Mat. II Parcial 2009

Física I. II Parcial. 2009 – 1.

1

TRABAJO MECÁNICO Y ENERGÍA

Trabajo (W): desde el punto de vista de la física, se define como una medida del efecto acumulativo que tiene una

fuerza al actuar sobre un cuerpo, mientras éste se desplaza. Por lo que se habla del trabajo realizado por una fuerza

sobre un cuerpo, dicha fuerza es la Fuerza Resultante sobre el cuerpo.

La fuerza aplicada a un cuerpo puede se constante o variable.

1. Fuerza Constante

El trabajo W efectuado por un agente que ejerce una fuerza constante Es el producto de la componente de la

fuerza en la dirección del desplazamiento r

de la partícula y la magnitud del desplazamiento.

Por lo tanto, el trabajo de una fuerza constante viene dado por la

expresión:

r

Fcos

F

rr

Fcos

F

W F. r F r cos

El trabajo es una cantidad escalar y sus unidades son fuerza multiplicada por longitud, es decir, Newton por

metro N.m conocida como Joule (J).

Una fuerza no hace trabajo sobre una partícula si ésta no se mueve, es decir, si el desplazamiento es igual a

cero, entonces 0W . Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, también 0W , ya que 090 y

090 0cos .

El trabajo hecho por la fuerza aplicada es positivo cuando

el vector asociado con la componente F cos está en la

misma dirección del desplazamiento. Por ejemplo, cuando se

levanta un objeto, el trabajo hecho por la fuerza aplicada es

positivo porque la fuerza de levantamiento es hacia arriba, es

decir, en la misma dirección del desplazamiento. En esta

situación, el trabajo hecho por la fuerza gravitacional es

negativo.

Cuando el vector asociado con la componente F cos está

en la dirección opuesta al desplazamiento, el W es negativo.

m

T

mg

m

T

mg

Movimiento

El factor F cos que aparece en la definición de trabajo, toma en cuenta el signo en forma automática.

Es importante destacar que el trabajo es una transferencia de energía; si la energía se transfiere al sistema

(objeto), el W es positivo; pero si la energía se transfiere desde el sistema, el W es negativo.

Ejemplo de fuerza constante:

2. Fuerza Variable

El trabajo realizado por una fuerza variable que actúa sobre una partícula que se mueve a

lo largo del eje “x” de 0 fx a x es:

0

fx

x

W F(x)dx

Donde F(x) es la componente de la fuerza en la dirección “x”.

Si hubiera varias fuerzas actuando sobre la partícula, el trabajo realizado por todas las fuerzas seria la suma de

las cantidades de trabajo individual efectuado por cada fuerza.

Ejemplo de fuerza variable:

Trabajo

x0 xfx

FX

Trabajo

x0 xfx

FX

El área total bajo la curva es el trabajo realizado por la fuerza al moverse

la partícula de 0 fx a x .


2

En resumen:

0

fx

x

F escons tante W F. r F r cos

SiF esvar iable W F(x)dx

Trabajo para Estirar un Resorte

Si un resorte se alarga o se comprime una pequeña distancia

desde su configuración indeformada o de equilibrio la fuerza

aplicada debe ser igual y opuesta a la fuerza del resorte

F kx kx

de modo que el trabajo realizado es:

FR es negativa

x es positiva

FR es positiva

x es negativa

FR = 0

x = 0

x

x

x

x = 0

x = 0

x = 0

(a)

(b)

(c)

x

x

FR es negativa

x es positiva

FR es positiva

x es negativa

FR = 0

x = 0

x

x

x

x = 0

x = 0

x = 0

(a)

(b)

(c)

x

x

2

0 0 0

1

2

x x x

W Fdx kxdx k xdx kx

La fuerza ejercida por un resorte sobre un bloque varia con el

desplazamiento “x” del bloque desde la posición de equilibrio

0(x ) , tal y como se observa en la figura, en donde: (a) cuando x

es positivo (resorte estirado) la fuerza del resorte es hacia la

izquierda. (b) cuando x es cero (longitud natural del resorte), la

fuerza del resorte es cero. (c) Cuando x es negativo (resorte

comprimido), la fuerza del resorte es hacia la derecha.

Teorema de Superposición

El trabajo neto sobre un cuerpo es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante sobre dicho

cuerpo. FW W

Energía Cinética

La energía cinética de una partícula de masa “m” que se mueve con velocidad “v” (donde v es

pequeña comparada con la velocidad de la luz) es:

21

2K mv J

También se define como la energía que posee un cuerpo por el hecho de estar en movimiento o la capacidad de

realizar trabajo que poseen los cuerpos por el hecho de estar en movimiento. Esta energía es una magnitud escalar y

siempre será positiva.

Teorema del Trabajo y la Energía Cinética

Establece que el trabajo neto realizado sobre una partícula por fuerzas externas

es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.

2 20 0

1 1

2 2neto f f

W K K mv mv

Fuerza Media F

Es una fuerza constante que actuando en el mismo desplazamiento que una fuerza variable, realiza

el mismo trabajo.

WF N

x

Potencia

La potencia se define como la rapidez con que se efectúa un trabajo; al igual que el trabajo y la energía es una

cantidad escalar. Su unidad es el watt (W). Un watt es un joule por segundo 1 1W J s

Potencia Media de F P

Se define como el cociente que hay entre el trabajo hecho por la fuerza externa aplicada a un

objeto (el cual se supone, actúa como una partícula) y el intervalo de tiempo t .

FWP W

t

Potencia Instantánea (P)

Se define como la tasa de transferencia de energía en el tiempo. Si un agente

aplica una fuerza F

a un objeto que se mueve con velocidad “v”, la potencia

entregada por el agente en ese instante de tiempo es:

d WP F.v F v cos

dt

Donde: es el ángulo entre F y v

.


3

es una medida

del e fec to

ac umulativ o

de una

que ac tua s obre un

mientras es te hac e un

c uy o res ultado

es una

que puede s er

llamadallamada

e.j.

de c ada


s e define c omo que

d ic e

que para una

s ignific a

donde

lo que

en una

s e

c onv ierte

en

que

es e l

e.j.

s ign ific a

para

aplic ar

e lpermite

obtener

e l

c omo

a partir

de l

que d ic e

e.j

e.j.

e.j.

es la es e l

es e l

e.j.

donde

e.j.

e.j.

TRABAJO

Fuerza

Cuerpo

desplazamiento

Magnitud

Escalar

Positiva Negativa

Trabajo

Motor

Trabajo

Resistente

Fuerza

Cuerpo

Trabajo

Neto

Teorema de

superposic ión

Fuerza

Constante

Fuerza

Variable

Dimensión

(x)Area bajo

la curva

.F

W F dr

W

1 2

...nF F F

W W W W

1 2...

n

F

F F F

W W

W W

Teorema del Trabajo y

la Energía Cinética

2 2

2 1

1( )

2

W k

W m v v

.

.

F

F

W F r

W F r Cos

2

1

.

r

F

r

W F dr

Fuerza

apl icada

r

F

Desplazamiento

Angulo formado

entre la fuerza y el

desplazamiento

ˆ ˆ50 30F i j N

2

1

( )

x

F

x

W F x dx

3ˆ ˆ10F x i xy j N

10F

W J 15,5F

W J

F1=10 N

0 m 6 m

10F N

6r m

60

1

1

1

1

(0 6)

(0 6)

(0 6)

(0 6)

?

.

10 . 6 60

60

F

F

F

F

W

W F r Cos

W Cos

W J

2

2ˆ ˆ2F xi y j N

x

y

(0,0)

(4,1)

2

2 2 2

2

1 1 1

2

2

2

(0,0 4,1)

(0,0 4,1)

4 12

(0,0 4,1)

0 0

4 1

2 3 2 2 3 3

(0,0 4,1)

0 0

(0,0 4,1)

?

. ( ) ( )

2

1 2 1 2(4 0 ) (1 0 )

2 3 2 3

26

3

F

r x y

F

r x y

F

F

F

W

W F dr F x dx F y dy

W xdx y dy

W x y

W J

3

2 2 2

3

1 1 1

3

3

3

(0 4 )

(0 4 )

4 0

2

(0 4 )

0 0

4

3 3 3

(0 4 )

0

(0 4 )

?

. ( ) ( )

( 5) 0

1 15 (4 0 ) 5(4 0)

3 3

124

3

F

r x y

F

r x y

F

F

F

W


W x dx dy

W x x

W J

F4 (N)

12

-10

x (m)

3 4 5 8

4

4

4

4

4

(0 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8)

(0 8)

?

(4 3) 10 (4 3) 12

2 2

77

F

F

F

F

F

W

W W W

W Area Area

W

W J

0 m 4 m

2

3ˆ ˆ( 5) 0F x i j N

Mapa Conceptual de Trabajo. Ramírez de M., M y Tellez N. 2006

es una medida

del e fec to

ac umulativ o

de una


mientras es te hac e un

c uy o res ultado

es una

que puede s er

llamadallamada

e.j.

de c ada


s e define c omo que

d ic e

que para una

s ignific a

donde

lo que

en una

s e

c onv ierte

en

que

es e l

e.j.

s ign ific a

para

aplic ar

e lpermite

obtener

e l

c omo

a partir

de l

que d ic e

e.j

e.j.

e.j.

es la es e l

es e l

e.j.

donde

e.j.

e.j.

TRABAJO

Fuerza

Cuerpo

desplazamiento

Magnitud

Escalar

Positiva Negativa

Trabajo

Motor

Trabajo

Resistente

Fuerza

Cuerpo

Trabajo

Neto

Teorema de

superposic ión

Fuerza

Constante

Fuerza

Variable

Dimensión

(x)Area bajo

la curva

.F

W F dr

W

1 2

...nF F F

W W W W

1 2...

n

F

F F F

W W

W W

Teorema del Trabajo y

la Energía Cinética

2 2

2 1

1( )

2

W k

W m v v

.

.

F

F

W F r

W F r Cos

2

1

.

r

F

r

W F dr

Fuerza

apl icada

r

F

Desplazamiento

Angulo formado

entre la fuerza y el

desplazamiento

ˆ ˆ50 30F i j N

2

1

( )

x

F

x

W F x dx

3ˆ ˆ10F x i xy j N

10F

W J 15,5F

W J

F1=10 N

0 m 6 m

10F N

6r m

60

1

1

1

1

(0 6)

(0 6)

(0 6)

(0 6)

?

.

10 . 6 60

60

F

F

F

F

W

W F r Cos

W Cos

W J

2

2ˆ ˆ2F xi y j N

x

y

(0,0)

(4,1)

2

2 2 2

2

1 1 1

2

2

2

(0,0 4,1)

(0,0 4,1)

4 12

(0,0 4,1)

0 0

4 1

2 3 2 2 3 3

(0,0 4,1)

0 0

(0,0 4,1)

?

. ( ) ( )

2

1 2 1 2(4 0 ) (1 0 )

2 3 2 3

26

3

F

r x y

F

r x y

F

F

F

W


W xdx y dy

W x y

W J

3

2 2 2

3

1 1 1

3

3

3

(0 4 )

(0 4 )

4 0

2

(0 4 )

0 0

4

3 3 3

(0 4 )

0

(0 4 )

?

. ( ) ( )

( 5) 0

1 15 (4 0 ) 5(4 0)

3 3

124

3

F

r x y

F

r x y

F

F

F

W


W x dx dy

W x x

W J

F4 (N)

12

-10

x (m)

3 4 5 8

4

4

4

4

4

(0 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8)

(0 8)

?

(4 3) 10 (4 3) 12

2 2

77

F

F

F

F

F

W

W W W

W Area Area

W

W J

0 m 4 m

2

3ˆ ˆ( 5) 0F x i j N

Mapa Conceptual de Trabajo. Ramírez de M., M y Tellez N. 2006


4

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

El trabajo hecho por la fuerza gravitacional no depende si un objeto cae verticalmente o resbala hacia abajo en un

plano inclinado. Todo lo que importa es el cambio de altura en el objeto. Por una parte, la perdida de energía debido a la

fricción en esa pendiente depende de la distancia recorrida. En otras palabras, la trayectoria no hace ninguna diferencia

cuando consideramos el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, pero si hace una diferencia cuando se considera la

pérdida de energía debido a la fuerza de roce. Podemos utilizar esta variación de dependencia de la trayectoria para

clasificar las fuerzas como conservativas y no conservativas. De las dos fuerzas mencionadas, la fuerza gravitacional es

conservativa y la de roce es no conservativa.

1. Fuerzas Conservativas

Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se mueve entre dos puntos

cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida por la partícula. Es decir, que el trabajo depende solamente

de la posición inicial (x0) y final (xf) de la partícula y no de su trayectoria. También se dice que una fuerza es

conservativa si el trabajo que realiza es cero cuando la partícula se mueve por una trayectoria cerrada arbitraria y

regresa a su posición inicial.

Ejemplos: el peso, la fuerza elástica, la fuerza gravitatoria, la fuerza electrostática.

2. Fuerzas No Conservativas

Una fuerza es no conservativa cuando el trabajo que ella realiza sobre una partícula depende de la trayectoria

que hace dicha partícula o depende de su velocidad.

Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica. Por ejemplo, la fuerza de roce. A

estas fuerzas también se les llama “disipativas”.

Energía Potencial

Antes de describir las formas específicas de la energía potencial, primero debemos definir un sistema, que consiste en

dos o más objetos que ejercen fuerzas unos sobre otros.

0 fF ,r rW U

El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a la variación negativa de la energía

potencial.

La energía potencial se constituye de dos energías como lo son la potencial gravitatoria y la potencial elástica.

1. Energía Potencial Gravitatoria (Ug)

El producto de la magnitud de la fuerza gravitacional “mg” que actúa en un objeto y la altura “y” del objeto es

tan importante en la física que le damos un nombre: la energía potencial gravitatoria.

Es la capacidad que tienen determinado cuerpos para realizar un trabajo en virtud de su

posición en el espacio. Ug mgh J

Donde: m = masa (en kg), g = aceleración de gravedad 29 8g , m s , y, h = altura (en m)

Tiene las mismas unidades del Trabajo, y es una unidad escalar.

La energía potencial gravitatoria es la energía potencial del sistema objeto –

tierra. Esta energía potencial es transformada en la energía cinética del sistema por

la fuerza gravitacional.

El trabajo hecho en el ladrillo por la fuerza gravitacional como el ladrillo cae de

una altura h0 a un hf de la altura es igual a: 0 fmgh mgh

Como la cantidad mgh es la energía potencial gravitatoria Ug del sistema,

tenemos:

0 0g gf fW U U U U U

h0

hf

mg

mg

d

h0

hf

mg

mg

d

De lo antes expuesto, se tiene que el trabajo hecho en cualquier objeto por la fuerza gravitatoria es igual a la

variación negativa de la energía potencial gravitacional del sistema.


5

2. Energía Potencial Elástica (Ue)

Considere un sistema formado por un bloque y un resorte, tal y como

se observa en la figura. La fuerza que ejerce el resorte viene dada por la

expresión RF kx , y el trabajo hecho por dicha fuerza esta dada por

la ecuación

2 20

1 1

2 2RF fW kx kx

En esta situación, las coordenadas “x” inicial y final del bloque son

medidas desde la posición de equilibrio 0x , por lo que el trabajo

depende solo de las coordenadas “x” iniciales y finales del objeto y es

cero para cualquier trayectoria cerrada.

21

2

0

Ue kx

K

2

0

1

2

Ue

K mv

0x

0x

x

(a)

(b)

(c)

m

m

m

21

2

0

Ue kx

K

2

0

1

2

Ue

K mv

0x

0x

x

(a)

(b)

(c)

mm

mm

mm

(a) Resorte deformado en una superficie

horizontal sin fricción. (b) Un bloque de masa m es empujado contra el resorte,

comprimiéndolo una distancia “x”. (c) Cuando el bloque se suelta, la energía potencial

elástica almacenada en el resorte se trasfiere al bloque en forma de energía cinética.

Por lo tanto la energía potencial elástica asociada a un sistema es

definida por la ecuación:

21

2eU kx J

Donde “k” es la constante de elasticidad del resorte, su unidad es

N/m.

Puede considerarse como la energía almacenada en el resorte

deformado (uno que está comprimido o extendido a partir de su posición

de equilibrio)

ENERGÍA MECÁNICA

Se define como la suma de la energía cinética más la energía potencial. E K U J

Conservación de la Energía Mecánica

Si sobre un cuerpo o sistema de cuerpos actúan exclusivamente fuerzas conservativas entonces

la energía mecánica total de ese cuerpo o sistema de cuerpos permanece constante.

0

0 0

f

f f

E E

K U K U

Principio de Conservación de la Energía Total

En cualquier sistema aislado (ni entra ni sale energía) la energía total de ese sistema permanece constante.

La energía nunca puede crearse ni destruirse. La energía puede transformarse de una forma en otra, pero

la energía total de un sistema aislado siempre es constante.

Teorema de las Fuerzas No Conservativas

Si sobre un cuerpo o sistema de cuerpos actúan fuerzas no conservativas, el trabajo realizado

por ellas es igual a la variación de la energía mecánica total de ese cuerpo o sistema de cuerpos. 0

NCfF

W E E E


6

Mapa Conceptual de Energía. Ramírez de M., M y Tellez N. 2006


7

EJERCICIOS RESUELTOS

Trabajo y Energía

PROBLEMA. Un bloque de 12 kg se mueve con rapidez inicial v0 = 3 m/s a lo largo de un plano rugoso inclinado = 37° en sentido ascendente, bajo la acción de tres fuerzas aplicadas. Una fuerza constante F1 de intensidad F1 = 60

N, que forma un ángulo = 30° con la dirección del movimiento, una fuerza F2 que depende de la posición de acuerdo

al gráfico F2 = F2(x) que se muestra a continuación, y la fuerza F3 que varia con la posición de la siguiente forma

2

3

1 1 ˆ3 4

F x x i N

. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano es k = 0,25.

x

Determinar: -100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10

F2(N)

x(m)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10

F2(N)

x(m)

1. El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el bloque entre las posiciones x = 0 m a

x = 10 m, es: La pregunta se refiere al trabajo neto sobre el bloque, para ello es necesario realizar un diagrama de cuerpo libre del

bloque y ubicar TODAS las Fuerzas Externas que actúan sobre el:

D.C.L:

x

y

mg

N

fr

Cálculo del Trabajo realizado por F1: Como F1 es una fuerza constante el trabajo hecho por F1 es:

11 cos

FW F x

Luego el trabajo neto o trabajo realizado por todas las fuerzas es:

1 2 3mgF F F N fr

W W W W W W W

Por definición trabajo es: .F

W F d r

Para una fuerza constante el trabajo es: .

cos

F

F

W F x

W F x

Para una Fuerza variable: . .x yFW F d x F d y

Donde: 1 60F N

, 10x m

130º este ángulo es el que forman F y x

cuando los vectores estan unidos por sus origenes

1 1

60 10 cos 30º 569.62F F

W W Joule


8

Cálculo del Trabajo realizado por F2: Como F2 es una fuerza que varia con la posición y además se cuenta con la grafica F2 = F2(x) en este caso el trabajo hecho por F2 es el área bajo la curva

Cálculo del Trabajo realizado por F3: Se observa que F3 es una fuerza que varia con la posición de la siguiente

forma: 2

3

1 1 ˆ3 4

F x x i N

. Por lo tanto el trabajo realizado por F3 sobre el bloque es:

33 . x yF

W F d r F d x F d y

Cálculo del Trabajo realizado por mg: esta fuerza es constante y el calculo del trabajo hecho por mg sobre el

bloque se obtiene a partir de: cosmgW mg x

Cálculo del Trabajo realizado por N: Aplicando Segunda Ley de Newton en el eje y, podemos determinar el valor

de la Normal:

1 10 0 12 9.8 37 60 30 63.92Fy N F Sen mgCos N mgCos F Sen N Cos Sen N Newton

Y esta fuerza es constante y el calculo del trabajo hecho por la Normal sobre el bloque se obtiene a partir de:

cosNW N x

xN

3 3

3 3 3

10

2

0

10

2 3 2 3

0

1 10

3 4

1 1 1 110 10 100

6 12 6 12

x yF F

F F F

W F d x F d y W x x d x d y

W x x W W Joule

Donde:

12 9.8 117.6mg mg mg N

10x m

90 90 37 127º este angulo es el que forman mg y x


117.6 10 cos 127º 707.73mg mgW W Joule

2

1 2 3 4F

W A A A A

2 2

60 801 3 1 210

2 2

40 802 2 2 120

2 2

2 33 40 3 100

2 2

2 804 4 80

2 2

210 120 100 80 350F F

b BA h A Joule

b BA h A Joule

b BA h A Joule

bhA A Joule

W W Joule

Donde:

63.92N N ; 10x m

90º este àngulo es el que forman N y x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

63.92 10 cos 90º 0N NW W Joule


9

Cálculo del Trabajo realizado por fr: Para determinar el trabajo hecho por fr es necesario calcular el valor de la fuerza de roce:

0.25 63.92 15.98cfr N fr fr N

Luego el trabajo hecho por esta fuerza se obtiene a partir de: cosfrW fr x

:

Luego el Trabajo Neto es la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas externas que actúan sobre el bloque:

1 2 3

569.62 350 100 707.73 0 159.8 152.39

mgF F F N frW W W W W W W

W W Joule

2. El valor de la energía cinética del bloque cuando pasa por la posición x = 10 m

Para hallar el valor de la Energía Cinética, hacemos uso del teorema de trabajo y energía:

0 10 0 10 10 0

22

0 10 10 0 10 10

1 1152.39 12 3 306.39

2 2

W K W K K

W K mv K K Joule

3. El valor de la rapidez del bloque cuando alcanza la posición x = 10 m: Para hallar el valor de la rapidez en x=10m se calcula a partir del valor de la Energía Cinética ya calculado en la

pregunta anterior:

22

10 10 10 10

1 1306.39 12 5.86 /

2 2K mv v v m s

4. Si en el justo momento de pasar por x=10m, las fuerzas F1, F2 y F3 dejan de actuar sobre el bloque, se puede asegurar que el bloquee se detiene después de desplazarse:

El diagrama de cuerpo libre es:

Cálculo del Trabajo realizado por mg: el trabajo hecho por mg sobre el bloque se obtiene a partir de:

cosmgW mg x

Donde:

15.98fr N ; 10x m

180º este ángulo es el que forman fr y x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

15.98 10 cos 180º 159.8fr frW W Joule

Luego el trabajo neto o trabajo realizado por todas las fuerzas externas es:

10 x mg N frW W W W

Y también el trabajo neto es:

10 xW K (Teorema de Trabajo y energía)

Donde:

12 9.8 117.6mg mg mg N

x x m

90 90 37 127º este angulo es el que forman mg y x


117.6 cos 127º 70.77mg mgW x W x Joule


10

Cálculo del Trabajo realizado por N: Como la fuerza F1 dejó de actuar sobre el bloque la componente de esta fuerza en la dirección del eje Y desapareció,

por lo tanto el valor de la normal cambio, es decir que se debe determinar la nueva magnitud de esta fuerza. Aplicando Segunda Ley de Newton en el eje y, podemos determinar el nuevo valor de la Normal:

0 0 12 9.8 37 93.92Fy N mgCos N mgCos N Cos N Newton esta fuerza es constante y el

cálculo del trabajo hecho por la Normal sobre el bloque se obtiene a partir de: cosNW N x

xN

Cálculo del Trabajo realizado por fr: Como el valor de la Normal cambio ahora determinamos el nuevo valor de la fuerza de roce:

0.25 93.92 23.48cfr N fr fr N

el trabajo hecho por fr sobre el bloque se obtiene a partir de: cosfrW fr x

Luego el Trabajo Neto sobre el bloque es: 10

10 70.77 23.48 94.25

x mg N fr

x

W W W W

W x x W x Joule

Y por el teorema de trabajo y energía : 10 0 10 10

10 0 306.39

x x

x

W K W K K

W

Igualando las dos ecuaciones se obtiene el valor de x: 306.39

306.39 94.25 3.2594.25

x x x m

Conservación de la Energía Mecánica

PROBLEMA: Un bloque de masa m se empuja contra

un resorte de masa despreciable y constante de fuerza k1,

comprimiéndolo una distancia AB . Cuando el bloque se

suelta desde el punto A, se desliza por el plano inclinado

de longitud AC y luego se encuentra en el punto D con

una pista circular de radio R. Después de abandonar la pista circular, sigue deslizándose hasta alcanzar un resorte

de constante de fuerza k2 ubicado en el extremo derecho como se muestra en la figura.

Datos:

2

1 2m 2kg; k 400 N/ m; AB x 0.35m; AC 8m; 30º; R 1,5 m; CD 2m; DG 3m; k 460N/ m; g 9.8m/s

Determinar:

SI TODA LA SUPERFICIE POR DONDE SE DESLIZA EL BLOQUE ES COMPLETAMENTE LISA

1. ¿Cuál es la rapidez del bloque cuando alcanza el punto E de la pista circular?

Inicialmente ubicamos un sistema de referencia donde la energía potencial gravitatoria es cero (de manera Ug a lo

largo del problema es igual a Ug en determinado sitio), este nivel de cero energía potencial gravitatoria lo vamos a localizar en el nivel más bajo del arreglo presentado.

Aplicamos el teorema de conservación de la energía A B C D E F G HE E E E E E E E

Puesto que en la situación planteada la energía mecánica se conserva porque todas las superficies son lisas y las

fuerzas externas que actúan sobre el sistema son fuerzas conservativas.

Donde:

93.92N N ; x x m

90º este ángulo es el que forman N y x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

93.92 cos 90º 0N NW x W Joule

Donde:

23.48fr N ; x x m

180º este ángulo es el que forman fr y x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

23.48 cos 180º 23.48fr frW x W x Joule


11

Cálculos : Para calcular la rapidez del bloque en el punto E, basta con aplicar el teorema de conservación de la energía entre este

punto (E) y otro punto donde sea posible determinar el valor de la energía mecánica. En este caso nos ubicamos en el punto A ya que con los datos suministrados es posible calcular la energía mecánica (energía inicial).

Por lo tanto aplicando el teorema de conservación de la energía entre estos dos puntos tenemos: Recordamos que la energía mecánica es:

2

masa del rapidez delcuerpo cuerpo en un

determinadoinstante

Energía Cinética del sistema

1

2

K

K m v

2

constantedeformación de elasticidaddel resorte del resorte

Energía Potencial elástica del sistema

1

2

Ue

Ue k x

masa del altura dondecuerpo se ubica el

cuerpo respectodel nivel Ug=0

Energía Potencial gravitatoria del sistema

Ug

Ug m g h

E K Ue Ug

2

masa del rapidez delcuerpo cuerpo en un

determinadoinstante

Energía Cinética del sistema

1

2

K

K m v

2

constantedeformación de elasticidaddel resorte del resorte

Energía Potencial elástica del sistema

1

2

Ue

Ue k x

masa del altura dondecuerpo se ubica el

cuerpo respectodel nivel Ug=0

Energía Potencial gravitatoria del sistema

Ug

Ug m g h

E K Ue Ug

A B

A A A E E E

0 0

2 2

1 A E E

2

1 A E

E E

1 A E

E

E E

K Ue Ug K Ue Ug

1 1k (x) mgh m(v ) mgh

2 2

k (x) 2mgh 2mghDespejando V se tiene : v

m

Sustituyendo los valores de m, k , g, x, h y h , la rápidez en E es :

v 4,7 m /s

2. ¿Cuánto logra deformar el bloque al resorte de constante de fuerza k2? Cálculos :

La deformación del resorte k2 se

determina a partir de la energía mecánica, ahora aplicaremos el

teorema de conservación de la energía entre este punto donde ocurre la máxima deformación del

resorte k2 (punto H) y el punto A. Por lo tanto aplicando el teorema

de conservación de la energía entre estos dos puntos tenemos:

A H

A A A H H H

0 0 0

2 2

1 A A 2 H

2

1 A A

H H

2

1 A A 2 H

H

E E

K Ue Ug K Ue Ug

1 1k (x ) mgh k (x )

2 2

k (x ) 2mghDespejando x se tiene : x

k

Sustituyendo los valores de m, k , g,x , h y k , la deformación del resorte x es :

x 0,67 m

SI EL BLOQUE INICIA SU VIAJE DESDE LA POSICIÓN INICIAL (PUNTO A), PERO AHORA SOLAMENTE LA SUPERFICIE HORIZONTAL CD ES RUGOSA, MIENTRAS LAS DEMÁS SON COMPLETAMENTE LISAS

3. ¿Cuál es el coeficiente de roce cinético entre el bloque y la superficie CD sabiendo que el bloque llega al punto D con energía cinética de 98.8 J?

Cálculos :

Para esta nueva situación existe una variación en la energía mecánica entre la Superficie C y D, puesto que existe una fuerza no conservativa (fuerza de roce). En este caso hacemos uso del teorema del trabajo de las no conservativas que dice:

no consC D

W E

Aplicando el teorema del trabajo de las no conservativas entre estos dos puntos tenemos:

no consC D

fr D CC D

D C

frC D

frC D

W E

W E E

Por lo tanto, sustituyendo los valores de E y E se obtiene :

W 98 102,9

W 4,9 Joule

Cálculo de las alturas hA y hE: sin 30 4

2 3

A A

E E

h AC h m

h R h m

Como la superficie AC es lisa y las fuerzas presentes

son conservativas, se puede afirmar que:

A CE E

2

A A A A 1 A A

0

A

1E K Ue Ug k (x ) mgh

2

E 102,9Joule


12

Una vez obtenido el valor del trabajo realizado por la fuerza de roce mientras el bloque se desplaza por la superficie CD, haciendo uso de la definición de trabajo se calcula el coeficiente de roce cinético.

frC D

frC D

k

k k

W 4,9 Joule

Pero W fr . r .cos

Por lo tanto: 4,9 N.CD.cos 180

4,90,125

mg.CD.cos 180

4. Después de abandonar la pista circular, ¿Cuánto comprime el bloque al resorte de constante k2?

Cálculos : Luego que el bloque abandona la superficie CD, la energía

mecánica se conserva a lo largo del movimiento del bloque hasta que regrese nuevamente a la superficie CD, es decir

que ahora aplicaremos el teorema de conservación de la energía entre el punto D y un nuevo punto que llamaremos H’ que es donde ocurre la máxima deformación del resorte k2.

Por lo tanto aplicando el teorema de conservación de la energía entre estos dos puntos tenemos:

D H '

H ' H ' H '

0 0

2

2 H '

H ' H '

2

H ' H '

E E

98 K Ue Ug

198 k (x )

2

2 98Despejando x se tiene : x

k

Y la nueva deformación del resorte x es : x 0,65 m

EJERCICIOS PROPUESTOS

PROBLEMA 1. Para llevar un piano, de masa m, al segundo piso de su casa Carlitos decide improvisar una rampa que forma un ángulo

con la horizontal, el piano se encuentra en reposo en la parte inferior

de la rampa y Carlitos lo comienza a mover ayundandose de una cuerda inextensible y masa despreciable, tal y como se muestra en la

figura. La fuerza que hace Carlitos en todo el recorrido del piano es de 420 N, y la fuerza de roce que existe entre el piano y la rampa se

presenta en la gráfica ( )r rf f x .

Datos: 280 6 30 420 9 8Rampa hm kg ; L m ; º ; F N ; g . m/s

1. El valor del trabajo neto realizado sobre el piano durante todo el recorrido de la rampa, es:

2. La fuerza media tiene un valor de: 3. La rapidez cuando el piano llegue al final de la rampa tendrá un

valor de:

4. Y la potencia cuando el piano llegue al final de la rampa, es:

xy

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

x (m)

fr (

N)

fr x

C D


13

PROBLEMA 2. Para subir la caja de masa m se utiliza el plano inclinado como se muestra en la figura. Para ello tres personas

aplican fuerzas F1, F2 y F3 respectivamente. Entre la caja y el

plano inclinado existe un coeficiente de roce cinético k .

Considere la información anexa.

0 2

2 3

0 2

240 70 90 90 50

37 0 1 9 8k

ˆF N; ; m kg; F x x i N

; , ; g , m s

Determinar:

1. El trabajo efectuado por cada una de las fuerzas F1, F2 y F3 sobre la caja desde el inicio del plano inclinado hasta la

mitad de éste es: 2. El trabajo neto realizado sobre la caja desde el inicio del

plano inclinado hasta la mitad de éste es:

3. Si la caja estaba en reposo al inicio del plano inclinado, la rapidez de la caja en la mitad del plano inclinado será:

4. Si en el justo momento de pasar por la mitad del plano

inclinado, las tres personas dejan de aplicar las fuerzas sobre la caja, se puede asegurar que:

F1

F2

F39,96 m

Y

X

0

30

60

90

120

150

180

210

0

0,5 1

1,5 2

2,5 3

3,5 4

4,5 5

5,5 6

x(m)

F1(N

)

a) La caja no alcanza a llegar al final del plano inclinado.

b) La caja llega al borde del plano inclinado con v=0.

c) La caja llega al final del plano inclinado con v>0.

d) La caja empieza a descender inmediatamente.

e) La caja se detiene inmediatamente.

PROBLEMA 3. Un bloque de masa m se muve sobre un

plano horizontal rugoso, bajo la influencia de dos fuerzas F1 y F2. La fuerza F1=40 N forma un ángulo con la horizontal tal y

como se muestra en la figura. La fuerza F2=F(x).

El bloque se encuentra inicialmente en reposo en el punto A (0,0), alcanzando luego el punto B (6,0)con una rapidez VB .

X(m)

AB

A (0,0)

F1

F2

X(m)

m

B (4,0)

Datos: 0 21 240 4 3 3 37 2 9 8B

ˆF i N; F ( x )i N; m kg; v m s; g , m s

1. El valor del trabajo realizado por F1 desde, desde A hasta B (en Joule), es: 2. El valor del trabajo realizado por F2 desde, desde A hasta B (en Joule), es:

3. Y el coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano es: 4. La potencia media cuando el bloque se desplaza desde A hasta B (en Watt) es:

PROBLEMA 4. Un muchacho hala una caja de masa m subiendo por un plano inclinado rugoso de ángulo θ aplicando una fuerza variable

aF durante le tramo AB .

Datos:

o a a B

mˆ ˆmm 20kg ; 30º ; AB 0.8m ; v 2i ; F F (x) ; v 4,47is s

Usando los datos proporcionados, calcule:

1. Trabajo hecho por la fuerza aF en el tramo AB .

2. Trabajo neto en el tramo AB .

3. Coeficiente de roce cinético k entre el plano inclinado y la caja.


14

4. Si al pasar por el punto B se rompe la cuerda y “x” se define como la distancia medida sobre el plano inclinado hacia arriba teniendo como

referencia el punto B; entonces la energía cinética de la masa mientras continúe subiendo será:

a. 2

B

1mgxcos 30º mgxcos(120º ) mv

2

b. 2

B


2

c. 2

B


2

d. 2

B


2

0

100

200

300

400

500

600

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x (m)

Fa (

N)

PROBLEMA 5. Un bloque de masa m, se encuentra inicialmente en reposo sobre un plano horizontal,

comprimiendo un resorte de constante de elasticidad 1k ,

una distancia Δx, como se muestra en la figura. Al separarse el bloque del resorte, puede recorrer una distancia BC,

hasta encontrar un plano inclinado θ, al extremo del cual

hay otro resorte de constante 2k

Datos: 0 2

1 1 22 20 0 7 900 500 30 10m kg; BC m; x , m; k N m; k N m; ; g m s

1. Si consideramos que “no hay roce“ en la vía ABCDE, se puede afirmar que:

a) Energía potencial en A es

mayor que la energía mecánica en C

b) EA es mayor que la

energía potencial en C

c) La energía cinética en

C es menor que la EA

d) La energía cinética en C

es menor que la energía cinética en D

2. El bloque alcanza una altura máxima 6MaxH m , comprimiendo el resorte 2k . La compresión de este resorte será:

3. Si consideramos que “tan sólo hay roce” en la superficie BC, siendo 0 27k , y el bloque comprime el resorte

2k una distancia DE = 0,1 m . Entonces la altura máxima que alcanza el bloque es:

4. En estas condiciones, el bloque se devuelve hasta comprimir nuevamente el resorte 1k , entonces podemos afirmar

que la nueva compresión del resorte será:

PROBLEMA 6. Un esquiador de masa m, se desliza sobre nieve impulsándose sobre una superficie horizontal

con una rapidez V. Al llegar a una pendiente (punto A) de longitud L, deja de impulsarse y sube por ella hasta una altura máxima h (punto B), como se muestra en la figura.

L

A

B C

0 27 100 30 3 1 5 9 8v m s; m kg; ; L m; h , m; g , m s

Suponiendo que no existe roce entre los esquíes y todas las superficies

1. Entonces la energía mecánica en el punto A es (en Joule):

2. La rapidez del esquiador cuando pasa por el punto B tiene un valor de:

Si consideramos que “tan sólo hay roce” en el plano inclinado (pendiente AB)

3. Sí la rapidez del esquiador al llegar al punto B es de 2,94 m/s, entonces el coeficiente de roce cinético entre los esquíes y la nieve es de:

4. En estas condiciones, la energía mecánica que pierde el esquiador en la pendiente AB será:


15

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Es un conjunto seleccionado de partículas, que pueden interactuar

entre sí (Fuerzas Internas) o con otras partículas externas, es decir, con

el entorno del sistema (Fuerzas externas)

La figura muestra tres partículas que pueden estar relacionadas en

cuanto a la posición, velocidad, aceleración y tamaño (masa).

Cada partícula tiene una masa y una posición determinada respecto al

sistema de referencia.

Centro de Masas (CM)

Punto geométrico que representa al sistema y donde se supone concentrada la masa total del sistema, tiene posición,

velocidad y aceleración. El centro de masas de un sistema se mueve como si toda la masa M estuviera concentrada en él.

1. Posición del Centro de masas CMr

1 1 2 2

1 i in nCM

i

mrr (m r m r ... m r )

M m

Donde:

1 2 nr ,r ,...,r

Son los vectores posición de las partículas.

M Masa total del sistema de partículas

2. Velocidad del Centro de Masas CMv

1 1 2 2

1CM

i in n

i

mvv (m v m v ... m v )

M m

Donde:

1 2 nv ,v ,...,v

Son los vectores aceleración de las partículas


3. Aceleración del Centro de Masas CM

a

1 1 2 2

1 i in nCM

i

mm m ... m

M m

aa a a a

Donde:

1 2, ,...,

na a a Son los vectores aceleración de las partículas


Cantidad de Movimiento Total Tp

La cantidad de movimiento de un particular de masa “m” que se mueve con una velocidad “v” es

definido como el producto de la masa y la velocidad.

p mv

La cantidad de movimiento es un vector porque iguala el producto de una cantidad escalar m y una cantidad vectorial

“v”. Su dirección y sentido está a lo largo de “v”. Su unidad es el kgm s .

La cantidad de movimiento total del sistema es igual a la sumatoria de la cantidad

de movimiento de cada una de las partículas. 1 2Tot CM

sistema

p p p p Mv

Fuerzas Internas

1 1 1p m v

2 2 2p m v

1m

12F2m

21F

1 1 1p m v

2 2 2p m v

1m

12F2m

21F

Son aquellas interacciones que ocurren dentro del sistema, es decir son las que se producen

entre las mismas partículas que forman parte del sistema.

Teorema de las Fuerzas Internas

La suma de todas las fuerzas internas de un sistema de partículas es siempre

igual a cero. 0intF

Las fuerzas de acción y reacción nunca se anulan porque actúan sobre cuerpos diferentes, pero en este caso si se

anulan porque son fuerzas en el interior del sistema de partículas. Todos los pares de partículas hacen acción y reacción.

Fuerzas Externas

Son aquellas causadas por la interacción con un elemento ajeno al sistema. Ejemplo: el peso, la normal, tensiones,

fuerza de roce, entre otras.


16

Si la fuerza externa resultante sobre el sistema es distinta de cero y la masa del

sistema permanece constante, entonces, el centro de masas acelera. 0 a

extext CM

FF

M

Leyes de Newton para un Sistema de Partículas

Primera Ley de Newton 00

CM

ext

CM

vSi F

v ctte

El sistema esta en reposo.

El sistema remueve con velocidad constante.

Segunda Ley de Newton 0 0a a a ext

ext CM ext CM CM

FF ; ; F M ;

M

, siendo M Masa Total del sistema

Principio de Conservación del Momentum o de la Cantidad de Movimiento

Este principio dice: “Que la cantidad de movimiento total de un sistema aislado siempre es igual a su cantidad de

movimiento inicial” .

Entonces, si la sumatoria de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es

cero, eso significa o implica que la cantidad de movimiento total permanece constante. 00ext fF p p cte

MOVIMIENTO RELATIVO

Sistema de referencia inercial (S): Se caracteriza porque tiene un movimiento constante o esta en reposo.

Sistema de referencia no inercial (S’): Se caracteriza por presentar aceleración.

Sistema de referencia del centro de masas: Es un sistema de referencia que se ubica siempre en el centro de masas del sistema.

Posición

cmr r r ' m

Donde:

r

Es la posición de la partícula vista desde tierra (S)

CMr

Es la posición del centro de masa vista desde tierra (S)

r '

Es la posición de la partícula respecto al centro de masa (S’).

También llamada posición relativa.

Velocidad

CMCM

drdr dr 'v v v u m s

dt dt dt

Donde:

v

Es la velocidad de la partícula vista desde tierra (S)

CMv

Es la velocidad del centro de masa vista desde tierra (S)

u

Es la velocidad relativa de la partícula respecto al centro de masa (S’)

Ejemplo:

Juan observa a Ana y Pedro que están

compitiendo en una carrera de triciclos,

donde las velocidades registradas por Juan

de cada uno de los competidores son:

45 40P Aˆ ˆv i m s; v i m s

Datos: 60 80 85J A Pm kg; m kg; m kg

La velocidad del centro de masas es:

60 0 80 40 85 4531 22

60 80 85

i iCM

i

mvˆv , i m s

m

Las velocidades de cada partícula y del centro de masa, vistas desde Juan (el observador fijo en tierra) y el centro de

masas (cm) se muestran en la siguiente tabla.


17

Velocidades vistas desde (m/s)

Juan (Observador) Pedro Ana CM

Juan (Observador) 0 - 45 - 40 - 31,22

Pedro 45 0 5 13,78

Ana 40 - 5 0 8,78

Donde 31 22 13 78 8 78J P Aˆ ˆ ˆu , i m s; u , i m s; u , i m s;

son las velocidades relativas al centro de masas de Juan,

Pedro y Ana, respectivamente.

Aceleración

2CMCM

dvdv dum s

dt dt dt

a a a a'

Donde:

a Es la aceleración de la partícula vista desde tierra (S)

CM

a Es la aceleración del centro de masa vista desde tierra (S) a' Es la aceleración relativa de la partícula respecto al centro de masa (S’)

Energía Cinética

La energía total del sistema respecto a un sistema de referencia inercial (tierra) es igual a la

energía asociada al centro de masas más la energía cinética relativa al movimiento del centro de

masas o energía cinética del sistema respecto al centro de masas.

T CMK K K'

Donde:

TK Es la energía cinética total del sistema. 21

2T i iK m v

CMK Es la energía cinética asociada al centro de masas. 21

2CM CMK Mv

K' Es la energía cinética relativa del sistema. También llamada energía cinética del

sistema respecto al centro de masas

21

2i iK' m u

Física I. II Parcial. 2009 – 1

18

Mapa de Sistema de Partículas. Ramírez de M. M., Tellez N., 2006


19

CHOQUE O COLISIÓN

Los choques son eventos en los cuales dos o más cuerpos interactúan mediante fuerzas muy intensas que actúan

durante un tiempo muy breve. Estas fuerzas se denominan impulsivas.

Se supone que la fuerza impulsiva debida a la colisión es mucho más grande que cualquier otra fuerza externa

presente, por lo tanto para cualquier tipo de colisión, la cantidad de movimiento total del sistema justo antes de la

colisión es igual al momento total del sistema justo después de la colisión.

antes del choque despues del choquep p

Tipos de Choques 1. Elástico

Son aquellos choques en que se conserva la cantidad de movimiento p

y la energía cinética K antes y

después del choque.

Principio de conservación de la cantidad Principio de conservación de la energía cinética

0

1 1 2 2 1 1 2 20 0

f

f f

p p

m v m v m v m v

0

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 20 0

1 1 1 1

2 2 2 2

f

f f

K K

m v m v m v m v

La velocidad relativa de un cuerpo respecto del otro después de un choque perfectamente elástico, conserva la

magnitud y se invierte.

Las velocidades finales de 1f

v

y 2f

v

después de un choque perfectamente elástico se pueden determinar

mediante las siguientes ecuaciones:

1 2 2 1 2 11 1 2 2 1 20 0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2f f

m m m m m mv v v y v v v

m m m m m m m m

2. Inelástico

Es aquel en el cual la energía cinética total no es constante, pero la cantidad de movimiento P

si es constante.

Principio de conservación de la cantidad de movimiento 0

1 1 2 2 1 1 2 20 0

f

f f

p p

m v m v m v m v

Energía cinética, recordando que la energía cinética total del sistema se

obtiene como: 21

2T CM i iK K K' m v

0

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 20 0

1 1 1 1

2 2 2 2

f

f f

K K

m v m v m v m v

En este tipo de choque se pierde parte de la energía cinética relativa del sistema.

3. Perfectamente inelástico (plástico)

Son aquellos en que ocurre una perdida máxima de energía cinética. Es este caso de energía cinética relativa al centro

de masas 'cmK , desaparece después del choque y los cuerpos quedan unidos moviéndose con la velocidad del centro de

masas.

Principio de conservación de la cantidad Energía cinética

0

1 1 2 2 1 1 2 20 0

f

f f

p p

m v m v m v m v

0

2 2 21 1 2 20 0

1 1 1

2 2 2

f

cm

K K

m v m v Mv

Coeficiente de Restitución

Mide el grado de elasticidad del choque. Dependiendo de la cantidad de energía cinética que se pierde, el valor del

coeficiente de restitución puede variar entre cero y uno, siempre es positivo.

Se define como el valor absoluto de la relación entre la velocidad relativa después del choque y

antes del choque.

0 0

2 1

2 1

f fv v

v v

1

0 1

0

Si

El choque es perfectamente elástico

El choque es inelástico

El choque es perfectamente inelástico (choque plástico)

IMPULSO (I)

Es la medida del efecto acumulativo de una fuerza que persiste en actuar sobre una partícula mientras transcurre el

tiempo. Se denota con la letra “I”. Es una cantidad vectorial y su unidad es Newton por segundo (Ns ).


20

El impulso se puede obtener como:

0

t

t

f

I Fdt

Debe considerarse que la fuerza aplicada puede ser constante o variable.

1. Fuerza Constante

El impulso de una fuerza neta constante F que actúa durante un intervalo de tiempo de

inicial 0t y final ft es la cantidad vectorial.

f i

I F t

I F t t

2. Fuerza Variable

Si la fuerza neta varía con el tiempo, el impulso es.

0

ft

t

I Fdt

I = Área

t0 tf

t (s)

F (N)

I = Área

t0 tf

t (s)

F (N)

Cuando se tiene una gráfica de Fuerza en función del tiempo, la magnitud

del impulso viene determinado por el área bajo la curva.

Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento

El impulso de una fuerza F que actúa sobre una partícula es igual al cambio en la cantidad de

movimiento de la partícula causada por dicha fuerza. 0fI p p p

El impulso es una cantidad vectorial y tiene la misma dirección y sentido que el vector p

.

Fuerza Media F

Es aquella fuerza F

constante que produce el mismo impulso al cuerpo que el que daría la fuerza

verdadera variable F t

, durante el mismo intervalo de tiempo t .

IF N

t

t0 tft (s)

F (N)

(a)t0 tf

t (s)

F (N)

(a)

t (s)

F (N)

t0 tf(b)

F

t (s)

F (N)

t0 tf(b)

F

En la figura: (a) Una Fuerza que actúa sobre una partícula puede variar en el tiempo. El impulso generado en la partícula por la fuerza es el área

bajo la curva en un gráfico de fuerza vs. tiempo. (b) La fuerza media

(línea horizontal interrumpida) da el mismo impulso a la partícula en el

tiempo t que la fuerza variable en el intervalo de tiempo descrito en

la figura (a).

Teorema de Superposición de los Impulsos

El impulso neto es igual al impulso de la fuerza neta o resultante sobre una partícula. FI I

Si hay varias fuerzas provocando el impulso entonces se genera el impulso neto I

y se determina calculando la

sumatoria de todos los impulsos.

1F2F

1F2F

DCL:

1F2F

mgN

1F2F

mgN

Entonces el impulso neto es:

1 2N F F mgI I I I I

Como 1 2N mg F FI I I I I

El coeficiente de restitución también se define como la relación entre el impulso restaurador RI y el

impulso de deformación DI

R

D

I

I

En un gráfico ( )F F t durante un choque entre dos cuerpos mostrando el impulso

deformador DI y el restaurador RI . El tiempo 0t es el instante en el que no existe

movimiento relativo entre los cuerpos. Antes de 0t los cuerpos se mueven el uno hacia

el otro y se produce una deformación. Después de 0t se alejan el uno del otro. En un

choque perfectamente elástico R DI I . En un choque perfectamente inelástico 0RI

Para el calculo del DI

y del RI

, se busca el punto de la fuerza máxima y se traza t (s)

F (N)

ID IR

t 0

Fmáx

t (s)

F (N)

ID IR

t 0

Fmáx

una línea vertical por ese punto y el área que queda antes de la línea representa el impulso de deformación y el área que

queda después de la línea representa el impulso de restitución.


21

Mapa de Sistema de Partículas. Ramírez de M. M., Tellez N., 2006


22

PROBLEMAS RESUELTOS

Sistema de Partículas

Juanito de masa 80kg y Marisabel de masa 50kg

montados en una tabla de esquiar de 20kg comienzan a subir

por una colina de hielo con una rapidez de 8 m/s, llegan a la parte superior de una colina de 2m de altura (Pto B) y

continúan deslizándose por el plano horizontal BC. Asuma que todas las superficies son lisas. Longitud de la colina 8m

1. En relación con la Energía Mecánica Total (E) y la Cantidad de Movimiento del Sistema (0

p

) formado

por la tabla, Juanito y Marisabel entre los puntos A y B se puede afirmar que:

a) A B

A B

p p

E E

b) A B

A B

p p

E E

c) A B

A B

p p

E E

d) A B

A B

p p

E E

e) A B

A B

p p

E E

Para la situación planteada la energía mecánica se conserva porque todas las fuerzas externas que actúan sobre el

sistema son fuerzas conservativas, por lo tanto entre los puntos A y B la energía mecánica va a permanecer constante.

Por el teorema de conservación de la energía: A BE E Recordamos que la cantidad de movimiento total del sistema es:

0

CM

CM

Donde M Masa total del sistema

v Velocidad del CM es un instante de tiempo

p Mv

Cuando el sistema se encuentra en A, la cantidad de movimiento total del sistema es: 0A ACMp Mv

Y la cantidad de Movimiento total del sistema en el punto B es: 0B BCMp Mv

Mientras el sistema se mueve por la superficie inclinada la aceleración del sistema es distinta de cero, por lo que

A BCM CMv v

, lo que significa que la cantidad de movimiento total del sistema cambia. Y como la velocidad y la aceleración

del centro de masas tienen signos contrarios podemos afirmar que A BCM CMv v

. Finalmente, la opción correcta es la “e”

0 0A B

A B

p p

E E

2. Y el módulo de la velocidad del centro de masas cuando lleguen al plano BC será:

El movimiento que experimenta el sistema mientras se mueve por el plano inclinado es un M.R.U.V. por lo que la

velocidad se determina a partir de: 0CM CM CMv v t

a

Entonces para determinar la velocidad del centro de masas una vez que el sistema llegue al final del plano inclinado, es necesario determinar la aceleración que experimenta el sistema mientras se mueve por esta superficie.

Cálculo de la aceleración del C.M.: Cálculo de la velocidad del C.M. :

8 2 45

A

B

CM CM CM

CM

V V t

V t

a

,

Tomamos el menor tiempo

porque el problema indica que Marisabel-Juanito y patineta suben la colina, lo que significa

que al finalizar la colina la velocidad es positiva

8 2 45 1 23

4 98

B

B

CM

CM

v

v m s

, ,

, /

D.C.L. para CM y

xN

Mg

aCM

Aplicando Segunda Ley de Newton

tenemos: 0

ext

d pF

dt

En el eje x, y simplificando queda:

XXext CM

CM

CM

F M

Mg M

g

a

a

a

sin

sin

Sustituyendo g y

2

9 8 14 48

2 45

CM

CM m s

a

a

, sin , º

, /

También se puede calcular la velocidad del centro de masas por:

1. El principio de conservación de la energía mecánica entre los puntos A y B: A BE E

2. O por el teorema de trabajo neto y energía : W K

3. Si mucho después de llegar al plano BC, Juanito salta hacia atrás con una rapidez de 1 m/s, entonces se

puede afirmar que la velocidad de Marisabel y la tabla será de:

Una vez que llegan al plano BC lo hacen con una velocidad de 4 98CMv i m s ˆ, /

Cálculo de ángulo de

inclinación:

2

8

14 48

arcsin

, º

Cálculo del tiempo empleado en subir la

colina:

2

2

2

1

2

18 8 2 45

2

1 225 8 8 0

1 23

5 30

ACM CMx V t t

t , t

, t t

, st

, s

a


23

D.C.L. para CM y

x

N

Mg

Aplicando Segunda Ley de Newton tenemos:

0 0

0 0

0

justo justoantes después

ext

d p d pF Principio de conservación de la Cantidad de Movimiento

dt dt

p p

En el eje x, y simplificando queda: 0 0XX

ext CM CM CMF M M

a a a Es decir, la velocidad del centro de masas permanece constante en toda la superficie BC

Justo antes de saltar Juanito:

Marisabel, Juanito, tabla y centro de masas todos se

mueven con velocidad constante de CM

V 4 98 i m sˆ, /

y

x

N

Mg

C.M

Justo después de saltar Juanito:

Una vez que Juanito salta de la patineta éste se mueve con una velocidad distinta a la de Marisabel-tabla y a la del centro de masas.

xC.M

CMV

JuanitoV

Marisabeltabla

V

Durante el salto de Juanito:

0 00ext

d p d pF Principio de conservación de la Cantidad de Movimiento

dt dt

Por lo tanto:

0 0justo justoantes despuéssalto salto

CM J J M T M T

p p

M v m v m m v

Despejando la velocidad de Marisabel y tabla se obtiene:

80 50 20 4 98 80 19 53

50 20

CM J JM T M T

M T

M V m vv v im s

m m

, ˆ, /

4. AHORA ASUMA QUE AL FINAL DEL PLANO BC HAY UNA SUPERFICIE RUGOSA. Entonces se puede afirmar

que a partir del momento en que Marisabel y la patineta entren a la superficie rugosa:

a) Juanito acelera y Centro de Masas, la patineta y

Marisabel frenan.

b) Todos frenan

c) Juanito y Centro de Masas continúan con velocidad constante y

Marisabel y la patineta frenan

d) El Centro de Masas acelera hacia Juanito

e) El Centro de Masas comienza a moverse en la

dirección de Juanito.

xC.M

CMV

JuanitoV

Marisabeltabla

V

C

mJg

NJ

(mM+mT)g

N M-T

fr

Si observamos el DCL de Juanito, sobre él la suma de fuerzas externas es cero por lo tanto no experimenta aceleración, es decir que

su movimiento es uniforme.

Ahora si observamos el DCL de Marisabel-tabla, sobre estas partículas la suma de fuerzas externas es distinta de cero.

0extF (lo que significa que estas partículas aceleran)

En el eje x, y simplificando queda:

Xext M T M T

M T

M T

F m m

fr

m m

a

a

Y finalmente, si estudiamos el centro de masas, este acelera porque sobre el sistema la suma de fuerzas externas es distinta de cero.

extF 0

(centro de masas acelera)

Xext CM

CM

F M

fr

M

a

a

De aquí podemos determinar la aceleración de Marisabel -tabla

De aquí podemos determinar la aceleración del Centro de masas


24

Sustituyendo este valor de la velocidad del bloque A justo después del choque en la ecuación (2) se obtiene el valor de la velocidad experimentada por el bloque B justo después del choque

A partir del momento en el que maraisabel y tabla comienzan a moverse sobre la superficie rugosa el centro de masas acelera en sentido contrario al sistema de coordenadas (eje + x), es decir acelera en el sentido de la fuerza de

roce (hacia Juanito), es importante resaltar que el centro de masas se venía moviendo hacia la derecha, de aquí también se concluye que a partir de este momento la velocidad del centro de masas comienza a disminuir. Opción correcta “d”

Choques

Un bloque de masa Am comienza su descenso por una pista

curva (Punto P). En la parte inferior de la pista se encuentra en

reposo el bloque de masa Bm (Punto Q) y a cierta distancia de

este bloque se encuentra en reposo otro bloque de masa Cm

(punto R), tal y como se muestra en la figura. La rapidez del

bloque Am al iniciar su descenso por la pista es 3Av m s . La

pista QR es una superficie rugosa cuyo coeficiente de roce

cinético es 0,2k .

P

Q R

Datos: 2

08 7 7 9 8 1 5 3A B Cm kg m kg m kg g m s H m QR m ; ; ; , / ; , ;

Si toda la pista PQ es lisa y los bloques A y B experimentan un choque inelástico, con un coeficiente de

restitución 0 85, , entonces para esta situación planteada podemos afirmar que:

1. Justo después del choque la rapidez de Bm es:

Q R

Amv

x

Cálculo de la velocidad del bloque A en el punto Q (velocidad de A justo antes del choque).

Como la pista PQ es lisa, la energía mecánica se conserva inicial justo antesE E

Es decir:

2

2 2

2

1 1

2 2

3 9,8 1,5 4,87 /

inicial inicial justo A inicial A inicial A justo justo inicial inicialantes antes antes

justo justoantes antes

K Ug K m V m gh m V V V gh

V V m s

Durante el choque es valido el principio de conservación de la cantidad de movimiento ya que durante el choque la suma de fuerzas externas es despreciable comparadas con las fuerzas producidas por el impacto.

justo justo justo justoantes antes despues despues


justo justo mA mB mA mBantes despues

A A B B A A B B

p p p p p p

m v m v m v m v

Sustituyendo los valores de masa y velocidad justo antes del choque se tiene:

8 (4,87) 7 (0) 8 7 38,96 8 7justo justo justo justo

despues despues despues despues

A B A Bv v v v

….. Ecuación (1)

Como el choque es inelástico a partir de la ecuación del coeficiente de restitución tenemos: justo justo

despues despues


B A

B A

v v

v v

Sustituyendo los valores del coeficiente de restitución y velocidad justo antes del choque se tiene:

0,85 4,14 4,140 4,87

justo justodespues despues

justo justo justo justodespues despues despues despues

B A

B A B A

v v

v v v v

Despejando velocidad de B justo después del choque se tiene: 4,14justo justo

despues despues

B Av v

… Ecuación (2)

Sustituyendo (2) en (1) y despejando el valor de la velocidad de A justo después del choque es:

Rapidez del bloque A justo antes del choque

El choque de los bloques A y B ocurre en el punto Q, por lo tanto es necesario conocer las velocidades de los bloques cuando se encuentran en este lugar de la pista.

38,96 8 7 (4,14 ) 38,96 28,98 15

ˆ1,43 /

justo justo justodespues despues despues

justodespues

A A A

A

v v v

v i m s


25

DESPUÉS DE LA COLISIÓN DE LOS BLOQUE A Y B, SE PRODUCE EL CHOQUE DE LOS BLOQUES B Y C DE TAL MANERA

2. Que si los bloques quedan unidos y en movimiento, entonces la velocidad con la que B y C se mueven después del choque es:

Q

x

Bmv

R

Como el choque ocurre cuando los bloques se encuentran el punto R es necesario determinar el valor de la velocidad del bloque B cuando este se encuentra en R.

La superficie QR es rugosa por lo tanto la energía mecánica cambia debido al trabajo

realizado por la fuerza de roce sobre el bloque B mientras este se desplaza por la superficie QR.

no no justo inicialconserv conserv antes

W E W E E

2

2

2 2

2 2

1 1

2 2

1 1 1 1cos cos180

2 2 2 2

no B justo B inicialconserv antes

Trabajo hecho por la fuerzade roce

B justo B inicial k B B justo B inicialantes antes

justo inicantes

W m v m v

fr r m v m v m gQR m v m v

v v

2 2

2 5,57 2 0,2 9,8 3

4,4 /

ial k justoantes

justoantes

gQR v

v m s

Durante el choque es valido el principio de conservación de la cantidad de movimiento ya que durante el choque la suma de fuerzas externas es despreciable comparadas con las fuerzas producidas por el impacto.



justo justo mC mB mC mBantes despues

C C B B C C B B

p p p p p p

m v m v m v m v

Entre los bloques ocurre un choque plástico, esto significa que ambos bloques se mueven con la misma velocidad y

esta velocidad es igual a la velocidad del centro de masas:

( )

( )



C C B B C B CM

C C B B

CM

C B

m v m v m m v

m v m v

vm m

Sustituyendo los valores de velocidad y masa de los bloques se obtiene: 7 0 7 4,4 ˆ2,2 /

(7 7)CM CMv v i m s

3. Que si ocurre un choque perfectamente elástico, entonces la velocidad de los bloques justo después del

choque es:

Q

x

Bmv

R

Para calcular la velocidad del bloque B justo después de la colisión con C

es necesario determinar el valor de su velocidad justo antes del choque, y esta ya fue calculada en la pregunta anterior 4,4 /justo

antes

v m s .

Entre los bloques ocurre un choque perfectamente elástico, por lo que la velocidad para B queda expresada como:

2justo justo justo

despues antes antes

B C CB B C

B C B C

m m mv v v

m m m m

Sustituyendo los valores de velocidad y masa de los bloques se obtiene:

7 7 2 7 ˆ4,4 0 0 /14 14justo justo

despues despues

B Bv v i m s

Y la velocidad para C queda expresada como:

2justo justo justo

despues antes antes

C BBC B C

B C B C

m mmv v v

m m m m

Cálculo de la velocidad del bloque B justo cuando parte de la posición Q.

La velocidad del bloque parte de este lugar es la misma que tiene justo después del choque con el bloque A y se determina a partir de la ecuación

(1) que fue planteada en la pregunta anterior:

4,14 4,14 1,43

5,57 /

justo justo justodespues despues despues

justodespues

B A B

B

v v v

v m s

Rapidez del bloque B justo antes del choque con el bloque C


26

Sustituyendo los valores de velocidad y masa de los bloques se obtiene:

7 72 7 ˆ4,4 0 4,4 /14 14justo justo

despues despues

C Cv v i m s

Impulso

Un cohete de masa M, inicialmente en reposo se dispara desde una plataforma lanzamiento. Los motores del cohete

desarrollan dos fuerzas variables 1 2F y F

. La grafica 2 2F F t

muestra la variación de F2 con respecto al tiempo y

1ˆ(60000 220000)F t jN

.

F2 (t)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10

t(s)

F2(N)

Datos:

2

1

10000

9 8

60000 220000

M kg

mg js

F t j N

ˆ,

ˆ( )

PARA LA SITUACIÓN PLANTEADA, DETERMINAR:

1. El impulso ejercido por los motores durante los primeros 6 s, es:

D.C.L

F1 F2

Mg

y

Los motores desarrollan las fuerzas 1 2

F y F , por lo tanto es necesario calcular el impulso realizado por

cada una de estas fuerzas:

Cálculo del impulso de 1

F :

1 1

1

1

1

6 6

1

0 0

662

00

2

6

60000 220000

60000220000

2

30000 6 220000 6

2 4 10

F F

F

F

F

I Fdt I t dt

I t t j Ns

I j Ns

I j Ns

( )

ˆ

ˆ

ˆ,

Cálculo del impulso de 2

F :

A1 A2

A3

2

2 2

1

1

1 2 3 1 2 3

3

600 200 2 14 2 200 400

2 2

2 6 10

F

F F

F

F

I Areabajo la curva

I A A A I A A A

I

I j Ns

ˆ,

2. El valor de la fuerza media que actúa sobre el trasbordador durante los 6s , es:

El valor de la fuerza media se determina a partir de la ecuación:

Impulso ralizado portodas las fuerzas externas

media

IF

t

Sustituyendo los valores de impulso neto y variación del tiempo se tiene que:

61,81 10 ˆ3,026 0

media mediaF F j N

Cálculo del impulso neto:

1 2mgF F

I I I I

Necesitamos determinar el valor del impulso realizado por

mg :

5

10000 9 8 6 0

5 88 10

mg mg

mg

ˆI mg t I , j Ns

ˆI , j Ns

Luego el impulso neto es: 6 3 5

6

ˆ2,4 10 2,6 10 5,88 10

ˆ1,81 10

I j Ns

I j Ns

En este caso el impulso realizado por esta fuerza se

determina a partir del área bajo la curva en el gráfico

de 2 2F F t

( ) .


27

3. La velocidad del trasbordador a los 6s de su lanzamiento es:

En la pregunta anterior logramos

determinar el valor del impulso neto, ahora haciendo uso del teorema de

impulso y cantidad de movimiento que explica:

I p

Es decir:

6

6 01,81 10

I p

m v v

Sustituyendo el valor de la masa y la velocidad inicial se tiene:

66

6

6

6

1,81 10 10000 0

1,81 10

10000

ˆ181 /

v

v

v j m s

EJERCICIOS PROPUESTOS

PROBLEMA 1. Una bala de masa 0,01Bm kg se mueve con cierta velocidad horizontal y

choca con un taco de masa 0,2Tm kg , quedando incrustada en él. El taco estaba unido a un

resorte de constante 40k N m que se comprime 0,2x m después de la colisión.

1. ¿Cuál es la velocidad del taco-bala después de la colisión?

2. ¿Cuál es la velocidad de la bala antes de chocar con el taco?

mT

0,2 m

kmB

mT

0,2 m

kmB

3. Se puede afirmar que durante el choque de la bala con el taco:

a) Se conserva la energía cinética b) La Energía cinética asociada al centro de masas es constante

c) Se conserva la energía mecánica d) La velocidad del centro de masas cambia 4. ¿Cuál es el valor de la Energía cinética después del choque?

a) Se conserva la energía cinética b) La Energía cinética asociada al centro de masas es constante

c) Se conserva la energía mecánica d) La velocidad del centro de masas cambia

PROBLEMA 2. Un muchacho de masa 2 40m kg está firmemente amarrado a un

columpio y se deja caer desde una altura 3,26h m . Cuando el columpio está en la

parte mas baja de su trayectoria choca con una pelota de masa 1 4m kg que fue

lanzada horizontalmente contra él. (Considere el columpio de masa despreciable). Hv

1

m1

m2

Hv

1

m1

m2

1. SI EL CHOQUE ES PERFECTAMENTE ELÁSTICO y la pelota rebota con velocidad de 22,73m s ¿Cuál era la

velocidad inicial de la pelota? Si en cambio el muchacho se deja caer desde la misma altura y la pelota se lanza horizontalmente a 4m s

y el muchacho la atrapa (en la parte más baja del recorrido del columpio)

2. Entonces podemos afirmar que: a) Hay una pérdida de la energía

asociada al movimiento del

centro de masas

b) La energía final

es 21 2 CMMv

c) Se pierde toda la energía cinética

d) Hay energía cinética relativa

después del choque 3. La velocidad con la que salen el muchacho y la pelota después de que la agarre es:

PROBLEMA 3. Pedro de masa 80Pm kg y Carmen de masa

50Cm kg , se encuentran parados en reposo sobre una superficie

en la que se derramó aceite (por ello asuma que la superficie es completamente lisa) para hacer algunos experimentos. Ambos sostienen una cuerda y están separados por una distancia 12d m

1. Para esta situación se puede afirmar que la posición del centro de masas es:

X

d0

2. Si Pedro hala la cuerda recogiéndola de manera constante con una fuerza constante de 1N para acercarse a

Carmen entonces se puede afirmar que para el sistema formado por Pedro y Carmen mientras Pedro hale de la cuerda: a) Pedro y Carmen aceleran pero el CM se queda en reposo

b) Los tres aceleran c) Pedro y Carmen aceleran; y el CM de masa se mueve con velocidad constante d) Pedro y Carmen se mueven con velocidad constante; y el CM permanece en reposo.

e) Pedro acelera hacia la derecha; Carmen y el CM de masa aceleran hacia la izquierda


28

CONSIDERE AHORA QUE Pedro y Carmen inicialmente en reposo se

amarran la cuerda a la cintura y Pedro logra enganchar otra cuerda T2

a un poste y comienza a halar de ella con una fuerza constante de manera que puedan ambos salir de la superficie aceitosa.

3. Entonces se puede afirmar que mientras Pedro recoja la cuerda T2

con una fuerza constante:

X0

2T1T

a) Pedro y Carmen aceleran hacia el poste y el CM permanece en reposo.

b) El CM se mueve con v = constante y Pedro y Carmen aceleran hacia el poste c) Los tres aceleran hacia el poste. d) Los tres se mueven con velocidad constante.

e) Pedro y Carmen se mueven con v =constante y el CM acelera hacia el poste 4. Y la aceleración del centro de masas será:

PROBLEMA 4. Un hombre de masa 1 100m kg y una muchacha de masa 2 50m kg ,

están de pie juntos en reposo con patines sobre una superficie horizontal sin rozamiento. De repente se empujan entre sí y el hombre se aleja con una velocidad de

ˆ0,3i m s respecto a la superficie.

Determinar: 1. En esta situación, la velocidad de la muchacha después del empujón es (en m/s):

m1m2 m1m2

x(m)

0

m1m2 m1m2

x(m)

0 2. La distancia que los separa a los 6 s después del empujón es (en m):

3. Si al cabo de cierto tiempo, ambos se están moviendo, entonces con respecto a la velocidad del centro de masas se puede afirmar que:

a) Tiene el mismo sentido de la

velocidad de m2 b) Tiene el mismo sentido de

la velocidad m1

c) Permanecerá en

reposo

d) Disminuirá

constantemente

PROBLEMA 5. Considere una pista sin fricción ABCD como la que se muestra en la figura. Un bloque de masa 10kg se suelta desde el punto A y choca

frontalmente y de manera perfectamente inelástica (Plástica) con un bloque de

masa 5kg en el punto B, inicialmente en reposo. Considere 210g m s .

1. Con respecto a la energía cinética antes y después del choque, se puede afirmar que:

m1

m2

A

B C

ho

m1

m2

A

B C

ho

a) La total se pierde

completamente b) La Asociada se

pierde c) La relativa se conserva d) La relativa se pierde

completamente Sí la Velocidad de las masas después del choque es de 2 m s

2. La altura ho desde donde fue soltado m1 es:

3. La energía perdida durante el choque es:

Sí el choque que ocurre entre ambas masas es elástico y m1 es soltado desde la misma altura

4. La altura que alcanza m1 después del choque es:

PROBLEMA 6. En una demostración de fuegos pirotécnicos, se lanza un petardo en

forma de cohete de masa m, con una fuerza F

. El cohete no explota.

Para la situación planteada determinar: 1. El tiempo (en s) empleado por el cohete en alcanzar la velocidad de

ˆ51,75v jm s

, es:

Utilizar:

2

2,5

ˆ9,8

ˆ5 28

m kg

g jm s

F t jN

2. La velocidad (en m/s) del cohete en el instante 4,5t s es:

3. Si justo en ese momento deja de actuar la fuerza F, se puede afirmar que a partir de ese momento la cantidad de

movimiento del bloque es: a) Continua aumentando b) Comienza a disminuir c) Permanece constante d) Es cero

4. La cantidad de movimiento del cohete 1,5 s, después de dejar de actuar la fuerza F

es:


29

PROBLEMA 7. El cohete de la figura de masa 7500 Kg está siendo lanzado desde la superficie terrestre. Los motores de reacción del cohete desarrollan una fuerza variable como se muestra en la función ( )F F t

ˆ110.000 30.000motorF t j N

Para la situación planteada calcular:

1. El impulso hecho por el motor del cohete en los primeros 10s .

2. ¿Cuál es la velocidad del cohete en los primeros 10s ?

3. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una rapidez de 200m s?

PROBLEMA 8. Una patinadora de masa 1m desciende por

una superficie inclinada con una rapidez inicial 0v , tal y como

se muestra en la figura. La patinadora esta sujeta a una

banda que ejerce una fuerza F

sobre la patinadora. Considere

la superficie inclinada rugosa. Datos:

0 2

0

55 15 9 8

0 15 2 5 11k

m kg; ; g , m s

ˆ, ; v m s; F t i N

x

v0

Para la situación planteada, determinar:

1. El impulso ejercido por la fuerza durante los primeros 5s , es:

2. Y la velocidad de la patinadora al cabo de los 5s , es:

Si justo después de los 5s , la fuerza F

deja de actuar, entonces:

3. Se puede afirmar que a partir de ese momento, la cantidad de movimiento:

a) Continua aumentando b) Comienza a disminuir c

) Permanece constante d) Es cero

4. La cantidad de movimiento de la patinadora 2 s , después de dejar de actuar la fuerza F

es:

PAGINAS WEB RECOMENDADAS A CONSULTAR

Cantidad de Movimiento: http://www.acienciasgalilei.com/videos/cantidadmovim.htm Impulso y Choques: http://es.wikipedia.org/wiki/Impulso

http://www.acienciasgalilei.com/videos/cantidadmovim.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Impulso

Mat. II Parcial 2009

Documents

Transcript of Mat. II Parcial 2009