Marco Paluszny, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín...
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Marco Paluszny, Departamento de Matemáticas, Marco Paluszny, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede MedellínUniversidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Geometría: un puente desde las Matemáticas hacia la Tecnología
Cátedra Pedro Nel Gómez, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, marzo 2009
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La matemática, como construcción social,
"nace con una utilidad práctica"
Primero, hace decenas de miles de años para contar uno, dos, ..... , mucho - de hecho el número dos se inventado varias veces, de ahí sus varias formas fonéticas dos, par, couple acoplar.
Posteriormente, posiblemente se empezó a contar con el sistema decimal - diez dedos?
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Los babilonios inventaron el sistema hexadecimal.
Del palacio del rey Sargon II, siglo VIII A.C
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La puerta de Istar, Babilonia (Irak) - Berlín
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El sistema hexadecimal: - en base de 64
decimal 3.245 = 3 *1.000 + 2*100 + 4*10 + 5 = [3 2 4 5]
hexadecimal 3.245 = 50*64 + 45 = [50 45]
ventajas: más versátil para aproximar fracciones, es divisible por 2, 4, 8, 16 y 32
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2000-700 antes de Cristo, la civilización babilonia tenía tablas para los cuadrados de los números y sabían la fórmula
a*b = [(a + b)2 - (a - b)2]/4
o sea podían expresar el producto en términos de cuadrados.
En geometría conocían el teorema de Pitágoras (siglo VI antes de Cristo).
La matemática babilonia es la base de la astronomía (= astrología).
- muy importante en ese período
Gudea , monarca de Lagash, consultó la tabla de estrellas de la diosa Nanshe en una situación de crisis en Mesopotamia.Esto ocurrió 2.100 años antes de Cristo
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¿Era relevante el conocimiento matemático para su sociedad?
- astrología como una técnica de producción de augurios - anticipación de intenciones sobrenaturales, - predicción del tiempo (importante para la productividad agrícola) y - preparación para las crisis sociales y también para la predicción de eclipses y posiciones de los planetas
El conocimiento de los babilonios sobre áreas y volúmenes parece no haber sido muy preciso: el número pi lo aproximaban con 3 (y en una era posterior, por 3 1/8).
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La geometría griega empieza con Tales en Mileto, una ciudad situada en la costa de Turquía, unos 600 años antes de Cristo. Se le asocia el teorema de Tales
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Escultura contemporánea de Alejandro, Lyssippos. Louvre.
Los conocimientos babilonios de astronomía influencian la matemática griega a través de la conquistas de Alejandro Magno.
- Año 330 antes de Cristo.
Cuentan los recopiladores griegos que Calístenes (cronista de Alejandro) le hace llegar a su tío Aristóteles una recopilación de los conocimientos babilonios en astronomía.
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Aristóteles (der) con Platón, fresco de Rafael. Siglo XVI.
Los conocimientos babilonios de astronomía influencian la matemática griega a través de la conquistas de Alejandro Magno.
- Año 330 antes de Cristo.
Cuentan los recopiladores griegos que Calístenes (cronista de Alejandro) le hace llegar a su tío Aristóteles una recopilación de los conocimientos babilonios en astronomía.
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En el siglo IV antes de la era cristiana, la famosa ciudad de Alejandría, en el delta del Nilo en Egipto es el centro del conocimiento, allí confluye Grecia, Babilonia y Egipto.
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Aproximadamente, 300 años antes de Cristo, Euclides escribe sus Elementos en Alejandría.
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Aproximadamente, 300 años antes de Cristo, Euclides escribe sus Elementos en Alejandría.
Euclides,escultura contemporánea, Oxford
La geometría griega introduce el rigor y la noción de prueba en las matemáticas.
Cerca de 250 años BC, Apolonio también trabaja en Alejandría - famoso por las cónicas, secciones del cono (a Euclides también se le atribuye haber estudiado las cónicas).
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Las cónicas son secciones planas de un cono.
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La gran biblioteca de Alejandría se quemó en el siglo I.
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¿Conecta realmente la matemática griega con la tecnología?
Arquímedes en el siglo III antes de Cristo trabaja en la aproximación del círculo
L. Piegl y W. Tiller estudian las aproximaciones del círculo con cónicas, curvas de grado tres y de grado cuatro (IEEE CG&A, 2003)
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¿Tienen las cónicas alguna otra aplicación, distinta de aproximar curvas?
¡ Si, para construir tubos !
Para eso debemos introducir el espacio 4D, de cuatro dimensiones
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Esferas y el espacio multidimensional
- centro (a,b,c), radio r
está determinada por un punto en 4D
Una secuencia de esferas
- (a1,b1,c1,r1 ), (a2,b2,c2,r2 ), (a3,b3,c3,r3 )
4D
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Un pionero de la visualización en 4D con Computación Gráfica es T. Banchoff, de Brown University.
Una curva en 4D, determina una familia de esferas
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Cuando tomamos un cono en 4D, los puntos del círculo corresponden a las esferas que “barren” el toro
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Si tomamos otras curvas en 4D
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¿Cual es la aplicación tecnológica de la geometría 4D?
4D
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4D
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Para terminar, veremos algunas animaciones
- en todos los casos el tubo se deforma utilizando controles en 4D
- cada tubo está formado por dos o tres pedazos, cada uno corresponde a un pedazo de cónica en 4D