L [ y ]=−14s

+ 6s+4

+ 32 s

− 32 (s+4 )

+ 8s+1

−8s+ 8s−1

y (t )=−14 t+6e−4 t+ 32t−32e−4 t+8e t−8 t+8et

y (t )=−412

t+16 t+ 92e−4 t

Tarea:

Resolver:

{y '−z '−2 y+2 z=senty' '+2 z+ y=0

y(0 )= y '(0 )=z(0)=0

Ejercicios

Hallar:

L−1 ¿

Solución:

L−1[ ss+1

∗1

s+1 ]=cos t∗sen tL−1[ s

s+1 ]=cos tL−1[ 1s+1 ]=sent

cos t∗sent=∫0

t

cos usen (t−u)∂u

∫0

t

cos u [sent cos u−senucos t ]∂u

∫0

t

cos u [sent cos u−senucos t ]∂u

sent∫0

t

cos2u∂u+cos t∫0

t

cosusen u∂u

¿ sent [ u2+ sen2u4 ] t

0−costsen2u2 | t0

¿ sent [ t2+sen2 t ]−cos t sen2 t2

sent [ t2+ 2 sent cost4 ]−cos t sen2t2 + t2sent+ sen2t cos t

2−cos tsen

2t2

¿ tsent2

Hallar:

L−1[ 1

s2 ( s2+1 ) ]Solución:

¿ L−1[ 1s2∗1s2+1 ]=t∗sent

L−1[ 1s2 ]=t

L−1[ 1s+1 ]=sent

t∗sent=∫0

t

usen ( t−u )∂u

∫0

t

u [ sent cosu−sen ucos t ]∂u

sent∫0

t

ucosu∂u−cos t∫0

t

usen u∂u

sent [cos u+usenu| t0 ]sent−cos t [senu−ucosu ] t0

sent ¿

¿ t sen2 t+t cos2 t−sen t

¿ t−sent

Resolver:

y ' '+2 y+ y=et

L [ y ' ' ]+2 L [2 y ]+L [ y ]=L [et ]

s2 L [ y ]−s [ y (0) ]− y ' (0 )+2 s L [ y ]− y (0 )+L [ y ]= 1s−1

L [ y ] ( s2+2 s+1 )= 1s−1

+sC1+C2+C1

L [ y ]= 1( s−1 ) ( s+1 )2

+sC1

(s+1 )2+

sC3

(s+1 )2

Y ( t )=L−1[ 1

( s−1 ) ( s+1 )2 ]+C1L−1[ s

(s+1 )2 ]+C3L−1[ 1

(s+1 )2 ]L−1[ 1

(s−1 ) (s+1 )2 ]=L−1[ 1( s−1 )

x1

(s+1 )x1

( s+1 ) ]=et∗e−t∗e−t

[∫0

t

eu . e−(t−u)∂u ]∗e−t

[e−t∫0

t

e2u∂u]∗e−t

[e−t( e2u2 ) t0]∗e−t=( et2 − e−t

2 )∗e−t

¿ 12∫0

t

(eu−e−u ) (e−( t−u ))∂u

¿ 12e−t∫

0

t

e2u∂u−12e−t (u)| t

0

¿ 14e t− 1

4e−t− t

2e−t

L−1[ s

(s+1 )2 ]=L−1[ s( s+1 )

x1

( s+1 ) ]

(s−1 )+1(s+1 )2

= s+1(s+1 )2+02

+ −1( s+1 )2

¿e−t− 1

( s−(−1 ) )2=e−t−t e−t

L−1[ s

(s+1 )2 ]=t e−t

Y (t )=14

(e−t−t e−t )− t2e−t+C1 (e−t−t e−t )+C3(t e

−t)

Resolver la ecuación:

y ' '− y '−2 y=0

y(0 )=1 ; y'(0)=0

Solucion:

L [ y ' '− y '−2 y ]=0

L [ y ' ' ]−L [ y ' ]−L [2 y ]=0

s2 L [ y ]−s [ y (0) ]− y '(0 )−(s L [ y ]− y (0 ) )−2 L [ y ]=0

s2 L [ y ]−s−s L [ y ]+1−2 L [ y ]=0

L [ y ] ( s2−s−2 )=s−1

L [ y ]= s−1(s2−s−2)

L [ y ]= s−1(s−2)(s+1)

= A(s−2)

+ B(s+1)

y (t )=L−1[ 13

(s−2) ]+L−1[ 23

(s+1) ]

A+B=1

A−2B=−1

B=23

A=13

y (t )=13e2 t+ 2

3e−t

Tarea:

Resolver la ecuación.

y ' '+3 y+2 y=1

y(0 )= y '(0 )=0

Resolver:

xy ' '+2 y '+xy=sen x

y(0 )=0

Solución:

L [ ty' ' ]=−∂∂s

[L [ y ' ' ] ]

L [ xy ' '+2 y '+xy ]=L [sen x ]

−∂∂s [ s2L [ y ]−s [ y (0 ) ]− y '

(0 )]+2(s L [ y ]− y (0) )−∂∂ s

L [ y ]= 1

s2+1

−(2 s L [ y ]+s2 ∂∂s

L [ y ])+2 s L [ y ]− ∂∂ s

L [ y ]= 1

s2+1

−( ∂∂s

L [ y ] ( s2+1 ))= 1

s2+1

−∂∂s

L [ y ]= 1

( s2+1 )2

x y(x)=L−1[ 1

( s2+1 )2 ]=L−1[ 1

s2+1x1

s2+1 ]x y (x )=sen x∗sen x

¿∫0

x

senu (sen ( x−u ) )∂u

∫0

x

senu (senx cosu−cosx senu )∂u

¿ sen x∫0

x

( senucosu )∂u−cos x∫0

x

sen2u ∂u

¿ sen x( sen2u2 ) x0−cos

x ( u2− sen2u4 ) x0

¿ sen3 x2

− x cosx2

+ cosx sen2 x4

¿ sen3 x2

− x cosx2

+ cosx cosx senx2

senx2

(sen2 x+cos2 x )− x2cosx

x y (x )=12

(senx−xcosx )

y ( x )=12 x

(senx−xcosx )

Tarea:

Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales.

{2 y '+z '+ z=ty '+z '=t 2

y(0 )=1 ; z (0)=0

SERIES DE FOURIER

Definición:

La función f ( x ) : [−L; L ]→R

1) Par : Si f ( x )=f (−x )∀ x∈ [−L; L ]2) Impar :Si f (− x )=−f ( x )∀ x∈ [−L; L ]

Ejemplo: Son funciones pares.

1. f ( x )=x2

2. f ( x )=cos x3. f ( x )=

1

1+ x2

4. f ( x )=sec x, etc.

Ejemplo: Son funciones impares.

1) f ( x )=x 2) f ( x )=sen x

3) f ( x )=x

1+ x24) f ( x )= tan x, etc.

PROPIEDADES:

∫−L

L

f ( x )∂ x=¿2∫0

L

f (x )∂ x ; si f ( x )es par ¿

∫−L

L

f ( x )∂ x=¿0 ; si f ( x ) es impar ¿

EJEMPLOS:

A. f ( x )=x , [−1 ;1 ]Solución:

∫−1

1

x ∂x= x2

2 | 1−1=0B. f ( x )=x2 , [−1 ;1 ]

Solución:

∫−1

1

x2∂ x= x3

3 | 1−1=13− (−1 )3

=23

Ó también:

2∫−1

1

x2∂ x=2 x3

3 | 1−1=23ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES

Sean f y g funciones integrables en el intervalo [a;b ], el producto interno de f y g es:

⟨ f , g ⟩=∫a

b

W f ( x ) . g ( x )∂ x

W es constante .

Teorema: si f y g son funciones ortogonales en el intervalo [a;b ], si el

producto ⟨ f , g ⟩=∫a

b

f ( x ) . g ( x ) ∂x=0

EJEMPLO:f ( x )=x2 , g=x3 son ortogonales en el intervalo [−1 ;1 ] .

Solución:

⟨ f , g ⟩=∫−1

1

x2. x3∂ x=∫−1

1

x5∂ x= x6

6 | 1−1=¿0¿

∴ f ( x ) esortogonal a g( x ) .