Matemática II

MATEMATICA II

2

CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC

MATEMÁTICA II 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

ÍNDICE

Presentación 5

Red de contenidos 6

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1

SEMANA 1 : MATRICES Y DETERMINATES 7

SEMANA 2 : MATRICES Y DETERMINATES 27


SEMANAS 3 : GEOMETRÍA ANALÍTICA 43

SEMANAS 4 : ECUACIONES DE LA RECTA 57




SEMANA 8 : FUNCIONES Y GRÁFICAS 89

SEMANAS 9 : FUNCIONES Y GRÁFICAS 97

SEMANAS 10 : FUNCIONES Y GRÁFICAS 105


SEMANAS 11 : LÍMITES Y CONTINUIDAD 119




SEMANAS 14 : LA DERIVADA 149



4


MATEMÁTICA II 5


PRESENTACIÓN

Matemática II pertenece a la línea formativa, analítica y de solución de problemas, propios del cálculo diferencial y se dicta en todas las Carreras Profesionales de Cibertec. El curso brinda un conjunto de herramientas algebraicas y geométricas que permitirán el desarrollo de las capacidades de abstracción y de resolución de problemas. La forma didáctica en que presentamos los temas permitirá que sea un material complementario para afianzar el aprendizaje de nuestros alumnos.

El presente manual de matemática II, ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje (UA), las que se desarrollarán durante las 15 semanas de clases programadas. En cada una de ellas, se hallarán los logros que se deben alcanzar al final del desarrollo de la unidad. El tema tratado de cada UA, será ampliamente desarrollado tanto en el fundamento teórico del tema, como en la parte práctica, los mismos que tendrán problemas desarrollados, problemas propuestos y auto-evaluaciones que en su mayoría son problemas de evaluaciones continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados. Las sesiones de aprendizaje fomentarán la participación activa de los alumnos mediante ejercicios dirigidos, dinámicas individuales y grupales, además de la práctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen un nivel óptimo de aprendizaje. Se utilizarán controles de desempeño con el fin de promover el trabajo en equipo, el pensamiento critico, la argumentación y justificación de sus ideas así como la comunicación El curso es de naturaleza práctica. Se inicia manejando las herramientas básicas del algebra matricial, efectuando las operaciones básicas con matrices: la adición, multiplicación y otras aplicaciones; seguidamente, en el plano cartesiano, aprenderemos a construir gráficas de rectas y cónicas como circunferencias y parábolas, así como reconocer dichas cónicas a partir de sus ecuaciones. Del mismo modo, se analizarán las gráficas y el comportamiento en el plano de funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Finalmente, se analizarán la continuidad o discontinuidad de funciones algebraicas resolviendo los diferentes casos de límites indeterminados, a fin de hallar y manejar las diferentes aplicaciones del cálculo diferencial.

6


RED DE CONTENIDOS

Matemática II

Matrices y

Determinantes

Matriz Operación

Determinante

Geometría Analítica

Recta

Cónicas

Funciones

Limite

Derivada

MATEMÁTICA II 7


MATRICES Y DETERMINATES LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de las

operaciones con matrices y de su clasificación, resuelven problemas de operaciones

con matrices y calculan la determinante de una matriz.

TEMARIO

• Matrices: - Notación de matrices - Orden de una matriz - Igualdad de matrices - Tipos de matrices:

• Nula • Columna • Fila • Cuadrada

• Operaciones con matrices: - Suma y diferencia de matrices - Producto de un escalar por una matriz - Producto de matrices - Potencia de una matriz

ACTIVIDADES PROPUESTAS

• Escribe explícitamente matrices de orden MxN.

• Identifica los tipos de matrices y sus características.

• Efectúa operaciones con matrices: Adición, producto de un escalar por una matriz, multiplicación de matrices.

1.1 MATRICES

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1

SEMANA

1

• Matrices especiales: - Matriz Diagonal - Matriz Escalar - Matriz Identidad - Matriz Transpuesta - Matriz Simétrica - Matriz Antisimétrica - Superior e Inferior

8


Las matrices son herramientas matemáticas de mucha aplicabilidad en el campo de las ciencias económicas, sociales, administrativas entre otras áreas. Durante muchos años, los matemáticos puros fueron los únicos que se dedicaron al estudio de las matrices y de sus propiedades, pero en la actualidad existe un gran interés por el conocimiento de este tema, debido a sus numerosas aplicaciones en el estudio y solución de problemas concretos, sobre todo, por parte de quienes se dedican al estudio de la ciencias administrativas y sociales.

Es sumamente importante, para quienes se inician en el estudio de estos temas, tener muy presente que el concepto de matriz es completamente diferente al de “determinante”, tal como lo haremos notar más adelante. La rápida difusión de las calculadoras y, en particular, de las computadoras electrónicas, han creado la necesidad de impulsar el uso de las matrices en el planeamiento y solución de problemas concretos.

1.1.1 Definición

Una matriz A de orden m por n es un arreglo rectangular de elementos aij ordenados en filas y columnas, que tienen la forma:

columna 1

↓

=

1m

1i

11

a

a

a

A

columna j

↓

mj

ij

j1

a

a

a

columna n

↓

mn

in

n1

a

a

a

← Fila 1

← Fila i

← Fila m

... ...

... ...

... ...

Ejemplos:

=

108

64A

=18

12

6

16

10

4

14

8

2

B

=

7060

2015

40

8C

=15

10

3

D

[ ]012E =

[ ]50F =

Nota 1. Una matriz usualmente se denota por letras mayúsculas A, B, C etc. y a sus elementos por letras minúsculas aij, bij y cij etc. Ejemplos:

=

=

33

23

13

32

22

12

31

21

11

2221

1211

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Baa

aaA

=

13

12

11

c

c

c

C

MATEMÁTICA II 9


Nota 2. Los elementos aij de una matriz “A” pueden ser números reales, números complejos, funciones, vectores o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo, las fichas de un ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificados en orden alfabético, etc. Ejemplo:

A =

1

37

0 58

3

4

57 5 7

π

,

BSenx Cosx

Cosx Senx=

−

Hi i

i i=

−

3 4

3 1

2

I

Abad

Castro

Flores

Baldin

Cruz

Hilario

=

Nota 3. La matriz no tiene valor numérico; es decir, no puede identificarse con un número.

1.1.2 ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz es el producto indicado del número de filas por el número de columnas de la matriz.

Ejemplo:

3x315

e

5

8

31

5

3

3

A

π=Número de filas

Número de columnas

Luego, la matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces es de orden 3x3.

1.1.3 IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices A y B son iguales, si y sólo si, son del mismo orden y sus respectivos elementos son iguales

[ ] [ ] ijijij ,baBA ∀=⇔=

Ejemplo: Sean:

10


Ae

=− −

10 20

π

Be

=− −

10 20

π

Averiguar si son iguales o no:

SOLUCIÓN A y B tienen el mismo orden (2 x 2). Veamos si tienen los mismos elementos:

π−==

−======

2222

2121

1212

1111

ba

eba

20ba

10ba

Luego, A = B

1.1.4 TIPOS DE MATRICES

1.1.4.1 MATRIZ NULA

Una matriz, en la cual todos sus elementos son ceros, se denomina matriz nula y se denota 0.

Ejemplo:

[ ]0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0 0=

= =

1.1.4.2 MATRIZ COLUMNA

Tiene m filas y una columna. Ejemplos:

[ ]M N P=

=

=

5

10

15

20

3

3

3

3

8; ;

1.1.4.3 MATRIZ FILA

Está formada por una fila y n columnas Ejemplos:

MATEMÁTICA II 11


[ ][ ][ ]

A

B Senx Cosx Tanx

C x x x x

=

=

= − −

10 20 30 40

3 1 4 52 3

1.1.4.4 MATRIZ CUADRADA

Una matriz A es cuadrada, cuando el número de filas es igual al número de columnas, (m = n). Ejemplos:

La matriz A =

1 1 1

1 1 1

2 2 2

es cuadrada de orden 3 x 3

La matriz B =

2 3

5 7 es cuadrada de orden 2 x 2

Diagonal principal de una matriz cuadrada, es la línea formada por los elementos a11, a22, a33…, ann, llamada traza de la matriz. Ejemplo:

Diagonal Secundaria Diagonal principal o traza de la matriz

1.1.4.5 MATRIZ DIAGONAL

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal.

Ejemplos:

=

=

=

0000

0000

0000

0003

1

Cy

1000

000

005

B;

2000

0150

008

A

1.1.4.6 MATRIZ ESCALAR

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

12


Es aquella matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales:

Ejemplos:

=

=

3100

0310

0031

N,

3000

0300

0030

0003

M

1.1.4.7 MATRIZ IDENTIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al número uno.

Ejemplos:

A B y C=

=

=

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

;

1.1.4.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Una matriz cuadrada A=[aij] se llama triangular inferior si y solo si, sus elementos aij = 0 para i < j

Ejemplos:

π=

=

716151

0e

0031

B.2

318

03A.1

=

=2221

11

333231

2221

11

ee

0eE.5

ddd

0dd

00d

D.4

1.1.4.9 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Una matriz cuadrada A = [aij] se llama triangular superior si y sólo si, sus elementos aij = 0 para i > j

=

=

700

54310

324

M.2

20

45D.1

=

7777

0555

0033

0002

C.3

=

8000

4200

1400

8702

R.3

MATEMÁTICA II 13


1.1.4.10 MATRIZ SIMÉTRICA

Sea la matriz cuadrada A = [aij] . A es simétrica, si y sólo si Ejemplos:

=⇒

=543

462

321

A

543

462

321

A t

−−

=⇒

−−=

58

32P

53

82P t

1.1.4.11 MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Sea la matriz cuadrada A = [aij].

A es antisimétrica, si y sólo si A At= − . Los elementos de la diagonal principal de la matriz antisimétrica son ceros y los elementos equidistantes de la diagonal principal son números opuestos.

Ejemplo:

−

−−=−⇒

−−−=⇒

−

−−=

083

802

320

083

802

320

083

802

320tt AAA

1.1.5 MATRIZ TRANSPUESTA

La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por AT, cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A.

Ejemplos:

� Si 3x2

T

2x3

205

108

2

3Aentonces

20

5

2

10

8

3

A

=

=

TAA=

14


� Si 4x2

T

2x4

487

317

51

53

41

72

31

Pentonces

4

87

53

41

317

517

23

1

P

π=

π

=

1.1.5.1 Propiedades de la matriz transpuesta

1. Ejemplos: Si:

=⇒

=

10

01

10

01 TII

2.

Ejemplo:

Si :

−

−=

−−=630

241

112

621

341

012TBentoncesB

Luego: ( )

−−=621

341

012TTB

Por tanto : ( ) BBTT =

3. TT BKKB .)( = , “K” es un escalar

- Si 5ky

652

413

B =

=

II T =

( ) BBTT =

MATEMÁTICA II 15


�

=

=

62510

4515

652

413

5KB

�

=

625

45

1015)KB( t

- Si

=

652

413

B y K = 5

�

=

65

41

23BT

�

=

=

625

45

1015

65

41

235KBT

Por lo tanto verificamos que: (KB) t = KB t

4. ( )A B A Bt t t+ = + Ejemplo:

* Si

−−−

=

=

08

12

12

13BA

� A B+ =−

1 0

6 1 ;

−=+

10

61)BA( t

** Si A entonces At=

=

3 1

2 1

3 2

1 1

Si B entonces Bt=− −−

=

− −−

2 1

8 0

2 8

1 0

�

−−−

+

=+

01

82

11

23tt BA

� A Bt t+ =−

1 6

0 1

16


Por lo tanto: (A + B)t = At + bt

5. ( ) .AB B At t t=

* Si

=→

=→

=

−=

75

75)AB(

77

55AB

22

11B,

41

13A t

* * Si B Bt=

→ =

1 1

2 2

1 2

1 2

Si A A B At t t=−

→ =

−

→ =

−

=

3 1

1 4

3 1

1 4

1 2

1 2

3 1

1 4

5 7

5 7.

Luego verificamos que: (AB)t = Bt .At

1.1.5 OPERACIONES CON MATRICES

1.1.5.1. SUMA DE MATRICES

Sean las matrices: A = [aij] y B = [bij], ambas del mismo orden m x n. La matriz suma de A y B es otra matriz C = A + B = [aij + bij], la cual también es de orden m x n.

Ejemplos: 1. Sean las matrices:

3x23x2

25

52

3

1B

42

65

3

1A

−−

=

=

Entonces:

3x2

)2(4

56

52

25

33

)1(1BA

−++

++

+−+

=+

3x2

27

117

6

0BA

=+

2. Sean las matrices:

MATEMÁTICA II 17


3x33x3123

321

323

N

330

111

222

M

−−

−=

−−=

Entonces:

3x3)1(323)3(0

312111

)3(22232

NM

−+−+−+++−+

−+++=+

3x3453

412

145

NM

−−

−=+

PROPIEDADES:

Consideremos las matrices A, B y C del mismo orden y “ λ ” es un escalar. Entonces:

a) A + B = B + A , Conmutativa b) A + (B+C) = (A+B) + C, Asociativa c) λ (A+B) = λ A + λ B , Distributiva d) Existe una matriz 0 tal que para todo A, A + 0 = A.

1.1.5.2. SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Consideremos dos matrices A y B del mismo orden. Entonces, la diferencia de las matrices A y B definiremos por:

A - B = A + (-1) B

Ejemplo:

−−

−−=

−

−=

312

642

123

B

321

634

132

A

Entonces,

A - B = A +(-1) B =

−−

=−→

−−−−−

+

−

−=

031

012

255

BA

312

642

123

321

634

132

−−

−−−+

−

−

312

642

123

)1(

321

634

132

18


1.1.5.3. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALA R

Sea A = [aij] una matriz de orden m x n, y λ un número. Entonces λ A= [ λ aij]. Ejemplo:

Sea λ = 5 y

−−=

342

176

532

A

Entonces

−−=

−−=λ

152010

53530

251510

)3(5)4(5)2(5

)1(5)7(5)6(5

)5(5)3(5)2(5

A

1.1.5.4. PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR

COLUMNA

Sean: [ ]A a a a y B

b

b

b

n

n

= =

1 2

1

2

, ,..., .

.

Entonces: A x B = [ ] ∑=

=+++n

1iiinn2211 baba...baba

Ejemplo:

A = [4 8 -2] y B =

1

2

3

−

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]18tan6164)6()16(4

)3)(2()2)(8()1(4

3

2

1

284

−=−−=−+−+=

−+−+=

−−=

AxBtoPorAxB

AxB

1.1.5.5. PRODUCTO DE DOS MATRICES

Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas en la otra.

MATEMÁTICA II 19


Dada las matrices:

A = [aij]m x n , B = [bij]n x p y C = [cij]mxp Entonces: A x B C=

Nº de columnadebe ser iguala Nº de filas

[aij ]m x n . [bij ]n x p = [cij ] m x p

La matriz C será de orden mxp

Ejemplo:

Calcular AB si:

=

=703

431

265

By

514

310

432

A

Solución:

AB =

2 3 4

0 1 3

4 1 5

5 6 2

1 3 4

3 0 7

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

=

7

4

2

514

0

3

6

514

3

1

5

514

7

4

2

310

0

3

6

310

3

1

5

310

7

4

2

432

0

3

6

432

3

1

5

432

AB

AB =+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

2 3 1 4 3 2 6 3 3 4 0 2 2 3 4 4 7

0 1 1 3 3 0 6 1 3 3 0 0 2 1 4 3 7

4 1 1 5 3 4 6 1 3 5 0 4 2 1 4 5 7

(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

20


AB =

25 21 44

10 3 25

36 27 47

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES a) AB no es igual BA (no conmuta) b) A· (B · C) = (A·B) ·C c) A· (B + C) = A · B + A · C d) (B + C) A = B. A + C.A e) K (A B) = A · (K · B) , K es un escalar.

1.1.5.6. POTENCIA DE UNA MATRIZ

Sea A una matriz cuadrada de orden n x n. Definiremos: 1. Aº = I A3=A.A.A

A1 = A A2= A.A An= 43421

vecesn

AAAA …......

2. An.Am = An+m

3. (An)m = An.m

4. A y B se llaman conmutables ↔ AB = B.A 1.2.7 GUÍA DE PROBLEMAS Operaciones con matrices 1) Si:

A

a b

b

b x a x

=− −

− −

1 1

2 3

4

es una matriz simétrica

Hallar: M = A2 - 4I + 2E; donde E = matriz escalar, k=2 Solución Si A es una matriz simétrica

� a - b = 2 …………………….….……… � b - x = -1 � x b= + 1 …….………. �

a - x = b …………………………….….. � Reemplazando (2) en (3) tenemos: a - x = b a - (b+1) = b

MATEMÁTICA II 21


a-b-1 = b 01b2a =−− …….� De (1) y (4) � -1 (a-b) = (2) (-1) a-2b = 1 -a+b = -2 a-2b = 1 -b = -1 b = 1 � x = 2 a = 3 � la matriz A es:

A =−

−

1 2 1

2 3 1

1 1 4

Nos piden: M = A2 - 4I + 2E

+

−

−

−

−

−=

200

020

002

2

100

010

001

4

411

132

121

411

132

121

M

+

−−

−+

−

−=

400

040

004

400

040

004

1853

5147

376

M

Sumando las tres matrices tenemos:

M =−

−

6 7 3

7 14 5

3 5 18

2. Sea A una matriz de 3x3, tal que A = aI + bD, en donde D es una matriz, tal que

todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Halla “a” y “b” de manera que A2 = I

Solución: “A” es una matriz de 3x3 �

22


=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

=011

101

110

D

Pero: A = aI + b.D

A a b=

+

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

=

+

=abb

bab

bba

0bb

b0b

bb0

a00

0a0

00a

A

A

a b b

b a b

b b a

=

Además: A2 = I � A.A = I

a b b

b a b

b b a

a b b

b a b

b b a

=

.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a b b ab b ab b

ab b b a b ab

b ab b ab a b

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+ + + ++ + +

+ + +

=

� 1b2a 22 =+ …………… (1) ^ 2ab + b2 = 0 ……..(2) b (b + 2a) = 0 b = 0 v b a+ =2 0

MATEMÁTICA II 23


En (1) : Si b = 0 � a2 = 1 � a = ±1 Si b = 2a � a2 + 8a2= 1 � a2 = 1

9

� 3

1±=a

EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

1. Escribir un ejemplo de una matriz de orden 2 x 2 que cumpla con las condiciones

siguientes:

a) Triangular inferior, diagonal y no escalar b) Triangular inferior y no diagonal c) Triangular inferior y escalar d) Simétrica, diagonal y no escalar e) Simétrica, escalar y no diagonal f) Simétrica y escalar g) Simétrica y no escalar h) Antisimétrica

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

( )

−+

=

+−

=

+

=

−++−

−=

−+

0z1

2w4

1y1

02x)d

91

164

1vu2

y3x)c

14

03

v2uyx

vu3yx)b

4

4

y3

y

x2

x2)a

2

2

3. Consideramos las siguientes matrices:

24


−−

−−=

−=

−=

=

4

3

8

814

320

162

B,

3

1

2

103

015

423

A.ii

1

4

1

1

3

0

B,

2

5

3

0

2

1

A.i

a) Calcular A ± B

b) Calcular At, Bt, (A ± B)t

4. Consideramos las siguientes matrices:

−=

−=

=4

0

2

2

11

4

C,

1

2

1

0

3

2

B,

6

4

2

5

3

1

A

Calcular: a) A + B b) A – B c) (A + B) + C d) (A – B) + C

5. Si:

BB

BA

t 32AHallar

230

114

234

113

202

301

t −+

−=

−

−=

6. Si:

AB,BAHallar

42

11B,

32

12A

22 −+

=

−=

7. Dadas las matrices A, B y C, donde:

−−=

−−=

−−

=4

0

1

0

2

1

C

503

013

071

B0

5

2

0

7

1A

Verificar que (AB) C = A (BC) 8. Dadas las matrices A, B y C donde:

MATEMÁTICA II 25


=

−=

−−=

000

412

111

C

113

112

111

B

213

212

211

A

Verificar que AC = BC

9. Si:

++

+

−=

zwz

yx

w

y

wz

yx 24

21

63 hallar x + y + z + w

10. Hallar a, b, c y d para que satisfaga la ecuación.

=

4

5

8

6

9

0

1

1

0100

0010

1100

0201

2

d

9

c

3

b

1

a

11. Si:

12. Si:

−=

−−

−

3

5

1

z

y

x

013

102

120

Calcular E = x + y + z

Hallar 77x – 3y

13. Hallar x, y, z, si:

=

2

5

1

Z

Y

X

101

510

021

14. Dadas las matrices:

[ ]

zyx Ehallar ,CABSi

3,2,1Cy

z

y

x

B,

101

352

123

A

t ++==

−=

=

−−−

=

dc b a m :de valor elHallar

1

0

75

511

1100

0030

2103

0211

1

1

2

2

+++=

−−=

⋅

− b

a

c

d

a

b

26


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación

BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo

Matrices y Determinantes J.J Servicios Lima 2005

Lázaro, Moisés Vera, Carlos

Algebra Lineal

Colección Moshera

Lima

2004

http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html

1) Escribe explícitamente las siguientes matrices y halla sus transpuestas.

[ ]( )

[ ]( ) jibquetalbBb

jaquetalaAa

ijij

iijxij

2:)

2:)

43

33

−==

+==

×

2) Sean las matrices cuadradas A y B. Determina si las siguientes proposiciones son Verdaderas (V) o Falsas (F).

a) Toda matriz tiene un valor numérico. b) A = B si y sólo si tienen el mismo orden. c) Una matriz diagonal es también escalar (da un ejemplo). d) Una matriz transpuesta es siempre una matriz cuadrada (da un ejemplo).

3) Halla los elementos de las siguientes matrices:

−−

−−=

+−−+−−

−++=

0

02

10

;

2320

031

301 2

axxb

b

ba

C

xzx

zxy

xzy

A

donde A es una matriz escalar y C una matriz antisimétrica. 4) Halla los elementos de la siguiente matriz, Si :

simétrica. matriz una es

5810

106910

12193

−−

−−=

yx

zx

zy

A

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1

SEMANA

2

MATEMÁTICA II 27


MATRICES Y DETERMINATES

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos aplicando las propiedades de las

operaciones con matrices y de la clasificación de matrices, resuelven problemas de

operaciones con matrices y calculan la determinante de una matriz.

TEMARIO

• Determinante: - Definición - Orden 2 y 3 - Propiedades

• Inversa de una matriz: - Propiedades


• Calcula determinantes de matrices cuadradas de orden 2 y 3.

• Halla la inversa de una matriz, con el método del determinante.

28


1.2. DETERMINANTES

DEFINICIÓN

Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número real asociado a dicha matriz.

1.2.1 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN DOS

Se llama determinante de la matriz

Aa a

a a=

11 12

21 22

Al número real asociado a ella, denotado por det (A) o por A

2221

1211

aa

aaA = y se define como sigue:

det (A) = |A| = =2221

1211

aa

aa a11a22 - a12 a21

entonces 21122211 aaaaA ⋅−⋅=

Ejemplo (1)

Si A =

2 5

3 6

Entonces de 31512)5x36x2(63

52A −=−=−==

� ( ) 3Adet −=

Ejemplo (2)

Si B =

2 3

3 2

Entonces |B| = 2 - 3 = -1 Luego |B| = -1

MATEMÁTICA II 29


TEOREMA

La matriz Aa a

a a=

11 12

21 22

tiene inversa A-1

Si y solo si |A| no es igual a CERO

⇒ A-1 =

−−

1121

1222

aa

aa

A

1

Ejemplo:

Si A =−

2 3

1 6

Solución:

i) Cálculo de la determinante de A

A =−2 3

1 6 = 2 (6) - (-1) (3) = 12 + 3 = 15

ii) Cálculo de la inversa de A

AA

a a

a a− =

−−

1 22 12

21 11

1

| | vemos que :

a

a

a

a

22

21

11

12

6

1

2

3

== −==

Luego, reemplazando valores tenemos:

A

A

A

A

−

−

−

−

=−

− −

=−

=−

=−

1

1

1

1

1

15

6 3

1 2

1

15

6 3

1 2

6 15 3 15

1 15 2 15

2 5 1 5

1 15 2 15

( )

/ /

/ /

/ /

/ /

1.2.2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE TERCER ORDEN

1.2.2.1 MENOR COMPLEMENTARIO

30


El menor complementario de un elemento de una matriz de tercer orden es el determinante de la matriz cuadrada de segundo orden, que se obtiene después de borrar la fila i y la columna j.

Al menor complementario de aij denotaremos Mij. Ejemplo:

Sea la matriz A =

1 3 4

2 6 2

5 7 5

* El menor complementario M11 de a11 se obtiene eliminando la primera

fila y la primera columna de la matriz A :

Así : M11

6 2

7 5= �

M

M11

11

6 7 2

30 14 16

= −= − = →

( )(5) ( )

M11 16=

** El menor complementario M12 de a12 se obtiene eliminando la primera

fila y la segunda columna de A:

Así: 55

2212 =M � M12 = - (2(5) - 5(2) )

M12 = -(10 – 10) M12 0= *** El menor complementario M13 de a13 se obtiene eliminando la primera

fila y la tercera columna de A:

Así; M13

2 6

5 7=

� M13 = 2 (7) - 6 (5)

M13 = 14 - 30 M13 16= − Nota: Obsérvese que los menores complementarios Mij de aij son números, debido a que están definidas como determinantes de submatrices de A.

1.2.2.2 COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ

El cofactor de una componente de aij es denotado por Aij y esta definida por:

ij

jiij M)1(A +−=

MATEMÁTICA II 31


Ejemplo: Sea la matriz ijji M)1(Aij +−=

A =

1 3 4

2 6 2

5 7 5

A Mij

i jij= − +( )1

El cofactor correspondiente a a11 = 1 es A11 = (-1)1+1 M11 = M11 El cofactor correspondiente a a12 = 3 es A12 = (-1)1+2 M12 = -M12 El cofactor correspondiente a a13= 4 es A13 = (-1)1+3 M13 = M13

DEFINICIÓN

Sea la matriz:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

El determinante de la matriz A es un número real denotado por det (A) o |A| y es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores.

Es decir:

( )

)aaaa(a)aaaa(a)aaaa(aA

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

MaMaMaA

MaMaMaA

AaAaAaA

223132211331233321122332332211

3231

222113

3331

232112

3332

232211

131312121111

131312121111

131312121111

−+−−−=

+−=

+−=

+−+=

++=

Ejemplo: 1. Calcular el determinante de la matriz:

A = − −

4 7 6

2 2 3

3 1 5

32


Solución:

Det (A) = |A| = 42 3

1 57

2 3

3 56

2 2

3 1

−−

− −+

−

|A| = ( )[ ] ( )[ ] [ ])2)(3()1)(2(6)3(3527)3(1524 −−+−−−−−− |A| = [ ] [ ])6()2(69107)310(4 −+−++−−+ |A| = 4(13) - 7 (-1) + 6 (-8) |A| = 52 + 7 - 48

A = 11 1.2 3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

i. Si se intercambian las filas de una matriz, el determinante cambia de signo, es decir, B A= −

ii. Al multiplicar todos los elementos de una fila por un mismo

número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Es decir B k A=

iii. Si a una fila se le suma un múltiplo de otra fila, el determinante no cambia su valor.

Es decir: |B| = |A|

iv. El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de los cofactores .

En general:

Para matrices A y B de orden n se cumple que: |A.B| = |A| |B|

1.2.4 MATRIZ DE COFACTORES

Consideremos la matriz:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Si sustituimos cada elemento de A por su cofactor, obtenemos una matriz que denotamos por

MATEMÁTICA II 33


Cofact A

A A A

A A A

A A A

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

al cual llamaremos matriz de cofactores.

1.2.4.1 MATRIZ ADJUNTA

A la transpuesta de la matriz de cofactores de A llamaremos matriz adjunta de A. Es decir:

[ ]

=↓

332313

322212

312111

)(

)(

AAA

AAA

AAA

ACofact t

AAdj

43421

Matriz adjunta de A=adj (A) = [cofactor (A)]T

Adj (A) =

A A A

A A A

A A A

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1.2.5 MATRIZ INVERSA

Consideremos una matriz A, si |A| ≠ 0. Entonces, a la inversa de la matriz A la definiremos de la siguiente manera:

AA

adj AA

Cofact A T− = =1 1 1

| |( )

| |( )

Ejemplo: Obtener la inversa de la matriz A si existe.

A =

1 2 3

4 5 6

5 3 7

Solución:

34


A

A

A

A

= − − − + −= − − + −= + −= −

1 35 18 2 28 30 3 12 25

17 2 2 3 13

17 4 39

18

( ) ( ) ( )

| | ( ) ( )

| |

| |

Como |A| ≠ 0, entonces existe inversa calculando la matriz de cofactores:

Cofact (A) =

−−−−

−

363

785

13217

Adj (A) =

−−−

−−

3713

682

3517

Nos piden:

AA

adj A

A

−

−

=

=−

− −−

− −

1

1

1

1

18

17 5 3

2 8 6

13 7 3

| |( )

De donde:

−−−

−=−

611871813

319491

6118518171A

1.2.5.1 Propiedades de la matriz inversa

1. La matriz inversa es única

2. A tiene inversa si y sólo si A ≠ 0

3. La inversa de una matriz inversa de la matriz original:

( ) AA =−− 11 4. La inversa del producto de un número por una matriz, es igual al recíproco

del número por la inversa de la matriz.

( )λλ

A A− −=1 11

5. La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de las

inversas de los factores, pero con el orden cambiado:

( )A B B A. .− − −=1 1 1

MATEMÁTICA II 35


6. La inversa de la potencia “n” de una matriz es igual a la potencia “n” de la inversa de dicha matriz:

( ) ( )A An n− −=1 1

1.2.5.2 PROPIEDADES

Si “A” es una matriz cuadrada de orden n, tal que |A|≠ 0, entonces:

a) |Adj(A)| = |A| n-1

b) Adj (Adj(A))= |A|n-2.A

c) Cofact [Cofact (A)] = |A|n-2.A

d) Cofact [Adj(A)] = Adj [Cofact (A)]

1.2.6 GUÍA DE PROBLEMAS Determinante e Inversa de una Matriz Ejercicios resueltos

1) Dadas las matrices:

−

−=

−=

8

z

4

3B

y

4

2

xA Si A+B es Antisimétrica

Hallar A Bt: .−1

Solución:

A Bx z

y+ =

−

+−

3

2

4

8

1) Por dato (A+B) Antisimétrica � x=3 , y=8 , z= -6

2) Luego:

=→

−−

−=

=→

=−−=→

−=

−−−

−−

214

31

323

81

161

41

1

20.

8

6

4

3

32)8(248

4

2

3

tBA

ByA

AA

36


2/3.: 1 −=− tBALuego

2) Si

A

b x

a b

a x

b=−

−

−

−

1

2 3

1

4

es una matriz simétrica

Hallar A: −1

Solución : Si A es una matriz simétrica

)3.(....................bxa

)........(*1bx)2..(....................1xb

)1.(....................2ba

=−

+=→−=−→

=−

Reemplazando (*) en (3) a - ( b + 1) = b a – b - 1 = b a - 2b = 1 …………………………(4)

De (1) y (4) tenemos:

a b a b

a b a b

b

b a

− = → − + = −− = − =

− = −

= → =

2 2

2 1 2 1

1

1 3

en (*) x=2 Luego, la matriz A es:

−

−=

4

1

1

1

3

2

1

2

1

A

Nos pide: A −1

12

1tan12

51811

)32)(1()18(2)112(1

1 −=⇒−=

−−=

+−++−−=⇒

−AtoPorA

A

A

MATEMÁTICA II 37


3) Sea “A” una matriz de orden 2 cuyo determinante es igual a 4. La diferencia entre la suma de los elementos de la diagonal principal y la suma de los elementos de la diagonal secundaria es 8. Si se suma “x” a cada elemento de la matriz “A”, entonces el valor de su determinante es igual a (-4). Calcula el valor de “x”.

Solución: I)

II) (a+d) - (c+b) = 8 III) Luego: (a+x)(d+x) - (c+x)(b+x) =-4 ad + ax + xd + x2 - cb - cx - xb - x2 = -4 (ad - cb) + x (a+d - b - c) = -4 4 + 8x = -4 8x = -8 x = -1

4cbd.a:Luego

4Ad

b

c

aASea

=−

=→

=

4Bxd

xb

xc

xaB −=→

+

+

+

+=

38


EJERCICIOS PROPUESTOEJERCICIOS PROPUESTOEJERCICIOS PROPUESTOEJERCICIOS PROPUESTOSSSS

1. Halla la matriz inversa de A = 4 5

6 7

2. Halla la matriz inversa de B = x a sena

xsena a

cos

cos

−

3. Halla la traza de la matriz M =

1 2 3

4 5 6

5 3 7

4. Hallar x si la traza de A es 10, de:

−=

211

24

432

xA

5. Si:

+−−+−−−

=4k66

35k3

331k

A halla el valor de “k” de manera que 0A =

6. Si:

−+−

=8k4

2k2kk

721

A halla el valor de “k” de manera que 0A =

7. Dada la matriz

Adj A=1 1 1

10 2

7 3 1

2

−−

− −

=k y A| | ,

Determinar “k” y “A”

8. Resuelve: x1x

1xx

x3

2x

−+

=

MATEMÁTICA II 39


AuAuAuAutoevaluacióntoevaluacióntoevaluacióntoevaluación

1) Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = I

Si ?Bhalla,

1cb

06a

005

A =

=

2) Dada cuatro matrices A, B, C y D tales que:

C-1 = B-1A y D-1 = AC siendo BT =

−86

42 halla la matriz D.

40


3) Halla el determinante de ( )TT YX + si X – 2Y = A2 ....... (I) 2X + 3Y = B-1 ....... (II)

Siendo

−−

=

−−

=232

211;

10

21BA

PROBLEMAS SELECTOS DE MATRICES

1. Si :

−−

−=

220

341

01

ba

ab

M es una matriz simétrica y N una matriz escalar con

bak += , halla la matriz abNMP −= 2

2. Si :

−−−

+=

091

203

10

ab

ba

M es una matriz antisimétrica y

−=

0

00

000

2 bb

aN ,

halla la matriz P = M.N – 3I 3. Dadas las matrices:

-1 0 1 2 -1 1 A= 0 2 -1 ; B= 0 3 -1 1 1 -1 1 -1 0

Halle la traza de: 3AxB – 4 AT + 3I

MATEMÁTICA II 41


4. Una compañía tiene cuatro fábricas, cada una cuenta con Administradores,

Supervisores y Obreros calificados en la siguiente forma: Puestos Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Administradores 2 1 3 2 Supervisores 4 6 5 3 Obreros 80 70 100 60 a-) Si los administradores ganan $500, los supervisores $300 y los obreros $200,

establecer la matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la planilla de cada fábrica . b-) Si se incrementan los sueldos de todos los trabajadores en un 30%, establecer la nueva matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la nueva planilla. 5. Sean las matrices:

A =

−y

xyx

1

3 , B =

−−

x

y

61

62 , C =

32

xy

Determina A+C, si A = B.

6. Dada la matriz

=

25

13A se le pide que:

a) Halle la matriz IAAM t 2..3 −=

b) Halle la matriz X de:

=−

10

02. 1MX

7. Sean las matrices A y B. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones :

=+

=+

32

2323

23

3232

BA

BA

Halla (AB)-1.

8. Sean las matrices:

[ ] [ ]

≥−<+

==+==ji,j2i

ji,jibdonde,bByji3adonde,aA ij2x2ijij2x2ij

.Xhalla,A4XBSi T2 =

42


9. Sean las matrices :

[ ]

T

ij2x2ij

AC2XB:quesabesesi,Xhalla

,25

13Cy

87

65B),j,imax(adondeaA

+=

−−

=

===

10. Sean las matrices :

[ ]

T

ijxij

ABXCquesabesesiXhalla

CyBjiadondeaA

42:,

,25

43

87

61),,min(

22

+=

−=

−===

BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo

Matrices y Determinantes

J.J Servicios Lima

2005

Lázaro, Moisés Vera, Carlos

Algebra Lineal

Colección Moshera

Lima

2004


MATEMÁTICA II 43


GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos utilizando diferentes métodos,

deducen la ecuación de la recta, circunferencia y parábola, con ayuda del docente y

utilizando el plano cartesiano construye gráficos que servirán para la resolución de

ejercicios y problemas, también señala la pendiente recta y elementos básicos de la

circunferencia y la parábola.

TEMARIO

• El plano cartesiano: - Regiones en el plano - Distancias entre dos puntos, Perímetros y áreas - Punto medio de un segmento - Angulo de inclinación de la recta - Pendiente de una recta


• Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano.

• Calcula perímetros y áreas tanto analítica como geométricamente.

• Calcula la pendiente de la recta en forma analítica y geométrica.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

SEMANA

3

44


2.3 EL PLANO CARTESIANO

2.3.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Es aquel que posee dos ejes de coordenadas que se cortan

formando un ángulo de 90° al eje horizontal. A éste se le

denomina abscisa (x) y al eje vertical ordenada (y). En este

sistema cada punto tiene dos elementos abscisa y ordenada

Ejercicios Propuestos

1. Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano.

2. Grafique las siguientes funciones evaluando los valores de X indicados

(tabla de valores)

Ejemplo :

Grafique utilizando los valores de X dados en la tabla.

Evaluando x =

-3

Evaluando en x = 0

Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera:

X Y

-3 -5

0 1

2

1

2

12 += xy

( ) 51613212 −=+−=+−=→+= yxy

( )

( )3,2

1,2

− ( )2,2

1,2

1

−

−A

B

C

D

13 +−= xy 12 += xya) b) c)

X Y

-3

0

2

1

1+x2=y

MATEMÁTICA II 45


Al graficar los puntos obtenidos, podemos esbozar la gráfica de la ecuación en

los valores indicados.

( )5,3 −−

( )1,0

2,

2

1

x -x

y

-y

( )5,3−−

( )1,0

2,2

1

-3

-5

1 2

1

2

46


2.3.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

El ∆ P1QP 2 es recto en Q , Entonces, aplicando Teorema de Pitágoras a

dicho triángulo, obtenemos: d2 = (x2 – x1)2+ (y2 – y1)

2 de donde: d

= 212

212 )()( yyxx −+− , d =distancia entre los puntos P1 y P2.

Ejemplo:

1. Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3).

Solución :

dQP

= 22 )35()33( +++ = 22 86 + = 10

dPQ

= dQP

= 10

2. Demuestre que el triángulo con vértices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es isósceles.

Solución:

Demostraremos que el ∆ tiene dos lados iguales.

a) dAB

= 22 )14()52( −+− = 22 33 + = 3 2

MATEMÁTICA II 47


dAB

= 3 2

b) dBC

= 2222 )4(1)51()65( −+=−++−

dBC

= 17

c) dAC

= ( ) 2222 1454)62( +=−++− = 17

dBC

= dAC

= 17

ABC∆∴ es isósceles.

3.- Calcule la distancia entre los siguientes puntos.

a) A (2, 7) y B (-2, 4) b) T (-2, 5) y R (4,-3)

c) M (4, 0) y N (11, )5

d) L (0,4) y S (- )9,11

e) S ( )1,5 y Q (- )15,3 f) W (4,1) y Z (-6, 21)

4.- Calcule el perímetro y el área del polígono cuyos vértices son los puntos:

a) A(4,1) , B(7, 1) , C(9, 3) , D(7, 5) , E(4, 5) y F(2, 3) b) ( ) )1,0()3,2(,3,9,)1,11(),5,9(,)5,2( 654321 −−−− PyPPPPP


1. Demuestre que el triángulo con vértices en A (3, -6), B (8, -2) y (-1, -1) es un triángulo

rectángulo. (Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes de

los lados de un triángulo rectángulo)

2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces ¿ Cuál es el

producto de los valores de ”y”?

3. F es el punto simétrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simétrico de (2;-6)

respecto al eje X; C es el punto simétrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el

perímetro del triángulo FAC, entonces el valor numérico de la expresión es:

4. Si M (k, ( )2113−p 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el

valor de k.

48


5. Si M (k, 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k. 2.3.4 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y de l punto M ubicado a igual distancia de los extremos P y

Q del segmento PQ.

Para el caso, digamos que se trata de los puntos:

),(),;(,);(2211

yxMQP yxyx

Obtención de la Abscisa X de M:

a. Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X.

( QCMBPA //// por ser perpendiculares a una misma recta).

b. Aplicando el teorema de Thales se tiene:

,BC

AB

MQ

PM = pero como M es un punto medio, .MQPM =

Entonces, BC

AB=1

c. Observamos que 1XXAB −= , XXBC −= 2 . Sustituyendo en 2:

MATEMÁTICA II 49


12

1 =−

−xx

xx 2

2121

xxxxxxx

+=↔−=−↔

Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada “y” de M es

221 YY

Y+= (Queda como ejercicio para los alumnos)

Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos

( ) ( ) :;; 2211 sonyxyx y : P ( x, y ) , donde

Ejemplos:

1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8)

Solución:

Se tiene que:

2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1).

Halle las coordenadas de los tres vértices.

Solución:

Se tiene la gráfica:

222121 yy

yyxx

x+=+=

)3,2(

32

822

2

48

−=∴

=+−=−=+−=

P

yx

50


P = punto medio de CB

)2......(..........102

5

)1.........(..........42

2

3232

3223

=+=+=

=+=+=

yyyy

xxxx

Q = punto medio de AB

)4.......(..........42

2

)3........(..........82

4

2121

2121

=+=+=

=+=+=

yyyy

xxxx

R = punto medio de AC :

)6........(..........22

1

)5.........(..........22

1

3131

3131

=+=+=

=+=+=

yyyy

xxxx

(1)-(5)

3,1,5

102

8

2

132

2

12

12

=−==

==+=−

xxx

x

xx

xx

(2)-(6):

4,2,6

122

4

8

312

2

12

12

=−==

==+=−

yyy

y

yy

yy

Luego:

A (3,-2) , B = (5,6) y C = (-1,4)

MATEMÁTICA II 51


ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Dada una recta “ L “ ubicada en el plano cartesiano, se llama ángulo de

inclinación de una recta, al ángulo que forma dicha recta respecto a la

horizontal (eje x), medido en sentido antihorario.

Así, en los gráficos siguientes, α y 1α son los ángulos de inclinación de las rectas L

y L1 respectivamente.

El ángulo de inclinación α (alfa) de cualquier recta esta comprendido entre 0°

y 180°.

En forma particular:

2.3.5 Pendiente de una recta

La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor está dado por la

función tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación α .

αtan=m

Si la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación

es 0°.

Si la recta es perpendicular al eje x, su ángulo de

inclinación es 90°.

00 1800 ≤≤ α

α1α

y

x x

y

L1L

52


NOTAS IMPORTANTES SOBRE PENDIENTES

1. Si α =37° entonces la pendiente de la recta L es m=tg(37 °)=4

3

2. Si α =127° entonces la pendiente de la recta 1L es 1m =tg(127°)=tg(180°-

53°)

1m = -tg (53°)=-3

4

3. Si α =120° entonces la pendiente de la recta 2L es 2m =tg(120°)=tg(180°-

60°)

2m = -tg(60°)= - 3

4. Si α=30° entonces la pendiente de la recta 3L es 3m =tg(30°)=3

1

α

adyacentecateto

opuestocatetotg =α recorridooavance

elevaciónm=;

α1α

y

x x

y

L1L

Cateto opuesto

Cateto adyacente

MATEMÁTICA II 53


Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos

1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los

puntos dados.

a.- A = (–1, 5) B =(2, –3)

b. - E = (0, –1) D =(–3, –1)

c. - Q= (–2, 1) W=(–2, 0)

2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos ( )1,0=A

( )5,3=B ( )2,7=C ( )2,4 −=D son sus vértices .También halle el área del

cuadrado construido con sus puntos medios.

3. Dos vértices de un triángulo equilátero son )1,1(−=A ( )1,3=B . Encuentre las

coordenadas del tercer vértice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos).

4. El punto medio de un segmento es ( )2,1−=M y uno de sus extremos es

( )5,2=N , encuentre las coordenadas del otro extremo.

5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se

divida en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) y Q(1,5).

6. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une a ( )1,1−=A y

( )5,4=B en la dirección de AB para que su longitud se triplique?

7. En el triángulo rectángulo con vértices en los puntos A(-2,2),B(4,5) y

C(6.5,0).Calcule el valor de k, si k=AC/BM. M está en AC y BM es la mediana

relativo al vértice B.

8. El área de un triángulo es 6u2, dos de sus vértices son: A(3,1) y B(1,-3), si el

tercer vértice C está en el eje Y . Hallar las coordenadas del vértice C.

9. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados: X, Y y la recta

L: 5x + 4y - 2 = 0. Construya su gráfica en cada caso

54


Autoevaluación

1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes:

a) A(-3;2) y B(5;2) b) E(-2;-1) y F(3;4) c) P(6;4) y Q(8;2)

d) R(-2;-1) y S(7;3) e) )

2

1;0(M y N (9; 0) f) T(2,5; 8) y )

4

3;3(−k

2. Se sabe que 6=EF siendo E(x;2) ,F(5;8) y que 8=CD cuando C(-3;4), D(5;y).

Entonces el valor de 3 )3(2 yx es:

a) 3 152 b) 3 153 c) 3 15 d) 3 154

3. Conociendo que 72=PQ ; P(2;y) ,Q(8;7) y que 25=RS ; R(x;-1) ,S(5;-2). el

producto del mayor valor de “y” por el menor valor de x, es:

a) –24 b) –18 c) -12 d) -26

4. Los vértices del ∆ EFG son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto el triángulo es:

a) Isósceles b) obtusángulo c) equilátero d) rectángulo

5. AC es la base del ∆ isósceles ABC cuyos vértices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C

pertenece al II cuadrante, entonces la distancia de C al origen es:

a) 445 b) 443 c) 130671 + d) 127441 +

6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es:

a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7

MATEMÁTICA II 55


RESUMEN DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

El ∆ P1QP 2 es recto en Q , Entonces,

aplicando Teorema de Pitágoras a dicho triángulo,

obtenemos: d2 = (x2 – x1)2+ (y2 – y1)

2 de donde: d = 212

212 )()( yyxx −+− ,

d =distancia entre los puntos P1 y P2.

punto medio de un segmento :

Pendiente de una recta : αtan=m

BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial

LIMUSA USA 2001

LARSON Roland; HOSTETLER Robert

Cálculo y Geometría Analítica

McGraw Hill USA 1993

VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001

222121 yy

yyxx

x+=+=

α1α

y

x x

y

L1L

00 1800 ≤≤ α

56


MATEMÁTICA II 57


ECUACIONES DE LA RECTA


Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando diferentes métodos,


utilizando el plano cartesiano construyen gráficos que servirán para la resolución de

ejercicios y problemas, también señalan la pendiente recta y elementos básicos de la


TEMARIO

• Ecuación de la recta :

Forma general, punto pendiente y que pasa por dos puntos

Angulo de inclinación de una recta

Distancia de un punto a una recta


• Halla las diferentes formas de la ecuación de la recta.

• Encuentra el ángulo que forman dos rectas.

• Halla la distancia de un punto a una recta

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

SEMANA

4

58


2.4.1 Pendiente de una recta conociendo dos puntos

La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos

),(),( 222111 yxPyyxP es el número: 12

12

xx

yym

−−

=

Demostración

12 yyQA −= ; 12 xxAP −=

AP

QAtg =α →

12

12

xx

yytg

−−

=α

∴

Ejemplo:

Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 (1,2) y P2(-3,4). Aplicando la fórmula de la pendiente

Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a los

ejes X e Y.

En el triángulo rectángulo PAQ: QPA α

( correspondientes)

12

12

xx

yym

−−

=

12

12

xx

yym

−−=

MATEMÁTICA II 59


1. 2121 −=⇔⊥ mmLL

2.4.1.1 Rectas paralelas

Así:

2.4.1.2 Rectas perpendiculares

Así:

Ejemplo:

Se definen 2 pares rectas y .

Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual

pendiente.

Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces

son paralelas.

Si dos rectas son perpendiculares entonces el

producto de sus pendientes

es –1.

Si el producto de las pendientes de dos rectas es –1,

entonces las rectas son perpendiculares.

mmLL 2121// =⇔

2

1

4

2

)3(1

42;

2

1

4

2

13

24 −=−=−−

−=−=−

=−−

−= mm

L1: (1,3) y (2,5) L2: (3,11) y (-4,-3)

L3: (-2,3) y (4,9) L4: (0,2) y (2,0)

60


Determine que rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares. Calculamos las pendientes de L1 y L2.

Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la

condición de paralelismo (L1 y L2 son rectas paralelas).

Ahora, calculamos las pendientes de L3 y L4.

16

6

24

6

)2(4

393 ==

+=

−−−=mL

12

2

02

204 −=−=

−−=mL Las pendiente de las rectas

no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen con la condición

de Perpendicularidad (L3 y L4 son perpendiculares).

2.4.2 ECUACIONES DE UNA RECTA

Es el conjunto de puntos que cumplen con la misma regla de correspondencia

lineal.

2.4.2.1 CONOCIENDO DOS PUNTOS

DATOS:

),(,),( 222111 yxPyxP ==

Por división de segmento con una razón dada: rPP

PP =2

1 luego:

)1.......(2

1

xx

xxr

−−= y

27

14

34

1132 =

−−=

−−−−=mL2

1

2

12

351 ==

−−=mL

)2.(..........2

1

yy

yyr

−−=

MATEMÁTICA II 61


Igualando ambas ecuaciones (1) = (2): xx

xx

−−

2

1 = yy

yy

−−

2

1

y resolviendo, obtenemos la ecuación:

que llamamos ecuación Punto-Punto.

Ejemplos:

1. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5).

Solución:

Ya que conocemos 2 puntos de la recta, podemos utilizar la ecuación Punto-Punto.

Para aplicar esta ecuación, debemos escoger cuál de los puntos será ),(:1 11 yxP

y ( )22 ,:2 yxP . Recordemos que es irrelevante cuál sea P1 y cual P2 a nivel del

resultado.

)3,1(:1P ( )5,2:2P

2. Dado el trapecio A (-4;-2), B (8,2), C (4,6) y D (-2,4). Halle las ecuaciones de

sus diagonales. (figura A)

Solución:

Primero, calcularemos la ecuación de AC.

( )2,4:1 −−P y ( )6,4:2P

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

)1(12

353 −

−−=− xy )1(

1

23 −=− xy 12 += xy

Figura A

( )→−−−−−−=−− )4(

)4(4

)2(6)2( xy )4(

44

262 +

++=+ xy

)4(8

82 +=+ xy 42 +=+ xy 02 =+− yx

62


Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la ecuación de la diagonal que

pasa por BD y verificar que es

2.4.2.2 Conociendo un punto y la pendiente

Si analizamos las ecuaciones y

Nos damos cuenta que tienen en común la expresión de la pendiente.

Entonces, al sustituir una expresión en la otra nos queda:

a la que llamaremos ecuación Punto Pendiente.

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene

pendiente igual a 2.

Solución : Aplicando la ecuación Punto Pendiente

En los últimos dos ejemplos hemos expresado la ecuación de la recta

pedida escribiendo a x e y en el mismo miembro e igualando toda la

expresión a cero. Podemos generalizar estas expresiones de la forma

Ax+By+C=0, siendo ésta la ecuación general de la recta.

2.4.2.3 Ecuación pendiente – intercepto

Conociendo la pendiente y el intercepto con el eje “y”

0185 =−+ yx

12

12

xx

yym

−−= )( 1

12

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

)( 11 xxmyy −=−

( )223 −=− xy 423 −=− xy 012 =−− yx

MATEMÁTICA II 63


Datos:

),0(1 bP = Pendiente = m

L: y –b = m(x – 0)

L: y = m x + b ( Pendiente Intercepto)

Ejemplos

Dada la ecuación de la recta L: 3x + 4y = 7, halle la pendiente y el

intercepto de dicha recta.

Solución:

De la ecuación L tenemos: 4y = -3x + 7

4

7

4

3 +−=→ xy Luego: 4

3−=m y 4

7=b

2.4.3 Distancia de punto a recta

L:Ax+By+C=0 L d

22

000,00 ;)(

BA

cByAxdyxP

+

++=

64


Ejercicios PropuEjercicios PropuEjercicios PropuEjercicios Propuestosestosestosestos

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )3,2(1

−−P y tiene la misma pendiente que la

recta 2x+ 3y = 1.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )2,3(1

−P y su pendiente es inversa y con

signo contrario de la pendiente de la recta x + 2y = 3.

3. Hallar la ecuación de la mediatriz de un segmento cuyos extremos son: ).3,5()1,3(

21−−− PP y

4. Un punto P de abscisa 2, pertenece a una recta cuya pendiente 1 y que pasa

por Calcule la ordenada de P.

5. Determine la pendiente, la ordenada en el origen y grafique, dadas las rectas:

23

2) −= xya 334) −=− yxb

6. El punto de intersección de las rectas 022:,0: 21 =−−=− yxLyxL , Es el punto medio del segmento cuyos extremos son: M (a,2) y N(2,b) .Halle el valor de a y b.

7. Se tienen las rectas 02054:,04: 21 =−+=−− yxLyxL , encuentre el área de la

región limitada por las rectas 21 , LL y el eje x.

8. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2,-1) y cuyo ángulo de

inclinación es 8°.

9. En las ecuaciones L1: a x + (2 - b) y – 23= 0, L2: (a – 1) x + by =15. Halle los

valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P (2,-3).

10. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es 2

1− y que corta al eje de las

y en (0,5).

)1,2(1

−−P

MATEMÁTICA II 65



1. Halle la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos A (7,4) y B (-1,-2).

2. Si la recta L1 que contiene a los puntos A(a ,2 ) y B (0 , 2 a) es paralela a la recta L2

que contiene a los puntos C (-a ,3 ) y D(1 ,-2 a ), Hallar el valor de “a”

3. Dado el triángulo de vértices A (-4,3), B (5,-1) y C(7,5). Halle las ecuaciones de las

rectas que pasan por el vértice C y trisecan al lado opuesto AB .

4. Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina

sobre los ejes coordenados es 10. Halle la ecuación de la recta.

5. Calcule la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 y

cuya pendiente es 9/5.

6. El producto de los interceptos de una recta con los ejes coordenadas es igual a -6.

Halle la ecuación de la recta, si su pendiente es igual a 3.

7. Calcule la ecuación de una recta cuya ordenada al origen es el doble de la

ordenada de la recta 2x-3y+5=0, sabiendo que pasa por el punto P, siendo P el

punto medio de A(3,-1) y B(-2,8).


LIMUSA USA 2001





http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitic a.html

66


MATEMÁTICA II 67


GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando diferentes métodos,





TEMARIO

• La circunferencia, Gráficas, Ecuaciones Ecuación canónica Ecuación ordinaria Ecuación general


• Halla las ecuaciones canónica y ordinaria de la circunferencia.

• Encuentra el centro y radio de la circunferencia por medio de la ecuación general.

• Construye gráficas de la circunferencia en sus distintos métodos.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

SEMANA

5

68


2.5 LA CIRCUNFERENCIA

La Circunferencia se llama al conjunto de puntos del plano que se encuentran equidistantes de un punto fijo llamado centro. (La distancia constante se llama radio )

Elementos:

C(h,k) : centro

r : radio

(x, y): punto de circunferencia

D1D2: Diámetro

2.5.1 ECUACIÓN CANÓNICA

Cuando el centro está en el origen de coordenadas.

222 )0()0(: ryxC =−+−

canónicaEcuaciónryxC 222: =+

Ejemplo

1.- Calcule la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto (3,4).

Solución:

canónicaecuaciónryxC 222 =+=

MATEMÁTICA II 69


25:

25)4()3(22

2222

=+∴=→=+

yxC

rr

2.5.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

Cuando el centro está en el punto (h, k) y de radio r

22 )()( kyhxr −+−=

ordinariaEcuaciónIIkyhxr )......(..........)()( 222 −+−=

Ejemplo

1. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta L : 2x – 3y + 12 = 0 comprendido en el segundo cuadrante.

Solución: Se tiene el siguiente gráfico:

Nota: al intersectarse la recta L con los ejes coordenados, se tienen los puntos A(-6, 0) y el punto B(0, 4). C = punto medio de AB

70


2.5.3. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

De : ordinariaEcuaciónIIkyhxr )......(..........)()( 222 −+−= ,

desarrollamos los binomios :

0=F+Ey+Dx+y+x:C

r-kh F ,2k - E ,2h -D

0)r-k+y(2ky -2hx -y+x

r=k+2ky-y+h+2hx-x

r=k+2ky-y+h+2hx-x

22

222

22222

22222

22222

+==−==+

Luego:

Ejemplo

Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-4,-1) y que es

tangente a la recta L: 3x + 2y – 12 = 0

Solución : Sea la ecuación:

13=2)-(y+3)+(x:C

13=2

132=

2

D=r

132=D,52=4+6=AB=diámetro=D

3,2)-(=C2

0+4,

2

6-0=C

22

22

−−=2

;20

EDC

F42E+2D21

=r -

MATEMÁTICA II 71


( )

0:

tanB+A

CByAx=Pd 022

000

=++

++

cByAxL

LrectalaaPdeciadisL

GRAFICA

r = distancia del centro a la recta L

2)13(2=21)+(y+24)+(x:C

132=r

13

26=

4+9

121)2(+4(3)=r

---

52)1()4(: 22 =+++ yxC

72



1. Determine el centro y radio de cada una de las circunferencias representadas por

las ecuaciones:

( ) 0662)6)2222

3 =−+++=++ yxbya yxx

2. Calcule la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia

X 2 + y 2 + 4x – 6y –15 = 0 y que pasa por el punto (-1,1).

3. Calcule la ecuación de la circunferencia de centro C(-2;4) y que pasa por la

intersección de las rectas 4x - 7y + 10 = 0; 3x + 2y - 7=0

4. Calcule la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia

X ² + y ² + 6x - 6y + 13 = 0; y que pasa por el punto P(-2;-4).

5. Halle la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos:

P(7,8),Q(4,-1) y R(1,2).

6. Halle el área de la región encerrada por la circunferencia que es tangente a

las rectas 01054:,03054: 21 =−−=+− yxLyxL ,si uno de sus puntos

de tangencia es B(0,-2).

7. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y cuyo centro

está sobre las rectas: 02423:1 =−− yxL y 0972:2 =++ yxL

8. La circunferencia C es tangente a las rectas L1: 3x = 4y – 30 y L2: 3x – 4y =

10, si su centro está en la recta L: y = x, calcule:

a. La ecuación de C.

b. El área del triángulo formado por uno de los puntos de tangencia y

los extremos del diámetro paralelo a 21 LayL

MATEMÁTICA II 73


AAAAutoevaluaciónutoevaluaciónutoevaluaciónutoevaluación

1. Escriba, en cada caso, la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el

origen de coordenadas y tiene por radio a)2 b) 2 3

2. La ecuación de la circunferencia es x2 + y2= 100

3. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 25. Determine:

a) Un punto de la circunferencia

b) Un punto interior y otro exterior de la circunferencia

4. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene:

a) Su centro en el origen y radio 2

b) Su centro en el punto (- 2, 0) y radio 3

c) Su centro en el punto (0, 3) y radio 4

d) Su centro en el punto (1, 2) y radio 5

5. Determine el centro y radio de cada una de las circunferencias representadas por las

ecuaciones:

( ) 9)4) 12222 =+=+ −yxyx ca

6. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(- 5,0) y

contiene al punto P (-2, 4).

7. Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro en (-2, 3) y pasa por

el punto (1, 1).

8. Encuentre el valor de “h”, si la circunferencia x2 + (y - h)2 = 36 pasa por el origen de

coordenadas.

9. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es

x 2 – 8 x + y2 + 10y – 8 = 0

10. Determine la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros

sea el segmento que une los puntos (-3, 2) y (-7, 4).

11. Halle la ecuación de la circunferencia tangente al eje y en el punto S (0, 3) y que

pasa por T (-2,-1).

12. Dada la ecuación C: x2 + y2 - 6x + 5y + 3 = 0, halle las coordenadas del centro y el

radio de C.

13. Calcule el área del círculo cuya circunferencia es C: 9x2 + 9y2 + 12x – 72y = 77.

Halle el radio

Determine un punto de la circunferencia.

74


14. Demuestre que la recta L: 4x + 3y – 40 = 0 es tangente al círculo cuyo radio es 5

y con centro en C (3, 1).

15. Una circunferencia de centro en el origen de coordenadas es tangente a la recta L:

5x – 12y + 13 = 0 en el punto P. Halle la ecuación de otra circunferencia con

centro en P y que pasa por el origen de coordenadas.

16. La ecuación de una circunferencia es x2 + 2y – 4x – 8y = 5, una cuerda de la

circunferencia pasa por los puntos P (-1, 8) y Q (5,8). Halle el área del triángulo

formado por P, Q y el centro de la circunferencia.

17. Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en la recta 2x+5y-26=0

y que pasa por los puntos A (-4, 3) y B (-2, -1). 18. Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos S(2,2)

y T(6,2) si su centro pertenece a la recta L : y-x=0

19. Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en la recta L: y-x=0 y que pasa por los puntos S(2,2) y T(6,2).

20. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3, 0) , B(3, 0) y

C(-1, 4).

21. Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos P(2, 0) y Q(4, 2) . El centro de la circunferencia se encuentra en la recta y = x.

22. Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia,

0210622 =−+−+ yxyx ; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.

23. En cada caso siguiente, halle el centro , radio, gráfica y los puntos extremos de las

circunferencias:

A) x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0

B) x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

C) 2x2 + 2y2 – 6x + 8y – 6 = 0

24. En un laboratorio se producen dos cultivos: A y B. Las cantidades x e y de estas

marcas que se producen en cierto período, están relacionados por el modelo

x2 + y2 + 8x + 250y – 6859 = 0

Graficar la curva y determinar las cantidades máximas de estos cultivos

25. Si el centro de la circunferencia es (3, -4) y es tangente a la recta 3x - 4y + 6 = 0 .

Hallar su ecuación y gráfica.

MATEMÁTICA II 75



LIMUSA USA 2001





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76


MATEMÁTICA II 77


GEOMETRÍA ANALÍTICA


Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos ,utilizando diferentes métodos,





TEMARIO

• La parábola, Gráficas, Ecuaciones Ecuación canónica Ecuación ordinaria Ecuación general


• Halle las ecuaciones canónica y ordinaria de la parábola.

• Encuentre los elementos de la parábola: vértice, foco, directriz y lado recto, a partir de la ecuación general.

• Construya gráficas de la parábola en sus distintos métodos.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

SEMANA

6

78


2.6 LA PARÁBOLA

Es el conjunto de puntos ubicados en el plano cartesiano, que equidistan de una recta

fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

PQPF

verticev

Pp

=

=∈

2.6.1 ELEMENTOS

a. Vértice (V): Es el punto de intersección de la parábola con el eje de

simetría.

b. Foco (F): Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría, ubicado a p

unidades del vértice.

c. Eje de simetría ( 1l ): Es la recta perpendicular a la directriz y pasa por

el vértice y foco.

d. Cuerda ( AB ): Es el segmento de recta que une dos puntos

cualesquiera de la parábola.

e. Directriz (l): Es la recta fija perpendicular al eje de simetría ubicada a p

unidades del vértice, en sentido opuesto al foco.

f. Cuerda focal ( ST): Segmento de recta que une dos puntos de la

parábola, pasando por el foco.

g. Lado recto ( LR): Es una cuerda focal, perpendicular al eje de simetría.

h. Radio vector ( FP): Segmento de recta que une el foco con un punto

de la parábola.

MATEMÁTICA II 79


2.6.2 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

La ecuación canónica modela parábolas cuyo vértice está en el origen de

coordenadas. El eje de simetría de la parábola puede ser horizontal o

vertical.

2.6.2.1 Horizontal

Cuando el eje de simetría coincide con el eje x.

Se sabe que:

PFPQ =

( )( )

( ) ( )22222

222

22

22

2-2

-

0)(

yppxxxpxp

ypxxp

ypxxp

ypxxp

++=+++=+

+−=+

−+−=+

P: )1.....(42 pxy = . Esto es conocido como la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y su eje de simetría coincide con el eje x. El gráfico de la parábola se abre dirigido hacia el eje x, porque en la ecuación se ve que es lineal en la variable x.

Analizando: pxpxy 24 ±=±=

p y x deben tener el mismo signo, es decir que p< 0 ó p> 0, de donde se concluye que:

a) Si p >0, la parábola se abre hacia la derecha. y el foco está en la parte positiva del eje x.

b) Si p<0 la parábola se abre hacia la izquierda y el foco está en la parte negativa del eje x.

80


2.6.2.2 Vertical

Cuando el eje de simetría coincide con el eje y.

Se sabe que:

PFPQP =:

( )( )

22222

2222

22

p+py2y+x=y+px2+p

p+py2y+x=y+p

py+x=y+p

)2.....(42 pxx = . Parábola de eje vertical

Analizando la ecuación (2):

pypyx 24 ±=±= , de donde se concluye que p y x

deben tener el mismo signo .p>0 ó p<0.

a) Si p >0 la parábola se abre hacia arriba y el foco está en la

parte positiva de y.

b) Si p<0 la parábola se abre hacia abajo y el foco está en la

parte

negativa del eje y.

MATEMÁTICA II 81


Ejemplos:

1. Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas,

sabiendo que es simétrica respecto al eje Y; y que pasa por el punto (4,-8)

( ) )8-(44→4: 22 ppyxP ==

2. Halle en la parábola xy 122 −= los puntos cuyos radios vectores son iguales a 6

Solución: Se tiene

Solución

312442 −=→−=→= pppxy 6,1 ==+ rrpx

Sabemos que

39

6363

666

11

11

111

−=∨=→−=−∨=−→

−=+∨=+→=+

xx

xx

pxpxpx

)6,3()6,3(

636

)3(122

2

−−∨−→±=→=∴

−−=→yy

y

2

1→

32-16→−=

=

p

p

yxyx 2-→)2

1(4∴ 22 =−=

82



1. Una parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje x. Si P

(2,-2) es un punto de la parábola, halle la ecuación de la parábola, las

coordenadas del foco y la ecuación de su directriz.

2. Halle las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son:

3. Una cuerda de parábola 042 =− xy es el segmento de recta 02 =− yx Halle la longitud de dicha cuerda.

2.6.3 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA. La ecuación ordinaria modela una parábola cuyo vértice está en un punto

(x,y) que no coincide con el origen del sistema de coordenadas. La ecuación

canónica es un caso particular de la ecuación ordinaria cuando las

coordenadas del vértice son (0,0). La forma de la ecuación varia con el eje de

simetría de la parábola a la que representa.

Ejemplos:

1. Calcule el vértice, el foco y la directriz de las siguientes parábolas.

a) xy 32 = b) xy 122 −= c) yx 42 = d) yx 82 −=

( ) ( )kyphx −=− 42

),(: pkhFoco +pkyDirectriz −=:

( ) ( )hxpky −=− 42

),(: kphFoco +phxDirectriz −=:

013262 =+−+ yxx 0232246 2 =+++ xyy

MATEMÁTICA II 83


Solución:

Resolvamos en primer lugar a

Las parábolas están expresadas en forma de ecuación general

02 =+++ DCyBxAx o 02 =+++ DCxByAy . Para calcular las

coordenadas 0=F+Ey+Dx+2x y 0=F+Ey+Dx+2y de sus elementos

(foco, vértice y directriz) vamos a expresarlas en su ecuación ordinaria

siguiendo los siguientes pasos.

Determina si el eje de simetría de la parábola es H orizontal o

Vertical.

Esto lo puedes determinar analizando cuál es la variable que NO ESTÁ

ELEVADA AL CUADRADO, ya que ésta determina a cuál de los ejes del

sistema de referencia es paralelo el eje de simetría de la parábola.

En el caso concreto de la parábola, el eje de

simetría es paralelo al eje Y.

Escoge la ecuación según el eje de simetría y compl eta

cuadrado.

En nuestro ejemplo, la ecuación a utilizar es ( ) ( )kyp4=2hx -- .

El proceso de completar cuadrado y obtener la ecuación es como sigue:

)2(2)3(

4296

2

6132

2

66

1326

2

2

222

2

-

-

-

-

yx

yyx

yyx

yxx

=+=++

+=

++

=+

Coordenadas del vértice: (-3,2)

Valor de :

Coordenadas del foco:

Recta directriz: 23

=y21

2=y →

0=13+y2x6+2x -

013262 =+−+ yxx

02

1 >=p

)25

,3)21

+2,3 -F(→F(-

84


Aplicando el mismo procedimiento para

Se tiene:

Coordenadas del Vértice:

−2,2

1

Valor de P: 0<121

=p31

=p4 → ( La parábola se abre a la

izquierda )

Coordenadas del foco:

−→

−− 2,12

52,

12

1

2

1

Recta Directriz: 12

7

12

1

2

1 =→+= xx

0232246 2 =+++ xyy

MATEMÁTICA II 85


2. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los vértices de las

parábolas 026183 2 =++− yxx y 01882 =+++ xyy

Solución:

Calculamos las ecuaciones canónicas de cada parábola.

Utilizando las coordenadas de los vértices y la ecuación Punto-Punto,

calculamos la ecuación de la recta.

( )

( )

02-y-

2-

3-1-

3-3-2-

1-4-1

--

-- 1

12

121

=⇔=⇔=

=

=

x

xy

xy

xy

xxxx

yyyy

( )

( ) ( )( )1,3:

1-3

1-3-

3

1

3-3-

26--18-3

02618-3

2

2

2

2

vertice

yx

yx

yxx

yxx

=

+=

=

=++

( )( ) ( )

( )42

24

24

168168

188

0188

2

2

2

2

2

-,-:

-

--

1--

--

vertice

xy

xy

xyy

xyy

xyy

+=+

=+

+=++

=+

=+++

86



1. Calcule la distancia del vértice de la parábola y²+2y+x-4=0 a su punto P(x;4):

2. P(6;y) es un punto de la parábola 2x²-4x-y+6=0. calcule la ecuación de la

circunferencia que pasa por P y cuyo centro es el vértice de la parábola.

3. En los ejercicios a y b, halle la ecuación y gráfica de la parábola, conociendo:

a. Vértice (2, 1) y foco (2, -4)

b. Foco (4, -3) y directriz y = 1

4. Halle las coordenadas del vértice, foco, lado recto, ecuación de la directriz y

gráfica, conociendo

a. x2 – 4x + 8y – 16 = 0

b. y2 +2x+6y-5=0

5. Encontrar los puntos máximos o mínimos, según el caso, en:

a. 4y = x2 – 4x - 4

b. x2 + 4x + 6y – 8 = 0

6. El propietario de un terreno rectangular, donde uno de los lados está cercado,

desea cercar el resto que llega a 200 m. ¿Cuál será el área máxima que podrá

cercarse?

MATEMÁTICA II 87


Autoevaluación

1. P y Q, ambos de abscisa -21, son puntos de la parábola y ² + 2y + x + 6 = 0.

Calcule la ecuación de una circunferencia, sabiendo que uno de sus diámetros

tiene como extremos a P y Q.

2. Calcule vértice, foco y directriz de las siguientes parábolas:

• 2y²-20y-x+53=0 • 2x²-8x-y+9=0

• 2y²-12y+x+17=0 • x²+2x+2y+5=0

3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas

L1: x-2y+4=0 y L2:2x-y-4=0; además pasa por P(5, 6)

4. Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto el

(2; 4). Halle su ecuación

5. Una parábola, con vértice en el origen de coordenadas, tiene por directriz 2x - 5=0.

Halle su ecuación.

6. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen, cuyo eje es el Eje Y, y

que pasa por el punto (8,-4)

7. Encuentre el foco y la directriz de la parábola: 0=x7y2 2-

8. Encuentre el valor de k, para que la longitud del lado recto de la parábola sea

Igual al radio de la circunferencia.

Si la circunferencia es 04: 22 =+++ kyyxC y la parábola con eje horizontal

es 01248: 2 =+−+ yxyP

9. Halle la ecuación general de la Circunferencia cuyo centro es la intersección de las

rectas L1: 01347 =−+ yx y L2: 01925 =−− yx , y pasa por el foco de la

parábola 0162 =− xy


LIMUSA USA 2001






88


MATEMÁTICA II 89


FUNCIONES Y GRÁFICAS


Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos señalarán dominio y rango de los

diferentes tipos de funciones básicas, trascendentales y funciones seccionadas, construyen

además sus representaciones gráficas en el plano cartesiano y aplican las restricciones del

dominio de cada función.

TEMARIO

• Conceptos básicos: Dominio y rango de una función

ACTIVIDADES

1. Identifican una función real de variable real y su gráfica en el plano cartesiano.

2. Calcula el dominio de funciones polinómicas, racionales, irracionales y logarítmicas; evaluando sus restricciones.

Identifica y evalúa las Restricciones de dominio

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3

SEMANA

8

90


3.8.1 DEFINICIÓN INTUITIVA.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

Caso 1

Supongamos que un cultivo de bacterias se inicia con 5 000 de ellas y la población se duplica cada hora, entonces el número N de bacterias depende del número t de horas transcurridas.

El biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo y trata de determinar la regla o función que relaciona ambos.

Un cálculo sencillo nos permite determinar que esta relación se puede expresar como:

Caso 2

Un físico se da cuenta que el peso de un astronauta depende de la distancia a la que se encuentra del centro de la tierra, entonces intenta descubrir la regla o función que relaciona el peso F con la distancia h a la superficie de la Tierra.

( )2hR

mMGF

T

T

+=

Siempre que una variable dependa de otra, genera una relación funcional, por ello podríamos definir a la función de la siguiente manera:

Una función f es una regla que asigna a cada elemen to x de un conjunto A exactamente un elemento, denotado por f(x), de un conjunto B.

.... ....

40 000 3

20 000 2

10 000 1

5 000 0

N t (horas)

tN 25000×=

MATEMÁTICA II 91


Si x está en el conjunto A , entonces f(x) es llamado la imagen de x bajo f.

El conjunto A es llamado Dominio de la función f y se denota por Dom(f). Al dominio de f, se le llama conjunto de preimágenes

El conjunto Ran(f) = {f(x) / x∈A} es llamado el rango de f ; el cual nos indica el conjunto de las imágenes de x.

Ejemplo básico

− Indique cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son

funciones.

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }5,1,4,1,3,1,1,1

,,,,,,,

2

1

=

=

f

sdrcqbpaf

Solución: Comencemos analizando 1f . Si representamos este conjunto con un diagrama sagital tendremos lo siguiente:

A B

Analicemos ahora 2f .

A B

De donde:

Do (f1) = { a, b, c, d } y Ra (f1) = { p, q, r, s } Do (f2) = { 1 } y Ra (f2) = { 1, 3, 4, 5 }

a b c d

p q r s

En este diagrama, vemos fácilmente que cada elemento del primer conjunto (conjunto de partida) se relaciona con un único elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada).

Luego 1f es una función.

1

1 3 4 5

En este diagrama vemos fácilmente que el elemento del conjunto de partida se relaciona con varios elementos del conjunto de llegada.

Luego 2f no es una función.

92


3.8.2 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Gráfica de una Función Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos

( )yx, en 2R , para los cuales, ( )yx, es una pareja ordenada en f . (Es un punto de la gráfica y satisface su ecuación). Ejemplo: Grafique la función 2+= xy y verifique que algún punto geométrico de la gráfica satisface la ecuación. Usando esta tabla de valores graficamos la función.

33

213

2

=+=+= xy

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

Si al trazar una vertical a la gráfica de f, ésta debe cortarla a lo más en un punto, caso contrario no es la gráfica de una funci ón real

3.8.3 RESTRICCIÓN DEL DOMINIO: CASOS

3.8.3.1 Función Polinómica

Un polinomio es de la forma nnnnn axaxaxaxa +++++ −1

22

110 ... .

Las funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. son ejemplos de este tipo de funciones.

Restricción de dominio : Cualquier valor real de x genera una imagen real en y . Luego, el dominio de toda función polinómica son TODOS LOS NUMEROS REALES. RDomf =

Verifiquemos ahora los puntos de

la gráfica, por ejemplo ( )3,1

MATEMÁTICA II 93


3.8.3.2 Función Racional

Tiene la forma ( ) ( )( )xQ

xPxf = es decir, el cociente de 2 funciones

polinomiales.

Restricción de dominio: El polinomio del denominador debe ser distinto de cero. 0)( ≠xQ

Ejemplos:

1. Calcule el Dominio de 1

2

+=

xy

Aplicando la restricción

Luego el dominio es: { }1−−R

2. Calcule el dominio de ( )92 −

=x

xxf

3

9

092

±≠≠

≠−

x

x

x

{ }3,3−−= RDomf

1

01

−≠≠+

x

x

94


3.8.3.3 Función Irracional

Cuando la regla de correspondencia esta afectado por un radical como n xPy )(= .

Si n es impar positivo, P(x) no tiene restricción p ara calcular el dominio entonces RDomf = Si n es par positivo, P(x) tiene restricción para c alcular el dominio, 0)( ≥xP entonces Domf = D(f)=

}{ 0)(/ ≥xPRxε

Ejemplos:

1. Calcule el dominio de ( ) xxf = Aplicando la restricción

{ }0/ ≥∈= xRxDomf que también se expresa

[ +∞,0

2. Calcule el dominio de ( ) 42 −= xxf

( )( ) 022

042

≥−+≥−xx

x

Un método interesante para resolver la inecuación es mediante el método de los puntos críticos, para dos factores, el cual nos dice que el conjunto solución son las regiones laterales, al dividir la recta en tres regiones.

+ � - (+ -2 2

Dado que la inecuación está definida para valores positivos, se toman como solución las regiones positivas.

] [ ∞−∞− ,22,: UDomf

0≥x

MATEMÁTICA II 95


GRAFICA

3.8.3.4 Función Logarítmica

La variable independiente está en el argumento de un logaritmo.

( ) )(xPLogxf b=

Restricción de Dominio: Por definición de logaritmos, el argumento debe ser mayor que cero.

( ) 0)(:)( >→= xPDomfxPLogxf b

Ejemplo:

Calcule el Dominio de )1log()( += xxf Aplicando la restricción.

1

01

−>>+

x

x

∞− ,1:Domf

96



1. Halle el dominio de las siguientes funciones:

( )

)21log(5

99

2)()

20

3)1log(4

5log)()

21

log)9log()()

3253)1(32)()

1)21log()()

11

441log)()

42

246

2

22

422

22

3

2

22

xx

xxx

x

xxff

xx

x

x

xxxxfe

xx

xxfd

xxxxxxxfc

xxx

xxxfb

xx

xxxfa

x

−+−

+−−+−

=

−−+

++−=

++

−+−=

−+−−++−=

−+−

+−=

++

−+−=

−

BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas

América S.R.L Lima 2004





http://descartes.cnice.mec.es

MATEMÁTICA II 97


FUNCIONES Y GRÁFICAS


Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos señalarán dominio y rango de los diferentes tipos de funciones básicas, trascendentales y funciones seccionadas. Construyen, además, sus representaciones gráficas en el plano cartesiano y aplican las restricciones del dominio de cada función. TEMARIO

• FUNCIONES ESPECIALES

− Función lineal

− Función valor absoluto

− Función raíz cuadrada

− Funciones seccionadas

ACTIVIDADES

• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones lineales.

• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función valor absoluto.

• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función raíz cuadrada.

• Calcula dominio y rango de funciones seccionadas

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3

SEMANA

9

98


3.9 FUNCIONES ESPECIALES

3.9.1 FUNCIÓN CONSTANTE

A la función f , la llamaremos función constante , si su regla de correspondencia es:

,)( Cxf = donde c es una constante.

También la función constante, se puede definir por:

{ }./),( cyRRyxf =×∈= donde c es constante

donde su dominio es RD f = , su rango es { }cRf = y su gráfica es:

3.9.2 . FUNCIÓN IDENTIDAD

A la función f , le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es :

También la función identidad se define :

{ }./),( xyRRyxf =×∈=

Donde: RRRD ff ==

Y su gráfica es :

3.9.3 FUNCIÓN LINEAL

A la función f , le llamaremos función lineal , si su regla de correspondencia es :

xxf =)(

baxxf +=)(

MATEMÁTICA II 99


Donde a y b son constantes y 0≠a . También a la función lineal se puede expresar en la forma:

{ }./),( baxyRRyxf +=×∈=

Donde RD f = y RRf = ; a , b 0≠∈ ayR cuya gráfica es :

3.9.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

A la función f , le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es :

También se puede expresar en la forma: { }xyRRyxf =×∈= /),(

Donde [ ∞== ,0ff RyRD

y su gráfica es:

3.9.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

A la función f , le llamaremos función raíz cuadrada , si su regla de correspondencia es :

0)()()( ≥⇔= XUxUxf

Un caso particular es de la forma: { }xyRRyxf =×∈= /),(

<−≥

==0,

0,,)(

xx

xxxdondexxf

100


Donde [ ∞== + ,00 ff RyRD y su gráfica es:

3.9.6 FUNCIONES SECCIONADAS

Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia

∈∈

=22

11

)(

,)()(

Axsixf

AxsixfxF donde

)()()(

)(

21

21

fRafRafRa

AAfDo

U

U

==


1. En una campaña por limitar el consumo de agua de cierta ciudad se establece la siguiente tarifa: Se cobran S/.4 por metro cúbico de consumo, si este llega hasta los primeros 10 m3 de agua. Si superan el consumo de 10 m3 se cobran S/.5 por m3 adicionales.

a. Establecer el modelo que representa el gasto por el consumo de agua b. Graficar el modelo c. Hallar el costo por el consumo de 8 m3 , 10 y 15 m3

2. Construya la gráfica y calcule el dominio y rango de:

32,524)( ≤−−−= xparaxxf

MATEMÁTICA II 101


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación 1. Sea { }4,3,2,1=A se definen de A en N las funciones f y g tales que:

{ }),(),3,1(),5,3(),5,2(),,1( kpkf = pkxxg 2)( += .

a) Halle la suma de los elementos del rango de g(x)

b) Encuentre el valor de : [ ] [ ] [ ])1(2)4()1()3( fffgfgfE +−+=

2. Sea f(x) una función lineal y .8)( 2 −= xxg Si f(2)=g(3) y la gráfica de f pasa

por el punto (3,4);Halla el rango de f si su dominio es ]6,2)( −=fDom

3. Sea la función { })8,(),9,5(),,7(),,5(),8,7( 2 aammf +=

a) Halle Do(f)∩ Ra(f). b) Si g es una función definida en el Do(f), mediante g(x)=mx+n tal que

f(5)=g(2) halle Ra(g)

4. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función :

[ ]

>∈

<∪−∪>−−∈

−∞−∈++

∈−∈+

=

9,6[,

]3,22,22,3[,4

3,,2410

6,3,5

30,9,1

)( 2

xx

x

xxx

xx

xx

xf

5. Halle dominio ,rango y esbozar la gráfica de la función:

[ ]

>∞<∈>∈−

−∈+−

−−∈−−∞−∈−

=

,6;6

6,0[;4

0,5;3

1

5

1

6,9;

9,;

)(

x

xx

xx

xx

xx

xf

102



( ) [ ]

( )

>∞∈<−−

−∈−−

−−∈

−−∈+−−−

=

,4,18

4,2,12

2,4,2

4,13,42

)(2

xx

xx

xx

xx

xf


8 El índice de contaminación atmosférica en alguna ciudad fue evaluada y definida

por el siguiente modelo matemático:

<≤−<≤<≤+<≤+

=

2015 ,248

1510 ,14

104 ,53

40 ,42

)(

tt

t

tt

tt

tC

Donde t es el tiempo medido en horas, t = 0 corresponde a las 2 am. C representa el nivel de contaminación

A) Graficar el modelo B) A qué hora la contaminación es la más alta, y a qué hora es más baja? C) Determinar el nivel de contaminación a las 8 am, a las 2 pm y a las 7 pm D) En qué intervalos de tiempo, la contaminación es creciente o decreciente.

9 Halle el dominio, rango y esbozar la grafica de la función.

≥−<≤−+

<≤−−<−

=

8,212

84,42

40,2

0,,2

)(

xsix

xsix

xsixx

xsi

xf

MATEMÁTICA II 103


[ ]

[

−≤+−+∞⟩∈+−

∈−

∈−⟩⟨∈

−∈<+

=

2,63

,10,6

10,8,4

8,4,102

4,2,2

]2,2,44

1

)(

2 xxx

xx

x

xx

x

x

xf

x

x

BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo

Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004


Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993


http://descartes.cnice.mec.es www.sok.com.ar/matem/matemática/logaritmo

104


MATEMÁTICA II 105


FUNCIONES Y GRAFICAS


Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos señalarán dominio y rango de los

diferentes tipos de funciones básicas, trascendentales y funciones seccionadas, construyen

además sus representaciones gráficas en el plano cartesiano y aplican las restricciones del

dominio de cada función.

TEMARIO

• FUNCIONES ESPECIALES

− Función cuadrática

− Función exponencial

− Función logarítmica

ACTIVIDADES

• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones cuadráticas.

• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones exponenciales.

• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones logarítmica.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3

SEMANA

10

106


3.9 FUNCIONES ESPECIALES

3.10.1 FUNCIÓN CUADRÁTICA

A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:

También, la ecuación cuadrática se expresa así:

La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x en el cual se presenta dos casos.

− Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba. − Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo.

El dominio de la función cuadrática es: RD f = . El rango se determina

completando cuadrados.

Como

a

bac

a

bxaxf

a

bc

a

bx

a

bxaxfcbxaxxf

44

)2

()(

4)

4()()(

22

2

2

222

−++=

−+++=⇒++=

Luego el vértice de la parábola es: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bV

−−

Si a>0 se tiene :

RD f = +∞

−= ,4

4 2

a

bacRf

Si a<0 se tiene :

RD f =

−∞−=a

bacRf 4

4,

2

0,,,)( 2 ≠∈++= aRcbacbxaxxf

{ }0,,,,/),( 2 ≠∈++=×∈= aRcbacbxaxyRRyxf

MATEMÁTICA II 107


3.10.2 FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea ............7182.2)( == edondeexF x

Si su +∞== ,0RanRDomf

Se tiene: n

n nLime

+=∞→

11

Tabulando:

x -1 0 1 2 -2 3 y

e1 1 e 2e

21e

3e

Graficando:

3.10.3 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Se define una función logarítmica :

Lnxyxf ==)(

Donde: ∞∞−=∞= ,,0 ff RangDom

108


7182.2log == exLnx e

X 21 3

1 41 1 2 3

Y -0.69 -1.1 -1.39 0 0.69 1.1

3.10.4 APLICACIÓN A LA ECONOMÍA

Cierta empresa tiene costos variables de producción de cierto artículo, de $ 25 por unidad; y los costos fijos de producción mensual es de $ 2 000. El ingreso I mensual por la venta de x unidades producidas es de I = 60x-0.01x2. Determinar: a) La función costo C b) El nivel de ventas para maximizar el ingreso. c) El máximo ingreso. d) El nivel de producción y venta para hallar la máxima ganancia o

utilidad. e) La máxima utilidad.

Solución

a) Si x es el número de unidades producidas al mes del artículo

mencionado y $ 25 el costo unitario, entonces el costo variable de

producción es

CV= $25x.

como el costo fijo es $ 2 000, entonces el costo total será

C = 25x + 2 000

b) De la función ingreso conocido I = 60x – 0.01x2

MATEMÁTICA II 109


Se observa que es una ecuación cuadrática en la variable x, es decir,

es la parábola. Por lo tanto, transformamos esta ecuación a la

forma canónica para obtener las coordenadas del vértice que darán

el nivel de venta y el máximo ingreso.

. 625,28 )

. 1750

tan

)28625 , 1750(

)28625(1002)1750(

20000010035002

200035201.0

200020.01x-35xU

)200025()20.01x-(60xU

)

000 90 $ )

. 3000 m ,tan

)90000 ,3000( ,

)90000(1002)3000(

9000000100900000060002

10060002

60201.0

dólaresesobtenidautilidadmáximaLaE

unidadesdeesutilidad

máximaladáqueventayproducciónniveleltoloPor

V

esabajohaciaabresequeparábolaladevérticeeldondeDe

Ux

Uxx

Uxx

x

CIU

CtotalCostoelmenosIIngresoelesUUtilidadLaD

deesingresoElmáximoC

unidadesesgananciaáximaladáqueventadeniveltoloPor

VesparábolaladevérticeeldondeDe

Ix

Ixx

Ixx

Ixx

−−=−

−−=−

−−=−

−=

+−=

−=

−−=−

+−=+−

−=−

=−

110



1. Dada la siguiente función

+=

+∈=2

2

2

1

4

3/),( xyRyxf

Halle )()( fRangfDomA I=

2. Dada la siguiente función ( ) ( )

−=−∈= 22 2

4

14/),( xyRyxf

Halle )()( fRangfDomB I=

3. Halle la longitud de la cuerda común de 15164)( 2 −+= xxxf y

4

52)( −+−= xxxg

4. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

>+∞∈−−∈<

−−∈<

= +

+

,4[;)72log(

]1,5;2

]5,10;4

3

)( 4

2

xx

x

x

xf x

x

5. Determine el dominio , rango y construya su gráfica

6. Halle dominio ,rango y esboce la gráfica de la función:

−≤+−−

>

−∈<

=

−

2,1

6,2

]6,2,4

3

)(

221

3

3

xxx

xx

x

xf Log

x

7. Halle el dominio de la función :

25

)9(42)( 22

−+−++=

x

xxLnxxf


xxf 10)( =

MATEMÁTICA II 111


( )

≥−−∈−−

−≤

=

−

4,4ln

2,1,42

1,

)( 2

32

xx

xxx

xe

xf

x


2

22

1

2

4

5log4)(

x

xxxxxf

++−+−=


32

1

4

13)(

22

−+

−

−++=xx

xLnxxxf

11. Halle el dominio de la siguiente función:

9)13log()( 2 −+−= xxxf

12. El gerente de producción de una empresa cree que el departamento de ventas y

mercadotecnia puede vender diariamente 126 unidades de un producto, y quiere

producir esa cantidad. Si supone este funcionario que todos los factores que no

sean el número de trabajadores y la producción resultante ,se mantendrán

constantes dentro de los límites de esa producción total, la función producción

puede expresarse por la ecuación

042 2 =−+ yxx

en la que x representa el número de trabajadores y y, las unidades producidas.

Dicho gerente asegura que necesita 7 hombres para producir las 126

unidades.

a) Suponiendo que la ecuación es adecuada ¿Está en lo correcto el gerente

con respecto al número de empleados que necesitará?

b) ¿Qué tipo de curva representa la ecuación ? .Trace la curva .

c) Construya una tabla que muestre las unidades producidas por trabajador

empleado, en el intervalo de 1 a 7 obreros .Indique el cambio en el número

de unidades producidas en este intervalo a medida que se va agregando

cada trabajador.

13. El costo promedio por unidad, en soles, al producir x artículos esta dado por

C(x) = 20 - 0.06x + 0.002x2. ¿Cuántas unidades producidas minimiza el costo promedio? Y ¿Cuánto será dicho costo mínimo?

112


14. Si la demanda mensual de x artículos al precio de y soles por unidad está dada

por la relación x + 45y =1350 El costo por mano de obra y materiales por la

fabricación de cada artículo es de S/. 5 y los costos fijos son de S/. 2 000

mensuales. Determinar:

a. La relación del costo total

b. La relación que defina el Ingreso

c. La relación de Utilidad

d. ¿A qué precio unitario se venderá para optimizar la utilidad?

e. ¿Qué precio se fijará para no ganar ni perder, es decir obtener utilidad 0?

MATEMÁTICA II 113


MISCELÁNEA DE PROBLEMAS SOBRE FUNCIONES

SOBRE FUNCIONES ESPECIALES

I. Asocia cada función con su gráfica:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

a. 5xy +−=

b. 3x23

y +=

c. x21

y =

d. 2xy 2 +=

e. 1xy 2 +−=

f. x2

y −=

g. 23

y −=

h. 2x2y =

7. 8. Rp. a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7) II. Problemas sobre funciones

a. Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función del peso total del cántaro (en Kilogramos) según la cantidad de agua (en litros) que contiene.

Rp. {

1Kg)(1litro agua de cantidad:x

(Kg) cántaro del peso:y

55.2xy

=

+=

b. El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de S/.

0,12. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada cuesta S/. 0,87 en total. Halla la función del precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.

114


Rp. { minutos de cantidad :x

(S/.) llamada la de precio:y

12,0x15,0y +=

c. El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función del área del

rectángulo en función de la longitud de la base.

Rp.{

)u( base la de longitud:x

)(u rectángulo del área:y

xx15y2

2−=

III. Determine el dominio de las siguientes funciones :

1. 3

2

x1x6x9

)x(f++=

Rp.

−∪∞=

31

,0)x(fDom

2.

−−=x

4x11x3ln)x(f

2

Rp ∞∪−= ,40,31

)x(fDom

3. x5

2

e11xx

)x(f −−++=

Rp. { }5R)x(fDom −=

4. ( )x2logx

8xx31

)x(f2

3 −−

+−=

Rp. { }131

,2)x(fDom −−−=

5. ( ) 22

23

xx524

75x11x2

25xx575log2

10x)x(f

−++

+−−+

−−−=

Rp. { }58,21

)x(fDom −=

6. 2

2

16x7x4

2

3

xx5

9x5x

749

1x49x28x4

1x)x(f 2

−+−+

−−+

+−+=

−+

Rp.

−=

27

,25,0)x(fDom

MATEMÁTICA II 115


IV. Determina el dominio, el rango y esboza la gráfic a de las siguientes funciones:

1.

−≥+

−<≤−+−=

5x,9x2

5x10,8x3)x(f

[[ ∞−=

∞−=

,1)x(fRan

,10)x(fDom

2.

≥−

<≤−−−<++

=

3x,1

3x2,1x

2x,1x6x

)x(f

2

[ ∞−==

,8)x(fRan

R)x(fDom

IV. Problemas de exponenciales y cuadráticas

1. El valor de un reloj está dado por txtv 2,02200)( −= , donde “t” es el

tiempo en años desde que el reloj era nuevo.

a) ¿Cuánto costo el reloj cuando era nuevo?

b) ¿Cuánto costará 20 años después?

c) ¿Cuánto costará 10 años después?

d) Trace un gráfico aproximado de la función.

2. En una comunidad cualquiera la propagación de un cierto virus de gripe fue

tal que , “t” semanas después de su brote ,f(t) personas se habían contagiado,

si :

( ) ttf

2,0100log2241

1449225)( −+

=

a) ¿Cuántas personas tenían gripe durante el brote?

b) ¿Cuántas personas tenían gripe después de 10 semanas?

c) ¿Cuántas personas tenían gripe después de 35 días?

3. La utilidad U obtenida por elaborar y vender x unidades de cierto producto

fármaco está dado por: U = 40x – x2

a) Determinar el número de unidades que se deben elaborar y vender para

obtener la máxima utilidad.

b) ¿Cuánto será la máxima utilidad?

116


4. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional

al peso de su cuerpo, y una persona que pesa 65 Kg. tiene un cerebro cuyo

eso aproximado es 1.8 Kg.

a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del

cerebro como una función del peso de la persona.

b) Determine el peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso

corporal es 75 Kg.

5. Un mayorista vende un producto por kilos (o fracción de Kg.); Si se ordenan no

más de 10 Kg., el mayorista cobra $ 2.00 por Kg. Sin embargo, para atraer

órdenes mayores, el mayorista cobra sólo $ 1.80 por Kg. si se ordenan más de

10 Kg.

a) Encuentre un modelo matemático que exprese el costo total de la orden

como una función de la cantidad de Kg. ordenadas del producto. Dibuje.

b) Determine el costo total de una orden de 9.5 Kg. y de 12.5 Kg.

6. En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 15

semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de

depredadores es una función f de x, el número de presas en el bosque, la cual

a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde

el fin de la temporada de caza. Si :

F(x) = 524)(,50248

1 2 +=+− ttgyxx

Donde 0 ≤ t ≤ 15, haga lo siguiente: Encuentre un modelo matemático que

exprese la población de depredadores como una función del número de

semanas a partir del fin de la temporada de caza

7. En un laboratorio, el costo variable (y soles) por la producción de x (decenas)

de cierto medicamento se define por:

−≤<+

=5 ,23

50 ,32

fxx

xxy , Graficar el modelo y determinar

a) El costo por la producción de 4 docenas

b) El costo por la producción de 9 docenas

c) Cuántos medicamentos se producen con S/. 10? y con S/. 90?

MATEMÁTICA II 117





Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993


LEITHOLD, Louis

Cálculo con Geometría analítica

Editorial Oxford México 2004


118


MATEMÁTICA II 119


LÌMITES Y CONTINUIDAD LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando las propiedades de

límites y las condiciones de continuidad, resolverán problemas de límites

indeterminados, en el infinito y trigonométricos, y problemas de continuidad de una

función en un punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones

gráficas en el plano.

TEMARIO

• Límites de funciones :

- Límites indeterminados

o Algebraicos

o Con radicales

- Límites cuando variable tiende al infinito

ACTIVIDADES

• Calcula límites indeterminados de funciones algebraicas, racionales e irracionales.

• Calcula límites indeterminados cuando la variable tiende al infinito.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4

SEMANA

11

120


4.11 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

4.11.1 IDEA DE LÍMITE

2-x

4-4x-23xF(x) = 5 5.75 6.5 7.25 7.7 7.97 7.997 8.003 8.03 8.3 8.75 9.5 10.25

x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5 2.75

82-x

4-4x-23x

2

lim=

→x; 82)(3x =+

→=

+→ 2

lim2-x

2)-2)(x(3x

2

lim

xx

4.11.2 DEFINICIÓN:

Sea F(x) una función definida en un intervalo que contiene o no al número “a” . Se dice que cuando x se aproxima al número “a” la función

F(x) tiende al número L ( que se denota por: F(x)ax

Lim

→=L), sí para todo

número positivo ε > 0 existe un número positivo δ tal que |F(x)-L| < ε siempre que x∈D (F) ∧ 0 < |x-a| < δ

EJEMPLOS: 1. Si ε = 0.03 halla el valor positivo δ tal que |(3x + 7)-1| < ε siempre que 0 < |x - (-2) | < δ Solución

ε<+ 63x , 0 < | x +2 | < δ

3| x +2 | < ε → 3

2ε<+x →→→→ δ =

3

ε ∴∴∴∴ δ = 0.01

2.Demuestre que 81

312

1=

−+−

→ x

)x)(x(limx

, a = 1, L = 8,

| F(x) – L | < ε siempre que 0 < | x - a |

341

311 2 ++=−

++−= xxx

)x)(x)(x()x(F

755755111151

5154834 22

<+<→<+<→<−<−→=δε<+−

ε<+−→ε<++→ε<−++

xxx;x.x

)x)(x(xxxx

acotando 7

11775ε<−→ε<−→=+ xx.x , asumiendo δ =

7

ε

por lo tanto δ = min {1, 7

ε }, con lo cual queda demostrado el Límite.

MATEMÁTICA II 121


4.11.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES

1. )()()()()(00

xhLímLxfLímxhxgxfSíxxxx →→

==∧≤≤

LxgLímxx

=∴→

)(0

2. :)()( 21

00

entoncesLxgLímLxfLímSixxxx

=∧=→→

a) ( ) 21

000

LL)x(gLím)x(fLím)x(g)x(flímxxxxxx

±=±=±→→→

b) 21.)().()().(

000

LLxgLímxfLímxgxfLímxxxxxx

==→→→

c) 2

2111

0

00 L)x(gLím)x(g

LímLSí

xxxx

==⇒≠→

→

d) 2

12

0

0

0

0L

L

)x(gLím

)x(fLím

)x(g

)x(fLímLSí

xx

xx

xx==⇒≠

→

→

→

e) RCLCxfLímCxfCLím

xxxx∈==

→→,.)(.)(. 1

00

.

f) CxfLímteConsCxfSi

xx=∴==

→)(tan)(

0

g) Si NmLxfxx

Límxf

xx

Lím mmm ∈=→

=→

,)())(())(( 100

4.11.4 CÁLCULO DE LÍMITES

Calcule:

a)

( )( )

( )6

42322

432

432432

2

2

2

2

22

2

2

2

2

=+−=

+−=

+−=+−

→→

→→→→

)(

)x(LímxLím

)(Lím)x(Lím)x(LímxxLím

xx

xxxx

b) ( ) ( ) ( ) 2851355 31

31

31

13

3

13==−=−=−

→→xLímxLím

xx

122


FORMAS INDETERMINADAS

∞∞

,0

0

4.11.5 LÍMITES ALGEBRAICOS :

1) Calcule:

0

0

32223241222324

1

lim=

−−++++−−

→ xxxx

xxxxx

(forma indeterminada)

)35233(

)1323(1

lim

)35233)(1(

)1323)(1(1

lim

+++

−−−→

=+++−

−−−−→ xxx

xxx

xxxxx

xxxx

x

3

1123531

1311 4 −==+++−−−= −

, luego 3

1

32223241222324

1

lim −=−−++++−−

→ xxxx

xxxxx

2) Calcule:

0

0

22

22

lim=

−−

→ x

xx

++

++

−−

→ 22

22

2

2

22

2

2

lim

x

x

x

x

x

x

x =

2

1

3) Calcule:

6

5

3

1

2

1

)1)(1(

)1(

1

lim

)1(

1

1

lim

)1)(1(

)1))((1(

1

lim

)1)(1(

1

1

lim

1

1

1

lim

1

1

1

lim

0

0

1

2

1

lim

31

32

31

32

3123

13

1

33

=+=++−

−→

++→

++−

++−→

++−

−→

−−

→+

−−

→==

−−+

→

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

x

x

xx

x

xx

xx

x

4) Calcule:

==×−

−=−−

→ 0

0

3412

33

412

3

3

lim

x

x

xIndeterminado

Levantamos la indeterminación: 4

1

4

1

)3(

)3(

)3(4

)3(33

=×−−=

−−

→→ x

xLim

x

xLim

xx

5) Calcule:

MATEMÁTICA II 123


adoerinx

xLimx

mindet0

0

0

303330

=−+=−+→

Levantando la indeterminación:

6

3

33

1

0,)33()33(

3)3(

)33(

)33()33(33

0

00

00

=++

≠++

=++−+

++++×−+=−+

→

→→

→→

xLim

xxx

xLim

xx

xLim

x

x

x

xLim

x

xLim

x

xx

xx

6) adoerinxx

xxLimx

mindet0

0

341

231

34

232

2

1=

+−+−=

+−+−

→

Levantando la indeterminación:

2

1

2

1

)3(

)2(

1)1)(3(

)1)(2(

34

23

1

12

2

1

=−−=

−−

≠−−−−=

+−+−

→

→→

x

xLim

xxx

xxLim

xx

xxLim

x

xx

4.11.6 LÍMITES AL INFINITO

Casos:

a) LxfLimx

=+∞→

)(

b) LxfLimx

=−∞→

)(

c) ∞= +

−+∞→)(xfLim

x

d) ∞= +

−−∞→)(xfLim

x

124



1. Calcule:

+∞==+

++=∞+∞

∞+∞+=

+

++

+

++

=+

++

+∞→

+∞→+∞→

0

4

00

00452

124

52

124

52

124

52

124

2

2

2

2

2

2

xx

xxLim

x

xx

xx

Limx

xxLim

x

xx

2. Calcule:

3

123

21

)23(

)21(

23

2

23

2

22

22

2

2

2

2

=∞+∞+

∞→=

+

+=

++=

++

∞→

∞→∞→

x

Lim

xx

xx

Lim

x

xLim

x

xLim

x

xx

3. Calcule:

∞−∞=−++∞→+

−

)x)x)(x((Limx

52 (Forma indeterminada)

).xxx(Limx

−++∞→

1072

)107(

))5)(2((2 xxx

xxx

++++++

0,2

7

1107

1

107

)11071(

)107(

107

107

107

107

22

22

22

>=+++

+

∞→=

+++

+

++++=

+++−++

∞→

+∞→∞→

x

xx

xx

Lim

xxx

xxLim

xxx

xLim

xxx

xxxLim

x

xx

4. Calcule:

3

431

2

41

31

23

lim

3342

12346lim6

=−+

++−

∞→=

∞∞=

−+++−

∞→

xx

xxxxxx

xxxx

MATEMÁTICA II 125


5. Calcule:

m xfx

m xfxx

xxx

x

x

xx

x

)(lim

)(lim

;511243

3155lim

511243

)3)(5(lim

∞→=

∞→−−−+

∞→=

=∞∞=

−+−

∞→

5 11243

1521

511

243

1521

lim5

11243

152lim=

∞−

∞+

∞+−

=−

++−

∞→=

−++−

∞→=

x

xxxx

xx

x

L 3

15243

1 −=−=

6. Calcule:

22

22

21

21

22

21

21

22lim

)22(

22lim

)22(

)2(2lim

)mindet()22(lim

==

∞−+

∞+

=

−++∞→

−++∞→=

−++

−−+∞→

∞−∞=−−+∞→

xx

x

xxxx

x

xxxxx

xxxx

x

adaerinFormaxxxxx

126


Autoevaluación I. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:

33

64.1

6 −+

→ x

xLímx

8

8.2

2

2 −+

−→ x

xLímx

xx

xLímx 4

16.3

3

2

4 −−

→

4

2.4

2

23

2 −+

−→ x

xxLímx

4

165.5

4 ++

−→ x

xLímx

25

425.6

2

5

2 −−

→x

xLímx

3

27.7

3

3 ++

−→ x

xLímx

7

49.8

2

7 +−

−→ x

xLímx

8

64.9

2

8 ++−

−→ x

xLímx

xx

xxLímx 4

25.10

2

2

0 −−

→

1

2.11

2

1 −−+

→ x

xxLímx

6

158.12

2

2

3 −+++

−→ xx

xxLímx

543

27212.13

2

2

9 −−+−

→ xx

xxLímx

5112

5214.14

2

2

5 +−+−

→ xx

xxLímx

87

1.15

2

3

1 −+−

→ xx

xLímx

8

81610.16

3

2

2 −−−

→ x

xxLímx

6416

24192.17

2

2

8 +−+−

→ xx

xxLímx

164

1432.18

3

2

4

1 −−−

→ x

xxLímx

16249

43.19

2

2

3

4 ++−+

−→ xx

xxLímx

16

143.20

2

2

3

1 −+−+−

→ xx

xxLímx

II. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:

3x

9+x9x

lim.1

-→

61-

4-

16→lim

.2x

x

x

34

25

5

lim.7

2

−+−

→ x

x

x

x

x

x −+−

→ 1

32

1

lim.8

2

MATEMÁTICA II 127


1x

1x1x

lim.3

-

-

→

3-2

49-

7→lim

.42

x

x

x −

2

4

4

lim.5

−−

→ x

x

x

9

3

9

lim.6

−−

→ x

x

x

5

5

5

lim.9

−−

→ x

x

x

660

lim.10

−+→ x

x

x

x51x+53

4x

lim.11

---

→

3k3x

7k7xkx

lim.12

-

-→

RESPUESTAS DE I: 1)2 2)-6/5 3)0 4)-1 5) ∞− 6)4 7)27 8)14 9)16 10)1/2 11)3 12)-2/5 13)1 14)19/9 15)1/3 16)2 17) ∞ 18)1 19)- ∞ 20)2/5 RESPUESTAS DE II:

1) ∞ 2)1/8 3)2 4)-56 5)4 6)-1/6 7)60 8)1/2 9)2 5 10)2 6

128


ADICIONALES

1. 1222

243lim234

23

+−−−−+−

+∞→ xxxx

xxx

x

2. 107

6102lim

+++

+∞→x

xxx

3. xxxx

xxx

x 232

123lim257

34

+−++−+

∞→

4. 4 1024

4 13416lim

++

++∞→ xx

xx

x

RESPUESTAS

1) 0 2) 1/7 3) 0 4)2

MATEMÁTICA II 129


MISCELÁNEA SOBRE LÍMITES Calcula los siguientes límites:

1. 1x536

3xx2lím

2

1x −−−+

→ Rp.

34−

2. 31x10

x540lím

48x −+−

→ Rp. 54−

3. 25

23

2x x8x

4x7x3lím

−+−

→ Rp.

61

4. ( )24x 4x

4x4xlím

−+−

→ Rp.

161

5. 1x

3

1x

xlím

21x −−

−→ Rp.

25−

6. xx

xxlím

30x +−

→ Rp. ∞+

7. 2

3

1x x9x61

x124lím

−−−

→ Rp. ∞+

8. ( ) ( )bxaxxlímx

−−−∞→

Rp. 2

ba +

9. x4

1xx3x3x3lím

3222

x

+−++∞→

Rp. 43

10. ( )

( )3

23

3 2

x3x2x5

1x8lím

+++

+∞→

Rp. 4

11. xx2x2x2límx

−++∞→

Rp. ∞−

130


12. Hallar h

xFhxFLimh

)()(

0

−+→

, para las siguientes funciones:

12.1) F(x) = x² - 2x 12.2) F(x) = 5x² - 7x +4

12.3) F(x) = x² + 3x – 5 12.4) F(x) = 4 52 +x

12.5) F(x) = 3 ²2 xx − 12.6) F(x) = x

x

−+

2

23




LEITHOLD, Louis




MATEMÁTICA II 131


LÌMITES Y CONTINUIDAD LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos utilizando las propiedades de




gráficas en el plano.

TEMARIO

• Límites de funciones :

- Límites de funciones trigonométricas

ACTIVIDADES

• Calcula límites indeterminados de funciones Trigonométricas.

• Calcula límites indeterminados de funciones algebraicas y trascendentes.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4

SEMANA

12

132


4.12 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

4.12.1 Límites trigonométricos fundamentales

1.- ∞=−

→

tgxLimx

2

π

2.- 2π=

∞→arctgxLim

x

3.- 10

=→ x

SenxLimx

4.- 10

=→ )x(f

)x(senfLim

)x(f

5.- 1

0=

→CosxLim

x

6.- 0

0=

→SenxLim

x

7.- 10

=→ x

TgxLimx

8.- 01

0=−

→ x

xcosLimx

9.- 2

1120

=−→ x

xcosLimx

10.- 2

4

4ππ

=→ x

senxLimx

11.- 040

=→

tgxLimx

12.- 2

1

6

=π→

senxLimx

13.- 1

4

=π→

tgxLimx

MATEMÁTICA II 133


4.12.2 Ejercicios de aplicación

Calcule los siguientes límites:

1)

4

3

2

1

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

11

2

1

1

11

1

1

11

11

0

02

020

20

2020

2020

20

=+=+

=

++

−=

++

−

−+++−

−+−

=−−

→→

→

→→

→→

→

tcosLim.

t

tcosLim

tcos.

t

tcosLim

t

tcosLim

tcos

tcos.

t

tcosLim

t

tcosLim

t

tcosLim

t

tcostcosLim

tt

t

tt

tt

t

2)

πππ

πππ2)1(2

2

22

200

===→→ x

xSenLim

x

xSenLim

xx

3)

2)1(5

)1(10

5

5lim5

10

1010

5

10

5

10

0

0

00====

→

→

→→

x

xSenx

xSenLim

x

xSenx

xSen

LimxSen

xSenLim

x

x

xx

4)

( ) 1112

1)1(.

)1(

)1)(1(1

020

202

2

0

=+=+−=

+−=−

→→

→→

CosxLimx

xCosLim

x

CosxCosxLim

x

xCosLim

xx

xx

134


5)

πππ

π

ππ

π

π

π

==

=

∞=

∞→∞→

∞→

)1(

)mindet(0.

t

tsen

Lim

t

tsen

Lim

adaerinformat

tsenLim

tt

t

6)

0

01

;1111

1111

=

=∞∞

≤≤∞

−→≤≤−

≤≤−→≤≤−

∞=

∞→

∞→∞→∞→∞→

∞→

t

sentLim

t

sentLim

tLim

t

sentLim

tLim

tt

sent

tsent

k

t

sentLim

t

tttt

t

7)

ππππ

π

ππππ

π

π

1

)3()3(

)3(

0,3

33)(

)3(

)mindet(0)sec()3(

00

003

3

3

−=−=−

+=

+=−∴

→→

+=⇒=−⇒−=

∞×=−

→→

→→→

→

→

zSen

zLim

zSen

zLim

zSen

zLim

zSen

zLim

xSen

xLim

zxSi

zxzxhacemosxSen

xLim

daerinformaxCoxLim

zz

zzx

x

x

8)

515

5

55

5

55

5

0

00

===

=

→

→→

))((x

xSenLim

x

xSenLim

x

xSenLim

x

xx

MATEMÁTICA II 135


Autoevaluación

I. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:

3

3

0

21x

xSen

Lim.x→

3

2

0.2

x

xsenLímx→

x

xsenxsenLímx

32.3

0

+→

x

senxLímx tan

.40→

ctgxxLímx 0

.5→

20

.2.6

x

senxxsenLímx→

x

xsenxLímx

cos..7

0→

x

tgxsenx

x

Lím +→ 0

.8

senx

xsen

x

Lím 20

.9→

senx

xsenLímx 3

3.10

0→

xsen

xsen.Lím

x 2

311

0→

x

xtgLím

ox

2.12

→

20

4113

2

x

)x)(xcos(. Lím

x

+−→

xsen

x. Lím

x2

2

014

→

xcos

x.Lím

x 015

→

x

xsenLímx

2.16

0→

x

xsen

. Límx

2170→

x

xsen. Lím

x 3

218

0→

x

xsenLím

x 2

5.19

0→

233

2

0.20

xx

xsenLím

x +→

Respuestas: 1) 1/8 2) ∞ 3) 5 4) 1 5) 1 6) 2 7) 1 8) 2 9) 2 10) 1 11) 3/2

12) 2 13) 4 14) 1 15) 0 16) 2 17) 1/2 18) 2/3 19) 2

5 20) 1/3

II. CALCULE LOS LÍMITES:

42

8

0.1 =

→ xsen

xsen

x

Lím

4

3

4

3

0.2

2=

+→ xx

xtg

x

Lím

1cos1

0.3

23

2

=+

−→ xx

x

x

Lím

( ) 55.

0.4

23=

−→ xx

xsensenx

x

Lím

136


111

0.5 =−−+

→ x

senxsenx

x

Lím

21

75

0.6 −=

+−

→ xsenx

xsenx

x

Lím

1

2coscos21

0.7

2−=+−

→ x

xx

x

Lím

2)5(

)102(

5.8 =

−−

→ x

xsen

x

Lím

16

1

4

cos1

0.9

2=−

→ x

x

x

Lím

21

)1(1

.10 −=−−

→ x

xsen

x

Lím



LARSON, Ron Cálculo Editorial

McGraw-Hill México 2006

LEITHOLD, Louis



STEWART J. Cálculo de una variable trascen-dente temprana

Thompson Edit México DF 2001


MATEMÁTICA II 137


LÍMITES Y CONTINUIDAD


Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando las propiedades de




gráficas en el plano cartesiano.

TEMARIO

• Límites laterales

• Continuidad de una función en un punto

ACTIVIDADES

• Calcula Límites laterales por la derecha y por la izquierda.

• Evalúa la Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4

SEMANA

13

138


4.13 CONTINUIDAD DE FUNCIONES

4.13.1 LÍMITES LATERALES POR LA DERECHA

Dada una función )(xf .Si ” 0x ” es un punto de acumulación de

∞∩ ,0xD f entonces

δ<−<∧∈

ε<−>δ∃>ε∀↔=+→

00

00

0

xxDxquesiempre

,L)x(f/,L)x(f

f

xxLím

y

Xδ+0X0X

ε+L

L

)(xf

x

})(xf

{

{

0

LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA

δ{

δ

}δ−0X

ε−L

ε

ε

)x(fLimxx +→ 0

(Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x0 por la

derecha)

EJEMPLOS:

1) Calcule: )(2

xfLimx +−→

11)1(2)(

401

02)1(2)(

2

22

2

2

=−+=

≤<+

≤≤−−+=

++ −→−→xLimxfLim

xx

xxxfSi

xx

MATEMÁTICA II 139


2) Calcule: )(0

xfLimx +→

[44²

2,0,4²

0,3,1

)(

0=+→

⟩∈+

⟩⟨−∈+=

+→xLim

xx

xx

xxfSi

x

4.13.2 LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA

Dada una función )x(f , si ” 0x ” es un punto de acumulación de

0, xD f ∞−∩ ; entonces

δεδε <<<−>>= xxDxquesiempreLxfLxf f

xxLím -0∧∈,)(/0∃,0∀↔)( 0→ 0

y

Xδ+0X0X

ε+L

L

)(xf

x

})(xf

{

{

0

LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA

δ{

δ

}δ−0X

ε−L

ε

ε

)x(fLimxx −→ 0

(Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x0 por

la izquierda)

EJEMPLOS:

1) Calcule: )x(fLimx −→8

140


08

88

88

3

8

3

3

=−−

<−−

≥−=

−→)x(Lim

x,)x(

x,)x()x(fSi

x

2) Calcule: )x(fLim

)(x −−→2

1

1615

21

421

21

4)(21

)(

21,32

21,42

1)(

2323

2

1

2

1

23

=

−+

−=+=

−≥−

−<+=

−− −→−→

xxLimxfLim

xx

xxxxfSi

xx

3) Calcule: )x(fLimx −−→ 2

12

88

82

5

8

3

2228

3322

2

3

=−

−=−=

≥+−

−≤≥≥−

=

−− −→−→ )(xLim)x(fLim

x,x

ox,x,x)x(fSi

xx

OBSERVACIÓN:

- Una función f(x) tiene límite en x0 ⇔ L)x(fLim)x(fLim

xxxx==

+− →→ 00

- Si ,)()(00

xfLimxfLimxxxx +− →→

≠ se dice que =→

)x(fLimxx 0

no existe.

EJEMPLO:

Calcule )x(fLimx 1→

si es que existe.

Si

<+

≥+=

1192

1,)2()(

3 3

2

xx

xxxf

MATEMÁTICA II 141


3)(,tan

3198,3)2(

1

3

1

2

1

=

=+=+

→

−+ →→

xfLimtoPor

xLimxLim

x

xx

Por lo tanto, )x(fLimx 1→

existe, puesto que sus límites laterales son

iguales

4.13.3 LÍMITES IMPROPIOS

1) ∞=+−

→ +)(

0

xfLimxx

2) ∞=+−

→ −)(

0

xfLimxx

−∞=−−∞=−

−∞=−

−∞=−

=∞−

−=∞−

=∞

−=∞

0000

0000

aaaa

aaaa

EJEMPLOS:

Calcule los siguientes límites laterales:

a) +∞=+

=−+→ 0

1

1

11 x

Limx

b) −∞=−−→ 1

1

1 xLim

x

c) −∞=−

=−

+=−+

+=−+

−− →→ 0

4

)6)(0(

13

)3)(3(

1

9

1323 xx

xLim

x

xLim

xx

d)

0

04

2164

lim=

−−

−→ xx

x

−∞=−

=−−

−→=

−−−−→=

−−−→

+

+−−

0

8

2164

lim

)216)4(4

lim

216)4(4

lim

4

)4)(4(216

xx

xxxxxx

x

xxx

142


4.13.4 CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x0 , del dominio de la función, si cumple las siguientes condiciones :

i) f(x 0) existe, es decir, es un número real.

ii) )(0

xfLimxx→

existe, es decir, sus límites laterales son

iguales

iii) )()(0

0 xfLimxfxx→

=

Si cualquiera de las tres condiciones no se cumple, la función no es continua o se dice que es discontinua.

Una función es continua en un intervalo, si es continua en cada uno de los puntos de dicho intervalo. Una función polinomial es continua en todos los reales y una función racional es continua en todos los reales con excepción de los puntos que anule el denominador.

EJEMPLOS:

1) Probar si f(x) es continua en x = 0 para :

22

2)(0

)()()

202)2()()

220)0()(0)

0,2

0,2)(

00.

00

00

2

=

=→

==

=−=−==+===

>−≤+

=

−→

→→

+

++

xfx

LimxfLimxfiii

xLimxfLimii

fxfxi

xx

xxxf

x

xx

∴ f(x) es continua en x =0

2) Dada la función:

MATEMÁTICA II 143


2?2¿

2,2

273

2,3

)(

0

2

==

≠−

+−

==

xxencontinuaSerá

xx

xx

x

xf

53

)()()

5)2(

)2)(13(2

273)()

3)2()(2)

20

2

2

22

00

≠

≠

=−

−−=−

+−=

===

→

→→→

xfLimxfiii

x

xxLim

x

xxLimxfLimii

fxfxi

x

xxx

Por lo tanto f(x) no es continua en x =2 3) Halle las constantes a y b, para que f(x) sea continua en todo su dominio si

[[

⟩∈−⟩∈+⟩⟨−∈−

=2,1,2

1,0,

0,5,1

)(

xx

xbax

xx

xf

La función debe ser continua en 10 == xyx

b

fxfLimiii

xLimii

bbafxfi

xPara

x

x

=−

=

−=−=−=+==

=

→

→ −

1

)0()()

110)1()

)0()0()()

0*

0

0

0

011

)1(1)

)()()

121)1()()

1**

11

0

0

=→−=−+=−

+=+=−=−==

=

−−→→

aa

baiii

babaxLimxfLimii

fxfi

xPara

xx

144


4) Calcule los puntos de discontinuidad para la función definida por:

0)2)(2(4

4

1)(

3

3

2

≠+−=−

−+=

xxxxx

Soluciónxx

xxf

La ecuación polinomial del denominador forma una restricción, por ello el dominio: Df = R - { 0, -2, 2 } Por lo tanto f(x) es discontinua en x =0, x = -2 y x = 2.

4.13.5 PROBLEMAS SOBRE CONTINUIDAD

I. Determina si las siguientes funciones son continuas en todos los

números reales.

a.

>++−=<

=1x,1ex

1x,41x,e

)x(f

x

Rp. No es

continua

b. ( )

≥−<≤+−

<−=

11x,6

11x5,5x5x,5x

)x(f

2

Rp. Sí

es continua

c.

≥

<<+

−

≤−+

=

2x,3x

2x1,1xx38

1x,x23x2

)x(f Rp. Sí

es continua II. Resuelve.

1. Halla los valores de c y k para que la función dada sea continua.

>−≤≤+

<−−+

=

5x,cx2k

5x0,c2kx3

0x,x

x44x

)x(f Rp.

143

k

41

c

−=

=

MATEMÁTICA II 145


2. Halle los valores de m y n para que la función dada sea continua.

>−+≤≤+

<+−

−

=

3x,mxnx213

3x1,m2nx

1x,3x2

x1

)x(f

2

3 Rp.

32

n

1m

−=

=

3. Halle los valores de a y b para que la función dada sea continua.

−>+

−−+−≤≤−−−<+−

=1x,

1x6x5x2x

1x5,ax4b5x,13bxax

)x(f23

2

Rp. 2b

1a

−=−=

4. Halle Rm∈ , de tal manera que:

=

≠+−

−=

1

132

13

xsim

xsix

x

)x(f sea continua en

10 =x

5. Sea la función f(x) definida por:

>−

≤≤−+

−<+

=

13

122

22

xsi,nx

xsi,nmx

xsi,mx

)x(f

Halle el valor de m y n para que la función sea continua en los

puntos -2 y 1. 6. Determine los valores de a y b, de modo que la función sea

continua en todo su dominio.

≤≤−

<<−

≤<−−

=

3222

20

031

xsixb

xsiax

xsi

)x(f

146



1.Calcule si existe, )(1

xfx

Lím

→ , Donde:

>+≤+

=1,1

1,3)(

2

xsix

xsixxf

2.Calcule si existe, )(2

xfx

Lím

→ , Donde:

>−≤

=2,28

2,)(

2

xsix

xsixxf

3. En los siguientes ejercicios trace la gráfica y halle el límite si existe. Si no existe,

explique por què no existe.

<−=−<

=xSi

xsi

xsi

xfa

1,3

1,1

1,2

)()

<−≤≤−−

−<+

=xSix

xsix

xsix

xfb

3,5

33,9

3,5

)() 2

<−−−≤+

=tsit

tsittfc

4,3

4,4)()

≤

<=

tsit

tsittfd

0,

0,)()

3

4.

≤+<+

=xsikx

xsixxfSea

4,5

4,23)( . Halle el valor de K para que

)(4

xfx

Lím

→ exista.

5. Calcule xx

xx

x

Lím

+−

→ + 20

6. Calcule 9

5

3 2 −+

→ − x

x

x

Lím

7. Calcule ( )3

2

2

4

2 −−

→ +x

x

x

Lím

MATEMÁTICA II 147


8.

<−

+−

≥−−

−

=5;

5

3512

5;41

5

)(2

xx

xx

xx

x

xgPara ¿ existe )x(gLimx 5→

?

9. Halle los valores A y B para que la función f(x) sea continua en su dominio.

≥−

<≤−+−<−−

=

3;3

31;

1;43

)(

2

xsix

xsiBAx

xsixx

xf

10. Calcule Rb∈ , de tal manera que:

=

≠−−+=

0

011

)(

xsib

xsix

xxxf sea continua en 00 =x

11. Halle Rc∈ , de tal manera que:

=

≠−

−+−=

1

11

22)(

23

xsic

xsix

xxxxf sea continua en 10 =x





LEITHOLD, Louis






148


MATEMÁTICA II 149


LA DERIVADA LOGROS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de la

derivación, resuelven ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas y

trascendentes, señalan la ecuación de la recta tangente y normal de una función en un

punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones gráficas en el plano

cartesiano y muestra sus aplicaciones en situaciones reales.

TEMARIO

• La derivada y sus aplicaciones

- Definición de la derivada como un límite - Interpretación geométrica de la derivada - Fórmulas de derivación - Derivada de funciones algebraicas

ACTIVIDADES

• Calcula la derivada como el límite de una función, siempre que esta exista.

• Interpreta la definición de la derivada como una aproximación de la secante a una tangente.

• Calcula derivadas de funciones algebraicas básicas.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5

SEMANA

14

150


5.14 DEFINICION DE DERIVADA

5.14.1 DEFINICIÓN GENERAL

DERIVADAS

DEFINICION

La funcion f(x), la derivada de f(x), es otra funcion que sedenota por y cuyo valor en cualquier número x del

dominio de f(x).

el límite exista

sea

Si hacemos que :0xxx −=∆ o sea h = x – x0 Siendo x0 un punto fijo.

Donde sexf )( 0′ lee: “la derivada de f en 0x ”

sea

)(' xf

es

siempreque

ahora

tenemos

0

)()()(

0

'

≠∆∆

−∆+=→∆

xconx

xfxxflímxfx

0

)()()(

0

0'

0

≠−−

=→

xcon

xx

xfxflímxf

xx

0

)()()( 00

00

'

≠

−+=

→

hconh

xfhxflímxfh

Otras notaciones de la derivada: o

yyDdx

df

dx

dyyxf x ====′=′ )(

MATEMÁTICA II 151


5.14.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

En la figura podemos apreciar:

1° La pendiente de la RECTA SECANTE L 1 que pasa por los puntos P0(x0,f(x0)) y P(x,f(x)) , es :

00

0 ,)()(

xxxx

xfxfTg ≠

−−=α

2° La pendiente de la RECTA TANGENTE L es : θTg

3° Supongamos que el punto P 0(x0,f(x0)) pertenece a la curva f y es fijo. P(x,f(x)) es un punto de la curva que se mueve acercándose al punto P0(x0,f(x0)).

A medida que P(x,f(x)) se acerca a P0(x0,f(x0)) resultará que la variable x se acerca a x0 cada vez más, de modo que el incremento 0xxx −=∆

tiende a cero , pero nunca será cero. Este incremento es infinitésimo y se denota :

Si 0)( 00 →−=∆→ xxxentoncesxx

Desde el momento en que el acercamiento (aproximación) es INFINITÉSIMO, entonces se hace uso del concepto de LÍMITE.

4° Así, llegamos a la siguiente conclusión:

Cuando el punto P(x,f(x)) tiende a acercarse a P 0(x0,f(x0)) , entonces la RECTA SECANTE L 1 tiende a TRANSFORMARSE EN RECTA TANGENTE L.

152


Además, la Pendiente de la recta secante L 1 =

00

0 xx,xx

)x(f)x(fTg ≠

−−=α , tiende a convertirse en :

Pendiente de la recta tangente L =

0,0

)0()(

0lim xx

xx

xfxf

xxTg ≠

−

−→

=θ

Además:

0,)()(

lim)´(

,)()(

lim)´(

00

00

00

00

0

≠−+=

≠−−=

→

→

hh

xfhxfxf

xxxx

xfxfxf

h

xx

Donde h = ∆∆∆∆x y la pendiente de la tangente es )(' 0xfmt = entonces:

Ejemplos de Aplicación:

1. Calcule la derivada de xxxf 28)( 2 +=

Por definición.

h

xfhxfLimxfó

x

xfxxfLimxf

hx

)()()('

)()()´(

00

−+=∆

−∆+=→→∆

…..

( 2 )

Calculando )( xxf ∆+ , reemplazando x por ( )xx ∆+ en la función f.

[ ])(22)(8.168

)(22)(.28

)(2)(8)(

22

22

2

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxf

∆++∆+∆+=∆++∆+∆+=

∆++∆+=∆+

Calculando:

x

)f(xx)f(xlimm 00

0xt ∆

−∆+=→∆

MATEMÁTICA II 153


)28()(22)(8.168)()( 222 xxxxxxxxxfxxf +−∆++∆+∆+=−∆+

Simplificando:

)(2)(8.16)()( 2 xxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+

Reemplazando en (2) y factorizando :

0

)´(→∆

=x

Limxfx

xxx

∆+∆+∆ )2)(816(

Cancelando :x∆

0)´(

→∆=

xLimxf 208162816 ++=+∆+ )())(( xxx

216)´( += xxf . Esta función es conocida como la función

derivada.

2. Haciendo uso de la definición de la derivada de una función. Halle f ’(x)

si 332

32 +−

=xx

xf )(

Solución:

Por definición:

h

xfhxfLimxfh

)()()('

−+=→0

332

3

332

322 ++−+

=++−

=)()(

)(,)(hxhx

hxfxx

xf ,

estos datos remplazando en la fórmula.

h

xxhxhx

h

Limxf

332

3

3)(3)(2

3

0)('

22 +−−

++−+→

=

1

)332)(3)(3)(2(

)3)(3)(2(332

3)('22

22

0 hxxhxhx

hxhxxx

Limxfh

+−++−+++−+−+−

=→

154


))()()((

)('332332

3332423323

22

222

0 +−++−+−++−−−+−=

→ xxhxhxh

hxhhxxxxLimxfh

,

simplificando y factorizando.

))()()((

)()('

332332

3243

220 +−++−++−−=

→ xxhxhxh

hxhLimxfh

,

simplificando h.

))()()((

)()('

332332

3243

220 +−++−++−−=

→ xxhxhx

hxLimxfh

))())(())(((

))(()('

33230302

30243

22 +−++−++−−=

xxxx

xxf

))((

)()('

332332

343

22 +−+−+−=

xxxx

xxf

Por lo tanto la función derivada es:

22 332

343

)(

)()('

+−−−=xx

xxf

3. Halle la derivada de 12)( += xxf , utilizando la definición de la derivada.

Solución:

Por definición

)1.(....................)()(

)´(0 x

xfxxfLimxf

x ∆−∆+=

→∆

x

xxxLimxf

x ∆+−+∆+=

→∆

12122)´(

0

Racionalizando el numerador para obtener un factor común x∆ en el numerador y denominador:

)12122(

12122)(12122()´(

0 +++∆+∆+++∆++−+∆+=

→∆ xxxx

xxxxxxLimxf

x

)()(

)´(12122

121220 +++∆+∆

+−+∆+=→∆ xxxx

xxxLimxfx

)()´(

12122

20 +++∆+∆

∆=→∆ xxxx

xLimxfx

, Cancelando x∆ :

12122

2)´(

0 +++∆+=

→∆ xxxLimxf

x

MATEMÁTICA II 155


Evaluando el límite se obtiene la función derivada

12

1

1212

2)´(

+=

+++=

xxxxf

4. Usando definición de la derivada, Calcule f ’(x) y f ’(5) si f(x) = (x2-5x)10

Solución:

Por definición

h

xfhxfLimxfh

)()()('

−+=→0

102102 55 ))()(()(,)()( hxhxhxfxxxf +−+=+−= ,

remplazando en la fórmula estos datos.

h

xxhxhxLimxfh

102102

0

55 )())()(()('

−−+−+=→

[ ][h

hxhxxxhxhxLimxfh

++−+−−+−+=→

9222

0

555 ))()(()()()()('

]

h

xxxxhxhx 92282 555 )(............).........())()(( −+−+−+

[ ][ ]h

xxhxhhxxLimxfh

......................................)('

5552 222

0

+−−−++=→

[ ][ ]h

hxhLimxfh

.........................................)('

520

−+=→

, simplificando h

[ ][ ]oster

xxxxhxhxhxhxhxLimf

h min)(...)())()(())()((

'10

555552

9228292

0

−++−+−+++−+−+=→

156


[ ]

92

9228292

)5(10).52()('

)5(...............)5()5()5()52()('

xxxxf

xxxxxxxxxxf

−−=

−++−−+−−=

Por lo tanto la función derivada es:

)()()(' 52510 92 −−= xxxxf ; f ’(5) = 0.

5.14.3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

a)

cxf =)(

DERIVADA DE UNA POTENCIA

nxxf =)(1' )( −= nnxxf

sí

donde +∈ zn

b)

cxf =)(

DERIVADA DE UNA CONSTANTEREAL

C:constante

cxf =)( 0)( 0' =xf

sí

donde

Q

MATEMÁTICA II 157


DERIVADA DE UN PRODUCTO

u, v y w tres funciones derivables

1 2

tenemos

siendo

( ) '''. uvvuvu += ( ) wvuwvuwvuwvu ........ '''' ++=

DERIVADA DE UN COCIENTE

u Y v FUNCIONES DERIVABLES CON

0≠V

tenemos

2

'''

v

uvvu

v

u −=

siendo

c)

d)

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON COEFICIENTE CONSTANTE

[ ] )()( '' xcfxcf =

DERIVADA DE LA SUMA

f(x) y g(x) funciones derivables en

Se puede expresar como:

0x

( ) )()( 0'

0''

0xgxfgf x +=+

[ ] )()()()( '' xgxfxgxfdx

d +=−

siendo

también

e)

(f + g) = f’ + g’

158


EJEMPLOS:

1. Halle y’ si 4 22 5123 x)x(y ++=

Solución:

)6(51)51(4

10)23(´ 4 2

4 32

2 xxx

xxy ++

++=

2. Halle y’ si 534 33 )1.()()( xxxxxxf +−−=

Solución:

532

4 3)1()

2

13.(

)(4

3)´( xxx

xx

xxxf +−

−

−=

34 3

3

243 )(

2

1

12

3)1(5 xxx

xx

x

xxxx −

++

−+−+

3. Halle )´(xf si 83)( 3 ++−== xxxfy

Solución:

)8()()3()´(´ 3

dx

dx

dx

dx

dx

dxfy ++−==

0)()(3)´( 3 ++−= xdx

dx

dx

dxf

0)(1))(3(3)´( 02 ++−= xxxf 19)´( 2 +−= xxf

MATEMÁTICA II 159


Autoevaluación

I. Utilizando la definición de la derivada halle y ’ en las siguientes funciones:

a) 3x)x(f =

b) 2

1

x)x(f =

c) 1

12 −

=x

)x(f

d) 52 += x)x(f

e) )16

1(,

5

1

44

1)( '

24 3 f

x

xxxf ++−=

f)5

3 2

4

1)(

x

xxf

−+=

g) 22

5

)14(

3)(

+−+=xx

xxf

II. Encuentre el valor de verdad o falsedad en las siguientes proposiciones:

a) La gráfica de la función derivada de y=0.5 2x , es la función identidad.

b) 2,2

4

2

2

=−−

→xenderivadaunaes

x

x

x

Lim.

c) La derivada de f(x) = x

5 , existe en x= 0.

d) El

h

h

h

Lim 33 )5(2)5(20

−+→

, es una derivada de f(x)= 2 3x

en x= 5.

e) )3(3

30

3'

3

ft

tt

t

Lim=

−−+

→

160


RESPUESTAS:

VVFVV

III. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

a) 1,012 22)( xxxxf ++−= −

b) 8233)( 3 ++−= xxxxf

c) 7,03 611 43)( −−− −++= xxxxxf d) )2)(13()( 32 xxxf +−+= e) )1)(1()( 122 ++++= −− xxxxxf

f) 1

3)(

2

+=

x

xxf

g) 1

2)(

2

3

++=

−

xx

xxf

h) x

xxxf

1)(

2 −+=





LEITHOLD, Louis






MATEMÁTICA II 161



Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de la derivación, resuelven ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas y trascendentes, señalan la ecuación de la recta tangente y normal de una función en un punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones gráficas en el plano cartesiano y muestran sus aplicaciones en situaciones reales.

TEMARIO


o La regla de la cadena o Recta tangente y normal o Relación entre continuidad y las derivadas de una función

ACTIVIDADES

• Hallan la derivada de funciones compuestas, aplicando la regla de la cadena para 2 ó 3 variables.

• Hallan las ecuaciones de la recta tangente y normal de curvas de funciones

algebraicas.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5

SEMANA

15

162


DERIVADA DE LASFUNCIONES

COMPUESTAS

REGLA DE LA CADENA

f,g y u funciones demanera que:

g y u son derivables yf es la función

compuesta

la derivada de la función " f "está dada

ó

sean

cumpla donde

por

entonces

( ) ))((0)( xugugxf x ==

)())(()( '' xuxugxf =

5.15. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

5.15.1 DERIVACIÓN DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

MATEMÁTICA II 163


5.15.2 REGLAS PRÁCTICAS DE DERIVACIÓN

a) CASO 1

1

2

3

4

5

6

nxuxf ))(()( = )())(()( '1' xuxunxf n−=

nxuxf ))(()( =dx

du

du

df

dx

df.=

dx

df

df

dg

dx

dg.=

dx

dy

dy

du

du

dz

dx

dz..=

))(( xfgy =

))(( xyuz =

)( xfg →→

)( xyuz →→→

du

dxdx

du 1=

du

dxdu

dy

dx

dy =

sí

sí

sí

sí

sí

sí

164


b) CASO2

EJEMPLOS :

1. Si f(x) = 4 + 23222 x++++

Calcule )1(f ′ Sugerencia: Use regla de la cadena . Hacer: z = 3 + x2 Solución:

Sea z = 3 + x2 , u = 2 + z , v = 2 + u

w= 2 + v , f = 4 + w

dx

dz

dz

du

du

dv

dv

dw

dw

df

dx

df....=

)....(..........).........2.(2

1.

2

1.

2

1.

2

1 βxzuvwdx

df =

Si x = 1 ⇒ z = 4,u = 4,v = 4,w = 4 De ( β )

( ) f(x) x f

x f 2

) ( ) (

' '

= 0 ) ( ≥ x f

( ) ( ) m n n

m n

x f n x mf

x f − = ) ( .

) ( ) (

' '

] [ ] ) ( . ) ( ) ( ' 1 ' x f x f n [ { } x f n n − =

{ } ) (

) ( ). ( ) (

' '

x f x f x f

x f =

1

2

3

4

con

MATEMÁTICA II 165


)1(2.42

1.

42

1.

42

1.

42

1=dx

df

128

1=

dx

df

2. Si y =dt

dyCalculetttuuvv .13,, 2323 +−+==

Solución:

Utilizando regla práctica para el cálculo de dt

dy

3

223 )13( +−+= ttty entonces y′

3

)163()13(2 23

123 −++−+=

−

ttttt

3. Si 567 )12(40

1

)12(24

1

)12(56

3)(

−−

−−

−=

xxxxf , calcule

dx

dy

Solución:

678

'

)12(40

10

)12(24

12

)12(56

42)(

−+

−+

−−=

xxxxf

EJERCICIOS:

I. Determine la primera derivada para las siguientes funciones :

105

5024

5024105

3028

5024

)1(

)53()

)53()1()

)138(4)

)53()

++−+−=

−+−++=

−−+=

−+−=

−

xx

xxxyd

xxxxxyc

xxxyb

xxxya

166


5.15.3 APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA

5.15.3.1 Ecuaciones de las rectas Tangente y normal

- Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y)=0 - Sea la recta L T que es tangente a la curva C en el punto (x 0,y0). La ecuación de la recta L t es: y - y 0 = m (x - x 0). Donde θTgm = pendiente de Lt Pero la pendiente “m”, desde el punto de vista del cálculo diferencial, es la DERIVADA DE y CON RESPECTO A x EN EL PUNTO (x0,y0).

Es decir: ),( 00 yxdx

dym

=

Entonces, la ecuación de la recta tangente es Lt : y-y0=),( 00 yxdx

dym

= (x-x0)

Si ∞=

+−

),( 00 yxdx

dy , entonces Lt: x-x0=0

MATEMÁTICA II 167


Si , 0),( 00

=

yxdx

dy entonces 0: 0 =− xxLN

NOTAS: Una función es derivable en un punto, si se puede hallar una única recta tangente en dicho punto.

Si f es continua en x0,y )()( 0'

0' −+ = xfxf entonces, se

dice que la función es derivable o diferenciable en x0 .

)( 0' +xf es la derivada de f al acercarse a x0 por la

derecha y )( 0' −xf es la derivada de f al acercarse a x0

por la izquierda.

EJEMPLOS:

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 1)( 2 ++= xxxf en el punto cuya abscisa es 2.

Solución:

Por definición; la ecuación de la recta tangente.

)1......(..........).........).(´()( 00 xxxfxfy −=−

Por dato x0=2 …………………………..(2)

)2(57

)1()2(),3(),4(Re

)4....(51)2(2)2()´(12)´(

)´(

)3........(........................................7)(

122)2()(

'0

0

0

20

−=−

=+==⇒+=

=∴++==⇒

xy

enemplazando

fxfxxf

xfdeCálculo

xf

fxf

2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por f(x) =x3+1 en el

punto cuya ordenada es 2.

Como la recta normal es perpendicular a la recta secante

en el punto (x0,y0). Entonces, la ecuación de la recta normal

será )(1

: 00 xx

dx

dyyyLN −−=−

168


Solución:

Por definición; la ecuación de la recta tangente. )1......(..........).........).(´()( 00 xxxfxfy −=−

Por dato 12)( 30 +== xxf …………....(2)

)3....(..............................11 03 =∴=⇒ xx

Cálculo de f´(x0):

)4.....(..............................3)1(3́)1(

3)´(2

20

==

=

ff

xxf

Reemplazando (4) , (3), (2) en (1)

)1(32 −=− xy 3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva 83)( 2 −= xxf que pasa por el punto (2,-44)

Solución:

1.- Verificamos si el punto (2,-44) está en la curva 83)( 2 −= xxf

El punto (2,-44) 4448)2(344442 2 ≠−⇒−=−⇒−=∧=⇒ yx

∴Como no se cumple la igualdad, el punto no está en la curva.

2.- Se sabe que la recta tangente:

))(´( 000 xxxfyyLt −=−= …………(1)

El punto de tangencia es ),( 00 yx

00 6)´(6)´( xxfxxf =⇒=

Reemplazando en (1)

)(6)83( 002

0 xxxxyLt −=−−=

Pero tL pasa por el punto de tangencia (2,-44), entonces éste verifica la ecuación

de Lt:

0124

6128344

)2(6)83(44

020

200

20

002

0

=−−↔

−=+−−

−=−−−

xx

xxx

xxx

MATEMÁTICA II 169


2y=4x-x

21

(a,b)

(2,5)

y

x

4100

26

0)2)(6(

00

00

00

=∨=−=∨==+−↔

yy

xx

xx

Hay dos respuestas:

0201224124

2264

01163621636100

666100

2

1

=++⇒−−=−+−=−=

=−−⇒−=−−=−=

yxxy

)x)((yL

yxxy

)x)((yL

4. Hay dos tangentes a la curva y = 4x-x2 que pasan por el punto (2,5). Encuentre la

ecuación general de ambas tangentes.

Solución: Como (a,b) pertenece a la función, entonces se tiene b= 4a - a2 ………………………….(1)

mLt = f’(a), f’(x) = 4 - 2x , mLt =a

b

−−

2

5

f’(a) = 4 – 2a → baaa

ba −=+−⇒

−−=− 5248

2

524 2

2a2 – 8a + 3 + b = 0 ……………….(2)

remplazando (1) en (2)

2a2 – 8a + 3 + 4a – a2 = 0 ⇒ a2 -4a -3 = 0 ⇒ (a - 3) (a - 1) = 0 a = 1 ó a = 3 Entonces, los puntos de tangencia son: P1(1,3), P2(3,3)

b = 3 b = 3 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P1 (1,3) x0 = 3 , y0 = 3 , f ’ (3) = -2 x0 = 1 , y0 = 3 , f ’ (1) = 2

170


y – y0 = f ’ (x0)(x – x0) ⇒ y – 3 = 2 (x - 1) ⇒ Lt1: 2x – y + 1 = 0 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P2 (3,3) y – y0 = f ’ (x0)(x – x0), ( y – 3) = -2 (x - 3) ,Lt2: 2x + y - 9 = 0

MATEMÁTICA II 171



1. Halle la función derivada para las siguientes funciones :

5323

154)

65

17)4()

65

17)

23

54)

43 3

5 3

5 34

10 291023

5 34

10 29

3 3

5 25

+−−+

+−=

+−

+++−=

+−

++=

−+

−−=

xxxx

xxyd

xx

xxxxyc

xx

xxyb

xx

xxya

2. Aplicando la derivada, halle la pendiente a cada una de las siguientes curvas en

el punto cuya abscisa se indica. a) 12 0

22 =−= xsiendoxy

b) 21

40 =

−= xsiendo

xy

c) 13 023 =−= xsiendoxxy

3. Calcule las ecuaciones de la tangente y de la normal, a las curvas siguientes, en el punto dado.

a) )2,2(;33 xxy −=

b) )5,2(3

12

x

xy

−+=

i. Usando definición de la derivada, calcule f ’(x) si :

3.1 f(x) = 38

22 ++ xx

172


3.2 Dado G(x) = 43

642 ++

+

xx

x, halle el valor de “m”, para que se cumpla que

G ’(x) = 32 43 )xx(

m

++

3.3 Determine todos los puntos sobre la curva G(x) = x4 - 4x3 - 12x2 + 32x - 16, tales que la recta tangente en dichos puntos, sea horizontal.

3.4 Si G(x) = 2

1

1

−+

x

x, calcule el valor de k en la ecuación

21202

0 23 −−=+

− )(f.k)('fk)(f)('f

k

3.5 Determine la ecuación de la recta ortogonal a la gráfica g en el punto cuya abscisa es 0, si g(x) = (x3 - 3x + 2)

Respuestas:

a) ( )3382

42

++

−

xx

)x( b) 7 c) (1,1), (-2,80), (4,80) d) 0,12 e) x-3y+4=0

MATEMÁTICA II 173


Problemas Complementarios Problemas Complementarios Problemas Complementarios Problemas Complementarios

1. Determina la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación 2xy = , y

que es paralela a la recta con ecuación x4y = . Rp. 4x4y −=

2. Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 1xy 3 += , que es

paralela a la recta de ecuación: 06y12x =−+ . Rp. 086y12x =++

3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 5x3xy 2 +−= en el punto de

abscisa 3x = . Rp. 04yx3 =−− 4. Usa las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:

a. 3

5x2x1

)x(f

+

−= Rp. ( )

( )4

2

5x2

x121

+−−

b. 4 23 1t4tt)t(g ++⋅= Rp. ( )4 323 2

2

1t4tt6

2t14t5

++

++

c. ( ) 322 xsenx2xcosx2)x(h +−=

Rp. ( ) 33222 xcosx6xsen2xsenx2x2xcosx2 ++−−−

d. ( )s3stg)s(t 24 +=

Rp. t’ (s)( ) ( )

( )s3scoss3ssen3s24

25

23

+++

5. Calcula )x('h , si ( )xcosxsen3e)x(h =

Rp. h’(x) = ( ) ( ) ( )[ ]xcoscosxsenxxcossene3 xcosxsen3 −

6. Calcula )x('g , si 42 5x

3x2ln)x(g

−+=

Rp. g'(x) = 10x2

x6x4

12 −

−+

7. Si

22

1x1x

)x(f

−+= , determina el valor de k en: )0('f4k5)1(f3 ⋅=+−⋅

Rp. 1k =

8. Halle la ecuación de la tangente y de la normal, a las curvas dadas, en los puntos

indicados.

174


a) y = x2 + 2x + 2 ; x = 2 b) y = 4x3 – 13x2 + 4x –3 ; x = -1

9. Halle la derivada y’ de las funciones siguientes:

a) y = x x33 2− en x = 2

b) y = ( )42

212

+−+

x

xx , en x = 3

c) y = (4x3 – 3x + 1)4. (2 – x2 – x3)2 ; en x = 0

d) y = ( ) ( )

( )4

3223

34

6534

x

xx

−−−

; en x = 1





LEITHOLD, Louis






MATEMÁTICA II 175



Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de la

derivación, resuelven ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas y

trascendentes, señala la ecuación de la recta tangente y normal de una función en un

punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones gráficas en el plano

cartesiano y muestran sus aplicaciones en situaciones reales.

TEMARIO


o Derivadas de funciones trascendentes o Aplicaciones de máximos y mínimos

ACTIVIDADES

• Reconoce y calcula la derivada de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.

• Reconoce y evalúa los máximos y mínimos de funciones algebraicas y trascendentes.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5

SEMANA

16

176


5.16 A DERIVADA Y SUS APLICACIONES

5.16.1 DERIVADA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL

EJEMPLO:

1. Calcule y

Si axax

axax

ee

eey −

−

+−=

EXPONENCIAL DE BASE a

FUNCIÓN DERIVABLE)(xfu=adx

duaa

dx

d uu ln..)( = siendo una

II EXPONENCIAL DE BASE e

I

dx

duee

dx

d uu .)( =

notas

si

xaxf =)(

xexf =)(

aaxf x ln.)(' =

xexf =)('

MATEMÁTICA II 177


DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

u=f(x) FUNCIÓN DERIVABLES EL INTERVALO

siendo

una enba,

DERIVADA DEL SENO

CASO PARTICULAR

1

)()( xsenxf = )cos()(' xxf =

dx

duusenu

dx

d.cos)( =

sí

Solución:

2)(

))()()(()))(()((axax

axaxaxaxaxaxaxax

ee

aeaeeeeeaeae

dx

dy−

−−−−

+−+−−+−−=

Simplificando:

22 )1(

4

+=

axe

ae

dx

dy

5.16.2 Derivada de funciones trigonométricas

178


DERIVADA DEL COSENO

CASO PARTICULAR

2

)cos()( xxf = )()(' xsenxf −=

dx

dusenuu

dx

d.)(cos −=

sí

DERIVADA DE LA TANGENTE

CASO PARTICULAR

3

)()( xtgxf = xxf 2' sec)( =

dx

duuu

dx

d.sec)(tan 2=

sí

MATEMÁTICA II 179


DERIVADA DE LA COTANGENTE

CASO PARTICULAR

4

)()( xctgxf = xecxf 2' cos)( −=

dx

duuctgu

dx

d.csc)( 2−=

sí

DERIVADA DE LA SECANTE

CASO PARTICULAR

5

)sec()( xxf = tgxxxf .sec)(' =

dx

dutguuu

dx

d..sec)(sec =

sí

DERIVADA DE LA COSECANTE

CASO PARTICULAR

6

)csc()( xxf = ctgxecxxf .cos)(' −=

dx

ductguuu

dx

d..csc)(csc −=

sí

180


IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1cos22 =+ ααsen

αα 22cos1 sen=−

αα 22 cos1 =− sen

αα 22 sec1 =+ tg 1sec 22 =− αα tg

αα 22 csc1 =+ ctg 1csc 22 =− αα ctg

1. =αα ctgtg

1csc. =ααsen

1sec.cos =αα

ααα

cos

sentg =

ααα

senctg

cos=

αα

tgctg

1. =

αα

sen

1csc. =

αα

co

1sec. =

2

1

3

4

5

6

7

8

EJEMPLOS:

1. Dado π+−== tgxsenxxfy 3)( Halle )´(xf

Solución:

Utilizando la regla de la derivación:

)()()(3)´( πdx

dtgx

dx

dsenx

dx

dxf +−=

RECORDAR

MATEMÁTICA II 181


0seccos3´ 2 +−= xxf

2. Halle x

senxxfsif =

)(

4´

π

Solución:

Aplicando la regla de derivación: 2

´))(()´()´(

x

xsenxxsenxxf

−=

2)

4(

44cos

4)4

´( π

ππππ sen

f−

=

22

16

8

242

16

2

2

2

2

4)4

´(π

π

π

ππ

−

=−

=f

Producto de extremos entre productos de medios:

22

)242(2

8

)242(16)

4(´

ππ

πππ −=−=f

Por lo tanto, 2

)4(22)

4(´

πππ −=f

3. Si tgxxxf )1()( += Halle

4

´π

f

Sol. Derivando como un producto de funciones:

xxtgx

xxtgx

tgxdx

dxtgxx

dx

dxf

2

2

sec)1(

))(sec1()1(

)().1()1()´(

++=++=

+++=

23

221

2)4

1(1)2)(4

1(1

4sec)

41(

4)

4´(

2

2

ππ

ππ

ππππ

+=++=

++=++=

++=∴ tgf

182


DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO

u=f(x)FUNCIÓN DERIVABLEY MAYOR QUE CERO

siendo

una

CASO PARTICULAR

1

)()( xLnxf =

xxf

1)(' =

dx

du

uLnu

dx

d.

1)( =

sí

5.16.3 Derivada de Función Logaritmo

Ejemplo

1. Halle y’ si

+++=

3 2

3 23 2

1

1cos.1

xtg

xxsenLny

Solución: Se tiene:

3 23 23 2 11cos1 +−+++= xLntgxLnxLnseny

+++−+

+++=

3 223 2

3 2

23 23 2

3 2

)1(3

2

1

1

)1(3

2

1

1cos´

x

x

xcox

xsen

x

x

xsen

xy

+++−=

3 223 2

3 22

)1(3

2

1

1sec´

x

x

xtg

xy

MATEMÁTICA II 183


Simplificando:

++−=

3 2

3 2

13

212´

x

xxtgy Por tanto:

3 22

3 2

)1(3

14

++=

x

xxtg

dx

dy

2. Halle y’ Si 52

2

1

1

x

xLny

−+=

Solución:

)1(5

1)1(

5

1 22 xLnxLny −−+=

Derivando: )1(5

2

)1(5

2´

22 x

x

x

xy

−−−

+=

=dx

dy

)1(5

2

)1(5

222 x

x

x

x

−+

+ Simplificando

455

4

x

x

dx

dy

−=

3.. Si 5024

251

1

55

)xx(ee))x(tg(Ln)xcos(ey xcossenxx

+−−−++=

calcule y’ Solución:

5124

3

cos

cos

2

224

2

11

)1-()2-4(250

2

cos

10.5

5sec))5((5)

1-().cos(

2

1).(-'

++

−+

+++=

xx

xx

ee

senxexe

xxtg

xxtgLn

xex

xxseney

xsenx

xsenx

xx

5 Encuentre el valor de k ( k = constante ) para que la función

xexy 22

1= sea solución de la ecuación xeyyky =+′+′′

(Problema Propuesto) 6 Calcule :

f / (x), si ( )

+=3

33)( 23 xxsenLnxf

(Problema Propuesto)

184


7 Dadas las siguientes ecuaciones: (Problema Propuesto)

a) si 2

2

10

5)(

x

xxf

−−= , encontrar )3('f

b) Mostrar que: xxx ecececy 2321

−− ++=

satisface 022 '''''' =−−+ yyyy

MATEMÁTICA II 185


PROPIEDADES DE LOGARITMO

2

1

3

4

5

6

7

8

cLna =

aec =

cab

=log abc =

LnbLnaLnab +=

LnbLnab

aLn −=

BABAbbb

loglog log).( +=

xLnaLna x =

BAB

Abbb

loglog log −=

AnA bn

bloglog =

donde ....7182,2=e

aec =

5.16.4 PROPIEDADES DE LOGARITMOS DE CUALQUIER BASE

186


CASO PARTICULAR

2

xxfa

log)( =e

xxf alog

1)(' =

edx

du

uuLog

dx

daa log..

1)( =

sí

5.16.5 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a

EJERCICIOS SOBRE DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTA LES I. Halle la derivada de las siguientes funciones:

1. senx

e)x(f

x 1+=

2. xsenxxxg += 23)( 3. xxxh cos)( 2= 4. tgxxxI 3)( =

5. x

xxf

cos1

cos1)(

+−=

6. xsenxxf cos)1()( += 7. senxxxf )22()( +=

8. senxxxxg 22

11)( 2 +++=

MATEMÁTICA II 187


II. Calcule )4

´(π

f en las siguientes funciones.

1. )2()( σσ senf =

2. )2cos(2

1)( ϖϖ =f

3. )9

2( xseny

π=

4. ta

ayπ

cos−=

5. )21cos( σ−=s

6. 2

2

1)( αα tgf =

7. θθ senf =)(

8. θcos−=s

9. xtgy 24=

10. x

xy

cos1

cos1

−+=

188


III. Calcule la primera derivada en las siguientes funciones: 1) Senaxy = 12) θ−θ=θ Tg)(f

2) xy 2cos3=

13) Cosx.xSeny 2=

3) ttgs 3=

14) LnSenaxy =

4) 2

2v

Ctgu = 15) xCosLny 2=

5) xSecy 4=

16) Senbx

axey =

6) θ= aCscbQ 17) tCosey t 2−=

7) xSeny2

2

1=

18) 2

xtgLny =

8) tCoss 2= 19)

Senx

SenxLny

−+=

1

1

9) 3 3θ= TgQ

20) ( ) ( )aCos.aSeny −θ+θ=

10) Secx

y4

=

21) θ+θ−θ= TgTg)x(F3

31

11) Cosx.xy =

22) )x(Sen)x(F −π= 2

23) xx exey −=

24) Lntes t=

Matemática II

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