matematica 1ro de bachillerato.pdf

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA

CONTINENTAL Acuerdo Ministerial Numero N 3701

Matemtica Primer Ao de Bachillerato Pgina 1




PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1: Funciones Lineales

FICHA N1: Funcin Matemtica

OBJETIVOS:

Fomentar el anlisis y evaluacin de las

funciones matemticas, adems interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio

campo de las Funciones.

Destreza de Criterio de desempeo:

Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficacin de funciones lineales.

Aplicacin de teoremas de evaluacin funcional.

Objetivo Educativo.

En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones

lineales y otros tipos para resolver problemas econmicos, administrativos y de la vida misma.

El conocimiento de sus caractersticas y comportamiento nos permite

tomar decisiones importantes.

Una funcin, en matemticas es el trmino usado para indicar la relacin

o correspondencia entre dos o ms cantidades. El termino funcin fue

usado por primera vez en 1637 por el matemtico francs Rene

Descartes. (1596 1560).

En una funcin se asocian dos variables x e y tal forma que al asignar un valor a x entonces, por

alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a y es una funcin

(univoca) de x.




La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la

variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de

x constituye el dominio de definicin de la funcin y los valores que toma x constituye su recorrido

x y

Dominio Recorrido.

Una funcin es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)

Ejemplo

x y

Si es una funcin, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen

(Correspondencia) en el conjunto de llegada.

X y

Dominio Recorrido

1 2 3

4

55

55

5

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d




No es una funcin pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen

(correspondencia) en el conjunto de llegada

X y

Dominio Recorrido

FUNCIONES LINEALES

Es aquella relacin de correspondencia que define como grafica una lnea recta cuando es representado

en el plano cartesiano. Su forma caracterstica es

() = +

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta y

b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinacin de la

recta y cuando cambiamos b desplazamos la lnea arriba o abajo.

Ejemplo

Graficar la funcin () = 2 3

La grafica nos confirma lo que dice la ecuacin que la pendiente de la recta es 2, mientras que el punto

de corte con el eje vertical es -3.

()

-2 -7

-1 -4

0 -3

1 -1

2 1

1 2 3

4

a b c

d




FICHA N 1

INVESTIGO N 1

1. Escribir una definicin de Funcin.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

2. Cul es el Dominio y el Recorrido de una funcin.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

3. Identifique en la siguiente ecuacin la pendiente de las lneas rectas y el punto de corte. Con el

eje de las ordenadas.

() = 4 2

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

4. Dibujar la grfica de la siguiente ecuacin e identificar la pendiente y el punto de corte con el

eje y. Encuentre las coordenadas. () = 2

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________




FUNCIONES

GLOSARIO N 1

Escribir las definiciones correspondientes.

Funcin:

Dominio

Recorrido

Contra dominio:.

Pendiente..

Escriba 5 palabras no asimiladas en la leccin con su respectivo significado.

RESUMO N 1

Complete el siguiente mapa conceptual.

F. lineales F. Cuadrticas




CUESTIONARIO N 1

Identificar si los siguientes grficos corresponden a una funcin, argumentar la respuesta en cada

caso.

x y

Dominio Recorrido

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dibujar las grficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de

corte con el eje y.

a. () = 2 3

b. () = 1

c. () = 2 3

d. () = + 5

e. () = 3 5

Firma del Profesor Calificacin Firma del Estudiante

1 2 3

4

a b c

d




BLOQUE 1:

Funciones Lineales

FICHA N2: Evaluacin de Funciones

OBJETIVOS:

Fomentar el anlisis y evaluacin de las funciones matemticas, adems interactuar con los

teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.


Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficacin de funciones lineales.

Aplicacin de teoremas de evaluacin funcional.

Objetivo Educativo.

Evaluar numricamente una funcin es encontrar el valor de la funcin para un valor numrico de sus variables. Si la funcin se escribe como (x), la funcin evaluada para una valor numrico, por ejemplo 6, se escribe (6). Para realizar la evaluacin se sustituye el valor numrico en cualquier parte de la funcin en que aparezca la variable y se realizan las operaciones aritmticas necesarias. Ejemplo. Evaluar la funcin

(x) = x4+ x3- 11x2- 9x + 18 cuando el valor numrico de x es 4.

(4) = 44 + 43 - 11(4)2 - 9(4) + 18

(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18 (4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18 (4) = 126




Cuando una funcin se evala para un valor determinado del dominio, significa que dicho valor se puede sustituir por la literal x que forma a esa funcin. El valor de y (contra dominio o imagen) se denomina f(x) cuando el dominio est formado por dicha letra x; por tanto, en una pareja ordenada el dominio es el primer valor y el contra dominio el segundo. Es decir: (x, y). Ejemplos

Consideremos f(x)=2x26x+8, si queremos evaluar f(a) quedara: f (a)=2a 2 6a+8 As mismo, para f(p) tenemos:

f(p)=2p2 6p+8 Para f(2x3) el resultado sera:

f(2x3)= 2(2x3)26(2x3)+8

= 2(4x212x+9)12x+18+8

= 8x224x+1812x+18+8

f(2x3)= 8x2 36x + 44

Como podemos observar, en todos los casos el valor de x fue sustituido por el valor con el que se quiere evaluar la funcin.

Encontremos f(2) si f(x)=4x38x2+9x 8

Evaluando tenemos:

f(2)= 4(2)3 8(2)2+ 9(2) 8

f(2)= 4(8) 8(4) + 18 8

f(2)= 32 32 + 18 - 8

f(2)=10




LECCIN N 2

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: __________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N 2

1. Escribir una definicin de evaluacin de una Funcin.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

2. Cul es el Dominio y el Recorrido de una funcin. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

3. Identifique que se debe hacer para realizar una evaluacin de una funcin

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

4. Investiga sobre el valor numrico.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________




RESUMO N 2

Complete el mapa conceptual.

EVALUACION DE UNA FUNCION

Evaluar numricamente Valor numrico

GLOSARIO N 2

Evaluar:................... Dominio.... Recorrido Valor:...... Valor numrico Escriba 5 palabras no asimiladas en la leccin con su respectivo significado. ..




CUESTIONARIO N 2

Evala las siguientes funciones con respecto a lo que se pide y escribe aqu el resultado.

1. f(x)= 2x2 + 8x 4, Calcular f(3).

2. f(x)=4x310x2+8x8, Calcular f(2x8).

3. f(x)=12x5+4x45x3+ 3x 23x +1, Calcular f(1).

4. f(x)=6x7+8x57x33x+12, Calcular f(2).

5. f(x)=6x212x+6, Calcular f(1x7).






FICHA N3:

Dominio de una Funcin

OBJETIVOS:

Reconocer los dominios e intervalos de una funcin, mediante sus anlisis correspondientes

determinar sus pociones crecientes y decrecientes.


Reconocer los intervalos de una funcin.

Aplicacin de teoremas de los dominios funcionales.

Analizar los recorridos de las funciones lineales.

Objetivo Educativo.

Se llama dominio de definicin de una funcin al conjunto de los valores al conjunto de valores de las variables independientes x para los que existe la funcin, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente.

Para calcular el dominio de la funcin hay que hacer todas las consideraciones para definir el o los intervalos de los valores que pueden adoptar la variable independiente. El todo los casos el intervalo que represente el dominio de funcin siempre ser el menor subconjunto de todos Ejemplo: Determine el dominio de la siguiente funcin:

f(2)= 4(2)3 8(2)2+ 9(2) 8

f(2)= 4(8) 8(4) + 18 8

f(2)= 32 32 + 18 - 8

f(2)=10




El nico valor que no puede tomar la variable independiente es 2, porque en tal caso el denominador de la fraccin se hara cero, y como sabemos no existe la divisin por cero por esto hay que restringir este valor es todos los nmeros reales (R) que si puede adoptar, por tanto:

Recorrido de una funcin.

El recorrido de una funcin es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algn valor de la variable independiente. Cuando el dominio de la funcin ha sufrido alguna restriccin en los reales, el recorrido automticamente aumentara adopta valores determinados. Un mtodo clsico de calcular el recorrido de una funcin es el de despejar de la variable dependiente y en esa expresin analizar la variable dependiente como si se tratara de encontrar el dominio.

Dominio y recorrido

El dominio de una funcin es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la grfica de la

funcin, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio

usualmente estn asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical

(el eje y).

Ejemplo:

Determina el dominio y el recorrido de la funcin f cuya grfica es:

La funcin f(x) = x + 1 es una funcin creciente en los nmeros reales.




LECCIN N 3

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N 3

1. Establece una semejanza y diferencia entre dominio y recorrido de una funcin. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

2. Que es el despeje de una variable. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

3. Investiga que se refiere funcin definida a trazos. Elabora un ejemplo: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________




RESUMO N 3

Completar el cuadro sinptico.

Dominio de una funcin

Dominio Recorrido

es

es

Ejemplos

GLOSARIO N 3

Punto de llegada: Punto de salida

Intervalo cerrado Intervalo abierto: Punto de corte..

Escriba 5 palabras no asimiladas en la leccin con su respectivo significado. ..




CUESTIONARIO N 3

Encuentre el dominio y el recorrido de la funcin:

1. () = 4 5

2. () = 2 4

3. () = 2 1

4. () = 3 + 1





BLOQUE 1: Funciones Lineales:

FICHA N4: Intervalos De Funciones

OBJETIVOS:

Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo anlisis,

aplicando mtodos numricos.


Determinacin de las funciones crecientes.

Determinacin de funciones decrecientes.

Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.

Objetivo Educativo.

Una funcin es una relacin entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un nico valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras:

a. Mediante una expresin matemtica, ecuacin o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la

funcin. c. Como proposicin: una descripcin por comprensin de lo que hace la funcin. d. Mediante una representacin grfica.

Algunas actividades corporales tales como el sueo, el ritmo cardaco y la locomocin son funciones biolgicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. As tambin en la vida cotidiana los modelos de funcin han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenmenos, tanto de la vida cientfica como de la vida social. La funcin exponencial, por ejemplo, explica y predice fenmenos de crecimiento de bacterias o del fenmeno de desintegracin radiactiva. Igualmente la funcin exponencial puede reflejar el crecimiento de la poblacin.




Una funcin es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la funcin toma su sentido creciente dese el punto de anlisis. Del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la grfica de una funcin estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambin nos movemos hacia arriba:

Funcin creciente en un intervalo

Una funcin es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Funcin estrictamente decreciente en un intervalo

Una funcin es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la grfica de una funcin estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambin nos movemos hacia abajo:




Funcin decreciente en un intervalo

Una funcin es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de intervalo, y , se cumple que: Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un nico elemento del recorrido, entonces es funcin.

A cada elemento del dominio le corresponde un nico elemento del recorrido, por lo tanto es funcin.

No es funcin, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.




LECCION N4

NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO N 4

Establece una diferencia entre funcin creciente y decreciente. ______________________________________________________________________________

Que condicin se debe cumplir para que una funcin sea creciente. ______________________________________________________________________________

Que condicin se debe cumplir para que una funcin sea decreciente. ______________________________________________________________________________

GLOSARIO N 4

Funcin: Creciente:. Decreciente: Intervalo:.. Punto de corte.. Escriba 5 palabras no asimiladas en la leccin con su respectivo significado.

...




RESUMO N 4

Creciente Decreciente

es

es

ejemplos

CUESTIONARIO N 4

Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa grficamente:


FUNCION





FICHA N5: Rectas y Pendientes

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano

cartesiano, adems verificar la direccin de recta en funcin de la pendiente.


Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

Determinar la monotona de una funcin lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha funcin.

Objetivo Educativo.

Se denomina pendiente de la recta la inclinacin de un elemento respecto de la horizontal. La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, se representa con la letra m y est definido como el cambio o variacin en el eje y dividido por el respecto cambio en el eje x entre dos puntos de la recta. La pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma la recta con la direccin positiva de eje OX. Pendiente dado el ngulo

Pendiente dado el vector director de la recta Pendiente dados dos puntos




Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece

al crecer el ngulo.

Calculo de la pendiente de la recta: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).

Escribir su ecuacin punto pendiente.

Hallar la ecuacin de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). Hallar la ecuacin de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinacin de 45.

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.




RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando el ngulo que forman entre ellas es de 90.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Para que el producto de las dos pendientes de dos lneas rectas sea igual a -1 una de ellas debe ser inverso negativo de la otra y viceversa Ejemplo:

Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 3) y (-3,-2) y compararla con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,3) y (0,5).

1 = 2 2 = 3 1 = 3 2 = 2

=2 12 1

=(2) (3)

(3) (2)

= 1 2 = 1

5 (0,5)

4

3 (2,3)

2

1

-3 -2 -1 1 1 2

-2

(-3,-2) -




LECCION N5

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N5

Escriba en que caso se dice que dos rectas son perpendiculares: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Escriba que significa la pendiente de una recta. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Sintetizar como se calcula la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

GLOSARIO N5

Pendiente. Rectas Paralelas Rectas perpendiculares... ngulos:. Variacin

Escriba 5 palabras no asimiladas en la leccin con su respectivo significado. ...




RESUMO N5

Pendiente de una Recta

Concepto Rectas paralelas

es es

Formulas




CUESTIONARIO N5





BLOQUE 2: lgebra y Geometra

FICHA N6: Progresiones

OBJETIVOS:

Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemticas, y el

entendimiento de las mismas para su correcta aplicacin.


Reforzar los conocimientos anteriores.

Interpolar medios geomtricos.

Resolver ejercicios de suma con progresiones geomtricas

Objetivo Educativo.

INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS

Interpolar m medios geomtricos entre dos nmeros a y b consiste en incluir m trminos entre dichos nmeros y formar una progresin geomtrica de m+2 trminos.

Es decir a. ..b




Medios entre a y b

Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razn (r) geomtrica y luego formamos la

progresin geomtrica, la frmula es:

= 1

+1

= .

= .

=

=

Ejemplo:

Interpolar 3 medios geomtricos entre 1

4 4

DATOS:

= =

= =

= 1

+1

= 41

4

3+1 = 16

4 = 2

Escribimos la progresin geomtrica:

1

4,

, , , 4.

3 medios geomtrico

SUMA DE LOS TRMINOS DE UNA PROGRESIN GEOMTRICA.

Si tenemos la sucesin de 2, 6, 18, 54..

La suma de los 4 trminos es: 4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80




Para sumar los 100 primeros trminos resulta molesto, para simplificar la suma de trminos

podemos utilizar una frmula:

=1(1

)

1 =

1 1

Ejemplo:

Hallar la suma de los 7 primeros trminos de. 10, 30, 90, .

: =? = =? = ?

Desarrollo:

Calculamos r: = =

Calculamos S:

=1(1

)

1 ; =

10(1 37)

1 3 ; =

10(2186)

2 ; = 10930




LECCION N6

INVESTIGO N6

Que es INTERPOLAR medios geomtricos.

______________________________________________________________________________

Escriba la frmula para calcular los medios geomtricos.

______________________________________________________________________________

Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n trminos.

______________________________________________________________________________

Escriba las frmulas para determinar la suma de n trminos.

______________________________________________________________________________

GLOSARIO N6

Busque el significado de las siguientes palabras:

Interpolar:

Medios geomtricos:..

Trminos:.

Serie:

Expresin:..

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




Proceso


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESUMO N6

Interpolacin de medios Suma de n trminos

Proceso es es

Formula Formula




CUESTIONARIO N6

Determine la solucin de las siguientes series de progresiones.

1. Interpolar 3 medios geomtricas entre 6250 y 10

2. Interpolar 4 medios geomtricos entre11

2

16

81

3. Calcular la suma de. 54, 18, 62

27

4. Calcular el dato que falta:

a. 1 = 1 7 = 64 =? =?

b. 1 = 2 = 162 = 3 =

c. = 54 1 =2

9 =? = ? = 80

8

9

d. 6 = ? 1 = 3 = 2 =?






FICHA N7: ECUACIN DE LA

RECTA

OBJETIVOS:

Determinar la funcin de una recta en el plano cartesiano y poder representar grficamente, al

igual que la determinacin de la pendiente y su sentido de inclinacin.


Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuacin escritas en sus diferentes formas

Graficar una recta, dada su ecuacin en sus diferentes formas.

Objetivo Educativo.

Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (1, 1), que tiene como

ecuacin la siguiente expresin

1 = ( 1)

= 1 + 1

= + (1 1)

Siendo la pendiente y las coordenadas (1, 1) valores reales, entonces la expresin (1, 1)

tambin es un valor real que lo nombraremos con b , entonces la ecuacin queda expresada

de la siguiente manera:

= +

En esta forma como ya vimos m es la pendiente y b es la ordenada de interseccin de la

recta con el eje vertical. Ejemplo:




Hallar la ecuacin reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) (1, 3) y

comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical (-1,-3).

4

3

2 (2,3)

1

-3 -2 -1 1 1 2

-2

Determinacin.

=21

21 =

3(3)

2(1) =

3+3

2+1 =

6

3= 2

Escribimos la ecuacin punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los

parmetros:

3 = 2( 2)

3 = 2 4

3 = 2 1

Y-3+2=2x

y=2x+1

= 2 = 1




ECUACIN GENERAL DE LA RECTA:

Tomemos como referencia la misma recta anterior:

= ( )

3 = 2 4

0 = 2 4 + 3

=

Realicemos esta expresin con la frmula de la ecuacin general de la recta:

+ + =

En donde:

= 2 = 1 = 1

=

=

Comprobemos las relaciones en la ecuacin estudiada:

=

= 2

(1)= 2

= (1)

(1)= 1

GRAFICA DE LA ECUACIN REDUCIDA DE LA RECTA

Conociendo el significado de cada elemento de la ecuacin de reducida de la recta , la

elaboracin de la grfica se facilita de manera significativa. Ejemplo:

= 2 6




En esta ecuacin observamos lo siguiente:

1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio.

2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6.

3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se

obtiene cuando y = 0

= 2 6

= 0, :

0 = 2 6

2 = 6

= 6

2= 3

Estos parmetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisin:

Hallar la ecuacin reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) (1, 3) y

comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.

GRAFICA DE LA ECUACIN GENERAL DE LA RECTA.

De manera anloga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuacin de

general de la recta, la grfica es igual de sencilla:

Ejemplo:

Graficar la recta 2 3 6 = 0

Igualmente de esta ecuacin podemos deducir lo siguiente:

1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuacin es creciente en tanto que su

dominio:

= 2 = 3 = 6

=

=

2

3=

2

3

2. La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3

=

=

6

3= 2




3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula as:

=

=

6

2= 3

= 2 6

=

-

4

3

2

1

-3 -2 -1 -1 1 2 3

-2

Corte en el eje horizontal (3) -3

Corte eje vertical (-2)




LECCIN N7

INVESTIGO N7

Escribir el significado geomtrico de m y b de la ecuacin reducida de la recta.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuacin reducida.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuacin general:

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




Formula

Es

RESUMO N7

Complete el siguiente mapa conceptual.

Ecuacin reducida de la recta Ecuacin general de la recta

Proceso es

GLOSARIO N7

Ecuacin reducida:

Decreciente.

Punto de interseccin horizontal.

Punto de interseccin vertical..

Abscisa..





______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

CUESTIONARIO N7

1. Hallar la ecuacin reducida de la recta que pasa por el punto (3, 5) y es paralela a la recta = 2 + 2

2. Encuentre la pendiente y el punto de corte con el eje vertical de la recta2 3 + 6 = 0.

3. Escriba la ecuacin reducida y general de la recta que pasa por los puntos (2,5) (4, 3)






FICHA N8: ECUACIONES LINEALES

OBJETIVOS:

Plantear sistemas de ecuaciones lineales y determinar soluciones aplicando diversos mtodos

de solucin analizados a continuacin


Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la grfica y analtica.

Plantear sistema de ecuaciones lineales.

Optimizar el medio de solucin del sistema de ecuaciones.

Objetivo Educativo.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES

Un sistema es un conjunto de ecuaciones agrupadas con la finalidad de buscarles una solucin

comn. Las coordenadas del punto de corte o interseccin entre dos lneas rectas, constituye la

solucin al sistemas planteado.

SISTEMAS CONSISTENTES E INCONSISTENTES:

Sistema Consistente Sistema inconsistente




= 3

Un sistema consistente, cuanto tiene solucin, es decir, las rectas se intersectan en un punto que tiene

coordenadas reales. Un sistema, inconsistente cuando no tiene solucin, es decir, que las rectas no se

intersectan en ningn punto.

Para poder resolver un sistema de ecuaciones se debe cumplir con una condicin bsica y elemental:

El nmero de ecuaciones debe ser igual al nmero de incgnitas presentes en el sistema

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen varios mtodos como el de reduccin,

sustitucin, igualacin, a travs de la regla de Kramer y tambin se puede resolver de manera

grfica aunque no es tan confiable.

MTODO DE REDUCCIN

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas, por el mtodo de

reduccin, se recomienda los siguientes pasos:

1. Se prepara las dos ecuaciones, multiplicndola por el nmero que convenga. La idea es igualar

los coeficientes de una misma variable pero con signo contrario para poderlas suprimirlas.

2. Restamos o suprimimos los trminos igualados, y de esa manera desaparece una de las

incgnitas.

3. Se resuelve la ecuacin resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y luego se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituye la solucin del sistema.

Ejemplo:

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2 3 = 5 (1)

+ 2 = 8 (2)

En este caso es mejor igualar los coeficientes de x, para ello la ecuacin (2), se multiplica por (-2) y de

esa manera est lista para reducirse.

2 3 = 5

+ 2 = 8 (2)




En la primera ecuacin.

2 3 = 5

2 3(3) = 5

2 = 9 5

=4

2

X=2

MTODO DE SUSTITUCIN:

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas, por el mtodo de sustitucin, se

recomienda los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las variables o incgnitas en cualquiera de las incgnitas, en lo posible

despejar la variable del trmino cuyo coeficiente sea uno.

2. Una vez despejada la variable, remplazar esta expresin en la otra ecuacin, de esta manera se

obtiene una tercera ecuacin. Con una sola incgnita.

3. Se despeja la variable y se remplaza en la tercera ecuacin para hallar el valor de la incgnita

resultante.

Ejemplo:

2 3 = 5

+ 2 = 8

En este caso lo mejor es despejar la variable de la segunda ecuacin por tener al uno como

coeficiente.

En la segunda ecuacin.

+ 2 = 8

= 8 2

Reemplazamos la variable despejada en este caso la x

2(8 2) 3 = 5

16 4 3 = 5




= 3

x= 2

Resolvemos la funcin.

7 = 5 16

y =21

7

Finalmente reemplazamos en valor obtenido, en este caso obtuvimos el valor de y.

= 8 2(3)

= 8 6




LECCION N 8

INVESTIGO N 8

Sintetizar el mtodo de reduccin para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sintetizar el mtodo de sustitucin para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

RESUMO N 8

. Elabore un mapa conceptual sobre el sistema de ecuaciones lineales: mtodo de

reduccin y el mtodo de sustitucin.

5.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N 8

Sistema es:

Ecuaciones:

1.

Rectas de interseccin.

1.

Rectas paralelas es:

1.

Igualdad es:


6.




CUESTIONARIO N 8

1. Determine el resultado de los valores de y y de x en el siguiente sistema de

Ecuaciones lineales por el mtodo reduccin: Seale la respuesta

2 3 = 19

+ 5 = 27

( )1 = 2 = 5 ( )1 = 12 = 5 ( )1 = 3 = 2

2. Determine el resultado de los valores de (y) y de x en el siguiente sistema de

Ecuaciones lineales por el mtodo sustitucin: Seale la respuesta

+ 3 = 8

+ 2 = 1

( )1 = 13 = 7 ( )1 = 13 = 7 ( )1 = 7 = 1

3. Determine el resultado de los valores de yy de x en el siguiente sistema de

Ecuaciones lineales por el mtodo sustitucin: Seale la respuesta

+ 3 = 8

2 + 3 = 7

( )1 = 1 = 2 ( )1 = 3 = 2






FICHA N9: Intersecciones y Determinantes

OBJETIVOS:

Dar solucin al sistema de ecuaciones mediante mtodos grficos que analizaremos en esta

leccin, fomentar el desempeo grfico y desarrollo del pensamiento.


Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la grfica y analtica.

Resolver un sistema de ecuaciones por el mtodo de determinantes.

Objetivo Educativo.

Entonces x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una divisin de determinantes, de

la siguiente manera:

Literalmente planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y planteamos la siguiente

matriz, que nos permitir determinar los valores de X y Y.

+ = + =




Para mejor entendimiento realizamos una demostracin con un sistema de ecuaciones de dos

incgnitas.

Ejemplo:

Resuelva el sistema anterior para comprobar la validez del mtodo:

{2 + 3 = 1 (1)2 = 3 (2)

=

|1 3

3 1

|

|2 3

2 1

|

=1(1) (3)(3)

2(1) 3(2)=

1 9

2 6 =

10

8 =

=

|2 1

2 3

|

|2 3

2 1

|

=2(3) (1)(2)

2(1) 3(2)=

6 2

2 6=

4

8 =

El mtodo es Vlido.

MTODO GRAFICO

Habamos determinado que las ecuaciones lineales rectas pueden ser representadas en el plano

cartesiano, entonces las coordenadas del punto de corte o interseccin entre dos lneas rectas,

constituye la solucin del sistema planteado:

Ejemplo:

Resolver grficamente el siguiente sistema:

{3 = 6 (1)

2 = 5 (2)

Usaremos la grfica que se obtiene a travs de la ecuacin general de la recta.

3 6 = 0 = 3 = 1 = 6

=

=

(6)

(1)= 6




=

=

(6)

(1)= 2

En (2)

2 = 5

= 1 = 2 = 5

=

=

(5)

(2)=

5

2

=

=

(5)

(1)= 5

El punto de interseccin entre ellas corresponder la solucin del sistema:

Para comprobar analticamente el resultado, las

coordenadas del punto de corte deben satisfacer las

ecuaciones del sistema.

. (1, 3)

()

=

() () =

+ =

()

=

+ =




LECCION N 9

INVESTIGO N 9

Investigue sobre el mtodo de Gabriel Cramer

7.

RESUMO N 9

Elabore un mapa conceptual sobre de la aplicacin del mtodo de Cramer:

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N 9

Sintetizar es: _________________________________________________________________

Ecuacin: ______________________________________________________________

Paralelos. ______________________________________________________________

Rectas paralelas es: _______________________________________________________

Interseccin:____________________________________________________________


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CUESTIONARIO N 9

Determine los valores de X y de Y en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el mtodo Cramer. Seale la respuesta

{2 3 = 19 + 5 = 27




Determine los valores de X y de Y en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el

mtodo Cramer:

{ + 3 = 8 + 2 = 1

( )1 = 13 = 7 ( )1 = 13 = 7 ( )1 = 7 = 1

Responda falso o verdadero:

El mtodo ms adecuado para resolver una ecuacin lineal es de sustitucin.

Con el mtodo de sustitucin es posible que existan dos soluciones para un sistema de

ecuaciones lineales.

Es posible que existan dos soluciones para un sistema de ecuaciones lineales con tres

incgnitas.

Con el mtodo de Cramer es posible que existan seis soluciones para un sistema de

ecuaciones lineales con tres incgnitas.






FICHA N10: Modelado de Sistemas de

Ecuaciones.

OBJETIVOS:

Analizar problemas que ameriten una solucin mltiple por los mtodos analizados

anteriormente, aplicacin de las herramientas de solucin para los sistemas de ecuaciones.

Destreza de Criterio de desempeo

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la grfica y analtica

Plantear un sistema de ecuaciones lineales

Determinar soluciones al sistema de ecuaciones lineales

Objetivo Educativo.

Resolver un problema implica trasformar un enunciado en un modelo matemtico; el proceso no es fcil pero con un poco de prctica y cierta metodologa se facilita el proceso de resolucin-

Comprensin del enunciado:

Constituye la parte fundamental para iniciar la construccin del modelo matemtico, es importante,

mientras se lee, identificar lo que se desea averiguar y con esto viene implcito lo identificacin de las

variables

Modelo matemtico:

Significa traducir el problema en una o varias ecuaciones que tengan un

planteamiento lgico y consistente.




Ejecucin del modelo:

Aqu se aplica todos los mtodos aprendidos para la resolucin del modelo matemtico. Es fundamental

comprobar los resultados despus del proceso.

Ejemplo:

Mara ha comprado 2 pantalones y cinco camisas en $ 160 dlares En este problema est claro que se

desea investigar el valor de cada artculo, sabiendo que su prima en el mismo almacn pago $ 130

dlares por 3 pantalones y 2 camisas?

Comprensin del enunciado

En este problema est claro que se desea investigar el valor de cada artculo y a travs de una simple

comparacin de precios, sin duda cada mujer ha comprado diferente cantidad de artculos sabiendo que

el precio de los mismos no ha cambiado, puesto que el problema dice que fueron adquiridos en el

mismo almacn.

Modelo matemtico.

Para el modelo matemtico, usaremos p para identificar la variable pantalones y c para la variable

camisas.

Lo que compro Mara:

2 + 5 = 160

Lo que compro la prima:

3 + 2 = 130

Con estos datos podemos ya plantear el modelo matemtico a trasvs de un sistema, puesto que se

tiene dos incgnitas y dos ecuaciones:

{2 + 5 = 1603 + 2 = 130

Ejecucin del modelo: Apliquemos reducciones para resolver el sistema:

Cada camisa costo $20 dlares

y $30 dlares cada pantaln.

Estos valores satisfacen las

ecuaciones del sistema.




LECCION N 10

INVESTIGO N 10

8. Investigue sobre el proceso para la solucin de ecuaciones lineales con dos incgnitas y

poner un ejemplo:

9.

RESUMO N 10

Elabore un mapa conceptual sobre la solucin de problemas:

10.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N 10

Compresin:

Modelo matemtico:

2.

Enunciado.

2.

Ejecucin del modelo:

2.

Ecuacin lineal:


11.




CUESTIONARIO N 10

EN LOS SIGUIENTE PROBLEMAS SEALE CON UNA X LA RESPUESTA SEGN DONDE

CORRESPONDA:

1. Carlos y Jos fueron a pescar. Al fin del da Carlos dijo si t me das uno de tus peces, entonces yo

tendr el doble que t. Jos le respondi: Si t me das uno de tus peces, yo tendr el mismo nmero

de peces que t. Cuntos peces tenan cada uno al final del da.

( )1 = 13 = 7 ( )1 = 13 = 7 ( )1 = 7 = 1

H

2. La diferencia de dos nmeros es 14 y 1

4 de su suma es 13. Hallar los nmeros.

( )1 = 33 = 19 ( ) = 12 = 5 ( ) = 3 = 2




3.6 libras de caf y cinco libras de azcar costaron $ 2, 27 y 5 libras de caf y 4 libras de azcar

(a los mismos precios) costaron $ 1.88. Hallar el precio de una libra de caf y una de azcar.

( ) = 33 = 19 ( )1 = 32 = 7 ( ) = 3 = 2





SEGUNDO QUIMESTRE

BLOQUE 3: MATEMTICA DISCRETA

FICHA N11: SISTEMAS

TRIDIMENSIONALES

OBJETIVOS:

Analizar problemas que ameriten una solucin mltiple por los mtodos analizados

anteriormente, aplicacin de las herramientas de solucin para los sistemas de ecuaciones.

Destreza de Criterio de desempeo

Resolver un sistema de dos ecuaciones con 3 3 en funcin a las reglas establecidas. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la grfica y analtica

Plantear un sistema de ecuaciones lineales

Objetivo Educativo.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3x3

Estos sistemas se caracterizan por tener tres incgnitas, por lo tanto se necesitarn al menos

tres ecuaciones para poder resolverlos. Para solucionar estos sistemas se usan de forma

pormenorizada los mismos mtodos usados en los sistemas anteriores, usando siempre una de

las ecuaciones como enlace entre las otra dos.

El a nuestro alrededor es tridimensional a simple vista, pero en realidad hay ms dimensiones,

por lo que tambin puede ser considerado un espacio tetra-dimensional si incluimos

el tiempo como cuarta dimensin.




Para mejorar el entendimiento resolvemos el sistema tridimensional de ecuaciones.

Ejemplo:

Nombramos a las ecuaciones como se indica.

{ + 3 = 10

2 + 3 = 12 + 2 = 7

Con (1) y (2)

(1) (2) (3)

+ 3 = 10 2 + 3 = 12

. (1)

+ 3 = 10 + 2 3 = 12

. 5 4 = 17

Con (1) y (3)

+ 3 = 10 + 2 = 7

. 4 3 = 17

Con (4) y (5)

5 4 = 22 (4)

4 3 = 17 (5)

20 + 16 = 88 20 15 = 85

. =

Como vemos se ha tomado la ecuacin (1)como enlace entre los otros dos ecuaciones y en cada caso

se ha procedido a reducir la misma variable para obtener las ecuaciones (4) (5 ) se ha procedido a

reducir la variable y para poder hallar la variable z




Con el valor de z calculado se puede remplazar en cualquiera de las ecuaciones (4) (5 )para hallar

el valor del variable y.

En (4)

5 4 = 22

4 4(3) = 22

5 + 12 = 22

5 = 22 12

5 = 10

=10

5

=

Si remplazamos el valor de z en la ecuacin (5), deberamos obtener el mismo resultado para y

En (5)

4 3 = 17

4(2) 3 = 17

8 3 = 17

3 = 17 8

3 = 9

=

= 3

Conociendo los valores de Z y Y, entonces se puede reemplazar en cualquiera de las ecuaciones

(1), (2) (3)

= =

Reemplazamos en la tercera ecuacin del sistema.

+ 2 = 7

+ (2) 2(3) = 7

+ 2 + 6 = 7 + 8 = 7

=




LECCION N 11

INVESTIGO N11

Elabore un concepcin general sobre el sistema de ecuaciones:

12.

RESUMO N11

Elabore un mapa conceptual sobre la solucin de problemas:

13.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N11

Determinante:

Matriz:

3.

Sistema.

3.

Constante:

3.

Variable:

Escriba 5 palabras no asimiladas en la leccin con su respectivo significado

1.




CUESTIONARIO N11

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SEALE CON UNA X LA RESPUESTA SEGN DONDE

CORRESPONDA:

1. { + 4 = 6

2 + 5 7 = 93 2 + = 2

( )1 = 1 = 2 = 3 ( )1 = 3 = 7 = 3 ( )1 = 7 = 1 = 2

H

2.{ 2 5 = 134 + = 8

= 2

( ) = 1 = 2 = 3 ( ) = 1 = 3 = 4 ( ) = 7 = 1 = 2

( )1 = 13 = 7




3. { + + = 4

2 3 + 5 = 53 + 4 + 7 = 10

( ) = 5 = 4 = 3 ( ) = 1 = 3 = 4 ( ) = 5 = 4 = 2

1.





BLOQUE 3: MATEMTICA DISCRETA:

FICHA N12: FUNCIONES E

INTERSECCIONES

Objetivos

Determinacin de los puntos donde se intersecan las funciones lineales en los ejes vertical y

horizontal respectivamente.


Determinar la interseccin de una recta con el eje horizontal a partir de la resolucin de la ecuacin () = 0 en donde f es la funcin cuya grfica es la recta.

Puntos de solucin de un sistema de ecuaciones.

Anlisis grfico y determinacin de soluciones a los sistemas presentados.

Objetivo Educativo.

INTERSECCIN DE UNA RECTA CON EL EJE HORIZONTAL.

Otro de los procedimientos prcticos para hallar analticamente la interseccin de una recta

con el eje horizontal es a travs de la consideracin de la siguiente condicin:

Primeramente determinamos la ecuacin de la recta.

Cuando la lnea recta corta el eje horizontal, el recorrido de la funcin () se ubica en el cero

del eje horizontal; por lo tanto si igualamos la funcin a cero y despejamos la variable

independiente x, se obtendr el punto de corte con el eje horizontal.

Para determinar el punto de interseccin en el eje horizontal x la variable y toma el valor de

cero, igualmente para determinar el valor del punto en el eje vertical y el valor de la variable

x toma el valor de cero.




= 3 6

Para determinar el procedimiento de interseccin de una funcin con los ejes procedemos de la

siguiente manera.

Ejemplo:

a) Hallar el punto de interseccin de la recta que pasa por los puntos (0, 6) (1, 3) con

el eje x.

Apoymonos en el grfico para comprobar la validez del procedimiento.

Hallemos y comprobemos la ecuacin

de la recta:

=2 12 1

=3 (6)

1 0=

3 + 6

1= 3

= 3

Con el punto (1, 3)

1 = m( 1)

(3) = 3( 1) + 3 = 3 3 = 3 3 3

El punto de interseccin de esta recta con el eje horizontal se calcula cuando () = 0

() = 0

0 = 3 6

6 = 3

= 2




LECCION N 12

INVESTIGO N 12

Sintetice el proceso para determinar la interseccin de una recta con el eje vertical a partir de

la evaluacin de la funcin en x = 0:

2.

RESUMO N 12

Elabore un mapa conceptual sobre la Interseccin de una recta con el eje horizontal y la

intercepcin de una recta con el eje vertical:

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N 12

Eje vertical:

Eje horizontal:

4.

Abscisa.

4.

Corte:

4.

Interseccin:





CUESTIONARIO N12


CORRESPONDA:

1. Hallar analticamente el punto de intercesin de la recta = con el eje horizontal

( ) = 0 = 9

2

( ) = 0 = 4

( ) = 0 = 3

2

H

2. Hallar el punto de interseccin de la recta que pasa por los puntos (, )(, )

( ) = 1 = 0 ( ) = 2 = 0 ( ) = 2 = 0

( )1 = 13 = 7




3. Hallar analticamente el punto de interseccin de la recta 3 + 2 12 = 0 con el eje de la

horizontal.

( ) =10

2 = 0

( ) = 1 = 3

( ) =9

2 = 0

( )

4. Hallar el punto de interseccin con el eje vertical de la recta que pasa por los puntos de coordenadas

(2, 3 ) (2, 5)

( ) = 1 = 0 ( ) = 1 = 3

( ) =8

3 = 0






FICHA N13: FUNCIONES E

INTERSECCIONES

Objetivos.

Comprender el teorema que rige las intersecciones en los ejes del plano cartesiano, como lo

son los ejes verticales representados por la f(x).


Resolver la interseccin de una recta sobre el eje vertical en funcin a una puntos dados

Analizar las intersecciones en el eje vertical del plano cartesiano

Objetivo Educativo.

INTERSECCIN DE UNA RECTA CON EL EJE VERTICAL

De igual manera, otro de los procedimientos prcticos para hallar analticamente la interseccin

de la recta con eje vertical es atreves de la consideracin de las siguientes condiciones:

Cuando la lnea recta corta el eje vertical el dominio de la funcin se ubica en el cero del eje

vertical; por lo tanto si despejamos de la funcin la variable x y evaluamos cuando () = 0

entonces encontraremos la interseccin de la recta con eje vertical.

Los puntos de interseccin de cualquier curva (en este caso es recta) con los ejes coordenados

los obtienes haciendo x=0 e y=0.

Por ejemplo x=0,

2x-3y-12=0

2(0)-3y-12=0

3y=-12

y=-4.

Por tanto, el punto de interseccin ser (0, -4).




Determinamos otra interseccin.

Ejemplo:

() = 2 15

Hallemos comprobemos la ecuacin de la recta:

2 12 1

5 3

2 (2)

8

4= 2

Con el punto (2,3)

3 = 2[ (2)]

3 = 2[ + 2]

3 = 2 1

Para hallar el punto de interseccin de la recta con el eje vertical , debemos expresar la funcin en

trminos de y es decir despejar x

= 2 1

+ 1 = 2

=( + 1)

2

() = 0

0 =( + 1)

2

0 = 1

= 1

El punto de interseccin con el eje vertical es(1,0)




LECCION N 13

INVESTIGO N13

Sintetice el proceso para determinar la interseccin de una recta con el eje vertical a partir de

la evaluacin de la funcin en x = 0: (l0 lneas)

4.

RESUMO N13

Elabore un mapa conceptual sobre la Interseccin de una recta con el eje horizontal y la

intercepcin de una recta con el eje vertical:

5.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N13

Eje vertical:

Eje horizontal:

5.

Abscisa.

5.

Corte:

5.

Interseccin:





CUESTIONARIO N13


CORRESPONDA:

1. Hallar analticamente el punto de intercesin de la recta = con el eje horizontal

( ) = 0 = 9

2

( ) = 0 = 4

( ) = 0 = 3

2

2. Hallar el punto de interseccin de la recta que pasa por los puntos (, )(, )

( ) = 1 = 0 ( ) = 2 = 0 ( ) = 2 = 0

1.

( )1 = 13 = 7




3. Hallar analticamente el punto de interseccin de la recta 3 + 2 12 = 0 con el eje de la

horizontal.

( ) =10

2 = 0

( ) = 1 = 3

( ) =9

2 = 0

( )

4. Hallar el punto de interseccin con el eje vertical de la recta que pasa por los puntos de coordenadas

(2, 3 ) (2, 5)

( ) = 1 = 0 ( ) = 1 = 3

( ) =8

3 = 0






FICHA N14: INECUACIONES

Objetivos.

Reconocer la simbologa de las inecuaciones y determinar sus soluciones analticas mediante el

uso del plano cartesiano.


Resolver la interseccin de una recta sobre el eje vertical en funcin a una puntos dados

Graficar las inecuaciones determinado sus smbolos de igualdad y desigualdad.

Resolver sistemas de inecuaciones de dos incgnitas.

Objetivo Educativo.

Una inecuacin es una expresin matemtica que se caracteriza por tener los signos de una desigualdad (>,




c. Intervalo semiabierto, es decir que no incluye uno de los limites, esto por lo general sucede

con los intervalos al infinito.

(, ]

Para graficar una inecuacin lineal se recomienda tomar en cuenta los siguientes pasos:

1. Siendo la inecuacin + + < 0, realiza la grfica de la recta + + = 0

Para ello se puede seguir cualquier de los procedimientos estudiados anteriormente,

sin olvidar que para graficar una recta dos puntos son suficientes

2. Una vez elaborada la grfica de la recta, seleccionar un punto que se encuentra afuera

de la lnea recta.

3. Si las coordenadas del punto seleccionados satisfacen las condiciones planteadas en la

inecuacin, entonces sombrear le semiplano que contiene ese punto. Si no satisface la

inecuacin, entonces se deber sombrear el otro semiplano.

El semiplano sombreado constituye la solucin de la inecuacin.

Ejemplo:

Graficar la inecuacin 2 3 > 12 y determina r el semiplano solucin. Usemos los

puntos de interseccin de la recta 2 3 > 0 con el eje horizontal y vertical.

2 3 = 12

2 12 = 3

=2 12

3

= 0

2 12 = 0

= 6 (0,6)




Punto de corte en el eje vertical.

Con eje vertical

2 = 3 + 12

=12 + 3

2

= 0

12 + 3 = 0

=12

3 (0, 4)

Ejemplo

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 6

-2 (1, 3)




LECCION N 14

INVESTIGO N14

Elabore una concepcin de inecuaciones

1.

RESUMO N14

Elabore un mapa conceptual sobre las inecuaciones

2.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N14

Inecuacin lineal:

Inecuacin cuadrtica:

6.

Intervalo cerrado.

6.

Intervalo abierto:

6.

Intervalo semiabierto:


3.




CUESTIONARIO N14


CORRESPONDA: REALICE EL PROCESO.

Que significa inecuacin

Responda falso o verdadero segn la respuesta:

Inecuacin es una expresin matemtica que se caracteriza por tener presente el signo de la

igualdad.

Grafiqu la inecuacin dada: 2 3 > 12

H

2 Grafiqu la inecuacin dada: 2 3 < 6

( )1 = 13 = 7




3. Grafiqu la inecuacin dada: 3 9

1.





BLOQUE 3: MATEMTICA

DISCRETA

FICHA N15: La Parbola

Objetivos:

Estudiar la ecuacin cuadrtica, determinar su grfica y sus comportamientos en el plano

cartesiano.


La ecuacin cuadrtica y su mtodo de resolucin de la misma, de igual manera que tipo de grafica representa la ecuacin cuadrtica en el plano.

Curvatura y solucin de sistemas cuadrticos

Punto vrtice y recorridos.

Objetivo Educativo.

La ecuacin cuadrtica o tambin conocida como la ecuacin de segundo grado es aquella ecuacin que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuacin lineal o de primer orden)

El teorema fundamental del lgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo + y - de la x que se obtuvo

Lo que para determinar la solucin al sistema de ecuaciones cuadrticas nos da una funcin ms conocida como la frmula general la misma que ser de gran ayuda para determinar la respuesta del sistema de funciones.




De esta manera se tiene

Si la ecuacin tiene dos races reales diferentes entre s

Si las dos races son reales e iguales

Si las dos races son complejas conjugadas

Dibujemos la grfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la grfica obtengo:




La interseccin de rectas y parbolas Determine los puntos donde las curvas se intersecan

La interseccin se da en (1,1) y (-2,2)




LECCIN N 15

INVESTIGO N 15

Investigue todo concerniente a la parbola

2.

RESUMO N 15

Haga un mapa conceptual acerca de cmo se utiliza la ecuacin del teorema fundamental del

algebra

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N 15

Vrtice:

Ecuacin cuadrtica:

7.

Eje focal:

7.

Parbola:

7.


4.




CUESTIONARIO N 15

Resuelva las ecuaciones cuadrticas con la ecuacin de la forma a+ bx + c=0

32 = 9

22 3 = 12

Grafiqu la ecuacin dada: 22 3 = 12




Grafiqu la ecuacin dada: 22 3 = 4

Encuentre los puntos en que se cruzan las curvas: 32 = 9 = 3





BLOQUE 4: Probabilidad y Ecuaciones

Cuadrticas

FICHA N16: Interseccin de Funciones

Cuadrticas.

OBJETIVOS:

Estudiar la parbola y sus diferentes componentes


Comprender que las races de una ecuacin cuadrtica son los cruces de la parbola con el eje u otra parbola.

Determinar el comportamiento local y global de la funcin cuadrtica a travs del anlisis de su dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, concavidad y simetra y de la interpretacin geomtrica de los parmetros que la definen.

Objetivo Educativo.

CRUCES DE LA PARBOLA

La parbola al ser una grfica que como ya vimos tiende una figura parecida con una u es factible que toque a los ejes cartesianos en 2 ocasiones por lo general, siendo este el caso podemos utilizar el teorema fundamental del algebra para resolver los puntos en los cuales la grfica se encuentra con el eje x o y.

Secuencia para determinaros puntos de interseccin.

1) Despejar la y de las dos ecuaciones.

2) Igualas las dos frmulas que te quedara una ecuacin de segundo grado, teniendo en cuenta que tiene que quedar igualada a cero, entonces, hallas x con la formula resolvente de la funcin cuadrtica para hallar las races ( x1 y x2 ).




3) Una vez que tienes los valores de x, los reemplazas en cualquiera de las dos funciones del principio para hallar los valores de y que le corresponden.

4) Escribir los dos puntos interseccin como pares ordenados

(x1;y1) y (x2;y2)

Primer ejemplo la funcin esta igualada a cero-

2x2 x 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la frmula




Domino y recorrido de una parbola

La funcin cuadrtica f(x) = ax2 + bx + c representa una parbola y tiene como dominio los reales.

El punto mximo o mnimo de la parbola (o sea el vrtice) tiene abscisa (coordenada horizontal)

x = b/2a.

EJEMPLO :

Graficar y obtener el dominio y recorrido de f(x) = 3x2 5x 6.

El vrtice de la parbola se encuentra en x = (5)/(2 3) = 5/6.

Generamos una tabla de valores alrededor de x = 5/6, graficamos y obtenemos el dominio y el recorrido.

x 1 0 5/6 1 2

f(x) 2 6 97/12 8 4

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