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MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:Numeros

Complejos

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Igualdad

Suma y resta

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Propiedades 1

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|z| y z

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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Numeros Complejos

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Numeros ComplejosLos numeros complejos, simbolizados por C, son unageneralizacion de los numeros reales. Una generalizacionalgebraica muy interesante: Toda ecuacion polinomial

cn zn + cn−1 z

n−1 + · · ·+ c1 z + c0 = 0

con coeficientes complejos (aquı z representa la incognita adespejar (zahl significa numero en aleman), los coficientes cirepresentan numeros, posiblemente complejos, n es el grado dela ecuacion y cn 6= 0) tiene todas sus raıces en los numeroscomplejos. Apesar de que los numeros complejos se les llamaimaginarios (termino acunado por Descartes en el siglo XVII) sepueden utilizar con conveniencia para representar situacionesmuy reales en el area de la Ingenierıa; inclusive en el diseno yen la generacion de imagenes fractales. El campo (terminoproveniente de Algebra Moderna) de los numeros complejossirve de manera muy efectiva para calcular.

http://www.iep.utm.edu/descarte/

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)

http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra



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Visiones alternativas

Veremos a los numeros complejos desde dos puntos de vista:

• Desde el punto de vista algebraico:• Como parejas ordenadas: notacion cartesiana• Como un binomio

• Desde el punto de vista geometrico

Se suponen conocidas las propiedades de los numeros reales



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Vision algebraica

Los numeros complejos se pueden definir como paresordenados de numeros reales z = (a, b). A esta notacion depar ordenado se le conoce como la notacion Cartesiana delnumero complejo z .

• Los numeros (a, 0) se suelen identificar como los numerosreales.

• Los numeros (0, b) se suelen llamar como imaginariospuros.

• Se dice que a (la primera componente del par ordenado)es la parte real de z , y b (la segunda componente) es laparte imaginaria de z . Los nombres de las funcionesmatematicas para ello son:

a = Re(z) b = Im(z)



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Igualdad entre numeroscomplejos

Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos.Diremos que z1 es igual a z2, representado como z1 = z2, si ysolo si a1 = a2 y b1 = b2. Es decir, dos complejos son iguales siy solo si sus partes reales e imaginarias son iguales.

Ejemplo Determine los valores de a y de b para quez1 = (2 a + b, b − 1) sea igual a z2 = (a + 3 b + 1, a + 3 b).De la definicion se requiere que

2 a + b = a + 3 b + 1b − 1 = a + 3 b

de allı que

{a = 0b = −1/2



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Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos.

• La suma de z1 y z2, z1 + z2, es el numero complejo

z1 + z2 = (a1 + a2, b2 + b2)

Es decir, la suma se obtiene sumando por separado suspartes reales e imaginarias.Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces

z1 + z2 = (3− 2, 4 + 5) = (1, 9)

• La resta de z2 a z1, z1 − z2 es el numero complejo

z1 − z2 = (a1 − a2, b2 − b2)

Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces

z1 − z2 = (3− (−2), 4− (5)) = (5,−1)



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Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos. Lamutiplicacion de z1 con z2 es el numero complejo

z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2, a1 · b2 + b1 · a2)

Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces

z1 · z2 = ((3)(−2)− (4)(5), (3)(5) + (4)(−2)) = (−26, 7)



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Los complejos como una extension de losnumeros realesDe la definicion de las operaciones observamos que:

• (x , 0) + (y , 0) = (x + y , 0)

• (x , 0) · (y , 0) = (x · y , 0)

• (1, 0) · (x , y) = (x , y)

Ası, el sistema de los numeros complejos es una extensionnatural de los numeros reales si pensamos que el numero (x , 0)es el numero real x . Donde el numero (1, 0) se comporta comola identidad multiplicativa.



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Como (y , 0) · (0, 1) = (0, y), entonces:

(x , y) = (x , 0) + (y , 0) · (0, 1)

Si denotamos a (0, 1) como el sımbolo i y a los numeros de laforma (a, 0) como simplemente a, entonces podemos reescribiral numero complejo z = (x , y) en la forma

z = (x , y) = x + y i

A esta notacion se le conoce como notacion Binomica oAlgebraica. Con ello tenemos la relacion mas importante sobrelos complejos:

i·i = (0, 1)·(0, 1) = (0−(1)(1), (0)(1)+(0)(1)) = (−1, 0) = −1

De manera que el algebra de numeros complejos se reduce alalgebra simple usando que i2 = −1.



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Ejemplo

Realice el producto de z1 = 2− 4 i con z2 = −2 + 2 i usando lanotacion binomica:

z1 · z2 = (2− 4 i) · (−2 + 2 i)= (2)(−2) + (2)(2 i) + (−4 i)(−2) + (−4 i)(2 i)= −4 + 4 i + 8 i− 8 i2

= −4 + 12 i− 8(−1)= 4 + 12 i

+2−4 i

−2 + 2 i×



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Ejemplo


z1 · z2 = (2− 4 i) · (−2 + 2 i)= (2)(−2) + (2)(2 i) + (−4 i)(−2) + (−4 i)(2 i)= −4 + 4 i + 8 i− 8 i2

= −4 + 12 i− 8(−1)= 4 + 12 i

+2−4 i

−2 + 2 i×−4 + 4 i +2 por todos los de arriba



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Ejemplo


z1 · z2 = (2− 4 i) · (−2 + 2 i)= (2)(−2) + (2)(2 i) + (−4 i)(−2) + (−4 i)(2 i)= −4 + 4 i + 8 i− 8 i2

= −4 + 12 i− 8(−1)= 4 + 12 i

+2−4 i


8 i−8 i2 −4 i por todos los de arriba+



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Ejemplo


z1 · z2 = (2− 4 i) · (−2 + 2 i)= (2)(−2) + (2)(2 i) + (−4 i)(−2) + (−4 i)(2 i)= −4 + 4 i + 8 i− 8 i2

= −4 + 12 i− 8(−1)= 4 + 12 i

+2−4 i


8 i−8 i2 −4 i por todos los de arriba+

−4 + 12 i+8 = 4 + 12 i



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Inversos multiplicativosConsidere el numero complejo z = a + b i y supongamos que secumple que a2 + b2 6= 0. Definamos el numero complejo

z2 =a

a2 + b2− b

a2 + b2i

Asız1 · z2 = (a + b i) ·

(a

a2+b2− b

a2+b2i)

= a2

a2+a2− b2

a2+a2i2 = a2+b2

a2+a2

= 1

Es decir, que todo numero complejo z = a + b i, diferente de 0= (0,0), posee un inverso multiplicativo.

La existencia del inversos multiplicativos nos capacita paradecir que

z1 · z2 = 0↔ z1 = 0 o z2 = 0



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Propiedades del algebra de los numeros complejos:

• La suma es asociativa:z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

• La suma es conmutativa:z1 + z2 = z2 + z1

• El elemento 0 = (0, 0) = 0 + 0 i es el neutro de la suma:0 + z1 = z1 + 0 = z1

• Cada complejo tiene su inverso aditivo: Si z1 = a + b ientonces z1 + (−a− b i) = (a + b i) + (−a− b i) =(a− a) + (b − b) i = 0 + 0 i = 0

• La multiplicacion es asociativa:z1 · (z2 · z3) = (z1 · z2) · z3

• La multiplicacion es conmutativa:z1 · z2 = z2 · z1

• La multiplicacion se distribuye sobre la suma:z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3

• Existencia de identidades: (0, 0) + z1 = z1 y (1, 0) · z1 = z1



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EjemploRealice las siguientes operaciones con numeros complejos

• (4 + 3 i) + 3(2− 7 i)

• (2− 7 i) · (−2 + 3 i)

• (5− 3 i)2



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EjemploRealice las siguientes operaciones con numeros complejos

• (4 + 3 i) + 3(2− 7 i) = 4 + 6 + (3− 21) i

• (2− 7 i) · (−2 + 3 i)

= (2)(−2) + (2)(3)i + (−7)(−2)i + (−7)(3)i2

= −4− 21i2 + ((−7)(−2) + (2)(3))i= −4 + 21 + (14 + 6)i= 17 + 20 i

• (5− 3 i)2

= (5)2 + 2 (5) (−3 i) + (−3)2(i)2

= 25− 30 i + (9)(−1)= 25− 9− 30 i= 16− 30 i



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Sabiendo que i2 = −1 podemos simplificar potencias enteras dei. Por ejemplo,

• i3 = i2 · i = −1 · i = −i

• i4 = i2 · i2 = (−1) · (−1) = +1 = 1

• i5 = i4 · i = 1 · i = i

• i6 = i4 · i2 = 1 · (−1) = −1

• i7 = i4 · i3 = 1 · (−i) = −i

Si se quiere ser mas eficiente, una estrategia es utilizar ladivision entre 4. Por ejemplo,

• i21 = i4·5+1 = i4·5 · i1 =(i4)5 · i = (1)5 · i = i

• i51 = i4·12+3 = i4·12 · i3 =(i4)12 · (−i) = (1)12 · (−i) = −i

Para potencias negativas el truco es que 1 = −i2 = (−i) · i. Portanto, i−1 = −i. Es decir, el inverso multiplicativo de i es -i.



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Si usted conoce la funcion mod (El residuo de la divisionentera): Entonces

in = ir donde r = nmod 4

a) Como 13 mod 4 = 1, q = (13− 1)/4 = 3, ası

i13 = i4·3+1 = i4·3 · i1 =(i4)3 · i = 1 · i = i

b) Como 20 mod 4 = 0, q = (20− 0)/4 = 5, ası

i20 =(i4)5 · i0 = 1

c) Como 23 mod 4 = 3, q = (23− 3)/4 = 5, ası

i23 =(i4)5 · i3 = −i

d) Como −7 mod 4 = 1, q = (−7− 1)/4 = −2, ası

i−7 =(i4)−2 · i1 = i

e) Como −17 mod 4 = 3, q = (−17− 3)/4 = −5, ası

i−17 =(i4)−5 · i3 = −i



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Note que

• para hacer

(x + y i) · (a + b i) = (x · a− y · b) + (x · b + y · a) i

se requieren 4 multiplicaciones y 2 sumas/restas: es decir,6 operaciones para un producto.

• para obtener

(x + y i)−1 =x

x2 + y2− y

x2 + y2i

se requieren 2 multiplicaciones, 1 suma y 2 divisiones: esdecir, 5 operaciones para un inverso multiplicativo.

• para calcular

a + b i

x + y i=

a · x + b · yx2 + y2

+b · x − a · yx2 + y2

i

se requieren 6 productos, 3 sumas/restas y 2 divisiones; esdecir, 11 operaciones aritmeticas para una division.



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Considere el numero complejo z = x + y i. Se define el modulode z como:

|z | =√

x2 + y2

En terminos geometricos, el modulo de z es la distancia desdeel punto z = (x , y) al origen. El conjugado de z es el numerocomplejo:

z = x − y i

Ejemplo:Dado z = 2− 3 i obtenga su conjugado z , su modulo |z | y elmodulo de su conjugado.

z = Re(z)− Im(z) i = (2)− (−3) i = 2 + 3 i

|z | =√

(2)2 + (−3)2 =√

4 + 9 =√

13

|z | =√

(2)2 + (3)2 =√

4 + 9 =√

13



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Propiedades del modulo y del conjugado de un numerocomplejo:

• El conjugado de una suma (o resta) es la suma (o resta)de los conjugados: z1 ± z2 = z1 ± z2

• El conjugado de un producto es el producto de losconjugados: z1 · z2 = z1 · z2

• El conjugado de una division es la division de los

conjugados:(z1z2

)= z1

z2

• El modulo de un producto es el producto de los modulos:|z1 · z2| = |z1| · |z2|

• El modulo de una division es la division de los modulos∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1||z2|

• z · z = |z |2

• |z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|• |z1 ± z2| ≥ ||z1| − |z2||• Re z = z+z

2 y Im z = z−z2 i



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El plano complejo

Es comun representar a los numeros complejos graficamente enun plano llamado el plano complejo o tambien conocido comoPlano de Gauss. Esto es identico a una representacioncartesiana tradicional cuya diferencia es que al eje y se le llamael eje imaginario y al eje x se le llama el eje real:

z = x + y i

xO

y

−y

|z |Eje real

Eje imaginario

z = x − y i



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EjemploRelacione los siguientes numeros complejos con suscorrespondientes representaciones el el plano complejo:

(a) 2 + 1 i (b) −2− i(c) −2 + i (d) 2 i(e) −2

A

B

C

D

E

F

H

I

K L

M

N

o

Cuadrante 1

Cuadrante 4

Cuadrante 2

Cuadrante 3



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EjemploRelacione los siguientes numeros complejos con suscorrespondientes representaciones el el plano complejo:

(a) 2 + 1 i→ H (b) −2− i→ A(c) −2 + i→ C (d) 2 i→ N(e) −2→ K

A

B

C

D

E

F

H

I

K L

M

N

o

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Cuadrante 3



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Suma como vectores

Si los numeros complejos se piensan como vectores, la suma denumeros complejos coincide con la suma de vectores que seobtiene por la regla del paralelogramo.

8 + 6 i

5 + 2 i

3 + 4 i



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Para hacer la suma z = z1 + z2 + z3 + z4 se trasladan losvectores a las puntas de los resultados: z2 a la punta de z1; z3a la punta de z1 + z2; y z4 a la punta de (z1 + z2) + z3

O

z1

z2

z3

z4

O

z1

z2z3

z4

z



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Cuidado con la propiedad del modulo de una suma! El modulode la suma no rebasa la suma de los modulos.

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

O

|z1|

|z2|

|z1 + z2|

|z1| + |z2|



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Notacion matricial para un numero complejoPara a y b reales, el conjunto C de todas las matrices de laforma:

za,b =

[a b−b a

]= a ·

[1 00 1

]+ b ·

[0 1−1 0

]Cumplen las propiedades de los numeros complejos:• za1,b1 + za2,b2 ∈ C , za1,b1 · za2,b2 ∈ C

• za1,b1 + za2,b2 = za1+a2,b1+b2

• za1,b1 · za2,b2 = za1·a2−b1·b2,a1·b2+a2·b1• za1,b1 + za2,b2 = za2,b2 + za1,b1 , za1,b1 · za2,b2 = za2,b2 · za1,b1• za1,b1 + (za2,b2 + za3,b3) = (za1,b1 + za2,b2) + za3,b3 ,

za1,b1 · (za2,b2 · za3,b3) = (za1,b1 · za2,b2) · za3,b3• z0,0 es el cero: z0,0 + za,b = za,b

z1,0 es el uno: z1,0 · za,b = za,b

• Los reales son de la forma za,0; los complejos puros son dela forma z0,b

• z0,1 es i: z0,1 · z0,1 = z−1,0



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Comentario

¿Que se puede obtener conel producto de numeros

complejos?

Considere dos vectores con tres componentes pero el plano xy :u =< a, b, 0 > y v =< c , d , 0 >. Suponga que u se convierteen el complejo z1 = a + b i y que v se convierte en z2 = c + d i.Si hacemos z1 · z2 obtenemos:

z1 · z2 = (a · c + b · d) + (a · d − b · c) i

Por otro lado

u • v = a · c + b · d y u× v =< 0, 0, a · d − b · c >

Es decir, que el producto adecuado de dos complejos dasimultaneamente un producto punto y un producto cruz de dosvectores.

Matem aticas Avanzadas para Ingenier a: Numer os...

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