BINOMIO CUADRO PERFETO

Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos que se están sumando o restando.

Un binomio al cuadrado es aquel que  se multiplica por sí mismo, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2.

Un binomio al cuadrado siempre da como resultado un trinomio cuadrado perfecto, esto significa que el trinomio tiene dos términos que son una raíz cuadrada exacta.

Para resolver un  binomio se aplica la siguiente regla: El cuadrado del primer término (+) ó (-), depende del signo del binomio, el doble producto del primero por el segundo (+) el cuadrado del segundo.

Aplicando la regla para resolver el binomio (a +b)2:

Se toma el cuadrado del primer término: a2.

Se aplica el signo del binomio: (+).

Se toma el doble del producto del primer término más el segundo: 2ab.

Se suma el cuadrado del segundo término: b2

Entonces (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplos de binomios al cuadrado:

(4x3 – 2y2)2

El cuadrado del primer término: (4x3)2 = 16x6

Se aplica el signo del binomio: en este caso (-)

El doble producto del primero por el segundo: 2 (4x3)(2y2) = 16x3y2

El cuadrado del segundo término: (2y2)2 = 4Y4

(4x3 – 2y2)2  = 16x6 - 16x3y2+ 4y4

Ejemplo de binomio al cuadrado de funciones trigonométricas:

(sen x + cos y)2 = sen2X + 2sen x cos y + cos2y;Como sen2x + cos2y = 1 entonces(sen x + cos y)2 = 1 + 2sen x cos y

(5a3x4 - 3b6y2)2 = 25a6x8 – 30a3x4b6y2 +9x12y4

(6mx + 4ny)2 = 36m2x +48mxny + 16n2y

(4vt -2ab)2 = 16v2t2 – 16 vtab + 4a2b2

(3x5 + 8) = 9x10 + 48x5 + 64

De los productos notables tenemos:

En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:

Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

Dos de sus términos, el 1º (a ) y el 4º (b ), deben poseer raíz cúbica exacta.

El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)2(b)].

El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b) ].

El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor común con el factor -1).

Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b) , si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b) .

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

En este tipo de factoreo, se trata de reconocer que pertenece a este tipo polinomio.

Binomio al cuadrado

Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación se tiene:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)(a + b)2 = aa + ab + ba + bb(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.

Ejemplo. Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.Usando la identidad se tiene que:(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25

¿Todavía tienes dudas sobre este tema?

Binomio al cuadrado de resta

La identidad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicación tenemos:

(a - b)2 = (a - b)(a - b)(a - b)2 = aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)(a - b)2 = aa - ab - ab + bb(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el término del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.

Ejemplo. Elevar al cuadrado 3x2 - z.Usando la identidad:(3x2 - z)2 = (3x2)(3x2) - 2(3x2)(z) + (z)(z)(3x2 - z)2 = 9x4 - 6x2z + z2

Trinomio Cuadrado Perfecto

Surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con 2 términos "cuadráticos" y un término "rectangular", enlazados con una visión geométrica de las áreas de un cuadrado y

de rectángulo. 

Visualización de la fórmula para un sonzo al cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Todo trinomio de la forma:

es un trinomio cuadrado perfecto ya que

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas:

1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

2. Dos de los términos son cuadrados perfectos.

3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

5. En resumen: Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término

Un trinomio cuadrático general de la forma   es un TCP si se cumple que el

discriminante es cero, es decir, que la cantidad   es siempre igual a  . También se

considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma:  , donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Trinomio de segundo grado en una variable[editar]

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.[cita requerida] Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibnitz, en la época moderna.

Ejemplos[editar]

Sea:

Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de  , resulta que:

Y podemos darnos cuenta de:

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

Sea:

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ( ) tenemos:

evaluando el trinomio vemos que:

y

por último vemos que

Entonces la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Binomio de un Cubo

Condiciones que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:

Sea la expresión:  a^3  +3a^2b  +3ab^2  +b^3 = (a+b)^3

a) Debe tener 4 términos

b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos.

c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4°  término ( 3a^2b)

d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab^2)

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Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:

Sea el ejemplo:  8x^3 +12x^2 +6x +1

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:

raíz cúbica de  8x^3 = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1  

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:   3(2x)^2(1) = 3(4x^2)(1) = 12x^2

3° término:  3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) = 6x

>> Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es:

8x^3 +12x^2 +6x +1 = (2x +1)^3 ,   que es la Solución.

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Otro ejemplo: 8x^6 +54x^2y^6 -27y^9 -36x^4y^3

>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y quedaría así:

8x^6  -36x^4y^3  +54x^2y^6  -27y^9  –>

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:

raíz cúbica de  8x^6 = 2x^2       ;   raíz cúbica de  27y^9 = 3y^3

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:  3(2x^2)^2(3y^3) = 3(4x^4)(3y^3) = 36x^4y^3

3° término:  3(2x^2)(3y^3)^2 = 3(2x^2)(9y^6) = 54x^2y^6

>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, + , -) el binomio resultante de la expresión es:   8x^6  -36x^4y^3  +54x^2y^6  -27y^9  =  (2x^2 -3y^3)^3  que es la Solución

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NOTA:  Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :  8x^6 –>   raíz cúbica de 8 es  2     y    6/3 = 2  –> = 2x^2

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Ahora paso a realizar los ejercicios del Álgebra.

EJERCICIO 102.

1)  Factorar   a^3  +3a^2  +3a  +1

Raíz cúbica de  a^3 = a      ;       raíz cúbica de   1    =  1

2° término:   3(a)^2(1) = 3(a^2)(1) = 3a^2   OK

3° término:   3(a)(1)^2 = 3(a)(1) = 3a  OK

Signos positivos –>  (a+1)^3

Por lo tanto:   a^3  +3a^2  +3a  +1 = (a+1)^3  Solución.

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2) Factorar     27 -27x +9x^2 -x^3  (Está ordenado de menor a mayor grado)

Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x^3 =  x

2° término:  3(3)^2(x) =3(9)(x) = 27x  OK

3° término :  3(3)(x)^2 = 3(3)(x^2) = 9x^2  OK

Signos alternos (x, -, +, -) –>  (3 -x)^3

Por lo tanto:   27 -27x +9x^2 -x^3  =  (3 -x)^3  Solución

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3) Factorar   m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3

Raíz cúbica de m^3 = m       ;       n^3 = n

2° término:  3(m)^2(n) = 3(m^2)(n) = 3m^2n  OK

3° término:  3(m)(n)^2 = 3(m)(n^2) = 3mn^2  OK

Signos positivos –>  (m+n)^3

Por lo tanto:  m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3 = (m+n)^3  Solución

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4) Factorar    1  -3a  +3a^2  -a^3

Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a^3 = a

2° término:  3(1)^2(a) = 3(1)(a) = 3a  OK

3° término:  3(1)(a)^2 = 3(1)(a^2) = 3a^2   OK

Signos alternos (+, -, +, -) –>  (1 -a)^3

Por lo tanto:  1  -3a  +3a^2  -a^3 =   (1 -a)^3 Solución.

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

 y 

es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:

Debe tener cuatro términos.

Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos

Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .

Raíz cúbica de un monomio

Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:

CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO

Recordemos los productos notables:(a  +  b)3=  a3 + 3 a2b  + 3 a b2  + b3

(a  -  b)3=  a3 - 3 a2b  + 3 a b2  -  b3

La expresión resultante de los productos (a  +  b)3 y (a  -  b)3, consta de cuatro términos y se le llama CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.

FACTORIZACIÓN DEL CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO

Para factorarlo se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son positivos y con ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

Ejemplo: factorara3 + 3 a2b  + 3 a b2  + b3 = (a  +  b)3

a3 + 3 a2  + 3 a  + 1 = ( a + 1)3

8 - 36 X  + 54 X2  - 27 X3 = ( 2 – 3X)3

EJEMPLO 6: (Con números grandes)

36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)

Entre números grandes es más difícil hallar el MCD.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)

EJEMPLO 7: (Sacar factor común negativo)

8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (El Factor común es una expresión de más de un término)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2)

(x + 1) está multiplicando en todos los términos. Es factor común.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8 

EJEMPLO 9: ("Sacar un número que no es divisor de todos los términos")

3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b - 5/7 c + 9/7 d)

Divido todos los términos por 7, y quedan números fraccionarios. Esto lo puedo hacer con cualquier número.

EJEMPLO 10: (Normalizar un polinomio)

5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)

Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10

 Factor común.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

 Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos

que:  . Cuando factorizamos  . Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión

completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,  . Aquí tenemos como hacerlo: 

Máximo factor común (MFC).- El término  , es el MFC de un polinomio sí:1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio,

y2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

 

De este modo para factorizar  , podríamos

escribir   

Pero no está factorizado por completo por que   puede factorizarse aún

más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en

todos los términos es  . De esta manera la factorización completa

es  . Donde   es el MFC. 

E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar  E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar  Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.

Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término

por ese factor.

Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.

Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.Nos queda como respuesta:

Ejemplos:Encontrar el factor común de los siguientes términos:

Factor común por agrupación

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

Que es nuestra respuesta.

Ejemplos:

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)

= (17x +3y +7z)(a – m)

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]

= (x + 2)(m + 3 – 1)

Otra forma de hacerlo:

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 

EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")

4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2 

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)

4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")

4a  -  4b  -  xb  +  xa =

4.(a - b)  +  x.(-b + a) =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

      (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de

los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")

4a  -  4b  -  xa  +  xb =

4.(a - b)  +  x.(-a + b) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

       (a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")

4a  -  4b  +  xb  -  xa =

4.(a - b)  +  x.(b - a) =

4.(a - b)  -  x.(-b + a) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

      (a - b).(4 - x)

Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)

-4a  -  4b  -  xa  -  xb =

-4.(a + b)  -  x.(a + b) =

      (a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la "EXPLICACIÓN", también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos)

4x2a  +  3y  +  12ax  +  yx =

4ax.(x + 3)  +  y.(3 + x) =

4ax.(x + 3)  +  y.(x + 3) =

      (x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que

haber Factor Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)

4a - 7x2a + ya  +  4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) +  z.(4 - 7x2 + y) =

       (4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

4x3  -  4x2  +  x - 1 =

4x2.(x - 1)  +  x - 1 =

4x2.(x - 1)  +  1.(x - 1) =

     (x - 1).(4x2 + 1)

Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra

la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dió la primera agrupación: (x - 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar.