Matem aticas I Ejercicios y problemas - edificacion.upm.es · UNIVERSIDAD POLIT ECNICA DE MADRID E....

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

E. T. S. EDIFICACION

Matematicas IEjercicios y problemas

Departamento de Matematica Aplicada

Curso 2014-2015Segundo semestre

Prácticas de Matemáticas I Tema 1. Función real de variable real

ETSEM Curso 14/15

1

Tema 1. Función real de variable real

1. Una caja cerrada con base cuadrada de lado x tiene un área de 100cm2. Expresa su volumen,

V, en función de x. Halla el dominio de dicha función.

2. Determina el dominio de las siguientes funciones:

a) 1x1)x(f 2 −+= b) 4x2

1)x(f

+= c)

−+=

x1

x1ln)x(f

d)

−+=1e

1eln)x(f

x

x

e) 1xcos)x(f −= f) x

1arccos)x(f =

g) x

3x

e)x(f

+

= h) 2x

)x2ln()x(f

+−= i) 2xx)x(f 2 −+=

j) xx)x(f 3 −= k)

−= 6x

1ln)x(f l) xlnxln)x(f −=

m) )arctgxln()x(f = n) arcsenx

1)x(f = o)

xx

)1xln()x(f

2

2

++=

3. Calcula los siguientes límites:

a) )5x7x(lím 2

3x−+

→ b)

x10x e1

1lím

+−→ c)

30x x

x2sen2

1senx

lím

−

→

d) x

xcos1lím

0x

−→

e) x

xsenlím

2

0x → f)

xcos1

arcsenxsenx3lím

0x −→

g) x

1x1lím

0x

−+→

h) )senxln(

xlnlím

0x +→ i) )x(flím

1x −→, siendo f(x) =

−=

−≠++

1x,2

1x,1x

1x

4. Halla los límites en los extremos de su dominio, para las funciones:

a) )x9(arctg)x(f 3−= b) xarccos)x(f =

5. Clasifica la discontinuidad en los puntos de ú donde f(x) no sea continua o no esté definida:

a) 2)1x(x

2

e)x(f −−

= b) x

x)x(f =

c) 1x

)1x(arctg)x(f

2

−−= d) f(x) =

=

≠

0x,0

0x,x

1sen

Prácticas de Matemáticas I Tema 1. Función real de variable real

ETSEM Curso 14/15

2

6. Halla la función derivada de la función f(x) =

=

≠

0x,1

0x,x

senx

7. Dada la función f(x) = )x4(xx − obtén los puntos de intersección con los ejes, puntos de

crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, extremos absolutos, recorrido y gráfica.

8. Calcula puntos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos de la función x

e)x(f

x

= .

9. La gráfica de una función f(x) = ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto (1,1).

Además la tangente a la curva en el punto de abcisas x = 2 es paralela a la bisectriz del primer

cuadrante. Calcula a, b y c.

10. Halla los extremos absolutos y el recorrido de las siguientes funciones:

a) 2xarctg)x(f = , ∀x∈ [-1, 1] b) x

1x)x(f += , ∀x∈ ]4,

2

1[

c) 5x2arcsene)x(f += d) f(x) = ]3,0[,1)2x( 3

2

+−

Prácticas de Matemáticas I Tema 2. Integración

ETSEM Curso 14/15

3

Tema 2. Integración

1. Calcula:

a) dxx67x3 2

∫ − b) dxx

4x5

2

2

∫

−− c) dxx

xsen∫

d) dxxsen 2

∫ e) dxxe2x1

∫− f) dx

xe

1ex

x

∫ ++

g) dx1x

2x 2

∫ +−

h) dx4x4x

124∫ ++

i) dx4x

xx44

3

∫ ++

j) dx1e

ex2

x

∫ + k) dx

senxx

xcos1∫ +

+ l) dxarctgx∫

m) dxsenxex

∫ n) dxxlnx 5

∫ o) dxx9

x2∫ −

p) dxx9

12∫ −

q) dxx41

22∫ +

r) dx2x2x

x2∫ ++

2. Calcula:

a) dxxsenxcos2

0

3

∫π

b) dxx1

e1

0 2

arctgx

∫ + c) dxex

3

2

x2

∫− d) dxx9

3

0

2

∫ −

e) ( )dxxexe1

0

1x2

∫−− f) dxx

3

7)x2(

3

12x

1

0

332

∫

−−+ g) dxx11

0

2

∫ −

h) dxx3

1 - x-x

3

14

2

0

643

∫

i) dx

)x1(

1

x

1

4

13

1 22∫

+− j) dxxe

2

11

0

x2

∫−

k) dx)1e(x1

0

x2

−∫ l) dxsenx1

xcos

2∫

ππ +

m) dxxe1

0

x2

∫ n) dxx1

x11

0 2∫ +−

3. Área de la región plana limitada por el arco de curva de ecuación y = senx y las rectas:

a) y = 0, x = 0, x = π b) y = 0, x = π, x = 2π c) y = 0, x = 0, x = 2π

4. Área, mediante una integral definida, de la región plana limitada por las curvas:

a) y = x, y = - x2 + 2x en el primer cuadrante

b) y = x + 3 e y = x2 + x - 13 desde x = 1 hasta x = 3

c) y = ex, y = e-x, x = 1.

5. Calcula, mediante integrales definidas, el volumen de: a) Un cono recto circular de radio R y altura H. b) Una esfera de radio R y centro (0, 0).

6. Una figura limitada por la curva y = xex, las rectas x = 1, y = 0, gira alrededor del eje de abscisas. Halla el volumen del sólido de revolución engendrado.

Prácticas de Matemáticas I Tema 2. Integración

ETSEM Curso 14/15

4

7. Calcula la longitud del arco de la curva dada en el intervalo indicado:

a) y = 1x3

2 23 + en [3, 8] b) y = x2

1

6

x 3

+ en [2

1, 2] c) y = 3x4 en [ 1

4

1, ]

8. Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están separadas 100 metros. Calcula la longitud

de arco de cable entre las dos torres, sabiendo que adopta la posición de una catenaria de

ecuación y = )ee(75 150x

150x −

+

9. Evalúa cada integral impropia:

a) dxe0

x

∫∞+ −

b) dx1x

10 2∫

∞+

+ c) dx

e1

ex2

x

∫∞+

∞− + d)

x

1(1 x)e dx

+∞ −−∫

10. Resuelve las siguientes integrales impropias con discontinuidades infinitas:

a) ∫1

0 3dx

x

1 b) ∫

2

0 3dx

x

1

11. Dada la función f(x) = 2x – xlnx

a) Halla, razonadamente, los extremos absolutos de f en el intervalo [1, 5]. Obtén el recorrido de f.

b) Calcula el área de la región plana limitada por las curvas y = f(x), y = 0, x = 1 x = 5.

12. Dada la función f(x) = 3 x

1

a) Determina puntos de crecimiento y puntos de decrecimiento de la función.

b) Calcula el volumen del sólido engendrado al girar f(x) alrededor del eje X en [1, 2].

13. Dada la función f(x) = 2xx8 − . Se pide:

a) Puntos de crecimiento, de decrecimiento y extremos relativos de f en su dominio.

b) Extremos absolutos de f en su dominio y recorrido de la función.

c) Volumen del sólido engendrado al girar f(x) alrededor del eje OX, mediante una integral definida.

14. Un cartel publicitario de cierto evento tiene una base de 2π metros de longitud y su altura viene dada por la curva de ecuación y = x + cosx, situada la base en el eje de abscisas en [0, 2π].

a) Halla, razonadamente, la máxima altura y la mínima altura del cartel. b) Se quiere destinar la parte inferior del cartel situada por debajo de la curva de ecuación

y = 1x

x2 +

para el texto relativo al evento y la otra zona restante para imágenes

relacionadas con el mismo. Calcula el área de cada una de las dos zonas y el área total del cartel.

Prácticas de Matemáticas I Tema 3. Ecuaciones diferenciales

ETSEM Curso 14/15 5

Tema 3. Ecuaciones diferenciales

1. Estudia si las siguientes funciones son o no solución de la ecuación diferencial

correspondiente.

a) + =20

dy y

dx x,

2

1y

x= b) 3´ 2 xy y e- = , 3 2x xy e e= +

c) 2´ ´ ´ 4y y x x+ = - , 3 213 6

3y x x x= - + d) −=´ x yy e , 3y xe e= +

2. Comprueba que las siguientes funciones son solución general de las ecuaciones diferenciales

correspondientes

a) f(x) = Cex solución general de y’ – y = 0

b) f(x) = C1senx + C2cosx solución general de y’’ + y = 0

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de variables separables:

a) x-2 yd = dxey b) 2 x dy - sen x dx 0cos = c)2yxy

x2y

+=′ d) y’ = y

2lnx

4. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes y halla las soluciones particulares indicadas:

a) 1

´ , y(2) = 0= +y xyy

3 b) ln 0 , ( ) 1x xdy ydx y e- = =

c) 2( ) = 0 , y(1) = 1y xy dx x dy+ - d) y’ = xy + x – 2y – 2, y(0)= 0

e) 4

´3

xy

x

-=

-, (1) 2y = f) ( )2 , (1) 0

dyy x y x y

dx+ = =

g) 0ln' =− xyx

y, para x=1, y=0 h) 001 2 >=++ x,'xyyy ; y(1)=0

5. Obtén mediante una ecuación diferencial la familia de curvas tales que, en cualquiera de sus

puntos ( , )P x y tenga pendiente 2m , siendo m la pendiente de la recta que une dicho puntoP

con el origen de coordenadas si ≠ 0x (si = 0x entonces = 0m ). A continuación, determina

la curva de dicha familia que pasa por el punto (1,1)P .

6. Una viga de luz L = 4 metros, soporta una carga uniformemente repartida de p=5 toneladas

por metro. Halla la ecuación de la curva elástica sabiendo que es la solución particular de la

ecuación diferencial: 2´ ´ 12 3 , (0) 0 , ´ (2) 0y x x y y= - = =

7. Una viga de longitud L = 4 metros, soporta una carga concentrada en el punto medio de la

viga de 6 toneladas. Hallar la ecuación de la curva elástica si se sabe que es la solución de la

ecuación diferencial:

≤<−−≤≤

=′′4x2)2x(6x3

2x0x3y (0) 0 , (4) 0y y= =

8. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de manera que su velocidad en el instante t es

2sent. Determina la posición respecto de un punto de referencia en la recta de la partícula en

el instante t. ¿Qué se puede decir si se sabe que, en el instante inicial, la partícula se

encuentra a una distancia 2 del punto de referencia?


ETSEM Curso 14/15 6

9. Identifica cada ecuación diferencial con su campo de direcciones:

a) y’ = 2x b) y’ = cosx c) y’ = 2x

1−

Fig.1

Fig.2

Fig.3

10. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional

a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire.

Si la temperatura del aire es de 20ºC y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100ºC hasta

60ºC, ¿cuánto tiempo tardará su temperatura en descender hasta los 30ºC?

11. La ley de «enfriamiento» de Newton establece que la variación de la temperatura, T, de un

cuerpo con respecto al tiempo, t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura, T, y la

temperatura ambiente, Ta.

Un día de primavera a 30ºC, se mete una pizza a las 20.30 horas en un horno precalentado a

una temperatura Ta=220ºC. Si a los 15 minutos la temperatura de la pizza es de 150ºC, ¿a qué

hora alcanzará la pizza los 200ºC?

12. El ritmo con que el número de personas abandonan un pabellón deportivo de baloncesto

después de un partido, es proporcional al número de personas que todavía no lo han

abandonado. Si inicialmente había 10000 espectadores y a los tres minutos habían salido

1000 personas, ¿cuánto tiempo tardarán en salir del pabellón la mitad de los espectadores?

13. En cierto país donde habita una tribu indígena aparece un extraño virus que produce la

muerte de sus habitantes de forma instantánea. Si la variación de la población, y , de dicha

tribu por semana es igual a y− personas, y cuando se declara la infección la población es

de 625 personas, ¿en cuántas semanas estarán todos muertos, si no se encuentra antes una

vacuna eficaz?

14. Un cultivo de bacterias recién inoculadas contiene 100 células. Al cabo de 60 minutos se

encuentra en el cultivo 450 células. Sabiendo que la tasa de crecimiento del cultivo de

bacterias es directamente proporcional a la población inicial, se pide:

a) Número de células presentes en cualquier tiempo t medido en minutos.

b) ¿Cuánto tiempo será necesario para que el número de células inoculadas inicialmente se

duplique?


ETSEM Curso 14/15 7

15. Sea la ecuación diferencial c1ky

dt

dy += , donde k es una constante positiva y c es un número

positivo denominado término de crecimiento.

�� Determina la solución general de esta ecuación diferencial para y > 0.

�� Una raza de conejos tiene el término de crecimiento c = 0´01. Si se crían inicialmente 2

conejos y al cabo de tres meses hay 16 en la conejera, calcula el valor de k. ¿Cuándo

tiempo tardará en tener la población 10000 conejos?

16. Resuelve la ecuación diferencial (3y2 + 2y)y’ = xcosx. Encuentra la solución particular que

verifica la condición inicial y(0) = 0.

17. Halla la solución general de la ecuación diferencial y´− 4x3y = 0. ¿Cuál es la solución de la

condición inicial y(0) = 4?

18. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje de abscisas de tal forma que, en cada instante t, su

velocidad viene dada por la ecuación tlnxdt

dx 2= . Si el cuerpo se encuentra en el punto de

abscisa -2 cuando t = 1, ¿en qué punto se hallará cuando t = 3?

19. El DMA ha encontrado un cadáver el pasado lunes al mediodía en un despacho donde la

temperatura ambiente es de 21ºC. En el momento del descubriento del cadáver por un

miembro del DMA, el cuerpo presentaba múltiples lesiones y una temperatura corporal de

24´4ºC, siendo una hora después la temperatura de 24ºC. ¿A qué hora se produjo el

fallecimiento de nuestro amigo?

�� La ley del enfriamiento de Newton establece que la variación de la temperatura, T, de un cuerpo con respecto al tiempo, t, es proporcional a la diferencia de temperatura, T, y la

temperatura ambiente Ta.

�� Se considera que la temperatura normal del cuerpo humano es de 37ºC.

20. La ecuación kPdt

dP = modela el crecimiento de una población donde P es el número de

individuos, k la constante de proporcionalidad y t el tiempo en años.

a) Hállese la solución general de esta ecuación diferencial, en forma explícita, que permita

expresar la población en función del tiempo.

b) Tomando k = 0´018, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que se duplique la población

inicial?

Prácticas de Matemáticas I Tema 4. Funciones reales de varias variables

ETSEM Curso 14/15

8

Tema 4. Funciones reales de varias variables

1. Dibuja, aproximadamente, la gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 5 b) f(x, y) = 4 – x2 – y

2 c) f(x, y) = x

2 + y

2 d) f(x, y) =

9

y

4

x 22

+

2. Representa las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) z = x + y , para c = -1, 0, 2, 4

b) z = 22 yx25 −− , para c = 0,1, 2, 3, 4

c) f(x, y) = 22 yx

x

+, para c = 1, 2

3. Identifica y representa, aproximadamente, el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 22 yx4 −− b) f(x, y) = xln(xy) c) f(x, y) = arcsenx + arccosy

d) ( ) ( )3yxcosarc4x2yy,xf 2 −−+−+−= e) ( ) ( ) − −= + +

2 29

, 3 lnx y

f x y y xy

Posteriormente, analiza si cumplen (en sus dominios respectivos) el Teorema de Weierstrass.

4. Halla y representa, aproximadamente, el dominio de las siguientes funciones, indicando si se

trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

) ( , ) 2a f x y y x= + 2 2) ( , ) 4 9b f x y x y= - + - 2 2

1) ( , )

1c f x y

x y=

+ -

( ) ( )) x, y = lnd f x y- - 2

) (x, y) = y

e f arcsenx

) ( , ) lny

f f x yx

=

g) )]4yx)(yx16ln[()y,x(f 2222 −+−−= ( )2 2

2 2

ln 1) (x, y) =

x yh f

x y

- -

+ i)

2 2

1( , )

4f x y

x y=

−

5. Calcula los siguientes límites:

a) 32)2,1()y,x( yx

x5lím

+→ b)

xy

senxylím

)0,0()y,x( → c)

)yx(arcsen

elím

y

)0,1()y,x( +→

d) ( ) ( ) xy1

xy1lím

0,1y,x −−−−

→ e)

( ) ( ) xy

1cosxelím y

3,0y,x →

6. Determinaxy

yxlím

22

)0,0()y,x(

+→

a) Siguiendo la trayectoria y = x

b) Siguiendo las trayectorias y = kx c) ¿Existe el límite? Justifica la respuesta.

7. Halla, si existen, los siguientes límites. Si el límite no existe, explica por qué.


ETSEM Curso 14/15

9

a)

2

22

22

)0,0()y,x( yx

yxlím

+−

→ b)

24

2

)0,0()y,x( yx

yx2lím

+→ c)

1yx

ylím

)0,1()y,x( −+→ d)

→

−− + −

2 2

2 2 2 3(x,y) (0,0)

x x ylim

2x 2x y y y

e) 2

2 2( , ) (1,0)

( 1)lim

( 1)x y

x Lx

x y→

−− +

f)2

2 4( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y→ + g)

( ) ( )

4

3 4, 1,1x y

x ylím

x y→

−−

h)14x4yx

yxy lím

32)0(2, )y,x( −+−+−=

→

8. Calcula, si existen, los siguientes límites:

a) x

senxylím

)4,0()y,x( → b)

22

y2

)0,1()y,x( yx

)ex3ln(lím

+

+ −

→ c)

x

ysenylím 2

),4()y,x( π→ d)

yx

yxxylím

)0,0()y,x( ++−

→

e) 22

22

)0,0()y,x( yx

)yx(xsenlím

++

→ f)

yx

yxlím

)0,0()y,x( +−

→ g)

222

22

)0,0()y,x( )xy(yx

yxlím

−+→

h) 22)0,0()y,x( yx

xylím

+→ i)

42

2

)0,0()y,x( yx

x3lím

+→ j)

yx

yxlím

22

)1,1()y,x( −−

→

9. Analiza la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

a) f(x, y) = 22 yx

y2x

+−

, en el punto P(0,0)

b) f(x, y) = ln(x2+ y

2), en el punto P(0,0)

c) f(x, y) = exy, en cualquier punto P(x,y)

10. Estudia la continuidad en (0,0) de las siguientes funciones:

a)

=

≠+=

)0,0()y,x(,0

)0,0()y,x(,yx

xy4

)y,x(f22

b)

=

≠+=

)0,0()y,x(,0

)0,0()y,x(,yx

1xsen

)y,x(f22

c)

==

≠++=

0yx,0

0yx,yx

xy2

)y,x(f

2222

d)

=

≠+=

)0,0()y,x(,0

)0,0()y,x(,yx

)xy(sen

)y,x(f22

11. Se considera la función = − + +2g(x, y) x y arcsen(x 1) . Se pide:

a) Encontrar su dominio, dibujarlo y razonar si se trata de un conjunto abierto cerrado y

acotado.

b) Estudiar si los puntos A(0,0), B(-3,-1) y C(-1,3/4) son interiores del dominio de g.

12. Se considera la función− + −

= + − +−

2x 2y 6

f(x, y) arcsen(x y 2)y 3

. Se pide:

a) Hallar su dominio, dibujarlo y razonar si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

b) Clasificar como interior, exterior o frontera los puntos A(0,3), B(-2,5) y C(0,0).

13. Se considera la función ( )2 216 x y 2f(x, y) e arcsen x y

- -= - - .

a) Dibuja el dominio y razona si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.


ETSEM Curso 14/15

10

b) Estudia si los puntos A(0, 1), B(1, 2

1) y C(-3, 1) son interiores, exteriores o fronteras del

dominio de la función.

14. Sea ( )22

22

yx

yxy,xf

+−= . Determina la existencia de

( ) ( )( )y,xflim

1,1y,x → y

( ) ( )( )y,xflim

0,0y,x →, y

estudia la continuidad de f.

15. Dada la función

=

≠−−

=3

33

xy,1

xy,yx

yx

)y,x(f . Estúdiese la continuidad en los puntos A (0, 0) ,

B (0,1) y C (1,1) .

16. a) Prueba que no existe 1xy

yxlím

22

)1,1()y,x( −−=

→

b) ¿Cuál debe ser el valor de k para que la siguiente función f sea continua en todo ú2?

17. a) Realiza un dibujo del dominio T de la siguiente función de dos variables

11yx

yx)y,x(g

22

22

−+−−

−−= . Posteriormente, razona si los puntos A(0,0), B

−2

2,

2

2,

C

0,

4

1 y D(-1,1) son interiores, fronteras o exteriores del conjunto T.

b) Calcula, si existe, 11yx

yx lím

22

22

)0(0, )y,x( −+−−

−−=→

.

18. Dada la función f(x,y) = 1y

x

2

e

yx1

−

−+. Se pide:

a) Encontrar razonadamente el dominio de f(x,y). Posteriormente, dibujarlo y averiguar si se

trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

b) Clasificar como interior, exterior o frontera del dominio de f(x,y) los puntos A(-1,0), B(2,1),

C(2,0) y D (0, 3).

19. a) Prueba que no existe el límite: 44

22

)0,0()y,x( yx

yx8lím

+→

b) Halla los límites: • 22

3

)0,0()y,x( yx

xlím

+→ •

yx

)yx(sen)yx5(lím

)1,1()y,x( −−+

→

c) Estudia la continuidad de la siguiente función en los puntos (1,1) y (1,0):

−=

−≠++=

)0,3()y,x(,k

)0,3()y,x(,y3) (x

yy

)y,x(f 22

2


ETSEM Curso 14/15

11

=

≠−

−+

=xyx6

xyyx

)yx(sen)yx5(

)y,x(f

20. Dadas las siguientes funciones: f(x, y) = 22 yx

1

e + , g(x, y) = 42

2

yx

xy3

+

a) Halla el dominio de f(x, y) y de g(x, y).

b) Calcula )y,x(flím)0,0()y,x( →

.

c) Prueba que no existe )y,x(glím)0,0()y,x( →

.

21. Se considera la función f(x,y) = )yxln(

1y4x936 22

−+−− .

a) Halla, razonadamente, el dominio de f y realiza un dibujo aproximado del mismo.

b) Estudia si el dominio de f es un conjunto abierto, cerrado y acotado.

c) Clasifica como interior, exterior o frontera del dominio de f(x,y) los puntos A(1, 2), B(1, 1),

C(1, 0) y D(1, -1).

Prácticas de Matemáticas I Tema 5. Derivadas parciales y diferenciabilidad

ETSEM Curso 14/15

12

Tema 5. Derivadas parciales y diferenciabilidad

1. Aplicando la definición de derivada parcial de una función en un punto, halla, si existen, las

derivadas parciales xf y yf en los puntos indicados.

a) = +( , ) 2 ,f x y x y P(2,3) b)

=

≠+=

)0,0()y,x(si0

)0,0()y,x(siyx

yx

)y,x(g 22

2

, P(0,0)

c) h(x,y) = 2x + 3y , P(1,2) d) j(x,y) = 22 yx + , P(0,0)

2. a) Pruébese que la función )y,x(f tiene derivadas parciales xf y yf en el punto (0,0) y, sin

embargo, no es continua en dicho punto.

( )

=

≠+−=

)0,0()y,x(si0

)0,0()y,x(sixyx

x

)y,x(f 622

6

b) Pruébese que la función )y,x(g es continua en el punto (0,0) y, sin embargo, no tiene

derivadas parciales en dicho punto.

+ ≠= + =

2 2

2 2

1( , ) (0, 0)

( , )

0 ( , ) (0, 0)

x y sen si x yg x y x y

si x y

3. Halla las funciones derivadas parciales primeras de las siguientes funciones:

a) = − + − +2 2( , ) 2 5 3 6f x y x y x y x b) ( )=( , ) yg x y e sen xy

c) += −

( , ) lny x

h x yy x

d) =( , )y

j x y arctgx

4. Calcula, si existen, las derivadas parciales primeras de la función =+3

( , )y

f x yx y

.

Posteriormente, obténgase el valor de m para que verifique la ecuación

( , ) ( , ) ( , )x yx f x y y f x y m f x y+ = .

5. Calcula en los puntos indicados las derivadas parciales de primer y segundo orden de las

siguientes funciones:

= − +2 2 2( , ) 3 2 5f x y xy y x y ,P(-1,2) ; = −( , ) cos cosg x y x y y x ,Q(0,π/2); =( , ) lnxh x y e y , R(0,e).

6. Encuentra el valor de k que verifica la ecuación ∂ ∂+ =∂ ∂g g

x y kx y

, siendo ( ) −= +

22 2

2 2

x yg x,y

x y.

7. Dada la función ( )

++=1x

ykxlny,xf . Calcula el valor de k para que ( ) ( ) 10,10,1 −=− yx ff

8. La función f(x,y), definida para todos los puntos (x,y)∈ ú2, verifica que

∂ =∂

0f

x y

∂ =∂

0f

y,

y, además f(1,1) = 3. Halla, razonadamente, todas las posibles funciones f(x,y).


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13

9. Dada la función 2 2

3( , ) (0,0)

( , )

0 ( , ) (0,0)

xysi x y

x yf x y

si x y

− ≠ += =

. Prueba que existen las derivadas

parciales en (0,0), pero no son continuas en (0,0).

10. Dada la superficie = +2 24z x y , se pide:

a) Pendientes en las direcciones x e y, en el punto P(1,-1,5).

b) Sean 1C y 2C las curvas intersección de la superficie z con los planos 1 : 1 0yp + = y

− =2 : 1 0xπ , respectivamente. Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes a 1C y 2C ,

contenidas en los planos 1p y 2p , respectivamente, en el punto P.

c) Dar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie z en el punto P.

11. Halla las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a las superficies indicadas, en los puntos correspondientes.

a) − − =( ) 2sen x y z , −

3, ,

3 6 2P

π π b) = y

z arctgx ,

1,1,

4Q

π c) )1seny(ez x += ,

0, , 22

Tπ

d)

=

=+

+=

)0,0()y,x(,0

)0,0()y,x(,yx

yx2

)y,x(f 22 en el punto P(3,4,2).

12. Se considera la función f(x,y) = 22 yx + . Estudia la continuidad de la función ( , )xf x y y

halla, si existe,(x,y) (0,0)lim ( , )xf x y®

.

13. Se considera la función 2 2g(x, y) y x arcsen y= - - . Se pide:

a) Hallar su dominio, dibujarlo y razonar si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

b) Calcular el valor de la expresión y

gx

x

gy

∂∂+

∂∂

.


=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

2

yx

yxyx

xseny

yxf

a) Halla ),()0,0(),(

yxflímyx →

.

b) Calcula ( , )yf x y para todo )0,0(),( ≠yx .

c) ¿Existe )0,0(yf ?


=

≠+=

)0,0()y,x(,0

)0,0()y,x(,yx

yx5

)y,x(f 24

2

a) ¿Se puede afirmar que las derivadas parciales primeras en )0,0( existen y son iguales?

b) Estúdiese la continuidad de ),( yxf en el punto )0,0( .

16. Dada la función 2 2( , ) 5 ( 1)g x y x y= − − + , se pide:

a) Dibujar la región del plano formada por los puntos (x,y) tales que g(x,y) ≥ 0.

b) Hallar el plano tangente a la superficie ( , )z g x y= en el punto (4,0,2) y probar que ese mismo

plano es tangente a la superficie en cualquiera de sus puntos de la forma (a,0,c), donde a > 1,

c = g(a,0).


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14

c) Probar que no existe la derivada parcial gx(1,0).


=

≠+−

=)0,0()y,x(, 0

)0,0()y,x(, yx

xyyx

)y,x(f 22

33

a) Halle las funciones derivadas parciales primeras para todo (x,y) ≠ (0,0).

b) Determine, mediante la definición, las derivadas parciales fx(0,0) y fy(0,0).

c) Pruebe que fxy(0,0) ≠ fyx(0,0).

18. a) Estudia la continuidad de la función

=

≠+−

=)0,0()y,x(, 0

)0,0()y,x(, yx

yx

)y,x(f 22

22

b) La ecuación de una onda, puede ser una ola del mar, una onda de ruido, de luz o una onda que

viaja a lo largo de una cuerda vibrante, es: 2

22

2

2

x

fa

t

f

∂∂=

∂∂

. Estudia si f(x, t) = sen(x – at) verifica

la ecuación de la onda.

19. Dada la función f(x,y) = x2 arctgx

y - y

2 arctg

y

x, se pide:

a) Dominio de f(x,y).

b) Funciones derivadas parciales primeras fx(x,y) y fy(x,y).

20. Se definen las siguientes funciones, f(x,y) = ln(x2- y) y g(x,y) = )yxln(

12 −

.

a) Identifica los puntos (x,y) donde f(x,y) = 0.

b) Dibuja sus respectivos dominios.

c) Halla las funciones derivadas parciales fy, gy.

21. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones:

= − − +3 3( , ) 3 4f x y x y xy ; =( , ) cosxg x y e y ; + −=2 2 1( , ) x yh x y e ; = +2 2( , )j x y x y ;

2 3( , ) 2 2k x y x y xy= - - ; 3 3 2 2( , ) 3 3 9l x y x y x y x= + - - - ; ( )( )2 2m(x, y) y x y 2x= - -

22. Estudia, según los distintos valores de a, los extremos relativos de las siguientes funciones: a) = − +3 3( , ) 3f x y x axy y b) ( ) = − +3 3 2, 3g x y x axy a y

23. Halla los extremos absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos indicados: a) f(x,y) = 2xxy − , { }1y0,1x0/R)y,x(A 2 ≤≤≤≤∈=

b) g(x,y) = 2 2 2x xy y- + en el triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (0,2)

c) h(x,y) = 2 2 5 2x y y+ - - en la región del plano limitada por = yx , y=0, x=2.

d) j(x,y) = 32 yx2 + , { }1yx,0y,xy/R)y,x(B 222 ≤+≥−≥∈=

e) l(x,y) = 22 yx22 e)yx( −+ , { }1yx/R)y,x(C 222 ≤+∈=

24. Dada la función f(x,y) = )xy1()yx( −⋅− . Halla:

a) Extremos relativos.


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15

b) Extremos absolutos en el triángulo de vértices (0,0), (3,0) y (3,3).

25. Se desea construir una caja metálica cerrada en forma de paralelepípedo de volumen igual a 60 m

3. Debido al material empleado, el coste de la base es de 10 €/m

2, el de la tapa 20 €/m

2 y

el de los lados de 2 €/m2. Se pide:

a) Determinar la función de costes de compra f(x,y), donde x es la longitud e y la anchura de

la caja.

b) Averiguar las dimensiones de la caja para que el coste de compra sea mínimo y hallar

dicho coste.

26. Un padre deja en herencia a sus tres hijos 9 millones de euros para su disposición a partir del año 2016. En el testamento se fija la siguiente cláusula matemática: “El producto de las

cantidades repartidas en la herencia a cada uno de sus tres hijos ha de ser lo mayor posible”.

¿Qué cantidades heredarán cada uno de ellos?

27. Halla tres números positivos cuya suma sea 300 y tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

28. Dada la función 2 2 2( , ) ( )ax yf x y e b x y+= + + , se pide:

a) Estudiar para qué valores de a y b la función f tiene un máximo relativo en (0,0).

b) Tomando 0 , 1 ,a b= = estudiar los extremos absolutos de la función f en el

semicírculo { }0x,4yx/R)y,x(D 222 ≥≤+∈= .

29. Dada la función 2 22 2 1( , ) ( 4 ) x yf x y x y e - -= + × . Hallar:

a) Los puntos críticos.

b) Los extremos absolutos en el conjunto { }22 x1y0,1x1/R)y,x(A −≤≤≤≤−∈= .

30. Se considera la función f(x,y) = x2 - y2 + kxy

a) Demuestra que la función f(x,y) para k=2 no posee extremos relativos.

b) Halla los extremos absolutos de f(x,y) para k=0 si se considera sólo los puntos (x,y) sobre

la circunferencia de centro (0,0) y radio 1.

c) ¿Se produce alguna variación al considerar en el apartado anterior el conjunto de puntos

(x, y) del círculo de centro (0,0) y radio 1?

31. Pruébese que la función 222 2),( yxyxyxg −+= no posee extremos relativos, y hállense los

extremos absolutos sobre el conjunto { }1/),( 222 ≤+∈= yxRyxA .

32. Halla los extremos absolutos de la función = + −2( , ) 3 3h x y x y xy sobre la región limitada por las

rectas = =, 0y x y y = 2x .

33. Determina los extremos absolutos de la función ( )( , )g x y sen xy= en la región del plano

{ }1y0,x0/R)y,x(S 2 ≤≤π≤≤∈= .

34. Se desea diseñar una caja que tenga el máximo volumen posible y cuyas dimensiones en centímetros x, y, z cumplan la condición 3x + 2y + z = 180. ¿Cuáles deben ser las

dimensiones de la caja?

35. Halla los extremos de la función 2 2( , ) 2 2 3f x y x y x= + − + sujeto a las restricciones 2 2 10x y+ ≤ .

36. Se considera la función f(x,y) = (x-1) cosy, con dominio 0≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π.


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16

a) Halla los puntos de silla de f.

b) Halla los puntos del plano XY en los cuales la función f alcanza el máximo y el mínimo

absolutos, así como dichos valores extremos.

37. Sea la función f(x,y) = x2 + kxy + y2

a) Prueba que para todo valor de k la función f tiene un punto crítico en (0,0).

b) ¿Para qué valores de k la función f tiene un punto de silla en (0,0)? ¿Para qué valores de k la función f tiene un extremo relativo en (0,0)?

38. Se está diseñando un edificio prismático de base rectangular sin vuelos en fachadas de tal forma que se minimice la pérdida de calor. Los muros orientados al este y al oeste pierden

calor a razón de 10 unidades por metro cuadrado al día, mientras que los que dan al norte y al

sur lo hacen a razón de 8 unidades por metro cuadrado, el suelo a razón de una unidad por

metro cuadrado al día y el techo a razón de 5 unidades por metro cuadrado al día. Cada muro

debe tener al menos 20 metros de longitud y al menos 4 metros de altura.

Sabiendo que el volumen del edificio ha de ser de 4000 metros cúbicos, se pide:

a) Expresar la función de la pérdida de calor del edificio en función de las longitudes de los

lados de la base y dibujar el dominio.

b) Determinar las dimensiones del edificio que minimicen la pérdida de calor.

39. Demuestra que la función f(x, y) = 3xey – x3 – e3y tiene un extremo relativo en un punto que no es extremo absoluto.

40. Halla los extremos absolutos de la función f(x,y) = y6xyxy 2 +−− , sobre el dominio

D = {(x, y) ∈ ℝ2 / 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 5}.

41. Determina, razonadamente, los extremos absolutos de la función f(x,y) = x3 + y2 sobre el

conjunto C = {(x, y) ∈ ℝ2 / x2 + y2 ≤ 1 ∧ y ≥ 0}.

42. El dueño de una cadena de tiendas ha dibujado en un mapa, donde la unidades vienen dadas en kilómetros, los tres centros más importantes que están localizados en los puntos A(0, 0),

B(8,0) y C(1, 5). Desea construir un nuevo centro situado en un punto W con el fin de

minimizar la suma de los cuadrados de las distancias desde él hasta las tres tiendas. ¿En qué

punto del triángulo ABC se debería situar el nuevo centro W?

Prácticas de Matemáticas I Tema 6. Integrales múltiples

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17

Tema 6. Integrales múltiples

1. Dadas las siguientes integrales iteradas, dibuja su región de integración:

a) dydx)y,x(fy5

y

2

1 ∫∫−

b) dxdy)y,x(fxcos1

00 ∫∫+π

c) dydx)y,x(fy

y

1

0 ∫∫ d) dxdy)y,x(f2

2

x1

x1

0

1 ∫∫−

−−−

2. Plantea la integral iterada, para los dos órdenes de integración, sobre cada una de las

siguientes regiones de integración:

3. Evalúa las siguientes integrales iteradas:

a) dydx)ycossenx(0

2

0

2

∫ ∫π

π

b) dydx)1y

x2

1x

y8(

1

0

2

0 2∫ ∫ +−

+ c) dxdy

x

senx1

0

x

x2∫ ∫

d) dydx)xy(x0

1

0

y

2322

∫ ∫−− e) dxdyx1

1

0

x

0

2

∫ ∫ − f) dydxsenxseny2

0∫ ∫π

π

π−

4. En cada apartado, plantea la integral iterada para los dos órdenes de integración y calcula la integral utilizando el orden más conveniente.

a) dxdy)x(ysen2 2

∫∫ℜπ U = {(x, y) ∈ú

2 ,2x1/ ≤≤ }xy0 ≤≤

b) dxdyyx

y22∫∫ℜ +

ℜ : región limitada por , 2 , 1 , 2y x y x x x= = = =

c) dxdyx 2

∫∫ℜ ℜ : región limitada por 16 , , 0 , 8xy y x y x= = = =

d) dxdye y3x

∫∫ℜ

+ ℜ : trapecio de vértices (1,1), (4,1), (2,2), (3,2)

e) dxdy)yx(

xy

R 322

2

∫∫ + U = {(x,y) ∈ ú

2 / x ≥ 0, y ≥ 1, y ≤ 3, y ≥ x2}.

5. Las integrales iteradas propuestas proporcionan el área de una región ℜ . Se pide dibujar la

región ℜ , hallar la integral iterada con el orden de integración invertido y calcular el área de

la región.

a) dydx1

0

y

y

31

2∫ ∫ b) dxdy2

6

x2

14

x2∫ ∫−

−

− c) dxdydxdy

4

2

x4

0

2

0

x

0 ∫ ∫∫ ∫−

+

6. Halla el volumen del sólido que tiene como base la región ℜ del plano XY y altura

( , )z f x y= , en los siguientes casos:


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18

a) z =2

y, U= [0, 4] × [0, 2]

b) 2 4z y y= - , U: región determinada por x y= , 2y = , 0 ≤ x ≤ 2

c) 2yz xe= , U = {(x,y) ∈ ú

2 / x ≤ 0, x2 ≤ y ≤ 4}

d) 3 cosz x y x= + , U = {(x,y) ∈ ú2 / 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤

2

π }

7. Dada la función ( , ) cosf x y x y= , y la región U del plano XY limitada por las rectas

y = 2

π + x, x = 0, y = 0, x =

2

π . Se pide:

a) Estudiar la integrabilidad de f en U.

b) Razonar si el valor de la integral doble de f en U proporciona el volumen del sólido

comprendido entre la gráfica de f en U y su proyección sobre el plano XY.

c) Calcular dxdy)y,x(f∫∫ℜ .

8. Halla el volumen de un auditorio, construido sobre un solar en forma de triángulo rectángulo

isósceles de lado 50 metros, sabiendo que un modelo para el suelo y el techo viene dado por

las ecuaciones:

Suelo: x+ y

z =5

; Techo: xy

z = 20+100

9. Dada la integral iterada dxdy)y,x(f4

1

x2

x∫ ∫ , se pide:

a) Dibujar la región de integración D.

b) Calcular el valor de la integral para ) 1f(x, y = y razonar la relación de esta integral con el

área de la región D.

c) Hallar el valor de la integral para f(x, y)= x+ y y dar una interpretación geométrica de

dicha integral.

10. Calcula el volumen del sólido que tiene como base la región del plano XY limitada por la

gráfica 2 2x y 9+ = y altura z x 4= + .

11. Dada la integral iterada ∫ ∫2 1

0 y / 2f(x, y)dxdy . Se pide:

a) Dibujar la región de integración D.

b) Cambiar el orden de integración y, posteriormente, calcular el valor de la integral para

=3xf(x, y) ye

12. Se considera la región del plano ℜ limitada por las gráficas de y 2 x= , x 1= , x 2= ,

x y 0+ = . Y sea ( )f x, y una función continua en ℜ.

a) Plantea, en los órdenes de integración posibles, la integral doble de la función f en dicha región ℜ.

b) Resuelve dicha integral para la función ( )3y

f x, yx

= .

c) Razona si el resultado del apartado (b) es la medida del volumen del sólido limitado por

( )z f x, y= y cuya proyección sobre el plano XY es ℜ.


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19

13. Halla ( )ℜ−∫∫

2

4 5xe sen y dxdy , donde ℜ es la región limitada por las gráficas de

= = =, 0, 4y x y x .

14. Utiliza integrales dobles para averiguar el área de la región del primer cuadrante limitada por

las curvas = 3y x , + =2 2 2x y y el eje de ordenadas.

15. Halla el volumen del sólido determinado por la proyección ortogonal de la superficie f(x,y)

sobre la región triangular del plano XY de vértices (0, -1), (1, 0) y (0, 1), siendo

yxex)y,x(f +=

16. Sea U la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuación 2x

4y = e y = 5 –x

2.

a) Expresa el área de U como una integral doble de dos formas distintas, es decir,

intercambiando los órdenes de integración.

b) Posteriormente, calcula una de esas integrales para hallar el área de U.

17. Se considera la siguiente suma de integrales iteradas:

dydx)yx(dydx)yx(2

1

y2

0

221

0

y

0

22

∫ ∫∫ ∫−

+++

a) Dibuja el recinto de integración A.

b) Invierte el orden de integración y, después, calcula su valor.

c) Razona si la integral calculada en b), representa el volumen del sólido determinado por la

región A y la superficie z = x2 + y

2

18. Determine el valor de k para que la función, f(x,y) = k(x + 2y), definida en el conjunto

U = {(x,y) ∈ ú2 / 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10}, verifique que 1dydx)y,x(f =∫∫ℜ .

¿Qué interpretación geométrica se puede dar a la integral anterior?

19. Dibuja la región U = {(x,y)∈ú2 / 0 ≤ x ≤ y9 − , 0 ≤ y ≤ 3}. Posteriormente plantea la

integral para los dos órdenes de integración y utiliza el orden más conveniente para encontrar

el valor de ∫∫ℜ dydx e interprétalo geométricamente.

20. Se sabe que la integral doble I= ∫∫ℜ dA)y,x(f puede calcularse mediante la integral iterada

∫ ∫1

0

1

x2dxdy)y,x(f .

a) Dibuja la región de integración ℜ.

b) Da otra integral iterada igual a I invirtiendo el orden de las variables y calcula el valor de

dicha integral, para 2yxe)y,x(f −= .

c) ¿Cuál es el volumen del recinto -destinado a los músicos para conciertos al aire libre-

comprendido entre la base ℜ y su proyección vertical sobre la función 2yxe40)y,x(g −= ?


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20

21. Dada la integral I = dydxey1

0

y

0

xy2

∫ ∫ , se pide:

a) Dibuja la región de integración.

b) Plantea la integral en el orden de integración inverso al dado.

c) Calcula el valor de I e interpreta geométricamente el resultado obtenido.

22. Se está diseñando un pabellón polivalente que albergue eventos deportivos, conciertos, grandes espectáculos y ferias. Además, las instalaciones albergarán un graderío retráctil que

permita variar la superficie total de la pista central. Para ello, se ha pensado que la cubierta

venga representada por el paraboloide de ecuación z = y2 – x

2. Determina, mediante

integrales dobles, el volumen del pabellón si la planta es la región del plano

U = {(x,y) ∈ ú2 / -1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3}.

23. Se considera la siguiente integral doble:2

2

2 10 y

y0

4

xydx dy−

∫ ∫

a) Dibuja la región de integración.

b) Plantea una integral equivalente cambiando el orden de integración.

c) Calcula el valor de la integral en el orden más conveniente e interpreta geométricamente el

resultado.

24. Una parcela de terreno linda al oeste por un río que sigue la recta y = 2x, al este por una plaza

parabólica de ecuación 2)4y(4

16x −=− , al norte y al sur por sendas calles según las rectas

y = 8 e y = 0, respectivamente.

a) Si las variables x e y vienen dadas en hectómetros, halla mediante integrales dobles la

superficie de la parcela.

b) Se desea diseñar una torre de planta cuadrada situada en la parcela anterior, más

concretamente sobre el recinto A = {(x,y) ∈ ú2 / 4 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 3}, y que tenga por cubierta

el paraboloide z = 2 – (x – 5)2 – (y – 3)

2. ¿Cuál es su volumen?

Ejercicio 1. (2 puntos) Dada la función f(x) =

∈+−∈

]e,1(x,xln1

]1,1[x,x3

a) Estudia la continuidad de la función.

b) Halla puntos de crecimiento y de decrecimiento. Obtén el recorrido de la función.

c) Calcula el área limitada por y = f(x), y = 0, x = –1, x = 1.

Ejercicio 2. (2 puntos) Una empresa automovilística quiere dar a conocer un nuevo coche en una determinada ciudad, con una población de 100.000 habitantes, mediante vallas publicitarias. Se supone que el ritmo de

crecimiento del número de personas que ven la valla por primera vez es proporcional al número de personas que no

lo han visto.

a) Determina la ecuación diferencial que describe el número de personas, P, que han visto alguna valla en un instante t. A continuación, halla la solución general en forma explícita.

b) La empresa sabía que nadie conocía el coche al inicio de la campaña mientras que al cabo de 20 días el 50% de los habitantes de la ciudad lo conocían. Asumiendo que sólo se conoce el coche a través de vallas publicitarias,

¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que el 90% de la población conozca el producto?

Ejercicio 3. (2 puntos) Dada la función f(x, y) = 22

22x

1

yx

)yx(sene2

++

−

:

a) Determina su dominio D(f). Obtén fr(D(f)) y razona si D(f) es un conjunto abierto, cerrado o acotado.

b) Calcula 22

22x

1

)0,0()y,x( yx

)yx(senelím

2

++

−

→.

c) Halla la función derivada parcial primera fy(x, y).

Ejercicio 4. (2 puntos) Dada la función f(x, y) = x2 y2, se pide:

a) Extremos relativos de f en su dominio.

b) Extremos absolutos de f(x, y) definida sobre el triángulo, T, de vértices A(–1, –1), B(1, –1) y C(1, 1).

Ejercicio 5. (2 puntos)

a) La integral iterada ∫ ∫∫ ∫ +2

1

2

y

1

0

2

1dydxdydx proporciona el área de una región ℜ del plano XY. Dibuja la

región, halla la integral iterada con el orden de integración invertido y calcula el área de dicha región.

b) Calcula, razonadamente, el volumen del sólido que tiene como base la región ℜ y altura f(x, y) = 3x + ylnx.

ESCUELA UNIVERSITARIA DE ARQUITECTURA TÉCNICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

MATEMÁTICAS I 10 de enero de 2012

Ejercicio 1. (2 puntos) Dada la función f(x) = xarctgx ∀x∈[0, 1]

a) Halla intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x) en su dominio.

b) Calcula ∫ dxarctgxx

c) La integral dxarctgxx1

0∫ , ¿representa el valor de un área? En caso afirmativo razona por qué y calcula su

valor. En caso negativo, razona la contestación.

d) Considerando f(x) = xarctgx definida ∀x∈[-1, 1], la integral dxarctgxx1

1∫−, ¿representa el valor de un área?

Razona la contestación.

Ejercicio 2. (2 puntos) Un vino se saca de la bodega, donde estaba a 10º C, y se deja en una habitación con una temperatura ambiente de 23º C. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15º C, ¿en qué momento

alcanzará el vino 18º C de temperatura?

La ley de enfriamiento de Newton establece que la variación de la temperatura, T, de un cuerpo con respecto al

tiempo, t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura, T, y la temperatura ambiente, Ta.

Ejercicio 3. (2 puntos) Dada la función f(x, y) =

=

≠+

(0,1)y)(x,,0

(0,1)y)(x,,1)-y(x

kx22

3

a) Analiza la continuidad de f(x, y) ∀k∈ú.

b) Para k = 1, halla la función derivada parcial fx(x, y) ∀(x, y)∈ú2

Ejercicio 4. (2 puntos) Dada la función f(x,y) = x2 + y2 – x + 7, se pide.

a) Extremos relativos de f en su dominio.

b) Extremos absolutos de f(x, y) definida sobre el semicírculo, C = {(x, y)∈ú2 / x

2 + y

2 ≤ 1, y ≥ 0}.

Ejercicio 5. (2 puntos) Calcula, razonadamente, el volumen de un edificio que tiene por planta la región de puntos del plano

ℜ = {(x, y)∈ú2 / 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ senx} y cuya cubierta viene dada por la superficie f(x, y) = 1 + senx.



MATEMÁTICAS I 3 de julio de 2012

Ejercicio 1. (2,5 puntos) Se considera la función f(x) = 3x3

e31+−

a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y extremos relativos.

b) Comprueba que f(x) es solución particular de la ecuación diferencial y’ = x2 (y+1), siendo y >–1.

c) Encuentra la solución general, en forma explícita, de dicha ecuación diferencial.

Ejercicio 2. (2,5 puntos) Dada la función f(x,y) = 2x4y2cos − , se pide:

a) Hallar su dominio D y clasificar los puntos A(1,2), B(0,2) y C(2, 2) respecto de D.

b) Estudiar la continuidad de f(x,y) y calcular las funciones derivadas parciales primeras.

c) Hallar el límite de las funciones derivadas primeras en el punto (0,0).

d) Calcular, si existe, la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x,y) en los puntos P(0,2, cos2) y Q(0,0,1).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

a) Halla, razonadamente, los extremos relativos de la función ( ) 2 4f x, y x y= .

b) María es una estudiante de grado en edificación que se ha pasado estas vacaciones de Navidad, intentado

contactar con alguien de la compañía ORANGETE porque tiene diversos problemas de cobertura que le impiden

poder utilizar su móvil en óptimas condiciones. Por otra parte, su hermana Sara, que tampoco está contenta con esta

compañía, le propone que se cambien a PODAFONE que ofrece mejores condiciones y, además, pueden conseguir

los teléfonos IGOCE IV e IGOCE V de la conocida compañía BANANA a unos precios razonables.

María cree, que con sus conocimientos de matemáticas, podría modelar la rentabilidad de la compra mediante la

función ( ) 2 4f x, y x y= , donde x e y representan los costes de los teléfonos IGOCE IV para Sara e IGOCE V para

María, respectivamente.

¿Cuáles serán los precios de esos terminales que maximizan la rentabilidad sabiendo que entre ambas se gastarán

como mucho 900 euros?


Una parcela de terreno se puede representar en el primer cuadrante del plano limitada por la curva 2y x=

y por las rectas y = 2 – x, y = 0.

a) Dibuja dicha parcela y halla mediante integrales dobles la superficie de la misma, planteando previamente la

integral iterada para los dos órdenes de integración y utilizando el orden más conveniente para calcularla.

b) Se desea diseñar una maqueta que tiene por planta la zona de la parcela anterior limitada por y = x2, x = 1, y = 0

y cuya cubierta viene dada por la función f(x, y) = yxe 3y2

. ¿Cuál es su volumen? Razona la contestación.



MATEMÁTICAS I

Prueba Evaluación Continua 14 de enero de 2013

Ejercicio 1. (2 puntos) Dada la función f(x) = 2x1− , se pide:

a) Dominio de f.

b) Existencia de puntos críticos y extremos relativos de f.

c) Extremos absolutos y recorrido de f.

d) Razona qué representa el valor de la integral ∫−−

1

1

2dxx1 . Da su valor sin calcular la integral.

e) Longitud del arco de curva de ecuación y = f(x) entre x = 0 y x = 2

2 .

f) Volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje X la curva de ecuación y = f(x).

Ejercicio 2. (2 puntos) Un recipiente con agua hirviendo a 100ºC se retira del fuego y se deja enfriar en la cocina. Después de 5 minutos la temperatura del agua ha descendido a 80ºC y otros 5 minutos después ha bajado a 65ºC.

Determina la temperatura ambiente, Ta, de la cocina.

La ley de enfriamiento de Newton establece que la variación de la temperatura, T, de un cuerpo con respecto al

tiempo, t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura, T, y la temperatura ambiente, Ta..

Ejercicio 3. (2 puntos) Dada la función f(x,y) = 2x4y2cos − , se pide:

a) Hallar su dominio D y clasificar los puntos A(1,2), B(0,2) y C(2, 2) respecto de D.

b) Estudiar la continuidad de f(x,y) y calcular las funciones derivadas parciales primeras.

c) Hallar el límite de las funciones derivadas primeras en el punto (0,0).

d) Calcular, si existe, la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x,y) en los puntos P(0,2, cos2) y Q(0,0,1).


a) Halla, razonadamente, los extremos relativos de la función f(x, y) = x2 y4.

b) María es una estudiante de grado en edificación que se ha pasado estas vacaciones de Navidad, intentado

contactar con alguien de la compañía ORANGETE porque tiene diversos problemas de cobertura que le impiden

poder utilizar su móvil en óptimas condiciones. Por otra parte, su hermana Sara, que tampoco está contenta con esta

compañía, le propone que se cambien a PODAFONE que ofrece mejores condiciones y, además, pueden conseguir

los teléfonos IGOCE IV e IGOCE V de la conocida compañía BANANA a unos precios razonables.

María cree, que con sus conocimientos de matemáticas, podría modelar la rentabilidad de la compra mediante la

función f(x, y) = x2 y4, donde x e y representan los costes de los teléfonos IGOCE IV para Sara e IGOCE V para

María, respectivamente.

¿Cuáles serán los precios de esos terminales que maximizan la rentabilidad sabiendo que entre ambas se gastarán

como mucho 900 euros?


a) Halla el área, mediante una integral doble, del conjunto de puntos del plano comprendido entre las gráficas de

las funciones: x = 1, x = – 1, y = 0, y = x2 + 1, x = y2.

b) Sea A la región del plano limitada por la gráfica de y = x , x = 1, y = 0.

i) Calcular ∫∫A dxdy)y,x(f , siendo 2yxye2)y,x(f +=

ii) Razonar si el valor de la integral obtenido en el apartado anterior corresponde al volumen del sólido

determinado por la superficie z = f(x, y) con base la región A.



MATEMÁTICAS I Evaluación mediante solo prueba final 14 de enero de 2013

Ejercicio 1. (2,5 puntos) En el plano de una ciudad, el trazado de una carretera discurre según la ecuación y = x – 1 mientras que el de un río discurre según la ecuación y = – x

2 + 1, dejando en medio el campus de

cierta Universidad.

a) Si las unidades vienen dadas en kilómetros, ¿cuál será la superficie de dicho campus universitario? b) La rapidez con la que se propaga un rumor entre los estudiantes en ese campus es proporcional al número

de estudiantes que lo conocen.

i) Si se designa por “y” el número de estudiantes que conocen el rumor y por “t” el tiempo transcurrido en días, encuentra la ecuación diferencial que modela el enunciado y halla la solución general en forma

explícita.

ii) Si inicialmente este rumor es propagado por un estudiante y se sabe que al tercer día ya había cuatro que lo conocían, determina el número de estudiantes que conocerán el rumor al cabo de ocho días.


a) Dada la función g(x, y) = yx

y2 +

halla y representa su dominio. Determina los conjuntos interior,

frontera y exterior del dominio de g. ¿Qué clase de punto es (0, 0)? Razona la contestación.

b) Estudia la continuidad en el punto (0, 0) de la función

−=

−≠+=

2

2

2

xy,0

xy,yx

y

)y,x(f .

c) Calcula las funciones derivadas parciales primeras fx(x, y), fy(x, y) para y ≠ –x2.

¿Existen fx(0, 0) y fy(0, 0)? En caso de que existan, calcula su valor.

d) Obtén la ecuación del plano tangente a la superficie g(x, y) =yx

y2 +

en el punto )2

1,1,1(P .


En una empresa de transportes se admiten paquetes con forma de prisma rectangular recto. El tamaño

admitido para los paquetes es aquel en el que la suma de las longitudes de las doce aristas sea de 96cm.

Calcula las dimensiones del paquete de volumen máximo que admite dicha empresa.

Enuncia el teorema de Weierstrass y razona si se cumplen las condiciones necesarias para poder aplicarlo.


a) Analiza la existencia de extremos relativos de f(x, y ) = ey + yex. b) Expresa la integral doble de f(x, y) sobre el triángulo T de vértices O(0, 0), A(1, 1) y C(0, 1) mediante

integrales iteradas y utiliza la más conveniente para calcular su valor. ¿El valor hallado representa el

volumen del sólido determinado por la proyección ortogonal de la superficie f(x,y) sobre el triángulo T?

Razona la contestación.



MATEMÁTICAS I

Examen convocatoria extraordinaria 26 de junio de 2013

EJERCICIO 1 Se sabe que un ladrillo macizo tiene de soga el doble de su tizón y, además, un volumen de 1440 cm3. ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan su superficie total si la soga, x, debe medir entre 24 y 29 cm? EJERCICIO 2 Un depósito de agua tiene forma cilíndrica de 4 m de altura y 1 m de radio de la base. Dispone en el fondo de un orificio cuadrado de lado 0,2 m. El nivel del agua, y, en el instante, t, se puede modelar mediante la ecuación diferencial

𝑑𝑦𝑑𝑡

= −𝐴𝐵

2𝑔𝑦

donde A es el área del orificio , B el área de la sección transversal del depósito y 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠!. Con los datos del enunciado y, sabiendo que el nivel del agua se mide en metros y el tiempo en segundos, la ecuación diferencial resulta

𝑑𝑦𝑑𝑡

= −0,056 𝑦

a) Calcula la solución general, en forma explícita, de esta ecuación diferencial, es decir, el nivel del agua y(t) en el instante t.

b) Una vez llenado el depósito, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse?

EJERCICIO 3 A. Se considera la superficie 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥! + 𝑦! − 4𝑥𝑦 y los puntos P(1,-1,7) y Q(-1,-1,-1) .

a) Calcula las derivadas parciales primeras de f en dichos puntos y da una interpretación geométrica del resultado. b) Halla los extremos relativos de f. c) Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie en los puntos P y Q.

B. Prueba que lim(!,!)→(!,!)!!!!!!

!!!!! no existe.

EJERCICIO 4 Dada la función𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 , definida en el conjunto 𝐷 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅!/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 , encuentra razonadamente sus extremos absolutos. EJERCICIO 5 En un solar de 10000 hectáreas se dispone de una parcela que linda al oeste por un camino que sigue la recta 𝑥 = 0, al sur y al este por una rotonda parabólica de ecuación 𝑦 = 𝑥! y al norte por otro camino que sigue la recta 𝑦 = 3.

a) Si las unidades vienen dadas en hectómetros, calcula la superficie de la parcela mediante integrales dobles.

b) Se desea construir una torre cuya planta es la parcela anterior y tiene por cubierta la función 𝑧 = 6 − !!𝑦!.

Determina su volumen. Observaciones:

§ La puntuación de cada ejercicio es de 2 puntos. § Duración del examen: 2 horas y 30 minutos. § Las soluciones se pueden consultar en la web del departamento. § Publicación de calificaciones a partir del 24 de enero de 2014. § Revisión, previa solicitud reglamentaria, el 29 de enero de 2014 a las 12.30 horas.

Escuela Técnica Superior de Edificación 15 de enero de 2014 Departamento de Matemática Aplicada Matemáticas 1 PRUEBA DE EVALUACIÓN CONTINUA

EJERCICIO 1 Dada la función𝑓 𝑥 = 4𝑥! − !

! , se pide:

a) Dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. b) lim!→!! 𝑓 𝑥 , lim!→!! 𝑓 𝑥 , lim!→! 𝑓 𝑥 y un dibujo aproximado.

c) Extremos absolutos en el intervalo −2,− !!

.

d) Área encerrada por 𝑓(𝑥) y las rectas 𝑦 = 3 y 𝑥 = 2.

e) Probar que la integral impropia 4𝑥! − !!

!! 𝑑𝑥 es divergente.

EJERCICIO 2 Un depósito de agua tiene forma cilíndrica de 4 m de altura y 1 m de radio de la base. Dispone en el fondo de un orificio cuadrado de lado 0,2 m. El nivel del agua, y, en el instante, t, se puede modelar mediante la ecuación diferencial

𝑑𝑦𝑑𝑡

= −𝐴𝐵

2𝑔𝑦

donde A es el área del orificio , B el área de la sección transversal del depósito y 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠!. Con los datos del enunciado y, sabiendo que el nivel del agua se mide en metros y el tiempo en segundos, la ecuación diferencial resulta

𝑑𝑦𝑑𝑡

= −0,056 𝑦

a) Calcula la solución general, en forma explícita, de esta ecuación diferencial, es decir, el nivel del agua y(t) en el instante t.

b) Una vez llenado el depósito, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse? EJERCICIO 3 Se considera la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = !!!!!!

!!!!!.

a) Halla su dominio, efectúa una representación gráfica del mismo y clasifica como interior, exterior o frontera los puntos P(1,0), Q(0,0) y R(1,1).

b) Prueba que lim(!,!)→(!,!) 𝑓(𝑥, 𝑦) no existe. c) Calcula las derivadas parciales primeras. d) Sabiendo que el punto P(1,0) es un extremo relativo, razona si se trata de un máximo o un mínimo.

EJERCICIO 4 Una promotora ha comprado un solar en una población en el que pretende construir viviendas de uno y dos dormitorios, con una superficie de 50 y 80 m2 y un coste de construcción de 60000 y 80000 euros, respectivamente. Por cuestiones de rentabilidad deberá construir al menos 20000 m2 de techo edificable y no invertirá más de 24 millones de euros en la construcción de las viviendas. Si estima obtener unos beneficios netos de 60000 y 90000 euros por cada vivienda de uno y dos dormitorios, respectivamente, ¿cuántas viviendas de cada tipo deberá construir con el fin de maximizar el beneficio neto? EJERCICIO 5 Dada la integral iterada cos 𝑥!𝑑𝑥𝑑𝑦!!

!!! , se pide:

a) Dibujar la región de integración D. b) Cambiar el orden de integración. c) Calcular el valor de la integral en el orden más conveniente.

Observaciones:

§ La puntuación de cada ejercicio es de 2 puntos. § Duración del examen: 2 horas y 30 minutos. § Las soluciones se pueden consultar en la web del departamento. § Publicación de calificaciones a partir del 24 de enero de 2014. § Revisión, previa solicitud reglamentaria, el 29 de enero de 2014 a las 12.30 horas.

Escuela Técnica Superior de Edificación 15 de enero de 2014 Departamento de Matemática Aplicada Matemáticas 1 PRUEBA DE EVALUACIÓN FINAL

EJERCICIO 1 Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 !/!. Se pide:

a) Calcular los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y efectuar un dibujo aproximado.

b) Hallar el área de la región encerrada por la función y los ejes coordenados. c) Encontrar el volumen del sólido que se engendra al girar la región acotada anterior alrededor del

eje de abscisas.

EJERCICIO 2 El valor de una máquina excavadora disminuye durante diez años a una tasa que depende de la antigüedad (siempre y cuando el número de horas de uso se mantenga en límites normales). Cuando una excavadora tiene un uso normal y t años de fabricación, entonces la razón a la que se produce este cambio es de 220 𝑡 − 10 euros por año.

a) Expresa la ecuación diferencial que modela este enunciado. A continuación, encuentra el valor de la máquina excavadora en función de su antigüedad y del valor inicial.

b) Si la máquina costó inicialmente 15000 euros, ¿cuál será su valor a los ocho años? EJERCICIO 3 Se considera la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥! − 𝑦! + 𝑙𝑛 𝑥𝑦 .

a) Calcula de forma razonada el dominio de definición y, posteriormente, efectúa un dibujo aproximado del mismo

b) Utiliza las definiciones adecuadas para clasificar como interior, exterior o frontera los puntos 𝐴 1,0 , 𝐵 −1,−1 𝑦 𝐶(−1,1).

EJERCICIO 4 Calcula los extremos relativos de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 8𝑦! + 𝑥! + 𝑥𝑦 − 3𝑦!− 𝑦!. ¿Se modificarían

los resultados anteriores si el dominio fuera 𝑇 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅!/ − !!≤ 𝑥 ≤ !

!, − !

!≤ 𝑦 ≤ !

!?

EJERCICIO 5 Al evaluar una integral doble sobre una región D, se obtuvo una suma de integrales iteradas como sigue:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴!

= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + !!

!

!

! 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

!!!

!

!

!

Dibuja la región de integración D, cambia el orden de integración y calcula el valor de la integral en el orden más conveniente si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 𝑒!. Observaciones:

§ La puntuación de cada ejercicio es de 2 puntos. § Duración del examen: 2 horas y 30 minutos. § Las soluciones se pueden consultar en la web del departamento. § Publicación de calificaciones a partir del 4 de julio de 2014. § Revisión, previa solicitud reglamentaria, el día 9 de julio de 2014 a las 11.00 horas.

Escuela Técnica Superior de Edificación 25 de junio de 2014 Departamento de Matemática Aplicada Matemáticas 1 PRUEBA EXTRAORDINARIA

Matem aticas I Ejercicios y problemas - edificacion.upm.es · UNIVERSIDAD POLIT ECNICA DE MADRID E....

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