NÚMEROS COMPLEJOS

Elaborado por: Zaira Mayari Castañeda Pichardo

Conjunto de los números

Complejos

Reales

Racionales Enteros Naturales

Cero

Enteros negativos

Fraccionarios Exactos y

periódicos

Irracionales

Imaginarios

Los antiguos matemáticos llamaban números imaginarios a los números como y , y no permitieron que esta clase de números fuera utilizada como solución.

Gradualmente se han descubierto aplicaciones que exigen su uso, lo que hizo necesario extender el conjunto de los números reales para formar el conjunto de los números complejos.

Carl F. GaussEstampilla postal que

honra la gran cantidad de

contribuciones hechas por Gauss a nuestra comprensión de los números complejos

Los números Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real.

Considera la ecuación

No tiene solución en los números reales, ya que cualquier solución debe ser un numero cuya raíz cuadrada es -1

Dentro del conjunto de los números reales, todas las raíces cuadradas son números no negativos, debido a que el producto, ya sea de dos números positivos o dos números negativos, es positivo.

Para dar una solución a la ecuación se define un nuevo número, el numero

NÚMERO 𝒊𝟐=−𝟏Esto es, es un número cuya raíz cuadrada es

Esta definición de permite establecer la raíz cuadara de cualquier número negativo como sigue:

Para cualquier número real positivo ,

Ejemplo de número imaginario √−𝟏𝟎𝟎=𝒊√𝟏𝟎𝟎=𝟏𝟎 𝒊

Números complejos.

Si y son números reales, entonces cualquier número de la forma se llama número complejo

En el número complejo , el número representa la parte real y representa la parte imaginaria.

Cuando , es un número real, por lo tanto los números reales son un subconjunto de los números complejos, como vimos en el diagrama de la primera diapositiva

Potencias de Un patrón interesante aparece cuando consideramos varias potencias de .Por definción, y las demás potencias como sigue:

Las potencias más grandes de pueden simplificarse con solo basarse en el hecho de que . Por ejemplo :

𝒊𝟕𝟓= (𝒊𝟒 )𝟏𝟖 ∙ 𝒊𝟑 ¿𝟏𝟏𝟖 ∙ 𝒊𝟑 =1 ¿− 𝐢

Operaciones con números complejos

8

Suma y producto de números complejos

Suma

)()( 212121 yyixxzz

)()( 1221212121 yxyxiyyxxzz Producto

Sean: 222

111

iyxziyxz

Parte real Parte imaginaria

9

iiiiiiii

223)1012()158( ]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(

1)00()10()0)(0(2 iiii(1)

(2)

Ejemplos:

De modo que podemos sustituir siempre:

12 i

Esto nos permite una manera práctica de operar. Por ejemplo:

11112

ii

10

La resta y la división se definen como operacionesinversas de la suma y la multiplicación respectivamenteResta

División

(operación inversa a la suma)

(operación inversa al producto)

zzz 21

zzz

2

1

22

22

211222

22

2121

yxyxyxi

yxyyxxz

¿Qué es z ? Es un número complejo tal que: z z2 = z1, siempre que z20.

¿Qué es z ? z + z2 = z1

)()( 2121 yyixxz

Ejercicio:demostrar que es cierto.

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Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7Im(z1) = 3, Im(z2) = 2

z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i

z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i

Ejemplo:Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

Soluciones de ecuaciones cuadráticas en el conjunto de los complejosEncuentre las soluciones de la ecuación:

Aplicando la fórmula general: 𝒙=−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂

Donde 𝟐 𝒙𝟐−𝟑 𝒙+𝟗=𝟎𝒂 𝒃 𝒄

𝒂=𝟐 𝒃=−𝟑 𝒄=𝟗

𝟐 𝒙𝟐−𝟑 𝒙+𝟗=𝟎

Sustituyendo en la fórmula

𝑥=− (−3 )± √(− 3 )2 − ( 4 ) (2 ) (9 )

(2 ) (2 )

𝑥=3 ±√−𝟔𝟑4

Tenemos la raíz cuadrada de un número negativo, lo que significa que emplearemos números complejos

Resolviendo la raíz negativa:√−𝟔𝟑=√−𝟏·√𝟔𝟑=𝒊√𝟔𝟑Volviendo a la ecuación y sustituyendo el valor encontrado queda:

𝑥=3± 𝒊√𝟔𝟑4

Por lo tanto:

𝑥1=3+𝒊√𝟔𝟑

4

𝑥2=3 −𝒊√𝟔𝟑

4

Estas son las soluciones de la ecuación cuadrática

¡¡A practicar!!