MATEMÁTICAS -...

Matemáticas Ciclo 3 Módulo 1 Capacitación 2000

1

MATEMÁTICAS MODERNAS

Teoría de Conjuntos CONJUNTO Definición:

Es una expresión matemática que puede indicar una reunión o colección de elementos, un sólo elemento o la ausencia de elementos.

Elemento

Es cada uno de los sujetos que están en un conjunto. Ejemplo En el conjunto de las vocales, la letra i es un elemento de este conjunto. Lo mismo ocurre con cada una de las cuatro vocales restantes. IMPORTANTE! En un conjunto se debe tener en cuenta: a) Si hay colección de objetos ésta debe estar bien definida. Si para un elemento cualquiera nos preguntamos: ¿pertenece


2

al conjunto? La claridad de los elementos relacionados, debe permitirnos responder con exactitud “Si” o “No”.

b) Ningún elemento del conjunto se debe relacionar más de una vez.

Cada elemento del conjunto debe ser diferente de los demás y si por algún motivo se repite. debe contarse una sola vez

Ejemplo Establecer cuáles y cuántos elementos hay en la palabra MATEMÁTICAS Respuesta: ¿Cuáles? = M, A, 1, E, I, C, S ¿Cuántos elementos tiene? = 7 ¿Por qué no 11 elementos, si la palabra matemáticas contiene once letras? Porque 4 son repetidas y no se cuentan en el conjunto sino una sola vez. c) El orden en que se enumeran los elementos carece de importancia Ejemplo El conjunto de los números 1, 2, 3 es igual al conjunto 2, 3, 1 ó al conjunto 3, 2, 1


3

CONJUNTO DE ELEMENTOS SIMILARES

CONJUNTO DE ELEMENTOS NO SIMILARES


4

NOTACIÓN Habitualmente los conjuntos se representan con las letras mayúsculas y los elementos que lo forman, con letras minúsculas. Mas específicamente, para expresar un conjunto: 1.- Se bautiza el conjunto con la letra mayúscula. 2.- Se escribe el signo igual. 3.- A continuación se abre una llave. 4.- Se relacionan los elementos que corresponden al conjunto

separados cada uno por medio de comas. 5.- Hecha la relación de los elementos se cierra la llave. Ejemplo Representar el conjunto de las vocales al que llamaremos Conjunto “A’ Hagámoslo: 3 Se abre la llave

Correspondiente

A = {a, e, i, o, u} Nombre del conjunto Se cierra 1 la Clave 2

Elementos del Signo conjunto Separados Igual por comas 2 4


5

FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO

Elaboremos otro ejemplo Representar el conjunto de los números 1, 2, 3 al que llamamos Conjunto “B” Hagámoslo:

B = { 1, 2, 3 }

Determinar un conjunto consiste en indicar un criterio, que permita decidir si un elemento se encuentra o no en dicho conjunto. Existen 2 formas para determinar un conjunto; par extensión y por comprensión. DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran cada uno de sus elementos. Ejemplo Determinar por extensión al conjunto de las vocales teniendo en cuenta que a dicho conjunto le vamos a llamar el conjunto “V”. Hagámoslo:

V = {a, e, i, o, u}

Determinación por extensión. Es decir, Escribiendo todos los elementos


6

DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN Un Conjunto queda determinado por comprensión cuando se indica la propiedad que caracteriza a todos sus elementos y solo a ellos. De esta forma si queremos determinar por comprensión el Conjunto “V” de las vocales decimos:

V= {x / x es Vocal}

La raya se lee: “Tal que”

Volvamos a escribirlo:

V= {x / x es vocal}

Se lee: El conjunto “V” formado por las “x”

tal que “x” es vocal. IMPORTANTE En este caso indica que cada “x” que haya que escribir en el conjunto puede ser reemplazado por una vocal. Hagamos un ejemplo más genérico: Si “A” es el conjunto cuyos elementos son aquellos que poseen la propiedad “P”, se escribe:

A = {x / x posee P}

Se lee: A es el conjunto de las x, tal que x Posee P o la propiedad P


7

Elaboremos otro ejemplo Definir por comprensión el conjunto “E” que son los miembros de la familia Pérez. Tenemos;

F = {x / x es un miembro de la Familia Pérez}

Se lee: El conjunto F es el conjunto de las x tal que x, o cano x es un miembro de la familia Pérez.

Ejercicios 1) Dados los siguientes conjuntos por extensión, escribirlos por comprensión: Por Extensión a) A = {a, e, i, o, u} b) B = {1, 3,5,7, 9} c) C = {Quibdo, Cali, Popayán Pasto} Por comprensión a) A = {x / x es una vocal} b) B = {x / x es dígito impar} c) O = {x / x es capital de un departamento de la costa pacifica colombiana} 2) Dados los siguientes conjuntos por comprensión, escribirlos par extensión: Por Comprensión a) D = {x / x es un dígito par} b) E = {x / x es satélite natural de la tierra} Por Extensión a) D = {0, 2, 4, 6, 8} b) E = {Luna}


8

CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO UNIVERSO O REFERENCIAL Es el conjunto más general al cual nos referimos en el desarrollo de un problema especifico. Este conjunto puede variar da acuerdo con la situación manejada. Se simboliza con la letra U. En el tratamiento de un problema podemos elegirlo a nuestra conveniencia con relativa libertad. Esta relativa libertad no implica que el Universo sea un conjunto falto de precisión o de naturaleza variable. Al determinarse el conjunto universo este permanece fijo y los conjuntos existentes en el mismo problema se estructuran con elementos de ese universo ya elegido. IMPORTANTE El conjunto universo o referencial nunca puede ser un conjunto Vacío (∅) Ejemplos 1.- Si los conjuntos a considerar por alguna razón son: Los ciclistas En este caso el conjunto Universo o Los boxeadores Referencial más adecuado es el Los nadadores conjunto de los Deportistas. Los luchadores 2.- Si tenemos el conjunto:

A = { x / x es la capital de un país latinoamericano }


9

En este caso se puede tomar como Conjunto Universo o Referencial a todas las ciudades de América. O aún más restringido: podríamos tomar como conjunto Universo las ciudades latinoamericanas. Todavía más restringido: Las Capitales de América. El más restringido de todos sería: Las Capitales de Latinoamérica. En conclusión: Conjunto Universo o Referencial es aquel que engloba por lo menos, al total de los elementos del conjunto o de los conjuntos de un problema matemático específico.

CONJUNTO VACÍO O CONJUNTO NULO Es el conjunto que no posee elementos NOTA El símbolo de vacío es el siguiente ∅ ó { } NOTACIÓN Si decimos que el conjunto A es vacío, lo anotamos en la forma siguiente:

A = { } ó A = Ø Ejemplo: En el conjunto A establecer el número de caballos con cuernos. Respuesta:

A = { } ó

A = Ø


10

CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que está formado por un sólo elemento. Ejemplo Establezca el conjunto A que esta formado por el número 3 respuesta:

En este caso es A = {3} unitario por que tiene un solo elemento. Elaboremos otro ejemplo Si C = { x / x + 5 = 7 } Si x es un número natural, a qué dígito es igual el conjunto C?

C = { 2 }

CONJUNTO FINITO Es aquel que se le puede contar sus elementos uno a uno en algún orden y el proceso de contar puede acabar. Ejemplo Si V = { a, e, í, o, u} decimos que V es finito porque tiene 5 elementos, es decir, se puede contar sus 5 elementos. Si B = { x/x sea árbol de la tierra }


11

Decimos que B es finito aunque sea difícil determinar, porque los árboles de la tierra no son innumerables. Así sucesivamente, cualquier conjunto cuyos elementos pueden ser contados toman el nombre de conjunto finito.

CONJUNTO INFINITO Es el conjunto cuyo proceso de contar sus elementos no puede terminar. Veamos algunos conjuntos infinitos de uso común en matemáticas. a) Un conjunto infinito tratado comúnmente en matemáticas es el conjunto de números naturales. Se simboliza con la letra N. Donde N = {O, 1,2,3,4,5....} IMPORTANTE 1) Los puntos suspensivos después del número 5..., significan que siguen los números sin llegar a un límite. 2) Cuando se da un conjunto como: A = { 1, 2, 3, 4, 5, ........, 20} En este caso los puntos suspensivos significan que después del 5 siguen los números pero sólo hasta llegar al número 20. b) Sea el conjunto de “l”de los números Impares: I = {1, 3, 5, 7, 9, 11 > En este caso los puntos suspensivos indican que el conjunto es infinito.

RELACIONES QUE SE DAN ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS

Entre los conjuntos y sus elementos se presentan 3 relaciones básicas: La relación de pertenencia, la relación de inclusión y la relación de igualdad.


12

RELACIÓN DE PERTENENCIA

IMPORTANTE: 1) La relación de PERTENENCIA solamente se da entre elemento y conjunto, es decir, va de un elemento a un conjunto y no entre dos conjuntos. 2) Las relaciones de INCLUSIÓN E IGUALDAD solamente se dan entre dos conjuntos y no entre elemento y conjunto. Al observar un conjunto, notamos los elementos que forman el conjunto. Poniéndose de manifiesto una relación entre el conjunto y sus elementos. Esta relación se llama de Pertenencia y decimos que los elementos pertenecen al conjunto. Ejemplo Dado el Conjunto V = { a, e, i, o, u } decimos que “a” es un elemento de V o que pertenece a V, “e” es un elemento de V ó que pertenece a y. Así sucesivamente. IMPORTANTE: La relación de pertenencia se da únicamente entre un elemento y un conjunto; no se da entre dos conjuntos. NOTACIÓN El símbolo de pertenencia es:

∈ se lee: “Es Elemento de” o “Pertenece a”:


13

RELACIÓN DE NO PERTENENCIA

Si tenemos que V = { a, e, i, o, u } Decimos:

a ∈ V

Se lee; a es un elemento de V ó pertenece a V

i ∈ V

Se lee; i es un elemento de V ó pertenece a V

En términos generales, podemos decir: Si un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa simbólicamente así:

x ∈ A Se lee; x pertenece al conjunto A ó x pertenece a A

Ejemplo

Tomemos el conjunto D = { x/x es dígito }

o sea: D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Como el cinco es un dígito podemos escribir:

5 ∈ D

Si observando un conjunto establecemos que entre los elementos que contiene no se encuentra cierto elemento, decimos que dicho elemento no pertenece al conjunto.


14

IMPORTANTE El símbolo de no pertenencia es ∉y se lee: no pertenece a... Ejemplo Sea el Conjunto V = { x / x es vocal } Si nos preguntan, ¿3 pertenece al conjunto V? tenemos que decir: como 3 no es vocal, no pertenece al conjunto V. Simbólicamente podemos expresarlo:

3 ∈ V Se lee: tres no pertenece a V.

En general: si en un conjunto “A” no se encuentra un elemento x, lo expresamos simbólicamente así:

x ∈ A

Veamos un ejemplo más. Tomemos el conjunto A = { x / x sea letra del abecedario } En otras palabras. El conjunto A está formado por las letras del abecedario. Como 5 no es una letra del abecedario, decimos que 5 no pertenece al conjunto A, lo cual lo expresamos simbólicamente así:

5 ∈ A


15

Ejercicios Resueltos 1) Escribir en el espacio correspondiente marcado con un guión el símbolo ∈ ó ∉ según el caso: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { a, b, c, d, e } C = { a, e, i, o, u } D = { v, w, x, y, z } a) 1 ∈ A b) 3 ∈ A c) 7 ∉ A d) a ∉ A e) a ∈ B f) a ∈ C g) a ∉ D h) u ∈ C i) x ∈ D j) m ∉ A 2) Escribir frente a cada enunciado una V o una F según sea verdadero o falso respectivamente: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 1, 3, 5, } C = { a, e, i, o, u } a) 1 ∈ A: V b) 1 ∈ C: F c) 1 ∈ B: V d) a ∈ A: F e) a ∈ B: F f) a ∈ C: V g) 5 ∉ A: F h) 5 ∉ B: F i) 5 ∉ C: V j) 6 ∉ A: V k) B ∈ A: Falso, porque la relación de pertenencia “∈” solo se utiliza entre un elemento y un conjunto nunca entre dos conjuntos


16

RELACIÓN DE INCLUSIÓN Si al observar los conjuntos, A y B notamos que todos los elementos que pertenecen al conjunto A, pertenecen también al conjunto B, se dice entonces que el conjunto A está INCLUIDO en el conjunto B. IMPORTANTE: La relación de inclusión solamente se da entre dos conjuntos, no entre un elemento y un conjunto. La relación de inclusión también es llamada relación de CONTENENCIA o relación SUBCONJUNTO. NOTACIÓN: El símbolo de inclusión o subconjunto es: “incluido”

⊂, ó ⊆; se lee “Contenido” o “Subconjunto”. Ejemplos: 1) Si V = {a, e, i, o, u} y A = {a, e, o), como las vocales que pertenecen al conjunto A= {a, e, o} también pertenecen al conjunto V, se puede afirmar que el conjunto A está INCLUIDO en el conjunto V, o que el conjunto A está CONTENIDO en el conjunto V, o también que el conjunto A es SUBCONJUNTO del conjunto V. Lo anterior se simboliza así:

A ⊂ V, o también A ⊆ V “A está incluido en V” Se lee “A está contenido en V” o “A es subconjunto de V”


17

2) D = {x/x es un dígito} = {0,1,2,3, ......9} P = {x/x es dígito par} = {0, 2, 4, 6, 8}

I = {x/x es dígito impar} = {1, 3.5,7,9} Como todos los dígitos pares son en particular dígitos, luego P está incluido en D. Simbólicamente P ⊆ D ó P ⊂ D Se lee; P está incluido en D. De igual forma: I ⊆ D se lee:

I es subconjunto de D. IMPORTANTE: 1) “Todo conjunto es subconjunto de sí mismo”. Esta afirmación es lógica, puesto que para que un conjunto A sea subconjunto de otro conjunto B se debe cumplir que todos los elementos que están en A deben estar también en B. En particular A ⊆ A porque todos los elementos que están en el primer conjunto A, por lógica tienen que estar en el segundo conjunto A porque en realidad es el mismo conjunto. Ejemplo:

A = {x/x es una vocal} A = {a, e, i, o, u}

luego A ⊆ A 2) Cuando se habla de que un conjunto es subconjunto de él mismo, se utiliza el símbolo “⊂”. IMPORTANTE; Cuando entre dos conjuntos A y B resulta que no hay ningún elemento en común, dichos conjuntos se llaman disyuntos.


18

Ejemplo: 1) A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {6, 7, 8, 9} A y B no tienen ningún elemento en común, luego A y B son disyuntos. 2) A = {x/x es vocal} B = {x/x es consonante} Como no existe ninguna vocal que sea consonante, (ni viceversa), A y B son disyuntas. 3) A = {1, 3, 5, 7, 9,...}, impares B = {2, 4, 6,10,...}, pares Coma no existe ningún número impar que sea también par (ni viceversa), A y B son disyuntas. 4) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {3, 6, 9, 12, 15} Como los elementos 3 y 6 pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, A y B si tienen elementos en común, luego A y B no son disyuntas.

RELACIÓN DE NO INCLUSIÓN Si al observar dos conjuntos Ay B se puede establecer que existe parlo menos un elemento “a” que pertenece al conjunto A y que dicho elemento “a’no pertenece al conjunto B, se dice que “A no está incluido en B”, o que “A no está contenido en B”o también que “A no es subconjunto de B”. El símbolo de “no incluido” es:

No está incluido en, o

⊂, ó ⊆; se lee: No está contenido en, o No es subconjunto de.


19

Ejemplos: 1) Sean: V = {a, e, i, o, u} y A= {a, e, o, m}. como m ∈ A y m ∉ v, se puede afirmar que el conjunto “A no es subconjunto de el conjunto V” y se simboliza: A ⊄ V, (Se lee: “A no es subconjunto de v”). Igualmente, como u ∈ V y u ∉ A, se puede afirmar que V ⊄ A, (se lee: “V no es subconjunto de A”). IMPORTANTE: “El conjunto vacío (∅), se considera como un subconjunto de cualquier otro conjunto”. Esta afirmación es lógica porque para afirmar que un conjunto A no es subconjunto de otro conjunto B, debemos hallar un elemento a e Ay que este mismo elemento a ∉ B. En particular en el caso del conjunto vacío no se puede hallar un elemento que pertenezca al conjunto vacío y que no pertenezca al conjunto B; luego: ∅ ⊂ B, (se lee: Vacío es subconjunto de B). 2) Escribir en el guión el símbolo ⊂ o ⊆ o ⊄de acuerdo a los siguientes conjuntos: A = {x/x es dígito} B = {0, 2, 4, 6, 8,} C = {x/x es dígito par} D = {0,1,2,3,4,5,6,8,9} E = {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9} F = {0, 1, 6, 8, 9} a) B ⊂ A b) C ⊂ A c) D ⊂ A d) B ⊂ A e) A ⊄ B f) A ⊄ D g) B ⊄ C h) D ⊄ B i) B ⊂ D j) C ⊂ E K) E ⊄ C l) F ⊂ A m) F ⊄ B n) F ⊄ C o) F ⊂ D p) F ⊂ E q) F ⊆ F r) A ⊆ A


20

3) Escribir al frente de cada enunciado V o F según sea verdadero o falso respectivamente: A = {x/x es el abecedario} B = {x/x es vocal} C = {a, b, c, d, e, f} D = {u, v, w, x, y, z} a) B ⊂ A: V b) C ⊂ A: V c) D ⊂ A: V d) B ⊂ D: F e) D ⊂ B: F f) A ⊂ D: F g) A ⊆ A: V h) B ⊆ B: V i) D ⊆D: V j) a ⊂ A: Falso. Porque la relación de inclusión sólo se da entre

dos conjuntos y no entre un elemento “a” y un conjunto “A”

k) a ∈A: V IMPORTANTE: 1) Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal que se tome de referencia. Si A es un conjunto cualquiera y U es el conjunto universal entonces A es subconjunto del conjunto universal; luego: A ⊂ U 2) El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo conjunto, en particular vacío es subconjunto del conjunto universal U luego: ∅ ⊂ U. 3) Todo conjunto es subconjunto de si mismo; en particular, el conjunto universal es subconjunto del conjunto universal; luego: U ⊆ U.

RELACIÓN DE IGUALDAD DE CONJUNTOS Primera Definición: Dos conjuntos Ay B son iguales si tienen los mismos elementos; no importa ni el orden ni que estén repetidos El símbolo de igualdad de conjuntos es: “=“. (se lee. “es igual a”)


21

Ejemplos: 1) A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3} luego A=B (se lee “A es igual B”) porque A y B tienen exactamente los mismos elementos. 2) A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 2, 4} luego: A = B (Se lee: “A es igual a B”), porque A y B tienen exactamente los mismos elementos sin importar el orden en que estén. 3) A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 1, 2} luego: A = B (Se lee: “A es igual a B”), porque A y B tienen exactamente los mismos elementos sin importar que estén repetidos en B. En realidad tanto los elementos del conjunto A como los elementos del conjunto B son solamente los primeros tres números naturales 1, 2, 3. Este tercer ejemplo nos sugiere que en un conjunto no se deben repetir elementos, pues los elementos repetidos sobran. Es como si se tratara de una colección en la cual sobran los objetos que estén repetidos. Volviendo al ejemplo anterior, el conjunto B está conformado únicamente por los números 1, 2, y 3, es decir

B = {1, 2, 3, 1, 2} = {1, 2, 3}

No se repiten estos elementos Segunda Definición: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. En símbolos:

A = B A ⊆ B ∧ B ⊆ A


22

Ejemplo: A = {0, 1, 2, 3, ....., 9} B = {x/x es un digito} Para determinar que A = B se debe comprobar que A ⊆ B y B ⊆ A: a) Miremos que A ⊆ B: Si x ∈ A entonces x es un número de una sola cifra, es decir, x es un dígito, luego x ∈ B Como para todo x ∈ A, también x ∈ B, se concluye que: A ⊆ B b) Miremos que B ⊆ A: Si x ∈ B entonces x es un dígito, es decir, x es un número de una sola cifra, luego x ∈ A. Como para todo x ∈ B, también x ∈ A, se concluye que: B ⊆ A. De (a) y (b):

A ⊆ B ∧ B ⊆ A entonces A = B

RELACIÓN DE NO IGUALDAD Dos conjuntos A y B son no iguales o diferentes si se puede establecer que hay un elemento que pertenece a uno de estos conjuntos y que dicho elemento no pertenece al otro conjunto. También: A y B no son iguales si se cumple que A no es subconjunto de B o que B no es subconjunto de A, es decir:

A ≠ B si A ⊄ B v B ⊄ A Ejemplo: A = {1, 2, 3, ...., 9} y B = {x/x es un dígito} A y B no son iguales porque existe o ∈ B y O ∉ A, es decir B ⊄ A Luego: A ≠ B


23

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

¡IMPORTANTE! Gráficamente un conjunto suele representarse por los llamados “Diagramas de Venn” (en honor al gran lógico inglés John Venn). Definición: Un diagrama de Venn es una curva cerrada. Generalmente ovalada o rectangular. Forma de Interpretación Para interpretar correctamente los diagramas de Venn, podemos convenir en los siguiente: 1) Los elementos que pertenecen al conjunto, se representan por puntos interiores a la curva. 2) Los elementos que no pertenecen al conjunto, se representan por puntos exteriores a la curva. 3) Ningún punto se representa sobre la curva. 4) El conjunto universal (U), se representa por un rectángulo para diferenciarlo de los otros conjuntos que generalmente son ovalados. Ejemplo: 1) Utilizando los diagramas de Venn Representemos los conjuntos:

Matemáticas Ciclo 3 Modulo 1 Capacitación 2000

24

a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) B = {a, e, i, o, u} Solución

a) A b) B 1 a

2 e 3 4 i 5 o 6 7 u 2) Representar los siguientes conjuntos utilizando diagramas de Venn.

U = {x/x es vocal} Se lee: El conjunto U es igual al conjunto de las x tal que x es vocal.

A = {x/x es vocal cerrada} Se lee: El conjunto A es igual al conjunto de las x tal x es vocal cerrada. Tenemos: U a A u i e O


25

MATEMÁTICAS MODERNAS 2

Prosigamos en la explicación iniciada en el fascículo anterior sobre diagramas de Venn. En el fascículo anterior vimos un diagrama de Venn cuando intervienen hasta dos conjuntos, es decir, un conjunto universal y otro conjunto cualquiera que es subconjunto. Puede observar la última página del fascículo anterior. Pasemos a considerar los mismos diagramas de Venn. Pero en el cual intervienen 3 conjuntos: El universal y dos conjuntos, subconjuntos del universal. EJEMPLO Representar mediante los diagramas de Venn los conjuntos siguientes:

U = {x/x sea dígito} A = {0, 2, 5, 7} B = {0, 1, 5, 8}

La representación gráfica de los conjuntos U, a y B es:

A B

2. 1.

3. 0. 6.

5. 7. 8.

9. 4.


26

¡IMPORTANTE! 1) Los elementos que no pertenecen a los conjuntos A y B. Deben

escribirse dentro del Universal pero fuera de los conjuntos correspondientes (Observe la Figura).

2) Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes como es el

caso de “0” y “5” que son comunes a los dos conjuntos deben escribirse en el área común a los dos conjuntos. (observe la figura).

Veamos otro ejemplo Si U = {a, b, c, d, e, f, g} A = {b, d, e} B = {a, b, d, e, f} Entonces: B a. A d. b. e. f. c. g. ¡IMPORTANTE! Como todos los elementos del conjunto “A” están en “B” para graficarlo, se puede colocar “A” dentro de “B”. Elaborar 4 casos más de gráficas de conjuntos.


27

Ejercicios 1) Representan en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos:

U = {x/x es un dígito} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} C = {1, 3, 5, 7, 9}

A B .0 .6 .4 .2 .5 .3 .7 .1 .8 .9 C Explicación: 1) Los 3 conjuntos A, B y C se representan con óvalos de tal manera

que resulte una región en común; en esta región se escriben los elementos comunes de los 3 conjuntos que en el presente ejemplo es solamente el número 5 (observe que 5 está en a, en B y en C).

2) En forma similar existe una región común para los conjuntos

tomados de dos en dos. a) En la región común para los conjuntos A y B se escriben los

elementos que están tanto en A como en B; en el ejemplo son 4 y 5, como el 5 ya está, sólo se escribe el 4 (en la parte común de A y B pero no de C).


28

b) En la región común de A y C se escriben los elementos que están tanto en A como en C; en el ejemplo son 1, 3 y 5; como el 5 ya está, sólo se escriben 1 y 3 (en la parte común de A y C pero no de B).

c) En la región común de B y C los repetidos de B y C que en este

ejemplo son 5 y 7, como el 5 ya está, solo se escribe el 7 en la parte que le corresponde.

DIAGRAMAS LINEALES

En el fascículo anterior se tuvo en cuenta los diagramas inglés Jhon Venn. (Óvalos y Rectángulos) pero además presentan los diagramas lineales. DEFINICIÓN: Diagrama Lineal es una forma de indicar por medio de Rectas cierta forma de inclusión de conjuntos, considerando el que se encuentra, o los que se encuentren, en la parte superior, como conjuntos que contienen a los que se encuentran en la parte inferior. Veáse un ejemplo para aclara la idea. Establecer un diagrama lineal de los conjuntos A y B teniendo en cuenta que B contiene a A Solución

A ⊆ B

B

A


29

Veáse otro ejemplo Elaborar un diagrama lineal de los conjuntos A, B y C; en el cual se muestre que C contiene a B y B contiene a A. Simbólicamente

A ⊆ B ⊆ C

Solución

C

B

A

Establecer un Diagrama Lineal de los siguientes conjuntos: O = {1}

P = {1, 2}

S = {1, 2, 3}

T = {1, 2, 3}

Solución

T S

P

O


30

Elaborar un diagrama lineal de los conjuntos: N = {1, 2, 3}

M = {1, 2}

L = {2}

Solución

N

M L

Elaborando otro ejemplo Realizar un diagrama lineal que relacione los siguientes conjuntos: A = {0, 1, 2,}

B = {1, 2, 3, 4}

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

D

C

A B


31

Considerando el diagrama siguiente:

F

G

H I J

Cuáles afirmaciones son verdaderas y cuales falsas.

1) F. Contiene a todos los conjuntos

2) H y I son disyuntos

3) H ⊆ G

4) I y H son disyuntos

El diagrama Lineal de estos conjuntos es:

U

F

J

G

H I


32

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN Unir dos conjuntos es establecer un nuevo conjunto que reúna el total de los elementos de ambos conjuntos, que generalmente se le llama conjunto unión. El símbolo de unión es: U Se lee: Unión o Reunión EJEMPLO Si se requiere unir el conjunto A y el conjunto B Simbólicamente se presenta.

A U B

Se lee:

A unión B ó

Unión de A y B

EJEMPLO Tomando los conjuntos A = {a, b, c} y B = {d, e, f} De acuerdo a la definición se cumple que:

A = {a, b, c} y B = {d, e, f}

A U B = {a, b, c, d, e, f}


33

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Cuando se quiere presentar gráficamente la unión de dos conjuntos lo acostumbrado es usar un conjunto Universal, es decir, un paralelogramo y dentro de él se grafican los conjuntos correspondientes. Presentando algún sistema de rayado o de sombra que indique que los conjuntos constituyen unión: Ejemplo: Se requiere unir los conjuntos A y B. Representar gráficamente dicha unión. Con sistema de rayado A B

A U B Con sistema de sombra A B

A U B


34

Otra forma de simbolizar la unión de conjuntos es la siguiente:

La unión de los conjuntos A1, A2, A3 ...... An.

Se lee: La unión de los conjuntos A Sub-uno, A sub-dos, A sub-tres, puntos suspensivos A Sub-ene. Usando el símbolo de unión “U” podemos simbolizarlo así:

A1, U A2, U A3 ...... U An

Se lee: A sub-uno, unión A sub-dos, unión A3 unión .... ..... A sub-ene OTRO Símbolo matemático utilizado es:

n Este símbolo en matemáticas significa: La unión U de los conjuntos con el subíndice i variando desde uno hasta ene.

i = 1 ¡IMPORTANTE! La i indica los subíndices de los conjuntos, es decir, el numerito pequeño que se escribe en la parte inferior. En el símbolo visto dice que i inicia variando desde uno hasta n. Si se quisiera que los subíndices iniciaran desde el tres, por decir algo, i=3, entonces el símbolo quedaría:

n Se lee: La unión de los conjuntos con el subíndice i variando desde 3 hasta n.

i = 3 Volviendo a escribir el ejemplo visto


35

A1, U A2, U A3 ...... U An Se lee: El conjunto A sub-uno unido al conjunto A sub-dos unido el conjunto A sub-tres .... unido al conjunto A sub-ene. Se puede escribir

n

Ai i = 1, 2, 3, ....n i = 1 Se lee: La unión de los conjuntos A con subíndice i que varia

desde uno hasta n. i o el subíndice i es igual a 1, 2, 3 hasta n también se puede leer: El subíndice i que debe utilizarse es 1, 2, 3 hasta n subíndices

Elaboremos otro ejemplo Establecer el conjunto unión de los conjuntos m1, m2, m3, m4 y m5. En símbolos se puede escribir:

5

Mi = {x/x ∈ i para algún i, i = 1, 2, 3, 4, 5} i = 1 Se lee: Establecer la unión de los conjuntos “M” cuyo subíndice es i que varia desde 1 hasta 5.


36

Ejemplo: Sean los conjuntos: M1 = {a, e}

M2 = {a, i} M3 = {e, i, o} M4 = {o, u} M5 = {a, o, u}

Entonces:

5

Mi = M1 U M2 U M3 U M4 U M5 = {a, e, i, o, u} i = 1 Se lee: La unión de los conjuntos M1 cuyo subíndice varía de 1

a 5 es igual a M1 unión M2 unión M3 unión M4 unión M5 que es igual a el conjunto cuyos elementos son a, e, i, o, u.

Sabiendo que la unión de dos conjuntos es la unión de todos sus elementos se puede decir. Simbólicamente.

A u B = {x/x ∈ A o X ∈ B }

Se lee: La unión de los conjuntos a y B es igual al conjunto de las equis tal que equis es elemento del conjunto A o X es elemento del conjunto B. ¡IMPORTANTE! Hay algunos libros que presentan la unión de conjuntos unidos con el signo más. Ejemplo:


37

La unión de los conjuntos a y B la presenta A + B y la llaman suma conjuntista de A y B. Hay varios casos que se derivan de la unión de conjuntos. 1) Por ser una suma, la unión de conjuntos es Conmutativa. Es

decir, el orden de los sumandos no altera la suma. Y se tiene que;

A U B = B U A Ley conmutativa.

2) Los conjuntos sumandos empiezan a ser Subconjuntos del

conjunto suma y tenemos que:

A ⊂ (AUB) y B ⊆ (AUB)

3) Si hay más de dos conjuntos se presenta la Ley Asociativa y se tiene:

A U (BUC) = (AUB) UC Ley Asociativa

4) Como en el conjunto unión no hay repetición de elementos, se

presenta que si un conjunto se une consigo mismo es igual al mismo conjunto.

y queda:

A U A = A Ley Equivalente o idempotente. 5) Si un conjunto se une con su universo teniendo en cuenta que

en el conjunto unión no se repiten elementos el resultados sería el Conjunto Universo y queda:

A U U = U Ley de Denominación.

6) También es verificable que si un conjunto se une con un conjunto vacío, ya que el conjunto vacío representa cero elementos, el resultado será el mismo conjunto y se tiene:


38

A U ∅ = A Ley de Identidad

INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS

DEFINICIÓN Intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto formado con los elementos comunes en los conjuntos. El símbolo de la intersección es el mismo de la unión pero al contrario. Se lee:

Intersección ó interceptado con:

EJEMPLO: Si se quiere presentar la intersección de los conjuntos A y B, simbólicamente queda:

A B

Se lee: A intersección B

La intersección también se puede definir:

A B = {x/x ∈ A y x ∈ B}


39

Se lee: El conjunto intersección de los conjunto A y B es igual al conjunto de las equis, siendo X elemento del conjunto A y equis elemento del conjunto B.

PRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA INTERSECCIÓN

Presentar gráficamente la intersección de los conjuntos A y B. A B

A B La parte sombreada. Donde se presenta la parte común a los dos conjuntos es lo que gráficamente se llama intersección. Veamos un Ejemplo: Tomando los conjuntos: U = {x/x es un dígito} A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5}


40

OBSERVACIONES 1) El conjunto universal es un conjunto donde se encuentran todos

los dígitos es decir: Los números del 0 al 9 2) Observe que los elementos 1 y 3 son comunes a ambos

conjuntos. Estos elementos comunes a ambos conjuntos son los que constituyen el conjunto Intersecto o en otras palabras el 1 y el 3 son los que constituyen el conjunto Intersección de los conjuntos.

Simbólicamente se tiene: A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} A B = {1, 3} Se lee: El conjunto A intersección B es igual al conjunto formado por los elementos 1 y 3. Elaborando el mismo Problema Gráficamente .2 .1 .3 A =

.3 .1 .5 B =


41

Metiendo en el universal de los dígitos se tiene: A B 4. 6. .1 7. .2 8. .3 9. 0.

A B

OBSERVACIONES 1) Como el conjunto universal, representa todos los números

dígitos, los dígitos que no pertenecen a los conjuntos A y B se colocan fuera de los conjuntos como son: 44, 6, 7, 8, 9, 0.

2) Como no se repiten elementos en un conjunto y los elementos 1

y 3 están repetidos, se escriben una sola vez, pero como dichos elementos pertenecen a ambos conjuntos, se escriben en la parte intersecta. Es decir, en la parte sombreada. Esto indica que dichos elementos se encuentran en ambos conjuntos.

3) Los elementos 2 y 5 se dejan en el conjunto que corresponde: 4) Toda la gráfica corresponde a mostrar el conjunto intersección

entre A y B 5) Simbólicamente se puede decir:

A B = {1, 3} Porque: 1, 3 ∈ A y 1, 3 ∈ B

INTERSECCIÓN EN CONJUNTOS DISYUNTOS


42

Si se presentan dos conjuntos disyuntos es decir, si dichos conjuntos no tienen ningún elemento en común, obligatoriamente la intersección entre ellos es nula. Es decir, el conjunto intersección de los dos conjuntos es vacío. EJEMPLO Sean los siguientes conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, ...... 10} A = {1, 2, 3} B = {5, 6, 7} En este caso:

A B = ∅ Se lee: La intersección de los conjuntos A y B es igual al conjunto vacío. Gráficamente A B .1 .5

. 4 . 8 .2 .6 . 9 .3 .7 . 10

A B

Observe que no hay ningún punto en común entre los conjuntos A y B. Elaboremos otro ejemplo


43

Sean los conjuntos:

A1, A2, A3, ...... An

Conjuntos de un Universal U La intersección de A1, A2, A3, ..... An Es el conjunto formado por los elementos comunes, es decir, que deben estar en A1, A2, A3, ..... An Simbólicamente se puede decir: Hallar la intersección de los conjuntos

A1, A2, A3, ...... An Se lee: Hallar la intersección de los conjuntos A sub-uno, intersección A sub-dos, intersección A sub-tres, intersección.... intersección A sub-n. También se puede presentar

n

M1 = {x/x ∈ i para algún i, i = 1, 2, 3, 4, 5} i = 1 Se lee: La intersección de los conjuntos A con subíndices i que varían desde uno hasta “ene” de donde i es igual a 1, 2, 3 sucesivamente hasta ene.


44

También se puede presentar:

n

A1 = {x/x Ai, para todo i, i = 1, 2, 3, ..... n} i = 1 Elaboración de un ejemplo Sean los conjuntos

B1 = {0, 2, 4, 6} B2 = {0, 1, 3, 4, 6} B3 = {1, 3, 4, 6, 8} B4 = {0, 2, 4, 6} B5 = {0, 4, 8, 16}

De donde se establece: 5

B B2 B3 B4 B5 = Bi = {4}

i = 1 Se lee: La intersección de los conjuntos B con subíndices i que varían desde uno hasta 5 es igual al conjunto cuyo elemento intersecto es 4.

DEDUCCIONES LÓGICAS QUE SE PRESENTAN CON LA INTERSECCIÓN

1) Si un conjunto se intersecta consigo mismo el conjunto intersección es igual al mismo conjunto. Simbólicamente A A = A Ley equipotente o Idempotente Ejemplo


45

A = {1, 2, 3, 4, 5}

=> A A = {1, 2, 3, 4, 5} = A

2) Ley Conmutativa: La intersección es conmutativa, es decir, A B = B A EJEMPLO

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7, 8}

A A = {4, 5} B A = {4, 5}

Luego

A B = B A 3) Si un conjunto se intersecta con el universo es igual al

conjunto mismo. Simbólicamente

A U = A Ejemplo Ejemplo

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {1, 3, 5, 7}

A U = {1, 3, 5, 7}

4) Si un conjunto se intersecta con un conjunto vacío, el conjunto

intersecto es vacío.


46

Simbólicamente

A ∅ = ∅ ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5} ∅ = { } => A ∅ = ∅

MATEMÁTICAS -...

Documents

Transcript of MATEMÁTICAS -...