matematicafunciones ADULTOS

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N I V E L S E C U N D A R I O P A R A A D U L T O S

M d u l o s d e E n s e a n z a S e m i p r e s e n c i al

Matemtica

Funciones


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N I V E L S E C U N D A R I O PA R A A D U L T O S

M d u l o s d e E n s e a n z a S e m i p r e s e n c i a l

MatemticaFunciones


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Nivel secundario para adultos mdulo de enseanza semipresencial : matemticafunciones -

1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educacin, Ciencia y Tecnologa de la Nacin,2007.

104 p. ; 30x21 cm.

ISBN 978-950-00-0578-4

1. Educacin de Adultos.CDD 374

PRESIDENTE DE LA NACIN

Dr. Nstor Kirchner

MINISTRO DE EDUCACIN, CIENCIA Y TECNOLOGA

Lic. Daniel FilmusSECRETARIO DE EDUCACIN

Lic. Juan Carlos Tedesco

SUBSECRETARIA DE EQUIDAD Y CALIDAD

Lic. Alejandra Birgin

DIRECTORA NACIONAL DE GESTIN CURRICULAR Y FORMACIN DOCENTE

Lic. Laura Pitman

DIRECTORA NACIONAL DE PROGRAMAS COMPENSATORIOS

Lic. Mara Eugenia Bernal

COORDINADOR DE EDUCACIN DE JVENES Y ADULTOSProf. Manuel Luis Gmez

GOBERNADOR DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES

Ing. Felipe Sol

DIRECTORA GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIN

Dra. Adriana Puiggrs

SUBSECRETARIO DE EDUCACIN

Ing. Eduardo Dillon

DIRECTORA PROVINCIAL DE ENSEANZA

Prof. Graciela De Vita

DIRECTOR DE EDUCACIN DE ADULTOS Y FORMACIN PROFESIONAL

Prof. Gerardo Bacalini

SUBDIRECTORA DE EDUCACIN DE ADULTOS

Prof. Marta Ester Fierro

SUBDIRECTOR DE FORMACIN PROFESIONAL

Prof. Edgardo Barcel


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N D I C E

Presentacin ...................................................................................

Introduccin ....................................................................................

Unidad 1: Estudio matemtico de relaciones entre dos variables

Algunos ejemplos ................. .................. ................... .........

Ejemplo 1: Temperaturas a lo largo de un dia ..........................

Ejemplo 2: La nafta que consume un auto ................................

Ejemplo 3: La tarifa del correo ..................................................

Ejemplo 4: La superficie de un cuadrado ..................................

Qu es una funcin ..........................................................................

Cmo se representa una funcin ....................................................

Ejemplo 5: Una olla en el fuego .................................................

Obtencin de frmulas ....................................................................

Obtencin de grficas ......................................................................

Ejemplo 6: Una lupa ...................................................................

El dominio de una funcin................................................................

Unidad 2: Las funciones lineales...................................................

Algunas funciones particulares ......................................................

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N D I C E

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Ejemplo 7: La factura de gas natural ............................................

Ejemplo 8: Un recorrido en bicicleta ...........................................

Ejemplo 9: Las vas del tren ...........................................................

Las frmulas de las funciones lineales ...............................................Las tablas de las funciones lineales ...................................................

Repaso - Ejemplo 10: La venta de aceite suelto ...........................

Traducciones entre frmulas, tablas y grficas .................................

Funciones lineales especiales ............................................................

Ejemplo 11: El consumo familiar de agua .....................................

Ejemplo 12: El boleto escolar ........................................................

Ejemplo 13: Un grfico del diario ...................................................

Ejemplo 14: Dos funciones lineales en la Economa ....................

Unidad 3: Las funciones de proporcionalidad directa .....................

Aprovechando la proporcionalidad .....................................................

Ejemplo 15: El agua que se pierde ................................................

Cmo reconocer las funciones de proporcionalidad directa .............

Otra vez la superficie del cuadrado ...............................................

Las grficas de las funciones de proporcionalidad directa ................

Las frmulas de las funciones de proporcionalidad directa ..............Ejemplo 16: Porcentaje ..................................................................

Ejemplo 17: Las unidades de medida ............................................

Unidad 4: Las funciones y la Geometra ..........................................

La proporcionalidad en Geometra ......................................................

Ejemplo 18: Los tamaos de las fotos ...........................................

Ejemplo 19: Maquetas y escalas ................................................

Ejemplo 20: Los mapas ..................................................................


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N D I C E

Figuras semejantes .............................................................................

Un espacio para el arte ........................................................................

Ejemplo 21: El rectngulo de oro ...................................................

La altura de las pirmides de Keops .............................................Tringulos rectngulos semejantes ....................................................

Ejemplo 22: Las funciones seno, coseno y

tangente de ngulos agudos ..........................................................

Un problema de medidas sin medir ...........................................

Permetros y superficies ......................................................................

Volmenes ............................................................................................

King Kong podra existir? .............................................................

Unidad 5: Las funciones cuadrticas ...............................................

Funciones que no son lineales ............................................................

Ejemplo 23: Superficies y volmenes ............................................

Ejemplo 24: Una pelota arrojada al aire ........................................

La frmulas de las funciones cuadrticas ..........................................

Ejemplo 25: Una funcin abstracta ................................................

Las grficas de las funciones cuadrticas ..........................................

Ejemplo 26: La plantacin de manzanas .......................................Ejemplo 27: Animales extraos en una isla ..................................

Tuvimos suerte! ............................................................................

Autoevaluacin ................................................................................

Claves de correccin ..........................................................................

Claves de correccin de la autoevaluacin .......................................

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58

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| 7Presentacin

Presentacin

Le sugerimos que al momento de abordar el estudio de este mdulo de Matemtica,tenga en cuenta las siguientes cuestiones:

Trazar plan previo

Resulta til proponerse objetivos de estudio segn el ndice temtico de la materia.

Distribuir los temas en el tiempo que tendr disponible para estudiar e ir evaluando

si pudo o no cumplirlos en el plazo estimado. Si el primer plan no puede llevarse

a cabo, readaptarlo a sus posibilidades. Todo lo que usted vaya construyendo

como modalidad de estudio lo utilizar en los restantes mdulos de matemtica

y tambin en otras materias.

Los materiales

Estudiar con una lapicera y papel en mano.

Esto le permitir tomar notas sobre los temas que va leyendo, subrayar, resumir,

sintetizar y hacer un listado de las consultas que quiera realizar personalmente

con el profesor consultor.

Correccin

Es importante que utilice el apartado Claves de correccin. Pero primero intente

resolver usted las actividades propuestas. Recin despus consulte la Clave para

comparar sus resoluciones con las propuestas por nosotros.

La lectura

Leer todos los das, aunque sea un poco, favorece la comprensin de los temas y

su interrelacin a lo largo del mdulo, as como tambin:

Realizar una primera lectura antes de resolver las actividades .

En una segunda lectura resolver las actividades que le proponemos.

Repasar lo trabajado el da anterior.

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Consultas

Las tutoras le ofrecen la posibilidad de reunirse con un profesor de la materia,

plantear sus dudas y participar de otras instancias propuestas por el docente.

Buscar informacin es algo que tambin se aprende. Adems de las tutorassemanales con profesores a cargo, tal vez necesite otras fuentes de informacin.

Las bibliotecas ofrecen bibliografa complementaria acerca de los temas estu-

diados. Seguramente el profesor consultor le proporcionar sugerencias biblio-

grficas de inters para su proceso de estudio. Tambin puede resultarle nece-

sario revisar algunos libros de Matemtica de la EGB semipresencial.

8 | Matemtica :: Funciones


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| 9Introduccin

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. . . . . . Introduccin

Este Mdulo tiene un tema central: las correspondencias entre variables, que lla-mamos funciones. Pero tiene un objetivo que va ms all del tema funciones: es

mostrarle, a travs de ellas, que la Matemtica no es solamente una materia im-

portante en su plan de estudios, sino tambin una herramienta que le permitir

analizar y entender mejor muchas situaciones que se presentan en su vida coti-

diana, en su trabajo, en la lectura de un diario o de una publicidad, por ejemplo

para leer una factura de servicios de electricidad o gas, en el estudio de otras ma-

terias, fundamentalmente Fsica y Qumica. Por eso proponemos muchos ejem-

plos prcticos, y usted podr encontrar otros.

Estos son, entonces, nuestros objetivos:

Introducirnos en los conceptos matemticos mediante situaciones de la

vida cotidiana o de otras ciencias. (Construir modelos matemticos).

Expresar las funciones a travs de diferentes lenguajes: tablas, frmulas,

enunciados comunes, grficos, y traducir dichas expresiones entre s.

(Utilizar diferentes registros de un mismo concepto, y los cambios entre

registros).

Obtener informacin de la lectura de esas diferentes formas de represen-

tacin de las funciones. (Analizar informacin y anticipar resultados).

Ejercitar y ampliar los conocimientos de la E.G.B., relacionando las fun-

ciones con las operaciones numricas, las ecuaciones, y la Geometra.

(Utilizar el tema funciones como un eje transversal a los dems conteni-

dos matemticos).

Es muy importante que realice todas las actividades. Para aprender Matemtica

hay que hacer Matemtica.

Como en la vida cotidiana los datos matemticos no se presentan siempre en un

mismo lenguaje o con una misma notacin, nosotros tambin hemos usado dife-

rentes lenguajes y notaciones. Por ejemplo, indicamos los nmeros decimales a

veces con coma (2,75) y otras veces con punto (2.75). Indicamos la multiplicacin

a veces con el signo por: x, y otras veces con un punto: .

El mdulo est organizado en cinco captulos. En la Unidad 1 se introduce el te-

ma Funciones.

En la Unidad 2 se tratan en particular unas funciones muy frecuentes en la vida

cotidiana: las funciones lineales.

La Unidad 3 est dedicada a las funciones de proporcionalidad directa, que usted

ya conoce como problemas de regla de tres simple directa.

En la Unidad 4 le proponemos vincular el estudio de las funciones con la Geometra.Por ltimo, en la Unidad 5 estudiamos otras funciones: las funciones cuadrticas.


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Existen otras clases de funciones, algunas de las cuales usted podr conocer en

otros mdulos posteriores.

El apartado Claves de correccin est destinado a que usted vaya evaluando el

desarrollo de su proceso de aprendizaje.

Tambin le proponemos una Autoevaluacin, para que usted pueda ir controlan-

do su aprendizaje. Resulvala antes de cotejar sus respuestas con la Clave de Co-

rreccin de dicha Autoevaluacin.

Buena suerte!



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U N I D A D

Estudio matemtico derelaciones entre dos variables1

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Algunos ejemplos

Ejemplo 1: Temperaturas a lo largo de un da

Hemos tomado nota de las temperaturas anunciadas por radio a lo largo de un

da de invierno en el Gran Buenos Aires, desde las 5 a las 22 y 30. Obtuvimos los

siguientes datos:

La tabla presenta en poco espacio y con comodidad

de lectura la informacin que recogimos. Por

ejemplo, podemos ver que temprano en la maana

hizo bajo cero, que hacia el medioda la tempera-

tura haba aumentado varios grados, que a las 7 la

temperatura fue ms baja que a las 6 y cuarto, etc.

:| Teniendo en cuenta los datos de la tabla, responda las siguientes preguntas:

a :| A las 21 hizo 7 grados. Habr hecho esa misma temperatura en algn otro

momento del da?

b :| Cul habr sido la temperatura aproximada a las 17?

c :| La mnima que registramos fue - 2.4. Habr sido la mnima del da?

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Hora del dia

Temperatura

(en grados C)

5

0

7

-2.4

9.30

2

8.45

- 1.8

6.15

- 2

12

8.3

14.30

12.1

16

12

18

9.2

21

7

22.30

6

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6...........................

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ACTIVIDAD1

Las tablas brindan una forma prctica

de presentar muchos datos.

Termmetro de pared.


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Responder a estas preguntas habra resultado quiz ms sencillo si previamente

hubisemos graficado los datos de la tabla en ejes cartesianos.

La temperatura vara en forma continua, no a los saltos.En nuestra tabla no parece haber habido cambios bruscos.

Por estas dos razones hemos trazado una poligonal uniendo los puntos de los da-

tos. Tambin podramos unirlos con una curva suave.

Esta grfica es segura en los horarios en que registramos la temperatura, y apro-

ximada en los dems momentos del da.

:| Observe la grfica y responda las siguientes preguntas:

a :| En qu momentos del da la temperatura aument y en cules disminuy?

b :| Cundo hizo 0? Y 5?

c :| Ni la tabla ni la grfica nos indican qu pas antes de las 5 ni despus

de las 22.30. Esos horarios estn fuera del dominio en el que regis-

tramos datos. Podramos realizar alguna suposicin respecto de la

temperatura para esos horarios?

Las grficas permiten apreciar con facilidad relaciones entre datos.

| 13UNIDAD 1 | Estudio matemtico de relaciones entre dos variables

Si usted encuentra di-

ficultad en la lectura

de este grfico, puede

pedirle a su tutor el Li-

bro 3 de Matemtica

EGB para revisar los

nmeros enteros y las

grficas de funciones.

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ACTIVIDAD

2


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Ahora le proponemos que anote usted en su carpeta, en varios momentos de un

mismo da, las temperaturas que anuncian en la radio o en la televisin, ordene

esos datos en una tabla, y construya su propia grfica.

Ejemplo 2: La nafta que consume un auto

As como en el ejemplo anterior observamos cmo vari la temperatura con las

horas del da, ahora queremos estudiar cmo vara el consumo de nafta al variar

la distancia recorrida.

La nafta que gasta un auto vara con la cantidad de kilmetros que recorre. Si via-

ja en una ruta, sin detenerse y sin grandes cambios en la velocidad, su consumo

es parejo. Supongamos que un coche gasta 6 litros cada 100 km.

:| Como ya vimos, una tabla y una grfica nos ayudarn. Complete la tabla que

presentamos a continuacin:

Ahora representemos en una grfica cartesiana los pares ordenados de la tabla.

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Distancia recorrida (en km)

Nafta consumida (en litros)

100

6

300 5010200 1000 45

30

20

10

0 100 200 300 400 500

Nafta en litros

Distancia en km

6...........................

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...........................

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ACTIVIDAD3


15/102


:| Guese por lo enunciado en la Actividad 3, por la tabla y por la grfica para

responder las siguientes preguntas:

a :| Por qu no marcamos nmeros negativos en ninguno de los dos ren-

glones de la tabla, ni en los ejes?

b :| Si el auto tuviera que detenerse, o disminuir mucho su velocidad en

varias ocasiones, el consumo de nafta variara. Hasta qu nmero de

kilmetros recorridos sera razonable extender, aproximadamente,

nuestro estudio?

c :| Cunta nafta se consumi aproximadamente en 215 km de viaje?

d :| Si el tanque de nafta tiene una capacidad de 40 litros cuntos kil-

metros podr recorrer hasta que se acabe la nafta?

Ejemplo 3: La tarifa del correo

La tarifa que se paga para enviar una carta dentro de la Argentina vara de acuerdo

al peso de la misma. La grfica siguiente nos informa los precios segn el peso.

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ACTIVIDAD4

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La grfica nos indica que:

para enviar entre 0 y 20 gramos, la tarifa es 0,75$

para enviar ms de 20 y hasta 100 gramos, la tarifa es 2,75$

para enviar ms de 100 y hasta 500 gramos, la tarifa es 5$

Las grficas de la temperatura y la nafta resultaron lneas continuas, sin interrup-

ciones. Esta, en cambio, presenta cortes, porque la tarifa cambia de un salto en

20 gramos y en 100 gramos.

Si una carta pesara 30 gramos, sera ms barato enviarla en dos partes de me-

nos de 20 g cada una, que mandarla en un solo envo?

Ejemplo 4: La superficie de un cuadrado

Usted conoce la frmula de la superficie de algunas figuras. La del cuadrado es:

Le proponemos que estudie la variacin de la superficie del cuadrado en funcin

del lado. Una tabla y su grfica, y las preguntas que le formulamos, lo ayudarn.

:| Haga la tabla, su grfica y los clculos en su carpeta sin olvidar poner el n-

mero de la Actividad. Y no deje de consultar las Claves de correccin por-

que lo ayudarn para ir comprendiendo sus avances y dificultades.

a :| Cul es la superficie de un cuadrado de 3,2 cm de lado?

b :| Cul es la superficie de un cuadrado de 6,4 cm de lado, es decir, de

lado doble del anterior?

c :| Cunto mide el lado de un cuadrado de 25 cm2 de superficie?

d :| Y el lado de un cuadrado de 10 cm2 de superficie?

e :| Explique con sus palabras (lenguaje coloquial) la frmula de la super-

ficie del cuadrado.

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. . . . .

Donde l es la medida del lado, por ejemplo en cm y

s es la medida de la superficie, en ese caso en cm2.

s = l2

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ACTIVIDAD6

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ACTIVIDAD5


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Qu es una funcin

Para cada uno de los ejemplos presentados hasta ahora, seale las variables que

aparecieron, y analice las similitudes y las diferencias que encuentre entre ellos.

Puede anotarlas en el siguiente cuadro:

Hemos examinado cuatro ejemplos de variacin conjunta entre dos variables. La

Matemtica estudia estas relaciones entre variables, y las llama funciones. Este

ser el tema principal de este Mdulo.

Lea detenidamente esta informacin. Revise en los Libros 3 y 5 de la EGB el tra-

bajo con funciones. Si tiene alguna duda antela para trabajarla en la tutora.

El estudio de funciones permite conocer variaciones, estimar qu sucede

en valores intermedios, y a veces predecir ms all de esos valores.


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ACTIVIDAD7

Una de las variablesEjemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

La otra variable

Definicin: llamamos funcin a una relacin o correspondencia entre dos

conjuntos de elementos que varan, cambian, se modifican, en forma conjunta.

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Siempre hay una relacin de dependencia entre las dos variables que intervienen

en una funcin:

la temperatura depende de la hora del da (si no se modifican los vientos,

la humedad, etc.) Diremos que la temperatura es la variable dependien-

te, y que la hora es la variable independiente; la cantidad de nafta consumida (variable dependiente) depende de la dis-

tancia recorrida (variable independiente), si se mantiene siempre la mis-

ma velocidad;

el precio que se paga para enviar una carta (variable dependiente) en la

Argentina depende del peso de la carta (variable independiente);

la superficie del cuadrado depende de la longitud del lado.


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Cmo se representa una funcin

A travs de los ejemplos hemos visto diferentes formas de representar una funcin: una explicacin con palabras comunes (lenguaje coloquial),

una tabla acompaada de una explicacin,

una frmula algebraica,

un grfico cartesiano.

:| Vuelva a cada uno de los ejemplos estudiados y escriba en su carpeta qu for-mas de representacin se utilizaron y cul le pareci ms til en cada caso.

Una parte importante del trabajo matemtico consiste en traducir, pasar

de unas formas de representacin a otras, y elegir la que facilita la com-

prensin de una situacin.

Ejemplo 5: Una olla en el fuego

Se coloca en el fuego una olla con agua a 10 grados centgrados (10 C). La tem-

peratura del agua va aumentando 15 C cada minuto, hasta llegar a hervir (100 C)

y se mantiene hirviendo (en 100 C) hasta que la retiran del fuego, 11 minutos des-

pus de haberla colocado.

:| En la pgina 20 presentamos la grfica, y le pedimos que la analice guin-

dose por las siguientes preguntas:

a :| Qu temperatura tiene el agua 1 minuto despus de estar en el fuego?

b :| Y a los 3 minutos?

c :| Cuntos minutos tarda en llegar a hervir?

d :| Cunto tiempo sigue hirviendo?

e :| En qu momento alcanz los 40 C?

f :| Lleg en algn momento a los 120 C?

No olvide escribir sus respuestas y recin despus consultar la Clave de correccin.


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ACTIVIDAD

8

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ACTIVIDAD9

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En el ejemplo de la superficie del cuadrado (Ejemplo 4) nos fue de utilidad la fr-

mula de la funcin:

Podremos en este caso obtener una frmula? Intentemos.

Llamemos y a la temperatura en grados centgrados (C) y t al tiempo en minutos.

En una parte del intervalo de tiempo de la olla en el fuego (de 6 a 11 minutos) la

frmula es fcil:

Leemos esta frmula: Para tiempos t de 6 minutos, 7 minutos, 10 minutos, 6.15

minutos, 7.02 minutos, para todos los tiempos entre 6 y 11 minutos, la tempera-

tura del agua se mantiene constante: 100 C.

De 0 a 6 minutos, la frmula es otra. Tratemos de construirla, observando el gr-

fico. A la temperatura inicial: 10 C:

si pasa 1 minuto se le suman 15 10 + 15

si pasan 2 minutos se le suman 30 (o sea 15 x 2) 10 + 15 x 2

si pasan 3 minutos se le suman 45 (= 15 x 3) 10 + 15 x 3

si pasan 5 minutos se le suman 82,5 (= 15 x 5) 10 + 15 x 5

y = 100 C

s = l2

ACTIVIDAD 9[continuacin]


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Vemos que a los 10 iniciales se le suma cada vez el resultado de multiplicar 15

por la cantidad de minutos transcurridos. Pensmoslo para un nmero cualquie-

ra de minutos, y como no es ninguno en particular, ni 1 minuto, ni 2, ni 3, ni 5,

llamemos t a ese nmero:

si pasan t minutos se le suman 15 x t 10 + 15 x t

Leemos esta frmula: hasta los 6 minutos de colocada la olla en el fuego, la tem-

peratura del agua a los t minutos se obtiene multiplicando t por 15, y sumando 10

al resultado.

Vemos que la frmula de esta funcin est partida en dos frmulas:

para t desde 0 a 6 minutos

para t desde 6 a 11 minutos

Frmulas, grfica cartesiana, enunciado coloquial y tablas con explica-

cin son lenguajes diferentes para expresar y estudiar una funcin.

Cada una tiene sus ventajas y limitaciones. Lo ideal sera obtener las cua-

tro formas, pero no siempre es fcil, ni siquiera posible.

Por ejemplo, un electrocardiograma muestra la grfica de la variacin del ritmo

cardaco en el tiempo.

Es sencillo traducir esta grfica a una tabla, pero no a una frmula, y no lo hare-

mos en este Mdulo.


El conjunto de los valores del tiempo es denso: hay infinitos valores entre 1 y 2, entre 2

y 3, entre 5 y 6, etc. de modo que podemos tomar cualquier nmero, entero o fracciona-

rio, entre 0 y 6.

y = 10 + 15 t

y = 100

Donde y en C,

t en minutos.


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Obtencin de frmulas

Tambin en el Ejemplo 1 (Temperatura a lo largo del da) sera difcil obtener unafrmula, y sta no sera nada sencilla. En cambio en el Ejemplo 2 (La nafta que

consume un auto) existe una frmula sencilla que traduce la descripcin colo-

quial, la tabla y la grfica.

Leemos la frmula: para saber cuntos litros de nafta se gastan (y) al recorrer x

kilmetros, hay que multiplicar la cantidad x de kilmetros por 0,06 litros.

Vuelva a leer cmo se obtuvieron las frmulas para la temperatura del agua, y tra-

te de hacer usted un trabajo similar para comprobar que la frmula para el con-

sumo de nafta es la correcta. Vaya anotando en su carpeta:

:| Si se recorren 100 km se gastan 6 litros

:| Si se recorren 200 km se gastan 12 litros, o sea 2 x 6 litros

:| Si se recorren

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Donde x es la distancia recorrida, en km,

y es la cantidad de nafta consumida, en litros.

y = . x = 0,06 . x

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ACTIVIDAD

10

6100


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Obtencin de grficas

Ejemplo 6: Una lupa

Le proponemos que tome una lupa (o anteojos con mucho aumento) y observe las

letras de una pgina colocndola a distintas distancias. Pruebe ir alejndola cada

vez ms. Explique lo que observa.

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El aumento producido depende de la lupa que se use. Por ejemplo, en algunas lu-

pas el aumento est dado por la frmula:

:| D usted algunos valores a la variable independiente d (por ejemplo

25 mm,10 mm) y calcule el aumento A.

Con esos datos podemos hacer la lectura de la frmula:

Al poner nuestra lupa a 25 mm del papel, las letras se ven aumentadas al doble

de su tamao. Al ponerla a 10 mm, las letras se ven a 1 vez y su tamao.

Explique por qu no podemos reemplazar d por 50. Una ayuda: Intente calcular A

cuando d vale 50 mm. Por qu nmero habra que dividir?

Otra ayuda: revise la pgina 42 del Libro 3 de Matemtica de la EGB.

Un comentario ms acerca de esta frmula ms rara y difcil que las anteriores:

Si colocamos la lupa del ejemplo a 50 mm aproximadamente, no vemos las letras.

Con otra lupa la distancia a la que desaparece el objeto puede ser otra, y la fr-

mula tambin ser otra.

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ACTIVIDAD11

Donde A indica cuntas veces queda aumentado el tamao

del objeto observado.

d es la distancia a la que colocamos la lupa, en mm.

- 50

d - 50

A =

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ACTIVIDAD12

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Si aumentamos an ms la distancia (55 mm, 70 mm) vemos las letras aumenta-

das en tamao, pero invertidas en su posicin (cabeza abajo). En la frmula esto

queda indicado con la aparicin de valores negativos para A.

La representacin grfica de esta funcin es la siguiente.

Seale las ventajas que le parece que tienen las frmulas sobre las otras repre-

sentaciones utilizadas. Tambin las ventajas que encuentra a la grfica cartesiana.

El trabajo matemtico con frmulas no quiere decir solamente hacer cuentas.Tan importante como calcular es leer las frmulas, interpretarlas, ejemplificar.

d (en mm)

Aumento

5

1.11

25

2

60

-5

50

imposible

10

1.25

75

-2

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ACTIVIDAD13

40

5


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El dominio de una funcin

En el Ejemplo 1 (de la temperatura) la variable independiente hora del da tomsolamente los valores entre las 5 y las 22.30, porque fuera de ese intervalo de

tiempo no tomamos datos.

:| Escriba usted en su carpeta cul es el dominio en cada una de las funcio-

nes que hemos estudiado.

Definicin: el conjunto de todos los valores que toma la variable independien-

te se llama dominio de la funcin.

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ACTIVIDAD14

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U N I D A D

Las funciones lineales2


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Algunas funciones particulares

Pdale a su tutor los Libros 3 y 5 de EGB para revisar lo trabajado sobre esta

cuestin. En esta Unidad volveremos a construir ese concepto a partir del traba-

jo con una serie de ejemplos, y avanzaremos en el uso de las frmulas.

Ejemplo 7: La factura de gas natural

En una factura de

Metrogs se lee:

El primer rengln nos indica que siempre hay un gasto fijo de 7,74$, aunque no

usemos el gas.

El segundo rengln dice que esa casa consumi, en el perodo facturado, 111 m3,

y que se cobran aproximadamente 0,15$ por m3 consumido.

Nos proponemos construir una tabla que muestre el costo aproximado en $ enfuncin del consumo de gas.

Tenga en cuenta que la empresa de gas slo factura aproximando a m3 enteros.

Si tomramos la situacin real de consumo, veramos que la tabla slo nos infor-mara sobre algunas cantidades, pero en este caso no sobre todas las cantidades

posibles, que son infinitas, porque el conjunto de los nmeros con los que traba-

jamos es denso, es decir que entre dos nmeros, por ms cercanos que estn,

siempre hay infinitos. Por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 estn 0.13, 0.167, 0.16725, etc.

La frmula, en cambio, nos permitir calcular el costo real para cualquier valor

de gas consumido. Recuerde que no es lo que factura la empresa.

Es una frmula que nos da la informacin buscada.


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Gas consumido (en m3)

Costo (en $)

0

7,74

10

7,74+10x0,15

200

37,74

111

24,39

1

7,74+0,15

. . . . . .

La pequea diferencia en los centavos se debe al redondeo.

c = 7, 74 + 0,15 . g Donde c es el costo en $ yg es el consumo de gas en m3.

Conceptos

Cargo fijo 7,74Consumo 111 m3 x 0,153469 $ 17,03Subtotal 24,77


28/102

Compruebe usted que esta frmula es vlida, reemplazando y calculando con al-

gunos valores de la tabla. Puede ayudarse con una calculadora.

No olvide leer la frmula. Para ello, escriba su lectura en su carpeta.

Tambin podemos graficar la funcin c = 7,74 + 0,15 . g, que resulta dejando de

lado la facturacin que realiza la empresa y considerando la situacin ideal del

costo de los infinitos valores entre dos metros cbicos consecutivos.

El primer secreto de un grfico, para que sea claro y til, est en la elec-

cin de las escalas en los ejes. Antes de trazar un grfico, el matemticoprev las escalas que le convendr utilizar.

En nuestro grfico hemos marcado de 50 en 50 m3 en el eje horizontal (eje de abs-

cisas) y llegado hasta 300 m3, que nos pareci un mximo razonable en una casa.

El dominio de la funcin es entonces el conjunto de los nmeros de 0 a 300 m3,

o intervalo (0; 300).

En el eje vertical (eje de ordenadas) debamos abarcar desde 7,74 hasta 52,74. Op-

tamos por dividir de 10 en 10.

| 29UNIDAD 2 | Las funciones lineales

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ACTIVIDAD15


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a :| Calcule el costo para una casa que consumi 223 m3 de gas, pero hgalo

por tres caminos:

::.. con la frmula (indique los clculos en su carpeta)

::.. con la grfica (aproveche la cuadrcula)

::.. con la tabla

b :| Luego seale cul le dio el resultado ms exacto y cul le result ms fcil.

Y ahora vamos a calcular juntos cul fue el consumo de una casa que gast 35$.

Por frmula:

Ahora tenemos el dato c y debemos calcular g.

Se trata de plantear una ecuacin:

y debemos encontrar el valor de g (en m3) que reemplazado en la ecuacin noshaga llegar a:

El consumo de esa casa fue de 181,73 m3.

Por tabla:

Buscamos 35$ en el rengln de costos. Como no est, buscamos valores cerca-

nos. 37,74$ se pasa un poco. Corresponde a un consumo de 200 m3, que se pasa-

r un poco del consumo buscado. (No parece un mtodo muy confiable!).

Por la grfica:

Entramos al grfico por el eje vertical (eje de ordenadas o costo en $) buscan-

do 35$. Luego nos fijamos a qu valor en el eje horizontal (a qu abscisa o m3 de

gas) corresponde el punto de la grfica con ordenada 35. Hallamos aproximada-mente 180 m3, que es una muy buena aproximacion.


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ACTIVIDAD16

c = 7, 74 + 0,15.g

35 = 7,74 + 0,15 . g

35 = 35

35 - 7,74 = 0,15 g

27,26 = 0,15 g

27,26 : 0,15 = g

181,73= g

Revise el concepto de

ecuacin y los procedi-

mientos que se utilizan

para resolver ecuaciones

en el Libro 5 de la EGB.


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Ejemplo 9: Las vas del tren

Seguramente usted habr observado que las vas del ferrocarril dejan un peque-o espacio libre en la unin de los rieles. Esto se debe a que, como el metal se di-

lata, se agranda, con el calor, las vas necesitan ese espacio para no curvarse contemperaturas altas. Cmo se sabe cunto espacio dejar? Se hicieron experien-cias a diferentes temperaturas, y con rieles que a 0 tienen 10 metros se obtuvola siguiente tabla:

:| Analice la tabla. No olvide que a temperaturas muy bajas (bajo 0) los rielesse contraen, es decir que se achican. Cmo interpreta los nmeros nega-

tivos en la variable alargamiento?

:| Construya la grfica de la funcin. Determine primero el dominio.

Tenga en cuenta que la tabla da valores aproximados. Observe por ejemploque 15 es aproximadamente el doble de 8, que 25 apenas pasa del triplo de 8.

:| Proponga una frmula para esta funcin.

Los tres ejemplos que hemos examinado en esta Unidad tienen como represen-tacin grfica una recta, o parte de una recta.

Tenemos otra tarea para usted: revisar los ejemplos de la Unidad 1, y sealar

cules son funciones lineales y cules no.


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Temperaturas (en C)

Alargamiento (en mm)

-12

-1,4

0

0

15

2

8

1

-8

-1

25

3

40

5

50

6

60

7

75

9

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ACTIVIDAD18

Definicin: las funciones cuya grfica es una recta o parte de una recta se lla-

man funciones lineales.

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ACTIVIDAD19


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Las frmulas en las funciones lineales

Observemos las frmulas en las funciones lineales de los ejemplos estudiados.En todos aparece la variable dependiente (llammosla y) igual a un nmero su-

mado a otro que multiplica a la variable independiente (llammosla x).

Por ejemplo, en la funcin costo del gas consumido (Ejemplo 7) la frmula es:

La variable dependiente c resulta igual al nmero 7,74 sumado al producto de

0,15 por g, que es la variable independiente.

En el Ejemplo 8 con Pedro en la bicicleta, la frmula es:

La variable dependiente d resulta igual a 2000 sumado al producto de -100 por t,

que es la variable independiente.

Usted puede comprobar lo mismo en el ejemplo de las vas del tren.

Le presentamos la lista de todas las funciones lineales que hemos estudiado hastaahora, y sus respectivas frmulas. Indique cul es a y cul es b en cada una de ellas.

Ejemplo 2: La nafta que consume un auto y = 0,06 xEjemplo 7: La factura de gas natural c = 7, 74 + 0,15 gEjemplo 8: Un recorrido en bicicleta d = 2000 - 100 tEjemplo 9: Las vas del tren y = 0,125 x


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y = un N + otro N por x

d = 2000 - 100 t

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ACTIVIDAD20

c = 7, 74 + 0,15 . g

Una funcin lineal tiene una frmula del tipo y = a + b . x donde a y b son

nmeros fijos para cada funcin lineal.


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Las tablas de las funciones lineales

Relea ahora el ejemplo de Pedro en la bicicleta. Usted puede construir, a partir dela frmula y ayudado por la grfica, una tabla de valores. Nosotros hemos arma-do una tabla con algunos valores, no todos los posibles, pues se trata de conjun-tos densos.

Cada vez que disminuimos 500 en la distancia d (ordenadas, variable dependien-te), aumentamos 5 en t (variable independiente, eje de abscisas). Por ejemplo, pa-ra pasar de 2000 a 1500 metros disminuimos 500 metros, y aumentamos de 0 a 5minutos. Para pasar de 1000 a 500 metros, disminuimos 500 metros, y aumenta-mos de 10 a 15 minutos.

La variacin resulta pareja, constante: cada - 500 en d, + 5 en t. Tambin puedeobservarse en la grfica esta variacin pareja Y tambin podemos expresarlacon razones o cocientes, pues las siguientes divisiones dan siempre el mismo re-

sultado: - 100:

-500 1500 - 2000 1000 - 1900 -100+5 5 - 0 10 - 1 1

No olvide revisar las tablas de las dems funciones lineales para comprobarlo, ycomprobar tambin que eso no sucede para las funciones no lineales.

Usted ya sabe que puede (y debe) llevar todas sus dudas a la tutora.


Propiedad: todas las funciones lineales presentan en su tabla una variacin

constante.

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Tiempo transcurridos (en minutos)

Distancia a la escuela (en metros)

0

2000

5

1500

15

500

10

1000

1

1900

20

0

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ACTIVIDAD21

= = =


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RepasoEjemplo 10: La venta de aceite suelto

Un almacn vende aceite suelto en bidones de 5 litros. Cobra 1$ por el envase y

1,60$ por litro de aceite. Cunto deber pagar una seora que compr 3,5 litrosy no tena envase propio? Hasta cunto aceite puede comprar otra que slo dis-pone de 4,20$ y tampoco tiene envase?

Aprovechemos esta funcin para repasar lo visto hasta ahora. Lo que se debe pa-gar es funcin de la cantidad de aceite comprado. Cada litro cuesta 1,60$, as que

x litros costarn 1,60 por x, sumados a 1$ del envase, si no se lleva el propio.

Esto es as hasta 5 litros. Si se compra ms, se necesitar un segundo envase.Consideremos el dominio de la funcin de 0 a 5 litros, es decir el intervalo [0; 5].

La frmula ser:

Es la frmula de una funcin lineal. Si la graficamos obtendremos parte de una recta.


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ACTIVIDAD22

y = 1,60 . x + 1 Donde y es el precio a pagar yx es la cantidad de litros comprados.

Funciones lineales:

En la grfica: una recta o parte de ella

En la frmula: y = b . x + a con a y b fijos

En la tabla: variacin constante.


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Traducciones entre frmulas, tablas y grficas

Recuerda que en el la Unidad 1 sealamos la importancia de la traduccin entrediferentes formas de representacin? Y venimos hacindola! Demos un paso ms.

Le proponemos que escriba la frmula de cada funcin lineal de las estudiadashasta aqu al lado de su correspondiente grfica, y trate de descubrir alguna re-lacin entre el nmero que llamamos a en la frmula y = a + b . x y algn puntoespecial de la grfica.

Los matemticos descubren muchas propiedades de las funciones, de los

nmeros, de las figuras geomtricas gracias a su curiosidad y a su capa-

cidad de observacin.

Si ya intent una respuesta, comprela con la nuestra que le presentamos acontinuacin.

Tambin existe una relacin entre el nmero b de la frmula, la inclinacin o pen-diente de la recta, y la variacin constante en las funciones lineales.


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ACTIVIDAD23

Propiedad: en las frmulas del tipo y = a + b . x el nmero a indica el punto

donde la recta de la grfica corta al eje de ordenadas y.

Suele llamrselo ordenada al origen.

Propiedad: en las frmulas del tipo y = a + b . x el nmero b (coeficiente de

la variable independiente) indica la variacin constante, es decir el cociente o

divisin entre la resta de dos valores de la variable dependiente y, y la resta

de sus correspondientes valores para la variable independiente x.

Propiedad: adems, si el nmero b es positivo, la recta de la grfica es cre-

ciente, ascendente, y si el nmero b es negativo, la recta de la grfica es de-creciente, descendente.

Suele llamrselo inclinacin o pendiente.


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Una funcin con dominio en el conjunto de todos los nmeros reales est dadapor la frmula:

a :| Explique por qu, sin necesidad de trazar la grfica, podemos saber que esuna funcin lineal.

b :| Anticipe qu punto del eje y ser cortado por la grfica de la funcin.

c :| Indique por qu sabemos que la tabla mostrar una variacin constante, y

obtenga el valor de esa variacin.d :| Anticipe si la recta de la grfica ser creciente o decreciente.

e :| Siempre sin trazar la recta, calcule dnde cortar al eje x.

Con todo lo que anticipamos acerca de la grfica, ahora, si queremos, podemos

trazarla sin necesidad de construir la tabla.

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ACTIVIDAD24

12

y = x - 3


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Ejemplo 12: El boleto escolar

En la ciudad de Buenos Aires el boleto escolar cuesta 0,05$, cualquiera sea la dis-tancia que se recorra en el colectivo.

:| Determine usted las variables de esta funcin del Ejemplo 12, el dominio, la

grfica y la frmula, e indique si se trata de una funcin lineal.

Ejemplo 13: Un grfico del diario

En el diario La Nacin del 19 de noviembre de 2003 apareci la siguiente noticia:

Mircoles 19 de noviembre de 2003

Segn datos del Indec: se afirma la reactivacin

La industria creci un 16% en octubreRepunt en ese porcentaje respecto de igual mes de 2002; en relacin con septiembre,

el alza fue del 2,6%.

La grfica representa el crecimiento de la industria, en %, en funcin del tiempo,en un dominio de 13 meses: [octubre 2002; octubre 2003].


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ACTIVIDAD26

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Extrado de:

La industria creci un16% en octubre.

Buenos Aires, Diario La Nacin,

mircoles 19 de noviembre de

2003, seccin Economa.


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:| Observe la grfica y lea en ella los siguientes datos:

a :| En qu mes creci ms respecto del cero?

b :| En qu mes se registr mayor variacin respecto del mes anterior?

La grfica muestra claramente que la funcin no es lineal. Pero si restringimos,recortamos, el dominio al intervalo [octubre 2002; enero 2003], en ese perodos la funcin resulta aproximadamente lineal.Como ya vimos en la Actividad 19, muchas funciones, como sta, no son lineales,

pero s resultan lineales en alguna parte de su dominio.

Ejemplo 14: Dos funciones lineales en la Economa

Una fbrica tiene 1200$ de gastos fijos mensuales, ms 20$ por cada artculo quefabrica. Vende estos artculos a 32$ cada uno.En Economa se llama funcin costo a la que indica el gasto total en funcin de la

cantidad de artculos fabricados.

a :| Proponga usted la frmula de la funcin costo mensual de la fbrica, y es-crbala en su carpeta.

Se llama funcin ingresos a la que indica el dinero que entra en funcin de la can-

tidad de artculos vendidos.

b :| Proponga usted la frmula de la funcin ingresos de la fbrica.

c :| Analice dichas funciones.d :| Exprese la funcin ganancia o beneficio.

e :| El dueo de la fbrica sabe que si vende pocos artculos perder plata, puessus gastos fijos superarn los ingresos. l quiere saber cuntos artculosdebe vender como mnimo para no perder dinero. Aydelo usted, resolvien-do a su manera.

Y ahora que usted ayud al dueo, le mostramos los caminos que utilizamos nosotros.Si el dueo no pierde ni gana, es decir queda hecho, resulta que costos e ingre-sos son iguales.


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ACTIVIDAD28

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ACTIVIDAD27


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Con las frmulas:

Es decir:

Para saber cuntos artculos vender, hallamos x en la ecuacin planteada:

x = 1200 : 12 = 100

Debe vender por lo menos 100 artculos.

Con las grficas:

Funcin costoFuncin ingresosLa solucin est en el punto P (100; 3200).

c = 1200 + 20 xi = 32 x

1200 + 20 x = 32 x

Debe ser: c = i


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Leemos las grficas de las dos funciones:

Hasta x = 100 artculos, i se mantiene por debajo de c: los ingresos son in-

feriores a los costos.

En x = 100 est la interseccin de ambas rectas: los ingresos y los costos

se igualan. El fabricante no gana ni pierde. A partir de x = 100 , i supera a c: los ingresos superan a los costos.


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