E:\ARCHIVOS\Pascual\Optica\TextoGuiaMatematicas2\TextoGuiaMatematicasOptica.dvi

CAPITULO 4ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO Tipo y orden de una ecuacio n diferencial Solucio n de una ecuacio n diferencial Ecuaciones de primer orden separables Ecuaciones de primer orden homogeneas Ecuaciones de primer orden lineales

Ecuaciones de primer orden exactas Ecuaciones lineales de segundo orden Metodo de los coeficientes indeterminados Metodo de variacio n de parametros Ecuaciones lineales de orden superior2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO2.1. Definiciones y conceptos ba sicosUna ecuacio n diferencial es una ecuacio n en la que interviene una funcio n inco gnita y una o varias de sus deri- vadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos feno menos fsicos y qumicos: desintegracio n radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones qumicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afir- mar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta u ltima materia nos ayudara a entender mejor los feno menos naturales.Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, basicamente, atendiendo a dos criterios:(1) TIPO: Si la funcio n inco gnita contiene una u nica variable independiente, entonces la ecuacio n se denomina ecuacio n diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la funcio n inco gnita contiene dos o mas variables independientes, la ecuacio n se dice que es una ecuacio n diferencial en derivadas parciales.(2) ORDEN: Es la derivada de orden mas alto que aparece en la ecuacio n diferencial.Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas tecnicas matematicas que estan fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al analisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias.Consideremos una ecuacio n diferencial ordinariaF (x, y, y0 , y00 ,.. .) = 0.Diremos que una funcio n y = f (x) es una solucio n de la ecuacio n diferencial si la ecuacio n se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas respectivas.La solucio n general de una ecuacio n diferencial ordinaria es una funcio n y = f (x, c1 , c2 ,.. .) dependiente de una o varias constantes tal que cualquier solucio n de la ecuacio n diferencial se obtiene dando valores especficos a una o mas de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la solucio n general, surge una solucio n particular. Geometricamente, la solucio n general de una ecuacio n diferencial de primer orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solucio n, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria.En la practica, la determinacio n de las constantes que aparecen en la solucio n general se realiza a partir de las condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la funcio n solucio n o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuacio n diferencial de primer ordeny0 = F (x, y),una condicio n inicial se expresara en la formay(x0 ) = y0 .En consecuencia, y = f (x) es solucio n si f 0 (x) = F (x, f (x)) para todo valor de x en cierto intervalo, y f (x0 ) = y0 .2.2. Ecuaciones diferenciales de primer ordenUna ecuacio n diferencial ordinaria de primer orden es una ecuacio n de la formay0 = F (x, y),donde F es una funcio n que depende de las variables x e y. Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las mas sencillas, y su resolucio n se puede realizar utilizando diversas tecnicas. Describimos a continuacio n las mas importantes.2.2.1. Ecuaciones separablesUna ecuacio n diferencial de primer orden se dice que es separable si puede escribirse en la formaM (x)+ N (y) dy = 0, dxdonde M (x) es una funcio n continua que so lo depende de x y N (y) es una funcio n continua que so lo depende de y. Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza el procedimiento de separacio n de variables, que consiste en situar todos los terminos que contienen x a la izquierda (o la derecha) del signo de igualdad, y todos los terminos que contienen y en el lado contrario. A continuacio n se integran ambos miembros de la igualdad, cada uno respecto de la variable correspondiente. En consecuencia, la solucio n viene dada porZ M (x)dx + Z N (y)dy = C.2.2.2. Ecuaciones homogeneasUna funcio n z = f (x, y) se dice que es homogenea de grado n sif (tx, ty) = tn f (x, y),donde n es un nu mero real.Una ecuacio n diferencial homogenea es cualquier ecuacio n diferencial que se puede escribir en la formaM (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,donde M y N son funciones homogeneas del mismo grado. La ecuacio n anterior puede escribirse comoy0 = F (x, y),donde la funcio n F satisface F (tx, ty) = F (x, y).Este tipo de ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones separables tras un cambio de variables. Con- cretamente si y0 = F (x, y) es una ecuacio n homogenea, entonces el cambio de variable y = vx, donde v es una funcio n derivable de x, transforma la ecuacio n anterior en una nueva ecuacio n diferencial en las variables x y v que es separable.2.2.3. Ecuaciones linealesUna ecuacio n diferencial lineal de primer orden es toda ecuacio n que se puede escribir en la formay0 + P (x)y = Q(x),donde P y Q son funciones continuas de x.La resolucio n de este tipo de ecuaciones se consigue utilizando la tecnica de los factores integrantes. Un factor integrante es una funcio n u(x) tal que al multiplicarla por el lado izquierdo de la ecuacio n se obtiene la derivada del producto u(x)y, es decir,u(x)y0 + u(x)P (x)y = d[u(x)y] . dxEs facil probar que un factor integrante es la funcio nu(x) = e P (x)dxEntonces la solucio n de la ecuacio n diferencial esy = e P (x)dx Z Q(x)e P (x)dx dx + C.Hay ecuaciones no lineales que se transforman, mediante una sustitucio n adecuada, en una ecuacio n lineal. Entre estas ecuaciones debemos destacar la ecuacio n diferencial de Bernoulli, que puede escribirse comoy0 + P (x)y = Q(x)yn .Esta ecuacio n es lineal si n = 0 y de variables separables si n = 1. Para otros valores de n, el cambio de variablez = y1n transforma la ecuacio n anterior en la siguiente ecuacio n lineal:z0 + (1 n)P (x)z = (1 n)Q(x).2.2.4. Ecuaciones exactasEsta seccio n debe estudiarse despues del calculo diferencial en varias variables, ya que se hace uso del concepto de derivada parcial.Una ecuacio n diferencial de la formaM (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 se dice que es una ecuacio n diferencial exacta si existe una funcio n f de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal quef (x, y) = M (x, y) y f (x, y) = N (x, y).x yLa solucio n general de la ecuacio n es f (x, y) = C .No toda ecuacio n diferencial es exacta. Entonces, co mo podemos distinguir las que son de las que no lo son? El siguiente resultado nos da la solucio n.Si M y N tienen derivadas parciales continuas en un disco abierto entonces la ecuacio n diferencial M (x, y)dx +N (x, y)dy = 0 es exacta si y solamente siM = N .y xDebemos hacer notar que la exactitud es una condicio n extremadamente fragil, ya que pequen as alteraciones en una ecuacio n exacta pueden hacer que se pierda dicha propiedad. Por ejemplo, la ecuacio n diferencial(xy2 + x)dx + yx2 dy = 0 es exacta, pero si dividimos por x, entonces la ecuacio n resultante(y2 + 1)dx + xydy = 0 ya no es exacta.2.3. Ecuaciones lineales de segundo ordenUna ecuacio n diferencial lineal de segundo orden es una ecuacio n diferencial que puede escribirse en la formay00 + P (x)y0 + Q(x)y = R(x),donde P , Q y R son funciones continuas de x en un cierto intervalo. Se dice que la ecuacio n es homogenea siR(x) = 0 para todo x. En otro caso, la ecuacio n se dice que es no homogenea.La resolucio n de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas se apoya en dos resultados basicos: la combinacio n lineal de dos soluciones es otra solucio n, y toda solucio n es combinacio n lineal de dos soluciones independientes. Mas concretamente, tenemos los siguientes resultados.(1) Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones de una ecuacio n diferencial homogenea y c1 y c2 son dos constantes, entoncesy(x) = c1 y1 (x)+ c2 y2 (x)es una solucio n de la misma ecuacio n diferencial.(2) Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones linealmente independientes (ninguna de ellas es un mu ltiplo de la otra) de una ecuacio n diferencial homogenea de segundo orden, entonces la solucio n general esta dada pory(x) = c1 y1 (x)+ c2 y2 (x),donde c1 y c2 son dos constantes.En general, encontrar las soluciones de una ecuacio n de segundo orden (homogenea o no homogenea) es difcil, a veces imposible. Sin embargo, si las funciones P y Q son constantes, entonces siempre se pueden hallar soluciones. En los siguientes apartados describimos co mo hacerlo.2.3.1. Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogeneasConsideremos la ecuacio n de segundo orden con coeficientes constantes siguiente:y00 + ay0 + by = 0.Las soluciones de dicha ecuacio n se determinan a partir de las races de la ecuacio nr2 + ar + b = 0,denominada ecuacio n caracterstica. Se pueden presentar las siguientes tres posibilidades:(1) Races reales diferentes: Si r1 = r2 son las races reales distintas de la ecuacio n caracterstica, entonces la solucio n general esy = c1 er1 x + c2 er2 x .(2) Races reales iguales: Si r1 = r2 son las races reales iguales de la ecuacio n caracterstica, entonces la solucio n general esy = c1 er1 x + c2 xer1 x = (c1 + c2 x)er1 x .(3) Races complejas: Si r1 = + i y r2 = i son las races complejas de la ecuacio n caracterstica, entonces la ecuacio n general esy = c1 ex cos(x)+ c2 ex sen(x).2.3.2. Ecuaciones lineales de coeficientes constantes no homogeneasConsideremos la ecuacio n de segundo orden con coeficientes constantes siguiente:y00 + ay0 + by = R(x).En la bu squeda de las soluciones de dicha ecuacio n, juega un papel importante la solucio n de la ecuacio ny00 + ay0 + by = 0 denominada ecuacio n homogenea asociada. El siguiente resultado nos resuelve la ecuacio n.La solucio n general de la ecuacio n y00 + ay0 + by = R(x) se puede escribir comoy(x) = yh (x)+ yp (x),en donde yh (x) es la solucio n general de la ecuacio n homogenea asociada e yp (x) es una solucio n particular.El problema que se nos presenta ahora es la determinacio n de la solucio n yp (x). Describimos a continuacio n dos tecnicas.2.3.2.1. Metodo de los coeficientes indeterminadosSi la funcio n R(x) consiste en la suma o producto de factores de los siguientes tipos:(I) Polino mico: xn ,(II) Exponencial: erx ,(III) Trigonometrico: cos x, sen x,entonces podemos hallar una solucio n particular yp (x) por el metodo de los coeficientes indeterminados. La clave consiste en conjeturar que la solucio n yp es de una forma especial, la cual depende de la funcio n R. Las reglas que deben seguirse son:(1) Si R(x) es un polinomio (tipo I), entonces se prueba con un polinomio del mismo grado.(2) Si R(x) es exponencial (tipo II), entonces se prueba con Aerx.(3) Si R(x) es trigonometrico (tipo III), entonces se prueba con A cos x + B sen x.(4) Si R(x) es la suma o producto de factores anteriores, entonces se prueba con la suma o producto, respecti- vamente, de las correspondientes soluciones particulares.(5) Si cualquier termino de yp es solucio n de la ecuacio n homogenea asociada, se multiplica yp por x (o x2 si es necesario).2.3.2.2. Metodo de variacio n de para metrosEl metodo de los coeficientes indeterminados descrito anteriormente funciona bien si la funcio n R(x) esta formada por polinomios, exponenciales o funciones trigonometricas (senos y cosenos). La razo n hay que buscarla en que las derivadas de este tipo de funciones no son mas complicadas que las funciones originales. Esto no ocurre, por ejemplo, con funciones como 1/x o tan x.El metodo de variacio n de parametros parte de la suposicio n que yp (x) tiene la misma forma que yh (x), excepto que las constantes c1 y c2 se sustituyen por dos funciones u1 (x) y u2 (x). El metodo consiste en lo siguiente:(1) Hallar la solucio n general yh (x) = c1 y1 (x)+ c2 y2 (x).(2) Sustituir las constantes por funciones para formar yp (x) = u1 (x)y1 (x)+ u2 (x)y2 (x).(3) Resolver el siguiente sistema para u0 y u0 :1 21 y1 + u2 y2 = 0u0 01 y1 + u2 y2 = R(x)u0 0 0 0(4) Integrar para hallar u1 y u2 .2.4. Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantesConsideremos la ecuacio n de orden n con coeficientes constantes siguiente:y(n) + an

1 y(n1) + + a y0 + a y = 0. 1 0Las soluciones de dicha ecuacio n se determinan a partir de las races de la ecuacio nrn + an

1 rn1 + + a1 r + a0

= 0,denominada ecuacio n caracterstica.Cada raz r de la ecuacio n caracterstica genera un termino de la solucio n de acuerdo con las siguientes reglas:(1) r es raz real: Si m es la multiplicidad de r como raz de la ecuacio n caracterstica, entonces r colabora a la solucio n general condonde C (x) es un polinomio de grado m 1.

y = C (x)erx,(2) r = i es raz compleja: Si m es la multiplicidad de r como raz de la ecuacio n caracterstica, entoncesr colabora a la solucio n general cony = ex (C1 (x) cos(x)+ C2 (x) sen(x)) ,donde C1 (x) y C2 (x) son polinomios de grado m 1.En consecuencia, la solucio n general de la ecuacio n de orden n se obtiene como sigue. Sean r1 , r2 , ..., rk , las races reales distintas de la ecuacio n caracterstica con multiplicidades m1 , m2 , ..., mk , respectivamente, y sean z1 = 1 i1 , z2 = 2 i2 , ..., z` = ` i` las races complejas distintas de la ecuacio n con multiplicidades n1 , n2 , ..., n` , respectivamente. Entonces la ecuacio n general de la ecuacio n diferencial lineal homogenea de orden n viene dada pork `yh (x) = X Ci (x)eri x + X ej x Dj (x) cos(j x)+ Dj (x) sen(j x) ,i=1

1 2j=1donde Ci (x) es un polinomio de grado mi 1 para i = 1,..., k,y Dj (x), Dj (x) son polinomios de grado nj 11 2para = 1 .j ,... ,` Para finalizar, baste indicar que para obtener una solucio n particular de la ecuacio n diferencial de orden n no homogenea se pueden utilizar los dos metodos descritos anteriormente para el caso de orden 2: coeficientes indeterminados y variacio n de parametros.3. ACTIVIDADES DE APLICACIO N DE LOS CONOCIMIENTOSA.4.1. Hallar la solucio n general de las siguientes ecuaciones diferenciales, as como la solucio n particular dada por las condiciones iniciales que en cada caso se indican.y0 + ky = 0,k = 0 y(0) = 1, y0 (0) = 0y0 + ky = senx y(0) = 2, y0 (0) = 1y00 + 2y0 3y = 0 y(0) = 1, y(1) = 0y00 y0 = 0 y(0) = 3, y0 (0) = 2y00 + 2 y = 0, = 0 y(0) = 2, y0 (0) = 1y00 + 2y0 3y = 6 y(0) = 1, y0 (0) = 1y00 y0 = 2senx y(0) = 1, y0 (0) = 0 y00 3y0 + 2y = 5ex y(0) = 0, y0 (0) = 1 y00 6y0 + 9y = e3x y(1) = 1, y(2) = 2y00 y0 = 5ex sen(2x) y(0) = 1, y0 (0) = 0y00 + 4y = tanx y(0) = 1, y0 (0) = 0y00 + 2y0 + y = ex y(0) = 0, y(1) = 3y000 3y00 + 2y0 = 0 y(0) = 1, y0 (0) = 0, y00 (0) = 1y000 y = 0 y(0) = 1, y0 (0) = 1, y00 (0) = 0y000 + 3y00 4y = xe2x y(0) = 0, y0 (0) = 1, y00 (0) = 2y000 + y0 = cosecx y(4) 16y = 0 y(4) + y = x +1 A.4.2. Se sabe que en un horno de ceramica, la velocidad a que se calienta un cuerpo es proporcional a 4+ T 2 , donde T (t) representa la temperatura del cuerpo que se calienta, medida en grados centgrados, y t mide el tiempo en minutos. Se introduce un cuerpo a temperatura inicial 2o C y se observa que al cabo de un minutosu temperatura es 23o C. Determinar la funcio n que nos permite expresar la temperatura del cuerpo enfuncio n del tiempo.A.4.3. Un grupo de bio logos ha determinado que la velocidad de aumento de una poblacio n de hormigas rojas cabezonas es proporcional al nu mero de individuos de dicha poblacio n. Sabiendo que al cabo de 2 meses la poblacio n se ha duplicado, calcular cuanto tiempo tiene que transcurrir para que la poblacio n sea el triple de la inicial.A.4.4. Segu n la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfra o calienta un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del ambiente. Si un objeto se enfra desde100o C a 80o C en veinte minutos, siendo la temperatura del ambiente de 20o C, calcular el tiempo que ha depasar para que la temperatura del cuerpo sea de 60o C.A.4.5. En cierto cultivo de bacterias, la velocidad de crecimiento de la poblacio n es proporcional al cuadrado de la poblacio n presente.(1) Si la poblacio n despues de 3 horas es de 104 individuos y al cabo de dos horas mas es de 4 104individuos, calcular cuantos individuos haba en un principio.(2) Sabiendo que despues de 4 horas la poblacio n se ha duplicado, cual sera la poblacio n presente al cabo de 6 horas?A.4.6. Un barco retrasa su movimiento por la accio n de la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es 10 metros/segundo y al cabo de 5 segundos su velocidad es 8 metros/segundo. Calcular al cabo de cuanto tiempo su velocidad sera de 1 metro/segundo.A.4.7. El fondo de un depo sito de 300 litros de capacidad esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentracio n en el instante dado y la concentracio n de la disolucio n saturada (1 kilogramo de sal para 3 litros de agua) y sabiendo que al cabo de un minuto la cantidad de sal disuelta es 1/3 de kilogramo, hallar la cantidad de sal que contendra la disolucio n al cabo de una hora.A.4.8. Cuando se introduce glucosa por va intravenosa a velocidad constante, el cambio en la concentracio n global c(t) de glucosa en sangre con respecto al tiempo viene descrito por la siguiente ecuacio n diferencialdc = G dt 100V kc,donde G denota la velocidad constante a que se suministra la glucosa, V es el volumen total de la sangre en el cuerpo y k es una constante positiva que depende del paciente. Calcular la funcio n que nos permite expresar la concentracio n de glucosa en sangre en funcio n del tiempo.A.4.9. Una fra man ana comenzo a nevar y continuo nevando a velocidad constante a lo largo del da. Una maquina quitanieves comenzo a trabajar a las doce del medioda, quitando nieve a velocidad constante (volumen por unidad de tiempo). Desde la una hasta las dos avanzo solamente la mitad de lo que haba avanzado desde las doce hasta la una. Calcular la hora en que empezo a nevar.A.4.10. En la conservacio n de alimentos, el azu car de can a sufre un proceso de inversio n y se transforma en glucosa y fructosa. En soluciones diluidas, el ritmo de inversio n es proporcional a la concentracio n y(t) del azu car inalterada. Si la concentracio n es 1/50 cuando t = 0 y 1/200 tras 3 horas, hallar la concentracio n del azu car inalterada despues de 6 y 12 horas.A.4.11. Segu n las leyes de la termodinamica, el flujo del calor a traves de una superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas. Suponiendo que el flujo de calor describe una trayectoria dada por y = C/x, donde C es una constante no nula, obtener las curvas isotermas.A.4.12. La tasa de crecimiento de una poblacio n de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional al taman o de la poblacio n en dicho momento. Si hay 180 moscas despues del segundo da del experimento y300 moscas despues del cuarto da, cuantas moscas haba originalmente?A.4.13. El ritmo de desintegracio n del radio es proporcional a la cantidad presente en un instante dado. Hallar el porcentaje de una muestra actual que quedara al cabo de 25 an os si la vida media del radio es de 1600 an os.A.4.14. En una reaccio n qumica, un cierto compuesto se transforma en otra sustancia a un ritmo proporcional a la cantidad no transformada. Si haba inicialmente 20gr. de la sustancia original y 16gr. tras 1 hora, en que momento se habra transformado el 75% de dicho compuesto?4. ACTIVIDADES PRA CTICAS DEL CAPITULO4.1. Introduccio nLa practica se va a realizar con el programa de calculo matematico DERIVE for Windows, versio n 4.05, de Soft Warehouse. DERIVE for Windows permite realizar calculos y manipulaciones matematicas de caracter general, lo cual significa que realiza muchas cosas de forma aceptable aunque no tiene la potencia de otros programas especficos. No obstante, DERIVE for Windows permite realizar todos los calculos que un usuario medio puede necesitar.En esta practica nos vamos a centrar en la resolucio n de ecuaciones diferenciales. DERIVE for Windows resuelve todas las ecuaciones diferenciales de primer grado y primer orden mediante los metodos mas conocidos (variables separadas, ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones exactas, factores integrantes, etc.) DERIVE for Windows proporciona, siempre que puede, la solucio n explcita de la ecuacio n diferencial. No obstante, es posible que DERIVE for Windows ofrezca una solucio n que dependa de una integral no resoluble algebraicamente.Antes de comenzar la practica sera conveniente que recordemos brevemente la botonera de DERIVE for Win- dows (ver Figura 4.1), ya que simplifica enormemente la introduccio n de datos y la realizacio n de calculos. Los botones permiten realizar las siguientes tareas (de izquierda a derecha): New (abrir una nueva hoja de trabajo),Open (abrir una hoja de trabajo existente), Save (guardar la sesio n de trabajo), Print (imprimir la sesio n de tra- bajo), Remove (eliminar la expresio n marcada), Unremove (recuperar la u ltima expresio n eliminada), Renumber(renumerar las expresiones), Author expression (introducir una expresio n sencilla), Author vector (introdu- cir un vector), Author matrix (introducir una matriz), Simplify (simplificar), Approximate (calcular un valoraproximado), Solve (resolver algebraicamente o numericamente una expresio n), Substitute for variables (realizar una sustitucio n), Calculate limit (calcular un lmite), Calculate derivative (calcular una deriva- da), Calculate integral (calcular una integral), Calculate sum (calcular una suma), Calculate product (calcular un producto), 2D-plot window (realizar un grafico bidimensional) y 3D-plot window (realizar ungrafico tridimensional).

Figura 4.1: El uso de la botonera de DERIVE for Windows nos puede simplificar mucho el trabajo. Otro elemento interesante es la existencia de teclas calientes que nos permiten evitar los menu s, con lo que se gana en rapidez.4.2. Ecuaciones diferenciales de primer ordenPara poder resolver ecuaciones diferenciales de primer orden es necesario tener cargado en el ordenador la utilidad ODE1.MTH, lo cual se consigue seleccionando las opciones File|Load|Math o File|Load|Utility. Esta utili- dad proporciona una serie de funciones que nos permiten resolver las ecuaciones diferenciales utilizando distintosmetodos.Resolver la ecuacio n y0 = ex+y + ey y encontrar la solucio n que pasa por el punto (0, 1)La ecuacio n diferencial es de la forma

y0 = p(x)q(y),siendo p(x) una expresio n cualquiera (no tiene por que ser un polinomio) que no depende de y, y donde q(y) es una expresio n cualquiera que no depende de x. Entonces debemos utilizar la funcio n de DERIVE for WindowsSEPARABLE(p,q,x,y,a,b),donde a y b son los valores de x e y para los cuales queremos una solucio n particular. En nuestro caso, debemos introducir la expresio n SEPARABLE(#e^x+1,#e^y,x,y,0,1) y obtendremos como resultado e1 ey = ex + x 1. Para obtener y en funcio n de x debemos seleccionar las opciones Solve|Algebaically, con la opcio n Variable igual a y, y obtendremosy = 1 ln(ex+1 ex + e + 1)Resolver la ecuacio n diferencial xy0 + y = y2 ln(x)Observemos en primer lugar que el miembro de la izquierda coincide con la derivada de la funcio n xy respecto de x, por lo que parece aconsejado hacer el cambio de variable z = xy. Entonces la ecuacio n se transfor- ma en la siguiente: z0 = x2 ln(x)z2 , que puede resolverse por la tecnica de variables separables haciendo SEPARABLE(Ln(x)/x^2,z^2,x,z,a,b). La solucio n obtenida esln(x)

ln(a) 1

1 1 1+ + = 0. x a x z a bPara obtener y en funcio n de x debemos seleccionar las opciones Solve|Algebaically, con la opcio n Variableigual a z, y obtendremosz = abx . ab ln(x) bx ln(a)+ x(a b)+ abComo z = xy entonces la solucio n a nuestra ecuacio n es y = z/x, es deciry = ab . ab ln(x) bx ln(a)+ x(a b)+ abResolver la ecuacio n xy0 4y + 2x2 +4 = 0 y hallar la solucio n particular que pasa por el punto (1, 1)La ecuacio n puede ponerse en la forma y0 + p(x)y = q(x), donde p(x) y q(x) son expresiones cualesquiera que so lo dependen de x. Entonces podemos resolver este tipo de ecuaciones mediante la ordenLINEAR1(p,q,x,y,a,b),donde a y b son las condiciones iniciales. En nuestro caso, escribimos LINEAR1(-4/x,-2x-4/x,x,y,1,1) para obtener como solucio ny = x4 + x2 +1 Resolver la ecuacio n diferencial (x + y)dx + (y x)dy = 0, hallando la solucio n que pasa por el punto (1, 1)Este tipo de ecuacio n diferencial es homogenea, lo cual significa que es de la forma y0 = r(x, y), donde r es una funcio n tal que r(ax, ay) = r(x, y) para todo nu mero a. Para resolver este tipo de ecuaciones, DERIVE for Windows dispone de la ordenHOMOGENEOUS(r,x,y,a,b),donde a y b son las condiciones iniciales. En nuestro caso, escribimos HOMOGENEOUS((x+y)/(x-y),x,y,1,1)y obtenemos2 2y LN( x +y ) ATAN + LN(|x|) 2

= LN(x)x 2 4Para comprobar que la solucio n hallada es la correcta, podemos utilizar la funcio nIMP DIF(ATAN(y/x)+LN(|x|)-LN((x^2+y^2)/2)/2-pi/4-LN(x))-(x+y)/(x-y),cuyo resultado es cero, garantizando que la solucio n encontrada es buena. Para utilizar la funcio n anterior es necesario haber cargado la utilidad DIF APPS.MTH.En ocasiones no sabemos si la funcio n r es homogenea, quizas por su complicacio n al no estar lo bastante simplificada. Para estos casos, DERIVE for Windows dispone de la funcio n HOMOGENEOUS TEST(r,x,y). Si el resultado es una funcio n que no depende de x, entonces r es una funcio n homogenea. En nuestro casoHOMOGENEOUS TEST((x+y)/(x-y),x,y) es igual a y ey .Resolver la ecuacio n y0 = 1 + sec(1 + x + y)Para resolver ecuaciones diferenciales de la forma y0 = r(u), donde u es una funcio n lineal con coeficientes constantes de x e y (es decir, u = ax + by + c, con a, b, c constantes), DERIVE for Windows pone a nuestra disposicio n el comandoFUN LIN CCF(r,a,b,c,x,y,p,q),donde p y q son las condiciones iniciales. En nuestro caso, escribimosFUN LIN CCF(1+SEC(1+y+x),1,1,1,x,y,p,q)y la solucio n general obtenida es: 3 cos(x + y +1) sen(x + y +1)+33 ln 3 cos(x + y + 1)+ sen(x + y + 1)+ 36 3 ln 3 cos(p + q + 1) sen(p + q + 1)+ 33 cos(p + q + 1)+ sen(p + q + 1)+ 3 6+ x + y p q2En este caso resulta imposible despejar y como funcio n explcita de x.Resolver la ecuacio n y0 = (x + y 1)/(x y)

= x pCon este ejercicio vamos a ilustrar co mo resolver ecuaciones diferenciales de la formay0 = r ax + by + c px + qy + kdonde a, b, c, p, q, k son constantes que cumplen la condicio n aq bp = 0, ya que de lo contrario estaramos en el caso lineal. DERIVE for Windows resuelve este tipo de ecuaciones utilizando la siguiente funcio nLIN FRAC(r,a,b,c,p,q,k,x,y,A,B)donde (A,B) son las condiciones iniciales. En nuestro caso debemos teclearLIN FRAC((x+y-1)/(x-y),1,1,-1,1,-1,0,x,y,0,0)y obtenemos la siguiente solucio n en forma implcita:ATAN 2y 1 + LN( 2x 1 )

1LN(2x2

2x + 2y2

2y + 1)

= LN(2x

1) i2x 1

| | 2

4 Resolver la ecuacio n diferencial 2y3 5xy + (xy2 3x2 )y0 = 0 Uno de los metodos mas potentes para la resolucio n de ecuaciones diferenciales de primer orden consiste en buscar factores integrantes. Dada la ecuacio n p(x, y)+ q(x, y)y0 = 0, esta se podra resolver si existe una funcio n u(x, y) que multiplicada por la ecuacio n anterior la convierta en exacta. La manera de comprobar que una funcio n u es la candidata consiste en calcularEXACT TEST(up,uq,x,y)Si el resultado es cero, entonces la solucio n implcita viene dada porUSE INTEG FCTR(u,p,q,x,y,a,b).donde (a,b) son las condiciones iniciales.El problema en todo caso es encontrar el factor integrante. Para ayudarnos DERIVE for Windows dispone de la siguiente funcio n:MONOMIAL TEST(p,q,x,y)Si el resultado es del tipo xm yn entoncesUSE INTEG FCTR((x^m)(y^n),p,q,x,y,a,b)nos da la solucio n general de la ecuacio n.En nuestro caso MONOMIAL TEST(2y^3-5xy,xy^2-3x^2,x,y) proporciona como resultado x27 y16 . Por tan- to la solucio n es1 1donde C es una constante apropiada.4.3. Ejercicios de aplicacio n

5x25 y15 13x26 y13 + C = 0,A continuacio n se enuncian unos ejercicios sobre resolucio n de ecuaciones diferenciales. Si el alumno encuentra alguna dificultad debe revisar detenidamente los ejemplos anteriores.a) Hallar la curva solucio n de la ecuacio n02que pasa por el punto (0, a).

yp1+ y02 y y = ap1+ y02b) Resolver la ecuacio n 3y2 y0 ay3 = x +1 c) Resolver la ecuacio n y0 xe1/x = x + ye1/xd) Resolver la ecuacio n y0 = (3x + y)/(x 2y)e) Resolver la ecuacio n y0 (x + y ln y) = yf) Resolver la ecuacio n 4xy + 3y2 x + (x2 + 2xy)y0 = 0 4.4. Ecuaciones diferenciales de segundo ordenPara poder resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden es necesario tener cargado en el ordenador la utilidad ODE2.MTH, lo cual se consigue seleccionando las opciones File|Load|Math o File|Load|Utility. Esta utilidad proporciona una serie de funciones que nos permiten resolver las ecuaciones diferenciales utilizandodistintos metodos.Resolver la ecuacio n diferencial y00 3y0 + 2y = ex sen xLa ecuacio n es de la forma y00 +p(x)y0 +q(x) = r(x), que DERIVE for Windows puede resolver en determinados casos. El comando general que utiliza DERIVE for Windows es el siguienteDSOLVE2(p,q,r,x,c1,c2)DERIVE for Windows trata de encontrar la solucio n explcita general de la ecuacio n anterior en funcio n de las constantes c1 y c2. Debemos hacer notar que los dos u ltimos argumentos pueden omitirse o sustituirse por otros nombres. Cuando DERIVE for Windows no puede encontrar una solucio n, el comando DSOLVE2 devuelve la palabra inapplicable.En estos casos, podemos ejecutar el comandoLIN2 TEST(p,q,x)y si el resultado es una constante K , entonces podemos resolver la ecuacio n utilizando las siguientes funciones: Si K > 0, la solucio n vendra dada por LIN2 POS(p,q,r,x). Si K < 0, la solucio n vendra dada por LIN2 NEG(p,q,r,x). Si K = 0, la solucio n vendra dada por LIN2 0(p,q,r,x).En los tres casos, se obtiene la solucio n general explcita dependiendo de dos constantes arbitrarias c1 y c2.DSOLVE2 puede encontrar facilmente una solucio n cuando p y q son constantes. Cuando q es una constante simbo lica, el resultado puede adquirir una forma complicada. La solucio n puede contener integrales involucrando la funcio n r(x). En todo caso, para comprobar que el resultado es correcto, podemos sustituirlo en la ecuacio n y00 + p(x)y0 + q(x) r(x) = 0.En el caso que estamos analizando, p(x) = 3, q(x) = 2 y r(x) = ex sen x, por lo que la solucio n vendra dada por DSOLVE2(-3,2,#e^x SIN x,x).Resolver la ecuacio n diferencial y00 y + 4x2 y = 4x2 sen(x2 )En este caso, las funciones p, q y r estan dadas por p(x) = 1/x, q(x) = 4x2 y r(x) = 4x2 sen(x2 ), por lo que la solucio n vendra dada por DSOLVE2(-1/x,4x^2,4x^2 SIN(x^2),x). Sin embargo, el programa devuelve la palabra inapplicable, por lo que debemos resolverla de otro modo.En primer lugar debemos ejecutar el comando LIN2 TEST(p,q,x) y si el resultado es una funcio n dependiente de x, entonces utilizamos la funcio n LIN2A TEST(p,q,x). Si el resultado de este segundo test es una constante K , podemos resolver la ecuacio n utilizando las siguientes funciones: Si K > 0, la solucio n vendra dada por LIN2A POS(p,q,r,x). Si K < 0, la solucio n vendra dada por LIN2A NEG(p,q,r,x). Si K = 0, la solucio n vendra dada por LIN2A 0(p,q,r,x).En los tres casos, se obtiene la solucio n general explcita dependiendo de dos constantes arbitrarias c1 y c2. En nuestro caso la solucio n de la ecuacio n diferencial es la siguiente:1(2a + 1) sen(x2 ) (x2 + b) cos(x2 )2Resolver la ecuacio n diferencial y00 ey = 0 Para resolver las ecuaciones diferenciales de la forma y00 = q(y), donde q(y) puede ser cualquier funcio n de y,DERIVE for Windows dispone de la funcio nAUTONOMOUS CONSERVATIVE(q,x,y,a,b,c)donde los tres u ltimos argumentos son optativos. Si estan presentes, entonces DERIVE for Windows determina la solucio n que satisface las siguientes condiciones iniciales: x = a, y(a) = b, y0 (a) = c. En nuestro caso, la solucio n vienen dada por AUTONOMOUS CONSERVATIVE(#e^y,x,y).Resolver la ecuacio n diferencial y0 y00 = 1 + y02Haciendo el cambio de variable v = y0 se transforma en una ecuacio n de primer orden de variables separadas (vv0 = 1 + v2 ) que puede resolverse utilizando la funcio n SEPARABLE. Entonces volvemos a obtener otra ecuacio n de primer orden que resolvemos utilizando el metodo apropiado.Resolver la ecuacio n diferencial yy00 + y02 = 0 Este ecuacio n es de tipo Liouville. En general, las ecuaciones de Liouville son de la formay00 + p(x)+ q(y)(y0 )2 = 0,donde p y q dependen so lo de x e y, respectivamente. DERIVE for Windows resuelve este tipo de ecuaciones utilizando la funcio nLIOUVILLE(p,q,x,y,a,b).Los dos u ltimos argumentos son opcionales y sirven para fijar las constantes en la solucio n general que se obtenga. Si se omiten, el programa trabaja con las constantes c1 y c2. En nuestro caso p(x) = 0 y q(y) = 1/y, por lo que la solucio n vienen dada por LIOUVILLE(0,1/y,x,y):1 2c2 x + 2 y

c1 = 0.4.5. Ejercicios de aplicacio nA continuacio n se enuncian unos ejercicios sobre resolucio n de ecuaciones diferenciales. Si el alumno encuentra alguna dificultad debe revisar detenidamente los ejemplos anteriores.a) Resolver la ecuacio n y00 2y0 3y = 2 sen x.b) Resolver la ecuacio n y00 2y0 = x + 2ex .exc) Resolver la ecuacio n y00 2y0 + y = 2x .d) Resolver la ecuacio n y00 sen y = 0. e) Resolver la ecuacio n y00 + xy0 = y02 . f) Resolver la ecuacio n y00 + yy0 = y.4.6. Metodos numericos de resolucio n de ecuaciones de primer ordenHay ocasiones en que no se puede obtener la solucio n exacta de una ecuacio n diferencial. En estos casos, lo conveniente puede ser obtener una solucio n numerica. Para este menester, DERIVE for Windows pone a nues- tra disposicio n diferentes metodos. En primer lugar debemos cargar la utilidad ODE APPR.MTH (mediante lasopciones File|Load|Math o File|Load|Util).El metodo de EulerEl metodo de Euler es uno de los metodos mas clasicos utilizados en la resolucio n numerica de ecuaciones dife- renciales ordinarias de primer orden. La sintaxis general esEULER(f,x,y,a,b,h,n)Esta funcio n proporciona un vector de n + 1 puntos (pares de nu meros) solucio n de la ecuacio n y0 = f (x, y), con condiciones iniciales (a, b), empezando en a y con un paso h. El vector solucio n debe interpretarse como lospuntos sobre la curva solucio n cuyas abcisas estan separadas una distancia h. Por ejemplo, para generar 5 puntos de una solucio n aproximada de la ecuacio n y0 = 26/(3 + (x + y)2 ) en el intervalo [1,2] con condicio n inicial (a, b) = (1, 2), deberamos escribirEULER(26/(3+(x+y)^2),x,y,1,-2,0.25,4)El resultado es:

1 2 1.25 0.375 1.5 1.35114 1.75 1.93520 2 2.32722 El metodo de Runge-KuttaEl metodo de Euler discutido anteriormente es el metodo mas sencillo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero usualmente comete un error considerable. Sin embargo, el metodo clasico de Runge-Kutta es mas preciso y por tanto es preferible al metodo de Euler. La sintaxis general esRK(f,v,v0,h,n)RK utiliza el metodo de Runge-Kutta de orden 4 para resolver una ecuacio n diferencial de primer orden; tambien puede utilizarse para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. En la expresio n anterior, el programa calcula un vector de n + 1 puntos (pares de nu meros) solucio n de la ecuacio n y0 = f (v), donde v = [x, y], con condiciones iniciales v0 = [a, b], empezando en a y con un paso h.4.7. BibliografaC. Paulogorro n y C. Perez. Ca lculo matema tico con DERIVE para PC, Ed. RA-MA, 1a Ed., 1994.5. BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULOR.E. LARSON, R.P. HOSTETLER y B.H. EDWARDS Calculo y Geometra Analtica, 5a ed., vol. 1. McGraw- Hill, Madrid, 1995. Captulo 18.J. STEWART Ca lculo, 2a ed. Grupo Editorial Iberoamerica, Mexico, 1994. Captulo 15.6. PREGUNTAS DE EVALUACIO NE.4.1. Calcular la solucio n general de la siguiente ecuacio n diferencial,y00 6y0 + 9y = 0.Calcular la solucio n particular que alcanza un maximo relativo en x = 0 con y(0) = 1.E.4.2. Calcular la solucio n general de la siguiente ecuacio n diferencial,y00 6y0 + 9y = 4e5x .Calcular la solucio n particular determinada por las siguientes condiciones iniciales, y(0) = 2, y0 (0) = 9.E.4.3. Hallar la solucio n general de la siguiente ecuacio n diferencialy00 5y0 + 6y = 0.Hallar la solucio n particular de esta ecuacio n determinada por las condiciones iniciales y(0) = 1, y0 (0) = 0.E.4.4. Calcular la solucio n general de la siguiente ecuacio n diferencialy00 4y0 + 4y = x.Calcular la solucio n particular determinada por las condiciones iniciales y(0) = 1, y0 (0) = 0.E.4.5. Un trabajador de 30 an os tiene un salario de 2.000.000 ptas anuales con un crecimiento estimado de100.000 ptas anuales. Si realiza una inversio n inicial de 100.000 ptas en un plan de pensiones que rin- de un 8% anual, y realiza anualmente inversiones adicionales iguales al 5% de su salario, un modelo para el capital invertido x al cabo de t an os esdx = 00 08x + 00 05(2.000.000 + 100.000t)dtx(0) = 100.000Cuantos an os deben pasar para que acumule una inversio n de 10.000.000 ptas? Cuanto capital tendra en el plan cuando se jubile? (Se considera que 65 an os es la edad de jubilacio n.)E.4.6. Encontrar la solucio n general de la siguiente ecuacio n diferencial:y00 2y0 3y = ex +2 senxDeterminar las constantes para que y0 (0) = 1 e y(0) = 1.E.4.7. Una boya cilndrica, de diametro 20cm y peso 100Kg, flota parcialmente sumergida en posicio n recta.Cuando es ligeramente separada de su posicio n de equilibrio, la boya sube y baja segu n la siguiente ecuacio n diferencial:100 d2 x

dx= 16x cg dt2 dtdonde c dx es la resistencia por friccio n que ofrece el agua y g es la aceleracio n gravitatoria.dt

(1) Obtener x(t) si la constante c es igual a 15.

(2) Calcular c si el periodo de oscilacio n observado es de 5 2.Observacio n : Como valor de la constante g puede tomarse 10m/s2 .E.4.8. En un circuito electrico simple hay una corriente electrica I (en amperios), una resistencia R (en ohmios), una inductancia L (en henrios) y una fuerza electromotriz E (en voltios), como se indica en la siguiente figura.E SRLDe acuerdo con la segunda ley de Kirchoff, si se cierra el interruptor S en t = 0, la fuerza electromotriz aplicada (potencial) es igual a la suma de las cadas de potencial en el resto del circuito. En otras palabras, esto significa que la corriente I satisface la siguiente ecuacio n diferencial:L dI + RI = E. dtDeterminar la corriente I como funcio n del tiempo t (en segundos), siendo R y L constantes no nulas yE (t) = sen 2t.E.4.9. Calcular la solucio n general de la ecuacio n diferencial siguiente:y00 2y0 3y = 2 sen x.Determinar el valor de las constantes si se verifican las siguientes condiciones:y(0) = 1/5, y() = 0.E.4.10. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:(1) xdx ydx = xy2 dx (usar como factor integrante 1 ).(2) d y dy + 5y = 3.dx2 dxE.4.11. Una celula esta suspendida dentro de una solucio n que contiene un soluto a una concentracio n constante Cs . Se supone que la celula tiene un volumen constante V y que el area de su membrana permeable es igual a la constante A. Por la ley de Fick (fisio logo aleman, 18291901), la razo n de cambio de su masa m es directamente proporcional al area A y a la diferencia Cs C (t), donde C (t) denota la concentracio n del soluto en el interior de la celula en el instante t.C (t)CsDeterminar la funcio n C (t) suponiendo que m = V C (t) y C (0) = C0 .ANOTACIONES. ................. ................ ................. ................. ................ ................ ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. .......... ...... ................. ................ ................. ................. ................. ..........

0

x

4

y2

2