Matemática Teoría ASIMOV (Parte 1)

7/21/2019 Matemtica Teora ASIMOV (Parte 1)

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ASIMOV MATEMTICA PARA EL CBC, Parte 1


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Matemtica para el CBC, Parte 1

- 2da. edicin. Buenos Aires: Editorial Asimov, 2013

150 p.; 21x 27 cm.ISBN: 978-987-23534-1-4

Matemtica para el CBC, Parte 1- 2da ed. - Buenos Aires : Asimov, 2013

v. 1, 150 p. ; 20x 27 cm.

ISBN 978-987-23534-1-4

1. Matemtica - Enseanza. I. TtuloCDD 510.07

Fecha de catalogacin: ABRIL 2007

2007 Editorial AsimovDerechos exclusivosEditorial asociada a Cmara del Libro

Impreso y encuadernado por:Grfica Arie Impresores, Mariano Acha 2415, C.A.B.A.

- 2da. edicin. Tirada: 100 ejemplares.

Se termin de imprimir en marzo de 2013

HECHO EL DEPSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723Prohibida su reproduccin total o parcialIMPRESO EN ARGENTINA


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MATEMATICAPARA EL CBC

* MATEMATICA CERO* FUNCIONES* FUNC. LINEALES Y CUADRTICAS* FUNCIONES TRIGONOMETRICAS* EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS* FUNCIN INVERSA

* CONTINUIDAD - LIMITE

PARTE 1


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Ves algo en este libro que no est bien explicado ? Encontraste algn error ? La notacin que us yo no es la que usa la ctedra ?Mandame un mail y lo corrijo.

www.asimov.com.ar

Pods bajar temas viejos de parciales

y finales de www.asimov.com.ar


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ASIMOV - MATEMTICA PARA EL CBC

- PARTE 1 -Hola. Ante todo... Bienvenido a la Universidad de Buenos Aires. Bienvenido al CBC.Este libro es una especie de terico que tiene todo lo que se da en la materiamatemtica del CBC. En realidad ms que un terico vendra a ser " la carpetacompleta ". Digo esto porque bsicamente este libro tiene todo lo que se da enclase y de la misma manera que ellos lo dan.

Mi idea es que este resumen te pueda servir si te perdiste alguna clase, si noentendiste bien algn tema o si te toc un docente malo-malo. Tambin creo queeste libro puede facilitarle un poco la vida a los chicos del interior, que a vecestienen que estudiar la materia sin venir a las clases. Y me parece que a los que msles va a servir este libro es a la gente que est preparando el final o el libre.

Ahora, una cosa... Vos sabs que hoy en da el secundario no es muy bueno quedigamos. Mucho no te explican. Por eso cuando uno llega al CBC... que pasa ?Rta: Pasa que uno no entiende nada. Da la impresin de que uno es un tonto, peroen realidad el asunto es que nadie nunca te explic nada. Nadie te ense a

pensar. Nadie te ense a razonar. Este es tu caso ? No desesperis ! Aqu estoy para ayudarte !

Ojo con esto: No hice escrib esto para expertos en matemtica. No busques acrigurosidad, demostraciones raras o cosas por el estilo. Este no es un libro paradocentes. Este es un libro para alumnos. Ms concretamente, es un libro para elalumno que existe en la realidad-real (o sea, vos).

Dejame darte unas recomendaciones para cursar la materia

* No hay manera de estudiar matemtica a ltimo momento. Tens que llevar lamateria al da e ir haciendo los ejercicios de la gua. Consult los resultados conotros chicos o verificalos con los ejercicios resueltos que saqu yo.

* Trat de no faltar a las clases. Si en tu aula no explican bien, cambiate a otra.( No digas que te lo dije yo porque se enojan )

* Atento. Leer slo teora no sirve. Ellos te van a tomar ejercicios. Tens quesaber resolver ejercicios. Conclusin, antes del examen busc parciales viejos yresolvelos. Tens algunos para temas de exmenes bajar de mi pgina:

www.asimov.com.ar


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Tambin saqu un apunte con parciales resueltos de ao pasado. ( No estn parabajar. Estn impresos en papel ).

Por ltimo: si te llega a ir mal o tens que recursar... Bueno, no es terrible, che.

Siempre viene bien saber matemtica. Hacela de nuevo y sacate mil.

ltima cosa: Por favor, si ves errores o penss que hay cosas que estn mal eneste libro, avisame. Entr a la pgina, mandame un mail y lo corrijo.

Suerte en el examen !


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MATEMTICA CEROPag

2........Pasar de trmino - Despejar4 Suma de fracciones5 .......Distributiva - Factor comn6 Ecuacin de la recta

10.......Ecuacin cuadrtica - Parbolas13 Solucin de una ecuacin cuadrtica16.......Sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas

FUNCIONES

20........Funciones23 Funciones Crecientes y decrecientes.

24...Algunos ejemplos de funciones

30 Funciones Lineales34.......Intervalos36 Funcin mdulo37.......El caso del movimiento rectilneo uniforme38 Distancia entre 2 puntos40.......Ejercicios de parciales

FUNCIONES CUADRTICAS

44Funciones cuadrticas46 Vrtice de una parbola47.......Recta tangente.49 Conjunto de positividad

50.......Interseccin entre una recta y una parbola.54 Ejercicios de parciales

NDICE


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CONTINUIDAD - POLINOMIOS

58 Continuidad

60.......Teorema de Bolzano63 Funciones polinmicas68.......Divisin de polinomios. Teorema del Resto74 Ecuaciones bicuadrticas

COMPOSICIN DE FUNCIONES

76...Composicin de funciones

80 Cambio de escala.

FUNCIN INVERSA - ASINTOTAS

84.......Funcin inversa93 Asntotas - Concepto de Lmite

101..... Ejercicios de Parciales

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

106....... Funciones trigonomtricas107 Teorema de Pitgoras109....... Representacin de las funciones trigonomtricas111 Representacin de las funciones sen x y cos x115........Funciones arco seno y arco coseno

125 Ejercicios de parciales

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

128.......Funcin exponencial130.......Funcin logaritmo. Propiedades132 Logaritmo natural o neperiano134...... Ejercicios de parciales


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OTROS APUNTESASIMOV

* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE MATEMATICASon los ejercicios de la gua resueltos y explicados.

* PARCIALES RESUELTOS DE MATEMATICASon exmenes que fueron tomados el ao pasado. Todos los ejerciciosestn explicados. Tambin hay parciales resueltos de aos anteriores.

* EJERCICIOS RESUELTOS DE OTRAS MATERIASSon ejercicios resueltos de fsica, qumica, matemtica, Biofsica y otrasmaterias del CBC. De todas estas materias hay parciales resueltos.

Tambin hay parciales resueltos de Biologa Celular.

OTROS LIBROS DE ASIMOV:

* QUMICA PARA EL CBC* FISICA PARA EL CBC* BIOFISICA PARA EL CBC

Estos libros tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.

Temas que estn en el libro 2 :

DERIVADAS E INTEGRALES


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ASIMOV MATEMATICA CERO1

MATEMATICA 0MATEMATICA NECESARIA QUE HAY QUE

SABER PARA ENTENDER MATEMATICA

TEMAS:

PASAR DE TERMINO - DESPEJAR - SUMA DE FRACCIONES -FACTOREO - SACAR FACTOR COMUN - ECUACION DE LA RECTA- UNA ECUACION CON UNA INCOGNITA - ECUACION DE UNAPARABOLA - ECUACION CUADRATICA - SOLUCION DE UNAECUACIN CUADRTICA - SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON

DOS INCOGNITAS SOLUCIN DE UN SISTEMA DE 2 x 2


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MATEMATICA CERO

Cosas de matemtica que hay que saber para entender matemticaHola. Para entender matemtica hay que saber algo de matemtica. Es as. Si vossabs bien la matemtica del secundario, dej este parte de lado. Empez direc-tamente donde dice " Funciones ". Si vos sabs que la matemtica no te resultafcil, lee lo que yo pongo ac. Hacete todos los ejercicios. Hacele preguntas a to-dos los ayudantes que para eso estn. Yo s que nunca nadie te ense nada y aho-ra te exigen que sepas todo de golpe. Qu le vas a hacer. As es la cosa. Bienveni-do a la UBA.

Ahora, ojo, todos los temas que pongo ac son cosas QUE VAN A APARECERMIENTRAS CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo temas descolgadosque nunca vas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a aparecer y vas atener que usarlo. Pero:

Alegra!

Vas a ver que no es tan difcil ! Empecemos

PASAR DE TRMINO - DESPEJAR

En fsica todo el tiempo hay que andar despejando y pasando de trmino. Tensque saber esto a la perfeccin. No es difcil. Slo tens que recordar las siguien-tes reglas:

1 - Lo que est sumando pasa restando

2 - Lo que est restando pasa sumando3 Lo que est multiplicando pasa dividiendo4 - Lo que est dividiendo pasa multiplicando5 - Lo que est como2pasa como raz6 - Lo que est como raz pasa como2

Estas reglas se usan para despejar una incgnita de una ecuacin. Despejar xsignifica hacer que esta letra incgnita x quede sola a un lado del signo igual.( Es decir que a la larga me va a tener que quedar x = tanto ).

Veamos: Usando las reglas de pasaje de trminos despejar X de las siguientesecuaciones:

VER

Reglas para pasarde trmino


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1) 2 = 5 X

X est restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5El 2 est sumando, lo paso al otro lado restando: X = 5 2

Por lo tanto

2)X

84 =

X est dividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8El cuatro est multiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo:

Es decir:

3) x2= 25La x est al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como raz:

Por lo tanto

( En realidad la solucin sera + 5 o - 5 . Eso lo vamos a ver despus )

Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X :

1) x + 5 = 8 Rta: x = 3

2) x + 5 = 4 Rta: x = -1

3) x 4 = - 7 Rta: x = 3

4) 42 =x

Rta: x =2

1

5) 1052

=x Rta: x = 251

6)5

1

5

2=

Rta: x = - 5

7) 7 = 4 - x2 Rta: x = 11

8)( )

42

12 =

x Rta: x1 = 2,5 y x2 = 1,5

9) ( ) a

x = 22

1

Rta: x = 21

+a

8X

4=

x=2 Solucin.

x=3 Solucin.

x=5 Solucin.

X= 25


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SUMA DE FRACCIONES

Para sumar por ejemplo4

5

2

3+ lo que hago es lo siguiente:

Abajo de la raya de fraccin va a ir el mnimo comn mltiplo. Esto quiere decir

el nmero ms chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese nmero sera 4 ).El mnimo comn mltiplo a veces es difcil de calcular, por eso directamente mul-tiplico los dos n de abajo y chau. En este caso 2x 4 da 8, de manera que en princi-

pio el asunto quedara as:8

............

Para saber lo que va arriba de la raya de fraccin uso el siguiente procedimiento:

Haciendo el mismo procedimiento con el 4 de la segunda fraccin me queda:

81012

45

23 +=+

Es decir:

8

22

4

5

2

3=+

Simplificando por dos:

=+

4

11

4

5

2

3

Comprob este asunto con algunas fracciones a ver si aprendiste el mtodo:1)

2

1

2

1+ Rta : 1

2)4

1

2

1+ Rta :

4

3

3) 1 +2

1 Rta :2

3

4)3

2

2

1+ Rta :

6

7

Resultado


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5)5

4

3

2+ Rta :

15

22

6) 75

3

7+ Rta : 21

64

7)ba

11+ Rta : b + a

a.b

8)d

c

b

a+ Rta : a.d + b.c

b.d

DISTRIBUTIVASupon que tengo que resolver esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar prime-ro lo que est entre parntesis , y en ese caso me quedara:

2 ( 8 ) = X 16 = X

Pero tambin se puede resolver haciendo distributiva. ( "Distributiva" significa,distribuir el nmero que multiplica ). Eso sera hacer lo siguiente:

Practicalo un poco con estos ejemplos:

1) 3 ( 4 + 5 ) Rta : 27

2) 3 ( 4 5 ) Rta : -3

3) a ( b + c ) Rta : ab + ac

4) a ( b + c + d ) Rta : ab + ac + ad5) a ( m1 + m2 ) Rta : a m1 + a m2

Solucin.


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SACAR FACTOR COMN

Sacar factor comn es hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo sitengo la expresin: X = 7242 + Me va a quedar:

X = 2 ( 4 + 7 )

A veces conviene sacar factor comn y a veces conviene hacer distributiva. Esodepende del problema.

Ejemplo: Sacar factor comn en las expresiones:

1) F = m1 a + m2 a Rta : F = a ( m 1 + m2 )

2) X = x0+ v t v t0 Rta : X = x0+ v (t-t0)

3) Froz = m1 g + N2 Rta : ( m1 g + N2)

4) L = F1 d cos a - F2 d Rta : d ( F1cos a - F2 )

ECUACIN DE UNA RECTA

En matemtica la ecuacin de una recta tiene la forma y = m x + b. Puedo graficarla recta en un par de ejes X-Y. Queda as:

hay varias que tens que conocer en la ecuacin de una recta :

Fijate lo que significa cada una de estas cosas. Veamos primero qu son x e y.Si quiero representar en el plano el punto ( 3,2 ) eso significa que:

Saqu el 2 como factor comn

x

y

Y = m x + b

REPRESENTA-CION DE UNARECTA


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Veamos ahora qu es eme. La mrepresenta la pendiente de la recta. La palabra"pendiente" significa "inclinacin" . La pendiente de una recta da una idea de lainclinacin que tiene esa recta. Por ejemplo, si la pendiente vale 2/3, eso significaque la inclinacin de la recta tendr que ser tal que:

2m=

3

Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como1

4 y me queda:

Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendra esto( Es decir, sera una recta a 45 ).

Si m fuera 1,73, el asunto quedara as:

Entonces, la pendiente de una recta es una funcin en donde:

11

7=m

Otra cosa: si la pendiente es negativa ( como11

7=m ) pongo

11

7=m y la cosa

queda:

Ac hay que avanzar 3

Ac hay queavanzar 2

1

1

1,73

1

La parte de arribaindica lo que hay que avanzarenY

La parte de abajoindica lo que hay que avanzaren X

7

11

1

4

m=4


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El valor bse llama ordenada al origeny representa el lugar donde la recta cortaal eje Y.

Por ejemplo, una recta as: tiene b=-1

Otra recta as tambin tiene b = -1

Y las rectas que son as tienen b = 0. Es decir, salen del origen de coor-denadas.

CMO SE REPRESENTA UNA RECTA ?

Si tengo una ecuacin y = m x + b y quiero representarla, lo que hago es darle valo-res a Xy obtener los deY. Con estos valores formo una tablita y los representoen un par de ejes x - y. Fijate: Si tengo por ejemplo: y = 2 x + 1

Le doy a xel valor 0 y obtengo y = 2 . 0 + 1 = 1

Le doy a xel valor 1 y obtengo y = 2 . 1 + 1 = 3

Le doy a xel valor 1 y obtengo y = 2. ( -1 ) + 1 = -1

Puedo tomar todos los valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todoesto en una tabla me queda:

x y0 11 3

- 1 -1

Ahora represento los puntos ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( - 1 ; - 1 ) en el plano x - y. Uniendolos puntos tengo la recta. Fijate :

-1

-1

Y=2x+1

-7

11Avanzar 11

Bajar 7


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Si quisiera ver si la recta est bien trazada puedo fijarme en los valores de my de b:

La recta corta al eje Y en 1, as que est bien. Veamos la pendiente:

La pendiente de y = 2 x + 1 es m = 2, as que el asunto verifica. Para entender estomejor tendras que hacerte algunos ejercicios. Vamos:

EJERCICIO: DADA LA ECUACIN DE LA RECTA:a) Ver cunto valen m y bb) Graficar la recta dndole valores de xy sacando los de yc) Verificar en el grfico que los valores de m y b coinciden con los de a)

1) y = x Rta: m = 1 , b = 0

2) y = x - 1 Rta : m = 1 , b = - 1

3) y = 2 - x Rta: m = - 1 , b = 2

-1

2

2


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4) y = -2

x + 1 Rta: m =2

1 , b = 1

5) y = 2 Rta: m = 0 , b = 2

6) y = 1.000 x + 1 Rta: m = 1.000 , b = 1

Ac van otro tipo de ejercicios que tambin son importantes:

* DADO EL GRFICO, CALCULAR m, b Y DAR LA ECUACIN DE LA RECTA

a) Rta: m =2

1 ; b = 0 y =2

1 x + 0

b) Rta: m = 65

; b = 5 y = 565

+ x

c) Rta: m = - 1 ; b = 1 y = - 1 x + 1

d) Rta: m=2

1 ; b = -1 y = - 1

2

1x

PARBOLAUna parbola es una curva as . Desde el punto de vista matemticoesta curva est dada por la funcin:

Y= a x2+ b x + c

Fijate que si tuviera slo el trmino y = bx + c tendra una recta. Al agregarle eltrmino con x2la recta se transforma en una parbola. Es el trmino cuadrtico el

1

2

2

2

1

6

5

-1

21

-2

-1

2

Ecuacin de la parbola

Prcticamenteson 90

1


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que me dice que es una parbola. Ellos dicen que y = a x2+ b x + c es una funcincuadrtica porque tiene un trmino con x2. Una parbola podra ser por ejemplo:

Y = 2 x2 + 5 x + 8

En este caso a sera igual a 2, ba 5 y csera 8. Los trminos de la ecuacin tam-bin pueden ser negativos como en:

Y = - x2 + 2 x -1

Ac sera a = - 1, b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer trmino puedenfaltar. ( El primero nunca puede faltar por que es el cuadrtico ). Un ejemplo endonde faltan trminos sera:

Y= 0,5 x2 3 ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 )o tambin:

Y = x2 - 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 )

La ecuacin tambin puede estar desordenada, entonces para saber quin es a,quin b, y quin c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo: Y = - 3 x - 1 + 5 x2

Ordeno y me queda :

Y = 5 x2 3 x -1 a = 5, b = - 3, c = - 1

REPRESENTACIN DE UNA PARBOLA

Lo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y. Con todos estos valoresvoy armando una tabla. Una vez que tengo la tabla, voy representando cada puntoen un par de ejes x,y. Uniendo todos los puntos, obtengo la parbola.

De acuerdo a los valores de a, b y c la parbola podr dar ms abierta, ms cerra-da, ms arriba o ms abajo. Hay una cosa que tens que saber que es que :


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si el trmino cuadrtico es negativo la parbola apunta sus ramas para abajo.

Es decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior en vez de Y= x2 hubiese sidoY=- x2, la cosa habra dado as:

Por qu pasa esto ? Rta : Porque aes negativo. ( En este caso a = -1 )Entonces conviene que te acuerdes siempre que:

Dicho de otra manera:

Y si a la ecuacin cuadrtica no le falta ningn trmino ? Rta: No pasa nada,el asunto es el mismo, lo nico es que va a ser ms lo construir la tabla por quehay que hacer ms cuentas. Fijate:

Vamos a estos otros ejercicios :

Si en la ecuacin Y = a x2 + b x + c el valor de aesnegativo, entonces la parbola va a dar para abajo


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x

Representar las siguientes parbolas y decir cunto valen los trminos a, b y c:

Solucin de una ecuacin cuadrtica

Una ecuacin cuadrtica es la ecuacin de una parbola igualada a cero. Es decir,si en vez de tener y= a x2+ b x + c tengo a x2+ b x + c = 0, eso ser una ecua-cin cuadrtica.

Por ejemplo, son ecuaciones cuadrticas:

X2+ 4 = 0 , 5 X2 3 X + 7 = 0 , 7 X 3 X2 = 0

Lo que se busca son los valores de xque satisfaganla ecuacin. Qu significaeso ? Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuacin d cero. Supon-gamos que tengo:

x2 4 = 0

Qu valores tiene que tomar xpara que x24 de cero ? Bueno, a ojo me doycuenta que si reemplazo x por 2 la cosa anda. Fijate:

224 = 0 ( Se cumple )

Habr algn otro valor? S. Hay otro valor es x = -2. Probemos:

(-2)24 = 44 = 0 ( anda )

Este mtodo de ir probando est muy lindo pero no sirve. Por qu ? Rta: Porque

funciona slo si la ecuacin es fcil. Pero si te doy la ecuacin 0,23 X2

- 2,17 x -73,2 = 0... Cmo hacs ? Ac no pods ir probando porque el asunto puede llevar-te un ao entero.


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A los valores de xque hacen que toda la ecuacin de cero se los llama races dela ecuacino soluciones de la ecuacin. Entonces, la idea es encontrar una frmu-la que sirva para hallar las racesde la ecuacin. Esta frmula es:

( La demostracin de est ecuacin est en los libros ). Cmo se usa esta frmu-la ? Mir este ejemplo:

Encontrar las races de la ecuacin Y = x2 4 x + 3.

En este caso a = 1; b =-4 y c = 3.

Planteo :

X1,2 =a

acbb

2

42

Reemplazando:

x1,2 = ( ) ( )

12

31444 2

x1,2=2

12164 x1,2 =2

44

x1,2 =2

24

Ahora, para una de las soluciones uso el signo +y para la otra el signo menos.La cosa queda as:

Entonces x = 3 y x = 1 son las soluciones de la ecuacin. Pods reemplazar estosvalores en la ecuacin y ver si verifican.

Quiero decirte una cosita ms con respecto a este tema: una ecuacin cuadrticapodr tener una solucin, 2 soluciones o ninguna solucin. Cmo es eso ? Fijate:

Qu significa igualar la ecuacin de una parbola a cero ?Rta: Bueno, una parbola

SOLUCIN DEUNA ECUACIN CUA-

DRTICA


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es esto

Preguntar para qu valores de xla yda cero, significa preguntar dnde cortala Parbola al eje de las x. Es decir, que las races de una ecuacin cuadrtica re-presentan esto:

El caso de una solucin nica va a estar dado cuando la parbola NO corta al ejede las x en dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir, voy a teneresta situacin :

Cuando la ecuacin tiene una sola solucin, se habla de raz nica o de raz doble.

La ecuacin cuadrtica puede no tener solucin cuando la parbola No corta enningn momento al eje de las x. Por ejemplo:

Cuando te toque una ecuacin de este tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer

ca4b 2

te va a quedar la raz cuadrada de un nmero negativo (como porejemplo 4 ). No hay ningn nmero que al elevarlo al cuadrado d negativo.Entonces el asunto no tiene solucin.

Ac te pongo algunos ejemplos:

Encontrar las soluciones de la ecuacin usando la frmula x =a

acbb

2

42

( Pods verificar los resultados graficando la parbola )

1) x2 2x 3 = 0 Rta: x1= 3 ; x2= -1

2) x2 7x + 12 = 0 Rta: x1 = 4 x2 = 3

Una solucin Otra solucin

Soluciones de unaecuacin cuadrtica

Caso de raz nica.


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3) x2 2x + 1 = 0 Rta: x = 1 ( Raz doble )

4) x2 18x + 81 Rta: x = 9 ( Raz doble )

5) x2+ x + 1 = 0 No tiene solucin.

6) x2 x + 3 = 0 No tiene solucin.

SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITAS

Una ecuacin con una incgnita es una cosa as x - 3 = 5. Esta ecuacin podraser la ecuacin de un problema del tipo: " Encontrar un nmero x tal que si le resto

3 me da 5 ". Cmo se resolvera una ecuacin de este tipo ?Rta: Muy fcil. Se despeja x y chau. Fijate :

x 3 = 5 x = 5 + 3 x=8

Qu pasa ahora si me dan una ecuacin as ? : x + y = 6 .Esto es lo que se llama una ecuacin con 2 incgnitas. As como est, no se puederesolver. O sea, tendra infinitas soluciones. Por ejemplo, algunas podran ser:

x = 6 ; y = 0 x = 7 ; y = - 1

x = 8 ; y = - 2

Creo que ves a dnde apunto. Si trato de buscar 2 nmeros x e y tal que la sumasea 6, voy a tener millones de soluciones. ( Bueno... millones no... infinitas !!! )Bueno, ahora distinta es la cosa si yo te digo: " dame dos nmeros cuya suma sea6 y cuya resta sea 4 " Ah el asunto cambia. Este problema SItiene solucin.Matemticamente se pone as:

x + y = 6x - y = 4

Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. Cmo se resuelve esto ? Veamos.

SOLUCIN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITASHay varios mtodos para resolver 2 ecuaciones con 2 incgnitas. Te recuerdo losdos ms fciles. Supongamos que tengo el sistema:

x + y = 6x - y = 4


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MTODO 1: DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIN )Se despeja una de las incgnitas de la primera ecuacin y se reemplaza en la se-gunda. Por ejemplo, despejo x de x + y = 6. Me queda: x = 6 y.

Reemplazando esta x en la segunda ecuacin. Tengo: ( 6 y ) y = 4Ahora:

6 y - y = 4 6 4 = 2 y

2 = 2 y y=1

Ya calcul el valor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuacionesoriginales saco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1rade las ecuaciones:

x + 1 = 6 x = 6 1 x=5

MTODO 2: SUMA Y RESTA

Se suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de las incgni-tas. Por ejemplo:

x + y = 6x - y = 4

Sumo las ecuaciones miembro a miembro y me queda: x + y + x y = 6 + 4

Ahora la yse va. Me queda: 2 x = 10 x=5

Igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera de las 2 ecuacionesoriginales obtengo el valor de y. Una cosa: Ac yo sum las ecuaciones, pero tam-bin se pueden restar. Si las hubiera restado, el asunto hubiera sido el mismo( se iba a ir la x ).Vos pods usar el mtodo que quieras para resolver un sistema de ecuaciones.

A ellos no les importa qu mtodo uses.Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del sistema, es la ecuacin deuna recta. Por ejemplo el sistema anterior se podra haber puesto as:

Entonces cul sera el significado geomtrico de encontrar la solucin de un sis-

tema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas ?Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las 2 rectas. Por ejemplo, paralas rectas x + y = 6 y x - y = 4 tendra esto:


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EJERCICIOSResolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incgnitas. ( Pods repre-sentar las 2 rectas para verificar)

MATEMTICA CERO PALABRAS FINALES

Ac termina el resumen de matemtica que te puse para que puedas entender ma-

temtica. Esta no es toda la matemtica que existe. La matemtica es gigantesca.Lo que puse ac es lo hiper-necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temasque tambin vas a necesitar como polinomios, trigonometra, funciones exponencia-les, logartmos... Estos temas te los voy a ir explicando a lo largo del libro.

Ahora, pregunta... Detests la matemtica ?Rta: Bueno, no sos el nico. El 95 % de la gente la detesta. Es que la matemticaes muy fea. Y encima es difcil. Hay alguna solucin para esto ?Rta: Mir,... no hay salida. Vas a tener que saber matemtica s o s. Es una mate-

ria, hay que aprobarla. Lo nico que se puede hacer para solucionar esto es estu-diar. ( Y estudiar mucho ). Es as. El asunto depende de vos.

A veces los chicos dicen: che. Que mala onda tens ?!Rta: No es mala onda. Esto es as. En todos lados del mundo estudiar matemticaes difcil. Encima vos elegiste la UBA, que es la Universidad de mayor nivel en Ar-gentina... entonces qu quers ?!Resumiendo, el que quiere celeste, que le cueste. Nadie te obliga. Ah afuerate estn esperando los de Mc Donalds para trabajar por di peso la hora.

Creo que fui claro, no ?

FIN MATEMTICA CERO

Solucin de unsistema de dosecuaciones condos incgnitas


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FUNCIONES


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ASIMOV FUNCIONES- 20 -

FUNCIONESVamos a empezar a hablar de Funciones. Supongamos que queremos saber cuntos

alumnos hay por aula. Voy aula por aula y cuento. Hago una tabla:

De esta manera establecemos una relacin entre el aula y el nmero de alumnos.El conjunto del cual salimos lo llamo dominio de la funcin. Al conjunto de llegadalo llamo codominiode la funcin. Si para cada elemento del dominio, tengo un soloelemento del codominio, tengo una funcin.

Supongamos que tengo un barril que vaco pesa 3 Kg. Si le agrego agua, el peso delbarril va a aumentar. Como cada litro de agua pesa 1 Kg. La tabla me va a quedar as:

Esto que hice fue establecer una relacin entre los litros que pongo y el peso delbarrilito de cerveza. Puedo simbolizar esto as:

Hacer una tabla con algunos valores es dar una funcin. Sin embargo, esto no sirve

mucho porque qu pasa si yo pongo un litro y medio ? O raz de 2 litros ?De manera que otra forma de establecer una funcin es dar su grfico.


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Dibujo ahora el peso del barril en funcin de la cantidad de agua que pongo :

Las funciones pueden ser discretas o continuas. Cuando hablo del nmero depersonas por aula, estoy hablando de una funcin discreta. Cuando hablo de loslitros que pongo estoy hablando de una funcin continua.

Existe otra forma de dar una funcin que es dar su frmula. Para decir de donde adonde va la funcin uso la siguiente notacin:

La funcin tambin podra ir de los reales a los reales o cualquier otra combinacin.

Por ejemplo:

Supongamos ahora que tengo la siguiente funcin:

Hago una tabla para esta funcin:

Z


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Vamos a un ejercicio. Una cosa para ser funcin tiene que salir de 1 punto y llegar aun solo punto. Por ejemplo, supongo que me dan esto:

Lo que hago es trazar rectas verticales. Si las rectas cortan al grfico en 1 solopunto, tengo una funcin. Esto es porque a cada punto del dominio, le debecorresponder un solo punto del codominio.

Este caso tambin es funcin


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El domino de la funcin sern todos los puntos que tienen alguna imagen. Elcodominio ser el conjunto que contenga a la imagen. En este caso:

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Esto es fcil. Fijate: Una funcin crece cuando va en subida. Una funcin decrececuando va en bajada.

Desde el punto de vista matemtico esto se pone as:

x1 < x2f(x1) < f(x2)

x1 < x2f(x1) > f(x2)

MXIMOS Y MNIMOS

Cuando la funcin tiene una montaa, digo que tiene un mximo. Cuando tiene unvalle, digo que tiene un mnimo. Una funcin puede tener varios mximos o variosmnimos. Si el mximo es el ms grande de todos los que tienen la funcin, digo quees un mximo absoluto. Lo mismo para los mnimos.

En realidad, desde el punto de vista de matemtico (riguroso) una funcin tendr unmximo o un mnimo cuando cambie el estado de crecimiento (de creciente a decre-

FUNCIN CRECIENTE

FUNCIN DECRECIENTE


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ciente o viceversa). Si la funcin crece entre los puntos 1 y 2, digo que el intervalode crecimiento es (1, 2). Dar el intervalo de crecimiento (o decrecimiento) es deciren qu puntos la funcin crece (o decrece). Fijens este dibujito :

En matemtica es muy importante que cuando vean una funcin puedan decir culesson sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, mximos, mnimos y todo eso.Fijens este ejemplo.

Vamos a hacer un ejercicio. Es importante que aprendas a interpretar enunciados.Eso queremos.

UNA FAMILIA QUE POR MES RECORRE 3.000 KM EN UN AUTO SE PLANTEA LAPOSIBILIDAD DE INSTALAR UN EQUIPO DE GAS. LA INSTALACIN DELEQUIPO CUESTA 1.500 $. UN LITRO DE NAFTA CUESTA 0,69 $. CON 1 Litro DE

NAFTA RECORRE 14 Km. CON 0,8 m3

DE GAS TAMBIN RECORRE 14 Km. EL GASCUESTA 0,32 $ EL m3 . SE PIDE:HALLAR LA FUNCIN QUE MIDE EL GASTO ( EN $ ) DE COMBUSTIBLE ENFUNCIN DEL TIEMPO SI SE USA NAFTA. IDEM EN CASO DE QUE SE UTILICEGAS ( INCLUIDO EL GASTO DE LA INSTALACIN )

En los 2 casos la variable va a ser el tiempo medido en meses. Vamos a empezar conla funcin del gasto de combustible. El tipo hace 3000 Km. por mes y con 1 Litro denafta recorre 14 Km. Entonces:

Por mes gasta: 3.000 L14

= 214,28 Litros/mes


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Lo que gasta en plata va a ser: ( 1 Litro de nafta cuesta 0,69 $ )

214,28 L/mes x0,69 $/Litro = 147,85 $/mes

Si por mes gasta esto, la funcin que me da el gasto en funcin del tiempo es:

f(t) = 147,85 $/mes xt (en meses)

Vamos a la parte b). Con 0,8 m3la familia Dongo recorre 14 Km. La cantidad de m3que gastan al recorrer 3.000 Km es:

Es decir que en plata, lo que gasta es: 171,42 m3x 0,32 $/m3= 54,85 $/mes

Si le sumo lo que sale la instalacin, el gasto en funcin del tiempo si uso gas es:

Adelantmonos un poco al tema de funciones lineales. Represento las dos funcionesque obtuve. Puedo hacerlo dando valores. Me van a dar 2 rectas

Supongamos que quiero saber a partir de cuantos meses se amortiza la instalacin.Eso significa hallar el punto en donde se cortan las rectas, es decir t*.

Igualo: f(t) = g(t) 148 t = 1.500 + 55 t

148 t 55 t = 1.500

GASTO MENSUAL = 171,42 m3de gas


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93 t = 1.500

t = 16,1 meses

OTRO EJEMPLOSupongamos que hay una empresa que tiene unos ingresos (en plata) que vienendados por la funcin i(t) (t en das). Los gastos a su vez vienen dados por g(t). Qu representa la funcin h(t) = i(t) g(t)?

Rta: Bueno, si a lo que entra le resto lo que salte, lo que me queda es la ganancianeta de la empresa. Es decir:

h(t) = i(t) g(t) = ganancia neta

Para que sirve este ejemplo ? Bueno, solamente para que veas que las funcionesse pueden sumar y restar.

OTRO EJEMPLOSupongamos que tengo un pas determinado tal que h(t) representa a la cantidadde habitantes de ese pas en el tiempo t (t en aos). La funcin g(t) representa elconsumo por habitante en funcin del tiempo. Se pregunta:

a) Cul es el consumo total de ese pas en el ao t?

Igual que antes lo que hago es:CONSUMO POR HABITANTE x CANTIDAD DE HABITANTE = CONSUMO TOTAL

Si f(t) es el consumo total:

f(t) = h(t)x g(t)

Ac ves como una funcin puede ser producto de 2 funciones. Ahora, Cunto valenlas funciones h y g ? Rta: Bueno, no lo s. Pero su producto da el consumo total.

EJEMPLO

Che, se callan ? Vamos a hacer un ejercicio. Se quiere hacer una caja partiendode una cartulina de 30 cm x 40 cm. Se pide calcular el volumen de la caja.

FUNCIN QUE DA ELCONSUMO TOTAL


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El volumen de la caja ser: Vol = anchoxaltoxlargo. Es decir:

V = (40 2x) (30 2x) . x

Ahora, x no va a poder tomar valores mayores que 15 cm. Porque sino no tendra

caja. Tampoco x puede ser negativo. Entonces digo que la funcin que me da elvolumen de la caja en funcin de x es:

V(x) = (40 2x) (30 2x) . x con 0 < x < 15

Cmo hago si quiero graficar esto? Bueno lo que hago es darle valores a x (entre0 y 15 ) y sacar los de V(x).

Vamos a otro ejemplo

Supongamos que los precios de la electricidad son los siguientes:

2,38 $ costo fijo que paga todo el mundo0,0634 $ / kilowatt si uno consume menos de 126 Kwh.0,094 $ / kilowatt si uno consume ms de 126 Kwh.

Encima de esto, se cobra 17,20% de impuesto sobre el total consumido. De maneraque voy a tener 2 funciones: una para consumo mayor que 126 Kwh. y otra p/consumo menor que 126 Kw-h. Si no hubiera que pagar ese 17,20 % de ms, lo que

habra que pagar sera:

Ahora, para aumentar una cosa un 17,20 % lo que se hace es multiplicar a todo por

100

20.17 y sumrselo a lo que uno ya tena. (Esto hay que pensarlo un poco)

De manera que la funcin que me dice lo que tengo que pagar (f(x)) en funcin de loskilowats-hora que consumo (x) va a ser lo que tena antes multiplicado por

100

2,171+ . . Esto es porque hacer la cuenta a +

100

20,17 a es lo mismo

que hacer( Lo que hice es sacar a factor comn).

La funcin queda:

+

100

20,171a


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Esta funcin as definida es lo que el problema peda calcular. Teniendo la funcin sta,puedo calcular por ejemplo cunto paga un tipo que consumi 122 Kw. (por ejemplo).Para hacer eso, reemplazo x por 122 en la funcin para x 126 Kwh.

Quedara as :Plata a pagar = 1.172x[ 0,0634 . 122+ 2,38]

Si el consumo fuera mayor a 126 Kw. (por ejemplo 130Kw), la cosa quedara:

Plata a pagar = 1.172 x[2,38 + 0,0634x 126 + 0,094 (130 126)]

FIN FUNCIONES


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ASIMOV FUNCIONES LINEALES- 29 -

FUNCIONESLINEALES


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FUNCIONES LINEALESSon las funciones que tienen forma de lnea recta. La expresin matemtica es:

La b es la ordenada al origen, es decir, el lugar donde la recta corta al eje y. La m esla pendiente de la recta. Esta pendiente se calcula haciendo la cuenta:

Supongamos que me dan la siguiente funcin lineal: f(x)= 2 x + 3. Voy a graficar esto.Cmo hago? Y bueno. Le doy valores a x y saco los de f(x).

Hay algo importante que tens que saber y es la cuestin de la pendiente. Tengo 3casos. Mir :

Ahora, ojo ! Las rectas verticales no son funcin. Ver ac :

En este caso, la ecuacin de esta recta sera x = 2. Esto pasa porque otra rectavertical superpuesta corta a la recta x = 2 en ms de 1 punto. En realidad la corta

en puntos porque est superpuesta. Vamos a un ejemplo.

m = opuestoadyacente


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SE SABE QUE UNA FUNCIN LINEAL TOMA LOS SIGUIENTESVALORES: f(2) =3 y f(4)=7. HALLAR LA ECUACION DE LA FUNCION

Bueno, lo que hago es escribir la ecuacin de una funcin lineal: f(x) = m x + b.Reemplazo ahora por los valores que me dieron:

f(2) = m. 2 + b = 3

f(4) = m. 4 + b = 7

Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas. Lo puedo resolver por cualquiermtodo.

Despejo b de la 1ray la reemplazo en la 2da:

b = 3 2 m 4 m + (3 2 m) = 7

4 m + 3 2 m = 7 2 m = 7 3

Reemplazo ahora m = 2 en cualquiera de las ecuaciones y saco b. Fjate :

Quiere decir que la funcin buscada es :

Ahora vamos a hacer esto para un caso general. Quiero obtener una frmula generalque va a valer para todos los casos . La idea es poder ahorrarme de trabajar con unsistema de 2 x 2 . Entonces :

m = 2 VALOR DE LA PENDIENTE

f(x) = 2 x -1


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Voy a resolver este sistema restando miembro a miembro. A la 1raecuacin leresto la 2da. Esto queda:

Vamos a ver si cumple con el ejercicio anterior. Yo tena f(2) = 3 y f(4) = 7. Tonces:

x1= 2 , y1= 3x2= 4 , y2= 7

Cul es el significado de esta frmula? Bueno, lo puedo ver en este dibujo:

Es decir, lo que hace la frmula es calcular la pendiente haciendo la cuenta opuestosobre adyacente.

OTRO EJEMPLO

USANDO LA FORMULA PARA LA PENDIENTE,CALCULAR m SABIENDO QUE f(2) = 1 y f(5) = -3

Entonces, tengo que tener una funcin lineal del tipo f(x) = m x + b donde lapendiente viene dada por la siguiente frmula:

m = y1 y2x1 x2

En este caso x2= 5, y2= -3 y x1= 2 e y1= 1. Entonces:

m = -3 - 1 = - 45 2 3

Fijate que me dio con signo negativo. Qu me indica el signo menos ?

PENDIENTE DE

LA RECTA


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Rta: Bueno, que la pendiente es negativa, es decir que la recta tiene que ir as:

Ahora planteo que:f(x) = - 4/3 x + b Reemplazo x por 2 y f(x) por 1:1 = - 4/3 . 2 + b De ac despejo b que me da:1 + 8/3 = b

La funcin lineal buscada es: f(x) = - 4/3 x + 11/3

OTRO EJEMPLO

UNA RECTA PASA POR EL PUNTO P = ( 3, -4) y SU PENDIENTEES m = - 2. HALLAR LA ECUACIN DE LA RECTA:

Lo que hago es esto: La ecuacin tiene que ser: y = - 2 x + b ( porque m = - 2 )

Como la recta pasa por x = 3 e y = - 4, reemplazo y me queda:

- 4 = - 2 . 3 + b

- 4 + 6 = b b = 2

La funcin dada va a quedar:

OTRO EJEMPLO

Ahora me dan este grfico y me piden hallar la ecuacin correspondiente. MirEs como si nos dieran 2 puntos. S que la recta corta al eje y en el punto -1.

Entoncesb = - 1. Ahora saco m. Los dos puntos por dondepasa la recta son (-1, 0) y (0, -1). Tengo 2 puntosy puedo sacar la pendiente con:

m = y2 y1 = -1 0 = -1 = -1 . Dio negativo.x2 x1 0 (-1) 1

Est ok porque la recta va as:La ecuacin buscada va a ser:

b = 11/3 ORDENADAAL ORIGEN

y = -2 x + 2

y = -1 x -1

-1

f(x)

-1


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INTERVALOSEsto lo vas a entender mejor si ves un ejercicio. Fijate. Copien. Dicto:

EJERCICIO

DADAS f(x) y g(x) DETERMINAR EL CONJUNTO A DEFINIDO

Lo que tengo que calcular son los x que a los reales tales que f(x) sea mayor oigual que g(x). Es decir, planteo:

3 x + 2 2 x -1Resuelvo esta inecuacin pasando a un miembro todo lo que tiene x.

3 x 2 x -1-2 x -3

Esta es la solucin analtica del problema. Voy a resolverlo ahora grficamente.Represento las 2 funciones:

Ahora, todos los x R tal que y1 y2son los x -3. Eso lo saco mirando el grfico.Veo que para cualquier x -3 la recta y1est siempre por arriba de la y2.Representando grficamente el intervalo obtenido me queda:

Vamos a otro ejemplo de intervalos. Si lo toman ? S, lo toman, pero es fcil.Fijate:

DADAS f(x) y g(x) DETERMINAR EL CONJUNTO A DEFINIDO

f(x) = -2 x +1 y g(x) = 4x +1.


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Piden lo mismo que antes. O sea, dar el intervalo en donde f(x) g(x). Bueno,planteo entonces que f(x) g(x), es decir:

-2 x + 1 4 x + 1 1 -1 4 x + 2 x 0 6 x 0 x x 0

Entonces el conjunto solucin ser:

Voy a representar las rectas en un grfico para verificar lo que hall:

Para hacer el grfico tuve en cuenta que las ordenadas al origen eran 1 para las2 rectas y que en un caso la pendiente era positiva y en el otro -, por lo tanto lasrectas deberan ir as y as respectivamente.

Grficamente la representacin del conjunto A es:

Mirando el grfico con las 2 rectas veo que siempre que tenga unx 0 , la funcinser mayor que la g(x). (esto era justamente lo que yo buscaba).

FUNCIN MDULO

Ac presten un poco de atencin porque siempre se confunden. Vamos a ver lafuncin MODULO de equis. Tomar mdulo significa considerar el valor absoluto dex. Esto se escribe: f(x) = x. Esto lo vamos a usar mucho. Le doy valores a x y sacolos de f(x). Es decir, si x = 1, xser 1. Si x = -1, el xser tambin 1.Matemticamente la funcin mdulo de x se define as:


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Represento esta funcin:

Esta funcin es como la funcin y = x pero igual de los 2 lados. El eje Y es el eje desimetra. Es como si el eje Y fuera un espejo.

EJEMPLO

GRAFICAR LA FUNCION f(x) = x - 2

Lo que hago es darle valores a xy formar una tabla:

Esta funcin es igual a la funcin mdulo de x ( lxl ) pero toda corrida para all

en 2 lugares. Vamos a hacerlo ahora en forma analtica, es decir, aplicando ladefinicin de mdulo.

Fjate. Tengo f(x) = x - 2. Eso significa que aplicando la definicin me queda:

Ahora, x -2 0 significa x 2 y x -2 < 0 significa x < 2. La funcin queda definidaas:


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Fjense ahora esta otra funcin: f(x) = x- 2. ser igual que la anterior?

RTA: NO. Voy a hacer una tabla con valores y la represento:

Es decir, lo que pasa es que todo el grfico se va para abajo en 2 unidades.Si tuviera f(x) = a.x me queda como la x pero ms abierta o ms cerrada.Supongamos que a = 2. Le doy valores a x y me queda:

Cul es la pregunta ? Qu para que sirve la funcin mdulo ?Rta: Eeehhhhmmm... Que se yo. Para nada. La matemtica es as. Uno define cosasy despus se pone a jugar con ellas. Cmo? Que ? Que estoy chapita ? S, s,los matemticos estamos re-chapitas ! ( Risas )

EL CASO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME

Este es un tema de fsica. Alguien cursa fsica ? En fsica la ecuacin de la

posicin de un mvil que se mueve con movimiento rectilneo y uniforme es:x(t) = xo+ v (t to)

Esta es una funcin lineal. V es la velocidad del mvil y xoes la posicin inicial.( Es el lugar de donde sali). toes la hora en el momento de salir.

Si tengo el caso de que xo= 0 y to= 0 me queda: x(t) = v.t

Esta es una ecuacin del tipo y = m x . Ac a y yo la llam xy a x la llam t. Lo

dems es lo mismo.Si tuviera por ejemplo x(t) = 2 Km/h. t , la representacin sera:


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Lo que tienen que ver ac es que si la velocidad del mvil es positiva, la recta va a iras: . Si la velocidad fuera negativa, la recta ira as . Esto es porque en elgrfico x = f(t), la velocidad del movimiento es la pendiente. Si los 2 mviles tuvie-ran la misma velocidad pero uno estuviera 3 Km. ms adelante que el otro, el grficoquedara:

Esto es porque la velocidad es la PENDIENTE. Si los tipos tienen igual velocidad, lasdos rectas debern ser paralelas (no importa de donde hayan salido)

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

Che, anoten esto porque lo toman. Supongamos que tengo 2 puntos P1y P2. Lascoordenadas del punto P1son ( x1, y1). Las coordenadas del punto P2son ( x2, y2).

Entonces la distancia que va de P1a P2se calcula con esta frmula:

d(P1, P2) =2 2

2 1 2 1(y -y ) + (x -x )

No voy a hacer la deduccin de esta frmula choclaza. Pero si lo penss un poco, vasa ver que sale de plantear el teorema de Pitgoras en el tringulo formado entre lospuntos P1y P2.

Che, ahora ojo, entiendan lo que estoy diciendo. Cuando digo "calcular la distancia"me estoy refiriendo efectivamente a la distancia real que hay de un punto a otro.

O sea, la distancia que vos podras ir y medir con una regla sobre el papel.Vamos a un ejemplo:

x x = 2 Km. th

t

3 Igual pendiente

Son paralelas


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CALCULAR LA DISTANCIA QUE HAY ENTRELOS PUNTOS P1( 1 , 4 ) Y P2( 3 , 2 )

Solucin: Bueno, hago un dibujito y escribo la frmula

La distancia va a ser: d(P1, P2) =2 2

2 1 2 1(y -y ) + (x -x )

Entonces: d(P1, P2) =2 2(2 - 4) + ( 3 - 1)

d(P1, P2) =2 2(- 2) + ( 2) = 8

Raz de 8 es ms o menos 2,82. Si hicieras el dibujito en escala en un papel, ladistancia entre P1y P2medida con una regla te dara 2,82 cm.


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FUNCIONES LINEALES - EJERCICIOS DE PARCIALES

Vamos a resolver algunos ejercicios que saqu de parciales.

Solucin:Esos puntos estn sobre la recta y = 3x son de la forma P = (a,3a)Nos dan la distancia al centro de coordenadas: 40 ( o sea, al punto (0 , 0)).Entonces, usamos la frmula de distancia entre dos puntos:

d(P1, P2) =2

12

2

12 )()( xxyy

40 = 22 )0()03( aa

40 = 10 a2__

a2= 4 a= 4 = 2

Nos dan dos resultados para a. Entonces tenemos dos puntos:

a = 2 y a = - 2

M MATEMATICA PRIMER PARCIAL TEMA 2

APELLIDO:.NOMBRES:.D.N.I:

INSCRIPTO EN: SEDE:DIAS:

HORARIO:AULA:

CORRECTOR: .

1. Escribir como intervalo o como unin de intervalos el conjunto

A ={x R/x4 > 5}

P = ( 2,6) P = (-2,-6)

En cada ejercicio escriba los razonamientos que justifican la respuesta


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Solucin:Pasamos multiplicando la x hay que ver las dos opciones

- Si x > 0 4 > 5 x x < 4/5 x (0 ; 4/5)

- Si x < 0 4 < 5x x > 4/5 no puede ser las dos cosas a la vez

Entonces, ese conjunto es igual a intervalo

Solucin: Nos piden que escribamos el conjunto A como un intervalo o unin deintervalos. Entonces:

Despejemos: Me conviene sacar denominador comn ( x + 4 )

Para que toda la fraccin sea negativa hay dos posibilidades:

Caso 1: ( 1 x ) < 0 y ( x + 4 ) >0Despejando de ( 1 x ) 1. Tambin se tiene quecumplir que ( x + 4 ) >0, o sea, x >- 4 . Representemos esto en una recta numrica:

Muy bien. La solucin que cumple con las dos desigualdades a la vez es S1= ( 1 ; + )

(0;4/5)

4x5 -1 < 0

4x5

< 1

4xx1

< 0

0 1-4

0)4( x4)( x.1-

)4( x5

0

)4( x4-x-5

0 1


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Caso 2: Se tiene que cumplir que ( 1 x ) > 0 y ( x + 4 ) < 0

De ( 1 x ) >0 me queda que 1 >x . De ( x + 4 ) < 0 me queda que x


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FUNCIONESCUADRTICAS


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ASIMOV FUNCIONES CUADRTICAS- 44 -

FUNCIONES CUADRTICAS

Qu es una funcin cuadrtica ? Rta: son las funciones que tienen esta forma:

Fjense que el valor a no tiene que ser cero porque sino estara en el caso de unafuncin lineal. Siempre en las funciones cuadrticas el dominio sern los reales yel codominio tambin. El grfico de una f cuadrtica es una parbola.

Vamos a graficar una funcin cuadrtica fcil Por ejemplo y = x2 Cmo hago ? Bueno, le voy dando valores a xy saco los de y. Formo esta tabla

Fjense que el grfico es simtrico. Es decir, de los dos lados es igual. La funciny = x2tiene la forma y = a x2+ b x +c. Lo que pasa es que ac a vale 1 y b y c valen

cero. (es decir, tengo y = 1.x2+ 0.x + 0). En el eje x uno mira eldominio.En el ejeyuno mira la imagen y el codominio. Puedo decir, mirando el grfico que:

Ojo, es importante que recuerdes la manera de escribir intervalos !

Vamos a graficar otra funcin cuadrtica un poco ms complicada: y = -2 x2 + 3.Hacemos la tabla y el grfico:

f(x) = a x2 + b x + c FUNCINCUADRTICA


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La parbola va para abajo. Eso pasa porque el trmino aes negativo. Siempre que asea negativo la parbola va a ir as: . ( Est triste ).Si a es positivo la parbola va a ir para arriba. ( Sonre )El vrtice de esta parbola est en el punto ( 0 , 3 ). El mximo est en x = 0. El eje

de simetra es el eje y. La imagen de la funcin ser: Im (f): (-, 3]

OTRO EJEMPLO: Representar y = (x -2)2+ 3

El ( x 2) hace que toda la funcin se corra para all en dos unidades.El +3 hace que toda la funcin se corra para arriba en 3 unidades.

El mnimo de la parbola est en x = 2. El eje de simetra es la recta x = 2.La imagen de la funcin es Im (f) = R 3

La funcin f(x) = (x2)2 + 3 no parece tener la forma f(x) = ax2+ bx +c. Sin embargoes una cuadrtica. Fijate. Hago el cuadrado del binomio y veamos que da:

f(x) = ( x 2 )2+ 3 = ( x2 2.2 x + 22) + 3

f(x) = x2 4 x + 4 + 3

f(x) = x2 4 x + 7

Es lo mismo escribir la ecuacin de cualquiera de las dos maneras ?Rta: SI, es lo mismo. Lo que pasa es que si quiero graficar, la primera manera mepermite hacerlo prcticamente sin tener que hacer una tabla.

Por ejemplo quiero que dibujen a ojo esta funcin: Y = -3( x + 1)2+ 4. Vayanpensndolo. Listo ? Bueno. a ver que hicieron ?El + 1 me dice que la funcin est corrida para all en 1 unidad. El + 4 me diceque la parbola est corrida en 4 unidades para arriba. El - del 3 indica que va para

abajo. De manera que el grfico tiene que dar algo as:

cuadrado del binomio


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El 3 que significa ? Bueno, solamente me dice si la parbola va a ser ms anchao ms angosta. ( as o as )Ahora quiero poner todo esto en forma general. Supongamos que tengo la parbolaescrita en la forma f(x) = a (x - )2+

Eso querr decir que el vrtice est en el punto (,)

Ojo, (

,

), NO (-

,

). Recuerden esto.Si aes positiva la cosa ir para arriba (sonriente ). Si aes negativa la cosa iraas (triste).

El eje de simetra ser la recta x = .

VRTICE DE UNA PARBOLA

Hay una cosa que se llama completar cuadrados. La deduccin no la voy a hacer.

Les voy a dar las frmulas finales. Estas frmulas sirven para escribir la parbolaen la forma y = a (x - )2+ , si a uno se la dan escrita en la forma f(x)= ax2+ bx +c.Las dos frmulas son:

Vamos a hacer un ejemplo. Me dan la parbola f(x) = 2 x2 4 x +7. Tengo: a = 2 ,b = -4 y c = 7. Entonces :


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Tener formulitas as no es muy lindo. Vamos a ver esto. Cmo s donde corta laparbola al eje x ? Rta: Bueno, tengo que aplicar una frmula que te debs acordar.Es la frmula de la resolvente de la cuadrtica:

Para una de las soluciones uso el signo +, y para la otra uso el signo - . De ah saco las2 races x1y x2. Raz quiere decir que ah la funcin corta al eje x.

Hay 3 casos posibles. Puedo tener 2 races, 1 raz o ninguna raz. Cundo tengo dos races ? Bueno, llamemos al trmino b24ac, discriminante ().

* Si el discriminante es positivo, tendr dos races.* Si el discriminante es cero, tendr una sola raz* Si el discriminante es negativo, no tendr ninguna raz.

La representacin de los 3 casos es:

RECTA TANGENTE

Es una recta que roza a la funcin en un punto. Es decir, no corta a la funcin, sinoque pasa justo por ah apenas tocndola. Por ejemplo:

Supongamos que me dan: f(x) = ( x 2 )2+ 1.

Segn lo que vimos el grfico da as:


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Si me piden trazar la recta tangente a la parbola en el punto x = 1 y x = 2 tendraque hacer lo siguiente:

Lo que quiero que veas es esto: cuando la funcin crece, la pendiente de la rectatangente va a ser positiva. Cuando la funcin decrece, la pendiente de la rectatangente va a ser negativa. y cundo tengo un mximo o un mnimo que pasa ?Rta: Bueno, la pendiente de la recta tangente va a dar CERO. Todo esto lo vamosa usar mucho despus cuando veamos derivadas e integrales.

Veamos un ejemplo:Me dan la parbola y = - (x + 1) + 2. Me piden graficarla. Eso da as:

Las coordenadas del vrtice son x = -1 e y = 2. Las escribo de la otra manera:f(x) = - ( x + 1 )2+ 2 = - ( x2+ 2x + 1) + 2

f(x)= - x2- 2x - 1 + 2

f(x)= - x2 2 x + 1

Cules son las races ? Bueno aplico la formulita:


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CONJUNTO DE POSITIVIDAD

Son los valores de x en donde la funcin es positiva. Para saber donde una funcines positiva, lo que tengo que hacer es mirar el grfico y ver si la curva est porarriba o por debajo del eje x. Eso es todo.Si miran el grfico van a ver que la funcin toma valores positivos para los valoresde x comprendidos entre las dos races. Es decir:

Al conjunto de positividad lo vamos a designar como C+y en este caso va a ser:

Tambin podemos hablar de conjunto de negatividad. Ese conjunto seran los valoresdel dominio tales que en ellos la funcin es negativa. Lo designamos como C-y eneste caso sera:

El lugar donde la funcin no es positiva ni negativa son los x tal que en ellos lafuncin corta al eje x. Lo designamos como C0y en este caso sera:

Vamos a este otro ejemplo:

Hallar el conjunto de positividad de la parbola: f(x) = ( x 2 )2 2

Lo primero que hago es graficar la funcin. Veo que va para arriba y est corrida en2 a la derecha y en 2 para abajo. Ahora hago el dibujo.


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Para saber donde corta la parbola al eje equis, desarrollo el binomio al cuadrado.Lo hago para tener escrita a f en forma de ax2+ bx + c.

f(x) = ( x 2 )2 2 = ( x2- 2.2 x + 4) - 2

f(x) = x2 4x + 4 - 2

f(x) = x2 4x + 2

Tengo as: a = 1 b = - 4 c = 2

Hago la frmula b etc, etc y me queda:

x1= 2 - 2 x2= 2 + 2

Los conjuntos de positividad y negatividad van a ser:

C+= (- , 2 - 2 ) ( 2 + 2 , +)

C-= (2 - 2 , 2 + 2 )

C0= {2 - 2 ; 2 + 2 }

Esto no es difcil. Hagan los ejercicios de la gua. Es siempre lo mismo. Grafican laparbola, se fijan donde corta al eje x y despus hallan los conjuntos de positividady negatividad.

INTERSECCIN ENTRE UNA RECTA Y UNA PARBOLA

Una recta y una parbola se pueden cortar o no. Tengo los siguientes casos:

Vamos a hacer un ejemplo:

HALLAR LA INTERSECCIN ENTRE LA RECTAg(x) = 3x + 2 Y LA PARBOLA f(x) = 2x2+ 8x -1


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Bueno, lo que hago es graficar la recta y la parbola y ver donde se cortan.

Lo que hice fue resolver el ejercicio grficamente. Ahora quiero resolverlo analti-camente. Qu hago ? A ver, piensen. Claro, tengo que igualar las dos ecuacionesy despejar x. Entonces: Hago f(x) = g(x) :

2x2+ 8x - 1 = 3x + 2

2x2+ 8x - 3x - 1 - 2 = 0

2x2+ 5x - 3 = 0

Aplico la frmula para las races de la ec. cuadrtica y me da:

Estas son las coordenadas de x donde se cortan la recta y la parbola. Para hallarlas coordenadas y, lo que hago es reemplazar x1y x2 en la ecuacin de f(x) o de g(x).Si hice todo bien, tendra que dar lo mismo. Si hago eso me da:

g(-3) = 3(-3) + 2 = -7

g(1/2) = 3(1/2) + 2 = 3.5

Entonces, los puntos de encuentro son:


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Quiero que veas ahora otra aplicacin de todo este tema de funciones cuadrticas.Vamos a hacer el problema del rendimiento de la nafta.

PROBLEMA:

EL RENDIMIENTO DE NAFTA r (EN Km/LITRO) DE UN AUTOMOVIL ESTRELACIONADO CON LA VELOCIDAD ( EN Km/h ) POR LA FUNCIN:

r(v) = -1/3 v2+ 60 v con 0 < v < 180

a) HALLAR LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES EL RENDIMIENTO DE NAFTAAUMENTA CON v Y LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES EL RENDIEMIENTODE NAFTA DISMINUYE.

b) HALLAR LA VELOCIDAD PARA LA CUAL EL RENDIEMITNO ES MXIMO YCACULAR DICHO RENDIMIENTO.

a) Tengo que graficar la funcin r(v) = -1/3 v2+ 60 v. Esto me va a dar una parbolaque va para abajo. Fijate que el domino est restringido (la funcin solo paravalores de v comprendidos entre 0 y 180 Km/h.

Para graficar, hago lo de siempre. Calculo las coordenadas del vrtice.

Haciendo las cuentas me da:

a) Entonces veo que el rendimiento de nafta aumenta en ( 0, 90 ) y disminuyeen ( 90, 180 ).

b) La velocidad para la cual el rendimiento es mximo es v = 90 Km/h. El mximorendimiento ser r = 2.700 Km/L.


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PROBLEMA: Se lanza una pelota desde 25 m de altura. Piden hacer el grfico de laposicin en funcin del tiempo y preguntan en que momento la pelota vuelve a estara 25 m de altura. Dan como dato la ecuacin de la posicin en funcin del tiempo quees: s(t) = - 16 (t-3)2+ 169 Para t 0

Hago el grfico de esto. Las coordenadas del vrtice son ( 3, 169 ). Vamos a verdnde corta esta funcin al eje t. En este caso como tengo expresada la funcin enla forma y = a (x-)2+ . Puedo directamente despejar directamente ( t - 3)2sinusar la frmula para la ecuacin cuadrtica. Igualo a cero:

- 16 (t -3)2+ 169 = 0

- 16 (t -3)2= -169

(t -3)2= 16169

Los 2 signos menos se cancelan. Ahora lo que no se tienen que olvidar es que cuandopasan el 2al otro lado como raz cuadrada, esa raz tiene doble signo.

Miren:

(t -3)2=16

169 t 3 = 16

169 t 1,2= 3 3,25

Si hubiera hecho esto aplicando la frmula para la ecuacin cuadrtica me

hubiera dado lo mismo ?Rta: S, claro. TIENE QUE DAR LO MISMO. (Probalo). El grfico queda:

Si me preguntan en que momento pasa otra vez por la posicin s = 25 m, la respuestaes a los 6 segundos. Eso lo veo mirando el grfico. Uno puede evaluar s = 25 m en laecuacin, pero yo quiero que vean que la parbola es simtrica alrededor de la rectavertical x = 3. Por eso s que a los 6 segundos va a volver a estar a los 25 m.De cualquiera de las 2 maneras que lo hagan est bien. Pero no se olviden esteasunto de la simetra de las parbolas. Puede ser que lo tengan que usar en algn

caso, como por ejemplo en ste de recin.


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FUNCIONES CUADRATICAS - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES

Este ejercicio no es complicado, slo tens que leer bien el enunciado y ordenar loque te piden. Vamos. Tenemos que encontrar la ecuacin de la recta que pasa por elvrtice de la parbola y = (x +1) (x + 7) y pasa por el punto en que la parbola cortaal eje y.Calculemos el vrtice de la parbola. Como la parbola es simtrica, las races van aestar a la misma distancia del vrtice. Entonces a xvla podemos calcular as:

Como la parbola est escrita como un producto, las races estn a la vista:

xraz 1 = -1 y xraz 2= -7

Reemplazando en la ecuacin para calcular el vrtice:

xv= - 4

Para calcular yvreemplazamos en la ecuacin de la parbola y = (x +1) (x + 7)

yv= (- 4 +1) (- 4 + 7)

yv= - 9

Llegamos a uno de los puntos por los que pasa la recta es: P1= (-4, - 9 ). Busquemosel punto donde la parbola corta al eje y, esto ocurre cuando x = 0.

y = (0 +1) (0 + 7) y = 7

El otro punto por el que pasa la recta es: P2= (0 , 7). Con estos dos puntos podemosconstruir la recta. Bueno, lo que hago es escribir la ecuacin de una funcin lineal:f(x) = m x + b. Reemplazo ahora por los valores de P1y P2:

f(- 4) = m. (- 4) + b = - 9

f(0) = m. 0 + b = 7Esto es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:

xv= (xraz 1 + xraz 2)2

xv= (-1)+ (-7)2


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Reemplazo b en la 1er ecuacin para calcular m

- 4 m + b = -9 - 4 m + 7 = -9

- 4 m = -9 7

Rta : La ecuacin de la recta queda as

La funcin cuadrtica tiene esta forma: f(x) = ax2+ bx + c. Tenemos tresincgnitas: a, b y c. Entonces, necesitamos tres ecuaciones. Las sacamos de los

datos que nos dan:- Pasa por el punto (-3 , 16) f(-3) = a (-3)2+ b (-3) + c = 9a 3b + c = 16

- La abscisa del vrtice es - 4 xv=a

b

2 = - 4

- Pasa por el punto (-4 , -2) f(-4) = a (-4)2+ b (-4) + c = 16 a 4b + c = - 2

Si resolvemos este sistema de tres ecuaciones, nos queda la funcin

a = 18, b = 144 y c = 286

f(x) = 18 x2+ 144 x + 286

Los ceros de esta funcin los podemos calcular con la formulita:

a

acbb

2

42 Los ceros son -11/3 y -13/3

El dominio nos queda dividido en tres intervalos (lo dividimos en los ceros).

Vemos que es positiva en

m = -16 VALOR DE LA PENDIENTE

- 4 m + b = -9b = 7

y = - 16 x + 7

(-, -13/3) U (-11/3, +)


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2. Sea f(x)= .Hallar el valor de c R de manera que

la imagen de f sea el intervalo [-3;+). Para el valor de

c encontrado,hallar el conjunto de positividad de f

La funcin tiene un mnimo en el vrtice. La abscisa del vrtice la calculamos como

xv=a

b

2 . En este caso, nos da xv= -1

Entonces, el mnimo valor de la funcin va a ser

f(-1) = 3/4(-1)2+ 3/2(-1) + c = c 3/4

Nos piden que la imagen de la funcin sea [-3 ; +) el mnimo es -3

c 3/4 = -3 c = -3 + 3/4

Entonces, la funcin nos queda f(x) = 3/4x2+ 3/2x 9/4

Calculamos los ceros:a

acbb

2

42 1 y - 3

El dominio nos queda dividido en tres intervalos:

(-; -3) f (-4) = 15/4> 0(-3; 1) f (0) = -9/4 < 0(1; +) f (2) = 15/4> 0

El conjunto de positividad es

FIN FUNCIONES CUADRTICAS

cxx ++2

3

4

3 2

c = -9/4

(-;-3) U (1 ;+)


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ASIMOV POLINOMIOS- 57 -

* CONTINUIDAD

* POLINOMIOS

* COMPOSICIONDE FUNCIONES

CONTINUIDAD - TEOREMA DE BOLZANO - DIVISIN DEPOLINOMIOS - TEOREMA DEL RESTO - INTERVALOS DEPOSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD - COMPOSICION DEFUNCIONES

UN POLINOMIO DEGRADO 4to. ( CORTA4 VECES AL EJE X )


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CONTINUIDAD DE UNA FUNCINVamos a ver ahora el tema de funciones continuas y discontinuas. No es difcil.Presten atencin.

FUNCIN CONTNUAUna funcin es continua cuando para dibujarla NO necesito levantar el lpiz de lahoja. Por ejemplo:

Creo que esto lo entienden no? En x = 3 la funcin es discontinua. Pega un salto.Para poder dibujarla necesito levantar el lpiz de la hoja. Esa es la idea.Ahora miren esto:

Fjense que esta funcin es discontinua en los puntos x = 1 y x = 5. Esto lo veomirando el grfico. En todos los otros puntos la funcin es continua. Las funcioneslineales (rectas) y las cuadrticas (parbolas) son SIEMPRE CONTINUAS.Supongamos que me dan una funcin que est definida en 2 partes:

En x = 2 la funcin es continua. Cambia su forma pero es continua. Vamos a afinarms la definicin de continuidad. Decimos as:

Una funcin es continuaen un punto si acercndose por laderecha o por la izquierda la funcin tiende a valer lo mismo.FUNCINCONTNUA


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Para el ejemplo que les di, si me acerco al punto x = 2 viniendo as, la funcintoma el valor 4. Si me acerco a x = 2 viniendo asla funcin tambin vale 4. Estome est diciendo que la funcin es continua en x = 2.

Vamos a este otro ejemplo: Me dan una funcin que est definida de esta manera:

Voy a hacer el grfico. Puedo hacerlo dando valores o pensando un poco. La primeraparte es una parbola y la segunda parte es una recta. Esto da algo as:

Pregunto: Es continua la funcin en x = 1 ? Rta: Bueno, acerqumonos por derechay por izquierda y veamos que pasa:

Veo que viniendo por la derecha la funcin vale 5 y viniendo por la izquierda lafuncin vale 2. Eso me est diciendo que la funcin no es continua.

Vamos a este otro ejemplo. Una funcin que est partida en 3. Viene definida as:

De acuerdo a lo que me dice la definicin, voy dibujando la funcin. Primero dibujo lo

que pasa antes de llegar a 2, despus justo en 2 y despus para x mayor que 2.Da algo as:


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Miren bien, chicos. Es continua ? No. A ojo ya ve que no es continua porque eldibujo pega un salto en x = 2. Lo ven ?Ojo ! La funcin en x = 2 ! Ah f(x) Vale cero. Sin embargo no es continua. Parapoder probar esto tengo que aplicar la definicin rigurosa que es la de iracercndose por izquierda y por derecha.

Si hago eso, veo que viniendo asla funcin vale - 1. En cambio, si vengo as la funcin vale 5. Ser continua la funcin ? Rta: NO, porque los valores no coinciden.

Vamos a ver esto: quiero que tengan una idea del concepto de asntota. Esto lovamos a usar mucho despus. Miren: tenemos una funcin que va de los reales a losreales definida como:

Lo que quiero que vean es, a ver, qu pasa con la funcin cuando me voy acercandoal origen ? Bueno, la funcin se hace se hace asinttica al eje y. Bueno, y... Qusignifica esto? Significa que la curva se acerca ms y ms al eje pero nunca lo corta.Digo entonces que la funcin tiene una asntota vertical en x = 0, La asntota es el

eje y. Y que pasa cuando tomo valores de x muy grandes ? (100, 1.000, 1.000,000). Lafuncin se acerca ms y ms al eje x pero nolocorta. entonces el eje x qu es?Rta.: Una asntota horizontal cuando x tiende a infinito. Del lado negativo de lafuncin pasa exactamente lo mismo lo ven ?

TEOREMA DE BOLZANO

No voy a dar la demostracin de este teorema. Solo quiero que entiendan la idea.Tengo una funcin continua en un intervalo. Supongamos que de un lado del intervaloes negativa. Eso quiere decir, dice Bolzano, que obligatoriamente, dentro de ese


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intervalo, hay un punto en el cual la funcin vale cero. Miren el dibujo.

Entonces, resumiendo: si en un intervalo (a,b) una funcin cambia de signo, en eseintervalo habr un cero de la funcin. Lo ven ?

EJEMPLO:Me dan una funcin continua y me dicen que slo tiene dos ceros. Pero no

me dan la funcin, me dan un tabla:

x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2f(x) 3 2 - 3 - 4 2 3 4

Dibujemos estos puntos en un grfico y contestemos esto: En qu intervalos deamplitud 1 estarn los ceros de f ?

Me fijo en qu intervalo la funcin cambia de signo. Veo que eso pasa en (-3, -2 )y en (- 0). Entonces en esos intervalos estarn los dos ceros de la funcin. Cmo es el dibujito de la funcin ? Rta: no lo s. No s que forma tiene.Lo nico que s que corta al eje x en los intervalos que marqu. Lo repito ?Ahora veamos esto. Supongamos una funcin continua que tiene ceros en x x2, x3y x4 Qu pasa si estos ceros son consecutivos ? Podra la funcin tener estaforma?


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Pasa que entre dos ceros consecutivos la funcin no puede cortar al eje x. Esoquiere decir que entre dos ceros consecutivos, la funcin debe tener todo el tiempoel mismo signo. Es decir, todo el tiempo ser positiva o todo el tiempo negativa.

Para qu me sirve esto ? Rta: Para poder determinar intervalos de positividady negatividad. Pongamos esto en forma matemtica:

La funcin podr ser positiva en ese intervalo o negativa en ese intervalo. Pero nopodr cambiar de signo.

EJEMPLO:Me dan una funcin continua cuyos nicos ceros son: f(-1) = 0 y f(1) = 0, Adems medicen que: f(-2) = f(2) = 2. Piden dibujar la funcin en forma aproximada.

Como es exactamente el grfico de f, no lo se. Sin embargo se que va a tener esta

forma:

Esto es todo lo que hay que saber sobre el teorema de Bolzano.

FUNCIONES POLINMICAS

Son funciones de este tipo:

Ojo, las funciones cbicas no siempre tienen esta forma

SI TENGO UNA FUNCIN CONTINUA QUE TIENE 2 CEROSCONSECUTIVOS X1y X2, ENTONCES:

X (x1,x2) , F(X)> 0 o F(X)


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Lo mismo con las curticas. No siempre son parbolas. Puede haber curticas ycbicas que sean as :

Un polinomio es una cosa que tiene esta forma:

A esto se lo llama funcin polinmica. Ojo, algunos de los trminos pueden ser cero.Por ejemplo puedo tener algo as:

Ac los valores de cada trmino son:

Si el polinomio fuera :

A la potencia ms grande que tiene el polinomio se la llama GRADO DEL POLINO-MIO. Por ejemplo, las funciones lineales son polinomios de grado 1. Las funcionescuadrticas son polinomios de grado 2. Las funciones cbicas son polinomios de grado3 (y as siguiendo).Y qu pasa con las constantes? (los nmeros). Por ejemplo, qu grado tiene elpolinomio f(x) = 2 ? Piensen A qu potencia est elevada la x ?Rta: A la cero. Por lo tanto f(x) = 2 es un polinomio de grado cero.

Vamos a hacer un ejercicio. Me dan esta funcin polinmica y me piden hallar losceros y los intervalos de positividad y negatividad.

Qu tengo que aplicar ? El teorema de Bolzano. Bolzano slo vale para funcionescontinuas. Eso antenlo. Los polinomios de cualquier grado son siempre funcionescontinuas. Vamos a buscar los ceros de la funcin que me dan. Igualo a cero :

= 0


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Qu hago? Hago distributiva? Nooooo ! Al revs !! Si hago distributiva mecomplico ms. Piensen. Si cualquiera de los parntesis da cero, la funcin dar cero.Entonces las 3 posibilidades van a ser:

De ac sale:

Fjense una cosa. Un polinomio de grado n podr cortar al eje x a lo sumo (comomximo) en n puntos. Por lo tanto, un polinomio de grado n tendr como mximon races. Eso es importante. Busquemos ahora los intervalos de positividad ynegatividad. Tengo que los ceros de la funcin estn ubicados as:

Lo que hago entonces es darle a la funcin valores que estn dentro de estosintervalos. Como estos son todos los ceros de la funcin, en esos intervalos lafuncin tendr siempre el mismo signo. Tena:

Entonces:

Hago una tablita con los signos que obtuve y ya puedo dibujar aproximadamente

la funcin. Queda algo as :


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Los conjuntos de positividad y negatividad van a ser:

OTRO EJEMPLO

Dado el siguiente polinomio hallar los ceros y los intervalos de positividad ynegatividad:

Cmo hago en este caso? Bueno. Ac tengo que darme cuenta de que puedo sacarequis factor comn en el 1er parntesis. La cosa quedara:

Igual que antes, tengo 3 posibilidades para que todo el bicho d cero. Estasposibilidades son:

De ac saco todos los valores de x que hacen cero el asunto. (ojo van a ser 5)Lo que sigue es todo igual al ejercicio anterior. Creo que lo pueden hacer solos.Chicos, les recomiendo que no se atrasen. Hagan los ejercicios de la gua.Cualquier cosa que no entiendan, pregunten.


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EJERCICIO:

DADA LA FUNCIN

PROBAR QUE f TIENE CEROS EN LOS INTERVALOS ( 1 , 2 ), ( 4 , 5 ) Y ( 41 , 42 )

Para resolver esto uso el teorema de Bolzano: si de un lado del intervalo la funcines positiva y del otro lado es negativa, quiere decir que por el medio la funcindeber ser cero. ( Esto vale para funciones continuas, no se olviden) Qu tengo que hacer ? El primer intervalo que me dan es el (2). Entonces tengoque reemplazar x = 1 en la funcin y x = 2. Si uno da positivo y otro da negativo, esoquerr decir f tiene un cero en ese intervalo. Veamos:

La funcin tiene un cero en el intervalo (2). Voy ahora al intervalo (4; 5). hay que

hacer todas las cuentas. Yo les pongo el resultado:

Por el teorema de Bolzano la funcin tiene un cero en el intervalo (1,4; 1,5). Parael intervalo (41 ; 42) me da: f(41) = -0,028 ; f(42)= 0,039. Bueno, as vamosconociendo con ms exactitud el valor de la raz. Sabemos que est entre 41 y 42. Podra haber MAS de una raz en ese intervalo ? Piensen. Si, podra. El enunciadono aclara nada al respecto. Lo que sabemos es que por lo menos hay una raz.

Hay algunos ejercicios que piden hallar un cero de la funcin con un error menor

que 0,001. Lo que estn pidiendo es que calcule x con 3 decimales. Eso es todo.Lo que hay que hacer es esto: s que la funcin tiene una forma as:


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Tengo que ir probando con muchos valores entre 1,41 y 1,42. Hasta lograr un valorde x tal que f(x) sea menor que 0,001.Uno no puede saber a priori dondeest la raz. Sabe que est entre 1,41 y 1,42,pero dnde ? Entonces voy dando valores. Voy probando hasta pegarle. Se quees un plomo pero es as. Difcil que tomemos esto en el parcial. No nos interesa quese maten haciendo cuentas.

Los ejercicios que siempre se toman son parecidos a estos pero tienen una variante.Suele dar un polinomio de grado cbico como por ejemplo:

y dicen que una de las races es 1. Suelen pedir hallar todas los dems races eindicar los intervalos de positividad y negatividad. Para poder resolver ejerciciosde este tipo tienen que saber factorear polinomios. Ese es el tema que voy aexplicar la clase que viene.

DIVISION DE POLINOMIOS

Supongamos que quiero dividir f(x) = 2x4 3x3+ x2 4 por g(x) = 2 x2+ 3x - 1.Voy haciendo esto:

La divisin se termina cuando el resto tiene grado menor que el cociente. Siempre el

cociente de la divisin por el divisor ms el resto me da el polinomio original.Quiere decir que:


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En el caso anterior:

TEOREMA DEL RESTO

Supongamos ahora que tengo un polinomio f(x) y lo divido por (x-a).

Entonces, puedo decir cual va a ser el resto de la divisin (sin dividir los polinomios)Estoy dividiendo un polinomio f(x) por otro de la forma ( x a ). En este caso a = 1.Entonces reemplazo x = 1 en el polinomio:

OTRO EJEMPLO:

HALLAR EL RESTO AL DIVIDIR

En este caso vuelvo a usar el teorema con a = -3. Entonces Lo que hay que haceres slo aplicar el teorema.


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Resto = - 53

Qu pasa ahora si el nmero a es justo una raz del polinomio ?Rta: Tiene que pasar que f(a) es cero, es decir, el resto ser cero. Esto lo vamos

a usar. Traten de entenderlo.Vamos a hacer un ejemplo. Supongamos que me dan:

Y me dicen que x = - 1 es una raz. Me piden sacar las otras 2 races. Cmo hago ?Primero pruebo a ver si x = - 1 es efectivamente una raz:

Lo que hago es dividir el polinomio que me dan por el trmino ( x la raz). Entonces,en este caso me queda ( x (-1) ) = x + 1. Hago la divisin choclaza :

Qu logr con esto? Logr que ahora puedo expresar el polinomio como:

Esto es lo que se llama factorear el polinomio. Con el polinomio factoreando yapuedo saber las dems races. El parntesis (x2 4) lo puedo poner como:

Entonces las 3 races del polinomio que me daban son:

Teniendo las 3races ahora podra hallar los intervalos de positividad y negatividad.

A eso apunta todo esto. La idea es que aprendan a factorear polinomios para hallarlos intervalos de positividad y negatividad. Eso es todo.


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Si por ejemplo, me dicen que tengo un polinomio de grado 3 cuyas races son x1 = 1 ,x2 = -3 y x3 = 4, eso quiere decir que el polinomio tiene que tener la forma:

Lo nico que hay que darse cuenta es de que todo el polinomio podr estar multipli-cado por un nmero a, y las races seguiran siendo las mismas. Es decir que puedoponer a f(x) como:

El valora podra ser cualquier nmero ( 2, 3, etc)

EJEMPLO:

HALLAR UN POLINOMIO DE GRADO 3 QUE TENGA RAICESEN x = 0, en x = 3, en x= -3 y QUE EN 2 VALGA (f(2) = 1)

Hago lo mismo que hice recin. Me dicen que las races son: x1= 0, x2= 3 y x3= -3.Quiere decir que el polinomio tendr que tener la forma:

Pero atencin! Todo esto puede estar multiplicado por un nmero a. Entonces:

Hasta ac vamos bien. Ahora hay que considerar la parte que dice que f(2) tieneque ser 1. Hago:

Entonces el polinomio pedido es:

OTRO EJEMPLO:

DICEN QUE LA TEMPERATURA EN FUNCIN DEL TIEMPO SIGUE ESTA FUNCIN:


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ACLARAN QUE PARA ESTA FUNCION t = 0 CORRESPONDE A LAS 6 DE LA MAANA.

Hago la representacin de f(t) que me da as:

Los intervalos de positividad y negatividad son los que marqu. Supongamos queme piden probar que entre las 12 y las 13 horas la temperatura fue de 32 C.Hay que darse cuenta que la equivalencia es la siguiente:

Lo que estn pidiendo entonces es probar que para t comprendido entre 6 y 7 lafuncin vale 32. No se compliquen, chicos. Miren el grfico. Le di a t el valor 6 y

que pas? Obtuve que la temperatura a esa hora (las 12) era 32,4. Veamos quepasa una hora despus. Una hora despus significa las 13 hs, es decir, t = 7.Le doy el valor t a la funcin y saco la temperatura.

Entonces qu pasa? Pasa que la representacin sera la siguiente:

La funcin es continua. Quiere decir que si en un momento la temperatura era de32,4 C y en otro momento era de 29,75 C, debi haber algn momento intermedioen donde la temperatura fue de 32 C.


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EJERCICIO

HALLAR UNA FUNCIN DE GRADO 3 SABIENDO QUE CORTAAL EJE X EN LOS PUNTOS 0, 1 y -3 Y ADEMS f(-1) =1.

Lo que hago es poner el polinomio en su forma factoreada. Las races son: x1= 0,x2 = 1 yx3= -3. Entonces el polinomio va a ser :

Ahora, no me tengo que olvidar que en su forma general el polinomio estmultiplicando por un nmero cualquiera a. Entonces:

Me piden ahora que f(-1) valga 1. Le doy a la funcin el valor - 1 y lo igualo a 1.

El polinomio buscado es:

EJERCICIO

SABIENDO QUE EL POLINOMIO

CORTA AL EJE EN X (2 , 0), CALCULAR:a) TODOS los puntos del grfico donde f corta al eje x.

b) Los intervalos de positividad y negatividad C+y C-c) Hacer el grfico aproximado de f.

Este tipo de ejercicios tienen que saberlos porque siempre los tomamos en losparciales. S que una de las races es x = 2. Entonces puedo factorear al polinomiodividindolo por (x-2). Fjense:


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El resto tiene que ser cero por el teorema que dice que si a es raz del polinomio,

el resto vale cero. Entonces divido.

El polinomio factoreado queda: f(x) = ( x 2 ) ( x2+ 1/2 x - ) + 0. Para sacar lasraces del parntesis ( x2+ 1/2 x - ) lo igualo a cero y uso la ecuacin cuadrtica:

Entonces, las races del polinomio f(x) son: x1= 2 , x2= y x3= -1

Puedo escribir a esto como:

Ya contest el punto a) que peda hallar los puntos donde f(x) corta al eje x.Voy al punto b), que pide los intervalos de positividad y negatividad. Entonces

voy a escribir el polinomio en su forma factoreada. Eso queda:f(x) = (x-2) (x ) (x+1)

Ahora hago la tablita:


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No hace falta que hagan toda la cuenta. Interesa solamente el signo que la funcintoma en ese intervalo.

c) Sabiendo los intervalos de positividad y negatividad puedo dibujar el grfico

aproximado de f. Eso da as:

Quiero aclararles una cosa. Supongamos que tengo un polinomio como este :

Cuidado ! Para hacer la divisin la divisin de este polinomio por otro tengo primeroque completar el polinomio original con los trminos que faltan. En este caso dara:

ECUACIONES BICUADRTICAS

Chicos, miren un poquito esta ecuacin:

Lo que hay que hacer para resolver estos ejercicios es llamar con otra letra a x2.

Por ejemplo y. Me queda:

Esto si lo se resolver. Es una cuadrtica comn. De ac saco 2 valores, y1e y2.bueno, usando la cuadrtica me da:

Pero atencin ! Ahora para sacar los x, tango que hacer: x= y (porque y eraigual a x2) De manera que en realidad obtengo 4 valores por el doble signo de la raz.


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Estos 4 valores son:

Las ecuaciones bicuadrticas no tienen nada de complicado. Slo hay que hacer elreemplazo x2igual a y para despus hacer las cuentas. Qu es lo nico de loque no me tengo que olvidar ? Rta. Del doble signo de la raz al hacer x= y .Esto es todo.

EJERCICIO TIPO PARCIALHALLAR LAS RAICES DEL POLINOMIO

SABIENDO QUE CORTA AL EJE X EN X = - 2.

Bueno, ac se que -2 es raz de la ecuacin. Entonces puedo dividir al polinomio queme dan por ( x + 2 ) y el resto dar 0. Entonces, completo el polinomio y lo divido:

El polinomio factoreado queda as:

Ahora... Cmo factoreo al polinomio

Bueno, tengo que darme cuenta de que puedo sacar el x como factor comn. Quierodecir que puedo poner:

Las races del parntesis de la derecha las puedo sacar aplicando la cuadrtica.


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Si hago todas las cuentas me da:

Es decir, 1 es raz doble. Puedo factorear ahora a 3x2- 6x + 3. Lo puedo ponercomo a (x - x1) (x - x2). Me queda:

Finalmente el polinomio f(x) factoreado ser:

COMPOSICIN DE FUNCIONESSi uno tena un conjunto de partida A, yo agarraba un elemento x de A y lo mandabaa B a travs de la funcin f(x). Eso lo simbolizamos con este dibujo.

Se acuerdan? Qu pasa ahora si a lo que obtuve (f(x)), le aplico a su vez unafuncin g y lo mando a un conjunto C? En ese caso el dibujo sera as:

Esto que hice se llama hacer una composicin de funciones. Es decir, componer auna funcin f con una funcin g es hacer la cuenta g[f(x)]. Vamos a anotarlo as:

No se preocupen mucho por esto ahora. Ya lo van a entender mejor al hacer losejercicios. Miren este :


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EJEMPLO:

DADAS LAS FUNCIONES

HALLAR f COMPUESTA CON g Y g COMPUESTA CON f.

Analicemos primero las funciones que me dan:

Analicemos lo que obtuve. Al hacer la composicin me dio:

Lo hago ahora al revs. Hago f o g (x). Me da:

Quiero que vean que componer f con g no es lo mismo que componer que componerg con f. ( Lo vieron, no ? )


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Ahora vamos a este otro caso: Supongamos que me dan

Qu pasa si quiero hacer f de g(x) ? Veamos:

Fjense. No le puedo dar a esta funcin que obtuve el valor x = -1.La funcin 1/x+1 no existe en x = -1. Entonces:

Lo que quiero que vean es que la composicin f o g se va a poder hacer siempre que laimagen de g(x) est dentro del dominio de f. Es decir:

OTRO EJEMPLO

Cules son el dominio y la imagen de la composicin?

Hagamos ahora el revs y vamos que pasa:


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OTRO EJEMPLO MAS

Los dominios y las imgenes de estas funciones son:

Fjense que puse que la Im de f(x) eran slo los reales mayores o iguales que cero.Eso lo hice para que la funcin f(x) = x fuera funcin: Hago primero g de f de x:


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Vamos ahora a esto otro:

Lo que quiero que vean es sto Qu pas con el grfico original de la funcin x2?Bueno, hagamos algunos dibujos:

A qu voy? Voy a que componer una funcin f cualquiera con una funcin lineal,lo que me hace siempre es correrme todo el grafico en alguno direccin as:

o as o para arriba y para abajo. Eso s es importante. Antenlo. Componer unafuncin cualquiera con una funcin lineal hace que el grfico de esa f se corra paraarriba, para abajo, para la derecha o para la izquierda.

Chicos, ahora presten atencin. Vamos a ver un tema que en general siempre lescuesta bastante. Anoten:

CAMBIOS DE ESCALAAhora vamos a ver composicin de funciones que provocan cambios de escala.Supongamos una funcin as:

Si la fu

Matemática Teoría ASIMOV (Parte 1)

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