Mate 3 EF (2002-II) Solución.pdf

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UNIVERSIDAD DEL PACIFICO

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS

PRIMER SEMESTRE 2002

PROFESOR DIEGO WINKELRIED Q.

EXAMEN FINALLa solucin est escrita con Arial Narrow

1. Pregunta Visual (4 ptos)

Considere los siguientes sistemas diferenciales lineales de primer orden:

Sistema a Sistema b Sistema c Sistema d

xy

yxx

=

+=

yxy

yxx

32

23

=

=

yxy

yxx

=

+=

2

2

yxy

xx

=

= 2

A continuacin se presentan 4 paneles. Cada uno contiene un conjunto de flechas queindica el movimiento de las variables x e y, en el plano xy, en torno al estado

estacionario del sistema (0, 0).

PanelA Panel B Panel C Panel D

A partir de sus conocimientos sobre caracterizacin del estado estacionario seale qupanel corresponde a cada sistema. Considere que el orden de los paneles no tiene porqu coincidir con el orden de los sistemas (por ejemplo, el Panel Cpuede describir ladinmica del Sistema b). Es importante que justifique adecuadamente su respuesta concriterios concluyentes. Ud. recibir 1 punto por cada pareja (panel sistema) bienidentificada y sustentada.

Los sistemas pueden ser caracterizados de la forma X = AX. A continuacin se muestran las races decada uno (los valores propios de la matriz A, denotados como r1 y r2), a partir de ellas se cualifica alestado estacionario y se seala cul de los paneles es el que describe la dinmica del sistema.

Sistema a Sistema b Sistema c Sistema d

ir 23

21

2,1 =

Foco inestable, Panel D

24.22,1 =r

Ensilladura, Panel B

ir 212,1 =

Foco estable, PanelA

2,1 21 == rr

Nodo estable, Panel C4 ptos

Alternativamente, se llega a la solucin utilizando la traza, el determinante y el discriminante deA:Sistema a Sistema b Sistema c Sistema d

03)(

01)(

01)(

=

>=

Adi

Ade

tr

Foco inestable, Panel D

020)(

05)(

00)(

>=

=

Adi

Ade

tr

Ensilladura, Panel B

016)(

05)(

02)(

=

=

>=


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2. Inflacin y Expectativas (6 ptos)

En macroeconoma, las expectativas de los agentes privados cumplen un rol central. Si

etdenota a la inflacin esperada y ta la inflacin observada, se sabe que en el largo

plazo se cumple que ett= 0. Esto se debe a que, para entonces, los agentes contarncon toda la informacin y conocimiento necesarios para hacer una previsin perfecta.

Sin embargo, en el corto plazo los agentes se equivocarn al predecir lo que implica

que et t 0. La existencia de este error de prediccin conlleva a que la dinmicaconjunta de la inflacin esperada y la inflacin observada responda al sistema

)(

)(

1

1

tettt

tet

et

et

=

=

+

+

donde ||< 1.

a) (1 pto) Determine qu condicin debe cumplir si la siguiente afirmacin es

verdadera: Los agentes revisan sus expectativas de forma que si para hoyesperaron una inflacin mayor a la observada, la inflacin que esperan para

maana es menor.

Observe la primera ecuacin del sistema. Se parte de que los agentes esperaron una inflacin mayor

a la ocurrida por lo que el error de prediccin es positivo (ett> 0). Si fuera positivo, el error deprediccin positivo hara que maana se espere una inflacin mayor a la esperada hoy ya que se

aprecia que, en tal caso, et+1et> 0. Por el contrario, si fuera negativo se tieneet+1et< 0

lo que coincide con la afirmacin. As, la condicin solicitada es < 0.1 pto

b) (1 pto) En el contexto del sistema, Qu significa que = 0? D una

interpretacin intuitiva y econmica a tal situacin.

Significa que el error de prediccin no altera a la inflacin. Intuitivamente, podra pensarse en que losagentes son muy pequeos como para influir sobre el comportamiento agregado (autocumplir susexpectativas) o que el Banco Central no considera, al tratar de controlar la inflacin, dichospronsticos.

1 pto

c) (1.5 ptos) Resuelva el sistema considerando sus resultados en a) y = 0 e

indique cul es la inflacin de largo plazo.

El sistema puede ser expresado matricialmente como

+=

+

+

t

et

t

et

1

1

1

1

Tomando en cuenta que = 0y 1 < < 0se tienen dos races reales ( 1y 1 + ). Luego lasolucin del sistema es

tet CC )1(21 ++= y

tt CC )1(43 ++=

1 pto

Por su parte, ya que 1 + < 1, la inflacin de largo plazo es igual al coeficiente C3.0.5 pto


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d) (1.5 ptos) Si la inflacin de largo plazo es igual a LP, se cumple que en el largo

plazo no se cometen errores de prediccin, la inflacin hoy da (t= 0) es 0y los

agentes esperan hoy el doble de 0, determine las trayectorias tanto de lainflacin como de la inflacin esperada.

De las condiciones se tiene:

La inflacin de largo plazo es igual a LP. Luego, C3= LP.En el largo plazo no se cometen errores de prediccin. Luego, C1=LP.

0.5 pto

La inflacin hoy da es0.Luego, C4=0 LP.Finalmente, los agentes esperan hoy el doble de 0implica que C2=20 LP.

0.5 pto

Con todo ello, las trayectorias de la inflacin esperada y la observada es

tLPLPt

tLPLP

et

)1)((

)1)(2(

0

0

++=

++=

0.5 pto

e)

(1.0 pto) En un interesante estudio1se concluye que en pases con bajas tasas deinflacin los errores de prediccin se han reducido consistentemente Elmodelo que Ud. ha desarrollado previamente permite concluir lo mismo?Explique su respuesta y razonamiento (Ayuda: halle la trayectoria del error deprediccin considerando d) )

La trayectoria del error de prediccin es

tt

et )1(0 +=

La constante 0, la inflacin inicial, indica si la inflacin es baja o no. Luego, en pases con bajas

tasas de inflacin 0ser un nmero pequeo. Luego, el error de prediccin ser menor que el de

pases con mayores valores de 0.

1 pto

1Landerretche, Oscar, Vittorio Corbo y Klaus Schmidt-Hebbel (2001),Does Inflation TargetingMake a Difference?, Banco Central de Chile, Documento de Trabajo No. 106.


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3. La Mejor Defensa es el Ataque? (7 ptos)

Richardson2 (1960) estudi los motivos que llevaban a los gobiernos a tener excesivosgastos de defensa. Propuso el siguiente modelo que denomin carrera armamentistay que se traduca, bajo ciertas condiciones, en un sistema divergente.

Sean x, yy zlos niveles de armamento de tres pases vecinos. La dinmica de estas tresvariables est descrita por el sistema

333231

223221

113121

gzaykxkz

gzkyaxky

gzkykxax

tttt

tttt

tttt

++=

++=

+++=

Los parmetros gi expresan las motivaciones estratgicas para cambiar los niveles dearmamento. Los parmetros kijson coeficientes de defensay reflejan la propensin haciael rearme del pas ien vista que el pasjha alcanzado cierto stockde armas. Finalmente,los parmetros ai son coeficientes de fatiga y refleja el costo econmico por destinarrecursos en defensa. Todos los parmetros son positivos y menores a la unidad.

a)

(2 ptos)Considerando que los pases tienen los mismos coeficientes de defensa(k12= k13= k21= k23= k31= k32= k) y el mismo coeficiente de fatiga (a1= a2= a3= a)indique en qu casos el sistema es estable3.

Con las condiciones sobre los parmetros el sistema se puede rescribir como

+

=

+

+

+

3

2

1

1

1

1

1

1

1

g

g

g

z

y

x

akk

kak

kka

z

y

x

t

t

t

t

t

t

El sistema homogneo tiene como polinomio caracterstico a

0)21()1()det(2

=+++= karkarrIA 1 pto

Luego, las races del sistema son karr == 121 y kar 213 += .

El sistema ser estable si 111 ka lo que se resume simplemente en que ka 2> .

1 pto

b)

(1.5 ptos)Supngase que el pas zes pacifista en el sentido que sus coeficientesde defensa son iguales a cero (k31 = k32 = 0). En tal caso, cules son lascondiciones de estabilidad del sistema? Mantenga los supuestos de a) para elresto de coeficientes.


+

=

+

+

+

3

2

1

1

1

1

100

1

1

g

g

g

z

y

x

a

kak

kka

z

y

x

t

t

t

t

t

t

2Richardson, L. F. (1960),Arms and Insecurity, Boxwod Press, Chicago.3Ayuda; una de las races es 1 a k.


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0)1)(1)(1()det( =++++= karkararrIA

0.5 pto

Luego, las races del sistema son karar == 1,1 21 y kar += 13 .

El sistema ser estable si 111 ka lo que se resume simplemente en que ka

>. 1 pto

c) (1.5 ptos) Considere ahora que ytambin es pacifista (k31= k32= k21= k23= 0). En

tal caso, Cules son las condiciones de estabilidad del sistema? Mantenga lossupuestos de a) para el resto de coeficientes.


+

=

+

+

+

3

2

1

1

1

1

100

010

1

g

g

g

z

y

x

a

a

kka

z

y

x

t

t

t

t

t

t


0)1()det( 3 =+= arrIA

Las races del sistema son arrr === 1321 .El sistema siempre ser estable.

1.5 pto

d)

(2.0 ptos) Compare los resultados de a), b) y c) y diga qu ocurre con la carreraarmamentista en caso de que ms pases se vuelvan pacifistas.

Del primer caso y segundo caso las condiciones de estabilidad se interpretan como que la fatiga enlas compras de armas debe ser mayor a la reaccin que cada pas tiene cuando se entera que los

dems se arman. En tal caso, es muy costoso comprar armas.1 pto

En el primer caso (a), son dos pases extranjeros y, por ende, 2kes la reaccin total de defensa. Enel segundo caso (b), si bien son dos pases extranjeros, uno es pacifista por lo que kes la reaccintotal de defensa. Luego, se concluye que cuanto ms pases pacifistas existan, menor la probabilidadde que el sistema sea inestable (o mayor de que sea estable, note que es ms factible que a> kquea> 2k). En el extremo, caso (c), cuando slo hay un pas armamentista, pronto caer en la cuentaque no tiene los incentivos para armarse (pero s costos por hacerlo) y asegurar, as, la estabilidaddel sistema.

1 pto


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4. Finalmente, Los Comentes... (3 ptos)

Comente la veracidad de las siguientes afirmaciones (1 punto cada una)

a)

El sistema ),(),,( yxgyyxx == ser estable si su matriz Jacobiana alrededor

del estado estacionario es definida negativa.

La versin linealizada del sistema en torno al estado estacionario es Z =J Z. Si la matriz Jacobianaes definida negativa entonces sus valores propios (las races del sistema) son negativas. En tal caso,el sistema es estable. La afirmacin es verdadera.

1 pto

b)

El sistema 1),,( == yyxfx nunca ser estable.

La afirmacin es verdadera ya que ycrecer indefinidamente. No existe un par (x, y)que consiga elestado estacionario del sistema.

1 pto

c)

El sistema )(),( ygyxfx == ser estable si fy g son funciones estrictamente

crecientes.

En este caso la matriz jacobiana es diagonal y, por tanto, sus races son los elementos de la diagonalprincipal. Luego, el sistema ser estable si fx < 0 y gy < 0. Es decir, si ambas funciones sondecrecientes cerca al estado estacionario. La afirmacin es falsa.

1 pto

BUENA SUERTE

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