m.a.s.

Un cuerpo está en equilibrio estático si no se desplaza ni gira, es decir, si no se mueve.

EQUILIBRIO ESTÁTICOEQUILIBRIO ESTÁTICO

En una posición de equilibrio estático pueden darse tres situaciones distintas.

Si se separa ligeramente la bola del punto de equilibrio, aparecerán fuerzas que tenderán a hacerla regresar a su punto original de estabilidad.

Si se separa ligeramente la bola del punto de equilibrio,

aparecerán fuerzas que tenderán a alejarla de su punto original de estabilidad.

Si se aparta ligeramente la bola del punto de equilibrio, la misma permanece en equilibrio en la nueva posición.

Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente

m.a.s.

Frente a la perturbación de un cuerpo en equilibrio estable, la naturaleza responde con un movimiento que tiende a que el cuerpo vuelva a recuperar su posición de equilibrio. Este movimiento en su versión más sencilla se denomina “movimiento armónico simple” (m.a.s.).

EQUILIBRIO ESTABLEEQUILIBRIO ESTABLE

Este tipo de movimientos se da continuamente en la naturaleza (movimiento de un resorte, el péndulo, movimiento de los átomos en la materia, etc.) y no solamente con cuerpos materiales sino también con valores de magnitudes (la presión del aire da lugar al sonido, los campos electromagnéticos dan lugar a la luz, etc.). Por ello es importante su estudio.

animación animación

m.a.s.

Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan.

Mov. Circular uniformeMov. Tierra en torno al Sol

Las dos magnitudes características de los movimientos periódicos son: el período y la frecuencia.

El período, T, es el tiempo empleado en realizar una vuelta completa o ciclo, es decir el que transcurre hasta que se repite el movimiento. Se mide en segundos (s).

La frecuencia, o f, es el número de vueltas o ciclos realizados en la unidad de tiempo. Se mide en , hertzios (Hz) o s-1.

sciclos

De las definiciones se deduce :f

T 1

T=1año=3.1536.000sf=1vuelta/año=0’00000003Hz

= 2/3156000 rad/s

ALGUNAS DEFINICIONES PREVIASALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS

La frecuencia angular, , es el número de radianes que recorre en la unidad de tiempo. Se mide en .radianes

s

22 fT

m.a.s.

Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones. Mov. de un péndulo

La posición de un cuerpo en una oscilación viene definida por la distancia a la que se encuentra el cuerpo que oscila de la posición de equilibrio. Esta posición se define por la elongación.

La elongación, x, es la distancia que, en un instante dado, separa el cuerpo que oscila de la posición de equilibrio. Se mide en metros (m).

La amplitud, A, es la elongación máxima. Se mide en metros (m).

ALGUNAS DEFINICIONES PREVIASALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS

x A

m.a.s.

Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria tiene su origen en el centro de la misma, de manera que las amplitudes a ambos lados del origen son iguales

Mov. de un diapasónMov. de un resorteMov. cuerdas de guitarra

ALGUNAS DEFINICIONES PREVIASALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS

m.a.s.MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (mas)MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (mas)Un cuerpo sujeto a un resorte que se ha desplazado de su posición de equilibrio, en ausencia de rozamientos, realiza un “movimiento armónico simple”.

MV

Un “movimiento armónico simple”, (m.a.s.), es un movimiento rectilíneo de aceleración variable producido por una fuerza proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario: kxF

Un cuerpo que describe un m.a.s. se denomina oscilador armónico.

m.a.s.MAGNITUDES DEL masMAGNITUDES DEL mas

OXO-A A

x

OX.- Eje sobre el que se produce el movimiento.

O.- Posición de equilibrio. Todas las distancias se miden a partir de dicho punto.

x.- Elongación. Posición en la que está el cuerpo en un instante t, respecto a O.

A.- Amplitud. Máximo valor que alcanza x. Tiene el mismo valor a ambos lados.

T.- Período. Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa.

f.- Frecuencia. Es el número de oscilaciones que realiza en la unidad de tiempo.

.- Frecuencia angular o pulsación

fT 1

T 2

m.a.s.ECUACIÓN DEL masECUACIÓN DEL masLa ecuación de movimiento de un cuerpo es una fórmula que nos permite, conocido el tiempo t transcurrido desde el inicio del movimiento, determinar la posición del cuerpo.Para encontrar la ecuación del m.a.s. consideremos el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte y dibujemos la gráfica x-t.

MV

+A

-A

0

T/4 2T/4 3T/4 4T/4

x

t

A

0

-A

4T/4

3T/4

2T/4

T/4

m.a.s.ECUACIÓN DEL masECUACIÓN DEL masMV

La ecuación que representa esta gráfica ha de ser del tipo seno o coseno.

A

0

-A

4T/43T/42T/4T/4

m.a.s.ECUACIÓN DEL masECUACIÓN DEL mas

De lo anterior podemos deducir que la ecuación que representa un movimiento armónico simple es:

)( 0 tAsenx )cos( 0 tAxo

Donde:x.- Elongación. Posición en la que está el cuerpo en un instante t, respecto a O (m).A.- Amplitud. Máximo valor que alcanza x. Tiene el mismo valor a ambos lados (m)..- Frecuencia angular o pulsación (rad/s).t.- Tiempo en el que queremos calcular x (s). 0.- Fase inicial o desfase. Se calcula a partir de las condiciones iniciales (rad).(t+0).- Fase(rad).

EJERCICIO 1

Un cuerpo que oscila con M.A.S. de 10 cm de amplitud, posee un periodo de 2 s. Calcula: la posición del cuerpo, la velocidad y la aceleración cuando ha transcurrido 1/6 de período.t = T/6

m.a.s.VELOCIDAD EN EL masVELOCIDAD EN EL masEn un m.a.s. la velocidad varía en función de la posición, siendo nula en los extremos y máxima en el centro de la trayectoria.Para cualquier movimiento la ecuación de la velocidad en cada instante se obtiene derivando la ecuación de la posición con relación al tiempo:

dtdxv

En nuestro caso, derivando la ecuación del m.a.s. con respecto al tiempo obtenemos:

)cos( 0 tAv )( 0 tsenAvo

Ecuaciones que nos permiten calcular la velocidad en función del tiempo.

m.a.s.VELOCIDAD EN EL masVELOCIDAD EN EL masLa gráfica velocidad-tiempo (v – t) para el m.a.s. la podemos obtener a partir de una tabla de valores:

Considerando 0=0:

0cos( ) cos( )v A t A t

v (m)

t (s)T4

0T2

3T4

T

+A·ω

– A·ω

0

t (s) cos ωt v (m/s

0 1 +Aω

0 0

-1 -Aω

0 0

1 +Aω

T2

T4

3T4

T

m.a.s.VELOCIDAD EN EL masVELOCIDAD EN EL masPara obtener la velocidad en función de la posición:

)()(1)cos( 0222

02

0 tsenAAtsenAtAv

22 xAv

De estas ecuaciones podemos deducir que la velocidad en un m.a.s. es función periódica del tiempo, que su valor depende de la posición de la partícula y que tiene un valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos.

En el centro x=0 :

En los extremos x=±A :

Av max

0min v

m.a.s.ACELERACIÓN EN EL masACELERACIÓN EN EL masEn un m.a.s. la aceleración no es constante y varía en función de la posiciónPara cualquier movimiento la ecuación de la aceleración en cada instante se obtiene derivando la ecuación de la velocidad con relación al tiempo:

dtdva

En nuestro caso, derivando la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo obtenemos:

)( 02 tsenAa )cos( 0

2 tAao

Ecuaciones que nos permiten calcular la velocidad en función del tiempo.

m.a.s.ACELERACIÓN EN EL masACELERACIÓN EN EL masLa gráfica aceleración-tiempo (a – t) para el m.a.s. la podemos obtener a partir de una tabla de valores:

Considerando 0=0:

2 20( ) ( )a A sen t A sen t

a (m)

t (s)T4

0T2

3T4

T

+A·ω2

– A·ω2

0

t (s) sen ωt a (m/s2)

0 0 0

1 -Aω2

0 0

1 +Aω2

0 0

T2

T4

3T4

T

m.a.s.ACELERACIÓN EN EL masACELERACIÓN EN EL mas

Para obtener la aceleración en función de la posición:

xa 2De estas ecuaciones podemos deducir que la aceleración en un m.a.s. es función periódica del tiempo, que su valor depende de la posición de la partícula y que tiene un valor máximo en los extremos de la trayectoria y se anula en el centro.

En los extremos x=±A :

En el centro x=0 :

Aa 2max

0min a

EJERCICIO 2Un cuerpo, partiendo de x=A, realiza un m.a.s. de 100cm de amplitud con un periodo de 2s. Representar las gráficas x-t, v-t y a-t para este movimiento.Calcular la posición, la velocidad y la aceleración del cuerpo cuando t=0,5s.Calcular la velocidad y la aceleración del cuerpo cuando se encuentra en x= 0,5m.

m.a.s.DINÁMICA DEL masDINÁMICA DEL masUn cuerpo que realiza un m.a.s. está sometido a una fuerza directamente proporcional a su posición dada por:

xa 2

kxF Su aceleración, según hemos visto está dada por:

De acuerdo con la 2ª ley de Newton, podemos escribir:

2 2. .( ) kF m a kx m x k mm

2 2 mT Tk

m.a.s.ENERGÍA EN EL masENERGÍA EN EL masUna masa m puntual que efectúa un m.a.s. tiene una energía cinética debida a su velocidad y una energía potencial elástica debida a su elongación (posición).

2 2 2 20 0

1 1 1[ cos( )] cos ( )2 2 2CE mv m A t kA t

La energía cinética estará dada por:

que en función de la elongación puede escribirse como::

2 2 21 1 ( )2 2CE mv k A x

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1Ec

t

m.a.s.ENERGÍA EN EL masENERGÍA EN EL masUna masa m puntual que efectúa un m.a.s. tiene una energía cinética debida a su velocidad y una energía potencial elástica debida a su elongación (posición).

212PE kx

La energía potencial elástica estará dada por:

que en función del tiempo puede escribirse como::

2 20

1 ( )2PE kA sen t

Ep

t1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m.a.s.ENERGÍA EN EL masENERGÍA EN EL masLa energía mecánica (total) que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial:

2 2 2 21 1 1( )2 2 2m P CE E E kx k A x kA

t

La energía mecánica de un oscilador armónico es una constante característica de éste directamente proporcional al cuadrado de la amplitud.

1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2Em

OSCILADOR ARMÓNICO

EJERCICIO 3Una masa de 100g unida al extremo libre de un muelle describe un m.a.s. de ecuación X=0,1.sen(20.t), en metros. Determina:Las energías cinética y potencial en función del tiempo.La energía mecánica.Las energías cinética y potencial cuando x=0,04m.

m.a.s.OSCILACIONES AMORTIGUADASOSCILACIONES AMORTIGUADASEn una situación ideal, un m.a.s. se repite indefinidamente y, según hemos visto, su energía se mantiene constante.

En los movimientos reales intervienen fuerzas de rozamiento que originan una pérdida de energía mecánica que se transforma en calor, ésta pérdida de energía mecánica en el sistema hace disminuir la amplitud de la oscilación hasta que se para. A estas oscilaciones las denominamos oscilaciones amortiguadas.

2 212

mm

EE kA A

k

Si Em disminuye, también lo hace A.

Oscilación libre Oscilación amortiguada

animación

m.a.s.OSCILACIONES FORZADASOSCILACIONES FORZADAS

Podemos compensar la pérdida de energía en un movimiento oscilatorio a causa del rozamiento mediante una fuerza añadida en cada oscilación. Este tipo de oscilaciones se denominan oscilaciones forzadas.

animación

Si esta fuerza exterior se aplica con la misma frecuencia que posee el oscilador, se produce el fenómeno denominado resonancia.

En la resonancia, un pequeño valor de la fuerza aplicada puede producir un gran aumento de la amplitud de oscilación.

m.a.s.PÉNDULO SIMPLE. ¿Realiza un m.a.s.?PÉNDULO SIMPLE. ¿Realiza un m.a.s.?

Un péndulo simple consta de una masa puntual m que cuelga de un hilo de longitud L, inextensible y sin masa.

m

y

P= mg

T

Py= mg cos

L

x

Px = – mg sen

Las fuerzas que actúan sobre la masa son el peso, P, y la tensión, T.

Descomponiendo el peso, obtenemos que la fuerza resultante, responsable del movimiento es:

xF P mgsen Para ángulos pequeños (<30º): sen

Y por geometría: =x/L.

mgF mg x kxL

Por tanto, un péndulo, para pequeñas oscilaciones, describe un m.a.s. con k=mg/L., y, en consecuencia, T=2(L/g)1/2.