Matematica universitaria

2012

Información Útil Para Un

Curso De Matemática

Universitaria ©

I N G . A L L A N V I L L E G A S A L E M Á N

Información Útil Para Un Curso De Matemática Universitaria

Ing. Allan Villegas Alemán - Documento no fotocopiable ©

Información Útil Para Un Curso De Matemática

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Ing. Allan Villegas Alemán

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PRÓLOGO

El objeto de este documento es el de brindar las fórmulas necesarias para

que el lector pueda entrar en contacto de una manera desenfadada con las

MATEMÁTICAS a un nivel Universitario, así como con sus múltiples

aplicaciones.

Este documento fue tomado en parte del compendio llamado

“INFORMACIÓN ÚTIL PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE CÁLCULO

DIFERENCIAL INTEGRAL©” de mi autoría, con la finalidad de que sea más

adecuado para estudiantes de diversos cursos.

La compilación comienza con un recordatorio de lo necesario para

manipular las expresiones del Álgebra como lo son: el alfabeto griego, las

notaciones matemáticas utilizadas con frecuencia, las constantes, productos y

factores notables siempre útiles para manipulación algebraica, un repaso de las

funciones exponencial y logarítmica, así como de la ecuación de segundo orden

y sus soluciones. Todo esto para caer por fin en las reglas generales de

diferenciación e integración, así como a ecuaciones propias de la Estadística, la

Interpolación Lineal entre otras.

Como se anotó arriba, este documento, es sólo una pequeña parte de

otro. Y simplemente, una infinitesimal parte de un todo llamado originalmente

FLUXIONES por “Sir Isaac Newton (matemático, físico y filósofo inglés, uno de

los genios más grandes que ha existido…)” padre del cálculo diferencial

integral.

AllanV.A

1 - Alfabeto Griego

Nombre Griego

Letra Griega

Minúscula Mayúscula

Alpha α Α

Beta β Β

Gamma γ Γ

Delta δ Δ

Epsilon ε Ε

Zeta ζ Ζ

Eta η Η

Theta θ Θ

Iota ι Ι

Kappa κ Κ

Lambda λ Λ

Mu μ Μ

Nu ν Ν

Xi ξ Ξ

Omicron ο Ο

Pi π Π

Rho ρ Ρ

Sigma σ

Tau τ Σ

Upsilon υ Τ

Phi φ Υ

Chi χ Φ

Psi ψ Χ

Omega ω Ψ


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2 - Notaciones Matemáticas

I. RELACIONES ENTRE LAS MAGNITUDES

2.1. igual

2.2. idénticamente igual

2.3. aproximadamente igual

2.4. menor

2.5. mayor

2.6. mucho menor que

2.7. mucho mayor que

2.8. menor o igual

2.9. mayor o igual

2.10. desigual

2.11. no idéntico

2.12. ni aproximadamente ni estrictamente igual a

2.13. no es menor

2.14. no es mayor

2.15. ni menor que ni igual a

2.16. ni mayor que ni igual a

II. ÁLGEBRA

2.17. valor absoluto del número a

2.18. suma (más)

2.19. resta (menos)

2.20. multiplicación, por ejemplo:

2.21. división

2.22. a elevado a la m-ésima potencia

2.23. raíz cuadrada, por ejemplo:

2.24.

raíz n-ésima, por ejemplo:

2.25. logaritmo de base b, por ejemplo:

2.26. lg logaritmo decimal, por ejemplo:

2.27. ln logaritmo natural, por ejemplo:

2.28. paréntesis (sucesión de operaciones)

2.29. factorial, por ejemplo: a! ó

III. GEOMETRÍA

2.30. perpendicular (u ortogonal)

2.31. es paralelo

2.32. es igual y paralelo

2.33. es semejante, por ejemplo:

2.34. triángulo

2.35. ángulo (a veces ), por ejemplo:

2.36. arco, por ejemplo:

2.37. grado, minuto, segundo (respectivamente) de ángulos o de

arcos, por ejemplo: 32° 14´ 11´´

IV. TRIGONOMETRÍA Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

2.38. sen seno

2.39. cos coseno

2.40. tan ó tg tangente

2.41. cotan ó ctg cotangente

2.42. sec secante

2.43. cosec cosecante

2.44. Arc sen arco seno

2.45. Arc cos arco coseno

2.46. Arc tan arco tangente

2.47. Arc cot arco cotangente

2.48. arc sen valor principal del arco seno

2.49. arc cos valor principal del arco coseno

2.50. arc tan valor principal del arco tangente

2.51. arc cot valor principal del arco cotangente


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V. ANÁLISIS MATEMÁTICO

2.52. límite

2.53. tiende a…

2.54. infinito

2.55. suma

2.56. suma en la cual i varía desde 1 hasta n

2.57. designaciones de funciones, por ejemplo:

2.58. incremento, por ejemplo:

2.59. diferencial, por ejemplo: dx

2.60. diferencial parcial, por ejemplo:

2.61.

designaciones de las derivadas sucesivas de la función

de una variable, por ejemplo:

2.62.

primera derivada, segunda derivada, etc. por ejemplo:

2.63.

derivadas parciales, por ejemplo:

2.64.

integral

2.65. integral indefinida

2.66.

integral definida desde el límite inferior a hasta el límite

superior b

2.67.

integral definida para la función f(x)

2.68.

integral curvilínea tomada sobre el arco K o sobre la

proyección del arco K

3 - Constantes Notables

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.


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3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

4 – Productos Notables

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

Los resultados anteriores constituyen casos particulares u especiales de

la “fórmula del binomio” siguiente:

si entonces

4.11.

en el desarrollo anterior (del binomio) se pueden utilizar otros valores de n

y entonces se tiene una “serie infinita”. La ecuación del binomio también se

puede escribir de la siguiente forma:

4.12.

en donde los coeficientes, llamados “coeficientes binomiales” están dados

por:

4.13.


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1

5 – Factores Notables

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

I. FACTORIAL DE ENE “ene factorial”

Si el factorial de n se define así:

5.8.

Y el factorial de cero se define así:

5.9.

II. FÓRMULA DE STIRLING PARA APROXIMAR

5.10.

6 – Función Exponencial

I. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea , p se llama exponente, a se llama base y se denomina la

potencia p de a. La función es una función exponencial

II. LEYES DE LOS EXPONENTES

Vamos a suponer que p, q son números reales y que m, n son enteros

positivos. Y que en cualquier caso se omite o descarta la división entre cero

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.


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7 – Función Logarítmica

I. FUNCIÓN LOGARÍTMICA (logaritmos y antilogaritmos)

Si entonces p es el logaritmo de N en base a, lo

cual se escribe . El número se llama el antilogaritmo de p en

base a y se escribe .

Por ejemplo: , tenemos que

La función se llama función logarítmica

II. LEYES DE LOS LOGARITMOS

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

III. CAMBIO DE BASE DE UN LOGARITMO

La relación entre el logaritmo de un número N en base a y el logaritmo de

ese mismo número N en base b está dada por:

7.5.

en particular:

7.6. y

7.7.

8 – Ecuación Cuadrática

Sea la ecuación de segundo orden (cuadrática):

8.1.

Sus soluciones existen y vienen dadas por:

8.2.

Si a, b, c son reales y si:

8.3.

es el discriminante, entonces las raíces son:

i. reales y desiguales si

ii. reales e iguales si

iii. conjugadas complejas si

Si son las raíces, entonces:

8.4. y

8.5.


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9 – Derivadas

Si , la derivada de o de con respecto a x se define como:

9.1.

donde . La derivada también se designa por:

ó .

El proceso seguido para hallar la derivada se llama diferenciación.

REGLAS GENERALES DE DIFERENCIACIÓN

En lo consiguiente u, v, w son funciones de x. Y a, b, c, n son constantes

[con restricciones si así se indica]; … es la base natural de los

logaritmos; es el logaritmo de u [o sea el logaritmo en base e]; donde se

supone que y que todos los ángulos se dan en radianes.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

(Regla de la cadena)

9.12.

9.13.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

9.14.

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

9.20.

9.21.

9.22.

9.23.

9.24.


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10 – Integrales

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

La expresión general , para todas las funciones primitivas de una

función dada f(x), se denomina anti-derivada de la función f(x) o integral

indefinida de f(x), o integral indefinida de la diferencial f(x). La designación es:

10.1.

es el signo de la integral, f(x) es la función integrando, f(x) dx es la

expresión integrando.

Puesto que la derivada de una constante es cero, todas las integrales

indefinidas difieren entre sí por una constante arbitraria “C”.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea f(x) definida en el intervalo . Divídase éste intervalo en n

partes iguales de longitud . Entonces la integral definida de f(x)

entre y se define como:

10.2.

El límite ciertamente existe si f(x) es cuasi-continua.

Si

, entonces, por el teorema fundamental del cálculo integral

el valor de la integral anterior se puede hallar empleando la fórmula:

10.3.

11 – Reglas Generales de Integración

REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA

A continuación u, v, w son funciones de x; a, b, p, q, n, son constantes,

con las restricciones que en caso dado se indiquen; es la base

natural de los logaritmos; es el logaritmo natural de u suponiendo que

[en general, para poder aplicar las fórmulas en los casos en que ,

remplácese por ]; todos los ángulos están expresados en radianes.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4. Integraci n por Partes

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.


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11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN DEFINIDA

11.25.

11.26. donde es una constante cualquiera

11.27.

11.28.

11.29.

11.30. donde se encuentra entre y

12 – Reglas Generales de Derivación para Funciones

Trigonométricas Inversas

Sea u una función derivable de x; entonces:

12.1-

12.2-

12.3-

12.4-

12.5-

12.6-

13 – Reglas Generales de Integración para Funciones

Trigonométricas Inversas

Algunas de las expresiones que figuran a continuación se deducen de

forma inmediata de las fórmulas de derivación vistas en ocasiones (cursos,

pítulos…) anteriores. Sea u una función derivable de x; entonces:

13.1-

13.2-

13.3-

13.4-

13.5-

13.6-


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1

14 – Interpolación Lineal

La interpolación es un método numérico (y gráfico) que permite encontrar

datos desconocidos entre o en medio de otros datos ya conocidos. El tipo de

interpolación difiere según la naturaleza de los datos tratados. Existe la

interpolación lineal (para datos que presentan una relación lineal entre sí), la

interpolación cuadrática, cúbica y de enésima potencia (para datos que

presentan l r terísti de est r elev dos poten i s de orden 2, 3, 4, …, y

hasta n), interpolación exponencial, etc.

Para entender la interpolaci n lineal, debemos reconsiderar la “función

lineal” (que se estudia desde secundaria), así como sus propiedades. Su gráfica

general se presenta a continuación.

Dada la función lineal , tal que , podemos

observar que siempre se tiene que , por lo tanto, la gráfica de f corta al

eje y en el punto (0, b). Por esta razón el parámetro b se conoce usualmente

como y-intersección de la recta que representa la gráfica de la función.

y = mx + b

y2 - y1

x2 - x1

y2

y1

x1 x2

θ

θ

y

x

Por otra parte, si consideramos dos puntos , con ,

en la gráfica de la función f, tenemos que:

Lo que hemos verificado es que en cualquier intervalo del dominio, la

razón de cambio de la función f es igual a la constante m. Gráficamente

podemos ver que esta razón de cambio es una medida de la inclinación de la

recta que representa la gráfica de f. Por este motivo, el parámetro m recibe el

nombre de pendiente de la gráfica de la función.

La propiedad de “razón de cambio constante” de la funci n lineal, permite

utilizarla con toda seguridad para “interpolar” datos desconocidos a partir de

otros datos conocidos (siempre y cuando se relacionen linealmente). Volvamos a

la figura de la recta.

Como inicio axiomático, daremos por sentado que todos los datos se

relacionan linealmente. Ahora, digamos que conocemos a: y también

a que se encuentra en algún lugar entre e . Y queremos encontrar un

dato que se encuentra entre y . Valiéndonos del hecho de que tienen

igual pendiente y que sus razones de cambio son las mismas y constantes.

Podemos escribir una ecuación que las relacione, así:

x

y

θ

θ

x1 x2 x3

y2 - y1

x2 - x1

y2

y1

y3 θ

y2 - y3

x2 - x3


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Reacomodando la ecuación anterior nos da:

Luego:

Después:

Por último multiplicamos por –1 (menos uno) a ambos lados de la igualdad y

reacomodamos un poco:

La anterior es una fórmula de interpolación lineal para hallar a ,

conociendo el resto de los puntos.

Pongámosle valores a la ecuación anterior, así podremos verificar que

tenga un valor entre y :

Sustituimos cada subíndice y evaluamos en la fórmula de interpolación:

Valor que efectivamente se encuentra entre 2 y 7.

15 – La Recta Real

La Recta Real

La letra se utilizará para nombrar al conjunto de los números reales,

que son los números que se usan con datos numéricos. Asumimos que el lector

conoce la representación gráfica de como la sucesión de puntos en una línea

recta, como se indica en la siguiente figura. Nos referiremos a esa línea como la

recta real o la recta real .

Con frecuencia, trataremos con conjuntos de números llamados

intervalos. Concretamente, para cualquier número real a y b, donde a b,

definiremos los intervalos desde a hasta b como sigue:

i.

ii.

iii.

iv.

Es decir, cada intervalo se compone de todos los puntos entre a y b; el

término cerrado y el corchete se usan para indicar que el último punto

pertenece al intervalo, y el término abierto y el paréntesis se usan para indicar

que el último punto no pertenece al intervalo.

Por ejemplo: el intervalo consiste de todos los números reales que

están entre -1 y 3, incluyéndolos a los dos.

Esto es:

Otro ejemplo: el intervalo consiste de todos los números reales que

están entre 2 y 6, incluyendo a 2 y excluyendo a 6.

Esto es:

Recta real

-π π


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16 – Propiedades Fundamentales del Símbolo de

Sumatoria

PROPIEDAD 1: La sumatoria del producto de una constante por una

variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.

Simbólicamente es así:

Veamos la demostración:

Por lo tanto:

PROPIEDAD 2: La sumatoria de la suma algebraica de dos o más

variables, es igual a la suma algebraica de las sumatorias de las variables.

Simbólicamente es así:


Por lo tanto:

PROPIEDAD 3: La sumatoria de una constante, tomada de 1 a n, es igual

a n veces esa constante. Simbólicamente es así:


Por lo tanto:


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17 – Propiedades Fundamentales de la Media

Aritmética

La media aritmética tiene algunas propiedades matemáticas que es

importante conocer por su utilidad práctica y analítica.

PROPIEDAD1. Si se multiplica a la media por el número total de observaciones,

se obtiene la suma de las observaciones.


Por lo tanto:

PROPIEDAD 2. Si a cada una de las observaciones se les resta la media, y luego

se suman esas diferencias, la suma resultante es igual a cero.


De la propiedad 1 sabemos que:

Y sabemos también la definición de sumatoria de los términos, y es:

Además conocemos la definición de la media aritmética:

De la ecuación anterior, vemos que

es un factor común de la suma y,

por tanto, multiplica a cada término de la misma:

Esto implica que:

Reacomodando:

Otra forma de demostrarlo es:

Pero:

Esto implica que:

Por lo tanto:

PROPIEDAD 3. Si se suma (o se resta) una constante b a cada una de las

observaciones, el promedio aritmético se verá aumentado (o disminuido) en esa

constante b.

PROPIEDAD 4. Si se multiplica (o se divide) cada una de las observaciones por

una constante b, el promedio aritmético se verá multiplicado (o dividido) por esa

constante b.

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