Curso 2009 2010. · 2009-09-21 · 14.1 Primer parcial y febrero 59 14.1.1 Primer parcial 59 14.1.2...

Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Curso 20092010.

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS2o Curso de Ingeniero Industrial.

Relación complementaria de Problemas

1

1 Ecuaciones de primer orden. 5

2 Ecuaciones lineales de orden superior. 7

3 Sistemas lineales de primer orden. 11

3.1 Sistemas. 11

3.2 Reducción de ecuaciones a sistemas. 13

3.3 Algunos Problemas de examen. 14

4 Sistemas no lineales. 17

5 Transformada de Laplace. 21

6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. 25

7 Problemas de contorno: Series de Fourier. 27

7.1 Series trigonométricas. 27

7.2 Problemas de contorno. 28

8 Ecuaciones en derivadas parciales. 30

8.1 EDP: Separación de Variables 30

8.2 Algunos problemas de exámenes. 32

8.3 EDP: Transformadas Integrales. 36

9 Funciones analíticas. 39

9.1 Números complejos. 39

9.2 Funciones analíticas. 41

9.3 Funciones elementales. 41

10 Transformaciones Conformes. 44

10.1Transformaciones conformes elementales. 44

10.2Aplicaciones a problemas de contorno. 45

10.3Algunos problemas de exámenes. 46

11 Integración compleja. 49

12 Series. 51

13 Residuos y polos. 53

13.1Ceros y polos. Singularidades aisladas. 53

13.2El teorema de los residuos. 53

13.3Aplicación al cálculo de integrales reales. 55

13.4Algunos problemas de exámenes 55

14 Exámenes del curso 200506 59

3

14.1 Primer parcial y febrero 5914.1.1 Primer parcial 5914.1.2 Examen Complementario de Febrero 59

14.2 Segundo parcial 60

14.3 Examen final 6114.3.1 Primera parte 6114.3.2 Segunda parte 62

14.4 Examen de Septiembre 63




15.3 Examen final 6615.3.1 Primera parte 6615.3.2 Segunda parte 67





16.3 Examen final 7116.3.1 Primera parte 7116.3.2 Segunda parte. 72



18 Tabla de Transformadas de Laplace 86

4

Tema 1: Ecuaciones de primer orden.

Problema 1.1 Resuelva las siguientes ecuaciones separables

1. (x− 5) dx− y2 dy = 0

2. y0 = (y − 1)/(x+ 3).3. y0 = (6x5 − 2x+ 1)/(cos(y) + ey).

Problema 1.2 Resuelva los problemas de valor inicial siguientes.

1. xyy0 = (x+ 1)(y + 1) con y(1) = 0.

2. y0 = y tan(x) con y(0) = 1.

Problema 1.3 Mediante cambios de variable adecuados, reduzca las siguientes ecuaciones a separables y resuélvalas.

1. y0 = sen2(x− y + 1).

2. (2x− y + 2) dx+ (4x− 2y − 1) dy = 0.

Problema 1.4 Resuelva las ecuaciones siguientes, con un cambio que las transforme en homogéneas

1. (y + 2)y0 + (2x+ 3y) = 0.

2. (x+ y)y0 = 2y − 1.3. (−3x+ y + 6) + (x+ y + 2)y0 = 0.

Problema 1.5 Considere la familia de rectas que pasan por el origen. A partir de la ecuación algebráica de dicha familia, eliminando el parámetro entre dicha ecuación y su derivada, obtenga laecuación diferencial de dicha familia. Cambiando en dicha ecuación y0 por −1/y0 e integrando laecuación resultante, obtenga la familia de curvas ortogonales a la familia dada.

Problema 1.6 Repitiendo los pasos del ejercicio anterior, obtenga la familia de curvas ortogonalesa la familia de circunferencias que tienen centro en el eje OX y además pasan por el origen.

Problema 1.7 Compruebe que las siguientes ecuaciones son diferenciales exactas y resuélvalas.

1. xy0 + y + 4 = 0.

2. ey dx+ (xey + 2y) dy = 0.

3. (2x3 + 3y) dx+ (3x+ y − 1) dy = 0.4. (x+ 2/y) dy + y dx = 0.

5. (y − 3x2) dx+ (x− 1) dy = 0.

Problema 1.8 Resuelva la ecuación diferencial y2 + 4yex + 2(y + ex)y0 = 0 sabiendo que tiene unfactor integrante que sólo depende de x.

5

Tema 1 Ecuaciones de primer orden.

Problema 1.9 Resuelva la ecuación diferencial (1− (y/x) cos(y/x)) dx + cos(y/x) dy = 0, sabiendo que tiene un factor integrante que sólo depende de y/x.

Problema 1.10 Dada la ecuación (2xy − y2 − y) dx+(2xy − x2 − x) dy = 0, resuélvala hallandoun factor integrante que dependa sólo de xy.

Problema 1.11 Resuelva la ecuación diferencial (4xy + 3y4) dx + (2x2 + 5xy3) dy = 0 sabiendoque tiene un factor integrante de la forma xmyn.

Problema 1.12 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

1. y0 − 2xy = x, con y(0) = 0.

2. y0 + y/x = 3x, con y(1) = 2.

3. y0 − 2x−1y = x2 cos(x), con y(π/2) = 3.

Problema 1.13 La ecuación de primer ordeny0 + p(x)y = q(x)yn, con n ∈ Z, n 6= 0, 1,

recibe el nombre de ecuación de Bernoulli. Pruebe que el cambio de variable z = y1−n transforma laecuación de Bernoulli en lineal y resuelva la ecuación 2y0 − 10y = −5xy3, con y(0) =

√20.

Problema 1.14 Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli.

1. y0 = 2x−1y − x2y2, con y(1) = 1.

2. xy0 + y = y2 log(x), con y(1) = 1.

3. dy + (2xy − xy3e−x2) dx = 0, con y(0) = 1.

Problema 1.15 La ecuación de primer orden y0 = p(x) + q(x)y + r(x)y2 se denomina ecuaciónde Ricatti. Pruebe que si se conoce una solución particular y1(x), la solución general tiene la formay1(x) + z(x), donde z(x) es la solución general de una cierta ecuación de Bernoulli. Aplíquese esteproceso a las ecuaciones

1. y0 = yx+ x3y2 − x5.

2. y0 = (1− y)(x+ y).

Problema 1.16 (Septiembre 2001 Q) La ecuación y0 = A(x)y2 +B(x)y + C(x) se llama ecuaciónde Ricatti. Suponga que conocemos una solución particular y1(x).

1. Demuestre que la sustitución (v(x) 6= 0) y(x) = y1(x) +1

v(x)la transforma en una lineal de la

formav0(x) + [B(x) + 2A(x)y1(x)]v(x) = −A(x)

2. Aplique el resultado anterior para encontrar la solución general dey0 + 2xy = 1 + x2 + y2,

sabiendo que y1(x) = x es una solución particular.

6

Tema 2: Ecuaciones lineales de orden superior.

Problema 2.1 Resuelva las siguientes ecuaciones de coeficientes constantes:

1. y00 + y0 − 6y = 0.2. y00 + 2y0 + y = 0.

3. y00 − 6y0 + 9y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 5.4. y00 + 8y = 0.

5. y00 + 2y0 + 2y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 0.

Problema 2.2 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales

1. yIV ) + 4y00 = 0.

2. yIV ) − 6y000 + 13y00 − 12y0 + 4y = 0.

Problema 2.3 La ecuación (2x + 1)y00 + (4x − 2)y0 − 8y = 0 tiene una solución particular de laforma y = eax. Halle la solución general usando la fórmula de Liouville.

Problema 2.4 Resuelva la ecuación (x2 + 1)y00 − 2xy0 + 2y = 0, sabiendo que y = Ax2 +Bx+Ces solución de la ecuación.

Problema 2.5 Las ecuaciones(2x− x2)y00 + (x2 − 2)y0 − 2(x− 1)y = 0

y0 + y − 2ex = 0tienen una solución común. Calcule las soluciones generales de ambas usando la fórmula de Liouvilleen el primer caso.

Problema 2.6 Obtenga la solución general de las siguientes ecuaciones

1. y00 − 4y = e2x.

2. y00 − 2y0 + y = x3 − 6x.

3. y00 + 4y = 8sen(2x).

4. y00 + y = exsen(2x).

5. y00 − 2y0 + 5y = 16x3e3x.

Problema 2.7 Obtenga la solución general de las siguientes ecuaciones

1. y00 + 4y = 4 cos(2x) + 6 cos(x) + 8x2 − 4x.2. y00 − 9y = 2 sen(3x) + 4sen(x)− 25e−2x + 27x3.3. y000 − 6y00 + 12y0 − 8y = 2x2 − 1.

7

Tema 2 Ecuaciones lineales de orden superior.

Problema 2.8 Resuelva la ecuación y00 + b2y = x cos(ax) a, b > 0.

Problema 2.9 Halle la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones, usando el métodode variación de los parámetros.

1. y00 + y = cosec(x).

2. y00 + 2y0 + 2y = e−x sec(x).

3. y00 + 4y = f(x).

Problema 2.10 Resuelva(1 + x)y00 + (4x+ 5)y0 + (4x+ 6)y = e−2x,

sabiendo que la ecuación homogénea admite una solución de la forma y = eax.

Problema 2.11 Una ecuación de la formax2y00 + axy0 + by = 0; a, b ∈ R; x > 0

se denomina ecuación equidimensional de Euler de segundo orden. Pruebe que el cambio x = et latransforma en una ecuación con coeficientes constantes. Use este hecho para resolver las siguientesecuaciones

1. x2y00 − 4xy0 + 6y = x4 − x2.

2. x2y00 − xy0 + y = x3 log3(x).

3. 2x2y00 + y = x2√x.

4. x3y00 + 3x2y0 + xy = 1.

Problema 2.12 (Enero 2001) Considere la ecuación diferencialx2y00 − x(x+ 2)y0 + (x+ 2)y = 0.

1. Encontrar una función f(x) de manera que f(0) = 1, f 0(0) = 1 y tal que la función y = xf(x)sea solución de la ecuación anterior.

2. Encontrar la solución general.

3. Resolver el problema de valores iniciales⎧⎨⎩ x2y00 − x(x+ 2)y0 + (x+ 2)y = x3

y(1) = −1,y0(1) = −2.

Problema 2.13 (Enero 2000) Hallar la solución general de la ecuaciónxy00 + 2y0 + xy = 0,

sabiendo que una de sus soluciones es la solución del problema de valor inicialxy0 + y = cos(x) y(0) = 1.

Problema 2.14 (Septiembre 2001) Hallar la solución general de la ecuaciónxy00 + 2y0 − 4xy = 0,

8


sabiendo que tiene soluciones comunes con la ecuaciónxy0 + (1− 2x)y = 0.

Problema 2.15 (Enero 2002) Considere la ecuación diferencialx2y00 − 2y = x3ex.

1. Encontrar la solución general de la ecuación sabiendo que una solución del problema homogéneoes y1(x) = x2.

2. Resolver el mismo problema suponiendo que no se conoce ninguna solución del homogéneo.

Problema 2.16 (Primer Parcial Enero 2004) Resolver la ecuacióny00 + 2y0 + 2y = e−x senx

con las condiciones iniciales y(0) = y0(0) = 1.

Problema 2.17 (Primer Parcial Enero 2004)

1. Determinar la solución de la ecuación diferencial

y0 =xy − y2

x2que pasa por el punto (1,1) integrándola como una ecuación homogénea.

2. Probar que toda ecuación diferencial homogénea y0 = −P (y/x)Q(y/x)

, escrita en la forma P (y

x) dx +

Q(y

x) dy = 0, admite como factor integrante a µ(x, y) =

1

xP + yQ. Aplicarlo a la resolución de

la ecuación diferencial (y2 − xy) dx+ x2 dy = 0.

3. Resolver la ecuación diferencial

y00 +1− lnx

x(1 + lnx)y0 − 1− lnx

x2(1 + lnx)y = 0

sabiendo que una solución particular es la obtenida en el apartado 1.

Problema 2.18 (Septiembre de 2004)

1. Deducir la condición que debe verificarse para que la ecuación M dx+N dy = 0 admita un factorintegrante de la forma µ = µ(y). Obtener un factor integrante que dependa solo de y para laecuación

(2x− 1) y dx+ ¡x− x2¢dy = 0

integrarla y calcular la solución y1 de dicha ecuación que verifica y1(2) = 2.

2. Resolver la ecuaciónx2y00 − 2xy0 + 2y = 0

sabiendo que tiene como solución la y1 calculada en el apartado 1.

3. Resolver la ecuaciónx2y00 − 2xy0 + 2y = x

sabiendo que es una ecuación de Euler.

Problema 2.19 (Primer Parcial 200405)

9


1. Sea la ecuación diferencialxy00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0

y sea la variable dependiente u(x) = y0(x) + y(x). Mostrar que si P (x) = Q(x) + x, entoncesu(x) satisface la ecuación diferencial

xu0 +Q(x)u = 0.

2. Resolver la ecuación diferencialxy00 + (x− 1)y0 − y = 0.

3. Resolver la ecuación diferencialxy00 + (x− 1)y0 − y = x2.

Problema 2.20 (Final Junio 2005)

1. Dada la EDO de segundo orden x2y00 + x(p0 + p1x)y0 + (q0 + q1x)y = 0, con p0, p1, q0, q1 ∈

R, obtener condiciones sobre los coeficientes para que xm, con m ∈ R, sea solución de dichaecuación.

2. Obtener la solución general de x2y00−x(2+x)y0+(2+x)y = 0 utilizando la fórmula de Liouville.

3. Obtener, por el método de Frobenius, la solución general de

x2y00 − x

µ1

2+ 2x

¶y0 +

µ1

2+ x

¶y = 0.

10

Tema 3: Sistemas lineales de primer orden.

3.1 Sistemas.

Problema 3.1 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

x0 =∙1 14 1

¸x,

∙c1e

−tµ

1−2

¶+ c2e

3t

µ12

¶¸x0 =

∙1 −15 3

¸x.

∙c1e

2t

µ − cos 2tcos 2t− 2 sen 2t

¶+ c2e

2t

µ − sen 2tsen 2t+ 2cos 2t

¶¸Problema 3.2 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

x0 =∙1 123 1

¸x,

∙c1e

7t

µ21

¶+ c2e

−5tµ −2

1

¶¸x0 =

∙1 −11 1

¸x.

∙c1e

t

µ − sen tcos t

¶+ c2e

t

µcos tsen t


x0 =∙1 10 1

¸x,

∙c1e

t

µ10

¶+ c2e

t

µt1

¶¸x0 =

∙1 22 1

¸x.

∙c1e

3t

µ11

¶+ c2e

−tµ −1

1


x0 =

⎡⎣ 1 −1 43 2 −12 1 −1

⎤⎦ x,⎡⎣c1et

⎛⎝ −141

⎞⎠+ c2e3t

⎛⎝ 121

⎞⎠+ c3e−2t

⎛⎝ −111

⎞⎠⎤⎦x0 =

⎡⎣ 5 −4 2−4 5 22 2 8

⎤⎦ x.⎡⎣c1

⎛⎝ −2−21

⎞⎠+ c2e9t

⎛⎝ 1201

⎞⎠+ c3e9t

⎛⎝ −110

⎞⎠⎤⎦Problema 3.5 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

x0 =

⎡⎣ 1 −1 01 2 1−2 1 −1

⎤⎦ x,⎡⎣c1et

⎛⎝ 10−1

⎞⎠+ c2e2t

⎛⎝ −111

⎞⎠+ c3e−t

⎛⎝ 127

⎞⎠⎤⎦x0 =

⎡⎣ −1 1 01 −2 10 1 −1

⎤⎦ x.⎡⎣c1

⎛⎝ 111

⎞⎠+ c2e−t

⎛⎝ 10−1

⎞⎠+ c3e−3t

⎛⎝ 1−21

⎞⎠⎤⎦Problema 3.6 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

x0 =

⎡⎣ 1 −3 20 −1 00 −1 −2

⎤⎦ x,⎡⎣c1et

⎛⎝ 100

⎞⎠+ c2e−t

⎛⎝ −5−22

⎞⎠+ c3e−2t

⎛⎝ −203

⎞⎠⎤⎦11

Tema 3 Sistemas lineales de primer orden.

x0 =

⎡⎣ 1 0 −20 1 01 −1 −1

⎤⎦ x.⎡⎣c1et

⎛⎝ 110

⎞⎠+ c2

⎛⎝ 2 cos t0

cos t+ sen t

⎞⎠+ c3

⎛⎝ 2 sen t0

sen t− cos t

⎞⎠⎤⎦

Problema 3.7 Resuelva los siguientes problemas de valor inicial

x0 =

⎡⎣ 3 1 −11 3 −13 3 −1

⎤⎦ x, x(0) =⎡⎣ 1−2−1

⎤⎦ ;⎡⎣e2t

⎛⎝ 1−2−1

⎞⎠⎤⎦x0 =

⎡⎣ 3 2 42 0 24 2 3

⎤⎦ x, x(0) =⎡⎣ 141

⎤⎦ ;⎡⎣89e8t

⎛⎝ 212

⎞⎠− 79e−t

⎛⎝ 1−20

⎞⎠− 79e−t

⎛⎝ 0−21

⎞⎠⎤⎦Problema 3.8 Obtenga la solución de x0 = Ax, donde ω > 0 y A es la matriz siguiente⎡⎢⎢⎣

0 1 0 03ω2 0 0 2ω0 0 0 10 −2ω 0 0

⎤⎥⎥⎦ .⎡⎢⎢⎣φ(t)c =

⎛⎜⎜⎝0 −2 − cos(ωt) sen(ωt)0 0 ω sen(ωt) ω cos(ωt)3ω 3ωt 2 sen(ωt) 2 cos(ωt)0 3ω 2ω cos(ωt) −2ω sen(ωt)

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

c1c2c3c4

⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎦

Problema 3.9 Resuelva el siguiente problema de valor inicial no homogéneo calculando la matrizeAt correspondiente.

x0 =∙

4 1−2 1

¸x+

∙0−2et

¸, x(0) =

∙10

¸.

∙µe3t + e2t − et

−e3t − 2e2t + 3et¶¸


x0 =∙4 23 −1

¸x−

∙154

¸te−2t, x(0) =

∙1−1

¸.

∙µ57e−2t + 2

7e5t − t2

2e−2t + 2te−2t

−87e−2t + e5t

7+ 3t2

2e−2t + te−2t

¶¸


x0 =∙ −1 1−4 3

¸x+

∙22

¸et, x(0) =

∙22

¸.

∙etµ

2− t2

2− 2t− 2t2¶¸


x0 =

⎡⎣ 2 0 10 2 00 0 3

⎤⎦ x+⎡⎣ 101

⎤⎦ e2t, x(0) =⎡⎣ 111

⎤⎦ .⎡⎣⎛⎝ 2e3t − e2t

e2t

2e3t − e2t

⎞⎠⎤⎦Problema 3.13 Resuelva el siguiente problema de valor inicial no homogéneo calculando la matrizeAt correspondiente.

x0 =

⎡⎣ 1 1 −1−3 −3 3−2 −2 2

⎤⎦ x+⎡⎣ 1t0

⎤⎦ , x(0) =⎡⎣ 101

⎤⎦ .⎡⎣⎛⎝ 1 + t+ t2

2+ t3

6

−t2 − t3

2

1− t2 − t3

3

⎞⎠⎤⎦12

Tema 3 Sistemas lineales de primer orden. Sección 3.2 Reducción de ecuaciones a sistemas.


x0 =

⎡⎣ 1 1 00 1 00 0 2

⎤⎦ x+⎡⎣ 1

te−t

0

⎤⎦ , x(0) =⎡⎣ 000

⎤⎦ .⎡⎣⎛⎝ e−t

4(1 + t) + et

4(t− 1)

e−t4(−1− 2t) + et

40

⎞⎠⎤⎦

3.2 Reducción de ecuaciones a sistemas.

Problema 3.15 Resuelva la ecuación x000 = 0 expresándola como un sistema de primer orden y

calculando la correspondiente matriz eAt.hc1 + c2t+ c3

t2

2

iProblema 3.16 Sea la ecuación diferencial

y4) − 5y00 − 36y = 0, con y(0) = 1, y0(0) = 3, y00(0) = 9, y000(0) = 27.

1. Transformar la ecuación diferencial en un sistema lineal de ecuaciones diferenciales.

2. Obtener la solución general del problema utilizando la técnica matricial. Determine asimismo, lasolución del problema de valores iniciales. [e3t]

13

Tema 3 Sistemas lineales de primer orden. Sección 3.3 Algunos Problemas de examen.

3.3 Algunos Problemas de examen.

Problema 3.17 (Junio 2001) Hallar la solución del problema de valores iniciales⎡⎣ x0(t)y0(t)z0(t)

⎤⎦ =⎡⎣ 0 2 00 1 11 −2 3

⎤⎦⎡⎣ x(t)y(t)z(t)

⎤⎦+⎡⎣ 111

⎤⎦ ,⎡⎣ x(0)

y(0)z(0)

⎤⎦ =⎡⎣ 100

⎤⎦ .Problema 3.18 (Junio 2001) Consideremos

A =

⎡⎣ 2 3 40 2 30 0 2

⎤⎦ , b (t) =

⎡⎣ 0e2t0

⎤⎦ , x0 =

⎡⎣ 100

⎤⎦ .(a)Calcular una matriz fundamental para el sistema x0 = Ax.

(b)Usar el resultado para resolver el problema de valores iniciales½x0 = Ax+ b (t) ,x (0) = x0.

Problema 3.19 (Septiembre de 2000) Resolver el siguiente problema de valores iniciales

dx

dt=

⎡⎣ 2 1 11 2 1−2 −2 −1

⎤⎦x+⎡⎣ e3t

02e3t

⎤⎦ , x(0) =

⎡⎣ 100

⎤⎦ .Problema 3.20 (Enero 2002) Considere la matriz

A =

⎡⎣ a 0 0a 1 a2a 0 2

⎤⎦ , con a ∈ R.

1. Encuentre, según los valores de a, una matriz fundamental del sistema x0 = Ax.

2. Para a = 0, resuelva el problema de valor inicial½x0 = Ax+ b(t)x(0) = x0

, con b(t) =

⎡⎣ cos(t)et

e2t

⎤⎦ y x0 =

⎡⎣ 100

⎤⎦ .Problema 3.21 (Primer parcial 200203)

1. ¿Puede ser la matriz F (t) dada por

F (t) = e2t

⎡⎢⎣ 1 t 3t− t2

20 1 −t0 0 1

⎤⎥⎦una matriz fundamental de algún sistema de la forma x0 = Ax? Razone la respuesta y, en casoafirmativo, calcule la matriz A del sistema.

2. Dado el sistema lineal x0 = Ax, define el concepto de matriz exponencial eAt con t ∈ R y pruebeque eAt = Φ(t)(Φ(0))−1 siendo Φ(t) cualquier matriz fundamental del sistema.

3. Dados

A =

⎡⎣ 2 1 30 2 −10 0 2

⎤⎦ y x0 =

⎡⎣ 121

⎤⎦14


se pide:

a. Deducir una matriz fundamental del sistema x0 = Ax.

b. Obtener la matriz eAt con t ∈ R.c. Resolver el sistema ½

x0 = Axx(0) = x0.

Problema 3.22 (Final 200203) Consideremos la matriz A =

⎡⎣ a 0 0−a+ 1 2 1a− 1 −1 0

⎤⎦ , con a ∈ R.

Se pide:

1. Encontrar según los valores de a, una matriz fundamental del sistema X0= AX.

2. Para a = 1, resolver el problema de valor inicial:½X

0= AX + b(t),

X(0) = X0,con b(t) =

⎡⎣ e2t

et

et

⎤⎦ y X0 =

⎡⎣ 000

⎤⎦ .

Problema 3.23 (Septiembre 2003) Consideremos la matriz A =

⎡⎣ 1 0 0a− 1 1 1− a1− a 0 a

⎤⎦ , con a ∈ R.

Se pide:

1. Encontrar, según los valores de a, una matriz fundamental del sistema X0= AX.

2. Para a = 2, resolver el problema de valor inicial.½X

0= AX + b(t),

X(0) = X0,con b(t) =

⎡⎣ 1et1

⎤⎦ y X0 =

⎡⎣ 101

⎤⎦ .Problema 3.24 (Final Junio 2004) Considere el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias concoeficientes constantes x0 = Ax donde A es una matriz cuadrada real.

1. Defina matriz fundamental de soluciones de dicho sistema. Defina eAt. Pruebe que eAt es unamatriz fundamental de soluciones del sistema dado.

2. Pruebe que, siendo X(t) una matriz fundamental de soluciones cualquiera, se tiene que eAt =X(t)X(0)−1.

3. Como aplicación, calcule eAt siendo

A =

⎡⎣ λ 1 00 λ 10 0 λ

⎤⎦ , donde λ ∈ R.

Problema 3.25 (Primer Parcial 200405) Resolver el problema de valor inicial

x0 =

⎡⎣ 3 0 12 −1 3−1 0 5

⎤⎦x−⎡⎣ 353

⎤⎦ et con x(0) =

⎡⎣ 222

⎤⎦ .15


Problema 3.26 (Final Junio 2005) Hallar la solución general del sistema⎧⎨⎩ x0 = yy0 = zz0 = 2x− z.

Encontrar la solución que verifica la condición inicial:⎡⎣ x(0)y(0)z(0)

⎤⎦ =⎡⎣ 1−10

⎤⎦ .

16

Tema 4: Sistemas no lineales.

Problema 4.1 Obtenga expresiones de las trayectorias del sistema½x0 = ey

y0 = ey cos(x)

Problema 4.2 Obtenga y resuelva la ecuación diferencial de las trayectorias del sistema½x0 = y(1 + x2 + y2)y0 = xy(1 + x2 + y2)

Indique los puntos críticos.

Problema 4.3 Representar el plano de fases de los siguientes sistemas lineales

x =

∙8 147 1

¸x, x =

∙2 0−5 −3

¸x, x =

∙11 −23 4

¸x, x =

∙0 −11 −1

¸x,

x =

∙7 −510 −3

¸x, x =

∙5 −41 1

¸x, x =

∙ −3 −11 −5

¸x, x =

∙0 −41 0

¸x.

Problema 4.4 Obtenga y resuelva la ecuación diferencial de las trayectorias del sistema½x0 = y(1− x2 − y2)y0 = x(1− x2 − y2)

Indique los puntos críticos. Analice los aislados. Esboce el plano de fases.

Problema 4.5 Esboce el plano de fases y obtenga la ecuación cartesiana de las curvas que contienena las trayectorias del sistema ½

x0 = y(1− x)y0 = 1− y2

Calcule la solución del sistema tal que x(0) = 2, y(0) = 0.

Problema 4.6 Determine la configuración y la estabilidad de los puntos críticos del sistema½x0 = −3y + xy − 4y0 = y2 − x2

Problema 4.7 Determine la configuración y la estabilidad de los puntos críticos del sistema½x0 = x(1− y2)y0 = y

Problema 4.8 Determine la configuración y la estabilidad de los puntos críticos del sistema½x0 = (2− x− 2y)xy0 = (2− 2x− y)y

Problema 4.9 Esboce el plano de fases del sistema½x0 = x2 + y2 − 1y0 = x2 − y2

17

Tema 4 Sistemas no lineales.

Problema 4.10 Esboce el plano de fases del sistema½x0 = x− yy0 = 4x2 + 2y2 − 6

Problema 4.11 Esboce el plano de fases del sistema½x = y2 − 3x+ 2y = x2 − y2

Problema 4.12 Esboce el plano de fases del sistema½x = x2 + 2xy + y2 − 1y = x2 − 2xy + y2 − 1

Problema 4.13 El sistema no lineal ½x = x(3− x− y)y = y(x− 1)

representa el modelo de LotkaVolterra para una población de zorros (y(t), en cientos) y conejos(x(t), en miles), que habitan en un cierto bosque.

1. Dibuje el plano de fases del sistema.

2. ¿Podría predecir la evolución de una población de animales que originariamente es de 3000 conejosy 500 zorros? ¿Y si hubiera 1000 zorros y ningún conejo? ¿Y si fueran 1000 los conejos y nohubiera zorros?

Problema 4.14 Obtenga los puntos críticos del sistema½x0 = (x− a)(y − b)y0 = x+ y + c

en función de los parámetros a, b, c ∈ R, indicando su tipo. Dibuje el plano de fases para el caso enque a = 1, b = c = 0.

Problema 4.15 Considere el sistema plano

½x0 = αx− y − x(x2 + y2)y0 = x+ αy − y(x2 + y2)

con α ∈ R.1. Encuentre los puntos de equilibrio (críticos) en función de los valores de α, determine su estabili

dad y dibuje de manera cualitativa las trayectorias próximas.

2. Compruebe que con un cambio a coordenadas polares el sistema anterior se transforma en½ρ0 = ρ(α− ρ2)

θ0 = 1

3. Para α > 0 resuelva la ecuación ρ0 = ρ(α− ρ2) y demuestre quelimt→∞

|ρ(t)| = √α con ρ(0) 6= 0lim

t→−∞ρ(t) = 0 con ρ(0) <

√α.

4. Interprete el resultado anterior en términos de las variables originales x e y dibujando el plano defases global para el caso α > 0.

18


Problema 4.16 (Junio 2001) Dado el sistema½x0 = (1 + x)(1− y)y0 = x(y2 − 4).

Se pide:

1. Obtener sus puntos de equilibrio.

2. Estudiar la naturaleza de dichos puntos y su estabilidad.

3. Hacer un esquema del plano de fases.

Problema 4.17 (Primer parcial 200203) El sistema no lineal modelado por las ecuaciones½x0 = x(8− x− y)y0 = y(x− 3)

representa un sistema depredadorpresa donde y(t) denota el número de depredadores en cientos yx(t) el número de presas en miles. Se pide:

1. Calcular los puntos de equilibrio o puntos críticos del sistema.

2. Estudiar la configuración y estabilidad de dichos puntos.

3. Hallar el campo de direcciones.

4. Calcular, si existen, trayectorias u órbitas rectas.


6. Predecir la evolución de una población original de 1000 presas y 100 depredadores. ¿Y si lapoblación original fuese de 1000 presas y ningún depredador?

Problema 4.18 (Final 200203) Consideremos un sistema depredadorpresa modelado por las ecuaciones ½

x0 = x2 − 2x− xyy0 = y2 − 4y + xy.

Se pide:

1. Calcular los puntos de equilibrio o puntos críticos del sistema.

2. Estudiar la configuración y estabilidad de dichos puntos.

3. Hallar el campo de direcciones.

4. Calcular, si existen, trayectorias u órbitas rectas.


Problema 4.19 (Primer parcial Enero 2004) Se considera el sistema no lineal½x = x2 + y2 − 4y = y(y − x)

Calcular y analizar los puntos de equilibrio o puntos críticos del sistema, determinando su estabilidady la configuración de las trayectorias próximas. Estudiar el campo de direcciones, precisando laslíneas de tangente vertical y horizontal. Calcular, si existen, trayectorias u órbitas rectas. Hacer unesquema del plano de fases.

19


Problema 4.20 (Primer Parcial 200405) Sea el sistema de ecuaciones diferenciales( ·x = x(2y − x− 1),·y = y(1− x).

Calcular los puntos de equilibrio caracterizando su tipo y estabilidad. Obtener las órbitas que sonrectas. Esbozar el plano de fases. Si x(0) > 0 e y(0) > 0, ¿qué se puede decir de lim

t→+∞x(t) y de

limt→+∞

y(t)?

Problema 4.21 (Final Junio 2005) Sea el sistema plano de ecuaciones diferenciales⎧⎪⎨⎪⎩x0 =

x2

2− y − 1

2

y0 = −x2

2− y +

1

2.

Obtener sus puntos de equilibrio, analizar su tipo y estabilidad y especificar la configuración de lastrayectorias próximas. Hallar el campo de direcciones, incluyendo las líneas de tangente vertical yhorizontal. Determinar, si existen, trayectorias u órbitas rectas. Hacer un esbozo del plano de fases.Siendo [x(t), y(t)] la solución del sistema para la que x(0) = y(0) = 0, deducir los valores delimt→+∞ x(t) y limt→+∞ y(t).

Problema 4.22 (Septiembre 2005) Resolver el problema de valores iniciales½x = yy = −x− 2y , x(0) = 0, y(0) = 1.

Obtener los puntos de equilibrio del sistema del apartado anterior, caracterizando su tipo y estabilidad.Esbozar el plano de fases de dicho sistema. Dibujar la órbita que pasa por el punto (0, 1).

20

Tema 5: Transformada de Laplace.

Problema 5.1 ¿Cuál es la transformada de Laplace de la función que a cada número real le asigna

su parte entera?h

1s(es−1)

iProblema 5.2 Calcule las transformadas de Laplace de las siguientes funciones

1. (t− 2)3u(t− 2).h6e−2ss4

i.

2. e−at(tn + cos(bt)); a, b ∈ R, n ∈ N.h

n!(s+a)n+1

+ s+a(s+a)2+b2

i.

3. (t+ t2) sen at, a ∈ R.∙2a(s3+3s2+a2s−a2)

(s2+a2)3

¸.

4. sen(t)u(t− 2π).he−2πs1+s2

i.

5.1

t(1− cos at), a ∈ R.

∙logq1 +

¡as

¢2¸.

Problema 5.3 Las siguientes funciones se definen sobre un intervalo y se extienden periódicamente.Calcule sus transformadas de Laplace.

1. La función de onda cuadrada

f(t) =

½1, 0 ≤ t ≤ a−1, a < t ≤ 2a

∙1

stanh

as

2

¸2. La función de onda dentada

f(t) =t

a, 0 6 t < a.

∙1

as2− 1

s(eas − 1)¸

3. La función de onda triangular

f(t) =

½ta

0 < t < a2a−ta

a < t < 2a

∙1

as2tanh

as

2

¸4. La función de onda sinusoidal rectificada

f(t) = sen

µπt

a

¶, 0 6 t < a.

"aπ

π2 + a2s21

tanh¡as2

¢#

Problema 5.4 Calcule las antitransformadas de Laplace de las siguientes funciones.

1.1

s2 + s4[t− sen(t)]

2. log(1 +1

s2)

£2t(1− cos(t)¤

3. e−4s3

s− 2£3e2(t−4)u(t− 4)¤

4. ss2+4s+5

[e−2t cos(t)− 2e−2t sen(t)]

21

Tema 5 Transformada de Laplace.

Problema 5.5 Calcule L−1[ s(s2+a2)2

] y L−1[ 1(s2+a2)2

] (a > 0).£12at sen(at)

¤ £ −12a2

t cos(at) + 12a3sen(at)

¤Problema 5.6 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace.

1. y00 + y = t; y(0) = 1, y0(0) = −2 [t+ cos(t)− 3 sen(t)] .2. y00 − 6y0 + 9y = t2e3t ; y(0) = 2, y0(0) = 6

he3t³2 + t4

12

´i.

3. y00 − y0 − 2y = 4t2; y(0) = 1, y0(0) = 4 [−2t2 + 2t− 3 + 2e2t + 2e−t] .

Problema 5.7 Resuelva la ecuación diferencialy00 + b2y = f(t); y(0) = y0(0) = 0

para una función f(t) general y para f(t) = cos(bt). h1b

R t0f(u) sen(bt− bu)du

i £12bt sen(bt)

¤.

Problema 5.8 Resuelva el siguiente problema de valores inicialesty000 + ty0 + 2y = 0; y(0) = 0, y0(0) = 1, y00(0) = 0 [t cos t] .

Problema 5.9 Resuelva el siguiente problema de valores iniciales con término independiente continuo a trozos

y00 + 16y =½cos(4t), 0 ≤ t ≤ π

0, t > π; y(0) = 0, y0(0) = 1.⎡⎢⎣

⎧⎪⎨⎪⎩t+ 2

8sen(4t) 0 ≤ t ≤ π

π + 2

8sen(4t) t > π.

⎤⎥⎦Problema 5.10 Resuelva el siguiente problema de valores iniciales con término independiente continuo a trozos

y0+ y =

½t, 0 ≤ t ≤ 10, t > 1

; y(0) = 0∙½t− 1 + e−t 0 ≤ t ≤ 1

e−t t > 1

¸.

Problema 5.11 La corriente de un circuito RLC en serie está regida por el problema de valor inicialI 00(t) + 4I(t) = g(t), I(0) = I 0(0) = 0,

donde

g(t) =

⎧⎨⎩ 1, 0 < t < 1−1, 1 < t < 20, 2 < t

.

Determine la corriente en función del tiempo t.

22


Problema 5.12 (Enero 2001 Q) Resuelva el problema el problema de valores iniciales

y00 + 4y0 + 4y = f(t) ,

siendo f(t) =

½t 0 ≤ t ≤ 20 t > 2

, con condiciones iniciales y(0) = y0(0) = 0.

¿Cuál es el valor y(3)?

Problema 5.13 (Enero 2001)

1. Sabiendo que f(t) es continua con derivada continua en R+ y que existen la transformada deLaplace de f y de su derivada, pruebe que L [f 0(t)] = sL[f(t)]− f(0).

2. Calcule la transformada de Laplace de cos(at), a ∈ R y usando el apartado anterior deduzca latransformada de Laplace de sen(at), a ∈ R.

3. Calcule la transformada de Laplace de la función f(t) = eat, a ∈ R.

4. Resuelva, usando la transformada de Laplace, el problema de valores iniciales½y00 − 3y0 + 2y = 12e−2ty(0) = 2, y0(0) = 6.

Problema 5.14 (Junio 2001)

1. Pruebe que L [t sen(kt)] = 2ks

(s2 + k2)2.

2. Resuelva, usando la transformada de Laplace, el problema siguiente:½x00 + 4x = f(t)x(0) = x0(0) = 0

donde la función f(t) viene dada por

f(t) =

½cos(2t), 0 < t < 2π0, t ≥ 2π.

Problema 5.15 (Febrero 2003)

1. Sea f(x) una función con transformada de Laplace F (s) = L[f(x)]. Demuestre queL[xf(x)] = −F 0(s).

2. Resuelva, haciendo uso de la transformada de Laplace, el problema de valor inicial dado por½xy00 + (2x+ 3)y0 + (x+ 3)y = 3e−x

y(0) = 0.

Problema 5.16 (Final Junio 2004) Se considera la función f(t) =

½t para 0 ≤ t < 11 para t ≥ 1

1. Calcular su transformada de Laplace F (s) = L (f(t)).2. Dada una función g(t), siendo G(s) = L (g(t)) y u(t) la función escalón unitario, calcularL (u(t− a)g(t− a)).

3. Resolver el problema de valor inicial: y00 + y0 − 2y = f(t), y(0) = y0(0) = 0.

23



1. Definir la transformada de Laplace de una función f(t). Hallar la transformada de f(t) = sen kt,con k ∈ R.

2. Obtener la transformada de t x(t) siendo X(s) la de x(t).

3. Definir producto de convolución de dos funciones. Deducir la fórmula para la transformada delproducto de convolución.

4. Resolver el problema tx00 − 2x0 + tx = 0, x(0) = 0.

Problema 5.18 (Primer Parcial 200405) Se considera la función

f(t) =

½1− t si 0 ≤ t ≤ 1,0 si t ≥ 1.

1. Resolver el problema de valor inicialy00 + 2y0 + 2y = f(t), y(0) = y0(0) = 0.

2. Calcular y(2) y limt→+∞

y(t).

Problema 5.19 (Final Junio 2005) Se considera la función

f(t) =

⎧⎨⎩ 0 para 0 ≤ t < 1,t− 1 para 1 ≤ t ≤ 2,1 para t ≥ 2.

1. Calcular su transformada de Laplace F (s) = L (f(t)).2. Dada una función g(t), siendo G(s) = L (g(t)) y u(t) la función escalón unitario, calcularL (u(t− a)g(t− a)).

3. Resolver el problema de valor inicial: y00 + y = f(t), y(0) = 1, y0(0) = 0.

Problema 5.20 (Septiembre 2005) Resolver el problema de valores iniciales

y + 2y + 2y = f(t) =

½sen t para 0 < t < π0 para t ≥ π

, y(0) = 0, y(0) = 1

y calcular el valor de y(2π).

24

Tema 6: Resolución de ecuaciones diferencialesmediante series de potencias.

Problema 6.1 Halle la solución general de las siguientes ecuaciones, usando desarrollos en serie depotencias en x y exprese dichas soluciones mediante funciones elementales.

1. (1 + x2)y00 + 2xy0 − 2y = 0.hαx+ β(1 + x2 − x4

3+ x6

5+ . . . ) = αx+ β(1 + x arctanx)

i2. y00 + 9y = 0. [α cos 3x+ β sen 3x]

3. (1 + x)y00 + y0 = 0. [α+ β log(1 + x)]

Problema 6.2 Resuelva la siguiente ecuación por el método de Frobenius.2x(1− x)y00 + (1 + 3x)y0 − 3y = 0. £

α(1 + 3x) + β√x(3 + x)

¤Problema 6.3 Resuelva la siguiente ecuación por el método de Frobenius.

4xy00 + 2y0 + y = 0.£α cos(

√x) + β sen(

√x)¤

Problema 6.4 Halle la solución general de la ecuación

2x2y00 + x(2x+ 1)y0 − y = 0.

"α

∞Xn=0

(−2)n(2n+ 3)!!

xn+1 + β1√xe−x#

Problema 6.5 Resuelva la siguiente ecuación mediante serie de Frobenius.xy00 − (1 + x)y0 + y = 0. [αex + β(x+ 1)]

Problema 6.6 Halle la solución general de la ecuaciónx2y00 − x(x+ 2)y0 + (x+ 2)y = x3.

£αx+ βx(ex − 1)− x2

¤Problema 6.7 Resuelva la siguiente ecuación mediante series de Frobenius

xy00 + 2y0 + xy = 0.hαcosx

x+ β

senx

x

iProblema 6.8 Resuelva la siguiente ecuación mediante series de Frobenius.

xy00 + (x− 1)y0 − y = 0.£α(1− x) + βe−x

¤Problema 6.9 Resuelva las siguiente ecuación por el método de Frobenius

4xy00 − 2(x− 1)y0 − y = 0.

"αe

x2 + β

√x∞Xn=0

xn

(2n+ 1)!!

#

Problema 6.10 Encuentre una solución de la ecuación de Bessel de orden 0 por el método de Frobenius.

x2y00 + xy0 + x2y = 0.

∙J0(x) = 1− x2

4+

x4

64− x6

2304+ . . .

¸25

Tema 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.

Problema 6.11 (Junio 2000) Demuestre que la solución general de la ecuaciónxy00 + 2y0 + 9xy = 0

es la función

y (x) =c1 cos (3x) + c2 sen (3x)

x,

usando para ello el método de Frobenius.

Problema 6.12 (Junio 2001) Hallar la solución general de la ecuación(2x2 + 2x)y00 + (1 + 5x)y0 + y = 0

en las proximidades del origen.

∙α

1

1 + x+ β

√x

1 + x

¸

Problema 6.13 (Junio 2002) Dada la ecuación lineal homogénea2xy00 + (1 + x)y0 − 2y = 0,

encuentre dos soluciones independientes como series de Frobenius alrededor del punto x = 0.

Problema 6.14 Halle la solución general de la ecuación

(x2 − x)y00 + 3y0 − 2y = x+3

x2

Problema 6.15 (Primer parcial 200203)

(a)Dada la ecuación diferencial (4x+ 2x2)y00 + (5x+ 2)y0 − 2yx= 0, calcule la solución en serie de

Frobenius en torno al punto x0 = 0 que se obtiene a partir de la raíz mayor de la ecuación indicialy exprese dicha solución en forma compacta.

(b)Encuentre la solución general de la ecuación anterior.

(c)Dada una ecuación diferencial lineal de segundo orden del tipo y00 + P (x)y0 + Q(x)y = 0 de laque se conoce una solución y1(x) en un intervalo I, razone de forma teórica cómo conseguir unasegunda solución y2(x) tal que y1(x), y2(x) sea un conjunto linealmente independiente en I.

Problema 6.16 (Junio 2003)

1. Resolver la ecuación diferencialxy00 + (x− 1)y0 − y = 0,

sabiendo que admite una solución del tipo y(x) = eαx con α ∈ R.

2. Resolver la ecuación diferencial anterior mediante series de Frobenius en torno al punto x0 = 0.

Problema 6.17 (Final Junio 2004) Resolver, utilizando el método de Frobenius, la ecuación diferencial ordinaria

xy00 + (x− 1)y0 − y = 0.Identificar la solución obtenida.

26

Tema 7: Problemas de contorno: Series de Fourier.

7.1 Series trigonométricas.

Problema 7.1 Desarrolle la función f(x) = x en serie de Fourier en el intervalo [−π, π]. Id. lafunción g(x) = x2.

Problema 7.2 Desarrolle en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la función

f(x) =

½0, −π < x < 0

sen(x), 0 < x < π .

Problema 7.3 Desarrolle la función f(x) = x cos(x) + cos2(x) en serie de Fourier en el intervalo[−π, π].

Problema 7.4 Desarrolle la función f(x) = (x − π)(x + π) en serie de Fourier en el intervalo[−π, π].

Problema 7.5 Dada la función f(x) = 1− cos2(x) en [0, π], halle

1. el desarrollo de Fourier en serie de senos,

2. el desarrollo de Fourier en serie de cosenos.

Problema 7.6 Halle los desarrollos en serie de Fourier de tipo coseno y seno de la funciónf(x) = π/4, 0 ≤ x ≤ π.

Problema 7.7 Desarrolle en serie de Fourier en el intervalo [−2, 2] la función

f(x) =

½1, −2 < x < 0x, 0 < x < 2 .

Problema 7.8 Desarrolle en serie de Fourier de tipo coseno la función

f(x) =

½2x, 0 < x < 1

22(1− x), 1

2< x < 1 .

Problema 7.9 Halle los desarrollos en serie de Fourier de la función f(x) = |x|1. en el intervalo [0, 2],

2. en el intervalo [−1, 1],3. en serie de senos en el intervalo [0, 1],

4. en serie de cosenos en el intervalo [0, 1].

27

Tema 7 Problemas de contorno: Series de Fourier. Sección 7.2 Problemas de contorno.

Problema 7.10 Halle los desarrollos en serie de Fourier de la función f(x) = x− π4

1. en serie de senos en el intervalo [0, 2π],

2. en serie de cosenos en el intervalo [0, 4π].

Problema 7.11 (E+P, pag 598) Desarrolle en serie de Fourier la función f(x) = x2 en el intervalo[0, 2]. Aplique el teorema de convergencia para deducir que

1.∞Pn=1

1

n2=

π2

6.

2.∞Pn=1

(−1)n+1n2

=π2

12.

3.∞Pn=1

1

(2n− 1)2 =π2

8.

Problema 7.12 (E+P pag. 591) Desarrolle en serie de Fourier la función

f(x) =

½0, −π < x ≤ 0x, 0 < x < π

Aplique el teorema de convergencia para deducir que∞Pn=1

1

(2n− 1)2 =π2

8.

7.2 Problemas de contorno.

Problema 7.13 Encontrar los valores propios y la funciones propias asociadas de los siguientesproblemas de valores propios

1. y00 + λy = 0, y(−π) = 0 = y(π).

2. y00 + λy = 0, y0(−L) = 0 = y0(L).

3. y00 + λy = 0, y0(0) = 0 = y(1).

4. y00 + λy = 0, y0(0) = 0 = y0(π).

5. y00 + λy = 0, y(t) = y(t+ 2L) para todo t.

Problema 7.14 Considere el problema de valores propiosy00 + 2y0 + λy = 0, y(0) = y(1) = 0.

1. Demostrar que λ = 1 no es un valor propio.

2. Demostrar que el nésimo valor propio positivo es λn = n2π2 + 1, con función propia asociadayn(x) = e−x sen(nπx).

28

Tema 7 Problemas de contorno: Series de Fourier. Sección 7.2 Problemas de contorno.

Problema 7.15 Considere el problema de valores propiosx2y00 + 3xy0 + λy = 0 y(1) = y(e) = 0,

en el cual la ecuación diferencial es una ecuación de EulerCauchy. Demostrar que todos los valorespropios son positivos, siendo el n–ésimo λn = 1 + n2π2 y teniendo como función propia asociada

yn(x) =1

xsen(nπ log(x)).

29

Tema 8: Ecuaciones en derivadas parciales.

8.1 EDP: Separación de Variables

Problema 8.1 (E+P pag. 626) Resuelva la ecuación del calor en [0, 50] para las siguientes condiciones de contorno e iniciales

u(0, t) = u(50, t) = 0,

u(x, 0) = 100 .

Problema 8.2 Resuelva la ecuación del calor en [0, π] para las siguientes condiciones de contorno einiciales

u(x, 0) =

⎧⎨⎩ 0, 0 < x <π

21,

π

2< x < π

.

∂u

∂x(0, t) =

∂u

∂x(π, t) = 0, t > 0.

Problema 8.3 Resuelva la ecuación del calor en [0, L] para las siguientes condiciones de contorno einiciales

u(x, 0) = 1 + x, 0 < x < L.

∂u

∂x(0, t) =

∂u

∂x(L, t) = 0, t > 0.

Problema 8.4 Considere una varilla lateralmente aislada, con longitud L = 50 y difusividad térmicak = 1 que tiene una temperatura inicial de u(x, 0) = 0 y temperaturas en los extremos u(0, t) = 0,u(50, t) = 100. Encuentre la temperatura u(x, t).[Nota: ver problema 17 de E+P pag 629]

Problema 8.5 Resuelva la siguiente variante de la ecuación del calor∂u

∂t= k

∂2u

∂x2+ αu, k > 0, α ∈ R;

con las siguientes condiciones de contorno e inicialesu(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 1, 0 < x < π.

Problema 8.6 Resuelva la siguiente variante de la ecuación del calor∂u

∂t= k

∂2u

∂x2+ 2, k > 0,

con las siguientes condiciones de contorno e inicialesu(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, 0 < x < π.

30

Tema 8 Ecuaciones en derivadas parciales.

Problema 8.7 Resuelva el problema de ecuaciones en derivadas parciales⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩uxx = 2utt 0 < x < 1, t > 0,u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = 0, 0 < x < 1,ut(x, 0) = cos (πx) , 0 < x < 1.

Problema 8.8 Resuelva la ecuación de ondas en el intervalo [0, π] con las condiciones de contornoe iniciales que se indican

uxx = utt 0 < x < π, t > 0,u(0, t) = 0,u(π, t) = 0,

u(x, 0) =

⎧⎪⎨⎪⎩x, 0 < x < π

4,

π

4, π

4< x < 3π

4,

π − x, 3π4< x < π ,

ut(x, 0) = 0.

Problema 8.9 Resuelva la ecuación de ondas en el intervalo [0, π] con las condiciones de contornoe iniciales que se indican

uxx = utt 0 < x < π, t > 0,u(0, t) = 0, u(π, t) = 0,u(x, 0) = sen(x)− 2 sen(3x),ut(x, 0) = 3 sen(2x).

Problema 8.10 Una cuerda elástica sujeta en los extremos ( u(0, t) = u(L, t) = 0) bajo la inuenciade la gravedad verifica la siguiente ecuación en derivadas parciales

utt = a2uxx − g 0 < x < L, t > 0.

1. Encuentre la solución estacionaria φ(x).

2. Resolver el problema que surge cuando se añaden las condiciones u(x, 0) = 0 y ut(x, 0) = 0 a laecuación anterior.

Problema 8.11 Resuelva el siguiente problema de Dirichlet en el cuadrado [0, π]× [0, π]∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

u(x, 0) = πx− x2, u(x, π) = 0, 0 < x < π.

u(0, y) = u(π, y) = 0, 0 < y < π.

Problema 8.12 Resuelva el siguiente problema de Dirichlet en el cuadrado [0, π]× [0, π]∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

u(x, 0) = 0, u(x, π) = sen(x), 0 < x < π.

u(0, y) = 0, u(π, y) = sen(y), 0 < y < π.

31

Tema 8 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 8.2 Algunos problemas de exámenes.

Problema 8.13 La función u(x, y) satisface la ecuaciónuxx + uyy = a2u

(donde a es un parámetro real) en el interior del cuadrado de lado unidad y de vértices O = (0, 0),A = (0, 1), B = (1, 0) y C = (1, 1). La función u se anula en los lados OA, OB y BC, mientras queen el lado AC vale sen(4πx). Hallar el valor de la función u en el centro del cuadrado.

Problema 8.14 Resuelva el problema de Dirichlet para el círculo unidad con las siguientes funcionesde contorno

1. f(θ) =

½T0 0 < θ < π−T0 π < θ < 2π

2. f(θ) = θ, −π < θ < π.

8.2 Algunos problemas de exámenes.

Problema 8.15 (Febrero 2003) Aplicando el método de separación de variables paso a paso, resuelva el siguiente problema⎧⎨⎩ ut = uxx + u, (0 < x < π, t > 0)

u(0, t) = u(π, t) = 0 (t > 0)u(x, 0) = sen(x) + 2 sen(3x) (0 < x < π).

Problema 8.16 (Segundo parcial 200203) Se considera la temperatura u(x, t) de un alambre delgado de longitud L, desnudo, que pierde calor hacia el medio que lo rodea, cuya ecuación es

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2− hu (k, h constantes, k > 0, h > 0)

con las condiciones de contorno u(0, t) = 0, u(L, t) = T (t > 0) y la condición inicial dada por

u(x, 0) =T

Lx (0 < x < L).

Resolver el problema escribiendou(x, t) = v(x, t)e−ht + φ(x),

eligiendo φ(x) de forma que v(x, t) satisfaga la ecuación del calor

µ∂v

∂t= k

∂2v

∂x2

¶con las condi

ciones de contorno homogéneas (v(0, t) = 0, v(L, t) = 0) .

Problema 8.17 (Final Junio 2003) Para una cuerda que vibra en el aire con una resistencia proporcional a la velocidad, el problema con condiciones en la frontera es

ytt = a2yxx − 2hyt (0 < x < L, t > 0)

y(0, t) = y(L, t) = 0 (t > 0)

y(x, 0) = f(x) (0 < x < L)

yt(x, 0) = 0 (0 < x < L).

Supongamos que 0 < h < πa/L. Se pide resolver el problema anterior sabiendo que la solucióny(x, t) es de la forma y(x, t) = e−htv(x, t).

32


Problema 8.18 (Septiembre 2003) Sea f(x) una función definida en el intervalo [0, L]. Se pide:

1. Deducir la serie de Fourier de f(x) en términos de senos.

2. Deducir la serie de Fourier de f(x) en términos impares de senos. Para ello, considerar la función

F (x) dada por F (x) =

½f(x), x ∈ [0, L],f(2L− x), x ∈ [L, 2L],

¾y extenderla al intervalo [−2L, 0] de forma

impar como indica la figura.

2LL

-2L -L

Probar que

f(x) =Xn impar

bnsen³nπx2L

´, donde bn =

2

L

LZ0

f(x)sen³nπx2L

´dx.

3. Teniendo en cuenta el apartado anterior, resolver el problema de ecuaciones en derivadas parcialessiguiente: ⎧⎪⎨⎪⎩

uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ Ω,u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x), 0 < x < a,

u(0, y) = 0,∂u

∂x(a, y) = 0, 0 < y < b,

donde Ω = (x, y) : 0 < x < a, 0 < y < b y a, b > 0.

Problema 8.19 (Septiembre 2002) Resuelva el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales: ⎧⎨⎩ ut = uxx + u, (0 < x < π, t > 0)

ux(0, t) = ux(π, t) = 0, (t > 0)u(x, 0) = 1 + cos(6x) (0 < x < π).

Problema 8.20 (Febrero 2004) Resuelva el problema de ecuaciones en derivadas parciales⎧⎨⎩ 4uxx − utt = 4(x2 + 2) sen(2t), 0 < x < π

2, t > 0,

u(0, t) = 0, u(π2, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 2x2, 0 < x < π

2.

Busque la solución escribiendou(x, t) = v(x, t) + Φ(x) sen(2t),

eligiendo Φ(x) de forma que v(x, t) satisfaga la ecuación homogénea (4vxx − vtt = 0) con las condiciones de contorno homogéneas v(0, t) = v(π

2, t) = 0, t > 0.

33


Problema 8.21 (Segundo parcial. Junio de 2004) Sea f(x) una función definida en [0, L].

1. Deducir la serie de Fourier de f(x) en cosenos.

2. Deducir la serie de Fourier de f(x) en términos de cosenos de semimúltiplos impares. Para ello,considerar

F (x) =

½f(x) para 0 < x < L−f(2L− x) para L < x < 2L

y obtener el desarrollo en cosenos de F (x) en [−2L, 2L], concluyendo que

f(x) =∞Xn=0

cn cos

µ(2n+ 1)πx

2L

¶con cn =

2

L

Z L

0

f(x) cos

µ(2n+ 1)πx

2L

¶dx.

3. Resolver, utilizando separación de variables, el problema de ecuaciones en derivadas parciales:⎧⎨⎩ ut = kuxx para 0 < x < L, t > 0,ux(0, t) = 0, u(L, t) = 0 para t > 0,u(x, 0) = f(x) para 0 < x < L,

.

Problema 8.22 (Final Junio 2004) Considere la función f(θ) = θ para −π < θ ≤ π.

1. Calcular la serie de Fourier de la extensión 2πperiódica de la función f(θ). ¿Es convergente dichaserie? ¿A que función?

2. Resolver, utilizando separación de variables, la ecuación de Laplace en el disco unidad:

urr +1

rur +

1

r2uθθ = 0, 0 ≤ r < 1, −π < θ ≤ π,

con la condición de contorno u(1, θ) = f(θ) siendo f(θ) la función dada anteriormente.Nota: Recuerde que la solución buscada u(r, θ) ha de permanecer acotada para r = 0 y debe serperiódica en θ con periodo 2π.

Problema 8.23 (Febrero 2005) Se considera la función

f(x) =

½x para 0 ≤ x ≤ π

2,

π − x para π2≤ x ≤ π.

1. Obtener el desarrollo de Fourier de f(x) en serie de senos.

2. Resolver el problema de contornout − 4uxx = 0, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0,

u(x, 0) = f(x),

siendo f(x) la función dada.

Problema 8.24 (Segundo parcial 200405) Se considera la función

f(y) =

½1 para 0 ≤ y ≤ π

2,

0 para π2≤ y ≤ π.

1. Obtener el desarrollo de Fourier de f(y) en serie de cosenos.

34


2. Resolver el problema de contornouxx + uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < π,

uy(x, 0) = 0, 0 < x < 1,

uy(x, π) = 0, 0 < x < 1,

u(0, y) = 0, 0 < y < π,

u(1, y) = f(y), 0 < y < π,

siendo f(y) la función dada.

Problema 8.25 (Final Junio 2005) Resolver el problema de ecuaciones en derivadas parciales⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩utt = uxx, t > 0, 0 < x < π,u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = senx− 2 sen 3x, 0 < x < π,ut(x, 0) = 3 sen 2x, 0 < x < π,

utilizando la transformada de Laplace en t.

Problema 8.26 (Final Junio 2005) Resolver el problema de ecuaciones en derivadas parciales⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩utt = uxx, t > 0, 0 < x < π,u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = senx− 2 sen 3x, 0 < x < π,ut(x, 0) = 3 sen 2x, 0 < x < π,

utilizando el método de separación de variables.

Problema 8.27 (Septiembre 2005) Resolver el problema⎧⎨⎩ 9utt − uxx = 9 cos 2x sen t, 0 ≤ x < π2, t ≥ 0,

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x < π2,

ux(0, t) = ux(π2, t) = 0, t ≥ 0,

haciendo un cambio de variable de la forma u(x, t) = v(x, t) + Φ(x) sen t.

35

Tema 8 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 8.3 EDP: Transformadas Integrales.

8.3 EDP: Transformadas Integrales.

Problema 8.28 Resolver el problema de contornoutt − uxx = 0, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = senx− 2 sen 3x, 0 < x < π

ut(x, 0) = 3 sen 2x, 0 < x < π,

aplicando la transformada de Laplace en la variable temporal t.

Problema 8.29 Resolver el problema de contornoutt − uxx = sen 2x cos t, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, 0 < x < π,

aplicando la transformada de Laplace en la variable temporal t.

Problema 8.30 Resolver el problema de contornoutt − uxx = 2e−t senx, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = − senx, 0 < x < π,

utilizando la transformada de Laplace en la variable temporal t.

Problema 8.31 Resolver el problema de contornouxx + uyy = −2e−y senx, 0 < x < π, y > 0,

u(0, y) = u(π, y) = 0 para y > 0,

u(x, 0) = 0, uy(x, 0) = 2 senx para 0 < x < π,

aplicando la transformada de Laplace en la variable y.

Problema 8.32 Resolver, usando la transformada de Fourier, para lo que suponemos se dan lashipótesis necesarias:

ut − kuxx = 0, −∞ < x <∞, t > 0

u(x, 0) = f(x), −∞ < x <∞lim

x→±∞u(x, t) = 0, uniformemente en t para t > 0

Problema 8.33 Calcular las transformadas seno y coseno de e−x y xe−x y resolver el problema decontorno

ut − uxx = 0, x > 0, t > 0,

u(x, 0) = xe−x, x > 0,

u(0, t) = 0, t > 0,

limx→∞

u(x, t) = 0 uniformemente en t para t > 0

aplicando la transformada seno de Fourier en x.

36


Problema 8.34 Resolver, utilizando la transformada seno de Fourier:ut − kuxx = 0, x > 0, t > 0,

u(x, 0) = f(x), x > 0,

u(0, t) = T0, t > 0.

Especificar el resultado en los siguientes casos:

1. Para el caso de ser T0 = 0.

2. Suponiendo que fuese f(x) = e−x, T0 = 1, k = 1.

3. Suponiendo que fuera f(x) = xe−x, T0 = 0, k = 1.

Problema 8.35 Resolveruxx + uyy = u, −∞ < x <∞, 0 < y < 1,

uy(x, 0) = 0, u(x, 1) = e−x2

, −∞ < x <∞,

limx→±∞

u(x, y) = 0 uniformemente en y para 0 < y < 1,

aplicando la transformada de Fourier en x.

Problema 8.36 Resolver el problema de contornoutt − uxx = 2e−t senx, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0,

limt→∞

u(x, t) = 0 uniformemente en x para 0 < x < π,

ut(x, 0) = − senx para 0 < x < π,

utilizando la transformada coseno de Fourier en la variable temporal t.Deducir, utilizando las fórmulas de inversión, queZ ∞

0

coswt dw

w2 + 1=

πe−t

2.

Problema 8.37 Resolver el problema de contornouxx + uyy = 0, −∞ < x <∞, 0 < y < 1,

u(x, 0) = e−2|x|, u(x, 1) = 0, para −∞ < x <∞,

limx→±∞

u(x, y) = 0, uniformemente en y para 0 < y < 1,

utilizando la transformada de Fourier en la variable x.

Problema 8.38 Resolver el siguiente problema usando la transformada de Fourier, para lo quesuponemos se dan las hipótesis necesarias:

ut − uxx = 0, −∞ < x <∞, t > 0

u(x, 0) = e−x2

, −∞ < x <∞u(x, t) acotada

Problema 8.39 Resolveruxx + uyy = e−x

2

, −∞ < x <∞, 0 < y < 1,

u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0, −∞ < x <∞,

limx→±∞


37


aplicando la transformada de Fourier en x.

Problema 8.40 Resolver la ecuación de Laplace en una semibandauxx + uyy = 0, 0 < x <∞, 0 < y < 1,

u(x, 0) = f(x), u(x, 1) = 0, −∞ < x <∞,

u(0, y) = 0, limx→∞



Problema 8.41 Resolver la ecuación de Laplace en una semibandauxx + uyy = 0, 0 < x <∞, 0 < y < 1,

u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0, −∞ < x <∞,

u(0, y) = y(1− y), limx→∞



Problema 8.42 Resolver el problema de contornout − uxx + tu = 0, x > 0, t > 0,

u(x, 0) = e−x, x > 0,

ux(0, t) = 0, t > 0,

limx→∞

u(x, t) = 0 uniformemente en t para t > 0

aplicando la transformada coseno de Fourier en x.

Problema 8.43 Resolveremos el problema de contornoutt − uxx = 2e−t senx, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, 0 < x < π,

utilizando la transformada seno de Fourier en la variable temporal t.

Problema 8.44 Resolveremos el problema de contorno

4uxx − utt = 4¡x2 + 2

¢sen 2t, 0 < x <

π

2, t > 0,

u(0, t) = u(π

2, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 2x2, 0 < x <

π

2,


38

Tema 9: Funciones analíticas.

9.1 Números complejos.

Problema 9.1 Compruebe que

a)5

(1− i)(2− i)(3− i)=

i

2, b)

1 + 2i

3− 4i +2− i

5i= −2

5,

c) (3 + i)(3− i)

µ1

5+

i

10

¶= 2 + i.

Problema 9.2 Pruebe que z es real si y sólo si z = z. Pruebe que z es real o imaginario puro si ysólo si z2 = z2.

Problema 9.3 Pruebe que√2 |z| ≥ |Re z|+ |Im z| .

Problema 9.4 Sean z, w ∈ C. Pruebe que

1. |z + w|2 = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 .2. |z − w|2 = |z|2 − 2Re(zw) + |w|2 .3. |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2). (Esta fórmula se conoce como ley del paralelogramo).

Problema 9.5 Pruebe que1

35≤¯

1

z4 − 4z2 + 3¯≤ 1

3para |z| = 2. Observe que en z = ±2 y en

z = ±2i se alcanzan las igualdades.

Problema 9.6 Obtenga un valor de arg z para

a) z =−2

1 +√3i, b) z =

i

−2− 2i , c) z = (1 +√3i)−10.

Problema 9.7 Pruebe que si Re z1 > 0 y Re z2 > 0, entonces Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2). ¿Es cierto el resultado, en general?

Problema 9.8 Sean z1, z2 y z3 tres puntos de módulo unidad. Pruebe que si z1 + z2+ z3 = 0,entonces los tres puntos forman un triángulo equilátero.

Problema 9.9 Deduzca que

1. cos(3θ) = cos3(θ)− 3 cos(θ) sen2(θ), θ ∈ R.2. sen(3θ) = 3 cos2(θ) sen(θ)− sen3(θ), θ ∈ R.

Problema 9.10 Calcule las siguientes raíces:

a) (2i)12 , b) 8

16 , c) (−8− 8

√3i)

14 .

39

Tema 9 Funciones analíticas.

Problema 9.11 Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) z6 + 1 =√3i, b) z4 + 81 = 0, c) z2 + (i− 2)z + 3− i = 0.

Problema 9.12 Sea a ∈ R y A =√a2 + 1. Pruebe que las raíces cuadradas de a+ i son

± 1√2

h√A+ a+ i

√A− a

i.

Problema 9.13 Represente geométricamente los conjuntos de números complejos dados por

1. |z + 1| < 1.2. |z + 2i|+ |z − 2i| < 6.3. Im(z2) > 4.

4. Im(1

z) = 4, identificando Im(

1

z) ≤ 4.

5.¯Arg z − π

2

¯<

π

2.

6. z(z + 2) = 3.

7. Re(z2) = −1 y 1 < Re(z) < 3.

8. 0 < Re(iz) < 1.

Problema 9.14 Determine en téminos de una variable compleja, la ecuación de las siguientes curvas

1. La circunferencia con centro en (−2, 1) y radio 4.

2. La elipse con focos (−3, 0), (3, 0) y cuyo eje mayor tiene longitud 10.

Problema 9.15 Determine cuáles de los siguientes conjuntos son cerrados, abiertos, dominios yacotados.

1. |z − 2 + i| ≤ 1.2. |2z + 3| > 4.3. Im z = 1.

4. 0 ≤ Arg z ≤ π

4, z 6= 0.

5. |z − 4| ≥ |z|.

Problema 9.16 Determine en cada caso la frontera del conjunto.

1. −π < Arg z < π, z 6= 0.2. |Re z| < |z|.

3. Re

µ1

z

¶≤ 12, z 6= 0.

40

Tema 9 Funciones analíticas. Sección 9.2 Funciones analíticas.

4. Re (z2) > 0.

9.2 Funciones analíticas.

Problema 9.17 Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones

1. Arg(z2).

2. h(1− z2), donde h(reiθ) =√reiθ/2; r > 0,−π < θ ≤ π.

3. Arg(1− h(z)), donde h(reiθ) =√reiθ/2; r > 0,−π < θ ≤ π.

Problema 9.18 Para cada una de las siguientes funciones, determine su derivada en el mayor subconjunto posible de C.

a) f(z) =

∙z + 1

z3 − 8¸2

, b) f(x+ iy) = x2 + iy2, c) f(z) = z Im(z),

d) f(x+ iy) = (1− y2) + i(2xy − y2).

Problema 9.19 Pruebe que las únicas funciones enteras que son de la forma f(x+iy) = u(x)+iv(y)están dadas por f(z) = az + b, a ∈ R, b ∈ C.

Problema 9.20 Determine una función v(x, y) tal que u+iv sea una función analítica en el dominioD que se indica.

1. u(x, y) = 2x(1− y), D = C.

2. u(x, y) =y

x2 + y2, D = C \ 0.

Problema 9.21 Sea f(z) una función entera tal que Im f 0(z) = 6x(2y − 1), f(0) = 3− 2i, f(1) =6− 5i. Determine el valor de f(1 + i).

Problema 9.22 Determine donde es analítica la rama principal de (z4 − 1) 13 .

9.3 Funciones elementales.

Problema 9.23 Calcule los valores de exp(2± 3i) y de exp

µ2 + π

4i

¶.

Problema 9.24 Pruebe que

1. exp(z) = exp z.

2. exp(iz) = exp(iz) si y sólo si z = kπ, k ∈ Z.

41


Problema 9.25 Determine cuándo ez es real o imaginario puro.

Problema 9.26 Calcule los valores delog(1 + i), log i, log(−1 + i), log(i(−1 + i)),

señalando el principal.

Problema 9.27 Buscando un ejemplo adecuado compruebe que, en general,Log(z1z2) 6= Log z1 + Log z2.

Pruebe que, sin embargo, si se verifica que −π < Arg z1 +Arg z2 ≤ π, entoncesLog(z1z2) = Log z1 + Log z2.

Problema 9.28 Compruebe que el conjunto de valores de log(z1n ) es el mismo que el de 1

nlog z.

Pruebe, mediante el adecuado contraejemplo que, sin embargo, el conjunto de valores de log(z2) noes el mismo que el de 2 log z.

Problema 9.29 Calcule la parte principal de los números complejos iLog(1+i) y (ii)i.


1. cos(iz) = cos(iz).

2. sen(iz) = sen(iz) si y sólo si z = kπi, k ∈ Z.

Problema 9.31 Halle todos los valores de arcsen 2 y arctan(1 + i).


1. senh(z1 + z2) = senh z1 cosh z2 + senh z2 cosh z1.

2. senh(z + πi) = − senh z.3. cosh(z + πi) = − cosh z.4. tanh(z + πi) = tanh z.

Problema 9.33 Resuelva las siguientes ecuaciones:

1. 1 + i− ez = 0.

2. cos z = 2.

3. cos z = sen z.

Problema 9.34 Determine donde es analítica la funciónLog(z2 + 4)

z2 + i.

Problema 9.35 Determine una función v(x, y) tal que u+iv sea una función analítica en el dominioD que se indica, siendo u(x, y) = ln

px2 + y2, D ≡ Im z > 0.

42



1. Probar, utilizando separación de variables, que la solución del problema⎧⎨⎩ urr +1rur +

1r2uθθ = 0, 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ < 2π,

u(r, θ) = u(r, θ + 2π), 0 ≤ r ≤ 1,u(1, θ) = sen 2θ − 2 cos 3θ, 0 ≤ θ ≤ 2π,

que permanece acotada para r = 0 viene dada por u(r, θ) = r2 sen 2θ − 2r3 cos 3θ.2. Deducir la expresión de las ecuaciones de CauchyRiemann en coordenadas polares.

3. Hallar una función f(z) analítica en el disco unidad cuya parte real sea la función u del apartadoanterior y tal que f(0) = 2i.

43

Tema 10: Transformaciones Conformes.

10.1Transformaciones conformes elementales.

Problema 10.1 Determine T (i), siendo T una transformación de Moebius que convierte 0 en 1, 1en i y −1 en −i.

Problema 10.2 Determine la transformación de Moebius que convierte∞ en 1 + i, i en∞ y 0 en−i.

Problema 10.3 Describa la imagen de la región indicada mediante la transformación de Moebiuscorrespondiente:

1. El primer cuadrante mediante w =z − i

z + i

2. El sector angular |Arg z| < π/4 mediante w =z

z − 1 .

Problema 10.4 Transforme el disco unidad |z| < 1 sobre la banda |Re z| < 1.

Problema 10.5 Obtenga la imagen del rectángulo 0 ≤ Re z ≤ π/2, 0 ≤ Im z ≤ 1 mediante lafunción w = sen z.

Problema 10.6 Pruebe que la funciónw = cosh z aplica la banda semiinfinita x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ π delplano z sobre la mitad inferior v ≤ 0 del plano w. Indique las partes correspondientes a los contornos.

Problema 10.7 Transforme la región interior a |z| = 2 y exterior a |z − 1| = 1 sobre Im z > 0.

Problema 10.8 Transforme la semibanda 0 < a < Re z < b, Im z > 0 sobre el disco unidad.

Problema 10.9 Transforme el semidisco |z| < 1, Im z > 0 en el primer cuadrante Re z > 0,Im z > 0.

Problema 10.10 Sea Ω = z ∈ C : 0 ≤ Im z ≤ π/2, Re z ≥ 0.1. Calcule la imagen de Ω mediante la transformación w =

1− ez

1 + ez.

2. Obtenga una transformación conforme de la semibanda Ω en el semidisco |z| ≤ 1, Im z ≥ 0.

44

Tema 10 Transformaciones Conformes.

10.2Aplicaciones a problemas de contorno.

Problema 10.11 Observe que la función Log z transforma el primer cuadrante en la banda 0 <Im z < π/2. Resuelva el problema de Dirichlet en el primer cuadrante para la función que vale 0 enel eje real y 1 en el eje imaginario.

Problema 10.12 Resuelva el problema de Dirichlet en el semiplano superior para la función dadaen el eje real por

φ(x) =

½1, x < 00, x > 0

.


φ(x) =

½1, |x| < 10, |x| > 1 .


φ(x) =

⎧⎨⎩ T0, x < −1T1, −1 < x < 1T2, x > 1

Problema 10.15 Resuelva el problema de Dirichlet en la región |z| ≤ 1, |z − 1 − i| ≥ 1, parala función de contorno φ que vale T0 en el arco de circunferencia de centro 0 y T1 en el arco decircunferencia de centro 1 + i.

Problema 10.16 Resuelva el problema de Dirichlet en el anillo r < |w| < R para la función quevale αr en la circunferencia interior y αR en la circunferencia exterior.

Problema 10.17 Resuelva el problema de Dirichlet en la semibanda dada por |x| < π/2, y > 0 parala función dada en la frontera por

φ³−π2, y´= φ

³π2, y´= 0, y > 0

φ (x, 0) = 1, |x| < π

2Para ello utilice la transformación w = sen z.

Problema 10.18 Dado el recinto D = z ∈ C : |z| < 1, 0 < Arg(z) <2π

3, sea C1 la parte de

frontera situada en el eje real, sea C2 la parte curva de frontera y sea C3 el resto de frontera de dichorecinto. Resolver el problema de contorno

φxx + φyy = 0 para (x, y) en D

φ|C1 = 0,∂φ

∂n

¯C2

= 0, φ|C3 = 1.

45

Tema 10 Transformaciones Conformes. Sección 10.3 Algunos problemas de exámenes.

10.3Algunos problemas de exámenes.

Problema 10.19 (Febrero 2003)Sea D el sector de 60 del círculo unidad dibujado en la figura 1.

C1

C2 C3

Figura 1

1. Obtenga la imagen de la región D por la transformación T (z) =z3 − 1z3 + 1

.

(Indicación: Observe que T se puede expresar como composición de transformaciones mas simples).

2. Aplicando el apartado anterior, resuelva el problema de Dirichlet siguiente½φxx + φyy = 0 para (x, y) en el interior de Dφ|C1 = 0, φ|C2 = 0, φ|C3 = 1.

Problema 10.20 (Segundo parcial 200203) Resolver el problema de Dirichlet⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩hxx + hyy = 0 (x, y) ∈ Ωh(x, 0) = 0 (x < 0)h(0, y) = 1 (0 < y < π)h(x, π) = 0 (x < 0)

donde Ω = z = x+ iy, 0 < y < π, x < 0 (Ver figura 2).

x

y

π i

Ω

Figura 2(Indicación: Hacer uso de la función f(z) = ez).

Problema 10.21 (Final 2003)

1. Razonar en qué se transforma la región

Ω =n(x, y) : 0 < x <

π

2, y > 0

opor la función

f(z) =1− cos z1 + cos z

.

46


Indicación: Observar que la función f(z) se puede expresar como composición de dos funcionesmás “sencillas”.

2. Haciendo uso de la función f(z) anterior, resolver el problema de Dirichlet siguiente⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩hxx + hyy = 0 (x, y) ∈ Ω

h(x, 0) = 0 0 < x <π

2h(0, y) = 0 y > 0

h(π

2, y) = 1 y > 0

Problema 10.22 (Segundo parcial. Junio de 2004) Se considera el recinto

D =nz ∈ C : |z + i| < √2, Im z > 0

o.

Sea C = Frontera(D) = L1 + C2, siendo L1 la parte recta y C2 la parte curva de C. Resolver,utilizando transformación conforme, el problema de ecuaciones en derivadas parciales:⎧⎨⎩ hxx + hyy = 0 en D

h(x, y) = T1 en L1h(x, y) = T2 en C2

Problema 10.23 (Febrero 2005) Se considera el recinto D = z ∈ C : |z| < R, 0 < Arg z < π2.

Sea C = Frontera(D) = L1 + C2 + L3, siendo L1 la parte de C en que es Arg z = 0, C2 la partede C en que |z| = R y L3 la parte de C en que es Arg z = π

2. Resolver, utilizando transformación

conforme, el problema de ecuaciones en derivadas parciales:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩uxx + uyy = 0 en D,u(x, y) = 0 en L1,u(x, y) = U0 en C2,u(x, y) = 0 en L3.

Problema 10.24 (Segundo parcial 200405)

1. Obtener la transformación de Moebius w = T (z) determinada por T (i) = 1, T (0) = i, T (12) = i

3.

2. Se considera el recinto D = z ∈ C : |z| < 1, 0 < Arg z < π2. Sea C = Frontera(D) =

L1 + C2 + L3, siendo L1 la parte de C en que es Arg z = 0, C2 la parte de C en que |z| = 1y L3 la parte de C en que es Arg z = π

2. Obtener el recinto Ω transformado de D mediante la

transformación T del apartado anterior, especificando también como se transforma la frontera.

3. Resolver, utilizando transformación conforme, el problema de ecuaciones en derivadas parciales:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Φxx + Φyy = 0 en D,Φ(x, y) = 100 en L1,Φ(x, y) = 0 en C2,∂Φ

∂n(x, y) = 0 en L3.

Problema 10.25 (Final Junio 2005) Se considera el recinto D = z : |z| < 2, |z − 1| >1, Im(z) < 0. Sea C = Frontera(D) = C1 + C2 + L3 siendo C1 la parte de frontera en que|z| = 2, C2 la parte de frontera en que |z − 1| = 1 y L3 la parte recta de la citada frontera.

1. Determinar la transformación bilineal (o de Moebius) w = T (z) que transforma el recinto D en lasemibanda

T (D) = Ω = w : Re(w) < 0, 0 < Im(w) < 1

47


de forma que el transformado del segmento L3 sea el segmento [0, i] .

2. Resolver el problema de contorno⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Φxx + Φyy = 0 en D,Φ|C1 = Φ1,Φ|C2 = Φ0,∂Φ∂n

¯L3= 0.

48

Tema 11: Integración compleja.

Problema 11.1 Calcule las siguientes integralesZ 2π

0

eimte−int dt, n 6= m, n,m ∈ N,Z 2

1

µ1

t− i

¶2dt.

Problema 11.2 Determine primitivas de las funciones ex cosx y ex senx, separando en parte real eimaginaria una primitiva de la función exp[(1 + i)x].

Problema 11.3 Calcule las integralesZ

C1

z dz yZ

C2

z dz,donde C1 es el segmento que une 1con

i y C2 es la quebrada que une estos dos puntos y pasa por 1 + i.

Problema 11.4 Calcule la integralZ

C

z dz a lo largo de los siguientes contornos

1. La semicircunferencia de radio uno, desde 1 a 1, en el semiplano superior.

2. La semicircunferencia de radio uno, desde 1 a 1, en el semiplano inferior.

3. La circunferencia C(0, 1), recorrida en sentido positivo.

Problema 11.5 Calcule la integralZ

C

πeπz dz, donde C es el cuadrado con vértices en los puntos

0, 1, 1 + i e i, orientado en sentido positivo.

Problema 11.6 Calcule las siguientes integrales para un contorno arbitrario entre los límites de integración Z i/2

i

eπz dz

Z π+2i

0

cos(z/2) dz

Z 3

1

(z − 2)3 dz

Problema 11.7 Usando la rama del logaritmolog(z = reiθ) = log r + iθ, r > 0, 0 < θ < 2π,

pruebe que ZC1

dz

z= −πi,

donde C1 es la mitad izquierda de −2i a 2i de |z| = 2. Deduzca queZC2

dz

z= 2πi,

donde C2 es |z| = 2 orientado positivamente.

Problema 11.8 Integre la función e−z2

en la frontera del rectángulo dado por las desigualdades|Re(z)| ≤ a y 0 ≤ Im(z) ≤ b, para deducir queZ ∞

−∞e−x

2

cos(2bx) dx =√πe−b

2

.

49

Tema 11 Integración compleja.

Problema 11.9 Pruebe las igualdadesZ ∞

0

cos(x2) dx =

Z ∞

0

sen(x2) dx =

√π

2√2,

al aplicar el teorema de Cauchy a la función e−z2

a lo largo de la frontera del sector 0 ≤ |z| ≤ R,0 ≤ Arg z ≤ π/4. (Alternativa: también se puede utilizar eiz

2).

Problema 11.10 Pruebe que Z ∞

0

sen(x2)

xdx =

π

4,

integrandoeiz

2

za lo largo de la frontera de 0 < r ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ Arg z ≤ π/2.

Problema 11.11 Calcule las siguientes integrales

1.Z

C+(0,4)

ez

z2 + 4dz

2.Z

C+(0,r)

cos z

z2(z − 1) dz, r > 0, r 6= 1

3.Z

C

ez

z2 + 1dz, donde C es |x|+ |y| = 1/2, orientado positivamente.

4.Z

C+(0,r)

z

z4 − 1 dz, r 6= 1

5.Z

C+(1,2)

∙1

z2 + 1+

1

z2 − z+

1

(z − 1)3¸sen z dz

50

Tema 12: Series.

Problema 12.1 Halle la representación en serie de McLaurin de las siguientes funciones:

1. z2 cosh(z2).

2. z−1(ez − 1).3. z(z4 + 9)−1.

4. Log(1 + z2).

Problema 12.2 Desarrolle1

1− zen serie de Taylor centrada en z = i.

Problema 12.3 Derivando el desarrollo en serie de McLaurin de1

1− z, obtenga el desarrollo de

McLaurin de la función2

(1− z)3.

Problema 12.4 Integrando la función1

1 + z2, obtenga la serie de McLaurin de la rama principal de

la función arctan z.

Problema 12.5 Desarrolle las funciones

f(z) =cos z

z2, g(z) =

1

z2(z − 1) , h(z) = e1/z2

en serie de Laurent alrededor del origen.

Problema 12.6 Desarrolle en serie de Laurent las siguientes funciones en los dominios que se indican

1.1

z(z2 + 1)en 0 < |z| < 1 y |z| > 1.

2.z

(z + 2)(1− z)en |z| < 1, 1 < |z| < 2, |z| > 2, |z − 1| > 3, y 0 < |z + 2| < 3.

Problema 12.7 Desarrolle en serie de Laurent las siguientes funciones alrededor del punto que seindica. Especifique el dominio de la representación.

1.z − 1z + 1

, z = 1/2.

2.1

z(z2 + 1), z = i.

3.z2

(z − 1)2(z − 2) , z = 1.

51

Tema 12 Series.

4.sen(z)

(z − 2π)2 , z = 2π.

Problema 12.8 Halle la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de la función8z3

(z + 1)(z − 1)2en el punto z = +1.

Problema 12.9 Obtenga los tres primeros términos significativos de la serie de Laurent deez

z(z2 + 1)en 0 < |z| < 1.

52

Tema 13: Residuos y polos.

13.1Ceros y polos. Singularidades aisladas.

Problema 13.1 Determine el orden de los ceros de las siguientes funciones

1. z sen z.

2. z2 − 9.3. exp(z − 1)− 1.4. 1− cos z.

Problema 13.2 Clasifique las singularidades aisladas de las siguientes funciones

1. (exp(z2)− 1)−1.2. exp(z + (1/z)).

3.ez − 1z(z − 1) .

4.cos(1/z2)

z2.

5.1

z2+

z5

z3 + z.

6.z4 − 1

z3 + 2iz2 − z.

7.z

sen z(1− cos z) .

13.2El teorema de los residuos.

Problema 13.3 Calcule la integral de f(z) a lo largo de los contornos que se indican, positivamenteorientados

1. f(z) =z

sen z(1− cos z) en C(0,5).

2. f(z) =3(z − 1)2 − 1

z3 − 3z2 + 4z − 2 en el rectángulo de lados x = 0, x = 2, y = ±2.

3. f(z) =z

exp(z2)− 1 en el cuadrado de vértices ±2± 2i.

4. f(z) =ez

z(z2 + π2)en el rectángulo de lados x = ±1, y = ±2π.

5. f(z) =cosh z

z3en el cuadrado de vértices ±2± 2i.

53

Tema 13 Residuos y polos.

Problema 13.4 Sea la función

f(z) =Log(1− z2)

z(ez − 1) .

1. Clasifique las singularidades de f y obtenga los residuos de las singularidades aisladas.

2. Determine los dos primeros términos significativos de la representación de f en serie de Laurenten el dominio 0 < |z| < 1.

3. Calcule ZC

f(z)

zdz,

donde C denota la circunferencia de centro el origen y radio 1/2, orientada positivamente.

Problema 13.5 Sea la función

f(z) =1

Log(z2 + 4) sen (πz)

1. Estudie el dominio de analiticidad de f y determine aquellas singularidades cuyos residuos valen(π log(20))−1.

2. Obtenga los tres primeros términos significativos de los desarrollos de Laurent de la función

g(z) =1

z2(1− z)2

en los dominios 0 < |z| < 1 y 1 < |z| <∞.

3. Calcule el valor de la integral de g/f sobre la circunferencia de centro 1 y radio 1/2 orientadapositivamente.


f(z) =cotg(πz)

z2

1. Estudiar las singularidades de f(z) y calcular los residuos en los polos.

2. Siendo Γn la frontera del cuadrado de vértices ± ¡n+ 12

¢ ± ¡n+ 12

¢i, orientada positivamente,

calcularRΓn

f(z) dz.

3. Sabiendo que |cotg(πz)| ≤ 2 en Γn deducir que∞Pn=1

1

n2=

π2

6.

Problema 13.7 (Final Junio 2004) Se considera la función g(z) =1

(z − i)(z − 2) .

1. Especificar los posibles dominios de convergencia de las distintas series de potencias de z y dez − i que g(z) admite.

2. Obtener todos los desarrollos en serie de potencias mencionados en el apartado anterior en susrespectivos dominios de convergencia, indicando el valor del residuo de g(z) en z = i.

3. Comprobar el valor del residuo obtenido aplicando la fórmula integral de Cauchy.

54

Tema 13 Residuos y polos. Sección 13.3 Aplicación al cálculo de integrales reales.

13.3Aplicación al cálculo de integrales reales.

Problema 13.8 Calcule el valor de la integralZ ∞

0

dx

1 + xn, n ≥ 2,

integrando sobre la frontera del sector circular de radio R > 1 y argumento 0 ≤ θ ≤ 2π/n.

Problema 13.9 Calcule el valor de cada una de las integrales reales que siguen integrando, en cadacaso, una función compleja de variable compleja adecuada, a lo largo de la frontera de un recintoadecuado:

1.Z ∞

0

dx

(1 + x2)n, n ∈ N.

2.Z ∞

−∞

dx

(x2 + 4x+ 5)2.

3.Z ∞

0

x2 + 1

x4 + 1dx.

4.Z ∞

−∞

x2

(x2 + a2)2dx, a > 0.

5.Z π

−π

dt

1 + sen2 t.

6.Z 2π

0

sen(3t)

5− 3 cos tdt.

7.Z 2π

0

dt

a2 cos2 t+ b2 sen2 t, a, b > 0.

8.Z π

0

cos(2t)

1− 2a cos t+ a2dt, −1 < a < 1, a 6= 0.

13.4Algunos problemas de exámenes

Problema 13.10 (Junio 2001) Dada la función

f(z) =cosh z

senh z, z ∈ C,

se pide:

1. Hallar su dominio de analiticidad y clasificar sus singularidades.

2. Obtener los tres primeros términos del desarrollo en serie de f(z) alrededor del origen, indicandoel dominio de convergencia de la serie.

3. Calcular ZC(0,1)

f(z)dz.

55


Problema 13.11 (Septiembre 2001) Probar razonadamente queZ +∞

−∞

x2

(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx =

7π

50.

Problema 13.12 (Septiembre 2002)

1. Considere la función de variable compleja

f(z) =1

z3 + 1.

Calcule el residuo de f en las singularidades situadas en el primer cuadrante (x > 0, y > 0).

2. Integrando la función f(z) sobre el contorno de la figura 2,

x

y

0 C1

C2C3

Rexp(i 2π/3)

R

Figura 2calcule la siguiente integral real:

∞Z0

dx

x3 + 1.

Problema 13.13 (Final 2003) Calcular el valor de la integral∞Z0

cos(ax)

(x2 + b2)2dx con a > 0, b > 0.

Problema 13.14 (Septiembre 2003) Considerar la función compleja f(z) =Log(1− z)

z(1 + z). Se pide:

1. Hallar el dominio de analiticidad de f(z).

2. Estudiar las singularidades aisladas de dicha función y obtener el valor del residuo de f(z) en cadauna de ellas.

3. Evaluar las integralesZC+

f(z)dz, donde C = z ∈ C : |z| = 1/2 ,ZeC+

f(z)dz, donde eC = z ∈ C : |z + 1| = 1/2 .

4. Obtener el desarrollo de McLaurin de f(z) en el dominio |z| < 1.5. Considerar la serie numérica real dada porX

n≥0

bn2n

donde, para cada n, bn = (−1)n+1nX

k=0

(−1)kk + 1

.

56


Analizar si es convergente o no dicha serie haciendo uso de algún criterio de convergencia paraseries numéricas reales. En caso afirmativo, ¿a qué valor converge?.

Problema 13.15 (Febrero 2004) Resolver aplicando el Teorema de los Residuos:Z ∞

0

dx

1 + x4.

Problema 13.16 (Segundo parcial. Junio de 2004) Dada la función f(z) =1

sen z − cos z ,

1. Estudiar sus singularidades, calculando los residuos en todas las singularidades aisladas.

2. Calcular la integralZ

C

f(z)

z2dz siendo C la circunferencia unidad, |z| = 1, orientada positiva

mente.

Problema 13.17 (Febrero 2005) Se considera la función f(z) =ez

z(1− z)3.

1. Determinar las singularidades de f(z) y calcular los residuos en ellas.

2. Desarrollar f(z) en las distintas series de Laurent en potencias de z y de z − 1 especificando, encada caso, su campo de validez y verificando los residuos calculados en el apartado anterior.

3. Calcular, usando la fórmula integral de Cauchy, el valor deHC(0,2)

f(z) dz.

4. Comprobar el resultado calculando la integral anterior usando el teorema de los residuos.

Problema 13.18 (Segundo parcial 200405) Se considera la función

f(z) =

Log

µ1− iz

2π

¶z2(eiz + 1− 2 cos z) .

1. Obtener todas las soluciones de la ecuación eiz + 1− 2 cos z = 0.2. Determinar el dominio de analiticidad de f(z) y clasificar sus singularidades.

3. Obtener la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de f(z) en potencias de z, especificando el campo de validez del desarrollo.

4. Calcular el valor deHCf(z) dz siendoC la circunferencia de centro π y radio 4 recorrida en sentido

positivo (antihorario).

Problema 13.19 (Segundo parcial 200405) Se considera el polinomiop(z) = z4 + z3 + z2 + z + 1.

1. Calcular las raíces de p(z). Demostrar que, si zk es una raíz de p(z), entonces

p0(zk) =5

zk(zk − 1) .(Indicación: Comprobar previamente que p(z) (z − 1) = z5 − 1)

2. Determinar y clasificar las singularidades de la función

f(z) =1

p(z)

57


y obtener los residuos en los polos.

3. Calcular la integral real Z ∞

−∞

dx

p(x).


f(z) =z

sen z (1− cos z) .1. Obtener y clasificar sus singularidades, calculando los residuos en los polos simples.

2. Calcular la parte singular del desarrollo de Laurent de f(z) en un entorno perforado del origen,especificando el campo de validez de dicho desarrollo.

3. Calcular la integralH|z|=5 f(z) dz con la circunferencia recorrida en sentido positivo.

Problema 13.21 (Septiembre 2005) Obtener el valor deZ π

0

dθ

(2 + cos θ)2

aplicando el teorema de los residuos.

58

Tema 14: Exámenes del curso 200506

14.1 Primer parcial y febrero

14.1.1 Primer parcial

Ejercicio 1. Resolver la ecuaciónxy00 − (1 + x)y0 + q0y = x2e2x,

determinando previamente q0 de forma que la ecuación homogénea admita una solución exponencialno constante, es decir, de la forma y1 = emx con m 6= 0.

Ejercicio 2. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales

½x = x(x+ y − 1),y = y(x+ 1).

a) Calcular los puntos de equilibrio, analizando su tipo y estabilidad y la configuración de lastrayectorias próximas. Establecer el campo de direcciones, incluyendo las líneas de tangente verticaly horizontal. Determinar, si existen, trayectorias u órbitas rectas. Esbozar el plano de fases.

b) Deducir los valores de limt→+∞

x(t) y limt→+∞

y(t) en los siguientes casos:

b1) Si x(0) < 0 e y(0) > 0, b2) Si x(0) < 0, y(0) = 0, b3) Si x(0) = 12, y(0) = 0.

Ejercicio 3. Resolver el siguiente problema de contorno, utilizando desarrollos en serie de Fourieradecuados:

x00 + kx = f(t) =

½t para 0 < t < L

2,

L− t para L2< t < L,

, x0(0) = 0, x(L) = 0.

14.1.2 Examen Complementario de Febrero

Ejercicio A.Resolver el problema de contorno

utt − uxx = sen 2x cos t, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, 0 < x < π.

aplicando la transformada de Laplace a la variable temporal t.

Ejercicio B.Resolver el problema de contorno

utt − uxx = sen 2x cos t, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, 0 < x < π.

por separación de variables.

Ejercicio C.Determinar la distribución de temperaturas en el interior de los siguientes recintos:

59

Tema 14 Exámenes del curso 200506 Sección 14.2 Segundo parcial

1. El recinto D = x+ iy ∈ C : (x+ 1)2 + y2 ≤ 2, x ≥ 0, con la condición de ser la temperaturaen la frontera igual a T1 en el segmento rectilíneo y a T2 a lo largo de la circunferencia.

2. El recinto D∗ = x + iy ∈ C : (x + 1)2 + y2 ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0, con las condiciones de serla temperatura en la frontera igual a T1 a lo largo del trozo en que x = 0, igual a T2 a lo largo deltrozo de circunferencia y con un aislamiento térmico en el trozo en que es y = 0.

14.2 Segundo parcial

Ejercicio 1Se considera el problema de contorno

(1) utt − uxx = e−t cosx senx, 0 < x < π2, 0 < t,

(2) u(0, t) = 0, u(π2, t) = 0, 0 < t,

(3) u(x, 0) = sen 2x, 0 < x < π2,

(4) ut(x, 0) = 0, 0 < x < π2.

a) Encontrar todas las funciones de la forma v(x, t) = Φ(t) cosx senx que satisfacen la ecuación(1) y las condiciones (2).

b) Obtener, de entre ellas, una solución particular v0(x, t) que satisfaga tambien la condición (4) yla condición v0(x, 0) = 0, para 0 < x < π

2, en lugar de la condición (3).

c) Para la v0(x, t) así obtenida, determinar el problema de contorno resultante tras efectuar el cambiou(x, t) = v0(x, t) + z(x, t). Resolverlo por separación de variables.

Ejercicio 2.

Se considera la función f(z) =1− cos zzn(1 + z2)

.

a) Localizar las singularidades de la función y clasificarlas según los valores de n ∈ N. Si en algúnpunto existe una singularidad evitable, obtener el valor que debe asignarse a la función en dicho puntopara que sea analítica en él.

b) Para el caso n = 5, obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de f(z) en un entornoperforado de z = 0, especificando el campo de validez de dicho desarrollo.

c) Para el caso n = 5, calcular la integralH|z|=r f(z) dz, con la circunferencia orientada positiva

mente, para los valores de r > 0 distintos de 1.

Ejercicio 3.a) Sea D ≡ z ∈ C : |Arg z| < π

4. Resolver la ecuación Hxx +Hyy = 0 en D, siendo H = 0 en

la porción de la frontera en que |z| < 1 y H = 1 en el resto, transformando el recinto mediante z2 yuna transformación bilineal.

b) Sea Ω ≡ z ∈ C : |z| < 1, Im z > 0, |z − 1− i| > 1. Sean C1, C2 y C3 las porciones defrontera que corresponden, respectivamente, a |z| = 1, Im z = 0 y |z − 1− i| = 1. Resolver⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0, en Ω,∂Φ∂n

¯C1= 0,

Φ|C2 = 3,Φ|C3 = 5.

60


14.3 Examen final

14.3.1 Primera parte

Para los alumnos que se examinan sólo del primer parcial o de toda la asignatura:

Ejercicio 1. 1.Dada la ecuación y00 + λy0 + (λ− 1)y = x, obtener su solución general para cada valor de λ ∈ R.

Ejercicio 1. 2.a) Resolver el sistema:

x0(t) =∙0 a1 0

¸x(t)

según los distintos valores de a ∈ R.

b) Resolver

x0(t) =∙0 41 0

¸x(t)+

µ2e2t

e2t

¶, x(0) =

µ21

¶.

Para los alumnos que se examinan sólo del segundo parcial:

Ejercicio 2. 1.Resolver el siguiente problema de contorno por separación de variables:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

uxx + uyy = 0 para 0 < x < π2, y > 0,

u(0, y) = 0 para y > 0,u(π

2, y) = 0 para y > 0,

u(x, 0) = 1 para 0 < x < π2,

u(x, y) acotada para 0 < x < π2, y > 0.

Ejercicio 2. 2.a) Determinar la transformación bilineal w = T (z) tal que

T (1) = −1, T (i) = i, T (0) =∞.

b) Se considera el recintoD ≡ z ∈ C : Re z > 0, |z − i| > 1, |z − 1| > 1, Im z > 0

junto con su frontera L = frontera(D) = L1+L2+L3+L4, siendo L1 la parte de L en queRe z = 0,L2 la parte en que |z − i| = 1, L3 la parte en que |z − 1| = 1 y L4 la parte en que Im z = 0. Obtenerel recinto Ω = T (D), transformado de D mediante la transformación obtenida en el apartado a),especificando también lo que ocurre con la frontera.

c) Resolver el siguiente problema de contorno en el recinto D del apartado anterior:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Hxx +Hyy = 0 en D,H(x, y) = 0 en L1,∂H∂n= 0 en L2,

H(x, y) = 1 en L3,∂H∂n= 0 en L4.

61


14.3.2 Segunda parte

Para los alumnos que se examinan sólo del primer parcial:

Ejercicio 1. 3.Se considera la ecuación x(x− 1)y00 + (4x− 3)y0 + 2y = 0. Resolverla por el método de Frobenius.

Ejercicio 1. 4.

a) Resolver

½y + 2y + y = sen t, t > 0,y(0) = y(0) = 1.

b) Resolver

⎧⎨⎩ y + 2y + y =

½te−t para 0 < t < π,0 para t > π,

y(0) = y(0) = 0.

c) Resolver ⎧⎨⎩ y + 2y + y =

½sen t+ te−t para 0 < t < π,sen t para t > π,

y(0) = y(0) = 1.a partir de los dos apartados anteriores.

Para los alumnos que se examinan de toda la asignatura o sólo del segundo parcial:

Ejercicio 2. 3.Resolver el problema de contorno

utt − uxx = e−t cosx senx, 0 < x <π

2, 0 < t,

u(0, t) = 0, u(π

2, t) = 0, 0 < t,

u(x, 0) = sen 2x, 0 < x <π

2,

ut(x, 0) = 0, 0 < x <π

2,

utilizando la Transformada de Laplace.

Ejercicio 2. 4.

a) Dada la función f(z) =1

z (z + 1)2, obtener, en cada una de sus singularidades, el desarrollo en

serie de Laurent que proporciona el residuo. Indicar, en cada caso, el campo de validez del desarrollo.

b) Dada la función g(z) =Log (1 + z2)

cosπz, determinar sus ceros y sus singularidades. Calcular, para

los valores de r que lo permitan, la integralI|z|=r

g(z) dz

con la curva recorrida en sentido positivo.

c) Calcular la integral real Z +∞

0

x senx

1 + x2dx

utilizando el teorema de los residuos.

62

Tema 14 Exámenes del curso 200506 Sección 14.4 Examen de Septiembre

14.4 Examen de Septiembre

Ejercicio 1.Deducir la condición para que la ecuación diferencial P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 admita un factorintegrante función del producto xy, así como la expresión de dicho factor.Aplicación: integrar

(y + xy2) dx+ (x− x2y) dy = 0.

Ejercicio 2.Integrar

(1 + x)y00 + (4x+ 5)y0 + (4x+ 6)y = e−2x

ensayando una solución particular de la ecuación homogénea correspondiente de la forma y1 = eαx.

Ejercicio 3.Resolver el siguiente sistema, con la condición inicial dada:

x0 =

⎡⎣ 3 4 50 5 40 0 3

⎤⎦x+⎡⎣ te3t

00

⎤⎦ , x(0) =

⎡⎣ 210

⎤⎦ .Ejercicio 4.Suponiendo que f(t) sea una función suficientemente regular definida en el intervalo [0, 1], resolverel problema de contorno en derivadas parciales⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0 para 0 < x < 1, 0 < y < 1,Φ(0, y) = 0 para 0 < y < 1,Φ(x, 0) = 0 para 0 < x < 1,Φx(1, y) = f(y) para 0 < y < 1,Φy(x, 1) = f(x) para 0 < x < 1.

Ejercicio 5.Dado el recinto Ω = z ∈ C : |z − 1| > 1, |z − i| > 1, |z − (2 + 2i)| < 2 y siendo Γ1, Γ2, Γ3las partes de su frontera correspondientes a |z − 1| = 1, |z − i| = 1 y |z − (2 + 2i)| = 2 respectivamente, resolver

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∆Φ = Φxx + Φyy = 0 en ΩΦ = T0 en Γ1Φ = T1 en Γ2∂∂nΦ = 0 en Γ3

, b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∆Φ = 0 en Ω∂∂nΦ = 0 en Γ1

Φ = T0 en Γ2Φ = T1 en Γ3

.

63




Ejercicio 1. Resolver la ecuación2xy dx = (3x2 − y2) dy,

a) integrándola como una ecuación homogénea,

b) utilizando un factor integrante que sea función sólo de y.

Ejercicio 2. Dada la matríz

A =

⎡⎣ a 0 0a 1 a2a 0 1

⎤⎦ ,resolver el sistema x0 = Ax para a = 0 o a = 1.

Ejercicio 3.a) Deducir la transformada inversa de Laplace

L−1∙

s

(s2 + a2)2

¸=1

2at sen at.

b) Resolver el problema de valores iniciales:

x00 + x = f(t) =

½cos t para 0 < t < 2π,0 para 2π < t,

, x(0) = 0, x0(0) = 0,

especificando cuanto valen x¡π2

¢y x¡5π2

¢.

Ejercicio 4. SiendoL(y) = xy00 + 2y0 + w2xy, con w ∈ R+,

a) Comprobar que el origen es un punto singular regular de la ecuación homogénea L(y) = 0.Resolverla, en función de w, por el método de Frobenius, identificando las soluciones obtenidas.

b) Para el caso w = 1 resolver la ecuación no homogénea L(y) = 1.


Ejercicio A.a) Obtener el desarrollo en serie de senos en el intervalo [0, L] de la función cos πx

L.

b) Resolver el problema de contornout − a2uxx = 0, 0 < x < L, t > 0,

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = T0 + cosπx

L, 0 < x < L.

64


Ejercicio B.Calcular la integral Z ∞

0

cos ax

(x2 + b2)2dx, siendo a > 0, b > 0.

Ejercicio C.Determinar la distribución de temperaturas en el interior de los siguientes recintos, reduciendo cadacaso al anterior.

a) El recinto ∆ ≡ Re z ≥ 0, con la condición de ser la temperatura en la frontera igual a T1 para laparte en que Im z < 0 e igual a T2 en el resto.

b) El recinto Ω ≡ Im z ≥ 0, con la condición de ser la temperatura en la frontera igual a T1 para laparte en que |z| < 1 e igual a T2 en el resto.

c) El recinto D ≡ z ∈ C : Re z ≥ 0, Im z ≥ 0, con la condición de ser la temperatura en lafrontera igual a T1 para la parte en que |z| < 1 e igual a T2 en el resto.


Ejercicio 1. Obtener el desarrollo de Fourier en serie de senos de la función f(x) = x(1 − x) en elintervalo [0, 1].Resolver, por separación de variables, el problema de contorno

utt = uxx, 0 < x < 1, 0 < t,u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < t,u(x, 0) = x(1− x), 0 < x < 1,ut(x, 0) = sen 7πx, 0 < x < 1.

Ejercicio 2. Se considera la función

f(z) =Log(4− z2)

z2(4 + z2).

a) Localizar y clasificar las singularidades de f(z), obteniendo sus correspondientes residuos en lassingularidades aisladas.

b) Obtener la parte principal de los posibles desarrollos de Laurent de f(z) en el origen, indicandoel campo de validez de cada desarrollo.

c) Calcular la integralHCf(z) dz, siendo C la circunferencia |z − i| = 2 orientada positivamente.

Ejercicio 3.Indique una transformación conforme w = f(z) que convierta la banda 0 < Im z < 1 en el semiplanosuperior Imw > 0. Siendo D ≡ z ∈ C : 0 < Im z < 1,Re z < 0 la mitad izquierda dedicha banda, determine su recinto imagen Ω = f(D) por dicha transformación, especificando latransformada de la frontera de D.Indique una transformación conforme w = g(z) que convierta la semibanda −1 < Re z < 1, Im z >0, en el semiplano superior Imw > 0. Siendo D1 ≡ z ∈ C : 0 < Re z < 1, Im z > 0 la mitadderecha de dicha semibanda, determine su recinto imagen Ω1 = g(D1) por dicha transformación,especificando la transformada de la frontera de D1.Para el anterior recinto D ≡ z ∈ C : 0 < Im z < 1,Re z < 0, siendo C1, C2 y C3 las porciones de

65

Tema 15 Exámenes del curso 200607 Sección 15.3 Examen final

frontera que corresponden, respectivamente, a Im z = 0, Re z = 0 y Im z = 1, resolver los problemas

A)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Φxx + Φyy = 0, en D,Φ|C1 = H0,Φ|C2 = H1,Φ|C3 = H0.

y B)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Φxx + Φyy = 0, en D,Φ|C1 = H1,Φ|C2 = H0,Φ|C3 = H0.

15.3 Examen final



Ejercicio 1. 1.a) Obtener la antitransformada de Laplace f(x) = L−1

n1

(s2+1)2

o.

b) Calcular la solución de la ecuación diferencialxy00 + 2y0 + xy = senx

que verifica y (0) = 0 y tiene transformada de Laplace.

Ejercicio 1. 2. Se consideran

A =

⎡⎣ 1 1 −1−3 −3 3−2 −2 2

⎤⎦ , f(t) =

⎡⎣ 0t0

⎤⎦ , x0 =

⎡⎣ 101

⎤⎦ .a) Comprobar que |A− λI| = −λ3.b) Resolver el sistema homogéneo x0 = Ax

c) Obtener eAt.

d) Resolver el problema de valores iniciales x0(t) = Ax(t)+f(t), x(0) = x0.


Ejercicio 2. 1.Resolver el siguiente problema de contorno utilizando la transformada de Laplace:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

utt − uxx = 0 para 0 < x < 1, t > 0,u(0, t) = 0 para t > 0,u(1, t) = 0 para t > 0,u(x, 0) = senπx para 0 < x < 1,ut(x, 0) = sen 7πx para 0 < x < 1.

Ejercicio 2. 2.Se considera la función

f(z) =senh z + cosh z

z (ez − e3z).

Obtener y clasificar sus singularidades, obteniendo el residuo en las que sean aisladas. Obtener laparte principal del desarrollo de Laurent de f(z) que permite determinar el residuo en el origen,indicando el campo de validez de dicho desarrollo. Calcular la integralI

C

f(z) dz

siendo C la circunferencia |z − 3| = √10 + π2 recorrida en sentido positivo.

66


15.3.2 Segunda parte


Ejercicio 1. 3.Integrar la ecuación diferencial ¡

y2 − xy¢dx+ x2 dy = 0

a) Sabiendo que tiene un factor integrante que es función de xy2.b) Integrándola como una ecuación diferencial de primer orden homogénea.

Ejercicio 1. 4.

Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales

½x = 1− y,y = x2 − y.

Calcular los puntos de equilibrio, analizando su tipo y estabilidad y la configuración de las trayectoriaspróximas. Establecer el campo de direcciones, incluyendo las líneas de tangente vertical y horizontal.Determinar, si existen, trayectorias u órbitas rectas. Esbozar el plano de fases.


Ejercicio 2. 3.Resolver, utilizando separación de variables, el problema de contorno:

utt − uxx = e−2t sen 2x, 0 < x <π

2, 0 < t,

u(0, t) = 0, u(π

2, t) = 0, 0 < t,

u(x, 0) = 0, 0 < x <π

2,

ut(x, 0) = sen 4x, 0 < x <π

2,

buscando previamente una solución particular adecuada de la ecuación.

Ejercicio 2. 4.a) Se considera el recinto D ≡ z ∈ C : |z − 2| < 2, |z − 3| > 1, Im z > 0 junto con su frontera L = frontera(D) = L1+L2+L3, siendo L1 la parte de L en que |z − 2| = 2, L2 la parte en queIm z = 0 y L3 la parte en que |z − 3| = 1.Resolver el problema de contorno: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0 en D,Φ(x, y) = H0 en L1,∂Φ∂n= 0 en L2,

Φ(x, y) = H1 en L3.

b) Se considera el recinto D1 = z ∈ C : 0 < Im z < π y su frontera C = frontera(D1) descompuesta en la forma C = C1 + C2 + C3 + C4, siendo C1 la parte en que Im z = π y Re z > 0, C2la parte en que Im z = π y Re z < 0, C3 la parte en que Im z = 0 y Re z < 0 y C4 la parte en queIm z = 0 y Re z > 0.Resolver el problema de contorno: ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Ψxx +Ψyy = 0 en D1,Ψ(x, y) = H1 en C1,Ψ(x, y) = H0 en C2,Ψ(x, y) = H0 en C3,Ψ(x, y) = H1 en C4.

67



Ejercicio 1.Resolver la ecuación diferencial

xy0 + y = cosx.Resolver la ecuación diferencial

xy00 + 2y0 + xy = 1sabiendo que una de las soluciones de la ecuación homogénea asociada lo es también de la ecuaciónanterior: xy0 + y = cosx.

Ejercicio 2.

Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales

½x = (x− 2) (1− y) ,y = 2− x− y.

Calcular los puntos de equilibrio, analizando su tipo y estabilidad y la configuración de las trayectoriaspróximas. Establecer el campo de direcciones, incluyendo las líneas de tangente vertical y horizontal.Determinar, si existen, trayectorias u órbitas rectas. Esbozar el plano de fases.Deducir los valores de lim

t→+∞x(t) y lim

t→+∞y(t) en los siguientes casos: a) Si x(0) < 2, b) x(0) = 2.

Ejercicio 3.Resolver el siguiente problema de contorno utilizando desarrollos en serie de Fourier adecuados:

x00 − x = sen t, 0 < t < π, x0(0) = 0, x0(π) = 0.

Ejercicio 4.Se considera la función

f(z) =1

z4 (sen z + cos z).

Analizar sus singularidades.Obtener la parte principal del desarrollo en serie de potencias de z, deduciendo el valor del residuode f en z = 0.Obtener los residuos de f en las restantes singularidades aisladas.Calcular la integral I

|z|=π2

dz

z4 (sen z + cos z),

donde la curva se recorre en sentido positivo.

68




Ejercicio 1. Resolver la ecuaciónx2y00 + xy0 − 4y = x2,

a) sabiendo que una solución de la ecuación homogénea asociada verifica y000 = 0,

b) realizando el cambio que la transforma en una de coeficientes constantes, resolviendo dichaecuación y deshaciendo el cambio.

Ejercicio 2. Se considera la matriz

A =

⎡⎣ a 0 −b0 a 0b 0 a

⎤⎦ , con a, b ∈ R.a) Encontrar una matriz fundamental del sistema x0 = Ax segun los valores de a y b.(Indicación: distinguir b = 0 y b 6= 0)

b) Para a = b = 1 resolver el sistema x0 = Ax+ f(t), siendo f(t) =

⎡⎣ tet

1

⎤⎦, con la condición

inicial x(0) =

⎡⎣ 010

⎤⎦.

Ejercicio 3. Se consideraL(y) = xy00 + (x− 1)y0 − y.

a) Comprobar que el origen es un punto singular regular de la ecuación homogénea L(y) = 0 yresolverla por el método de Frobenius, identificando las soluciones obtenidas.

b) Resolver la ecuación no homogénea L(y) = x2.

Ejercicio 4.Resolver el problema de contorno:

y00 − 4y = f(x) =

½1− x para 0 < x < 1,x− 1 para 1 < x < 2,

y0(0) = 0, y0(2) = 0,utilizando desarrollos en serie de Fourier adecuados.

69




utt = uxx, 0 < x < L, t > 0,

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = x(L− x), 0 < x < L,

ut(x, 0) = sen7πx

L, 0 < x < L.

Ejercicio B.Se considera la función

f(z) =Log(1− iz

2π)

z2(1− e−iz).

a) Determinar y clasificar las singularidades de f(z).

b) Obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de f(z) en potencias de z, especificando elcampo de validez del desarrollo.

c) Calcular la integralI

C

f(z) dz siendo C ≡ |z − π| = 4 recorrida en sentido positivo.

Ejercicio C.Determinar la distribución de temperaturas en el interior del recinto

D ≡ z ∈ C : |z| > a > 0, Im z > 0con la condición de ser la temperatura en la frontera igual a T1 para la parte en que Im z = 0 e iguala T2 en el resto.


Ejercicio 1. Resolver, por separación de variables, el problema de contornout − 3uxx = e−t senx, 0 < x < π, 0 < t,u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, 0 < t,u(x, 0) = 3 senx− sen 3x, 0 < x < π.

Ejercicio 2. Se considera la semibanda

D ≡ z ∈ C : 0 < Re z < π

2, Im z > 0

y su frontera C = C1 + C2 + C3, siendo C1, C2 y C3 las porciones de frontera que corresponden,respectivamente, a Re z = 0, Im z = 0 y Re z = π

2.

Obtenga el recinto D1 transformado de dicha semibanda D mediante la función f(z) = eiz, especificando la transformada de la frontera.Para la anterior semibanda D, resolver el problema de contorno siguiente utilizando una transformación conforme adecuada: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0, en D,∂Φ∂n

¯C1= 0,

Φ|C2 = H1,Φ|C3 = H0.

70



f(z) =tan z

z4(1 + 4z2).

a) Obtener los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Maclaurin de tan z = sen zcos z

, indicando el campo de validez del mismo.

b) Localizar y clasificar las singularidades de f(z).

c) Obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de f(z) en el origen que proporciona elresiduo en dicho punto, indicando el campo de validez del mismo.

d) Calcular la integralHCf(z) dz, siendo C la circunferencia |2z − 1| = 2 orientada positivamente.

Ejercicio 4. Resolver el problema de contornoutt − uxx = 2e−t senx, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = − senx, 0 < x < π,


16.3 Examen final



Ejercicio 1. 1. Se considera la ecuación diferencial¡3xy + y2

¢+¡x2 + xy

¢y0 = 0

a) Resolverla integrándola como una ecuación diferencial de primer orden homogénea.b) Obtener dos factores integrantes, uno µ1(x, y) que dependa de una sola variable y otro µ2(x, y) quesea de la forma

µ2(x, y) =f(2x+ y)

xypara cierta función f. Verificar que

µ1(x, y)

µ2(x, y)= cte

es la solución general de la ecuación dada.

Ejercicio 1. 2. Resolver la ecuaciónx2(x− 2)y00 + x(x2 − 2x− 2)y0 + (x2 − 4x+ 2)y = x2(x− 2)2

sabiendo que la ecuación homogénea asociada admite una solución de la forma y1 = xm.


Ejercicio 2. 1. Se considera la función

f(z) =1

z2 senh z.

1) Determinar y clasificar sus singularidades, obteniendo el residuo en las aisladas distintas de z = 0.2) Obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de f(z) que permite determinar el residuo enel origen, indicando el campo de validez de dicho desarrollo.

71


3) Calcular las integrales IC+(0,1)

f(z) dz yI

C+(0,5)

f(z) dz

siendo C+(z0, R) la circunferencia |z − z0| = R recorrida en sentido positivo.

Ejercicio 2. 2.1) Se considera el recintoD ≡ z ∈ C : Im z > 0, |z| > 1 junto con su fronteraL = frontera(D)= L1 + L2, siendo L1 la parte de L en que Im z = 0 y L2 la parte en que |z| = 1.Resolver el siguiente problema de contorno utilizando transformación conforme:⎧⎨⎩ Φxx + Φyy = 0 en D,

Φ(x, y) = 0 en L1,Φ(x, y) = 10 en L2.

2) Se considera el recinto Ω ≡ z ∈ C : Im z > 0, |z| > 1, Re z > 0 junto con su fronteraC = frontera(Ω) = C1 + C2 + C3, siendo C1 la parte de C en que Im z = 0, C2 la parte en que|z| = 1 y C3 la parte en que Re z = 0.Resolver el siguiente problema de contorno utilizando transformación conforme:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0 en Ω,Φ(x, y) = 0 en C1,Φ(x, y) = 10 en C2,∂∂nΦ(x, y) = 0 en C3.

16.3.2 Segunda parte.



A =

⎡⎣ a 0 01 a 00 0 2

⎤⎦ con a ∈ R, f(t) =

⎡⎣ 0e2t

t2e2t

⎤⎦ , x0 =

⎡⎣ 111

⎤⎦ .a) Resolver el sistema homogéneo x0 = Ax.

c) Obtener eAt.

d) Para a = 2 resolver el problema de valores iniciales x0(t) = Ax(t)+f(t), x(0) = x0.

Ejercicio 1. 4. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales½x = −x+ x(y − x),y = y(2− y).


72



Ejercicio 2. 3.Resolver, utilizando separación de variables, el problema de contorno:

utt + 4ut − uxx = 0, 0 < x <π

2, 0 < t,

u(0, t) = 0, u(π

2, t) = 0, 0 < t,

u(x, 0) = 3 sen 2x, 0 < x <π

2,

ut(x, 0) = 0, 0 < x <π

2.

Ejercicio 2. 4.1) Sabiendo que f(z) es una función analítica en el disco |z| < 10 y que

f(0) = 1, f 0(0) = 2, f(2) = 3 y f 0(2) = 4,determinar el valor de la integralI

C+(0,5)

µz + (z − 2)2 − 3

z2 (z − 2)¶f(z) dz.

2) Calcular, utilizando el teorema de los residuos, las integrales reales

a)

Z 2π

0

dx

10− 6 cosx, b)

Z +∞

0

(1 + x2) dx

1 + x4.


Ejercicio 1.1) Resolver la ecuación diferencial

y00 + 2y0 + λy = 0

según los valores de λ ∈ R.

2) Obtener los autovalores y autofunciones del problema de contorno½y00 + 2y0 + λy = 0,y(0) = y(1) = 0.

Ejercicio 2.Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales⎧⎨⎩ x0 = k (y + z) ,

y0 = k (x+ z) ,z0 = k (x+ y) .

1) Resolverlo para k 6= 0.2) Obtener eAt siendo A la matriz de dicho sistema.

3) Obtener la solución que verificax(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 0.

73


Ejercicio 3.1) Resolver, por separación de variables, el problema de contorno⎧⎨⎩ Vxx + Vyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,

V (x, 0) = 0, V (x, b) = V0 0 < x < a,V (0, y) = V (a, y) = 0, 0 < y < b.

2) Se considera el recinto D =©z ∈ C : 1 < r < |z| < R, 0 < Arg z < π

2

ª. Resolver el proble

ma de contorno⎧⎨⎩ ∆V = 0 en D,V = 0 en |z| = r y en |z| = R para 0 < Arg z < π

2,

V = 0 en Arg z = 0 y V = V0 en Arg z = π2

para r < |z| < R,

reduciendolo al del apartado anterior mediante una transformación conforme.

Ejercicio 4.1) Sea u(x, y) = f(x+ y) con f ∈ C2(R). ¿Cómo debe ser f para que u pueda ser la parte real deuna función entera del plano complejo? Calcular la función entera g(z) que tiene como parte real adicha función u y que cumple g(0) = 0, g(1 + i) = 2.

2) Obtener el recinto transformado del semiplano inferior mediante la función

w = T (z) =g(z)− 1g(z) + 1

,

siendo g la función obtenida en el apartado anterior.

3) Se considera la función h(z) =1

z2Log

µ4− z

1− z

¶. Determinar y clasificar sus singularidades,

obteniendo el residuo en las aisladas.

74


AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. INGENIEROS INDUSTRIALES.

Curso 200809

Primer parcial: 29 de Enero de 2009

Primera parte

Nota: Ponga en cada hoja que entregue su nombre completo y su número de identificación.El examen consta de 3 ejercicios y 3 cuestiones. Todas se puntuarán de 0 a 10, pero los ejerciciosvaldrán el triple que las cuestiones. Entregue cada ejercicio y cada cuestión por separado.

Ejercicio 1.a) Demostrar que si y(x) es una solución de la ecuación diferencial ordinaria de 2o orden

y00 + 2xy0 + (x2 + 1)y = 0,entonces u(x) = y0(x) + xy(x) satisface la ecuación

u0 = −xu.b) Encontrar la solución general de la ecuación

y00 + 2xy0 + (x2 + 1)y = 0.

c) Resolver el problema no homogéneo de valores iniciales

y00 + 2xy0 + (x2 + 1)y = e−x2

2 , y(0) = y0(0) = 0.

Ejercicio 2.Se considera la matriz

A =

⎡⎣ 2 1 11 2 1−2 −2 −1

⎤⎦a) Encontrar una matriz fundamental del sistema x0 = Ax.

b) Resolver el sistema x0 = Ax+ f(t), siendo f(t) =

⎡⎣ 0t2et

−t2et

⎤⎦, con la condición inicial x(0) =⎡⎣ 100

⎤⎦.

75

Tema 17 Exámenes del curso 200809


Curso 200809

Primer parcial: 29 de Enero de 2009

Segunda parte

Nota: Ponga en cada hoja que entregue su nombre completo y su número de identificación.El examen consta de 3 ejercicios y 3 cuestiones. Todas se puntuarán de 0 a 10, pero los ejerciciosvaldrán el triple que las cuestiones. Entregue cada ejercicio y cada cuestión por separado.

Ejercicio 3.Resolver el problema:

y00 + 2y0 + y = f(t) =

⎧⎨⎩ 0 para 0 < t < 2π,2 (cos t+ sen t) para 2π < t < 4π,

0 para t > 4π

y(0) = 0, y0(0) = 1,y calcular y(π) e y(5π).

Cuestiones

Cuestión 1. Considere la ecuación de Van der Pool:d2x

dt2+ µ

¡x2 − 1¢ dx

dt+ x = 0, µ ∈ R.

Conviértala en un sistema de ecuaciones. Analice la naturaleza de los puntos críticos de dicho sistemaen función del parámetro µ para µ2 6= 4.Cuestión 2. Dada la ecuación

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0determinar una relación que deban verificar P y Q para que la ecuación admita un factor integranteque dependa de

xy

x+ y, es decir, de la forma

µ = µ(x, y) = f

µxy

x+ y

¶para alguna función f .

Cuestión 3. Siendo L > 0, k > 0, obtener los valores de Cn de forma que, en algun intervalo real,sea

kx =∞Xn=1

Cn sennπx

L.

Especificar el intervalo máximo en que se verifica dicha igualdad. Esbozar un dibujo de la función ala que converge la serie.

76



Curso 200809

Examen Complementario de Febrero. 29 de Enero de 2009.

Nota: Ponga en cada hoja su nombre completo y su número de identificación. Entregue cadaejercicio por separado.


utt − uxx = sen 2t sen 2x, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, 0 < x < π,

ut(x, 0) = 2 senx− sen 2x, 0 < x < π.

Ejercicio B.a) Determinar la distribución de temperaturas Ψ(x, y) en el interior del recinto

Ω ≡ z ∈ C : |z| < R, Re z > 0, Im z > 0siendo R > 1, con la condición de ser la temperatura en la frontera igual a T1 para la parte en que|z| = R, T0 en la parte en que Re z = 0 y con la condición de aislamiento ∂Ψ

∂n= 0 en la parte en que

Im z = 0.

b) SeaD = z ∈ C : |z| > 1, |z − 1− i| > 1, |z − 2| > 1 y sea su fronteraC = C1+C2+C3donde C1 es la parte en que |z| = 1, C2 es la parte en que |z − 1− i| = 1 y C3 la parte en que|z − 2| = 1. Resolver el problema de contorno⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∆Φ = Φxx + Φyy = 0 en D,Φ(x, y) = H0 en C1,∂Φ∂n(x, y) = 0 en C2,

Φ(x, y) = H1 en C3.

Ejercicio C.a) Obtener el dominio de analiticidad de Log (4 + z2) y su desarrollo de Taylor en el origen, indicando el campo de validez del mismo.

b) Obtener las singularidades de

f(z) =Log(4 + z2)

z3(1− 4z2) ,y clasificar las que sean aisladas.

c) Obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de f(z) en un entorno perforado del origen,indicando el campo de validez de dicho desarrollo.

d) Calcular, para los valores de r que lo permitan, la integralI

Cr

f(z) dz, siendo Cr la circunfer

encia |z| = r recorrida en sentido positivo.

77



Curso 200809. Segundo parcial. 6 de Junio de 2009.

Nota: Ponga en la parte superior de cada hoja su nombre completo en mayúsculas y su número deidentificación. Entregue cada ejercicio por separado.

Primera parte

Ejercicio 1. Resolver, por separación de variables, el problema de contornoutt + ux + ut = uxx, 0 < x < 1, 0 < t,u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < t,u(x, 0) = e

x2 (senπx− sen 3πx), 0 < x < 1,

ut(x, 0) = 0, 0 < x < 1.

Ejercicio 2.a) Se considera la semibanda

D ≡ z ∈ C : −π2< Re z < 0, Im z > 0

y su frontera C = C1 + C2 + C3, siendo C1, C2 y C3 las porciones de frontera que corresponden,respectivamente, a Re z = 0, Im z = 0 y Re z = −π

2. Obtenga el recinto Ω transformado de dicha

semibanda D mediante la función

f(z) =i sen z + i

sen z − 1 ,especificando la transformada de la frontera. Resolver el problema de contorno siguiente para lasemibanda D anterior: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0, en D,∂Φ∂n

¯C1= 0,

Φ|C2 = H0,Φ|C3 = H1.

b) Resolver el siguiente problema de Dirichlet en el disco unidad: ∆Ψ = 0 para |z| < 1, conla condición de frontera de ser Ψ = K0 en la parte de circunferencia unidad que está en el primercuadrante y Ψ = K1 en el resto.

78



Curso 200809. Segundo parcial. 6 de Junio de 2009.

Nota: Ponga en la parte superior de cada hoja su nombre completo en mayúsculas y su número deidentificación. Entregue cada ejercicio por separado.

Segunda parte


f(z) =z

(z − 1)2 senπz .a) Obtener el desarrollo de Taylor de senπz en z = 1 indicando el campo de validez del mismo.

b) Localizar y clasificar las singularidades de f(z). Si hay alguna evitable, obtener el valor quedebe asignarse a f para que sea analítica en ella. Para las que resulten ser polos simples, obtener losresiduos de f en ellas.

c) Obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de f(z) en z = 1 que proporciona el residuoen dicho punto, indicando el campo de validez de dicho desarrollo.

d) Calcular la integralHCf(z) dz, siendo C la circunferencia |z| = 5

2orientada positivamente.

Ejercicio 4. Resolver el problema de contornouxx + uyy = 4e−x cos y, x > 0, 0 < y < π,

u(0, y) = cos y, ux(0, y) = − cos y, 0 < y < π,

uy(x, 0) = 0, uy(x, π) = 0, x > 0,

utilizando una transformada integral adecuada.

79



Curso 200809.

Examen final. 25 de Junio de 2009. Primera parte.

Nota: Ponga en cada hoja su nombre completo en mayúsculas y su número de identificación.Entregue cada ejercicio por separado.


Ejercicio 1. 1. Se considera la ecuación diferencialy00 − ay0 − (1 + a)y = xe−x.

Resolverla según los valores de a ∈ R.

Ejercicio 1. 2. Se consideraL(y) = x2y00 + 2xy0 + x2y.

Analizar si el origen es un punto singularregular de la ecuación homogénea L(y) = 0 y resolverlapor el método de Frobenius identificando las soluciones obtenidas. Resolver la ecuación L(y) = x3.

80



Curso 200809.

Examen final. 25 de Junio de 2009. Primera parte.


Para los alumnos que se examinan sólo del segundo parcial o de toda la asignatura:

Ejercicio 2. 1.1) Se considera el recinto D ≡ z ∈ C : Im z > 0, |z| > 1, |z − 3| > 2 junto con su fronteraL = frontera(D) = L1+L2+L3, siendo L1 la parte de L en que Im z = 0, L2 la parte en que |z| = 1y L3 la parte en que |z − 3| = 2.Resolver el siguiente problema de contorno utilizando transformación conforme:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0 en D,∂∂nΦ(x, y) = 0 en L1,

Φ(x, y) = 10 en L2,Φ(x, y) = 1 en L3.

2) Se considera el recinto Ω ≡ z ∈ C : −1 < Arg z < 1, 1 < |z| < e junto con su frontera C =frontera(Ω) = C1 + C2 + C3 + C4, siendo C1 la parte de C en que Arg z = −1, C2 la parte en queArg z = 1, C3 la parte en que |z| = 1 y C4 la parte en que |z| = e.Determinar el recinto D = f(Ω) transformado de Ω mediante la función f(z) = 1

Log zespecificando

quien es cada f(Ci) para i = 1, 2, 3, 4.Para el recinto obtenido D = f(Ω), resolver el siguiente problema de contorno utilizando la transformación conforme que considere mas adecuada:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Φxx + Φyy = 0 en D = f(Ω),∂∂nΦ(x, y) = 0 en f (C1) ,

∂∂nΦ(x, y) = 0 en f (C2) ,

Φ(x, y) = H0 en f (C3) ,Φ(x, y) = H1 en f (C4) .

Ejercicio 2. 2. En los apartados 2, 3 y 4 siguientes, C+(z0, R) representa la circunferencia |z − z0| =R recorrida en sentido positivo.1) Calcular

R∞−∞

x senx

x2 + 2x+ 2dx.

2) CalcularI

C+(0,1)

1

z2 senh zdz.

3) CalcularI

C+(0,1)

1

zzdz.

4) Probar que limR→∞

IC+(0,R)

Log z

z2dz = 0.

81



Curso 200809.

Examen final. 25 de Junio de 2009. Segunda parte.




A =

⎡⎣ 2 b 00 a 10 0 a

⎤⎦ con a, b ∈ R, f(t) =

⎡⎣ 0te−t

1

⎤⎦ , x0 =

⎡⎣ 000

⎤⎦ .a) Resolver el sistema homogéneo x0 = Ax en función de los valores de a, b ∈ R.b) Para a = 1, b = 0 resolver el problema de valores iniciales

x0(t) = Ax(t)+f(t), x(0) = x0.

Ejercicio 1. 4. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales½x = x (x+ y − 1) ,y = y(x+ y + 1).


82



Curso 200809.

Examen final. 25 de Junio de 2009. Segunda parte.



Ejercicio 2. 3.Resolver el problema de contorno:

utt − uxx = sen 2t sen 2x, 0 < x < π, t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, 0 < x < π,

ut(x, 0) = 2 senx− sen 2x, 0 < x < π.

Ejercicio 2. 4.Se considera la función

f(z) =1

z2Log∗

µ4− z

z − 1¶

siendo Log∗ la rama del logaritmo determinada por la elección del argumento Arg∗ que varia entre 0y 2π, esto es, 0 ≤ Arg∗ z < 2π.1) Determinar y clasificar sus singularidades.2) Obtener los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Laurent de f(z) centrado en el origenque proporciona el residuo en dicho punto, indicando el campo de validez de dicho desarrollo.3) Calcular la integral I

C+(0, 12)

f(z) dz

donde C+(z0, R) representa la circunferencia |z − z0| = R recorrida en sentido positivo.

83



Curso 200809.

Examen de Septiembre. 11 de Septiembre de 2009. Primera parte.


Ejercicio 1.Se considera la ecuación diferencial

f(x) y0 + y + x2 = 0.

¿Existe un factor integrante función exclusivamente de x? Determinar f(x) para que x sea un factorintegrante de la ecuación dada e integrarla con dicho factor integrante.

Ejercicio 2.Resolver el problema de contorno ½

x00 + 4x = 4t,x(0) = x(1) = 0,

utilizando una solución en forma de desarrollo en serie de Fourier adecuado.Obtener la función suma de dicho desarrollo resolviendo directamente el problema de contorno.

84



Curso 200809.

Examen de Septiembre. 11 de Septiembre de 2009. Segunda parte.


Ejercicio 3.Resolver, utilizando la transformada de Laplace, el problema de contorno⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ut − uxx = sen t(sen 2x− x), 0 < x < π, t > 0,u(0, t) = 0, t > 0,u(π, t) = π cos t, t > 0,u(x, 0) = x, 0 < x < π.

Ejercicio 4.1) Obtener y clasificar las singularidades de la función

f(z) =ez(z + 1)− e

z2(ez − e)

y calcularHC+(0,7)

f(z) dz siendo C+(0, 7) la circunferencia de centro el origen y radio 7 recorrida ensentido positivo.2) Calcular, utilizando el teorema de los residuos, la integral realZ ∞

−∞

cosx

x2 − 2x+ 10 dx.3) Calcular la integral compleja Z

Γ

(z2 + zz) dz

siendo Γ el arco superior de la circunferencia unidad, es decir Γ ≡ z : |z| = 1, 0 ≤ Arg z ≤ π ,recorrido en el sentido que va de 1 a −1.

85

Tema 18: Tabla de Transformadas de Laplace

f(t) F (s)

función escalón unitario de Heaviside

H(t)1

s

funciónexponencial

eat1

s− a

funciónseno

senwtw

s2 + w2

funcióncoseno

coswts

s2 + w2

Linealidad a1f1(t) + a2f2(t) a1F1(s) + a2F2(s)Primer teorema detraslación

eatf(t) F (s− a)

Derivadas de transformadas

tnf(t) (−1)n dn

dsnF (s)

potencias de exponente natural

tnn!

sn+1

Id. con exponente real taΓ(a+ 1)

sa+1Transformada de laderivada

f 0(t) sF (s)− f(0)

Id. derivada segunda f 00(t) s2F (s)− sf(0)− f 0(0)Id. derivadas sucesivas

fn)(t) snF (s)− sn−1f(0)− · · ·− sfn−2)(0)− fn−1)(0)

División por t f(t)t

R∞s

F (v) dvSegundo teorema detraslación

f(t− a)H(t− a) e−asF (s)

Convolución (f1 ∗ f2) (t) F1(s)F2(s)

Primitiva nula en elcero

R t0f(u) du

F (s)

s

Funciónes periódicas f(t) = f(t+ P )

R P0e−stf(t) dt1− e−sP

86

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