PRESENTACIONEl objetivo del tema es contribuir al conocimiento y entendimiento de los Estudiantes de la Universidad Peruana los Andes, con la intencin de aportar al Desarrollo de Capacidades de cada uno de ellos; y orientarlos a abordar la problemtica que existe en muchas Instituciones. La informacin que aqu se presenta debe tambin ser utilizada por las instituciones y la ciudadana en general para monitorear los logros que las distintas intervenciones tengan en cuanto al control de la situacin en que se encuentre los Estudiantes.No es lo mismo repetir mecnicamente una regla a reconocer dnde, cundo y por qu se debe emplear.El universo de interrogantes es muy amplio.No creo que las respuestas a estas interrogantes den solucin al problema del aprendizaje de la Matemtica. Pero s hace que, desde nuestra perspectiva, debamos replantearnos Cmo se ensea y cmo se aprende?

DEDICATORIA: Este trabajo es dedicado a mis padres amigos, ya que ellos me dan fuerzas para seguir con mi meta trazada.

PROLOGO

El presente contenido se a realizado con la finalidad de cubrir espacios vacos observando en el tema, tratando de satisfacer en nuestras vidas la exigencia mas amplia, tanto para que el que se inicia, como para el que tiene cierta informacin y experiencia de manera el contenido de la monografa sirva adems al lector para encontrar la referencia adecuada y necesaria, asimismo enfocar y resolver cualquiera de los problemas propuestos con xito.

INTRODUCCIN

Para los siguientes temas mi redaccin comienza con el anlisis de la lnea recta, dando a conocer su concepto en el mbito de la ingeniera civil, presentando sus teoremas y grficos a reconocer. De la misma manera doy a conocer la circunferencia, la parbola, la elipse, la hiprbola; de tal manera, que, la circunferencia es una curva plana cerrada formada por todo los puntos del plano que equidistan de un punto. La parbola es el lugar geomtrico de un punto P(x,y) del plano R. Que se mueve de tal manera que equidistan de una recta fija L (llamada directriz) situada en el plano de un punto F (llamado foco) del plano R y que no pertenece recta L.La elipse se define de focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a(a>0).La hiprbola se define de focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a(a>0).

LA LINEA RECTA

El propsito en este captulo, es presentar las diferentes formas de la lnea recta. Antes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una razn dada, as como tambin los conceptos de pendiente e inclinacin de una recta en el plano cartesiano.

Se asume conocidos por parte del lector, los conceptos de plano cartesiano y la localizacin de puntos en el mismo.

TEOREMA 1 (Distancia Entre Dos Puntos Del Plano)

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por: (1)Demostracin En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como tambin el segmento de recta

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, stas se interceptan en el punto R, determinado el tringulo rectngulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relacin pitagrica:

Pero: ; y Luego,

Observaciones: i. En la frmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativo ii. Ntese adems que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia. iii. Si el segmento rectilneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x (fig.4.2.) entonces puesto que y1 = y2

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y ,entonces puesto que x2 = x1

Coordenadas del Punto que Divide a un Segmento en una Razn Dada.

Consideremos el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea M (x, y) un punto sobre el segmento y llamemos (1) Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en trminos de y de las coordenadas de los puntos P1 y P2. Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los tringulos rectngulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir : (2) Ahora, de (1) (Obsrvese que cuando M se mueve de P1 a P2, vara de manera continua tomando valores entre 0 y 1) En consecuencia, que al sustituir en resulta: De donde, y Al simplificar las ecuaciones y se obtienen finalmente: Las ecuaciones y resuelven el problema. Observaciones:

i. Ntese que para cada valor de las ecuaciones y nos dan un punto sobre el segmento P1P2. ii. En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notacin de conjunto en la siguiente forma:

iii. Ntese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de , entonces y en consecuencia, e Es decir, e

que representan las coordenadas del punto medio del segmento .

PENDIENTE E INCLINACIN DE UNA RECTA

Definiciones i. El ngulo que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIN de la recta L

ii. Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ngulo de inclinacin. Es decir,

Siendo El nmero m se conoce tambin con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta L Observaciones: i. Si la recta L es vertical, su ngulo de inclinacin es 90 y por lo tanto su pendiente m = tan =90 no est definida.

(a) (b)

ii. Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L , entonces de acuerdo a la definicin de pendiente se tiene:

Las expresiones y son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto de ellas. Ntese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas. iii. El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100. iv. La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, segn el ngulo de inclinacin de la recta, as: Si = 0o entonces m= 0 Si 0o < < 90o entonces m > 0 Si 90 < < 180o entonces m < 0

fig. 4.5.v. El valor de la pendiente de una recta no depende de la eleccin particular de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas. Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.FORMAS DE LA ECUACIN DE LA LINEA RECTA

Ecuacin De La Recta Que Pasa Por El Origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ngulo de inclinacin con el eje x

Tmese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P1, P2, P3. Como los tringulos OP1P1, OP2P2 y OP3P3 son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, y = mx La ecuacin es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

Ecuacin De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje yConsidere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b

Trcece por el origen la recta l paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P la proyeccin de P sobre el eje x; PP corta a la recta l en un punto P de coordenadas P(x, Y), Y y. Como P (x, Y) est sobre l, entonces , de donde Y = mx Ahora, el cuadriltero OBPP es un paralelogramo. Luego, PP = OB = b. Y se tiene que: Y = PP = PP + PP = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b

La ecuacin y = mx + b es la ecuacin de la recta en trminos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.Ecuacin De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente ConocidaConsidere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m tambin es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuacin de l, viene dada por: y = mx + b (1) Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene: y1 = mx1 + b (2)

Al restar de la ecuacin , la ecuacin se elimina el parmetro b que se desconoce y se obtiene: y y1 = m(x x1) (3) La ecuacin es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuacin de la recta. Ntese que la ecuacin tambin puede escribirse en la forma: y = mx + (y1 mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 mx1Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llmese m1 su pendiente

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que y y1 = m1 (x x1) (1) representa la ecuacin de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuacin.

Esto es y2 y1 =; de donde Sustituyendo en se obtiene La ecuacin se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuacin de la recta. Observaciones i. Ntese que la ecuacin nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuacin tambin puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la ecuacin de la resta tambin puede escribirse en forma de determinante, as: = 0

Ecuacin segmentaria de la linea recta Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la seccin la ecuacin de l viene dada por:

Es decir, de donde,

Dividiendo esta ltima ecuacin por b, se obtiene:

La ecuacin se conoce como la ecuacin SEGMENTARIA, CANNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los nmeros a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x) x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

Ecuacin general de la lnea recta

la ecuacin Ax + By +C = 0 donde A, B, C son nmeros reales y A, B no son simultneamente nulos, se conoce como la ECUACIN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuacin explcita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepcin, quedan incluidas en la ecuacin Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuacin general de la lnea recta, como lo afirma el siguiente teorema: TEOREMA La ecuacin general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultneamente nulos, representan una lnea recta.

Demostracin i. Se puede Considerar varios casos: A = 0, B diferente de 0.En este caso, la ecuacin se transforma en By + C = 0,0de donde

La ecuacin representa una lnea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es

ii. En este caso, la ecuacin se transforma en Ax + C = 0, de donde

La ecuacin representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es

iii. En este caso, la ecuacin puede escribirse en la siguiente forma:

La ecuacin representa una linea recta, cuya pendiente es y cuyo intercepto con el eje y viene dado por

observaciones

i. Es posible escribir la ecuacin general de la lnea recta en varias formas, de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuacin ,en las siguientes formas equivalentes: (1A) (1B) (1C) En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos constantes independientes, por ejemplo en (1A) Esto indica que para determinar la ecuacin de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.iii. Cuando la ecuacin de una recta esta expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente coeficiente angular con respecto al eje x, m viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y viene dado por . Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

LA CIRCUNFENRENCIA

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia comn se llama radio. As que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos C(C;r) es el conjunto siguiente: C (C; r) = {P tal que = r}

..5.1. ECUACIN ANALTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Supngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .

Entonces:

Es decir,

Por lo tanto: (1)

fig. 5.1.As que C(C(h, k); r) = {P(x, y) R2/ (x h)2 + (y k)2 = r2} y la ecuacin (1) representa la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r. Si C est en el origen, h = k = 0 y la ecuacin de la C(o; r) es x2 + y2 = r2. La C(0, 5) tiene por ecuacin: x2 + y2 = 25. (1) El punto A(3, 4) C(0, 5) ya que: 32 + 42 = 25 De (1) se deduce que: Lo que muestra que: para todo x [-5, 5], el punto est en la semicircunferencia superior y que para todo x [-5, 5], el punto Est en la semicircunferencia inferior.

....5.2. CONDICIN PARA QUE LA ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA CIRCUNFERENCIA.

La expresin Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (2) Donde A, B, C, ... son nmeros reales conocidos, se llamar la ecuacin general de segundo grado en las variables x e y. Ntese que cuando A = B = C = 0, la ecuacin (2) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean ambos cero). La ecuacin 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (2). En este caso A = 3, 2B = -2, C = 5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7 Supngase ahora que en la ecuacin (2), B = 0, A = C 0. Luego de dividir por A, (2) toma la forma: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) donde Completando trinomios cuadrados perfectos en (3) se tiene: (x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 f (x + d)2 + (y + e)2 = d2 + e2 f (4) En el anlisis de (4) pueden presentarse tres casos: Si d2 + e2 f > 0, podemos hacer r2 = d2 + e2 f y escribir(x + d)2 + (y + e)2 = r2 Luego, si d2 + e2 f > 0, la ecuacin (4) representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio Cuando d2 + e2 f = 0, (4) toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuacin que solo es satisfecha por las coordenadas del punto C (-d, -e). Luego, si d2 + e2 f = 0, el nico punto del plano que satisface (2) es el punto C(-d, -e). Si d2 + e2 f < 0, no hay ningn punto del plano que satisfaga (2). Esto significa que {(x, y)R2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}=

....5.3. ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES

Considere de nuevo la ecuacin: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) Segn se ha establecido, si d2 + e2 f > 0, la ecuacin anterior representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio Si se regresa a (4) se observa que para poder tener determinada la circunferencia se necesita determinar los valores de tres parmetros: d, e y f. El ejemplo 1. de la seccin 5.5. muestra como encontrarlos dando tres condiciones que debe cumplir la curva que se pide.

....5.4. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA.

5.4.1. Recta tangente a una circunferencia y de pendiente conocida. Considere la circunferencia C(o; r): x2 + y2 = r2 (1) y la familia de rectas de pendiente m dada: y = mx + b, b R. (2). Si se quieren encontrar los puntos comunes de la circunferencia y una recta y = mx + b de la familia se resuelven simultneamente (1) y (2).Llevando (2) a (1) se obtiene: x2 + (mx + b)2 = r2 x2 + m2x2 + 2mbx + b2 = r2 Por tanto, (1 + m2) x2 + 2mbx + (b2 - r2) = 0 (3)Las races de (3) son las abscisas de los puntos donde la recta y = mx + b corta a la circunferencia x2 + y2 = r2. Para precisar mas, mrese el discriminante de (3). = = = 2 La condicin para que la recta y = mx + b de la familia corte a la circunferencia es que: r2 (1 + m2) b2 > 0, o que b2 < r2 (1 + m2) En este caso la ecuacin (3) tiene dos races reales que corresponden a las abscisas de los dos puntos donde y = mx + b (con b2 < r2 (1 + m2)) corta a la circunferencia.Si r2 (1 + m2) b2 < 0, sea, si r2 (1 + m2) < b2, la ecuacin (3) tiene races imaginarias lo cual quiere decir que toda recta de ecuacin y = mx + b con r2 (1 + m2) < b2 no corta a la circunferencia. Finalmente, si r2 (1 + m2) b2 = 0, o si la ecuacin (3) tiene una nica raz lo cual quiere decir que las rectas solo tienen un punto en comn con la circunferencia. Estas dos rectas se llaman las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 = r2 de pendiente m (m dada).

fig. 5.3.Puede demostrarse que los puntos de tangencia T y T son simtricos respecto a 0. Ntese que la familia de rectas de ecuacin donde m R , representa el haz de rectas tangentes a la curva x2 + y2 = r2. 5.4.2. Recta tangente a la circunferencia por un punto dado de la curva. Sea P1(x1, y1) un punto de la circunferencia de ecuacin x2 + y2 = r2. Queremos hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto P1(x1, y1) de la misma.

fig. 5.4.Al considerar otro punto P2(x2, y2) de la curva prximo a P1(x1, y1), la ecuacin de la secante es: (1) Ahora, como P2(x2, y2)C(0, r), x22 + y22 = r2. Como P1(x1, y1) C(0, r), x12 + y12 = r2. De las dos ltimas ecuaciones se desprende que x22 - x12 + y22 - y12 = 0. Por tanto, y22 - y12 = - (x22 - x12) Osea que que llevada a (1) permite escribir la ecuacin de la secante as:

Luego, si se denota por m a la pendiente de la secante se tiene que m= La pendiente de la tangente a la C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva es, por definicin, En este caso, y debido a la continuidad de la curva, cuando y se tiene que: . De este modo, la recta tangente t a la curva C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuacin: que se puede escribir en la forma: o tambin, . Pero como P1(x1, y1) est en la circunferencia, x12 + y12 = r2. As que la tangente a la curva x2 + y2 = r2 en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuacin: Como un corolario puede mostrarse que la tangente t a x2 + y2 = r2 por el punto P1(x1, y1) es perpendicular al radio . En efecto, Tambin, Luego mt . m=-1 lo que nos demuestra que t es perpendicular a .

....5.5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO CONCNTRICAS

Se tienen dos circunferencias C1 y C 2 de ecuaciones: C1: x2 + y2 + d1x + e1y + f1 = 0 y C 2: x2 + y2 + d2x + e2y + f2 = 0, C 1 y C2: no concntricas. La primera puede escribirse: C 1: Se puede asumir que d12 + e12 4f1 > 0 . Luego es el radio C 1 y su centro es el punto . La ecuacin de la segunda puede escribirse: C 2: De nuevo se puede asumir que d22 + e22 4f2 > 0 . C 2 tiene de esta manera radio y centro en . Como C1 y C 2 son no concntricas, (d1, e1) (d2, e2). Llmese C1C2: a la lnea de centros. Es claro que C1C2 = = Puede presentarse uno de los siguientes casos: 1. C1 y C 2 son exteriores:En este caso, r1 + r2 < C1C2

Osea, + <

fig. 5.5.

2. C1 y C 2 son tangentes exteriormente: En este caso, ___ r1 + r2 = C1C2

fig.5.6.3. C1 y C 2 son secantes: Se tiene entonces en el tringulo C1C2A: ___ C1C2 0Por lo tanto, r1 r2 = C1C2 + d Osea que: C1C2 0 Por lo tanto, r1 r2 = C1C2 + d Osea que: C1C2 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento se llaman EJES DE SIMETRA DE LA ELIPSE. iii. El punto de interseccin O de los dos ejes de simetra, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A, A, B y B se llaman VERTICES DE LA ELIPSE. Si el segmento es mayor que el segmento , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.

Observaciones: i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente aquellos casos en los cuales los focos estn en el mismo eje (eje x, eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen ii. Ntese tambin que como , se sigue que (teorema de Pitgoras).

0 Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) Eje menor: Longitud 2b (2b > 0) TEOREMA: La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: (1)

Demostracin Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definicin i que , o equivalentemente,(frmula de distancia entre dos puntos) Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene: Simplificando la ltima igualdad se llega a:

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima ecuacin, se obtiene:

La cual se reduce a:

Recordando adems que y al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por , se obtiene finalmente : que corresponde a la ecuacin pedida. Caso 2. Elipses con focos F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) Eje menor: Longitud 2b (b > 0) TEOREMA: La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b viene dada por: (2) Demostracin: Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

NOTA: Ntese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuacin de una circunferencia de centro en el origen y radio a. Caso 3. (Caso General). Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuacin de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en: (3) Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

(a) (x-h)+ (y-k)b(x-h)+ (y-k) abba Observaciones: i. La ecuacin (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados. ii. Si a > b, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x Si b > a, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y 6.2.2. Construccin de la Elipse Existen muchas construcciones geomtricas de la elipse, pero en la mayora de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razn, solo se presentan dos mtodos geomtricos sencillos para construir la elipse. Construccin 1 Supngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lpiz se tensiona la cuerda. Al mover el lpiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida.

Construccin 2 Supngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuacin dada por , con a > b.

Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados crculos directores, que son crculos concntricos , con centro en 0, uno de radio y el otro de radio .

Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los crculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym). Se puede afirmar que el punto M est en la elipse de ecuacin . En efecto, basta demostrar que . Para ello, ntese que:

Sumando miembro a miembro las ltimas igualdades, se concluye que

LA PARABOLADefiniciones i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no est en la recta dada. Se define la parbola como el lugar geomtrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD. ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parbola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F. Esto es: PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1} PD

Observaciones: i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamar: la distancia del foco a la directriz. ii. Sea V el punto medio del segmento. Como, entonces el punto V pertenece a la parbola. V es llamado VERTICE de la parbola. El lugar correspondiente a la parbola es simtrico respecto a la recta . En efecto, si P es el simtrico de P respecto a la recta , entonces PP = PP. Por lo tanto, el tringulo PPF es congruente al tringulo PPF. De donde PF = PF y como PD = PD, entonces, lo cual nos muestra que P e PDD-F. 6.1.1. Ecuaciones Analticas de la Parbola En esta seccin slo se considerarn parbolas con el vrtice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarn localizados sobre los ejes x y (fig. 6.1.2.)

Sea P(x, y) un punto de la parbola PDD-F (fig. 6.1.2 b) entonces, . Pero, y Luego, Elevando al cuadrado ambos miembros de la ltima igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente, (1) Recprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F. Por hiptesis, (2) Se debe probar que

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema. TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parbola) i. La ecuacin de la parbola que tiene su foco en F (p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por: y2=2px (3). Recprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P PDD-F ii. La ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4) iii. Recprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P PDD-F

Observaciones: i. En la fig. 6.1.3. Aparecen las grficas de dos parbolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuacin x = -p/2. Adems todos sus puntos son simtricos con respecto al eje x, de aqu que las ecuaciones que representan sus lugares geomtricos, poseen nicamente a la variable y elevada a su potencia par. 6.1.2. Traslacin de Ejes En el ejemplo 5 de la seccin 5.6., se determin que la ecuacin de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era: Sin embargo, si se encuentra la ecuacin con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene. De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuacin sin cambiar la forma de la grfica (fig. 6.1.5.).

Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x e y paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema. Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas estn referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x, y) referidas al sistema x-y vienen dadas por las relaciones:

x = x + h (1) y = y + k (2) Llamadas: ECUACIONES DE TRASLACIN DE EJES, y que pueden deducirse fcilmente de la

Observacin: La traslacin de ejes modifica la ecuacin de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva. Una aplicacin til de la traslacin de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parbola, con vrtice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes. Si se toma como referencia los ejes x e y, hallar las ecuaciones de la parbola con vrtice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parbola con vrtice en (0, 0) referido al nuevo sistema. Las ecuaciones , permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parbola, como lo afirma el siguiente teorema: 6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parbola. Forma general) i. La ecuacin de la parbola con vrtice en el punto V (h, k), que tiene su foco en y por directriz la recta: (fig. 6.1.7.) viene dada por: (1)

ii. La ecuacin de la parbola con vrtice en el punto V (h, k), que tiene su foco en y por directriz la recta: (fig. 6.1.8.) viene dada por: (2)

Demostracin: Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x-y y luego hacer e Observacin: Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, despus de simplificarlas, pueden expresarse en la forma: (3) (4) En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parbola siempre se abre en la direccin del eje cuya varia- ble aparece lineal. As por ejemplo, la ecuacin (3) representa una parbola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuacin (4) representa una parbola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0). 6.1.4. Valores mximos y mnimos de una parbola Se ha visto en la seccin precedente que la ecuacin (1) puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una parbola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) hacia abajo (p < 0). Cuando la ecuacin aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la parbola se abre hacia arriba o hacia abajo y tambin determina si el vrtice es un punto mximo o mnimo de la curva.

Si como en la fig. 6.1.9. (a), la parbola se abre hacia abajo, el vrtice V (punto mas alto de la curva) es llamado el punto mximo de la parbola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor mximo de la funcin que ella representa. Similarmente, si la parbola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9. (B)), el vrtice V es llama- do el punto mnimo de la parbola; y el correspondiente valor de y, es el valor mnimo de la funcin. Toda funcin cuadrtica, tiene un valor mximo o un valor mnimo, pero no ambos.

LA HIPERBOLADefiniciones i. Sean F y F dos puntos de un plano (F F). Se define la hiprbola de focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento FF se llaman: Ejes de simetra de la hiprbola. iii. El punto de interseccin 0 de dos ejes de simetra, se llama CENTRO de la hiprbola. Los puntos A y A se llaman: VERTICES de la hiprbola.

Observaciones: i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hiprbola. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos estn en el mismo eje (eje x eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.).

ii. Si se obtiene la rama derecha de la hiprbola; mientras que si se obtiene la otra rama. iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un tringulo siempre es menor que el tercer lado. Adems, se toma. 6.3.1. Ecuaciones Analticas de la Hiprbola caso 1. Hiprbola con focos F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. TEOREMA: La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por: (1).Demostracin: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hiprbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definicin i. que: De donde, Es decir, Equivalentemente, usando la frmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y despus de simplificar y factor izar se puede escribir:

Recordando adems que (observacin iii.) y al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por , se obtiene finalmente, que corresponde a la ecuacin pedida. Caso 2. Hiprbola con focos en F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. TEOREMA: La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(0, -c) y F(0, c) viene dada por: (1).

La demostracin es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. Caso 3. (Caso General) Si en vez de considerar el centro de la hiprbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hiprbola correspondiente, se transformarn utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en: (3) (4)

Segn que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente. Observaciones: i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hiprbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vrtices de la hiprbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas:M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b). El rectngulo MNPQ recibe el nombre de rectngulo auxiliar de la hiprbola.

ii. La grfica de la hiprbola es simtrica con respecto al eje x y con respecto al eje y. iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asntotas oblicuas de la hiprbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por: y Una forma "nemotcnica" de obtener las ecuaciones de las los asntotas de la hiprbola es la siguiente: En la ecuacin de la hiprbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero). As, en el caso particular de la hiprbola,

Hacemos: (factor izando) Estas son las ecuaciones de las asntotas

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hiprbola se transforman en:

En ambos, la hiprbola se llama: Hiprbola Equiltera y tienen como asntotas las rectas y = x e y = -x