Cálculo Avanzado (111076M) (Matemáticas) (5 créditos) (4 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisito: Cálculo II (111073M))

Objetivos

1. Extender los conceptos de puntos máximos, mínimos y de silla a los campos escalares. Así mismo estudiar algunas de las aplicaciones y el uso de los multiplicadores de Lagrange.

2. Extender el concepto de integración a funciones de varias variables e introducir la integración sobre caminos y superficies.

3. Presentar algunas aplicaciones geométricas, así como algunas aplicaciones a la física, a través de las integrales de línea y de superficie.

Contenido1. Unidad 1. Aplicaciones del cálculo diferencial (3 semanas).

Máximos y mínimos. Puntos de silla. Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares. Matriz Hessiana. Criterio de la segunda derivada para extremos de funciones de dos variables. Multiplicadores de Lagrange.

2. Unidad 2. Integrales de línea (3 semanas).Caminos rectificables. Integrales de línea. Propiedades fundamentales. El concepto de trabajo como integral de línea. Integrales de línea respecto a la longitud de arco. Otras aplicaciones de las integrales de línea. Conjuntos conexos abiertos. Independencia del camino. Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea. Aplicaciones a la mecánica. Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea. Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente. Métodos especiales para construir funciones potenciales. Funciones de potencial en conjuntos convexos.

3. Unidad 3. Integrales múltiples (5 semanas).Definición de integral doble. Integrales iteradas. Interpretación geométrica. Aplicaciones a áreas y volúmenes. Otras aplicaciones de la integral doble. Teoremas de Pappus. Teorema de Green. Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bidimensional sea un gradiente. Cambio de Variable. Integral triple. Definición. Interpretación geométrica. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Cambio de variable. Aplicaciones. Centros de gravedad y momentos de inercia.

4. Unidad 4. Integrales de Superficie (4 semanas).

Representación paramétrica de una superficie. Área de una superficie paramétrica. Integrales de superficie. El teorema de Stokes. Rotacional y divergencia de campos vectoriales. Teorema de la divergencia. Aplicaciones.

Texto GuíaTom Apostol. Calculus Vol II. Editorial Reverté, España, 1973, capítulos 9, 10, 11 y 12.

Bibliografía:1. Marsden - Tromba. Cálculo vectorial. Addison Wesley, 4a edición, 1998.2. Thomas - Finney. Cálculo en varias variables. Editorial Addison wesley, Vol

l,II.3. Sherman Stein - Anthony Barcellos. NCáculo y Geometría analítica, editorial

Mcgraw Hill, 1995.4. G Hwei P. Hsu. Análisis vectorial, Fondo Educativo Interamericano.

Ecuaciones Diferenciales (111077M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Prerrequisitos: Cálculo II (111073M) cursado; Álgebra Lineal (111071M) cursado (Habilitable))

PresentaciónEste curso se centra en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias como unos de los principales instrumentos matemáticos empleados en la modelación de fenómenos naturales, que van desde la determinación de la antigüedad de un fósil al estudio de problemas de mecánica como la caída de un cuerpo en un medio resistivo o el comportamiento de un oscilador mecánico. El énfasis del curso está en los modelos lineales, aunque ocasionalmente se estudian también ecuaciones no lineales. Si el tiempo lo permite el curso puede incluir una introducción a las ecuaciones parciales.

Objetivos GeneralesAl finalizar el curso los estudiantes deberían estar en capacidad de:

1. Determinar de manera explícita las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el empleo de técnicas clásicas, principalmente en el caso lineal.

2. Plantear modelos matemáticos sencillos en términos de ecuaciones diferenciales y simultáneamente interpretar las soluciones en contextos específicos.

3. Explicar el contenido de los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, así como interpretarlo y aplicarlo en casos concretos.

4. Aplicar técnicas que permiten el estudio de ciertas ecuaciones diferenciales cuando no es posible resolver esas ecuaciones de manera explícita.

Contenido1. Ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones (5.5 semanas)

Nociones fundamentales. Teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones de primer orden. Técnicas de solución de ecuaciones de primer orden: separación de variables, integrales de ecuaciones exactas, cálculo de factores integrantes, ecuaciones lineales de primer orden, cambios de variables. Ecuaciones reducibles a primer orden. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden (se puede seleccionar entre algunos de los siguientes temas): leyes de crecimiento y de decrecimiento,

problemas de mecánica (caída libre, caída en medio resistivo), problemas de mezclas, cálculo de trayectorias ortogonales, problemas geométricos (curvas de persecución, etc.). Métodos cualitativos para ecuaciones de primer orden. Estabilidad de las soluciones. Introducción a los métodos numéricos: método de Euler.

2. Ecuaciones lineales de segundo orden y órdenes superiores y sus aplicaciones (5 semanas)Estructura de las soluciones de las ecuaciones lineales de segundo orden (teoremas básicos de superposición, teorema de existencia y unicidad de soluciones de problemas con condiciones iniciales). Técnicas de solución: obtención de conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes, reducción de orden, obtención de soluciones particulares para ecuaciones no homogéneas: método de los coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden: osciladores mecánicos, oscilaciones libres no amortiguadas, y amortiguadas, oscilaciones forzadas. Ecuaciones de orden superior. Soluciones en términos de series de potencias: soluciones en torno a puntos ordinarios, y en torno a puntos singulares regulares (método de Frobenius). La ecuación de Bessel y otras ecuaciones de la matemática-física.

3. Sistemas de ecuaciones (2.5 semanas)Sistemas lineales: propiedades básicas. Sistemas homogéneos con coeficientes constantes: el método de los vectores propios generalizados. Retratos de fases. Sistemas no homogéneos: variación de parámetros y el método de los coeficientes indeterminados.

4. Introducción a las ecuaciones parciales (2.5 semanas)Separación de variables y series de Fourier. La ecuación de onda, la ecuación del calor.

Bibliografía:1. Calderón, G, J. Arango y A. GómezEcuaciones diferenciales para estudiantes

de ciencias e ingenierías. Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, Cali, 2010.

2. Boyce W.E. y R.C. DiPrima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a ed. Limusa-Wiley, México, 2005.

3. Simmons, G.F. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, 2a ed. MacGraw-Hill, México, 1993.

4. Simmons, G.F. Ecuaciones diferenciales: teoría, técnica y práctica. MacGraw Hill, España, 2007.

5. Blanchard, P., R.L. Devaney y G.R. Hall. Ecuaciones diferenciales. Thompson, México, 1999.

6. Braun, M. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1990.

7. Edwards C.H. y D.E. Penney. Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones. Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1991.

8. Zill, D.G. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores de frontera, 6a ed. Thompson Paraninfo, México, 2006.

9. Derrick, W. y S. Grossman Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano, Mexico, 1984.

10.Farlow, S.J. Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Publication, New York, 1993.

Probabilidad y Estadística II (111078M) (Matemáticas) (4 créditos) (5 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisito: Probabilidad y Estadística I (111075M))

ObjetivosAl finalizar el curso el estudiante debe estar en capacidad de:

1. Aplicar los distintos métodos para encontrar la distribución de una función de variables aleatorias, fundamentalmente para su aplicación en la estadística inferencia.

2. Aplicar los distintos métodos y principios para estimar parámetros y probar hipótesis reconociendo las ventajas de unos con respecto a los otros.

Contenido Unidad 1: Funciones de variables aleatorias (4 semanas).

Técnica de las funciones de distribución acumulada. Descripción de la técnica. Distribución de los estadísticos de orden. Distribución de la suma y la resta de variables. Distribución del producto y cociente de variables. Técnicas de la función generadora de momentos. Descripción de la técnica. Distribución de sumas de variables aleatorias independientes. Teorema central del límite. Técnica de las transformaciones. Descripción de la técnica en el caso discreto. Descripción de la técnica en el caso continuo.

Unidad 2: Muestro y distribución muéstrales (2 semanas).Muestreo. Poblaciones, muestras, parámetros y estimadores. Distribuciones muéstrales. Distribuciones muéstrales relacionados con la distribución normal. Distribuciones de x y s2 en muestras normales. Las distribuciones chi-cuadrado, t-student y F.

Unidad 3: Estimación Puntual(3 semanas).Métodos para encontrar estimadores. Método de máxima verosimilitud. Métodos de los momentos. Otros métodos. Propiedades de los estimadores puntuales. Error cuadrático medio, insesgamiento, consistencia y suficiencia.

Unidad 4: Estimación por intervalo (2 semanas)Intervalos de confianza. Definición y cantidad pivotal. Estimaciones muéstrales relacionados con la distribución normal. Intervalos de confianza para la media. Intervalos de confianza para la diferencia de medias. Intervalos de confianza para la varianza. Intervalos de confianza para el cociente de varianzas. Intervalos de confianza para la proporción en una distribución binomial.

Unidad 5: Pruebas de hipótesis (3 semanas)Conceptos básicos. Tipos de error. Región crítica y funciones de potencia. Principios generales para la prueba de una hipótesis cuando la distribución de la población es normal. Pruebas respecto a una muestra o dos muestras.

Texto GuíaCanavos, Gorge. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. Mc-Graw-Hill.

Bibliografía:1. Mendenhall, Scheaffer y Wackerly. Estadística matemática con aplicaciones.

Grupo Editorial Iberoamerica. 2a. edición.2. Mood, Gaybill y Boes. Introduction to the theory of statistic. Mc.Graw-Hill. 3a.

edición.3. Hoog y Craig. Introduction to Mathematical Statistics. Collier. Mc.Millán. 2a.

edición.

Fundamentos de Física II (106078M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana mag., 2 horas/semana lab.) (Prerrequisitos:Fundamentos de Física I (106077M) (A), Cálculo II (111073M) (C) (Habilitable))

ObjetivosAl finalizar el curso el estudiante debe tener una comprensión de las leyes que rigen la interacción entre cuerpos y partículas cargadas en reposo o en movimiento. Debe tener conceptos claros de magnitudes físicas tales como cargas, campo electromagnético, fuerzas que actúan sobre cargas que se mueven en campos electromagnéticos, así como entender el significado de las ecuaciones de Maxwell y su papel en la descripción de las ondas electromagnéticas. El curso es teórico-práctico y en este sentido se llevarán a cabo sesiones de laboratorio que complementarán el contenido teórico de la asignatura y que además servirán para generar destrezas en el manejo de instrumentos y en el procesamiento de la información obtenida.

Contenido1. Electrostática

o Ley de Coulomb

o Campo eléctrico. Ley de Gauss

o Potencial eléctrico

o Dieléctricos, polarización, permitividad

o Capacitancia y condensadores

o Densidad de energía eléctrica.

2. Corriente y Circuitos

o Ley de conservación de la carga. Ecuación de continuidad

o Corrientes estacionarias en metales. Ley de Ohm. Ley de Joule.

o Leyes de Kirchhoff. Circuitos

3. Campos Magnéticos

o Campo magnético de corrientes estacionarias.

o Fuerza magnética sobre cargas puntuales y sobre corrientes eléctricas

o Ley de Biot-Savart, Ley de Ampere

o Cálculo de campos magnéticos

o Medios magnetizables, susceptibilidad magnética

o Densidad de energía magnética

o Materiales ferromagnéticos

4. Campos variables con el tiempo

o Ley de inducción de Faraday. Inductancia

o Corriente de desplazamiento. Reformulación de la Ley de Ampere

o Sistema de ecuaciones de Maxwell

5. Aplicaciones a Circuitos Eléctricos

o Circuito LC y RLC

o Oscilaciones forzadas, resonancia

o Corrientes alternas.

o Potencia de de los Circuitos de corriente alterna

o Transformador

6. Ondas Electromagnéticas

o Ondas electromagnéticas planas.

o Vector de Poynting; Presión de Radiación; Polarización.

o Reflexión y Refracción de Ondas Electromagnéticas, Fórmulas de Fresnel

o Propagación de ondas electromagnéticas en la materia. Dispersión.

o Radiación de dipolos oscilantes.

o Radiación de una carga acelerada.

o Efecto Doppler en ondas electromagnéticas.

o Espectro de la radiación electromagnética.

Prácticas de Laboratorio

1. Introducción

2. Electrostática

3. Aparatos de medición

4. Líneas equipotenciales

5. Deflexión de campo eléctrico

6. Carga y descarga de un condensador

7. Ley de Ohm. Leyes de Kirchoff

8. Manejo del osciloscopio

9. Efecto Joule

10.Deflexión magnética

11.Balanza de corriente

12.Brújula de tangentes

13.Corriente alterna

14.Oscilaciones eléctricas

Texto Guía M. Alonso, E. Finn. Física. Addison-Wesley, 1995

Las prácticas de laboratorio se realizarán según la guía preparada por el Departamento de Física.

Bibliografía1. R. P. Feynman, Lectures on Physics, Tomos I, II, III, Fondo educativo

latinoamericano.2. Eisberg R.M., Lerner L.S.. Física. Fundamentos y Aplicaciones. McGraw-Hill

(1983).3. Fishbane, Gasiorowicz, Thornton, Física para Ciencias e Ingeniería, Prentice-

Hall Hispanoaméricana S.A. (1994)4. Resnick R., Halliday D., Krane K.S. Física (vol. I), Cía. Ed. Continental S.A.,

México(1996)

5. Sears F.W., Zemansky M.W., Young H.D. y Freedman R.A., Física Universitaria (Tomo I) (Novena edición). Addison Wesley Longman, México (1999).

6. Serway. Física, Tomo II. Editorial McGraw-Hill (1998)7. Serway Raymond A. Physics for scientists & engineers, (Third updated

version) Saunders golden series, Philadelphia (1996)8. Tipler P. A. Física, Tomo II, Reverté, Barcelona (1994).