MATEMATICAS B´ ASICAS´ - Facultad de...
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MATEM ´ ATICAS B ´ ASICAS Autora: Margarita Ospina Pulido Edici´ on: Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Oscar Guillermo Ria˜ no Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matem´ aticas B´ asicas Teorema del Binomio 1/1
Transcript of MATEMATICAS B´ ASICAS´ - Facultad de...
MATEMATICAS BASICAS
Autora: Margarita Ospina PulidoEdicion: Jeanneth Galeano Penaloza
Oscar Guillermo Riano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2015
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 1 / 1
Parte I
Teorema del binomio
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 2 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)2 = (x + y)(x + y)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 3 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)2 = (x + y)(x + y)
= xx + xy + yx + yy
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 3 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)2 = (x + y)(x + y)
= xx + xy + yx + yy
= x2 + 2xy + y2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 3 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 4 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)
Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cadafactor. En nuestro caso:
(x + y)3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 4 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)
Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cadafactor. En nuestro caso:
(x + y)3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy
Agrupando terminos semejantes tenemos:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 4 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx
+ xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx
+ xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy
+ yyyx + yyyy
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx
+ xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy
+ yyyx + yyyy
Note que a cada uno de los sumandos de la potencia anterior loprecedemos de una x en el primer renglon y de una y en el segundo.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Agrupando terminos semejantes:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 6 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
La forma en que hemos hecho los anteriores productos nos lleva a dosconclusiones:
1. Podemos encontrar una potencia fija del binomio de una manerasencilla si conocemos la anterior como lo hicimos en el caso de 3 a 4.Aun mas:Se conoce una forma de encontrar los coeficientes de (x + y)n
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 7 / 1
Triangulo de Pascal
Veamos como se construye:
1
1 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1
Triangulo de Pascal
Veamos como se construye:
1
1 1
2 11
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1
Triangulo de Pascal
Veamos como se construye:
1
1 1
2 11
3 3 11
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1
Triangulo de Pascal
Veamos como se construye:
1
1 1
2 11
3 3 11
6 4 141
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1
Triangulo de Pascal
Veamos como se construye:
1
1 1
2 11
3 3 11
6 4 141
10 10 5 151
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1
Teorema del binomio
Triangulo de Pascal
Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y)25
tenemos que construir los 24 renglones anteriores.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 9 / 1
Teorema del binomio
Triangulo de Pascal
Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y)25
tenemos que construir los 24 renglones anteriores.
Busquemos otras alternativas.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 9 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 10 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2. En este ultimo caso la clave esta en dos observaciones:
(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cadauno de los factores.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 10 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2. En este ultimo caso la clave esta en dos observaciones:
(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cadauno de los factores. Ası, en cada sumando, las suma de las potenciasde x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y)n.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 10 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2. En este ultimo caso la clave esta en dos observaciones:
(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cadauno de los factores. Ası, en cada sumando, las suma de las potenciasde x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y)n.
(b) Cuando agrupamos terminos semejantes el coeficiente de cadasumando corresponde a la cantidad de veces que aparece el productode r factores x por n − r factores y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 10 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
¿Como encontrar este coeficiente?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares),
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r
sean y (desde luego n − r seran x),
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r
sean y (desde luego n − r seran x), luego el numero de sumandos cony rxn−r son tantos como subconjuntos de r elementos en un conjunto de n
elementos, es decir:
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r
sean y (desde luego n − r seran x), luego el numero de sumandos cony rxn−r son tantos como subconjuntos de r elementos en un conjunto de n
elementos, es decir:
C (n, r) que tambien se nota
(
n
r
)
y es igual a n!r !(n−r)! .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1
Teorema del binomio
Factoriales
Para todo entero positivo n, se define n factorial como:
n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 12 / 1
Teorema del binomio
Factoriales
Para todo entero positivo n, se define n factorial como:
n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1
y definimos0! = 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 12 / 1
Teorema del binomio
Factoriales
Para todo entero positivo n, se define n factorial como:
n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1
y definimos0! = 1
Por ejemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 12 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?
(
n
0
)
=n!
0!(n − 0)!= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?
(
n
0
)
=n!
0!(n − 0)!= 1
¿Cual es el coeficiente de xn−1y?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?
(
n
0
)
=n!
0!(n − 0)!= 1
¿Cual es el coeficiente de xn−1y?
(
n
1
)
=n!
1!(n − 1)!= n
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?
(
n
0
)
=n!
0!(n − 0)!= 1
¿Cual es el coeficiente de xn−1y?
(
n
1
)
=n!
1!(n − 1)!= n
¿Cual es el coeficiente de yn?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:
¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?
(
n
0
)
=n!
0!(n − 0)!= 1
¿Cual es el coeficiente de xn−1y?
(
n
1
)
=n!
1!(n − 1)!= n
¿Cual es el coeficiente de yn?
(
n
n
)
=n!
n!(n − n)!= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Desarrollemos el caso de (x + y)5.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 14 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Desarrollemos el caso de (x + y)5.
(x + y)5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 14 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Desarrollemos el caso de (x + y)5.
(x + y)5 =
(
5
0
)
x5 +
(
5
1
)
x4y +
(
5
2
)
x3y2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 14 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Desarrollemos el caso de (x + y)5.
(x + y)5 =
(
5
0
)
x5 +
(
5
1
)
x4y +
(
5
2
)
x3y2
+
(
5
3
)
x2y3 +
(
5
4
)
xy4 +
(
5
5
)
y5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 14 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Desarrollemos el caso de (x + y)5.
(x + y)5 =
(
5
0
)
x5 +
(
5
1
)
x4y +
(
5
2
)
x3y2
+
(
5
3
)
x2y3 +
(
5
4
)
xy4 +
(
5
5
)
y5
= x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 14 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 15 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 15 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x .
Es decir, el coeficiente de xn−ry r debe ser el mismo de x ryn−r .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 15 / 1
Teorema del binomio
Potencias de un binomio
Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x .
Es decir, el coeficiente de xn−ry r debe ser el mismo de x ryn−r .
En terminos de combinatorios(
n
r
)
=n!
r !(n − r)!=
(
n
n − r
)
=n!
(n − r)!(n − (n − r))!
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 15 / 1
Triangulo de Pascal
El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:
1(10
) (11
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1
Triangulo de Pascal
El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:
1(10
) (11
)
(21
) (22
)(20
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1
Triangulo de Pascal
El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:
1(10
) (11
)
(21
) (22
)(20
)
(31
) (32
) (33
)(30
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1
Triangulo de Pascal
El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:
1(10
) (11
)
(21
) (22
)(20
)
(31
) (32
) (33
)(30
)
(42
) (43
) (44
)(41
)(40
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1
Triangulo de Pascal
El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:
1(10
) (11
)
(21
) (22
)(20
)
(31
) (32
) (33
)(30
)
(42
) (43
) (44
)(41
)(40
)
(52
) (53
) (54
) (55
)(51
)(50
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1
Teorema del binomio
Propiedad
La construccion del triangulo de Pascal nos sugiere la siguiente propiedadde los combinatorios:Para todo n ≥ 1 y todo r con 0 < r ≤ n
(
n + 1
r
)
=
(
n
r − 1
)
+
(
n
r
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 17 / 1
Teorema del binomio
Teorema del binomio
Sean x y y numeros y n un entero positivo,
(x + y)n =
n∑
r=0
(
n
r
)
x ryn−r =
n∑
r=0
n!
r !(n − r)!x ryn−r
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 18 / 1
Teorema del binomio
Ejercicios
1 Encuentre el coeficiente de x3y7 en el desarrollo de (x + y)10.
2 Encuentre el coeficiente de y3 y la potencia de x en el desarrollo de(4x − 3y)11
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 19 / 1
