LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013

Repaso de límites

4

4

3

NE

∞

6

Encuentre la pendiente de la recta tangente en el

punto (9,3) a la curva:

xxf )(

Aplicaciones de la derivada

La pendiente de la recta

tangente es la derivada

en x=9.

Si f(x)= 𝑥

𝑓′ 𝑥 = 1

2𝑥−1

2

𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥

𝑓′ 9 =1

2 9

𝑓′ 9 =1

2(3)

𝑓′ 9 =1

6

La pendiente de la recta

tangente de f(x)= 𝑥 en

x = 9 es 1

6 .

Aplicaciones de la derivada

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva 𝑓 𝑥 =

1

𝑥 en el punto (1,1).

Para halla la ecuación de la recta

tangente, primero debemos halla

la pendiente de la recta tangente

(o sea la derivada).

Si f(x)= 1

𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑥−1

𝑓′ 𝑥 = −𝑥−2

𝑓′ 𝑥 =−1

𝑥2

𝑓′ 1 =−1

12

𝑓′ 1 = −1

La pendiente de la recta tangente de

f(x)=1

𝑥 en x = 2 es −1 .

y = mx + b

y = −x + b

1 = − (1) + b

b = 2

La ecuación de la recta

tangente es y = -x + 2

Suma: La derivada de una suma es la suma de las

derivadas.

Diferencia:: La derivada de una diferencia es la

diferencia de las derivadas.

d

dxf (x) g(x)

d

dxf (x)

d

dxg(x)

d

dxf (x) g(x)

d

dxf (x)

d

dxg(x)

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

Ejemplo: Determinar la derivada de cada función.

a) b)

𝑓′ 𝑥 =

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 7 𝑔 𝑥 = 24𝑥 − 𝑥 +5

𝑥

𝑔′ 𝑥 = 24 − 1

2 𝑥 −

5𝑥2

𝑔′ 𝑥

Determinar : 𝑓′ 𝑥 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 = −9𝑥5 + 4𝑥3 −1

2𝑥2 − 3𝑥 + 5

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

𝑓′ 𝑥 = −9 5 𝑥5−1 + 4 3 𝑥3−1 − 12 (2) 𝑥2−1 + 0

𝑓′ 𝑥 = −45𝑥4 + 12𝑥2 − 1𝑥1

𝑓′ 𝑥 = −45𝑥4 + 12𝑥2 − 𝑥

Ejemplo: Hallar el (los) punto(s) en la gráfica de

en donde la tangente es horizontal.

Recordar:

• la derivada es la pendiente de la recta tangente

• la pendiente de una recta horizontal es cero.

Por lo tanto, queremos encontrar todos los puntos en la

gráfica de f donde la derivada de f es igual a 0.

f (x) x3 6x2

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

Ejemplo (continuación):

Debemos encontrar la derivada de .

Igualamos a 0:

f (x) x3 6x2

f x

2( ) 3 12f x x x

3 1 2 1( ) 3 6 2f x x x

0 4x x

3 0 4 0x x

3 ( 4) 0x x

23 12 0x x

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

Ejemplo 5 (continuación):

Para hallar los valores de y que corresponden a estos

valores de x sustituimos en f(x).

Por lo tanto la recta tangente a

es horizontal en los puntos (0, 0) y (4, 32).

f (x) x3 6x2 .

f (x) x3 6x2

(0) 0f

3 2(0) 0 6 0f

(4) 32f

3 2(4) 4 6 4f

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

Ejemplo (conclusión):

Técnicas de diferenciación : La regla para la

suma y la resta

En la administración:

• la derivada tiene aplicaciones en la construcción de

lo que se llaman “tasas marginales”

• la palabra marginal se utiliza para indicar una

razón de cambio o sea una derivada.

• el ejemplo más común es el cómputo del costo

marginal , pero también se busca el ingreso

marginal , la utilidad marginal , la productividad

marginal, y el rendimiento marginal.

Aplicaciones de la derivada en la administración

• El costo marginal es el costo de producir una

unidad adicional cuando se aumenta el nivel de

producción en un pequeño incremento

infinitesimal.

• Es la derivada de la función de costo con

respecto a la cantidad producida.

• Dado que C(x) es la función de costo y que x es

la cantidad producido, el costo marginal es

• 𝐂′(𝐱) =𝒅𝑪

𝒅𝒙

Aplicaciones de la derivada en la administración

Ejemplo: Calcule el costo marginal de las siguientes

funciones de costo. Calcule, además, el costo total de

producir 100 artículos y el costo marginal asociado a

la producción de 100 artículos.

Aplicaciones de la derivada en la administración

a) 𝐶 𝑥 = ln(200) + 3𝑥2

𝐶′ 𝑥 =

𝐶′ 𝑥 = 0 + 3(2)𝑥2−1

6𝑥

𝐶 100 = ln(200) + 3(100)2

= $30,005.30

𝐶′ 100 = 6(100) = $600

Ejemplo: Calcule el costo marginal de las siguientes

funciones de costo. Calcule, además, el costo total de

producir 100 artículos y el costo marginal asociado a

la producción de 100 artículos.

Aplicaciones de la derivada en la administración

b) 𝐶 𝑥 = 0.001𝑥3 − 0.0009𝑥2 − 0.02𝑥 + 1200

𝐶′ 𝑥 =

𝐶′ 𝑥 =

𝐶′ 𝑥 =

(0.001)(3)𝑥3−1 − (0.0009)(2)𝑥2−1 − 0.02𝑥1−1 + 0

0.003𝑥2 − 0.00018𝑥1 − 0.02𝑥0 + 0

0.003𝑥2 − 0.00018𝑥 − 0.02

𝐶 𝑥 = 0.001(100)3−0.0009 100 2 − 0.02(100) + 1200

𝐶′ 100 =

𝐶 𝑥 = $2,189.00

0.003(100)2−0.00018(100) − 0.02

𝐶′ 100 = $29.96

• La función de ingreso se puede escribir

𝑅 𝑥 = 𝑥𝑝

donde p es el precio por artículo (expresado p como

función de x) y x es el número de artículos vendidos.

• El ingreso marginal representa las entradas adicionales

de una empresa por artículo adicional vendido cuando

ocurre un incremento muy pequeño en el número de

artículos vendidos.

• Dado R(x) que denota el ingreso en dólares por la venta

de x artículos, definimos el ingreso marginal como la

derivada

𝑹′(𝐱) =𝒅𝑹

𝒅𝒙

Aplicaciones de la derivada en la administración

Ejemplo: Si la función de ingreso está dada por

𝑅 𝑥 = 0.3𝑥 − 0.001𝑥2 − 0.003𝑥3 2 , donde x es el

número de artículos vendidos, calcule el ingreso

marginal.

Aplicaciones de la derivada en la administración

𝑅 𝑥 = 0.3𝑥3 − 0.001𝑥2 − 0.003𝑥3 2

𝑅′ 𝑥 =

𝑅′ 𝑥 =

𝑅′ 𝑥 =

(0.3)(3)𝑥3−1 − (0.001)(2)𝑥2−1 − 0.003(3 2 )𝑥1 2

0.9𝑥2 − 0.002𝑥1 − 0.0045𝑥1 2

0.9𝑥2 − 0.002𝑥 − 0.0045 𝑥

Ejemplo: Si la ecuación de demanda está dada por

10p + 𝑥 + 0.01𝑥2 = 700 (donde x es el número de

artículos vendidos), calcule el ingreso marginal cuando

x=100.

Solución: Primeramente, debemos escribir la función de

demanda p en términos de x.

Aplicaciones de la derivada en la administración

𝑝 = (700 − 𝑥 − 0.01𝑥2) ÷ 10

𝑝 = 70 − 0.1𝑥 − 0.001𝑥2

𝑅(𝑥) =

𝑅′(𝑥) =

𝑅′ 𝑥 =

𝑅′ 𝑥 = 70 − 0.2𝑥 − 0.003𝑥2

70𝑥1−1 − (0.1)(2)𝑥2−1 − (0.001)(3)𝑥3−1

70𝑥0 − 0.2𝑥 − 0.003𝑥2

70 − 0.1𝑥 − 0.001𝑥2 𝑥 = 70𝑥 − 0.1𝑥2 − 0.001𝑥3

𝑅′ 200 = 70 − 0.2(100) − 0.003(100)2

𝑅′ 10 = 70 − 20 − 30 = $20.00