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1

Semestre 3

Fascículo

5

Matemáticas

Financieras

Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras


Semestre 3

Tabla de contenido Página

Introducción 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascículo 5 1

Logros 2

Series variable o gradientes 2

Gradiente aritmético 3

Valor Futuro 3

Valor Presente 7

Gradientes aritméticos crecientes y decrecientes 10

Gradientes aritméticos diferidos 16

Gradiente geométrico 16

Valor Futuro 17

Valor Presente 17

Actividad de trabajo colaborativo 18

Resumen 18

Bibliografía recomendada 19

Nexo 19

Seguimiento al autoaprendizaje 21

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

Matemáticas

financieras Semestre 3


Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

“Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA

Tutor Programa Administración de Empresas

Sede Bogotá, D.C.

Revisión de estilo y forma;

ELIZABETH RUIZ HERRERA

Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ

ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.

1

Fascículo No. 5

Semestre 3


Matemáticas

financieras

Series Fijas o Anualidades

Interés Compuesto

A partir del

y con base en conceptos de

se construyen operaciones de

Gradiente geométrico

Gradiente aritmético

con algunas variantes

CrecientesDecrecientes

Y Diferidas

Introducción

Con el fin de facilitar los cálculos para la construcción de amortizaciones y

capitalizaciones de series variables, se han sistematizado unas fórmulas

que le permiten al gestor financiero concentrarse en el desempeño de sus

funciones con facilidad, en la medida que reducen las operaciones para la

toma de decisiones.

Estas series variables son cantidades de dinero que usualmente provienen

de créditos bancarios o particulares y en otras ocasiones representan

modalidades de ahorros programados en entidades financieras.

Para comprometer recursos financieros se deben consultar los flujos de

caja, quienes dan la pauta para definir los tipos de amortización o

capitalización de valores monetarios.

Conceptos previos

El estudiante deberá comprender y aplicar conceptos de Interés

Compuesto, incluidos los pormenores de conversiones de tasas de interés

y construcción de anualidades.

Mapa conceptual fascículo 5

2


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en

capacidad de:

Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde

intervienen series variables, crecientes o decrecientes.

Argumentar la pertinencia en el uso y construcción de ecuaciones y

gráficas de tiempo y valor para la resolución de problemas de gradientes.

Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series

variables, como condición para gestionar con suficiencia créditos

financieros y otras operaciones a plazos.

Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante

series variables y sus transformaciones frente a los plazos y tasas.

Series variables o gradientes

Se conocen como Series Variables o Gradientes, los pagos que presentan

un comportamiento creciente o decreciente de manera constante.

También son llamados “Gradiente Aritmético” si la variación es periódica y

lineal y ·Gradiente Geométrico” si la variación es periódica y porcentual.

Algunos autores denominan estas operaciones como Anualidades

crecientes o Anualidades Decrecientes.

En este fascículo se analizarán diferentes clases de gradientes, calculando

sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, así como los

detalles de manejo e interpretación que correspondan.

Respecto de la notación que se utilizará en este fascículo se encuentran

las siguientes variables:

VP = Valor Presente del gradiente

VF = Valor Futuro del gradiente

g = Cantidad en que se incrementa o disminuye el pago

periódico

i = Tasa de Interés

n = Número de períodos: diferencia entre el período que termina

y el período donde está localizado su cero.

LogrosLogrosLogros

3


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Gradiente Aritmético

En este tipo de transacciones, los pagos aumentan gradualmente en cada

período, es decir, aumentan en forma aritmética. Sobre el gradiente es

posible calcular al menos dos momentos de consolidación de todos sus

valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente) y al final de la

serie de pagos (Valor Futuro).

Valor Futuro

Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

pagos acumulados al final de la serie, utilizando para ello fórmulas de valor

futuro a interés compuesto.

En un gradiente aritmético, el Valor Futuro se ubica justo en el último pago.

El número de períodos se calcula como la diferencia entre el período

donde termina la serie de pagos y su período cero. El período cero de un

gradiente aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los

pagos.

La fórmula para hallar el Valor Futuro de un gradiente aritmético es:

2

11

i

iniGVF

n

(Fórmula 5.1)

Ejemplo 1

Un padre de familia decide realizar un ahorro para la educación superior

de su hijo en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% mensual. Se

requiere establecer cuál es el valor final del ahorro si se efectúan las

siguientes consignaciones: $500.000 dentro de 2 meses; $1.000.000

dentro de 3 meses; $1.500.000 dentro de 4 meses; $2.000.000 dentro de 5

meses; y $2.500.000 dentro de 6 meses.

4


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

6

i = 1,1% mensual

5

VF

2.500.0002.000.000

1.500.000

0 1 2 3 4

1.000.000500.000

6

i = 1,1% mensual

5

VF

2.500.0002.000.000

1.500.000

0 1 2 3 4

1.000.000500.000

Período cerodel gradiente

Período de inicio de los pagos

Período del Valor Futuro

Figura 5.1 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 1.

En este caso, el Valor Futuro del gradiente se ubica en el período 6 y el

número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y

el período cero, es decir 6-0 = 6. Es importante anotar que el número de

pagos es n-1, o sea 6-1 = 5.

Figura 5.2 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 1.

Este ejemplo constituye un gradiente típico, en el que el valor del primer

pago es igual a la variación periódica de los pagos Se resuelve de la

siguiente manera: se calcula el Valor Futuro del gradiente, para lo cual se

trasladan todos los pagos al final del sexto mes, de acuerdo con la fórmula

5.1, así:

2

11

i

iniGVF

n

2

6

011,0

011,061011,01000.500VF

5


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

000121,0

001841841,0000.500VF

VF = 500.000 (15,221823)

VF = 7.610.911,50

Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es

de $7.610.91150

Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor

futuro de cada Pago por separado. Así:

VF = Pago 1 (Valor Futuro de 500.000 durante 4 meses) +

Pago 2 (Valor Futuro de 1.000.000 durante 3 meses) +


Pago 4 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 1 mes) +

Pago 5 (2.500.000)

VF = 500.000(1+0,011)4

+ 1.000.000(1+0,011)3

+ 1.500.000(1+0,011)2

+ 2.000.000(1+0,011)1

+ 2.500.000

VF = 522.365,67 + 1.033.364,33 + 1.533.181,50 + 2.022.000 +

2.500.00

VF = 7.610.911,50

Este resultado confirma que el valor acumulado al final de los depósitos

(Valor Futuro) es de $7.610.91150

Ejemplo 2

El Gerente de la empresa requiere renovar los equipos de cómputo al

finalizar el año. Para ello decide realizar consignaciones cada fin de mes, a

partir del mes de febrero, iniciando con $200.000 y cada mes aumentará la

6


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i = 1,3% mensual

1.800.000

2.000.000

2.200.000

200.000

400.000

600.000

800.000

VF

1.000.000

1.200.000

1.400.000

1.600.000

consignación del mes anterior en $200.000. La entidad financiera ofrece

pagar una tasa del 1,3% mensual. ¿Qué valor podrá retirar a fin de año?


Este caso se resuelve con la fórmula 5.1 para hallar el valor final de la serie

de pagos, así:

2

11

i

iniGVF

n

2

12

013,0

013,0121013,01000.200VF

000169,0

011651776,0000.200VF

VF = 200.000 (68,94542171)

VF = 13.789.084,34

Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es

de $13.789.08434

Para comprobar la anterior operación se construirá una tabla de

capitalización que representa los ahorros de la empresa:

7


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Mes Saldo Inicial Interés Consignación Saldo final

0

1

2 200.000,00 200.000,00

3 200.000,00 2.600,00 400.000,00 602.600,00

4 602.600,00 7.833,80 600.000,00 1.210.433,80

5 1.210.433,80 15.735,64 800.000,00 2.026.169,44

6 2.026.169,44 26.340,20 1.000.000,00 3.052.509,64

7 3.052.509,64 39.682,63 1.200.000,00 4.292.192,27

8 4.292.192,27 55.798,50 1.400.000,00 5.747.990,77

9 5.747.990,77 74.723,88 1.600.000,00 7.422.714,65

10 7.422.714,65 96.495,29 1.800.000,00 9.319.209,94

11 9.319.209,94 121.149,73 2.000.000,00 11.440.359,67

12 11.440.359,67 148.724,68 2.200.000,00 13.789.084,34

Tabla 5.1 Comportamiento de los pagos en la cuenta de ahorro.

De esta manera queda comprobado que el comportamiento de la cuenta

de ahorros al final arroja un saldo de $13.789.08434

, que para efectos

financieros es el Valor Futuro de la serie de pagos.

Valor Presente

Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

pagos, descontados al inicio de la serie, utilizando para ello fórmulas de

valor futuro a interés compuesto.

En un gradiente típico, el Valor Presente se ubica dos períodos antes del

primer gradiente, que en este caso es el primer pago. El número de

períodos se calcula como la diferencia entre el período donde termina la

serie de pagos y su período cero. El período cero de un gradiente

aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los pagos.

8


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

i = 4,5% trimestral

4.000.000

VF

24.000.000

20.000.000

16.000.000

12.000.000

8.000.000

32.000.000

28.000.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

i = 4,5% trimestral

4.000.000

VF

24.000.000

20.000.000

16.000.000

12.000.000

8.000.000

32.000.000

28.000.000Período del

Valor Presente(cero del

gradiente)

Período de inicio de los pagos

Período del Valor Futuro

La fórmula para hallar el Valor Presente de un gradiente aritmético es:

n

n

ii

iniGVP

1

112 (Fórmula 5.2)

Ejemplo 3

Con el propósito de financiar la compra de una máquina importada, la

empresa puede disponer de su flujo de caja en forma trimestral para saldar

la deuda, así: un pago inicial por valor de $4.000.000 dentro de dos

trimestres; cada trimestre posterior aumentará la cuota del período anterior

en $4.000.000 hasta completar 8 pagos. ¿Cuál es el valor por el que podrá

constituir el crédito, si la tasa de financiación es del 4,5% trimestral?


En este caso, el Valor Presente del gradiente se ubica en el período 0 y el

número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y

el período del VP, es decir 9-0 = 9. Es importante anotar que el número de

pagos es n-1, osea 9-1 = 8.

Figura 5.5 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 3.

9


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Este ejemplo también constituye un gradiente típico, en el que el valor del

primer pago es igual a la variación periódica de los pagos.

Se resuelve de la siguiente manera: se calcula el Valor Presente del

gradiente, para lo cual se trasladan todos los pagos al inicio de la serie dos

períodos antes del primer pago, de acuerdo con la fórmula 5.2, así:

n

n

ii

iniGVP

1

112

92

9

045,01045,0

045,091045,01000.000.4VP

003009343,0

08109514,0000.000.4VP

VP = 4.000.000 (26,94779212)

VP = 107.791.168,50

Respuesta: El valor acumulado descontando los pagos en el período cero

(Valor Presente) es de $107.791.16850

Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor

presente de cada pago por separado. Se trasladarán los valores al período

cero utilizando para ello la tasa de interés del 4,5% trimestral, así:

VP = Pago 1 (Valor Presente de 4.000.000 durante 2 trimestres) +

Pago 2 (Valor Presente de 8.000.000 durante 3 trimestres) +







10


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

VP = 4.000.000(1+0,045)2

+ 8.000.000(1+0,045)3

+

12.000.000(1+0,045)4

+ 16.000.000(1+0,045)5

+

20.000.000(1+0,045)6

+ 24.000.000(1+0,045)7

+

28.000.000(1+0,045)8

+ 32.000.000(1+0,045)9

VP = 3.662.919,80 + 7.010.372,83 + 10.062.736,12 +

12.839.216,74 + 15.357.914,77 + 17.635.882,98 +

19.689.183,56 + 21.532.941,69

VP = 107.791.168,50

Este resultado confirma que el valor acumulado al principio de los

depósitos (Valor Presente) es de $107.791.16850

5.1

Formule dos casos de transacciones financieras en los que se

configuren las dinámicas de gradientes aritméticos. Uno con Valor

Futuro y uno con Valor Presente. Socialícelos con el tutor.

Gradientes Aritméticos Crecientes y Decrecientes

Como se analizó anteriormente, las dinámicas de gradientes aritméticos

suponen que los pagos realizados en determinada transacción financiera,

sufren una variación constante, donde cada pago es igual al anterior más

una cantidad constante (gradiente). No obstante, el comportamiento de

estos pagos en ocasiones decrece cada período y en este caso, cada

pago es igual al anterior menos una cantidad constante (gradiente).

Es frecuente que en ejercicios de amortización de créditos o de

capitalizaciones de sumas de dinero, el primer pago sea de un valor

diferente al del gradiente. A continuación se analizarán dos casos en los

que el primer valor es diferente al del gradiente; en el primero de ellos su

comportamiento es Creciente y en el segundo es Decreciente:

11


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

6

i = 0,5% mensual

1.800.000

2.200.0002.000.000

0 1 2 3 4 5

VF

2.800.0002.600.000

2.400.000

1.000.000GradienteAnualidad +

200.000400.000

600.000800.000

0 1 2 3 4 5 60

1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000

1 2 3 54 6

Ejemplo 4

La empresa decide constituir un fondo para futuras contingencias. Para

ello, realiza unas consignaciones mensuales crecientes, iniciando en

$1.800.000 al final del primer mes y de ahí en adelante incrementando

cada consignación en $200.000. ¿Cuál es el saldo del fondo al realizar la

consignación del sexto mes? La tasa que reconoce la entidad financiera es

del 0,5% mensual.

Figura 5.6 Representación gráfica Ejemplo 4.

Se puede observar que, en este caso, el primer pago no corresponde al

gradiente (diferencia entre los pagos), luego no es posible utilizar la

fórmula 5.1 de Valor Futuro como se aplicó en los dos primeros ejemplos.

Analizando la serie de pagos, esta se puede descomponer en dos series:

la primera, una anualidad de seis pagos de $1.800.000 y la segunda un

gradiente de 5 pagos que inicia en $200.000 y se incrementa en $200.000

cada período.

Esta descomposición se representa así:

Figura 5.7 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 4

Así las cosas, es posible utilizar las fórmulas de:

VF de una Anualidad Vencida y

VF de un Gradiente Aritmético,

12


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Lo anterior con el fin de hallar el Valor Futuro de estas consignaciones,

mediante procedimientos abreviados sumando los dos resultados, así:

Valor Futuro de la Anualidad Vencida

i

iRVF

n 1)1(

005,0

1)005,01(000.800.1

6

VF

005,0

030377509,0000.800.1VF

VF = 1.800.000 (6,075501879)

VF = 10.935.903,38

Valor Futuro del Gradiente Aritmético,

2

11

i

iniGVF

n

2

6

005,0

005,061005,01000.200VF

000025,0

000377509,0000.200VF

VF = 200.000 (15,10037575)

VF = 3.020.075,15

Ahora se suman los resultados para obtener el Valor Futuro

VF de la Anualidad Vencida = 10.935.903,38

VF del Gradiente Aritmético = 3.020.075,15

Valor Futuro consolidado = 13.955.978,53

13


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Respuesta: El saldo del fondo al realizar la consignación del sexto mes es

de $13.955.97853

El desarrollo de este problema se puede abreviar, simplemente, plantean-

do una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF de la Anualidad

Vencida + el VF del Gradiente Aritmético, así:

i

iRVF

n 1)1( +

2

11

i

iniG

n

VF de la Anualidad Vencida VF del Gradiente Aritmético

Ahora se comprobará el resultado del gradiente, calculando el valor futuro

de cada Pago por separado. Se trasladarán los valores al período 6

utilizando para ello la tasa de interés del 0,5% mensual, así:

VF = Pago 1 (Valor Futuro de 1.800.000 durante 5 meses) +




Pago 5 (Valor Futuro de 2.600.000 durante 1 mes) +

Pago 6 (Valor de 2.800.000)

VF = 1.800.000(1+0,005)5

+ 2.000.000(1+0,005)4

+

2.200.000(1+0,005)3

+ 2.400.000(1+0,005)2

+

2.600.000(1+0,005)1

+ 2.800.000

VF = 1.845.452,26 + 2.040.301,00 + 2.233.165,28 + 2.424.060,00 +

2.613.000,00 + 2.800.000,00

VF = 13.955.978,53

14


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

0 4

i = 0,8% mensual

2.500.000

1 2 3

VF

4.000.0003.500.000

3.000.000

Este resultado confirma que el valor acumulado como saldo del fondo al

realizar la sexta consignación es $13.955.97853

Del caso anterior se deduce que cuando el primer pago es diferente del

gradiente, se puede resolver el problema considerando por separado y

sumando el resultado de la anualidad con el resultado del gradiente

aritmético.

Ahora se analizará el segundo caso: Gradiente Aritmético Decreciente. En

ocasiones para la amortización de las deudas es conveniente, según los

flujos de caja, comprometer los pagos de tal manera que sean descen-

dentes en el tiempo; otra situación se presenta cuando se hacen retiros

permanentes y descendentes de una cuenta o un fondo y sobre los saldos

se calculan intereses compuestos; también es posible realizar depósitos

decrecientes en una cuenta para obtener al final un saldo. Esta situación

corresponde al siguiente ejemplo:

Ejemplo 5

Con el fin de contribuir con los gastos universitarios del segundo semestre,

se realizan en una cuenta de ahorros los siguientes depósitos mensuales

vencidos decrecientes: $2.000.000 a finales de marzo y cada fin de mes

sucesivo, $500.000 menos que el mes anterior, hasta el 30 de junio. La

tasa de interés pactada es del 0,8% mensual. ¿Qué cantidad se podrá

retirar a mitad de año?

Figura 5.8 Representación gráfica del Gradiente Aritmético Decreciente. Ejemplo 5

15


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000

Anualidad Gradiente

0 1 2 3 40 1 2 3 4

1.000.000500.000

-

1.500.000

En este caso, igual que en el ejemplo anterior, se observa que el primer

pago no corresponde al gradiente (diferencia entre los pagos), luego se

requiere descomponer estos movimientos en dos series: la primera, una

anualidad de cuatro pagos de $4.000.000 y la segunda un gradiente de 3

pagos que inicia en $500.000 y disminuye en $500.000 cada período.

Esta descomposición se representa así:

Figura 5.9 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 5.

Así las cosas, se plantea una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF

de la Anualidad Vencida menos (-) el VF del Gradiente Aritmético, así:

i

iRVF

n 1)1( -

2

11

i

iniG

n

VF de la Anualidad Vencida VF del Gradiente Aritmético

008,0

1)008,01(000.000.4

4

VF -

2

4

008,0

008,041008,01G

VF = 16.193.026,05 - 3.016.032

VF = 13.176.994,05

Respuesta: A mitad de año se podrá retirar de la cuenta $13.176.99405

A continuación se presenta un resumen de las fórmulas más utilizadas en

Gradientes aritméticos (tabla 5.1):

16


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Valor Presente

n

n

ii

iniGVP

1

112

Aritm

ético o

lin

eal Gradiente en

Valor Presente

ini

iVPiG

n

n

11

12

Valor Futuro

2

11

i

iniGVF

n

Gradiente en

Valor Futuro

ini

iVFG

n

11

2

Tabla 5.1 Resumen de fórmulas: Gradientes Aritméticos.

Gradientes Aritméticos Diferidos

Al igual que ocurre con las anualidades diferidas, este tipo de operaciones

se presentan cuando se requiere de un tiempo denominado “período de

gracia”, en el que no se realizan abonos al capital de la deuda. No

obstante, se deben liquidar los intereses y en el momento del inicio de los

pagos, estos deben sumarse al capital para calcular el valor de cada cuota.

También es usual, para no alterar el monto del crédito inicial, cancelar los

intereses generados durante el período de gracia. Esto permite que el

monto de las cuotas no se incremente por efecto de la capitalización de

intereses.

La variación se reduce a que hay que calcular unos intereses al principio

de la operación, que se cancelan o se capitalizan y luego se establece el

monto de las cuotas para amortizar el crédito, utilizando para ello, las

mismas fórmulas de una serie creciente o decreciente, según corresponda.

Gradientes Geométricos

En algunas transacciones se construyen series de pagos cuyo

comportamiento consiste en un crecimiento geométrico, es decir, cada

17


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

i = 0,4% mensual

200.000

288.000240.000

01-Ene 31-Ene 28-Feb 31-Mar 30-Abr 31-May

VF

497.664414.720

345.600

30-Jun

pago corresponde al anterior, multiplicado por un número llamado razón

(r).

Supóngase una serie de pagos como los que se plantean:

Figura 5.10 Representación gráfica del Gradiente Geométrico..

En este caso, se propone un ahorro inicial de de $200.000 al final del

primer mes y este ahorro se realiza en cada uno de los meses siguientes,

con un incremento del 20% sobre el depósito anterior.

Valor Futuro

La fórmula para establecer el Valor Futuro de la serie de pagos en un

Gradiente Geométrico, es:

ri

riKVF

nn11

(Fórmula 5.3)

En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:

2,0004,0

2,01004,01000.200

66

VF

VF = 2.001.778,28

El Valor Futuro del Gradiente Geométrico es $2.001.77828

Valor Presente

La fórmula para establecer el Valor Presente en un Gradiente Geométrico,

descontando la serie de pagos al inicio, es:

18


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

n

nn

iri

riKVP

1

11 (Fórmula 5.4)

En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:

6

66

004,012,0004,0

2,01004,01000.200

VP

VP = 1.954.401,09

El Valor Presente del Gradiente Geométrico es $1.954.40109

En grupos de tres estudiantes, realicen una consulta en entidades financieras y

establezcan al menos una transacción en la que se configure el comportamiento

de gradientes crecientes o decrecientes. Socialicen las respuestas con el tutor.

Como una variante de las anualidades, aparecen las operaciones de

gradientes, que presentan las mismas estructuras de aquellas, pero los

pagos (ingresos o egresos) no son fijos sino variables (crecientes o

decrecientes).

Estas series de valores se incrementan o disminuyen de dos maneras: en

una cantidad constante o a una proporción dada (razón). En la primera

forma se denominan Gradientes aritméticas o lineales y en la segunda

forma se denominan Gradientes Geométricas o Exponenciales.

Sobre estas series de valores se han sistematizado unas fórmulas que

permiten hallar las equivalencias presentes o futuras de todos los pagos,

con el fin de facilitar los cálculos y los diseños de planes de capitalización

o tablas de amortización. Estas fórmulas se han dispuesto en cada uno de

los temas desarrollados en el fascículo.

19


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 2001.

BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá

D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).

CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.

Primera edición. Mexico: Trillas, 2004

CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:

CECSA, 1999. (Texto guía).

DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 1997.

GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia

finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,

2000. (Texto guía).

PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:

Mc Graw Hill, 1997.

SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.

Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

En el Fascículo 6 se construirán y analizarán diferentes estructuras de

amortización, representan periódicamente los comportamientos de

anualidades, gradientes y otras transacciones financieras.

20


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

21


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Matemáticas Financieras - Fascículo No. 5

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad __________________________________Semestre: _______________

Resuelva las siguientes preguntas, de las cuales las tres primeras son de

selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de

autoaprendizaje:

1. Una serie de pagos en forma creciente con variación constante puede ser

llevada a su Valor Futuro con la fórmula:

A.

i

iRVF

n 1)1(

B.

ri

riKVF

nn11

C.

2

11

i

iniGVF

n

D. niPF )1(

2. Para establecer el Valor Futuro de una serie de pagos donde el primero de

ellos es de $1.000.000 y se incrementa en $50.000 cada mes, se deben

conjugar las siguientes fórmulas, así:

A.

ri

riKVF

nn11

menos

i

iR

n 1)1(

B.

2

11

i

iniGVF

n

más niP )1(

C.

i

iRVF

n 1)1( más

ri

riK

nn11

D. niPF )1( menos

i

iR

n 1)1(

22


Matemáticas

financieras

Fascículo No. 5

Semestre 3

3. La diferencia entre el Gradiente Aritmético y el Gradiente Geométrico radica

en que:

A. El Gradiente Aritmético tiene un comportamiento positivo y el Gradiente

Geométrico, negativo

B. El Gradiente Aritmético es creciente y el Gradiente Geométrico es

decreciente

C. El Gradiente Aritmético tiene una variación constante y el Gradiente

Geométrico, porcentual

D. El Gradiente Aritmético se calcula al final del período y el Gradiente

Geométrico, al principio

4. Una deuda será cancelada mediante 6 pagos mensuales, el primero de ellos

por valor de 500.000 y cada uno de los pagos sucesivos incrementados en

500.000. El primer pago se realizará a los seis meses del desembolso. Si la

tasa de financiación es del 1,8% mensual, ¿cuál fue el valor del crédito?

5. Debo pagar un crédito de la siguiente manera:

i = 1,95% mensual

4 5 6

600.000300.000

0 1 2 3

1.800.0001.500.000

1.200.000900.000

Pero solicito se me permita realizar 12 pagos mensuales iguales vencidos. ¿Cuál

será el valor de los pagos?

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