donde más que

enseñar a los alumnos a resolver problemas, pretende enseñarles a pensar

matemáticamente, en el taller se proponen estrategias generales de aplicación

(problemas cotidianos) y numerosas actividades para realizar. La autora concluye que

esta manera de abordar la resolución de problemas a partir de la aplicación de unos

métodos, favorece el desarrollo de capacidades no necesariamente matemáticas. Lo

importante es que el estudiante vaya logrando estrategias que en un futuro le permita

resolver con éxito situaciones matemáticas, recomienda a los docentes acompañar a sus

estudiantes en el proceso de aprendizaje, ayudándolos a establecer estrategias de

resolución de problemas donde se planteen situaciones, planificaciones, y estudien la

pertinencia de las soluciones obtenidas. Esta propuesta presenta elementos que se toman

en cuenta para la elaboración del manual como son los ciclos, que en nuestro caso sería

las unidades y en el proceso de evaluación del taller propuesto se tomaran en cuenta lo

12

que la autora define como estrategias de resolución de problemas y la pertinencia de las

soluciones obtenidas (por los estudiantes al resolver un problema).

2.2 Bases teóricas.

2.2.1 Marco epistemológico

El desarrollo de las matemáticas a través del tiempo fue impulsado por los aportes de

diversas culturas antiguas entre las cuales destacan: los egipcios, los babilónicos y los

hindúes; cuyas contribuciones en la geometría, aritmética y álgebra se basaban en

referentes reales o problemas prácticos relacionados con el quehacer diario de sus vidas,

así pues los avances se presentaron de forma empírica de modo que, a estas culturas no

se les atribuye demostraciones lógicas de sus proposiciones. Por su parte los griegos son

los pioneros en el impulso de la destreza de fundamentar y demostrar sus proposiciones,

Cadenas y Rivas (2006) opinan: “Sin embargo, la contribución realizada por los antiguos

griegos, en un periodo que se inicia 600 a. C., es la de ser los primeros que reconocieron

la necesidad de las demostraciones, de concebir la organización del contenido

matemático usando la deducción”. (p.34).

Newman (1980) considera que la matemática con los griegos, presentan un enfoque

distinto, puesto que sus estudios en el campo de la matemática tenían por necesidad su

propio interés y no se basaba en las aplicaciones que pudiera tener en el mundo concreto,

en otras palabras los griegos son los pioneros en el impulso de la destreza de

fundamentar y demostrar sus proposiciones producto del desarrollo de la filosofía

propuesta por ellos, que trae consigo como resultado la base fundamental de las

demostraciones puesto que ellos formulaban sus argumentos partiendo de premisas.

Por su parte Arsac (1987), estudia la demostración a través de la génesis histórica de la

misma en Grecia, en el siglo V a. C., describe que la demostración tienen dos orígenes:

uno interno y otro externo. En primer lugar el origen interno que se presenta por medio de

los problemas de la irracionalidad y de la inconmensurabilidad en geometría y aritmética,

para resolver esos problemas los griegos se ven en la necesidad de crear nuevos

métodos que le permitan resolver dichas dificultades, uno de esos métodos es la

demostración matemática; el origen interno propuesto por Arsac se debe tomar en cuenta

13

para el desarrollo de la presente investigación, puesto que a través de la de resolución de

problemas, los estudiantes se vean en la necesidad de demostrar y esto a su vez puede

motivar en ellos el aprendizaje de la demostración matemática. En segundo lugar el

origen externo que surge desde el punto de vista social por medio del debate público en la

sociedad griega. Así pues la cultura griega establece el cimiento o la base fundamental

para que las matemáticas por medio de un largo proceso mediante el cual transcurrieron

varios siglos de avances, adquiriera lo que hoy en día se conoce con el calificativo de

ciencia pura, todo esto fundamentado en la demostración matemática que Evelyne Barbin

(citado por Larios 2003) la divide en tres etapas:

1. En Grecia en el siglo V la demostración busca convencer en medio del debate.

2. En el siglo XVII se busca que las demostraciones aclaren más que convenzan.

3. En el siglo XIX se regresa a un rigor que permita hacer frente a las nuevas

concepciones de los objetos matemáticos.

2.2.2 Marco psicopedagógico.

El constructivismo se basa en el hecho de que es el sujeto el que aprende, para Jean

Piaget el aprendizaje implica un proceso constructivo interno, como resultado del

desarrollo evolutivo y su interacción con el medio ambiente (el constructivismo genético),

y considera que el desarrollo cognitivo es un proceso gradual, continuo, lento y lo divide

en tres etapas: etapa sensorio-motriz (de cero a dos años), la etapa de las operaciones

concretas (de siete a doce años) y la etapa de las operaciones formales, en esta etapa

perfectamente se puede iniciar a los estudiantes en la demostración matemática puesto

que Herrera (2003) considera que “El individuo puede pensar en términos abstractos y

manejar situaciones hipotéticas” (p. 17).

Para Vigotsky citado por Flores y Agudelo (2005) el aprendizaje se facilita gracias a la

mediación con otros, es social y cooperativo, donde interviene el aprendizaje individual y

el aprendizaje que se obtiene a través de lo que se puede hacer y aprender con ayuda de

otras personas (constructivismo social). Para Flores y Agudelo (2005) una de las

contribuciones de la teoría vigotskyiana es que: “el docente debe fomentar el diálogo, el

estudio cooperativo, el trabajo en equipo y las discusiones acerca de los contenidos

estudiados” (p. 23); en este sentido, dado que el taller representa un espacio para que el

docente pueda establecer una experiencia grupal en la cual los participantes interactúan

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entre sí en torno a una tarea específica, con un rol protagónico de los participantes en el

proceso de aprendizaje que allí se produce (Herrera, 2003), es posible tomar en cuenta

para el desarrollo de esta investigación los aportes de Vigotsky.

Por su parte Ausubel considera que el inicio del aprendizaje está en los conocimientos y

experiencias previas que tenga el sujeto y que se facilita mediante apoyos que logren

conducir a la construcción de puentes cognitivos entre lo nuevo y lo ya conocido.

Tomaremos en cuenta dos tipos de aprendizaje descritos por Egg (1996) citado por Flores

y Agudelo (2005): en primer lugar el aprendizaje por descubrimiento donde al

estudiante sólo se le da una parte de la información que se quiere enseñar, para que

luego él a través del análisis pueda descubrir sus propios aprendizajes; para ello en la

presente investigación se tomará en cuenta la técnica de resolución de problemas

geométricos, en donde a través del planteamiento de un problema geométrico el

estudiante va a descubrir hechos matemáticos por medio de la observación, el análisis o

la síntesis, que a su vez, le permiten argumentar y formular conjeturas. En segundo lugar

el aprendizaje significativo donde la nueva información se incorpora de manera

coherente y responde a una motivación personal que se produce cuando el alumno toma

parte activa en el proceso de construcción del conocimiento para así poderlo iniciar en el

contenido de la demostración matemática.

2.2.3 Marco teórico matemático.

2.2.3.1 La demostración Matemática.

La demostración matemática, consiste en el razonamiento lógico deductivo de una

proposición, que se realiza: partiendo de la hipótesis la cual está constituida por un

conjunto de condiciones que se suponen cumplidas para llegar a la tesis que es lo que se

requiere demostrar, utilizando definiciones, axiomas o proposiciones establecidas como

verdaderas. Podemos decir que esta definición se basa en el fundamento lógico formal,

Larios (2001) considera que este tipo de definiciones hace referencia a la demostración

como un producto terminado de la matemática; es importante tomar en cuenta que a lo

largo del tiempo los grandes matemáticos antes de publicar sus demostraciones

matemáticas transitaron por procesos previos de la demostración, donde se plantearon

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conjeturas, se realizaron observaciones y análisis, se dieron argumentos, esos procesos

previos Cadenas y Rivas (2006) lo definen como “Heurística”.

Los argumentos heurísticos son de uso frecuente en la práctica de la matemática sin

embargo, estos argumentos no son tomados en cuenta como parte de la lógica formal, y

su importancia ha sido reconocida pocas veces en las corrientes filosóficas de la

matemática, a pesar del desempeño crucial que tienen en el descubrimiento matemático

(Rota, 1998). Este aspecto heurístico debe tomarse en cuenta para la enseñanza de la

demostración y es el punto de referencia de la presente investigación ya que es un

elemento de gran importancia para iniciar a los estudiantes en la demostración

matemática a través de la resolución de problemas geométricos.

Por medio de los argumentos heurísticos los estudiantes pueden plantear conjeturas, y es

importante que puedan realizar la demostración de sus conjeturas; una forma de lograrlo

es mediante una comprensión adecuada de los métodos de demostración. A continuación

se realizara una descripción teórica de los métodos que existen para elaborar la

demostración de una proposición.

Consideremos la siguiente proposición qp , existen diferentes métodos para

demostrarla, dentro de los cuales tenemos: método directo, método indirecto y método de

inducción.

1. Método directo: este método consiste, en que si la proposición p es verdadera, y se

puede deducir que qp es verdadera, entonces q es verdadera.

Ejemplo 1.1: Si a y b números naturales pares, entonces ba es un número natural

par.

Comencemos notando que la hipótesis es, a y b son números naturales pares, mientras

que la tesis es, ba es un número natural par. Ahora denotemos ap : y b son números

naturales pares y baq : es un número natural par. Ahora se presenta la demostración

en forma simbólica:

map 2 y nb 2 , para algunos números naturales m y n .

)(222 nmnmba y )(2 nm es un número natural.

kba 2 , con nmk natural ba es un número natural par q es verdadera

16

2. Método indirecto: se puede realizar de diferentes maneras, según el caso más

conveniente:

2.1 Reducción al absurdo: Tomaremos una respuesta informal pero sencilla propuesta

por el profesor Francisco Rivero en su libro: Reflexiones sobre la matemática y el mundo

que nos rodea.

Supongamos que algún enemigo mío anda diciendo por ahí que yo soy una vaca.

Entonces para refutar esto ante cualquier persona yo hago el siguiente razonamiento:

Supongamos que yo soy una vaca. Entonces yo debería tener un rabo y caminar en

cuatro patas. Como no tengo rabo y camino sobre mis dos pies, lo cual es indiscutible,

entonces soy un tipo de vaca absurda. Nadie ha visto una vaca sin rabo y caminando en

dos patas. Entonces lo que dice mi enemigo es falso. Por lo tanto yo tengo razón al

afirmar que no soy una vaca.

De manera formal para demostrar una proposición de la forma qp por reducción al

absurdo, se niega la tesis de la proposición que se quiere demostrar y se llega a una

contradicción con la hipótesis o con un hecho ya establecido previamente como verdad.

2.2 Contra recíproco: para demostrar una proposición de la forma qp , se puede

utilizar el contra recíproco el cual consiste en que: se niega la hipótesis y la tesis y luego

se contraponen es decir q p , para luego utilizar el método directo. Dado que:

q p y qp son lógicamente equivalentes, entonces demostrar q p es

equivalente a demostrar qp .

Ejemplo 2.2.1: Sea n un número entero. Si 2n es par, entonces n es par.

Primero denotemos 2: np es par y nq : es par. Entonces nq : no es par y

2: np no

es par. Demostraremos pq . Ahora que se presenta la demostración en forma

simbólica: nq es impar ,12 kn para algún número entero

1)22(2 22 kknk 122 mn

17

2.3 Contra ejemplo: para demostrar la negación de la proposición la forma qp , se da

un ejemplo que contradiga a la proposición qp .

Ejemplo 2.3.1: Sean np : es un número natural y nq : es divisible entre 2.

El condicional qp es falso, pues 1n es un número natural que no es divisible entre

2. En este caso 1n proporciona un contraejemplo que permite demostrar que dicho

condicional es falso.

2.4 Demostración por disyunción de casos: para demostrar una proposición de la

forma qp , lo que se requiere es determinar que q es verdadera, para ello el método

por disyunción de casos, permite que q pueda desglosarse en varias partes y se procede

a demostrar cada una de las parte para luego por medio de la síntesis concluir que q es

verdadera.

Ejemplo 2.4.1: Las proposiciones n número natural par 02 n y n número natural

impar 02 n son cada una verdadera. Por lo tanto 02 n es verdadera cuandon es un

número natural. De este modo, para demostrar que q es verdadera se procede

considerando los casos n par y n impar.

3. Demostración por inducción: este método se utiliza en el caso que se quiere

demostrar una proposición relativa al conjunto de los números naturales, el método

consiste en:

Una proposición es verdadera para cualquier Nn , sí se tiene que:

La proposición se cumple para 1n (inducción completa), o cualquier otro número

natural para el cual la proposición se cumpla (inducción Incompleta).

Admitir que se cumple como verdadera para kn

Demostrar que se cumple para 1 kn

Ejemplo 3.1: La proposición 2

)1(...21

nnn , es válida en el conjunto de los

números naturales N . En efecto:

Base inductiva:

Si 1n , entonces 2

)11(11

18

Si 2n , entonces 2

)12(221

Es fácil ver que la igualdad se cumple para 3n .

La igualdad también es valida para los números naturales menores que 100. ¿Cómo se

comprueba la validez de la igualdad para el caso 100n ?

Hipótesis inductiva: Se supone que la igualdad es cierta para el caso kn , con 1k .

Es decir, 2

)1(...21

kkk es verdadera.

Tesis inductiva: Hay que demostrar la igualdad para el caso 1 kn . Es decir:

Hay que demostrar que 2

1)1()1()1(...21

kkk es verdadera. Para ello

comenzaremos notando que )1(...21)1(...21 kkk .

Luego 2

1)1()1()1(

2

)1()1(...21)1(...21

kkk

kkkkk

Por lo tanto la igualdad es cierta para 1 kn .

Es importante destacar que dentro de las estrategias de resolución de los problemas que

se incluyen en el manual, se emplean de manera implícita, por lo menos algún método de

demostración señalado anteriormente.

2.2.4 Contexto curricular.

La creación del manual de un taller para iniciar a estudiantes en la demostración

matemática, esta en concordancia con los programas de las asignaturas Matemática I,

Geometría I y Fundamentos del Álgebra propuesto en la Facultad de Humanidades y

Educación de la Universidad de Los Andes, esto debido a que el contenido demostración

matemática está ubicado entre los temas a enseñar en los programas.

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA I

TEMA 1. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA.

1.1- Visión general de las Matemáticas: aritmética, álgebra y cálculo; reseñas

históricas sobre la génesis del pensamiento matemático. Matemática y

pensamiento lógico.

1.2- La deducción Matemática.

19

1.3- La demostración en Matemáticas: esquema general. La demostración,

axiomas y teoremas.

1.4- Métodos de Demostración.

1.5- Principio de Inducción Completa: el método de recurrencia.

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA GEOMETRIA I

TEMA 1. LAS PROPOSICIONES GEOMÉTRICAS.

1.1- Nociones de lógica: proposiciones, clasificación y operaciones.

1.2- Axiomas, condiciones que debe cumplir un sistema de axiomas.

1.3- Postulados.

1.4- Teoremas, estructura. Clases. Métodos de demostración.

1.5- Corolarios y lemas.

1.6- Definiciones, clases. Condiciones de una definición.

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

TEMA1. Conceptos - Principios y Demostraciones en Matemática.

1. Enunciados Matemáticos y sus demostraciones.

2. Componentes de una proposición o teorema. Lemas y corolarios.

3. Condiciones necesarias y suficientes. Recíprocos y contrarrecíprocos.

4. Demostraciones directas y demostraciones por contradicción o por

reducción al absurdo. Contraejemplos y conjeturas.

5. Intuiciones geométricas y “pruebas gráficas”.

6. Paradojas.

7. Otras Demostraciones.

Así pues, la elaboración del taller está dentro de los parámetros legales, y permite dar

diversidad a los recursos didácticos que pueden ser utilizados para la enseñanza de la

demostración matemática, permitiendo que el docente tenga flexibilidad en las estrategias

didácticas que él utiliza para la enseñanza de dicho contenido.

20

CAPÍTULO 3

Marco metodológico.

3.1 Tipo de investigación.

La presente investigación tuvo por finalidad el diseño de un manual para un taller que

permita iniciar en la demostración matemática, a través de la resolución de problemas

geométricos, a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención

Matemática de la Universidad de Los Andes, la misma consistió en una investigación

proyectiva bajo el criterio propuesto por Hurtado (2007), ya que el diseño del manual

pretende dar solución a la problemática de un grupo de estudiantes en torno al

aprendizaje del contenido demostración matemática, la investigación se llevo acabo a

partir de la selección de un conjunto de problemas geométricos, luego se creó el manual

de taller y por ultimo se validó.

3.2 Diseño de la investigación.

Hurtado (2007), explica que el diseño de la investigación consiste en dar a conocer los

aspectos operativos de la investigación, si el tipo de investigación se define con base en

el objetivo, entonces el diseño se define con base en el procedimiento. En función de lo

antes expuesto se puede definir el diseño de la investigación como un diseño

contemporáneo transeccional univariable, ya que la búsqueda de la información se

realizó en un tiempo estipulado, centrado en la enseñanza de la demostración matemática

como evento de estudio y de fuente mixta puesto que la información que se obtuvo para

la selección de los problemas se realizó mediante la revisión documental, y la información

para la validez del taller, fue de fuentes vivas en su contexto natural.

3.3 Definición de eventos.

Evento a modificar: El diseño de un taller para iniciar en la demostración matemática a

través de la resolución de problemas geométricos, persigue principalmente el

mejoramiento del aprendizaje de la demostración matemática.

21

Proceso generador: Deficiencias al momento de realizar una demostración matemática

por parte de los estudiantes que cursan el primer semestre de Educación matemática de

la Universidad de Los Andes.

3.4 Población y muestra.

Hurtado (2007), considera que si la población es conocida no hace falta realizar un

muestreo, por lo tanto la población será igual a la muestra, así pues la presente

investigación estuvo compuesta por dos tipos de población: en primer lugar para la

selección de los problemas geométricos la población estuvo compuesta por cuatro texto

de resolución de problemas matemáticos, cuyos autores son:1) Santos Luz Manuel, 2)

perelmann Y, 3) Bertrán, C. y García, 4) Edwin M. Hemmerling; en segundo lugar para la

validez del diseño del manual para el taller la población estuvo compuesta por cinco

docentes especialista en matemática de la Universidad de los Andes específicamente de

la Facultad de Humanidades y Educación.

3.5 Técnicas e instrumentos de recolección de datos.

Para realizar esta investigación se requirió de la recolección de datos, Hurtado (2007)

considera que el investigador debe seleccionar las técnicas y los instrumentos los cuales

permitan conseguir información para desarrollar la investigación. Con la finalidad de

alcanzar los objetivos planteados en la presente investigación se utilizó como técnica de

recolección de datos la revisión documental a través de la matriz de categorías para la

selección de los problemas geométricos. Por otro lado para validar el taller tomando en

cuenta los juicios de los expertos en educación mención matemática, la técnica que se

utilizó fue la encuesta a través de un instrumento de validación de contenido. Según Arias

(2005) la encuesta consiste en un conjunto de preguntas (instrumento de validación de

contenido) que se suministra al encuestado por medio de un formato de papel que puede

ser autoadministrado puesto que el entrevistado pude responder sin la presencia del

encuestador. Así pues el cuestionario fue pertinente para recoger la información necesaria

para la validez del manual que se diseñó.

22

3.6 Procedimiento.

Primera parte: Inicialmente se realizó una matriz de registro que permitió seleccionar los

problemas geométricos que fueron tomados en cuenta para el diseño del manual para el

taller, posteriormente se realizó una revisión documental, usando a su vez la matriz de

categorías. Segunda parte: Se elaboró el manual para el taller, tomando en cuenta como

estrategia didáctica la resolución de problemas geométricos. Posteriormente se diseñó y

validó un cuestionario con la finalidad de validar el diseño del manual para el taller.

Tercera parte: Se aplicó el cuestionario, tomando en cuenta los juicios de expertos en

Educación Mención Matemática, para validar el manual para el taller. Cuarta parte: Se

realizó el análisis de los resultados obtenidos, conclusiones y recomendaciones.

3.7 Tipo de análisis a utilizar

El análisis de los resultados que se obtuvieron, para la selección de los problemas

geométricos se realizó por medio de análisis de contenido a través de la matriz de

registro, y para la validación del taller se realizó por medio de la estadística descriptiva,

utilizando: frecuencias. Tomando en cuenta los siguientes criterios de validación:

Presentación del manual; Pertinencia del manual; Concordancia del manual; Factibilidad

de la aplicación; Claridad conceptual en el enunciado de los problemas; Secuencia en la

evaluación;

23

CAPÍTULO 4

Resultado del diagnóstico.

4.1 Antecedentes del estudio.

Inicialmente se diseñaron como instrumentos de recolección de datos un cuestionario y

una prueba diagnóstica, para luego aplicarlos a docentes y estudiantes respectivamente

en La Universidad de los Andes específicamente en la Facultad de Humanidades y

Educación. La prueba fue validada a través de apreciación cualitativa ver (Anexo), con

una validez del 93%. La finalidad principal de la prueba diagnóstica fue determinar los

conocimientos que tienen los estudiantes en torno al aprendizaje de la demostración

Matemática. La prueba fue aplicada a cuarenta y tres estudiantes que cursan la

asignatura Geometría I (sección única) del segundo semestre (B-2008) de Educación

Mención Matemática. La misma constó de cuatro ítems; los ítems uno y dos se refieren a

resolución de problemas geométricos de propiedades de triángulos y equivalencias de

áreas respectivamente, en los mismos los estudiantes debían argumentar sus respuestas

(problemas predemostrativos). Por su parte los ítems tres y cuatro referentes también a

problemas de tipo geométricos de equivalencias de áreas, en los mismos los estudiantes

debían realizar la demostración matemática de cada uno de los ítems (problemas de

demostración Matemática). El análisis de los resultados obtenidos se realizó por medio

de estadística descriptiva y análisis cualitativo, con la intención de identificar las

dificultades que los estudiantes presentan al momento de desarrollar una demostración

Matemática.

El 5% de los estudiantes respondieron correctamente el ítem número uno

predemostrativo, donde los estudiantes, partieron del hecho de que la suma de los

ángulos internos de un triángulo es 180 grados y resolvieron el problema utilizando

valores numéricos, deduciendo que la suma de los ángulos externos de un triángulo es

360 grados. El 95% restante respondió incorrectamente el ítem número uno

predemostrativo donde debían formular argumentos que sustentara el ítem, de los

estudiantes que respondieron incorrectamente, el 24% no respondió nada, el 34% logró

construir únicamente la figura que se les pedía sin dar ningún tipo de argumento y el 42%

logró construir la figura y formular argumentos tales como: La suma de los ángulos

externos de un triángulo es 180 grados, la suma de los ángulos internos de un triángulo

24

es 180 grados, los ángulos internos y externos son iguales, lo cuál no les permitió resolver

el problema. El 5% de los estudiantes respondió correctamente el ítem número dos

predemostrativo, reconociendo que el problema se abordaba a través de la equivalencia

de áreas de cuadrados y rectángulos. Por su parte el 95% de los estudiantes respondió

incorrectamente el ítem número dos predemostrativo donde debía formular argumentos

que sustentaran el mismo. De los estudiantes que respondieron incorrectamente, el 51%

no respondió nada, mientras que el 29% expresaban la interpretación algebraica

argumentando que era un producto notable, sin embargo la pregunta pedía la

interpretación geométrica y el 20% restante logró construir únicamente la figura

geométrica sin dar ningún tipo de argumento.

El 100% de los estudiantes no realizó la demostración del problema propuesto en el ítem

número tres, sin embargo se pudo determinar que el 88% no respondió nada y el 12%

restante respondió incorrectamente. Por otro lado el 100% de los estudiantes no realizó la

demostración del ítem número cuatro (teorema de Pitágoras), se pudo determinar que el

75% no respondió nada y el 25% restante respondió incorrectamente. La dificultad que se

pudo observar en todos los estudiantes que respondieron incorrectamente los ítems tres

y cuatro es que no reconocen en un teorema la hipótesis y la tesis, elementos de gran

importancia para poder determinar el método que se utilizará para abordar una

demostración.

Se pudo notar que el 97.5 % los estudiantes poseen deficiencias para resolver problemas

predemostrativos y realizar demostraciones. En función a los resultados deficientes se

diseñó un cuestionario mixto con una validez del 73% a través de apreciación cualitativa

ver (Anexo). El cuestionario se aplicó a diez docentes especialistas en matemática de la

Facultad de Humanidades y Educación, el mismo consta de 8 ítems para indagar sobre

las estrategias didácticas que los docentes aplicaron en la enseñanza de la demostración

matemática. Al consultar a los docentes sobre los inconvenientes que tienen los

estudiantes al momento de él enseñar el tema demostración matemática y en qué etapa

de la elaboración de una demostración el estudiante tiene mayor dificultad, el 50% cree

que el problema más observado en los estudiantes a la hora de trabajar en el tema

demostración matemática, es que los estudiantes no han visto el tema antes, mientras

que el otro 50% cree que los estudiantes además de no haber visto el tema antes,

muestran poco interés y no dominan los contenidos matemáticos previos. En relación con

25

las etapas en la que los estudiantes tienen dificultad, el 40% cree que es en la

argumentación, mientras que el otro 40% cree que en la argumentación y el análisis, y el

20% restante cree que es en la argumentación, análisis y formulación de conjeturas. Por

otro lado, cuando se les preguntó a los docentes si consideran que se debe enseñar la

demostración matemática en la carrera Educación Mención Matemática y si se debe

iniciar a los estudiantes en la demostración matemática, el 100% de los docentes creen

que es importante la enseñanza de la demostración matemática a estudiantes que cursan

la carrera, argumentando que: deben poseer los principios demostrativos para luego

poseer la herramienta para la enseñanza de la matemática, la demostración matemática

es un medio que permite afianzar y consolidar los contenidos matemáticos, permite

adquirir la capacidad y habilidad para razonar de manera lógica. A su vez el 100% de los

docentes encuestados se refieren a que se debe iniciar a los estudiantes en la

demostración matemática, expresando que: el inicio debe partir del hecho de que la

demostración es accesible para el estudiantado, pues involucra procesos y etapas previas

que no son del todo ajenas a la forma de pensar y razonar de ellos; la demostración

matemática requiere de una madurez necesaria; en el segundo semestre los estudiantes

encuentran dificultades al pasar de la asignatura Matemática Básica a Geometría I,

debido a que en matemática básica no se enseña la demostración matemática mientras

que en Geometría I se parte del hecho de que los estudiantes ya realizan demostraciones,

razón por la cual se debe mediar esa situación en el primer semestre.

Al preguntar a los docentes en qué contenido matemático se adapta mejor la enseñanza

de la demostración matemática, se pudo determinar que el 40% de los docentes

consideran que el área de la matemática donde mejor se adapta la enseñanza de la

demostración es en Geometría, puesto que le permite la visualización, elemento

importante para realizar demostraciones. Mientras que el 60% considera que la

demostración matemática se adapta a la geometría, al álgebra y a la aritmética,

argumentando que hay proposiciones que se pueden demostrar en las tres áreas. Por

otro lado al preguntarles a los docentes sobre las estrategias didácticas que utilizan para

la enseñanza de la demostración, el 100% utilizan la resolución de problemas como

estrategia didáctica. Por su parte de los docentes que utiliza como estrategia didáctica la

resolución de problemas, el 40% creen que los problemas geométricos son de gran

importancia para iniciar a los estudiantes en la demostración matemática, el 20%

problemas de la vida cotidiana, otro 20% consideran a ambos es decir problemas

26

geométricos y problemas de la vida cotidiana, el 20% restante considera los problemas

geométricos, problemas de la vida cotidiana, ejercicios, además de proponer otras

actividades en grupo como talleres.

4.2 Diagnóstico de necesidades.

Al consultar a los docentes en que etapa de la elaboración de una demostración el

estudiante tiene mayor dificultad, el 40% cree que es en la argumentación, mientras que

el otro 40% cree que en la argumentación y el análisis, esto se ve reflejado en la prueba

diagnóstica aplicada a los estudiantes, ya que el 95% de los estudiantes respondió

incorrectamente los ítems uno y dos (Problemas predemostrativos), donde solo el 35,5 %

de los que respondieron incorrectamente formularon argumentos, sin embargo los

argumentos presentados por los estudiantes no fueron correctos. Por su parte los

docentes consideran de gran importancia la enseñanza de la demostración a estudiantes

que cursan la carrera de Educación Mención Matemática argumentando que: la

demostración matemática requiere de una madurez necesaria; en el segundo semestre

los estudiantes encuentran dificultades al pasar de la asignatura Matemática Básica a

Geometría I, debido a que en Matemática Básica no se enseña la demostración

matemática mientras que en Geometría I se parte del hecho de que los estudiantes ya

realizan demostraciones, razón por la cual se debe mediar esa situación en el primer

semestre.

Por otro lado el 50% de los docentes creen que uno de los principales problemas que

poseen a la hora de trabajar en el tema demostración matemática, es que los estudiantes

no han visto el tema antes, muestran poco interés y no dominan los contenidos

matemáticos previos, de igual manera esto se ve reflejado en la prueba ya que el 100%

de los estudiantes no realizaron la demostración de los ítems tres y cuatro (problemas de

demostración Matemática), donde el 18,5 % de los estudiantes lograron responder, sin

embargo los argumentos no fueron correctos, lo cual nos permite verificar que los

estudiantes no dominan aspectos fundamentales de la demostración matemática. Al

respecto, los docentes creen que se debe iniciar a los estudiantes en la demostración

matemática utilizando como estrategia didáctica la resolución de problemas: el 40% creen

que los problemas geométricos son de gran importancia para iniciar a los estudiantes en

la demostración matemática, el 20% problemas de la vida cotidiana, otro 20% consideran

27

a ambos es decir problemas geométricos y problemas de la vida cotidiana, el 20%

restante considera los problemas geométricos, problemas de la vida cotidiana, ejercicios,

además de proponer otras actividades en grupo como talleres, tomando en cuenta que el

área de la matemática donde mejor se adapta la enseñanza de la demostración es en

Geometría, puesto que le permite la visualización, elemento importante para realizar

demostraciones, mientras que otro grupo de docentes consideran que la demostración

matemática además de la geometría se adapta también al álgebra y a la aritmética,

argumentando que hay proposiciones que se pueden demostrar en las tres áreas.

4.3 Evaluación de las condiciones actuales y explicaciones tentativas.

En función de lo antes expuesto, se puede deducir que el problema gira en torno al

aprendizaje del contenido demostración matemática, en los estudiantes que cursan el

segundo semestre de Educación Mención Matemática. Posiblemente se debe a: que los

estudiantes de Bachillerato se les enseña una matemática basada en procedimientos

algorítmicos y de cálculo sin enseñarles los aspectos relevantes de la deducción e

inducción y poderlos iniciar en la demostración matemática. Al respecto algunos docentes

creen que esta problemática se debe a que los estudiantes no han visto el tema antes,

mientras que el otro grupo de docentes cree que los estudiantes a demás de no haber

visto el tema antes, muestran poco interés y no dominan los contenidos matemáticos

previos.

4.4 Posibles tendencias futuras.

Con los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes y en el

cuestionario aplicado a los docentes, se pudo detectar como problema el poco

conocimiento de los estudiantes en torno a la demostración matemática, en función de

esta problemática se debe tener en cuenta que: a lo largo de todo el estudio de pre-grado

el estudiante de Educación mención Matemática tiene que cursar asignaturas en las áreas

que conforman la carrera, en las cuales tendrá que realizar demostraciones de teoremas

o proposiciones que fundamentan el quehacer matemático de la carrera, y si no tienen

los conocimientos para realizar una demostración , se verá en dificultades a lo largo del

desarrollo de toda su carrera.

28

4.5 Síntesis diagnóstica.

Con los datos recabados, sobresale la deficiencia presente en los estudiantes en torno a

la demostración matemática, posiblemente porque no han visto el tema antes, tomando

en cuenta también que en bachillerato no adquirieron estos conocimientos, necesarios

para abordar la demostración matemática. Esto podría traer como consecuencia que el

estudiante de Educación Mención Matemática no domine los diferentes contenidos de las

asignaturas que conforman la carrera en las cuales tendrá que realizar demostraciones de

teoremas o proposiciones.

29

CAPITULO 5

Presentación de la propuesta.

“Manual de un taller para iniciar a estudiantes que cursan el primer semestre de

Educación Mención Matemática de la ULA en la demostración matemática a través

de la resolución de problemas geométricos”

5.1 Justificación.

Como puede observarse en el capitulo IV (antecedentes del estudio), el 97,5 % de

estudiantes que cursan la asignatura geometría I (segundo semestre) de Educación

Mención Matemática, poseen deficiencias para resolver problemas predemostrativos y

realizar demostraciones. Esto nos lleva a reflexionar y atender tan importante

problemática (realizar demostraciones), para abordar dicha problemática se pueden tomar

en cuenta diferentes programas didácticos como: cursos, talleres, software educativos y

propuestas de enseñanzas expositivas. Sin embargo es importante tomar en cuenta que

el programa didáctico permita la interacción entre el docente (facilitador) y los estudiantes

y que se privilegie el constructivismo como estrategia de aprendizaje. En los cursos,

software y propuestas de enseñanza expositivas la interacción entre el docente

(facilitador) y los estudiantes no se presenta de manera reciproca ya que el docente dirige

y desarrolla de manera directa estos programas, mientras que el taller representa un

espacio para que el docente (facilitador) pueda establecer una experiencia grupal en la

cual él y los participantes interactúan entre sí en torno a una tarea específica (la

resolución de problemas geométricos), con un rol protagónico de los participantes en el

proceso de aprendizaje que allí se produce (Herrera, 2003), así pues las ideas que se

discuten ayudan a crear una comunidad matemática entre los estudiantes y el docente.

Por tal motivo, podemos decir que la presente guía del taller fundamentada en la

resolución de problemas geométricos tiene como finalidad el alcance de unos objetivos,

dentro estos sobresale el iniciar en la demostración matemática a los estudiantes que

cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática, con el fin de que en el

salón de clases se ofrezcan oportunidades a los estudiantes para reconstruir o desarrollar

ideas matemáticas. Se pretende que los mismos a través de la solución de los problemas

30

que se plantean, transiten por un proceso de: observación, análisis, argumentación y

formulación de conjeturas, un enfoque que permite poner en acción sus pensamientos.

5.2 Finalidad y metas del manual.

Las finalidades y metas del manual están contenidas en los siguientes objetivos:

5.2.1 Objetivo General.

Iniciar en la demostración matemática a estudiantes que cursan el primer semestre de

Educación Mención Matemática de la ULA a través de la resolución de problemas

geométricos.

5.2.2 Objetivos Específicos.

Resolver los problemas geométricos que permitan transitar por un proceso de:

observación, análisis, argumentación y formulación de conjeturas

Desarrollar estrategias de resolución de problemas

Evaluar los aspectos y contenidos de los problemas trabajados con los estudiantes

5.3 Fases. Funcionamiento. Descripción del manual.

Tabla 1. Actividades planificadas para el desarrollo del contenido del taller.

Sesión Nº Unidad Actividades planificadas

1

2

I

II

Resolución de problemas que están vinculados con: concepto

de área, representación geométrica de productos notables,

ángulos externos de un triángulo.

Resolución de problemas que están vinculados con: concepto

de área, definición de mediatrices, circulo, clasificación de

cuadriláteros.

31

NOTA: Cada sesión para desarrollar cada unidad tiene una duración de dos horas

académicas.

Es importante destacar que los problemas geométricos que fueron tomados en cuenta

para ser plasmado en el manual del taller se seleccionaron a través de una matriz de

registro, problemas de tipo heurístico que permitan al estudiante: visualizar, en el cual la

construcción gráfica del problema se presenta de manera directa o permite que el

estudiante realice la construcción de la misma; analizar, que el problema sea susceptible

de ser tratado por descomposición incluye el considerar casos particulares, u otras

estrategias heurísticas mencionadas explícitamente o implícitamente; formular

argumentos y plantear conjeturas, que conlleva a la formulación de argumentos

matemáticos. Así pues con la matriz de registro se seleccionaron 16 problemas

geométricos que se desarrollaron (estrategia de resolución) en la elaboración del manual

para el taller, los mismos se clasificaron en:

Primer nivel: Son aquellos que, su enunciado se presenta de manera clara, los datos

que en ellos aparecen son suficientes para su resolución, requieren del estudiante

observación y la argumentación.

Segundo nivel: Son aquellos que, su enunciado se presenta de manera clara, contiene

una serie de instrucciones para su resolución, requieren del estudiante observación,

análisis y la argumentación y formulación de conjeturas.

Sesión Nº Unidad Actividades planificadas

Resolución de problemas que están vinculados con: Figuras

geométricas que sirven para ilustrar de modo muy sencillo

relaciones aritméticas muy complejas que pueden ser

demostradas por el por el método de inducción, relaciones

entre áreas y perímetro en un rectángulo.

Resolución de problemas que están vinculados con: áreas de

rectángulos y propiedades de triángulos, los cuales requieren

de pruebas matemáticas formales

3 III

4 IV

32

Tercer nivel: Son aquellos que, su enunciado solicita una prueba formal matemática,

requieren del estudiante observación, análisis y la argumentación.

5.3.1 Funcionamiento del taller.

En la primera sesión los problemas geométricos de primer nivel serán los que se aborden

en el desarrollo de la Unidad I, inicialmente se trabajara de manera intensiva a nivel oral y

se darán las instrucciones del taller. Posteriormente se realizará el primer problema de

manera conjunta entre los alumnos y el profesor/a (facilitador/a), la elaboración del primer

problema debe ser menos de treinta minutos, de manera tal que los estudiantes se vayan

familiarizando con la forma de trabajo y el tipo de actividades al momento de resolver los

problemas planteados. Posteriormente se darán a los estudiantes treinta minutos para

que resuelvan los problemas planteados, una vez culminado los treinta minutos no podrán

realizar ninguna modificación a las respuestas de los problemas que ellos resolvieron, se

reunirán para discutir las soluciones de manera grupal, el esquema de trabajo será mixto

entre los estudiantes y el profesor/a (facilitador/a). Al final de la sesión cada estudiante le

entregará al profesor/a (facilitador/a) la hoja con los problemas que resolvieron.

En la segunda y tercera sesión los problemas geométricos de segundo nivel serán los que

se aborden en el desarrollo de la Unidad II y la Unidad III respectivamente; en la cuarta

sesión los problemas de geométricos con los que se trabajarán serán los del tercer nivel

para abordar la Unidad IV. La metodología de las tres sesiones restantes será análoga a

la sesión uno; se darán a los estudiantes cincuenta minutos para que resuelvan los

problemas planteados, una vez culminado el tiempo no podrán realizar ninguna

modificación a las respuestas de los problemas que ellos resolvieron, se reunirán para

discutir las soluciones de manera grupal, el esquema de trabajo será mixto entre los

estudiante y el profesor/a (facilitador/a). Al final de la sesión cada estudiante le entregará

al profesor/a (facilitador/a) la hoja con los problemas que resolvieron

33

5.4 Personal Requerido. Recursos utilizados. Estudio de costos y financiamiento.

Tabla 2.

Recursos Humanos y Materiales necesarios para su puesta en práctica y estudio de

costos

Recursos Descripción Costo Bs.

Humano

Docentes (Facilitadores)

Estudiantes

Lic. Educ. Matemática

Educación Matemática

0

Materiales

Propuesta (1 ejemplar

por estudiante)

Marcadores

Juego de escuadra,

compás, etc.

Para el desarrollos de las

actividades

Anotaciones

Para el desarrollos de las

actividades

10

10

10

Total: 30

34

5.5 Descripción del manual.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.

FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.

EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA.

DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.

TALLER PARA INICIAR EN LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Resolución de problemas geométricos

INSTRUCCIONES

En el presente taller se tomaran en cuenta unas estrategias de resolución de problemas

las cuales están compuestas por el uso de métodos heurísticos: visualización, análisis,

formulación de argumentos y plantear conjeturas; Algunos ejemplos incluyen:

Usos de diagramas.

Tablas u otras representaciones.

Descomposición de un problema en partes más simples.

El empleo de casos particulares.

Búsquedas de patrones, todo esto sin perder el norte de la argumentación matemática

valida.

Así pues, amigo estudiante en el proceso de resolución de problemas se requiere de una

actividad mental que se pone en funcionamiento desde el momento en que se nos

presenta el enunciado y lo asumimos como un reto. Es muy importante que tengan una

disposición abierta hacia los problemas, se tomen el trabajo con tranquilidad, se

concentren en la lectura del enunciado y se dispongan a intercambiar opiniones en el

tiempo que se requiera.







35

a

2aa

b

b

a b

b

a

2bab

ab

ab

2a ab

2b

2)( ba

Unidad I

PROBLEMA 1: ¿Es posible representar geométricamente la siguiente igualdad?

222 2)( bababa

Sugerencia: Toma una hoja de papel, dibuja un cuadrado que la medida de sus lados sea ba

Estrategia de resolución.

Para hacer una interpretación geométrica de la de la siguiente igualdad tomamos un cuadrado de

lado ba

ba

ba = =

Geométricamente:

Se puede observar que el área de

un cuadrado de lado ba , es

igual al área de un cuadrado de lado a más el área conjunta de

dos rectángulos de lados a y b , más el área de un cuadrado de

lado b (ver figura 1.)

Figura 1. Interpretación geométrica de la igualdad 222 2)( bababa .







36

A

B

C

R

P

Q

Repaso: Sabemos que la suma de las medidas de ángulos internos de un triángulo es 180º

PROBLEMA 2: Construye un triángulo de vértices A, B, C ( CBA ,, ) y los ángulos externos

CBP , ACQ y BAR ¿Qué puedes decir de la suma de las medidas de dichos ángulos?

Explica por qué.


(1) ?

(2) 180 La suma de las medidas de ángulos internos de un triángulo

es 180 .

(3) 180 180 (6) Por formar un ángulo suplementario.



Sustituyendo las ecuaciones (6), (7),(8) en la ecuación (2) Tenemos:

360180180180180

La suma de los ángulos externos de

un triángulo es 360

360

Figura 2.







37

A

B

C

R

P

Q

(1) ?

(2) 180 La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 .




Sustituyendo las ecuaciones (6), (7),(8) en la ecuación (2) Tenemos:

360180180180180

Estrategia de evaluación.

Tabla 3.Apreciación cualitativa de la solución de los problemas presentados por los estudiantes

Puntos Trabajo realizado por los estudiantes

D Hoja en blanco, nada de trabajo o ideas sin relación

C Visualiza, identifica los datos sin procedimientos o con estrategias no claras

B Existe un plan claro y apropiado argumentando y analizando, sin resolver el problema

A Solución clara y completa con argumentos matemáticos validos

C Visualiza, identifica los

datos.

NOTA: La estrategia de

evaluación y la tabla 3 se

presentarán más adelante

en la propuesta de

evaluación en la resolución

de los problemas

geométricos Figura 2.

B Existe un plan claro y

apropiado argumentando

y analizando.

A Solución clara y completa

con argumentos validos y posible conjetura.

La suma de los ángulos externos de un triángulo es

360

360







38

Repaso: Triángulos con la misma base y altura tienen la misma área

PROBLEMA 3: A María Alejandra y Ana Corina, dos de las personas que están custodiando el

terreno de la avenida las Américas, el gobierno les otorgo terrenos adyacentes con un borde como

se muestra en la figura 4.

María Ana

Buscar una manera de redibujar el borde con una sola línea de tal manera que las áreas de los

terrenos no cambien.


Dibujar dos segmentos paralelos, uno que pase por los puntos A, B y otro por el punto C, D, E

como se muestra en la figura 5. Para la solución de este problema se toma como referencia el

repaso descrito anteriormente, triángulos con la misma base y altura tienen la misma área. En la

figura se observan tres triángulos ABC , ABD y ABE , tomando como base el segmento

AB , tenemos que los tres triángulos tienen la misma área, con lo cual la solución viene dada las

líneas de color amarillo y anaranjado.

María. Ana.

A

B

C

E

D

Figura 3.

Figura 4.

Figura 5.







39

Repaso: En una circunferencia se pueden inscribir polígonos regulares de n lados

PROBLEMA 4: Considera el conjunto de cuadriláteros inscritos en el semicírculo, con un lado

sobre el diámetro. Un ejemplo de tal cuadrilátero se muestra en la figura. De todos los

cuadriláteros que pueden inscribirse, ¿Cuál es el cuadrilátero que tiene mayor área?


Consideremos que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro de la semicircunferencia, ahora bien

tomemos a los polígonos regulares que pueden inscribirse en una circunferencia que tenga el mismo diámetro

que el semicírculo

Polígono regular

Cuadrilátero

Para este caso no se puede tomar

como un lado del cuadrilátero el

diámetro de la semicircunferencia

Pentágono

Para este caso no se forma un

cuadrilátero en la

semicircunferencia

Hexágono

Este es el caso que conviene

porque presenta mayor cobertura

de área

B

C

D A

Figura 6.







40

Unidad II

PROBLEMA 1: Dos cuadrados que tienen las mismas dimensiones, uno fijo y otro móvil, se

colocan según se muestra en la figura. El Cuadro móvil gira libremente teniendo como pivote al

punto M, que es el centro del cuadrado fijo. ¿En qué posición hay la máxima área entre los dos?


Para este caso el área será un cuarto

del cuadrado fijo

Para este caso el área será un cuarto del cuadrado fijo

P

N B

M

D

A

O

C

A

Los casos especiales se pueden

identificar al dibujar los cuadrados

dónde el área que se busca sea

fácil de calcular.

M

A

B C N

D

A P

O

A

B C

D

M N

O P

Figura 7.

Figura 7.1.

Figura 7.2.







41

.A

A

B.

A l

c

A

Figura 8.

.A

A

B.

A l

c

A

Figura 8.1.

.A

A

B.

A l

c

A

F

.A

A

B.

A l

c

A F

B.

A l

c

A

S

F

.A

A

Figura 8.2.

Figura 8.3. Figura 8.4.

Repaso: Dado cualquier triángulo ∆ ABC, las mediatrices correspondiente a los tres lados se

cortan en un punto al que denominaremos circuncentro.

PROBLEMA 2: Se dan dos puntos arbitrarios A y B, una línea recta l y un círculo c, como se

muestra en la figura 8. Explica cómo construir un circulo S que pase por A y B y que su cuerda

común con c sea paralela a l.


Comenzaremos por construir con regla y compás la

mediatriz de AB

Trazaremos una cuerda F que sea paralela a l

Ahora construimos la mediatriz de la cuerda F Finalmente el círculo s

Para la solución de este problema se toma como referencia el repaso descrito anteriormente, ya que la intersección de las dos mediatrices representa el centro del círculo







42

PROBLEMA 3: Construya, cuando sea posible (Justifica el por qué cuando no exista tal

construcción), el cuadrilátero que cumpla las siguientes condiciones pedidas: a) Ningún ángulo

recto y ningún par de lados paralelos; b) Ningún ángulo recto y un par de lados paralelos; c)

Ningún ángulo recto y dos pares de lados paralelos; d) Así sucesivamente.

Número de ángulos rectos

Número de pares de lados paralelos

0 1 2

0

1

2

3

4

Una tabla ayuda a presentar la solución







43


Número de

ángulos rectos

Número de pares de lados paralelos

0 1 2

0

1

Imposible Imposible.

El argumento de los

ángulos interiores es

también apropiado

2

Imposible.

Ángulos interiores

3

Imposible. Imposible. Imposible.

Para estos tres casos supongamos que un cuadrilátero tiene tres ángulos

rectos 270390 , ahora bien por su parte la suma de los ángulos internos

de un cuadrilátero es 360 , con lo cual 90270360 , así el ángulo que

falta debe ser un ángulo recto.

4

Imposible. Imposible.

Por tener cuatro ángulos rectos cualquiera de los

lados siempre tendrá dos lados perpendiculares y por

ende los lados opuestos son paralelos

Ángulos Interiores

180ba Así, b y a

Son ángulos rectos

a b







44

A

B

C

. b c

P

a

a2

h1

aAPBárea

2

h2

aBPCárea

6

H

22

H

aPaAPCárea

aABCárea

Figura 9.

A

B

C

b c. P

Ph

h1

h2

Figura 9.1.

2

P

aAPCárea

36

H

2

HP

aPa

a

H

PROBLEMA 4: En el triángulo ∆ ABC de la figura, determinar el punto P de manera que las áreas

de los tres triángulos con vértice en p tengan áreas iguales.


El área de cada uno de los tres triángulos que se forman en la figura 9.

tendrá como valor 1/3 del área del ABC . Así, el triángulo

El punto p está a 1/3 de las bases sobre las alturas

Con lo cuál







45

Unidad III

PROBLEMA 1: Considere los siguientes cuadrados:

La primera figura muestra un cuadrado. Encuentre el número de cuadrados en cada una de las

otras figuras y registre los datos. Elabore una tabla de registro con el número de cuadrados. La

tabla debe mostrar la relación entre el número de unidades en el lado del cuadrado y el número de

cuadrados que hay. Denote por n el número de unidades en el lado del cuadrado. Después de

llenar la tabla ¿Existe alguna regla definida?, ¿Se puede predecir el número de cuadrados que hay

cuando n = 4, cuando n = 5, o cuando n es cualquier número natural? De ser posible conjeture

alguna fórmula que permita contar el número de cuadrados si se conoce el número de unidades en

el lado.

Figuras 10.







46


Tabla 1. Registro de los números de cuadrados

Para 4n tenemos 304321 22224

1

2 i

i

Para 5n tenemos 5554321 222225

1

2 i

i

En general, se puede demostrar por inducción matemática que para cualquier cuadrado nn el

número de cuadrados es:

6

)12)(1(

1

2

nnni

n

i

(n) Número de cuadrados

1 1

2 5

3 14

4 30

. .

. .

n

n

i

i1

2

La regla definida viene dada por elevar al cuadrado la unidad y elevar al cuadrado cada uno de los valores siguientes a la unidad

n

i

i1

2







47

2

42

2

4)2(2

2

2

yy

y

y

yx

2

2

y

yx

Figura 11.

x

y

PROBLEMA 2: Los lados de un rectángulo vienen dados por números enteros ¿Cuál será la

longitud de dichos lados para que el perímetro y el área de esta figura sean iguales?


Sean yx, los números enteros

Como yx, representan los lados del rectángulo entonces tenemos que el perímetro viene dado

por yx 22 ; y el área yx con lo cual yxyx 22 de donde

Como yx, deben ser números positivos, también lo debe ser el número 2y , es decir 2y ,

Ahora bien por otro lado

Como x tiene que ser un número entero, 2

4

ytambién lo será, entonces 642 yy como

2y , entonces 62 y sólo se satisfacen las condiciones del problema si y es igual a 3,4 ó 6

y el valor correspondiente de x será 6,4 ó 3 respectivamente. Finalmente la figura buscada será

un rectángulo cuyos lados tendrán por longitud a 3 y 6, o un cuadrado de lado 4.







48

Figura 12.

Figura 12.1.

PROBLEMA 3: En el rectángulo de la figura se selecciona un punto P arbitrario sobre la diagonal.

Traza perpendiculares a los lados del rectángulo que pasen por P. Estas perpendiculares cortan: al

lado AC en el punto G, al lado AB en el punto E, al lado BD en el punto F, al lado CD en el punto H.

¿Qué se puede decir del área del rectángulo AEPG con respecto al área del rectángulo DFPH?


En la representación gráfica en la Figura 13 se puede

observar que la diagonal del rectángulo lo divide en dos

regiones con áreas iguales. De donde se observa y se

puede probar que el GPC es congruente al HPC

y que el EBP es congruente al FBP . Por ende el

área del rectángulo AEPG es igual a la del rectángulo

DFPH .

. P

A

D C

B

. P

A

D C

B

G

E

F

H







49

G

P

Figura 13.

G

P

x

yH

I

zJ

vFigura 13.1.

PROBLEMA 4: Describir un método para medir aproximadamente, con una cinta métrica y un

transportador, la distancia GP a través de una corriente de agua. Probar la validez del método


Una técnica que se puede emplear para medir la anchura de un río sin la necesidad de

cruzarlo, teniendo como instrumento una cinta métrica y un transportador, es la que se

muestra en la figura

En primer lugar demostraremos que

y el son semejantes; y haciendo uso de

dicha semejanza deduciremos la formula para

calcular la anchura del río.

Los y son congruentes por ser ángulos opuestos por el vértice

Los y son congruentes porque ambos son ángulo rectos, como la suma de los

ángulos internos de un triángulo es el y son congruentes. Por tanto el

y el son semejantes por el criterio (A.A.A.)

La formula para el cálculo de la anchura del río viene dada por:

Donde: son medidas que se pueden conocer con la cinta métrica.

PGH

IJH

180

PGH IJH

zyv ,,

z

vyx

z

y

y

x .







50

c

2)( ba ba

c

ba 2)2

(4 cba

babacbacbabbaacba

ba

2222)2

(4)( 22222222

222 bac

222 bac

Figura 14.

ABC

Figura 15.

Unidad IV

PROBLEMA 1:

Mediante la figura que se muestra a continuación, pruebe que en un triángulo rectángulo cuyos

lados miden (catetos) y c (hipotenusa) se cumple que:


Para realizar esta prueba tomaremos en cuenta la visualización

¿Por qué la figura de lado C es un cuadrado?

Prueba: Se observa que el área del cuadrado (1) ya que cada lado mide , por otro lado

tenemos que es un triángulo rectángulo, con lo cual el área del triángulo es 2

.ab

en la figura se observan cuatro triángulos y un cuadrado de lado , así el área del cuadrado de

lado se puede expresar (2)

Igualando (1) y (2) tenemos que:

Y finalmente simplificando tenemos que:

a

b

ba,

a

b

b

a

aa

b

b

c c

c c

A

BC

A

CB







51

PROBLEMA 2:

A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como se muestra en la figura

adjunta. Probar que el área del cuadrado mayor es dos veces el área del cuadrado menor.


Prueba: Sea la medida del lado de cuadrado menor, entonces el área

del cuadrado menor es:21 aÁrea

Por su parte la diagonal del cuadrado menor es igual al lado del

cuadrado mayor, como el triángulo es un triangulo rectángulo

tenemos que:

222

'' aaCA (Por teorema de Pitágoras)

22'' aCA (Es la medida del lado del cuadrado mayor)

Entonces el área del cuadrado mayor es: 222 2222 aaaÁrea

21 aÁrea

222 aÁrea

A

B C

D'A

'B 'C

'D

A

B C

D

'A

'B

'C

'D

a

a a

a

a

''' CBA

Donde: Área 1 es el área del cuadrado menor y

el área 2 es el área del cuadrado mayor, con lo

cual es el doble de la del cuadrado menor.

Figura 16.

Figura 16.1.







52

ABC

CMB

PROBLEMA 3:

Define la expresión simbólica del siguiente enunciado: El cuadrado del lado opuesto a un ángulo

agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos

el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. (Pruébalo)


Prueba: En el triángulo designamos por la proyección del lado c sobre b. Como el

triángulo es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras tenemos:

Análogamente, (2), por otro lado

Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos:

Con lo cual:

ach

b

A

b

A m

hc a

n

M

Figura 17.1.

B

C

m222 nha

222222 mchmhc bmmbmbn 2)( 2222

)1(

)3(

bmmbmca 222222

bmcba 2222

La expresión simbólica viene dada por:

bmcba 2222

B

C

Figura 17.







53

m

a

b

c

AC n

B

m

a

b

c

AC

n

d

D

CBD

B

CBA

ABD

Figura 18.

PROBLEMA 4:

En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso tiene por expresión

bmbca 2222 , realiza una prueba del mismo.


Prueba: En el triángulo tomaremos a como la proyección del lado sobre b. Como el

triángulo es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras tenemos:

Análogamente para el triángulo tenemos (2), por otro

lado tenemos que . Sustituyendo (3)

en (2)) tenemos: (4); sustituyendo (4) en (1) tenemos:

bmbcabbmmcma 22 22222222

m222 dma

222222 ncddnc 2222 2)()( bmbmbmnbmn

)1(

)3(2222 2 bmbmcd

a

Figura 18.

54







Propuesta de evaluación en la resolución de los problemas geométricos

La evaluación del trabajo realizado por los estudiantes, necesariamente debe considerar:

formas de analizar las diversas fases que llevaron a cabo al resolver los problemas

geométricos, a tal fin se pretende presentar un instrumento que permite la evaluación de

las estrategias o fases que los estudiantes realizaron. Tomando como referencia la

metodología descrita anteriormente, los estudiantes inicialmente tendrán un tiempo

estipulado para resolver los problemas, una vez terminado el tiempo todo el grupo

realizará una discusión acerca de las soluciones obtenidas y mientras se lleva a cabo esa

discusión el profesor/a (facilitador/a) realizará una evaluación cualitativa de los

argumentos individuales que produzcan los estudiantes (ver instrumento 2). Para ello se

tomaran tres indicadores: Deficiente, se refiere a los argumentos matemáticos que no

son adecuados para la solución del problema; Regular, se refiere a los argumentos

matemáticos que serán designados adecuados para la solución del problema pero que

pueden ser parcialmente reformados; Bueno, se refiere a los argumentos matemáticos

que se consideran los más óptimos para la solución de dicho problema.

Por otro lado el estudiante al finalizar la sesión entregara al profesor/a (facilitador/a) la

hoja con los problemas que resolvió en el tiempo estipulado, de igual manera se realizará

una evaluación cualitativa del trabajo hecho por los estudiantes, es importante destacar

que en el proceso de resolución de problemas, en términos generales los estudiantes

muestran una diversidad de estrategias: pueden usar diagramas, tablas o gráficas para

representar la información, pueden descomponer problemas en otros más simples, tomar

casos particulares, todo estos pasos le permiten transitar por el proceso de observación,

análisis, argumentación, formulación de conjeturas. Así pues en la evaluación de los

55

trabajos hechos por los estudiantes es importante analizar el significado de las soluciones,

verificar que las operaciones matemáticas sean las correctas, sin embargo es también

importante tomar en cuenta la evaluación del proceso, que proporciona una información

relacionada con las diversas actividades que el estudiante desarrolla al momento de

resolver un problema, a continuación presenta el instrumento de evaluación

Tabla 3.

Apreciación cualitativa de la solución de los problemas presentados por los estudiantes

Puntos Trabajo realizado por los estudiantes

D Hoja en blanco, nada de trabajo o ideas sin relación

C Visualiza, identifica los datos sin procedimientos o con estrategias no claras

B Existe un plan claro y apropiado argumentando y analizando, sin resolver el problema

A Solución clara y completa con argumentos matemáticos validos







Instrumento I

Tabla 4.

Tabla para evaluar la solución de los problemas geométricos realizado por los estudiante

Nombres y apellidos

Trabajo realizado por los estudiantes

Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4

D C B A D C B A D C B A D C B A

1 Fernández Sergio

2 Medina Luís

3

4

5

56







Instrumento II

Profesor(a): _________________________ __________________ Unidad a desarrollar: 1

Actividades: Resolución de problemas que están vinculados con: concepto de área,

representación geométrica de productos notables, ángulos externos de un triángulo.

Tabla 5.

Apreciación cualitativa de los argumentos presentados por los estudiantes

Nombres y apellidos

Argumentos presentados por los estudiantes

Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4

D R B D R B D R B D R B

1 Fernández Sergio

2 Medina Luís

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

57

CAPÍTULO 6

Discusión de resultados.

6.1 Factibilidad del modelo propuesto.

Con el propósito de validar el “Manual de un taller para iniciar en la demostración

matemática a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención

Matemática de la Universidad de Los Andes a través de la resolución de problemas

geométricos” mediante el juicio de expertos, se entregó un instrumento de recolección de

datos con una validez de contenido de 83% (ver anexo) a un grupo de cinco (5) docentes

universitarios especialistas en Educación Matemática, los cuales evaluaron el manual de

acuerdo con seis criterios de evaluación y dieron su apreciación cualitativa respondiendo

cinco ítems (ver anexo)

Tabla 6.

Resultados de la validación del manual.

Los resultados que se presentan en la tabla 6 nos permiten ver que el 100% de los

docentes calificaron como buena la presentación del manual. Este criterio de evaluación

consistió en juzgar el diseño y estructura del manual, esto permite indicar que a juicio de

los cinco docentes el diseño del manual está bien elaborado y estructurado. Por su parte

el 100% de los docentes calificaron como bueno el criterio pertinencia del manual que

consistió en confirmar si el manual permite iniciar a estudiantes en el contenido

Categorías

Criterios de evaluación

Bueno

Regular

Deficiente

Presentación del manual 100%

Pertinencia del manual 100%

Concordancia del manual 93.75% 6.25%

Factibilidad de la aplicación 98.43% 1.57%

Claridad conceptual en el enunciado de los

problemas

84.38% 15.62%

Secuencia en la evaluación 100%

58

demostración matemática, para desarrollar un taller que se pueda impartirse en el primer

semestre de Educación Mención Matemática, lo cual nos permite afirmar que a juicio de

los expertos se cumple con el objetivo general del manual.

Al consultar a los docentes acerca de la concordancia del manual que consistió en

evaluar si la metodología descrita en el manual es suficientemente clara y precisa para el

desarrollo del taller, el 93.75% de los docentes la calificaron como buena, mientras que el

6.25% calificaron el criterio como regular. Esto nos permite decir que a juicio de la

mayoría de los docentes las instrucciones descritas en el manual son precisas y claras

para su posterior aplicación en el taller. De igual forma al consultar a los docentes acerca

del criterio factibilidad de la aplicación, que consistió en la posibilidad de que el manual

del taller pueda ser empleado en el salón de clase para la enseñanza de la demostración

matemática, el 98.43% de los docentes lo calificaron como bueno, mientras que el 1.57%

calificaron el criterio de evaluación como regular, con lo cual los docentes en su mayoría

consideran que el manual puede ser utilizado como una estrategia didáctica en el salón

de clase.

Por su parte el 84.38% de los docentes calificaron como bueno el criterio de evaluación

claridad conceptual en el enunciado de los problemas que consistió en que los

problemas planteados debían presentarse de manera clara y no dar lugar a confusiones

de carácter conceptual matemático en las situaciones planteadas en el manual, mientras

que el 15.62% de los docentes calificaron el criterio como regular. Podemos decir

entonces que la mayoría de los docentes consideran que los problemas que fueron

plasmados en el manual son pertinentes para el desarrollo del mismo y no dan lugar a

confusiones de carácter conceptual matemático. Por otro lado el 100% de los docentes

calificaron como bueno el criterio de evaluación secuencia en la evaluación que

consistió que la propuesta de evaluación del taller descrita en el manual, fuese pertinente

para la evaluación del mismo. Esto permite afirmar que la propuesta de evaluación del

taller es apropiada.

Según los resultados descritos anteriormente el 96.09% de los docentes calificaron los

criterios de evaluación como buenos, es importante destacar que ningún docente califico

como deficiente ningún criterio de evaluación. En función de los resultados se puede

afirmar que la factibilidad del modelo propuesto es valido.

59

En cuanto a las apreciaciones cualitativas expresadas por los docentes en relación con la

pregunta: ¿Considera factible la aplicación del manual? ¿Por qué?, los docentes en

su totalidad creen en que si es viable aplicar el manual argumentando: “Sin duda nuestro

medio educativo, huérfano de ideas pedagógicas y principalmente aplicaciones,

experimentos, invenciones, creación. Desarrollar la inteligencia es nuestro principal

objetivo, y en matemáticas facilitar al estudiante metodologías encaminadas a incentivar

la actitud por la solución de problemas, razón de ser del estudiante de matemática”, “Me

parece factible la aplicación de las primeras unidades, sin embargo pienso que el interés

de los estudiantes se perderá luego de las primeras sesiones y luego que el grado de

dificultad sea mayor”, “ Si lo considero factible porque a través de él los estudiantes

tendrán una guía u orientación para realizar una demostración matemática, sin llegar a ser

una receta”, “ Sí, porque se ajusta a los requerimientos mínimos necesarios para avanzar

en la carrera, en las materias que verá en el segundo semestre en adelante: geometría I,

fundamentos del álgebra, entre otras”, “Sí porque el manual está diseñado precisamente

respetando los contenidos que deben dominar los alumnos del primer semestre de la

carrera y porque tales alumnos se encuentran en una etapa de operaciones formales”.

De igual manera al preguntar a los docentes: ¿Considera que con la aplicación del

manual se puede iniciar a los estudiantes en la demostración matemática? ¿Por

qué? Todos los docentes respondieron afirmativamente argumentando: “Si para tal fin

proporcionar verdadera experiencia matemática y a través de la solución de problemas

que involucren conceptos geométricos y la consiguiente lógica a través de construcciones,

deducciones, demostraciones, avances y retrocesos por parte del alumno, con problemas

aplicados a la realidad”, “Es una buena manera de iniciarse en la demostración

matemática puesto que surge de manera natural con la resolución de problemas”, “Sí

generalmente a los estudiantes del primer semestre se les hace difícil hacer una

demostración matemática, por lo que con el manual se estaría contribuyendo a sentar las

bases del procediminto a seguir para demostrar, pero de manera lógica y no mecánica”,

“Sí, me parece una buena iniciativa considerando que en el primer semestre solo se

trabaja con matemática básica y los estudiantes sienten un fuerte cambio al enfrentarse

después en el segundo semestre con geometría I”, “ Sí, aún cuando en la práctica pueden

surgir cambios en el mismo que ayuden al objetivo buscado”.

60

A su vez al preguntar a los docentes: ¿Considera que el manual incide positivamente

en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la demostración matemática? Cuatro

docentes respondieron que sí argumentando: “incide positivamente puesto que crea

curiosidad en el estudiante interesado”, “Si porque aprender a demostrar es un proceso

lento que requiere de práctica y el manual aporta nociones básicas”, “Si porque hace

énfasis en la argumentación”, “Al parecer tal como está estructurado si, sin embargo tal

incidencia positiva debe ser el resultado de aplicar a futuro el manual, lo cual requiere de

una nueva investigación”, mientras que un docente expresó no saber si el manual incidía

positivamente argumentando “Debería elaborar una propuesta del manual evaluada

continuamente, al menos en el semestre para enfocar alguna luz sobre su incidencia”. Es

importante destacar que se le aclaró al docente que en esta investigación no se aplicaría

el manual, con lo cual el docente argumentó “Debería incidir positivamente especialmente

si el estudiante participa de manera activa”

En relación con la pregunta: ¿Considera necesario agregar algunos aspectos al

manual? En caso de responder afirmativamente ¿Cuáles? Los cinco docentes

consideraron que no argumentando: “Que con lo que hay es suficiente”, “No,

necesariamente sino un banco de problemas complementarios”, “El manual debería

orientar y estimular la construcción de un banco de problemas para el taller y además

orientar en estrategia de solución y métodos para resolver y plantear problemas”, “ En

este caso considero pertinente hacer las correcciones producto de las observaciones de

los otros expertos. Por su parte al preguntar: ¿Considera necesario eliminar algunos

aspectos del manual? En caso de responder afirmativamente ¿Cuáles? todos los

docentes consideraron que no sin argumentaciones

En síntesis, estos argumentos muestran que el manual está bien elaborado para ser

aplicado a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática

de la Universidad de Los Andes, con lo que se abre la puerta a la iniciación de la


6.2 Control y evaluación de procesos

El control y la evaluación del desarrollo del taller estarán a cargo de los docentes

especialistas en matemáticas de la Facultad de Humanidades de la Universidad de Los

61

Andes, que dicten la asignatura matemática básica del primer semestre a estudiantes de

Educación mención matemática.

6.3 Conclusiones

Inicialmente se diseño y aplico una prueba diagnostica a estudiantes que cursan el

segundo semestre de educación mención matemática. La finalidad principal de la prueba

diagnóstica fue determinar los conocimientos que tienen los estudiantes en torno al

aprendizaje de la demostración Matemática. Se pudo notar que el 97.5 % los estudiantes

poseen deficiencias para resolver problemas predemostrativos y realizar demostraciones,

con los datos recabados, esto podría traer como consecuencia que el estudiante de

Educación Mención Matemática no domine los diferentes contenidos de las asignaturas

que conforman la carrera en las cuales tendrá que realizar demostraciones de teoremas o

proposiciones. En función de abordar la problemática antes expuesta se diseño el manual

de un taller para iniciar a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación

Mención Matemática de la ULA en la demostración matemática a través de la resolución

de problemas geométricos.

El diseño del manual, comenzó con la selección de 16 problemas geométricos que

permitieran al estudiante visualizar, analizar, formular argumentos y plantear conjeturas,

la selección se realizo a través de una matriz de registro, con lo cual se pudo alcanzar uno

de los objetivos planteados en la presente investigación (seleccionar los problemas).

Ahora bien, una vez obtenidos los problemas se procedió al diseño del manual el cual

está conformado por cuatro sesiones en el cual se desarrollan cuatro actividades todas

estas en función de los problemas seleccionados anteriormente. De esta manera, a partir

de la estrategia didáctica resolución de problemas geométricos, se pretende favorecer el

aprendizaje significativo del contenido demostración matemática. Así pues se pudo

alcanzar otro de los objetivos de la investigación (diseñar el manual).

Dado que el 96.09% de los docentes evaluadores calificaron con la máxima categoría

(Bueno) las actividades diseñadas en el manual en función de los siguientes criterios de

evaluación: Presentación del manual; Pertinencia del manual; Concordancia del manual;

Factibilidad de la aplicación; Claridad conceptual en el enunciado de los problemas y

62

Secuencia en la evaluación; se puede concluir que en opinión de los jueces, el manual

está bien elaborado y puede ser aplicado a estudiantes que cursan el primer semestre de

educación matemática, y por ende cumplir con otro de los objetivos planteados en ésta

investigación (validar el manual bajo el juicio de expertos).

Es importante resaltar que esta manera de abordar la enseñanza de la demostración

matemática a través del diseño de un manual para la aplicación de un taller con la

finalidad iniciar en la demostración matemática a estudiantes que cursan el primer

semestre de Educación Mención Matemática de la Universidad de los Andes a través de

la resolución de problemas geométricos, puede favorecer el desarrollo de una serie de

capacidades no exclusivamente matemáticas. El proceso es lento y los resultados se irán

viendo de manera progresiva una vez sea aplicado el taller. Lo importante es que el

docente y el estudiante puedan adquirir recursos o estrategias que le ayuden a sentar

bases para que en el futuro pueda afrontar con éxito las demostraciones matemáticas.

6.4 Limitaciones y recomendaciones finales

6.4.1 Limitaciones.

Una de las limitaciones de la investigación, radica en que el control y evaluación

de procesos no será llevado a cabo por los investigadores.

Disponibilidad por parte de los docentes o investigadores para aplicar el manual

debido al tiempo necesario para su puesta en práctica.

Los estudiantes pueden presentar fallas de conceptos previos que inciden

directamente en el desarrollo del taller. Sin embargo, a la hora de aplicar el manual

se puede hacer antes un examen diagnóstico que indique los conceptos a nivelar.

63

6.4.2 Recomendaciones finales

Dado que el manual está validado por especialistas en matemáticas, se

recomienda realizar una investigación evaluativa en la cual se haga entrega a

docentes que dicten la signatura matemática básica para que la apliquen y así, ver

el efecto causado en diferentes grupos de estudio.

Antes de aplicar el manual se recomienda al docente o facilitador que realice una

prueba diagnostico que aborde los contenidos matemáticos presentes en el

manual al grupo de estudiante que le va a aplicar el taller, con la finalidad de

determinar el nivel de conocimiento de los estudiantes y determinar si

representaran un obstáculo para el estudiante y el desarrollo del taller.

Una ves realizado el taller el docente o facilitador puede incluir actividades que

considere pertinentes para la aplicación del manual como por ejemplo: problemas

de tipo geométrico, tiempo discusión de los resultados, mas sesiones para la

aplicación del manual, etc.

64

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Arrieta, J. y Bravo, M. (2002). Algunas reflexiones sobre las funciones de las

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NAVARRA. Departamento de Educación.

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66

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Santos, L. (2007). La resolución de problemas matemáticos fundamentos cognitivos.

México: Editorial Trillas, S. A. de C. V.

68


FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN

ESCUELA DE EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA


Mérida, 17 de Octubre de 2008

Ciudadano:

Lic.

Profesor de matemática

A través de la presente reciba un cordial saludo, nos dirigimos a usted para solicitar su

colaboración en la validación de una prueba de desarrollo, la misma será aplicada a

estudiantes que cursan la asignatura Geometría I del segundo semestre de Educación

mención Matemática en la Facultad de Humanidades y Educación de la Universidad de

Los Andes.

Esta prueba se diseño, con la finalidad de determinar los conocimientos que tienen los

estudiantes entorno al aprendizaje de la demostración a través de comparación,

equivalencia de áreas y propiedades de triángulos. Por tal motivo y en vista de su

experiencia como profesor en el área de matemática, le agradecemos la ayuda para la

validación que le estamos solicitando.

Esperamos que usted revise y emita un juicio de apreciación cualitativa para la prueba de

desarrollo. Usted deberá seleccionar una de las tres categorías:

Deficiente en el caso de ser rechazado el ítem, argumentando las razones de por

qué le parece deficiente.

Regular en el caso de Hacer falta una modificación del ítem, en este caso puede

dar una sugerencia para mejorar el mismo.

69

Bueno en el caso de aprobar el ítem, argumentando las razones del por qué le

parece bueno.

La selección debe hacerse tomando en cuenta los siguientes criterios: Presentación del

instrumento, pertinencia de los ítems, claridad en la redacción y contenido matemático

adecuado.

Sin nada más a que referirnos, nos despedimos, esperando su pronta respuesta.

Atentamente.

_______________ _______________

Fernández V Sergio. Medina R Luís

CI: 16.655.958 CI: 14.267.190

70





APRECIACIÓN CUALITATIVA DE LA PRUEBA DE DESARROLLO

Nombre y Apellido: _______________________________________________________

Fecha: ______________ Firma: _________________

Luego de hacer las observaciones pertinentes, puedo formular las siguientes

apreciaciones:

Ítem

Criterios

Categorías

Deficiente Regular Bueno

Presentación del instrumento

1

Pertinencia del ítem

Claridad en la redacción

Contenido matemático adecuado en función del

objetivo

2




objetivo

3




objetivo

4




objetivo

71

Observaciones:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ítem1:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ítem2:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ítem3:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ítem4:__________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

72


FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN

ESCUELA DE EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA


Mérida, 6 de Febrero de 2009

Ciudadano:

Lic.

Profesor de matemática

A través de la presente reciba un cordial saludo, nos dirigimos a usted para solicitar su

colaboración en la validación de un instrumento de recolección de datos, la técnica a

utilizar es la encuesta y para ello se realizó un cuestionario, el cuál será aplicado a

profesores de la Facultad de Humanidades y Educación en la Universidad de Los Andes.

Este instrumento de recolección de datos tiene por finalidad, determinar algunos aspectos

generales de la enseñanza de la demostración Matemática. Por tal motivo y en vista de su

experiencia como profesor en el área de matemática, le agradecemos la ayuda para la

validación que le estamos solicitando.

Esperamos que usted revise y emita un juicio de apreciación cualitativa seleccionando

una de las tres categorías:

Deficiente en el caso de ser rechazado el ítem.

Regular en el caso de Hacer falta una modificación del ítem.

Bueno en el caso de aprobar el ítem.

73

La selección debe hacerse tomando en cuenta los siguientes criterios:

Presentación del instrumento.

Pertinencia de los ítems en función de los objetivos.

claridad en la redacción de los ítems.

Sin nada más a que referirnos, nos despedimos, esperando su pronta respuesta.

Atentamente.

_______________ _______________

Fernández V Sergio. Medina R Luís

CI: 16.655.958 CI: 14.267.190

74





APRECIACIÓN CUALITATIVA DE LA PRUEBA DE DESARROLLO

Nombre y Apellido: _______________________________________________________

Fecha: ______________ Firma: _________________

Luego de hacer las observaciones pertinentes, puedo formular las siguientes

apreciaciones:

Ítem Categorías

Observaciones Deficiente Regular Bueno

1

2

3

4

5

6

7

8

75

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.

EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA. DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.

CUESTIONARIO

Se pretende realizar una investigación que de a conocer algunos aspectos generales de la enseñanza de la demostración Matemática, y para ello es necesario recabar información que sirva de ayuda para la génesis del planteamiento de un problema de investigación. A tal fin marque con una x la opción que mejor le parezca.

1. ¿Qué inconvenientes crees que tiene el estudiante, al momento de usted enseñar la demostración matemática?

a) Falta de interés:____ b) No domina los contenidos:___ c) No ha visto el tema antes:___ d) Otro:___________________________________________________________

___________________________(especifique)

2. ¿En qué etapa de la elaboración de una demostración matemática, considera usted que el estudiante tiene mayor dificultad al momento de realizar una demostración?

a) Observación:____ b) Análisis:___ c) Argumentación:___ d) Formulación de conjetura:___

3. ¿Considera usted qué se debe enseñar la demostración matemática en la

carrera Educación Mención Matemática? Si: ___ No: ___

¿Por qué? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

76

4. ¿Se debe iniciar a los estudiantes en la demostración matemática? Si: ___ No: ___

¿Por qué? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Cree que la demostración, sirve como estrategia didáctica para la enseñanza de contenidos matemáticos?

Si: ___ No: ___ ¿Por qué?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿En que contenidos matemáticos, se adapta mejor la enseñanza de la

demostración matemática? a) Algebraicos: ___ b) Aritméticos: ___ c) Geométricos:___ ¿Por qué?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ¿Qué estrategias didácticas desarrolla usted para la enseñanza de la demostración?

a) Resolución de problemas: ___ b) Juegos didácticos: ___ c) Actividades de grupo: ___ d) Otro:__________________________________(Especifique)

8. ¿Qué tipo de problemas considera, que se de tomar en cuenta para empezar el tema de demostraciones matemática?

a) Problemas geométricos:____ b) Problemas de la vida cotidiana:___ c) Ejercicios:___ d) Otro:__________________________________(Especifique)

77

DIAGRAMA PARA ILUSTRAR LO QUE SE PRETENDE REALIZAR EN LA PRESENTE

INVESTIGACIÓN.

OBSERVACIÓN

¿Cómo haría usted para

demostrar la conjetura

producida?

¿Qué es una demostración?

¿Conoce los métodos de

demostración?

FORMULAR

CONJETURAS

ARGUMENTA-

CIÓN

ANÁLISIS

CREAR:

EL MANUAL UN

TALLER

SUSTENTADO EN LA

TÉCNICA DE

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

GEOMÉTRICOS

Vmr

iiC

PrPr

n

j

i i

i

3

1Pr

PeCPRiCPRic

N

CPRicitC

Pr peitCCPRitc Pr

3

1i

iJn

nPe

1

Para el manejo cuantitativo de los resultados asignados por los jueces, se tomaran en cuenta la siguiente escala de valores

Categoría seleccionada Puntaje

Estoy completamente en desacuerdo 1

Estoy ligeramente de acuerdo 2

Estoy completamente de acuerdo 3

Tabla 1. Estimación del coeficiente de Proporción de Rango (CPR) del Instrumento que permitió establecer la validez del

instrumento utilizado para la validación de la propuesta

El coeficiente de proporción de rangos obtenido ( CPRitc 0.835525925) de acuerdo con Hernández y otros, (2006); es adecuado

para la aplicación del instrumento para validar la propuesta.

N

Ítem

Jueces (J)

J1

J2

J3

1 2 3 3 8 2.66 0.886 0.848962963 0.872562963 0.835525925

2 2 3 3 8 2.66 0.886 0.848962963 0.872562963 0.835525925

3 2 3 2 7 2.33 0.776 0.738962963 0.872562963 0.835525925 0.0370370

4 3 3 3 9 3 1 0.962962963 0.872562963 0.835525925

5 3 3 3 9 3 1 0.962962963 0.872562963 0.835525925

1

Donde:

n Número de Jueces.

Vmr Valor máximo de la escala de resultados.

n

J

ii

3

1Pr Promedio de resultados de los Ítems.

3

1i

ij Adición de los resultados asignados por los Jueces a cada ítem.

Vmr

PirCPRi Relación proporcional del Pri, referido al valor máximo de la escala de rango (Vmr) empleada por los expertos.

n

nPe

1Probabilidad de error o probabilidad de concordancia aleatoria entre los jueces.

CPRic Coeficiente de proporción de rangos de cada ítem corregido por concordancia aleatoria.

itC Pr Promedio de los coeficientes de proporción de rangos de cada ítem, corregido por concordancia aleatoria.

CPRitc Coeficiente de proporción de rangos del total corregido por concordancia aleatoria.

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