MATEMÁTICA 2
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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Trazado de curvas; maximizar y minimizar Concavidad puntos de inflexión uso de derivadas Graficadores: GRAPHMATICA, MATHLAB, etc.OptimizaciónDefiniciónMáximos y mínimos de una función con aplicación de derivadas.
Ejercicios:
1.- Se dispone de 320m. de cerca para encerrar un campo rectangular.¿Cómo debe usarse la cerca para el área encerrada sea lo más grande posible?
Datos:Cerca: 320 m. (perímetro)Terreno: rectangular
Aa
b
Área= base × altura1.- Área = ab
Perímetro = a+b+a+bPerímetro = 2 a+2 b 320 = 2 a+2 b2.- 160 = a+ba = 160 – b
Reemplazamos en la primera ecuación del área
A = (160 – b) b
A = ƒ(b)
A = 160 b – b2 GRAFICAR
Derivamos la función del área A` = 160 – 2 bA``= -2Igualamos la primera derivada a 0
A`= 0160 -2 b = 0160 = 2 b 160/2 = bb = 80m.
Si A´´ < 0 Є M A´´ > 0 Є mComo A´´ = - 2 < 0 → A Є M
Reemplazo a = 160 – 80 = 80 a = 80m.b = 80m.
GRAFICO
A B0 0
4800 405500 506000 606300 706400 806300 90600 100
40 50 60 70 80 90 100
GRAFICAR
3000
4000
5000
6000
a
b
1000
2000
A= 160b-b²
2.- Un terreno rectangular va a cercarse y dividirse en 3 partes iguales por dos cercas paralelas a uno de los lados. Si se va a usar un total de 800m. de cerca encuentre las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.
Datos:
Cerca: 800m.Terreno rectangular
b
b
a a aa
A = (a)(b)P = a + b + a + b + b + b P = 2a + 4b400 = a + 2ba = 400 – 2bA = (400 – 2b)b
A=f (b)
A = 400b - 2b2
A` = 400 – 4b A``= - 4Igualamos la primera derivada a 0
A`= 0
Reemplazamos en la primera función 400 – 4b = 04b = 400
b = 4004
b = 100
Como A`` - 4 < 0a = 400 - 2(100)a = 400 – 200a = 200
GRAFICO
Af(b) B15000 5016800 6018200 7019200 8019800 9020000 10019800 11019200 120
b
50 60 70 80 90 100 110 120
18000
20000
19000
A = 400b - 2b² GRAFICO
14000
16000
22000
a
10000
12000
3.- Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartón cuadrado de 42cm. de lado cortando un pequeño cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados.¿Cuáles son las dimensiones de la caja que debe tener el volumen máximo?
X42
42
42
42 - X
X = 14
V = Área × Altura V = (42 – X) (42 – X) X
V = ƒ(X)
V = (42 - 2X)2 XV = (1764 – 168X +4X2) XV = 1764 – 168X2 + 4X3
Derivamos la ecuación:
V `= 1764 – 336X + 12X2
V ``= - 336 + 24X
Igualamos la primera derivada a 0:1764 – 336X + 12X2 = 03X2 – 168X + 1764Utilizamos la formula general
x=−b±√b2−4ac2a
x=336±√(336)2−4 (12 )(1764)
2 (12)
x=336±√112896−8467224
x=336±8467224
x1 = 21
x2= 74.- El propietario de una licorería espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo del vino es de 85 ctvs. por botella, los derechos de pedido son $10 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante todo el
año es de 40 ctvs. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el año y cada despacho llega apenas se ha terminado el anterior.
a) ¿Cuántas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para bajar al mínimo sus costos?
b) ¿Con que frecuencia debe pedirse el vino?c) ¿Cómo cambiaran las respuestas de los literales anteriores si el costo
del vino se aumenta a 95ctvs la botella?
Datos:800 botellas X = 85 ctvs. Cada una Almacenamiento = 40 ctvs. Cada uno por año Variable = X = Número de botellas
Resolvemos el ejercicio con la siguiente formula.
Costo total = Costo del vino + Costo del pedido + Costo almacenamiento C = 0,85X + 0,40X +10(8000/X) C = 1,25X + 8000/X2
C=ƒ(x)
Derivamos la función con respecto a X:
C`= 1,25 – 8000/X2
C``= 16000/X3
Igualamos la primera derivada a 0:
1,25 – 8000/X2 = 08000/ X2 = 1,25X2 = 8000/1,25X = 80
GRAFICO:
C X250 40
222,5 50208,33 60201,78 70
200 80201,39 90
205 100210,22 110
x
40 50 60 70 80 90 100 110
240
250
X²= 8000/1,25 GRAFICO
220
230
c
200
210
5.- Se a pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada, los lados de la caja costarán $3 y la base costará $4 por pie cuadrado.¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que pueden construirse con $48.?
x
y
Datos:Costo de la base $4Costo de los lados $ 3Costo total para invertir $48DETERMINAMOS LAS VARIABLESx = Lado de la base y = Altura de la base
DETERMINAMOS LA PRIMERA ECUACIÓN V = base × altura Base = (x)(x) = x2
V = x2y
V = ƒ(x, y)
Planteamos la fórmula del costo COSTO = Costo Base + Costo ParedesC = x2(4) + 4xy (3)C = 4x2 + 12xy
C = ƒ(x, y)
48 = 4x2 + 12xyy = 48 – 4x2/12x
Reemplazamos la primera ecuación.V = x2 (48 – 4x2 / 12x)V = 48x / 12 – 4x3 / 12V = 4x – 1 / 3x3
V = ƒ(x)
Derivamos la ecuación anterior:V` = 4 – x2
V``= -1x → V Є M
Igualamos la primera derivada a 0:V`= 04 – x2 = 0x2 = 4x = √4x = 2 pies
Reemplazamos la siguiente ecuación:y = 48 – 4x / 12x y = 48 – 4(2) / 12(2)y = 1,33 pies
GRAFICO:A B0 0
4800 405500 506000 606300 706400 806300 90600 100
40 50 60 70 80 90 100
GRAFICAR
3000
4000
5000
6000
a
b
1000
2000
A= 160b-b²
,
6.- El producto de dos números positivos es 128 el primero se suma al cuadrado del segundo.
a) ¿Qué tan pequeña debe ser esta suma?b) ¿Qué tan grande puede ser esta suma?
x = 1º número
y = 2º numero 1.- xy = 1282.- x + y2 = S
S = ƒ(x, y) debe m
y = 128/x
Reemplazo la segunda ecuación que planteamos con los datos del ejemplo:
S = x + (128 / x)2
S = ƒ(x)
S = x + (1282 / x2) S = x + (16384 / x2)S = x + 16384 x-2
Derivamos la función anterior.
S` = 1 – 2(16384) x-3
S``= -2 (-3)(16384) x-4
S``= 6 (16384) x-4
Como S`` >0 → S Є m
Igualamos la primera derivada a 0:
1 – 32768 x-3= 032768 / x3=1
7.- La función en dólares del costo de un fabricante esta dado por C= 500 / ln (q + 20) encuentre el costo marginal cuando q`= 50.
C = (500
ln (q+20 )) q
C = 500q
ln(q+20)
C = ln (q+20 ) d
dq(500q )−(500q ) d
dq(ln (q+20 ))
¿¿
C = ¿¿
C = ¿¿
C = ¿¿
C = (4.25) (500 )−(357.14 )
4.248
C = 2124−357.14
18045
C = 1766.8618.045
C = 97.90
8.- Para una empresa la producción diaria en el dia “e” esta dado por
q = 500 (1 – е-0.2t) encuentre la razón de cambio para cuando t este en 10 días.
q = 500 (1- e-0.2t)
dqdt
= 500ddt
(1- e-0.2t)+ (1- e-0.2t)ddt
(500)
dqdt
= (500) (0 – (e-0.2t ddt
(-0.2t) ) + (1- e-0.2t)(0)
dqdt
= (500) ((e-0.2t (-0.2)) + 0
dqdt
= (500) (-0.2 e-0.2t)
dqdt
= (500) (1 / (0.2 e2)
dqdt
= 500 / 0.2 e2
dqdt
= 500 / 1.47
dqdt
= 34.013
9.- Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de la mascota de un colegio. Planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas a un taller mecánico a $3 cada una luego contrata a un trabajador al que le paga a $1.50 la hora para que llene los moldes con cera.
Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde.
a) ¿Cuántos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible? b) ¿Cuánto dinero ganara e4l estudiante si se usa el numero optimo de moldes?
Datos:Numero de moldes= x
Con la fórmula del costo determinamos la ecuación
Costo= costo del molde + costo por trabajador
C = (3x + (675x
)3)
C = 3x + 675 x-1
C = ƒ(x)
Derivamos la función anterior
C`= 3 - 675 x-2)
C`` = 1350 x-3
Igualamos la primera derivada a cero
C`= 0
3 – 675 x-2= 0
675 / x2 = 3
x2 = 225
x = 15
GRAFICO
C X5 150
10 97,515 9020 93,7525 10230 112,535 124,28
x
5 10 15 20 25 30 35
50
120
100
140
160
3x + 675/x GRAFICO
170
y
80
Función exponencial Derivada
Función logarítmica
1.- y = ex + e-x / 3
y` = (3) ddx
(ex +e- x) – (ex + e- x) ddx
(3) / (3)2
y` = (3) (ex(1) +e- x(-1)) – (ex + e- x)(0) / 9
y` = (3) (ex - e- x) / 9
y` = (ex - e- x) / 3
2.- xex
ln y = ln xex
ln y = ln x + ln ex
ln y = ln x + x ln e
ln y = ln x + x
1y
× y`= 1x
+ 1
y` = y (1x
+ 1 )
y` = xe x (1x
+ 1 )
UNIDAD VI:
Integración
Definición
Técnicas de integración
Formulas de integración
Métodos de integración (sustitución)
Integral definida
Áreas entre curvas
Excedentes de consumidores y productores
EJERCICIOS1- ) y = x3 – 3x2
PASOS PARA INTEGRAR:
1.- DETERMINAMOS LA DERIVADA DEL EJERCICIO PLANTEADO
y = x3 – 3x2
dydx
= y`= 3x2 – 6x
2.- DESPEJAMOS “y” E INTEGRAMOS LA FUNCION DE LA SIGUIENTE MANERA:
y` = 3x2 – 6x
dydx
= 3x2 – 6x
dy = (3x2 – 6x)dx
y = ∫ (3x2−6 x )dx
y = ∫3 x ²dx−∫6 x dx
y = 3 ∫ x2dx−6∫ x dx
y = 3 (x2+1) / (2 + 1) – 6 (x1+1) / (1 + 1) + C
y = x3 + 3x2 + C
2- ) y` = 3x3 – 12x2 + 12x
dydx
= 3x3 – 12x2 + 12x
dy = (3x3 – 12x2 + 12x) dx
y = ∫ (3 x ³−12x ²+12 x )dx
y = ∫3 x ³dx−∫12 x ²dx+∫12 x dx
y = 3∫ x ³dx−12∫ x ²dx+12∫ xdx
y = 3 (x3 + 1) / (3 + 1) – 12 (x2 + 1) / (2 + 1) + 12 (x1 + 1) / (1 + 1) + C
y = 34 x4 - 4x³ + 6x² + C
3- ) 2( 32 x )+3 x- ½
dydx
= 3x + 3x-1/2
dy = (3x + 3x- ½) dx
y = ∫¿¿-1/2)dx
y = ∫3 x dx+∫ 3x - 1/2 dx
y = 3∫ xdx+3∫ x- 1/2 dx
y = 3 (x1 + 1) / (1 + 1) + 3 (x- 1/2 + 1) / - ½ + 1 + C
y = 3/2 x2 + 6x1/2 + C
4- ) y` = (3x – 1)² + 6x (3x – 1)
y` = (9x² - 6x + 1) + (18x² - 6x)
dydx
= 27x² - 12x +1
dy = (27x² - 12x +1)dx
y = ∫ (27x2−12 x+1 )dx
y = ∫27 x ²dx−∫12 x dx+∫1dx
y = 27∫ x ²dx−12∫ x dx+1∫ dx
y = 27 (x2 +1) / (2 + 1) - 12 (x 1 + 1) / (1 + 1) + x + C
y = 27 (x3)/3 - 12 (x2)/2 + x + C
y = 9x3 – 6x2 + x + C
y = x (9x2 – 6x + 1) + C
y = x (3x – 1)2 + C
5- ) X
√X ²−1 → dydx
x
(x2+1 ) 1/2 → dy = x
(x2−1)1/2 dx
u = x² - 1
du = 2x dx
du2
= x dx
y = ∫ x dx
(x2+1)1/2
y = du2
/ u1/2
y = 12 (
duu 1/2)
y = 12 ∫u-1/2 du
y = 12 u
-1/2 +1 / -1/2 + 1 + C
y = 12 u
1/2 / ½ + C
y = u1/2 + C
y = (x² - 1)1/2 + C
6- ) ∫ 3dx
√2−3 x ²
y = ∫3dx √2+3x ²
y = ∫3√2+3 x ² dx
y = 3 ∫(2+3 x2)1/2 dx
y = 3 (2+3 x2) 1/2 +1 / ½ +1 + C
y = 3 (2+3 x2)3/2 / 3/2 + C
y = 2 (2 + 3x²)3/2 + C
7- ) ∫ x
√2x ²+1dx
Si u = 2x² + 1
dudx
=4 x
du4
=x dx
y = x dx
(2 x2+1)1/2
y = du4
/ u1/2
y = 14 ∫ du
u 1/2
y = 14 ∫u-1/2 du
y = 14 (u -1/2 + 1) / (-1/2 + 1)
y = 14 (u ½) / (1/2)
y = 12u1/2 + C
y = 12(2 x2+1)1/2 + C
8- ) 5x4 – 12x2 + 2
dydx
= 5x4 – 12x2 + 2
dy = (5x4 – 12x2 + 2)dx
y = ∫¿¿4 - 12x² + 2) dx
y = ∫5 x4 −∫12 x ²dx+∫2dx
y = 5∫ x4 −12∫ x ²dx+2∫ dx
y = 5 (x4 + 1) / (4 + 1) – 12 (x2 + 1) / (2 + 1) + 2x + C
y = x5 – 4x3 + 2x + C
9- ) y` = −13
+2 x−2 x ³
dydx
=−13
+2 x−2x ³
dy = (−13
+2 x−2 x ³)dx
y = ∫(−13 +2 x−2 x3)dx
y = ∫−13dx+∫2 x dx−∫ 2x ³dx
y = −13 ∫dx+2∫ xdx−2∫ x ³dx
y = −13x + 2 (x1 + 1) / (1 + 1) – 2 (x3 + 1) / (3 + 1)
y = −13x+ x ²−1
2x4 + C
10- ) y`= 2ax + b
dydx
=2ax+b
dy = ( 2ax + b)dx
y = ∫ (2ax+b )dx
y = ∫2ax dx+∫ bdx
y = 2a∫ xdx+b∫ dx
y = 2a (x1 + 1) / (1 + 1) + bx + C
y = ax² + bx + C
11- ) y`= ma tm – 1 + b(m + n) tm + n – 1
dydt
= ma t m – 1 + b(m + n) t m + n – 1
dy = [ma t m – 1 + b(m + n) t m + n – 1] dt
y = ∫¿¿ t m – 1 + b (m + n) t m + n – 1] dt
y = ∫ma t m – 1 dt + ∫b (m+n ) t m + n – 1dt
y = ma∫ t m – 1 dt + b (m+n )∫ t m + n – 1dt
y = ma (t m – 1 + 1) / (m – 1 + 1) + b (m+n ) [(t m + n – 1 +1)] / (m + n – 1 +1) + C
y = a tm + b tm + n + C
12- ) −πx ²
dydx
=−π ¿-2)
dy = [ - π (x-2) ] dx
y = ∫¿¿-2)] dx
y = - π ∫ x -2 dx
y = - π (x-1 + 1) / (-2 + 1) + C
y = - π (x-1) / (- 1) + C
y = π x-1 +C
13- ) y`= 2x- 1/3 – 5x3/2 – 3x- 4
dydx
= (2x-1/3 – 5x3/2 – 3x- 4)
dy = (2x-1/3 – 5x3/2 – 3x- 4)dx
y = ∫¿¿2x-1/3 – 5x3/2 – 3x- 4)dx
y = ∫2 x-1/3 dx – ∫5 x3/2 dx– ∫3 x - 4 dx
y = 2∫ x-1/3 dx – 5∫ x3/2 dx– 3∫ x- 4 dx
y = 2 (x-1/3 +1) / (-1/3 +1) – 5 (x3/2 +1 ) / (3/2 +1 ) – 3 (x- 4 +1) / (- 4 +1)
y = - 3x2/3 – 2x3/2 + 3x-3 + C
14- ) ∫ (7+е )dx
y = ∫7 dx+∫ еdx
y = 7∫dx+е∫ dx
y = 7 x+еx+C y = x (7+е)+C
15- ) ∫( x7−34 x4)dx
y = ∫ x7dx –∫ 34 x
4dx
y = 17∫ x dx –
34∫ x 4dx
y = 17x2
2−34x5
5+C
y = x ²14
+3 x5
20+C
16- ) ∫ex+ex
exdx
y = ∫ ex
exdx+∫ e2x
exdx
y = ∫ dx+∫ e2 xe− xdx
y = x+∫ ex+C
17- ) ∫ (2 x3+3 x)x4+3 x2+7
dx
Sustituyo:
u = x4+3 x2+7
du = (x4+3 x2+7¿dx
du = 2(2 x3+3 x ¿dx
du2
=(2x3+3 x)dx
Reemplazamos en la ecuación anterior:
y = ∫ du2
/u
y = 12∫
duu
y = 12ln u+c
y = 12ln( x4+3 x2+7)+c
CONDICIÓN INICIAL:
PROBLEMAS:
1- ) y`= 8x – 4; y2 = 5Encontrar “y”:
y = ∫ (8x+4 )dx
y = 8∫ x dx−4∫ dx
y = 8x2
2−4 x+C
y = 4 x2−4 x+C
5 = 4 (2)2−4 (2 )+C
C = - 3
y = 4 x2−4 x−3
2- ) y`` = x2−6 ; y (0)=2 ; y(1)=−1
ENCONTRAR “y”Determinamos la primera derivaday`= ∫ (x2−6 )dx
y`= ∫ x2dx−6∫dx
y = x3
3−6 x+C
2 = 03
3−6 (0 )+C
C = 2
y`= x3
3−6 x+2
Determinamos la derivada con la ecuación de la primera derivada
y` = ∫ ( x33 −6 x+2)dxy =
13∫ x3dx−6∫ xdx+2∫dx
y = 13x4
4−6 x
2
2+2x+C
y = x4
12−3x2+2 x+C
- 1 = (1 )4
12+3 (1 )2+2 (1 )+C
- C = 112
−3+2+1
C = −112
y = x4
12−3x2+2 x− 1
12
3- ) y```= ex+1 ; y (0)=−1; y (0)=2 ; y(0)=3ENCONTRAR “y”:
Determinamos la segunda derivada
y” = ∫ (ex+1 )dx
y” = ∫ ex+1∫dx
y” = ex+x+C
1 = e0+(0 )+C
- C = 1 – 1
C = 0
y” = ex+x
Determinamos la primera derivada con la ecuación de la segunda
y` = (e¿¿ x+ x)dx¿
y` = ∫ ex+∫ x dx
y`= ex+ x2
2+C
(2) = e0+(0)2
2+C
- C = 1 – 2
- C = - 1
C = 1
y`= ex+ x2
2+1
Determinamos la derivada con la ecuación de la primera derivada
y = ∫(ex+ x2
2+1¿)dx ¿
y = ∫ exdx+ 12∫ x2dx+∫dx
y = ex+ 12x3
3+x+C
y = ex+ x3
6+x+C
(3) = e0+(0)3
6+0+C
- C = 1 – 3 - C = - 2
y = ex+ x3
6+x+2
4- ) El ingreso anual promedio “y” que una persona de un grupo con “x” años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo ordinario, estimando que la razón a la que el egreso cambia con respecto a la educación asta dada por:
dydx
=100 x3 /2 4≤x≥16
y = 28720; x = 9
y = ∫ (100 x32 )dx
y = 100∫ x3/2dx
y = 100
x5 /2
52
+C
y = 40 x5 /2+C
28720 = 40 (9)5/2+C
C = 1900
y = 40 x5 /2+1900
5- ) ∫ (2 5√x4−7 x3+10e x−1 )dx
y = ∫2 5√ x4dx−∫7 x3dx+∫10e xdx−∫ dx
y = 2∫ x4 /5dx−7∫ x3dx+10e x−x
y = 2x9 /5
95
−7 x4
4+10 ex−x+C
y = 109x9 /5−7
4x4+10ex−x+C
6- ) Un fabricante ha determinado que la función de costo
marginal es dcdq
=0,003 q2−0,4 q+40, donde “q” es el numero de
unidad producida. Si el costo marginal es de $27,50 cuando “q” es 50 y los costos fijos son 5000. ¿Cuál es el costo promedio de producir 100 unidades?
dcdq
=0,003 q2−0,4 q+40
dc=∫ (0,003q2−0,4q+40 )dq
c = ∫0,003 q2dq−∫ 0,4qdq+∫40dq
c = 0,003∫q2dq−0,4∫ qdq+40∫ dq
c = 0,003 q3
3−0,4 q
2
2+40q+C
27,50 = 0,003 (50)3
3−0,4
(50)2
2+40(50)+C
- C = 125 – 500 + 2000 – 27,50
C = - 1597,50
C = 0,001q−0,2q2+40q−1597,50
C = ƒ(q)
CT=C p+C f
CT=0,001q3+0,2q2+40q−1597,50+5000
CT=0,001100
q3+ 0,2100
q2+ 40100
q+34,025
CT=0,00001q3+0,002q2+0,4 q+34,025
7- ) Para el producto de un fabricante esta dado por
dcdq
=10− 100q+10 Donde C=CT ($) cuando se producen 100 unidades
el costo promedio es de $50 por unidad determinar el costo total del fabricante.
dcdq
=10− 100q+10
dc=∫(¿10− 100q+10
)dq¿
c = ∫10dq−∫100(q+10)−1dq
c = 10∫ dq−100∫(q+10)−1dq
c = 10q−100∫ dq(q+10)
c = 10q−100 ln (q+10 )+C1
c = CP+CF
Ĉ = 50; q = 100
Ĉ = cq
Ĉ = 10q−100 ln (q+10 )+C
100
50 = 10q−100 ln (q+10 )+C
100
5000 = 10 (100 )−100 ln (100+10 )+C1
5000 = 1000 – 470 + C1
C1=4470
8- ) Se estima que dentro de “x” meses la población de cierto
pueblo cambiara a una razón de dpdx
=2+6 √x por mes, la
población actual es de 5000.¿Cuál será la población dentro de 9 meses?
dpdx
=2+6 √x
dp=(2+6√x )dx
p=∫(2+6√ x)dx
p=∫ [2+6 ( x )12 ]dx
p=2∫dx+6∫ x12 dx
p=2x+ 6x3 /2
3 /2+C
p=2x+4 x3 /2+C
p=ƒ(x )
P = 5000x = 0
5000=2 (0 )+4 (0)3/2+C
C = 5000
P = 2 x+4 x3 /2+5000
P(X=9)=2 (9 )+4 (9)3/2+5000
P = 5126 (personas)
9- ) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es dcdq
=3q2−60q+400 Cuando se ha producido “q” unidades el CTde
producción de las 2 primeras unidades es de 900.¿Cuál es el CTde producción de las 5 primeras unidades?
dcdq
=3q2−60q+400
dc=(3q2−60q+400 )dq
c = ∫ (3q2−60q+400 )dq
c = 3∫ q2dq−60∫qdq+400∫dq
c = 3 q3
3−60 q
2
2+400q+C1
c = q3−30q2+400q+C1
900 = (2)3−30(2)2+400 (2 )+C1
900 = 8 – 120 + 800 + C1
C = 212
y = q3−30q2+400q+212
y = (5)3−30(5)2+400 (5 )+212
y = 125 – 750 + 2000 + 212
y = 1587 [$]
10. ) ∫ √1+√x√x
dx
y=∫√1+√ x (x)−1 /2dx
y=∫1212
(1+√x )1 /2 x−1/2dx
y=
1212
(1+√ x)1 /2 12x−1 /2dx
y=2(1+√ x)1 /2
12+1
y=2(1+√ x)3 /2
32
y=2(2)(1+√ x)3 /2
3
y= 43
(1+√ x)3 /2+C
11.¿∫√ t(3−t √t)0,6dt
y=∫√t ¿¿
y=∫¿¿
y=∫¿¿¿
12.¿∫ 9 x5−6 x4−ex3
7 x2dx
y=∫(¿9 x5−6 x4−ex3)(7 x¿¿2)−1dx¿¿
y=∫( 97 x3−67 x2− e7x)dx
y=97∫ x3dx−6
7∫ x2dx− e7∫ x dx
y=97 ( x3+13+1 )−67 ( x2+12+1 )− e
7 ( x1+11+1 )+C
y=97 ( x44 )−67 ( x33 )− e
7 ( x22 )+C
y= 928
x 4− 621
x3− e14
x2+C
13.¿∫ xx+1
dx
u=x+1
du=dx
y=∫( u−1u )dx
y=∫ uudx−∫−1
udx
y=x−ln u+c
y=x−ln ( x+1 )+c
14.¿∫ 2 x4−8 x3−6 x2+4
x3dx
y=∫(¿2 x4−8 x3−6 x2+4 )(x−3 )dx ¿
y=∫(¿2 x−8−6x−1+4 x3)dx ¿
y=2∫ x dx−8∫dx−6∫ x−1dx+4∫ x−3dx
y=2 x1+1
1+1−8 x−6 x−1+1
−1+1+4 x−3+1
−3+1+C
y=2 x2
2−8 x−6
(1 )0
+4 x−2
−2+C
y=x2−8x−6−2 x−2+C
15.¿u=e x−e−x
du=ex+e− xdx
y=∫ duu
y=ln u+c
y=ln (ex−e− x )+c
Integrales definidas:
y=∫a
b
f ( x ) dx
Ejercicios:
1.¿ y=∫−1
3
(3 x2−x+6 ) dx
y=¿¿
y=[(3)¿¿3−(3 )2
2+6 (3 )+C ]−[(−1 )3— 122+6 (−1 )+C ]¿
y=27−92+18+c+1+ 1
2+6−c
y=48
2.¿ Encontrar∫0
1x3
√1+x4dx
u=1+ x4
du=4 x3dxdu4
=x3dx
Reemplazamos:
y=
du4
u12
y= 14∫0
1
u12 du
y=¿
y= 142(1+x )
3.¿∫1
2
¿¿
y=4∫1
2
t 1/3dt+∫1
2
t ¿¿¿
y=4t13+1
13+1
+18
¿
y=3 t4 /3
4 /3+ 18
¿
y= (3 ) (2 )43+18
¿
y=33√(2 )4+ 625
8−3−
(2 )4
8
y=6 3√2+ 6258
−3−2
y=6 3√2+ 5858
4.¿ y=∫0
1
e3 tdt=∫0
1
e3 tdt (3t )
y=13e3 t+c
y=13e3 t ¿0
1
y=13
(e3 (1)−e3 (0 ) )
y=13
(e3−1 )
5.¿ x=∫2
3
( y2−2 y+1)dy
x=∫2
3
y2dy−2∫2
3
y dy+∫2
3
dy
x= y2+1
2+1−2 y
2
2+ y¿2
3
x= y3
3− y2+ y¿2
3
x=(3)3
3+(3)2+(3 )−(2)3
2−(2)2−(2)
x=9+9+3−83−4−2
x=373
6.¿ y=∫4
1
(2 t−3 t2 )dt
y=2∫4
1
t dt−6∫4
1
t2dt
y=2 t3
2−3 t
3
3¿41
y=t2−t 3 ¿41
y= (1 )2−(1 )3−¿
y=1−1−16+64
y=48
7.¿ y=∫1 /2
3 /2
(x2+x+1 )dx
y=∫1 /2
3 /2
(x2)dx+∫1 /2
3 /2
x dx+∫1/2
3/2
dx
y= x3
3+ x
2
2+x ¿1
2
32
y=( 32 )
3
31
+( 32 )
2
21
+32−[ ( 12 )
3
3+( 12 )
2
2+ 12 ]
y=( 32 )3
+( 34 )2
+ 32−¿
y=( 13 )3
+( 12 )2
+1
y= 127
+ 14+1
8.) La función de costo marginal de un fabricante es dcdq
=0,004 q2−0,5q+50 si “c” esta dado en dólares determinar el
costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades.
dc=(0,004 q¿¿2−0,5q+50)dq¿
c=∫65
75
(0,004 q¿¿2−0,5q+50)dq¿
c=0,004∫65
75
q2dq−0,5∫65
75
q dq+50∫65
75
dq
c=0,004 q3
3¿6575−0,5 q
2
2¿6575+50q¿65
75
c=0,0043
¿
c=0,0043
(147250 )−0,52
(1400 )+500
c=5893
−7002
+500
c=346.33 dolares(costo de incremento)
9.) El valor presente en dólares de un flujo continuo de ingresos de $2000 al año durante 5 años al 6% compuesto
continuamente esta dado por la integral ∫0
5
2000e0,06 tdt .
y=∫0
5
2000 e0,06 tdt
y=2000∫0
5
e0,06 tdt
y=2000( 10,006
e−0,06 t+6)¿05
y=20000,06
(e−0,06 (5 )+e−0,06 (0 ))
y=20000,06
(e−0,3+1 )
y=20000,06 ( 1e0,3+1)
10.) Encontrar el área de la región limitada por la curva y=x2+2 x+2 con los puntos x1=−2 , x=1
x y 170 2 161 5 153 17 14-1 1 13-2 2 12
1110
987654321
-3 -2 -1 1 2 3
y
x
A=∫−2
1
(x2+2 x¿+2)dx ¿
A= x3
3+ x2+2 x+c¿−2
1
A=(1 )3
3+(1 )2+ (1 )− (−2 )2
3− (−2 )2−2 (−2 )−c
A=6