Matematicas 2 Medio

5/11/2018 Matematicas 2 Medio - slidepdf.com

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LICEO ABATE MOLINALICEO ABATE MOLINALICEO ABATE MOLINALICEO ABATE MOLINA4 NORTE 1267 – FONO (71) 231363 - FAX (71) 231363

TALCA – VII REGIÓN DEL MAULEwww.lam.cl

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAPROFESOR LUIS ALBERTO VALDIVIA LIZANA

GUIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITASSEGUNDOS AÑOS MEDIOS

Sistema de ecuaciones

En Matemática , un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones convarias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las

incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitasUn sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas está formado por dos ecuacioneslineales y dos indeterminadas, generalmente x e y. Resolverlo consiste en determinar losvalores de x e y que hacen ciertas simultáneamente las dos igualdades.Un sistema de este tipo puede no tener solución (sistema incompatible), tener una solución(sistema compatible determinado) o tener infinitas soluciones (sistema compatibleindeterminado)Veamos un ejemplo de cada uno de los casos

Sistema incompatible

Cualesquiera que sean los valores que tomen x e y, no pueden cumplirsimultáneamente las dos ecuaciones pues si x+y=2 no puede ser que x+y=3.

Sistema compatible determinado, solución única.

Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones.Este caso se produce cuando las ecuaciones son proporcionales, es decir,una ecuación es igual a la otra multiplicada por un número, en esteejemplo la segunda ecuación es igual a la primera por 2. La segunda

ecuación no proporciona información para la resolución del sistema,entonces x+y=1, luego y=1-x. Cualquier par de números de la forma (x,1-x) son solución del sistema.

Consideremos ahora los sistemas de ecuaciones lineales siguientes:



2

El primero tiene solución única que es x = 6, y = -11; el segundo tiene infinitas solucionesdadas por x = 3k +3, y = 2k , para k cualquier número real y el tercero no tiene solución.

Gráficamente se trata de pares de rectas que se intersectan en un punto, coinciden y sonparalelas, respectivamente.

Métodos de resolución

1) Resolución por igualación Tenemos que resolver el sistema:

esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce suecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistemaequivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundostambién lo son, por lo tanto:

Luego:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Operamos para hallar el valor de y:

y=2 Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.

2) Resolución por sustitución. Tenemos que resolver el sistema:



3

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primeraecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la

primera):

Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos,

dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

3) Resolución por reducción Tenemos que resolver el sistema:

El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que unaigualdad no cambia si se la multiplica por un número. También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que alsumarla a la primera se obtenga cero? La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

Y la sumamos la primera obteniéndose: -7y = -14



4

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de x:

Ejercicio: Resuelve por este método:

4) Resolución por determinante Sabemos que un determinante se representa como:

d c

ba

Este se calcula de la siguiente manera: ∆ = a·d – b·c

Sea el sistema:a1x + b1y = c1 a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado por:

22

11

22

11

ba

babc

bc

x = e

22

11

22

11

ba

baca

ca

y =

Resolvamos el sistema::

414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

==−

−===

ba

ba

bc

bc

x



5

214

28

14

4472

14

182

224

22

11

22

11

==−

===

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

Resuelve, por determinantes:

Ejercicios 1. Resuelva los siguientes sistemas por método de sustitución:

1) x = 10

x + y = 16

2) x – y = 6

y = 15

3) x + y = 11

y = 2x + 5

4) 6y – x = 10

x = 3y + 2

5) x – 2y = 3

4x + 3y = 45

6) 8x + 3y = 255x + y = 13

7) 10x – y = 307x – 2y = 8

8) 12x – 8y = 569x – y = 67

9) 4x + 6y = 525x – 2y = 27

10) 10x – 6y = 307x – 4y = 24

11) 3x + y = 2x + 5y = 10

12) -4x + 3y = 02x – y = 0

13) 5x + 4y = 583x + 7y = 67

14) 9x – 5y = -211x + 6y = 155

15) 6x + 7y = 959x – 4y = 70

2. Resuelva por el Método de Reducción:

1) 17x + 9y = 15713x – 9y = -7 2) 7x + 5y = 262x + 3y = -2 3) 5x + 2y = 467x – 8y = 59 4) 5x – 3y = 67x – 4y = 12 5) 8x + 3y = 305x – 3y = 9

6) 9x + 5y = 834x + 5y = 48

7) 13x – 9y = 5010x – 9y = 26

8) 3x + 5y = 284x – 3y = 18

9) 8x + 9y = 616x – 12y = 2

10) 3x + 12y = 111 – 8y + 7x = 7

3. Resuelva por el método de Crammer

1) 5x + 3y = 213x + 5y = 19

2) 7x + 5y = 265x + 7y = 22

3) 7x – 5y = 185x – 7y = 6

4) 9x – 4y = 784x – 9y = 13

5) 8x – 3y =8y – 3x =

11) x + y = 24x – y = 6

12) 8x + 5y = 1468y + 5x = 140

13) 17x –13y = 6711x +23y =169

14) 2x + 3y = -62x + 3y = -10

15) 3x + 4y = 272x – y = 1,5

6) 10x – 6y = 50-6x + 10y = 2

7) 2x – 3y =3a+7b3x – 2y =7a+3b

8) 5x + 3y = 9a-b3x + 5y = 9b-a

9) 4x – 3y = 35x + y = 37

10) 7x + 9y = 66x + 8y = 43



6

4.Resuelva por el método de igualación

a - 3.x - 2.y = -165.x + 4.y = 10

b- x + y = 5-x + y = -2

c - 3.x - 4.y = 12.x - 3.y = 0

d - -7.x + 4.y = 3y = x

e - 4.x - y = 122.x + 3.y = -5

f - 4.x - 3.y = 65.x + y = 17

g- x + 2.y = 05.x + 10.y = 14

h - 2.x - 3.y = 04.x + y = 14

5. Elija el método que desee y resuelva los sistemas:

1) 3x – y = 12x + y = 9

2) x + 4y = 52x – y = 10

3) 3x + y = 05x + 2y = 1

4) 4x – 5y = -83x + 2y = -17

5) x – 3y = 2y – x = -

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este casoparticular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se

11) 6x + 5y = 5012x + 10y = 100

12) 8x + 9y = 616x – 12y = 2

13) 10x – 9y = 1225x – 12y= 51

14) 22x + 15y =9633x – 10y =79

15) 15x + 16y = 7635x – 24y =116

6) x + y = -67x – 6y = -3

7) 5x – 4y = -7-2x + 3y = 3

8) 3x – 11y = 52x + 4y = 1

9) 2(y + 6) = x - 1x + 6 = 3(1 - 2y)

10) 4(y-4x) =2x+1010(y-x) =11y–12x

11) 3x – 4y – 2(2x - 7) = 05(x – 1) = 2y – 1

12) 15x – (y – 3) = 3021y – (x – 2) = 63

13) 6x + 2(x – y) – 5 = 04(x + y) – 8(y – x) – 7= 0

14) 7(x +y) = -2(x – y)8x + y – 1 = 2x – 2y – 4

15) y(x + 4) – x(y – 6) = 05(y – 1) – 11(x – 3) =0

16) (x – 4)(y + 7) = (x – 3)(y + 4)(x + 5)(y – 2) = (x + 2)(y – 1)

17) 27x – 3(4x + 1) = 9(2y – 5)70y – 10(3y + 2) = 7(x + 18)



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mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas lasocasiones.

De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto laresolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a

proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicharesolución.

Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un problema son:

I. Comprender el problema. II. Plantear el problema.

III. Resolver el problema (en este caso, el sistema).IV. Comprobar la solución.

Todo ello quizás quede más claro si se observa el siguiente cuadro que detalla, una a una,

las cuatro fases de este proceso:

1. Comprender el problema.

• Leer detenidamente elenunciado.

• Hacer un gráfico o unesquema que refleje lascondiciones del problema.

• Identificar los datos conocidosy las incógnitas.

2. Plantear el problema.

• Pensar en las condiciones delproblema y concebir un plan deacción,

• Elegir las operaciones y anotar elorden en que debes realizarlas.

• Expresar las condiciones delproblema mediante ecuaciones.

3. Resolver el problema.

• Resolver las operaciones en elorden establecido.

• Resolver las ecuaciones osistemas resultantes de la fase2.

• Asegurarse de realizarcorrectamente las operaciones,las ecuaciones y los sistemas.

4. Comprobar la solución.

• Comprobar si hay más de unasolución.

• Comprobar que la soluciónobtenida verifica la ecuación o elsistema.

• Comprobar que las soluciones sonacordes con el enunciado y que secumplen las condiciones de éste.

Veamos ahora con un ejemplo práctico el desarrollo de estas cuatro fases de la resoluciónde un problema mediante el uso de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.El enunciado del problema puede ser el siguiente:



8

En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Sicada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos,¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leídodetenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es loque se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en laresolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir,cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al númerode respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a lascondiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas,

tendremos las siguientes ecuaciones:

El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, laresolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las

secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:

De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ;

sustituyendo en la primera:

2y + 8 + y = 203y = 12y = 12/3y = 4

sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema,es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y hafallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución escorrecta.



9

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, lerestarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según elenunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y lasolución hallada es correcta y válida.

OBSERVE Y LUEGO ANALICE CADA PROBLEMA RESUELTOOBSERVE Y LUEGO ANALICE CADA PROBLEMA RESUELTOOBSERVE Y LUEGO ANALICE CADA PROBLEMA RESUELTOOBSERVE Y LUEGO ANALICE CADA PROBLEMA RESUELTO 1) En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas,son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

Solución

Respuesta En la granja hay 33 gallinas y 17 conejos

2) En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros.¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?



10

RespuestaSe han utilizado 100 botellas de dos litros y 20 botellas de cinco litros

3) Se quieren mezclar vino de $600 con otro de $350, de modo que resulte vino con unprecio de $500, el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200litros de la mezcla?Solución



11

RespuestaSe deben mezclar 120 botellas de $ 600 y 80 botellas de $ 350

4) Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30preguntas sobre matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se le dan 5puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumnoobtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

Solución

RespuestaRespondió correctamente 22 preguntas



12

5) En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento2 lapiceros a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos¿Cuántos chicos y chicas están en mi clase?

Solución

Respuesta En la clase hay 20 chicas y 15 chicos

6) En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg. de naranjas y 5 Kg. de papas por $2.350y 4 Kg. de naranjas y 2 Kg. de papas por $1.740. Calcula el precio de los kilogramos denaranjas y papas

Solución



13

RespuestaEl kilo de naranja vale $ 250 y el kilo de papas vale $ 370

8) Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganado $ 207.000 El primerole pagaba $ 6.500 Y el segundo $ 8.000. ¿Cuantos días trabajó cada patrón?

Solución

RespuestaTrabajó 22 días con el primer patrón y 8 días con el segundo patrón

Resuelva los siguientes problemas

1 .En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas,son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos encada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántosluchadores había de cada clase? (Recuerde que una mosca tiene 6 patas y una araña 8patas).

4. Encuentre dos números reales tales que su suma sea 17 y su diferencia 2.

5. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone en total de 50 habitaciones 8camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

6. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y



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196 patas. Encuentre el número de conejos y de gallinas.7. Encuentre dos números cuya suma sea 1 y su diferencia sea 6.

8. Mi tío le dijo a su hija. “Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más de1/7”.¿Qué edad tienen mi tío y su hija?

9. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 18, y si al númerose resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número. (Recordar que 74 = 7·10 + 4).

10. En un cine hay 1.300 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó $5000 y cadaniño pagó $2000 por su entrada. La recaudación es de $ 5.000.000 ¿Cuántos adultos hay enel cine?

11. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 más que al menor.¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

12. La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5, seobtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son losnúmeros?

13. La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5, seobtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son losnúmeros?

14. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10 yde $50 tiene?

15. Encuentre dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y ladiferencia sea 95.

PARA EVALUAR

Encierre en un círculo la letra de la alternativa correcta

1. La solución del sistema2 5 0

4 0

x y

x y

− − =

+ − =es:

A) (-1,-3)B) (1,-3)C) (-1,3)D) (3,1)E) (-3,-1)

2. Al resolver el sistema:

2 3 2

4 6 0

x y

x y

+ =

− =

¿Cuál es el valor de xy?



15

A) 0B) 1C) 6D) 1/6E) N.A.

3. Si ( x, y ) es la solución del sistema:2 3 4

2 5

x y

x y

− = −

+ =

x – y = ?

A) -1B) 1C) 2D) 4E) N.A

4. Al resolver el sistema3 10

3 2

x y

x y

+ =

+ =

Se tiene:A) x = 4B) x + y = 2C) x – y = -4D) y = 3E) N.A

5. En el sistema3 4 34

5 9 41

x y

x y

+ =

− =

El valor de ( x + y ) es:A) 7B) 2C) 10D) 11E) 9

6. La edad de un padre y un hijo hoy día, una es el doble de la otra en 50 años más laedad del mayor será cuatro tercios la edad del menor. ¿Cuál es la edad respectiva deambos actualmente?

A) 60 y 30 añosB) 50 y 25 añosC) 75 y 100 años



16

D) 45 y 90 añosE) Otras edades

7. Si junto el dinero de Juanito y Pepito obtengo $35.000. si la diferencia entre ambascantidades y el dinero de Juanito están en la razón 5 : 6, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

A) Falta informaciónB) 20.000 y 15.000C) 29.000 y 6.000D) 5.000 y 30.000E) Ninguna de las anteriores

8.En la verdulería venden fruta sin cuesco y con cuesco (carozo). Si las frutas con carozoson el triple de las que no lo tienen y el total de frutas en el negocio son 120, ¿cuántasfrutas no poseen carozo?

A) 90B) 60C) 30D) 20E) Otro valorF)

0

9. Si a un número de 2 cifras se le suma este mismo número con las cifras invertidas, seobtiene 55, si la diferencia entre el duplo de la unidad y la mitad de la decena es 5, elnúmero corresponde a:

A) 32B) 23C) 14D) 41E) N.A.

10. Una caja fuerte tiene monedas de $100 y $50. Si hay 10 monedas más de $50 que de$100 y además hay $1.500 en monedas de $50, ¿cuánto dinero hay en la caja fuerte?

A) $2.500B) $3.000C) $3.500D) $4.000E) N.A.

11. Un señor dispone de $1.550 en monedas de $100 y $50 para comprar una revista. Sila revista cuesta $1.250 y el señor quiere deshacerse primero de las monedas de $50.¿Cuántas monedas le quedan si inicialmente hay 4 monedas más de $50 que de $100?

A) 6 monedas



17

B) 5 monedas

C) 4 monedas

D) 3 monedas

E) 2 monedas

12. En un establo hay vacas y toros, cuyas cantidades difieren en 28. El número de vacasexcede en 13 al duplo de los toros. El número de animales disponibles para ordeñar son:

A) 15B) 43C) 28D) 95E) 41

13.

14.Si la diferencia de dos números es 4 y su suma es -12, entonces el doble del númeromayor es:

a) 4 b) 8 c) -4 d) -8 e) -16

15.La edad de una madre, hace 4 años era el triple de la edad de su hija. En 6 años másserá el doble. Entonces la suma de las edades de la madre y su hija hoy, es:

a) 40 años b) 60 años c) 48 años d) 50 años e) 24 años

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