Matematica i

Instituto de Educación Superior“San Ignacio de Monterrico”

SEMANA 1

TEMA: ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES

OBJETIVO: Conocer y Utilizar la Lógica Proposicional cuantificada en la

estructura matematica.

ENUNCIADO

Se llama así a cualquier frase u oración.

Por ejemplo:

• ¡Auxilio, me ahogo! (Exclamativa)

• No conversen en clase (Desiderativa)

• Lima es la capital del Perú (Afirmativa)

• ¿Qué día es hoy? (Interrogativa)

PROPOSICIÓN:

Son aquellos enunciados afirmativos del cual se sabe que tiene dos

valores de la verdad mutuamente excluyentes: verdadero o falso. Las

proposiciones se representan por las letras minúsculas: p, q, r, s, t, .... pero

también se usa la notación: p1, p2, p3, p4, p5,.....

Así por ejemplo tenemos las siguientes proposiciones:

• p: Alejandro Toledo es el presidente del Perú

luego: v(p) = V

se lee: “el valor de la verdad de p es verdadero”

• q: Francisco Bolognesi murió en Angamos

luego: v(q) = F

se lee: “el valor de la verdad de q es falso”

• p1: Caracas es la capital de Venezuela

luego: v(p1) = V

Formando Emprendedores De Calidad Para Un Mundo Empresarial 1


ENUNCIADOS NO PROPOSICIONALES:

Se llama asi a aquellas expresiones o enunciados exclamativos,

interrogativos y desiderativos. De estos no se puede saber si son verdaderos o

falsos, porque no afirman ni niegan nada. Por ejemplo:

• ¡Uff, que calor!

• ¿están cansados?

• Escriban rápido

ENUNCIADO ABIERTO:

Se llama así a aquellos enunciados que contienen una o más variables.

Estos no pueden ser ni verdaderos ni falsos, ya que no afirman nada.

Ejemplos:

• X es la capital de Uruguay

• X es un planeta del sistema solar

• x -13 = 28

• 2x-7 > 25

• X es una vocal

Sin embargo estos enunciados abiertos se pueden convertir en

proposiciones verdaderas o falsas - ¿cómo? – reemplazando la variable o

variables por un nombre, palabra, número, letra o cualquier símbolo, según sea

el caso. Así del primer ejemplo tenemos:

• X es la capital de Uruguay

Si X=Buenos Aires entonces la expresión se lee:

“Buenos Aires es la capital de Uruguay”

Se observa el enunciado abierto se convirtió en una proposición

falsa.



Si X=Montevideo entonces la expresión se lee:

“Montevideo es la capital de Uruguay”

ahora el enunciado abierto se convirtió en una proposición

verdadera.

Ejercicio: Convierte en proposiciones verdaderas o falsas los demás

enunciados abiertos anteriormente señalados.

CLASES DE PROPOSICIONES:

A) Proposiciones Simples : también llamadas proposiciones atómicas o

elementales, son aquellas proposiciones que tienen un solo sujeto y un

solo predicado.

Ejemplo:

• José de San Martín nació en Venezuela

• Alberto Fujimori fue presidente del Perú

• Dos al cubo es igual a ocho

• 32+1 ≠ 10

B) Proposiciones Compuestas : también llamadas proposiciones

moleculares o coligativas. Se denomina así a aquellas que están

constituidas por dos o más proposiciones simples. Estas proposiciones

simples están unidas a través de conectivos lógicos:

CONECTIVO LÓGICO SIMBOLO

y ∧o ∨

O .... o ........ ∆Si .... entonces ..... →

si y solo si ↔no ∼

Ejemplo:



• Si Alejandro Toledo ganó las elecciones entonces será el

próximo presidente del Perú.

• 23+32=17 si y solo si 24÷23=12

• La bomba atómica explotó en Hiroshima en 1945 pero Bogotá es

la capital de Colombia.

• O Alex Couri es alcalde de Lima o del Callao.

• Alemania no es el campeón mundial de fútbol.

PRACTICA

I. Dados los siguientes enunciados, diga ¿cuáles son proposiciones? ¿Cuáles

son enunciados no proposicionales? ¿Cuáles son enunciados abiertos?

1) 13 es un número par

2) ¿todos asistieron a clase?

3) No deben llegar tarde

4) Melissa está llorando

5) x + 2 = 5

6) La ballena es un mamífero

7) 42 + 22 = 20

8) x es divisor de 24

9) ¿Dónde vives?

10) España, Italia y México son

países europeos

11) ¡Alto, deténgase!

12) 3x = 15 para x=5

13) ¿Melissa está llorando?

14) 7x + 8 = 3x + 32

15) 72 = 14 ∨ 75:5 = 15

16) Honduras es un país asiático

17) 12 - x < 5

18) ¡No peleen!

19) No conversen en clase

20) Génova es una ciudad de Italia

II. Convierta cada uno de los enunciados abiertos de la pregunta I, en

proposiciones verdaderas y falsas.

III. Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:



1) México es un país europeo

2) Las aves son animales

mamíferos

3) 12 es un múltiplo de 24

4) 1/4 + 3/4 =1

5) 20 es un número compuesto

6) Budapest es la capital de

Hungría

7) El Rímac es el río más

caudaloso del mundo

8) 7 es un divisor de 87

9) Londres es la capital de

Alemania

10) 34 - 43 = 0

11) 13 es un número primo

12) Guayaquil es una ciudad de

Colombia

13) 36÷4 + 23 - 135÷15+6 = 14

14) 36 es múltiplo de 4

15) 32 + 23 ≠ 12

16) La bisectriz divide a un ángulo

en dos ángulos congruentes

IV. Dados los siguientes conjuntos y sus respectivos enunciados abiertos,

verifique para que valores de “x” la proposición es verdadera.

a) A={x/ x es una vocal}

b) B={x/ x es un día de la

semana}

c) P={x/ x es una estación del

año}

d) R={x/ x es un mes del año}

e) M={x/ x es un mes de 30 días}

f) D={x/ x es un Ministro del

Perú}

g) C={x / x es un planeta del

Sistema Solar}

h) J={x / x es un país de América

Central}

i) L={2x+1 / x∈N , 1≤ x <5}

j) F={x / x∈N , x es mayor que 4 y

menor 10}

k) G={x / x∈N ∧ x es mayor que 7}

l) D={x / x es un número natural

impar mayor que 13}

m) K={3x / x∈N , 3 < x < 8 }

n) T={x/ x es un satélite de Marte}

o) M={x/x es un natural menor que

6}

p) T={x/ x∈Z ∧ -5 < x < 4}

q) E={x/ x es alumno del 1er. ciclo

del SIDEM}

r) M={4x2+2 / x∈N , 0≤ x <4}



V. Sean las siguientes proposiciones:

p: Manuel estudia q: Manuel aprueba el curso

Exprese verbalmente las siguientes proposiciones:

a) p ∧ q

b) q ∧ ∼p

c) p ∨ q

d) ∼q ∨ p

e) p → q

f) ∼q ↔ p

g) p ↔ ∼q

h) ∼p → ∼q

i) ∼q ↔ ∼q

j) ∼(∼p)

k) ∼(∼p ∧ q)

l) ∼(q→∼p)


SEMANA 2

TEMA: CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

COMPUESTAS

OBJETIVO: conocer las proposiciones simples y compuestos y el empleo

correcto de los conectivos logicos

1. CONJUNCIÓN:

Es aquella proposición compuesta que se caracteriza porque contiene el

conectivo lógico “y” o sus equivalentes (además, sin embargo, no obstante,

pero, a la vez,..) los que se simbolizan así: ∧

Para hallar el valor de la verdad de una conjunción se utilizará la

siguiente tabla: “p y q”

p q p ∧ qV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Ejemplo: Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:

a) La ballena es un animal mamífero pero vive en el mar

Luego:

p: La ballena es un mamífero v(p)=V

q: La ballena vive en el mar v(q)=V

por lo tanto: v(p ∧ q)=V

V V

b) Cuba y Chile son países sudamericanos

Luego:

Formando Profesionales De Calidad Para Un Mundo Empresarial 7

p: Cuba es un país sudamericano v(p)=F

q: Chile es un país sudamericano v(q)=V

por lo tanto: v(p ∧ q)=F

F V

c) 8>12 ∧ 12<8

Luego:

r: 8>12 v(r)=F

s: 12<8 v(s)=F

por lo tanto: v(r ∧ s)=F

F F

2. DISYUNCIÓN INCLUSIVA:


conectivo lógico “o” el que se simboliza así: ∨

Para hallar el valor de la verdad de una disyunción inclusiva se utilizará

esta tabla:

“p ó q”

p q p ∨ qV

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Ejemplo:


Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:

a) 8 es mayor que 4 ó 7 es menor que 5

Luego:

p: 8 es mayor que 4 v(p)=V

q: 7 es menor que 5 v(q)=F

por lo tanto: v(p ∨ q)=V

V F

b) Camaná ó Jaen son ciudades del Perú

Luego:

p1: Camaná es una ciudad del Perú v(p1)=V

p2: Jaén es una ciudad del Perú v(p2)=V

por lo tanto: v(p1 ∨ p2)=V

V V

c) Todo triángulo en el plano tiene tres ángulos rectos ó dos ángulos

obtusos

Luego:

p: Todo triángulo en el plano tiene tres ángulos rectos v(p)=F

q: Todo triángulo en el plano tiene dos ángulos obtusos v(q)=F

por lo tanto: v(p ∨ q)=V

F F

3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:



conectivo lógico “O...o...” el que se simboliza por: ∆

Para hallar el valor de la verdad de una disyunción exclusiva se utilizará

esta tabla: “O p ó q”

p q p ∆ qV

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

FEjemplo:

a) O William Shakespeare es autor de Hamlet ó es autor de la Iliada

Luego:

p: William Shakespeare es autor de Hamlet v(p)=V

q: William Shakespeare es autor de la Iliada v(q)=F

por lo tanto: v(p ∆ q)=V

V F

4. CONDICIONAL:


conectivo lógico “si...entonces...” el que se simboliza por: →, luego “p → q” se

lee “si p entonces q”.

La tabla de verdad de una condicional es:

p q p → qV V V


V

F

F

F

V

F

F

V

VEn la condicional a “p “ se le llama antecedente y a “q” se le llama

consecuente. Se observa de la tabla que la condicional es falsa cuando el

antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Por otro lado podemos

decir que conectivos condicionales son también los términos: “porque”, “puesto

que”, “ya que”, “si”, “cuando”, “cada vez que”, etc. aunque estos se caracterizan

porque después de estos conectivos está el antecedente.

Ejemplo:

a) Si: 5+3=7 entonces 7<6

Luego:

p: 5+3=7 (antecedente) v(p)=F

q: 7<6 (consecuente) v(q)=F

por lo tanto: v(p → q)=V

F F

b) Si los monos son animales entonces la Tierra es plana

Luego:

p: Los monos son animales (antecedente) v(p)=V

q: La Tierra es plana (consecuente) v(q)=F

por lo tanto: v(p → q)=V

V F

c) 16 es múltiplo de 2 por que 16 es número par


Luego:

p: 16 es múltiplo de 2 (antecedente) v(p)=V

q:16 es número par (consecuente) v(q)=V

por lo tanto: v(q → p)=V

V V

Proposición Recíproca:

Dada la proposición condicional “p→q” , se llama proposición recíproca

a la proposición que se denota por “q→p”.

Ejemplo:

La proposición directa: p→q

“Si x es par, entonces es múltiplo de 2”

La proposición recíproca: q→p

“Si x es múltiplo de 2, entonces, x es par ”

Proposición Inversa:

Dada la proposición condicional “p→q” , se llama proposición inversa a

la proposición que se denota por “∼p→∼ q”.

Ejemplo:



“Si Patricia tiene 40 años, entonces es joven”

La proposición inversa: ∼p→∼q

“Si Patricia no tiene 40 años, entonces no es joven”

Proposición Contrarrecíproca:

Dada la proposición condicional “p→q” , se llama proposición recíproca

a la proposición que se denota por “∼q→∼ p”.

Ejemplo:


“Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son

paralelas”

La proposición contrarrecíproca: ∼q→∼p

“Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una

misma recta”

5. BICONDICIONAL:

Esta proposición compuesta se caracteriza porque tiene el conectivo

lógico “si y solo si” cuyo símbolo es: ↔


Para hallar el valor de la verdad de una bicondiconal se utilizará la

siguiente tabla: “p si y solo si q”

p q p ↔ qV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

La bicondicional está definida como la conjunción de la proposición

condicional con su contrarrecíproca.

p ↔ q equivale a (p→q) ∧ (q→p)

Ejemplo:

a) 2<4 ⇔ 12+3 < 4+5

Luego:

p: 2<4 v(p)=V

q:12+3 < 4+5 v(q)=F

por lo tanto: v(p ↔ q)=F

V F

b) Alberto Andrade es alcalde de Lima si y solo si gana las elecciones

municipales del 17 de noviembre.

Luego:

p: Alberto Andrade es alcalde de Lima v(p)=F


q: Alberto Andrade gana las elecciones municipales del 17 de

noviembre v(q)=F

por lo tanto: v(p ↔ q)=V

F F

6. NEGACIÓN:


conectivo lógico “no” el que se simboliza por: ∼ . Para hallar el valor de la

verdad de una negación se utilizará la siguiente tabla:

p ∼pV

F

F

V

Ejemplo:

a) Hoy no es miércoles.

Luego:

p: Hoy es miércoles v(p)=F

∼p: Hoy no es miércoles v(∼p)=V

Otras formas de expresar la negación es utilizando los términos “no es el

caso que”, “es falso que”, “no es cierto que”, etc. Aunque en estos casos

generalmente la negación niega a proposicones compuestas.


Ejemplo:

1) No es el caso que 12 sea múltiplo de 4 y que 24=16

Luego:

p: 12 es múltiplo de 4

q: 24=16

Entonces la proposición la simbolizaremos así: ∼(p ∧ q)

¿Cómo establecer jerarquía entre los conectivos lógicos?

La finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor

jerarquía a los conectivos lógicos. Así en general, la “∼” tiene menos jerarquía,

le siguen “∧”, “∨” que son de igual jerarquía, y luego “→” que es el de mayor

jerarquía. Sin embargo cada conectivo puede ser de mayor jerarquía si así lo

indica el signo de colección.


PRÁCTICA

1. Exprese simbólicamente las siguientes proposiciones:

a) O Alex Couri es Ministro del Interior o alcaldesa de San Borja.

b) Miguel se va de compras con su enamorada, si consigue trabajo en esta

semana.

c) Nuestra promoción viajará a fin de año a Huaraz o a Chavín, siempre que

todos los alumnos participen de todas las actividades.

d) José aprueba el examen de Matemática I si y solo si estudia toda la

semana.

e) Eva llegará tarde a clases porque no se levanto temprano el día de hoy.

f) No es cierto que 5×22 ≠ 20 y (24+20) es divisible por 9.

g) Si mañana no es domingo entonces no se trabaja.

h) No es cierto que si Almendra se levanta temprano entonces llegará tarde

a trabajar.

2. Formule la siguiente proposición: “Si fumo demasiado entonces me duele la

garganta; y me duele la garganta, por lo tanto fumo demasiado”

3. En las siguientes proposiciones compuestas analice y explique las

condiciones que deben cumplir para que estas puedan ser consideradas

como verdaderas o falsas.

a) El 80% de los accidentes aéreos tienen su origen en errores humanos ó

los aeropuertos del país no tienen los radares necesarios para guiar a los

pilotos.

b) La ballena es un animal mamífero y vive en el mar, puesto que tiene una

respiración pulmonar.

c) Si Garri Kasparov vence a Deep Junior entonces la inteligencia del

hombre es superior a la computadora.


d) Habrá mayor inversión extranjera en el país porque Alejandro Toledo

viajará a España e Italia a firmar importantes convenios de cooperación.

e) Si Uruguay queda entre los primeros cuatro puestos en el campeonato

sub 20 entonces clasifica al Mundial de Fútbol de Emiratos Arabes

Unidos.

3. De las siguientes proposiciones compuestas, indique el valor de la verdad

que corresponda a cada una de ellas:

a) 244 2 >12 v 144 <8

b) Si: 5+3=7 entonces 7<6

c) 16 =4 y -32=9

d) 2<4 ⇔ 12+3 < 4+5

e) La suma 6+3 también es un natural puesto que 6 y 3 son números

naturales

f) No es verdad que: 8+2=6 o 6+1=7

4. Dadas las proposiciones, p: Marcos es comerciante q: Marcos es un

próspero industrial r: Marcos es ingeniero. Simboliza el siguiente

enunciado: “Si no es el caso que Marcos sea un comerciante y un próspero

industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante”.

5. Dadas las proposiciones q: “4 es un número impar”, p y r cualesquiera tal

que ∼[ (r ∨ q) → (r → p) ] es verdadera, halle el valor de verdad de los

siguientes esquemas moleculares:

(1) r → (∼p∨∼q)

(2) (2) [r ↔ (p∧q)] ↔ (q∧∼p)

(3) (3) (r∨∼p) ∧ (q∨p)


6. Si: p: ”Roberto vendrá”, q: “Roberto ha recibido una carta” y r: “Roberto está

interesado todavía en el asunto”. Simbolizar los siguientes enunciados.

a) “Roberto vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado

todavía en el asunto”

b) “O Roberto vendrá porqué ha recibido la carta o no está interesado

todavía en el asunto”

c) “Roberto vendrá si y solo si ha recibido la carta o vendrá porque está

interesado todavía en el asunto”


SEMANA 3

TEMA: ESQUEMAS MOLECULARES

OBJETIVO: Emplear correctamente los signos de agrupación en cada

esquema lógico y darle jerarquía al conectivo.

También llamados fórmulas lógicas. Se denomina así a la combinación

de variables (proposiciones) y operadores (o conectivos lógicos) por medio de

los signos de agrupación. En cada esquema molecular solo uno de los

operadores es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho

esquema.

Ejemplo:

1) ∼p → (q ∨ r) Este es un esquema condicional por ser

el conectivo de mayor jerarquía

2) [(p ∧ q) ∨ ∼r ] ↔ p Este es un esquema bicondicional por ser el

conectivo de mayor jerarquía

3) ∼[(p ∧ q) → (∼p ∨ r)] Este es un esquema negativo por ser el

conectivo de mayor jerarquía

¿Cómo establecer jerarquía entre los conectivos lógicos?

La finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor

jerarquía a los conectivos lógicos. Así en general, la “∼” tiene menos jerarquía,

le siguen “∧”, “∨” que son de igual jerarquía, y luego “→” que es el de mayor

jerarquía. Sin embargo cada conectivo puede ser de mayor jerarquía si así lo

indica el signo de colección.

Ejemplo:

1) “No es el caso que 6 sea un divisor de 15 ó que 13 sea un

número primo”


Luego:

p: 6 es divisor de 15

q: 13 es número primo

Entonces la proposición la simbolizaremos así: ∼(p ∨ q)

Siempre los conectivos que están fuera del signo de agrupación

tienen mayor jerarquía que todos los que se encuentran dentro del

mismo. En este caso como observa la negación “∼” tiene mayor

jerarquía que la disyunción inclusiva “∨”, porque está fuera del

paréntesis.

2) “Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o

culpable”

Luego:

p: El testigo dice la verdad

∼p: El testigo dice la verdad

q: Juan es inocente

r: Juan es culpable

Entonces la proposición la simbolizaremos así:

∼p → (q ∨ r)

En este caso observe que la condicional “→” tiene mayor jerarquía

que la disyunción inclusiva “∨”, porque está fuera del paréntesis.

Pero, ¿la negación “∼” también está fuera del paréntesis? En este

caso la negación también tiene mayor jerarquía que la “∨” por estar

fuera del paréntesis, sin embargo al comparar la “∼” con la “→”, la

condicional tiene mayor jerarquía. Recuerde que siempre la negación

tiene menos jerarquía que todos los demás conectivos. Por lo tanto la

fórmula es un esquema condicional.


EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES:

Evaluar un esquema molecular significa determinar si la fórmula lógica

es una tautología, una contradicción o una contingencia.

Tautología: es cuando en la tabla de verdad todos los valores de

la verdad son verdaderos.

Contradicción: es cuando en la tabla de verdad todos los valores de

la verdad son falsos.

Contingencia: es cuando en la tabla de verdad los valores de la

verdad resultan verdaderos o

Ejemplo: Evaluar la siguiente fórmula lógica: [(p→q)∧(∼q)]→(∼p)

P q ∼ { [(p→q) ∧ (∼q)] → (∼p) }V V F V F F V FV F F F F V V FF V F V F F V VF F F V V V V V

es una Contradicción

Ejemplo: Evaluar la fórmula lógica: ∼(p∧q) ↔ [(∼q)∨ (∼p)] y diga si es una

tautología, una contradicción o una contingencia.

p q ∼ (p∧q) ↔ [(q) ∨ (∼p)]V V F V F V V FV F V F F F F FF V V F V V V VF F V F V F V V

∴ es una Contingencia

Ejemplo: Evaluar la fórmula lógica:

[∼p ∧ ( q v ∼r ) ] ↔ [(∼p ∧ q) v ∼( p v r ) ]

y diga si es una tautología, una contradicción o una contingencia.


p q r [∼p ∧ (q v ∼r)] ↔ [(∼p ∧ q) v ∼ (p v r) ]V V V F F V V F V F F V F F VV V F F F V V V V F F V F F VV F V F F F F F V F F F F F VV F F F F F V V V F F F F F VF V V V V V V F V V V V V F VF V F V V V V V V V V V V V FF F V V F F F F V V F F F F VF F F V V F V V V V F F V V F

∴ es una Tautología

Ejemplo: Si es verdadera la negación del siguiente esquema:

[ ( p ∧ q) → ( r v s ) ]

Deducir el valor de los siguientes esquemas moleculares:

a) ∼ [ ( p ∧ q ) → r ]

b) ∼ [ ∼ [ ∼ ( q → r ) → ( s ∧ w ) ] ]

c) ∼ { ( r → x ) ∧ ∼ [( p ∧ q) ∨ s ] }

Solución: Primero debemos deducir los valores de p, q, r y s

Por dato:

∼ [ ( p ∧ ∼q) → ( r v s ) ] ≡ es verdadera

V V F F

V F

F

Luego: v(p)=V ; v(q)=F ; v(r)=F ; v(s)=F

Reemplazando los valores de p, q, r y s :

a) ∼ [ ( p ∧ q ) → r ]

V F


F → F

∼ V

F

b) ∼ [ ∼ [ ∼ ( q → r ) → ( s ∧ w ) ] ]

F F F ?

∼ V F

F → F

∼ V

∼ F

V

c) ∼ { ( r → x ) ∧ ∼ [ ( p ∧ q ) ∨ s ] }

F ? V F

V F ∨ F

V ∼ F

V ∧ V

∼ V

F


SEMANA 4

TEMA: EQUIVALENCIA DE ESQUEMAS MOLECULARES:

OBJETIVO: Determinar cuando dos esquemas logicos son equivalentes

Dos esquemas moleculares son equivalentes (lógicamente) si las tabla

de verdad de dichas fórmulas son iguales para los valores correspondientes de

las componentes.

Otros autores la definen como: si al unir dos esquemas moleculares a

través de la bicondicional “↔” el resultado es una tautología entonces se dice

que estas fórmulas son equivalentes. La equivalencia se denota así: ≡

Luego si A y B son dos esquemas moleculares equivalentes su

representación es del siguiente modo: A ≡ B

Ejemplo: p→q es equivalente a ∼p∨q porque tienen la misma

tabla de verdad.

P q p→q ∼p ∨ qV V V F V VV F F F F FF V V V V VF F V V V F

Observe que ambas fórmulas tienen los mismos valores de

verdad (y en el mismo orden), por lo tanto los dos esquemas son

equivalentes, y se denota así:

p→q ≡ ∼p∨q


Ejemplo: Diga Ud. si las siguientes fórmulas lógicas son equivalentes: q →

∼p ; ∼(q∧p)

p q q → ∼p ∼ (q∨p)V V V F F F VV F F V F F VF V V V V F VF F F V V V F

Por lo tanto: q → ∼p ≡ ∼(q∨p)

EJERICICIOS:

1. Dadas las siguientes proposiciones:

I) ( p ∧ q ) ∆ ∼ p

II) ∼( p →q ) ↔ q

III) ∼( p ∧ q ) v ∼ q

IV) ∼( p ∧ q ) ↔ ( p v q )

V) ∼( p →q ) → ( p v ∼q )

VI) ∼( p ↔ q ) v (∼p ↔ ∼q )

Indicar cuál (ó cuáles) es una Contingencia

2. ¿Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología?

a) [ ( p v ∼q ) ∧ q ] → p

b) ∼[ (∼p) ↔ q ] ↔ ( p → q )

c) ∼[ ∼( p v q ) → ∼q] ↔ ( p→ q )

d) [ ( ∼p ∧ q ) v ∼r ] ↔ (∼p v r)

e) ∼{ (p ∧ ∼r) v [r ∧ (∼p v q) ] } ↔ (r→ ∼q)

f) [∼p ∧ ( q v ∼r ) ] ↔ [(∼p ∧ q) v ∼( p v r ) ]

3. Dadas las siguientes proposiciones:


I) ∼( p ∧ q ) ↔ ( p v ∼q )

III) ∼( p →q ) ↔ ( p v ∼q )

IV) ∼( p ↔ q ) ↔ (∼p ↔ ∼q )

V) ∼ { [ (p → q) ∧ p ] → q }

indicar cuál (ó cuáles) son una Contradicción

4. Sabiendo que: [ p → (q → r) ] es falsa.

Halle el valor de la verdad de : [ q → (p ∧ r) ]

5. De la falsedad de: ( p → ∼q ) v ( ∼r → s ) deducir el valor de la verdad de :

a) ( ∼p ∧ ∼q ) v ∼q

b) [ ( ∼r v q ) ∧ p ] ↔ [ ( ∼q v r ) ∧ s ]

c) ( p → r ) → [ ( p v q ) ∧ ∼q ]

6. Si se sabe que ( p ∧ q) y ( q → r) son falsas, ¿cuáles de las siguientes

proposiciones son verdaderas?

a) ( ∼p v r ) v s

b) ∼[ ( ∼p ∧ q ) v ∼r ]

c) ∼[ p ∧ ( ∼q v ∼p )]

d) [∼p v (q ∧ ∼r)] ↔ {(p → q) ∧ ∼(q ∧ r)}

e) [( p → q ) ∧ ∼( q ∧ r )] ↔ [∼p v (q ∧ ∼r)]

7. Si es verdadera la negación del siguiente esquema:

[ ( p ∧ q) → ( r v s ) ] , Deducir el valor de los siguientes esquemas

moleculares:

a) ∼ [ ( p ∧ q ) → r ]

b) ∼ [ ∼ [ ∼ ( q → r ) → ( s ∧ w ) ] ]

c) ∼ [ ( r → x ) ∧ ∼ ( p ∧ q ∧ s ) ]

8. ¿Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología?


a) ∼{ [ ∼(∼p ∧ q ) v ∼q ] ↔ (∼p v q) }

b) ∼[ ∼ ( p v ∼q ) → ∼r] ∆ ∼( ∼q→ ∼p )

c) ∼[ (∼p) ↔ q ] ↔ ( p → q )

d) ∼{ (∼p ∧ r) v [ p ∧ (∼r v q) ] } v (p→ ∼q)

9. Si la fórmula: ( p → ∼q ) v ( ∼r → ∼s ) es falsa, deducir el valor de:

a) ∼(∼q v ∼s) → ∼p

b) ∼(∼r ∧ s) → (∼p → q)

c) p → ∼[ q → ∼(s → r) ]

10. Si se sabe que ( p ∧ q) → ( q → r) son falsas, ¿cuáles de las siguientes

proposiciones son verdaderas?

a) ∼(q v r ) v (p v q)

b) (p ∨ ∼q) → [ (∼r) ∧ q]

c) [(p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼r)] ↔ (p ∨ ∼r)

11. Dadas las proposiciones:

I) (p → q) → r ; V( r ) = V

II) (p ∨ q) ↔ (∼p ∧ ∼q) ; V( q ) = V

III) (p ∧ q) → (p ∧ r) ; V( p ) = V y V( r ) = F

IV) p ∧ (q → r) ; V( r ) = V

La información que se da es suficiente para determinar el valor de la

verdad de las proposiciones.

SEMANA 5


TEMA: LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

OBJETIVO: Conocer las leyes del álgebra proposicional para simplificar

esquemas lógicos

1. Ley de Idempotencia:

a) p∧p ≡ p

b) p∨p ≡ p

2. Ley de la Identidad:

a) p→p ≡ V

b) p↔p ≡ V

3. Ley Conmutativa:

a) p∧q ≡ q∧p

b) p∨q ≡ q∨p

c) p∆q ≡ q∆p

d) p↔q ≡ q↔p

4. Ley Asociativa:

a) p∧q∧r ≡ p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r

b) p∨q∨r ≡ p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r

5. Ley Distributiva:

a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r)

b) p∨(q∧r) ≡ (p∨q) ∧ (p∨r)

6. Ley del Elemento Neutro:

a) p∧V ≡ V∧p ≡ p

b) p∧F ≡ F∧p ≡ F

c) p∨V ≡ V∨p ≡ V

d) p∨F ≡ F∨p ≡ p

7. Ley de Absorción:

a) p∧(p∨q) ≡ p

b) p∨(p∧q) ≡ p

c) p∧(∼p∨q) ≡ p∧q

d) p∨(∼p∧q) ≡ p∨q

8. Ley de la Complementación:

a) p∧∼p ≡ F

b) p∨∼p ≡ V

c) ∼(∼p) ≡ p

d) ∼V ≡ F

e) ∼F ≡ V


9. Ley de Morgan:

a) ∼(p∧q) ≡ ∼p∨∼q

b) ∼(p∨q) ≡ ∼p∧∼q

10.Ley de la Implicación Material:

a) p→q ≡ ∼p∨q

b) ∼(p→q) ≡ p∧∼q

11.Ley de la Doble Implicación:

a) p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p)

b) p↔q ≡ (∼p∨q) ∧ (∼q∨p)

c) p↔q ≡ (p∧q) ∨ (∼p∧∼q)


PRACTICA

Complete las equivalencias y luego anote que propiedad se cumple:

1) q∧q ≡ q

(1.a)

2) r∨r ≡

3) ∼p∧∼p ≡

4) ∼s∨∼s ≡

5) ∼q → ∼q ≡

6) (∼p∧q)∨(∼p∧q) ≡

7) (q→∼p)∧(q→∼p)

≡

8) ∼r↔∼r ≡

9) q∧r ≡ r∧q

(3.a)

10) ∼r∨m ≡ m∨∼r

11) ∼p∧∼q ≡

12) t∨∼s ≡

13) q↔q ≡

14) ∼r∆∼p ≡

15) (∼p∧q) ∨ ∼p ≡

16) (∼q)∧(q→∼r) ≡

17) r∧q∧t ≡ r∧(q∧t) ≡

18) s∨p∨m ≡

s∨(p∨m) ≡

19) ∼p∧t∧∼q ≡

20) r∨∼q∨∼t ≡

21) ∼s∧(r∨∼q)∧∼p ≡

22) (∼p∧q)∨∼p∨∼q ≡

23) (q∨∼s)∧(∼t∧q) ≡

24) p∨(∼p∧q) ≡

25) ∼r∧(q∨∼r) ≡

26) ∼q∨(∼p∧∼t) ≡

MATEMÁTICA I Lic. Henry Ramírez - Lic. Antonio Cutimbo página 31

27) (∼q∨p)∧∼r ≡

28) (s∧∼r)∨∼s ≡

29) (∼p∧q)∨(∼p∧∼q) ≡

30) (∼s∨q)∧(∼s∨p) ≡

31) (∼t∧q)∨(∼r∧q) ≡

32) (∼p∨∼q)∧(r∨∼q) ≡

33) (r∨∼s)∧(∼t∨r) ≡

34) r∧V ≡

35) F∨q ≡

36) ∼s∧F ≡

37) ∼p∨V ≡

38) V∧(∼q∧p) ≡

39) F∨(∼s→q) ≡

40) (∼t∧q)∨ V ≡

41) F∧(∼r∨q) ≡

42) r∧(r∨s) ≡

43) t∨(t∧p) ≡

44) ∼p∧(q∨∼p) ≡

45) m∨(∼p∧m) ≡

∼r∧(r∨m) ≡

q∨(∼q∧t) ≡

∼p∧(q∨p) ≡

m∨(∼m∧∼q) ≡

(∼q∨∼p)∧p ≡

(∼s∧q)∨∼q ≡

(∼t∨s)∧∼s ≡

s∧∼s ≡

t∨∼t ≡

(∼p∨q)∧∼(∼p∨q) ≡

∼(s∧q)∨(s∧q) ≡

∼(∼r) ≡


58) ∼[∼(q∧s) ] ≡

59) ∼(r∧t) ≡

60) ∼(s∨m) ≡

61) ∼(q∧∼p) ≡

62) ∼(∼r∨∼q) ≡

63) q→r ≡

64) s→p ≡

65) ∼p→∼t ≡

66) r→∼q ≡

∼p→q ≡

s↔r ≡

t↔m ≡

q↔∼s ≡

∼p↔t ≡

∼p↔∼t ≡

q↔(∼q∧t) ≡

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Simplifique la siguiente fórmula lógica: [p ∧ (q ∨ p)] ∨ p

Solución:

[p ∧ (q ∨ p)] ∨ p

[ p ] ∨ p (7.a)

p (1.b)

Por lo tanto: [p ∧ (q ∨ p)] ∨ p ≡ p

2) Simplifique el siguiente esquema molecular:

[ (∼p ∧ q) → (r ∧ ∼r) ] ∧ ∼q


Solución:

[ (∼p ∧ q) → F ] ∧ ∼q (8.a)

[ ∼(∼p ∧ q) ∨ F ] ∧ ∼q (10.a)

[ ∼(∼p ∧ q) ] ∧ ∼q (6.d)

(p ∨ ∼q) ∧ ∼q (9.a) y (8.c)

∼q (7.a)

Por lo tanto: [ (∼p∧q) → (r∧∼r) ] ∧ ∼q ≡ ∼q


∼{∼[∼(∼p ∧ q) v ∼q] → [∼(p v ∼q)]}

Solución:

∼{∼[∼(∼p ∧ q) v ∼q] → [∼(p v ∼q)]}

∼{∼[ (p v ∼q) v ∼q] → [ ∼p ∧ q ] } (9.a), (9.b), (8.c)

∼{∼[ p v (∼q v ∼q)] → [ ∼p ∧ q ] } (4.b)

∼{ ∼ [ p v ∼q ] → [ ∼p ∧ q ] } (1.b)

∼{ ∼ {∼ [ p v ∼q ]} v [ ∼p ∧ q ] } (10.a)

∼{ [ p v ∼q ] v [ ∼p ∧ q ] } (8.c)

∼{ p v { ∼q v [ ∼p ∧ q ] } } (4.b)

∼{ p v { ∼q v ∼p } } (7.d)

∼{ ∼q v { p v ∼p } } (4.b)

∼{ ∼q v V } (8.b)

∼{ V } (6.c)

F (8.d)

Por lo tanto: ∼{∼[∼(∼p ∧ q) v ∼q] → [∼(p v ∼q)]} ≡ F


es equivalente a una contradicción


{ [∼q → ∼p] → [∼p → ∼q] } ∧ ∼(p ∧ q)

Solución:

{ [∼q → ∼p] → [∼p → ∼q] } ∧ ∼(p ∧ q)

{ [∼(∼q) v ∼p] → [∼(∼p) v ∼q] } ∧ ∼(p ∧ q) (10.a)

{ [ q v ∼p ] → [ p v ∼q ] } ∧ ∼(p ∧ q) (8.c)

{ ∼[ q v ∼p] v [ p v ∼q ] } ∧ ∼(p ∧ q) (10.a)

{ [ ∼q ∧ p] v [ p v ∼q ] } ∧ ∼(p ∧ q) (9.b) y (8.c)

{ {[ ∼q ∧ p] v p} v ∼q } ∧ ∼(p ∧ q) (4.b)

{ p v ∼q } ∧ ∼(p ∧ q) (7.b)

{ p v ∼q } ∧ (∼p v ∼q) (9.a)

( p ∧ ∼p) v ∼q (5.b)

F v ∼q (8.a)

∼q (6.d)

Por lo tanto: {[∼q → ∼p] → [∼p→∼q]} ∧ ∼(p ∧ q) ≡ ∼q


[((∼p) ∧ q) → (r ∧ ∼r)] ∧ ∼q

Solución:

[ (∼p ∧ q) → (r ∧ ∼r) ] ∧ ∼q

[ (∼p ∧ q) → F ] ∧ ∼q (8.a)

[∼(∼p ∧ q) v F ] ∧ ∼q (10.a)

[ (p v ∼q) v F ] ∧ ∼q (9.a)

[ (p v ∼q) ] ∧ ∼q (6.d)

(p v ∼q) ∧ ∼q


∼q (7.a)


EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Simplifique las siguientes fórmulas lógicas:

a) ( p→ ∼q ) ∧ p

b) [∼p ∧ (∼p ∨ q)] ∧ ∼p

c) ( p→ ∼q ) ∧ (p ∨ ∼q)

d) [p ∨ (q ∨ p)] ∧ (p ∨ ∼p)

e) { [ p ∧ ( q v p ) ] v ∼p } ∧ q

2) Simplifique las siguientes fórmulas:

a) [ (∼p ∧ q ) → ( r ∧ ∼r ) ] ∧ (∼q ) Rpta. ∼q

b) (∼p ∧ q ) → ( q → p ) Rpta. pv∼q

c) [ ( p → q ) v p ] ∧ [ ( p→ q ) v ∼p ] Rpta. ∼pvq

d) ( p ∧ q ) v ( p ∧∼q ) v ( ∼ p ∧∼ q) Rpta. pv∼q

e) [ (p v q) ∧(∼p v ∼q)] v [(p ∧ q) v (∼p ∧ ∼q )] Rpta. Tautología

f) [ p ∧( p v q) ∧ q ] v [ r ∧ ( ∼r v q ) ∧ p] Rpta. p∧q

g) { p v [ q v ( ∼ q ∧ ∼ p ) ] } ∧ ∼ p Rpta. ∼p

h) { ( p ∧ q ) v [ ( ∼p ∧ ∼q ) v q ] } ∧ p Rpta. p∧q

i) [ ∼( p v q ) v ( ∼p ∧ q ) ] ∧ ( p → q ) Rpta. ∼p

j) (∼p) ↔ ( p → ∼q ) Rpta. ∼pvq


SEMANA 6

TEMA: CIRCUITOS LÓGICOS O BOOLEANOS

OBJETIVO: conocer los circuitos en serie y paralelo para el ensamblaje de

Interruptores.

Un circuito eléctrico es un ensamblaje de interruptores automáticos que

permiten el paso de la corriente eléctrica, o la interrumpen.

El circuito lógico es un conjunto de símbolos y operaciones que satisfacen

las reglas de la lógica, simulando el comportamiento real de un circuito eléctrico.

Así para nosotros el interruptor representará una proposición p, de tal modo

que el paso de corriente significará que el valor de dicha proposición es

VERDADERO, en cuyo caso se dice que “el circuito está cerrado”; la interrupción

del paso de corriente significará que dicha proposición es FALSA, en cuyo caso se

dice que “el circuito está abierto”.

p p

circuito cerrado circuito abierto

(pasa corriente: V) (no pasa corriente: F)

p ∼pV FF V

p ∼p

pasa corriente no pasa corriente

no pasa corriente pasa corriente


1. CIRCUITOS EN SERIE :

Dos interruptores se encuentran conectados en serie, cuando están uno

a continuación de otro a través de un mismo conductor (en una misma línea).

La conjunción es la proposición compuesta que cumple con todas las

características de una conexión en serie.

Recordemos como es la tabla de verdad de la conjunción:

P q p ∧ qV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

p q p ∧ q

Ejercicios: Representar las siguientes fórmulas como circuitos:


1) p ∧ ∼q 2) ∼r ∧ ∼s 3) ∼t ∧ p

Ejercicios: Representar los siguientes circuitos a través de un esquema

molecular:

1) s ∼p 2) ∼q ∼r 3) ∼p t

2. CIRCUITOS EN PARALELO:

Dos interruptores están conectados en paralelo, cuando estos se

encuentran ubicados en dos conductores que tienen un origen común.

La disyunción inclusiva es la proposición compuesta que cumple con

todas las características de una conexión en paralelo. Analicemos porqué.

Recordemos que la tabla de verdad de la disyunción inclusiva es:

P q p ∨ qV

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F


p q p ∨ q

Ejercicios: Representar las siguientes fórmulas como circuitos:

1) p ∨ ∼q 2) ∼q ∨ ∼s 3) ∼r ∨ p

Ejercicios: Representar los siguientes circuitos a través de un esquema

molecular:

1) ∼s

q

2) ∼q

∼p


3) t

∼r

4) ∼q

∼p

p

5) p ∼q

q

∼p

6) ∼p q

p ∼q


EJERCICIOS:

1) Describir simbólicamente el siguiente circuito:

r p

∼q

q ∼r

2) Determinar el menor circuito equivalente al siguiente circuito:

∼p ∼q p p

p ∼r q

q ∼p

3) Determinar el circuito equivalente a:

q p

p q

∼p

4) ¿Qué representa el circuito equivalente a:

p ∼p

q ∼q

p q

∼p ∼q

5) Construir el circuito lógico equivalente del siguiente esquema:

[ (p→q) ∨ p ] ∧ [ (p→q)∨ ∼p ]


6) Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas

moleculares.

a) ∼[p → ∼(q∨r)]

b) (∼p) ↔ (p → ∼q)

c) (p∨q) → [(∼p∨q) → (p∧q)]

d) (p ∆ q) → (q ∆ p)

e) [ ∼(p∨q) ∨ (∼p∧q) ] ∧ (p→q)

7) Determinar la menor expresión que representa al circuito:

a) p

∼p q

∼q ∼p

b) ∼p ∼q

∼p p

q

c) p q

p ∼p ∼q

q

d) ∼p

p ∼q ∼q

p q


SEMANA 7

TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS

OBJETIVO: Conocer y utilizar el lenguaje conjuntista en ele quehacer

científico y cotidiano estableciendo relaciones entre elementos y conjuntos.

Es imposible dar una definición de conjunto, pero de manera intuitiva se

dice que es la reunión, agrupación o colección de objetos con que tienen

características comunes. A estos objetos se les denomina elementos o

miembros del conjunto.

Ejemplo:

1) El conjunto de los números pares menores que 10

2) El conjunto de las vocales

3) El conjunto de los países sudamericanos

Notación: Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,

D, E, ...... y los elementos que componen el conjunto se designan por letras

minúsculas: a, b, c, d, e, ...

Si un conjunto tiene por elementos 3, 5, m, n, p se escribe así: A = {3;

5; m; n; p} y se lee: “el conjunto A cuyos elementos son 3, 5, m, n, p”. Se

observa que los elementos van separados por comas y encerrados entre

llaves.

PERTENENCIA:

Es una relación que se establece entre un elemento y un conjunto. Se

representa por la letra griega epsilon ε y significa “...pertenece a...” o sino

“...es un elemento de...” Aunque usualmente en los textos de secundaria se

utiliza el símbolo ∈.

Luego:

x ∈ A significa “x pertenece al conjunto A”


La negación a esta afirmación se escribirá así:

x ∉ A significa “x no pertenece al conjunto A”

Ejemplo:

1) Si: P = {a+b; c; {φ}} luego: c ∈ P ; φ ∉ P

a ∉ P ; {φ} ∈ P

2) Sean los conjuntos: M={x+y; 3; π} N={8; θ; 5; x; π}

Luego complete colocando ∈ y ∉ en cada caso:

• y ..... M

• 5 ..... N

• x+y.....M

θ ..... N

π ..... (M∩N)

x ..... (M-N)

3) Dado el diagrama y las proposiciones determinar la verdad o falsedad de

cada afirmación:

U

7 B

8∈A ( ) A 1 C

4∈C ( ) 6

3∉B ( ) 2 9 8

n(B∩C)=2 ( ) 5

5∉A ( ) 4

n(A)=5 ( ) 3

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

1. Por Extensión : Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen

individualmente todos sus elementos, por lo tanto los

podemos contar.


Ejemplo:

1) A = {a, e, i, o, u} n(A) = 5 “el número de elementos

de A es 5”

2) M = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} n(M) = 7

3) P = { Perú , Argentina , Chile , Colombia , Ecuador , Brasil , Venezuela ,

Bolivia , Paraguay , Uruguay } n(P)=10

2. Por Comprensión : Un conjunto se expresa por comprensión cuando los

objetos del mismo se definen a través de una propiedad o

característica común a todos los elementos.

Cuando un conjunto se denota por comprensión se

utilizan los enunciados abiertos estudiados en el capítulo

anterior.

Ejemplos:

1) A = {x / x es una vocal}

Esto es un enunciado abierto. Recuerda que

dependiendo del valor que se le asigne a x se

convertía en una proposición verdadera o falsa.

En este caso solo nos interesan los valores de

x para que el enunciado abierto se convierta en

proposiciones verdaderas, es decir:


x = a ; x = e ; x = i ; x = o ; x = u

Por ello los elementos son: A = {a, e, i, o, u}

2) M = {x ∈ N / x<20 y x es múltiplo de 3}

3) P = {x / x es un país sudamericano}

4) H = {x / x es un estación del año}

Esto es un enunciado abierto. ¿Para qué

valores de x el enunciado abierto se

convierte en proposiciones verdaderas?

Luego:

x = primavera x = verano

x = otoño x = invierno

Por ello los elementos son:

A = {primavera, verano, otoño, invierno}

5) Si: B = {x ∈ Z / x2-4x-21=0 }

sus elementos por extensión son:

x2-4x-21=0

x -7

x +3


luego:x-7 = 0 ó x+3 = 0

x = 7 ó x = -3

∴ B = {-3, 7}

PRÁCTICA

1) Sea: A={2; 3; {a, b, 5}; 4; {c, d}} B={a; 3; b; 5}C={{a, b, 5}}

D={2; 3; {c, d}} E={2; {2, 3, {c, d}}}

Establezca la verdad o falsedad de cada proposición. en caso de ser falsa,

establezca la relación verdadera entre ellas.

a) Card(A) = 8 ( )

b) A ∩ B = ∅ ( )

c) a ∈ A ( )

d) n(B) = 4

( )

e) B ⊂ A ( )

f) {c, d} ∈ D

( )

g) A ∩ C = {{a, b, 5}} ( )

h) n(C) = 3

( )

i) 5 ∉ C ( )

j) C ⊂ A ( )

k) {2, 3} ∈ E

( )

a) D ⊂ A ( )

b) B - A = {a; b; 5} ( )

c) n(A) = 5 ( )

d) D ⊂ E ( )

e) A-D = {a; b; 4; 5} ( )

f) D - B = {2; {c, d}} ( )

g) Card(D) = 3 ( )

h) 3 ∈ E ( )

i) D ∈ A ( )

j) n(B ∪ D) = 6 ( )

k) {2; 3} ⊂ D ( )

l) C es unitario ( )

m) {c, d} ∈ E

( )

2) Si A = {7x / x∈N; 3 ≤ x < 6}, entonces por extensión será:

A)A={14;21;28;35;42} B) A={28;35} C)A={21;28;35;42}

D)A={21;28;35} E)N.A.

3) Si B = {x3+2 / x∈N; 1 ≤ x ≤ 5}, entonces por extensión será:


A)B={3;10;29;66;127} B) B={3;12;29;68} C)B={10;29;66}

D)B={7;26;63;124} E)N.A.

4) Si: A = {4x-3 / x∈N ; 5 < x ≤ 9} halle los elementos de A

A)A={21;25;35} B) A={21;25;33} C)A={21;25;29;33}

D)A={17;21;25;29;33} E)N.A.

5) Sí A={4x / x∈N; 3 ≤ x < 6}, entonces por extensión será:

A)A={3,4,5} B) A={12,16} C)A={4,4,4}

D)A={12,16,20} E)N.A.

6) Sí B={x3-1 / x∈N; 2 ≤ x ≤ 5}, entonces por extensión será:

A)B={2;3;4;5} B) B={2;3;4} C)B={7;26;63}

D)B={7;26;63;124} E)N.A.

7) El siguiente conjunto M={0;2;4;6;8;10}, ¿A cuál de los siguientes conjuntos

es igual?

A) M={2x / x∈N Λ x ≤ 5} B) M={x / x∈N Λ x ≤ 10}

C) M={2x+2 / x∈N Λ 0 ≤ x < 5} D) M={2x+2 / x∈N Λ 0 ≤ x ≤ 5}

8) Sea: M={3;5;7;9;11}, al transformar el conjunto por comprensión tenemos es

igual a:

I) M={x / x∈N Λ x < 6} II) M={(2x+1) / x∈N Λ 1 ≤ x < 6}

III) M={(2x-1) / x∈N Λ 1< x < 6}

A)Solo II B)Solo I C)Solo III D)Solo I y IIE)Solo II y III

9) Dado los conjuntos: A={x / 7 < x < 9; x es número natural}

B={x / x+5=11; x es número natural}

De ellos cual o cuales son unitarios.

A)A B)B C)A y B D)Nulos E)N.A.


10) Indica a que tipos de conjuntos corresponden:

A={φ} ; B={x∈N / 5< x < 6} ; C={ x∈N / x ≥ 5}

A)Vacio, Vacio, Infinito

B)Unitario, Vacio, Infinito

C)Unitario, Vacio, Finito

D)Vacio, Vacio, Finito

E)Vacio, Unitario, Infinito

11) Dados los conjuntos: A={x / 5 ≤ x < 7; x es número natural}

B={x / 3x-1=8; x es número natural}

De ellos cuales son unitarios.

A)A B)B C)A y B D)Nulos E)N.A.


SEMANA 8

TEMA: CONJUNTOS ESPECIALES

1. CONJUNTO VACÍO O NULO :

Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por la letra griega

φ (phi) y se define como:

φ = { x / x ≠ x }

Por otro lado debemos decir que el conjunto vacío también se

denota así: { }. El error que se comete generalmente es representarlo del

siguiente modo: {φ}, esto no es posible porque este conjunto no es vacío

sino unitario.

PROPIEDAD:

El conjunto vacío es un conjunto que está incluido en cualquier

conjunto incluso en sí mismo.

Es decir: φ ⊂ A , ∀A

como A=φ entonces φ ⊂ φ

Ejemplo:

Si: A = {x ∈ N / x2+5x+4=0 }


x2+5x+4=0

x +4


x +1

luego:x+4 = 0 ó x+1 = 0

x = -4 ∉ N ó x = -1 ∉ N

∴ A = { } luego A es un conjunto vacío

Ejemplo:

Si: P = {x ∈ N / 3 < x < 4 }

como no existen números naturales esté entre

3 y 4 entonces se dice que P es un conjunto

nulo o vacío, y se denota así: P = φ

2. CONJUNTO UNITARIO :

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo:

Si: C = {x ∈ N / x2-2x-15=0 }


x2-2x-15=0

x -5

x +3

luego:x-5 = 0 ó x+3 = 0

x = 5 ∈ N ó x = -3 ∉ N


∴ C = {5} luego C es un conjunto unitario

Ejemplo:

Si: H = {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3} luego H es un conjunto unitario

dado que cuando los elementos se repiten se consideran como

uno solo.

Por lo tanto: H = {3}

Ejemplo:

Halle “m + n + p” si el conjunto M es unitario.

M={4m–3 ; 25; 3n + 13 ; 7p–52}

Como M es un conjunto unitario entonces debo pensar que

todos los elementos son iguales, es decir:

4m-3=25 ∧ 3n+13=25 ∧ 7p-52=25

resolviendo:

4m = 28 3n = 15 7p = 77

m = 7 n = 5 p = 11

por lo tanto: m + n + p = 23


SEMANA 9

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. CONJUNTOS IGUALES :

Dos conjuntos A y B se dice que son iguales o idénticos si y solo si

tienen exactamente los mismos elementos. Esto significa que todo elemento

de A es elemento de B y que todo elemento de B es elemento de A.

A = B ⇔ (x∈A ⇒ x∈B) ∧ (x∈B ⇒ x∈A)

A = B ⇔ (x∈A ⇔ x∈B)

Ejemplo:

Si: A = {2, 5, 7} B = {2, 7, 2, 5, 7, 2}

Considerando que cuando los elementos se repiten entonces se

cuentan como uno solo, dado que los elementos son UNICOS,

podemos afirmar que los conjuntos A y B son iguales: A = B

Ejemplo:

Si: M = {-3, 8} N = {x∈Z / x2-5x-24=0 }

Luego al resolver se concluye que: M = N

Ejemplo:

Si los conjuntos A y B son iguales halle “x+y”:

A={128 ; 32x} ; B={81 ; 22y+1}


Como los conjuntos A y B son iguales, entonces por definición cada

elemento de A debe también ser elemento de B y viceversa.

Luego obviamente el elemento 128 no puede ser igual a 81, se

concluye que para ser iguales los conjuntos necesariamente 128 debe

ser igual a 22y+1 y 32x debe ser igual que 81. Lo denotaremos así:

22y+1 = 128 ∧ 32x = 81

22y+1 = 27 ∧ 32x = 34

⇒ 2y+1 = 7 ∧ 2x = 4

y = 3 ∧ x = 2

Por lo tanto: x+y = 5

2. CONJUNTOS EQUIVALENTES :

Dos conjuntos no vacíos se dice que son equivalentes o

coordinables, si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre

todos sus elementos.

En términos sencillos, dos conjuntos no vacíos son equivalentes si

tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo, los conjuntos A={3; 5}

y B={m; n} son equivalentes porque tienen la misma cantidad de elementos

o porque entre ellos se puede establecer una correspondencia biunívoca.

A B 3 m

4 n

Se denota así: A ≡ B

se lee:“A es equivalente a B”


3. INCLUSIÓN :

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está incluido en B si y

solo si todos los elementos del conjunto A también están en el conjunto B.

Se denota así: A ⊂ B y se lee “A está incluido en B” ó “A está

contenido en B” ó “A es un subconjunto en B”, pero también se podría

simbolizar así: B ⊃ A solo que ahora se leería “B incluye al conjunto A”.

B

A

A ⊂ B ⇔ (∀ x∈A ⇒ x∈B)

La negación de esto se denota: A ⊄ B y se lee “A no está incluido

en B”

A ⊄ B ⇔ (∃x∈A tal que x∉B)

Ejemplo: Si: A={3, 4, 9} B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}

Luego como todos los elementos de A también están en B

podemos afirmar que: A ⊂ B

Ejemplo: Si: A={m, n, p} B={m, n, p}

Se observa que todos los elementos de A están en B pero además

todos los elementos de B están en A, luego se concluye que A = B

DEFINICIÓN: Dos conjuntos son iguales si y solo si A está incluido en B y B

está incluido en A.


A=B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)

PROPIEDADES:

1) A ⊂ A Reflexiva

2) Si: A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A=B Antisimétrica

3) Si: A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C Transitiva

4) ∀A, φ ⊂ A

4. CONJUNTOS DISJUNTOS :

Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún

elemento en común. Se simboliza así:

A es disjunto con B ⇔ ∃x / x∈A ∧ x∈B

O sino:

Si A∩B = φ ⇒ A y B son conjuntos disjuntos

Ejemplo: Si: A={2, 5, 7} B={1, 3, 4, 6, 9}

Luego como A ∩ B = φ entonces podemos afirmar que A y B son

conjuntos disjuntos.

A B 2 1 3 5 9 6

7 4

5. CONJUNTOS COMPARABLES :


Se dice que dos conjuntos son comparables si A ⊂ B ó B ⊂ A, esto

es uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Pero si A ⊄ B y B ⊄ A

entonces diremos que estos son conjuntos no comparables.

A B

B A

Si: A ⊂ B ó B ⊂ A ⇒ A y B son comparables

A B

Si: A ⊄ B y B ⊄ A ⇒ A y B no son comparables

Ejemplo: Si: A={2, 3, 4, 5}B={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Como A ⊂ B entonces podemos afirmar que A y B son conjuntos

comparables.

Ejemplo: Si: A={3, 4, 6, 7, 9} B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

Como A ⊄ B y B ⊄ A entonces podemos afirmar que A y B son

conjuntos no comparables.

Ejemplo:

En el sistema de conjuntos numéricos, N y Z son conjuntos

comparables dado que N ⊂ Z


6. CONJUNTO POTENCIA :

Dado un conjunto A, llamaremos conjunto potencia de A al conjunto

formado por todos los subconjuntos que se pueden formar con los

elementos de A.

El conjunto potencia que denota así: P(A), se dice también que es el

conjunto de partes de A.

n[ P(A) ] = 2n

donde:

n: número de elementos de A

Ejemplo: Si: A={m, n}

Luego los subconjuntos que se pueden formar con los elementos

del conjunto A son:

P(A) = {{m}, {n}, {m,n}, φ}

Observe Ud. que

como n(A)=2 entonces n[ P(A) ] = 22 = 4 elementos

Ejemplo: Si: B={3, 5, 9}


del conjunto B son:

P(B) = {{3}, {5}, {9}, {3,5}, {3,9}, {5,9}, {3,5,9}, φ}

Como n(B)=3 entonces n[ P(B) ] = 23 = 8 elementos

Ejemplo: Si: A={1, 2, 4, 7, 8} ; B={0, 1, 5, 7, 8}



del conjunto A-B son:

A-B = {2, 4}

P(A-B) = {{2}, {4}, {2,4}, φ}

Como n(A-B)=2 entonces n[ P(A-B) ] = 22 = 4 elementos


SEMANA 10

TEMA: PRACTICA DE RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Dado el diagrama:

A B

C

D

y las proposiciones:

I. D ⊂ C II. B ⊂ A III. D ⊂ A

Decir cuales son verdaderos.

A) Sólo I B) Sólo II

C) I y II D) I, II y III

E) N.A.

2. Dado el diagrama:

M

N

P

Q

y las proposiciones:

NQ.IVNP.III

QP.IIMN.I

⊄⊂⊄⊂

Decir cuales son verdaderas

A)Sólo I B) Sólo II

C) I y III D)I, II, IV

E) Los cuatro.

3. Sean los conjuntos:

A={1; 2; 3} B={2; 3}

Indicar con “F” si es falso o con

“V” si es verdad cada una de las

siguientes proposiciones:

I. 2⊂A II. 3∈B III.B⊂A

IV. 3∈B V.B⊂A

A)FVFVF B)FVVVF

C)VFVFVD)VVVFF

E)VFFVV

4. Si:

A = {d}; B = {c; d};

C = {a; b; c}; D = {a; d}

E = {a; b; c}

Establezca la verdad o

falsedad de las siguientes

afirmaciones:

a) D ⊂ C

b) C ≠ E

c) C = B

d) C ⊄ E

e) D ⊄ E

f) B ⊄ A

5. De acuerdo al siguiente diagrama,

indique que afirmaciones son

correctas.


7 U

a) R ⊂ U R

8 b) T ⊄ R M

9 c) T ⊂ S S

10 d) M ⊂ S T

11 e) M ⊂ U

12 f) R ⊂ T

13 g) T ⊄ U

14 h) S ⊄ T

6. Sean los conjuntos:

A = {2, 3, 4, 5, 6}

B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}

C = {3, 5, 7, 9, 6, 10}

Señalar el orden en que se

indican si las afirmaciones son

verdaderas o falsas y marcar la

alternativa correcta:

a) A∪B = {1;2;3;4;5;6;7;8;10}

b) A∩C = {3;5;6}

c) B-C = {1;2;4;8;6;10}

d) C-B = B-C

A)FFFF B)FVFV

C)FVVF D)FVFF

E)NA

7. Dados los conjuntos:

M={x/x es par o igual que 13}

N={x/x es un múltiplo de 4 menor

que 15}

¿Cuántos elementos tiene el

conjunto M ∩ N ?

8. Dados los conjuntos:

P={x/x es un número natural

mayor que 2}

Q={x/x es un divisor de 8}

Hallar: P ∩ Q

9. Se tiene los siguientes conjuntos:

A = {3x + 2/x ∈ IN Λ x < 5}

B = {2x/x ∈ IN Λ x ≤ 6};

Hallar: A ∩ B

10. Dado los conjuntos:

A = { x∈ IN/3 < x < 12}

B = {x ∈ IN/2 ≤ x ≤ 13}

¿Cuántos elementos tiene el

conjunto A ∩ B?

A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

11. Si:A = {1; 2; 7; 8; 9}

B = {2; 3; 6; 7} C = {1; 2; 3; 4; 5}

Halle: A ∩ B ∩ C

A) 1; 2; 3

B) 2; 6; 7

C) 1; 2

D) 2; 7

E) 2; 3


SEMANA 11

TEMA: OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIÓN :

La unión ó reunión de los conjuntos A y B se define como el conjunto

formado por los elementos que pertenecen al conjunto A ó al conjunto B ó a

ambos. Se denota así: A ∪ B y se lee: “A unión B”.

Luego si: x ∈ A∪B ⇔ x∈A ∨ x∈B

De donde formalmente podemos definir la unión de conjuntos del

siguiente modo:

A∪B = {x ∈ U / x∈A ∨ x∈B }

U U

A B A B


A∪B A∪B

U

A

B

Si B⊂A ⇒ A∪B = A

PROPIEDADES:

1) A∪A = A Idempotencia

2) A∪B = B∪A Conmutativa

3) A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪(B∪C) Asociativa

4) A∪φ = A Elemento Neutro

A∪U = U

5) Si B⊂A ⇒ A∪B = A

2. INTERSECCIÓN :

La intersección de los conjuntos A y B se define como el conjunto

formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B al

vez. Se denota así: A ∩ B se lee: “ A intersección B”.

Luego si: x ∈ A∩B ⇔ x∈A ∧ x∈B


siguiente modo:

A∩B = {x ∈ U / x∈A ∧ x∈B }

U U


A B A B

A∩B A∩B = φ

U

A

B

Si B⊂A ⇒ A∩B = B

PROPIEDADES:

1) A∩A = A Idempotencia

2) A∩B = B∩A Conmutativa

3) A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Asociativa

4) A∩φ = φ y A∩U = A Elemento Neutro

5) Si B⊂A ⇒ A∩B = B

6) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributivas

A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

7) (A∩B) ⊂ A y (A∩B) ⊂ B

8) A∩(A∪B) = A y A∪(A∩B) = A Absorción

3. DIFERENCIA :

La diferencia de los conjuntos A y B se define como el conjunto

formado por los elementos que le pertenecen al conjunto A y no al conjunto

B. Se denota así: A – B se lee: “A menos B”.

Luego si: x ∈ A–B ⇔ x∈A ∧ x∉B



siguiente modo:

A–B = {x ∈ U / x∈A ∧ x∉B }

U U

A B A B

A - B A-B

U

A

B

A-B

PROPIEDADES:

1) A-A = φ

2) A-B ≠ B-A No es conmutativa

3) A∩(B-C) = (A∩B) – (A∩C) Distributiva

4) A-φ = A y φ-A = φ

5) (A-B) ⊂ A

6) A-B = (A∪B)-B = A-(A∩B)

7) B∩(A-B) = φ

4. COMPLEMENTO :


Si A y B son dos conjuntos tal que A ⊂ B, se define el “complemento

de A con respecto a B”, y se denota CBA a la diferencia de B-A.

CBA = B–A = {x / x∈B ∧ x∉A }

Luego si: x ∈ CBA ⇔ x∈B ∧ x∉A

La representación gráfica es:

U

B

A

CBA

En particular si B=U, el complemento de A con respecto al conjunto

universal U, se denota así: CUA = C A = A’ = AC

es decir: A’ = U-A = {x / x∈U ∧ x∉A }

En este caso su representación gráfica sería:

U

A’

A

5. DIFERENCIA SIMÉTRICA :


Dados dos conjuntos A y B se define “la diferencia simétrica de A y

B, que se denota por: A ∆ B, al conjunto:

A ∆ B = (A-B) ∪ (B-A)

A ∆ B = (A∪B)–( B∩A)

Gráficamente se representa así:

U

A B

A ∆ B

PROPIEDADES:

1) A∆A = φ

2) A∆B = B∆A Conmutativa

3) (A∆B)∆C=A∆(B∆C) Asociativa

4) A∆φ = A Elemento Neutro

5) (A∆B)∩C = (A∩C) ∆ (B∩C) Distributiva

EJERCICIOS:

1. Sea el conjunto universal U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y además: A={2,5,6,3,9}

; B={0,1,4,6,9,8} ; C={1,3,5,7,9}

Halle:

a) A’ ∩ B’

b) (A ∪ B)’

c)(C – B )’ ∩ A

d) (A ∆ B)’ ∪ C’


e) A – (B – C) f) (B – A) ∩ (C – A)

2. Sea U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y además M={2,4,7,1,0,5} ; N={2,6,8,9,3} ;

P={3,5,7,9,1} luego halle:

a) (M ∩ N)’

b) M’ ∪ P’

c)(N – P)’ – (M ∩ P)

d) (M – P)’ ∆ (N ∩ P)’

e) M’ ∩ (P’ – N’)

f) (N – M)’ – (P – M)’

3. Dados los conjuntos: U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}

A={1,4,5,6} ; B={0,8,2,4} ; C={0,3,6,7,8}

Hallar :

a) (B ∪ C)’- A’

b) (A - B)’ ∪ C

c) (A’ - B’) ∩ C’

{(A’ ∪ B’) ∩ C}’

{B’ ∪ (A ∩ C)}’ – (A ∪ B)’

(A ∩ C)’ – (B – A)’

4. Dados los conjuntos: U={1,2,3,4,5,6,7} ; A={1,2,3,4,5}

; B={3,4,5,6,7} ; C={1,2,3}

Halle: { [ (A∪B)’ ∆ (A∪C)’] – C } ∪ B’

5. Si: U={a,b,c,d,e} ; A∪B={a,b,c,d} ; A∩B={a,c} y A-B={b}

Halle los conjuntos A y B.

6. Dado los conjuntos:

A={ x∈Z / ∼[ x ≤ -2 ∨ x > 3 ] }

B={ x∈N / ∼(-1< x ≤ 3 → x = 5) }

C={ x∈Z / (x < -2 ∨ x ≥ 2) → x > 1}


Halle el resultado de: (B ∩ C) ∆ (A ∩ B)


SEMANA 12

TEMA: PROBLEMAS DE INTERPRETACIÓN DE CONJUNTOS

1) De 20 personas, a 12 les gusta la manzana, a 13 la pera y a 5 personas

ambas. ¿A cuántas personas les gusta sólo la manzana?

A)8 B)7 C)15 D)6 E)10

Solución: Sea:

M : conjunto de personas que les gusta la manzana

P : conjunto de personas que les gusta la pera

n(U)=20

n(M)=12 M P n(P)=13

7 5 8

Por lo tanto, a 7personas le gusta solo la manzana

2) Durante el mes de Abril una persona toma desayuno con queso o

jamonada, si 19 días toma desayuno con queso y 24 dias con jamonada.

¿Cuántos días tomó desayuno con queso y jamonada a la vez, si hubo dos

días que no tomó desayuno?

A)4 días B)10 días C)13 días D)8 días E) 6 días

Solución: Sea:

Q : conjunto de días que toma desayuno con queso

J : conjunto de días que toma desayuno con jamonada

n(U)=30

n(Q)=19 Q J n(J)=24


4 15 9

2

∴Quince días tomó desayuno con queso y jamonada a la vez

3) De un grupo de 25 jóvenes, 12 practican ajedrez, y 8 damas y ajedrez.

¿Qué proposición es falsa?

A)4 sólo ajedrez B)12 sólo ajedrez

C)13 sólo damas D)21 juegan damas

E) 45 juegan damas

4) En una reunión 15 personas toman Fanta y Sprite; 9 solamente Fanta; 22

prefieren Sprite; 12 no prefieren ninguna de las bebidas. ¿Cuántas

personas hay en la reunión?

A)41 B)43 C)49 D)50 E)46

5) En un salón , 40 alumnos estudian portugués, 70 francés y hay 30 que

estudian ambos idiomas. Si todos los alumnos estudian por lo menos un

idioma y a lo sumo dos. ¿Cuántos alumnos hay en total?

A) 80 B) 70 C) 60 D) 110 E) 140

6) De un grupo de personas, el 35% sólo sabe cantar y el 90% cantan o

bailan. ¿Qué porcentaje no bailan?

A) 35 B) 55 C) 45 D) 90 E) NA

7) Tengo 100 amigos de los cuáles 85 fuman puros y 35 cigarrillos. ¿Cuántos

fuman ambas cosas a la vez?, si todos fuman por lo menos alguna de las

dos cosas.

A) 25 B)24 C)34 D)21 E)Absurdo

8) Se hizo una encuesta en el mercado a cierto número de amas de casa, y

resultó que 14 compraron carne de pollo, 11 carne de res, 6 las dos clases


de carne y 20 no compraron ni pollo ni res. ¿A cuántas personas se hizo la

encuesta?

A)42 B)40 C)38 D)39 E)45

9) Conversando con 10 padres de familia nos cuentan que 8 de ellos tienen

luz y 5 tienen agua en el sitio que viven. ¿Cuántos tienen agua y luz?

A)5 B)8 C)2 D)3 E)6

10) En mi salón hay 20 alumnos. A 11 les gusta matemática, a 12 les gusta el

lenguaje, y a 4 les gusta matemática y lenguaje. ¿A cuántos de los 20

alumnos no les gusta ni matemática ni lenguaje?

A)1 B)2 C)4 D)5 E)6

11) El director de un Instituto ha reportado todos los siguientes datos

estadísticos acerca de un grupo de 30 estudiantes de dicho Instituto; 19

llevan matemáticas, 17 llevan música, 11 llevan historia, 12 llevan

matemáticas y música, 7 historia y matemáticas, 5 música e historia, 2

matemáticas, historia y música. ¿Cuántos alumnos llevan historia y no

matemáticas?

A)2 B)1 C)7 D)5 E) 4

12) En un barrio donde hay 31 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la

bodega y 18 en el supermercado; 5 en los dos últimos sitios; únicamente 6

en los dos primeros y 7 en el primero y último ¿ Cuál es el menor

número de personas que podrían comprar solamente en el

mercado?

A)3 B)6 C)7 D)10 E) N.A.

13) De un grupo de alumnos, 39 juegan béisbol; 28 juega fútbol; 36 juegan

tenis; 15 juegan béisbol y fútbol; 17 juegan béisbol y tenis, 10 juegan los


tres deportes. ¿Cuántos juegan solo béisbol? ; ¿Cuántos juegan solo

fútbol?, ¿Cuántos juegan solo tenis? ¿ Cuántos alumnos son en total?

14)De 150 personas encuestadas se encontró que: 80 toman leche; 50 toman

café; 60 toman té; 30 toman café y leche; 30 toman café y té; 30 toman

leche y té; 20 toman los tres líquidos. Conteste: ¿Cuántos toman sólo

leche? ¿Cuántos sólo café? ¿Cuántos toman sólo uno de los tres líquidos?

¿Cuántos toman sólo uno de los tres líquidos? ¿Cuántos toman por lo

menos 2 líquidos? ¿Cuántos toman otro líquido?

15) De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 diarios (Comercio,

República y Ojo), se observa que de ellas 40 leen Comercio y República,

50 leen República y Ojo y 60 leen Comercio y Ojo. ¿Cuántas personas leen

los tres diarios?

A) 15 B) 35 C) 25 D) 55 E) 50

16) De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y

120 ninguna de las dos carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambas

carreras a la vez?

17) En un hotel hay 51 turistas, de los cuales 26 tienen dólares, 26 tiene

francos suizos y 29 tienen pesos mexicanos; 8 tiene dólares y francos

suizos pero no pesos mexicanos, 6 tiene pesos mexicanos y francos suizos

y 10 poseen solamente dólares y pesos mexicanos. ¿Cuántos poseen las 3

clases de moneda al mismo tiempo?

A)3 B) 5 C) 9 D) 10 E) 4

18) En una encuesta a los estudiantes se determinó que :

- 68 se portan bien

- 160 son habladores

- 138 son inteligentes

- 55 son habladores y se portan bien


- 48 se portan bien y son inteligentes

- 120 son habladores e inteligentes

-40 son habladores, inteligentes y se portan bien, ¿Cuántos estudiantes

son inteligentes solamente?

19) En una encuesta a 100 televidentes sobre los programas de TV se

obtuvieron los siguientes resultados:

- 45 ven el programa A

- 50 ven el programa B

- 20 ven solamente los programas B y C

- 10 ven solamente el programa C

Además el número de encuestados que ven los tres programases igual a la

mitad de los que solo ven los programas A y B y 1/3 de los que ven solo el

programa B. También el número de televidentes que ven sólo los

programas A y C es el doble de los que ven sólo el programa A.

El número de encuestados que no ven ninguno de los tres programas es:

20) En ciertas competiciones, se disputan trofeos en los siguientes deportes:

fútbol, vóley, básquet, atletismo, tenis, etc. De un total de 150 participantes

se encontró que:

- 10 alumnos participan sólo en futbol y basquet

- 12 alumnos participan solo en futbol

- 15 alumnos participan solo en futbol y voley

- 14 alumnos participan solo en basquet y voley

- 15 alumnos participan sólo en basquet

- 09 alumnos participan sólo en voley

- 15 alumnos participan sólo en tenis

- 10 alumnos participan sólo en atletismo

- 40 alumnos participan en otros deportes

¿Cuántos practican futbol, voley y basquet al mismo tiempo?

SEMANA 13


TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES

En la mayoría de los casos, en los cuales intervienen dos magnitudes

de igual o diferente especie, es posible establecer una cierta relación de

dependencia entre ellas, de modo tal que, admitiendo conjuntos de cantidades

de cada una de las magnitudes, a un cierto valor de una de ellas le

corresponde uno y solo de la otra magnitud y recíprocamente. En tales casos

se dice que una de las magnitudes dependen de la otra. En algunos textos,

esta dependencia entre magnitudes se expresa mediante el término función.

1. “Se dice que y es función de x, cuando para cada valor de x,

corresponde un valor de y ; esto se denota por y = f(x)”

Ejemplo 1: El costo que produce el pintar una pared está en función a la

medida del área de la superficie a pintarse, entonces:

Costo = f(área)

Ejemplo 2: La cantidad de trabajo que puede realizarse está en función

entre otras cosas, del número de obreros que se empleen,

entonces:

Trabajo = f(obreros)

Ejemplo 3: El volumen de una esfera está en función a la medida del

área de la superficie a pintarse, entonces:

Costo = f(área)

Ejemplo 1: El costo que produce el pintar una pared está en función a la

medida del área de la superficie a pintarse, entonces:

Costo = f(área)


2. “Dadas dos magnitudes y un conjunto de valores o cantidades

correspondientes a estas, de modo tal que exista una relación de

dependencia entre ellas, entonces son proporcionales cuando

multiplicando o dividiendo un valor cualquiera de uno de los conjuntos,

por un cierto número, su correspondiente en el otro conjunto queda

multiplicado o dividido (o viceversa) por el mismo número.

Ejemplo 1: Las magnitudes costo y longitud son proporcionales,

puesto que si la longitud a comprarse fuera el doble, el

costo también se duplicará.

Ejemplo 2: Las magnitudes tiempo y obreros guardan

proporcionalidad, puesto que para realizar cierta obra,

se duplicará el tiempo a emplearse, entonces el

número de obreros que se necesitarían sería sólo la

mitad.

1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:

Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas,

se considerarán como magnitudes directamente proporcionales, cuando el

cociente de sus cantidades correspondientes permanezca constante.

Ejemplo 1: Consideremos las magnitudes peso y costo, y sus parejas de

valores correspondientes:

PESO 1kg 2kg 3kg 4kg 5kg ……COSTO S/.600 S/.1200 S/.1800 S/.2400 S/.3000 ……

donde se cumple que:

tetancons.......3000

5

2400

4

1800

3

1200

2

600

1======


Entonces: tetanconsKCOSTO

PESO==

El peso es directamente proporcional al costo

2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES :

Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas,

se considerarán como magnitudes inversamente proporcionales, cuando el

producto de sus cantidades correspondientes permanezca constante.

Ejemplo 1: Consideremos las magnitudes velocidad y tiempo con parejas de

valores correspondientes a ellas:

VELOCIDAD 180Km/h 90km/h 60km/h 45km/h 36km/h ……TIEMPO 1h 2h 3h 4h 5h ……

donde se cumple que:

180×1=90×2=60×3=45×4=36×5= ....... = constante

Entonces: VELOCIDAD × TIEMPO = K = constante

SEMANA 14

TEMA: REGLA DE TRES:

De acuerdo al número de magnitudes que intervienen se pueden

clasificar en simple y compuesta.

A) REGLA DE TRES SIMPLE.- es aquella en la que intervienen solo dos

magnitudes. Esta a su vez se pueden clasificar en directa e inversa.


Directa (R3SD), es aquella en la que las dos magnitudes que

intervienen son directamente proporcionales, es decir el cociente de

sus cantidades correspondientes debe permanecer constante.

Sean las magnitudes directamente proporcionales A y B, de modo tal

que:

A Ba1 --- b1 (supuesto)a2 --- X (pregunta)

X

a

b

a 2

1

1 = entonces 1

12

a

)b()a(X=

Inversa (R3SI), es aquella en la que las dos magnitudes que

intervienen son inversamente proporcionales, es decir el producto de

sus cantidades correspondientes debe permanecer constante.

Sean las magnitudes inversamente proporcionales A y B, de modo tal

que:

A Ba1 --- b1 (supuesto)a2 --- X (pregunta)

(a1)⋅(b1) = (a2)⋅(X) entonces 2

11

a

)b()a(X=

Ejemplos:

1) Una casa pertenece a dos hermanos, la parte del primero es los

5/13 de la casa y está valorada en 1530 000 soles. Hallar el valor

de la parte del hermano.


R3SD

Parte Costo5/13 1 530 000 (supuesto)8/13 X (pregunta)

)13/5(

)0005301)(13/8(X= luego: X=2 448 000 soles

2) Una fábrica tiene petróleo suficiente para 20 días, consumiendo

dos barriles diarios. ¿Cuántos barriles menos se debe consumir

diariamente para que el petróleo alcance para 30 días?

Solución: R3SI

N° Días N° Barriles20 2 (supuesto)30 2-X (pregunta)

30

)2()20(X-2 = luego:

3

2X

3

4-2X =⇒=

3) Para pintar un cubo de 10cm de arista se gastó 240 soles. ¿cuánto

se gastará para pintar un cubo de 15cm de arista?

Solución: R3SD

Área Costo6⋅102 240 (supuesto)6⋅152 X (pregunta)

)10)(6(

)240)(15()6(X 2

2

= luego: X=540 soles

4) Una guarnición de 2250 hombres, tiene provisiones para 70 días. Al

terminar el día 29 salen 200 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán

durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición?


Solución:

Al terminar el día 29, las provisiones que quedan equivalen a 70-

29=41 días, entonces considerando el volumen de provisiones

constante, podemos plantear:

R3SI

N° Días N° Hombres41 2250 (supuesto)X 2250-200 (pregunta)

)2050(

)2250()41(X= luego: X=45 días

5) Un navío partió con una tripulación de 80 hombres llevando víveres

para 20 días. Después de 8 días de navegación, se dio albergue a

40 viajeros, procedentes del naufragio de otro buque. ¿Cuántos

días más pudo durar la navegación, dando ración completa a todos

los tripulantes y viajeros?

Solución:

Después de 8 días de viaje a los 80 hombres les queda víveres para

20-8=12 días, los cuales deberán ser compartidos con los náufragos

de modo tal que alcancen para “x” días más después de los ya

transcurridos.

R3SI

N° Días N° Viajeros12 80 (supuesto)X 80+40 (pregunta)

)120(

)80()12(X= luego: X=8 días


PRÁCTICA

1) Si 25 metros de alambre de cobre

valen s/.225, ¿cuánto valen 40

metros?

A)240 B)200 C)360

D)320 E)400

2) Ocho obreros han tardado 24

horas para realizar cierto trabajo.

¿Cuánto tiempo hubiesen

empleado para hacer el mismo

trabajo 4 obreros?

A)32h B)24h C)48h

D)56h E)60h

3) Si 80kg de azúcar cuesta 240

soles. ¿Cuánto cuesta 60kg de

azúcar de esa misma calidad?

A)140 B)130 C)160

D)200 E)180

4) Dos albañiles emplean 18 horas

en hacer un piso de una

habitación. ¿Cuánto tiempo

emplearán 9 albañiles en hacer el

mismo trabajo?

A)36 B)81 C)5

D)8 E)4

5) Con 12kg de harina se preparan

4800 panes ¿Cuántos panes se

preparan con 20kg de harina?

A)4000 B)8000 C)5500

D)3000 E)4200

6) Ocho tripulantes tienen comida

para 15 días. ¿Cuántos días

durará la comida si hubieran ido

12 tripulantes?

A)12 B)15 C)1

D)8 E)9

7) Veinte obreros hacen una obra en

8 días. ¿En cuántos días harán la

obra si trabajan 40 obreros?

A)6 B)4 C)2 D)5 E)8

8) Un avión tarda 2 minutos para

recorrer 4,5km. ¿Cuánto tardará

en recorrer con la misma

velocidad: 180km?

A)1h 20min B)1h 30 min

C)70 min D)7 min

9) He comprado 4950 cuadernos

con la condición de recibir 6 más

en cada ciento. ¿Cuántos debe

darme el vendedor en total?

A)5140 B)5237 C)5263

D)5247 E)5305


10)Si 40 tripulantes tienen comida

para 72 días. ¿Cuántos días

podrán alimentarse 60 tripulantes

con la misma cantidad de

alimento?

A)39 B)48 C)36

D)56 E)64

11)Un trabajo puede ser realizado

por 80 obreros en 42 días. Si el

plazo para terminarlo es de 30

días. ¿Cuántos obreros deben

aumentarse?

A)14 B)23 C)26

D)32 E)30

12)Si una docena de vasos cuesta

7,44 soles. ¿Cuánto deberá

pagarse por 17 vasos?

A)S/.11,63 B)S/.10,54

C)S/.12,54 D)S/.11,25

E)S/.12,45

13)Doce obreros hacen una obra en

360 días ¿Cuántos obreros se

necesitarán para realizar la misma

obra en 48 días?

A)45 B)70 C)90

D)120 E)80

14)24 obreros hacen una casa en 30

días. El triple de obreros, ¿qué

tiempo tomarán para hacer la

misma obra?

A)10 días B)15 días

C)17 días D)12 días

15)Un tejedor necesita trabajar 12

horas diarias para hacer los 3/4 de

una chompa. ¿Cuánto tiempo

empleará para hacer toda la

chompa?

A)13 h/d B)18 h/d

C)15 h/d D)16 h/d

E)10 h/d

16)Un obrero gana S/.50 por los 5/9

de su labor diaria. ¿Cuánto gana

por su labor diaria completa?

A)S/.80 B)S/.70

C)S/.90 D)S/.10

E)S/.40

17)Un comerciante vende 45

paquetes de medias en 15 días;

30 paquetes ¿en cuántos días

venderá?

A)10 B)15 C)12

D)14 E)13

18)En un día de trabajo de 8 horas,

un obrero ha hecho 10 cajas.


¿Cuántas horas tardará en hacer

25 de esas mismas cajas?

A)18 B)20 C)22

D)16 E)24

19)Un muchacho vive en el sexto piso

de un edificio. Calcule cuanto

tarda en subir hasta su casa si

llega al tercer piso en 30

segundos.

A)45s B)48s C)60s

D)75s E)90s

20)Un obrero gana S/.50 por los 5/9

de su labor diaria. ¿Cuánto gana

por su labor completa diaria?

A)S/.65 B)S/.90 C)S/.70

D)S/.85 E)S/.50

21)Un barco lleva víveres para 22

días y 39 tripulantes, pero estos

no son más que 33. ¿Cuántos

días puede durar la navegación?

A)30 B)28 C)26

D)25 E)32

22)Una caja de 3 docenas de

naranjas cuestan S/.27. ¿Cuánto

se pagará por 5 cajas de 16

naranjas cada una?

A)45s B)48s C)60s

D)75s E)90s

23)¿Cuánto cuesta cercar una huerta

cuyo contorno mide 100m, si el

metro de alambre vale 13,75 soles

y se dan 5 vueltas con él?

A)68,75 B)65,75

C)65,25 D)68,25

E)64,45

24)Un auto a 60km/h cubre la

distancia de Lima a Tumbes en 16

horas. ¿A qué velocidad debe

recorrer para cubrir dicha distancia

en la mitad del tiempo?

A)30km/h B)38km/h

C)60km/h D)120km/h

E)54km/h

25)En un cuartel de 200 soldados

tienen víveres para 40 días, si se

cuadriplicara el número de

soldados. ¿Para cuánto tiempo

durarían los víveres?



E)160 días

26)Pedro hizo los x/y de una obra en

“z” días. ¿Cuántos días demorará

para hacer toda la obra?

A)xz/y B)zy/x C)x/y

D)xy/z E)xz+y


27)Un rueda dá 2574 vueltas en 25

minutos. ¿Cuántas vueltas dará

en 1 hora, 15 minutos?

A)7272 B)7227 C)7722

D)6522 E)6844

28)Pedro le regala a Cecilia un cubo

de madera que cuesta 1200 soles,

si le regalara un cubo de la misma

madera, pero de doble arista.

¿Cuánto costaría dicho cubo?

A)S/.9600 B)S/.9300

C)S/.8400 D)S/.9800

E)S/.8900

29)Un obrero tarda en hacer un cubo

compacto de concreto de 30cm de

arista 50 minutos. ¿Qué tiempo

tardará en hacer 9 cubos, cada

uno de 50cm de arista?

A)34 h B)13

1834 h

C)18

1334 h D)35 h

30)“N” hombres tienen alimentos para

“D” días, si estos alimentos deben

alcanzar para 3D días. ¿Cuántos

hombres deben disminuir?

A)N/3 B)2N/3 C)2N/5

D)3N/4 E)3N/5

31)Se compra 2,95m de casimir

inglés por S/.186. ¿Cuánto se

pagará por 4,65m del mismo

casimir?

A)S/.293,2 B)S/.285,5

C)S/.267,4 D)S/.245,4

E)S/.296,8

32)¿Cuántos soles se necesitan para

hacer un giro de $960, estando el

tipo de cambio a S/.2,16 por

dólar?

A)S/.2943,7 B)S/.3085,8

C)S/.2607,5 D)S/.2073,6

E)S/.3196,2

33)Un buey atado a una cuerda “x”

metros puede comer la hierba que

está a su alcance en 2 días. ¿En

cuántos días, el buey podrá comer

la hierba que está a su alcance si

la cuerda fuese de “2x” metros de

longitud?

A)3 días B)4 días

C)6 días D)8 días

E)16 días

34)97 litros de vino contienen 4

gramos de azúcar. ¿Cuántos litros

de agua se deben agregar para

que por cada 13 litros de mezcla

haya medio gramo de azúcar?


A)12 B)15C)7

D)6 E)3

35)Un auto a 60km/h, cubre la

distancia de Lima a Piura en 16

horas. ¿A qué velocidad debe

recorrer para cubrir dicha distancia

en la mitad del tiempo?

A)130 km/h B)120km/h

C)150 km/h D)110km/h

E)100 km/h

36)En un cuartel 200 soldados tienen

víveres para 40 días, si se

cuadriplicara el número de

soldados. ¿Para cuánto tiempo

durarían los víveres?



E)20 días


PRÁCTICA

SEMANA 15

TEMA: REGLA DE TRES COMPUESTA

Es aquella en la que intervienen tres o más magnitudes.

Para resolver problemas que involucren a tres o más se aplica una

regla denominada “regla de los signos”. Cuando al comparar la magnitud

incógnita con cualquiera de las otras magnitudes, si se determina que son

directamente proporcionales se anota – arriba y + abajo, pero si son

inversamente proporcionales se anota + arriba y – abajo. Luego la incógnita

se obtiene así:

-)(oductoPr

)(oductoPrX

+=

1) Si cuatro sastres hacen 20 ternos

en 10 días. ¿Cuántos ternos

harán 20 sastres en 30 días?

A)200 B)120 C)300

D)240 E)100

2) Si 5 obreros trabajando 10 horas

diarias han realizado 100 m2 de

un piso en 4 días. ¿Cuántos días

necesitarán 8 obreros trabajando

8 horas diarias para hacer 40 m2

de la misma obra?

A)1 día 12 horas

B)1 día 6 horas

C)2 días 6 horas

D)2 días 12 horas

E)NA

3) Cuatro carpinteros fabrican 10

puertas en 2 semanas. ¿Cuántos

carpinteros fabricarán 15 puertas

en tres semanas?

A)4 B)5 C)6

D)7 E)8

4) En 12 días, 8 obreros han hecho

los 2/3 partes de una obra. Se

retiran 6 obreros. ¿Cuántos días

demorarán los obreros restantes

para terminar la obra?


A)15 B)18 C)20

D)24 E)26

5) Se tiene un grupo de obreros que

pueden hacer una obra en 20 días

trabajando 9 horas diarias, pero

con 7 obreros más, la misma obra

se puede hacer en 12 días

trabajando 8 horas diarias. Halle

el número inicial de obreros.

A)8 B)10 C)15

D)12 E)6

6) Si 40 obreros trabajando 10 horas

diarias en 15 días en 15 días

construyeron 300m de una obra.

¿Cuántos obreros se necesitarían

para construir 180m de obra

trabajando 1 hora diaria menos

durante 20 días?

A)24 B)22 C)20

D)25 E)26

7) Diez peones demoran 15 días de

7 horas de trabajo en sembrar 50

m2. ¿Cuántos días de 8 horas de

trabajo, demorarán en sembrar 80

m2, 15 peones doblemente

hábiles?

A)9 B)6 C)3

D)12 E)7

8) Por 8 días de trabajo, 12 obreros

han cobrado S/.640. ¿Cuánto

ganarán por 16 días, 15 obreros

con los mismos jornales?

A)S/.1600 B)S/.1400

C)S/.1500 D)S/.1800

9) Si 8 secretarias tardan 3 horas

para digitar 72 páginas. ¿Cuánto

tardarán 6 secretarias para digitar

90 páginas?

A)8 horas B)7 horas

C)6 horas D)5 horas

E)4 horas

10) Un motociclista recorre una

distancia a 50Km por hora en 8

días de 9 horas diarias de

marcha. ¿En cuántos días cubrirá

la misma distancia corriendo a

60Km por hora y en jornadas de

10 horas diarias de marcha?

A)5 días B)6 días C)7 días

D)8 días E)9 días

11) En 12 días, 8 obreros han

hecho los 2/3 partes de una obra.

Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos

días demorarán los obreros

restantes para terminar la obra?

A)15 B)18 C)20

D)24 E)26


12) Se tiene un grupo de obreros

que pueden hacer una obra en 20

días trabajando 9 horas diarias,

pero con 7 obreros más, la misma

obra se puede hacer en 12 días

trabajando 8 horas diarias. Halle

el número inicial de obreros.

A)8 B)10 C)15

D)12 E)6

13) Si 40 carpinteros fabrican 16

puertas en 9 días. ¿Cuántos días

tardarían 45 carpinteros para

hacer 12 puertas iguales?

A)5 B)7 C)8

D)4 E)6

14) Una guarnición de 1600

hombres tiene víveres, para 10

días a razón de 3 razones diarias

cada hombre. Si se refuerzan con

400 hombres. ¿Cuántos días

durarán los víveres si cada

hombre toma 2 raciones diarias?

A)10 días B)11días


E)9 días

15) Si con 120Kg de pasto se

alimenta a 4 caballos durante 5

días. ¿Cuántos kilogramos de

pasto se necesitará para alimentar

a 9 caballos en 3 días?

A)162 kg B)167 kg

C)160 kg D)165 kg

E)170 kg

16) En un cuartel se calculó que

los alimentos alcanzaban para 65

días, pero al término de 20 días

se retiraron 200 soldados por lo

que los alimentos duraron para 15

días más de lo calculado.

¿Cuántos eran los soldados

inicialmente?

A)400 B)600 C)800

D)550 E)480

17) Dos bombas trabajando 5 h/d

durante 4 días, consiguen bajar el

nivel del agua, en 65 cm. ¿Qué

tiempo invertirán 3 bombas

análogas para bajar el nivel en 78

cm funcionando 8 h/d?

A)3 días B)2 días

C)4 días D)6 días

E)5 días

18) En un establo hay 50 vacunos

y comida para 128 días, comiendo

3 veces al día. Si se disminuye en

una decena el número el número

de vacunos, para ¿cuántos días


tienen comida si se aumenta una

ración diaria?



E)140 días

19) 2000 hombres trabajando en

la construcción de una carretera

hacen 2/3 de la obra en 200 días.

Si se aumenta 1/4 del total de

hombres. ¿Cuántos días

necesitarán para terminar la

obra?

A)75 B)40 C)80

D)65 E)70

20) 50 hombres tienen

provisiones para 20 días a razón

de 3 raciones diarias, si las

raciones disminuyen en 1/3 y se

aumentan 10 hombres. ¿Cuántos

días durarán los víveres?

A)20 B)30 C)15

D910 E)50

21) Si un carro va a una velocidad

de 10Km/h recorriendo 30Km en 6

días. ¿Cuántos km. recorrerá en 8

días si va a una velocidad de

50Km/h?

A)210Km B)240Km

C)200Km D)220Km

E)250Km


SEMANA 16 Y 17

TEMA: MATRICES

OBJETIVO: Lograr que el alumno conozca la distribución de una matriz y sus

respectivas operaciones

Es un arreglo rectangular de elementos (números reales) distribuidos

en filas y columnas.

Ejemplos:

1)701-

2-49

3-15-

2) 31-2 3) n

m

a

Notación: las matrices se representan por letras mayúsculas, tal como: A, B, C,

D, ....., etc.

El conjunto de elementos de una matriz se encierra con paréntesis o

corchetes y en los casos en que no se use números reales específicos, se

denotan con letras minúsculas sub indicadas: aij , bij , cij , es decir:

A = [aij] =

mn2m1m

n22221

n11211

a.........aa

............

a.........aa

a.........aa

ORDEN DE UNA MATRIZ:

El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado

m×n, donde m indica el número de filas y n el número de columnas.

Ejemplos:


1) A = 701-

2-49

3-15-

la matriz A es de orden 3x3

2) B = 31-2 la matriz B es de orden 1x3

3) C = n

m

a

la matriz C es de orden 3x1

Ejercicios: Escribir explícitamente la matriz:

a) A = [aij] ∈ K2×3 / aij = 2i-j

Solución:

a11=2(1)-1=1 a12=2(1)-2=0 a13=2(1)-3=-1

a21=2(2)-1=3 a22=2(2)-2=2 a23=2(2)-3=1

A = 123

1-01

b) B = [bij] ∈ K3×3 / bij = min(i,j)

c) C = [cij] ∈ K2×4 / cij = i2+j

IGUALDAD DE MATRICES:

Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus

componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son

idénticas. Esto es:


[aij]m×n = [bij]m×n si y solo si aij = bij , ∀ i,j

Ejemplos:

1) Dadas las matrices A = [aij] ∈ K2×2 / aij = 2i-(-1)j y

B = 3yx3

1yx , hallar los valores de x e y de modo que A = B

Solución: Determinando los elementos de la matriz A:

a11=21-(-1)1 = 2+1=3 a12=21-(-1)2 = 2-1=1

a21=22-(-1)1 = 4+1=5 a22=22-(-1)2 = 4-1=3

A = 35

13 =

3yx3

1yx si y solo si: x-y=3 ∧ 3x-y = 5

de donde resolviendo se obtiene que: x=1 , y=-2

OPERACIONES CON MATRICES

A) ADICIÓN DE MATRICES :

Dadas dos matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n se llama suma de matrices A y

B a otra matriz C = [cij]m×n tal que:

cij = aij + bij , ∀ i,j ∈ {1,2,3,4,…..}

Esto es:


A+B = [aij] + [bij] = [aij + bij]

Ejemplo:

1) Dadas las matrices: A = 1

2y3

yx2 , B =

21x

x-2y-5

+ y

C= 1-4

52-; hallar A+C, sabiendo que A=B

Solución:

Como A=B entonces se cumple que:

2x-1=5-y entonces 2x+y=6

3-y=x+1 entonces x+y=2

Resolviendo el sistema se obtiene que: x=4 ; y=-2

∴ A+C = 1-4

52-

25

2-7+ =

19

35

OPUESTO DE UNA MATRIZ:

Sea la matriz A = [aij]m×n , llamaremos opuesto de la matriz A a la matriz

denotada por –A, de tal modo que: -A = [-aij]m×n Observe la matriz A y –A

tienen el mismo orden.

Ejemplo:

Si la matriz: A = 1-4

52- luego -A =

14-

5-2


B) SUSTRACCIÓN DE MATRICES :

Dadas dos matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n se llama diferencia de matrices

A y B a otra matriz D = [dij]m×n tal que:

A – B = D

A + (-B) = D

de tal modo que:

[aij] + [-bij] = [aij - bij] = [dij], ∀ i,j ∈ {1,2,3,4,…..}

Ejemplo:

Sea: A = 123

1-01B =

172

6-35

Luego: A – B =

PRÁCTICA

1) Dados las matrices:

0 3 -1 1

A = B =

-5 2 1 -2

Calcule:

a) A+B+2(A-B)

b) -(B-3A) + 2(A+B)

c) xA + yB


2) Para las matrices A y B del ejercicio 1, halle “x” ∈ K2x2, tal que:

a) (A-x) + (B-x) = 0

b) 3(A+x) + 2(x-B) = 0

c) 4(x-A) + 2(x-B) = A-B

3) Escribe explícitamente las siguientes matrices:

a) A = [ aij ] ∈ K3x3/ aij = i + j

b) B = [ bij ] ∈ K3x3/ bij = i - j

c) C = [ cij ] ∈ K3x2/ cij = i - j

d) D = [ dij ] ∈ K3x3/ dij = max { i , j }

4) Sí: 1 -1 1 2 -2 3 1 0 0

A = -1 1 -1 B = -2 3 4 I = 0 0 0

1 -1 0 -3 4 5 0 0 1

Calcule:

a) 2A-B+2

1(A+B)

b) A + B + I ;

c) 3(A+B)-(B-A)

5) Para las matrices A y B del ejercicio anterior, determine la matriz x ∈ K3x3

(x-A) + (x-B) = A+B


6) Sí: 1 -1 1 2 -2 3

A = -1 1 -1 B = -2 3 4

1 -1 0 -3 4 5

Determine la matriz X:

a) 2A + 3B – 5X = 0

b)1

2

1

2( ) ( )X A X B X− + − = −

7) Escribe en forma explícita las componentes de la matriz:

a) A = [ aij ] ∈ K3x3/ aij = min {i, j}

b) B = [ bij ] ∈ K3x3/ bij = 1-(i + j)

c) C = [ cij ] ∈ K2x3/ cij = i j−2

d) D = [ dij ] ∈ K3x3/ dij = i

j

8) Resolver el sistema de ecuaciones :

2x - 5y = A

-4x + y = B , x, y ∈ K2x2

donde :

-8 -4 A =

, B =

4 -15

9) Halle a+b+c, sí:


158

4020

−−−

5 2 1

3 4 6

8 5

7

3 5 4

9 3 8

−

+

−−

=

−−

b

a c


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