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Manual de Investigacinde Operaciones

Lima - Per

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Unidad I

Origen de la Programacin Lineal

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibnitz,Bernouilliy, sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollodel clculo infinitesimal, se ocuparon de obtener mximos y mnimoscondicionados de determinadas funciones.

Posteriormente el matemtico frnces ean !aptiste"oseph Fourier #$%&'"$'()* fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los m+todos de loque actualmente llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellosse deri-a.

i exceptuamos al matemtico Gaspar Monge#$%/&"$'$'*, quien en $%%& se

interes por problemas de este g+nero, debemos remontarnos al a0o $1(1para encontrar nue-os estudios relacionados con los m+todos de la actual programacin lineal. Eneste a0o, el matemtico ruso 2eonodas Vitalye-ich Kantaroitc!publica una extensa monografatitulada Mtodos matemticos de organizacin y planificacin de la produccin en la que porprimera -e3 se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teora matemticaprecisa y bien definida llamada, hoy en da, programacin lineal .

En $1/$"$1/4 se formula por primera -e3 el problema de transporte, estudiadoindependientemente por Koopmans " Kantaroitc!, ra3n por la cual se suele conocer con elnombre deproblema de Koopmans-Kantarovitch.

5res a0os ms tarde, G# $tigler plantea otro problema particular conocido con el nombre der+gimen alimenticio optimal.

En estos a0os posteriores a la egunda 6uerra 7undial, en Estados 8nidos se asumi que laefica3 coordinacin de todas las energas y recursos de la nacin era un problema de talcomple9idad, que su resolucin y simplificacin pasaba necesariamente por los modelos deoptimi3acin que resuel-e la programacin lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las t+cnicas de computacin y losordenadores, instrumentos que haran posible la resolucin y simplificacin de los problemas quese estaban gestando.

En $1/%, G#B# %antzigformula, en t+rminos matemticos muy precisos, el enunciado estndar alque cabe reducir todo problema de programacin lineal. :ant3ig, 9unto con una serie dein-estigadores del United States epartament of !ir "orce, formaran el grupo que dio en

denominarse S#$$% &Scientific #omputation of $ptimum %rograms'.

8na de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo ;

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de Cdministracin Industrial, dependiente del ;arnegie Institute of 5echnology , con ;harnes y;ooper.

?especto al m+todo del simplex, que estudiaremos despu+s, se0alaremos que su estudio comen3en el a0o $1>$ y fue desarrollado por :ant3ig en el United States (ureau of Standards S)!##$M%U*)+, ayudndose de -arios modelos de ordenador de la firma I!7.

2os fundamentos matemticos de la programacin lineal se deben al matemtico norteamericanode origen hDngaro &anos on Neuman #$1)("$1>%*, quie en $14' public su famoso traba9o*eor,a de uegos. En $1/% con9etura la equi-alencia de los problemas de programacin lineal y lateora de matrices desarrollada en sus traba9os. 2a influencia de este respetado matemtico,discpulo de :a-id =ilbert en 6otinga y, desde $1(), catedrtico de la Universidad de %rincentonde )stados Unidos, hace que otros in-estigadores se interesaran paulatinamente por el desarrolloriguroso de esta disciplina.

En $'>' se aplicaron los m+todos de la programacin lineal a un problema concreto el clculo delplan ptimo de transporte de arena de construccin a las obras de edificacin de la ciudad deMosc. En este problema haba $) puntos de partida y 4() de llegada. El plan ptimo detransporte, calculado con el ordenador Strenaen $) das del mes de 9unio, reba9 un $$F los

gastos respecto a los costes pre-istos.

e ha estimado, de una manera general, que si un pas subdesarrollado utili3ase los m+todos de laprogramacin lineal, su producto interior bruto #PI!* aumentara entre un $) y un $>F en tan sloun a0o.

La programacin lineal !ace !istoria' (l puente a)reo de Berl*n

En $1/& comien3a el largo perodo de la guerra fra entre la antigua 8nin o-i+tica #8?* y laspotencias aliadas #principalmente , Inglaterra y Estados 8nidos*. 8no de los episodios msllamati-os de esa guerra fra se produ9o a mediados de $1/', cuando la 8? bloque lascomunicaciones terrestres desde las 3onas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de!erln, iniciando el bloqueo de !erln. C los aliados se les plantearon dos posiblidades o romper elbloqueo terrestre por la fuer3a, o llegar a !erln por el aire. e adopt la decisin de programar unademostracin t+cnica del poder a+reo norteamericanoG a tal efecto, se organi3 un gigantescopuente a+reo para abastecer la ciudad en diciembre de $1/' se estaban transportando />))toneladas diariasG en mar3o de $1/1, se lleg a las '))) toneladas, tanto como se transportaba porcarretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificacin de los suministrosse utili3 la programacin lineal. #El $4 de mayo de $1/1, los so-i+ticos le-antaron el bloqueo*

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+# Formulacin de un M#M# de P#L#

Programacin Lineal

En infinidad de aplicaciones de la industria, la economa, la estrategia militar, etc.. se presentansituaciones en las que se exige maximi3ar o minimi3ar algunas fucniones que se encuentransu9etas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Para hacernos una idea ms clara de estos supuestos, -eamos dos e9emplos

(,emplo +' Problema de m-.imos.)n una gran/a se preparan dos clases de piensos0 % y 10 mezclando dos productos ! y (. Un sacode % contiene 2 3g de ! y 4 de (0 y un saco de 1 contiene 56 3g de ! y 7 de (. #ada saco de % sevende a 866 ptas. y cada saco de 1 a 266 ptas. Si en la gran/a hay almacenados 26 3g de ! y 47de (0 9cuntos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los m:imos ingresos;

(,emplo /' Problema de m*nimos#Una campa

Por otra parte, las -ariables:e y, lgicamente, han de ser no negati-as, por tanto : ), y );on9unto de restricciones

5x4 +3y 53

/x4 6y /6

x 37 y 3

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/0i representamos por:el nDmero de yogures de limn e y al nDmero de yogures de fresa, setiene que la fucin de coste esZ1 23x4 /3y.Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones

:e nDmero : > y ')

:e fermentacin ).>:K ).4y 1))) 2as -ariables:e yhan de ser, lgicamente, no negati-asG es decir: ), y )

;on9unto de restricciones

x + y 53

3#6x4 3#/y 8333

x 37 y 3(n de9initiae llama programacin lineal al con9unto de t+cnicas matemticas que pretenden resol-er lasituacin siguiente

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M)todo anal*tico

M)todo de los ;)rtices

El siguiente resultado, denominado teorema 9undamental de la programacin lineal, nos permiteconocer otro m+todo de solucionar un programa con dos -ariables.

En un programa lineal con dos -ariables, si existe una solucin Dnica queoptimice la funcin ob9eti-o, +sta se encuentra en un punto extremo #-+rtice*de la regin factible acotada, nunca en el interior de dicha regin.

i la funcin ob9eti-o toma el mismo -alor ptimo en dos -+rtices, tambi+ntoma id+ntico -alor en los puntos del segmento que determinan.

En el caso de que la regin factible no es acotada, la funcin lineal ob9eti-o noalcan3a necesariamente un -alor ptimo concreto, pero, si lo hace, +ste seencuentra en uno de los -+rtices de la regin

2a e-aluacin de la funcin ob9eti-o en los -+rtices de la regin factible nos -a a permitir encontrarel -alor ptimo #mximo o mnimo* en alguno de ellos.

Vemoslo con un e9emplo

7aximi3ar N O f#:0y* O (:K 'y

su9eto a /: >>y /)

4:K >y ()

: ) , y )

+0 yO /) , yO )Q. olucin ;#$),)* 4: K >yO () ,: O )Q olucin :#),&*

4:K >y O () , yO )Q. olucin E#$>,)* :O ), yO )Q olucin y () , ya que 4R) K >R' O /) . Por tanto, elpunto ! no es un -+rtice de la regin factible.

E no cumple la primera restriccin /: K >y /) , ya que /R$> K >R) O &) . Por tanto, elpunto E no es un -+rtice de la regin factible.

2os puntos C, ;, : y < -erifican todas las desigualdades, son los -+rtices de la regin factible.

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20 =alcular los alores de la 9uncin ob,etio en los )rtices

f#C* O f#>,/* O (R> K 'R/ O /% f#;* O f#$),)* O (R$) K 'R ) O ()

f#:* O f#),&* O (R) K 'R& O /' f#

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/# $olucin Gr-9ica

$olucin Gr-9ica o de >ectas de Niel

2as rectas de nieldan los puntos del plano en los que la funcin ob9eti-o toma el mismo -alor.

i la funcin ob9eti-o es f#:0y* O a: K byK c, la ecuacin de las rectas de ni-el es de la forma

a:K byK c O ) a:K byO A

Variando A #o p* se obtienen distintos ni-eles para esas rectas y, en consecuencia, distintos -alorespara f#:0y*.

En un problema todas las rectas de ni-el son paralelas, pues los coeficientes a y b de la recta a: KbyO A son los que determinan su pendiente. Por tanto, si A$es distinto de A4 , las rectas a:K byO A$y a:K byO A4son paralelas. 2uego, tra3ada una cualquiera de esas rectas, las dems de obtienen

por despla3amientos paralelos a ella.

i lo que se pretende es resol-er un problema de programacin lineal, los Dnicos puntos queinteresan son los de la regin factible, y las Dnicas rectas de ni-el que importan son aquellas queestn en contacto con dicha regin. ;omo el ni-el aumenta #o disminuye* despla3ando las rectas,el mximo #o el mnimo* de f#x,y* se alcan3ar en el Dltimo #o en el primer* punto de contacto deesas rectas con la regin factible.

Veamos ahora como se aplica todo esto a la resolucin de un problema de programacin lineal

7aximi3ar ? @ f&:0y' @ : > y

su9eto a 6 : A

6 y A

y : B4

+0 >epresentamos la regin 9actible'

2a recta s :O / pasa por el punto #/,)* y es paralela al e9e S. 2as soluciones de ) : /son los puntos entre el e9e S y la recta:O /

2a recta r yO / pasa por el punto #),/* y es paralela al e9e X. 2as soluciones de ) y /son los puntos entre el e9e X y la recta yO /

2a recta t y @ :T4 pasa por los puntos #),)* y #4,$* . 2as soluciones de y :T4 son lospuntos de su i3quierda.

?esol-iendo los sistemas correspondientes calculamos los -+rtices de la regin factibley @ :T4 ,:O ) Q nos da el -+rtice

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/0 >epresentamos las rectas de niel 'En nuestro caso son rectas de la forma: > yO A . Inicialmente representamos ? @ : > yO ) .5rasladndola hacia la derecha, obtenemos las rectas : > yO 4,: > yO /,: > yO ' , es deciraumenta el ni-el.

20 Obtenemos la solucin ptima'e obtiene en el punto de la regin factible que hace mximo A. En nuestro caso esto ocurre en elpunto !G es el Dltimo punto de contacto de esas rectas con la regin factible, para el que A O '.

$i !a" dos )rtices7 P " ?7 @ue se encuentran en la mismarecta de niel 7de ecuacin ax4 by 1 A #(s eidente @ue todoslos puntos del segmento P? son de esa recta por tanto7 entodos ellos 9:x,y0 ale A# Cs* pues7 la solucin ptima escual@uier punto de esa recta en particularlos )rtices P " ?.

El procedimiento para determinar la regin factible es el siguiente

+0$e resuele cada inecuacin por separado, es decir, se encuentra el semiplano de solucionesde cada una de las inecuaciones.

e dibu9a la recta asociada a la inecuacin. Esta recta di-ide al plano en dos regiones osemiplanos

Para a-eriguar cul es la regin -lida, el procedimiento prctico consiste en elegir unpunto, por e9emplo, el #),)* si la recta no pasa por el origen, y comprobar si lascoordenadas satisfacen o no la inecuacin. i lo hacen, la regin en la que est ese puntoes aquella cuyos puntos -erifican la inecuacinG en caso contrario, la regin -lida es la

otra.

/0 La regin 9actible est- 9ormada por la interseccin o regin comDn de las soluciones detodas las inecuaciones.;omo sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones linealespueden presentar -arias opciones respecto a sus soluciones puede no existir solucin, en el casode que exista el con9unto solucin puede ser acotado o no.Vemoslo con un e9emplo:ibu9a la regin factible asociada a las restricciones

: > y /

y /

y :2as rectas asociadas son r : > yO / G s yO / , t y @ :

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Elegimos el punto y /, -emos que no la satisface) K ) O ) L / . Por tanto, el con9unto desoluciones de la inecuacin es el semiplanosituado por encima de la recta r : > y O / .

Procedemos como en el paso anterior. 2ascoordenadas #),)* satisfacen la inecuacin y/ # ) /* . Por tanto, el con9unto de solucionesde la inecuacin es el semiplano que incluye alpunto

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(s@uema pr-ctico

2os problemas de programacin lineal pueden presentarse en la forma estndar, dando la funcinob9eti-o y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado. i +ste es el caso, puedeseguirse el camino que indicamos a continuacin, e9emplificado con el siguiente problema

En un almac+n se guarda aceite de girasol y de oli-a. Para atender a los clientes se han de teneralmacenados un mnimo de 4) bidones de aceite de girasol y /) de aceite de oli-a y, adems, elnDmero de bidones de aceite de oli-a no debe ser inferior a la mitad del nDmero de bidones deaceite de girasol. 2a capacidad total del almac+n es de $>) bidones. abiendo que el gasto dealmacena9e es el mismo para los dos tipos de aceite #$ unidad monetaria* . U;untos bidones decada tipo habr que almacenar para que el gasto sea mximo

Obs' Puede parecer algo absurdo ma.imizar los gastos7 pero se !a enunciado de esta 9ormapara @ue el e,emplo sea lo m-s completo posible

Paso +E'2eer detenidamente el enunciado determinar el ob9eti-o, definir las -ariables y escribir lafuncin ob9eti-o.

El ob9eti-o es halla cuntos bidones de cada tipo hay que almacenar para maximi3ar los gastos

uponemos que tal ob9eti-o se consigue almacenado:bidones de aceite de girasol e y de aceitede oli-a

;mo cada bidn de aceite de girasol cuesta almacenarlo $ unidad monetaria y lo mismo para unode aceite, los gastos sernx + y

2uego, la funcin ob9eti-o es

7aximi3ar la funcin Z = f(x,y) = x + y

Paso /E'?eordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir elsistema de inecuaciones que determinan las restricciones.

Un m,nimo de 46 bidones de aceite de girasolx /3

Un m,nimo de A6 bidones de aceite de olivay 3 )l nmero de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del nmero de

bidones de aceite de girasol y ./ Ca capacidad total del almacn es de 576 bidonesx + y +63

Cdems, los nDmeros de bidones deben ser cantidades positi-asx 3 y 3

Obs#' =omo eremos en e,emplos posteriores en algunas ocasiones puede interesar utilizaruna tabla para recopilar toda la in9ormacin " !acer los dos primeros apartados

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Paso 2E' Expresar el problema en la forma estndar.iguiendo con el e9emplo, sera

7aximi3ar ? @ f&:0y' @ : > ysu9eto a : > y $>) y :T4 : 4) G y /)

Cqu termina el planteamiento del problema. Para su resolucin hay que continuar con

Paso E ?epresentar grficamente las restricciones y marcarclaramente la regin factible.Para las restricciones anteriores debemos representar lasrectas x K y O $>) , y O xT4 , x O 4) e y O /), obteni+ndose laregin factible que en la figura se encuentra coloreada.

Paso 6E =allar las coordenadas de los -+rtices del polgonoobtenido.?esol-iendo los sistemas :O 4), yO /) Q , y @ :T4 , yO /) Q, y @ :T4 ,: > yO $>)Q , : > yO $>),:O 4)QG se obtienen los-+rtices C#4),/)* , !#'),/)* , ;#$)), >)* , :#4),$()*Paso HE ustituir las coordenadas de esos puntos en lafuncin ob9eti-o y hallar el -alor mximo o mnimo.ustituyendo en f#x,y* O x K y, se tiene

f#4),/)* O &) , f#'),/)* O $4) , f#$)), >)* O $>) , f#4),$()* O $>)

;omo el -alor mximo se obtiene en los puntos ; y :, puede optarse por cualquiera de los dos, o

por cualquier punto perteneciente al segmento que los une. Cs, por e9emplo, se obtendra el mismogasto con /) bidones de aceite girasol y $$) bidones de aceite de oli-aG o 1) y &) respecti-amente.

Paso E'5ambi+n es con-eniente representar las rectas de ni-el para comprobar que la solucingrfica coincide con la encontrada. Esta con-eniencia se con-ierte en necesidad cunado la reginfactible es no acotada.En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de ni-el tienen la misma pendiente que larecta lmite de la restriccin: > y $>) G por tanto, hay mDltiples soluciones.

Paso 5E Por Dltimo, como en la resolucin de todo problema es necesario criticar la solucincerciorarse de que la solucin hallada es lgica y correcta.En este e9emplo, no todos los puntos del segmento ;: son soluciones -lidas, ya que no podemosadmitir -alores de:e y no enteros, como ocurrira en el punto #1).>,>1.>* .

Obs#' $i un problema en la 9orma est-ndar no indica @ue se debe realizar por el m)todoanal*tico o gr-9ico7 seguiremos para su resolucin los pasos del E al 5E

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(,ercicios1) $e considera la regin del plano determinada por las inecuaciones'x4 2 y 5 x +

yy xJ 2 x 3 y 3a0 %ibu,ar la regin del plano @ue de9inen7 " calcular sus )rtices#b0 yO ' G: - y O (

2a regin factible es la determinada por los -+rtices .>, 4.>* G ;#4.>, >.>* G :#),(* y

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b* Para determinar dnde la funcin ob9eti-o @#:0y* O &:K /yalcan3a su mximo, calculamos los-alores que toma en los -+rtices

@#C* O $' G @#!* O /( G @#;* O (% G @#:* O $4 G @# y ()))

2a funcin ob9eti-o que da el beneficio en miles de pesetas y que hay que maximi3ar -iene dadapor

f#:0y* O $))):K $>))y

?epresentando las rectas: O 4))), y O 4))) ,: > yO ())) correspondientes a las fronteras de lasrestricciones obtenemos la regin factible

:onde los -+rtices obtenidos sonC#4))),)* G !#4))), $)))* G ;#$))), 4)))* , :#),4)))* y )) millones de pesetasG f#;* O /))) millones de pesetas Gf#:* O ())) millones de pesetas y f#

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20%os pinturas C " B tienen ambas dos tipos de pigmentos p " @ C est- compuesto de un23 de p " un 3 de @7 B est- compuesto de un 63 de p " un /3 de @7 siendo el restoincoloro# $e mezclan C " B con las siguientes restricciones'La cantidad de C es ma"or @ue la de B# $u di9erencia no es menor @ue +3 gramos " nosupera los 23 gramos# B no puede superar los 23 gramos ni ser in9erior a +3 gramos#

a. ?u) mezcla contiene la ma"or cantidad del pigmento pb. ?u) mezcla !ace @ m*nimo

ean:ey, respecti-amente, los gramos de las pinturas C y ! que aparecen en la me3cla.5radu3camos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esas cantidades.

Ca cantidad de ! es mayor Eue la de (: F y

Su diferencia no es menor Eue 56 gramos y no supera los 86 gramos () : - y $)

( no puede superar los 86 gramos ni ser inferior a 56 gramos () y $)

Cdems sabemos que : ) , y ).Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo;antidad de pigmento de tipo p @p #:0 y* O ).(:K ).>y

;antidad de pigmento de tipo q @q #:0 y* O )./: K ).4y2a regin factible es la que aparece en la imagen del margen.us -+rtices son C#4),$)* , !#/),$)*, ;#&),()* y :#/),()*a* 2a mayor cantidad de pigmento p, se produce para &) gramos de lapintura C y () de la !@p #/),()* O ).(R/) K ).>R() O 4% G @p #4),$)* O $$ G @p #/), $)* O $%G @p #&), ()* O ((b* 2a menor cantidad de pigmento q, se produce para 4) gramos de la pintura C y $) de la !@q #/), ()* O )./R/) K ).4R() O 44G @q #4), $)* O $) G @q #/), $)* O $' G @q #&), ()* O ()

0 Problema del transporte

Una empresa dedicada a la 9abricacin de componentes de ordenador tiene dos 9-bricas @ueproducen7 respectiamente7 533 " +633 piezas mensuales# (stas piezas !an de sertransportadas a tres tiendas @ue necesitan +3337 33 " H33 piezas7 respectiamente# Loscostes de transporte7 en pesetas por pieza son los @ue aparecen en la tabla ad,unta# =modebe organizarse el transporte para @ue el coste sea m*nimo

ienda C ienda B ienda =

F-brica I 2 +

F-brica II / / H

En este tipo de problemas se exige que toda la produccin sea distribuida a los centros de -entasen las cantidades que precisa cada unoG por tanto, no pueden generarse stocAs del producto ni enlas fbricas ni en los centros de -entas.

En consecuencia, los ')) artculos producidos en la fbrica I deben distribuirse en las cantidades:0 y0 za C, ! y ;, de manera que: > y > zO ')). Pero, adems, si desde I se en-an:unidades aC, el resto, hasta las $))) necesarias en C, deben ser en-iadas desde la fbrica IIG esto es, $))) ": unidades sern en-iadas desde II a C.:el mismo modo, si desde I a ! se en-an y, el resto necesario, %)) " y, deben en-iarse desde II. Slo mismo para ;, que recibir zdesde I y &)) " zdesde II.En la siguiente tabla de distribucin se resume lo dicho

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En-os a la tienda C #$)))* a la tienda ! #%))* a la tienda ; #&))*

:esde la fbrica I # '))* G y ')) ": - y

:esde la fbrica II #$>))* $))) ": %)) " y : > y W 4))

2a Dltima columna la hemos obtenido de la siguiente forma;omo: > y > zO ')) , se tiene que zO ')) ": - y, de donde, &)) " zO &)) " #')) ": - y* O: > y "4)).

Chora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, seobtienen las siguientes desigualdades

: ) G $))) ": ) Gy )G %)) " y ) G ')) ": - y ) G: > y " 4)) )

implificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones

$))) : ) G %)) y ) G ')) : > y )

?ecordemos que nuestro ob9eti-o es abaratar al mximo los costes de transporte. Estos costes sehallan multiplicando las cantidades en-iadas a desde cada fbrica a cada tienda por los respecti-oscostes de transporte unitario.

e obtiene

N O f#:0y* O (:K 4#$))) ":* K %yK 4#%)) " y'K #')) - : - y* K : > y" 4))* O &:K $)y K ()))

En definiti-a, el programa lineal a resol-er es

7inimi3ar? O &: K $)yK ()))

su9eto a $))) : ) %)) y ) ')) : > y )

2a regin factible se da en la imagen del margen.us -+rtices son C#4)),)* G !#')),)* G ;#$)),%))* G :#),%))* y E#),4))*.El coste, el -alor de? en cada uno de esos puntos, es

en C, /4)) en !, %')) en ;, $)&)) en :, $)))) en E, >)))

El mnimo se da en C , cuando x O 4)) e y O ).2uego, las cantidades a distribuir son

En-os a la tienda C #$)))* a la tienda ! #%))* a la tienda ; #&))*

:esde la fbrica I # '))* 4)) ) &))

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:esde la fbrica II #$>))* ')) %)) )

60 Problema de la dieta

(n una gran,a de pollos se da una dieta para engordar con unacomposicin m*nima de +6 unidades de una sustancia C " otras+6 de una sustancia B# (n el mercado slo se encuentran dosclases de compuestos' el tipo con una composicin de unaunidad de C " cinco de B7 " el tipo Q7 con una composicin decinco unidades de C " una de B# (l precio del tipo es de +333pesetas " el del tipo Q es de 2333 pesetas# $e pregunta'?u) cantidades se !an de comprar de cada tipo para cubrir lasnecesidades con un coste m*nimo (l problema se llama as* por@ue en sus or*genes consisti Dnicamente en determinar ladieta !umana m-s econmica#

(n su 9orma industrial m-s corriente7 el problema consiste en saber cmo mezclar de la9orma m-s econmica posible las materias primas @ue constitu"en un producto de 9rmula@u*mica conocida#

Podemos organi3ar la informacin mediante una tabla

8nidades ustancia C ustancia ! ;oste

;ompuesto X : : 7: $))):

;ompuesto S y 7y y ()))y

5otal $> $> $))):K ()))y

2a funcin ob9eti-o del coste total, f, si se emplean:Ag del compuesto X e y Ag del compuesto S,es

N O f#:0y* O $))):K ()))y

El con9unto de restricciones es: ) ,y ) G: > 7y $> G 7: > y $> .;on estos datos representamos la regin factible y las rectas de ni-el de la funcin ob9eti-o.:e todas las rectas de ni-el que tocan a la regin factible, hace que el coste N sea mnimo la que

pasa por el -+rtice C#4.>,4.>*.2a solucin ptima se obtiene comprando 4.> unidades de X y 4.> unidades de S.El coste total es N O f#4.>,4.>* O $)))R4.> K ()))R4.> O $)))) pesetas.&*=onsidera el recinto de la 9igura en el @ue est-n incluidos todos los lados " todos los)rtices#a0 (scribe la inecuaciones @ue lo de9inenb0 Ma.imiza la 9uncin R 1x + y

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a* =allamos la ecuacin de la recta que pasa por #4,)* y #),4*

#),4* 4 O mR) K n n O 4

yO m:K n y @ - : K 4 : > yO 4

#4,)* ) O mR4 K 4 m O " $

2os puntos del recinto #por e9emplo, el #),)* * -erifican: > y 4 Ecuacin de la recta paralela al e9e X que pasa por #),4* yO 4.

2os puntos del recinto -erifican y 4 Ecuacin de la recta paralela al e9e X que pasa por #),"$* yO "$

2os puntos del recinto -erifican y " $ Ecuacin de la recta paralela al e9e S que pasa por #4,)* : O 4

2os puntos del recinto -erifican: 4 Ecuacin de la recta paralela al e9e S que pasa por #"4,)*: O " 4

2os puntos del recinto -erifican: " 4

2as inecuaciones que cumplen los puntos del recinto son

: > y 4

" 4 : 4" $ y 4

b* ;omo la direccin de la funcin N O: > ya maximi3ar es la misma que la del borde: > y O 4,resulta que esta recta es tal que de9a todo el recinto a un lado, precisamente del lado que hace: >y 4 . Por tanto, el mximo de N O: > ypara #:0y* en el recinto se alcan3a para cualquier punto deese segmento del borde y tiene por -alor 4.

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Unidad II

(l m)todo del simple.'e utili3a, sobre todo, para resol-er problemas de programacin lineal enlos que inter-ienen tres o ms -ariables. El lgebra matricial y el proceso de eliminacin de 6auss"ordan para resol-er un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del m+todo simplex.

Es un procedimiento iterati-o que permite ir me9orando la solucin a cada paso. El procesoconcluye cuando no es posible seguir me9orando ms dicha solucin.

Partiendo del -alor de la funcin ob9eti-o en un -+rtice cualquiera, el m+todo consiste en buscarsucesi-amente otro -+rtice que me9ore al anterior. 2a bDsqueda se hace siemprea tra-+s de loslados del polgono #o de las aristas del poliedro, si el nDmero de -ariables es mayor*. ;mo elnDmero de -+rtices #y de aristas* es finito, siempre se podr encontrar la solucin.

El m+todo del simplex se basa en la siguiente propiedad si la funcin ob9eti-o, f, no toma su -alormximo en el -+rtice C, entonces hay una arista que parte de C, a lo largo de la cual f aumenta.

Vamos a resol-er mediante el m+todo del simplex el siguiente problema

7aximi3ar?@ f&:0y'@ 8: >

4y

su9eto a 4: > y 52

4: > 8y A4

8: > y 4A x ) , y )

e consideran las siguientes fases

$. ;on-ertir las desigualdades en igualdades

e introduce una variable de holgurapor cada una de las restricciones, para con-ertirlas enigualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales

4: > y > h @ 524: > 8y > s @

A48: >y > d @ 4A

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http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/simplex.html#geohttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/simplex.html#geohttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/simplex.html#geohttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/simplex.html#geo

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4. Igualar la funcin ob9eti-o a cero

- 8: - 4y > ? @ 6

(. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecern todas las -ariables del problema y, en las filas, los coeficientes de lasigualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la Dltima fila con los coeficientes de la funcinob9eti-o

5abla I . Iteracin nJ $

!ase Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

: y h S d

h 4 $ $ ) ) $'

s 4 ( ) $ ) /4

d ( $ ) ) $ 4/

? "( "4 ) ) ) )

/. Encontrar la -ariable de decisin que entra en la base y la -ariable de holgura que sale de labase

A. Para escoger la -ariable de decisin que entra en la base, nos fi9amos en la Dltima fila, lade los coeficientes de la funcin ob9eti-o y escogemos la -ariable con el coeficientenegati-o mayor #en -alor absoluto*. En nuestro caso, la -ariable:de coeficiente " (.

i existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entoncesse elige uno cualquiera de ellos.

i en la Dltima fila no existiese ningDn coeficiente negati-o, significa que se ha alcan3adola solucin ptima. Por tanto, lo que -a a determinar el final del proceso de aplicacin delm+todo del simplex, es que en la Dltima fila no haya elementos negati-os.

2a columna de la -ariable que entra en la base se llama columna pivote#En color-erde*.

B. Para encontrar la -ariable de holgura que tiene que salir de la base, se di-ide cada t+rminode la Dltima columna #-alores solucin* por el t+rmino correspondiente de la columnapi-ote, siempre que estos Dltimos sean mayores que cero. En nuestro caso $'T4 O1Y , /4T4 O4$Y y 4/T( O'Y

i hubiese algDn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el casode que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos unasolucin no acotada y no se puede seguir.

El t+rmino de la columna pi-ote que en la di-isin anterior d+ lugar al menor cocientepositi-o, el (, ya ' es el menor, indica la fila de la -ariable de holgura que sale de la base,d. Esta fila se llama fila pivote#En color -erde*.

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i al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las -ariablescorrespondientes pueden salir de la base.

C. En la interseccin de la fila pi-ote y columna pi-ote tenemos el elemento pi-oteoperacional, (.

>. Encontrar los coeficientes de la nue-a tabla.2os nue-os coeficientes de:se obtienen di-idiendo todos los coeficientes de la fila dpor el pi-oteoperacional, (, que es el que hay que con-ertir en $.

C continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes t+rminos de sucolumna, con lo que obtenemos los nue-os coeficientes de las otras filas incluyendo los de lafuncin ob9eti-o ?.5ambi+n se puede hacer utili3ando el siguiente esquema

@ila del pi-ote

ue-a fila del pi-oteO #Vie9a fila del pi-ote* #Pi-ote*

?esto de las filas

ue-a filaO #Vie9a fila* " #;oeficiente de la -ie9a fila en la columna de la -ariable entrante* X #ue-afila del pi-ote*

Vemoslo con un e9emplo una -e3 calculada la fila del pi-ote #fila de x en la 5abla II*

Vie9a fila de s 4 ( ) $ ) /4 " " " " " ";oeficiente 4 4 4 4 4 4 x x X x x xue-a fila pi-ote $ $T( ) ) $T( '

O O O O O Oue-a fila de s ) %T( ) $ "4T( 4&

5abla II . Iteracin nJ 4

!ase Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

: y h s d

h ) $T( $ ) "4T( 4

s ) %T( ) $ "4T( 4&

: $ $T( ) ) $T( '

? ) "$ ) ) $ 4/;omo en los elementos de la Dltima fila hay uno negati-o, "$, significa que no hemos llegadotoda-a a la solucin ptima. =ay que repetir el proceso

A. 2a -ariable que entra en la base es y, por ser la -ariable que corresponde al coeficiente "$B. Para calcular la -ariable que sale, di-idimos los t+rminos de la Dltima columna entre los

t+rminos correspondientes de la nue-a columna pi-ote4$T( O&Y , 4&%T( O%'T%Y y '$T( O'Yy como el menor cociente positi-o es &, tenemos que la -ariable de holgura que sale es h.

C. El elemento pi-ote, que ahora hay que hacer $, es $T(.

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!ase Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

: y h S d

y ) $ ( ) "4 &

s ) ) "% ) / $4

: $ ) "$ ) $ &

? ) ) ( ) "$ ();omo en los elementos de la Dltima fila hay uno negati-o, "$, significa que no hemos llegadotoda-a a la solucin ptima. =ay que repetir el proceso

A. 2a -ariable que entra en la base es d, por ser la -ariable que corresponde al coeficiente "$

B. Para calcular la -ariable que sale, di-idimos los t+rminos de la Dltima columna entre lost+rminos correspondientes de la nue-a columna pi-ote&T#"4* O"(Y , $4T/ O(Y, y &$ O&Yy como el menor cociente positi-o es (, tenemos que la -ariable de holgura que sale es s.

C. El elemento pi-ote, que ahora hay que hacer $, es /.

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60:ada la regin del plano definida por las inecuacionesx K y " $ ) G ) x ( G ) y 4.UPara qu+ -alores de la regin es mxima la funcin N O >x K 4y

H07aximi3ar la funcin @#x,y* O (x K 4y en el dominio y K 4x ) G (y " x $ G 4 x )G y )

0e considera el recinto plano de la figura en el que estn incluidos lostres lados y los tres -+rtices de las rectas asociadas a las desigualdades

a* =allar las inecuaciones que definen el recinto.

b* 7aximi3ar la funcin N O (x " &y su9eta a las restricciones del recinto.

50e considera la regin del primer cuadrante determinada por las inecuacionesx K y ' G x K y / G x K 4y &a* :ibu9ar la regin del plano que definen, y calcular sus -+rtices.b* =allar el punto de esa regin en el que la funcin @#x,y* O (x K 4y alcan3a el -alor mnimo ycalcular dicho -alor.

80 ?epresentar grficamente el con9unto de puntos que satisfacen las siguientes inecuacioneslinealesx K 4y $) G x K y 4 Gx 'G x )G y )b* =allar el mximo y el mnimo de @#x,y* O x " (y, su9eto a las restricciones representadas por lasinecuaciones del apartado anterior.

+30 =allar los -alores mximo y mnimo de la funcin f#x,y* O x K 4y " 4, sometida a lasrestriccionesx K y " 4 ) G x " y K 4 )G x (G y $G y (

++0 ?esol-er grficamente el siguiente problema de programacin lineal7aximi3ar N O ).%>x K yu9eto a x K (y $>>x K y 4)(x K /y 4/x ) G y )UEs Dnica la solucin

+/0 ea el recinto poligonal con-exo definido por el sistema de inecuacionesx " /y " / G x K 4y " / )G x ) G y )e pidea* :ibu9arlo y hallar sus -+rtices.b* ?a3onar si es posible maximi3ar en +l la funcin f#x,y*O x K 4y .c* En caso afirmati-o, calcular el -alor ptimo correspondiente y puntos donde se alcan3a.

+20 8n estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. 2a empresa C lepaga > ptas. por cada impreso repartido y la empresa !, con folletos ms grandes, le paga %

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pesetas por impreso. El estudiante lle-a dos bolsas una para los impresos C, en la que caben $4),y otra para los impresos !, en la que caben $)). =a calculado que cada da es capa3 de repartir$>) impresos como mximo.2o que se pregunta el estudiante es Ucuntos impresos habr de repartir de cada clase para quesu beneficio diario sea mximo

+0En una fbrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal -alen />)pesetas y las halgenas &)) pesetas. 2a produccin est limitada por el hecho de que no puedenfabricarse al da ms de /)) normales y ()) halgenas ni ms de >)) en total. i se -ende en todala produccin, Ucuntas de cada clase con-endr produccir para obtener la mxima facturacin

+60 8na compa0a a+rea tiene dos a-iones C y ! para cubrir un determinado trayecto. El a-in Cdebe hacer ms -eces el trayecto que el a-in ! pero no puede sobrepasar $4) -ia9es. Entre losdos a-iones deben hacer ms de &) -uelos pero no menos de 4)). En cada -uelo C consume 1))litros de combustible y ! %)) litros. En cada -ia9e del a-in C la empresa gana ())))) ptas. y4))))) por cada -ia9e del !. U;untos -ia9es debe hacer cada a-in para obtener el mximo deganancias U;untos -uelos debe hacer cada a-in para que el consumo de combustible sea

mnimo

+H0 8na fbrica de carroceras de autom-iles y camiones tiene dos na-es. En la na-e C, parahacer la carrocera de un camin, se in-ierten % das"operario, para fabricar la de un coche seprecisan 4 das"operario. En la na-e ! se in-ierten tres das operario tanto en carroceras decamin como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la na-e C dispone de ())das operario, y la na-e ! de 4%) das"operario. i los beneficios que se obtienen por cada caminson de & millones de pesetas y por cada autom-il 4 millones de pesetas, Ucuntas unidades decada uno se deben producir para maximi3ar las ganancias

+0 8n pastelero tiene $>) Ag de harina, 44 Ag de a3Dcar y 4%[> Ag de mantequilla para hacer dos

tipos de pasteles P y H. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita ( Ag de harina, $ Agde a3Dcar y $ de mantequilla y para hacer una docena de tipo H necesita & Ag de harina, )[> Ag dea3Dcar y $ Ag de mantequilla.El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 4) y por una docena de tipo H es (). =alla,utili3ando las t+cnicas de programacin lineal, el nDmero de docenas que tiene que hacer de cadaclase para que el beneficio sea mximo.

+50 8na empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase C a 4)) ptas. la unidad y de la clase! a $>) ptas. En la produccin diaria se sabe que el nDmero de rotuladores de la clase ! no superaen $))) unidades a los de la CG adems, entre las dos clases no superan las ())) unidades y la dela clase ! no ba9an de $))) unidades por da. =allar el costo mximo y mnimo de la produccindiaria.

+80 8na compa0a fabrica dos modelos de sombrero !ae y Vi3. 2a fabricacin de los sombreros sereali3a en las secciones de moldeado, pintura y monta9e. 2a fabricacin de cada modelo !aerequiere 4 horas de moldeado, ( de pintura y una de monta9e. 2a fabricacin del modelo Vi3requiere tres horas de moldeado, 4 de pintura y una de monta9e. 2as secciones de moldeado ypintura disponen, cada una, de un mximo de $.>)) horas cada mes, y la de monta9e de &)).i elmodelo !ae se -ende a $).))) pesetas y el modelo Vi3 a $4.))) pesetas, Uqu+ cantidad desombreros de cada tipo ha de fabricar para maximi3ar el beneficio mensual

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/30;ada mes una empresa puede gastar. ;omo mximo, $.))).))) ptas. en salarios y $.')).)))ptas. en energa #electricidad y gasoil*. 2a empresa slo elabora dos tipos de productos C y !. Porcada unidad de C que elabora gana ') ptas. y >) ptas. por cada unidad de !. El coste salCrial,7ans erif,=el-etica y energ+tico que acarrea la elaboracin de una unidad del producto C y unadel ! aparece en la siguiente tabla

C !

;oste salCrial,7 ans erif,=el-etica 4)) $))

;oste energ+tico $)) ())

e desea determinar cuntas unidades de cada uno de los productos C y ! debe producir laempresa para que el beneficio sea mximo

/+08na persona tiene >)).))) pesetas para in-ertir en dos tipos de acciones C y !. El tipo C tienebastante riesgo con un inter+s anual del $)F y el tipo ! es bastante seguro con un inter+s anualdel %F. :ecide in-ertir como mximo ()).))) pesetas en C y como mnimo $)).))) pesetas en !,e in-ertir en C por lo menos tanto como en !. U;mo deber in-ertir sus >)).))) pesetas paramaximi3ar sus intereses anuales

//0 8na industria -incola produce -ino y -inagre. El doble de la produccin de -ino es siempremenor o igual que la produccin de -inagre ms cuatro unidades. Por otra parte, el triple de laproduccin de -inagre sumado con cuatro -eces la produccin de -ino se mantiene siempre menoro igual a $' unidades.=alla el nDmero de unidades de cada producto que se deben producir para alcan3ar un beneficiomximo, sabiendo que cada unidad de -ino de9a un beneficio de ')) ptas. y cada unidad de-inagre de 4)) ptas.

/20 8n hipermercado necesita como mnimo $& ca9as de langostino, > ca9as de n+coras y 4) depercebes. :os mayoristas, C y !, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero

slo -enden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista C en-a en cada contenedor 'ca9as de langostinos, $ de n+coras y 4 de percebes. Por su parte, ! en-a en cada contenedor 4, $y % ca9as respecti-amente. ;ada contenedor que suministra C cuesta 4$).))) ptas., mientras quelos del mayorista ! cuestan ()).))) pesetas cada uno. U;untos contenedores debe pedir elhipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mnimas con el menor costeposible

/0 Imaginemos que las necesidades semanales mnimas de una persona en protenas, hidratosde carbono y grasas son ', $4, 1 unidades respecti-amente. upongamos que debemos obtenerun preparado con esa composicin mnima me3clando los productos C y ! cuyos contenidos porAilogramo son los que se indican en la siguiente tabla

Protenas =idratos 6rasas ;oste#Ag*Producto C 4 & $ &))

Producto ! $ $ ( /))

U;untos Ailogramos de cada producto debern comprarse semanalmente para que el costo depreparar la dieta sea mnimo

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/60 Podemos comprar paquetes de abono C o !. ;ada paquete contiene las unidades de potasio#B*, fsforo #P* y nitrgeno #* indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.

7arca B P Precio

C / & $ $>

! $ $) & 4/

UEn qu+ proporcin hay que me3clar ambos tipos de abono para obtener al mnimo precio unabono que contenga / unidades de B, 4( de P y & de

/H0 :os mataderos, P y H, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tresciudades, ?, y 5 4), 44 y $/ toneladas, respecti-amente. El matadero P produce cada semana4& toneladas de carne, y el H, (). abiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne,desde cada matadero de a cada ciudad, son los refle9ados en la siguiente tabla

? 5

P $ ( $

H 4 $ $

:eterminar cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo

/0 :esde dos almacenes C y !, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. Elalmac+n C dispone de $) toneladas de fruta diarias y el ! de $> toneladas, que se reparten en sutotalidad. 2os dos primeros mercados necesitan, diariamente, ' toneladas de fruta, mientras que eltercero necesita 1 toneladas diarias.El coste del transporte desde cada almac+n a cada mercado -iene dado por el siguiente cuadro

Clmac+n 7ercado $ 7ercado 4 7ercado (

C $) $> 4)

! $> $) $)

Planificar el transporte para que el coste sea mnimo

/50 e -a a organi3ar una planta de un taller de autom-iles donde -an a traba9ar electricistas ymecnicosG por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nDmero demecnicos que de electricistas y que el nDmero de mecnicos no supere al doble que el deelectricistas. En total hay disponibles 4) electricistas y () mecnicos. El beneficio de la empresa

por 9ornada es 4>.))) ptas. por electricista y 4).))) por mecnico. U;untos traba9adores de cadaclase deben elegirse para obtener el mximo beneficio

/80 8na empresa fabrica dos tipos de colonia C y !. 2a primera contiene un $>F de extracto de9a3mn, un 4)F de alcohol y el resto es agua y la segunda lle-a un ()F de extracto de 9a3mn, un$>F de alcohol y el resto es agua. :iariamente se dispone de &) litros de extracto de 9a3mn y de>) litros de alcohol. ;ada da se pueden producir como mximo $>) litros de la colonia !. El preciode -enta por litro de la colonia C es de >)) pesetas y el de la colonia ! es 4.))) pesetas. =allar loslitros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea mximo.

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230 2os /)) alumnos de un colegio -an a ir de excursin. Para ello se contrata el -ia9e a unaempresa que dispone de ' autobuses con /) pla3as y $) con >) pla3as, pero slo de 1conductores para ese da. :ada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobDs de losgrandes cuesta '))) ptas. y el de cada uno de los peque0os, &))) ptas. U;untos autobuses decada clase con-endr alquilar para que el -ia9e resulte lo ms econmico posible

2+0 2a casa X fabrica helados C y !, hasta un mximo diario de $))) Ag. 2a fabricacin de un Ag deC cuesta $') ptas. , y uno de !, $>). ;alcule cuntos Ag de C y ! deben fabricarse, sabendo que lacasa dispone de 4%)))) ptasTda y que un Ag de C de9a un margen igual al 1)F del que de9a unode !.

2/0C una persona que quiere adelga3ar se le ofrecen dos productos C y ! para que tome uname3cla de ambos con las siguientes recomendacioneso de be tomar ms de $>) g de la me3cla ni menos de >) g.2a cantidad de C debe ser igual o superior a la de !.o debe incluir ms de $)) g de C

i $))g de C contiene () mg de -itaminas y />) caloras y $)) g de ! contienen 4) mg de-itaminas y $>) calorasa* U;untos gramos de cada producto debe me3clar para obtener el preparado ms rico en-itaminasb* US el ms pobre en caloras

220 e desea obtener tres elementos qumicos a partir de las sustancias C y !. 8n Ailo de Ccontiene ' gramos del primer elemento, $ gramo del segundo y 4 del terceroG un Ailo de ! tiene /gramos del primer elemento, $ gramo del segundo y 4 del tercero. i se desea obtener al menos $&gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho > y4) gramos respecti-amente y la cantidad de C es como mucho el doble que la de !, calcule los

Ailos de C y y los de ! que han de tomarse para que el coste sea mnimo si un Ailo de C -ale 4))ptas. y uno de ! $))) ptas. UPuede eliminarse alguna restriccin

20 2os precios de -enta de dos productos C y ! estn en la misma relacin que % y &. 2aproduccin de estos est definida por las siguientes condiciones2a produccin de C es mayor o igual que la mitad de ! y menor o igual que el doble de !.2a produccin total es tal que si slo se produce C, se producen $) Ag, y si slo se produce !, seproducen $> Ag. S si se producen con9untamente, la produccin mxima se encuentra en la rectaque une los puntos anteriores.:ar la funcin ob9eti-o de la -enta de ambos productos.Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.:eterminar los Ailos que se han de producir de cada producto para obtener el mximo beneficio.

260 8n carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 4metros y tales que la suma de su dimensin mayor y el doble de la menor no sobrepase / metros.U;ul es el mximo -alor del permetro de dichas mesas

$oluciones

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+0

/0 x M ) , y M ) , x K (y L $4 , (x K y L $4#

20 x ) , y ) , x K y 4 , x K y $ . Entre otras posibles soluciones

0x M ) , y M ) , 4x K y L 4 .

60 2a funcin N es mxima para el -+rtice #(,4*, que es $1 #

H0 2a funcin alcan3a su mximo en el -+rtice #4,$* y su -alor es ' #

0 2as inecuaciones son y ( G y " x ) G y " (x ). 2a funcin es mxima para #),)* y el -aloralcan3ado es )

502os -+rtices son C#&,)*, !#',)* , ;#),'* , :#),/* y E#4,4*. 2a funcin toma el mnimo -alor en el-+rtice : y -ale '#

80 El mximo se alcan3a en #',)* y es '. El mnimo se alcan3a en #),>* y es " $>

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+30 El mximo se alcan3a en #(,(* y es %. El mnimo se alcan3a en #$,$* y es $.

++0 El mximo es 4/ y se alcan3a en todos los puntos de un segmento. Por tanto, la solucin no esDnica. 8na posible solucin es #>&T$%,&)T$%

+/0 ;omo N O x K 4y es paralela a x K 4y " / O ), cualquier punto del segmento que une #/T(,/T(*con #/,)* maximi3a N, dando el mismo -alor , /.

+20 >) de C y $)) de !

+0 4)) normales y ()) halgenas

+60 2a mxima ganancia se obtiene con $4) -ia9es del a-in C y ') del a-in ! y es de >4 millonesde pesetas.El mnimo consumo se obtiene con () -ia9es de cada a-in y es /'))) litros

+H0 && autom-iles y 4/ camiones

+0 > docenas de pasteles del tipo P y 44. > docenas de pasteles del tipo H

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+50 2a solucin ptima mnima es producir $))) rotuladores de clase ! y ninguno de la clase C,siendo el costo mnimo diario de $>)))) pesetas.2a solucin ptima mxima es producir 4))) rotuladores de la clase C y $))) de la clase !, siendoel costo mximo de >>)))) pesetas.

+80 ()) sombreros del tipo !ae y ()) sombreros del tipo Vi3

/30 4/)) unidades del producto C y >4)) del producto !

/+0 ())))) pesetas en acciones del tipo C y 4))))) pesetas en acciones del tipo !.

//0 ( unidades de -ino y 4 de -inagre.

/20 ( contenedores al mayorista C y 4 al mayorista !.

/0 ( Ag del producto C y 4 Ag del producto !.

/60 e minimi3a el precio con $T4 de C y 4 de !.

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/H0

? 5

P 4) ) &

H ) 44 '

/0

7$ 74 7(C ' 4 )

! ) & 1

/50 4) electricistas y () mecnicos

/80 $)) litros de colonia del tipo C y $>) litros de colonia del tipo !.

230 =ay que alquilar > autobuses de /) pla3as y / de >) pla3as. El precio es de &4))) pesetas

2+0 $))) Ag del helado tipo ! y nada de tipo C

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2/0#a* $)) g de C y >) g de !#b* 4> g de C y 4> g de !

220 $.& Ag de C y ).' Ag de !.

20 f#x,y* O #%T&*x K y4y x yT4 G xT$) K yT$> $ G x )G y )()T% Ailogramos del producto C y &)T% Ailogramos del producto !

260 & metros.

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# %ualidad

C cada programa lineal en las -ariables X$, X4,.....,Xncorresponde, asociado otro programa lineal enlas -ariables \$, \4,........, \m #donde m es el nDmero de restricciones en el programa original*,conocido como su dual. El programa original, denominado primario, determinar por completo laforma de su dual.

$ i el primal tiene solucin ptima el dual tambi+n.

4.i el primal tiene solucin no acotada el dual tiene solucin nofactible.

(. i el primal tiene solucin no factible el dual tambi+n.

Existen dos tipos de duales

:uales im+tricos

:uales Csim+tricos

El dual de un programa lineal #primario* en la forma matricial #no estndar*.

P>IMCL

Es el programa lineal:

%UCL

?ecprocamente, el programa dual del programa 4 es el programa $. 2os programas $ y 4 sonsim+tricos en el sentido de que ambos in-olucran -ariables no negati-as y las restricciones dedesigualdadG se conocen como dualessim+tricos uno del otro. C las -ariables duales \$, \4,........,

\m, a -eces se les denomina precios sombra#

2os precios sombra para el recurso i #denotados por SiZ* miden el -alor marginal del recurso esdecir, la tasa a la que N puede aumentar si se incrementa un poco la cantidad que se proporcionade ese recurso bi. El m+todo simplex identifica este precio sombra como SiZO;oeficiente de la "esima -ariable de holgura en el rengln #)* de la tabla simplex final.

34

http://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/ingenieria/datos/sistemas/datos/materias/investigacion_op1/contenido/capitulo%201/dualidades.htm#DUALES%20SIM%C3%89TRICOS%23DUALES%20SIM%C3%89TRICOShttp://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/ingenieria/datos/sistemas/datos/materias/investigacion_op1/contenido/capitulo%201/dualidades.htm#DUALES%20ASIM%C3%89TRICOS%23DUALES%20ASIM%C3%89TRICOShttp://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/ingenieria/datos/sistemas/datos/materias/investigacion_op1/datos/glosario.htmhttp://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/ingenieria/datos/sistemas/datos/materias/investigacion_op1/contenido/capitulo%201/dualidades.htm#DUALES%20SIM%C3%89TRICOS%23DUALES%20SIM%C3%89TRICOShttp://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/ingenieria/datos/sistemas/datos/materias/investigacion_op1/contenido/capitulo%201/dualidades.htm#DUALES%20ASIM%C3%89TRICOS%23DUALES%20ASIM%C3%89TRICOShttp://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/ingenieria/datos/sistemas/datos/materias/investigacion_op1/datos/glosario.htm

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El incremento en bi debe ser suficientemente peque0o para que el con9unto actual de -ariablesbsicas sigan siendo ptimas ya que esta tasa #el -alor marginal* cambia si el con9unto de-ariables bsicas cambia.

i SZ M ) 2a solucin ptima cambia si bi lo hace.

i SiZ O ) 2a solucin ptima no es sensible al menos a cambios peque0os.

$OLU=ION($ %UCL($

eorema de dualidad'i existe una solucin ptima para el programa primario o para el dualsim+trico, entonces el otro programa tiene tambi+n una solucin ptima y las dos funciones ob9eti-otienen el mismo -alor ptimo.

En tales situaciones, la solucin ptima, al programa primario #dual* se encuentra en el Dltimo

rengln del tableau smplex para el programa dual #primario*, en aquellas columnas asociadas conlas -ariables de holgura o superfluas. Sa que las soluciones a ambos programas se obtienen alresol-er cualquiera de ellos, puede resultar -enta9oso, desde el punto de -ista de los clculos,resol-er el dual de un programa, en -e3 de resol-er el programa mismo.

Principio de !olgura complementaria' :ado que un par de programas duales sim+tricos tienensoluciones ptimas, entonces si la A"+sima restriccin de un sistema se conser-a comodesigualdad esto es, la -ariable asociada de holgura o superfluas es positi-a, el A"+simocomponente de la solucin ptima de su dual sim+trico es cero.

:8C2E CI7]5?I;

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;o y Co estn formados por aquellos elementos de ; y de C, ya sea en el programa o en el quecorresponden a las -ariables bsicas en XZG en !o y Co, estn formados por aquellos elementos de! y de C, ya sea en el programa que corresponden a las -ariables bsicas en \Z.

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6# Cn-lisis de $ensibilidad

CAMBIOS EN UN NIVEL DE RECURSOS

(n la empresa en estudio# Por escasez de materia prima solo es posible disponer de +23libras# $er- posible 9abricar nuestros productos con esta cantidad de materia prima# $i esposible7 cmo a9ecta nuestro ob,etio " nuestro plan

=on estas preguntas @ue nos !acemos7 entramos a analizar nuestro recurso sin necesidadde desarrollar todo el problema# (l planteamiento general ser*a'

$ea biel recurso disponible " abiposible aumento o disminucin de este recurso#

$ea !,la ariable de !olgura o (,de e.ceso de un recurso i# (ntonces para @ue un recursose pueda modi9icar debe cumplir la condicin b i4 abiS 3 para las ariables b-sicas7 lo cualnos produce como resultado 9inal un posible tamaTo de cambio para a#

=onsideremos nuestra pregunta' La materia prima est- representada por la ariable:columna0 !olgura !+entonces se tiene @ue'

Base bih1

!"# +!$% aM & #

'!$% 11$* aM & #

%#$% !$* aM & #

La solucin a las desigualdades es la siguiente'

aM S J+36

aM +72H

aM +/3

Cl gra9icar estas desigualdades obtenemos el -rea de solucin del problema#

37

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+36 Cm +#2H +/3

Indica @ue la materia prima se puede reducir en +36 libras o aumentar !asta en +72H libras7 osea @ue el rango de la materia prima est- dado por'

+53 V +36 Mat# Pri# +53 4 +72H

" Ma-. /0i. 11,%

(l alor +23 libras @ue es nuestra limitante est- en el rango de traba,o7 por lo tanto si esposible 9abricar nuestros productos#

=u-l es el nueo plan7 en este caso'

aM=1%# 2 1#= #

!= "# + !$%(#) = 11#$%

h!= $% 11$*(#) = $*

%= #$% !$*(#) = %3#$*

(ste ser*a el nueo plan de produccin :cumple las restricciones07 con un bene9icio m-.imode ' W/7// :comprobarlo0#

(l bene9icio se puede obtener utilizando la 9uncin ob,etio R,@ue mide la contribucin @ueaporta cada unidad#

Una libra de materia prima debe aportar W27// a la 9uncin ob,etio7 como !a" una reduccinel bene9icio ser*a de'

4,%% + %,!!(#) = 4 3!",!!

$i Ud# %esarrolla el mismo proceso para el tiempo de produccin debe llegar a la siguienteconclusin'

% 5 6ie78. /09. 5 h90as

(sto signi9ica @ue el tiempo de produccin se reduce en / !oras sobre la base de 6 :alor dela restriccin tiempo de produccin7 o se puede aumentar en + !ora#

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C%I=IXN %( UNC ;C>ICBL(

Clgunas eces nos preguntamos si una actiidad :ariable no b-sica0 es posible incluirla enla base7 manteniendo las restricciones#

=onsideremos el mismo e,ercicio7 si nuestro cliente desea @ue se le 9abri@uen /3 unidadesdel producto uno# (s posible# Para esto !a" @ue recordar @ue los coe9icientes @ue aparecenen la tabla de solucin son las tasas 9*sicas de sustitucin " siren para trans9ormarasignaciones actuales de recursos :ariables b-sicas0 en asignaciones nueas de recursos:ariables no b-sicas0# Una tasa 9*sica positia indica @ue el alor de la ariable b-sica sereducir- en ese alor al aumentar en una unidad el alor de la ariable no b-sica " unnegatio seTala lo contrario al aumentar el alor de la ariable no b-sica# eniendo encuanta lo anterior podemos plantear lo siguiente'

PLCN

CNIGUO ++NU(;O

=b Base Cntes del=ambio

%espu)sdel =ambio

b+. ;alor de la$olucin

H#6 / /2 J/2Y:/30 +32 3

3

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;onsiderando nuestro caso, se desea producir un nue-o producto X>con un precio unitario de ^% ypor cada unidad fabricada se emplea ( libras de materia prima, 4 pies (de espacio, y una tasa deproduccin de $) unidadesThora.

#"(,44 x (* K #) x 4* K #"$,&&) x #$T$)**Q K % O 4,'4& no entra a la base. upongamos que lautili3acin de los recursos son de $, $, $T$), respecti-amente obtenemos los siguientes resultadosG

#"(,44* x #$* K #)* x #$* K#$,&&* x #$T$)* K % O(,&$/ entra a la base.

os preguntamos cmo se puede insertar esta nue-a -ariable y esta nue-a columna en nuestrosrecursos. 5omando las columnas de las -ariables de holgura mediamos la incidencia que presentaen el comportamiento de la -ariable X>y en la base.

5enemos entonces que

#4T( x $* K #) x $* K #" $) x $T$)*Q O "$T(

#"$$T1 x $* K#$ x $* K#">T( x $T$)*Q O "%T$'

#"4T1 x $* K #) x $* K #/)T( x $T$)*Q O $)T1

2os resultados anteriores son e-aluados en el tablero final.

5omando como referencia la tabla final de nuestro problema ptimo obtenemos la siguientesolucin, al hacer los cambios adecuados en la base y en los coeficientes respecti-os. El resumende estos pasos est indicado en las siguientes tablas

=, 6 H#6 6 6#6# 3 3 3 ;alor de la

=b base + / 2 !+ !/ !2 6 $olucin

H#6 / /2 + 3 / /2 3 J+3 33 !/ J68 3 3 J/ J++8 + J62 62

6 2 8 3 + 3 J/8 3 32 532

R, H#66 H#6 6 +2 2#// 3 +#HH 655#22

=,JR, J+#66 3 3 J#6 J2#// 3 J+#HH

H#6 / /2 + 3 / /2 3 J+3 J+2 33 !/ J68 3 3 J#/ J++8 + J62 J+5 62

6 2 8 3 + 3 J/8 3 32 +38 532

R, H#65 H#6 6 +2 2#// 3 +#HH 6#HH 655#22

=,JR, J+#66 3 3 J#6 J2#// 3 J+#HH +#255

H#6 / 6 + 2+3 / 26 3 JH 3 3

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3 !/ J/6 3 /3 J/ J+2+3 + 2 3 ++

6 /6 3 8+3 3 J+6 3 +/ + /

R, 5 H#6 5#/6 +2 /#6 3 6 H/2

=,JR, J2 3 J2#/6 J#6 J/#6 3 J#6 3

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Unidad III

(l Problema de ransporte ?ecibe el nombre de problemas de transporte debido a quemuchas de sus aplicaciones in-olucran determinar la manera ptima de transportar bienes.

Problemas de Csignacin incluye aplicaciones tales como la de asignar personas a tareas.

Cunque sus aplicaciones parecen ser muy distintas a las del problema de transporte, -eremosque se puede considerar como un caso especial del de transporte.

2as aplicaciones de los problemas de transporte y asignacin tienden a requerir un nDmeromuy grande de restricciones y -ariables, de manera que una aplicacin en computadora delm+todo simplex puede requerir un esfuer3o computacional exorbitante, aunque una

caracterstica cla-e de estos problemas es que la mayor parte de los coeficientes a i9en lasrestricciones son cero.

>estricciones Fundamentales

2a capacidad de produccin de cada una de las m centros de produccin#orgenes* no puede ser infinita. e las designa como

i capacidad de produccin del origen i

5ampoco la capacidad de almacenamiento de las n destino puede ser infinita,se los designa como d9

:9 capacidad de almacenamiento del destino 9

Cmbas -ariables son enteras positi-as.

Para la ise cumple

:esde el punto de -ista de un destino #para :9*

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8na condicin necesaria y suficiente para que un problema detransporte tenga soluciones factibles es que la suma de losrecursos #capacidad total de produccin del sistema* sea igual a lasuma de las demandas #capacidad total de almacenamiento delsistema*

Esta propiedad implica que en la solucin factible

:onde Xi9 son los -alores de las -ariables de decisin en la solucin factible.

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H# (L P>OBL(MC %(L >CN$PO>(

;onsiste en colocar en -arios destinos las unidades situadas en -arios orgenes, en tal forma quela colocacin sea ptima #costo mnimo a ganancia mxima*.

Planteamiento del problema

:efinamos

i O ;antidad disponible en el origen i #i O $,4,`,m* para ser distribuida a uno o ms de losdestinos.

:9O ;antidad requerida por el destino 9#9O$,4,`n* de los orgenes i.; i9O ;osto de en-iar unaunidad desde el origen i hasta el destino 9.

i9O 8nidades en-iadas del origen i al destino 9.

i el problema se plantea como un modelo lineal #-er e9emplo 4 planteado en la formulacin deproblemas de programacin lineal* tiene la siguiente estructura

@.HH. > #5nG5n>

@ #45G45> #44G44>HH. > #4nG4n>H

@ #m5Gm5> #m4Gm4>HH. > #mnGmn>

u9eto a las siguientes restricciones

;on relacin a la oferta tenemos

$rigen 5 G55> G54> HH. >G5nI S5

4 G45> G44> HH. >G4nI S4

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$rigen m Gm5> Gm4> HH. >GmnI Sm

;on relacin a la demanda

estino 5 G55> G45>HHH.> Gm5 J 5

4 G54> G44>HHH.> Gm4J 4

estino n G5n> G4n>HHH.> GmnJ n

El modelo planteado se puede resol-er por programacin lineal, pero su clculo es un pocodispendioso. Por eso utili3amos otros modelos ms fciles de calcular. Estos se desarrollan acontinuacin.

Cmigo estudiante recuerde que en la seccin de planteamiento de problemas se tom comoe9emplo el modelo del transporte, y se indicaron algunas de sus condiciones. Esta informacinpuede resumirse en la siguiente matri3 de costos del transporte

;

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# M)todos de Cpro.imacin

+ (s@uina Nor Oeste

Este m+todo utili3a la tabla de costos para hacer asignaciones a las -ariables de decisin de talmanera que las demandas en los destinos queden cubiertos y los recursos en los orgenes quedenexahustos.

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2C :E7C:C I68C2E C 2

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2 Metodo de ;ogel El9ase la fila o columna con mayor diferencia y asgnese en la que tenga el menor costo. ?epita los pasos hasta terminar.

;onsideremos el siguiente e9emplo para anali3ar la estructura de un problema del transporte y laforma de solucin. 2a compa0a =!! productora de mquinas tiene / plantas #C,!,;,:* endiferentes ciudades que pueden suministrar /)), 1)), 4)) y >)) unidades al mes. 5res centros deconsumo #X,S,N* requieren para su distribucin >)), %)) y ')) unidades respecti-amente. 2acompa0a debe decidir cuntas mquinas en-iar de cada planta a cada centro. Para esto tiene encuenta el costo del transporte en miles de ^ por unidad que est resumido en la siguiente tabla

;E5?)) %)) ')) 4)))

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olucin del problema Para resol-er el problema emplearemos el m+todo de aproximacin deVogel que unas la informacin de costos de oportunidad para determinar una solucin inicialfactible. Por e9emplo consid+rese el origen C, la ruta ms barata que sale del origen C es la que -aal destino S, que tiene un costo de ^& por mquina, 2e sigue en precio la que -a al destino N conun costo de ^$) por mquinaG Entonces, a grandes rasgos, cada mquina de C que no sea en-iadaa S incurrir en un costo adicional de por lo menos ^/O$)"&. El m+todo consiste en e-itar grandes

penali3aciones. El primer paso es locali3ar la mayor de todas las penali3aciones de las filas y lascolumnas, y hacer despu+s una ubicacin que e-ite las penali3aciones grandes. Vemos en estecaso que la tercera fila #planta ;* tiene penali3acin mayor. Para e-itarla, debemos usar la rutadisponible ms econmica de esa fila #me9or destino*. Entonces asignamos tantas unidades comosea posible a ;"X. :ado que la oferta en ; es 4)) y la demanda en X es >)), podemos surtir 4))unidades a la ruta ;"X

Esta distribucin reduce la oferta de ; a < y la demanda de X a ()). Esta operacin estespecificada en el cuadro $/. 2a casilla #;, X* es la de menor costo, entonces buscamos el mnimo-alor entre la oferta y la demanda para estos dos puntos

7n #4)),>))* O 4)). Esta cantidad es la que se asigna a este punto ;"X. 2a planta ; satisface larestriccin, es decir suministra toda su capacidad, quedan pendientes ()) unidades en el destino

X.

; E 5 ? <

X S N

C

; / $) $4 4)) $)"/O&

5 4))

C : & $$ / >)) &"/O4

:E7C:C >)) %)) ')) 4)))

:I @E?E;IC &"/O4 &"/O4 1"/O>

5eniendo como referencia la tabla anterior eliminando o suprimiendo el origen ;, -ol-emos aefectuar el anlisis descrito anteriormente y se obtiene el cuadro $>.

51

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; E 5 ? <

X S N

5 : & $$ / >)) &"/O4

C ())

:E7C:C ()) %)) ')) $'))

:I @E?E;IC $4"&O& &"/O4 1"/O>

En este tablero la lnea de mayor diferencia es la columna de X, y en ella la casilla #:, X* es la de

menor costo. El mnimo entre la oferta y la demanda est dado por min #>)),())* O ()) . Esaoperacin reduce la oferta de : a 4)) y la demanda de X a ).

2a siguiente operacin a partir del tablero anterior conduce a que en la casilla #:, N* es la de menorcosto. El mnimo de la oferta y la demanda para este punto est dado por min*4)), '))* O 4)). 2aplanta : suministra toda su capacidad. Esta operacin se representa en el cuadro $& .

; E 5 ? <

S N

5 : $$ / 4)) $$"/O%

C 4))

:E7C:C %)) ')) $>))

:I @E?E;IC &"/O4 1"/O>

Cs sucesi-amente encontramos otros tableros que nos conducen a la solucin del problema,cuadros $% y $'.

En esta operacin la casilla #!, S* es la de menor costo. El mnimo de la oferta y la demanda esmin #1)),%))* O %)). El centro S satisface sus requerimientos.

@inalmente el cuadro $1 es la solucin del problema.

; E 5 ? <

S N

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P2 C & $) /)) $)"&O/

C

! / 1 1)) 1"/O>

5C %))

:E7C:C %)) &)) $())

:I @E?E;IC &"/O4 $)"1O$

;E 5?)) &"/O4

()) 4))

:E7C:C >)) %)) ')) 4)))

:I @E?E;IC &"/O4 &"/O4 1"/O>

Para cada fila con una oferta disponible y cada columna con una demanda insatisfecha, calcule uncosto de penali3acin restando el menor -alor del que le sigue.

Identifique la fila o columna que tenga el mayor costo penal. #2os empates se resuel-enarbitrariamente*.

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Csigne la mxima cantidad posible a la ruta disponible que tenga el costo ms ba9o en la fila ocolumna elegida en el paso dos.

?edu3ca la oferta y la demanda adecuados en la cantidad asignada en el paso (.

:escarte cualesquier rengln con oferta disponible cero y columnas con demanda insatisfechacero, para consideraciones anteriores.

?egrese al paso $.

E-aluacin de la solucin

8na -e3 aplicado el m+todo y obtenida una solucin inicial factible hay que e-aluarla paracomprobar si es ptima o no. 2o primero que -erificamos es si el problema es consistente o no ensus solucin. Este procedimiento se logra si se cumple la siguiente condicin

m K n " $ M de casillas asignadas. < sea tiene m K n " $ -ariables decisorial bsicas. 2uegoprocedemos a e-aluar la solucin usando el m+todo del eslabn que consiste en e-aluar los costos

de una casilla desocupada #ruta sin en-os* con las casillas ocupadas. El proceso se resume as

Ponga un K en la celda desocupada que interese e-aluar.

Ponga un " en una celda ocupada en la misma columna o fila.

Ponga un K en una celda ocupada de la columna o fila determinada en el paso 4.

El proceso continDa alternando los signos K y " tanto en las filas como en las columnas hasta quese obtenga una sucesin de celdas que satisfagan dos condiciones

=ay un signo K en la celda desocupada de inter+s.

;ualquier fila o columna que tenga un signo K debe tener tambi+n un signo " y -ice-ersa,necesariamente en casillas bsicas.

E9emplo. En muestro e9ercicio -amos a e-aluar la ruta C" y en-iando una unidad.

!##$L +U*! )")#*$ ) C!

@8;I

!umentar 5 unidad !- > N

isminuir 5 unidad !-? >56

!umentar 5 unidad (-? =

isminuir 5 unidad (- - A

>5

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Este resultado indica que por cada unidad en-iada en la ruta C"S el costo aumenta en ^$ milpesos.

E-aluemos otras celdas -acas, por e9emplo la ruta ; " S

!##$L +U*! )")#*$ ) C!

@8;I

!umentar 5 unidad #- >56

isminuir 5 unidad #-G - A

!umentar 5 unidad -G > N

isminuir 5 unidad -? - A

!umentar 5 unidad (-? > =

isminuir 5 unidad (- - A

*otal >58

:e lo anterior se deduce que el costo de transporte se incrementara en ^$(, lo cual es contrario alinter+s de minimi3arlo. Cmigo estudiante considere otras alternati-as y encontrar los siguientesresultados

!-G @ 6 (-G@ > 4 #- @ 58

#-? @ 56 -@ 54

;omo ninguna de las otras rutas sir-e, hemos llegado a la solucin ptima del problema que es lasiguiente

?85C 8I:C:E ;

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^$4)))

El problema del transporte tambi+n plantea otras posibilidades como son

olucin de un problema de transporte a maximi3ar.

e usa el mismo procedimiento de solucin con un ligero cambio, pero fundamental. Piense en los-alores marginales como beneficios en lugar de costos. Cs, se desear asignar unidades a lacelda que tanga el mayor -alor marginal y el procedimiento concluir cuando todas las rutas nousadas tengan -alores marginales negati-os. Planteemos la siguiente situacin donde podemosanali3ar esta aplicacin.

2a compa0a = tiene / fbricas de fertili3antes que suministran $4)), $')), 4))) y 4/)) a tresdepsitos que demandas 4&)), 4/)) y 4/)) toneladas respecti-amente. 2a utilidad en miles de ^de cada una de las plantas a cada uno de los destinos esta dada en la siguiente tabla debeneficios.

: E P < I 5 <

P $ 4 (

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:I @E?E;IC $)"1O$ '"%O$ 1"'O$

: E P < I 5 <

P$ P4 P( "1 $')) $)"1O$

&))

5 :/ "% "% "' 4/)) '"%O$

C

:E7C:C &)) 4/)) 4/)) >/))

:I @E?E;IC $)"1O$ '"%O$ 1"'O$

:EP< I5

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: E P < I 5 <

P$ P4 P( "1 $')) $)"1O$

C &)) $4))

:( "' "/ "& 4))) '"&O4

5 4)))

C :/ "% "% "' 4/)) '"%O$

$.4)) $.4))

:E7C:C 4&)) 4/)) 4/)) %/))

:I @E?E;IC $)"1O$ '"%O$ 1"'O$

;uando el problema no est balanceado.

=emos resuelto el problema del transporte teniendo en cuenta que est ni-elado, o sea, la ofertaigual a la demanda.

;onsideremos que la oferta #orgenes* es mayor que la demanda #destinos*. Para lograr elequilibrio creamos un destino ficticio #nt$* con demanda igual a la diferencia entre la oferta total y lademanda total, expresado como ai"b9y con costo cero, en la casilla #;i, nK$*.

i la demanda es mayor que oferta agregamos un origen ficticio #mK$* con oferta igual a ladiferencia entre la demanda total y la oferta total, expresada como #b9" ai*, y con costo #;mK$, 9* enesta casilla con -alor cero.

El procedimiento para solucionarlo, una -e3 balanceado, es el mismo empleado en los casosanteriores.

?esol-amos el caso de la compa0a 2C?.

5res centros de produccin suministran /), &), 1) miles de unidades de un productomensualmente, a cinco centros de consumo que requieren (), /), >), /). 2os costos de haceren-os por cada mil unidades estan dados en la matri3 de costos del transporte

: E P < I 5 <

P$ 4 ( $' ()

!

$1 4) $> /)

58

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5 ;

$/ $( $' >)

C :

4$ $1 7 ()

:E7C:C

/) &) 1)

Establecer un plan de en-os ptimo a mnimo costo, si el centro ( no puede hacer en-os aldestino d. #considere el -alor de 7 como una cantidad grande en t+rminos de costos.* 2a solucinal problema es la siguiente, con cada uno de sus cuadros respecti-os 4>, 4&, 4% 4', 41 y ().

: E P < I 5 <

P$ P4 P( $' () (

P ! $1 4) $> /) /

2

C ; $/ $( $' >) $

5 : 4$ $1 7 /) 4

C

@A ) ) ) () ) ()

:E7C:C /) &) 1) $1)

:I@E?E;IC $/ $( $>

: E P < I 5 <

P$ P4 P( $' () (

P

2 ! $1 4) $> /) /

C

; $/ $( $' >) $

5 /)

59

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C : 4$ $1 7 /) $

:E7C:C /) &) &) $1)

:I@E?E;IC > 4 (

:EP

5

C : $1 7 /) 7

/)

:E7C:C &) &) $4)

:I@E?E;IC 4 (

:EPC $)

:E7C:C 4) &) ')

:I@E?E;IC 4 (

60

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:EP< I5 (

: E P < I 5 <

P$ P4 P( $' () (

$) 4)

P ! $1 4) $> /) /

2 /) /)

C ; $/ $( $' >) $

4))) $)

5 : 4$ $1 7 /) 4

C /)

@A ) ) "& () ) ()

:E7C:C /) &) 1) $1)

:I@E?E;IC $/ $( $>

Existe otro procedimiento como es el m+todo del costo mnimo. Este trata de asignar tanto como

sea posible al centro de distribucin que tenga el costo unitario de transporte ms ba9o. En el casode que existan dos o ms iguales la seleccin es arbitraria. Cl completarse la demanda, esta se -aa9ustando a las cantidades que estn disponibles, a la par que se disminuye la oferta. El ob9eti-o esbuscar una solucin inicial al problema.

Cmigo estudiante los e9ercicios anteriores trate de resol-erlos teniendo en cuenta este criterio, ycompare sus resultados con los datos anteriormente.

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5# (l problema de la Csignacin

+ (l Problema de la Csignacin

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5raba9ador ( a85 a84 a88 ... a8:

... ... ... ... ... ...

5raba9ador : a:5 a:4 a:8 ... !::

/ROBLEMAS DE ASINACI>N

Los problemas de asignacin ocurren en muc!os conte.tos de la administracin# (ngeneral7 consisten en el problema para determinar la asignacin ptima de m personas uob,etos a n tareas# Por e,emplo7 el administrador puede asignar agentes de entas aterritorios designados#

La restriccin importante7 para cada agente7 es @ue ser- destinado para una " slo unatarea#

Cnalicemos la situacin de la compaT*a &C;# La gerencia general @ue se encuentra enBogot- !a decidido @ue cada uno de los icepresidentes isite una de las plantas de la

compaT*a ubicadas en di9erentes ciudades#

La gerencia empieza por estimar los costos @ue representar- a la compaT*a el en*o de cadaicepresidente a cada planta# =on esos costos el gerente puede ealuar cual@uierdesignacin particular con base en la siguiente matriz de costos'

PLCNC

VICE/RESIDEN6E 1 ! % 3

?i:a:@as (?) !3 1# !1 11

Me0

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Usando el mismo procedimiento del paso +7 lo !acemos en el paso /# (ste paso esnecesario si alguna columna @ueda sin el elemento cero# (n este caso la columna 7 cu"oelemento menor es +# (stos dos pasos se presentan en el traba,o siguiente'

/LAN6A

VICE/RESIDEN6E 1 ! % 3

?i:a:@as (?) 13 # 11 1

Me0educciones posteriores

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(ncuentre la menor de las celdas no cubiertas :sin l*nea recta0 en nuestro caso el alor +7reste el alor de )sta celda a todas las celdas no cubiertas# Cgr)guelo al alor de las celdas@ue se encuentran en las intersecciones de las rectas dibu,adas en el paso 2#%e,e comoest-n las dem-s celdas# >egrese al paso 2# (l resultado de estas operaciones es'

PLCNC

VICE/RESIDEN6E 1 ! % 3

?i:a:@as (?) 1 # 1! #

Me0

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cu-l @ueda sin realizar isita# La solucin del problema se presenta en las siguientestablas'

1 ! % A0

? !3 1# !1 #

M 13 !! 1# #

O +6 + /3 3

/ 11 1* 13 #

1 ! % A0

? % # 11 #

M % 1! # #

O +3 3

/ # * 3 #

M & %? & !

/ & 1

=onsidere @ue el icepresidente de personal no puede ir por cuestionespersonales @ue le impide participar en la interencin administratia# La solucin delproblema se presenta en las siguientes tablas de resultados'

1 ! % 3

? !3 1# !1 11

M 13 1! # 1

O +6 + /3 +8

/ # # # #

1 ! % 3

? 13 # 11 11

M 3 1! #

O 3 / 6

A0 # # # #

? & %

M S /

O S +

2. =onsidere un problema de ma.imizacin# (n este caso la matriz de utilidades senegatiiza se toma el costo m*nimo por columna " se aplica el mismo criterio de unproblema de minimizacin#

(,emplo

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La compaT*a @ue estamos estudiando debe eniar nueos agentes a las regiones deentas7 !a" cuatro agentes para asignarlos a tres nueas regiones# (l e9ecto de ladesignacin de cual@uiera de los agentes a una regin se mide mediante el aumentomarginal anticipado del bene9icio neto debido a tal designacin# La matriz deutilidades es la siguiente#

>(GION

VENDEDOR 1 ! %

A 3# %# !#

B 1 ! !!

C 1! 1 !#

D ! !3 !"

68

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(stablecer la asignacin ptima @ue ma.imice el bene9icio total#

1 ! % ?

A 3# %# !# #

B 1 ! !! # C 1! 1 !# #

D ! !3

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8# ;ariantes de Csignacin

+ Formulacin del Problema de la Csignacin

El problema puede ser formulado como sigue

ea

i9O

$, si la tarea ise asigna al traba9ador;

), de otra manera

Entonces, el modelo de optimi3acin es

7in N O o bien

70

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7ax ZO ai9i9

u9eto a

, i O $, 4, `, :

, ; O $, 4, `, :

i9O $, )

P?

/ (l M)todo % 1

C>(C / $/ $) $4C>(C 2 $> $( $&

e resta el menor elemento de cada rengln #columna* del rengln #columna*correspondiente

P$ O >

P4 O $)

P( O $(

abla C/

M[?UINC + M[?UINC / M[?UINC 2

C>(C + ) 4 /

C>(C / / ) 4

C>(C 2 4 ) (

71

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?estamos ahora 4 de la columna (

H(O 4

abla C2

M[?UINC + M[?UINC / M[?UINC 2C>(C + ) 4 4

C>(C / / ) )

C>(C 2 4 ) $

e encuentra una solucin factible y por tanto ptima

#$, $*, #4, (*, #(, 4*

;osto P$ K P4 K P( K H( O ()

in embargo, no siempre se obtiene una solucin factible con el procedimiento anterior. Esto lo

ilustraremos en el siguiente e9emplo

E;e789

Solucin

abla B/

M[?UINC + M[?UINC / M[?UINC 2 M[?UINC

C>(C + ) ( > 4

C>(C / 4 ) ( 4

C>(C 2 ) $ % (C>(C ( 4 ( )

Chora restamos ( de la columna (

H(O(

abla B2

M[?UINC + M[?UINC / M[?UINC 2 M[?UINC

C>(C + ) ( 4 4

C>(C / 4 ) ) 4

C>(C 2 ) $ / (

C>(C ( 4 ) )

En este caso no es posible una asignacin factible. Cfortunadamente existe unprocedimiento que consiste en tra3ar el mnimo nDmero de lneas a tra-+s de

72

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renglones y columnas que pasen por todos los ceros de la matri3. :e esta formase obtiene

abla B

M[?UINC + M[?UINC / M[?UINC 2 M[?UINC

C>(C + ) ( 4 4C>(C / 4 ) ) 4

C>(C 2 ) $ / (

C>(C ( 4 ) )

El siguiente paso es seleccionar el menor elemento no"tachado #el nDmero $*. Esteelemento se resta de todos los elementos no"tachados y se suma en lainterseccin de dos lneas. El resultado se muestra en la tabla !>

abla B6

M[?UINC + M[?UINC / M[?UINC 2 M[?UINC

C>(C + ) 4 $ $

C>(C / ( ) ) 4

C>(C 2 ) ) ( 4

C>(C / 4 ) )

C continuacin presentamos el m+todo hDngaro #completar lo necesario* a tra-+sdel problema $, es decir, del problema de minimi3acin y su matri3 de costosasociada en la tabla $. El m+todo se lle-a a cabo mediante los siguientes pasos5ahaY

PC< $

?EPI5E desde el rengln $ hasta el N

2ocalice el menor elemento en cada rengln y r+stesele a los dems elementos delmismo rengln

?EPI5E desde la columna $ hasta la N

2ocalice el menor elemento en cada columna y r+stesele a los dems elementosde la misma columna

PC< 4

:etermnese si existe una asignacin factible que in-olucre costos cero en lamatri3 re-isada de costos. Esto significa, determinar si la matri3 re-isada tiene 7lugares con cero, sin que dos de ellas est+n en el mismo rengln o columna. iexiste tal asignacin, la solucin es ptima. i no, se continDa con el paso (

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PC< (

;Dbranse todos los ceros en la matri3 re-isada de costos, con el menor nDmero delneas hori3ontales y -erticales que sea posible. ;ada lnea hori3ontal debe pasarpor todo el rengln, cada lnea -ertical debe pasar por toda la columna. El total delneas de cada columna debera ser menor a :. 2ocalcese el nDmero menor queno est+ cubierto por una lnea en la matri3 de costos. ?+stese el -alor de estenDmero de cada elemento no cubierto por una lnea y sDmese a cada elementocubierto por dos lneas

PC< /. ?eptase el paso 4

E;e789

Se tiene una competencia en una carrera de relevos0 donde deben participarcuatro corredores0 en cuatro diferentes etapas. Un entrenador ha seleccionado alos seis corredores ms veloces0 para los cuales ha determinado su rendimiento0mismo Eue e:presa como el tiempo promedio &esperado' para cada etapa en lasiguiente tablaD

abla 2#J iempos (sperados de cada =orredor

E5CPC $ E5CPC 4 E5CPC ( E5CPC /

;

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7inimi3ar N O &>$$K %($4K &($(K >%$/K &%4$K %)44K &>4(K >'4/

K &'($K %4(4 K &1((K >>(/

K &%/$K %>/4K %)/(K >1//

K %$>$K &1>4K %>>(K >%>/

K &1&$K %$&4K &&&(K >1&/

u9eto a

ingDn corredor debe designarse a ms de una etapa

$$K$4K$(K$/_ $

4$K44K4(K4/_ $

($K(4K((K(/_ $

/$K/4K/(K//_ $

Para cada etapa se requiere un corredor

$$K4$K($K/$K>$K&$O $

$4K44K(4K/4K>4K&4O $

$(K4(K((K/(K>(K&(O $

$/K4/K(/K//K>/K&/O $

$>K4>K(>K/>K>>K&&O $

$&K4&K(&K/&K>&K&&O $

i9O$, si el corredor ise asigna a la etapa;

), de otra forma

b* olucin 7ediante el 7+todo =Dngaro

2a tabla inicial se obtiene agregando dos etapas ficticias con costo cero, tal como se muestra en latabla /

abla #J abla Inicial para el Problema de =orredores

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(CPC + (CPC / (CPC 2 (CPC (CPC 6:Ficticia0

(CPC H:Ficticia0

;

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:Ficticia0 :Ficticia0

=O>>(%O> + ) / ) 4 ) )

=O>>(%O> / 4 $ 4 ( ) )

=O>>(%O> 2 ( ( & ) ) )

=O>>(%O> 4 & % / ) )=O>>(%O> 6 & ) $4 4 ) )

=O>>(%O> H / 4 ( / ) )

PC< /

?epetimos el paso 4, -erificando s se tienen renglones o columnas #no ficticias*llenas de ceros. ;omo no es as, pasamos al paso (.

PC< (

2ocali3amos el nramenDmero menor que no est+ cubierto por una lnea en lamatri3 de costos. Este es el nDmero $, ubicado en la celda #4,4*. Chora restamos $a cada elemento no cubierto por una lnea y sumamos uno a cada elementocubierto por dos lneas. El resultado es la tabla %.

abla #J >educcin Menor (lemento >engln

(CPC + (CPC / (CPC 2 (CPC (CPC 6:Ficticia0

(CPC H:Ficticia0

=O>>(%O> + ) / ) 4 $ )

=O>>(%O> / $ ) $ 4 ) )

=O>>(%O> 2 ( ( & ) $ $

=O>>(%O> $ > & ( ) )

=O>>(%O> 6 & ) $4 4 $ $

=O>>(%O> H ( $ 4 ( ) )

Cntes de continuar, efectuamos el tra3o de lneas hori3ontales y -erticales, el resultado es la tabla'.

abla 5#J razo de L*neas

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PC< /Vemos que no hay una solucin factible. ;ontinuamos con el paso (.

PC< (El menor elemento es nue-amente uno, restamos este numero de las celdas no cubiertas y losumamos a cada elemento cubierto por dos lneas. El resultado se muestra en la tabla 1.

abla 8#J >esta del (lemento Menor

(CPC + (CPC / (CPC 2 (CPC (CPC 6:Ficticia0

(CPC H:Ficticia0

=O>>(%O> + ) > ) 4 4 )

=O>>(%O> / ) ) ) $ ) )

=O>>(%O> 2 ( / & ) 4 4

=O>>(%O> ) > > 4 ) )

=O>>(%O> 6 > ) $$ $ 4 $

=O>>(%O> H 4 $ $ 4 ) )

2a matri3 de la tabla & es ptima, ya que se tiene el nDmero de ceros #&* requerido.Esta solucin se muestra en la tabla $).

abla +3#J solucin Xptimo $!eduling

(CPC + (CPC / (CPC 2 (CPC (CPC 6:Ficticia0

(CPC H:Ficticia0

=O>>(%O> + )Z > ) 4 4 4

=O>>(%O> / ) ) )Z $ ) )

=O>>(%O> 2 ( / & )Z 4 4

=O>>(%O> ) > > 4 )Z )

=O>>(%O> 6 > )Z $$ $ $ $

=O>>(%O> H 4 $ $ 4 ) )Z

cheduling es un nombre gen+rico que se utili3a para problemas de asignacin, con referencia a laasignacin de tareas en procesadores de cmputo. :e esta manera, cheduling es un acti-idadque se utili3a en ;mputo Paralelo y :istribuido. =ay una gran -ariedad de Problemas decheduling, de modo que aqu se presentar solamente una introduccin a estos problemas y sedescribirn en t+rminos generales los m+todos de solucin.El problema de cheduling se refiere a la asignacin de tareas donde cada procesador de modoque

8na tarea slo puede ser asignada a un procesador

8n procesador puede reali3ar una o ms tareas

8na tarea ipuede tener o no, un determinado grado de dependencia de otra tarea;, demodo que pueden existir restricciones de secuencialidad entre tareas.

e tiene una carga de traba9o de :tareas isobre un procesador . Esto origina pesosi3de las tareas isobre el procesador . Estos pesos refle9an los recursos que elprocesador utili3a para reali3ar la tarea i. 8na forma simple de -er el problema es pensarque estos pesos representan tiempo de procesamie