UNIDAD IV

APLICACION,ES'

. \

.'.

Introduce.6n

,

En la Unidad 111estudiamos la parte .mós importante de la estructura delconjunto de números reales con .el objeto de facilitar la aplicación de éstas'en situaciones reales, sin embargo, es indispensable cierto grado de me-canización para agilizar el desarrollo de las expresiones simbólicas.

" En esta unidad ya no exigimos justificación a cado paso,"siendo res-ponsabiliqad del alumno haber"efectuado suficientes ejercicios como paramemorizar postulados y teoremas y es tani~.ién su responsabilidad efec.

~tuar los elercicios de esta unidad para adquirir la agilidad ,y destreza ne-cesarias, para lo cual se proporciona la terminología que le facilitará laaplicación de la teoría.

, . I

\

" 161

Objetivos l.n~r8Ies

Al término del estudio de esta unidad, el alumno:

1. Conocerá lo que es un término y una expresión algebraica.

. 2. Efectuará las' operaciones, suma, resta, multiplicación,división y po-tenclaci6n, con expresiones algebraicas con coeficientes racionales,aplicando los postulados y teoremas conocidos sobre ellas.

.3. Empleará ellenguaie de la matemática 'como instrumento de abstrac-ción y generalización para representar situaciones concretas.,

4. Resolveráecuacionesde 1er.grado,sencillascon una variable.

162

Diagrama temático estructural

Propiedades de la igualdad,postulados de campo

Terminología

Operacionef? con expresionesaJgebraicas

Polinomio$f

División de expresionesalgebraicas~

Productos notables

. Factorización de expresionesalgebraicas

Operaciones cón fracciones+, -, ., +

163

Aplicaciones

Glosario

Expresión algebr,alca.Se. llama expresión algebraica al las combinaclone~de números, literales, variables y signos de operación (+,. -, X, +).

Término.Se llama término o monomlo a una expresil>nalgebraica la cualno estó enlazada por los signos de operación (+, -).

Coeficiente. Es el factor o factores que indica el número de sumando~. iguales. .

Términos semeiantes. Se dice que dos o mós términos son semeiantescuando difieren únicamente en el coeficiente, pero teniendo iguales elresto' de sus factores (o sea, que consisten de las mismas literales yexponentes). .

Potencia. Se 'lIamapotencia a la representación de un producto de facto-res iguales entre sí. .

Base. Se llama la base de uno potencio 01factor que se repite tontos ve-ces como lo indica el exponente.

Exponente. El exponente es el número que se escribe en lo porte superiorde la base, y el cual indico.Iasveces que ella se repite comofactor.

Binomio. Es la e~presión algebraica que tiene dos ~érm.inos y estón rela-o cionado~ por un signo de operación.

Trinomio. Es lo -expresióh. algebraica que contiene tres términos enlaza-dos por I?s signos de operación. \

Polinomio. Se llama o la 'expresión racional entero acomodado en ordendescendente.'

Mfnlmocomún múltlplo.Cuando determinamos la suma de 2 o mós frac-ciones y las debemos cambiar por otras equivalentes con un denomi-

. nador común y e~cual sea mínimo.Fracción complela.

/

. Factor común. Se llamo 01 mismo factor que aparece en codo uno de lostérminos de un polinomio.

164

M6dulo 13

OBJETIVOS ESPECIFICaS

Al término del estúdio'de este módulo,,el alumno:

1. Reconocerá t~rminos y expresiones algebraicas.

2. Reconocerá en un término algebraico, 01coeficiente numéricoo y lite-ral respectoa algúnfactor o factoresde ella. ..

3. Distinguirátérminos semej~ntes en ~na expresión algebraica.

4. R~alizará las operaciones de suma y resta con expresiones alge-. bralcas.

ESQUEMA RESUMEN

Terminologfa:

Expresiones algebraicas.Términos algebraicos.Términos semejantes.Sumo y resto de expresiones algebraicas. .

Reducción de términos semejantes.Ejemplos. .~

165

Terminología

Hemos visto algunos nociones fundamentales en el manejo de los númerosreales, y a medida que avancemos en la construcción de nuestro sistema'matemático, seguiremos empleando todos los postulados y teoremas hastaaquí vistos. Es muy importante la comprensión de todos esos postuladosy teoremas, ya que esas mismas ideas las iremos aplicando en combinacio-nes de símbolos y letras coda vez más grandes y complicadas, pero quesiguen representando a los mismos números .reales 'manejados en esosteoremas y postulados.

Debemos tener presente que aunque nuestro sistema de los númerosreales es puramente abstracto es "modelo" de sistemas reales concretos

, y que poro sacarle el móximo provecho debemos manejarlo con soltura yfluidez, por lo cual, además de lo comprensión de las ideas y conceptosde su estructura~ es indispensable la "mecanización" de algunasoperaclo-nes. La mecanización mencionada se facilita con el uso de una termino-

, Jogíaparticular para las expresionesde nuestro lenguaje ordinario despuésde que las hemos simbolizadoy así: '

A las combinaciones de números variables y signos de qperacio-nes las llamamos expresiones algebraicas, y a las partes que lasforman y están separadas por los signos de sumar (+) o restar(-) las llamamos términos.

, ,

Elemplos:

5 '

a) 2x3+ - x2 + 6ax - 1502 forman uno expresión compuesta de 4 tér-3 . ,',

,2 3 5 2 6

-.15 2mmos; x, ,-x, OX,-- o

, 3

b) 4 3 60x2 2x " ó I b '3 é

'bx - - + ~, es una expresl n a ge ralca con t rmmosa so er:

5 02 1'> "

60x2 2x4x3,- , -

5 02

e) 4 + 2(x- 3), es una expresión con sólo 2 términos que son el 4 y elprQductó2(x - 3),Eneste caso, el segundo.término está'formado pordos factores, en donde uno de etlos a su vez constituye otra expre-sión algebraica de dos términos, x, - 3.

166

Los términos, entonces, están formados por factores, mismosque pueden ser numéricos o Iitera,les.Se dice que un factor ovarios factores pueden ser el coeficiente del resto de los facto- ,res que forman a ese término.

Eiemplo: \

1) En el término 6ax del ejemplo a) anterior,6 es el coeficiente para el producto ax50 es el coeficiente para x6x es el .coeficiente para a

2) En el término - 1502del ejemplo a) anterior- 1~es el cQeficiente para' a2- '

Observe que al factor numérico, del ejemplo 2 le 'consideramos el signo'de restar o de inverso aditivo, es decir que consideraremos siempre que elsigno forma parte del coeficiente, s610 que en el coso del signo positivoo de suma. éste no se escribe cuando sea iniciación de una expresióncomo se ve en los ejemplos a), b)' Yc) anteriores para, 2x3,4x3y 4 respec-tivamente. .' I

Generalmente se utiliza lo palabra coeficiente a secos para señalar alcoeficiente numérico (incluyendoel signo) y se qcostumbra i~dicar el coe-ficiente para la literal que nos interese. Eiemplo:

En.eltérmino - 5axyi

Elcoeficiente es: - 5El'coeficiente para x es:. - 5ayEl coeficiente para y es: - 5axElcoeficiente para xy 'es: - 50

Se dice que dos o más términos son semeiantes cuando.difi~renúnicamente en el coefic;ente. el resto de los factores deben seridénticos. '

Eiemplo 1): Los términos 3ax2 V 6Ox2Los coeficientes son 3 y 6 respectivamente, entonces son térmJnos

semejantes .para ax2Eiemplo 2):. Tomemos los términos 2xy2, 4ax2r, 5bxy

Coeficientes para x2:4áy2del 20. término por lo que no tiene términossemejantes. " "

Coeficientes para x: 2y2 del 10. y 5by del' 30. por lo' que 10. y 30. sontérminossemeiantesen x. . , I

Coeficientes para r: 2x del 10. y 4ax2 del 20. por lo que 10. y 20. sontérminos semeiantes en y2.

Coeficientes para y: 5bx en el 3er. término.

167

,.

. Las expresionesalgebraicas se namanen generalmultlnomlo cuandotienen varios términos, pero a las más usuales se les llama por su númeroeje términos. Eiemplo: '

un término::;::) monomiodos términos => binomiotres términos => trinomio .

De este modo pOdremos i.dentificar a las expresiones cuando tenga-mos varias.

. .

Suma y resta de expresiones algebralcasSi consideramos que las literales de nuestras expresiones algebraicas re-presentan números reales, entonces, cada expresión algebraica representaa.su vez un número real y por .esa razón debe cumplir como todo númeroreal, con los postulados y teoremas vistos hasta aqui.

Para determinar la suma o la resta de las exprésiones algebraicas,operación llamada también reducción de términos semelantes, aplicamoslos postulados asociativo, conmutativo y distributivo.

Ejemplo a) Sumar 2x + 3y - 4 con x - y + 2. (2x + 3y ~ 4) +(x - y + 2) = Dado= (2x + x) + (3y - y) + (- 4 + 2) Postulado conmutativo y. . asociativo.= '(2+ 1)x+ (3- 1')Y+ (- 4 + 2) Postuladodistributivo:Nota:

Observe que el coeficiente. numérico de un término es la '

unidad cuando no apar~cenúmero escrito. El signo es

. parte del coeficiente .= 3x + 2y + (- 2) Propiedadde sustitución

(2x+ 3y ~ 4) + (x -.y -r 2).= 3x + 2y - 2 Teoremade la restaElemplo b) Restórle a 2x3+ 3x - 2y2+ 3, la expresión2x - ;2 - 2,(2x3+ 3x - 2y2+ 3) - (2x- y2- 2) = Dado= 2x3+ 3x - 2y2+ 3 - 2x + y2+ 2 Teorema3-14[- (a+ b) = - a - b]= 2x3+ .(3x- 2x) + (- 2y2+ y2)+ (3 + 2) Postulado conmutativo y

. . asociativo'= 2x3+ (3 - 2)x + (- 2 + 1)y2+ (3 + 2) Postulado distributivo= 2x3+ x + (- 1)y2+ 5 Propiedad de sustitución.==2x3+ x.- y2+ 5 Teorel'!1asobre signos 3-12

De los ejemplos anteriores podemos considerar las operaciones desumar y. restar condensadas en los siguientes pasos:

-"

. \

1,0. Eliminar todo$ los paréntesis o simbolos de asociación apli-cando lo.s teoremas sobre inversos. que correspondan. .20. ,Identificar los términos semejantes y asociarlos aplicando el ,

postulado conmutativo cuando sea necesario.30. Operar sólo con los coeficientes de los términos semeiantes(esto corresponde en los ejemplos a la aplicación del' postuladodistributivo). . .

168

Elemplo: Efectúe las sumas y restas indicadas en la siguiente ex- .

presión: ;4x- [2x-3y- (x + 4y)]+ (x-S)

10. 4x-I2x-3y-x-4y] + x-S4x- 2x + 3y + x + 4y + x - S

20. (4x- 2x + x + x) + (3y + 4y)- S30. 4- 2 + 1 + 1 = 4

3+4=7

NOTA: Mientras se adquieredestreza. es. conveniente eli-minar primero los paréntesisinterior~s.

{~x+7V-~

..

~-

169

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV..13

~

Diga cuóntos términos tiene cada una de las ~iguientes expresiones~ algebraicas. Pongaespecia,latención cuando existan paréntesis..

"1'. 4x2+ 2xy - y2+ 52.4x:- [(2+ x)- 3]

3. (4x+2)(2x-3)4. 6 + 30+ (50-b) ,

En los ~siguientes problemas identifique los, coeficientes (numéricos)en cada expresión. .

5. 12p3- 8p2- 7p + 46. 2a-3b + 4c-d7. -x2-2xy-x-7

En cada uno de los problemassiguie'ntes, elimínense los pa~éntesjs yredúzcanselos términos semejantes. .

8. x..,...(2y + 3x) - 2y ,9. 3x- (2y- 4x)+ 6y

10. (2x-3y) + (y-4w) - (w- 3x)11. 3x- [2x+ 3y- (2y~ 3x)] + 4y12. 9x- (2y-3x) - [y- (2y-x)) - [2y+ (4x-3y)]13. (-2x3 + 7x2-x) + (4x3-8x2 + x-6)14. [(2a-b) + (2a-c)) + (-40 + b + e)15. 4a- [0- (2a + b)] .

En los siguientes problemas, asocie los últimos tres términos de cadaexpresi6n precediendo el paréntesis con .un signo de:

a) Sumarb) Restar

16.\2x2- 3r)+C6x- 3~-117.,'x2- 2r --(x - 3"'- 518. ~ + y~!2-4)+(3Y)19. ;a+ rs + 2rs2~ S3 .

20. x4-4x3y + 6x2y2_4xy3+r

\ .

110

- - - --~- ----

M~dulo 14

OBJETI,VOS ESPECIFICOS

- Al término del estudio de e'ste módulo, el alumno:

1. Identificará potencio, base y exponente de uno expresi!>nalgebraica. .

2. Aplicará los postulados y teoremas conocidos sobre potenci~s o situo-clones dad~s con expresiones algebraicas. .

3. Dividiráun multinomloentre un monomio., .

4. Definirácon sus palabras, polinomio.5. Calculará el grado de un 'polinomiorespecto a. uno letra,o variable.

6. . Dividirádos pol1nomios'enuno misma'Ietra o variable.

ESQUEMA RESUMEN

Multiplicación de expresiones algebraicas. .

Po te,n ci o s, definición y notación.Teorema:am . an = am.+ n; (a e: Ry m, n e: N)Teorema (am)n= amon ; (a e: R y m; n e: N)

. Teorema:' {ab)n= an . bn ; (a, b e: R y n e: N).Eleml?los: .

División de. expresiones algebraícas.

Teorema: Si a e: R, a "* OYm, n, E: NEntonces: '

¡

amen' si, m > nam 1- = - si, m < nan an-m

1 si,' m = na+b a b

Teorema: =- + - ; e "* Oe ee

División de un .multinomio entre un monomio.

Términoracionalentero .

Expresiones raciondles entera.s (polinomios).Grado de un término racional.Grado de un .p~linomio.Elemplos. '

171

, Multiplicaciónde expresiones algebra,lcas. Exponentes

Llamamospotencia cilo representaciÓnde un producto de factores iguales,, al factor que' se repite le escribimos el número de,veces que '8e repite en la

parte superior derecho.' ,Elemplos: ' '

a . a . a =a3;x . x = x2;(x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) =(x + 2)4Alfactor'lo llamamos lo base de lo potencio y 01númerpque indica las

veces que se repite'lo llamamos expo'nente.Cuando el.exponente es la uni-dad no se escribe. '. .

De lo definiciónde potencia se deducen algunos teo~emas cuyas con- '

clusi()nes nos simplifican lo multiplicaciónen géneral, y la multiplicación,, de potencias en particular~ ~

Teorema 4-1a E: R, m, n e: N

, Demostración:

am . an = (a. a, . a...a) (a ..o...a)~~ ~

Definición, de potencia

m veces n veces

= a,. a . a...o a . a...a Postulado asociativo.... ,,-.. ---

(m + n) veces= am+n Definición de potencia

I '

'Elemplos: o) 32. 33 = 35b) (x - 1)2 (x - 1) =:= (x - 1)3e) (- 2)4(- 2)2= (- 2)6 ~

Teorema 4-2a e:R; m, niE: N (am)n=am . n

Demuestre este, teorema, y dé un eiemplo numérico.

Teorema 4-3, a, b e: R¡n e: N

Demostración

(ab)D = ab. al:) . ab...ab~~~~

Definición de potencia'

n veces

.'172

= (a. o . 0...0) (b . b . b...b) Postulado conmutativo y asociativo.~ t

n veces n veces

Defioición de potencia

Elemplos: a) (2.. 6).2::;:: -22. 62 = 4 . 36 = 144(2 . 6)2 '= (12)2 = 144

b) (2X)2 =- 22 . x2= 4x2: (2X)2 = (2x) (2x) =.4x2

Consideremos ahora las siguientes dos expresiones. algebraicas:(x'+ y) y (2x+ 3y), si' las multiplicamos,su producto quedaría indicadoasi: (x + y) . (2x + 3y)aplicando el postulado distributivose transforma-ria en (x + y) . 2x + (x + y) . 3y Yvolviendoa distribuir (x . 2x + y . 2x)+ (x . 3y + y . 3y) que ~on la definición de potencia y.postulados conmu-tativo y asociativo se puede escribir como (2x2+ 2xy) +- (3~y + 3y2)yreduciendotérminossemejantesqueda2x2+ 5xy+ 3y2. .

, La aplicación sucesiva det postulado distributivo hasta donde sea po-" sible, y la reducción de términos semejantes conducen a la multiplicación ""

de las expresiones algebraicas. Para fines prócticos esta operación seef~ctúa siguiendo el procedimiento que se indica y que equivale a lo an-~~~ .

10. Se escriben los,multinomios uno abajo del otro, ordenando lbstérminos con la po~encia descendente de una letra.

20. Se multiplica cada término del multinomio inferior por todoslos términos del multinomio de arriba, procurando ,que cada tér-mino se escriba inmediatamente abajo de su semejante para fa-cilitar .10 reducción de términos semejantes.

30. Se reducen términos semejantes.

Eiemplo: (x2 + 2xy + 3y2). (x - 2y)x2 + 2xy '+ 3y2x-2y

x3 + 2x2y + 3xy2- 2x2y- 4xy2- 6y3

Ya estón ordenados con laspotencias de la x.

x3+ Ox2y- xy2- 6y3 '

(x2+ 2xy+ 3y2), . (x ~ 2y) = x3 - xy2- 6y3

NOTA: El término con coeficiente cero, tiene valor cero independien-temente de los valores que se asignen a la "x" yola "y", de modo quese omite en la respuesta por ei postulado de identidad.

1n

División de expresiones' olgebroicos. Polinomios,Para dividit las expresiones algebraicas es necesario antes, 'completarnuestros teoremas sobre los exponentes para conocer la división de po-tencias. .

Teorema 4-4. o E R, o =1=OY ni, 'n E: N

--

si, m> n

1 '

si, m< n

1 . si, m= n

Demostración:si m > n ==>(m - n) E N

m veces

,- ~ --o . o . o . 0...0 . o . o-- Definición de. potencia

o . o . 0...0~

n veces

m veces- .-..

nveces(m-n) veces

~I~'o . 0...0 '. o. o . o...o

.(1. o . o...a . 1~

xz xreorema 3-1-9- = -

yz yPostulado de identidad

n vecesDemostración:Sj, m < n =:) (n - m),E N

m veces~o . o . 0...0

o . o . a . 0...0 '0~ --~ ---

Definición de potencia-

n veces.

174 , ,

~ --- -

mveces

~ A... ~

o . a...o . o . 1 1Po$tulado de identidad y

. xz xTeorema3-19- =-

yz y

-o . a o. o. o . o...a

~ --~an-m

,--mveces (n-m) vece~ ."V'

n veces

Demostración:Si m e: n=> (m - n) e: N

Inveces~~----o . a . o . a...a-- Propiedad de sustituci6n de

la igualdad. m =nOD o . a . o . a...a

~~~~-----m veces

=1 Problema:si o = b :=).!.. = 1. b

Elemplos:07

a) - = 07-2= aSa~.

dc) - =1

d

Una vez vista la división de potencias podemos intentar la divisi6ndeexpresiones algebráicas para lo que no$ será útil el sigu'iente teorema: ..

Teorema 4-5

o+b a b- =- + -,e:p Oe e e

o+b 1-Demostraci6n: =(a + b) .-e e

1 1.=o.-+b.-

e e

. Teorema de la división

Postulado distributivo

a b=-+-e e

Teorema de la divlsf6n

. En el teorema anterior -hemos-vistouna fracci6n en la que se repre-senta la división de un binomio entre un monomio, comblándolo por la

.división de cada término del blnomlo entre el monomio; este resultado,

175

junto con los postulados asocia.tivo y conmutatlvo. nos permite dividir cual-quier expresión algebraica entre un monomio.

Elemplos:

a) Divídase 12x4y3+ 36x3y4 ;. 24x2y.eritre 3x2y2

12x4y3 + (36x3y4 - 24x2y) 12x4y3 36xV - 24x2y= +3x2y2 . 3x2y2 3x2y2

-

36x3y4 . 24x2y---3x2y2' 3x2y2

3 . 12x3y4 3' Sx2y .+ -3xV 3x2y2

S==4x2y + 12xy2- -

y

Teorema 4-512x4y3= +3x2y2

3 . 4x4y3

3x2y2Factorización

División de potencias teorema 4-4, xz x

y teorema3-19- =-yz y

b) Divídas~ 6~3- 9x4y+ 12xy2.entre 3xy

6x3 - 9x4y + 1'2xy2

3xy

6x3 9x4y 12xy2=---+-3x~ 3xy 3xy2x2

= - 3x3+ 4y..' Y

Aplicación sucesiva de. teoremas 4-5 y 3-19 .

Teoremas de divlsl6n depotencias y simplifica-ción de fracciones

En esta forma podemos concluir que para dividir un multiFlomio entreun monomio se divide cada término del multinomlo entre el monomio.

Decimos que todo término algebraico' es "racional enterQ" pQrauna o varias letras, si está formado del producto de potenciaspositivas enteras de dichas letras y cualquie,r otro factor que nolas contenga. .

Por ejemplo: 6ax2y2 , 2x3y3. 3y2/3 , son tres términos racionales enteros'en "x" pero no en "y"; observe que el último térmihon9 contiene a "x"pero, de todas formas, se considera raclonQI entero en "x".

176

A las 'expresiones cuyos términos son racionales enteros paraalguna tetra, se les llama "expresiohes racionales enteras o poli-nomlos" y la forma polinomlal se les da 0.1a'comodar los térmi-'nos, empezando con el de la potencia mayor .de esta letra siguien-do en orden descendente. Para ser prácticos le llamaremos, a laexpresi6n racional entera acomodada en orden descendente,simplementep~linomio. '

Elemplos:1) 5ax4+ 2bx3y- ax2y3+ 7a2by2.Polinomioen "x". Se acostumbra re-

presentar a los polinomios con una letra mayúscula y en seguida entreparéntesislo letra para la cual es polinomio. ' ,

P(x): 5ax4 + 2bx3y- ax2y3 + 7a2by2.Recuerde que la P V la "x" noestán multiplicando,es s610una notaci6n. se lee p enx. '

2) P(y): - ax2y3 + 7a2by2+ 2bx3y+ 5ax4.Es la misma P por tratarsede, la misma expresión, sólo que ahora con respecto a "y". \ ., '

Se acostumbro representara las cantidades constantes en un pro-blema con las primeras letras del alfabeto dejando las últimas sólo paravariables. ' .'

En la operación de dividir multinomios o expresiones algebraicas esmuy conveniente el uso de polinomios, ya que, junto con la división de po-'tencias ya vista, su uso simplifica bastante la operación de dividir. Los,siguientes. tres definiciones nos proporcionón la 'terminología adecuadapa,ra manejar Jos polinomios.

10. Definición: "El grado de un término racional entero en una. letraes el exponentede esa letra". El primer término del ejemplo

, 1 anterior es de 40. grado en "x". El segundo término es de 1er., grado en' ':y".

20. Definición:. "El grado de un térmi'no racional entaro en dos omás letras es la,suma de los expon.ntes de esas letras". El se-

ogundo término del ejemplo 1) anterior es de 40. grado en "x" e ."y", porque "x" tiene un tres como exponente y "y" un uno, quesuman 4. .'

30. Definición: "El grado de'un polinomioen una letra,es el gradodel1er. término, es decir que el polinomio toma como grado 'el deltérmino qlle lo tiene más alto". El grado de P(x) .es 40. y el grado

. de P(y)es 30. . ,.' .

. Ahora consideraremos la división de dos polinomios en una misma le-tra; el procedimiento es semeiante al de la división .aritmétlca.

. 177

1. Divídase el primer término del dividendo entre el 1er. término, del divisor. " :

2. Multiplíquese el cociente 'obtenido, por cada término 'del divi-sor y réstese el producto obtenido del dividendo.3. Divídase el primer término del resultado. de la resto para ob-tener el.segundo término del cociente y con él repítase la opera-ción indicada en el número 2. . ,

4. Continúese el proceso hasta que el resuUado de la resto seocero o un polinomio de menor grado que el polinomio divisor.; aeste resultado se le llama residuo de la di'visión.

Eiemplos:,

1) Divídase r - 4y2 + 5y ~ 2Dividendo P(y) = ys- 4y2+ 5y - 2Divisor, 'D(y) = y- 1

, 'f - 3y + 2 (cociente)

Divisor y ;, 1 Ir-4r + 5y-2- y3+ y2(resta),

\

, 3y2- 3y (resta)

2y--2

entre y - 1de 3er. ,gradode 1er. grad~, '1 :Paso 1)- = y2

Y ,

'Paso 2) y2 (y - 1) =y3 - y2esto, se resta

-3y2Paso 3) = - 3y, 20.

Ytérmino del cQci'ente

Paso 2) - 3y (y - 1) '=- 3y~ + 3y que se resta

. 2y.Paso 41 - = 2,

.'tI'. .

o (residuo)- 2y + 2 (re~ta) 3er. término' del cociente

2(y-1).= 2y-2

, Si llamamos C(y) al polinomio del cociente y R al residuo, la división,se pOdría representar c9mO sigue: .

P(y) =C( )

I

D(y) Yy3-4y2 + 5,-2

. :::y2-3Y+2,-1 '

2) Divídase -..:..6x3+ ,t2, -:. 12xy2- 6'1

178

cuando el residuo es O -

entre 2x - 3y'

--~ -----

.En este caso la división se representa

P(x) , Residuo, ,- = C(x) +

D(x)', D(x)'\ .

- 6x3 + x2y- 12xy2- 6r - 42y3= -3x2 -4xy-12y2 +

2x-3y, -. 2x-3y

Cuando R =1= O'

.-3x2-4xy-12y2

2x- 3y / - 6)(3 + x2y - 12xy2 - 6y36x3- 9x2y

La multiplicación de cada tér-mino del cociente la hacemoscomo en aritmética y le cam-,biamos el signo para restar.

-6x3-=-3x2

2x

'- 8x2y= - 4xy2x

- 24xy2~ -12y2

2x

3) Divídase 5x3- 14x + 3 entre x - 2

Observemos que el polinomio en "x"del dividendo no tiene el términode 20. grado; para hacer la división consideraremos siempre todos los tér-minos en orden descendente, escribiendo los que no contenga el polinomiocon un coeficiente cero, ya que por el postulado de identidad y teoremade la multiplicación por éero, no cambiamos en nada el valor de la ex-presión. . ,. ,

- 8x2y- 12xy2- 6y38x2y- 12xy2

- 24xy'l- 6y3

24xy2- 36y3,

-:..42y3 (residuo)

(divisor) x - 25x2+ 10x + 6 (cociente)

/5x3 + Ox2-14x + 3 (dividendo)- 5x3+ 10x2 En esta ocasión no's acerca-

, mos mós a la división oritmé-10x2- 14x tica, ,escribiendo de la resta

, -'1Ox2 + 20x sólo los términos indispensa-bles.

5x3 ::;: 5x2X

10x2 - 10x--x

6x =.6x

6x + 3- 6x + 12

15 (residuo),

15

5x'- 14x + 3 = 511'+ 10x + 6 + x 2x-2

179

.'

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV-14

Efectúe las operacion~s ,indicadas. Use teoremas ~e exponentes.

. 1. y13. y112. (- 2)2(- 2)53. (5X.)44. (2X2)35. 3xy (x2y3)6. a(a + 2)2a3(a + 2)4

, 7. 4x3y2(5xy2+ 4x2y), -

Efectúe las operaciones indicados escribiendo la respuesta en la for-. me .mós simple. .

8. 2ab (3a2 + 3ab -5b2)9. (3x +2) (x+ 5)

10. (x -2) (x2+ 5x - 3)11.- (x - 2y)212. (x2- 2y2) (x4+ 2x2y2+ 4y4)13. (x - 2) (x + 3) (x + 2)

'14" (xn- ynp \

~5. 2xy(3y- x -1)2

)

En los problemas del 16 al 20 escriba l'Os-multiriomios. dados en laforma polinomial diciendo el grado del polinomio: La letra se indica enla \ notación para polinomios., , . .

16. 2ax + 5y2- 3x2y + a3x3;P(x)17. 4x4- 2x3y+ y3- 3x2y2;P(y)18. 3x2y.- 4xy2 + '6x4y3;P(x)'19. 7x3y2-14x5y3 + 28x8y5,- 21x7y6¡P(y)

. 20. 4z3x + '5y + 4Z2X2- 3xyz¡ pez)

Efectúe las siguientes divisiones de potencias, usando los 1:eoremassobreexponentes. '

(x + y)1221.

(x + y)4

10m6n

24 (x + y)3(x- ,y)224.

30'(x + y)2(x - y)3

(a + b)325.-

(ab)322.

180

Efectúe la división del multinomio y el monomio que se indica.

26. (6x3- 9x4y)+ (3xy)27. (703b2 + 28a8b5- 2107b8- 1405b3) !:- (7a3b2).

Efectú.e las divisionés de polinomios que se indican.

28. (04-'203 - 302-. 40- 8) + (O+ 1)29. (Z4+ Z3+ 2z + 15)+ (2z2-6z + 4)

P(x)30. -., si P(x)= 3x5+ 11x4-15x2 + 7x + g'y D(x)= x~+ 2~-1

D~) ,.

,. .

I!\

181

M6dulo 15

OBJETIVOS ESPECIFICaS

. Altérmino del estudio de -este m6dulo,el alumno:

1. Operará con facilidad alguno~ productos de binomioscon coeficientesracionales llamados "productos notables", tales como: 'cuadrado de-un binomio,cubo de un binomio,binomiosconjugados. -

. 2. Aplicará sus conocimientos sobre "productos notables" a factoriza-ciones que los involucren. .

3. Factorizará expresiones algebraicas sencillas y valorará la utilidad dellegar a factorizaciones completas.

.ESQUEMA RESUMEN

Productos notables.

Produ.ctode binomiosconjugados. 'Cuadrado de un binomio.Cubo de un binomio.Suma o diferencia de cubos.

Factorizaci6n. .

Factor común. .

Diferencia de cuadrados.Trinomios.Suma y difer.enciade cubos.Factorizaci6n por agrupaci6n.

182

Productos not.18.

En las multiplicacionesde las expresiones al'gebraicas, algunas se repitencon mucha frecuencia y otras, aunque no iguales; pueden tomar la mismaforma de ellas. de modo que los productos que resultan se repiten cons-tantemente. Es por esta razón que a esos productos los llamamos PRO-DUCTOSNOTABLES,y su memorizaciónnos permite encontrar los produc-tos efectuando las multiplicaciones mentalmente. uLas letras usadas enlas fórmulas nos representan a cualquier expresi6n algebroica y su presen-tación en esta forma es sólo para facilitar su memor:izaci6n".El alumnodebe comprobar las fórmulas'efectuando las multiplicaciones.

Multiplicaciónpor Inspección. .

. , /acxXbd",

(~~~Cj ; ¡= ac~ + (be + ad)x + bdadx/'

(bc + ad) x

Dos binomios con términos semejantes se pueden multiplicar usandos610 los coeficientes, .10que en la mayoría de los casos puede hacersementalmente. . ,

términos semeiontes. . I~

Ejemploa) (~a + 3)~a- 5)t '. . ~ermmos semelantes. .

...

Ejemplo b)72X~x-6a2b2 .(-,x + 2Gb) (211- \ ., \ / 3ab). -2x~ + 7abx,-6cJ2b2

"--- 4abx. 3Gbx. . \

. 183

Diferenciade cuadrados. (a +. b) la - b) =a2-'b2

Este producto éle dos binomios es el único caso en que no resulta .untrinomio.A 'los factores que sólo difieren en un signo' se les llama BINO-MIOS CONJUGADOS.

Ejemplo a) (2x + 5) (2x ~ 5) :- (2x)2_(5)2 = 4x2~ 25Ejemplo b) (a + 'b + 3) (a +.b ~ 3)' Este, aunque no es producto de bl-

nomios, su producto puede conse- .guirse dándole eso formo median-te el postulado asociativo. .

[(a + b) + 3] [(a + b) - 3] = (a + b)2- (3)2 =. (a + b)2- 9\

Cuadr-adode un blnomloo trinomiocuadrado perfecto

(o + b)2= d :i: 2ab +, ~2

Con el doble signo consideramos las dos posibilidades en un binomloy los signos en el producto se corresponden con los del factor, al 'positivoen el factor, le corresponde el positivo en el producto" por' lo que estánescritos en el mismoorden de arriba,abajo. '

(x + y)2= x2 + 2xy + y2Ejemplo b) (20 - 3)2= (2q)2 - 2 (20) (3) + (3)2

= 4a2.- 120+ 9

Cubo de un blnomlo. (a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2+ b3Ejemplo a) (2x + y)3= (2X)3+ 3 (2X)2y+ 3 (2X)y2+ ya

, == 8x3+ 12x2y.+ 6xy2+ ya .

Ejemplo b) (a - 3b)3 = g3- 3 (a)2(3b) + 3(a) (3b)2- (3b)3= 03 - 9a2b + 27ab2 - 27b3

Suma o diferencia de cubos. (a + b) '(a2 :¡: ab + b2) = a3 + b3Ejemplo a) (x - 3) Ex2+ 3x +'"9)= x3- (3)3= x3~ 27 -Ejemplo b) (a + 2) (02- 2a + 4) = 03+ ,(2)3= a3+ 8

Atención: El segundo factor de este producto es muy parecido al tri-nomio cuadrado perfecto. Cuídese de no confundirlos.

Foctorizacl6n

En.10primera unidad.definimos lo que es un número compuesto y un nú-mero primo,y al proceso de descomponer un número en sus fáctores pri-mos lo llamamos factorización completa de los números enteros. Las ex-presiones algebralcas nos representan números reales y si invertimos elproceso de' encontrar un producto, que vimos en el tema anterior, estare-mos factorizando las expresl.onesalgebraicas, pero como en las' expresio-nes algebraicas tenemos literales no podemos determinar los factores pri-mos de los números que representan, ya que ni siquiera sabemos si sonnúmeros enteros, por lo que en el futuro y hasta que se .diga.otra cosaconsideraremos que las literales son números enteros. '

184

Factorizamoscompletamentecuando llegamosa una expresiónen que cualquier factorización posterior produce números frac-cionarios.

Ejemplo: 2x + 6y -.:.2 (x + 3y) distributivo. \

Si se factoriza usando el 3 desconociendo el número representado por x

quedorfa 2 . 3 (~ x + y), interviene'una fracción p~r lo que 'la factoriza-. 3 '

ción ya era completa. ' .'No existen fórmulas para la factorización, pero siendo el proceso In-

verso de' la multiplicación,la experiencia en la aplicación de las fórmulasrecién vistas nos per.mitiráreconocer cuando una expresión algebraica esel producto resultante de factores conocidos. Es sumamente importante lapráctica intensa para dominar este proceso tan importante.

, IFactor común

Ejemp,lo 1) Descompóngase-en factores 2ax2 -. 4ay2 + 8a2xEl polinomio tiene un factor común en todos sus términos (2a). Aplicandoel distributivo;2ax2 '7' 4ay2+ 8a2x = (2a)x2,- (2a)2y2+ (2a)4ax = 2a(x2- 2y2+ 4ax)Ejemplo 2) 4x2 + 8x

Esta expresión tiene un factor común (4x) y puede escribirse como(4x)x+ 4x(2).=4x(x + 2)' "

Ejemplo 3) a(x + 2y)- 3(x+ 2y)Un factor común, (x + 2y), está distribuidoa(x + 2y) - 3(x + 2y) =(x + 2y) (a - '3),

Diferencia de cuadrados

Ejemplo 4) 4x2.- 9y2Esta expresión puede reconocerse como una diferencia de 'cuadrados(2X)2- (3y)2 producto de. binomios conjugados. ,4x2- 9y2= (2X)2 - (3y)2 = (2x + 3y) (2x - 3y)Ejemplo 5) 27ax2- 75a3Reconocemos un factor distribuido en esta expresión,(3a) 27ax2 - 75a3 = (3a) (9x!) - (3a) (25aí?)= 3a (9x2- 25a2)El 20. factor puede reconocerse como uno diferencia de cuadrados(3J()2 ~ (5a)2, por lo que puede seguirse factorizando. '

30 (9x2,.;-.25a2) = 30 [(3X)2- (5a)2] = 3a (3x + 50) (3x - 50)Trlnom'los .

Ejemplo6) x2- 8x- 20 .Los trinomios son generalmente producto de dos binomios con térmi-

nos semejantes y su multiplicación puede hacerse por inspección. En estecaso, con el1 como coeficiente de x2, la factorización se concreta a buscardos factores cuyo producto sea - 20 Yla suma - 8; encontramos que - 10Y + 2 cumplen~

185

. !X-20~ {x'~x'-ax-20=

~()(X lJ?) = (

~X 1U +l? x -10X/~x . 2x .

-ex -8x

Eiemplo7) 12x2+ 7xy- 10yZEste trinomiopuede descompo.,erse por aproximación sucesiva o tan-

teo para encontrar los factores de 12 V -10 c-.rvosproductos inferioresde la multiplicaciónpor-inspección nos suman + 7.

aex2~ 12x2bdr = - 10y2

.~

(, +C:' +71'adxy~. Jad + be) xy = 7xy

ac = 12bd =- 10(ae + be)=7

Es el problema más difícil de los vistos hasta aquí V sólo el desarrollode la intuición a través' de la experiencia nos puede facilitar las soluciones.

factores de 12: 4 . 3. 6 . 2. J 12 . 1 Ifactores de 10: 5 . 2. (!Q:]]

r2l ,xv.fiOly = - 10xy

UJ x/'\.l..1Jy 12xy

2xy

4X~5Y. = + 15xy3x ,- 2y=- 8xy

7xy

Eiemplo8) 6r + 7x2y2- 3"factores de 6: 6 . 1, 2 . 3factores de 3: 3 . 1

186

Escogemos primero los factores encírculos V los acomodamos.de modoque $e formen dos binomios,uno so-bre otro; con los combinaciones quedon' los factorel1.Los signos para ob-tener - 10 deben ser opue$tos. peroninguna combinoción puede sumar+710 - 12.=- 2- 10 + 12 = 2

Lo combinación de 15 V 8 que nosdo + 7 es. + 15V- 8. luego los bi-nomios deben ser (4x + 5y) V (3x -2y)12x2+7xY-10y.2=(4x + 5y) (3x - 2y)

6x2 3y2 = 3x2yX

, 1x2 1. r = 6x2y2 -

Los factores de 3 deben tener signosopuestos, ninguna combinación nos

, dará + 7-3+6=3.3-6=-3

tampoco obtendremos con estos nú-meros el + 7 '

para obtener + 7 necesitamosl + 9y - 2 luego los binomios'serán(2x2.+ 3y2} Y (3J.(2- y2)

6x4 + 7x2y2- 3( = (2x2+ 3y2)(3x2'- y2)'

Eiemplo 9) 9x2- 48x + 64 . .

Este trinomio podrfa ser el cuadrado de un binomio ya ,que + 9)(2y+ 64 son los'cuadrados exactos-de 3x y 8. Lo único que debemos compro-bar es que 48x'sea el doble producto de 3x y 8. (3x) (8)=24x, (24x). 2 ~ 48x. .

9x2- 48x + 64 = (3x - 8}2(3x) (8)'

Cuando un trinomio es el cuadrado de un binomio le. llamamos TRI-NOMIO CUADRADO PERFECTO. .

Suma y diferencia de cubos

Ejemplo 10)8y3+ 1 ,

Esta expresión es una suma de cubos (2y)3+ (1)38y3+ 1 = (2y)3+ (1)3operación mental

= (2y+ 1) [(2y)~- (2y) (1) + (1)2]operación mental. = (2y + 1) (4y2- 2y + 1)

Eiemplo 11) 03 - 27 Diferencia de cubos03-.;...27 = a3 - (3}3mental'

= (a -~) [02 + (a)(3)+ (3)2]mental= (0-3)(02 + 30 + 9)

Factorlzoción por agrupación

Eiemplo 12) ax - ay ~ bx + byEsta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos

binomios con términos semejantes; el procedimiento a seguir es aplicar. primero. el postulado asociativo' entre los términos que a 'nuestro. iuicio

puedan factorizarse, y donde den con su factorización un factor comúnque nos permita lograr lo factorización completa. Recuerde los eiercicios16 a 20 del conjunto ~V-1.

1~

(ax - ay) - '(bX - by)

a(x - y) - b{x - y)'" -;;: .factor común

(ax - bx) - (ay - by)"

(a.~ ,- ~ b)yfaqtor común

(a - ~) (x - y) (a - b}(x ~ y). ,

Recordemosque cuando lo factorización es completa.los factores sonsiempre los mismos,-no importa en qué orden hayamos factorizado.

Ejemplo13) 4x2-12xy + 9r + 4x-6y-3. (4x2:-12xy + 9'¡2)+ (4x- 6y)- 3

(2x- 3y)2+ 2(2x- 3y)- 3

Esto factorizoci6n no es' completo, yo que tenemos unas sumas de. productos. pero el polinomio tiene la forma del polinomio x2+ (b + d)x +. + bd:queesel productode (x + b) (x + d) por lo quese puedefactorizar

la expresión anterior tomando a: bd =, - 3 b +' d = 2 x = 2x- 3yde donde b = 3 Y d = - 1 .

(x + b) (~ '+ d)[(2x - 3y) +-3] L(2x- 3y)'-1]

(2x - 3y + 3)-{2x- 3y-1)

188

- -~--- --

I

PPROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV~15

En los siguientes problemas encuentre el producto mentalmente. Uselas fórmulas vistas y postulado distributivo.

11. (2x + 5)212. (x-2Y-Z)2

. 13. (x - 1) (x2+ x + 1). 14. (y3+ 7) (y3-.2)15.. (2m- n + 3)316. (5x- 3y)317. (2x + 3y)318. (x + 3y + 2z- 4w) (x + 3y- 2z + 4w)19. (4x-2y~3z + 3w) (4x + 2y + 3z + 3w)

1 220. (~x + _y)2

2 310. [2(x.- 3y) + 5] [3(x- 3y)- 2]

1. - 20 (3a- 4a2)2. (- 2xy) (- 3x2y3)3. -a3b2 (a3- 8b3)4. (2k- 3).(k- 7)5. (a +.b) (e+ d)6. (x- y) (x + y)7. (y-.8) (y + 3),8. (x- 2) (x + 5)9. [(x- 2y)+ 4]2

Indicación: Usepostuladoasociativo

. Sugerencia:' Para memorizar las fórmuias, utilice su significado y nolas letras con que se presenta, pues éstas cambian en los problemas..

Eiemplo:(o + b)2= 02+ 20b + b2

El cuadrado en un binomio es igual' al cuadrado del primer término,más el doble del producto del primer término por el segundo, mós el cua-drado del segundo término.Procure usar sus propias palabras.

Factorice completamente21. 3x2-9x22. y3+ 4y23. .a2x2+a2

. 24. 9- 0225. 22508- 64b226. 3y (2x + 5)-4x (2x + 5)27. x2-928. x2- a229 . 169x2":'- 225y230. t2-5t-66 '31. x2- 5x- 1432., (x + 2y)2- Z233. 8xen...,..27yan34. x2-8x + 1635. 5x2- 30xy + 45y2

36. a2b2~ ab- 20. 37. (x + y)2-7(x +'y) + 10

38. 64 + 144k+ 81k239. 313-15t2 + 12t

. 40. 52- (a+ b)241. x~- 4x (a + b) + 4 (a + b)242. .x8-17r + 1643. ax-oy-.by + bx.

.44. 20-6-ab2 + 3b2.45. r-10x2 + 9

. 46. 7t2- 421+ 63 .47. xy3+ 2y2-xy-248. 2(x + 2)2(x - 3) + 3(x + 2) (x - 3)249. x2+ .2xy+ y2- Z2+ 2zw-vr50. x8-7x3~8

189

M6dulo 16

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al estudiar este módulo, el alumno:

1. Efectuará las cuatro operaciones fundamentales con expresiones 01-gebraicas fraccionarias.

2: . Aplicará sus conocimientos.anteriores para simplificar expresionesolgebraicas dados hasta transformarlas en irreductibles.

3. Expresará en lenguaje simbólico matemático, proposiciones y situa-ciones problemáticos en lenguaje común.

ESQUEMA RESUMEN

Simplificación de' fracciones.

Suma de fracciones.

Mínimo común múltiplo.Multiplicación y división de fracciones.Simplificación de fracciones complejas.Ejemplos.

190

Simplificación de fracciones

. I

En el maneio de las fracciones es conveniente tener presente el teoremax xz .

3-19- = - (y,z #: O~ pues nos permite:y yz .

xz x1er. Caso. Aplicado de derecha a izquierda - = - simplificar las'

XV Yfracciones, es decir, reducirlos a términos más simples, simplificando. unfactor repetido en el numerador y denominador.

Elemplos: .

54 27. 2 27. 9. 3 9a) 48= 24. 2 = 24 = 8 . 3 = 8

x2-4 (x + 2)(x-2) x-2b) = . =-

6x2+ 12x 6x (x + 2) exx2-6x + 9 (X-3)2 x - 3

c) = = -x2-9 (x + 3)(x-3) x + 3

20. Caso.El teoremc;J aplicado tal como está nos permite modificar unatracción modificando sus términos a nuestra conveniencia.

x xz(- = - , y, z =FO) .

Y yz

! Elemplos:

9¡ a) - hagamosque su denominador sea 488 .

9.6 54'"-=- .

8.6 .48

3a + 1 '. .b) hagamos que su denominador sea (2a - 3) (a + 1)2a-3

3a + 1 (Sa+ 1)(a + 1)2a-3 (2a-3) (a + 1)'

191

c)2x .- hagamos que su denominador sea x2 - 4

x-2 . '..

2x 2x (x +2) ; 2x2+ 4x-= =x - 2 (x- 2)(x'+ 2). x2- 4

Aunque las operaciones efectuadas en los eiemplos anteriores sonsencillas, es muy fácil confundirnos en la aplicación del teorema 3-19.

Eiemplos:. .

3 + X' . 3 + 7 10a) \ =3 Incorrecto. = - =1=3

7 7

~2-6x +"b\ ~ =- 6x Incorrecto.. ~2-

r-'6x + 9 (x-3)\ x-3.= . = Correcto.x2-9 (x + 3) (x~3) x + 3

~ + 02 02 x2 +. 02c\ = - Incorrecto. . Notienesimplificación

~ + b2 b2 x2 + b2

.' u xElteorema justifica la simollficaciónde factores únicamente. (- =-)

. yz ydebemos insistir en el hecho de que esos factores lo son de toda la expre-sión; de todo el numerador y todo el denominador y no sólo factores en untérmino de la ~xpresión. .

ElelJlplo:

. \x2-20 x2-20al = ilncorrecto! pues el 4 del numerador mÚltl-

plica sólo ax2.

4x (x ~ 5) \x" I .

b) ~ = 'xl =x Correcto. pues (x. 5) .y 4 son factores del4 (x 5) ""\numerador y denominador a la vez.

Suma de fracciones'

La suma algebraica .de dos o más fracciones con el mismo denominador'es una fracción con este denominador común y la suma de todos los nu-meradores como numerador. El teorema 4-5 nos.señala y iustlfica la ope-

a+b a b.ración ( =- + -). si de acuerdo a la propiedad de slmetrfa de lac c c

192

a bigualdad (a = b => =ci)lo escribimos como - + - =e e

a+be

EI~los:5 7 5 + 7 12 2 . 6 6

a) -+-= . =-=-=-. 2a. 2a, 2a 2a 2 .a ~

2x2 5 3x ~x2+ 5-3x 2x2-3x + 5b) + = '= .x-4 x-4 x-4 x-4 x-4

Con frecuencia nos encontramos factores o denominadores que sólodifieren en el signo por lo que un cambio en la posición del signo (Proble-ma 2 de 111-12)en la fracción nos presenta el mismo denomin~dor.

Elemplo:.. 3x-2y 2x-y+

5x.--;. 3 3 - 5x

3x - 2y 2x-y=' + Teorema3-14- (a + b\ = - a - b5x- 3 - (-3 + 5x)3x.- 2y - (2x- y) a - a

+ (- =~) y Conmutativo5x-3 .5x-3 -b b ,

. (3x-2y) - (2x-y)5x-3

3x-2y-2x + y5x-3

-

-

-

- x-y5x-3

Para determinar la suma de,dos o más fracciones con diferentes deno-minadores ,debemos cambiar las fracciones por otras equivalentes y conun denominador común, preferentemente el mínimopara que el resultadosea lo más simple posible, al que llamaremos el MínimoComún Múltiplo(MCM);para efectuar esto utilizamos el 20. caso visto al principiar ~stetema pa~a modificar los términos de las fracciones.

El Mfnlmo Común Múltiplo (MCM)de un conjunto de números o expre- .

slones' algebra~cas lo encontramos con el siguiente procedlmien~~:

1. Factorice totalmente.todos los números y expresiones.'2. Forme un producto con cada uno de los factores positivos diferentes,

e$coglendo el que tenga el exponente más grande.

193

Factore'spositivos diferen-tes 2, 3, (x - 2) Y (x + 2):(2 - x) es el factor nega-,tivo de (x - 2) que ya fue

, considerado'y s610se tomauna vez cada factor

MCM = 22.3 (x - 2) (x + 2)2= 12(x":'-'2) (x +' ~)2

, a 9a 15Ejemplo a) Sumar algebralcamente - + - - - : necesitamos cam- .. 3b 2b b

, blar las fracciones por otras equivalentes con' un común der,¡ominador queserá el MCM de 3b, 2b, b; MCM = 2 . 3 . b

Ejemplos:

o) MCM de 75, 15, 36, 6, '

75 ...:.. 52 .3 Factores positivos diferentes 5, 3, 2, escogemos cada15 -' 5 . 3 uno de ellos con el exponente más grande que ten-36 = 32. ~2 ganoMCM = 52. 32. ~2= 900 '

6=3.2

b) MCM de 6x - 12,16- 4x2,x2 + 4x + 46x,-"12' = 6(x- 2) = 2 . 3(x:"'" 2) ,

16-4x2 = 4(4-x2) = 22(2-x) (~ + x)x2+ 4x .+ 4 = (x + 2)2

15 . 2. 3b.2.3

2a + 27a- 90

,6b '

- 29a - 90

6b

a.2 9a.3-+-3b,.2 2b. 3

2a 27a 90'-+----6b 6b' 6b-

Elemplo b)4x-'5 -8x + 5-

+ EL MCM de 2x - 3"7(2x -' 3) es 7(2x - 3).14x-21

(4x- 5)7' -.8x + 5' (28x..; 35) + (- 8x + 5)+ ==

(2x- 3)7. 7(2x -'3) 7(2x ~,3)'20x-30 ,10(2x-3) 10,

= 7(2x,-3). = 7(2X-3)'="7

El procedimiento' se puede concretar en el siguiente ejemplo c)

-

Elemploe)3x 2

x2-4 ,x2-5x + 6

.(x + 2) (x - 2), (x- .2) (x - 3) Denominadores factorlzados .MCM= (x + 2) (x- 2) (x- 3)

'- - - ---

3x (x -l 3)

(x +'2) (x- 2) (x - 3)

2 (x + 2)

(x - 2) (x - 3) (x + 2)3x (x - 3) - 2 (x + 2)

(x + 2) (x- 2) (x --3)

(3x2- ex) - (2x + 4)

(x + 2)(x- 2) (x ;.; 3)3x2-11x -:. 4

Denaminador común

- Suma de. los numeradores

- Multiplicación en él numerador

(x + 2) (x- 2) (x - 3)

(3x + 1) (x-4) .(x + 2) (x - 2) (-x-- 3)

Suma de numeradores

Numerador resultante' factorizado paraver la posibilidad de reducir más la frac-ción.

-

-

Eie~plod)3x

. , +x2-4x + 4(x- 2)2

5x2,

3(x2- '4) + 2x2,- x - 6 Denominadores3(x + 2) (x - 2) ) (2x + 3) (x- 2) factorizados'

MCM ' 3(x - 2)2 (x + ~) (2x + 3)

3x .3(x + 2),(2x.+ 3)'= . +

(x - 2)23(x + 2) (2x + 3). ,

5x2 (x - 2) (2x + 3)=, . +

3(x + 2,)(x - 2) (x - 2) (2x + 3)

2 .3(x - 2) (x + 2)+ .

(2x+ 3) (x - 2)3(x - 2) (x'+ 2)

-' ex(x+ 2) (2x+ 3) + 5x2(x~ 2) (2x+ 3) + 6(x- 2) (x + '2) Suma de- . 3(x - 2)2(x + ;2)(2x + 3) fracciones.

, (18x3+63)(2 + 54x) + (10x4- 5x3- 30x2)+ (6x2- 24)

'3(x ;.2)2(x + 2) (2x+ 3)

2

Denominador común

Suma denumeradores,multiplicando,y reduciendotérminos se-mejantes.

. , '195

10x4+ 13x3+ 39x2+ 54x - 24

"3(x- 2)2'(X+ 2) (2x + 3),

Multiplicación y división de fr~cclones

La multiplicación de dos o más fracciones es una a'plicaci6ñ directa delx I XI' .

teorema3-18(- . :.=- y, w ::p 0)-Y w yw

. 34 '39 34 .39Elemplo a) -. - = '

'6585 65.85. ,

Antes de efectuqr las multiplicacionesen numerador .ydenominador.obteniendo números y expresiones muy'grandes, es conveniente factorlzar

totalmente- cada. factor, Indicar los' productos y simplificar

34.39 (17. ?)(13. 3) 6...65. 85 =. (13. 5) (17. 5) ='25,

Elemplo b)'.3x3 5y 3x3. 5y 3-. 5x , 15x_e_- - --4y2 x2~ 4y2.x2 - 4y - 4y

. .. Elemplo e)

x2"";'9 5x + 20

3x2+ 11x - 4 '. X2- 4x + 3

Elemplo a)

- . [(~ + 3) (x - 3)] [5(x+ 4)]-'[(3x- 1)(x + 4)] [(x - 3)(x- 1)] .

5(x + 3) '. 5x + 15= (3x - 1) (x - 1) = 3x2- 4x + 1

Para 1,0dlvl$16nde dos. fracciones aplicamos el teorema' de la dlvlsl6na 1 1 b '

(- =a .-) y el teorema 3-21 (- = -) Ejemplos:b b . : a/b a

3-3 13 (?") 3 1

7" + 11 = (13) = (7")' 1311 (:¡:¡)3 11=......-7 1333=-91

Teorema de '10 dlvlsl6n

Teorema 3-21

-- - - - ---.-....

Elemplo b)

6 8 6 9 (2 . 3) (32)

"7 + '9 ="7 . "8 = 7 . (23)

33 27= = -7 .22 28

Siempre simplifica

.todo lo posible

Elemplo .c)

x2 - r x + y XZ - r x (x + y) (x - y) . X.:.. -" . -x3 - ya . x ~ x3 - y3 X + y. - (x- y) (x2+ xy +y2)(x + V)

x.

-

-x2 + xy + r

. Elemplo d) .

Xi - 9y2 ..:..Xi- 3xy3ax + 6ay . ax + ay

(x- 3y) (x + 3y) a(x + y).3a(x + 2y) x(x -- 3y)

- (x - 3y) (x'+. 3y) ..:..x(x - 3y)3a(x + 2y) . ci(x+ y)

(x - 3y) (x + 3y) (x.+ y)a- 3a(x + 2y.)x(x - 3,y)

(x + 3y) (x + y)

3x(x + 2y)

-

-

SImpllflcacl6n d,e fracciones. complelas

A una fracción que contiene en su numerador o en su denominador, C)enambos, más fracciones, le llamamos una fracción complela.

Este tipo de fraccl6n debe slmplificarsea una 'fracción con enteros opolinomlos en su numerador y denominador, antes de poder efectuaroperaciones con ella. Veremos dos métodos para reducir las fraccionescompletas y la aplicacl6n de cualquiera de ellos nos la.dictará la -expe-riencia. . '.:

1x2- - Consisteen efectuar las operacionesde suma en

x numeradory denominadorhasta tener la divlsi6n. 1 de dos fracciones ala que le aplicamos el pro-x + 1 + -. cedlmlentoya visto. .

x

Método1.

197

3 2 1.Elemplo8: - 1+- . x2 --

4 3 x- , -2 1 1- 4-- - x +-5 2 x

x3 1

x......

- x(x + 1) + 1x

x x(x + 1) + 1

x (x- 1) (x2+ x + 1) . x- =x-1

x(x2+ x + 1)......

Método 2. Consiste en usar como factor el MCMde todos los denomino- "

. x xz'dores an lo expresión aplicando el teorema -3-19 -= -, (y, Z=1=O)Y dis7

I Y ~tribuir ese factor. MCM =x.

1(x2-.-)x-

. X......

1(x + 1 + -) x x2+ x + 1

x

Eiemplo:1 1-+-a Z3

1 - 1 1---+-Z3 2z2 4z

Método 1

Z3+ 8

az3 'Z3+ a8z3.4 ...;.. 2z + Z2

.4z3

4z3

4-.2z + Z2

...... (Z'+ 2) (Z2- 2z +- 4)

(~ + 2) 2 . 4z32

Método 2\

MCM = '8z31 1

(- + ~)8z3. 8 Z3. ,Z3 + 8

......

1 1(-- 1 ar 2z' + -18z' - 4z + 2z'. 4z

.198

-- ---

......(x - 1).(x2+ x + 1)

. =x-1(x2+ x + 1)

,

4z3(Z2- 2z + 4)

(z + 2) (Z2- 2z + 4)" z + 2=-2(Z2- 2z + 4) 2

t .

.PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV-16

Conteste si la proposición es corre1cta o. incorrecta~'

f-,I =01.1.-,1

7X+1--12. 1+ ]X-

~(a + b) a + b3 -'-. (x + y) j - x + y

. ,tx-ay. x-ay4. =JIx2 - a2y2 x2- Q2y2

X-f ay 1

= (x + ay) (x-fay) =.x + ay

Reducira términosmás simpleslas siguientesexpresiones:

285. -'

Q31436. -195

'1877. ~

391x2+2x

8.x2- 4x . x3- 216

2x2-14x + 2013.

7x-2~2_6

En los siguientes problemas determine el MCM.

a2x-- a2y9.ax2- ay2y2- y -6

'10.y2+ 2y~1514x-24-2x~

x2+ x - 20x2-36

12.

11.

.(

Efectúe las surt:'asalgebraicas, de las fracciones que se indican.

25319.- + _..:--. 3 6 10

199

3 -1120'.-+-

2x, 'x

, 3(5x - 7) 2x(4x +' 37)21. - '

, (x + 7)2 (x + 7)22x + 3 4x .: 7: :22.' -

6 9

x+1 x+323. ~--x+ 2 "X

x2 Indicación:24. x + y + - . x + y

x- y Considera -" 1

. ,

625. x + -

, x

. ,x---926. 8x + x + i

5, 7 x-x27.- + - Indicación- = ~

x-3 3-x -y yx+5 x-128. -

x2+ 7x + 10 x2+ 5i + 6t-6 2t t+1

+ -2t2- 121 t2- 7t + 6 2f - 2t1 x 1

30. +" -x3-1 1-x2 1-x

29.

a2+4 7 a-531. + --a3-27 3-a a2+3o+9

2xy x32.' - .

x3+r x2-xy+'f

Efectuar las operaciones indicadas.

.7 3333. .:-.-.-

22 35

, 4 16,34. - + -

. 7 21.

(5 9

)7

35. 16 + 64 15

9ax2 18xy236.-.-

10by 150b

3x ...:...5 . 2x + 337.' +

7xy 14x2a4- b4 b2

38. o-b-(o- b)2 02 + b2 ab + b2

x2_y2-x + y x-y39.' +-, X+ 2y x- 2y,

200

.. "" - --- -'

Simplifique las sfguientes fracciones complejas por ambos métodos.\ .

o b 2 x--- ---3 b' o 4

40. ',.1- ,2,. ~.~'.. ¡-+3"'

42.

En los siguientes problemas utilice el método que juzgue más conve-niente paro reducir lo fracción complejo.. \ o

. x y---.,X - Y'.' .x + y,. ...

.43. . .x y- + ;.

x + '.y x - y

1 2---o.' """"...~ 1

44. 2a- .x'-2 .x-1

. 45.4

0--'o

2 3---x-3 x-2

,46. ' Expresar en lenguaje simbólico matemático las situaciones dadas ~n \

lenguaje común y que se dan a continuación: . .

a) El doble de un número es 25.

b) La suma de dos números es 36.

c) El producto de dos números es 120.

d) El cociente de dos números es 101.

e) El cO~,ie~ted~ dos nÚn1e~ose~: 15 y el resto o residuo es 3.

f) El. cinco por 'ciento de una cantidad es Igual a' las dos terceros- part~s de otra. .

g) El cuadrado de un número más el doble de él es igualo un mediode otra. .

h) CalcÜlar el largo y el ancho de un rectángulo cuyo superficie es3200 m;! y sabiendo que. el largo es el doble del ancho.

201

RESUMEN

Ya decíamos en la unidad anterior, de la necesidad de comprender elsignificado de la terminología' y de los símbolos, con objeto de poderlosaplicar en las dif,erentes situaciones de la realidad, sin réstar importanciaa la "mecanización" de algunos operaciones. Es en esta unidad en dondecompleta,mos 'la terminología algebraica poro establecer los fundamentosde los cuatro operaciones entre los expresiones algebra'icas, iniciando asíun cierto grado de "mecanización"; es responsabilidad del. alumno efec-tuar los ejercicios suficientes para desarrollar la habilidad que le permitóconcentrar sus mejores esfuerzos en el planteo de problemas y en la apli-cación efectiva de la teoría asimilada. más que en el desarrollo de los,op~raciones. '

-L,ostérminos aquí introducidos son':

Expresión algebraica

Término

Coeficiente

Términos semejantes

Potencia

Base de la potencio

Exponente

Polinomio

Mínimo común múltiplo

Fracción complejo

202

. - - .. ---- -- -- -

-

Penel.. de Verlflcaci6n

CONJUNTODE PROBLEMAS IVM1'3

1. Cuatro. 4~2,2!y, - !l, 52. Dos. 4~, -[(2 '+ ~)~~]3. Uno. (4~ + 2) (2~- 3)4. Tres. 6. 30, (50- b)5. 12,- 8,- 7,4 -6. 2,--3,4,-17. -1, -2, -1,-78. x~ (2y + 3!) - 2y = x- 2y- 3!- 2y'

= - 2~:- 4y

jI, I

pa~a x: (1 - 3)x -para y: (-_2 ~ 2)y

9. ~! - (2y- 4~)+ 6y==3! - 2y + 4! + 6y. = 7! +-4}. -

10. (2!-31) + (I-4~J-(!!-3!) = 2~--31 + 'y--4~-~ + 3!. - =5x-2y-5w

11. 3x- [2x+ 3y- (2y- 3x)]+ 4y= 3x- (2x + 3y- 2y + 3x) + 4y= 3x-2x-3y + 2y-3x + 4y=-2x+3y

12. 9x- (2y- 3x)- [y- (2y- x)]-,[2y + (4x- 3y)]== 9x - 2y + 3x - (y - 2y + x) - (2y + 4x - 3y)

=9x-:-2y + 3x- y + 2y:- x -2y-~x -+3y- = 7x,

En el siguiente problema identificamos con rayas a los términos se-mejantes y eliminamos (postulado de identidad para la suma). aquellos concoeficiente cero.

13. (- 2x3+ 7x2-x) + (4x3- 8x2+ x - 6)=-2x3 + 7x2- x + 4x3-- -8x2 + x-6= 2x3 - )(2 - 6

14. [(20-b) + (2~-cn + (-40 + b + e) =2a-b + 2-a-c- 4a ++b+c

=0

- 15. 40- [0- (20 + b)] = 40- (o-20-b) = 40-a + 20 + b -.' =50+,b

.

203

16. a) 2x'_'3y2 + (4x- 3y- 1)17. a) x2-2y2 +.(-x-3y-5)18. a) x+y+ (-x2-4+ 3y2)19. a) r3+ (rs + 2rs2+ 53) .

20. a) x4- 4x~y+ (6x2y2- 4xy3+y4)

b) 2x2- 3y2- (-'4x + 3y + 1)b) x2- 2y2- (x + 3y + 5)b) x + y ~ (x2 + 4- 3y2)b) r - (- rs - 2rS2 - 53)b) x4-4x3y- (-6x2y2+ 4xy3- y4)

CONJUNTO DE PROBLEMAS IV-14

1. y'3. y" = y'3+11= y24 . .

2. (- 2)2(- 2)5=(- 2)2+5= (- 2)7= -1283. (5X)4= 54 . x4 = 625x44.' (2X2)3~ 23 . (X2)3= 8X2.3= 8x65. 3xY(X2y3)= 3X'+2. y'+3 = 3x3(6. ¿'(a + 2)2 . a3 (a + 2)4 = a'~3 (a + 2)2+4 ;:::04(0 + 2)67. 4x3y2(5xy2 + 4x2y) = 4x3y2(5xy2) + '4x3y2(4x2y)

= 4 . 5X3+'. yt+2 + /f. 4X3+2.y2+1= 20x4( + 16x5y3 .

8. 20b (302 + 3ab - 5b2) = 2ab (3a2) + 2ab (3qb) + 2ab (- 5r:»2)= 6a3b+ 6a2b2- 1Oab3 Teorema 3-12

9. \ (3x + 2) (x + 5) = 3x2+ 17x+ 10 3x + 2x+5

3x2+ 2x15x + 10

3x2+ 17x + 1010. (x- 2)(x2+ 5x- 3)= x3+ 3x2-13x + 6' x2+ 5x- 3

x-2x3+ 5x2-3x.

-2x2 - 1Ox'+ 6

x3+ 3x2- 13x + 6x-2yx-2y

x2- 2xy- 2xy+ 4y2

x2-4xy + 4yt

x4 + 2x2y2+ 4y4x2- 2y2

x6+ 2x4yt+ 4x2r .- 2x4y2- 4x2r- 8y'-Srx6

11. (x- 2y)2= (x- 2y) (x- 2y) = x2- 4xy + 4y2

204

...-. ---

13. fx- 2) (x + 3) (x + 2) = x3 + 3x2,- 4x ~ 12x-2 ~+x-6

,x+3' "x+2~-~

~-6.

~+~-6

x3+ x2- 6x. 2x2+ 2x- 12

x3+ 3x2- 4x- 12

14. (xn- yn)3= (xn- yn)(xn- yn) (xn- yn). = x~n- 3x2nyn+ 3xny2n- y3n x2n - 2xnyn -+ y'ln

xn- yn.

x3n- 2x2nyn+ xlly2n- x2nyn+ 2xny2n- y~n

x3n- 3x2nyn+ 3xlly:>1I- yJn ,

j(n - ynXli- yn

x2n.- xnyn. .- xnyn+ y2n

x2n- 2xnyn+ y2n

15. 2xy (3y-x-1)2 = 2xy (3y-x-1) (3y~.x~ 1) == 18xy3- 12x2y2~ 12xy2+ 2x3y+ 4)(2y+ 2xy . .

~

. 3y- x-- 12~ -6xt. ~ 2~2y- 2xy

6xy2- 2x2y ; 2xyay-x-=-1

18xy3- 6!,2y2- 6xy2. - 6x2y2 + 2x3y+ 2x?y

- - - 6xy2 2x2y+ 2xy18xy3- 12x2y2- 12xy2+ 2x3y+ 4x2y+ 2xy

I .NOTA:Eneste problema (2xy) no se puede distribuir hasta que se eliminela potencia.. .

16. !»(~): a3!3 - 3~2y+ 2a! + 5y2..tercer grado17. P(y):13- 3!2y2- 2X3'y+ 4~4. Tercer grado18. ~(~):oX"y3+ 3x2y.- 4xy2.Cuarto grado .19.!»fj): 21x7y6+ 28x8y5-14x5y3 + 7x3y2.Sexto grado20. !»(~):4z3x+ 4Z2X2-3xyz + 5y. Tercer gradq .

(x+ yp2 .21. '. = (x + y)12-4'= (x +y)8

(x + y)410m6n J . 2m6-3,.ri 2m322. = = -15m3n fl. 3JÍ 3

(2x2y)4 24x2' 4y 24x8 1623. = = - = - X8-4Teorema 3-12 (-a) (-b) =

{- 3xy)4 (- 3)4x4y4. 81x4 81 = ab paro (- 3)4 - -'16

=-x481

. ~5

24(x + y)3(x- V)2 . %. 4 (x + y)3-2 4(x + y)24. = =.

30(x+ y)2(x- y)3 % .5 (x - y)3-2 ' 5(x - y)

(a + bJ3 (a + b)3 Los potencias no tienen lo mismo base, (a + b)25.

( b)3 ..:.. 3b3 y ab, por lo que no se aplico la 'resta de ex-a '. a . ponentes.

6x3- 9x4y .6x3 9x4y 2x226. ' . =---=--3x3

3xy 3xy 3xy y

7a3b2+ 28a8b5- 21a7b6 - 14a6b327. '

703b2

-14asb3

, 7a3b2

a3 - 3a2+ Oa - 4 Coci~nte

28. a + 1 /a4 - 2a3- 3a2- 4a - 8- 03

Como el primer término decoda .resta siempre es cero,pruebe omitiéndolo po ra

, sitnplificar más la operación

- 3a3- 302+ 3a2--oci2 - 4a

. 00-40-8

4- 4" ResiduQ

0.!

o' - 20' - 30'- 4a - 8 = o' - 3cJ2"":'4 - 0+1

4

0+1

29. Observamos que al dividendo le hace falta el término de la potenciados, por lo que se agrega con coeficiente cero.

l' . . .

-¡Z2 + 2z + 5 Cociente2

/Z4 + Z.3+,OZ2 + 2z + 153z3- 2z2

4z3- 2z2+ 2z12z2- 8z

10z2- 6z+ 1530z - 20

24z- 5

2Z2-6z+4

Z4 1'Z2.1_=_=-Z22z~ 2 2

4z3-=2z2z2

10z2 ,-=5, 2z2

. .

Residuo

-

Z4 + Z3 + 2z + 15 1 '24z - 5-= - Z2 + 2z + 5-+ .

2z2- 6z + 4 2 2z2~ 6z + 4

3x5 + 11x4 - 15x2+ 7x + 9 - 8)( + 1330', ' = 3x3+ 5)(2- 7x,+ 4 +

x2 + 2x- 1 x2+ 2x - 1

,

3x3 + 5x2- 7x + 4

x~'+ 2x - 1 /3x5 + 11x4+ ax3- 15x2+ 7x + 9- 6x4+ 3x3,

5x4+ 3x3- 15x2- 10x3+ 5x2

7x3-10x2 + 7x14x2- 7x

4x2+ Ox+ 9-8x+ 4- 8x+ 13

1j

Ij

CONJUNTO DE PROBLEMAS IV.15 -

1. - 20(30 - 402)= '- 6a2+ 803

2. (- 2xy)(- 3x2y3)= 6x3y4

4, (2k-3)(k-7)=2k2-17k+21.,'

5. (a + b) (e + d) ==oe + ud + be + bd

6, (x.- y) (x + y) = x2- y2,

7, (y - 8) (y + 3) = y2 ~ 5y - 24

8. (x -' 2) (x + 5) = x2 + 3x - 10

9, ((x - 2y) + 4F = (x - 2y)2 + 2 ' (x - 2y)' 4+ 42 .- = ~2+ 2x(- 2y) + 4y2 + 8(x - 2y) + 16

= x2- 4xy + 4y2+ 8x - 16y + 16

10, [2(x- 3y) + 5] [3(x- 3y) - 2] ,

;::: 6(x - 3y)2 + 11(x - 3y) - 10'= 6(x2 - 6xy+ '9y2)+ 11(x- 3y)- 10= 6x2- 36xy + 54y2,+ 11x- 33y - 10

207

',i<

11. (2x ,+ 5)2 = 4x2+ 2(2x) (5) + 25= 4x2+ 20x+ 25 '

12. (x - 2y - Z)2= [(x - 2y)- Z]2~ (x- 2y)2- 2(x :- 2y)z+ Z2 :, . = x2-4xy + 4~-2xz + 4yz+ Z2

13. (x - 1) (x2+ x + 1) = x3- (1)3= X3- 1

, l4. (y3+ 7) '(y3- 2) ~ y6+ 5y3- 14

15. (2m - n + 3)3= [2m - (n - 3)]3= .= (2m)3- 3(2m)2(n - 3) + 3(2m)(n - 3)2-. (n - 3)3= 8m3- 12m2(n- 3) + 6m(n -' 3)2- (n - 3)3= 8m3- 12m2n+ 36m2+ 6m(n2- 6n + 9)

- [(n3 - 3n2(3)+ 3n(3)2- (3)3]= 8m3- 12m2n+ 36m2+ 6mn2- 36mn+ 54m-

-- (n3- 9n2+ 27n - 27)= 8m3- 12m2n+ 36m2+ 6mn2- 36mn + 54m-" - n3 + 9n2.- 27n+ 27

16. (5x - 3y)3 = (5.X)3- 3(5x}~"(3y)+ 3t§Jtr(3y}2.- (ay)3~.,; , .<. ":. '. ,.,:.~. .= 125x3- 225x2y+ 135xy2- 27y3

17. (2x + 3y)3 ==(2X)3+ 3(2x)2 (3y) + 3(2x) (3y).2+ (3y)3= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

18. [(x + 3y) + (2z - 4w)] [(x + 3y) - (2z - 4w)] == (x + 3y)2- (2z - 4W)2= (x2+ 6xy + 9y2)- (4z2- 16zw+ 161M2)= x2 -F"6xy + 9y2- 4z2'+16íw - 16w2.

19. [(4x + 3w)~ (2y+ 3z)] [(4x+ 3w)+ '(2y+ 3z)], = (4x+ 3W)2- (2y.+ 3Z)2

= (16x~+ 24xw + 9w2)~ (4y2+ 12yz + 9z2)= 16x2+ 24xw'+ 9w?- 4y2 - 12yz ~ 9z2

20.:1 2 1 l' 2 2.

(-x + _y)2 = (-X)2 + '2(-x) (-y) + (_y)2-2 3 2 2 3 '3

122= (_)2X2+ x(-y) + (_)2y2

2 \ 3 3

1 2, . 4=.-x2 + -xV + _y2

4 3 9. t~,~, ,;~;..~ , I :.f .'

21. 3x2-- 9x = 3x(x - 3)

22. y3 + 4y = y(y2 + 4)

23. 02X2+ 02 == 02X2,+ 02 . ,. = 02(X2+ 1)

'o,

208

24. 9- a2 "= (3)2 - a2= (3 + a) (3 - a) ~"

25. 225a8 - 64b2= (1504)2- (8b)2= (15a4+ 8b) (15cr - 8b)

26. 3y(2x+ 5) - 4x(2x+ 5) =(3Y-;- 4x) (2x + 5)

27. x2- 9 = (x + 3) (x - 3)

28. x2 - a2 = (x + a) (x - a)

29. 169x2- 225y2= (13x)2 - (15y)2 = (13x + 15y) (13x - 15y)

.30. r - 5t - 66= (t ~ í 1) ,(~+ 6)

31. x2:'"5x- ~4= (x ~ 7) (x + 2)

32: (x + 2y)2~ Z2= [(x + 2y) + zJ.[(x + 2y) - z]=- . =(x + 2y+ z) (x + 2y- z)

33. 8x6n + 27y3n = (2x2n)3+ (3yO)3= [(2x2n) + (3yO)] [(2x2n)2-" '."-~;" .., (2x2n)(3yn) + (3yn)2]

= (2x2n+ 3yn) (4x4n- 6x2nyn+ 9y2n)

34. r - 8x + 16= (x- 4) (x - 4) = {x- 4)2" ,

35. 5x2- 30xy+ 45y2= (5x...:.15y)(x - 3y)= 5(x - 3y)2

36. a2b2- ab - 20"= (ab - 5) (ab + 4)

37. (x + y)2- 7(x :f:y) + 10 ~ [(x + y) - 5] [(x + y) - 2]

38. 64 + 144k+ 81k2= (8 + 9k)2" \

~. 313- 15t2+ 12t= 3t(t2- 5t + 4) = 3I(t - 4) (t --1)

40. 52- (a + b)2= [5 + (~ + b)] [5 - (~ + b)] = (5"+ a .+ b) (5 '7 a - b)41. x2- 4x(a + b) + 4(a + b)~= [x~ 2(0 + b)]2. "

42. x8- 17x4+ 16 = (X4)2- 17(x4) + 16 = (x4 ~ 16) (x4- 1)

= (x2+ 4)(x2- 4) (x2+ 1) (x2- 1) "

= (x2+ 4) (x + 2) (x- 2) (x2+ 1) (x + 1) (x - 1)

43. ax-ay-by + bx = (ax-ay) + (bx-by)=a(x - y) + b(x - y)= (a + b) (x-y)

44. 2a-6-ab2 + 3b2==(2a-6).-(ab2-3b2)" = 2(a-3) -b2(a-3)

"= (2-b2) (a-3)

209

l'

45. x4- 10x2+ 9 = (X2)2- 10(x2).+ 9 = (x2- 9) (x2-1) I. . =. (x + 3) (x- 3. (x + 1~ (x _M- H

46. 7t2- 42t + 63 = (7t- 21) (t - 3) =. 7(t - 3)2

47. xy3+ .2y2- xy- 2 = (xy3+ 2y2)- (xy + 2) = y2(xy+ 2) - 1'(xy+ 2)= (y2- 1)(xy + 2)= (y + 1)(y-1' (xy+ 2)'

48. 2(x+ 2)2(X- 3) + 3(x+ 2)(x- 3)2= '.= (X + 2) (x- 3) [2(x + ~) + 3(x - 3)]= (x + 2) (x-J.-3) (5x- 5) .=5(x + 2) (x- 3) (x- 1)

49. x2 + 2xy + y2-z2 +.2zw-w2 .. = (x2+ 2xy + y2)- (Z2-;- 2zw + w2)

= (x + y)2- (z- W)2==[(x + y) + (z-.-w)] [(x + y)- {z-w}}= (x +. V+ z - w) (x + y - z + w)

50. x6-7x3- 8 = (X3)2-7(x3) - 8 == (x3- 8) (x3+ 1) I= (x- 2)(x2+ 2x + 4) (x + 1)()(2- X + 1)

i CONJUNTO DE PROBLEMASIV-16

x2- 021. Incorrecta.-- = 1

x2- 02 .7x + 1

2. Incorrecta. = 11 + 7x

3(0 + b) - o + b3. .Correcta. (x + y)3 - x + y

4.. Incorrecta.02X- oy

02X2- 02y2

o'(ox- y) - .d(ax,- y)cr(x + y) (x- y)

-a2(x2- y2)

ox-y=a(x + y) (x ~ y)

28 ;1.4 45. -=-=-

63 ;t.9. 9

187 17.11 117. -=~=-

391 17.23 -23

. 210

~ --~- ~ i---

143 1,3,11 116. --=--=-

195 1,3'.15 15

x2+ 2x x(x + 2) x+28. - =-

x2- 4x x(x- 4) x-4

4 16 4 21 ~t) . 3) 334 -..: --. 7 . 21- 7 16- 7(tf') - 4

5 9, 7 J 4i 7 2835. (- + -). - =(-. -)- =-

16 64 15 42', 32 3. % 27

9ax2 18xy2 (~..x2) (9 '.2XY1 27x3y36 --. 10by 15ab -. (5 . .2b~)(,á. 5pb) - 25b2

3x- 5 2x + 3 (3x- 5) 14x2 2x(3x":'"5)37. , + = = .

7xy 14x2 7xy(2x + 3) y(2x + 3)

. a4-b4 b2 a-b (a2+b2)(a+b)(a-b)2b.138. . . = = b(a - b)2 a2 + b2 ab + b2 (a - b)2(a2 + b2)(a + b)b

~x2- y2- X + y x-- y (x + y- 1) (x':'- y) (x- 2y)

.39. + = .x + 2y . x - 2y ex + 2y) (x - y)

= (~ + y"':" 1). (x.- 2y)x + 2y

3 ,3, 3 3 123640. =--=-'=-'-=-3+8 11 1 1'1 11-+-. -- -

4 3 12 12

, (3) 12 36 36,-=~=-1 2 12 3 + 8 11

(- + -)4 3

a b---b

41..-;. a

o ab ' (o + b) (o - b)-=ob

----

02b2

a2b2 ob

(a2 + b2)(o + b) (a - b) 02 + b2. \

a b(- - -) a2b2

. b a a3b- ab3 ab(a2- b?)- -- -(a2 + b2) (a2- b2)

ab-

.. .:..f. o 'o,

..

-

213

2

- (x3- 8)x- - -

. x242.-x2 + 2x + 4 (x2+ 2xt 4)

1 '

- (x - 2) (x2+ 2x + 4) .

x2 + '2x+ 4 = 4x2(x2+ 2x+ 4) ,

4 -

1

2 x(- - -) 4x2 ,x2 4 8 - x3

(x2 + 2x + 4) 4x2 - 4x2(x2+ 2x + 4f

- (x - 2) (x2+ 2x + 4) .

. 4x2,(x'-+_.2x+ 4).----

4x~

x y( - ) (x + y)(x- y)x-y x+y.43.

x' y( +.) (x + y)(x - y)

~+y x...,.. y '/

{x2+ XV)- (xy - r) x2+ y2- -1(x2- XV)+ (xy + y2)- x2+ y2-

-

1 1 a ~-~44. 20- = 20- = .20- =4 02- 4 (o + 2) (o -. 2)Q-- - -a a

1 2. ( - ) (x - 1) (x - 2) (x - 3)'x-2 x-1

45. .

23.( .- ) (x.- 1) (x - 2) (x - 3)x..:.. 3 x-2. .

(x- 1)(x- 3)- 2(x- 2)(x- 3)= .2(x-1 ) (x- 2) - 3.(x- 1)(x.- 3)- x2+ 6x- 9 . (x- 3)2 '

t = - x2+ 6x- 5 = (x- 5)(x- 1)

-

214 -

,- - - --~C"";III

x~2

...

46. a)

b)

e)

d)

Sea J(el número', entonces:

Sea x uno de los números e y el otro, entonces: .Sea x uno de los factores e y el otro, entonces:

Sea x el dividendo e y el divisor, entonces:

e) Sea.x el dividendo e y el divisor, entonces:

(Sobemos que el dividendo debe ser igual al pro-ducto del divisor por el cociente más el voto)

f) Seo x la primera cantidad e y la segunda, en-tonces:

g) Sea)( el primer número e y el segundo, entonces:

h) Sea I el largo y o el ancho del rectángulo (ver fig.).Sabemos que el largo es igual al doble del ancho,o sea L = 20. Y la superficie es el producto dellargo por el ancho'. .

Entonces, tenemos:

Por condición del problema

1 = 2p

Entonces reemplazando, nos queda:- - 3200 = 20 . o = 202

2x :::!; 25

x + y = 36

xy = 120

i) x + y = 101u) 101 y = x

15y + 3 = x

2i) 5%x = -y

3

5x 2yu) --. 100 - 3

1x2+2x=-y 2

Como: 202 = 3200

3200cr.= - = 1600

20=40m

Ya que a . o :r: 40 m X 40 m = 1600 m2

Luego, el largo del rectóngulo es 80 m y el ancho 40 rn.

215