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1. Estudios Generales CDIGO: 89001293 SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL Matemtica T.O. Parte 02 DIRECCIN NACIONAL GERENCIA ACADMICA

2. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 2 MATERIAL DIDCTICO ESCRITO CICLO : ESTUDIOS GENERALES CURSO: MATEMTICA BSICA T.O. PARTE 02 Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formacin profesional en el Ciclo de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo, se autoriza la APLICACIN Y DIFUSIN del material didctico escrito referido a MATEMTICA BSICA T.O. PARTE 02 Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formacin Profesional son los responsables de su difusin y aplicacin oportuna. AUTORIZACIN Y DIFUSIN DOCUMENTO APROBADO POR EL GERENTE ACADMICO DEL SENATI N de Pginas:.............261.............. Firma: ... Lic. Jorge Chvez Escobar Fecha: ....

3. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 3 INDICE UNIDAD 08. Longitud ............................................................................................... 4 UNIDAD 10. Razones y Proporciones....................................................................... 57 UNIDAD 11. Magnitudes Proporcionales ................................................................ 73 UNIDAD 12. Regla de Tres ...................................................................................... 92 UNIDAD 13. Porcentaje ........................................................................................ 103 UNIDAD 14. Angulos ............................................................................................ 123 UNIDAD 15. Paralelas .......................................................................................... 145 UNIDAD 16. Circunferencia y Circulo .................................................................... 163 UNIDAD 17. Polgonos ......................................................................................... 175 UNIDAD 18. Permetro.......................................................................................... 197 UNIDAD 19. Superficie y volumen ........................................................................ 220 UNIDAD 09. Medidas de Tiempo ............................................................................ 37

4. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 4 UNIDAD 08 MEDIDAS DE LONGITUD

5. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 5 8.1. MEDIDAS DE LONGITUD. Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como unidad de medida Cientos de aos atrs, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo. Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo hasta la punta del otro), eran 6 pies. Cuando los Britnicos comenzaron a establecerse en Norteamrica las colonias usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. An haba confusin entre medidas que llegaron hacerse hasta ms confusas despus de la Revolucin Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma uniforme de pesas y medidas. Tambin los Franceses, Espaoles y Holandeses tenan sus propias normas y nadie estaba de acuerdo. Es as que en el ao 1832, el Departamento de Tesorera dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas, y en el ao 1836, el Congreso oficialmente cre la Oficina de Pesos y Medidas. Hassler escogi el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema mtrico. Sin embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades (Sistema Mtrico), es aceptado como la norma de medidas. 8.1.1. Unidad Fundamental (EL METRO). Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud longitud es el METRO. MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DEFINICIN DE LA UNIDAD Longitud metro m Longitud del trayecto recorrido en el vaco, por un rayo de luz en el tiempo de s 458792299 1

6. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 6 8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I. Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los mltiplos y submltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades bsicas o derivadas. 1.1 PREFIJO SMBOLO FACTOR NOMBRE DEL VALOR NUMRICO Para formar mltiplos decimales exa peta tera giga mega kilo hecto deca E P T G M k h da 10 18 10 15 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 trilln mil billones billn mil millones milln mil cien diez Para formar submltiplos decimales deci centi mili micro nano pico femto atto d c m n p f a 10 -1 10 -2 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18 Dcima centcima milsima millonsima mil millonsima billonsima mil billonsima trillonsima En el caso de la medida de longitud: Mltiplos Submltiplos

7. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 7 kilmetro 1.2 HECTMETRO decmetro metro decmetro centmetro milmetro X 1000 1.3 X 100 X10 : 10 : 100 : 1000 1000 m 1.4 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 1 km 1.5 1 HM 1 dam 1 m 1 dm 1cm 1 mm Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo. Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centmetro y el milmetro. Largo ....................... cm ... ........................ mm Ancho ...................... cm ........................... mm Alto ........................... cm ........................... mm Sin embargo, el centmetro y el milmetro, no son las nicas unidades de medida, si se toman 10cm, se tiene 1 decmetro. 1 decmetro = 10 centmetros Y si se toman 10 decmetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de medida de longitud. Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados. a) Un libro b) Un saln de clase c) Un lpiz Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene: 10 m forman 1 decmetro dam 10 dam forman 1 hectmetro hm

8. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 8 1 Largo = unidades Observar, con atencin, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los cuerpos recibe, en geometra, el nombre de segmento de recta. Medir algunos de ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas veces una unidad est contenida en l. 2 3 4 Ancho = . Unidades Altura = . Unidades 5 Muy Importante: El nmero es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA. Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida. Ejemplo: La longitud de la regla es de seis pulgadas. La broca de tres cuartos est sobre la bancada. Compr mil milmetros de alambre de cobre. Esta caja contiene doce docenas de pernos. La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos. En los dibujos de la pgina anterior, los segmentos medidos representan: Largo, ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centmetro (cm). Notar que cada centmetro est dividido en partes iguales, cada una de las cuales se llama milmetro (mm). En la medicin de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm.

9. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 9 Se puede comprobar que: 10 veces 1 milmetro es igual a 1 centmetro 10 x 1 mm = ........ mm = 1 ....... Completar: Ancho = 2,5 u = 2,5 cm = .......... mm alto = 1 u = 1 cm = .......... mm Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de unidades de medidas de longitud. Observar el cuadro: 8.1.3. MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO. MLTIPLOS UNIDAD SUBMLTIPLOS km 5.1 HM dam m dm cm mm kilmetro 5.2 HECTMETRO decmetro metro decmetro centmetro milmetro 1000 m 5.3 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Observacin: Es preciso aclarar que: Existen mltiplos mayores que el kilmetro. Existe submltiplos menores que el milmetro. Por ejemplo: En mecnica de precisin y en trabajos cientficos, se usan otros submltiplos del metro, como por ejemplo la millonsima parte ( micra) del metro que se denomina micra ( m). Resumiendo se tiene:

10. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 10 Medidas mayores que el metro, o sea, mltiplos del metro: decmetro dam 1 dam = 10 m hectmetro hm 1 ....... = 100 ........ kilmetro km 1 .........= ........ 5.4 5.5 1 KM = 10 HM = 100 DAM = 1 000 M Medidas menores que el metro, o sea submltiplos del metro: decmetro dm 1 dm = 0,1 m centmetro cm 1 ....... = ......... m milmetro mm 1 ....... = ............. 5.6 1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM = 0,001 M

11. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 11 EJERCICIOS Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente: 1. Completar: a) 5 dam = cinco decmetros b) 18 mm = ................................................... c) ........................... = doce kilmetros d) ........................... = nueve hectmetros e) 35 cm = ..................................................... f) . .....................dm = siete .......................... 2. Completar: a) 9,082 km = 9 km, 8 dam y 2 m b) 13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y .... m c) ............dam = 19 dam, 5m y 3dm d) 9,5 ..............= 9 m y 5 dm e) 8,25 dm = ............. y ............. 3. Se sabe que: 1 dam = 10 m Entonces, completar: a) 8 dam = 8 x 10 = 80 m b) 28 dam = ............................ = .......................... m c) 3,4 dam = ........................... = . m d) 53 m = 53 10 = 5,3 dam e) 156 m = . = . dam f) ,90 m = .. = . dam 4 Tambin se sabe que: 1 hm = 10 dam

12. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 12 Completar entonces: a) 5 hm = 5 x 10 = 50 dam b) 0,8 hm = ......................... = ........................ dam c) 58 hm = ......................... = .. dam d) 30 dam = 30 10 = . hm e) 48 dam = .. = .... hm f) 0,08 dam = .. = .... hm 5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades, completar: a) 2 km = 2 x 10 = 20 hm b) 72 km = ........................... = . hm c) 0,8 km = . = . hm d) 5 m = 5 x 10 = 50 dm e) 3,8 m = .... = . dm f) 4 dm = 4 x 10 = 40 cm g) 52 dm = ... = .... cm 8.1.4. CONVERSIN DE UNIDADES. La unidad escrita se refiere a la cifra que est a la izquierda de la coma decimal, que usted debe haber observado. Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm. Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeracin decimal. Por consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene: M dm cm Mm 4,587 m 4 5 8 7 que se lee, 4 metros y 587 milmetros

13. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 13 Observar con atencin, la escalinata con sus carteles. Pues bien: Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha. Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda. Realizar ahora los ejercicios que siguen: 6. De las equivalencias: 1 dam = ........... m 1dm = .............. m 1 hm = .m 1cm = ....m 1 km = .m 1mm = ... m 7. Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden colocado inmediatamente antes de la coma decimal. Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm 2,5 mm = ..................................... 802,7cm = ................................... 1,520 km = .................................... 7,28 dm = .................................... 0,85 m = .................................... 8. Completar, observando el ejemplo: a) Nueve metros y treinta centmetros = 9,30 m b) Doce centmetros y doce milmetros = ............................................. c) Cuarenta y ocho centmetros y siete milmetros = ........................... d) Treinta y dos milmetros y ocho dcimos de mm = .......................... km hm dam m dm cm mm

14. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 14 9. Complete el cuadro, observando los ejemplos: Ejemplo: m dm cm mm a) 7 mm a 7 b) 14,5 dm b 1 4 5 c) 4,5 m c d) 20,1 cm d e) 0,2 m e f) 12,5 cm f g) 3 m g h) 0,8 dm h 10. Responder: a) Cul es mayor? 5cm 25 mm? ............................................. b) Cul es menor? 2dm 12 cm? ............................................... c) Cuntos dm hay en 1 metro? .................................................... d) Cuntos cm hay en 1 metro? .................................................... e) Cuntos mm hay en 1 metro? ................................................... 11. Completar: a) En 1 km hay ........................................ metros b) En 1 hm hay ........................................ metros c) En 1 dam hay ...................................... metros d) En 3 m hay ...........................................decmetros e) En 5 m hay ...........................................centmetros f) En 10 m hay ........................................ milmetros 12. Completar: 6m = .................................. dm 23 dm = ......................... m

15. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 15 9,7m = .. dm 80 dm = m 88,53 m = . dm 8,2 dm = ... m 0,44 m = .. dm 33,4 dm = ........ m 13. Colocar convenientemente los smbolos en las siguientes conversiones: a) 45,67 m = 456,7 ................ g) 289,05 km=28 905 ............. b) 45,67 m = 4567 .. h) 300,7 mm = 3,007 ... c) 45,67 m = 45 670. i) 0,7 km = 0,007 . d) 45,67 m = 4,567 . j) 10 hm = 100 000 e) 45,67 m = 0,4567 ... l) 9,47 cm = 94,7 ............................ f) 45,67 m = 0,04567 ............ m) 4000 dm = 4 . 14. Escribir en los puntos, los valores correspondientes: a) 8 m = ........................ cm g) 4 cm = ...................... dam b) 17 m = . mm h) 38 cm = ..... m c) 9,5 m = cm i) 680 cm = .. m d) 0,16 m = . dm j) 77,5 cm = hm e) 0,007 m = .. km l) 6,91 cm = ......................... dm f) 2800 m = .................... cm m) 0,25 cm = .. mm 15. Efectuar, haciendo la conversin de unidades conveniente: 80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m 4,8 dam 1 000 mm + 85 cm = cm 274,6 m 1,360 dam = ... m Solucionario: 1. b) Dieciocho milmetros c) 12 km

16. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 16 d) 9 hm e) Treinta y cinco milmetros f) 7 dm = siete decmetros 2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m c) 19,53 dam d) 9,5 m e) 8 dm, 2 cm y 5 mm 3. b) 28 x 10 = 280 m c) 3,4 x 10 = 34 m d) 156 : 10 = 15,6 dam e) 90 : 10 = 9 dam 4. b) 0,8 x 10 = 8 dam c) 58 x 10 = 580 dam d) 30 : 10 = 3 hm e) 48 : 10 = 4,8 hm f) 0,08 : 10 = 0,008 hm 5 b) 72 x 10 720 hm c) 0,8 x 10 8 hm d) 3,8 x 10 38 dm c) 52 x 10 = 520 cm 6. 1 dam = 10m 1 dm = 0,1 m 1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m 1 km = 1000 m 1 mm = 0,001 m

17. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 17 7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm 7,28 dm = 7dm y 28 mm 2,5 mm = 2 mm y 5 dcimos de mm 1,520Km = 1 Km y 520 m 0,85 m = 85 cm 8. Doce centmetros y doce milmetros = 12,12 dm Cuarenta y ocho centmetros y siete milmetros = 48,7cm Treinta y dos milmetros y ocho dcimos de mm = 32,8 mm 9. m dm Cm mm .......... ........ .......... ............ .......... c 4 5 d 2 0 1 e 0 2 f 1 2 5 g 3 h 0 8 10. a) 5 cm b) 12 cm c) 10 dm d) 100 cm e) 1000 mm 11. a) 1000 m d) 30 dm b) 100 m e) 500 cm c) 10 m f) 10 000 mm 12. 6m = 60 dm 23 dm = 2,3 m 9,7 m = 97 dm 80 dm = 8 m

18. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 18 88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m 0,44 m = 4,4 dm 33,4 dm = 3,34 m 13. a) . = 456,7 dmg) . = 29 905 dam b) . = 4567 cm h) . = 3,007 dm c) . = 45 670 mm i) .. = 0,007 km d) . = 4,567 dam j) .. = 100 000 cm e) . = 0,4567 hm l) .. = 94,7 mm f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm 14. a) .. = 800 cm g) .. = 0,004 dam b) .. = 17 000 mm h) .. = 0,38 m c) .. = 950 cm i) = 6,80 m d) .. = 1,6 dm j) = 0,00775 hm e) .. = 0,000 007 km l) = 0,691 dm f) = 280 000 cm m) . = 2,5 mm 15. 0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m 4800 cm 100 cm + 85 cm = 4785 cm 27,6 m 13,6 m = 14 m Observacin: Unidades que permiten medir a seres microscpicos o distancias inapreciables por los seres humanos: 1 micra 0,001 milmetros. 1 nanmetro 0,000 001 milmetros. 1 angstron (A) 0,000 000 1 milmetros.

19. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 19 Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de los planetas: 1 ao luz 9,461 mil millones de kilmetros. (distancia que recorre la luz en un ao) 1 unidad astronmica 149 600 000 km de longitud. 8.2. SISTEMA INGLS. Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que adems se emplea en las especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada. En la industria, las medidas de mquinas, herramientas, instrumentos e instalaciones, se utiliza tambin otra unidad de medida, denominada PULGADA. 8.2.1. PULGADA. La pulgada se representa simblicamente por dos comillas () colocadas a la derecha y un poco encima de un nmero. La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe con atencin: Dos pulgadas se abrevia Tres pulgadas se abrevia 2 3

20. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 20 La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en ingls significa pulgadas. 8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS. Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milmetros y cuatro dcimos, aproximadamente. Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas: En NMEROS ENTEROS Ej.: 1; 2; 17 1pulgada = 1 = 25,4 mm 1 25,4 mm Adems: 1pie = 1 = 12 pulgadas 1yarda = 3 pies = 3 = 36 1 pie = 0,3048 m 1 yarda = 0,9144 m 1 m = 3,28 pies1 pie = 1 1

21. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 21 1 3 4 En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128. Ej.: 8 "5 4 "3 '2 "1 ;; En NMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendr, tambin, como denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128. Ej: 64 "13 7 4 "3 1 '2 "1 2 ;; OBSERVACIN. Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal. Ej.: "25,0 "4 "1 "5,0 2 "1 "75,0 "4 "3 "125,0 8 "1 Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las divisiones de la regla: 1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto cada divisin es 1/8 (un octavo de pulgada). 3 4

22. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 22 2. Cada pulgada fue adems dividida en 16 partes iguales (la menor divisin es 16 1 ); excepto una parte de 1 cuya menor divisin es 32 1 (de 1 a 32) Ver la medida de la longitud AB La regla indica: 3. La pulgada est dividida en 8 partes iguales. De A hasta B se tienen .......... partes iguales. . Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se estn tomando 5 partes, luego: La medida de A hasta B es Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla. Medida A = 2 Medida B = 8 "5 1 Medida C = 2 "1 2 Medida D = 4 "3 3 Medida E = 16 "1 Medida F = 16 "13

23. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 23 Ejercicio: Medida G = 2 "1 2 Medida H = 8 "7 Medida I = 4 "1 3 Medida J = 32 "17 Medida L = 16 "15 Medida M = 32 "7 1 Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo: 8.2.3. TRANSFORMACIN DE PULGADAS EN MILMETROS. Para transformar pulgadas en milmetros, usted debe multiplicar el nmero presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fcil llegar a esta conclusin: 1. Si 1 es igual a 25,4 mm 5 ser igual a 5 veces 25,4 mm Cierto? 5 = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm 2. 4 3 4,25 4 3 4 "3 x x .. mm 3. 0,8 = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm 4. ................................... 8 11 8 "3 1 x

24. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 24 Observar los ejemplos del cuadro y compltelo convenientemente. Pulgada Nmero x 25,4 mm mm 1 1 x 25,4 mm 25,4 mm 3 3 x 25,4 mm 76,2 mm 5 5 x 25,4 mm ............. 10 10 x ................................. ............. 2 "1 2 mm25,4 1 4,25 2 1 mm x 12,7mm 4 "3 mmxx 4 4,25 3 1 mm25,4 4 3 19,05 8 "7 2 8 4,25 23 1 mm25,4 8 23 mm xx .............. 16 "11 .................... 16 "11 x .............. Se ver ahora cmo se hace el problema inverso, esto es. 8.2.4. TRANSFORMACIN DE MILMETROS A PULGADAS. Para transformar milmetros en pulgadas, usted debe dividir el nmero presentado en milmetros entre 25,4 y despus multiplicar el resultado por 1 o fraccin equivalente, es decir: 128 "128 64 "64 ; 32 "32 ; 16 "16 ; 8 "8 ; 4 "4 ; 2 "2 Hacer esta multiplicacin para obtener la fraccin de pulgada. Observar con atencin los ejemplos y completar:

25. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 25 1. Transformar 50,8 mm a pulgadas: 2 4,25 8,50 8,50 4,25"1 mm mm mmx mm 2.1 = 2 Rpta. = 50,8 mm = ....................... 2. Transformar 12,7 mm a pulgadas: 5,0 4,25 7,12 mm mm 0,5 . 1 = 0,5 = 2 "1 2 "1 64 64 : 128 64 128 "128 .5,0 Rpta. = 12,7 mm = ........................... 3. Transformar 10 mm a pulgadas: mm mm 4,25 10 .................... ....................... x 1 = ....................... ................................ x _________ ...... "50 128 "128 x Rpta. = 10 mm = 64 "25 Resolver los ejercicios siguientes: Transformar: a) 21,2 mm a fraccin irreductible de pulgada. mm mm 4,25 2,21 ................ x 1 = ............................

26. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 26 ............... x 128 "128 ................... Rpta. = 21,2 mm = ............. b) 2 mm a fraccin irreductible de pulgada: Rpta. = 2mm = .................... Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS ver: TRANSFORMAR MILMETROS A PULGADAS (NMERO DECIMAL) En este caso, se tendr que dividir el nmero de milmetros entre......... Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por 4,25 1 , De acuerdo? Como: 03937,0 4,25 1 , se puede escribir la primera regla prctica: Para transformar milmetros a pulgadas representadas por nmeros decimales, se multiplica los milmetros por ......................... obtenindose el resultado en pulgadas (decimales). Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en nmero decimales. 10 x 0,03937 = 0,3937 Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fraccin decimal de pulgada. Rpta. .......................

27. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 27 TRANSFORMAR MILMETROS A FRACCIN ORDINARIA DE PULGADA. Ahora multiplicar por 04,5 4,25 128 , 128 128 4,25 1 comoperox se tiene la segunda regla prctica. Luego: Para transformar milmetros a fraccin ordinaria de pulgada, se multiplica los milmetros por 5,04 (numerador), y se coloca el resultado sobre el denominador 128. Observar el ejemplo con atencin, que se entender mejor la segunda regla prctica. Ejemplo: Transformar 10 mm a fraccin de pulgada: 64 "25 128 "50 128 04,510 x Rpta. ..................... Resolver ahora aplicando la regla prctica. 1. Transformar 21,2 mm a fraccin ordinaria de pulgada 128 "107 128 04,52,21 x 2. Transformar 2 mm a fraccin de pulgada: Rpta. ...................

28. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 28 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. Cuntos hectmetros de carretera se han asfaltado en los tres meses? km hm dam m dm 3 0 3 0 8 1 4 3 4 Es decir 34,82 hm 2. Cuntas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de madera de 5 m 6dm? hm dam M dm cm 0, 0 5 0 0 6 0 Es decir 560 cm, luego el nmero de varillas = 20 28 560 cm cm 3. Una lmina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales. Cul es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del material? Para obtener 12 partes se deber hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde 0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perder: 0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm. Entonces quedar: 29,343 cm 1,023 cm = 28,32 cm

29. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 29 Por lo tanto, la longitud de cada parte ser: cm cm 36,2 12 32,28 4. Cuntos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho? Largo 20 cm = 200 mm Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm rea de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2 rea del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2 Por lo tanto, el nmero de cuadraditos ser = 800 25 00020 2 2 mm mm 5. El permetro de un rectngulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, Cunto mide el largo del rectngulo, expresar la respuesta en dm? Permetro del rectngulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm Como el ancho mide 250 mm, el largo medir: 750 mm 250 mm = 500 mm. 6. Convertir a fraccin de pulgada 92,075 mm. Aplicando la regla de conversin: 8 5 3 8 29 128 464 128 04,5 075,92 pulgadas. 7. Una cinta metlica esta graduada en pies, pero en forma errnea, de tal manera que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. Cul es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies? Si 6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg

30. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 30 15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg 18 pies = 18 x 12 pulg = 216 pulg Aplicando regla de tres simple directa, se tendr: 180 pulg _________ 216 pulg 75 pulg _________ x Luego: x = 90 pulg 8. A qu es equivalente 4 3 7 pulgadas en metros. lg75,775,07 4 3 7 4 3 7 pu , que convertidos a mm dar: 7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I CONVERSIN DE UNIDADES DE LONGITUD 1. Convertir en cm: 0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm; 0,68 dm 2. Convertir en dm: 3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm 3. Convertir en mm:

31. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 31 2,84 dm; 6,82 m ; 5,8 dm; 0,3 m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm 4. Convertir en m: 2,84 dm ; 7621 cm ; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm 5. Sumar en mm: 3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm 6. Sumar en cm: 3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm 7. Restar en m: 86, 4m 8,2 cm 3,45 cm 0,87 dm 0,0034m 0,082 dm 8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. Qu longitud tiene la pieza restante (en m)? 9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope entre s. Calcule la longitud del tubo soldado en cm. 10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de dimetros respectivos es de 318,5 mm. Cunto material queda entre las perforaciones? 11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres distancias iguales Qu longitud tienen los espacios? 12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.

32. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 32 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II. 1. Efectuar y expresar en metros la respuesta: 1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm A) 52,554 m B) 16,554 m C) 46,56 m D) 26,45 m E) 12,954 m 2. Efectuar y expresar en milmetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m 240 mm A) 367 mmB) 20,5 mm C) 2040 mm D) 205 mm E) 248 mm 3. Cuntas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrn obtener de una varilla de 5m 6 dm? A) 36 B) 18 C) 20 D) 40 E) 48 4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, Qu longitud queda? A) 7,8 m B) 0,078 8 m C) 780 dm D) 7800 mm E) 78,8 dm 5. Cierta persona compr 123,45 dam de cable elctrico, de los cuales vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. Cunto le queda? A) 116,5 dam B) 1184,04 m C) 11,84 dm D) 1184 cm E) 116,52 m 6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, Cul ser la suma de las medidas de todas sus aristas? A) 31,2 dm B) 20,8 dm C) 41,6 dm D) 42,7 dm E) 62,4 dm 7. El permetro de un hexgono regular mide 450 cm, Cunto mide cada lado? A) 0,75 cmB) 0,007 5 m C) 0,075 m D) 75 dm E) 0,75 m

33. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 33 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A 1. Calcular en centsimas de hectmetro: 200 + 205,25m + 0,45km a) 660,33mb) 660,33cm c) 660,033mmd) 606,30m e) 660,33hm 2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm cada una. Qu longitud falta para completar un trozo ms, si en cada corte se pierde 1cm? a) 5,02cm b) 2,6cm c) 28,98cm d) 29,98cm e) 310,2cm 3. Del grfico hallar: a+b+c+d. a) 123cm b) 20,23cm c) 19,8mm d) 10,2cm e) 310,2mm 4. Reducir a milsimas de dam: 12dam 6cm 20dm 11,5cm a) 12,620m b) 122,175cm c) 12217,5cm d) 12217,5mm e) 122,75cm 5. Si: A= 45,8cm 0,0428m; B= 0,82dm + 14,3cm. C= 2(A B)/3. Hallar el exceso de A sobre C. a) 28,84cm b) 10,2cm c) 2,16cm d) 24,12cm e) 48,24c

34. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 34 6. Hallar el permetro de la figura: a) 158,342mm b) 159,524mm c) 162,412mm d) 222,25mm e) 222,5mm PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B 1. A cuntos centmetros equivale " 4 1 3 ? a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm d) 6,72cm e) 9,28Cm 2. El equivalente de 127mm a pulgadas es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones. I. 13,56dm < > 1m 35cm 6mm II. 31,67m < > 3Dm 16dm 7cm III. 5,608Hm < > 56Dm 8m IV. 2,24dm < > 0,2m 24cm a) VVFF b) VVFV c) VVVF d) VVVV e) FVVF 4. Cuntas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de 14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que sobre material? a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87

35. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 35 5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm 0,025m 4,269dm a) 2,048dm b) 10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm 6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de sta ha disminuido en 124cm. Cul era la longitud de la varilla en centmetros? a) 140 b) 120 c) 160 d) 144 e) 158 7. Cuntos centsimos de milmetro estn contenidos en cuatro dcimos de metro? a) 200 b) 2 000 c) 20 000 d) 200 000 e) 20 8. Al dividir un listn de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo menor mida los de la longitud del mayor. Dar la medida, en centmetros, del trozo mayor. a) 36,57 b) 36,576 c) 36, 574 d) 36, 5 e) 43 9. Hallar el permetro de la figura en fraccin de pulgadas. 14,3 a) " 128 53 b) " 32 53 c) " 8 1 d) " 128 25 e) " 32 21 10. Convertir 2,04mm a fraccin ordinaria de pulgada. a) " 8 1 b) " 16 1 c) " 64 7 d) " 64 5 e) " 8 3 0,24 mm 0,24 mm 2,34 mm 2,34 mm

36. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 36 11. Hallar el permetro de la regin sombreada. Si R = 2,4 mm 14,3 a) 31/64 b) 25/64 c) 29/32 d) 43/64 e) 19/32 12. Hallar la longitud del contorno de la figura. a) 370,44mm. b) 342,32mm. c) 387,35mm. d) 328,52mm. e) 387,24mm. 13. Hallar el radio de la circunferencia: a) 1/32 b) 19/128 c) 7/16 d) 11/64 e) 7/32 14. 98 006 dm se puede expresar como: a) 9 Km 7 Hm 6dm b) 8 Km 8 Hm 8dm c) 8 Km 7 Hm 8dm d) 9 Km 8 Hm 6dm e) 9 Km 6 Hm 6dm r r R 8 1 3 2 1 4

37. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 37 UNIDAD 09 MEDIDAS DE TIEMPO

38. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 38 9.1. MEDIDA DE TIEMPO. En la antigedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de agua o de arena, carecan de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta principios del siglo XVIII los relojes no tenan minutero, pero a comienzos del siglo XIX aparece ya hasta el segundo. Qu puede ocurrir en una milsima de segundo? Muchas cosas! Es verdad que, en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centmetros, pero el sonido recorre ya 33 centmetros; un avin cerca de medio metro, la Tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su rbita alrededor del sol, y la luz, 300 kilmetros. En la actividad laboral y acadmica, por lo general, establecemos un registro del tiempo empleado en la confeccin de un artculo, en los trabajos de taller, para la investigacin, la elaboracin de un informe, la atencin al cliente, etc. En Informtica hablamos de tiempo de acceso; en fotografa, tiempo de exposicin; en el deporte, tiempo muerto; en astronoma, tiempo sideral; en religin, tiempo litrgico; en lingstica, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse. Unidad Fundamental. Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO. MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DEFINICIN DE LA UNIDAD Tiempo segundo s Es la duracin de 9 192 631 770 perodos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133

39. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 39 9.2. MULTIPLOS DEL SEGUNDO. Se tiene al MINUTO y a la HORA. El instrumento para medir el tiempo se llama ....................................... El tiempo es la nica magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora local utilizando el segundo y sus mltiplos (minuto y hora) se recomienda lo siguiente: 1. En la representacin numrica del tiempo se emplearn las cifras arbigas (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearn nicamente los siguientes smbolos: h hora min minuto s segundo 2. El tiempo se expresar utilizando dos cifras para indicar los valores numricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los smbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden: Primero: HORA Segundo: MINUTO y Tercero: SEGUNDO Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s 3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y minutos, puede omitirse el ltimo smbolo respectivo. Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 05 h 11 min 20 00 h 39 min 08 s 00 h 39 min 08 23 h 42 min 18 h 42 15 h 15 h 4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del da siguiente. Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del da martes. 5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua. Ejemplo:

40. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 40 Denominacin recomendada Denominacin antigua 08 horas 8 a.m. 15 h 30 min 15:30 h 15:30 p.m. 3 p.m. 12 h 12 m 23 h 42 23:42 h 11:30 p.m. 24 h 12 p.m. 6. Cuando se escriba una cantidad acompaada de una unidad del SI, se recomienda escribir la cantidad seguida del smbolo de la unidad y no del nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos tcnicos. Ejemplo: Correcto Incorrecto 47 s cuarenta y siete s 27 min veintisiete min RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA NUMRICA a) En la representacin numrica de fechas se utilizarn las cifras arbigas, es decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. b) Para expresar el ao se utilizarn cuatro cifras, las que se escribirn en bloque. Cuando no exista riesgo de confusin podr utilizarse slo dos cifras. Ejemplo: 2007 07 1998 98

41. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 41 Para expresar el mes se utilizarn dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar el da se emplear dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa, se respetar el orden siguiente: Primero: AO Segundo: MES y Tercero: DA Adems se usar preferentemente un guin para separarlos, tambin se puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusin. Ejemplo: 2005-03-17 2005 03 17 98-09-23 98 09 23 c) Ejemplos de escritura de fechas numricas Correcto Incorrecto 20 de marzo del 2007 2007-03-20 20-3-2007 25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98 28 de julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821 30 de abril de 2007 2007-04-30 2,007-04-30 15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre de 2003 9.3. EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO. El tiempo se mide de la unidad ms grande a la ms pequea en: Milenio 1000 aos. Siglo 100 aos. Dcada 10 aos. Lustro 5 aos. Ao 12 meses, 365 das o 366 en los aos bisiestos. (una vez cada 4 aos el mes de febrero tiene 29 das) Semestre 6 meses. Trimestre 3 meses. Bimestre 2 meses.

42. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 42 Mes 30 das (abril, junio, septiembre y noviembre). 31 das (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre). Quincena 15 das. Da 24 h 1440 min 86 400 s Hora 60 min 3600 s Minuto 60 segundos 9.4. OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO. ADICIN Operar: 07 h 45 min + 07 h 15 min + 02 h 14 min 04 h 50 min 09 h 59 min 11 h 65 min 12 h 05 min Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min Ahora sumar: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min El resultado ser: .. SUSTRACCIN. Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min - 17 h 90 min - 12 h 30 min 17 h 45 min 17 h 45 min 04 h 20 min 00 h 45 min Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de pedir prestado una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h. Observacin: 05 h 30 min es diferente de 5,30 h Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min

43. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 43 MULTIPLICACIN. Operar: 06 h 14 min 29 s 5__ 30 h 70 min 145 s 31 h 12 min 25 s 03 h 12 min 25 s ______ 18__ 54 h 216 min 450 s 57 h 43 min 30 s Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s 12 el resultado es: ........................................................ DIVISIN. Dividir: 28d 09h 35min 7 Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s Dividir: 4d 13h 30min 20s 5 El resultado es: ................................................. EJERCICIOS Marcar las respuestas correctas: 1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min 2. Restar 17 h de 12 h 30 min

44. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 44 3. Utilizar los smbolos de acuerdo al ejemplo: Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos 10 h 55 min a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos b) Dieciocho horas y cinco minutos c) Treces horas y media d) Doce horas y media 4. Escribir conforme al ejemplo: Ejemplo: 07 h 15 min siete horas y quince minutos. a) 05 h 45 min b) 18 h 30 min 5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo: Ejemplo: 08 h 480 min 28 800 s a) 05 h 30 min 330 min b) 04 h 10 min c) 02 h 50 min d) 09 h 15 min 6. Desarrollar: a) 05 h 40 min + 03 h 35 min b) 03h 35 min + 02 h 40 min c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min f) 55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s 7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h 30 min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza. 8. Realizar las siguientes sustracciones: a) 18 h 30 min 13 h 15 min b) 12 h 45 min 07 h 30 min c) 04 h 15 min 30 min

45. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 45 d) 03 h 20 min 50 min e) 12 h 07 h 30 min 9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador pudo hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h 45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y el tiempo previsto. 10. Completar el cuadro: 01 min s 01h s 01h min 1d ..................... h 1 semana ..................... d 1 ao ..................... d 1 dcada ..................... aos 11. Colocar el signo igual (=) o diferente () a) 07 h 45 min .................. 07,45 h b) 07, 45 h ... 07 h 27 min c) 12,30 h . 12 h 18 min d) 12 h 30 min . 12,30 h e) 17,15 . 17 h 15 min f) 17 h 15 min . 17,25 h 12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en das y horas (1 da laborable es 8 horas)

46. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 46 13. Una pieza fue fabricada en 4 perodos iguales. Si cada perodo fue de 06 h 50 min, Cul es el tiempo empleado en la pieza? 14. Un instalador hidrulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min, y desde las 13 h hasta las 15 h. Despus de 6 das de trabajo. Cunto debe recibir, si por hora cobra S/. 6? 15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min 16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha trabajado la tercera parte de este perodo, Qu tiempo ha trabajado el segundo obrero? (Trabajan 8 horas diarias) 17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demor 15 d 6 h 30 min. Qu tiempo emplearn en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias? Muy Importante: Sera necesario memorizar las equivalencias de los mltiplos del tiempo, segn esto, numerar la segunda columna de acuerdo a la primera: (1) 1 ao ( ) 30 minutos (2) media hora ( ) 100 aos (3) 3 minutos ( ) 3 meses (4) 1 siglo ( ) 180 segundos (5) 1 bimestre ( ) 365 das (6) 1 trimestre Escribir los meses que tienen 31 das:

47. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 47 Escribir (V) (F), si es verdadero o falso: Febrero tiene 31 das ( ) Un trimestre tiene 3 aos ( ) Un da tiene 24 horas ( ) Una hora tiene 3600 segundos ( ) Un da tiene 1440 segundos ( ) Una semana tiene156 horas ( ) Un ao tiene 4 trimestres ( )

48. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 48 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el da es igual al tiempo transcurrido. Qu hora es? Da = 24 h x24rtranscurrifaltanquehoras xdastranscurrihoras Luego: 85372)24( 5 3 xxxxx Es las 9 de la maana 2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de este periodo. Qu tiempo trabaja Palmira? min9060 min30551 3min301615 mi hdh hd Palmira trabaja 5d 5 h 30 min 3. Un mnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40 min. Cuntos metros recorre por minuto en dicho tramo? 2h 40 min = 160 min 120 km = 120 000 m Recorre por minuto min/750 min160 000120 m m 4. A qu es igual 121 207 segundos? 121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto 2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto 33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto 9 h 40 min 7 s

49. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 49 5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son: Pedro: 15 aos 5 meses 6 das, Marisol: 7 aos 4 meses 8 das Roberto:4 aos 18 das, Cunto suman las tres edades? 15 aos 5 meses 6 das 7 aos 4 meses 8 das 4 aos 18 das 26 aos 9 meses 32 das = 26 aos 10 meses 2 das 6. Un mecangrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. Cunto necesitar para hacer 7 veces ms el mismo trabajo? 3 h 16 min 18 s x 8 24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 ) 1 d 2 h 10 min 24 s 7. En una fbrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos labor 25 d 4 h 35 min. Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h? 25 d 4 h 35 min x 14 350 d 56 h 490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min) 358 d 10 min 8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, despus de 6 d de trabajo se retiran 2 de ellos. Con qu atraso se entregar la obra? xobr hhdobr hdobr 4 78696 6156 (como trascurren 6 d) hdh obr hobr x 514117 4 786 14 d 5 h 9 d 6 h = 4 d 7 h

50. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 50 9. Una persona naci el 15 de setiembre de 1986. En qu fecha cumplir 36 aos 8 meses y 20 das de edad? 1986 aos 9 meses 15 d + 36 aos 8 meses 20 d 2022 aos 17 meses 35 d = 2023 aos 6 meses 5 d 10. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si prosigue su labor a las 15 h 17 min , A qu hora deber acabar su trabajo? 15 h 17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio Hora de inicio 8 h 20 min + Duracin del trabajo 12 h 18 min Refrigerio 37 min 20 h 75 min = 21 h 15 min

51. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 51 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1) Convertir en: a) horas: 312min; 6374 s; 3,2min; 6800min; 22850 s; 415min b) minutos: 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h d) decimals: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s 2) Convertir en: a) grados: 240' ;35' ; 4200; 31,2' ; 0,68' ; 0,42 ; 425' b) minutos: 360 ;38 ;4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86 c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2 ; 0,45 ; 0,012; 15 d) decimales: 64' ; 28; 12627'42 ; 3638'18 ; 42 12' 48 e) , ' , : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75 f) sumar: 1446'+18134+378' + 9 12' 32 3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo a decimales. 4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo para una pieza de trabajo. 5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. Cunto tiempo fue necesario para dar una vuelta?

52. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 52 6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14 12' 56. Para el ajuste se requiere el ngulo en decimales. 7) La suma de los dos ngulos de un triangulo es de 139 37' 4. Calcular el tercer ngulo. PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II. 1. Me despert a las 7 h 32 min 14 s e ingres a Estudios Generales 12 432 segundos despus. A qu hora ingres a estudiar? A) 9 h 59 min 27s B) 7 h 32 min 43 s C) 3 h 29 min 50 s D) 10 h 59 min 26s E) 13 h 2 min 59 s 2. Cada da de lunes a viernes, gan S/. 6 ms de lo que gan el da anterior. Si el viernes gan el quntuple de lo que gan el lunes, Cunto gan el jueves? A) 30 B) 25 C) 28D) 27 E) 24 3. La bajada de una montaa se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si una persona baj desde la cspide en 1 h 56 min y subi a razn de 50 m cada 5 min, Calcular la altura de la montaa? A) 860 m B) 1160 m C) 1450 m D) 950 m E) 1830 m 4. Un elstico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se estira 3 mm, Cunto tiempo despus volver a su estado primitivo? A) 30 s B) 3 s C) 0,3 s D) 5 s E) 4 s 5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, Qu hora es? A) 23 h 25m 51 s B) 23 h 25min 52 s C) 24h 25 min 52 s D) 22 h 32 min 25 s E) 21 h 23 min 35 s 6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 das, En qu fecha se acaba la obra, si la avenida tiene

53. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 53 43 cuadras? A) 05-26 B) 06-26 C) 07-26 D) 04-26 E) 07-25 7. Expresar en das, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s A) 114 d 22 h 07 min B) 360 d 22 h 07 min C) 360 d 20 h 07 min 05 s D) 866 d 20 h 07 min 05 s E) 368 d 22 h 07 min 8. Si a la mitad de los das transcurridos en el ao, se le agrega 1/3 de los que falta para acabarse, se obtiene el nmero de das transcurridos. En qu fecha estamos?. Considerar ao no bisiesto. A) 05-25 B) 05-26 C) 05-27 D) 04-26 E) 04-27 9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos labor 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo. A) 357 d 05 h B) 358 d 40 min C) 358 d 10 min D) 357 d 49 min E) 358 d 06 h 10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, Cunto tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz? A) 3 d 02 h 15 min B) 5 d 01h 40 min

54. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 54 C) 3 d 04 h 40 min D) 4 d 02 h 50 min E) 5 d 01 h 50 min 11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m2 en 05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de 347 760 m2, En cunto tiempo estar listo el barco? A) 11 meses 2 d 01 h 30 min B) 11 meses 15 d 03 h 25 min C) 11 meses 04 d 15 min D) 10 meses 3 d 02 h 10 min E) 11 meses 28 d 10 h 15 min 12. Un cao llena un depsito en dos horas, y estando lleno el desage lo vaca en tres horas. En cunto tiempo se llenar el depsito si se abre el desage dos horas despus de abrir el cao? A) 02 h B) 03 h C) 04 h D) 05 h E) 06 h

55. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 55 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III Medida de tiempo 1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ; lo que efecta en 16 horas y 40 minutos. Qu velocidad debe llevar un segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos despus que el primero, para que alcance a ste en una estacin situada a 156Km. Del punto de partida? a) 20Km/h b) 30Km/h c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h 2. Un caracol sube por una pared, cada da logra ascender un metro, pero cada noche baja 600 mm. Cunto tardar en llegar a lo alto de la pared que mide 10m de altura? a) 22 das b) 23 das c) 24 das d) 25 das e) 26 das 3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12, en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la ltima campanada. Cunto dura la aparicin del fantasma, si adems el reloj tarda 6 segundos en dar las 6? a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg d) 13,2 seg e) 15 seg 4. A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarn en direcciones opuestas? a) 2h 43min 38s b) 2h 23min 38s c) 2h 33min 38s d) 2h 43min 28s e) 2h 43min 18s 5. Qu tiempo tardar un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad de 60 Km/h? a)2,69h b)2h 42min 30s c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s

56. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 56 6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio Cunto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio? a)18min b)36min c)15min d)27min e)24min 7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ,1/3y 1/4 de su casa respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa En que tiempo lo haran? a) 12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13 min 8. Un ladrn arrebata una cartera a una seora escapndose con una velocidad de 8 m/s y la seora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrn ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un polica Qu tiempo demor la fuga del ladrn? a) 32s b)15s c)24s d)18s e)30s 9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantaln y 3 camisas, o dos pantalones y una camisa En cunto tiempo puede confeccionar un pantaln y una camisa? a)3h b) 3h 30min c) 4h d) 4h 30min e) 5h 10. A cunto equivale 3,5 trimestres: a) 3m b) 2m 1d c) 40d d) 1m 15d e) 6m 2d 11. Un padre tiene 30 aos y su hija 3 Dentro de cuntos aos la edad de padre ser el cudruple de la edad de su hija? a)15aos b) 3aos c) 5aos d) 6aos e)10aos

57. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 57 UNIDAD 10 RAZONES Y PROPORCIONES

58. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 58 10.1. RAZN. Es la comparacin que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustraccin o divisin. 10.2. TIPOS DE RAZONES. RAZN ARITMTICA. Es la comparacin de dos cantidades que se obtiene mediante la sustraccin, y consiste en determinar en cunto excede una de las cantidades a la otra. APLICACIONES: 1. Hallar la razn aritmtica de: a) Las edades de Adn y Eva que son de 20 aos y 11 aos. Rpta. 9 aos. b) Los precios de dos artculos son S/. 1,40 y S/. 3,60. Rpta. S/. 2,20

59. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 59 2. La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20 C, si la menor temperatura marca 50 C, cul es la mayor temperatura? Rpta. 70C 3. La edad del padre excede en 24 aos a la edad del hijo, y ste tiene 40 aos. Hallar la edad del hijo. Rpta. 16 aos. 4. La razn aritmtica de dos nmeros es 15, si el menor es 30. Hallar el nmero mayor. Rpta. 45. RAZN GEOMTRICA. Es la comparacin de dos cantidades mediante el cociente. APLICACIONES: 1. La diferencia de dos nmeros es 280 y estn en la relacin de a 3. Hallar el mayor nmero. Rpta. 490. 2. Las edades de dos personas son: 20 aos y 12 aos, En qu relacin estn sus edades? Rpta. 5 / 3. 3. De dos nmeros, cuya razn aritmtica es 19, y su suma es 35. Hallar la razn geomtrica. Rpta. 27/ 8.

60. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 60 4. La razn aritmtica de dos nmeros es 26, y la razn geomtrica es 3. Hallar el menor nmero. Rpta. 13. 10.3. PROPORCIN. Es el resultado de comparar dos razones. 10.4. CLASES DE PROPORCIONES. PROPORCIN ARITMTICA (P.A.) (Equidiferencia). A) PROPORCIN ARITMTICA DISCRETA . Los cuatro trminos de la proporcin son diferentes: a b c d. El 4 trmino (d) de la proporcin se llama: CUARTA DIFERENCIAL.

61. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 61 B) PROPORCIN ARITMTICA CONTINUA. Los trminos medios son iguales. El 3 trmino (c) de la proporcin se llama: TERCERA DIFERENCIAL. MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMTICA b a + c 2 Trminos 1 2 2 3 a b = b c = r PROPORCIN GEOMTRICA (P.G.) (Equicociente). A) PROPORCIN GEOMTRICA DISCRETA. Los cuatro trminos son diferentes: a b c d El 4 trmino (d) de la proporcin se llama: CUARTA PROPORCIONAL B) PROPORCIN GEOMTRICA CONTINUA. Los trminos medios de la proporcin son iguales. El 3 trmino (c) de la proporcin se llama: TERCERA PROPORCIONAL.

62. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 62 ____ MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMTRICA b = a. c 10.5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES. 10.6. ESCALAS GRFICAS. La ESCALA es la razn entre la longitud representada en un plano y la longitud en tamao real.

63. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 63 La ESCALA es una fraccin con numerador unitario. El denominador indica las veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensin real. ESCALA = Longitud en el plano Longitud del tamao real Tamao real =4,50 m Tamao en el plano = 0,09 m REPRESENTACIN. 1 :100 indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real 1/100 indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real 1 indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real 100 PROBLEMAS DE APLICACIN: 1. Cuntos centmetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 750? Rpta. 6 cm

64. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 64 2. En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. Cules son las dimensiones reales del dormitorio? Rpta. 1,5 m.; 2,0 m. 3. La distancia grfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500 es 20 cm. Hallar la distancia grfica en otro plano a Escala 1 : 10 000. Rpta. 5 cm 4. Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades medidas: N ESCALAS DISTANCIA GRFICA DISTANCIA REAL 1 1 : 20 X mm 2,40 m 2 1 : 25 5 cm Y m 3 1 : 50 5 cm Z cm 4 1 : 75 W mm 0,02 km 5 1 : 100 6,5 m P cm 6 1 : 150 4 cm Q km 7 1 : 200 R mm 0,54 m Solucin de la aplicacin, completando el cuadro: N ESCALAS DISTANCIA GRFICA DISTANCIA REAL 1 1 : 20 120 mm 2,40 m 2 1 : 25 5 cm 1 3/8 m 3 1 : 50 5 cm 262,5 cm 4 1 : 75 3 750 mm 0,020 km 5 1 : 100 6,5 m 65 000 cm 6 1 : 150 4 cm 0,006 km 7 1 : 200 27 mm 0,54 m

65. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 65 PROBLEMAS RESUELTOS. 1. La razn de dos nmeros es 6/5, y la suma de dichos nmeros es igual a 33. Cules son estos nmeros? A) 20; 13 B) 18; 15 C) 16; 17 D) 30; 3 E) 16; 13 2. En un concurso de tiro, Antonio acert 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre 90 tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. Quin logr mayor razn de tiros acertados? A) Pepe B) Ricardo C) Antonio D) Igual Antonio y Pepe E)Faltan datos. 3. Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro es de S/. 8. A) 352 B) 216 C) 208 D) 360 E) 192 4. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino respectivamente. Cuntos litros de vino se debe de pasar del primer al segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estn en la relacin de 2 a 3? A) 68 B) 30 C) 80 D) 40 E) 100 5. Cuntos centmetros representa en el papel un puente de 43,20 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ? A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 100 cm 6. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, Cul ser su altura? A) 80 cm B) 40 cm C) 200 cm D) 60 cm E) 100 cm 7. S: A = B = C y A+B=30 Cuanto vale C? 2 8 7 A) 12 B) 18 C) 21 D) 30 E) 42

66. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 66 8. La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la misma relacin que los nmeros 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos nmeros. A) 15 B) 48 C) 60 D) 52 E) 24 9. El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y el producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. Cul es la suma de los consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21? A) 42 B) 90 C) 91 D) 32 E) 62 10. Un empleado ahorra S/. 5 940 por da; si lo que cobra y lo que gasta diariamente est en la relacin de 13 a 7. Determinar en cuntos soles debe disminuir sus gastos diarios para que la relacin entre lo que cobra y lo que gasta sea de 9 a 2. A) S/. 2 035 B) S/. 4 070 C) S/. 5 040 D) S/. 4 505 E) S/. 6 015 SOLUCIN DE LOS PROBLEMAS 1. Sean A y B los nmeros 2. A : Antonio ; P : Pepe ; R : Ricardo

67. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 67 3. Sean A y B las dos partes de la tela 4. 400 X = 2 X=40 Rpta. D 500 + X 3 5. Escala = Longitud en el plano Longitud de tamao real 6. H = altura real del objeto ; X = tamao del objeto en el dibujo 7. A = B = C = k 2 8 7 8. A + B = A B = A x B = k 11 5 144

68. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 68 9. A = C = E = k B D F 10. Sea: C = cobra ; G = gasta ; A = ahorra

69. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 69 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el nmero de patos es a N como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. Cul ser la relacin entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas? A) 4 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 4 D) 3 : 20 E) 2 : 3 2. En una reunin hay 60 adultos, y por cada 5 jvenes hay 7 nios. Luego llegan a la reunin 50 jvenes, 40 nios y cierto nmero de adultos. Cuntos adultos llegaron al final, si los jvenes nios y adultos son ahora proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente? A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190 3. La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. Cunto de dinero tena A al principio? A) S/. 2 800 B) S/. 3 000 C) S/. 3 200 D) S/. 3 500 E) S/. 4 000 4. En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le gan a B por 1/2 vuelta; y B le gan a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta, hallar la fraccin de vuelta con que B aventaja a C.

70. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 70 A) 1 / 4 B) 3 / 16 C) 1 / 5 D) 3 / 8 E) 1 / 8 5. La suma de los cuadrado de los 4 trminos de una proporcin geomtrica continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de extremos es 75. A) 85 B) 55 C) 80 D) 10 E) 20 6. En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino, se extraen 22 litros del contenido y se aade al recipiente N litros de vino para tener finalmente una mezcla cuya relacin es de 1 a 3 respectivamente. Hallar el valor de N. A) 80 B) 60 C) 110 D) 119 E) 120 7. A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56, 7 y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de B, A y C. A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25 8. Cierto nmero de canicas se divide en tres grupos, cuyos nmeros son proporcionales a los nmeros 5, 7 y 11 respectivamente. Si del tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda el doble de lo que hay en el primer grupo, Cuntas canicas hay finalmente en el segundo grupo?

71. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 71 A) 50 B) 54 C) 58 D) 62 E) 64 9. Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B es la media proporcional de 1 y 81. La correcta relacin de orden entre A y B es: A) A < B B) A = B C) A > B D) A +1= R E) A2 < B 10. Se desea preparar una solucin utilizando los componentes lquidos A, B y C en la proporcin de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solucin le faltan 2 litros del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son remplazados por el componente A, siendo la proporcin final obtenida de 2; 3; X. Hallar X. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

72. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 72 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razn directa de 2:3. Calcular las longitudes parciales. 2. El dimetro y la longitud de un eje estn en razn directa de 2:7. El dimetro del eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje. 3. Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud estn en relacin directa de 3:7. Cul es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.? 4. Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo en la proporcin de 1:20 Qu longitud tendrn los lados en el dibujo? 5. La escala de un mapa automovilstico es de 1:500 000. Qu longitud natural corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa? 6. Un trayecto de 2,875 Km de longitud est representado en un mapa con 11,5 cm. Determinar la escala del mapa. 7. Un letrero advierte Pendiente de 5% en 1200 m . Calcular la altitud a superar. 8. El dimetro y la longitud de un cono estn en razn directa de 1:10. Calcular el dimetro correspondiente a la longitud de 150 mm. 9. Una chaveta tiene una razn de inclinacin de 1:20. Qu altura corresponde a una longitud de chaveta de 140 mm?

73. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 73 UNIDAD 11 MAGNITUDES PROPORCIONALES

74. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 74 11.1. MAGNITUD. Es todo aquello susceptible de variacin (aumento o disminucin) y que puede ser medido. 11.2. CANTIDAD. Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor numrico y unidad. MAGNITUD CANTIDAD Tiempo 60 h Longitud 15 m Temperatura 35 C Masa 40 kg 11.3. CLASIFICACIN DE MAGNITUDES. 11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ). Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto ms gasolina se coloque en el tanque, ms soles pagar. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galn sea de S/. 8. GASOLINA (GALONES) PRECIO (S/.) 1 8,00 2 16,00 5 40,00 10 80,00 15 120,00 30 240,00 Al colocar 1 galn de gasolina, se pagar S/. pero, si se colan 15 galones de gasolina, el precio ser 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual a S/. ..

75. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 75 As, si se aumenta la magnitud gasolina, la otra magnitud precio (soles) aumentar el mismo nmero de veces, o sea, las magnitudes varan en el mismo sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud tambin aumentan o disminuyen en la misma proporcin. Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales: Nmero de libros y costo total. Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de libros el costo total ser mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo total ser menor. Adems, se verifica que la razn entre el nmero de libros y el costo total es CONSTANTE, esto es, la razn tiene siempre el mismo valor (0,25). 25,0 4 1 25,0 16 4 25,0 96 24 25,0 12 3 Entonces se puede escribir: 25,0 12 3 96 24 16 4 4 1 Interpretacin geomtrica.

76. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 76 Conclusin. Si: I. La grfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas. II. En cualquier punto de la grfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores correspondiente resulta una constante. III. La funcin de proporcionalidad directa ser: F(X) = K x K: pendiente (constante) 11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P 1 ). Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporcin. Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo empleado en recorrer una misma distancia: Disminuyendo la velocidad del auto, aumentar el tiempo empleado, luego la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo) es siempre el mismo. 90 x 2 = 180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180 VELOCIDAD TIEMPO 90 km/h 2 horas 60 km/h 3 horas 45 km/h 4 horas 36 km/h 5 horas

77. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 77 x K )x(F Se puede finalmente concluir que: Interpretacin Geomtrica: Conclusin. Si: B"I.P.""A" BdevalorxAdevalor Constante Importante: I. La grfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hiprbola equiltera. II. En cualquier punto de la grfica el producto de cada par de valores correspondientes, resulta una constante. III. La funcin de proporcionalidad inversa ser: K: constante PROPIEDADES: I. Si : A D.P. B B D.P. C A D.P. C II. Si: A I.P. B A D.P. 1 B o: A D.P. B A I.P. 1 B

78. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 78 tetanCons dificultadxobra h/dxdasNxeficienciaxobrerosN III. Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante) A K B x C IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante) A x B x C = K

79. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 79 PROBLEMAS RESUELTOS 1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el valor que toma B, cuando A = 34. Resolucin: Se debe plantear: 2 2 1 1 B A B A x 34 3 51 X = 2 2. Del siguiente grfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b) Resolucin: Se debe plantear: 5 3 85 5124 10 b a a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46

80. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 80 Das I.P. Rapidez 3. La magnitud A es I.P. a B , adems cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4. Resolucin: Se debe plantear: 2211 BABA x4166 x = 36 4. El precio de una casa es directamente proporcional al rea e inversamente proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a 65 Km cuesta S/. 135 000. Cunto costar una casa del mismo material, si su rea es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima? Resolucin: k rea distanciaprecio )( ))(( , ( k = constante ) Entonces: 2s (120).)( s (65).000)180( x x = 295 000 5. Si A es el triple de rpido que B. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 das. Cunto tiempo le tomar a A hacerlo slo?. Resolucin: Sea R rapidez: RA = 3 RB (Das) . (Rapidez) = cte Reemplazando valores: ( RA + RB ) x 12 = RA x X ( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X 4 RB x 12 = 3 RB x X Simplificando: X = 16

81. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 81 EJERCICIOS DE REFUERZO Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesin de nmeros directa o inversamente proporcionales: a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1 Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240 b) Valores de magnitud M: 0,4 10 16 13 0,1 2,5 18 Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108 Resolver los ejercicios para fijar lo que estudi sobre magnitudes proporcionales. 1. Observar los ejercicios siguientes y responder: Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4 Valor de magnitud y : 8 20 4 40 100 Cmo se denominan las magnitudes x e y? 2. Completar: Valor de magnitud A : 7 3 5 9 Valor de magnitud B : 28 12 .. .. Cmo se denominan las magnitudes A y B? 3. En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Completar conforme el caso: a) Valor de magnitud y : 10 25 2 . 5 Valor de magnitud z : 20 8 . 4 . b) Valor de magnitud x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7 Valor de magnitud y : 6 9 . . . . . . c) Valor de magnitud A : . . 7 . . . . . Valor de magnitud B : 20 40 35 100 10 8 45 15

82. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 82 d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 ... Valor de magnitud R : 4 . 3 . 240 Corregir respuestas: 1. 5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40 Rpta.: inversamente proporcional. 2. 5 9 20 36 Rpta. directamente proporcional 3. a) 2 50 5 100 4 40 b) 3 72 1,5 207 270 21 c) 4 8 7 20 2 1,6 9 d) 4 24 3 0,5 0,1 11.4. REPARTO PROPORCIONAL. Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos nmeros llamados ndices del reparto; ya sea en forma directa o inversamente proporcional. 11.4.1. TIPOS DE REPARTO. A. REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son proporcionales a los ndices. Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.

83. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 83 Resolucin: Las partes sern: 2k , 3k y 5k las cuales deben sumar 400, entonces: 2 k + 3 k + 5 k = 400 K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40 Suma de ndices Constante de reparto Ahora, damos lo que le toca a cada uno: 2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200 Mtodo Prctico: PARTES D.P. A 2k 400 B 3k + k = 400 = 40 10 C 5k 10k Luego: A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5(40) = 200 Observacin: Si a los ndices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo nmero positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes. Ejemplo: Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los nmeros: 5 ; 3 ; 3 6 8 4 Resolucin: Es conveniente que los nmeros proporcionales sean enteros, entonces buscamos nmeros que estn en la misma relacin que las fracciones; para ello es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los ndices. MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24

84. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 84 10 47 470 K PARTES D.P A : 6 5 x = 20 k 470 B : 8 3 x = 9 k C : 4 3 x = 18 k 47 k Luego las partes sern: A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10) B. REPARTO INVERSO. Recordando que: ( A IP B ) ( A DP 1 ) B Inversamente Directamente Proporcional Proporcional Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a ciertos ndices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas de los ndices: Ejemplo: Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los nmeros de 6 ; 9 y 12. Resolucin: Partes I.P. D.P. A : 6 1 x 36 = 6 k 6 390 B : 9 1 x 36 = 4 k k = 390 = 30 9 13 C : 12 1 x 36 = 3 k 12 13 k Las partes sern: A = 6 (30) = 180; B = 4 (30) = 120; C = 3 ( 30) = 90 24 24 24

85. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 85 C. REPARTO COMPUESTO. Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios grupos de ndices. Recordar: Si: A D.P. B y tambin con C , entonces A D.P. (B x C). EJEMPLO: Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los nmeros: 3 , 5 y 8 e I.P. a los nmeros 4, 6 y 9. Resolucin: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36 Partes D.P. I.P. D.P. A : 3 4 1 3 x 1 = 3 x 36 = 27k 4 4 4 2 225 B : 5 6 1 5 x 1 = 5 x 36 = 30k k = 2225 = 25 6 6 6 89 C : 8 9 1 8 x 1 = 8 x 36 = 32k 9 9 9 89k Las partes son: A = 27 (25 ) = 675 ; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800 REGLA PRCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO Primero : Se convierte la relacin I.P. a D.P. Segundo: Los grupos de los ndices D.P. se multiplican. Tercero : Se efecta el reparto simple directo a los nuevos ndices.

86. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 86 PROBLEMAS RESUELTOS 6. Repartir el nmero 32 en partes D.P. a los nmeros 3, 5 y 8 Resolucin: Partes D.P. A : 3 3 k 32 B : 5 5 k k = 32 = 2 16 C : 8 8 k 16 k Las partes son: A = B = . C = Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16. 7. Repartir el nmero 63 en partes D.P. a los nmeros 2, 3 y 4. Resolucin: Partes D.P. A : . . 63 B : . . k = C : . .. Luego los valores son: A = .., B = , C = Comparar respuestas: 6) A = 3 ( 2 ) = 6 , B = 5 ( 2 ) = 10 , C) = 8 ( 2 ) = 16 DP 7) : 2 2 k . : 3 3 k + k 63 7 : 4 4 k 9 9 k las partes son: A = 2 ( 7 ) = 14 , B = 3 ( 7 ) = 21 y C = 4 ( 7 ) 28

87. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 87 Resolver: 8. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del semestre ste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas, respectivamente. Cunto recibe cada uno? 9. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estao y 2 de zinc. Cuntos Kg. de cada metal sern necesarios para preparar 40 Kg. de esa mezcla? Corregir: 8) Partes I.P. D.P. , MCM ( 3, 5 4 ) = 60 A : 3 1 x 60 = 20 k 3 470 B : 5 1 x 60 = 12 k + k = 470 = 10 5 47 C : 4 1 x 60 = 15 k 4 47 k Las partes sern: A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 ( 10) = 150 9) DP : 5 5 k 40 : 3 3 k + k = 40 = 4 : 2 2 k 10 10 k Las partes son: A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estao C = 2 ( 4 ) = 8 Kg zinc

88. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 88 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que: 3 A es I.P. a B. Si cuando A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2. A) 218 B) 212 C)216 D) 220 E) 228 2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus aos, si un elefante tuviera 360 Kg, entonces su edad sera 32 aos. Cuntos aos tendr sabiendo que pesa 324 Kg? A) 28A, 294 D B) 27A, 280D C) 27A, 294D D) 28A, 292D E) 30 3. El rea cubierta por la pintura es proporcional al nmero de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. Qu rea se pintar con 15 galones? A) 367 B) 300 C) 100 D) 320 E) 120 4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaos son D.P al nmero de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunin. Si la ltima vez gast S/. 1 200; invit a 100 personas y ocup 12 horas. Cunto ahorrar invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas ms? A) 480 B) 230 C) 460 D) 320 E) 485 5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de esta ltima hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75 dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. Cuntas vueltas dar B en 2 horas 30 minutos? A) 36750 B) 17280 C) 46000 D) 32000 E) 48000 6. Repartir 22 270 inversamente proporcional a 5(n + 2) ; 5(n + 4) ; 5(n + 5) . Dar como respuesta la menor de las 3 partes. A) 3675 B) 2300 C) 4600 D) 3200 E) 4800

89. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 89 7. Repartir N directamente proporcional a los nmeros 32 ; 72 ; 162 obteniendo que la media geomtrica de las partes obtenidas es 4/19 de N ms 578. Hallar N. A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800 8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se reparti I.P. a sus edades siendo; 12 ; n ; y 24 aos si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades, el que tiene n aos hubiera recibido los 13/12 de lo que recibi. Calcular el valor de n. A) 13 B) 18 C) 15 D) 16 E) 17 9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las races cuadradas de los nmeros 7,2; 9,8 y 12,8. En cunto excede la parte mayor a la parte menor? A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800 10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los nmeros. ;;; 8 3 3 1 7 3 0,5; indicar una de las cantidades. A) 8000 B) 6720 C) 10000 D) 10 E) 100

90. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 90 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II REPARTOS PROPORCIONALES. En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser proporcionales a ciertos nmeros dados. 1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a sus edades. Si el mayor tiene 23 aos y le han correspondido S/. 184, cunto se llevar cada uno de los otros dos que tienen 15 y 12 aos, respectivamente? 2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2. 3. Se ha encargado a un orfebre el diseo y la fabricacin de un trofeo que ha de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleacin que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. Qu cantidad se necesita de cada metal? 4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y 36000 m2, respectivamente. Cunto ha costado cada parcela? 5. La nmina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un doceavo corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los sueldos de los tcnicos y ocho doceavos a los de los obreros. Qu cantidad corresponde a cada grupo? 6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se necesitan 35,75 kg de algodn. Cunto pesar una pieza de tela de la misma clase que mide 0,95 m de ancho y 120 m de largo? 7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el mismo tiempo. Cunto tardarn, entre los dos ,en llenar un depsito de 540 litros?

91. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 91 8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las traseras, 0,65 m. Cuntas vueltas darn las primeras mientras las segundas dan 2600 vueltas? 9. Una pieza de cierta aleacin metlica contiene 24 g de cobre, 5 g de estao y 15 g de nquel. Si en la fabricacin de una partida de esas piezas se han invertido 84 kg de cobre, Cules son las cantidades de estao y nquel empleadas?

92. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 92 UNIDAD 12 REGLA DE TRES

93. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 93 CONCEPTO Es una de las ms usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o ms magnitudes y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta. 12.1. REGLA DE TRES SIMPLE (R3S). Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos: R3S DIRECTA. Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P). EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la incgnita X. Se plantea as: MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c . Pregunta: b X (D) Como son magnitudes directamente proporcionales se est indicando por (D) y aplicando la definicin se tiene: x b c a Despejando la incgnita X a bc x

94. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 94 REGLAS PRCTICAS. REGLA 1.Una vez planteado se multiplica en aspa; es decir, de se efecta: cbXa .. a bc x REGLA 2. Del planteado la incgnita X es igual al valor que est sobre l, multiplicado por la fraccin a b . X = c. a b EJEMPLO (1): Si 3 limas cuestan S/. 144, Cunto se pagar por 7 limas iguales que las primeras? RESOLUCIN. Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo ser mayor y a menor cantidad de limas el costo ser menor y se plantea: Cantidad Limas Costo (s/.) Supuesto: 3 144 Pregunta: 7 X (D) Aplicando la 2da regla prctica, se tiene: 336 3 7 .144x soles OBSERVACIN: Para aplicar esta regla prctica es necesario que la incgnita se ubique en la segunda fila adems se est indicando con (D) porque son directamente proporcionales. Se coloca de manera diferente como se indica en el planteo

95. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 95 EJEMPLO (2): Esmeralda al comprar 5 revistas gast x soles pero si hubiera comprado 12 revistas el gasto sera S/, 28 ms. Hallar el valor de X. RESOLUCIN. Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N de revistas y el gasto respectivo, el cual se plantea del modo siguiente: N REVISTAS Costo (s/.) Supuesto: 5 X Pregunta: 12 X + 28 (D) En este caso es conveniente utilizar la primera regla prctica por lo cual se multiplica en aspa: 5 (X + 28) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X X = 20 R3S INVERSA. Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P) EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a incgnita X se plantean: MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c Pregunta: b X (I) Por definicin de magnitudes inversamente proporcionales acbx .. b a cx .

96. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 96 REGLAS PRCTICAS: REGLA N 1. Una vez planteado se multiplica en Lnea y stas deben ser iguales, tal como se ha hecho en la solucin anterior. REGLA N 2. Del planteo () la incgnita X es igual al valor que se encuentra sobre ella multiplicado por la fraccin b a ; es decir, se copia Igual como est en el planteo. b a cX . EJEMPLO 3: En qu tiempo 2 albailes pueden hacer un muro, que un albail lo hace en 8 horas? RESOLUCIN. Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son nmero de albailes y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor nmero de albailes se demora menos tiempo y a menor nmero de albailes mayor tiempo, por lo cual se plantea: N albailes Tiempo (horas) Supuesto: 1 8 Pregunta: 2 t ( I ) Para hallar el valor de t se aplica la REGLA N 2: horas4 2 1 .8t EJEMPLO 4: Un mvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X. RESOLUCIN. Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor velocidad demora ms tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P. Se copia Igual como est en el planteo

97. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 97 VELOCIDAD TIEMPO Supuesto: 90 X Pregunta: 120 X - 2 (I) En este caso conviene utilizar la REGLA N 1 y para ello se multiplica en Lnea: 90(x) = 120 (x 2) 3x = 4x 8 8 x NOTA: En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es conveniente aplicar la regla N 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3). En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es conveniente aplicar la regla N 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o multiplicar en lnea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4). Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera. 12.2. REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C). Se plantea cuando intervienen ms de dos magnitudes. MTODO DE SOLUCIN. Existen varios mtodos de solucin pero en este caso vamos a utilizar las reglas prcticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a seguir los siguientes pasos: 1. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema 2. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estn en las mismas unidades. 3. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila (pregunta) los dems incluido la incgnita.

98. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 98 4. La magnitud en la cual se ubica la incgnita se compara con las dems, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es inversamente proporcional con (I). 5. El valor desconocido o incgnita es igual al valor que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual. EJEMPLO (5). Qu rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 das trabajando 9h/d han hecho 21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3 de la misma obra de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12 das de 8 h/d. RESOLUCIN. X% = 60%. %48 5 3 . 14 21 . 9 8 . 16 12 . 6 8 NOTA: Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud nmero de obreros y el rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola magnitud que sera el rendimiento total. Si en un problema se tiene el nmero de das y las horas diarias ambas se multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sera el tiempo. Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra. RENDIMIENTO N OBREROS N DIAS H / D OBRA DIFICULTAD Supuesto 60% 8 12 8 14 5 Pregunta X% 6 16 9 21 3 (I) (I) (I) (D) (D) Igual Igual Igual Diferente Diferente

99. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 99 %48 10 9 . 3 2 %.80% X PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I Resolver los siguientes problemas: 1) 18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20. Cunto cuestan 5 tornillos? 2) Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. Cunto gana por hora? 3) Tres aprendices efectan un trabajo en 2 das Qu parte del trabajo realizan en un da? 4) Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. Cul es la masa referida a la superficie de cinco planchas de magnitudes idnticas? 5) Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg. 6) Una polea de transmisin con un dimetro de 120 mm efecta 1200 revoluciones. Cul es el nmero de revoluciones de la polea accionada de 720 mm de dimetro? 7) Un automvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. Qu trayecto puede recorrer con 40 litros en el tanque? 8) Un automvil recorri 33 km en 12 minutos. Cul era su velocidad de marcha en km/h? RENDIMIENTO TOTAL TIEMPO OBRA 60 % 8 12. 8 2 14..5 10 x % 6 16..9 3 21..3 9 (I) (D)

100. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 100 9) Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones. Cuntos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224 revoluciones? 10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. Cunto tiempo se necesita para vaciar un stano inundado de 2x1, 5 x 3 m? 11) Para la obtencin de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estao Cunto estao es necesario para 122 kg de bronce? 12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. Cuntos remaches roblonan 2 obreros en 4 horas?

101. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 101 PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II. 1) Para recorrer 44 km en 2 horas; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de igual longitud. Cuntos pasos dar para recorrer 33 km en 3h? A) 44000 B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30 2) Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 das. Si 5 hombres aumentaron su rendimiento en un 60 %, en que tiempo terminaron el trabajo? A) 30 B) 26 C) 32 D) 25 E) 40 3) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora. Dentro de qu tiempo marcar la hora exacta? A) 3 das B) 4 das C) 5 das D) 6das E) 7 das 4) Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9 dm de arista. Despus de 320 horas de trabajo.Qu parte de un cubo de 36 dm de arista se habr construido? A) 2 1 B) 4 1 C) 5 1 D) 6 1 E) 3 1 5) Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 das Cuntos obreros ms se necesitarn para hacer el mismo trabajo en las 10 3 partes de ese tiempo? A) 14 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18 6) En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azcar Cuntos litros de agua sern necesarios aadir para que el litro de la mezcla tenga 29 gramos de azcar? A) 8 l B) 9 l C) 10 l D) 11 l E) 20 l 7) Si 8 obreros hacen una obra en 20 das y despus de 5 das se retiran 3 obreros. Cuntos das se retrasar la obra? A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15

102. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 102 8) Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 das para terminar un trabajo.Cuntos das emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias para hacer el mismo trabajo? A)8 B) 18 C) 24 D) 32 E) 34 9) Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.Cunto costar un cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior? A) S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890 E)S/.3 560 10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 das trabajando 10 horas diarias y despus de 8 das se acord que la obra termine 12 das antes del plazo.Cuntos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta que se aumento 1 hora de trabajo diario? A)8 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 das .Si 8 de ellos aumentan su rendimiento en 60%, qu tiempo emplear para realizar la obra. A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 17 12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en 5 das , trabajando 8 h/d Cuntos das tardara este ingeniero en construir 800 metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas ms por da? A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15 13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. Cul sera el importe que se tendra que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las ciruelas se compran a razn de S/. 0.81 el kg. A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI. 8,80 D) S/. 72,90 E) SI. 7,29 14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 das. En ese momento abandonan el trabajo cinco obreros. Cuntos das tardarn en terminar el trabajo los obreros que quedan? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 % ahorrara 2 horas. En qu porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una hora antes? A) 100% B) 15% C) 20% D) 25 E) 40%

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