Problemas x— A eos (cot + <¿>) a = —oj2x

CO / _ ^ [rn T = 2 " J k

v = cjA max. T=2TT V g <*máx. = " 2 A E = \ kA2

1.1 Sea el movimiento (distancia en cm y tiempo en seg) x = 3 eos 21 Encontrar la amplitud, el período y la frecuencia del movimiento. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración máxima?

Resp. 3 cm, 7r seg, 1/ir seg" 1 , 6 cm/seg, 12 cm/seg 2. 1.2 La gráfica de la figura 1.1 P representa el desplaza-miento de un oscilador armónico en función del tiempo. Encontrar la amplitud, el período, la frecuencia y la ecuación del movimiento. Resp. 3 cm, 2 seg, 1/2 seg" 1 = 3 sen7rt.

x cm

O

A \

0,5 l \ 1.5 / 2,0 W t( seg)

Figura 1.1 P

1.3 La gráfica de la figura 1.2 P representa el despla-zamiento de un oscilador armónico en función del tiempo. Encontrar la amplitud, el período y la frecuencia del movimiento. Si la ecuación del desplazamiento está dada como x = A sen (coi + <p), ¿cuál es la fase inicial del movimiento?

Resp. 3 cm, 2 seg,\ seg 1 , <¿> = ^ rad. 1.4 Un oscilador armónico de amplitud 20 cm tiene una velocidad de 4 m/seg cuando pasa por su posición de equilibrio. ¿Cuál es el período y la aceleración máxi-ma? Resp. tt/10 seg, 80 m/seg 2 .

1.5 El movimiento de un pistón es prácticamente ar-mónico. Si su amplitud es 10 cm y su aceleración má-xima es 40 cm/seg 2, ¿cuáles son su período y su velo-cidad máxima? Resp. n seg, 20 cm/seg. 1.6 El movimiento de la aguja de una máquina de co-ser es prácticamente armónico. Si su amplitud es 0,4 cm y su frecuencia 20 ciclos/seg, ¿con qué velocidad la aguja penetra las telas? Resp. 1Ó7T cm/seg. 1.7 Un cuerpo de masa 0,5 kg fijado a un resorte de constante 2 nt/m oscila con una energía de 0,25 julios. ¿Cuál es la amplitud y el período del movimiento, y su velocidad máxima? Resp. 0,5 m, n seg, 1 m/seg. 1.8 Una rueda de eje horizontal fijo gira a razón de 5 revoluciones por segundo. Tiene una manija a 40 cm del eje. Si se sabe que la luz del Sol incide vertical-mente sobre la rueda, calcular la amplitud, la frecuen-cia, el período y la frecuencia angular de la sombra de la manija sobre la Tierra. Resp. 40 cm, 5 seg" 1 , 1/5 seg, IO7r seg" 1 . 1.9 Un cuerpo colgado de un resorte oscila con un período de 1/5 de segundo. ¿Cuánto quedará acorta-do el resorte al quitar el cuerpo? Resp. 1 cm. 1.10 Mostrar que el período de un cuerpo colgado de un resorte es: T siendox el alargamiento del resorte. 1.11 Hallar la longitud de un péndulo simple cuyo período es 2 segundos. Resp. 1 m. 1.12 Un péndulo simple de 2,5 m oscila con una am-plitud de 15 cm. Calcular: (a) el período, (6) la velo-cidad del péndulo en el punto más bajo; (c) la acelera-ción en los extremos de su trayectoria. Resp. n seg, 30 cm/seg, 60 cm/seg 2. 1.13 Un resorte se alarga 10 cm con un peso de 2 nt. ¿Cuál es la masa de un cuerpo si suspendido al resor-te oscila con un período de 2 segundos? (n 2 = 10). Resp. 2 kg. 1.14 Un cuerpo de masa 0,5 kg fijado a un resorte, oscila con una energía de 0,25 julios y un período de 7r segundos. ¿Cuál es la ecuación del movimiento del cuerpo si para t = 0,x = 0? Resp. 0,5 sen 21. 1.15 A un cuerpo de masa 2 kg se aplica una fuerza F= (x — 4) 2 en el sentido positivo de los* y una fuerza F' = x2 + 16 en el sentido negativo de Iosjc (Fen newtons y x en metros). Mostrar que el movi-miento resultante es armónico y calcular su período. Resp. 7r seg. *1.16 Sean los dos resortes de constantes kx y k2

pero de misma longitud 5 en reposo, (figura 1.3 P) y un cuerpo de masa m entre ellos. Mostrar que el pe-ríodo de vibración es: T m

+ k0

k 1 ra

- M -Figura 1.3 P

*1.2A Resonancia en acústica

Test No. 1 Movimiento armónico simple Las preguntas 1 a 4 se refieren a la siguiente informa-ción: Sea el movimiento x = 3 eos 8 irt. (Las distancias en cm y los tiempos en seg.) 1. El p e r í o d o del mov imiento es: (a) 0,25 seg; (b) 0,5 seg; (c) 1 seg; (d) 2 seg; (e) 4 seg. 2. La frecuencia del movimiento es: (a) 0,25 seg" 1 ; (b) 0,5 seg" 1 , (c) 1 seg" 1 ; (d) 2 seg" 1 ; (e) 4 s e g ' 1 . 3. La velocidad máxima es:

(a) 6 cm/seg; (b) 24 cm/seg; (c) -|7T cm/seg; (d) 8 tt cm/seg; (e) 24 7r cm/seg. 4. La aceleración máxima es: (a) 24 cm/seg 2; (b) 24tt cm/seg 2; (c) 64 7t2 cm/seg 2; (d) 192 tt cm/seg; (e) 192 n2 cm/seg 2 . Las preguntas 5 a 7 se refieren a la siguiente informa-ción: Un cuerpo fijado a un resorte oscila con una amplitud de 0,5 m y un período de n segundos. La energía cinética máxima del cuerpo es 0,25 julios. 5. ¿Cuál es la masa del cuerpo? (a) 0,25 kg; (b) 0,5 kg; (c) 1 kg; (d) 2 kg; (e) 5 kg.

Si se golpea un diapasón, otro diapasón de igual fre-cuencia situado a alguna distancia se pondrá a vibrar. Un cantante puede hacer oír una nota de un piano, cantando delante de él la misma nota o hacer vibrar un vaso de cristal hasta provocar la ruptura sin to-carlo. Una vitrina puede vibrar cuando pasa un avión o un bus en la vecindad. Si un diapasón que vibra toca una mesa, el sonido se amplifica; la mesa vibrará en oscilaciones forzadas. Pe-ro si queremos mejorar esta amplificación, se adapta una caja de resonancia calculada de tal manera que ha-ya resonancia entre las ondas de la caja y el diapasón. El violín, como el piano, son cajas de resonancia de acople fuerte que amplifica todos los sonidos de las cuerdas vibrantes en oscilaciones forzadas. Lo mis-mo se puede decir de los altavoces, teléfonos y del tímpano del oído. En una orquesta, un violín ligeramente desafinado, to-cará exacto, por las vibraciones forzadas impuestas por los otros violines.

*1.3A Resonancia en electricidad Sintonizar una emisora es modificar la frecuencia de un circuito receptor, de tal manera que entre en reso-nancia con la frecuencia de las ondas captadas. En es-te momento, la corriente del circuito receptor es máxi-ma y fácilmente se podrá amplificar.

7. ¿Cuál es la energía total? (a) 0,25 julio; (b) 0,5 julio; (c) 1 julio; (d) 2julios; (e) 5 julios. Las preguntas 8 a 10 se refieren a la siguiente informa-ción: Sea un péndulo simple de longitud / y de período T en un lugar en donde la aceleración de la gravedad es g. 8. Si en el mismo lugar otro péndulo tiene un período 2 T es porque su longitud es: (a) //4; (6) //2; (c) /; (d) 2/; (e) 41. 9. Si en el mismo lugar, otro péndulo tiene una longi-tud 41, su período es: (a) 7/4; (Z>) T/2; (c) T; id) 2T; (e) 4T. 10. Si en otro lugar, otro péndulo de igual longitud tiene un período 2 T, la aceleración de la gravedad es: (a) g/4; (b) g/2; (c) g; (d) 2g- (e) 4g.

6. ¿Cuál es la constante del resorte? (a) 0,2 nt/m; (b) 0 ,5nt /m; (c) 1 nt/m; (d) 2 nt/m; (e) 5 nt/m.

(c) Puentes. Los puentes deben construirse con fre-cuencias propias muy diferentes de las que puede pro-ducir el viento o los hombres. Citamos dos casos: en Francia, el 14 de abril de 1850, al paso de una tropa en formación, el puente de la Maine se rompió debi-do a la resonancia entre la frecuencia propia del puen-te y la del paso de los soldados. Desde este día, los soldados de cualquier parte del mundo, deben romper la formación al pasar sobre un puente. En Estados Unidos, el lo. de enero de 1940, sobre el puente del Estrecho de Tachoma, el viento produjo una fuerza periódica en resonancia con una frecuencia propia del puente. El puente se columpió hasta rom-perse.