Mate IV Nix j.e
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SOLUCIÓN DE E.D.L HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTE CONSTANTE DE ORDEN SUPERIOR ( n≥ 3 Modelo: a n y n + …+a 1 y 1 + a 0 y 0 =0… ( α ¿ Donde: a n ,a 1 ,a 0 ; Constantes. Suponemos que la solución es de la forma: Y (x ) =e λx Y (x ) ! =λe λx Y (x ) !! =λ 2 e λx ⋮ Y (x ) n =λ n e λx En ( α ¿: e λx = [ a n λ n +… + a 1 λ +a 0 ] =0 [ a n λ n + …+a 1 λ +a 0 ] =0 Ecuación característica. Se puede obtener las siguientes raíces: λ 1 ,λ 2 …,λ n OBS: Resolver ( α ) equivale a resolver las ecuación característica. 1º CASO: Si todas las raíces son reales y distintas entre sí. Luego el SFS = { e λ 1 x ,e λ 2 x ,…,e λ n x } . La solución de ( α ) es: Y (x ) =C 1 e λ 1 x ,C 2 e λ 2 x ,…,C n e λ n x 2º CASO: Cuando algunas de las raíces son de multiplicidad, consideremos: λ 1 = λ 2 =…= λ k =λ Donde λ es la multiplicidad; k y n−k son demás raíces y distintas, la solución de ( α ) es:
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Ejercicios de Matematica
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SOLUCIN DE E.D.L HOMOGNEAS CON COEFICIENTE CONSTANTE DE ORDEN SUPERIOR (Modelo: (Donde:; Constantes.Suponemos que la solucin es de la forma:
En (:
Ecuacin caracterstica.Se puede obtener las siguientes races:
OBS: Resolver equivale a resolver las ecuacin caracterstica.1 CASO:Si todas las races son reales y distintas entre s.Luego el SFS =. La solucin de es:
2 CASO:Cuando algunas de las races son de multiplicidad, consideremos:
Donde es la multiplicidad; y son dems races y distintas, la solucin de es:
3 CASO:Cuando las races o alguna de estas races son complejas:
; ; Y los dems reales distintas
SFS=
La solucin de es:
Ejemplo:Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1. Sol:Ecuacin caracterstica:
Para Para Para
Luego la solucin es:
2. Sol:
Obtenemos 4 soluciones:
3. Sol:Ecuacin caracterstica
La solucin es:
4.
Sol:Ecuacin caracterstica
5.
Sol: Ecuacin caracterstica
Derivando:
Como:
Solucin de E. D Lineales no homogneos de coeficiente constanteModelo:...Con:
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS Para resolver la ecuacin primero resolvemos la ecuacin
Obtenemos:
Cuya solucin es:
Llamada solucin complementaria donde son constantes.Para obtener la solucin de suponemos que y la solucin de debida a la tomamos como:..Donde son funciones que se tienen que encontrar. Despus de hallar la solucin general de es:
Veamos:
Hacemos:. (1)Queda:..Adems:
Hacemos: . (2)Queda: .
Hacemos: Queda:
.
Reemplazando en nos queda:
..
De (1), (2),, (n-1) y (n) se tiene el sistema:
Matricialmente:
Luego:
Hacer el determinante de la matriz que resulta de reemplazar la columna de W por la matriz . Aplicando regla de Cramer.
EJEMPLO:Resolver 1) Sol:Caso homogneo:
Hallando la solucin particular:Asumimos que:
Adems:
Reemplazando:
Luego:
