Matemáticas básicas con trigonometría (2a. ed.)

Segunda edicin

Matemticas bsicas con trigonometra


Segunda edicin

Ismael Gutirrez GarcaJorge Robinson Evilla

BarranquillaColombia, 2011

Gutirrez Garca, Ismael.Matemticas bsicas con trigonometra / Ismael Gutirrez Garca, Jorge

Robinson Evilla. -- 2a ed. Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, 2011.

xi, 212 p. : 28 cm.Incluye referencias bibliogrficas (p. 209) e ndiceISBN 978-958-741-181-2 (pasta blanda)

1. Matemticas. 2. Trigonometra. I. Evilla, Jorge Robinson. II. Tt.

512.13 G984m --22 ed. (CO-BrUNB : 82185)

2011, Editorial Universidad del Norte 2011, Ismael Gutirrez Garca y Jorge Robinson Evilla

Coordinacin editorialZoila Sotomayor O.

EditorHumberto Llins Solano

Correccin de textosHenry Stein

Procesos tcnicosMunir Kharfan de los Reyes

Diseo de portadaJoaqun Camargo Valle

Hecho en ColombiaMade in Colombia

www.uninorte.edu.coKm 5, va a Puerto Colombia, A.A. 1569Barranquilla (Colombia)

Autores

Ismael GutIrrez Garca

Licenciado en Matemticas y Fsica de la Universidad del Atlntico. Magster en Matemticas, convenio Universidad del Valle-Universidad del Norte. Doctor en Matemticas (Dr. rer. nat) de la Universidad de Johannes Gutenberg de Mainz (Alemania) y miembro de la Sociedad Colombiana de Matemticas. Desde 1993 es profesor de tiempo com-pleto de la Universidad del Norte y actualmente es director del grupo de investigaciones en lgebra de esta institucin.

JorGe robInson evIlla

Licenciado en Ciencias de la Educacin, nfasis en Mate-mticas y Fsica, de la Universidad del Atlntico. Especia-lista en Matemticas de la Universidad del Norte. Desde 1995 es profesor catedrtico de la Universidad del Norte.

,

Indice general

1 Los Fundamentos XIII

lo Los nmeros reales 1 1.1. Introduccin. 1 1.2. Los axiomas de cuerpo 5 1.3. Los axiomas de orden 11 1.4. El principio de buen orden. 15 1.5. N meros enteros y racionales 19 1.6. El axioma del extremo superior 27 1.7. El valor absoluto: propiedades. 34

2. Exponentes racionales 43 2.1. Induccin matemtica 43 2.2. Exponentes enteros . 49 2.3. Exponentes racionales y races 59 2.4. Aplicaciones. 70

3. Relaciones y funciones reales 81 3.1. Primeras definiciones . 82 3.2. Notacin funcional alternativa. 87 3.3. Funciones polinmicas 91 3.4. Operaciones entre funciones 96

4. Ecuaciones e inecuaciones 109 4.1. Los nmeros complejos. 109 4.2. Ecuaciones polinmicas de grados 1 y 2 115 4.3. Teoremas del residuo y del factor 125 4.4. El teorema fundamental del lgebra 131

VII

VII' Gutirrez-Robinson

4.5. Inecuaciones .......................... 135

II Trigonometra

5. Trigonometra plana 5.1. Preliminares .... 5.2. Frmulas de reduccin .. 5.3. Funciones t rigonomtricas 5.4. Ecuaciones trigonomtricas 5.5. Aplicaciones: solucin de tringulos. 5.6. Funciones t rigonomtricas inversas

Lista de smbolos

Alfabeto griego

Respuestas a los ejercicios

Bibliografa y referencias

NDICE GENERAL

141

143 144 151 155 164 175 184

191

193

195

205

Prlogo

En este texto, diseado inicialmente para estudiantes de los primeros semestres de ingenieras, se destacan claramente tres ejes temticos: los nmeros reales como un cuerpo ordenado, las funciones reales de variable real y los primeros elementos de la trigonometra plana.

La presentacin de los nmeros reales se hace axiomticamente. En primer lugar presentamos los axiomas de cuerpo, y con base en ellos se demuestran propiedades de tipo algebraico, como la unicidad de los mdulos y la unicidad de los inversos, entre otros.

Adems de los resultados matemticos, en esta parte presentamos la demostracin como herramienta principal del quehacer matemtico, con el propsito que los estudiantes puedan tener una aproximacin direc-ta al mtodo de construccin matemtica. Esto permite que observen la coherencia y la importancia de obtener resultados slo a partir de axiomas y definiciones, y por otro lado que observen en la demostra-cin un ejercicio de pensamiento estrictamente necesario para un juicio matemtico.

El axioma del extremo superior, adems de introducir una primera nocin topolgica de los nmeros reales, nos permitir caracterizar los nmeros naturales, los enteros, teniendo como fundamento el principio de buen orden. Haremos nfasis especial en el uso de uno de los mtodos de demostracin ms importantes de la matemtica como es el principio de induccin matemtica. Con ste demostraremos las propiedades de los exponentes enteros y racionales.

El segundo tema de este libro lo constituyen las funciones reales de variable real. Sin duda, uno de los grandes temas de la matemtica. Hacemos una presentacin formal de ste, es decir, presentamos las fun-ciones como conjuntos de parejas ordenadas que satisfacen propiedades especficas. Posteriormente presentamos una notacin alternativa de la misma, con el propsito de sentar las bases para tratamientos posteriores

IX

x Gutirrez-Robinson

de las funciones reales de variable real en cursos de clculo diferencial, clculo vectorial o lgebra lineal.

En la parte correspondiente a la trigonometra se hace especial nfasis en el manejo de las funciones trigonomtricas, y adems de presentar la forma de determinar sus valores y sus grficas, se exponen y demuestran sus propiedades.

Las identidades trigonomtricas se estudian como un caso particular de las ecuaciones trigonomtricas y se discuten las aplicaciones comunes, tales como el teorema del seno y del coseno.

Otro de los objetivos de este texto es que los estudiantes tengan la posibilidad de profundizar en algunos conceptos que no son habitual-mente incluidos en los cursos regulares de lgebra y trigonometra pero que muchas veces resultan necesarios e interesantes. Adems colocar las bases para un recorrido formal y claro por las principales lneas del pen-samiento matemtico. Tratamos entonces de evitar presentar resultados matemticos sueltos e incrustados de manera incoherente o superficial.

Esperamos los comentarios, correcciones y sugerencias de parte de toda la comunidad educativa, que sin lugar a dudas sern de gran valor y pertinencia en este arduo trabajo que es el aprendizaje en matemticas.

En este punto deseamos agradecer a los colegas y amigos Sebastin Castaeda, MSc., por su impulso para materializar la idea, a Carlos Vega, MSc., por la lectura cuidadosa del manuscrito y por sus valiosas sugerencias, a Ricardo Prato, MSc., por su ayuda en la edicin del texto, y con igual aprecio a Guillermo Cervantes, MSc., por su apoyo desde la direccin del departamento de Matemticas.

NDICE GENERAL

Prlogo a la segunda edicin

En la presente edicin se encontrarn algunas extensiones del material inicial, concretamente en lo referente a ejercicios propuestos y temas importantes de la trigonometra como lo son las funciones trigonomtri-cas inversas. Otro elemento importante que hemos incorporado es una seccin con las respuestas a un gran nmero de ejercicios.

N uevamente agradecemos a todos los colegas del departamento de Ma-temticas de la Universidad del Norte por el apoyo, especialmente al Dr. Jairo Hernndez por sus comentarios y sugerencias acertadas.

XI

Parte I

Los Fundamentos

Captulo 1

Los nmeros reales

Contenido

1.1. Introduccin ...... 1 1.2. Los axiomas de cuerpo 5

1.3. Los axiomas de orden . 11 1.4. El principio de buen orden. 15

1.5. Nmeros enteros y racionales 19 1.6. El axioma del extremo superior . 27

1. 7. El valor absoluto: propiedades .. 34

En este primer capt ulo presentamos los fundamentos del curso. Para lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordena-do de los nmeros reales, adems presentaremos las consecuencias ms importantes de los axiomas asumidos.

1.1. Introduccin

Existen mltiples formas para int roducir el conjunto de los nmero reales. Una muy usual es postular la exist encia del conjunto de los nme-ros naturales N = {l , 2, 3, .. } y construir ampliaciones sucesivas de ste, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a los nmero reales. Esta opcin por lo general carece de rigurosidad .

1

2 Gutirrez-Robinson

Nuestra propuesta metodolgica con respecto al conjunto de los nme-ros reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descrip-cin axiomtica de ste. El mtodo que utilizaremos es de tipo deductivo, es decir, se asume la nocin de nmero real como concepto primitivo. Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los nmeros reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multipli-cacin, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postula-dos, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con base en stos deduciremos o demostraremos propiedades de los nmeros reales.

Cuando usamos el trmino primitivo, queremos indicar que la natu-raleza de los elementos del conjunto de los nmeros reales (notado con lR.) no jugar un papel central en el desarrollo de la teora; lo importante ser las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. Los axiomas que vamos a considerar estarn clasificados en tres grupos: los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente alge-braica del conjunto R Los axiomas de orden nos permitirn comparar dos nmeros reales y de alguna manera estos inducen una geometra en lR.. El tercero es el axioma del extremo superior, el cual garantiza la existencia de un nmero real especial asociado a subconjuntos no vacos de lR., que son acotados superiormente. Con ste tenemos los primeros aspectos topolgicos de R

Desde la Antigedad se encuentran mltiples ejemplos de argumen-taciones de tipo deductivo. Por ejemplo, Euclides de Alejandra1 pu-blic mltiples obras, entre las que destacan los famosos Elementos, sin duda una de las grandes joyas de las matemticas a lo largo de toda la historia. Estos estn divididos en trece libros, los seis primeros estn dedicados a la geometra elemental; en ellos Euclides recoge las tcni-cas geomtricas utilizadas por los pitagricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadrticas, e incluyen tambin la teora general de la proporcin, atribuida tradicionalmente a Eudox02 .

Los libros sptimo al noveno tratan sobre teora de nmeros, el dci-mo comienza con cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensurables e inconmensurables, es decir , racionales e

lEuCLIDES(330 a.c. - 275 a.C.) , matemtico griego. Poco se conoce a ciencia cierta de l, pese a ser el matemtico ms famoso de la Antigedad.

2EuDOXO DE CNIDOS (400 a.c. - 350 a.c.), astrnomo y matemtico griego nacido en Cnidos, actual Turqua. Estudi matemticas con Arquites, filosofa en la escuela de Platn en Atenas y astronoma en Helipolis.

Captulo 1. Los nmeros reales

Matemticas bsicas con trigonometra 3

irracionales, y los tres restantes se ocupan de la geometra de los slidos, hasta culminar en la construccin de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que haba sido ya objeto de estudio.

Euclides estableci lo que, a partir de su contribucin, haba de ser la forma clsica de una proposicin matemtica: un enunciado deduci-do lgicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrs definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones co-munes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusin a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, el de las paralelas. Su condicin distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostracin prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometras consistentes, llamadas "no euclidianas" , en las que no se cumpliera la existencia de una nica paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.

Isaac Newton3 con su obra ms importante, Philosophiae naturalis principia mathematica, presenta en 1687 otro ejemplo de una teora fun-damentada en sistemas deductivos. En ella formul rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, segn la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilneo uniforme si sobre l no acta ninguna fuerza; la segunda establece que la aceleracin que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre l dividida por su masa; y la tercera, indica que por cada accin ejercida sobre un cuerpo existe una reaccin igual de sentido contrario. La mayora de estas ideas formaban parte del ambiente cientfico de la poca; pero fue Newton quien les dio el carcter sistemti-co de una teora general, capaz de sustentar la concepcin cientfica del Universo durante varios siglos. Suele considerarse a Newton uno de los protagonistas principales de la llamada "Revolucin cientfica" del siglo XVII y en cualquier caso, el padre de la mecnica moderna.

3I SAAC NEWTON (1642 - 1727) , cientfico ingls educado en la Universidad de Cam-bridge, donde asimil los conocimientos y principios cientficos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes y Kepler, entre otros. Newton coincidi con Leibniz en el descubrimiento del clculo infinitesimal, que contribuira a una profunda renovacin de las matemticas. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres.

1.1. Introduccin

4 Gutirrez-Robinson

Otro ejemplo lo encontramos en el matemtico alemn David Hilbert4 , quien fue un enconado defensor de la axiomtica como enfoque princi-pal de los problemas cientficos. Teniendo como fundamento a Euclides, public en 1899 su obra Grundlagen der Geometrie, en la que, mediante un exhaustivo anlisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, for-mul sus principios de axiomatizacin. En esta obra Hilbert realiz el primer esfuerzo sistemtico y global para hacer extensivo a la geometra el carcter puramente formal que ya haban adquirido la aritmtica y el anlisis matemtico.

A partir de 1904 empez a desarrollar un programa para dotar de una base axiomtica a la lgica, la aritmtica y la teora de conjuntos, con el objetivo ltimo de axiomatizar toda la matemtica. Aunque su propsito de demostrar la consistencia de la aritmtica haba de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por el matemtico austria-co Kurt Gode15 , el programa de formalizacin de Hilbert contribuy al desarrollo de la llamada metamatemtica, como mtodo para establecer la consistencia de cualquier sistema formal.

Kurt Godel, a los 24 aos de edad, como estudiante de la universidad de Viena presenta su tesis doctoral sobre un conjunto de axiomas de lgi-ca elemental, con los cuales se demuestra que es posible derivar todas y solamente las verdades de la lgica. La demostracin del teorema de completitud para el clculo de predicados trajo la falsa esperanza a los matemticos que trabajaban en esa rea de que el programa de axioma-tizacin de Hilbert sera viable. No obstante, un ao despus, en 1931, el mismo Godel public en la revista alemana Monatshefte fr Mathematik und Physik el extremadamente difcil y brillante articulo titulado "Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwand-ter Systeme" (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines) con el cual echara por tierra el sueo hilbertiano.

4DAVID HILBERT (1862 - 1943) Matemtico alemn. Estudi en Heidelberg, Berln y Ki:inigsberg, donde se doctor a finales de 1884. En el Congreso Internacional de Matemticas celebrado en Pars en 1900, Hilbert present una lista de 23 problemas que no haban sido resueltos todava; a su juicio, las probables lneas de desarrollo que iba a seguir la matemtica del siglo XX habran de estar en buena medida vinculadas a la resolucin de dichas cuestiones.

5KuRT GOOEL (1906 - 1978) Lgico austriaco , estudi en la universidad de Viena en una poca de poco esplendor cultural. Obligado por la ocupacin alemana de Austria viaj a los Estados Unidos en 1940. Fue miembro del Instituto para Estudios Avanzados de Princeton.



1.2. Los axiomas de cuerpo

Dado que el primer inters es abordar el estudio de la parte algebraica de los nmeros reales, asumimos que sobre lR estn definidas dos opera-ciones binarias, denominadas suma y mult iplicacin , las cuales represen-taremos con " +" y "." respectivamente. Esto es, cada par de nmeros reales x, y t iene asociado un nico nmero real x + y (su suma) y de igual manera otro nico nmero real x . y (su producto). Escribiremos simplemente xy en lugar de x . y.

Antes de considerar los axiomas de cuerpo introducimos las propieda-des que satisface el smbolo de igualdad en R

11 Reflexividad. Para todo x E lR, se verifica que x = x.

12 Simetra. Para todo x, y E lR, si x = y , entonces y = x.

13 Transitividad. Para todo x, y , z E lR, si x = y y y = z, entonces x = z.

14 Monotona. Para todo x, y, z E lR, si x = y , entonces x + z = y + z y xz = y z.

Los axiomas de cuerpo para lR son los siguientes: Para todo x, y, z E lR

Cl Asociatividad. (x + y ) + z = x + (y + z) y (x y )z = x(y z). C2 Conmutatividad. x + y = y + x y x y = yx .

C3 Existencia de mdulos. Existe un nmeros real O (cero) y un nmero reall (uno) tal que para todo x E lR se verifica x + O = x y x l = x.

C4 Existencia de inversos. Para todo x E lR existe y E lR tal que x+ y = O. Se denotar este y con - x. Adems para todo O i= x E lR existe z E lR tal que xz = 1. La notacin usual para este z es x-1 o l .

x

C5 Distributividad. x(y + z) = x y + xz . En este punto podemos decir que el conjunto lR con las operaciones

suma y mult iplicacin adquiere la estructura algebraica de cuerpo (tam-bin usualmente denominada campo).

Nota. Como consecuencia de Cl podemos escribir x + y + z para denotar (x + y ) + z o x + (y + z). De manera similar , la expresin x y z denota sin lugar a confusin (x y )z o x(y z).


6 Gutirrez-Robinson

Iniciamos ahora las deducciones de algunas resultados que son conse-cuencia inmediata de los axiomas de cuerpo y de la igualdad .

1.2.1 Teorema. (Propiedad cancelativa) Sean x, y E R

1. Si x + y = x + z, entonces y = z

2. Si x y = xz y x i= O, entonces y = z DEMOSTRACIN:

1. Sean x, y E R Entonces

y O + y (( - x)+x)+ y - x+(x+ y )

2. Sean x, y E R Entonces

- x+(x+z) (( - x)+x)+z O+z z

y ly (x- l x )y x- l (xy) x-1(xz ) (x- l x)z l z

z D

En el siguiente teorema se demuestra que los mdulos para la suma y la multiplicacin en lR. son nicos.

1.2.2 Teorema. (Unicidad de los mdulos) Existen a lo ms un mdulo para la suma y un mdulo para la mult iplicacin en R

DEMOSTRACIN: La existencia de los respectivos mdulos est garan-t izada por el axioma C3. Demostramos ahora que estos son nicos.



Supongamos que existen dos nmeros reales, O y 0', que satisfacen C3.

Entonces para todo x E lR. se t iene que x + O = x y x + 0'

= x. Por lo tanto, x + O = x + 0

'. Aplicando el teorema 1.2.1(1) se sigue que O = 0

'.

De manera similar se demuestra que existe un nico 1 E lR. que satisface el axioma C3. D

1.2.3 Teorema. (Unicidad de los inversos) Todo nmero real x admite un nico inverso adit ivo - x y todo nmero real no nulo x admite un nico inverso mult iplicativo x-l.

DEMOSTRACIN: Sea x E lR. Y supongamos que x t iene otro inverso adit ivo y . Esto es, existe y E lR. tal que x + y = O. Entonces x + y = O = x + (- x). Nuevamente del teorema 1.2.1(1) se sigue que y = - x y se t iene la unicidad .

Denotemos con lR. x el conjunto lR. \ {O} . Sea ahora x E lR. x y supon-gamos que para x existe otro nmero real y tal que x y = 1. Entonces x y = 1 = xx- l . Si usamos ahora 1.2.1(2) se t iene que y = x- l . D

1.2.4 Teorema. Sean a, b E R Entonces

1. Existe un nico nmero real x tal que a + x = b. Este nmero x es usualmente denotado con b - a.

2. Si a i= O, entonces existe un nico nmero real y tal que ay = b. Este nmero y lo notaremos con ~.

DEMOSTRACIN:

1. Existencia. Dado a E lR., siempre existe su inverso adit ivo - a E R Defnase x := b + (- a). Entonces

a+x x+a

(b +(- a))+a b +(( - a)+a) b + O b

U nicidad. Supongamos que existe x ' E lR. tal que a + x ' = b. Entonces a + x = a + x' y el resto se sigue del teorema 1.2.1(1).


8 Gutirrez-Robinson

2. Exist encia. Si a E ]R x , entonces existe a- l E R Definamos y := a- lb. Entonces

ay a(a- Ib) (aa- l )b lb b

Unicidad. Supongamos que existen x, x ' E ]R tal que ax = b = ax

'. Entonces ax = ax

'. La conclusin se sigue de 1.2.1(2). D

En el siguiente teorema se demuestran propiedades importantes del cero. El segundo resultado ser de gran importancia para la resolucin de ecuaciones cuadrticas.

1.2.5 Teorema. Sean x, y E R Entonces

1. x O = Ox = O

2. x y = O si y slo si x = O V Y = O

D EMOST RACIN:

1. Sea x E R Entonces 0 + x O = x O = x(O + O) = x O + x O. Utilizando una vez ms el teorema 1.2.1(1) se t iene la afirmacin.

2. Si x = O o y = O, entonces de la parte 1 se sigue que x y = O.

Recprocamente, supongamos que x y = O Y x i= O. Demostramos que y = O. En efecto

Y 1y (x- Ix) y x- l (xy) x-lO

O D

Como consecuencia de los axiomas de cuerpo y de los teoremas anterio-res, presentamos ahora algunas propiedades importantes de los inversos adit ivos y mult iplicativos de nmeros reales.



1.2.6 Teorema. Sean x, y, z E lR. Entonces

1. -(-x) = x 2. (-x)y = -(xy) = x( -y) 3. (-x)( -y) = xy 4. (-I)x = -x 5. x(y - z) = xy - xz

DEMOSTRACIN:

1. Dado que x E lR, existe -x E lR tal que x + (-x) = O. Entonces x es el inverso aditivo de -x. Es decir, -(-x) = x.

2. Por un lado se t iene que xy + (-(xy)) = O. Por otro lado,

xy+(-x)y (x + (-x))y Oy O

Dado que el inverso aditivo de un nmero real es nico, se sigue que (-x)y = -(xy). De manera similar tenemos:

xy + x( -y) x(y + (-y)) xO O

Como antes, del teorema 1.2.3 se sigue que x( -y) = -(xy). Con la transitividad de la relacin de igualdad se completa la prueba.

3. Sean x, y E R Entonces (-x)( -y) = -(x( -y)) = -( -(xy)) = xy. 4. Sea x E R Entonces (-I)x = -(Ix) = -x. 5. Sean x, y, z E lR. Entonces

x(y - z) x(y + (-z)) xy + x( -z) xy + (-(xz)) xy - xz D


10 Gutirrez-Robinson

1. 2.7 Teorema. Sean x, y, z E lR.. Entonces

1. Si x i= O, entonces (x- 1 )-1 = x 2. Si x, y i= O, entonces (xy)-l = x-1y-1

DEMOSTRACIN :

1. De la definicin de x-1 se sigue que xx-1 = 1. Entonces x es el inverso multiplicativo de x-l. Es decir, (x- 1 )-1 = x.

2. De la definicin de inverso multiplicativo (xy)(xy)-l = 1. Por otro lado se tiene que

(xy) (y-1x-1) x(yy-1)x-1 (x1)x- 1 xx-1

1

Del teorema 1.2.3 se sigue nuevamente la conclusin.

3. Del teorema 1.2.6 (3) se tiene que (_1)-1 = -1. Sea x E R Entonces

((-l)X)-l ( _1)-lx-1 ( -1)x- 1 _(x-1) D

1.2.8 Ejercicios Sean x, y, z E R Demuestre que

1. -O = O

2. 1-1 =1

3. -(x + y) = (-x) + (-y) = -x - y 4. -(x - y) = y - x 5. (x - y) + (y - z) = x - z



1.3. Los axiomas de orden

Introduciremos ahora en el conjunto de los nmeros reales una relacin que nos permite comparar dos nmeros reales dados. Partimos asumien-do que sobre lR. est definida una relacin "menor que". Si x, y E lR., entonces x < y se lee "x es menor que y" . Tambin ut ilizaremos la notacin y > x (se lee "y es mayor que x") como alternativa para x < y .

Para nosotros no ser importante cmo se define esta relacin menor que, sino que lo realmente relevante es el hecho que se verifique las siguientes propiedades, denominadas axiomas de orden para los nmeros reales.

01 Tricotoma. Para cada par de nmeros reales x, y se verifica una y slo una de las siguientes afirmaciones: x < y , x = y , V Y < x.

02 Transitividad. Si x < Y Y Y < z, entonces x < z.

03 Monotona. Si x < y , entonces x + z < y + z para todo z E lR. y xz < yz para todo z > O.

Antes de demostrar algunas consecuencias de los axiomas de orden int roduzcamos alguna notacin que simplificar la escrit ura . El smbolo x ::; y (se lee "x es menor o igual que y" ) significa que x < y o x = y . De x < y se sigue naturalmente x ::; y , pero el recproco en general es falso. Si x ::; Y Y x i= y , entonces x < y . La notacin y :2: x es otra forma de escribir x ::; y .

Por el axioma de t ricotoma se t iene que si x E lR., entonces x > O, x < O o x = O. Si x > O, entonces x se llamar positivo y si x < O se denominar negativo. El conjunto de todos los nmeros posit ivos lo notaremos con lR.+. Un nmero real x se llamar no negativo si se verifica que x :2: O. Si dos nmeros reales x, y son posit ivos, escribiremos x, y > O Y si ambos son negativos, entonces lo notaremos con x, y < O. Si para x, y , z E lR., se t iene simultneamente x < y y y < z, entonces podemos resumirlo escribiendo x < y < z. De manera similar escribire-mos cuando sea necesario x < y ::; z, x ::; y < z, x ::; y ::; z, x > y > z, etc.

1.3.1 Lema. Sean x, y E R Entonces x < y si y slo si y - x > O.

DEMOSTRACIN: Primero demostraremos que si x < y , entonces y -x > O y luego su recproco, es decir, si y - x > O, entonces x < y .



Supongamos inicialmente que x < y. Entonces del axioma 03 se sigue que O = x + (-x) < y + (-x) = y-x. Es decir, y - x > O.

Recprocamente, supongamos que y-x> O. Entonces (y-x)+x > O+x y se sigue que y > x. Es decir, x < y. D

En el siguiente teorema demostramos que si un nmero es positivo, entonces su inverso adit ivo es negativo y si un nmero es negativo, en-tonces su inverso aditivo es positivo.

1.3.2 Teorema. Sean x, y E R Entonces

1. x < O si y slo si -x > O

2. x > O si y slo si -x < O

3. x < y si y slo si -y < -x

DEMOSTRACIN:

1. Si en el lema anterior tomamos y = O, entonces se tiene la afirma-cin.

2. Si en 1. cambiamos x por -x tenemos:

-x < O {:} -(-x) > O {:} x> O

3. Utilizando nuevamente el lema anterior se tiene:

xO {:} (-x) - (-y) > O {:} -y < -x

El siguiente teorema establece una compatibilidad entre la suma y la relacin de orden. La expresin compatibilidad se interpreta en el si-guiente sentido: se pueden sumar miembro a miembro dos desigualdades del mismo tipo y sta se mantiene.

1.3.3 Teorema. Sean x, y, Z, w E lR.. Si x < Y Y Z < w, entonces

x+Z < y+w.



DEMOSTRACIN: Usando 03 tenemos: x + z < y + z y y + z < y + w. De 02 se sigue que x + z < y + w. D

El siguiente demuestra que el producto de dos nmeros reales es posi-tivo, si ambos nmeros son posit ivos o ambos son negativos y tambin que el producto de dos nmeros reales es negativo, si uno es posit ivo y el ot ro es negativo.

1.3.4 Teorema. Sean x, y , Z, w E lR..

1. x y > O si y slo si x, y > O V x, y < O

2. x y < O si y slo si x > O Y Y < O V x < O Y Y > O

DEMOSTRACIN:

1. Supongamos que x, y > O. Entonces de 03 se sigue que x y > Oy = O. Si x, y < O, entonces del teorema 1.3.2(1) se sigue que - x, -y > O, Y por lo tanto x y = (- x )( -y) > O. Recprocamente, supongamos ahora que x y > O. Entonces tanto x como y son distintos de cero . Supongamos adems que la conclu-sin es falsa. Entonces uno de los factores sera negativo y el otro sera posit ivo. Esto es (x > O Y Y < O) o (x < O Y Y > O). Dado que las dos sit uaciones son similares, no se pierde generalidad si suponemos x > O Y Y < O. Usando nuevamente el teorema 1.3.2(1) se t endra que -y > O. Entonces - (xy ) = x( -y) > O, Y con esto se tendra x y < O, lo cual cont radice la hiptesis. En conclusin , nuestro supuesto es falso y se t iene la afirmacin.

2. Se sigue inmediatamente de 1. D

El siguiente teorema recoge mlt iples consecuencias de los axiomas de orden.

1.3.5 Teorema. Sean x, y , Z, w E lR..

1. Si x i= O, entonces xx > O. En particular 1 > O 2. Si x < Y Y Z < O, entonces xz > yz

3. Si O < x < y , entonces O < y - l < x-1

4. Si O < x < y y O < Z < w, entonces O < xz < yw


14

5. Si x ::; y y y ::; x, entonces x relacin ::; es antisimtrica)

DEMOSTRACIN:

Gutirrez-Robinson

y (Se dice usualmente que la

1. Es una consecuencia inmediata del teorema anterior.

2. Si x < y, entonces y - x > O. Dado que z < O, se tiene que -z > O, Y consecuentemente (y - x) ( - z) > O, es decir, - ((y - x)z) > O, Y por lo tanto -(yz - xz) :2: O. Es decir, xz - yz > O, lo cual demuestra que xz > yz.

3. Para todo a E lR x se tienen que aa- l = 1. Entonces a y a- l t ienen siempre el mismo signo. Por hiptesis x, y > O. Entonces x-ly-l > O.

Dado que x < y, se tiene que x(x-ly-l) < y(x-ly-l) y se sigue que y-l < x-l.

4. Por hiptesis O < x < y y 0< z < w. Entonces usando 03 se tiene xz < yz y yz < yw. Aplicando ahora 02 se sigue la conclusin.

5. Usando 01 se tiene que x < y o y < x o x = y, pero las dos primeras opciones contradicen la hiptesis. Por lo tanto slo es posible x = y. D

1.3.6 Ejercicios Sean x, y, z E R

1. Demuestre que x ::; x.

2. Demuestre que, si x ::; Y Y Y ::; z, entonces x ::; z. (La relacin ::; es transitiva)

3. Demuestre que, si x ::; y, y ::; z y x = z, entonces y = z.

4. Sea x E R Si O ::; x ::; E para todo E > O, entonces x = O.

5. Demuestre que el conjunto de los nmeros reales positivos, el cual notaremos con lR+, satisface las siguientes propiedades:

a) Si x, y E lR+, entonces x + y E lR+ Y xy E lR+. b) Si x i= O, entonces x E lR+, -x E lR+, pero no pueden darse

ambas simultneamente.

e) O~lR+.



1.4. El principio de buen orden

Nuestro enfoque axiomtico de los nmeros reales tiene una extraa consecuencia, nada sabemos sobre el subconjunto de los nmeros natu-rales. La nocin intuitiva de stos est asociada a la determinacin de la naturaleza finita de un conjunto. Es decir, con los nmeros naturales podemos contar.

Una alternativa formal para la construccin del conjunto de los nme-ros naturales tiene como fundamento los siguientes cinco axiomas intro-ducidos por el matemtico italiano Giuseppe Pean06 , los cuales referen-ciamos a manera de informacin.

PI. 1 es un nmero natural. Es decir, el conjunto de los nmeros natu-rales es no vaco.

P2. Si n es un nmero natural, entonces n + 1 tambin es un nmero natural. El nmero n + 1 es denominado el sucesor de n.

P3. 1 no es sucesor de algn nmero natural. Esto es, 1 es el primer elemento del conjunto.

P4. Si hay dos nmeros naturales m y n tales que sus sucesores son diferentes, entonces m y n son nmeros naturales diferentes.

P5. Si un conjunto de nmeros naturales contiene al 1 y a los suceso-res de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los nmeros naturales. Este postulado se conoce como Axioma de in-duccin.

Esta forma de construir los nmeros naturales, por lo dems elegante, no la consideraremos. Por lo tanto necesitamos definirlos usando nuestro sistema axiomtico. Esto es, como subconjunto de R

El axioma de cuerpo C3 asegura la existencia del nmero real 1. Uti-lizando luego la adicin definida sobre lR. se pueden obtener todos los nmeros naturales. En efecto, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, Y as sucesivamente. La dificultad que presenta esta opcin es que la expresin "as sucesiva-mente" carece de precisin matemtica.

6 CruSEPPE PEANO (1858 - 1932) , matemtico italiano, estudi en la Universidad de Turn, ciudad a la que su familia se haba trasladado en 1870. Sus aportes ms recordadas son las referentes a la axiomtica de las matemticas. A ese respecto cabe destacar sus axiomas sobre el conjunto de los nmeros naturales o sobre la estructura de un espacio vectorial, as como la definicin del concepto de aplicacin lineal.



1.4.1 D efinicin. (Conjunto inductivo.) Un subconjunto J de lR. se llama inductivo si se verifican las siguientes propiedades:

CIl. 1 E J .

CI2. Si n E J, entonces n + 1 E J .

Ejemplos de conjuntos inductivos son lR. y lR.+.

1.4.2 Definicin. El conjunto de los nmeros naturales (notado con N) se define como la interseccin de todos los subconjuntos de lR. que son inductivos. Esto es, si definimos J := {J I J ~ lR., J es inductivo} , entonces

N:= n J . l E :J

Este conjunto tambin es inductivo. En efecto,

1. 1 E J , para todo J E J. Por lo tanto 1 E N.

2. Si n E N, entonces por la definicin de interseccin se t iene que n E J , para todo J E J. Dado que cada J es inductivo, se verifica que n + 1 E J , para todo J E J , lo cual nos permite concluir que n+ 1 EN.

Los elementos de N se llamarn nmeros naturales. De la definicin de conjunto inductivo se t iene que

N = {1 , 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... } =: {1 , 2,3, ... }

El siguiente teorema es conocido como principio de induccin ma-temtica. Este es una herramienta fundamental para la demostracin de la validez para todo n E N, de proposiciones que dependen de n.

1.4.3 Teorema. (Principio de induccin matemtica) Sea J un subconjunto de N. Si J es inductivo, entonces J = N.

DEMOSTRACIN: Si J es un conjunto inductivo, entonces de la defi-nicin de N se sigue que N ~ J. Por hiptesis J ~ N, entonces J = N. D

El siguiente teorema asegura que si restringimos al conjunto N la suma y la mult iplicacin definida sobre lR., entonces se verifica que N es cerrado bajo estas operaciones. Es decir , la suma y mult iplicacin de dos nmeros naturales son tambin nmeros naturales.



1.4.4 Teorema. Si x, y E N, entonces x + y E N Y xy E N.

DEMOSTRACIN: Sea m E N cualquiera y consideremos el conjunto

J := {n E N I m + n E N} Demostramos que J es inductivo:

1. Dado que N es inductivo y m E N, se tiene que m + 1 E N. Por lo tanto 1 E J.

2. Sea n E J. Entonces m + n E N Y dado que N es inductivo , se t iene que (m + n) + 1 = m + (n + 1) E N. Es decir, n + 1 E J.

Usando el principio de induccin se tiene que J = N. Por lo tanto, si x, y E N, entonces x + y E N. En forma similar se obtiene la cerradura con respecto a la multiplicacin. D

1.4.5 Teorema. Todo nmero natural es positivo, O ~ N Y el inverso aditivo de cada nmero natural no es un nmero natural.

DEMOSTRACIN: Consideremos el conjunto J = {n E N In:2: 1}. Demostramos que J es inductivo:

1. Dado que 1 E N Y 1 :2: 1, se tiene que 1 E J .

2. Si n E J , entonces n :2: 1 Y por el teorema 1.3.3 se tiene que n + 1 :2: 1. Es decir, n + 1 E J .

Por lo tanto J = N. Es decir, n :2: 1, para todo n E N. Dado que 1 > O (ver teorema 1.3.5(1)), se sigue que todo nmero natural es positivo y por lo tanto O y el inverso aditivo de cada nmero natural no pertenece aN. D

1.4.6 Ejercicios Sea No := N U {O}. Demuestre las siguientes afirma-ciones:

1. h := {1} U {x E lR l x :2: 2} es inductivo. Por lo tanto h = N. 2. No existe m E N tal que 1 < m < 2.

3. h := {n E N I n - 1 E No} es inductivo. Por lo tanto h = N. 4. h := {n E N I no existe m E N tal que n < m < n + 1} es

inductivo. Por lo tanto h = N.



5. Si m y n son nmeros naturales tal que m < n+ 1, entonces m ::; n.

1.4.7 Teorema. No existe m E N tal que n < m < n + 1.

DEMOSTRACIN: Ver ejercicios anteriores. D

Ahora deseamos establecer el principio de buen orden para el con-junto de los nmeros naturales. Para ello presentamos las definiciones de elemento mnimo y elemento mximo de un conjunto A.

1.4.8 Definicin. Sea A un subconjunto no vaco de R Diremos que m E 1R. es un elemento mnimo de A, notado m = mn(A), si se verifican:

1. m E A

2. m::; x, para todo x E A

En el siguiente teorema demostramos que si A es un subconjunto no vaco de N, entonces existe mn(A).

1.4.9 Teorema. (Principio del buen orden.) Si A es un subcon-junto no vaco de N, entonces A tiene un elemento mnimo.

DEMOSTRACIN: Sea A un subconjunto no vaco de N y supongamos que A no admite un elemento mnimo. Entonces 1 ~ A, ya que de lo contrario ste sera su elemento mnimo. Entonces para todo m E A se verifica que m > 1. Definamos el conjunto J := {k E N I k < m, para todo m E A}. Por lo tanto 1 E J.

Sea ahora k E J cualquiera. Entonces se verifica que k + 1 ::; m para todo m E A, ya que de lo contrario k + 1 > mo para algn mo E A y se tendra que k < mo < k + 1, lo cual por el teorema 1.4.7 sera imposible.

Dado que A no tiene elemento mnimo, debe cumplirse que k + 1 < m para todo m E A. Esto significa que si k E J, entonces k + 1 E J y se tiene que J es inductivo y por el principio de induccin J = N.

Por otro lado, como A no es vaco, tomemos m E A. Entonces m E J y se cumplira la desigualdad m < m, la cual es un absurdo. Esta contradiccin demuestra que la suposicin inicial es falsa, y se tiene entonces el principio de buen orden. D



1.5. Nmeros enteros y racionales

Podemos ahora presentar una definicin para el conjunto de los nme-ros enteros, el cual notaremos con Z (por influencia del trmino alemn Zahlen, que significa nmero). Dado n E N, el axioma de cuerpo C4 garant iza la existencia del nmero real - no Entonces definimos

Z := N U {O} U { - n I n E N} ~ R Esto es,

Z = {... -2 -1 O 1 2 ... } , , ""

Evidentemente, se t iene que N ~ No ~ Z. El conjunto Z puede expresarse como la unin disjunta de dos subconjuntos especiales, el subconjunto de los nmeros pares (notado con 2Z) y su complemento (con respecto a Z), el subconjunto de los nmeros impares , el cual notaremos con (2Z) '.

1.5.1 Definicin. Sea x E Z.

1. x se denomina par , si existe k E Z tal que x = 2k .

2. x se llamar impar , si existe m E Z tal que 2m + 1.

En notacin de conjuntos tenemos:

2Z = {... - 6 - 4 -2 O 2 4 6 ... } , , , "'"

(2Z) ' = {... - 5 - 3 -1 1 3 5 ... } , , , ""

1.5.2 Lema. Sea x E Z y definamos x2 := xx.

1. Si x es impar , entonces x2 es impar

2. x es par si y solo si x2 es par

D EMOSTRACIN:

1. Si x es impar, entonces x = 2m + 1, para algn m E Z. Entonces x2 = (2m + 1)(2m + 1) = 2(2m2 + 2m) + 1. Esto demuestra que x2 es impar.

2. Si x es par, entonces x = 2k para algn k E Z. Entonces x2 (2k )(2k ) = 2(2k2). Dado que 2k2 E Z, se t iene que x2 es par. El recproco de esta afirmacin se sigue de 1. D



1.5.3 Ejercicios Sean m, n E Z, con m i= O. Diremos que m divide a n, notado con m 1 n, si existe k E Z tal que n = km.

Demuestre las siguientes afirmaciones:

1. 1 1 n, para todo n E Z.

2. Si m i= O, entonces m i O. 3. Si m 1 n y n 1 k, entonces m 1 k.

4. Si m 11, entonces m = 1. 5. Si m 1 n y n 1 m, entonces m = n.

Presentamos ahora otro subconjunto importante de los nmeros reales, el conjunto de los nmeros racionales. Este ser notado con la letra Q (por influencia de la palabra inglesa Quotient) y lo definimos de la siguiente manera:

Q = {xy -1 1 x, Y E Z, y i= O} Resulta de gran utilidad introducir la denominada notacin de fraccio-nes, la cual facilita operar nmeros racionales. Para ello definimos

!l2. .= xy-1 y .

Por lo tanto podemos expresar en esta nueva notacin el conjunto de los racionales de la siguiente manera

Q={~ l x,yEZ, Yi=O} Note que si z E Z, entonces z = zl = zl-1 E Q. Por lo tanto se tiene

que Z ~ Q. Entonces

Se deja como ejercicio verificar que Q con las restricciones de la suma y multiplicacin de reales, satisface todos los axiomas de cuerpo y de orden.

1.5.4 Lema. Sean x, y, z E R Si y, z E ]Rx, entonces ~ = ~; xz

DEMOSTRACIN: = (xz)(yz)-l = (xz)(z-ly-1) = x(zz-l )y-1 yz

X xy-1 = - D

Y



Como una aplicacin del lema anterior se tiene, por ejemplo, que en lugar de escribir escribiremos :t. Diremos que stas son fracciones equivalentes. Esto nos permite usar solo fracciones cuyos numerador y denominador tengan como nico divisor positivo al uno.

En el siguiente teorema demostramos que Q es un conjunto cerrados con respecto a la restriccin de la suma y la multiplicacin definida sobre R

1.5.5 Teorema. Sean x, y, z, w E ]R.

1. Si y, w E ]R x, entonces ~ -!l; = X~!yz. En particular, si y E ]R x , entonces ~ + ~ = x+z y y y

2. Si Y w E]Rx entonces ~ . ~ = xz , , y w yw DEMOSTRACIN:

1. Dado que y, w i= 0, existen y-l y w-1 E R Entonces x z - + -Y w

xww-1y-l + zyy-1w-1

xwy-1w-1 + zyy-1w-1

(xw + yz)y-1w-1 (xw + yz)(yw)-l xw+yz

yw Como caso particular del anterior tenemos

~+~ y y

xy+yz yy

xy+zy yy

(x+z)y yy

x+z y

2. Nuevamente es claro que existen y-l y w-1 E ]R. Entonces x Z (xy-l )(zw-1) Y W

(xz)(y-1w- 1) (xz)(yw)-l xz

D yw



En el teorema que presentamos a continuacin, indicamos cmo obte-ner los inversos aditivo y multiplicativo de una fraccin, adems obten-dremos una forma para simplificar "una fraccin de fracciones" .

1.5.6 Teorema. Sean x, y, z, w E ]R.

1. Si Y E]Rx entonces _~ = -x = ~ , y y -y

2. Si x, Y E ]Rx, entonces (~rl = ~

3 S lT1lX t (~) - xw . 1 y , Z, w E ll'i>. ,en onces (~) - yz DEMOSTRACIN:

1. Por un lado se tiene:

-(~)

Utilizando los mismos argumentos,

-(~) _(xy-l) x( _y- l) x((_y)-l)

x -y

2. Usando el punto anterior se tiene que

~. ~ = xy = 1 Y x yx

La unicidad del inverso multiplicativo implica la afirmacin.

3. Utilizando el punto anterior se tiene:

Presentamos ahora otras propiedades de las fracciones y la relacin que existe entre dos nmeros reales no nulos y sus inversos multiplicati-vos. Demostraremos adems la desigualdad de la media aritmtica. sta asegura que entre dos nmeros reales siempre existe otro nmero real.



1.5.7 Teorema. Sean x,y,z E R

1. Sea y i= O. Entonces ~ > O si y slo si x,y > O o x,y < O. 2. Si x < y y z > O, entonces ~ < ~.

3. Si O < x < y y z > O, entonces ~ < ~. En particular t < ~. 4. Desigualdad de la media aritmtica. Si x < y, entonces

x < X!y < y.

DEMOSTRACIN:

1. En el teorema 1.3.5(3) se demostr que y y t tienen el mismo signo. Adems ~ = x t, entonces la afirmacin se sigue del teorema 1.3.4.

2. Por hiptesis z > O. Entonces ~ > O. Usando 03 se tiene que ~ = I x < Iy = '!L z z z z

3. Supongamos que O < x < y. Entonces :y > O, Y usando nueva-mente 03 tenemos:

;!. - ~x ~ -;!. y - xy < xy y - x

4. De x < y se sigue que 2x = x + x < x + y < y + y 2y. Multiplicando por ~ se tiene la conclusin. D

De la desigualdad de la media aritmtica se tiene que entre dos nme-ros racionales siempre se encuentra otro nmero racional. Es decir, no existe la nocin de sucesor para un nmero racional, contrario a lo que sucede en N.

1.5.8 Teorema. Si x, y E lR., entonces x2 + y2 2': 2xy.

DEMOSTRACIN: Diferenciamos dos casos:

Caso 1. Si x = y, entonces x2 + y2 = 2x2 = 2xy. Entonces se verifica la afirmacin.

Caso 2. Supongamos que x i= y. Entonces x - y i= O Y (x - y)2 > O. Por lo tanto x2 - 2xy + y2 > O Y por el axioma de monotona se sigue x2 + y2 > 2xy. D


24

1.5.9 Ejercicios Sean x, y, z, w E R

1. Demuestre que

a) x2 + y2 :2: O b) Si x,y > O, entonces ~ + ~ :2: 2 e) Si x > y, entonces x3 > y3 d) Si ~ < ~ entonces ~ < x+ z < ~ y w' y y+w w

Gutirrez-Robinson

e) Si y, z > O, entonces ~ < ~ si y slo si xw < yz Existe otro subconjunto importante de los nmeros reales, el de los

irracionales, el cual consideramos a continuacin.

1.5.10 Definicin. Todo nmero real que no sea racional lo llamare-mos irracional. Es decir, el complemento de Q en lR., notado con Q', se denominar conjunto de los nmeros irracionales.

Por el momento no tenemos informacin sobre el conjunto de los irra-cionales. Demostraremos ms adelante que efectivamente Q' no es vaco. Probaremos en el siguiente teorema que no existe un nmero racional cuyo cuadrado sea 2. Es decir, si x E lR. Y x2 = 2, entonces necesaria-mente x no es un nmero racional. Como consecuencia del axioma del extremo superior se tendr que este nmero existe en lR. y, por lo tanto, usando la definicin anterior se tendra que es irracional.

Utilizando un lenguaje que justificaremos formalmente ms adelante, demostraremos en el siguiente teorema que J2 no es un nmero racional. 1.5.11 Teorema. No existe x E Q tal que x2 = 2.

DEMOSTRACIN: Supongamos que si existe x E Q tal que x2 = 2. Entonces podemos expresar a x en la forma ~, donde m, n E Z, n i= O y sin perder generalidad, podemos suponer adems m y n no tienen divisores comunes distintos de 1. Utilizando la hiptesis tenemos que

m2

- 2 -;:)7-

Es decir, m 2 = 2n2 y por lo tanto m 2 es un nmero par. Utilizando el lema 1.5.2 (2) se tiene que m es tambin par, digamos m = 2k para algn k E Z. Entonces (2k)2 = 2n2 y esto trae como consecuencia que n 2 = 2k2 , lo cual significa que n 2 es par y por lo tanto n es par. Esto implica que m y n tienen por lo menos al 2 como divisor comn, contradiciendo nuestro supuesto. D



1.5.12 Definicin. Sea b E lR, b :2: O. Si existe x E lR tal que x2 = b, entonces llamaremos a x una raz cuadrada de b.

Observaciones

1. Del teorema 1.3.5 (1) se sigue que los nmeros reales negativos no t ienen races cuadradas, ya que si x2 = b, entonces forzosamente b :2: O.

2. Si b = O, entonces O es la nica raz cuadrada de b.

3. Sea b > O. Si x2 = b, entonces x2 i= O y (_x)2 = b, es decir, x y -x son races cuadradas de b. Adems se verifica que existe a lo ms dos races cuadradas para b. Por ejemplo , 3 y -3 son races cuadradas de 9, ya que (_3)2 = (3)2 = 9.

4. Si b :2: O, denotaremos su raz cuadrada no negativa con v1J o b~ (si existe). En el teorema 1.5.11 se demostr que J2 ~ Q.

Sistema de coordenadas unidimensional: la recta real

Existe una forma de "graficar" los nmeros reales. Para ello considere-mos el conjunto de puntos de una recta J:.,. Una caracterstica geomtrica de J:., es el hecho que entre dos puntos cualesquiera de sta siempre se encuentra otro punto. Esto nos permite asociar a cada punto de J:., un nmero real.

Sobre una recta J:., elegimos cualquier punto O (que llamaremos ori-gen), al cual le hacemos corresponder el cero. Luego escogemos una unidad de longitud, y partiendo de O medimos hacia la derecha una unidad, y a este punto le asignamos el 1. Repitiendo este procedimien-to, se establece entonces una correspondencia entre puntos de J:., y los elementos de N.

O 1 2 3

O

Si partimos de O y efectuamos ahora el mismo procedimiento hacia la izquierda, podemos entonces asegurar la correspondencia entre puntos de J:., y los elementos de Z.



-3 -2 -1 o 1 2 3

o

Para establecer la correspondencia con los elementos de Q, iniciamos el proceso con racionales de la forma ~. Para ello dividimos en n partes la unidad tomada, y partiendo de O se mide hacia la derecha esta cantidad. Si m, n EN, entonces la correspondencia con elementos de la forma ~ se efectuar considerando los casos m > n o m < n.

o 1 n I

O

1 m n I

Ms adelante presentaremos la correspondencia entre puntos de J:., y los nmeros irracionales. sta naturalmente no es evidente. Sin embar-go, asumiremos que sta es posible. Es decir que, en definitiva, a cada nmero real x le corresponde un nico punto P en la recta J:., y recpro-camente. Es usual denominar a J:., la recta real.

En el siguiente grfico ilustramos, por ejemplo, cmo asignarle a y'2 un punto en J:.,. El procedimiento consiste en construir un tringulo rectngulo cuyos catetos tienen longitud 1 y luego trazamos una cir-cunferencia con centro en O y radio y'2:

x y z

P O 1 Q R

Nota. Sean x, y E lR. Y supongamos que P y Q son los puntos de la recta J:., asociados a x y y respectivamente. Algunas interpretaciones son las siguientes:

1. P est a la derecha del origen significa que x es positivo.

2. Q est a la izquierda del origen significa que y es negativo.



1.6. El axioma del extremo superior

La nocin geomtrica introducida sobre lR ser de gran importancia para describir y entender conceptos abstractos como cotas superiores, inferio-res, elementos mximos y extremos superior de un subconjunto de lR.

1.6.1 Definicin. Sea A un sub conjunto no vaco de R

1. Se dice que A est acotado superiormente si existe b E lR tal que x::; b para todo x E A. Este nmero b se denomina una cota superior para A.

2. Si b E A Y b es una cota superior para A, entonces b se llamar un elemento mximo de A.

Note que en la definicin de cota superior se us la expresin "una", ya que todo nmero mayor que b tambin es una cota superior para A. Es fcil verificar que si A es un subconjunto no vaco de lR y t iene un elemento mximo, entonces ste es nico. Usaremos la notacin

b = mx(A)

Un conjunto A que no admita una cota superior se llamar no aco-tado superiormente. Esto es, para todo b E lR existe x E A tal que b < x.

De manera dual se definen los conceptos conjunto acotado inferior-mente, cota inferior y conjunto no acotado inferiormente. Se deja como ejercicio la redaccin.

1.6.2 Ejemplos. Sean a, b E lR con a < b.

1. El conjunto A = {x E lR l a::; x ::; b} est acotado superior-mente por b y adems ste es su elemento mximo. Tambin A est acotado inferior mente por a y ste es su elemento mnimo.

2. El conjunto B = {x E lR I a < x < b} est acotado superiormente e inferior mente por b y a respectivamente, pero no t iene ni elemento mximo ni elemento mnimo.

3. Sea A = { ~ In E N}, esto es, A = {1 , ~ ,~, ... } . Entonces A est acotado superiormente por 1 y ste es su elemento mximo. Por otro lado, A est acotado inferiormente por 0, pero no t iene elemento mnimo.



4. Sea a E R El conjunto A = {x E lR. I x :2: a} est acotado inferiormente por a y ste es su elemento mnimo. Naturalmente, A no est acotado superiormente.

5. Sea b E R El conjunto B = {x E lR. I x::; b} est acotado supe-riormente por b y ste es su elemento mximo. Es claro que B no est acotado inferiormente.

6. Demostraremos ms adelante que N no est acotado superiormen-te, y como consecuencia tampoco tiene un elemento mximo. No obstante, s est acotado inferiormente y tiene como elemento mni-mo al nmero 1.

1.6.3 Definicin. Sea 0 i= A ~ R Un nmero real b se llama extremo superior o supremo de A si satisface las siguientes propiedades:

1. b es una cota superior para A.

2. Si c E lR. es tambin una cota superior para A, entonces b ::; c. Esto es, ningn nmero menor que b es cota superior para A, o tambin, b es la ms pequea cota superior de A. Usaremos la notacin

b = sup(A)

Note que si A tiene elemento mximo, entonces ste es su extremo superior. Pero tambin es posible que A no tenga elemento mximo y sin embargo tenga extremo superior.

Consideremos nuevamente los ejemplos 1.6.2 (1) Y (2). Ilustramos grficamente la diferencia entre mx(A) y sup(A):

a

a o

A

A

b cotas superiores 1

mx(A)

b cotas superiores o

1 sup(A)

N aturalmente, existe el concepto de extremo inferior o nfimo para un subconjunto no vaco de R



1.6.4 D efinicin. Sea 0 i= A ~ R Un nmero real c se llamar ex-tremo inferior o nfimo de A si satisface las siguientes propiedades:

1. c es una cota inferior para A.

2. Si d E lR. es tambin una cota inferior para A, entonces d ::; c. Esto es, ningn nmero mayor que c es cota inferior para A, o tambin , c es la ms grande cota inferior de A. Usaremos la notacin

b = nf (A)

Como en la sit uacin anterior, si A t iene elemento mnimo, entonces ste es su extremo inferior. Pero tambin es posible que A no tenga elemento mnimo y sin embargo tenga extremo inferior .

cotas inferiores

cotas inferiores

a

1 mn(A)

a

1 nf(A)

A b

A b

1.6.5 Teorema. (Unicidad del supremo.) Sea A un subconjunto no vaco de lR.. Si b y c son extremos superiores para A, entonces b = c.

DEMOSTRACIN: De la definicin de sup(A) se t iene que b ::; c y c ::; b. Del teorema 1.3.5 (5) se sigue que b = c D

El teorema anterior nos permite asegurar que si un subconjunto no vaco A de lR. admite un extremo superior , entonces ste es nico. Es decir, t iene sent ido hablar de "el" extremo superior de A, en lugar de "un" extremo superior.

Enunciamos ahora el axioma del extremos superior. Con base en ste puede demostrarse una afirmacin similar para el extremo inferior.

1.6.6 Axioma del extremo superior. Todo subconjunto no vaco A de lR. que est acotado superiormente posee extremo superior.

Una consecuencia inmediata del axioma del extremo superior es la no existencia de una cota superior para el conjunto de los nmeros natura-les.



1.6.7 Teorema. El conjunto N no est acotado superiormente.

DEMOSTRACIN: Supongamos que la afirmacin es falsa, es decir, N si est acotado superiormente. Como N no es vaco, del axioma del extremo superior se sigue que existe b := sup(N). Dado que b - 1 < b, se tiene que b - 1 no es una cota superior para N. Entonces existe n E N tal que b - 1 < n, por lo tanto b < n + l.

Por otro lado, se tiene que n + 1 E N, lo cual contradice la condicin de extremos superior de b. Entonces nuestro supuesto inicial es falso, es decir, N no est acotado superiormente. D

1.6.8 Teorema de Arqumedes. Para todo nmero real x existe n E N (que depende de x) tal que n > x .

DEMOSTRACIN: Si la afirmacin fuese falsa, entonces se tendra que el conjunto N es acotado superiormente, lo cual no es posible. D

El siguiente teorema es simplemente otra formulacin del teorema de Arqumedes y resulta de vital importancia en el tratamiento de conver-gencia de algunas sucesiones, tratadas en el clculo diferencial.

1.6.9 Teorema de Eudoxo. Para todo nmero real x > O existe m E N tal que ~ < x.

DEMOSTRACIN: Si en el teorema anterior cambiamos x por ~ se tiene el resultado. D

Es importante anotar que los nombres de estos teoremas no obedecen a sus autores. De hecho, los griegos no conocieron los nmeros reales. El teorema de Arqumedes puede interpretarse geomtricamente de la siguiente manera: Cada segmento, independiente de su longitud , puede cubrirse con un nmero finito de segmentos de longitud positiva dada y estos segmentos pueden ser arbitrariamente pequeos. Arqumedes consider este hecho como una propiedad fundamental de la recta y la asumi como postulado de su geometra.

El siguiente teorema es de gran importancia terica, ya que desde el punto de vista topolgico afirma que Q es denso en R Entendiendo la densidad en el siguiente sentido: Dado cualquier x E lR., podemos encontrar r E Q tan cerca como querramos.

1.6.10 Teorema. Sea x E R Entonces para todo > O existe un nme-ro racional r tal que x - < r < x + .



DEMOSTRACIN: Sea E > O. Entonces por el teorema de Eudoxos existe m E N tal que ~ < E. Demostramos ahora la existencia de un nmero racional r que satisface

x -l < r O. E ntonces por el teorema de Ar-

qumedes exist e n E N tal que n > m x y del principio del buen orden el conjunto de todos estos n t iene un elemento mnimo, digamos k. Por lo t anto se sigue que k - 1 ::; m x < k. Si tomamos r = ~, se verifica que

De la desigualdad izquierda se t iene que r < x + ~ y de la desigualdad derecha se sigue que x - ~ < r . En total se t iene (1.1).

Caso 2. Si x < O, entonces - x > O Y del caso 1. se sigue que existe un nmero racional r tal que - x - ~ < r < - x + ~. Por lo tanto

- x - E < r < - x + E

Mult iplicando por -1 se t iene que x - E < - r < x + E. D Sea A es un subconjunto no vaco de R Abordamos ahora ot ra forma

de caracterizar sup(A) e nf(A) , sobre la base que estos existan.

1.6.11 Teorema. Sea A un subconjunto no vaco de lR., acotado supe-rior e inferiormente. Entonces

1. b = sup(A) si y solo si para todo E > O existe x E A tal que x> b - E.

A b- E o o

x 1 sup(A)

2. e = nf(A) si y solo si para todo E > O existe x E A tal que x < C+E .

X C+E A o

1 nf(A)

o



DEMOSTRACIN:

1. Sea b = sup(A) y supongamos que x ::; b - E, para todo x E A. Entonces b - E sera una cota superior para A, menor que b, lo cual no es posible. Entonces debe existir por lo menos un x E A de tal manera que x> b - E. La afirmacin recproca se deja como ejercicio .

2. Similar a la anterior.

Otros resultados importantes sobre el supremo de un subconjunto no vaco de lR. son los siguientes. El primer teorema establece una monotona del supremo y del nfimo con respecto a la inclusin de conjuntos.

1.6.12 Teorema. Sean A y B subconjuntos no vacos de lR., con A ~ B.

1. Si B est acotado superiormente, entonces sup(A) ::; sup(B).

2. Si B est acotado inferiormente, entonces nf(A) :2: nf(B).

DEMOSTRACIN:

1. Dado que A ~ B, se sigue que x ::; sup(B), para todo x E A. Entonces sup(B) es una cota superior para A. Como sup(A) es la menor de las cotas superiores, se t iene que sup(A) ::; sup(B).

2. De manera similar, se t iene que x :2: nf(B), para todo x E A. D

1.6.13 Definicin. Sean A y B subconjuntos no vacos de R Definimos

1. A + B := {x + y I x E A, Y E B} 2. AB:= {xy I x E A, Y E B} 3. kA:= {kx I x E A}, para k E R

1.6.14 Teorema. Sean A y B subconjuntos no vacos de lR., acotados superiormente. Entonces

1. sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

2. sup(AB) = sup(A) sup(B), si todos los elementos de A y de B son nmeros no negativos.

3. sup(kA) = k sup(A), para todo k :2: o.



DEMOSTRACIN: Sean a := sup(A), b := sup(B) y E > O cualquiera. 1. Para todo x E A Y todo y E B se verifica que x ::; a y y ::; b.

Por lo tanto x + y ::; a + b. Esto asegura que a + b es una cota superior para A + B. Del teorema 1.6.11 (1) se tiene que para el nmero positivo ~ existen Xo E A Y Yo E B tal que Xo > a - ~ y Yo > b - ~. Entonces Xo + Yo > (a + b) - E, lo cual demuestra que a + b = sup(A + B).

2. Si a = O o b = O, entonces la demostracin es inmediata. Supon-gamos entonces que a > O Y b > O. Nuevamente tenemos que para todo x E A Y todo Y E B se verifica que x ::; a y Y ::; b. Dado que x :2: O Y Y :2: O, se tiene que xy ::; abo Esto nos permite afirmar que ab es una cota superior para AB. Para ;b > O existe Xo E A tal que Xo > a - ;b y para 2ca > O existe Yo E B tal que Yo > b - 2ca Note que

xoYo ab + (xo - a)b + (Yo - b)xo > ab+(xo-a)b+(Yo-b)a > ab - ~b- ~a 2b 2a

ab - E

Entonces XoYo > ab - E, lo cual demuestra que ab = sup(AB). 3. Si k = O, entonces la demostracin es inmediata. Supongamos

entonces que k > O. Es claro que kx ::; ka, para todo x E A. Es decir, ka es una cota superior para kA. Para ~ > O existe Xo E A tal que Xo > a - ~. Entonces kxo > ka - E Y con esto se tiene que ka = sup(kA). D

1.6.15 Ejercicios 1. Sean x, y, z E ]R.. Demuestre que

a) mx {x + z, Y + z} = mx { x, y} + z b) mn {x + z, Y + z} = mn { x, y} + z

2. Demuestre la segunda parte del teorema 1.6.11.

3. Sean A y B subconjuntos no vacos de ]R., acotados inferiormente. Demuestre que

a) nf(A + B) = nf(A) + nf(B).



b) nf(AB) = nf(A) nf(B), si todos los elementos de A y de B son nmeros no negativos.

e) nf(kA) = k nf(A), para todo k:2: o.

1. 7. El valor absoluto: propiedades

A lo largo de este captulo hemos considerados tres aspectos de los nme-ros reales: el algebraico, fundamentado en los axiomas de cuerpo y sus consecuencias, la estructura ordenada, sustentado en los axiomas de or-den, y el axioma del extremo superior.

Utilizaremos ahora lo desarrollado a partir de los axiomas de orden para presentar una mtrica en los reales. Es decir, una forma de "medir la distancia entre dos nmeros reales" .

1. 7.1 Definicin. Sean x, y E R La distancia entre x e y, notada d(x, y), se define de la siguiente manera:

d(x, y) = mx{x, y} - mn{x, y} = { x - y y-x

si, x :2: Y si, x < Y

Demostramos ahora algunas propiedades de esta distancia. El siguiente teorema afirma que la distancia entre dos puntos distintos de lR. siempre es positiva; el orden en el que se mida no juega un papel importante y por ltimo, se tiene una "desigualdad triangular".

1. 7 . 2 Teorema. Sean x, y, z E lR.. Entonces

1. d(x, y) :2: O 2. d(x,y) =0 si y slo si x=y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, y) ::; d(x, z) + d(z, y)

DEMOSTRACIN: Las propiedades 1. 2. Y 3. son evidentes. Se siguen inmediatamente de la definicin de distancia. Para demostrar 4. diferen-ciamos algunos caso:

Caso 1. Supongamos que x ::; z ::; y.

x z y



Entonces d(x, z) + d(z, y) = (z - x) + (y - z) = y - x = d(x, y). Caso 2. Supongamos que x ::; y ::; z.

x y z

Entonces d(x, z) + d(z, y) > d(x, y). Verifquelo. Caso 3. Si z ::; x ::; y , entonces la afirmacin tambin se cumple. Se

deja como ejercicio. D

Demostramos ahora que la distancia es invariante bajo t raslaciones.

1.7.3 Teorema. Si x, y,z E lR., entonces d (x + z, y + z) = d(x, y). DEMOSTRACIN: Usando la definicin de distancia tenemos:

d (x + z, y + z) mx {x + z, y + z } - mn {x + z, y + z } (mx{x, y} + z) - (mn{x, y} + z) mx { x, y} - mn { x, y} d(x, y) D

1.7.4 Definicin. Sea x E R El valor absoluto de x, notado Ix l, se define as:

Grficamente

Ix l := d(x, O) = {x - x

si, x :2: O si, x < O

__ --~_I _-( "' o x

Una consecuencia inmediata del teorema 1. 7.3 es la siguiente: Si x, y E lR., entonces

d(x, y) = d(x - y,y - y) = d(x - y,O). Por lo tanto

d(x, y) = Ix - yl Demostramos ahora algunas propiedades del valor absoluto. Por ejem-

plo, el valor absoluto de un nmero real y su inverso adit ivo coinciden; el valor absoluto de un nmero real es siempre un nmero no negativo.

1.7. El valor absoluto: propiedades

36

1.7.5 Teorema. Sean x,y E R Entonces

1. Ix l :2: O, adems Ix l = O si y slo si x = O

2. 1- x l = Ix l

3. Ix - y l = Iy - x l

4. Desigualdad triangular. Ix + y l S Ix l + Iy l DEMOSTRACIN:

Gutirrez-Robinson

1. Se sigue inmediatamente del teorema 1.7.2 (1) Y (2).

2. Ix l = d(x, O) = d(O, -x) = d( -x, O) = I - x l 3 lx-yl = I -(y-x) I = ly-x l

4. Utilizamos ahora los teoremas 1.7.2 (4) Y 1.7.3.

Ix + y l d(x + y, O) d(x, -y)

< d(x,O) +d(O,-y)

d(x, O) + d( -y, O) Ix l + I-yl

Ix l + Iy l D

1.7.6 Teorema. Sean x,y E R Entonces

1. Ixy l = Ix ll y l

2. Ix l2 = x2

3. Si Y i= O, entonces ly-1 1 = Iy l-l

4. I ~ I = El y Iyl 5. - Ix l S x S Ix l

DEMOSTRACIN:

1. Consideramos todas las opciones posibles:

Caso 1. Si xy = O, entonces x = O o y = O. Por lo tanto

Ixy l = O = Ix ll y l



Caso 2. Si xy > O, entonces x,y > O o x, y < O

Si x, y > O, entonces se t iene que

Ixy l = xy = Ixllyl Si x, y < O, entonces se t iene que

Ixy l = xy = (- x)( -y) = Ixllyl Caso 3. Si xy < O, entonces x > O Y Y < O o x < O Y Y > O

Si x > O Y Y < O, entonces se t iene que

Ixy l = - (xy) = x( -y) = Ixllyl

37

Si x < O Y Y > O, entonces la sit uacin es similar a la anterior.

2. Si x = O, entonces el resultado es inmediato. Supongamos que x i= O. Entonces del teorema 1.3.5 (1) se sigue que x2 > O, por lo tanto

3. Sea y E lR. x. Entonces yy- l = 1. Del punto 1 se sigue que lylly-11 = lyy-11 = 111 = 1. Por lo tanto ly-11 = Iyl-l .

4. Es consecuencia de 1 y 3 En efecto:

5. Demostramos inicialmente que x ::; Ixl para todo x E R Caso 1. Si x :2: O, entonces x = Ixl y por lo tanto x ::; Ixl. Caso 2. Si x < O, entonces Ixl = - x > O Y se t iene que x < O <

Ixl Demostramos ahora que - Ixl ::; x para todo x E R Caso 1. Si x :2: O, entonces - Ixl ::; O ::; x. Caso 2. Si x < O, entonces Ixl = - x y se sigue que - Ixl = x. Por

lo tanto - Ixl ::; x. D 1. 7.7 Teorema. Sean x, k E R Entonces



1. Ixl = k si y slo si k:2: O Y x E { -k, k} 2. Ixl = Iyl si y slo si x = y o x = -y

DEMOSTRACIN:

1. Supongamos que k :2: O Y x E {-k, k}. Si x = k, entonces Ixl x = k, Y si x = -k, entonces Ixl = -( -k) = k. Recprocamente, supongamos ahora que Ixl = k. De la definicin de valor absoluto se sigue que Ixl :2: O para todo x E R Entonces k :2: O Y x = k o x = -k.

2. Consideraremos dos casos dependiendo del valor de y:

Caso 1. Si y :2: O, entonces Iyl = y y el resultado se sigue de 1. Caso 2. Si y < O, entonces Iyl = -y y se tiene

Ixl = -y {:} x = -( -y) V x = -y {:} x = y V x = -y D

1.7.8 Ejemplos. Halle en cada caso el conjunto indicado:

1. S = {x E lR I 13x - 21 = 1} SOLUCIN: Utilizando el teorema 1.7.7 (1) tenemos:

13x - 21 = 1 {:} 3x - 2 = 1 V 3x - 2 = -1 1

{:} x=1 V x= -3

Entonces S = {1, i}.

2. S = {x E lR Ilx - 21 = 11 - xl} SOLUCIN: Utilizando el teorema 1.7.7 (2) tenemos:

Ix - 21 = 11 - xl {:} x - 2 = 1 - x V x - 2 = -(1 - x) {:} 2x = 3 V x - 2 = x - 1

3 {:} x= - V x-2=x-l

2

Por lo tanto S = {~} U 0 = {~}.



3. S = {x E lR I 12x - 51 = x - 4} SOLUCIN: Utilizando el teorema 1.7.7 (1) tenemos:

12x - 51 = x - 4 {:} { x - 4:2: 0 y 2x - 5 = x - 4 V 2x - 5 = - (x - 4)

{:} { x:2:4 y x= l V x=3 Entonces S = [4, oo [n{l , 3} = 0.

En el siguiente teorema presentaremos ms propiedades del valor abso-luto que ut ilizaremos en la solucin de inecuaciones con valor absoluto.

1. 7.9 Teorema. Sean a, b, x E lR Y b :2: O. Entonces

1. Ixl ::; b si y slo si -b ::; x ::; b 2. Ixl :2: b si y slo si x ::; -b o x :2: b 3. Ix - al ::; b si y slo si a - b ::; x ::; a + b 4. Ix - al :2: b si y slo si x ::; a - b o x :2: a + b

DEMOSTRACIN:

1. Supongamos que Ixl ::; b. De 1. 7.6 (5) se t iene que x ::; Ixl. Entonces x ::; b. Dado que Ixl ::; b, se t iene que -b ::; - Ixl. De 1.7.6 (5) se t iene tambin que - Ixl ::; x, es decir, -b ::; x. Por lo tanto -b ::; x ::; b. Por otro lado, supongamos ahora que -b ::; x ::; b. Para demostrar que Ixl ::; b consideramos dos casos: Caso 1. x :2: O. Entonces Ixl = x ::; b. Caso 2. x < O. Entonces Ixl = - x. Dado que -b ::; x, se t iene

que - x ::; b. Por lo tanto Ixl ::; b. 2. Supongamos inicialmente que Ixl :2: b. Para demostrar que x :2: b o

x ::; -b consideramos dos casos:

Caso 1. x :2: O. Entonces x = Ixl :2: b. Caso 2. x < O. Entonces - x = Ixl :2: b. Entonces x ::; -b.



Por otro lado, asumamos como hiptesis que x :2: b o x ::; -b. Si x :2: b, entonces Ixl = x :2: b. (por hiptesis b :2: O). Si x ::; -b, entonces Ixl = -x :2: b.

3. Es una consecuencia de 1.

4. Es una consecuencia de 2. D

1. 7 .10 Definicin. Sean a, b E lR con a < b. Definimos los siguientes conjuntos, usualmente denominados intervalos reales:

1. [a,b] := {x E lR l a::; x::; b} a

2. [a,b [:= {x E lR l a::; x < b} a

3. ]a,b] :={xElR l a


8. ] - 00, b[:= {x E lR I x < b} b o

9. ] - 00, +00[= lR

Como aplicacin de los teoremas anteriores consideremos ahora inecua-ciones con valor absoluto.

1. 7.11 Ejemplos. Halle el conjunto indicado:

1. S = {x E lR I 13x I ::; 2} SOLUCIN: Utilizando el teorema 1.7.9 (1) tenemos:

13x l ::; 2 {:} -2 ::; 3x ::; 2 {:} - - < x < -2 - - 2

Entonces S = [- ~,~ ] 2. S = {X E lR I I ~ I > 5}

SOLUCIN: Utilizando el teorema 1. 7.9 (2) tenemos:

I ~ I > 5 {:} ~ > 5 V ~ < - 5 {:} x > 10 V x < -10

Entonces S =] - 00, -10[ U ]10, +oo[

3. S = {x E lR Ilx - ti < n SOLUCIN: Utilizando el teorema 1. 7.9 (3) tenemos:

IX- tl


1.7.12 Ejercicios 1. En cada caso halle el conjunto indicado:

a) S = {x E lR 112x - 31 = O} b) S = {x E lR I Ix + 21 = -1} e) S = {x E lR 115x + 21 = 11 - 3xl} d) S = {x E lR I Ix - 11 = 3x - 2} e) S = {x E lR Ilxl = 2 - x} 1) S = {x E lR I Ix - 61 = I - 31}

2. Sean x, y E R

a) Demuestre que Il xl - Iyll ::; Ix - yl b) Demuestre que Il xl - Iyll ::; Ix + yl e) Sea E > O Y a i= O. Describa el siguiente conjunto y grafquelo:

A = {x E lR I I ax + ,61 ::; E}


Captulo 2

Exponentes racionales

Contenido

2.1. Induccin matemtica.

2.2. Exponentes enteros ..

2.3. Exponentes racionales y races

2.4. Aplicaciones ........... .

43

49

59

70

En este capt ulo nos ocuparemos de las potencias racionales de un nme-ro real y de sus propiedades. Es decir, estudiaremos expresiones de la forma x r , donde x E lR. Y r E Q. Iniciaremos analizando el comporta-miento de st as cuando r E N, luego lo extenderemos a r E Z, y por lt imo consideraremos el caso r E Q .

2.1. Ind uccin matemtica

Demostrar las propiedades ms importantes de los exponentes racio-nales, usualmente requiere la utilizacin del mtodo de induccin ma-temtica. Los fundamentos para la implementacin de este mtodo se estudiaron en el teorema 1.4.3.

2.1.1 Principio de induccin matemtica. Supngase que est da-da una proposicin que depende de n E N, digamos P (n) , y supngase adems que se pueden demostrar las siguientes afirmaciones:

43


(IM1) P(l) es verdadera. (1M2) Para todo k E N, si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) tambin

es verdadera.

Entonces para todo n E N la proposicin P(n) es verdadera. DEMOSTRACIN: Sea K el conjunto de todos los nmeros naturales

para los cuales la proposicin P(n) es verdadera. Esto es, K = {n E N I P(n) es verdadera}

De (1M1) se sigue que 1 E K Y de (1M2) se sigue que si k E K, entonces k + 1 E K. Esto asegura que K es inductivo y por el teorema 1.4.3 se tiene que K = N. Es decir, P(n) es verdadera para todo E N D

En esencia, el principio de induccin matemtica consiste en lo si-guiente:

Una proposicin P(n) es vlida para todo nmero natural n si se verifican:

(1) P(n) es vlida para n = 1. (2) De la validez de P(n) para un nmero natural cualquiera n = k se

sigue su validez para n = k + 1.

Simblicamente, el principio de induccin matemtica se puede expre-sar de la siguiente manera:

[P(l) 1\ (Vk)(P(k) =* P(k + 1))] =* (Vn)P(n) (2.1) 2.1.2 Ejemplos. Presentamos ahora algunas demostraciones usando ind uccin matemtica.

1. Para todo n E N se cumple que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 . DEMOSTRACIN: En este ejemplo la proposicin P(n) de la que habla el principio de induccin es 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 . Verificar que P(l) es verdadera es inmediato , ya que 1 = 12 . Supongamos ahora que la proposicin se verifica para k E N. Es decir,

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 (2.2) Demostramos ahora que P(k + 1) es verdadera. Esto significa que

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2 (2.3)

Captulo 2. Exponentes racionales


Sumando a cada lado de la igualdad (2.2) el trmino 2(k + 1) - 1 se t iene:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) k 2 +2(k+1)-1 k 2 + 2k + 1 (k + 1)2

Dado que la proposicin P(k+ 1) tambin es verdadera, el principio de induccin matemtica asegura que la afirmacin es vlida para todo n E N.

2. La suma de los n primeros naturales est dada por la expresin n(n

2+1). Es decir,

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n2+1)

DEMOSTRACIN: Dado que 1 = 1(1;+-1), se tiene que P(l) es ver-dadera.

Supongamos ahora que P(k) es verdadera. Esto es,

1 + 2 + 3 + ... + k - k(k+1) - 2 (2.4)

Demostramos ahora que P(k + 1) es verdadera. Es decir,

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k+1)[(~+1)+1] (2.5) Sumando (k + 1) a cada lado de la igualdad (2.4) se tiene:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) k(ki1) + (k + 1) k(k+1)+2(k+1)

2

(k+1)(k+2) 2

(k+1)[(k+1)+1] 2

La conclusin se sigue del principio de induccin matemtica.

3. Para todo n E N se verifica que

12 + 22 + 32 + ... + n2 _ n(n+1)(2n+1) - 6

DEMOSTRACIN: Dado que 1 = 1(1+1(2+1), se tiene entonces que P (1) es verdadera.

2.1. Induccin matemtica


Supongamos ahora que para k E N se verifica

12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k+1~2k+1) (2.6)

Demostramos ahora que P(k + 1) es verdadera:

k(k+1~(2k+1) + (k + 1)2 k(k+ 1)(2k+ 1)+6(k+ 1 )2

6 (k+ 1 )[k(2k+ 1)+6(k+ 1 )]

6 (k+1)(2k 2 +7k+6)

6 (k+1)(k+2)(2k+3)

6 (k+ 1 )[(k+ 1)+ 1] [2(k+ 1)+ 1]

6

Usando el principio de induccin matemtica se t iene que la afir-macin es vlida para todo n E N.

4. Para todo n E N se cumple que 2n :2: 2n. DEMOSTRACIN: Note que 21 = 2 :2: 2(1) = 2. Por lo tanto P(l) es verdadera.

Supongamos ahora que 2k :2: 2k

Demostremos que 2k+1 :2: 2(k + 1) . (2.7)

Si en la desigualdad (2.7) multiplicamos a ambos lados por 2, se tiene que 22k:2: 2(2k). Entonces 2k+1 :2: 2k + 2k . Dado que k:2: 1, se tiene entonces que 2k :2: 2. Por lo tanto 2k + 2k :2: 2k + 2. En conclusin, se tiene que 2k+ 1 :2: 2( k + 1) . Entonces la afirmacin se cumple para todo n E N.

5. Si n E N, entonces n(n + 1) es divisible por 2. DEMOSTRACIN: Si n = 1, entonces n(n + 1) = 2 es divisible por 2. Entonces P(l) es verdadero. Supongamos que para k E N se verifica que k(k + 1) es divisible por 2.

Demostramos que (k + l)(k + 2) es divisible por 2. Note que (k+1)(k+2) = k(k+1)+2(k+1) Y adems k(k+1) es, por hiptesis, divisible por 2. Por otro lado, 2(k + 1) tambin es es



divisible por 2 (ya que es un entero par ). Por lo tanto (k + 1) (k + 2) es divisible por 2.

Entonces la afirmacin es vlida para todo n E N.

2.1.3 Teorema. (Desigualdad de Bernoulli) l Para todo nmero natural n :2: 2 y para todo nmero real no nulo x > -1 se verifica que

(1 +x)n > 1 +nx. D EMOSTRACIN: P rocedemos por induccin sobre n.

1. Si n = 2, entonces (1 +x)2 = 1 + 2x +x2 > 1 + 2x, ya que x2 > O. 2. Supongamos ahora que la afirmacin para n :2: 2 es vlida. Esto es

(1 + x) n > 1 + nx. 3. Mult iplicando a ambos lados por (1 + x) se t iene:

(1 + x)n+l > (1 + x)( l + nx) 1 +nx+x +nx2

> 1 + (n + l )x

Lo cual demuestra la afirmacin. D

El siguiente teorema es una generalizacin de las propiedades descritas en los teoremas 1.3.3 y 1.3.5 (4).

2.1.4 Teorema. Sean Xj, Yj E lR. para todo j = 1, 2, ,n. 1. Si Xj < Yj para todo j = 1, 2, .. ,n, entonces

X l + X2 + ... + Xn < YI + Y2 + ... + Yn

2. Si Xj < Yj para todo j = 1, 2, ,n y adems Xj > O, entonces

XIX2 . . . Xn < YIY2 ... Yn

1 J AKOB BERNOULLI (1654 - 1705), cientfico suizo nacido en Basilea. Tras licen-ciarse en teologa y haber estudiado matemticas y astronoma entre 1677 y 1682 viaj a Francia, los Pases Bajos e Inglaterra. De regreso, en Suiza, desde 1683 en-se mecnica en Basilea. En 1687 se hizo cargo de la ctedra de matemticas en la Universidad de Basilea. Con su hermano estudi los aportes de Leibniz al clculo infinitesimal, el cual aplic al estudio de la catenaria y en 1690 introdujo el trmino de integral en su sentido moderno.

2.1. Induccin matemtica

48

n:

Gutirrez-Robinson

DEMOSTRACIN: Demostramos las afirmaciones por induccin sobre

1. Si n = 1, entonces la afirmacin es trivial.

Supongamos que para k = n - 1 se verifica que la afirmacin. Es decir, Xl + ... + Xn-l < YI + ... + Yn-l Del teorema 1.3.3 se sigue que

Xl + ... + Xn-l + X n < Y1 + ... + Yn-l + X n < = Y1 + ... + Yn-l + Yn

2. Si n = 1, nuevamente la afirmacin es inmediata.

Supongamos que XIX2 Xn-l < Y1Y2 Yn-l. Usando una vez ms el teorema (1.3.5) 7. se sigue que Xl Xn-IXn < Y1 ... Yn-IXn < Y1 ... Yn-IYn D

2.1.5 Ejercicios Usando el principio de induccin matemtica demues-tre que para todo n E N se verifica que

1. 13 + 23 + 33 + ... + n 3 = n2(n4+ 1)2

2. 23 + 43 + ... + (2n)3 = 2n2 (n + 1)2

3. 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n(3~-I) 4. 2 + 4 + ... + 2n = n 2 + n

5. 14 + 24 + 34 + ... + n 4 = n(n+I)(6n~69n2+n-l)

6. n3 - n es divisible por 6

8. 2n > 2n+ 1, (n 2': 3) 9. Sea a E N dado. Demuestre que para todo n E N se verifica que

a) Si a 2': 2, entonces an > n b) Si a 2': 3, entonces an > n 2 e) 2n > n 2

10. Para todo n E N, la expresin xn - yn es divisible por X - Y



2.2. Exponentes enteros

2.2.1 D efinicin. Sean x E ]R Y n E Z. Se define la n -sima potencia de x, denotada con xn de la siguiente manera:

x O .- 1, para X=f= O xn+l .- xnx, para n:2: 0

xn .- (x-n)- l , para x =f= O, n< O

El siguiente teorema nos suministra las primeras propiedades de los exponentes. En la prueba de ste jugar un papel importante el principio de induccin matemtica.

2.2.2 Teorema. Sean x, y E ]R x y m , n E Z. Entonces se cumplen

2. (xm)n = xmn

3. (xy)n = xnyn

4. ( ~ ) n = ~:

~ ~ Fn-m si m = n 5. si n> m x= 1 si m > n x rn - n

DEMOSTRACIN:

1. Demostramos la afirmacin considerando todas las sit uaciones po-sibles. Inicialmente, el caso en que m y n son no negativos.

(a) Supongamos inicialmente que m , n E No Y demostramos la afirmacin por induccin sobre n.

Parte 1: Si n = O, entonces xmxO = x m1 = xm = xm+O. Parte 2: Supongamos que la afirmacin es vlida para n :2:

O. Entonces

xm(xnx) (xmxn)x xm+nx

xm+n+l



(b) Demostramos ahora la siguiente afirmacin: Si k E N, enton-ces se verifica que x-kx = x-k+1. Dado que k - 1 :2: O, de (a) se sigue que xxk-1 = xk. Entonces

X-k (xk)- l (xxk-1 )-1 x-1 (xk- 1)-1 x-1x-(k-1) x-1x-k+1 x-k+1x-1

Si mult iplicamos por x a ambos lados de la igualdad se t iene que x-kx = (x-k+1x-1)x = x-k+1.

(e) De la definicin 2.2.1 y de (b) se t iene que para todo m , n E Z se verifica: xm+nx = xm+n+1. En efecto, si m + n :2: O la afirmacin se sigue de la definicin 2.2.1 y si m + n < O, entonces se sigue de (b). Similar como se realiz en (a), uno puede demostrar por in-duccin sobre n que xmxn = xm+n para todo m E Z y para todo n E No.

(d) Si demostramos que para m E Z y n > O se verifica que xmx-n = xm-n, entonces se t iene completa la demostracin de l. Note que xm-nxn = xm- n+n = xm. Entonces si mult iplica-mos a ambos lados por (xn)- l se t iene:

2. Procedemos como en la demostracin anterior :

(a) De la definicin 2.2.1 se sigue que x-m = (xm)- l , para todo m :2: O. Sea m < O. Entonces:

Por lo tanto (xm)-l = x-m, para todo m E Z. (b) Demostramos ahora la siguiente afirmacin: (xm)n = xmn

para todo m E Z y para todo n E No. Procedemos por induc-cin sobre n:



Parte 1: Si n = O, entonces (xm)O = 1 = xO = xmO. Parte 2: Supongamos que la afirmacin es vlida para n :2:

O. Entonces

( e) Sea ahora n :2: O. Entonces:

(xm)-n = ((xmt)-l = (xmn)-l = x-mn

3. Demostramos la afirmacin por induccin sobre n:

Parte 1: Si n = O, entonces (xy)O = 1 = xOyo. Parte 2: Supongamos que la afirmacin es vlida para n > O.

Entonces

Parte 3: Sea n < O. Entonces

(xyt(xy) (xnyn) (xy) (xnx)(yny) xn+lyn+l

((xy)-l)-n (x-ly-l)-n (x-l) -n (y-l )-n

4. Supongamos que y i= O. Entonces

5. Se deja como ejercicio. D



Presentamos ahora algunas aplicaciones de los resultados anteriores.

2.2.3 Ejemplos. En cada caso, simplificar y expresar sin exponentes negativos (si es el caso). Suponga adems que se descartan las situaciones en que las expresiones no tienen sentido.

1. (32x3y5 z2)2 Solucin:

(32x3y5Z2)2 (32)2(x3)2(y5)2(z2)2 34x 6 y10z4

2. (-;:::J!:3) ( 3~3~~~:4) Solucin:

( _z2 ) ( x

4 )

22 x 3y 3y2 z6 -x

12y3 z4

3 ( X- l_y - 3 ) -1 . x 2+y 1 Solucin: Simplificamos inicialmente la base de la expresin:

Entonces

-1 -3 X - Y x-2 + y-1

( -1 -3)-1 X -y x-2 + y-1

1 1 x - 113 1 1

X2" + Y y3_ x ----xy.r y+x2 x2y

x2y(y3 - x) xy3(y + x2) x(y3 - x) y2(y + x2)



2.2.4 Ejercicios Simplifique las expresiones dadas, expresndolas sin exponentes negativos

1. (x-n + xn + l )(x-n + xn - 1) 2. (xm-2 + x-m - x-2m)(xm + x-m + 1)

7. (x- 1 + y- 1)(x+ y )-1

8. (x- 1 + y - 1 )-1

9. x2 - x y - 1

y - x-1

10. (x3 y )(xy2)

(x y )6

( -1 -1) -1 11 .

x - y X- 1 + y - 1

12. (2X- 1 _ y-2 ) -2

X- 2 - 2y- 1

13. (xk+3)k (xk+5)

(xk+2)4

14. 9233n

9n3n(9 - 27n )

15. 2x-1 + 3x-2 - 4x-3

5x-4 + 6x-5

Iniciamos ahora la construccin de los elementos tericos que nos per-mit irn demostrar el teorema del binomio. Entre stos se encuentran los conceptos de factorial de un elemento de No Y coeficiente binomial.



2.2.5 Definicin. Sean n, k E No.

1. Definimos el factorial de n, notado n! de manera inductiva:

O! .- 1

n! .- (n - 1)! . n, para n :2: 1

2. Si O ::; k ::; n, definimos el coeficiente binomial de n sobre k, notado (~) de la siguiente manera:

(n) n! k - k!(n-k)!

2.2.6 Ejemplos. De la definicin anterior se sigue inmediatamente que

Entonces

(a) 1! = O! . 1 = 1 (b) 2! = 1! 2 = 2 (e) 3! = 2! 3 = 6

n! = 1 23 (n - 1) . n

(d) 21! = 51090942171709440000 (e) 42! = 1405006117752879898543142606244511569936384000000000

Es importante anotar que este nmero crece muy rpido.

(J) m = 3!5!2! = 10 (g) (!) = 4!46! = 1

2.2.7 Ejercicios

1. Calcule en cada caso el coeficiente binomial

a) m b) m e) @ d) m

2. Simplifique



) n! d d O a (n-r)!' on e < r < n b) n! (n+l)

(n-l)!

3. Sean n, k E N, con k < n. Demuestre que (~) + (k~l) = (~~i) 4. Sean n, k E N, con n 2': k. Demuestre que 'E.j=k (() = (~~i) 5. Demuestre que ;h ::; 2nl_ l' para todo n E N.

2.2.8 Lema. Sean n, k E No, con k::; n.

1. (~) = (~) = 1 2. (~) = (n~k). 3. G) + (k~l) = (nt 1)

DEMOSTRACIN:

1. Se sigue inmediatamente de la definicin

(n) _ n! _ 1 _ n! _ (n) o - O!(n-O)! - - n!(n-n)! - n

2. Esta propiedad establece una simetra del coeficiente binomial

3.

n n! n! n (k) = k!(n - k)! = (n - k)!(n - (n - k))! = (n-k)

n! n! k!(n - k)! + (k - l)!(n - (k - 1))!

n! n! k k! (n - k)! + k!(n - k)!(n - k + 1) n! (n-k+l)+n! k k!(n-k)!(n-k+l) n!(n - k + 1 + k) k!((n + 1) - k)!

n!(n + 1) k!((n + 1) - k)!

(n + 1)! k!((n + 1) - k)! (nt 1)


55


N uestra meta inmediata es encontrar una expresin para (x + y) n , donde x, y E lR Y n E N. Usando la definicin 2.2.1 y el axioma e5 se tiene que

(x + y)l (x + y)2 (x + y)3 (x + y)4

x+y x2 + 2xy + y2 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Note que los exponentes de la variable x decrecen, mientras que los exponentes de la variable y crecen. Los coeficientes estn determinados por el usualmente denominado tringulo de Pascal,2 cuyo fundamento est en el lema anterior.

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

2.2.9 Teorema del binomio. Sean x, y E lR Y n E N. Entonces

Si utilizamos el smbolo de sumatoria se tiene

n

(x + yt = L (~)xn-kyk k=O

DEMOSTRACIN : Procedemos por induccin sobre n. Si n = O, enton-ces (x + y)O = 1 = xOyO y la afirmacin se cumple

2BLAISE PASCAL (1623 - 1662) , filsofo y matemtico francs nacido en Clermont-Ferrand. En 1640 public Essai Pour les coniques, en el que demuestra el llamado teorema del hexgono de Pascal, segn el cual, los tres pares de lados opuestos de un hexgono inscrito en una cnica se cortan en puntos alineados. Su trabajo ms famoso en filosofa es Penses, una coleccin de pensamientos personales acerca del sufrimiento humano y la fe en Dios.



Supongamos que la afirmacin es vlida para n :2: O. Entonces

(x+yt(x+y) n (2: (~)xn-kyk) (x + y)

k=O n n (2: G)xn-kyk)x + (2: G)xn-kyk)y

k=O k=O n n

k=O k=O n n-l 2: G)xCn+l)-kyk + xn+l + 2:

Matemáticas básicas con trigonometría (2a. ed.)

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