Matem Tica II y III Apuntes Ing Casado
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Matemática II Módulo Único Carrera: Administración de Empresas Contador Público Profesor: Ing. Eduardo Casado Curso: 2º Año Año: 2011 Salta
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Matemática II Módulo Único
Carrera: Administración de Empresas
Contador Público Profesor: Ing. Eduardo Casado
Curso: 2º Año Año: 2011
Salta
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CURRICULUM VITAE
A. DATOS PERSONALES Apellido y Nombre: EDUARDO ZENON CASADO
B. ESTUDIOS CURSADOS
• Primario: Escuela Nacional Nº 399 – Gral. Guemes – Pcia. de Salta • Secundarios: Colegio nacional Mariano Moreno – Gral. Guemes – Pcia. de Salta • Universitarios:
- Ingeniero en Construcciones - Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Salta - Profesor En Ingeniería: Universidad Católica de Salta
• Postgrado: Cursando a nivel de Tesis Maestría en Gestión Educativa – Universidad Católica de Salta
C. ANTECEDENTES DOCENTES
Docencia a Nivel Universitario.- 1- Auxiliar Docente • Alumno Auxiliar Adscrito – Facultad de Ciencias Exactas U.N.Sa. Mayo 1980 – Enero 1982.- • Alumno Auxiliar 2º Categoría – Facultad de Ciencias Exactas U.N.Sa. Enero 1981 – Enero 1982.- • Alumno Auxiliar 2º Categoría – Facultad de Ciencias Exactas U.N.Sa. Abril 1983 – Julio 1984 –
Resolución Nº 358/83.-- • Alumno Auxiliar 2º Categoría – Facultad de Ciencias Exactas U.N.Sa. Mayo 1986 – Junio 1987
– Resolución Nº 090-86 2- Auxiliar de Primera Categoría • Fac. Cs. Exactas de la U.N.Sa. Análisis Matemático II – Extensión: Análisis Matemático I Resolución 043 / 89 Desde : 03 –04- 89 Hasta : Término de 1 año • Fac. Cs. Económicas U.N.Sa : Afectado al área de Matemática .- Resolución 107 1989 Desde : 01 – 04 – 89 Hasta : 31 – 07 – 89 • Fac. Cs. Económicas de la U.N.Sa.- Álgebra Superior Resolución 002 1990 – Desde : 01 – 02
– 90 Hasta : 31 – 03 – 90.- • Fac. Cs. Económicas de la U.N.Sa.- Matemática Resolución 022 / 97 Expediente 6354 / 96
del 19 / 12 / 97 Desde : Febrero Hasta : Marzo 1997.- 3- Jefe de Trabajos Prácticos • Fac. Cs. Exactas de la U.N.Sa.- Análisis Matemático II -Ext : Anal. Matemático I Resolución : 262 / 89 – Desde : 11 – 09 – 89 Hasta : 31 – 08 – 90.- • Fac. Cs. Económicas de la U.N.Sa. - Álgebra Superior Resolución : 493 / 89 – Desde : 19 – 10 – 89 Hasta : 31 – 07 – 90 • Fac. Cs. Exactas de la U.N.Sa. Análisis Matemático II-Ext. Análisis Matemático Resolución :
377 / 90 Desde : 10 – 08 – 90 Hasta : 30 – 11 – 90 • Fac. Cs. Exactas de la U.N.Sa. Análisis Matemático II Ext. Análisis Matemático I Resolución : 503 / 90 Desde : 01 – 10 – 90 Hasta : Término 5 años.- • Fac. Cs. Exactas de la U.N.Sa. Análisis Matemático II Ext. Análisis Matemático I Desde : 01 – 10 – 95 Hasta : Término de 2 años.- • Fac. Cs. Exactas de la U.N.Sa. Cátedra : Análisis Matemático II - Ext. Análisis Matemático I Resolución : 139 / 97 Desde : 14 – 04 – 97 Hasta : Término de 5 años
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4- Profesor Adjunto. • Fac. Cs. Económica U.N.Sa. Matemática I - Resolución 396 / 89 Desde 01-09- 89
Hasta 31 – 07 – 90.- • Fac.Cs. Económica U.N.Sa. Matemática I Resolución 206 / 90 Desde 01-08 -89
Hasta Llamado a concurso.- • Fac. Cs. Económica U.N.Sa. Matemática I -Resolución 371 / 90 Desde 01-10- 90
Hasta Llamado a concurso.- • Fac. Cs. Económica U.N.Sa. Matemática I Resolución 305 / 92 Desde 17-12- 92
Hasta Término de 5 años 5- Cargos varios Universidad Católica de Salta.- 5.1 Profesor Adjunto • Facultad de Arquitectura - Matemática - Resolución : 45/98 Desde : 01/03/98 Hasta :
28/02/99.- • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Turno noche -
Resolución : 05/98 - Desde : 01/03/9 - Hasta : 28/02/99 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Resolución : 217/97 -
Desde : 01/08/97 - Hasta : 28/02/98 5.2 Profesor Titular • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Sistema no
presencial - Resolución : 09/98 - Desde : 01/03/98 Hasta: 28/02/99 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Turno noche-
Resolución : 05/98 - Desde : 01/03/98 - Hasta : 28/02/99 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II - Turno noche -
Resolución : 283/97 - Desde : 01/09/97 - Hasta : 28/02/98 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Sistema no
presencial - Resolución : 283/97 - Desde : 01/09/97 - Hasta : 28/02/98 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Sistema no
presencial - Resolución : 137/97 - Desde : 01/05/97 - Hasta : 31/08/97 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II – Turno noche -
Resolución : 11/97 - Desde : 01/03/97 - Hasta : 28/02/98 • Facultad de Economía y Administración - Matemática I y Matemática II Resolución : 11/97
- Desde : 01/09/97 - Hasta : 28/02/98 6- Otras actividades desarrolladas en la Universidad nacional de Salta • Resolución 132/96 del 22 de Abril de 1996
Miembro Ad-Hoc de la Junta Académica de la Facultad de Ciencias Económicas Jurídicas y Sociales de la U.N.Sa.
• Miembro titular por el claustro de Profesores del Consejo Directivo de la Fac. de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Salta . Desde Abril 2004
• Integrante de tribunal examinador para concursos de Jefes de Trabajos prácticos y Auxiliares en la Facultad de Ciencias Económicas de la U.N.Sa.
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7- Trabajos Presentados: • APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – EXTREMOS RELATIVOS
Presentado en la facultad de Ciencias Económicas Jurídicas y Sociales de la U.N.Sa. .- Destinado a los alumnos de Matemática II de las carreras de Contador Público Nacional. Y Lic. en Economía - Octubre de 1998.-
• APLICACIONES DE LA INGENIERIA DIDACTICA EN LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMATICA Proyecto de Investigación aprobado por el Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta – Presentado en las XVI Jornadas de Docentes de Matemática Para Facultades de Cs. Económicas – Buenos Aires – Octubre 2001
• TRADICION O INNOVACION: Proyecto de Investigación Aprobado por el Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta – Presentado en la VI Reunión de Didáctica de la Matemática del Cono Sur – Julio de 2002
• CAMBIOS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA – VENTAJAS Y DESVENTAJAS
Proyecto de Investigación Aprobado por el Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta – Presentado en las XVII Jornadas de Docentes de Matemática Para Facultades de Cs. Económicas – Río Cuarto – Octubre de 2002
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Carrera: Administración de Empresas – Contador Público Curso: 2º Año Materia: Matemática II Profesor Titular: Prof. Ing. Eduardo Casado Año Académico: 2011
OBJETIVOS:
Proporcionar a los alumnos una base adecuada y necesaria en el pensamiento y razonamiento matemático.- Lograr que el alumno plantee a través de la aplicación de distintos temas de la matemática, problemas de la vida diaria con aplicación a la carrera en estudio.- Crear una costumbre en el razonamiento y no la costumbre memorista en los distintos acontecimientos que se le pudieran presentar.-
Darles una base matemática sólida y de gran aplicación en la carrera.-
CONTENIDOS:
Unidad I: LIMITES Y CONTINUIDAD 1- Límite de una función: Definición (ξ,δ) de límite de una función. Ejercicios de aplicando la
definición.- 2- Propiedades de límite. Limite de una constante por una función. Limite de la suma, resta,
producto y cociente de funciones. Límite de una potencia. Límite del logaritmo.- 3- Límites notables. Teoremas del Sándwich. Cálculo del número “e”. Ejercicios y Problemas.- 4- Límites finitos e infinitos: Indeterminaciones evitables. Límites cuando x→0. 5- Continuidad de una función en un punto: Funciones continuas y discontinuas. Condiciones de
continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. Redefinición de una función.- Unidad II : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 1- Derivada de una función: Definición de derivada. Derivada en un punto. Interpretación
geométrica de la derivada. Recta tangente y recta normal de una función en un punto.- 2- Función derivable y continua.- 3- Reglas de derivación: Derivada de una constante, de una constante por una función.
Derivada de la suma Algebraica, Derivada de un producto, derivada de un cociente, derivada de un logaritmo. Derivadas de funciones trigonométricas.-
4- Derivada de una función compuesta: Regla de la cadena. Derivadas de una función trascendente.- Derivación logarítmica. Derivación de una función definida implícitamente.-
5- Teorema de Rolle. Teorema del valor medio.- 6- Derivadas de orden superior. Cálculo de las derivadas sucesivas.- 7- Diferencial de una función: Concepto de diferencial. Cálculo aproximado aplicando
diferencial.-
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Unidad III: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1- Puntos críticos de una función. Aplicaciones del Teorema de Rolle. Cálculos de puntos
críticos de una función.- 2- Máximos y Mínimos: Cálculo de los puntos máximos y mínimos. Aplicando los métodos del
signo de la primera derivada y del cambio del signo de la segunda derivada.- 3- Puntos de inflexión: Aplicaciones del Teorema del Valor Medio y del Valor medio
generalizado. Cálculo de puntos de inflexión de una función.- 4- Crecimiento y decrecimiento de una función. Concavidad positiva y negativa.- 5- Problemas relacionados con la economía.- Unidad IV: TEOREMA DEL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1- Fórmula de los crecimientos finitos. Teorema de Cauchy. Aplicaciones. Interpretación
geométrica.- 2- Regla de L`Hopital. Cálculo de límite aplicando los distintos casos.- 3- Serie de Taylor y de Mc Laurin para la resolución de ecuaciones polinómicas.- 4- Teorema fundamental del Cálculo integral.- Unidad V: LA INTEGRAL INDEFINIDA 1- La integración como operación inversa de la derivada. Función primitiva y Función derivada.
Constante de Integración: Interpretación gráfica.- 2- Propiedades de la integral: Integral de una constante de una constante por una función.
Integral de una suma y resta de funciones. Integral de una potencia.- 3- Integrales inmediatas: Técnicas de integración Ejercicios.- 4- Método de integración por sustitución: Tipos de integrales a integrar por sustitución.
Sustituciones trigonométricas.- 5- Método de integración por partes. Tipos de integrales a operar por partes. Deducción de la
fórmula de integración por partes. Ejercicios combinando sustitución y partes.- 6- Integrales de funciones racionales: Cálculo de los distintos casos de integrando racionales.
Ejercicios.- Unidad VI: LA INTEGRAL DEFINIDA 1- Concepto de área como límite de suma. La integral como área comprendida entre una función
y el eje de abscisas.- 2- Regla de Barrow: Aplicaciones al cálculo de integrales. Área entre dos curvas.- 3- Problemas de aplicación en economía.- Unidad VII: ECUACIONES DIFERENCIALES 1- Concepto de ecuación diferencial: Solución general y solución particular.- 2- Ecuaciones diferenciales de primer orden. 3- Ecuaciones diferenciales de variable separables: Resolución de ecuaciones de variables
separables.- 4- Ecuaciones diferenciales homogéneas: Determinación. Método de resolución. Ejercicios.- 5- Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales a problemas de economía.-
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METODOLOGÍA:
Se adoptará la metodología de estudio libre por parte de los alumnos contando con el apoyo de clases satelitales y consultas mediante Foro de discusión y correo electrónico.- EVALUACIÓN Y CONDICIONES PARA OBTENER LA REGULARIDAD:
¡¡IMPORTANTE!! Los requisitos para regularizar la materia serán informados por el docente a través de los canales pertinentes de comunicación: - Tablón de anuncios. - Foro de la materia. - Cuadros de regularización publicados en la página web. ¡¡¡Manténgase atento!!! RECURSOS:
• Durante el dictado de las clases satelitales: Pizarrón, tizas, láminas, retroproyector.-
• Foro de alumnos para consultas
• Correo electrónico BIBLIOGRAFIA:
• BASICA PARA EL CURSADO
Nombre del libro Autor Editorial - Año Calculo: Volumen .I y Volumen II
LARSON, HOSTETLER, EDWARDS Mc Graw Hill 1996
Cálculo con Geometría Analítica LEITHOLD, Louis Haria 1992 Análisis Matemático – Cálculo 1 HEBE T. RABUFFETTI Editorial El Atenea 2001
• USADA PARA LA ELABORACIÓN DE MÓDULOS
Nombre del libro Autor Editorial - Año Calculo: Volumen .I y Volumen II
LARSON, HOSTETLER, EDWARDS Mc Graw Hill 1996
Cálculo con Geometría Analítica LEITHOLD, Louis Haria 1992 Análisis Matemático – Cálculo 1 HEBE T. RABUFFETTI Editorial El Atenea 2001 Cálculo con Geometría Analítica EDWARDS Y PENNY Prentice Hall 1996 Cálculo Diferencial e Integral PURCEL E.; VARBERG, D Prentice Hall 1993 Cálculo STEWARD Mc Graw Hill 1998 Cálculo
FRANK AYRES, Jr ELLIOTT MENDELSO
Serie Schaum – Cuarta edición – Editorial Mc Graw – Hill
ECUACIONES DIFERENCIALES
FRANK AYRES Jr Serie Schaum - Editorial Mc Graw – Hill
CALCULO I – Teoría y Problemas de Análisis Matemático
GARCIA, ALFONSA y Otros Editorial CLAGSA – Madrid – 1993
MATEMATICA APLICDAS PARA DMINISTRACIÓN Y ECONOMIA
BUDNICK, Franck S Mc Graw – Hill-1995
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UNIDAD I - LIMITE
INTERVALOS Y ENTORNOS Antes de entrar de lleno en la definición del límite, debemos definir algunos conjuntos de puntos
que serán necesarios para tal fin.- Intervalo Cerrado: [ ]ba; siendo ba < , se define al conjunto de números reales formado por los
elementos comprendidos entre a y b incluyéndolos.- Simbólicamente: [ ] { }bxaRxxba ≤≤∧∈= /; Gráficamente: [ ] a b
Intervalo Abierto: ( )ba; siendo ba < , se define al conjunto de números reales formado por los elementos comprendidos entre a y b.- Simbólicamente: ( ) { }bxaRxxba <<∧∈= /; Gráficamente: ( ) a b
Intervalo semiabierto: Pueden darse dos casos ya que sean abiertos a la izquierda o a la derecha: a. Abiertos a la derecha: ( ] { }bxaRxxba ≤<∧∈= /;
Gráficamente. ( ] a b
b. Abiertos a la izquierda: [ ) { }bxaRxxba <≤∧∈= /; Gráficamente. [ )
a b ENTORNO:
Si “a” es un punto cualquiera de la recta real y δ un número positivo, se llama entorno de centro
“a” y radio δ al intervalo abierto: ( )δδ +− aa ; , se lo designa ( )δ;aN .
Simbólicamente lo podemos escribir:
( ) { } ( ) { }δδδ δδ <−=+<<−= axxNbienoaxaxN aa // ;;
Gráficamente:
( )δ−a a ( )δ−a
δ δ ENTORNO REDUCIDO
Si “a” es un punto cualquiera de la recta real y δ un número positivo, se llama entorno de centro “a” y radio δ al intervalo abierto: ( )δδ +− aa ; del cual se excluye el punto “a”, se lo designa ( )δ;' aN .
Simbólicamente lo podemos escribir:
( ) { } ( ) { }δδδ δδ <−<=≠+<<−= axxNbienoaxaxaxN aa /;/ ;;
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CLASIFICACION DE PUNTOS:
Punto de Acumulación: “a” es un punto de acumulación del conjunto “C” ( ) ( ) φ≠∀⇔ CNN aa I':'
Conjunto derivado: Es el conjunto formado por todos los puntos de acumulación.-
Conjunto cerrado: Un conjunto al cual le pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina cerrado.-
Punto interior: Un punto “a” perteneciente al conjunto “C” , es punto interior al mismo si y solo si existe un entorno de “a” totalmente incluido en “C” “a” es punto interior a C ( ) ( ) CNNCa aa ⊆∃∧∈⇔ /
Conjunto Abierto: Un conjunto es abierto si y solo si todos sus puntos son interiores.-
Punto Aislado: Un punto “a” que pertenece al conjunto C es aislado si y solo si existe un entorno reducido de “a” al cual no pertenece ningún punto del conjunto C. “a” es aislado en C ( ) ( ) φ=∃∧∈⇔ CNNCa aa I'/'
Punto Exterior: Un punto “a” es exterior al conjunto C si y solo si existe un entorno del mismo al cual no pertenece ningún punto del conjunto C “a” es exterior a C ( ) ( ) φ=∃⇔ CNN aa I/
debemos tener en cuanta que en este caso el punto de análisis no pertenece al conjunto.- LIMITE DE UNA FUNCION
La idea de límite aparece intuitivamente en muchas situaciones. Esta idea solo se puede hacer
mediante la definición previa de límite de sucesiones y de límite de funciones, siendo el primero un caso particular del segundo.-
En nuestro caso solamente nos ocuparemos del límite funcional. LIMITE FINITO:
En este caso nos interesa ver en qué condiciones los valores de una función escalar se aproximan a un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un punto “a” que puede o no pertenecer a dicho dominio.-
Vamos a considerar una función lineal definida de la siguiente manera:
⎩⎨⎧
=≠+
2321
)(xsixsix
xf
y 3 1 2 x
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Se tratará de calcular algunos valores de la función en un entorno reducido del punto 2=x , es decir, sin preocuparnos por lo que ocurra en el mencionado entorno.-
Definición: “ El número L es el límite e los valores de la función )(xf en el punto a Si y solo si se cumple:
1. a : es el punto de acumulación del dominio de )(xf 2. Para cualquier número positivo ε tan pequeño como se quiera existe un número positivo δ , tal
que: εδεδδε <−⇒<−<∧∈∀>=∃>∀ LxfaxDx f )(0/0)(0
De esta definición podemos ver que el objetivo que se persigue es el de poder determinar un valor de δ como función de ε o sea: ( )εδδ = . Si esto ocurre podemos decir que Lxf
ax=
→)(lim . Si esto no
ocurriera significa que dicho límite no es correcto. En estos casos solo se deberá buscar ( )εδδ = y no que δ dependa de otra cosa como podría ser la variable.- Para poder ver la aplicación se puede plantear el siguiente ejemplo:
→=+→
31lim2
xx
se plantea:
( )1231)( εεε <−→<−+→<− xxLxf
( )22 →<−→<− δδ xax de estas dos relaciones (1) y (2) podemos sacar la siguiente conclusión si los primeros miembros de la desigualdad son iguales, la desigualdad tiene la misma orientación , entonces los segundos miembros serán iguales: εδ = que es la relación buscada por lo consiguiente podemos asegurar que es correcto el limite planteado: 32lim
1=+
→x
x
Gráficamente podemos esquematizar la definición de la siguiente manera: y ( )ε+L L ( )ε−L ( )δ−a a ( )δ+a x Debemos destacar lo siguiente:
• El concepto de límite de una función es local, ya que se refiere a un punto a .- • El punto a puede o no pertenecer al Dominio de la función. Ya que es un punto de acumulación de
dicho dominio.- • La definición de límite no es constructiva, ya que no indica una metodología para determinar el
límite, si este existe.-
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PROPIEDADES DE LOS LIMITES FINITOS:
A continuación se probarán algunos límites finitos: 1. Límite de una función constante: kk
ax=
→lim : “El límite de una constante es la misma constante”
Demostración: εδεδδε <=−⇒<−<∧∈∀=∃>∀ 00/)(;0 kkaxDx f debemos recordar que por
definición 0>ε por lo tanto se verifica la definición de límite para kxf =)( y para kL =
2. Límite de la función identidad: axax
=→
lim
εδεδεδδε =→<−⇒<−<∧∈∀=∃>∀ axaxDx f 0/)(;0 que verifica le definición
en cuánto a determinar un valor de δ como función de ε 3. Límite de una función lineal: 0lim ≠+=+
→pconqpaqpx
ax . Planteamos la definición
para demostrarlo: ( ) εδεδδε <+−+⇒<−<∧∈∀=∃>∀ qpaqpxIaxDx f )(0/)(;0 ⇔
( ) )(IIp
axaxpaxppapxqpaqpx εεεε <−⇔<−⇔<−⇔<−=−−+ por lo
de )()( IIyI concluimos que: pεδ = verificando la definición.-
4. Límite de una función cuadrática: ( ) 0lim 2 =−→
axax
Planteamos la definición:
( ) εδεδδε <−⇒<−<∧∈∀=∃>∀ 2)(0/)(;0 axIaxDx f ⇔
( ) ( ) )(22 IIaxaxax εε <−→<−=−
de )()( IIyI concluimos que: εδ = verificando la definición.- Ejemplo:
Verificar por definición: 012lim 21
=−−→
xxx
al plantear la definición, tendremos:
Planteamos: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<+−=+−→<−−→<−
<−→<−
)(12112112)(
)(12 IIxxxxxxLxf
Ixax
εεε
δδ
De la expresión (II) : )(12
1 IIIx
x+
<−ε
de esta expresión podemos ver que el valor de δ no solo
depende de ε sino que tan bien depende de “x” algo que no puede ser, ya que δ solamente debe depender de ε ya que la definición plantea que se debe determinar ( )εδδ = , lo que debemos hacer es acotar el valor de δ , para lo cual debemos tener en cuanta los valores que puede tomar δ a partir de la definición:
11110 ≤−→=→≤< xsi δδ por definición de módulo tendremos:
51212202011 ≤+≤→≤≤→≤≤→≤− xxxx por lo cual podemos plantear dos situaciones:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
5
1
2
1
εδ
εδ de estos dos valores debemos tomar el menor, la forma qn que se puede expresar es:
{ }1;;minimo 21 δδδ =
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NO EXISTENCIA DEL LIMITE: Si tenemos en cuanta la definición del límite de una función en uhn punto de acumulación “a” , la recordamos:
εδεδδδε <−⇒<−<→=>∃>∀⇔=→
lxfaxlxfax
)(0)(/00)(lim
La forma de negar esta expresión es de que la función )(xf no tenga límite en el punto “a” y para que esto ocurra el límite no se debe verificar par ningún número real “l”. Gráficamente podemos expresarlo de la siguiente manera: y ε+l l ε−l ( )δ−a a ( )δ+a Podemos ver que cualquier número real l que se proponga como posible límite finito de )(xf en un pinto “a” siempre es posible encontrar un entono de l tal que en cualquier entorno reducido del punto “a” hay por lo menos un “x” del dominio para el cual )(xf queda fura del entorno de l .- Esto se puede ver por ejemplo
con algún ejemplo:xx
xf =)( analizando el módulo tendremos la función expresada como:
⎩⎨⎧
<−≥
=0101
)(xsixsi
xf
que gráficamente queda:
LIMITES LATERALES: Hasta ahora al hablar de límite, se consideró puntos próximos al punto de acumulación “a” en ambos lados del mismo. El comportamiento de los valores de la función en puntos del dominio a un solo lado de “a” estos significa que se refiere a un semientorno a la derecha o a la izquierda del mencionado punto de acumulación. En el ejemplo visto anteriormente podemos ver que el punto de acumulación es el origen, donde se puede ver que la función no tiene límite, esto da lugar a la definición de los llamados límites laterales:
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Límite por derecha: 1l es el límite por la derecha de la función )(xf en el punto “a” si y solo si: 1)“a” es punto de acumulación de
{ }axDxxC f >∧∈= /
2)
ε
δδε
<−
⇒+<<∧∈>∃>∀
1)(
/00
lxf
axaDx f
Forma de expresar: 1)(lim lxfax
=+→
Límite por izquierda: 2l es el límite por la izquierda de la función
)(xf en el punto “a” si y solo si: 1)“a” es punto de acumulación de
{ }axDxxC f <∧∈= /
2)
ε
δδε
<−
⇒<<−∧∈>∃>∀
2)(
/00
lxf
axaDx f
Forma de expresar: 1)(lim lxfax
=−→
Para asegurar que la función tiene límite , o sea que Lxfax
=∃→
)(lim , debe cumplirse
necesariamente de que los límites laterales sean iguales, o sea: Llldondexfxf
axax===
−+ →→21:)(lim)(lim
Si esta igualdad no se cumple, estamos en condiciones de asegurar que el límite de la función no existe en el punto donde se está analizando.- Ejemplo 1:
0)( =−
= xenx
xxxf analizando el módulo tendremos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−=−
≥=
022
000
)(xsi
xx
xsixxf tomando los
límites laterales tendremos: 2022lim
00lim
0
0 ≠→⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=
−
+
→
→
x
x
al ser los laterales distintos podemos asegurar que la función no tiene límite en el origen.- Ejemplo 2:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥+
17
15)(
2
2
xsix
xsixxf tal como puede verse en en este caso el punto de análisis es el 1=x . Analizamos
los límites laterales:
6)(lim67lim
65lim
1212
1
21 =→=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
→→
→
−
+xfll
x
x
xx
x
15
ALGEBRA DE LIMITES:
1) Límite de una constante: “El límite de una constante es la misma constante: cc
ax=
→lim
Ejemplo: 55lim4
=→x
2) Límite de un Logaritmo: El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite. El logaritmo puede ser decimal o natural.-
[ ] ( )Lxfxfaxax
log)(limlog)(loglim =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=→→
[ ] ( )Lxfxfaxax
ln)(limln)(lnlim =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=→→
3) Suma de Límites:
“ Si las funciones )()( xgyxf definidas en un mismo conjunto D , y si ambas tienen limite finito
en un mismo punto de acumulación “a” tal que: 21 )(lim)(lim lxglxfaxax
=∧=→→
,entonces la
función : )()()( xgxfxh += tiene como limite en dicho punto la suma de los límites 21 llL += ,
o sea: [ ] 21)(lim)(lim)()(lim)(lim llxgxfxgxfLxhaxaxaxax
+=+=+⇒=→→→→
.-
Demostración:
2)(0/00 1
εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ lxfaxDx f (I)
2)(0/00 2
εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ lxgaxDx f (II)
εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ LxhaxDx f )(0/00
En ambos casos se adopta 2ε
solo por conveniencia, ya que dicho valor sigue cumpliendo con la
definición .- Sumando miembro a miembro las expresiones (I) y (II) , tendremos:
εεε=+<−+−
22)()( 21 lxglxf
por desigualdad triangular de los módulos: ( )baba +≤+
εεε=+<−+−≤−+−
22)()()()( 2111 lxglxflxglxf
( ) εε <−→⎩⎨⎧
+=+=
→<+−+ LxhllL
xgxfxhsillxgxf )(
)()()()()(
2121 con lo cual queda
demostrada la propiedad.-
4) Límite de un Producto de dos Funciones
“ Si las funciones )()( xgyxf definidas en un mismo conjunto D , y si ambas tienen limite finito en un mismo punto de acumulación “a” tal que: 21 )(lim)(lim lxglxf
axax=∧=
→→,entonces la
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función : )().()( xgxfxh = tiene como limite en dicho punto la suma de los límites 21.llL = , o sea: [ ] 21.)(lim).(lim)().(lim)(lim llxgxfxgxfLxh
axaxaxax==⇒=
→→→→
Demostración:
11)(0/00 εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ lxfaxDx f (I)
22)(0/00 εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ lxgaxDx f (II)
')(0/00 εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ LxhaxDx f
Multiplicando miembro a miembro las expresiones (I) y (II) , tendremos:
2121 .)(.)( εε<−− lxglxf Por propiedad del módulo de un producto: baba .. = ,
tendremos
( )( ) 2121122121 ...).().()().(..)()( εεεε <+−−→<−− lllxglxfxgxflxglxf
Si a esta expresión le sumamos y restamos: 21.ll , y además se adopta: 21.εεε = tendremos:
ε<−++−− ....).().()().( 21212112 lllllllxglxfxgxf luego agrupamos de la siguiente
manera:
[ ] [ ] [ ] ε<+−−−− .)(.).(.)().( 111221 lxgllxflllxgxf por la propiedad triangula de los módulos:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]111221111221 )().(.)().(.)(.).(.)().( lxgllxflllxgxflxgllxflllxgxf +−−−−≤+−−−−
ε<+−−−− 111221 )().(.)().( lxgllxflllxgxf
111221 )().(.)().( lxgllxflllxgxf ++−+<− ε
de acuerdo a las definiciones dadas en (I) y (II)
211221.)().( εεε llllxgxf ++<−
Por definición 21 εε y son valores positivos y muy pequeños, además 21 lyl son valores finitos,
Adoptamos: 2112' εεεε ll ++= por lo consiguiente tendremos:
'.)().( 21 ε<− llxgxf con lo que queda demostrada la propiedad.-
5) Limite de un Cociente de dos Funciones
“ Si las funciones )()( xgyxf definidas en un mismo conjunto D , y si ambas tienen limite finito en un mismo punto de acumulación “a” tal que: 21 )(lim)(lim lxglxf
axax=∧=
→→,entonces la
función : .)()()(
xgxfxh = tiene como limite en dicho punto la suma de los límites 0; 2
2
1 ≠= lll
L , o
sea: 2
1)(lim
)(lim
)()(lim)(lim
ll
xg
xf
xgxfLxh
ax
axaxax
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⇒=
→
→
→→
17
Demostración:
11)(0/00 εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ lxfaxDx f (I)
22)(0/00 εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ lxgaxDx f (II)
')(0/00 εδδε <−⇒<−<∧∈∀>∃>∀ LxhaxDx f
Partiremos de la siguiente expresión:
2
12
2
1).(
)(.)(.)()(
lxgxglxfl
ll
xgxf −
=− (1)
A los fines de la demostración adoptaremos: ⎩⎨⎧
+=→−=+=→−=
22
11)()()()()()()()(
lxxglxgxlxxflxfx
ββαα
(2)
cumpliéndose que: 0)(lim0)(lim =∧=→→
xxaxaxβα (3)
Por lo tanto la expresión (1) adopta la forma:
[ ] [ ][ ] =
++−+
=−22
2112
2
1.)(
)(.)(.)()(
llxlxllxl
ll
xgxf
ββα
desarrollando el numerador:
[ ] [ ] =+−
=+
−−+=−
22
12
22
211122
2
1.)(
)(.)(..)(
.)(..)(.)()(
llxxlxl
llxllxlllxl
ll
xgxf
ββα
ββα
[ ] [ ] [ ]2
122
2
1
22
12
2
1 )(.)(..)(.
)()(
.)()(.)(.
)()(
lxlxl
lxll
xgxf
llxxlxl
ll
xgxf βα
ββ
βα −=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−→
+−
=−
Tomando limite en ambos miembros:
[ ] [ ]2
122
2
1 )(.)(.lim.)(lim.
)()(lim
lxlxl
lxll
xgxf
axaxax
βαβ
−=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
→→→
Si tenemos en cuanta lo adoptado en (2)
[ ])(.)(.lim1)(lim.)()(lim 12
22
1 xlxll
xgll
xgxf
axaxaxβα −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
→→→
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
→→→→)(lim)(lim.1)(lim.
)()(lim 12
22
1 xlxll
xgll
xgxf
axaxaxaxβα ,
teniendo en cuanta lo expresado en (3)
0)(lim
0)()(lim0)(lim.
)()(lim
2
1
2
1 ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−→=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
→→→→ xgl
lxgxfxg
ll
xgxf
axaxaxax
(por hipótesis)
2
1
2
1)()(lim0
)()(lim
ll
xgxf
ll
xgxf
axax=→=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
→→ con lo que se demuestra la propiedad.-
18
6) Límite de una función elevada a otra función En este caso se debe tomar el límite a ambas funciones, o sea a la función de la base y a la función del exponente.-
[ ])(lim
)( )(lim)(limxg
axxg
ax
axxfxf →
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=→→
LIMITES NOTABLES: Demostráremos en esta sección que bajo ciertas condiciones existen limites notables como ser:
xsenx
x 0lim→
; en este caso es claro ver que si reemplazamos el valor de 0=x en la función dada tendremos:
00lim
0=
→ xsenx
xque sería una indeterminación. Lo que se va a demostrar es que: 1lim
0=
→ xsenx
x.-
Q P
x A R T
Trabajaremos sobre una cuarta parte de un circulo trigonométrico de radio unitario. Se denominará :”x” al ángulo en estudio Esta demostración parte de una comparación de áreas generada en la gráfica anterior, las cuales se denominan:
• Área del triángulo: PRATAPT .21
=
• Área del triángulo: QTATAQT .21
=
• Área del sector circular: APxAPT .21 ∧
=
De la gráfica claramente podemos ver que la relación entre ellas, teniendo en cuenta sus superficies es la siguiente:
Área del triángulo APT < Área del sector circular: APT < Área del triángulo AQT
Al plantear esta desigualdad en función de la medida de sus lados, tendremos:
QTATAPxPRAT .21.
21.
21
<<∧
(I)
Si tenemos en cuanta que se trabaja sobre la base de un triángulo trigonométrico de radio unitario podemos plantear :
→== 1ATAP reemplazando en (I) : QTxPR .. <<∧
(II)
19
De la misma gráfica surge:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=→=
=→=
xtgATQTATQTxtg
xsenAPPRAPPRxsen
.
.
Reemplazando en (II) : xtgATxxsenAP .. << pero: →== 1ATAP xtgxxsen << (III) . Escribiendo esta expresión utilizando las relaciones entre las funciones trigonométricas tendremos:
xxsenxxsen
cos<< si a esta expresión se la divido en todos sus miembros por xsen :
xxsenx
xsenxxsen
xsenx
xsenxsen
cos11
.cos<<→<<
Posteriormente se debe invertir la expresión, teniendo en cuanta que al hacerlo cambia el sentido de la desigualdad:
xx
xsencos1 >> reordenando 1cos <<
xxsenx posteriormente se toma limite cuando la variable tiende
a cero en cada uno de sus miembros: 1limlimcoslim000 →→→
<<xxx x
xsenx luego calculando estos limites
tendremos: 1lim10
<<→ x
xsenx
al presentarse esta situación debemos razón de la siguiente manera, es obvio
pensar que si una expresión es a la vez mayo y menor que uno, la única alternativa que se tiene es de que dicha relación valga uno:
1lim0
=→ x
xsenx
Con lo cual se demuestra el limite, esta expresión se puede generalizar de la siguiente manera:
1lim0
=→ ax
axsenx
Ejemplo 1:
Calcular:
xxsenx
xxsenx
xsenxsen
xx5
5.5
33.3
lim53lim
00 →→= como 1
55lim;1
33lim
00==
→→ xxsen
xxsen
xx tendremos:
53
53lim
53lim
53lim
000===
→→→ xxx xx
xsenxsen
Puede notarse que en el ejercicio se trata de generar el límite notable multiplicando y dividiendo por un valor que sea igual al argumento de la función trigonométrica .-
Límite notable: 1lim0
=→ ax
tgaxx
Para demostrar este límite usaremos el ya demostrado 1lim0
=→ ax
axsenx
, para lo cual escribiremos la
expresión a demostrar de la siguiente manera:
111.1
cos1lim.lim
cos.limcoslim
0000====
→→→→ axaxaxsen
axaxaxsen
axaxaxsen
xxxx con lo cual se demuestra el límite.
20
Como podrá verse se utilizó la propiedad del limite de un producto.-
Limite Notable: ex
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim
En este caso se debe tener en cuanta que el valor “e” se refiere a la base de los logaritmos neperianos.- Para poder demostrar esta expresión usaremos el enunciado del Teorema del Binomio de Newton:
( ) ∑=
=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
nk
k
kknn bakn
ba1
. donde )!!.(
!knk
nkn
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
.....1.1.4
1.1.3
1.1.2
1.1.1
1.1.0
114
43
32
21
10
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + −−−−
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxxx
x
1!!
)!0!.(0!
0==
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xx
xxx
xxxx
xxx
=−−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)!1()!1(
)!1!.(1!
1
!2)1(
)!2!.(2)!2)(1(
)!2!.(2!
2−
=−−−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ xxx
xxxxxx
!3)2)(1(
)!3!.(3)!3)(2)(1(
)!3!.(3!
3−−
=−
−−−=
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ xxxx
xxxxxxx
!4)3)(2)(1(
)!4!.(4)!4)(3)(2)(1(
)!4!.(4!
4−−−
=−
−−−−=
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ xxxxx
xxxxxxxx
Posteriormente reemplazamos estos valores y tendremos:
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + −−−
33
221 1.1.
!3)2)(1(1.1.
!2)1(1.1.1.1.111
xxxx
xxx
xx
xxxxx
x
.....1.1.!4
)3)(2)(1( 44 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−−
+ −x
xxxx x
..........1.1.!4
)3)(2)(1(1.!3
)2)(1(1.1.!2
)1(1.1.111432+
−−−+
−−+
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x
xxxx
x
xxx
x
xxx
xx
x
A continuación sacamos factor común “x” de cada uno de los paréntesis:
....1!4
312111...1.
!3
2111..1.
!2
11.1.111
432+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
x
x
Operando y tendremos:
..............1!4
3121111.
!3
21111.
!2
111.111
4
4
3
3
2
2
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x
xxxx
x
xxx
x
xx
xx
x
x
21
Simplificamos:
..............!4
312111
!3
2111.
!2
111111 +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xxxxxxx
x
En esta expresión tomamos límite cuando la variable tiende al infinito
..............!4
312111lim
!3
2111lim.
!2
11lim2lim11lim +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→∞→∞→∞→
xxxxxxx xxxx
x
x
Si tenemos en cuanta que: 0lim =∞→ nx x
a, la expresión anterior adopta la forma:
..............!4
1!3
1.!2
1211lim ++++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
x
x x
Al desarrollar los factoriales:
........0416666.0...16666.05,0211lim..............241
61.
21211lim ++++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +→++++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→
x
x
x
x xx
Al hacer la suma de estos valores obtenidos en el segundo miembro, la misma se acercar{a al valor de la base de los logaritmos neperianos: ...718281828,2=e Por lo tanto de esta forma se puede concluir que:
ex
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim
Limite Notable: ( ) ex xx
=+→
11lim
0
Para este caso usaremos la propiedad demostrada anteriormente, pero se hace necesario realizar un cambio e base sobre el mismos, para lo cual se adoptar{a:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
∞→→
=→=→+
→ uxSiu
xuxx x
x :entonces0
11Adoptamos1lim
1
0
por lo tanto la expresión anterior se convierte en :
eu
u
u=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim
Con lo cual se demuestra el valor de este nuevo limite notable.- En resumidas cuentas los límites notables vistos son:
1lim0
=→ ax
axsenx
1lim0
=→ ax
tgaxx
ex
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim
( ) ex xx
=+→
11lim
0
22
LIMITE INFINITO La no existen del límite finito puede significar que cuando “x” se aproxima al punto de acumulación, los valores de la función superan en valor absoluto a cualquier número positivo prefijado; tal como puede
ocurrir con el límite: xx
1lim0→
que tal como podemos ver no tiene límite finito en el origen.-
Definición: Una función tiene límite infinito en el punto de acumulación de su dominio si y solo si para cualquier número positivo H existe un número positivo δ tal que :
HxfaxDxx f >⇒<−<∧∈∀ )(0/ δ
donde H es positivo y tan grande como se quiera. Por convención para indicar esta situación se puede simbolizar de la siguiente manera:
∞=→
)(lim xfax
El concepto del límite podemos diversificarlo considerando el signo de los valores de la función:
HxfaxDxHxf fax
>⇒<−<∧∈∀>∃>∀⇔+∞=→
)(0/00)(lim δδ
gráficamente lo podemos esquematizar: y
)( δ−a a )( δ+a
HxfaxDxHxf fax
−<⇒<−<∧∈∀>∃>∀⇔−∞=→
)(0/00)(lim δδ
)( δ−a a )( δ+a
23
Ejemplo 1: Utilizando la definición probar que ∞=−→ 31lim
3 xx. Ello se puede verificar si y solo si:
Hx
xDxxH f >−
⇒<−<∧∈∀>∃>∀3
130//00 δδ podemos ver que
δδ 1
313 >−
⇒<−x
x por lo tanto bastará tomar: H
H 11=→= δ
δ que satisface la definición.-
Ejemplo 2: Utilizando la definición probar que ∞=−−
→ 562lim
5 xx
x. Planteamos la definición
HxxxDxxH f >−−
⇒<−<∧∈∀>∃>∀56250//00 δδ (I)
Hx
xHxx 32
553
2−
<−⇔>−
− sabemos que 10 ≤< δ si adoptamos 1=δ
43115115 <−<→<−<−→<− xxx Reemplazando en (I) tendremos dos alternativas:
( )1;;min84.2
21.2
21
12
11δδδ
δδ
δδ=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=→=
=→=
HH
HH
GENERALIZACION DEL CONCEPTO DE LIMITE:
Nos interesa considerar el concepto de límite para los siguientes caos:
1. εδε <−⇒>∧∈∀>∃>∀⇔=∞→
LxfMxDxxLxf fx
)(//00)(lim
2. εδε <−⇒>∧∈∀>∃>∀⇔=
+∞→LxfMxDxxLxf f
x)(//00)(lim
3. εδε <−⇒−<∧∈∀>∃>∀⇔=
+∞→LxfMxDxxLxf f
x)(//00)(lim
Ejemplo 1: verificar por definición que 2312lim =
−+
∞→ xx
x
Planteamos los módulos de la definición: Mx > (I)
εεε 73
37
37
3)3(2122
312
>−→<−
=−
=−
−−+→<−
−+ x
xxxxx
xx
(II)
de (I) y (II) ε73 +≥M
24
VERDADERO VALOR DEL LIMITE En esta sección nos limitaremos a ver la forma de calcular algunos limites, la idea es que sirvan como guías para la resolución de los distintos casos que se pueden presentar.-
Para hacerlo nos vamos a valer de ciertos artificios matemáticos como pueden ser: a) cambio de variables b) Sumar y restar un número en un mismo miembro.- c) Multiplicar y dividir por un mismo número.- d) Multiplicar y dividir por el conjugado de una expresión. En este lo que se busca es generar una
diferencia de cuadrados, por ejemplo. )( es conjugado)( baba −→+
)( es conjugado)( baba −→+
1. Calcular:
→=−−
→ 00
22lim
2 xx
x se multiplica y divide por el conjugado del numerador
( )( )
( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) =+−
−=
+−
−→=
+
+−−
→→→ 22)2(lim.
222lim
22.
22lim
2
22
22 xxx
xxx
xx
xx
xxx
( ) 221
21lim
2=
+→ xx
2. 0
20
)2()1)(1(lim
)2)(1()1)(1(lim
00
2
1lim1
2
12
23
1=
−=
−+−
=−++−
→=−−
−−+−→−→−→ x
xxxxxx
xx
xxxxxx
3.
1 hacemos si00
23
43lim2
2
2
→→==+−
−+→
zzsenxsenxxsen
senxxsenx π
ecuaciones las oResolviend2343lim
2
1 +−−+
→ zzzz
z
( )( )( )( )
( )( ) 5
15
24lim
2141lim
11−=
−=
−+
=−−+−
→→ zz
zzzz
zz
4.
1ttcosx :Hacemos1cos
4cos3coslim2
2
0→→=
−
−+→ x
xxx
( )( )( )( )
( )( ) 2
514lim
1141lim
1
43lim112
2
1=
++
=+−+−
=−
−+→→→ t
ttttt
t
ttttt
5.
=−
−−→ 49
32lim27 x
xx
Se multiplica y divide por el conjugado del numerador:
( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) =−++−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=−++−
−+−−→→ 3277
32lim
32773232lim
22
77 xxx
x
xxxxx
xx
25
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) =−++−
−=
−++−
−−→→ 3277
7lim3277
34lim77 xxx
xxxx
xxx
( )
( )( )( ) ( )( ) 561
)4)(14(1
3271lim
32777lim
77−
−=
−++
−=
−++−
−−→→ xxxxx
xxx
Para resolver los ejercicios que veremos a continuación es necesario establecer como válido el
siguiente límite:
0lim =∞→ nx x
a donde:
⎩⎨⎧
postivo real Número :nconstante :a
( I )
Una de las formas de resolver los limites cuando la variable tiende al infinito es sacar un factor cupón
la máxima potencia que se tenga tanto en el numerador como en el denominador de la función a la cual se le desea calcular el límite: Ejemplo Nº 1:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=−
+−∞←∞←∞→
222
2
2
2
21
123lim
21
123lim
2123lim
x
xx
xx
xxx
xxx
xxx Si tenemos en cuenta la propiedad
enunciada, podemos llegar a la siguiente conclusión:
321
123lim
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
∞←
x
xxx
Ejemplo Nº 2:
010
21
123
lim21
123
lim2
123lim
4
42
44
424
4
32==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
=−
+−−∞←∞←∞→
x
xxx
xx
xxxx
xxx
xxx
Ejemplo Nº 3:
( )xxxxx
x 32139lim 2
26
−+−
∞→ para este tipo de ejercicios es conveniente primero sacar un factor común dentro e la
raíz, para luego extraer ese factor fuera de la raíz
( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=−
+−∞→∞→∞→
xx
xxx
xxx
xxx
xxxxx
xxx 32
139.lim
32
139lim
32139lim
3
643
2
646
2
26
26
23
29
32
139.lim
64==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=∞→
x
xxx
27
ACTIVIDAD N° 1
1- Justificar por definición los siguientes límites:
( ) 132lim)44lim)213lim)1
201
=+−=−=−−→→→
xcxbxaxxx
2- Calcular los siguientes límites
43.
4
32lim)22
1.2
2lim)3
23
02Rtta
xx
xxxbRttaxxa
xx −
−−−−
→→
5:2343lim)0.
238126lim) 2
2
2
2
23
2−
+−−+
+++++
→−→Rtta
senxxsensenxxsendRtta
xxxxxc
xx π
35:
2
32lim)25:
1cos
4cos3coslim)2
2
12
2
0Rtta
xx
xxfRttax
xxexx −−
−−
−
−+−→→
0:63
2016lim)0:26lim) 2
23
22
2
3Rtta
xxxxxhRtta
xxxxg
xx +−+−+
−+−−
→→
41:
42lim)0:
2
1lim)42
23
1Rtta
xxjRtta
xx
xxxixx −
−
−−
−−+→−→
1:11lim)41:
221lim)
01−
+−−−−
→→Rtta
xsenxsenxlRtta
xxk
xx
41:24lim)
641:
6442lim)
2
028Rtta
xxxnRtta
xxm
xx
−++−
−
−−→→
3- Calcular los siguientes límites notables:
2:1.lim)2:
cos1lim)
0
2
0−
+−− →→Rtta
coxsenxxbRtta
xxa
xx
( ) 0:3
lim)0:5
7lim)2
0
2
0Rtta
xxsendRtta
xxtgc
xx →→
23:
2)3(lim)
43:
43lim)
00Rtta
xxtgfRtta
xsenxsene
xx →→
4- Verificar por definición los siguientes límites:
∞=∞=−
∞=→→→ 2040
1lim)4
1lim)1lim)x
cx
bx
axxx
5- Calcular los siguientes límites:
∞+−
+−
+−
++−
∞→∞←∞→:
153
32lim)0:53
12lim)23:
3253lim)
2
3
2Rtta
xx
xxcRttaxx
xbRttaxxa
xxx
28
1:1
1lim)23:
1
13lim)2
22
2Rtta
xx
xxxbRttaxx
xdxx ++
+++
++
−∞→∞→
29
CONTINUIDAD Iniciaremos el tema recordando el concepto de punto de acumulación:
“a” es un punto de acumulación del conjunto “C” ( ) ( ) φ≠∀⇔ CNN aa I':'
Sea )(xf una función y ""a un punto de acumulación de su dominio, que como ya se vio el punto ""a puede o no pertenecer al dominio de )(xf , es decir el valor de la función en el punto o sea )(af puede
existir o no como número real. Además debemos tener en cuanta que la idea de límite se desvincula de lo que sucede en el punto
""a , y la expresión de )(lim xfax→
tiene sentido totalmente independiente del valor )(af .
Pueden presentarse distintas circunstancias como ser: La función puede estar definida en a y no tener límite finito en ese punto.-
Puede existir )(lim xfax→
y no existir )(af .-
Pueden existir )(lim xfax→
y )(af y ser distintos.
Pueden existir )(lim xfax→
y )(af y ser iguales
Como podemos aprecia r son varias las alternativas, de ahora en mas nos abocaremos al estudio de
las mismas par poder determinar si una función es o no es continua, y en caso de no serlo ver la posibilidad de salvar la discontinuidad en caso de ser posible.- DEFINICION
Sea )(xf una función y ""a un punto de acumulación de su dominio; )(xf es continua en ax = si y solo si se verifica:
1) Que la función ene. Punto esté definida: )(af∃ 2) Que exista el límite de la función en el punto : )(lim xf
ax→∃ . En caso de ser necesario se deberá
analizar los límites laterales y verificarse que: )(lim)(lim xfxfaxax −+ →→
=
3) El valor de la función en el punto debe ser igual al valor del límite: )()(lim afxfax
=→
Como podemos apreciar la continuidad se basa en el concepto de límite, puede darse también la
definición utilizando entornos convenientes de a y )(af :
)(xf es continua en ax = ⇔ εδδε <−⇒<−∧∈∀>∃>∀ )()(/00 afxfaxDx f .
En esta definición podemos notar dos diferencias con respecto a la definición de límite finito:
1) Se reemplaza el valor de l por )(af .
2) No se exige que el entorno sea reducido, vale decir que no se exige que ax ≠ ya que )(xf está
definida en ax = .
30
Si retomamos la definición vemos que son tres las condiciones que debe cumplir una función para que sea continua, una de ellas que no se cumpla da lugar a pensar en dos tipos de discontinuidades:
1. Discontinuidad Evitable.
2. Discontinuidad Inevitable
Veremos a continuación algunos casos prácticos para poder clarificar el concepto de continuidad:
Caso 1: Dada: 2)( 2 −= xxf analizar la continuidad en 2=x
Si analizamos por la definición tendremos:
a) 222)2( 2 =−=f
b) 22lim 22
=−→
xx
c) )(lim)2(2
xffx→
=
Por lo consiguiente al cumplir las tres condiciones de la definición decimos que la función es continua.- Caso 2:
Dada : 416)(
2
−−
=x
xxf . Estudiaremos la discontinuidad de )(xf en el punto , que es un punto de
acumulación de su dominio. Gráficamente tendremos:
Si analizadnos la continuidad de la función por la definición tendremos:
a) )4( existe No00
4164)4(
2f
xf ⇒=
−−
=
b) ( )( )
( ) 84lim4
44lim416lim
44
2
4=+=
−+−
=−−
→→→x
xxx
xx
xxx
31
Claramente podemos ver que fDx ∉= 4 , o sea que no existe )4(f , sin embargo
8)(lim4
=∃→
xfx
.
El gráfico de la función es una recta donde se ha excluido el punto )8;4(P .- En este caso podemos decir que la función presenta una discontinuidad Evitable, y cuando esto
sucede, podemos redefinir la función. Hacemos esto para poder expresar la función comom continua, y lo hacemos de la siguiente manera:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−
=48
4416
)(2
x
xx
xxf
De esta manera se ha salvado la discontinuidad.-
Caso 3:
Dada 3
1)(−
=x
xf analizar en 3=x
Gráficamente tendremos:
Apliquemos la definición:
a) 01
331)3( =−
=f No existe
b) Para el límite debemos usar laterales:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−∞=+
+∞=+
−
+
→
→
31lim
31lim
3
3
x
x
x
x
Claramente podemos ver que el límite no existe al ser los laterales distintos, lo que nos habilita para
decir que la función es discontinua y en esta caso la discontinuidad es inevitable. Podemos ver también que el salto que da la función en el punto 3=x es infinito
Caso 4:
En esta oportunidad veremos una función definida en ramas, de la siguiente manera:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥−=
002)(
2
xsixxsixxf
Para graficar esta función debemos tener en cuanta el intervalo donde se debe graficar cada una de
las ramas de la misma, además la función está definida en el punto 0=x , cuando la función adopta la forma: 22)( xxf −=
32
Aplicamos la definición:
a) 202)0( 2 =−=f
b) Debemos analizar los limites laterales: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−
−
+
→
→0lim
22lim
0
20
x
x
x
x
En este caso podemos apreciar que: • El límite existe y es un valor finito.- • Los límites laterales existen pero son distintos, con lo que podemos decir que el límite no
existe en el punto 0=x
• El salto de discontinuidad es finito (es medible).-
Por todo esto podemos decir que la función es discontinua del tipo inevitable.- Resumen:
De los ejemplos visto podemos sacar ya algunas conclusiones y que son las siguientes:
Función : )(xf es: Continua si : Discontinua si:
Evitable Inevitable
)(lim)()
)(lim))()
xfafiii
xfiiafi
ax
ax
→
→
=
∃∃
)(lim) existe No)xfii
f(a)i
ax→∃
Si esto ocurre podemosredefinir
)(lim) )
xfExisteNoiif(a)i
ax→
∃
Si los laterales son distintos y el salto esInfinito (no medible)
)(lim)()
)(lim) )
xfafiii
xfiif(a)i
ax
ax
→
→
≠
∃∃
Si esto ocurre podemosRedefinir
)(lim) )
xfExisteNoiif(a)i
ax→
∃
Si los laterales son distintos y el salto esFinito (medible)
33
Podemos concluir entonces que para poder redefinir la función lo que significará salvar la discontinuidad es condición necesaria que el límite exista, de no existir será inevitable.-
Para redefinir se debe expresar la función de la siguiente manera:
⎩⎨⎧
=≠
axsikaxsixf
xf)(
)( siendo )(lim xfkax→
=
ASINTOTAS
ASINTOTA VERTICAL – DEFINICION
La recta de ecuación ax = es asíntota vertical al gráfico de la función )(xf si y solo si ∞=
→)(lim xf
ax
Ejemplo:
Sea: 4
)(2 −
=x
xxf podemos ver claramente que esta función tiene dos puntos posibles en los
cuales tenga asíntota vertical, y son los valores que anulan el denominador, por lo consiguiente: 2±=x . Analizamos el límite para cada uno de estos valores:
∃=→∞=−→
24
lim22
xenx
xx
asíntota vertical
∃−=→∞=−−→
24
lim22
xenx
xx
asíntota vertical
En ambos casos no podemos salvar la indeterminación. Gráficamente tendremos:
Ejemplo:
Sea 16
4)(2 −
−=
x
xxf podemos ver que las posibles asíntotas están en 4±=x . Al analizar los
límites tendremos:
( )( ) 81
41lim
444lim
16
4lim4424
=+
=+−
−=
−
−→→→ xxx
x
x
xxxx
34
Por lo consiguiente no existe asíntota vertical en 4=x
( )( ) ∞=+
=+−
−=
−
−−→−→−→ 4
1lim44
4lim16
4lim4424 xxx
x
x
xxxx
Por lo consiguiente existe asíntota vertical en 4−=x
Ejemplo:
Sea ( )23
1)(−
=x
xf
Analizamos el límite en 3=x
∞=−→ 23 )3(
1limxx
Por lo consiguiente tiene una asíntota vertical en 3=x
Para hacer una gráfica cuando tenemos asíntotas verticales se deben dar valores a ambos lados de las mismas.-
35
ASINTOTA HORIZONTAL – DEFINICION
La recta de ecuación ly = es asíntota horizontal al gráfico de la función )(xf si y solo si lxf
x=
∞→)(lim
En los ejemplos que veremos a continuación solo se analizará si las funciones tienen asíntota
horizontal, independientemente de que pueda la función tener asíntota vertical Ejemplo:
Sea: 32
)(2
2
−−
−=
xx
xxxf analizamos el límite:
( )( )
( )( ) 11
1lim
1
1lim
32lim
32
1
322
12
2
2=
−−
−=
−−
−=
−−
−∞→∞→∞→
xx
xx
xx
xxx x
x
xx
xx
por lo consiguiente estamos en condiciones de decir que la función tiene una asíntota horizontal en 1=y Ejemplo:
Sea: 1
)(2
+=
xxxf . Analizamos el límite
( ) ( ) ∞=∞
=+
=+
=+ ∞→∞→∞→ 11
lim1
lim1
lim11
22
xx
xxx
xx
xxx
por lo tanto la función no tiene asíntota horizontal
ASINTOTA OBLICUA – DEFINICION
La recta de ecuación 0; ≠+= mbmxy es asíntota oblicua al gráfico de la función )(xf . Para determinar las constantes bm ; debemos aplicar los siguientes límites:
[ ]mxxfbxxfm
xx−==
∞→∞→)(lim;)(lim
• Deberá cumplir que 0≠m , de ocurrir esto la función no tiene asíntota oblicua
• Puede ocurrir que ⎩⎨⎧
→≠→=
origen elpor pasa no asíntota La0origen elpor pasa asíntota La0
bb
36
En este apartado analizaremos solo si la función tiene asíntota oblicua independientemente de si tiene o no asíntota vertical y horizontal.-
Ejemplo:
Sea: 22)(
2
−+
=x
xxxf Calcularemos las constantes:
( )( )
( )( ) 111
1lim
1
1lim
)2(2limlim
2
2
22
222222
=⇒=−
+=
−
+=
−+
==∞→∞→∞→
−+
∞→m
x
x
xxxx
xm
x
xx
x
xxx
xxx
x
Con este valor determinado ya estamos en condiciones de asegurar que la función tiene asíntota
Oblicua. Determinaremos ahora el valor de la ordenada al origen para lo cual usaremos el valor ya determinado de 1=m
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−+
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−+
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−+
=∞→∞→∞→∞→ 2
4lim2
22lim2
)2(2lim22lim
2222
xx
xxxxx
xxxxxx
xxxb
xxxx
( ) 441
4lim14lim
22=⇒=
−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
− ∞→∞→b
xx
xx
xx
Con los valores determinados podemos armar nuestra asíntota oblicua:, teniendo en cuanta que
4+=⇒+= xybmxy
37
EXISTENCIA DE LAS ASINTOTAS Una misma función puede tener mas de una clase de asíntota, para ellos realizaremos un resumen
donde se tratará de esquematizar las asíntotas que puede tener una función.
¿ La función puede tener simultáneamente asíntota…..? Vertical Horizontal Oblicua Respuesta
Si solo vertical
Si solo horizontal
Si puede tener ambas
Si puede tener ambas
No puede tener ambas
No puede tener las tres asíntotas
Ejemplo:
31)(
2
+−
=x
xxf
Realizaremos ahora el estudio completo de las asíntotas de una función.- Asíntota Vertical
⇒∞=+−
−→ 31lim
2
3 xx
x Existe asíntota Vertical en 3−=x
Asíntota Horizontal
( ) ( ) ⇒∞=∞
=+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
∞→∞→ 11
1lim
1
1lim
3
1
3
1222
x
xx
x
xx
x
x
x No existe asíntota horizontal, debemos analizar si tiene
asíntota oblicua Asíntota Oblicua
( ) ( ) 111
1lim
1
1lim
)3(1limlim
3
1
32
122
31
222
=⇒=+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=+−
==∞→∞→∞→
+−
∞→m
x
x
xxx
xm
x
xx
x
xxx
xx
x
=+−−
=+
−−−=
++−−
=−+−
=∞→∞→∞→∞→ 3
31lim3
31lim3
)3(1lim31lim
2222
xx
xxxx
xxxxx
xxb
xxxx
( )( )
( )( ) 331
3lim
1
3lim
3
1
3
1−=⇒−=
+
−−=
+
−−
∞→∞→b
x
x
x
xx
x
xx
38
La asíntota oblicua buscada es: 3−= xy
39
ACTIVIDAD N° 2
1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indica, en caso de ser posible redefina. Realizar previamente la gráfica de cada una de ellas:
22
)()01)()0)() =−
===== xenx
xxfiiixenx
xfiixenxxfi
π====== xensenxxfvixenxxfvxenx
xfiv )()0ln)()01)()2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−
=38
339
)()2
x
xx
xxfvii
2. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones analizando los límites laterales, redefinir en caso de ser posible. Previamente realizar la gráfica correspondiente.
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>−
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≤=
0
0)()
0
0)()
cos)()
322
2
xsix
xsixxfiii
xsix
xsixxfii
xsix
xsixsenxfi
π
π
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
=<−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=<−
===
24
2424
)()111111
)()02)()2
2
xsix
xsixsix
xfvixsixxsixsix
xfvxenxfiv x
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+
<−===
01
0)()0)()
3 xsix
xsixxfviiixen
xx
xfvii
3. Determinar los valores en los cuales es continua la función dada:
82
2)()4
4)()52
2)()3
)()22
3
−+
−=
−
+=
++
=+
=xx
xxfivx
xxfiiix
xxfiix
xxfi
4. Para las siguientes funciones analizar las posibles asíntotas que pudieran tener. Realizar la gráfica
correspondiente.-
91)()
651)()
1585)()
)5(4)()
2
222
−=
−+=
++=
−=
xxfd
xxxfc
xxxfb
xxfa
40
2
2
2
232
22
23
)2(1)()13)()
322/1)()
11)()
21)()
164)()
22)()
234)()
−=
+−=
+−+
=−+
=+−
=
−+
=−+
=+
+−=
xxfl
xxxxfk
xxxxxxfj
xxxfi
xxxfh
xxxfg
xxxff
xxxxxxfe
2
11)()1
34)()11)()312)()
xxfo
xxxfñ
xxfn
xxxfm +=
+−
=−=−+
=
( )( )2
3
2
322
11)()
4)()4
23)()1
)()
−+
=
−=
++−
=−
=
xxxfs
xxxfr
xxxxfq
xxxfp
41
UNIDAD II - DERIVADA Si )(xf es una función definida en un intervalo abierto y se consideran dos puntos distintos de
dicho intervalo que llamaremos 1; xx , de tal manera que 1x se vea incrementado en h .- y )( hxf + 1P )()( xfhxf −+ )(xf 2P x hxx +=1 h
Unimos los puntos 1P y 2P con lo cual se determina una recta secante cuya pendiente viene dada
por el cociente h
xfhxf )()( −+ . Si fuéramos acercando el punto 1P al 2P veremos que paulatinamente
la secante va tomando distintas posiciones 321 ;; RRR con lo que se va aproximando cada vez mas a una recta tangente ( )T en el punto 2P .-
y T 3R 2R 1R 1P
2P x Claramente podemos ver entonces que el incremento h que originalmente había sufrido x tiende a
anularse. Si a este cociente obtenido se le toma el límite cuando el incremento de la variable tiende a cero
tendremos la definición de derivada que llamaremos )(' xf , vale decir:
hxfhxfxf
h
)()(lim)('0
−+=
→
Geométricamente podemos decir entonces que la derivada se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado.-
42
Calcularemos la derivada de una función por aplicación de la derivada:
Dada: 1)( 2 += xxf tendremos entonces que esta función incrementada será ( ) 1)( 2 ++=+ hxhxf , planteando la definición:
( ) ( )=
+−++=
−+=
→→ hxhx
hxfhxfxf
hh
11lim)()(lim)('22
00 luego desarrollando esta
expresión tendremos:
( ) xhxh
hxhh
hxhh
xhxhxxfhhhh
22lim2lim2lim112lim)('00
2
0
222
0=+=
+=
+=
−−+++=
→→→→
Por lo consiguiente la derivada de la función: 1)( 2 += xxf es xxf 2)(' =
REGLAS DE DERIVACION:
A continuación se demostrarán las reglas de derivación mas importantes, estas demostraciones se harán siempre a partir de la definición.-
1) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE: cxf =)(
00limlim)()(lim)('000
==−
=−+
=→→→ hh
cch
xfhxfxfhhh
por lo tanto la derivada de una constante es siempre igual a cero: 0)(')( =→= xfcxfSi
Ejemplo: 0)('5)( =→= xfxf
2) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LINEAL: caxxf +=)( con ca; constantes
( )=
−−++=
+−++=
−+=
→→→ hcaxcahax
hcaxchxa
hxfhxfxf
hhh 000lim)(lim)()(lim)('
ah
ahh
=→0
lim Por lo tanto: axfcaxxfSi =→+= )(')(
Ejemplo: 2)('52)( −=→+−= xfxxf
3) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: cbxaxxf ++= 2)( donde : cba ;; son constantes
( ) ( )=
++−++++=
−+=
→→ hcbxaxchxbhxa
hxfhxfxf
hh
22
00
)(lim)()(lim)('
( ) ( )=
++−+++++=
→ hcbxaxcbhbxhxhxaxf
h
222
0
2lim)('
=++
=−−−+++++
=→→ h
bhahaxhh
cbxaxcbhbxahaxhaxxfhh
2
0
222
0
2lim2lim)('
( ) ( ) baxbahaxh
bahaxhhh
+=++=++
→→22lim2lim
00
43
Por lo tanto: baxxfcbxaxxfSi +=→++= 2)(')( 2
Ejemplo: 310)('535)( 2 +−=→++−= xxfxxxf
4) DERIVADA DE UNA POTENCIA EXPONENTE NATURAL : nxxf =)(
Planteamos la definición: =−+
=−+
=→→ h
xhxh
xfhxfxfnn
hh
)(lim)()(lim)('00
(I)
Para poder demostrar esta expresión usaremos el enunciado del Teorema del Binomio de Newton:
( ) ∑=
=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
nk
k
kknn bakn
ba1
. donde )!!.(
!knk
nkn
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) .......4
..3
..2
..1
..0
443322110 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+ −−−− hx
nhx
nhx
nhx
nhx
nhx nnnnnn
1!!
)!0!.(0!
0==
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛nn
nnn
nnnn
nnn
=−−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)!1()!1(
)!1!.(1!
1
!2)1(
)!2!.(2)!2)(1(
)!2!.(2!
2−
=−−−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ nnn
nnnnnn
!3)2)(1(
)!3!.(3)!3)(2)(1(
)!3!.(3!
3−−
=−
−−−=
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ nnnn
nnnnnnn
!4)3)(2)(1(
)!4!.(4)!4)(3)(2)(1(
)!4!.(4!
4−−−
=−
−−−−=
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ nnnnn
nnnnnnnn
Posteriormente reemplazamos estos valores y tendremos:
( ) .......!3
)2)(1(..!2
)1(..1..1 332211 +−−
+−
++=+ −−− hxnnnhxnnhxnxhx nnnnn
.......!4
)3)(2)(1( 44 +−−−
+ − hxxnnn n
A continuación reemplazamos en la expresión (I)
( )h
xhxnnnhxnnhxnx
hxhx
nnnnn
h
nn
h
−+−−
+−
++=
−+−−−
→→
.......!3
)2)(1(..!2
)1(..limlim
332211
00
Simplificamos: nx
( )h
hxnnnhxnnhxn
hxhx
nnn
h
nn
h
.......!3
)2)(1(..!2
)1(..limlim
332211
00
+−−
+−
+=
−+−−−
→→
Sacamos factor común : h
44
( )h
hxnnnhxnnxnh
hxhx
nnn
h
nn
h
.......!3
)2)(1(..!2
)1(..limlim
23121
00
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−−+
−+
=−+
−−−
→→
Simplificamos:
123210
...............!3
)2)(1(.!2
)1(lim)(' −−−−→
=+−−
+−
+= nnnnh
xnhxnnnhxnnnxxf
Vale decir que si 1.)(')( −=→= nn xnxfxxcf
Para un caso mas general: 1..)('..)( −=→== nn xnaxfctteaxaxf
Ejemplo: 45 15)('3)( xxfxxf =→=
5) DERIVADA DE UNA POTENCIA EXPONENTE REAL : Rnxxf n ∈= ;)( Podemos aplicar la misma derivada del caso anterior, pero teniendo en cuanta que en este caso el exponente es un número real : Ejemplo:
433
15)('55)() −− =→−=−= xxfxx
xfi
xxxfxxxfii
21
21)(')() 2
12
1==→== −
57
52
52)(')() −− −=→= xxfxxfiii
6) DERIVADA DE UN LOGARITMO NATURAL: xxf ln)( =
Planteamos la definición:
[ ]=−+=−+
=−+
=→→→
)ln()ln(1lim)ln()ln(lim)()(lim)('000
xhxhh
xhxh
xfhxfxfhhh
Usamos propiedades de logaritmo:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=→→
h
xh
xhx
hxf
hh
1
1lnlimln.1lim)('00
Llegada a esta instancia debemos plantear un cambio de variables para poder convertir este límite en
un límite notable de la forma:
Llamamos: 0011→→=→= uentoneshsiTambién
uxhxhu
( ) ( ) ( ) ( ) =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=+=
→→→→44 344 21
e
uuuu
uux
uuxu
xu
xuuxf
111
11
1limln.11ln.1lim1lnlim1lnlim)('0000
{ xe
xxf 1ln.1)('
1==
=
Por lo consiguiente si x
xfxxf 1)('ln)( =→=
45
7) DERIVADA DE UNA SUMA: La derivada de una suma (o resta) de funciones es igual a la suma (o resta) de las derivadas de cada
una de las funciones.-
Si )(')(')(')()()( xgxfxhxgxfxh +=→+=
Demostración: Planteamos la definición:
[ ] [ ]=
−−+++=
+−+++=
→→ hxgxfhxghxf
hxgxfhxghxfxh
hh
)()()()(lim)()()()(lim)('00
Asociamos:
=−+
+−+
=−++−+
=→→→ 444 3444 21444 3444 21
)('0
)('00
)()(lim)()(lim)()()()(lim)('
xgh
xfhh h
xghxgh
xfhxfh
xghxgxfhxfxh
Con lo que demostramos: )(')(')(' xgxfxh +=
Ejemplo: x
xxfxxxf 16)('ln3)( 2 −=→−=
8) DERIVADA DE UN PRODUCTO DE DOS FUNCIONES:
Demostraremos que si )(').()().(')(')().()( xgxfxgxfxhxgxfxh +=→=
Demostración: Partimos de la definición de derivada
hxgxfhxghxfxh
h
)().()().(lim)('0
−++=
→ en el numerador del segundo miembro sumamos y
restamos : )().( xghxf + con lo que obtenemos:
hxghxfxghxfxgxfhxghxfxh
h
)().()().()().()().(lim)('0
+−++−++=
→
Asociamos:
hxghxfxgxfxghxfhxghxfxh
h
)().()().()().()().(lim)('0
++−+−++=
→
Sacamos factor común:
[ ] [ ]h
xfhxfxgxghxghxfxhh
).().()()()().(lim)('0
−++−++=
→
Por propiedad del límite de una suma:
[ ] [ ]h
xfhxfxgh
xghxghxfxhhh
).().()(lim)()().(lim)('00
−++
−++=
→→ (I)
Luego si analizamos cada uno de estos sumandos tendremos:
[ ]
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−+
=−+
+=−++
→→
→→→
)(').()()(lim).(lim
)(').()()(lim).(lim)()().(lim
)('00
)('000
xfxgh
xfhxfxg
xgxfh
xghxghxfh
xghxghxf
xfhh
xghhh
444 3444 21
444 3444 21
(II)
46
Reemplazamos (II) en (I): )(').()().(')(' xgxfxgxfxh += que es lo que deseábamos demostrar.-
Ejemplo: ( )( ) xxxx
xxxxfxxxf +=+=→= ln.21.ln.2)('ln.)( 22
9) DERIVADA DE UN COCIENTE:
Demostraremos que si [ ]2)(
)(').()().(')(')()()(
xg
xgxfxgxfxhxgxfxh −
=→=
Partimos de la definición: h
xgxf
hxghxf
xhh
)()(
)()(
lim)('0
−++
=→
sacamos común denominador:
)().(.
)().()().(lim)().()().()().(
lim)('00 xghxgh
xfhxgxghxfh
xghxgxfhxgxghxf
xhhh +
+−+=
++−+
=→→
En el denominador del segundo miembro sumamos y restamos: )().( xgxf
=+
−++−+=
→ )().(.)().()().()().()().(lim)('
0 xghxghxgxfxgxfxfhxgxghxfxh
h
Operamos en enumerador:
[ ] [ ]=
+
−+−
−+
=→ )().(
)()()(.)(.)()(
lim)('0 xghxg
hxghxgxf
hxgxfhxf
xhh
[ ] [ ]=
+
−+
−+
−+
=→→ )().(
)()()(lim
)().(
)(.)()(
lim)('00 xghxg
hxghxgxf
xghxg
xgh
xfhxf
xhhh
(I)
Analizamos cada uno de estos limites:
[ ]
[ ][ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==+
−+
==+
−+
→
→
20
20
)(
)(').()().()(').(
)().(
)()(
).(lim
)(
)().(')().()().(')(.
)().(
.)()(
lim
xg
xgxfxgxgxgxf
xghxgh
xghxg
xf
xg
xgxfxgxgxgxfxg
xghxgh
xfhxf
h
h (II)
47
Reemplazando (II) en (I) : [ ] [ ] [ ]222 )(
)(').()().('
)(
)(').(
)(
)().(')('xg
xgxfxgxf
xg
xgxf
xg
xgxfxh −=−=
Ejemplo:
( ) ( )
3444
2
2ln21ln21ln.22.ln.1
)('ln)(x
x
x
xx
x
xxx
x
xxxxxf
x
xxf −=
−=
−=
−=→=
10) DERIVADA DE LA FUNCION: senxxf =)(
Planteamos la definición: ( )
hsenxhxsen
h
−+→0
lim si tenemos en cuenta la propiedad trigonométrica
de la diferencia del seno de dos ángulos que expresa:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−2
cos.2
.2 BABAsensenBsenA teniendo en cuanta que en nuestro caso :
⎩⎨⎧
=−+=+
→⎩⎨⎧
=+=
hBAhxBA
xBhxA 2
podemos expresar nuestra definición de límite de la siguiente
manera:
( )=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−+
=→→ h
hxhsen
hsenxhxsenxf
hh
22cos.
2.2
limlim)('00
teniendo en cuanta el límite
notable del seno que dice: 1.lim0
=→ ax
axsenx
y aplicando propiedades de limite, podemos expresar:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=→→→→ 2
2coslim.2lim2
2coslim..
2.2
lim)('0
12
000
hxhsen
hxh
hsenxf
hhhhh4434421
xxhxxfh
cos2
2cos2
2coslim.)('0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=→
por lo consiguiente
Si xxfsenxxf cos)(')( =→=
11) DERIVADA DE LA FUNCION: xxf cos)( =
Planteamos la definición: ( )
hxhx
h
coscoslim0
−+→
si tenemos en cuenta la propiedad
trigonométrica de la diferencia del seno de dos ángulos que expresa:
48
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=−2
.2
.2coscos BAsenBAsenBA teniendo en cuanta que en nuestro caso :
⎩⎨⎧
=−+=+
→⎩⎨⎧
=+=
hBAhxBA
xBhxA 2
podemos expresar nuestra definición de límite de la siguiente
manera:
( )=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
−+=
→→ h
hsenhxsen
hxhxxf
hh
2.
22.2
limcoscoslim)('00
teniendo en cuanta el límite
notable del seno y aplicando propiedades de limite, podemos expresar:
senxxsenhxsen
hsenhxsenxf
hhhh−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=→→→ 2
22
2lim2lim.2
2lim)('0
12
004434421
por lo consiguiente senxxfxxfSi −=→= )('cos)(
12) DERIVADA DE LA FUNCION: tgxxf =)( Para determinar la derivada de las demás funciones trigonométricas usaremos dos la propiedad del cociente ya demostrada y la relación que guardan : ecxxctgxtgx cos;sec;; con xsenx cos; . Para la tangente usaremos:
( ) ( )( )
=−
=→==2cos
'cos.cos'.)('
cos)(
x
xsenxxsenxxf
xsenxtgxxf
( )( )
xxx
xsenx
x
senxsenxxxxf 2
22
22
2sec
cos
1
cos
cos
cos
'.cos'.cos)(' ==
+=
−−=
Por lo tanto: Si xxftgxxf 2sec)(')( =→=
13) DERIVADA DE LA FUNCION: ctgxxf =)( Para la cotangente usaremos:
( ) ( )( )
=−
=→==2
'.cos'.cos)('cos)(
senx
senxxsenxxxf
senxxctgxxf
( )xec
xsenxsen
xxsen
senx
xxsenxsenxxf 222
22
2cos1cos'coscos..)(' −=−=
+−=
−−=
Por lo tanto: Si xecxfctgxxf 2cos)(')( −=→=
49
14) DERIVADA DE LA FUNCION: xxf sec)( =
( ) ( )( )
=−
=→==2cos
'cos.1cos'.1)('
cos1sec)(
x
xxxf
xxxf
( )( )
xtgxxx
senx
x
senx
x
senxxxf sec.cos
1.coscoscos
cos.0)('22
===−−
=
Por lo tanto: Si xtgxxfxxf sec.)('sec)( =→=
15) DERIVADA DE LA FUNCION: ecxxf cos)( = Para la cosecante usaremos:
( ) ( )( )
=−
=→==2
'.1'.1)('1cos)(
senx
senxsenxxf
senxecxxf y su derivada es:
( )ecxctgx
senxsenxx
xsen
x
senx
xsenxxf cos.1.1coscoscos.0)('22
−=−=−=−
=
Por lo tanto: ecxctgxxfecxxf cos.)('cos)( −=→=
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA – REGLA DE LA CADENA
Recordaremos el concepto de función compuesta : Dadas: )(;)( xgxf decimos que si la imagen de la función )(xg está incluida o es igual al
dominio de la función )(xf , existirá la función compuesta: gfxh o=)( . Simbólicamente podemos expresar:
[ ])()( xgfgfxhDI fg ==∃→⊆ o
Si además la función )(xg es derivable en un punto a interior de su dominio y la función )(xf
es derivable en el punto )(ag interior al recorrido de )(xg , entonces la función compuesta gfxh o=)( es derivable en a y su derivada es:
( ) [ ] )('.)(')(')(' agagfagfxh == o
Esto puede demostrarse a partir de la aplicación de la definición de derivada en un punto que se
puede también expresar de la forma: ax
afxfax −
−→
)()(lim
Aplicando esta definición a la función compuesta tendremos:
( ) ( ) ( )ax
agfxgfagfax −
−=
→
)()(lim)(' ooo también por definición de derivada podemos expresar:
[ ] [ ] [ ])()(
)()(lim)(')()( agxg
agfxgfagfagxg −
−=
→ y
axagxgag
ax −−
=→
)()(lim)('
50
Pensando en estas tres definiciones podemos escribir: ( ) ( ) [ ] [ ] )()()()(.
)()()()()()( agxgaxsi
axagxg
agxgagfxgf
axagfxgf
≠∧≠−−
−−
=−− oo
Si a cada miembro de la expresión anterior le tomamos el límite correspondiente a cada caso:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ]
[ ]44 344 2144444 344444 21
ooo
)(')('
)()(
)()(lim.)()(
)()(lim)()(lim)('
agax
agf
agxgax axagxg
agxgagfxgf
axagfxgfagf
=→
=
→→ −−
−−
=−−
=
Resumiendo: ( ) [ ] )('.)(')(')(' agagfagfxh == o Ejemplo:
Sean: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
==
RI
RDxxg
RI
RDxxf
f
f
f
f15)(;)( 3
Si queremos determinar: ( ) [ ]RRDIxgfxh fg ⊆⊆→= )()( o
Por lo consiguiente: [ ] [ ] ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=→===
5)('15.3)('3)(')´(.)(')('
22
xgxxgfxxfxgxgfxh
22 )15.(155.)15(3)(' +=+= xxxh REGLA DE LA CADENA:
La regla de la cadena no es otra cosa que determinar la derivada de una función compuesta, pero en este caso podemos llegar a trabajar con mas de dos funciones tal como es el caso de la función compuesta ya visto.-
Supongamos el caso que nos pidan determinar la derivada de una función tal como la siguiente:
( )[ ]15ln)( 2 −= xsenxf , a simple vista es bastante complicado pero podemos desarrollar usando una serie de cambios de variable.-
( )[ ] uyxsenu =→−= 15ln 2
( ) vuxsenv ln15 2 =→−=
senwvxw =→−= 15 2
Con estos cambios de variable podemos ver claramente que en la segunda columna nos quedan derivadas simples y directas. Falta ahora determinar como se debe armar la derivada de la función original dada. Para ellos vemos de que con el primer cambio de variable "" y paso a depender de ""u ; con el segundo cambio ""u depende ahora de ""v , con el tercer cambio ""v depende de ""w y por ultimo ""w depende de
"" x . De esta manera podemos armar la siguiente cadena:
dxdw
dwdv
dvdu
dudy
dxdy ...=
51
Estas expresiones son una serie de productos de derivadas, lo que falta es calcularlas:
( )[ ]15ln2
12
12 −
==xsenudu
dy
( )15
112 −
==xsenvdv
du
( )15coscos 2 −== xwdwdv
xdxdw 10=
Luego planteamos el producto de estas derivadas:
[ ] xxxsenxsendx
dy 10).15cos(.)15(
1.)15(ln2
1 222
−−−
=
TABLA DE DERIVADAS:
La regla de la cadena da lugar a una tabla de derivadas de algunas funciones elementales.
Para la tabla que desarrollamos a continuación debemos tener en cuanta la siguiente nomenclatura: ka; son constante , )();();( xwwxvvxuu === , ='u derivada de la función u ; ='v derivada de la
función v ; ='w derivada de la función w : 1) [ ] cttekkD == ;0
2) [ ] ctteaaaxD == :
3) [ ] '.... 1 uunauaD nn −=
4) [ ] ''' wvuwvuD −+=−+
5) [ ] '.'.. vuvuvuD += 6)
2'.'.
v
vuvuvuD −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
7) [ ]uuuD 'ln = 8) [ ] neperianos logaritmos los de Baselog.'log == ee
uuuD aa
9) [ ] uusenuD cos'.=
10) [ ] senuuuD '.cos −=
11) [ ] uutguD 2sec'.=
12) [ ] uecuctguD 2cos'.−=
13) [ ] tguuuuD .sec'.sec =
14) [ ] ctguecuuecuD .cos'.cos −=
15) [ ] auaaD uu ln'..=
16) [ ] neperianos logaritmos de base '. == eeueD uu
DERIVADA DE UNA FUNCIOIN IMPLICITA:
Cuando una función está definida de la forma: )(0);( xfyconyxF == decimos que es una función implícita.-
En ella podemos apreciar que una función 0);( =yxF depende de dos variables, y que además una de esas variables es dependiente de la otra, en este caso )(xfy = .-
Esquemáticamente podemos expresarlo de la siguiente manera:
52
x
F y x
En este esquema vemos que la función depende de dos variables yx ; donde la variable x es
denominada libre y la variable y es dependiente del valor de x .- Para determinar en forma general la derivada de una función definida implícitamente podemos
seguir este esquema, lo iniciamos derivando F con respecto de x en la rama superior del esquema, luego al cambiar de rama debemos sumar la derivada de la función F pero ahora derivada con respecto de y , y a este resultado multiplicarlo por la derivada de y respecto de x .
Esto se puede expresar simbólicamente de la siguiente manera:
0. =+dxdyFF yx donde nuestra incógnita es
dxdy
, que al despejar adopta la forma:
y
xFF
dxdy
−=
En esta expresión debemos tener en cuanta que:
⎩⎨⎧
constante omanteniend de respectocon de Derivada:constante omanteniend de respectocon de Derivada:
xyFFyxFF
y
x
Ejemplo:
( ) 023),( 2222 =−−++= yxyxsenyxyxF
( ) ( ) 2cos.26cos.22 22222 −++=−++= yxyxFxyxxxyF yx
Luego:
( )( ) 2cos.2
6cos.22222
22
−++
−++−=
yxyx
xyxxxydxdy
(I)
Nótese que en el caso de la derivada de ( )22 yxsen + se aplicó la regla de derivación N° 9 de la
tabla anterior, donde en este caso 22 yxu += .- Otra manera de hallar la derivada de esta misma función es derivar en forma conjunta toda la
expresión, pero se deberá tener en cuanta que solamente al derivar la variable y , se deberá multiplicar dicha derivada por : 'y . Otros aspecto a tener en cuenta es que se deberán respetar todas las reglas de derivación.
Realizaremos la derivada de la misma función anterior para poder cotejar los resultados.-
( ) 023),( 2222 =−−++= yxyxsenyxyxF
( ) ( ) 0'.26cos.'.22'.2 222 =−−++++ yxyxyyxyxxy luego desarrollamos:
( ) ( ) 0'.26cos'..2cos.2'.2 22222 =−−+++++ yxyxyyyxxyxxy
53
asociamos y sacamos factor común 'y
( )[ ] ( )[ ]xyxxxyyxyxy 6cos.222cos.2' 22222 −++−=−++ Despejamos 'y :
( )[ ]( )[ ]2cos.2
6cos.22'222
22
−++
−++−=
yxyx
xyxxxyy (II)
PROPIEDADES DE FUNCIONES DERIVABLES
Al trazar la gráfica de una función derivable en un intervalo cerrado, se verifica que si trazamos una recta que pasa por los extremos de la curva, es posible hallar un punto interior al intervalo donde la tangente al gráfico por dicho punto sea paralela a la recta trazada.
Para determinar ese punto intermedio del intervalo hay dos teorema según sea la condición de la recta tangente.-
Esto se demuestra con dos teoremas que son el Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio TEOREMA DE ROLLE
En este teorema analizaremos el caso en que la recta tangente es horizontal .-
Y )(cf )()( bfaf = a c b X
Enunciado: 1) Si )(xf es un función continua en [ ]ba;
2) Si )(xf tiene derivada finita en ( )ba;
3) Si )()( bfaf =
Entonces existe un punto ( ) 0)('/; =∈ cfbac
Consideraciones: • Si )(xf es un función constante, o sea [ ] [ ]baxxfbaxkxf ;0)(';)( ∀=⇒∈∀= con lo cual
podemos elegir cualquier punto ""c del intervalo abierto ( )ba; .-
54
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
En el caso de que la recta tangente no sea horizontal tenemos el teorema del Valor Medio
Y )(bf )(cf )(xry =
)(af
Enunciado:
1) Si )(xf es un función continua en [ ]ba; 2) Si )(xf tiene derivada finita en ( )ba;
Entonces existe un punto ( )ab
afbfcfbac−−
=∈)()()('/;
Demostración:
Consideramos la recta )(xry = , determinada por los puntos de coordenadas: [ ] ;)(; afa [ ])(; bfb .
Si determinamos la ecuación de esta recta teniendo en cuanta que la recta que pasa por dos puntos es en forma general.
( ) ( ) ( )112
121222111 ;;; xx
xxyy
yyyxPyxP −−−
=−→==
Por lo consiguiente para la recta determinada por los puntos [ ] ;)(; afa [ ])(; bfb tendremos:
( )axab
afbfafxr −−−
=−)()()()( operando podemos expresar:
)(.)()(.)()()( afaab
afbfxab
afbfxr +−−
−−−
= si llamamos )()()( afab
afbfk +−−
−= , podremos
expresa en forma mas simplificada:
kxab
afbfxr −−−
= .)()()( Luego si hacemos la derivada de esta función obtendremos:
.)()()('ab
afbfxr−−
= (I)
Determinamos ahora una función auxiliar: )()()( xrxfxh −= La función )(xh es derivable en
el intervalo ( )ba; por ser la diferencia de dos funciones también derivables en el mismo intervalo. Por lo que podemos expresar: )(')(')(' xrxfxh −=
55
Podemos expresar entones: 0)()()(;0)()()( =−==−= brbfbharafah Por lo tanto la función )(xh cumple con la hipótesis del Teorema de Rolle lo que significa que ( ) 0)('/; =∈∃ chbac . Pero 0)(')(')(' =−= crcfch (II)
Reemplazando (I) en (II): ab
afbfcfab
afbfcf−−
=→=−−
−)()()('0)()()('
Ejemplo:
Dada la función 432)( 2 +−= xxxf en el intervalo [ ]2;0 . Verificar si cumple con el Teorema del Valor Medio • Al ser una función polinómica es continua en el intervalo • 34)('34)(';6)2(;4)0( −=→−=== ccfxxfff
Planteando el Teorema: 134024634)()()(' =−→
−−
=−→−−
= ccab
afbfcf luego podemos
deducir que: 1=c ; este valor ( )2;01∈=c por lo consiguiente cumple con el Teorema del Valor Medio.- DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
Al plantear la definición de derivada de una función tendremos: h
xfhxfxfh
)()(lim)('0
−+=
→ .
Una propiedad de límite finito indica que la diferencia entre la función considerada y su límite es un infinitésimo en el punto donde se calcula el límite.
Es decir:
)()()()(' hgh
xfhxfxf =−+
− siendo )(hg el infinitésimo mencionado. Debemos tener en
cuenta que en esta expresión 0≠h . Si operamos con la expresión anterior tendremos: [ ] hhgxfhxfhxf ).()()().(' =−+− En esta expresión [ ])()().(' xfhxfyhxf −+ son
aproximadamente iguales para valores muy pequeños del incremento h . El valor: [ ])()( xfhxf −+ es el incremento de la función correspondiente a un incremento h
para x . Los incrementos suelen designarse por lo general con el símbolo Δ , es por ello que comúnmente se
designa como xΔ al incremento h para la variable x .- El incremento [ ])()( xfhxf −+ puede designarse como );( hxfΔ que se lee incremento de f en
x respecto de h , o mas simplemente yΔ , aunque esta notación suele usarse en manera imprecisa.- La expresión hxf ).(' se llama diferencial de f en el punto x respecto de h y se designa
);( hxdf o mas simplemente dy . Veremos en un gráfico la interpretación geométrica de los números considerados:
⎩⎨⎧
==−+=Δ=Δ
hxfhxdfdyxfhxfhxfy
).(');()()();(
56
Y )()( xfhxf −+ dy yΔ )(xf xh Δ= a hx + X APLICACIONES:
Consideramos una función )(xf en un punto ax = , y luego incrementamos en la variable x .
)()( afxafy −Δ+=Δ (I)
por otro lado dxafdy ).('= Para xΔ pequeño, se cumple que dxafyydy ).('=Δ→Δ≅ . (II)
Reemplazando (II) en (I) :
)()().(' afxafdxaf −Δ+= de esta expresión podemos deducir:
)().(')( afdxafxaf +=Δ+
Ejemplo 1: Supongamos que nos pidan calcular sin el uso de calculadora: 26 . Procedemos de la siguiente manera:
Ubicamos un valor muy próximo al dado pero que tenga raíz cuadrada exacta, por ejemplo: 25
luego planteamos: ⎩⎨⎧
=Δ=
→+=1
2512526
xx
luego planteamos una función acorde al número dado a
calcular, en este caso es: xxf =)( , la derivamos 101
2521)25('
21)(' ==→= f
xxf
Con los datos obtenidos planteamos: )().(')( afdxafxaf +=Δ+
1,55101251.
10126 =+=+=
Si usamos la calculadora : 099,526 = vemos que entre ambos valores obtenidos la diferencia es muy pequeña.- Ejemplo 2:
Calcular: °29sen Nosotros conocemos 2130 =°sen por lo consiguiente adoptaremos :
⎪⎩
⎪⎨⎧
°°
−=Δ°−=Δ
°=→°−°=°
180.1radianesen puesto1
3013029 πxx
x
57
La función a usar es : 23)30('cos)(')( =°→=→= fxxfsenxxf
Calculamos: 484885005,021
180.1.
2331 =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
°°
−=°πsen
Con la calculadora: 515038074,031 =°sen
La diferencia entre ambos valores es de: 1003
58
ACTIVIDAD N° 3
1- Calcular la derivada de las siguientes funciones solo como aflicción de la derivada:
)1ln()()1)()1)() 2 +==+−= xxfcx
xfbxxfa
2- Calcular la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación que considere conveniente
)2ln()6cos()()3)() 35 xxxfbsenxxxxfa +=−+=
)(ln)ln()())6cos(4)3()() 2 xsensenxxfdxxtgxfc +=−=
( )( ) ( )( )xxxxffxxxxfe −+=−+= 13)()23)() 2325
senxexfhxxxfg =
+
−= )()
11)()
2.ln)())() senxexxfjxeexfi x
xx+=
+=
−
( )senxxflsenxexfk x
x.3ln)())()
2==
3- Aplicar derivación logarítmica para las siguientes funciones:
( ) ( ) xxx xycsenxybxya lncos ))) ===
( )( ) ( ) xxxxyexsenyd
xyc ln12
2ln)3)1)
2
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+
4- Aplicar la regla de la cadena:
( )[ ] ( )342 ln)15)1ln) xsenycxxsenybxsenya =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=−=
( )[ ] ( )[ ]1ln))) 22 −==+= xsenyfxsentgyexxyd
5- Derivar implícitamente:
( ) 0).ln(:);()0:);() 22 =−+=−++ yxxxyyxFbyxyxsenxyyxFa
( )xy
yyxyxFcyxy
xxsenyxFc32
322 :);()1ln1:);() ++−++
6- Usando el concepto de diferencial calcular:
9log)91)27cos)125)80) 2
3 edcba °
59
UNIDAD III - APLICACIONES DE LA DERIVADA
UNIDAD IV – TEOREMA DEL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Veremos en esta unidad algunas de las aplicaciones que tiene la derivada.
RECTA TANGENTE:
La idea intuitiva es que la Recta Tangente debe ser una línea recta que pasa por un punto arbitrario P de una curva )(xf y que tiene la misma dirección que la curca en P . Como sabemos la dirección de una recta queda determinada por la dirección de la pendiente.- Como conocemos las coordenadas del punto [ ])00 (; xfxP , podemos
encontrar otra recta cuya pendiente podemos calcular.- Consideremos una función continua en un punto 0xx = . Sea 0≠h y los puntos de coordenadas
Y )( 0 hxf +
)()( 00 xfhxf −+ P )( 0xf 0x hx +0
( ))(; 00 xfxP y ( ))(; 11 xfxQ distintos . La ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
( ) ( )
hxfhxf
xxxfy
xhxxfhxf
xxxfy )()()()( 00
0
0
00
00
0
0 −+=
−−
→−+−+
=−
−
Por lo que la ecuación de la recta toma la forma:
( ) )(.)()(
0000 xfxx
hxfhxf
y +−−+
=
Esta recta así definida y de acuerdo a lo que se puede apreciar en la figura no es otra cosa que la recta secante.
Sabemos que h
xfhxftgm
)()( 00 −+== θ para aproximarnos a la recta tangente bastará con tomar el
límite cuando el incremento tiende a cero, y además aplicar propiedades ya vistas del límite de una función:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+=
→→)(.
)()(limlim 00
0000
xfxxh
xfhxfy
hh
teniendo en cuenta que h
xfhxfxf
h
)()(lim)(' 00
00
−+=
→
Podemos entonces concluir que la ecuación de la recta tangente es:
)())((' 000 xfxxxfy +−=
60
RECTA NORMAL: Se dice que dos rectas son normales o perpendiculares cuando la pendiente de una es igual al
inverso negativo de la otra, para nuestro caso:
)()()('
100
0xfxx
xfy +−−=
Ejemplo:
Dada la función 1)( 2 −= xxf determinar la ecuación de la recta tangente y normal en el punto 2=x
Debemos calcular la segunda coordenada del punto, para lo cual reemplazamos el valor de 2=x en la
función original: 312)2( 2 =−=f . Posteriormente debemos calcular la pendiente de la recta que estará dada por la derivada de la función particularizada en el punto 2=x :
Si 4)2('2)('1)( 2 =→=→−= fxxfxxf
• Recta Tangente: 543)2(4 −=→+−= xyxy TT
• Recta Normal: 27
413)2(
41
+−=→+−−= xyxy TN
REGLA DE L’HOPITAL
Frecuentemente se nos presentan ejercicios de límites con los cuales tenemos cierta dificultad al momento de su resolución, ya que se nos pueden presentar indeterminaciones del tipo:
∞±∞∞∞∞ ;.0;;
00 00 ;1;0 ∞∞ , todos estos casos pueden ser resueltos mediante la aplicación de la regla
de L´Hopital .
Esta regla se aplica a funciones del tipo )()(
xgxf
y que al reemplazar en ellas el valor en el cual se
desea calcular el valor del límite me da como resultado ∞∞
∨00
. Esto no significa que para las demás
indeterminaciones presentadas no se pueda aplicar esta regla, lo que significa es que para poder aplicarla
61
debemos transformar la función a la cual se le desea calcular el límite en indeterminaciones del tipo
∞∞
∨00
.-
La regla dice:
)(
)(lim...........)('')(''lim
)(')('lim
)()(lim
xg
xfxgxf
xgxf
xgxf
n
n
axaxaxax →→→→==== donde:
• )(';)(' xgxf son las derivadas primeras de cada función
• )('';)('' xgxf son las derivadas segunda de cada función
• )(;)( xgxf nn son las derivadas enésimas de cada función
Lo que si se debe tener en cuenta que al derivar se debe derivar cada función por separado, no
derivar como un cociente de dos funciones. Si luego de realizar la primera derivada no se salvó la indeterminación, podemos aplicar nuevamente la derivada de cada función, pero antes tenemos que operar
algebraicamente para que nuevamente y antes de derivar tengamos una de las indeterminaciones: ∞∞
∨00
.-
Veremos a continuación ejemplos demostrativos para cada caso de las indeterminaciones presentadas:
1. Indeterminación de la forma 00
:
• →=−−
→ 00
24lim
2
2 xx
xal tener la indeterminación en una de las dos formas que debe
estar, solo nos queda derivar, recordando que no se debe derivar como cociente las funciones
dadas, sino cada función por separado: 414
12lim
2==
→
xx
con lo cual se salva la
indeterminación.-
• →=→ 0
0lim0 x
senxx
derivamos: 111
1coslim
0==
→
xx
Como se recordará este límite ya fue
demostrado como un límite notable.-
2. Indeterminación de la forma: ∞∞
• ∞∞
=→ ctgx
xx
lnlim0
podemos aplicar directamente la Regla de L´Hopital:
0lim.limlim1
1
lim0
1
0
2
02
0=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−=
− →
=
→→→senxsenx
xsenx
xxsen
xsen
xxxxx 321
y se salvo la indeterminación
• ∞∞
=→∞∞
=∞→∞→ x
e
x
e x
x
x
x 2limlim
2 debemos derivar nuevamente: ∞==
∞
∞→ 22lim ee x
x.
Con este ejercicio se quiere mostrar que no siempre el límite existe.-
62
3. Indeterminación de l forma: ∞.0 • ∞=
→.0ln.lim
0xx
x antes de derivar debemos operar con la función dada con el propósito de
tener una indeterminación del tipo ∞∞
∨00
, caso contrario no podremos aplicar la regla. El
objetivo es llegar a escribir la función de otra manera:
∞∞
=→
xx
x10
lnlim . Nótese que se escribió la función de ora manera y al tomar el límite
tendremos una de las dos indeterminaciones deseadas para poder aplica la regla. Derivemos:
0limlimlimlnlim0
2
01
1
0102
=−=−=−
=→→→→
xx
xxxx
x
xx
xx
Y se salvó la indeterminación.-
4. Indeterminación de la forma ∞−∞∞+∞ ;
• ∞−∞=−=−−→ 0
101
ln1
11lim
1 xxx Como no lo tenemos en la forma
∞∞
∨00
debemos
operar algebraicamente, para lo cual sacaremos un común denominador:
( ) 00
ln.1)1(lnlim
ln1
11lim
11=
−−−
=−− →→ xx
xxxx xx
ahora estamos en condición de aplicar la regla:
( ) 00
).1(ln
1lim
ln.1)1(lnlim
1
1
11=
−+
−=
−−−
→→x
xxx xxxx
xx Nótese que en el denominador al haber un
producto se aplicó la regla correspondiente, pero debemos derivar nuevamente
21
111
11
1
lim
2
2
1−=
+−
=+
−
→
xx
xx
. Se salva de esta manera la indeterminación.-
• ∞−∞=−→
ctgxxx
1lim0
En este caso lo que se deben hacer dos pasos previos antes de
derivar, en primer lugar reemplazar senx
xctgx cos= , luego sacar un común denominador:
00
.cos.limcos1lim
00=
−=−
→→ senxxxxsenx
senxx
x xx . Ahora aplicamos la regla, no sin dejar de tener
en cuenta que en el numerador y en el denominador se debe derivar un producto
( )
00
cos..lim
cos.coscoslim
.cos.lim
000=
+=
+−−
=−
→→→ xxsenxsenxx
xxsenxxsenxxx
senxxxxsenx
xxx. Tenemos
que derivar nuevamente:
020
.cos2cos.lim
).(coscoscos.lim
cos..lim
000==
−+
=−++
+=
+ →→→ senxxxxxsenx
senxxxxxxsenx
xxsenxsenxx
xxx
5. Indeterminación de la forma: 00 ;1;0 ∞∞
Este tipo de indeterminaciones pueden ser englobadas en una forma general: [ ] )()( xgxf . Este tipo de indeterminaciones se salvan tomando logaritmos en ambos miembros, para tratar de hallar el límite de una función con la forma: )(ln).( xfxg .-
63
• 00
0lim ==→
xx
xy . Tomamos límite en ambos miembros:
∞===→→
.0ln.limlnlimln00
xxxyx
xx
. Debemos trabajar el límite para dejarlo de la forma
∞∞
∨00
∞∞
==→
xx
xy10
lnlimln Luego derivamos:
0limlimlnlimln2
01
1
0102
=−=−
==→→→ x
xxyx
x
xx
xx
por lo consiguiente lo que tenemos
finalmente es: 0ln =y , por definición de logaritmo: 10 == ey . Por lo consiguiente es este el verdadero el valor del límite.-
• 00
1lim ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→
senx
x xy . Tomamos logaritmo:
∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
→→.01ln.lim1lnlimln
00 xsenx
xy
x
senx
x lo escribimos de otra forma y hacemos
uso de la propiedad del logaritmo de un cociente:
∞∞
=−=−=→→
senxxx
xxsenxy100
lnlimln.limln . Ahora estamos en condiciones de derivar:
{
0cos
.limlimln
010cos
1
02
==−
−=
==→→ 321 x
senxx
senxyx
xsenx
xx
finalmente: 10ln 0 ==→= eyy
EXTREMOS DE FUNCIONES
Veremos a continuación otra de las aplicaciones que tiene la derivada y es la de poder determinar los puntos en los cuales las funciones tienen extremos, entendiéndose como tal aquellos puntos en los cuales la función toma valores máximos o mínimos.
Máximo absoluto
Consideremos una función )(xf definida sobre un conjunto A , el valor )(cf es máximo absoluto
de la función )(xf en el conjunto fDA⊆ , si y solo si )(cf no es superado por ninguno de los valores de
)(xf que alcanza la función en dicho conjunto A . Simbólicamente lo podemos expresar:
)(cf es máximo absoluto de )(xf en A )()( cfxfAx ≤⇒∈∀⇔
Debemos aclarar que el conjunto A es el dominio de )(xf o bien puede ser un subconjunto de este.-
64
)( 1cf )( 2cf )( 3cf 1c 3c 2c
En esta función podemos ver que el punto de coordenadas: [ ])(; 11 cfcP es un máximo absoluto ya que los otros dos valores máximos no superan a este Mínimo absoluto
Consideremos una función )(xf definida sobre un conjunto A , el valor )(cf es mínimo absoluto
de la función )(xf en el conjunto fDA⊆ , si y solo si )(cf no supera a ninguno de los valores de )(xf
que alcanza la función en dicho conjunto A . Simbólicamente lo podemos expresar:
)(cf es mínimo absoluto de )(xf en A )()( cfxfAx ≥⇒∈∀⇔
Debemos aclarar que el conjunto A es el dominio de )(xf o bien puede ser un subconjunto de este.-
)( 2cf )(af a 1c 2c b
En esta función podemos ver que el punto de coordenadas: [ ])(; afaP es un mínimo absoluto ya que los otros dos valores máximos no superan a este. Máximo Local o Relativo:
Consideremos una función )(xf cuyo dominio es el conjunto D y sea c un punto interior a dicho
dominio.- El valor )(cf es máximo local o máximo relativo de la función )(xf si y solo si existe un
entorno del punto c tal que los valores que toma )(xf en los puntos de dicho entorno no superan el valor de )(cf .
65
Simbólicamente lo podemos expresar:
)(cf es máximo local o relativo de )(xf )()(/ cfxfNxDN cc ≤⇒∈∀⊆∃⇔ ( cN : entorno de c ) )( 1cf )( 2cf )( 3cf 1c 3c 2c [ ] [ ])(;)(; 33.22 cfcPcfcP ∧ son máximos locales o relativos, no son absolutos.-
Mínimo Local o Relativo:
Consideremos una función )(xf cuyo dominio es el conjunto D y sea c un punto interior a dicho
dominio.- El valor )(cf es mínimo local o mínimo relativo de la función )(xf si y solo si existe un entorno
del punto c en el cual se verifica que el valor )(cf no supera a ninguno de los valores de )(xf en los puntos de dicho entorno
Simbólicamente lo podemos expresar:
)(cf es mínimo local o relativo de )(xf )()(/ cfxfNxDN cc ≥⇒∈∀⊆∃⇔ ( cN : entorno de c ) )( 1cf )( 2cf 1c 2c [ ] [ ])(;)(; 2211 cfcPcfcP ∧ son mínimos locales o relativos, no son absolutos.-
66
FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
Como ya sabemos para analizar el crecimiento o decrecimiento de una función ,bastará con considerar:
Se dice que una función )(xf definida en un intervalo, es creciente en ese intervalo si y solo si al
adoptar dos valores: 21 xx < verifica que )()( 21 xfxf < . Donde 21; xx son dos números cualesquiera del intervalo.-
Se dice que una función )(xf definida en un intervalo, es decreciente en ese intervalo si y solo si al
adoptar dos valores: 21 xx < verifica que )()( 21 xfxf > . Donde 21; xx son dos números cualesquiera del intervalo.-
Ejemplo:
Dada 2)( xxf = analizar el crecimiento y decrecimiento:
Intervalo: ( )0;∞− Adopto ⎩⎨⎧
−=−=
12
2
1xx
cumple: 21 xx < ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
=−=→
1)1()(
4)2()(2
2
21
xf
xf de donde podemos
concluir que: )()( 21 xfxf > en consecuencia la función decrece en el intervalo ( )0;∞−
Intervalo: ( )−∞;0 Adopto ⎩⎨⎧
==
21
2
1xx
cumple: 21 xx < ⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==→
4)2()(
1)1()(2
2
21
xf
xf de donde podemos
concluir que: )()( 21 xfxf < en consecuencia la función crece en el intervalo ( )−∞;0 Gráficamente podemos verlo:
Ahora bien, en la gran mayoría de los casos este método podemos decir que tiene su complejidad ya
que es bastante complicado determinar los intervalos sobre los cuales se debe trabajar, es por eso que surge la posibilidad de hacerlo mediante la aplicación de la derivada primera de la función.-
Sea una función )(xf continua en el intervalo cerrado [ ]ba; y diferenciable en el abierto ( )ba; : Si ( )baxxf ;0)(' ∈∀> entonces )(xf es creciente en [ ]ba; .- Si ( )baxxf ;0)(' ∈∀< entonces )(xf es decreciente en [ ]ba; .-
Ejemplo:
Dada xxxxf 33
)( 23
−+= sacamos la derivada primera: 32)(' 2 −+= xxxf
67
Crecimiento: 0)(' >xf Hacemos 0322 >−+ xx completo cuadrados
022
2232
222 >⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−+ xx → ( ) 41412 22 >+→>++ xxx luego generamos un
módulo: ( ) 2141 2 >+→>+ xx posteriormente analizamos este módulo:
⎩⎨⎧
−<+−−≥+
+1)1(
111
xsixxsix
x por lo consiguiente tendremos:
⎩⎨⎧
−−∞−<→−<+→−<∞>→>+→−≥
)3;(3211);1(1211
xxxSixxxSi
de esto podemos deducir que la función es creciente en los intervalos ( ) ( )∞−∞− ;13; U
Decrecimiento: 0)(' <xf Hacemos 0322 <−+ xx completo cuadrados
022
2232
222 <⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−+ xx → ( ) 41412 22 <+→<++ xxx luego generamos un
módulo: ( ) 2141 2 <+→<+ xx posteriormente analizamos este módulo:
1321221 <<−→<+<−→<+ xxx
de esto podemos deducir que la función es creciente en los intervalos ( )1;3−
Graficamos la función podremos apreciar que lo determinado en forma analítica también se cumple,
ya que vemos que en el intervalo entre ( )1;3− la función decrece y crece en los deas intervalos.- No debemos dejar de tener en cuanta que la forma de recorrer la gráfica es de abajo hacia arriba y
de izquierda a derecha.-
PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS
Sea )(xf una función continua en todos los puntos del intervalos abierto ( )ba; que contiene al número c y supóngase que )(' xf existe en todos los puntos de ( )ba; excepto posiblemente en c .
1. Si 0)(' >xf para todos los puntos del intervalo abierto que tiene a c como su punto extremos derecho; y si 0)(' <xf para los puntos del intervalo abierto que tiene como extremo izquierdo a c ; entonces )(xf tiene un valor máximo relativo en cx = .-
68
Simbólicamente: • Si 0)(' >xf en ( )ca; y 0)(' <xf en ( )bc; cxen =→ )(xf tiene un máximo
relativo 0)(' >xf 0)(' <xf a c b
2. Si 0)(' <xf para todos los puntos del intervalo abierto que tiene a c como su punto extremos derecho; y si 0)(' >xf para los puntos del intervalo abierto que tiene como extremo izquierdo a c ; entonces )(xf tiene un valor mínimo relativo en cx = .- Simbólicamente: • Si 0)(' <xf en ( )ca; y 0)(' >xf en ( )bc; cxen =→ )(xf tiene un mínimo
relativo 0)(' <xf 0)(' >xf a c b
Con este método podemos deducir lo siguiente, en cualquiera de los dos casos (máximo o mínimo) podemos deducir que la pendiente de la recta tangente al cambiar de signo en algún momento deberá ser nula, y es en ese punto donde la pendiente de la recta tangente cambia de signo, y es también allí donde dijimos que la función tiene un máximo o un mínimo.
En resumen para encontrar los extremos relativos de una función )(xf debemos proceder de la siguiente manera:
1. Hallar )(' xf 2. Determinar los valores de "" x para los cuales 0)(' =xf o bien para que )(' xf no exista
Ejemplo: Analizar crecimiento, decrecimiento y extremos de la función: 196)( 23 ++−= xxxxf .
Sacamos la primera derivada:
9123)(' 2 +−= xxxf la igualamos a cero ⎩⎨⎧
==
→=+−31
091232
12xx
x que son los números
críticos. Pero continuamente hablamos de punto crítico, lo que implica tener dos coordenadas, la segunda de
ellas sale de reemplazar los valores obtenidos de x que anulan la primera derivada en la función original, o
sea:
69
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++−=→=
=++−=→=++−=
113.93.63)(3
511.91.61)(1196)(
2322
231123
xfx
xfxsixxxxf de esta manera si tenemos los
puntos críticos que son: )1;3(;)5;1( 21 PP
Podemos hacer la siguiente tabla:
)(xf )(' xf Conclusión 1<x Pendiente : + )(xf crece 1=x 5 Igual a cero )(xf tiene un máximo relativo
31 << x Pendiente : - )(xf decrece 3=x 1 Igual a cero )(xf tiene un mínimo relativo 3>x Pendiente : + )(xf crece
Gráficamente la función adopta la forma:
CONCAVIDAD
En la siguiente figura podemos apreciar que la función a la cual pertenece tiene un comportamiento
tal que si nos movemos sobre la gráfica con un punto P : • Cuando se mueve desde A hasta B la pendiente de la recta tangente es positiva y va
decreciendo el valor de la misma a medida que nos acercamos al punto B , es decir que la recta tangente gira en el sentido de las agujas del reloj y la gráfica siempre permanece por debajo de la recta tangente, y decimos en este caso que la función es cóncava hacia abajo.
• Cuando P está en el punto B la pendiente de la recta tangente es nula.
• Cuando P va desde el punto C al D la pendiente de la recta tangente es negativa y a
medida que se aproxima al punto D tiende a anularse hasta que pasando este punto empieza nuevamente a tomar valores positivos. Nótese que en este caso la gráfica de la función siempre se mantiene por encima de la recta tangente, decimos en este caso que la gráfica es cóncava hacia arriba
• El punto C recibe el nombre de Punto de Inflexión ya que a ambos lados del mismo la
pendiente de la recta tangente no cambia de signo.-
70
B C A D
Definiciones:
• Se dice que una función es cóncava hacia arriba en el punto de coordenadas [ ])(; cfc si existe )(' cf y si existe un intervalo abierto I que contenga a c , tal que para todos los valores de cx ≠ en el intervalo; el punto [ ])(; xfx en la gráfica esté arriba de la recta tangente a la gráfica en [ ])(; cfc .-
• Se dice que una función es cóncava hacia abajo en el punto de coordenadas [ ])(; cfc si
existe )(' cf y si existe un intervalo abierto I que contenga a c , tal que para todos los valores de cx ≠ en el intervalo; el punto [ ])(; xfx en la gráfica esté abajo de la recta tangente a la gráfica en [ ])(; cfc .
Pero estas definiciones hablan de un intervalo, el cual lógicamente debe ser determinado. De la
misma forma que para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función analizamos a la derivada primera, para la concavidad debemos analizar la derivada segunda de la función, que lógicamente se determina derivando a la derivada primera.
De esta manera podemos decir que: Sea )(xf una función diferenciable en algún punto intervalo abierto que contenga a c . Entonces: • Si 0)('' >xf , la gráfica de )(xf es cóncava hacia arriba en [ ])(; cfc • Si 0)('' <xf , la gráfica de )(xf es cóncava hacia abajo en [ ])(; cfc
Ejemplo: Analizaremos la función ya vista 196)( 23 ++−= xxxxf
126)('';9123)(' 2 −=+−= xxfxxxf
• Cóncava hacia arriba: 0)('' >xf 20126 >→>− xx por lo tanto en el intervalo
( )∞;2 la función es cóncava hacia arriba.-
• Cóncava hacia abajo: 0)('' <xf 20126 <→<− xx por lo tanto en el intervalo
( )2;∞− la función es cóncava hacia abajo.-
71
PUNTO DE INFLEXIÓN: Vimos que para estudiar la concavidad de una función lo hicimos a través del análisis de la segunda
derivada, pero solo se estudió cuando 0)(''0)('' <> xfyxf , dejando de lado que ocurre cuando 0)('' =xf .-
Definición:
Un punto de coordenadas [ ])(; cfc es un Punto de Inflexión de la gráfica de la función )(xf si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto que contenga a c , tal que si x está en el intervalo, entonces:
• 0)('' <xf si cx < y además 0)('' >xf si cx > o bien • 0)('' >xf si cx < y además 0)('' <xf si cx >
En definitiva Si la función )(xf es diferenciable en un intervalo abierto que contenga a c , y si [ ])(; cfc es un
punto de inflexión de la gráfica de )(xf , entonces si existe )('' xf se debe cumplir que 0)('' =cf
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
Hasta ahora vimos como determinar cuando una función tiene un máximo relativo o un mínimo relativo, y lo hicimos mediante la verificación del signo que tiene )(' xf en un entorno de un punto cx = .
Otra prueba para los extremos relativos es la que solo incluye al número cx = . Este criterio dice lo siguiente:
Sea c un número crítico de una función )(xf en el cual 0)(' =cf y )(' xf existe para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c . Si )('' xf existe y cumple: • Si 0)('' <cf , entonces )(xf tiene un máximo relativo en c .- • Si 0)('' >cf , entonces )(xf tiene un mínimo relativo en c .-
• Si 0)('' =cf , entonces )(xf tiene un Punto de Inflexión en c .-
Ejemplo de aplicación:
Veremos un ejercicio de aplicación en el cual usaremos todos los métodos vistos para poder cotejar que por cualquiera e ellos se llega al mismo resultado:
Sea 24
24
)( xxxf −=
1. Dominio: Al ser una función polinómica el dominio viene dado por todos los números reales: RD f :
2. Determinación de los puntos críticos:
xxxxxf 444
4)(' 33
−=−= si igualamos a cero: ( ) 0404 23 =−→=− xxxx
)0;0(0;0 111 Pyx →==
72
)4;2(4;2 222 −→−== Pyx
)4;2(4;2 322 −−→−=−= Pyx
3. Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Crecimiento: ( ) 040)(' 2 >−→> xxxf en este caso podemos ver claramente que se trata de un producto de dos números que es positivo, por lo cual caben dos posibilidades:
i) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
−<>
>→>→>→>−
>
)(2
224404
)(0
222 IIxx
xxxx
Ix
el conjunto solución final será la intersección de (I) y (II) y obtenemos: ( )∞= ;21S
ii) ⎪⎩
⎪⎨⎧
<<−→<→<→<→<−
<
)(2224404
)(0
222 IIxxxxx
Ix
el conjunto solución final será la intersección de (I) y (II) y obtenemos: ( )0;22 −=S La solución final es: ( ) ( )∞−= ;20;221 UU SS
Decrecimiento: ( ) 040)(' 2 <−→< xxxf en este caso podemos ver claramente que se trata de un producto de dos números que es positivo, por lo cual caben dos posibilidades:
i) ⎪⎩
⎪⎨⎧
<<−→<→<→<→<−
>
)(2224404
)(0
222 IIxxxxx
Ix
el conjunto solución final será la intersección de (I) y (II) y obtenemos: ( )2;01 =S
ii) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
−<>
>→>→>→>−
<
)(2
224404
)(0
222 IIxx
xxxx
Ix
el conjunto solución final será la intersección de (I) y (II) y obtenemos: ( )2;2 −∞−=S La solución final es: ( ) ( )2;02;21 UU −∞−=SS
Resumen: ( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
−∞−∞−
2;02;:;20;2:U
U
DecreceCrece
4. Criterio de la primera derivada:
)(xf )(xf )(' xf Conclusión 2−<x Decrece Pendiente : - 2−=x -4 Pendiente nula Mínimo relativo
02 <<− x Crece Pendiente : + 0=x 0 Pendiente nula Máximo relativo
20 << x Decrece Pendiente : - 2=x -4 Pendiente nula Mínimo elativo 2>x Crece Pendiente : +
73
5. Concavidad:
Cóncava hacia arriba: 0)('' >xf entonces: 043)('' 2 >−= xxf
Analizamos: 3
234
34043 222 >→>→>→>− xxxx al analizar el
módulo tendremos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−<
>
32
32
x
x
Cóncava hacia abajo: 0)('' <xf entonces: 043)('' 2 <−= xxf
Analizamos: 3
234
34043 222 <→<→<→<− xxxx al analizar el
módulo tendremos: 3
23
2<<− x
6. Punto de Inflexión:
Debemos pedir
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=→=−→=
32
32
0430)('' 2
x
xxxf para determinar la segunda
coordenada reemplazamos estos valores en la función original
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
920:
32;
920:
32
21 ii PP
7. Criterio de la segunda derivada:
43)('' 2 −= xxf
• →<→−=−=→ 0)0(''44)0.(3)0('')0;0( 21 ffP en )0;0(1P máximo relativo
• →>→=−=→− 0)2(''84)2.(3)2('')4;2( 22 ffP en )4;2(2 −P mínimo relativo
• →>−→=−−=−→−− 0)2(''84)2.(3)2('')4;2( 22 ffP en )4;2(2 −−P mínimo relativo
8. Gráfico de la función con los elementos determinados
74
ACTIVIDAD N° 4
1. Para las siguientes funciones y en los puntos que se indica, calcular la ecuación de la recta tangente y recta normal. Graficar la función con las rectas determinadas.-
11)()035)() 32 =+−==−= xenxxxfiixxxxfi
112)()4)() 24 =+−=== xenxxxfiiixxxfii
2. Calcular aplicando la Regla de L´Hopital los siguientes límites:
0:523
12lim)5:5lim)2
2
10Rtta
xx
xxiiRttax
xsenixx −+
+−→→
16:4lim):11lim)
22
01Rtta
senxxxeeivnRtta
xxiii
xx
x
n
x −−−
−− −
→→
1:1lim)1:1
lnlim)01
Rttasenxx
eeviRttax
xvsenxx
xx −+−
− →→
65:
12lim)cos:lim)
33
1Rtta
xxxxviiiaRtta
axsenasenxvii
xax −−−
−−
→→
1:.2
lim)2:2
.lim)
20
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→→RttatgxxxRttactgxix
xx
ππ
ππ
ππ 1:.2lnlim)1:1.lim) −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→∞→Rtta
axctg
axxiiRtta
xsenxxi
axx
32:1lim)0:cos1lim) 2
201Rttaxctg
xxivRtta
senxx
xxiii
xx⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
→→
21:)1ln(
)1(1lim):3seclim)
202
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
+∞−
→→Rtta
x
xxx
xviRttatgxxxvxx π
( ) 1:1lim):1lim)1
RttaxxviiieRttaxnxvii x
xn
x
x+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→
−
∞→
( ) 1:1lim)1:lnlim))1ln(
00Rtta
xxxRttaxxix
x
xx
x
+
→→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
( ) 62
20
1
:lim)1:lnlim) eRttaxexxiRttaxxxxi xx
xx
x+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
→∞→
( ) eRttaxxxiiieRttax
tgxxxiixec
xx
x:1lim):lim)
23
12 cos20
1
0+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
→→
75
3. Para las siguientes funciones determinar: a) Dominio
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Posibles puntos críticos.-
d) Análisis de los puntos críticos por el criterio de la primera derivada
e) Análisis de los puntos críticos por el criterio de la segunda derivada
f) Puntos de Inflexión
g) Concavidad
h) Gráfica de la función con los elementos determinados
14)()2
)()512)() 32
42 −+−=−−=+−= xxxfiiixxxxfiixxfi
1)())()22
1)() 23422
−+=−=++
= xxxfvixxxfvxx
xfiv
76
UNIDAD V - INTEGRALES INDEFINIDAS
PRIMITIVAS
El análisis elemental incluye dos procesos que son fundamentales en el análisis:
El cálculo de derivadas: Este proceso nos lleva a definir la recta tangente al gráfico de una función en un punto determinado.
El cálculo de Integrales: Nos permite hallar el área de regiones limitadas por funciones que son
continuas.-
Ambos problemas el de la tangente y el del área se resuelve por caminos totalmente distintos, pero vinculados entre si ya que el cálculo de áreas se reduce finalmente al cálculo de antiderivadas o también llamadas primitivas.- Primitivas o antiderivadas:
Si )(xf es una función definida en un conjunto D ; la función )(xF , definida en el mismo conjunto, es la primitiva de )(xf si y solo si )(xF es derivable en D y )(xf es su derivada.
Es decir:
)(xF es primitiva de )(xf en D )()('/ xfxFDx =∈∀⇔
Debemos tener en cuanta algo muy importante que )(xF es una primitiva de )(xf y no la primitiva, ya que hay infinitas funciones cuya derivada es )(xf , esto podemos verlo de la siguiente manera:
43 )(4)( xxFxxf =→= ya que 34)(' xxF = pero también podemos escribir:
1. 31
41 3)('2)( xxFxxF =→+=
2. 32
42 3)('5)( xxFxxF =→+=
3. 34 3)(')( xxFkxxF =→+=
Vale decir que difieren en una constante, es por ello que decimos que se obtiene una primitiva y no
la primitiva.- Con lo visto ya podemos sacar nuestra primera conclusión y es que si conocemos las derivadas de
las funciones, podremos sacar sin mayores dificultades sus primitivas.- Con esto podemos concluir rápidamente que no todas las funciones tienen primitivas.
Teorema:
Una función )(xf que admite una primitiva )(xF , admite infinitas funciones primitivas, todas
ellas de la forma: kxF +)( donde k es un número real cualquiera.- Demostración: Si )(xF es primitiva de )(xf en D por definición )()('/ xfxFDx =∈∀ Si cttek = (número real cualquiera) , la función kxFxFk += )()( es derivable y su derivada es
)()(0)()(' xfxFxFxFk ==+= Por lo tanto, existen infinitas funciones que son primitivas de )(xf . Si el dominio es intervalo I , todas ellas difieren en una constante y )(xf no admite otra primitiva fuera de ellas.-
77
En efecto si )()( xGyxF son dos primitivas cualesquiera en el intervalo I por definición: )()(')()('/ xfxGyxfxFIx ==∈∀ por lo tanto )()( xGyxF son funciones que admiten la misma
derivada , y podemos concluir que ambas difieren en una constante .- O sea: kxFxGRk +=∈∃ )()(/
Para designar una primitiva cualquiera de la función )(xf , se pueden adoptar distintos tipos de simbología:
∫ f
∫ )(xf
dxxf .)(∫
En este módulo usaremos dxxf .)(∫ .-
Integración Inmediata:
Los teoremas que veremos a continuación están basados en las ya vistas propiedades de derivación.-
1. Si kxf =)( entonces su primitiva: ∫ ∫ +== ckxdxkkdx . Donde .cttec = perteneciente a los
números reales.- Ejemplo:
∫ ∫ +== cxdxdx 33.3
∫ ∫ +−=−=− cxdxdx .55.5
2. Para todo número real 1≠n
∫ ∫ ++
==+
cnxkdxxkdxkx
nnn
1.
1
Ejemplo:
∫ ∫ +== cxdxxdxx6
33.36
55
∫ +−=+−=−
− cx
cxdxx3
34 1
3
∫ +=+= cxcxdxx 232
3
21
.32
23
78
3. Si )()( xgyxf son dos funciones definidas en un conjunto D , )(xF es una primitiva de )(xf y )(xG es una primitiva de )(xg , entonces )()()()( xgxfxGxF ±=±
Simbólicamente:
( ) ∫∫∫ ∫ −+=−+ dxxHdxxGdxxFdxxHxGxF ).().().()()()(
Ejemplo:
( )∫ ∫∫∫ +−+=−+=−+ cesenxxdxedxxdxxdxexx xxx6
..cos.cos6
55
4. Sea ∫ ∫ +== cxkx
dxkdxxk ln..
De esta manera se podría seguir determinando primitivas. A continuación se da una tabla de las
primitivas mas usadas, con el fin de poder tener una herramienta de trabajo mas directa:- Tabla de integrales:
Para esta tabla adoptaremos que. )(;)(;)( xwwxvvxuu ===
1) ∫ += caxdxa.
2) [ ]∫ ∫∫∫ −+=−+ dxwdxvdxudxwvu ....
3) Cn
xdxxn
n +=+
∫1
.
4) ∫ += Cuudu ln
5) ∫ += Cedue uu .
6) ∫ += Ca
aduau
uln
.
7) ∫ +−= Cudusenu cos.
8) ∫ += Csenuduu.cos
9) ∫ += Cudutgu )ln(sec.
10) ( )∫ += Csenuductgu ln.
11) ( )∫ ++= Ctguuduu .secln.sec
12) ( )∫ +−= Cctguuecduecu .cosln.cos
13) ∫ −=+ a
utgaau
du 122
.1
79
14) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=−∫ au
auaau
du ln.21
22
15) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
−∫ ausen
ua
du 122
16) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
+∫ 2222
ln auuua
du
METODOS DE INTEGRACION
En la lista de integrales inmediatas presentada anteriormente, puede que no esté una que tengamos por resolver, para ello existen varios métodos de integración que veremos a continuación. Deberemos hacer para ello algunas transformaciones en la integral inicial a resolver hasta llegar a una integral cuyo resultado sea conocido o dicho de otra manera sea una integral directa. Esos procesos que nos facilitan estas transformaciones se llaman Métodos de Integración.- Método de Integración por Sustitución:
Hay ocasiones en que sucede que la integral de una función no se puede resolver en forma
inmediata. Para hacerlo podemos realizar una sustitución convenientemente elegida con el fin de poder transformar la integral planteada en una integral directa. La habilidad para realizar las mencionadas sustituciones no tienen una regla determinada y solo se adquiere con la práctica.
Este método al igual que la regla de la cadena para derivadas se refieren a funciones compuestas, y lo podemos sustentar en lo siguiente:
Sea: )(xg una función derivable y supongamos que )(xF es una antiderivada de )(xf ; y sea
)(xgu = , entonces
[ ] [ ]∫ ∫ +=+== CxgFCuFduufdxxgxgf )()().().('.)(
Ejemplo 1:
Calcular: ∫ += dxxxI .3. 2 adoptamos en este caso: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=→=
+==
xdudxdxxdu
xuxg
6.6
3)( 2
reemplazamos estos
valores adoptados en la integral original y tendremos:
Cuduuduux
duuxI +==== ∫∫∫23
23
21
.61.
61.
61
6.. luego siempre debemos regresar a la variable
original:
( ) ( ) ( ) CxxCxI +++=++= 3.3913
91 2232
80
Ejemplo 2:
Calcular: ( )∫ −= dxxsenxI .1. 2 Adoptamos: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=→=
−=
xdudxdxxdu
xu
2.2
12
reemplazamos en la
integral original:
∫ ∫ +−=== Cuduusenx
duusenxI cos.21).(
21
2).(. regresando a la variable original:
( ) CxI +−−= 1cos.21 2
Ejemplo 3:
Calcular: ∫= dxxx
I .ln.1 Adoptamos:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
=
duxdxdxx
du
xu
..1ln
Reemplazamos en la integral
original:
∫ ∫ +=== Cuduuduxux
I 332....1
retornamos a la variable original:
( ) ( ) CxxCxI +=+= ln).(ln32ln
32 3
Ejemplo 4:
Calcular: ∫= dxx
eIx
.2
1
Adoptamos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=→−=
=
duxdxdxx
du
xu
..1
1
22
Reemplazamos en la integral
original:
( )∫ ∫ +−=−=−= Cedueduxx
eI uuu
... 22
retornamos a la variable original
CeI x +−=1
Método de Integración por Partes:
Si observamos los ejemplos vistos anteriormente por el método de sustitución, podemos ver que el integrando está formado en todos los casos por el producto de dos funciones.-
Pero, no hay una fórmula para determinar la primitiva del producto de dos funciones, ya que la derivada de un producto no es el producto de las derivadas, por lo tanto en los ejercicios anteriores en primer lugar tuvimos que encontrar si uno de los factores respondía a una función compuesta y el otro a la derivada de la función anterior.-
En el caso de que no se cumplan las condiciones anteriores y no se puede por lo tanto recurrir a la regla de la cadena, deberemos tener en cuanta si una de las funciones es integrable en forma inmediata, en ese caso se recurre al método de Integración por partes, que se basa en el uso del cálculo inverso al de la derivada de un producto de dos factores.-
81
A continuación vamos a deducir una expresión de cálculo para el método.-
Sean ⎩⎨⎧
==
)()(
xvvxuu
en el caso del producto de estas dos funciones tendremos la siguiente derivada:
[ ] )(').()().(')().( xvxuxvxuxvxuD +=
si posteriormente integramos ambos miembros:
[ ] dxxvxudxxvxudxxvxu .)(').(.)().(''.)().( ∫∫∫ +=
al integrar debemos tener en cuanta que:
∫∫ =∧= dvdxxvdudxxu ).(').('
Remplazando:
dvxuduxvxvxu ∫∫ += ).(.)()().(
Luego podemos expresar:
duxvxvxudvxu .)()().().( ∫∫ −=
escrito en forma mas simplificada tendremos:
duvvudvu ... ∫∫ −=
Esta será la expresión a usar de ahora en mas para resolver las integrales por este método.- Ejemplo 1:
Calcular:
∫= dxxxI .ln. Adoptamos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=→=
=→=
dxx
duxu
xvdxxdv
.1.ln
2.
2
∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=→−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= dxxxxdxxxdx
xxxxdxxx .
21ln.
2.ln..1.
2ln.
2.ln.
222
Cxxxdxxxxxxdxxx +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=→−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫ 4
ln.2
.ln.2
.21ln.
2.ln.
2222
Ejemplo 2:
Calcular: ∫ dxex x .. Adoptamos: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=→==→=
dxduxuevdxedv xx .
82
Ceexdueexdxex xxxxx +−=−= ∫∫ ..... Por lo tanto: CeexI xx +−= .
Ejemplo 3:
Calcular: ∫ dxsenxx .. Adoptamos: ⎩⎨⎧
=→=−=→=
dxduxuxvdxsenxdv cos.
∫∫ ++−=+−= Csenxxxdxxxxdxsenxx cos..coscos... Por lo tanto: CsenxxxI ++−= cos.
En este método se puede dar el caso de tener que aplicarlo dos o mas veces hasta llegara resolver
definitivamente la integral, debemos tener en cuanta tal como ya lo vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola integral y que la misma sea directa.
Veremos algunos casos donde se debe aplicar mas de una vez el método: Ejemplo 4:
∫ dxsenxe x .. Adoptamos: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=→==→=
dxxdusenxuevdxedv xx
.cos..
∫∫ −= dxxesenxedxsenxe xxx .cos.... (I) en este caso vemos que la integral que nos queda en el
segundo miembro no es directa, por lo consiguiente aplicamos nuevamente el método pero solo a esta integral, un aspecto que se debe tener en cuanta es los signos:
Resolvemos solamente :∫ dxxe x .cos. Adoptamos: ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=→==→=
dxsenxduxuevdxedv xx
.cos.
∫∫ += dxsenxexedxxe xxx ..cos..cos. (II) Reemplazamos (II) en (I)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= ∫∫ dxsenxexesenxedxsenxe xxxx ..cos.... eliminamos el corchete:
∫∫ −−= dxsenxexesenxedxsenxe xxxx ..cos.... en este caso podemos ver que la integral a resolver en
el segundo miembro es igual a la del primer miembro, lo que es viable hacer es realizar un pasaje de términos
con lo que tendríamos:
( )xsenxedxsenxedxsenxe xxx cos..... −=+ ∫∫ ( )xsenxedxsenxe xx cos...2 −=→ ∫ Luego
despejamos la integral original que teníamos que resolver y tendremos:
( ) Cxsenxedxsenxex
x +−
=∫ 2cos...
83
Ejemplo 5: El siguiente es un casa típico a resolver por este método:
∫ dxxsen .2 esta integral se puede escribir también: ( )( )∫ dxsenxsenx . adoptamos:
⎩⎨⎧
=→=−=→=
dxxdusenxuxvdxsenxdv
.coscos.
Aplicamos el método:
∫∫ +−= dxxxsenxdxxsen .coscos.. 22 En el caso de la integral que aparece en el segundo miembro
podemos hacer uso de la relación trigonométrica: xsenxxxsen 2222 1cos1cos −=→=+ Reemplazamos esta relación en la integral anterior y tendremos:
( )∫∫ −+−= dxxsenxsenxdxxsen .1cos.. 22
Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales:
∫∫∫ −+−= dxxsendxxsenxdxxsen .cos.. 22
Luego operamos algebraicamente:
xxsenxdxxsendxxsenxdxxsendxxsen +−=→+−=+ ∫∫∫∫ cos..2cos... 222
Cxxsenxdxxsen ++−
=∫ 2cos..2
En forma análoga podemos resolver: ∫ dxx.cos2
Integración de Funciones Trigonométricas:
En esta etapa veremos como se pueden integrar potencias y productos de potencias de funciones trigonométricas, para ello recordaremos algunas expresiones básicas de la trigonometría.-
xxsenxxsenx 2coscos1cos 2222 =−=+ (I)
Si sumamos estas dos expresiones tendremos: 2
2cos1cos2cos1cos2 22 xxxx +=⇒+=
Si restamos las dos expresiones dadas en (I) : 2
2cos12cos12 22 xxsenxxsen −=⇒−=
84
Veremos cuatro casos que se pueden presentar: 1° Caso: Potencia Impar de Seno o Coseno Ejemplo 1:
( )∫ ∫ ∫ ∫∫ −=−==44 344 2143421
21
.cos...cos1... 2223
II
dxxsenxdxsenxdxxsenxdxxsensenxdxxsen (I)
Vemos en este caso que la integral 1I es de integración inmediata, pero la integral 2I no lo es y podemos resolverla por otro método:
∫ +−== 11 cos. CxdxsenxI
∫= dxxsenxI .cos. 22 en este caso podemos resolver por sustitución adoptando :
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=→−=
=
senxdudxdxsenxdu
xu
.
cos Reemplazando tendremos:
∫∫ +−=−=−= 23
222 3
... CuduusenxduusenxI
Retornamos a la variable original: 23
2 3cos CxI +−=
Reemplazando en (I) los resultados obtenidos de de 21 IyI obtendremos como resultado final:
∫ ++−= Cxxdxxsen3
coscos.3
3 donde adoptamos: 21 CCC +=
Ejemplo 2:
( ) ( )∫ ∫ ∫∫ =−=== dxxsenxdxxsensenxdxxsensenxdxxsen .cos1.....222245
( )44 344 2144 344 2143421
321
.cos..cos.2..coscos21.. 42425
III
dxxsenxdxxsenxdxsenxdxxxsenxdxxsen ∫∫∫ ∫ ∫ +−=+−=
Resolvemos cada una de estas integrales:
∫ +−== 11 cos. CxdxsenxI
∫ +−== 23
22 3
cos.cos. CxdxxsenxI (Resuelta en el ejemplo anterior)
85
dxxsenxI .cos. 43 ∫= Se resuelve por sustitución:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=→−=
=
senxdudxdxsenxdu
xu
.
cos
∫∫ +−=→+−=−=−= 35
335
443 5
cos5
... CxICuduusenxduusenxI
Si rearmamos la integral original tendremos:
∫ +−+−= Cxxxdxxsen5
coscos32cos.
535
Los casos vistos se pueden resumir en forma general de la siguiente manera:
( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ −===+ dxxsenxdxxsensenxdxxsensenxdxxsenpppp 22212 cos1.....
( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ −===+ dxxsenxdxxxdxxxdxxpppp 22212 1cos.cos.cos.cos.cos.cos
2° Caso: Potencia par de seno o coseno: Ejemplo 1:
{∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ −=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
4342121
.2cos21
21.
22cos.
21.
22cos
21.
22cos1.2
II
dxxdxdxxdxdxxdxxdxxsen
∫ +== 11 21
21 CxdxI (Es una integral inmediata)}
∫= dxxI .2cos21
2 Resolvemos por sustitución haciendo: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
=
2.2
2dudxdxdu
xu
∫ ∫ +=→+=== 2222 2.41.
41.cos
41
2.cos
21 CxsenICsenuduuduuI
Luego:
∫ +−= Cxsenxdxxsen 241
21.2
86
Ejemplo 2:
( ) ( )∫∫ ∫∫ ++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
== dxxxdxxdxxdxx .2cos2cos.2141.
22cos1.cos.cos 2
2224
{∫ ∫∫∫ ++=443442143421
321
.2cos41.2cos
21
41.cos 24
III
dxxdxxdxdxx
11 .41
41 CxdxI +== ∫ (es de integración inmediata)
∫= dxxI .2cos21
2 Por sustitución, adoptamos: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
=
2.2
2dudxdxdu
xu
∫ ∫ +=→+=== 2222 241
41.cos
41
2.cos
21 CxsenICsenuduuduuI
∫ ∫ ∫ ∫∫∫ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
== dxxdxdxxdxdxxdxxI .4cos81
81.4cos
81.
24cos1
41.2cos
41 2
3
33 4321.
81 CxsenxI ++=
Reemplazamos en la integral original:
CxsenxsenxdxxCxsenxxsenxdxx +++=→++++= ∫∫ 324
42
83.cos
324
842
4.cos 44
Los casos vistos se pueden resumir en forma general de la siguiente manera:
( )∫ ∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
== dxxdxxsendxxsenppp .
22cos1.. 22
( )∫ ∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
== dxxdxxdxxppp .
22cos1.cos.cos 22
3° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar:
( )∫∫∫ =−== dxxsenxxsendxxxxsendxxxsen .1.cos..cos.cos..cos. 222232
87
∫ ∫∫ −=44 344 2144 344 21
21
..cos.cos..cos. 4232
II
dxxsenxdxxxsendxxxsen
∫= dxxxsenI .cos.21 Por sustitución:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
=
xdudxdxxdu
senxu
cos.cos
∫ ∫ +=→+=== 13
113
221 33
.cos
.cos. CxsenICuduux
duxuI
∫= dxxsenxI ..cos 42 Por sustitución:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
=
xdudxdxxdu
senxu
cos.cos
∫ ∫ +=→+=== 25
225
444 55
.cos
.cos. CxsenICuduux
duxuI
∫ ++= Cxsenxsendxxxsen53
.cos.53
32
4° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con los dos exponentes pares
( )∫ ∫ ∫ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= dxxdxxxdxxxsen .2cos141.
22cos1
22cos1.cos. 222
443442132121
.2cos41
41.cos. 222
II
dxxdxdxxxsen ∫∫ ∫ −=
∫ +== 11 .41
41 CxdxI
∫ ∫ ∫ ∫∫∫ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
== dxxdxdxxdxdxxdxxI .4cos81
81.4cos
81.
24cos1
41.2cos
41 2
3
23 4321.
81 CxsenxI ++=
Finalmente la integral a calcular queda:
∫ +−= Cxsenxdxxxsen 4321
81.cos. 22
88
Integración de Funciones Racionales:
Este tipo de integrales se refiere cuando tenemos expresiones de la forma: ∫= dxxQxPI .)()(
. Como
es lógico pensar se nos pueden presentar varios casos. Veremos a continuación cada uno de esos casos.
1° Caso: Grado del Polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador:
Por ejemplo: ∫ +dx
xx .
1
4 Si efectuamos la división de estos dos polinomios obtendremos:
( )( ) ( )( ))1(
111)1(
111234
234+
++−+−=
+→++−+−=
xxxxx
xx
xxxxx
( ))1(
11)1(
234
++−+−=
+ xxxx
xx
Cxxxxxdxx
xxxdxxx
+++−+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−+−=
+ ∫∫ 1ln2341
11.1
23423
4
Vemos que las integrales parciales a resolver son todas inmediatas, en el caso de ∫ +1xdx
se podría plantear
una sustitución de la forma: dxduxu =→+= 1 por lo consiguiente la integral adopta la forma:
∫ ++=→+= CxICuudu 1lnln
Vale decir que todo se reduce a expresar el cociente )()()(
)()(
xQxRxC
xQxP
+= donde : )(xC es el
cociente y )(xR es el resto 2° Caso: Descomposición en fracciones simples
Este caso se nos presenta cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, en este caso se denominan Funciones Racionales propias . Para resolverlas vamos a utilizar el método de descomposición en fracciones simples, vale decir que descomponemos una fracción dada en suma de otras mas simples, para ello trabajaremos con el denominador y se van a distinguir distintos casos, y los mismos vendrán dados por las características de las raíces del polinomio del denominador )(xQ .
La clasificación que se obtiene de acuerdo a las características de las raíces son los siguientes:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
Múltiples*Simples*
Complejas Raices
Múltiples*Simples*
Reales Raices
89
RAICES REALES SIMPLES:
Dada: ∫= dxxQxPI .)()(
si factorizamos el denominador obtendremos:
( )( )( ) ( )nxxcxbxaxxQ −−−−= ......)( donde nxcba ;....;;; son las raíces del polinomio. Con esta
factorización podemos expresar la integral de la siguiente manera:
( )( )( ) ( )dxxxcxbxax
xPdxxQxPI
n∫∫ −−−−==
......)(.
)()(
una vez llegada a esta instancia don de es muy
importante la determinación de las raíces, podremos expresar como fracciones simples de la siguiente manera:
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxx
Zdxcx
Cdxbx
Bdxax
Adxxxcxbxax
xPInn
...............
)( ∫∫∫∫∫ −++
−+
−+
−=
−−−−=
El problema se reduce ahora a determinar las constantes ZCBA ;....;;; . Para lo cual nos vamos a independizar momentáneamente de los símbolos integrales Con el fin de poder mostrar el método en forma completa nos limitaremos a pensar que
( )( )( )cxbxaxxQ −−−=)(
( )( )( ) ( ) ( ) ( )cxC
bxB
axA
cxbxaxxP
−+
−+
−=
−−−)(
Posteriormente sacamos común denominador en el segundo miembro:
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )cbbxaxbxaxCcxaxBcxbxA
cxbxaxxP
−−−−−+−−+−−
=−−−
)(
Luego de simplificar podemos expresar esta misma igualdad de la siguiente manera:
( )( ) ( )( ) ( )( )bxaxCcxaxBcxbxAxP −−+−−+−−=)( Cuando llegamos a esta instancia se procede a calcular las constantes CBA :; pero teniendo en cuanta el valor de las maíces del polinomio )(xQ : Planteamos:
( )( ) ( )( )cabaaPAcabaAaPaxSi−−
=→−−=→=)()(
( )( ) ( )( )cbabbPBcbabBbPbxSi−−
=→−−=→=)()(
( )( ) ( )( )bcaccPCbcacCcPcxSi−−
=→−−=→=)()(
De esta manera se determinan las constantes que al ser reemplazadas en la expresión
( )( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −+
−+
−=
−−−=
cxdxC
bxdxB
axdxAdx
cxbxaxxPI
.)(
90
Para resolver cada una de las integrales del segundo miembro debemos tener en cuanta:
∫ +−=−
= Cnxnx
dxI ln)(
lógicamente cada una de estas integrales deberá estar multiplicada por la
constante respectiva.-
CcxCbxBaxAdxxQxPI +−+−+−== ∫ ln.ln.ln.).()(
Lo que se puede hacer es expresar este resultado en una forma mas simplificada para lo que se deberá hacer uso de las propiedades de logaritmos correspondientes.- Ejemplo:
∫ −
−= dx
xx
xI .9
123
Factorizamos:
( ) ( )( )∫∫ =+−
−=
−
−= dx
xxxxdx
xx
xI .33.
12.9.
122
Expresamos como fracciones simples:
( )( ) ∫ ∫ ∫∫ ++
−+=
+−−
= dxx
Cdxx
BdxxAdx
xxxxI .
)3(.
)3(.
33.12
Nos independizamos de los símbolos
integrales y de los diferenciales para sacar común denominador:
( )( ) ( )( ) )3)(3()3.(.)3()3)(3(
33.12
)3()3(33.12
+−−++++−
=+−
−→
++
−+=
+−−
xxxxxCxBxxxA
xxxx
xC
xB
xA
xxxx
)3.(.)3()3)(3(12 −++++−=− xxCxBxxxAx
Si 91)30.(0.)30.(0.)30)(30(10.20 =→−++++−=−→= ACBAx
Si 185)33.(3.)33.(3.)33)(33(13.23 =→−++++−=−→= BCBAx
Si 187)33).(3.()33).(3.()33)(33(1)3.(23 −=→−−−++−−++−−−=−−→−= CCBAx
Luego:
( ) ∫ ∫ ∫∫ +−
−+=
−
−=
)3(187
)3(185
91.
9
123 x
dxxdx
xdxdx
xx
xI
( ) Cxxxdxxx
xI ++−−+=−
−= ∫ 3ln
1873ln.
185ln
91.
9
123
RAICES REALES MULTIPLES:
Dada: ∫= dxxQxPI .)()(
si factorizamos el denominador Y obtendremos:
91
( ) ( )bxaxxQ n −−=)( donde ax = es la raíz que se repite n veces, mientras que bx = es una raíz simple.-
Una vez que se factorizó podemos expresar nuestra integral en fracciones simples de la siguiente manera:
∫∫∫∫ ∫ −+
−++
−+
−=
−−=
−dx
bxMdx
axNdx
ax
Bdxax
Adxbxax
xPInnn )()(
...)()().()(
)(1
Claramente podemos ver que la potencia correspondiente a la raíz que se repite va decreciendo hasta
que llega a la potencia unitaria.- El proceso que sigue se repite, vale decir independizarse momentáneamente de los símbolos
integrales y de los diferenciales, luego sacar común denominador para posteriormente calcular las constante MNBA ;;.....;; y es en esta instancia donde se introduce una modificación con respecto al caso anterior.-
A continuación vamos a desarrollar un ejemplo con la finalidad de poder clarificar la situación. Ejemplo:
Evaluar: ∫ +
−= dx
xx
xI23 4
2 al factorizar el denominador tendremos: ∫ +
−= dx
xx
xI)4(
22
Expresamos como fracciones simples: ∫ ∫ ∫∫ +++=
+
−= dx
xCdx
xBdx
x
Adxxx
xI)4()4(
222
Sacamos común denominador:
)4(
.)4()4(
)4(
2)4()4(
22
2
222 +
++++=
+
−→
+++=
+
−
xx
xCxBxxA
xx
xx
CxB
x
A
xx
x
2.)4()4(2 xCxBxxAx ++++=−
Si ( )210.)40.(0.40200 2 −=→++++=−→= ACBAx
Si ( )83)4.()44).(4.(44244 2 −=→−++−−++−=−−→−= CCBAx
Claramente podemos ver que al usar las raíces que surgen de la factorización, solo podemos calcular en este caso dos de las constantes. Para calcular la tercera constante debemos adoptar una raíz que lógicamente deberá ser distinta de las ya adoptadas. Por ejemplo en nuestro caso adoptaremos 1=x
Si ( ) CBACBAx ++=−→++++=−→= 5511.)41.(1.41211 2 lo que debemos hacer ahora es reemplazar los valores de las constantes ya obtenidas.-
827
835
2151 =→+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=− CC
Tenemos ahora las tres constantes calculadas solo nos basta resolver la integral planteada originalmente:
∫ ∫ ∫∫ ++−−=
+
−=
)4(827
83
21
)4(
222 x
dxx
dx
x
dxdxxx
xI
92
Kxxx
I +++−= 4ln827ln
83
21
Ejemplo:
( )∫ += dx
xxI
22 2
1 .En este caso tenemos dos raíces múltiples, solamente debemos repetir el proceso:
( ) ∫∫∫∫∫ ++
+++=
+= dx
xDdx
x
CdxxBdx
x
Adxxx
I)2()2(2
12222
Sacamos común denominador:
→+
++
++=+ )2()2()2(
12222 x
D
x
CxB
x
A
xx
→+
++++++=
+ 22
2222
22 )2(
)2.(..)2.(.)2(
)2(
1
xx
xxDxCxxBxA
xx
)2.(..)2.(.)2(1 2222 ++++++= xxDxCxxBxA
Si 41)20.(0.0.)20.(0.)20(10 2222 =→++++++=→= ADCBAx
Si 41)22.()2.()2.()22).(2.()22(12 2222 =→+−−+−++−−++−=→−= CDCBAx
Nos faltan dos constantes por lo tanto debemos adoptar dos valores. Por ejemplo:
Si )21.()1.()1.()21).(1.()21(11 2222 ++++++=→= DCBAx
Si )21.()1.()1.()21).(1.()21(11 2222 +−−+−++−−++−=→−= DCBAx
Una vez que resolvemos nos quedan dos ecuaciones de la forma: ⎩⎨⎧
++−=+++=DCBA
DCBA1
3991 Reemplazamos
en este sistemas los valores de las constantes ya obtenidos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++−=
+++=
DB
DB
41
411
341.9
41.91
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
−=+→
21
2339
DB
DB Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, que puede ser resuelto por cualquiera de los métodos ya conocidos con lo que obtendremos:
41;
41
=−= DB
93
Reemplazamos en la integral original a calcular:
( ) ∫∫∫∫∫ ++
++−=
+=
)2(41
)2(41
41
41
2
12222 x
dx
x
dxx
dx
x
dxdxxx
I
Kxx
xx
I ++++
−−−= 2ln.41
)2(41ln
41
RAICES COMPLEJAS SIMPLES:
Este caso se nos presenta cuando en el denominador nos aparecen polinomios cuadráticos irreducibles , todos distintos entre si. Ejemplo:
∫ +=
294 x
dxI Podemos apreciar que en denominador las al tratar de factorizar nos aparecen raíces
complejas. En este caso podemos resolver la integral haciendo uso de la integral directa de la forma:
∫ −=+ a
utgaua
du 122
.1 (I)
Los medios para llegar a una integral de esta forma es trabajar con el denominador siguiendo pasos algebraicos simples, por ejemplo:
∫∫ +=
+=
222 )3()2(94 x
dx
x
dxI Por ejemplo si sustituimos: ⎩⎨⎧ =→=→=
3.33 dudxdxduxu .
Luego si comparamos la integral (I) con la que se obtiene al hacer la sustitución planteada, podemos deducir que 2=a
∫ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
2.
21.
31
231 1
22utg
u
duI en definitiva tendremos: CxtgI += −2
3.61 1
Ejemplo:
Evaluar: ∫ ++=
1022 xx
dxI Si tratamos de resolver esta ecuación cuadrática del denominador, veremos
que tiene raíces complejas. También en este caso usaremos la integral de la forma (I). Para hacerlo debemos primero que nada transformarla, para ello vamos a completar cuadrados en el denominador:
Recordemos que si tenemos: cbxax ++2 el término de completar cuadrado es 2
2 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡±
ab
( ) 911022
222102 2
2222 ++=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++=++ xxxxx Con esta expresión podemos escribir
nuestra integral de la siguiente manera:
( )∫∫ ++=
++=
91102 22 x
dx
xx
dxI en ella podemos ver que: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
=→+=
39
12 aa
dxduxu
94
∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+= − Kutg
u
duI3
.31
91
2 en la variable original: KxtgI +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= −3
1.31 1
RAICES COMPLEJAS MULTIPLES:
Este caso conviene ser visto mediante la aplicación práctica a un ejemplo: Ejemplo:
( )dx
x
xxxI ∫ +
−+−=
22
23
1
323 Esta integral se debe expresar como fracciones simples de la siguiente
manera:
( ) ( ) ( ) dxx
DCxdxx
BAxdxx
xxxI .1
.11
32322222
23
∫∫∫ +
++
+
+=
+
−+−= (i) Luego trabajamos solo con los
integrandos para poder sacar un común denominador con lo que obtenemos:
( ) ( ) ( ) 22
2
22222
23
)1(
)1)((
111
323
+
++++=
+
++
+
+=
+
−+−
x
xDCxBAx
x
DCx
x
BAx
x
xxx
)1)((323 223 ++++=−+− xDCxBAxxxx
El paso que sigue consiste en formar un sistema de ecuaciones donde la cantidad de ecuaciones debe coincidir con el número de constantes a determinar. Para poder determinar dicho sistema debemos primero que nada adoptar valores distintos para la variable x :
Si DBDCBAx +=−→++++=−→= 3)10)(0.(0.30 2 (I)
Si DCBADCBAx 223)11)(1.(1.31 2 +++=−→++++=−→= (II)
Si [ ]( )[ ] DCBADCBAx 22911)1()1.(91 2 +−+−=−→+−+−++−=−→−= (III)
Si DCBADCBAx 51023)12)(2.(2.32 2 +++=−→++++=−→= (IV)
De esta forma me queda el siguiente sistema:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+++−=+−+−
−=+++−=+
35102922
3223
DCBADCBA
DCBADB
Al resolver el sistema por cualquier método obtenemos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−====
3101
DCBA
Una vez obtenidos estos valores regresamos a la integral (i) y las reemplazamos:
( ) ( ) ( ) dxx
xdxx
xdxx
xxxI .1
3.11
32322222
23
∫∫∫ +
−+
+=
+
−+−=
95
( ) ( ) ( ) ( )4434421443442144 344 21
321
.1
3.1
.11
323222222
23
III
dxx
dxx
xdxx
xdxx
xxxI ∫∫∫∫ +−
++
+=
+
−+−=
( )∫ +
= dxx
xI22
11
Debe ser resuelta por sustitución: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
+=
xdudxdxxdu
xu
2
2
.2
1 Reemplazando
∫ ∫ →+−=== 1221 21
21
2. K
uu
dux
du
u
xI 121)1(2
1 Kx
I ++
−=
( )∫ += dx
x
xI122 Debe ser resuelta por sustitución:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
+=
xdudxdxxdu
xu
2
2
.2
1 Reemplazando
∫ ∫ →+=== 21 ln21
21
2. Ku
udu
xdu
uxI 2
22 1ln
21 KxI ++=
( ) ( )∫∫ →+=+
=+
= −3
1221 .3
1
131
3 Kxtgdxx
dxx
I 31
3 .3 KxtgI += −
Lo único que nos queda por hacer es reemplazar estas integrales en su expresión original:
( )Kxtgx
xdx
x
xxxI +−+++
−=+
−+−= −∫ 12
222
23.31ln.
21
)1(2
1
1
323
En este caso, si el polinomio cuadrático irreducible cbxx ++2 se presenta k veces en el denominador, la descomposición correspondiente en fracciones simples es:
( ) ( )∑= ++
+=
++
k
jj
jjk
cbxx
BxA
cbxx
xP
122
)(
96
ACTIVIDAD N° 5
1) Calcular Las siguientes integrales por el método de sustitución:
( )∫ ∫ ∫ +−
dxxxiiidxtgxiixa
dxi .7.3).))8
54
( )∫ ∫ ∫ +
+
++
+ dxxx
xvidxx
xvdxxx
xiv2
1)171
3).32
31)2252
( ) ( )∫∫∫ ++ dxxixdxx
eviidxxsenxviix
.76)).3.) 8242
2) Resolver por el método de Integración por Partes:
∫ ∫ ∫ dxxeiiidxexiidxeai xxxx .cos.)..)..) 2
∫ ∫ ∫− dxxxvidxxvdxexiv xx .ln.cos).5.)..) 22
( )∫ ∫ ∫ dxxxixdxxxviiidxxvii ).3cos(.).ln.).ln) 22
3) Resolver las siguientes integrales trigonométricas:
∫ ∫∫ dxxseniiidxxiidxxseni .cos.).cos)).7() .2333
( ) ( )∫ ∫ ∫ dxxxsenvidxxxsenvdxxseniv .5cos.5)).4(cos).4().) 32224
4) Resolver las siguientes integrales racionales:
∫ ∫ ∫ +++
++
+−
+
− dxx
xxiiidxxx
xxiidxxx
xi .2
12).23
53).5
32)4
2
34
2
2
∫ ∫ ∫ −−−+ 9)
675).
12)
22
3
x
dxvixx
dxvdxx
xiv
( )∫ ∫ ∫ ++−+++dx
xxxixdx
xx
xviiixx
dxvii .2
3).)2()1(
))3(2
)23422
∫ ∫ ∫ +
−
+−
+
+−dx
xx
xxiidxxx
xxidxxxx
x .)1(
1).)1()2(
15).96
5)23
2
2223
97
∫ ∫ ∫ ++−+− 222 32)
52)
74)
x
dxxvxx
dxxivxx
dxxiii
5) Calcular las siguientes integrales por el método que considere conveniente:
∫ ∫ ∫+
++ dxxiiidxx
xxiidxxxi ).3cos().
)1(
2).)1()2
22
∫ ∫ ∫+++dxxxsenvi
xx
dxvx
dxiv .cos.)3010
)9
) 222
98
UNIDAD VI - INTEGRALES DEFINIDAS El problema de calcular el área de ciertos recintos planos, los polígonos, se resuelve en geometría
elemental. El problema está cuando se desea calcular el área de cualquier recinto plano no poligonal.- La forma clásica es aproximar el recinto mediante polígonos adecuados, inscriptos o circunscriptos,
y definir el área buscada utilizando conjuntos formados con las áreas de estos polígonos.- En primer lugar interesan especialmente los recintos planos no poligonales más sencillos, limitados
por la curva asociada a una función continua. y )(xfy = a b x
Un ejemplo lo constituye el recinto R cuya parte superior está limitada por el gráfico de la función continua y positiva )(xf en el intervalo cerrad [ ]ba; y cuya parte inferior está limitada por el eje de las abscisas.-
El recinto R se llama recinto de ordenadas , ya que está cerrado lateralmente por los segmentos de ordenadas correspondientes a las rectas de ecuación: bxax == ; .-
Una forma de aproximar el área del recinto R es considerar rectángulos inscriptos en el . Por ejemplo si dividimos el intervalo [ ]ba; en partes iguales, cada rectángulo forma un polígono de
área A totalmente contenido en R. Se comprende de inmediato que se desea asignar al recinto R un área tal que : RáreaAárea ≤ , y que la aproximación será mayor si se vuelven a subdividir los subintervalos anteriores. Los rectángulos : 4321 ;;; AAAA tienen como base un segmento de longitud igual a la cuarta parte del intervalo [ ]ba; , es decir :
4ab −
. A1 A2 A3 A4
y cuya altura es el valor mínimo que alcanza la función )(xf en cada subintervalo De manera similar se puede obtener una aproximación por exceso si se consideran los cuatro rectángulos circunscriptos correspondientes a la misma subdivisión de [ ]ba; .
Si B es el polígono formado por los rectángulos
4321 ;;; BBBB , el polígono B contiene al recinto R y BáreaRárea ≤ .
B1 B2 B3 B4
99
También se mejora la aproximación por exceso si se subdividen nuevamente los subintervalos anteriores. De todo lo dicho anteriormente podemos deducir que: BáreaRáreaAárea ≤≤ . SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES
Si consideramos una función )(xf acotada en un intervalo cerradazo [ ]ba; . Esta función al estar acotada tiene un supremo y un ínfimo.
Daremos a continuación una serie de ejemplos en los cuales podremos interpretar el supremo y el ínfimo de cada caso.-
Caso I:
En el gráfico el supremo de la función es
k , que no es el valor de la función en cx = , ya que la función no es continua en dicho punto.
En este caso el ínfimo es )(bf .- Podemos además ver que si la función no es continua puede no tener un valor máximo.- Caso II
En este otro ejemplo, la función acotada )(xf no tiene máximo ni mínimo absolutos en el
intervalo cerrado [ ]ba; . El supremo es 2k y el ínfimo es 1k . Si la función es continua, el ínfimo es el
mínimo absoluto y el supremo es el máximo absoluto.- Caso III:
En este caso podemos ver que la función tiene un máximo y un mínimo.
)( 1xf es el supremo de )(xf en [ ]ba; y además es el máximo absoluto
)( 2xf es el ínfimo de )(xf en [ ]ba; y además es el mínimo absoluto
k
)(af )(bf a c b x 2k 1k a b x )( 1xf )(bf )(af )( 2xf a 1x 2x b
100
SUBDIVISION: Sea P una subdivisión del intervalo [ ]ba; si es una sucesión finita, estrictamente creciente, de
números reales: nxxxx ;........;;; 210 tales que verifican: bxxxxa n =<<<<= ........210 .- La subdivisión P se designa [ ]nxxxxP ;........;;; 210= .Los n puntos de la subdivisión dividen al
intervalo [ ]ba; en n subintervalos parciales que podemos designar: [ ] [ ] [ ]nn xxxxxx ;,........,;,; 12110 − . Designaremos 1I al primer intervalo; 2I al segundo intervalo y así sucesivamente. El intervalo [ ]kkk xxI ;1−= que podemos decir tiene longitud: 1−−=Δ kkk xxx Podemos seguir subdividiendo los intervalos y en ese caso lo que se hace no es otra cosa que un
refinamiento. Esto nos da lugar a definir dos aspectos que son de vital importancia para poder llegar a la
definición de la integral definida.- Suma Inferior: : De la función )(xf en el intervalo cerrado [ ]ba; , correspondiente a una subdivisión P , es la suma de los productos que se obtienen multiplicando al ínfimo de )(xf en cada subintervalo por la longitud del mismo. Se designa )(xfS p .-
Si designamos como km al ínfimo de )(xf en el intervalo [ ]kk xx ;1− , es:
[ ] ∑∑==
− Δ=−=n
k
kk
n
k
kkkp xmxxmxfS11
1 .)(
Suma Superior: : De la función )(xf en el intervalo cerrado [ ]ba; , correspondiente a una subdivisión P , es la suma de los productos que se obtienen multiplicando al supremo de )(xf en cada subintervalo por la
longitud del mismo. Se designa )(xfS p .-
Si designamos como kM al supremo de )(xf en el intervalo [ ]kk xx ;1− , es:
[ ] ∑∑==
− Δ=−=n
k
kk
n
k
kkkp xMxxMxfS11
1 .)(
Aplicaremos estos dos conceptos a un caso práctico:
Calcular SS; para 1)( 2 += xxf en el intervalo [ ]3;0 para la siguiente subdivisión [ ]3;2;1;0=P
101
Ínfimo:
=++= 1).2(1).1(1).0()( fffxfS p
81.51.21.1)( =++=xfS p
Supremo:
=++= 1).3(1).2(1).1()( fffxfS p
171.101.51.2)( =++=xfS p
Si la partición para la misma función fuera:
[ ]3;2;5,1;1;0=P
Ínfimo:
=+++= 1).2(5,0).5,1(5,0).1(1).0()( ffffxfS p
( ) ( )( ) 625,81.55,0.25,35,0.21.1)( =+++=xfS pSupremo:
=+++= 1).3(5,0).2(5,0).5,1(1).1()( ffffxfS p
( )( ) ( ) 125,161.105,0.55,0.25,31.2)( =+++=xfS p
y 10 8 6 4 2 1 1 2 3 x
Claramente podemos ver de los dos casos planteados que cuando se aplicó la primera subdivisión se
obtuvo que: )()( xfSxfS pp ≤ , posteriormente se tomó partición y la relación sigue manteniéndose.
Si a esta subdivisión le aplicamos un refinamiento, vale decir que hacemos mas chicos los intervalos, seguirá cumpliéndose )()( xfSxfS pp ≤ , pero cada vez las sumas inferiores y superiores se
aproximarán mas.- INTEGRAL DE RIEMANN
En resumen de lo visto anteriormente para las sumas superiores e inferiores de funciones definidas
en un cierto intervalo cerrado [ ]ba; , podemos expresar:
Para la misma subdivisión pp SSP ≤:
Si se refina la partición P y obtenemos la partición '':' pp SSP ≤ y además se cumplirá que:
'' pppp SSSS ≥∧≤
Si designamos como A al conjunto de todas las sumas inferiores de una función )(xf , acotada y
definida en [ ]ba; , observamos que A es un conjunto de números reales que está acotado.- Una cota inferior es la suma correspondiente a la subdivisión menos fina de [ ]ba; , es decir a la
subdivisión [ ]10 ; xx , cuya suma inferior es )( abmS −= donde m es el ínfimo de )(xf en [ ]ba; .- Una cota superior es cualquier suma superior.- Por axioma de continuidad de R , el conjunto A tiene supremo e ínfimo .
102
Definición 1: Integral Inferior de )(xf en [ ]ba; es el conjunto formado por todas las infinitas sumas
inferiores de )(xf en [ ]ba; . Se la designa : dxxfb
a).(∫
De la misma forma si designamos como B al conjunto de todas las sumas superiores, B es un
conjunto acotado . Definición 2: Integral Suprior: de )(xf en [ ]ba; es el conjunto formado por todas las infinitas sumas
superiores de )(xf en [ ]ba; . Se la designa : dxxfb
a).(∫
Definición: Si )(xf está definida y acotada en [ ]ba; , y además dxxfdxxfb
a
b
a).().( ∫∫ = , la
función )(xf es integrable en [ ]ba; .- El valor común de la integral inferior y superior se llama, simplemente, integral de )(xf en [ ]ba;
según Riemann.- O sea:
[ ] ∫∫∫ ==⇔b
a
b
a
b
adxxfdxxfdxxfbaxf ).().().(;en integrable)(
de ahora en más trabajermos con la expresión ∫b
adxxf ).( y veremos algunas propiedades que son de vital
importancia PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:
1- Propiedad Aditiva del intervalo: Si )(xf es integrable en [ ]ba; y sea c un punto cualquiera interior al intervalo, entonces:
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf ).().().(
2- Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral: Es un teorema aplicable a funciones continuas dentro
de un determinado intervalo.- Si )(xf es continua en [ ]ba; entonces existe un c interior al intervalo para el cual es:
∫−=
b
adxxf
abcf ).(1)(
Donde )(cf es el valor medio de )(xf en [ ]ba; FUNCION INTEGRAL:
Antes de definir la función integral damos a continuación dos definiciones que tienen una
interpretación lógica e intuitiva:
103
i) ∫ =a
adxxf 0).(
ii) ∫ ∫−=b
a
a
bdxxfdxxf ).().(
REGLA DE BARROW:
Si )(xf es continua en [ ]ba; y )(xG es una primitiva de )(xf , entonces:
∫ −=b
aaGbGdxxf )()().(
Todo los visto hasta ahora solo nos sirvió para poder definir la Integral definida y llegar por fin a la
Regla de Barrow, que de ahora en más se utilizará para poder evaluar una integral definida.- Un tema de vital importancia es que la función a integrar sea una función continua en el intervalo
considerado, si la función no fuera continua en el intervalo, ya sea en uno de sus extremos o bien en un valor medio del intervalo, estaremos en presencia de las llamadas Integrales Impropias que se verán mas adelante.- Ejemplo:
2
27299
20
30
23
33
23)(
23233
0
232 =+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=+= ∫ xxdxxxI
011)0cos(coscos.0
=+−=−−−=−== ∫ ππ
xdxsenxI
Los métodos para resolver las integrales son los mismos a los ya visto para el caso de las integrales
indefinidas.- CALCULO DE AREAS
Para calcular áreas encerradas por funciones continuas, debemos primero que nada graficarlas en un mismos sistema de ejes Por ejemplo Dadas dos funciones:
)(;)( xgxf Al graficarlas podemos apreciar que se cortan en este caso general en dos puntos.
bxax == ; Estos dos puntos se determinan teniendo en cuanta el concepto de que dos funciones que se cortan, toman el mismo valor. Por lo consiguiente para poder determinar el inicio y final del área tendremos que igualar estas funciones y operar algebraicamente.-
Una vez que tenemos determinados estos dos valores debemos proceder a calcular el área para lo cual usaremos la expresión:
104
)(xg )(xf
[ ]∫ −=b
adxxgxfA )()(
a b
Para armar el integrando podemos adoptar una metodología que es levantar una recta desde abajo hacia arriba y armar el integrando restando la ultima función que se toca menos la primera que se toca.-
Un aspecto muy importante que se debe tener en cuanta es de que el área no puede dar valores negativos, razón por la cual cuando esto ocurre pueden pasar dos cosas:
1- Los límites de integración están invertidos:
∫→<b
adxxTbasi ).( si equivocadamente se coloca: ∫→<
a
bdxxTbasi ).( , el resultado
dará negativo.- 2- El integrando está invertido
Para el cálculo e áreas se pueden presentar distintas alternativas que trataremos de mostrar a continuación mediante la aflicción de ejemplos prácticos.
Caso 1: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
xxgxxf
)(1)( 2
Determinamos los límites de integración: )()( xgxf = 011 22 =−−⇒=−→ xxxx Luego se resuelve esta ecuación cuadrática y obtenemos: 62,1;62,0 21 =−= xx armamos nuestra integral:
[ ] [ ]∫∫−−
=+−=+−=−−=
62,1
62,0
322
62,1
62,0
232
.1.)1( xxxdxxxdxxxA
105
uaA 85.1)62,0(3
)62,0(2
)62,0(62,13
62,12
62,1 3232=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−
−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= (ua: Unidades de área)
Caso 2: En este caso tendremos dos funciones y un intervalo de integración dado, vale decir que no hace falta
determinar el intervalo de integración ya que es dato: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
xy
xy 23 en 10 ≤≤ x
A las claras podemos ver que las funciones se cortan en otro punto distinto al indicado en el intervalo de integración.-
[ ] auxxxdxxxA .2032
300.31
32
311.3
32
333 3
31
0
33
33
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−−=−−= ∫
..2 auA = Caso 3: En este caso se trata de calcular el área de una función que a las claras es simétrica con respecto a un eje. π20 ≤≤= xensenxy
Podemos a las clareas ver que el área a calcular es simétrica con respecto al eje "" x , En estos casos es viable calcular al área por dos métodos: 1- Solo se calcula uno de los sectores y al
resultado se lo multiplica por dos:
)cos(2..2
0
xdxsenxA −== ∫π
[ ] ..4)0cos(cos2 auA =−−−= π En este caso podemos ver que se parte el intervalo en dos partes iguales.-
106
2- Otra forma sería calcular el área partiendo el intervalo, para los cual se deberá tener especial cuidado al
armar el integrando:
434214342121
2
0
..
AA
dxxsendxxsenA ∫∫ −+=
π
π
π
Calculamos estas dos áreas por separado:
..21)1()0cos(coscos.
0
1 auxdxxsenA ∫ =+−−=−−−=−==
π
π
..2)1(1)(cos2coscos)cos(.
2
2 auxxdxxsenA ∫ =−−=−==−−=−=
π
π
ππ
Por último : ..421 auAAA =+=
Como se puede ver cualquiera de los métodos que se use el resultado será siempre el mismo.- Caso 4: Este es el caso mas general de todos y es aquel en el cual el área a calcular se debe partir necesariamente en dos o mas sectores:
302;2 ==== xyyxy
En este caso cuando queremos determinar el integrando vemos que si levantamos una recta, desde abajo hacia arriba, desde el origen hacia la derecha, en un primer momento tocamos la parábola y el eje de las “x” , llega un momento en que empezamos a tocar 2=y y el eje “x” o lo que es lo mismo 0=y ; esto nos indica a las claras que el área debe ser partida en dos, pero debemos determinar los límites de integración
Para las funciones: 2;2 == yxy tendremos al igualarlas: 222 ±=→= xx pero solamente nos interesa el valor positivo, de esta manera ya podemos calcular la primera área:
107
( ) ( ) ..94,030
32
3.
32
0
332
1 auxdxxA =−=== ∫
Para la otra región ya tenemos un límite de integración, el restante lo sacamos de considerar que la variable “x” varía hasta adoptar 3=x
..17,32.23.22.2
3
2
1 auxdxA =−=== ∫
Finalmente el área total será: auauauAAA .11,4.17,3..94,021 =+=+= ..11,4 auA =→
Veremos a continuación otro ejemplo de este mismo caso: Calcular el área encerrada por las siguientes funciones:
221;1 22 ≤≤−−=−= xxyxy En este caso bastante completo por cierto podemos ver que la función es simétrica con respecto al eje de las ordenadas (eje “y”) (Figura 1) por lo tanto podremos calcular solo la mitad de ella y al resultado multiplicarlo por dos, por lo tanto trabajaremos sobre el área de la Figura 2.-
Figura 1 Figura 2
Por otro lado vemos que el área a integrar se divide en dos partes.
Para la primer área encerrada por 22 1;1 xyxy −=−= sacamos los límites de integración:
12211 222 ±=→=→−=− xxxx (solo usaremos el valor positivo)
[ ] [ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=→−=−=−−−= ∫∫ 33
13
1
0
21
0
221 0.
320.21.
321.2
322.22..)1()1( AxxdxxdxxxA
..34
1 auA =
108
Para la segunda región vemos que la misma empieza en 1=x y termina en 2=x , por lo que el área a calcular queda:
[ ] [ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=→−=−=−−−= ∫∫ 1.21.
322.22.
322
32.22..)1()1( 33
13
2
1
22
1
222 AxxdxxdxxxA
..38
2 auA =
Finalmente el área total quedará: ( ) ..8..38..
342.2 21 auauauAAAT =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
..8 auAT = INTEGRALES IMPROPIAS:
Al dar el concepto de integral según Riemann, se exigió que la función a integrar )(xf sea continua y acotada el en intervalo [ ]ba; .-
Si llegara a eliminarse alguna de estas restricciones que se dieron para la función o para el intervalo, podemos generalizar la idea de integral definida mediante las llamadas Integrales Impropias.-
Para resolver este tipo de integrales debemos hacer uso del concepto de límite tal como se verá a continuación en los ejercicios y casos siguientes:
Vamos a distinguir dos grandes grupos:
a) Límites de integración infinitos: Se presentan tres alternativas:
∫∫ +∞→
+∞
=
c
ac
a
dxxfdxxf ).(lim).(
Ejemplo: ∫+∞
12
.1 dxx
Se resuelve de la siguiente manera:
111lim1lim.1lim.1
12
12
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==
+∞→+∞→+∞→
+∞
∫∫ cxdx
xdx
x cc
c
c Podemos apreciar que se
resuelve la integral, luego se particulariza en los extremos del intervalo de integración y finalmente se toma límite de la función primitiva obtenida.-
Ejemplo: ∫+∞
1
.1 dxx
[ ] ∞=−===+∞→+∞→+∞→
+∞
∫∫ 1lnlnlimlnlim.1lim.1
11
cxdxx
dxx cc
c
c En este caso podemos ver que no siempre
109
el resultado obtenido es un valor finito
∫∫ −∞→∞−
=
b
cc
b
dxxfdxxf ).(lim).(
Ejemplo: ∫∞−
0
.dxerx
( ) 10111lim1lim11lim.lim. 000
=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−===
+∞→
−
+∞→−∞→−∞→∞−
∫∫ rccrc
crx
cc
rxc
rx
eree
re
rdxedxe
∫∫∫∫∫ −∞→+∞→∞−
+∞+∞
∞−
+=+=
a
cc
c
ac
a
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf ).(lim).(lim).().().(
Ejemplo: ∫+∞
∞−
=+
dxe
ex
x.
1 2
444 3444 21444 3444 2121
0
20
2
0
20
22.
1lim.
1lim.
11.
1
Ic
x
x
c
I
c
x
x
cx
x
x
x
x
xdx
e
edxe
edxe
edxe
edxe
e ∫∫∫∫∫ ++
+=
++
+=
+ −∞→+∞→∞−
+∞+∞
∞−
Resolveremos las integrales por separado para luego sumarlas, previamente resolveremos la integral por el método de sustitución:
Si dxedueu xx .=→= ∫ −− =→=+
= xetgIutgu
duI 1121
( )442
limlim.1
lim 0111
021
πππ=−=−==
+= −−
+∞→
−
+∞→+∞→ ∫ etgetgetgdxe
eI cc
xc
c
x
x
c
Debemos recordar que: 2
lim 111 π=∞== −∞−−
+∞→tgetgetg c
c debemos recordar que si: β=∞−1tg
significa que: ∞=βtg y el valor de β que verifica esto es 2πβ =
110
( )4
04
limlim.1
lim 10110
22ππ
=−=−==+
= −−
−∞→
−
−∞→−∞→ ∫ cc
xc
cx
x
cetgetgetgdx
eeI
En este caso debemos tener en cuanta que: −∞−−
−∞→= etgetg c
c11lim
b) Discontinuidades del Intervalo: En este caso la discontinuidad puede estar en uno de los extremos del intervalo o bien en un punto perteneciente al mismo.-
Si )(xf es continua en [ ]ba; pero discontinua desde la derecha en a :
∫∫ +→=
b
cac
b
a
dxxfdxxf ).(lim).(
Ejemplo:∫1
02
.1 dxx
Vemos que esta integral tiene inconvenientes en uno de los extremos del
intervalo
+∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−==
++++ →→→→ ∫∫ ccxdx
xdx
x ccc
cc
11lim111lim1lim.1lim.1
00
1
020
1
02
Como conclusión podemos decir que esta integral no está definida en el intervalo dado.-
Si )(xf es continua en [ ]ba; pero discontinua desde la izquierda en b :
∫∫ −→=
c
abc
b
a
dxxfdxxf ).(lim).(
Ejemplo: ∫ −
3
029 x
dx Tiene inconvenientes en 3=x , también en 3−=x pero este valor no
forma parte del intervalo.-
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
−=
−
−−
→
−
→→ −−− ∫∫ 30
3lim
3lim
9lim
9
113
13
023
3
02
sencsenxsenx
dx
x
dxcc
c
c
20
3lim 11
3
π=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − −−
→ −sencsen
c
29
3
02
π=
−∫ x
dx
111
Recordemos que: 2
13
lim 113
π== −−
→ −sencsen
c
Si )(xf es continua en [ ]ba; pero discontinua desde la izquierda en );( bac ∈ :
∫∫∫ +− →→+=
b
ucu
u
acu
b
a
dxxfdxxfdxxf ).(lim).(lim).(
Ejemplo: ∫ −
4
02)1(x
dx Vemos que esta integral tiene una discontinuidad en 1=x que es un
punto interior del intervalo de integración.-
44 344 2144 344 2121
4
210
21
4
02 )1(
lim)1(
lim)1(
Iu
u
I
u
u x
dx
x
dx
x
dx ∫∫∫ −+
−=
− +− →→ Para resolver podemos trabajar con cada
integral por separado y luego sumar algebraicamente.-
+∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
−=−
−=−
=−− →→ ∫ 10
1)11(
1)1(
1lim)1(
lim1
021
1 xx
dxIu
u
u como esta integral parcial no
existe, no es necesario resolver 2I , podemos concluir directamente que +∞=−∫
4
02)1(x
dx
Ejemplo: ∫ −
4
03 1x
dx Tenemos inconvenientes en 1=x
44 344 2144 344 2121
4
310
31
4
03 1
lim1
lim1
Iu
u
I
u
u xdx
xdx
xdx ∫∫∫ −
+−
=− +− →→
Resolvemos las integrales por separado.-
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−=−=−=
−=
−−−− →→
−
→→ ∫∫ 323
2
32
31
10123lim1
23lim.1lim
1lim
110
10
311 uxdxx
xdxI
uu
u
u
u
u=
Al calcular el límite tendremos:
112
( ) ( )23
231011
23
11 323
2
−=→−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−= II
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−=−=−=
−=
−+++ →→
−
→→ ∫∫ 323
2
32
31
11423lim1
23lim.1lim
1lim
11
4
1
4
312 uxdxx
xdxI
uuu
uu
u
Calculamos el límite:
( ) ( ) 32
32 9
239
231114
23
323
2
=→=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−= II
Finalmente planteamos: ( )3321 91
239
23
23
+−=→+−=+= IIII
Para finalizar se hace la siguiente aclaración y es que para resolver las integrales se puede aplicar
cualquiera de los métodos ya vistos para el caso de las integrales indefinidas, y una vez resuelta se le aplica el límite de la misma manera que las ya vistas, se mantienen las mismas propiedades, etc.-
113
ACTIVIDAD N° 6
1- Calcular las siguientes integrales definidas.-
dxx
iiidxxx
iidxxxi ∫∫∫ −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
4
1
1
3 32
1
1
32 1)11))2()
dxxivdxxvdxsenxiv ∫∫∫ −+2
0
22
0)2())2())
43
2
π
π
dxxixduuuviiidttvii .31).)1()).1()8
1
4
1
2
1
2 ∫∫∫ +−−−
dxxsenxiidxx
xidxxxx ∫∫∫ ++
π
0
23
0
2
0
32 .)11)).1()
∫∫∫ − +−
2
2 2
8
4 20
2
4).
15).cos)
x
dxxvdxx
xxivdxxxiiiπ
2- Calcular el área encerrada por las siguientes funciones, realizar previamente el gráfico
correspondiente.-
5;2;0;) 2 ==== xxyxyi ..39: auARtta =
3;1;0;) 3 ==== xxyxyii ..20: auARtta =
3;1;0;4) 2 ===−= xxyxxyiii ..3
22: auARtta =
10;1) 2 =−= xyxiv ..36: auARtta =
3;9) 2 +=−= xyxyv ..6
125: auARtta =
xyxyvi −=−= ;2) 2 ..29: auARtta =
22 28;4) xyxyvii −=−= ..32: auARtta =
224 4;4) xyxxyviii =−= ..2.15512: auARtta =
114
2;1;0;12) exxyx
yix ==== ..24: auARtta =
1;0;1
1)2
±==+
= xyx
yx ..2
: auARtta π=
3- Calcular las siguientes integrales impropias:
∫ ∫ +∞−
1
0
4
0
:4
)2:) RttaxdxiiRtta
xdxi
∫ ∫−
−−
4
0
2
22
:4
)4:4
) πRttax
dxivRttax
dxiii
∫ ∫−
−
8
1
1
03
1:.ln)29:) RttadxxviRtta
x
dxv
∫ ∫∞
∞−−
1
0
22 41:
)4()1:) Rtta
x
dxviiiRttax
dxvii
∫ ∫∞ +∞
∞−
−−
−
1
1:..)2:)2
Rttadxexxe
Rttax
eix xx
115
UNIDAD VII - ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación que contiene derivadas (o diferenciales) recibe el nombre de Ecuación Diferencial . Algunas formas de ecuaciones diferenciales simples pueden ser:
xdxdy 2=
y
xdxdy 4
=
32
2+= x
dx
yd En este último ejemplo podemos ver diferenciales dobles.-
Una primera identificación para las ecuaciones diferenciales es hacerlo a través del Orden y del
Grado, que son características propias de cada ecuación diferencial.- ORDEN: Está dado por el orden de la derivada de mayor grado que aparezca en la ecuación. GRADO: Es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación.-
Para entender esto analicemos los siguientes ejemplos: 5+= xdxdy
Vemos que las derivadas son de primer
orden, y a su vez esta derivada está elevada a la primera potencia, razón por la cual decimos que la ecuación presentada es de primer orden y de primer grado.
Otra posibilidad sería: 0232
2=++ y
dxdy
dxyd
donde vemos que la mayor derivada es la segunda, pese a que
aparece otra derivada primera, pero nos interesa la mayor, además esa derivada segunda ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
2
dx
yd está
elevada a la primera potencia y es allí de donde debemos sacar el grado de la misma, por lo tanto esta es una ecuación de segundo orden y de grado uno.- Ejemplos:
1) xyxdxdy 52 +=
Orden: 1º Grado: 1º
2) 0252
2=++
dxdyx
dx
yd
Orden: 2º Grado: 1º
3) 3. =+ ydxdyx
Orden: 1º Grado: 1º
4) 232 3)'()''( xyyy =++ Orden: 2º Grado: 2º
5) xyyy cos')''(2''' 2 =++ Orden: 3º Grado: 1º
6) dydzxz
dxdz .+=
Orden: 1º Grado: 1º
7) yxdy
zddx
zd+=+ 2
2
2
2
2
Orden: 2º Grado: 1º
116
SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL: El inconveniente que presentan las ecuaciones diferenciales mas elementales consiste en encontrar
la primitiva que dio origen a la ecuación. O sea resolver una ecuación diferencial de orden n , no es otra cosa mas que hallar entre las variables que contienen a n constantes arbitrarias independientes, que con las derivadas obtenidas de ella, satisfaga la ecuación diferencial.
Por ejemplo:
Ecuación diferencial Primitiva
03
3=
dx
yd CBxAxy ++= 2
061162
2
3
3=−+− y
dxdy
dx
yd
dx
yd
xxx eCeBeAy ... 23 ++=
222
2 . rydxdyy =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) 222 ryAx =+−
En este caso nuestro objetivo será encontrar estas primitivas que verifican la ecuación diferencial
planteada.- Para poder ser resueltas las ecuaciones diferenciales debe cumplir ciertas condiciones, dichos
teoremas de existencia son: Por ejemplo una ecuación diferencial de la forma: ),(' yxgy = en la que :
a) ),( yxg es continua y uniforme en una región R de puntos ),( yx .-
b) yg∂∂
(derivada de g con respecto de y ) existe y es continua en todos los puntos de R
decimos que admite infinitas soluciones de la forma: 0),,( =Cyxf donde C es una constante arbitraria, tales que cada punto de R pasa una y solo una curva de la familia 0),,( =Cyxf .- SOLUCION PARTICULAR
Una solución particular de una ecuación diferencial se obtiene de la primitiva dando valores a las
constantes arbitrarias. Por ejemplo si la primitiva de una ecuación diferencial es: CBxAxy ++= 2 , alunas soluciones particulares pueden ser:
00 ==== CBASiy
5;2;052 ===+= cBASixy
Geométricamente la primitiva es la ecuación de una familia de curvas y una solución particular es la
ecuación de una de esas curvas. Estas curvas se llaman Curvas Integrales de la Ecuación Diferencial.- La primitiva de una ecuación diferencial pasa a ser entonces una Solución General de la Ecuación .-
Ejemplo:
Dada: ( ) 0...12
2=+−− y
dxdyx
dx
ydctgxx Demostrar que xBsenxAy .. += es una primitiva de la
ecuación diferencial dada:
117
Lo que debemos hacer es sustituir nuestra solución en la ecuación diferencial dada, pero antes debemos hallar los diferenciales que están presentes en la misma.-
Si xBsenxAy .. +=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+=
→senxA
dx
yd
BxAdxdy
.
cos.
2
2 además recordar que senx
xctgx cos=
( ) ( ) 0cos...cos.1 =+++−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − BxAsenxBxAxAsenx
senxxx Luego operando tendremos:
0.cos..cos.. =++−−+− BxAsenxBxxxAxxAAsenx
Luego 00 = con lo cual justificamos que la primitiva dada es solución de la ecuación diferencial planteada.- Ejemplo:
Demostrar que xeBAey xx ++= 2. es la primitiva de 322.32
2−=+− xy
dxdy
dx
yd
Obtenemos los diferenciales:
12 2 ++= xxdxdy BeAe ; xx
dxyd BeeA 24.2
2+=
( ) ( ) 32.21.2.3.4. 222 −=+++++−+ xxBeeABeeABeeA xxxxxx
3222236.3.4. 222 −=+++−−−+ xxBeAeBeeABeeA xxxxxx Luego simplificando tendremos:
3232 −=− xx ( Que verifica lo pedido)
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO Método de separación de variables
Las variables de la ecuación diferencial de la forma: 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM se pueden separar si es posible escribir la ecuación de la forma:
0).().().().( 1221 =+ dyygxfdxygxf
Lo que se puede expresar de la siguiente manera:
0.)()(
)()(
2
1
2
1 =+ dyygyg
dxxfxf
Como vemos se pueden separar las variables con sus respectivos diferenciales,,
posteriormente se debe integrar:
∫ ∫−=→−= dyygyg
dxxfxf
dyygyg
dxxfxf
.)()(
)()(
.)()(
)()(
2
1
2
1
2
1
2
1
Posteriormente se integra y se obtiene la primitiva buscada.-
118
Ejemplo: 0)1(..)1( 22 =++− dyyxdxyx
dyy
ydxx
xdyyxdxyxdyyxdxyx .)1(.)1()1(..)1(0)1(..)1(2
22222 +
−=−
→+−=−→=++−
∫∫ +−=
− dyy
ydxx
x .)1(.)1(2
2 (I) Luego se integra. Es posible hacerlo por separado:
∫∫∫ +−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
+−=
−122
2
2
2 1ln2121.12.)1( Kx
xxdxxx
dxx
xxdxx
x (II)
∫ ∫ ++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+2ln11.)1( Kyydy
ydy
yy
(III)
Luego regresamos al planteo original reempezando (II) y (III) en (I)
)ln(1ln 21 KyyKx
xx ++−=+−−
Esta sería la solución de nuestra ecuación diferencial, lo que falta es trabajarla un poco mas para poder llegar a expresar como )(xfy = .- ECUACIONES HOMOGENEAS
Una función ),( yxf se llama homogénea de grado n si:
( ) ),(; yxfyxf nλλλ = Por ejemplo:
yxxyxf 34),( −= Es una homogénea de grado 4:
( ) ( )( ) ( )yxxyxxyxxyxf 344344434 .),( −=−=−= λλλλλλλλ por lo tanto se verifica que:
( )yxxyxf 344),( −= λλλ donde la potencia de λ indica el grado de la ecuación.
xytgeyxf x
y
+=),( Es homogénea de grado cero
xytge
xytgeyxf x
yxy
+=+=λλλλ λ
λ
),( por lo tanto al simplificarse λ podemos decir que es de grado
cero.-
119
xxyxf cos),( 3 += No es homogénea
( ) ( ) ( ) ),(coscos),( 333 yxfxxxxyxf nλλλλλλλ ≠+=+=
Una ecuación diferencial de la forma: 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM es homogénea siempre y
cuando ⎩⎨⎧
),(),(
yxNyxM
sean homogéneas del mismo grado.
Por ejemplo:
0.ln.
),(
12
),(
=+ − dxxysen
xydx
xyx
yxNyxM43421321
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
−− 1...),(
1.ln.ln.),(
12
122
GradoHomogxysen
xy
xysen
xyyxN
GradoHomogxyx
xyxyxM
λλλ
λλλλ
λλλλλλ
Como podemos ver al ser ambas homogéneas y del mismo grado, podemos decir que la ecuación
total es homogénea de grado uno.- Una ecuación diferencial homogénea de primer grado puede resolverse mediante la transformación:
vxy = que reduce cualquier ecuación diferencial homogénea a la forma: 0),(),( =+ dyvxQdxvxP A continuación se determina una forma de poder resolver estas ecuaciones homogéneas a partir de
la transformación planteada: Si adoptamos: vxy = al derivar como un producto de dos funciones tendremos: dvxdxvdy .. += luego podemos
expresar : dxdvxv
dxdy .+= .- (1)
Si a la ecuación diferencial homogénea la expresamos de la forma: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xyF
dxdy
(2)
Igualando (1) y (2): dxdvxvvF .)( += Luego separamos las variables
vvF
dvx
dxdxdvxvvF
−=→=−
)(.)(
Luego se integra esta expresión :
∫ ∫ −=
vvFdv
xdx
)(
120
Ejemplo:
)(0)1()1( 22 Idyyxxyxdxxyy =++++ Usando la transformación planteada:
)(..2
IIx
dxvdvxdyxvyxyv −
=== Luego Reemplazando (II) en (I)
( ) 0..).1(12
2 =−
++++x
dxvdvxvvxdxvxv
0)..)(1()1( 2=
−++++x
dxvdvxvvdxvv → 0)..)(1()1( 2 =−++++ dxvdvxvvdxvv
Trabajamos esta expresión y obtenemos: 0.)1().)(1()1( 22 =++−++++ dxvvvdvxvvdxvv
[ ] 0).)(1()1()1( 22 =+++++−+ dvxvvdxvvvv → [ ] dvxvvdxvvvv .)1(1 222 ++−=−−−+
dvxvvdxdvxvvdx .)1(.)1( 22 ++=→++−=− → ∫ ∫ ++=→++= dvvvx
dxdvvvx
dx )1()1( 22
Cvvvx +++=32
ln32
Reemplazamos : xyv =
Cxyxyxyx +++=3)(
2)()(ln
32
121
ACTIVIDAD N° 7
1- Demostrar que cada una de las siguientes expresiones es una solución de la correspondiente ecuación diferencial.
yxyxyi 2'2) 2 ==
0'.) 22 =+=+ xyyCyxii
44 )'('.) yyxyAAxyiii +=+=
)3('2)1)( 22332 xyyyxxyxiv +==−
0'2'')1() =+−+= yyyxeyv x
2- Calcular las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables:
0)1()1()0)1(.) 2223 =−++=++ dyxydxyxiidyydxxi
)3(4)...4) 2−
==−yx
ydxdyivdyxdxydyxiii
0..4)0.)1() 23 =+=−+ dyxdxyvidxyxdyxv
0)0)1()21() 22 =−=+−+ dyxdxyviiidyxdxyvii
3- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas:
0)03)() 22233 =−−−=−+ dxyxydxxdyiidyxydxyxi
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−++ 01221)0)()32()
yxedxeivdyxydxyxiii y
xyx
0.)0.cos.cos..) 2222 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−+=+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − dyyxxxdxyxyvidyxdxysenxv x
yxy
xy
( ) ( ) 03)0.) 23322 =−+=+− dyxydxyxviiidyxydxxyvii
576
FFFFFicha de Evaluaciónicha de Evaluaciónicha de Evaluaciónicha de Evaluaciónicha de EvaluaciónMódulo ÚnicoMódulo ÚnicoMódulo ÚnicoMódulo ÚnicoMódulo Único
Sr. alumno/a:
El Sistema de Educación a Distancia, en su constante preocupación por mejorar la calidad desu nivel académico y sistema administrativo, solicita su importante colaboración para responder aesta ficha de evaluación. Una vez realizada entréguela a su Tutoría en el menor tiempo posible.
1) Marque con una cruz
MODULO En gran medida Medianamente Escasamente
1. Los contenidos de los módulos fueronverdadera guía de aprendizaje.
2. Los contenidos proporcionados me ayu-daron a resolver las actividades.
3. Los textos (anexos) seleccionados mepermitieron conocer más sobre cadatema.
4. La metodología de Estudio (punto 4 delmódulo) me orientó en el aprendizaje.
5. Las indicaciones para realizar activida-des me resultaron claras.
6. Las actividades propuestas fueron acce-sibles.
7. Las actividades me permitieron una re-flexión atenta sobre el contenido
8. El lenguaje empleado en cada módulofue accesible.
CONSULTAS A TUTORIAS SI NO
1. Fueron importantes y ayudaron resolver mis dudas y actividades.
2) Para que la próxima salga mejor... (Agregue sugerencias sobre la línea de puntos)
1.- Para mejorar este módulo se podría ................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
3) Evaluación sintética del Módulo.
...................................................................................................................................................................................................
Evaluación: MB - B - R - I -
4) Otras sugerencias.............................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
