{Cónicas,Ecuaciones

Paramétricas y Coordenadas Polares

Benjamín Simon Ruíz VelasquézSeccion IVC.I 27.947.275

Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.

Una Parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

a)Parábola.

Teorema 1.La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es:

En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = - p . S i p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.S i el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:

En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

Teorema 2La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje x, es de la forma: (y – k)² = 4p (x – h)Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.Si el vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma: (x – h)² = 4p (y – k)Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.

AsdadsadsadaAsdaAdsasAsdasdads

Teorema 3.

Una ecuación de segundo grado en las variables X y Y que carezca del término en xy puede escribirse en la forma:

Si A = 0, C ǂ 0 y D ǂ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X.Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje X, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de:

Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

Si A ǂ 0, C = 0 y E ǂ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y.Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje Y, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de:

Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.1)Lado recto.Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal(el lado recto mide 4 veces la distancia focal).

2) Semejanza de todas las parábolas.Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

3) Tangentes a la parábola.Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:la tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Propiedades.

Ejemplo: Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz:

Se entiende por elipse a aquellas formas geométricas que están formadas por curvas planas resultantes de la intersección entre una forma cónica y un plano. La elipse no es un círculo si no que se compone de dos trazos perpendiculares entre sí de los cuales uno es mayor y otro menor (por lo general el trazo vertical es el menor ya que la elipse suele ser más extensa horizontal que verticalmente). La conjunción de estos dos trazos es el centro de la elipse y con ellos se forma el eje central de la elipse.

Teorema de dandelin.Una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga, pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema.

Teorema de apolonio.La suma de los cuadrados de dos pares de diámetros conjugados cualesquiera (incluso los ejes) es constante .

B)Elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos es constante. Esta propiedad es utilizada por los jardineros para trazar elipses en el terreno, clavadas dos estacas y sujeto en ellas un cordel por sus extremos, basta deslizar otra estaca resbalando sobre el hilo tirante, y el surco que marca es una elipse, que tiene sus focos en las estacas fijas, porque la suma de distancias es constantemente la longitud del cordel.

La recta que une los focos es, evidentemente, eje de simetría de la elipse, el segmento AB, que en él intercepta la elipse se llama eje mayor su punto medio O, centro de la elipse, y el segmento CD, de perpendicular por él se llama eje menor.

Propiedades.

Ejemplo: Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

Es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos: a)Centro, O b)Vértices, A y A c)Distancia entre los vértices d)Distancia entre los focos

c)Hipérbola.

Teorema de Dandelin.Teniendo nuestra superficie cónica sabemos como obtener una hipérbola.

Aquí tenemos Las intersecciones del plano con las generatrices que nos dan los puntos A y B, los vértices. Cambien tenemos dos esferas tangentes al plano en los puntos F1 y F2 que son los focos, y a la superficie cónica formando las circunferencias tangentes(que pasan por T1y T2 una y por T3 y T4 la otra), cuyos planos al extenderlos cortan el plano de corte y nos dan las directrices d1 y d2.

Ahora en esta imagen podemos tomar la generatriz de la superficie cónica que pasa por un punto P. Esta corta a la esfera superior en un punto A y a la esfera inferior en un punto B.

Es evidente que sea cual sea el punto P, tenemos siempre la relación|PB – PA| =AB = Cte.

os puntos A y F1 son puntos de la esfera superior, el segmento PA esta en la generatriz así que es tangente a dicha esfera y el segmento PF1 también lo es pues esta en el plano de corte y la esfera es tangente al plano.

Así pues PA y PF1 son segmentos de tangente a la esfera trazados desde un mismo punto por lo que

PA = PF1

Lo mismo tenemos para los puntos B y F2,, el segmento PB es parte de la generatriz por lo tanto es tangente a la esfera inferior y el segmento PF2 se encuentra en el plano de corte por lo que también es tangente a la esfera, siendo dos segmentos de tangente a la esfera trazados desde el mismo punto tenemos que: PB = PF2, Por un lado teníamos que: |PB – PA| =AB = Cte. Y por el otro obtuvimos que: PA = PF1 y PB = PF2, por lo tanto el resultado es: |PF1 – PF2| = Cte.

La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a.La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco.Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

Ejemplo: Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

Investigue en YouTube sobre las secciones cónicas mencionadas anteriormente, y coloque en el enlace o dirección electrónica de un video donde se resuelvan cada uno de ellas.

a)Elipse.https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

b)Parabola.https://www.youtube.com/watch?v=GbUg3Iw8YYohttps://www.youtube.com/watch?v=Jb_9ZKXWPrE

c)Hiperbola.https://www.youtube.com/watch?v=ORQ_XfVXA2Q

Resolver cada uno de los siguientes Problemas hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica.

a) y2 = 4x b) (x+3)2 = -2(y-2)

· Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola con; Vértice: (2,3); foco1,2)

c) y2 = 4x

La ecuacion de la forma: y2 = 4px Foco=(1,0)V=(0,0) en el origen Directriz x+p=0y2 = 4px x= -p y2 = 4x; igual a y2 = 4px x= -1

4p=4p=4/4 p=1 Distancia focal

Y

1-X X

F(1,0) V(0,0)

-Y x= -1 Diretriz

b) (x+3)2 = -2(y-2)

Ecuación General (x-h) 2 = -4p(y-k)

(x+3)2 = -4p (y-(-2))(x+3)2 = -4p (y+2)V=(-3,2)

Sabemos que: -4p=-2 Así que el lado recto (LR) es -2 por eso:-4p=-2p=-2/4p=1/2 La distancia focal es: ½

Coordenadas del foco Directriz F=(h,k,-p) y – k – p=0 y – 2 – ½ =0 F= -3,2 – ½ y = 2+ ½ y= 5/2 F=(-3,3/2)

Y

3V=(-3,2)

F=(-3,3/2) 2

3/2

1

- 3 -2 -1 1 2 X-X

-Y

Curva planas y ecuaciones

parametricas Curva plana.Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana

Trazo de una curva.Para trazar una curvas se necesitan muchas cosas como: dominio, intervalo, simetría. límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos, intervalos de incremento y decremento, concavidad y puntos de inflexión; todo esto nos revela las características importantes de las funciones

Ejemplo: Trazar la curva dada por las siguientes ecuasiones :

SoluciónPara valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecua-ciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.

Eliminación del parámetro.Al encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetrodel conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x=4y(al cuadrado)-4 representa una parábola con un eje horizontal y vértice en (-4,0).El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Ajustar el dominio después de la eliminacióndel parámetro.Dibujar la curva representada por las ecuaciones

eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.SoluciónPara empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Porejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.

Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene

Empleo de la trigonometría para eliminar un parámetro .Dibujar la curva representada por

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada.

Curva suave.Una curva C representada por x= f(t) y y= g(t) en un intervalo I se dice que es suavesi f y g son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posible-mente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I .

https://www.youtube.com/watch?v=7cY6PgNNOgQ

https://www.youtube.com/watch?v=VfAaL4FWML8

https://www.youtube.com/watch?v=nHRumeChM2E