Matemáticas Grado 9º Unidad 3 Función lineal y función...

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

1

Matemáticas

Grado 9º

Unidad 3

Función lineal y función

cuadrática



2

LOGRO:

Identificar las características principales de las funciones lineal y

cuadrática a saber que son unas de las más reconocidas en el ámbito

matemático y además de esto reconocer algunos problemas de la

cotidianidad en los que dichas funciones tienen su aplicabilidad.

INDICADORES DE LOGRO:

Reconoce el método apropiado para hallar un determinante de 2 x 2

Reconocer las principales características de la función lineal.

Identificar e interpretar correctamente los datos arrojados por la

gráfica de una función lineal.

Reconocer la ordenada de origen y la pendiente de la recta

Hallar la ecuación de la recta dados la pendiente y la ordenada de

origen

Hallar la ecuación de la recta dados dos puntos pertenecientes a ella.

Reconocer la gráfica de una función cuadrática

Identificar los elementos que componen la parábola

Desplazar la parábola de una función cuadrática según las variaciones

que esta tenga respecto de la grafica fundamental.

¿QUÉ ES UNA PARÁBOLA?, ¿TIENE QUE

VER CON LAS ENSEÑANZAS DE

CRISTO?



3

ACTIVIDAD

En las siguientes preguntas debes escribir con tus palabras lo que

entiendes de cada concepto:

¿Qué entiendes cuando te dicen que algo es lineal?

¿Qué entiendes cuando te dicen que algo es recto?

¿Qué entiendes por pendiente?

Si te dicen que una pared es muy pendiente, ¿qué se te viene a la

cabeza?

¿Qué es para ti una parábola?

Cuando te dicen que un número es el cuadrado de otro, ¿qué

entiendes?

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



4

Función lineal:

Las funciones cuyas gráficas son líneas rectas las reconocemos como

funciones lineales. Los casos de funciones lineales son:

La recta y = k · x, correspondiente a una función de proporcionalidad

directa.

La recta y = k · x + b correspondiente a una recta que pasa por (0 ; b),

y no por el (0;0) del sistema de ejes coordenados, donde la letra k,

representa un número real cualquiera.

La recta constante y = b, la cual gráficamente queda paralela al eje x.

Los valores numéricos k y b son de importancia. Tienen nombres

especiales. Identificaremos como pendiente de la recta al valor

numérico k, y, como ordenada al origen o intercepto al valor

numérico b.

Para iniciar, abordemos una situación de magnitud directamente

proporcional que te permita recordar lo aprendido en grados anteriores

para relacionarlo con los conocimientos nuevos de función lineal.

Ejemplo 1:

Una capacitación sobre Técnicas Innovadoras de cultivo se cobra

$35.000 por persona. Tomemos como x a la Cantidad de Personas que

se inscribieron y cancelaron el curso, e y a la Recaudación total de

dinero.

Aprendamos algo

nuevo



5

a) Confecciona una tabla que relacione la Recaudación según la

Cantidad de personas.

b) Grafica la función.

c) Determina la expresión algebraica para la función.

d) El alquiler del salón donde dictar el curso sale $400.000. ¿Cuántas

personas deben inscribirse, como mínimo, para cubrir este gasto?

Solución:

a) La Cantidad de Personas que se inscriban al curso podrían ser 0, 1, 2,

3, ... . Si por cada una de ellas ingresan $35.000, cuando sean 2 las

inscritas se habrá recaudado $35.000 x 2; si son 3, $35.000 x 3, etc.

Con estos razonamientos ya podemos ir confeccionando la tabla:

Número de personas

Total dinero

0 0

1 35.000

2 70.000

3 105.000

4 140.000

5 175.000

6 210.000

b) El gráfico será:



6

c) La expresión algebraica preserva las operaciones matemáticas

empleada para la confección de la tabla. Será: y = 35.000·x.

d) La respuesta la podemos dar dándole continuidad al gráfico y ver que

valor de x necesita cuando en y llega a 400.000: la respuesta es 12 o

más personas.

Veamos otra situación cuya gráfica es una recta, pero no

corresponde a una función de proporcionalidad directa:

Ejemplo 2:

Un comercio local adquirió los derechos exclusivos para ofrecer un

espectáculo musical en el parque de Barbosa, a través de cultura de la

municipalidad. Su comisión es $500.000 más $1.500 por cada boleto

que se venda.

Imagínate que eres el dueño del comercio local y estás interesado en

hacer especulaciones respecto de la comisión -a ganar- dependiendo

de los boletos que se vendan.

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 2 4 6 8

Número de personas vs dinero

x personas



7

Para manipular esta situación podemos recurrir a la confección de una

tabla y gráficos similar a lo estudiado en el ejemplo anterior:

x: cantidad de boletos vendidos.

y: comisión

Les damos valores arbitrarios a x, producto de nuestra imaginación

especulativa como dueños del comercio y obtenemos los

correspondientes de y por medio de cálculos matemáticos, así:

Y= (1.500*x)+500.000

y x

0 500000

50 575000

100 650000

150 725000

200 800000

250 875000

300 950000

El gráfico resultante es:

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 50 100 150 200 250 300 350

x

x

y = f( x )



8

El gráfico de una función de proporcionalidad directa es una recta que

pasa por el (0,0) del sistema de ejes coordenados. La gráfica resultante

de la situación es una recta, pero no pasa por el (0,0) sino por el

(0,500.000). Luego, no es una función de proporcionalidad directa.

Si observamos las cuentas que nos llevan a la obtención de los valores

de y, podemos deducir la expresión algebraica de la función:

y = f( x) = 1.500·x + 500.000

Ejemplo 3:

Una familia a lo largo de los meses del año 2002 logró mantener fijo su

gasto de luz en $25.000, a pesar de la incidencia del tiempo.

Si llamamos x a los meses del año e y al gasto de luz por mes, la tabla

para esta situación sería:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Y 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000

La gráfica:



9

El gasto fue constante a lo largo de los meses, no hubo alguna

variación.

La expresión algebraica para esta gráfica es:

y = f( x ) = 25

ACTIVIDAD

1) Para las siguientes situaciones debes conformar una tabla que

muestre el comportamiento de cada una de ellas, luego hacer la

gráfica de la función, determinar la expresión algebraica para la

función y decir si es una función lineal o no.

a. Un hombre camina a la misma velocidad durante dos horas.

En los primeros 15 minutos recorre 100 metros.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 2 4 6 8 10 12 14

Y

Y

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



10

b. Una confeccionista cose 6 uniformes de colegio en dos días.

Necesitando coser los uniformes para 42 estudiantes.

c. Un tendero vende en su primer mes quedándole una ganancia

de $600.000 y cada mes siguiente le queda de ganancia el

doble de lo que le quedó el mes anterior. ¿cuánta ganancia

tiene en su primer año de ventas?

d. Una mamá lava 20 platos en el día, ¿cuántos platos ha lavado

al transcurrir un mes?

e. Un estudiante lee 2 libros cada 3 meses, ¿cuántos ha leído en

un año?.

2) Ingenia tres situaciones de tu cotidianidad en las que encuentres

funciones lineales y otras tres situaciones en las que a pesar de ser

magnitudes directamente proporcionales, no son funciones lineales.

En la ecuación de la recta y = 1,500x + 500.000 la pendiente es 1,500

y la ordenada al origen es 500.000. La pendiente, 1,500 representa lo

que gana por cada un boleto vendido. La ordenada al origen, 500.000

representa que cobrará aunque no haya vendido ningún boleto.

En la ecuación de la recta y = 25000 la pendiente es 0 y la ordenada al

origen es 25. Gráficamente la recta no tiene inclinación, por eso su

pendiente es 0.

Aprendamos algo

nuevo



11

La ordenada al origen o intercepto.

La ordenada al origen es el valor de la función obtenido cuando la

variable x se le asigna el valor 0. Gráficamente es el lugar sobre el eje y

por donde pasa la recta.

Haciendo x = 0, en la función y= 3x+25 entonces y= 3· 0 + 25 = 0 +

25 = 25.

25 es la ordenada al origen.

En la gráfica:

Claramente se aprecia que la recta intercepta al eje y en 25.

La pendiente

La pendiente de la recta muestra que tanto crece el eje y mientras se

avanza en el eje x, así pues, a medida que la pendiente sea más

grande, la función lineal va a avanzar más en el eje y por lo que va a

estar más cerca de ser paralela al eje y.

Para hallar el valor de la pendiente teniendo la recta o la función de la

recta, es necesario tomar dos puntos pertenecientes a la función y luego

realizar la división de la diferencia en y sobre la diferencia en x lo que

nos mostrará la razón de cambio de y contra x:

05

101520253035404550

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x



12

(Y2 – Y1)/(X2 – X1)

Por ejemplo:

Juan González fabrica guitarras y posee una máquina cuyo costo fue de

$2.250. La empresa que se la vendió le informó que la vida útil de la

misma era de 60.000 Hs., al cabo de la cuál el Sr. González la podía

vender a un valor aproximado de $450. El Sr. González necesita saber

cuánto debe ahorrar por hora para que al cabo de la vida útil pueda

comprarse otra máquina de las mismas características.

Supongamos que vivimos en un país sin inflación.

Entendemos que al pasar 60 000Hs de uso deberíamos tener

$2.250, pero la guitarra la podremos vender como usada a un

valor de $450. Entonces el dinero que necesito ahorrar a lo

largo de las 60.000 Hs es: $2.250 - $450.

Dinero a ahorrar por hora de uso = HsHsHsHs

/$03,060000

1800$

060000

450$2250$

Debemos ahorrar 3 centavos de peso por cada hora.

Si x representa las horas de uso transcurrido, e y, el dinero a

ahorrar en pesos, podemos confeccionar una tabla:

X 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Y 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 35

La ecuación algebraica que permite calcular el dinero a ahorrar en

función de las horas de uso es:

Y = f(x) = 0,03x

La pendiente de la recta es 0,03.



13

ACTIVIDAD

Grafica la ecuación anteriormente tabulada.

Ejemplo 2

Una persona compra un auto para su uso familiar. Paga a la

concesionaria $18 000.000, por la adquisición. Transcurridos tres

años de uso lo vende a un valor de $9.300.000. ¿Cuál fue la

desvalorización por año del vehículo, suponiendo que ésta fue

constante?

Si compra a $18 000.000 y vende a $9.300.000, el dinero que perdió

a lo largo de los tres años es: $9300 - $ 18 000. El resultado de esta

resta será un valor negativo, el cual describe el estado de “pérdida”

monetaria de la persona.

El valor perdido por año = añoporañosañosaños

2900$3

8700$

03

18000$9300$

El auto, partiendo desde $18 000.000 pierde $2.900.000 por cada

año. Con esta información podemos confeccionar una tabla, donde x

son los años transcurridos desde la compra e y el valor del auto:

x Y

0 18000000

1 15100000

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



14

2 12200000

3 9300000

4 6400000

5 3500000

6 600000

Para obtener 15.100.000, hicimos 18.000.000-2.900.000; para

obtener 12.200.000, hicimos 15.100.000-2.900.000; y así

continuamos hasta el final de la tabla.

Grafiquemos valor del vehículo en función de los años:

En el gráfico vemos que la ordenada al origen o intercepto es

18.000.000, pero ¿la pendiente?

La pendiente de la recta se define como la razón de la elevación al

recorrido. De aquí:

12

12

xx

yy

recorrido

elevaciónk

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

12000000

14000000

16000000

18000000

20000000

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

Y



15

Entonces la pendiente de la recta es -2900.

Como tenemos los dos valores importantes de la recta, k y b, podemos

dar la ecuación de la recta correspondiente a la gráfica y la tabla:

y = f ( x ) = - 2900 x + 18000

Ejemplo 2:

Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio

de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a

cada rasuradora eléctrica. Estudia la demanda del público que tiene este

comerciante, en función del precio.

Solución:

Llamemos x a la cantidad de rasuradoras que el público le compra, e

y al precio por unidad de las rasuradoras. Con la información de la

situación podemos armar la tabla:

X

(Nº de

rasuradotas)

Y

($)

20 25

30 20

Llevemos estos dos puntos a un sistema de ejes coordenados:



16

Cuando el precio pasa de $25 a $20, la cantidad de rasuradoras

compradas pasa de 20 a 30. Es decir, hay un ascenso del número de

rasuradoras demandadas a medida que el precio se disminuyó.

ACTIVIDAD

Traza la recta que pase por los pares ordenados (20; 30) y (25; 20).

¿Cuál es la pendiente de la recta?

La pendiente de la recta = 2

1

10

5

2030

2520

º

Pr

srasuradoradeN

rasuradoraporecio

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35

Pre

cio

Cantidad

30 -20

20- 25

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



17

Significa que por cada $1 que baje el precio de las rasuradora eléctricas

su venta se incrementará a razón de 2.

Procedimiento para hallar la ecuación de la recta conociendo dos

puntos:

La ecuación de la recta es de la forma Y = K*X + b

Dónde K es el valor de la pendiente y b es el valor del intercepto con el

eje y, por lo tanto para hallar la ecuación de la recta es necesario

encontrar los valores de la pendiente y del intercepto. Para hacerlo

seguimos el siguiente procedimiento:

1º) Primero calculamos k. Para calcular k seguimos el procedimiento

estudiado anteriormente utilizando la ecuación k= (y1 – y2)/(x1 – x2)

2º) Planteamos la expresión general de la ecuación de la recta y = k · x

+ b

3º) Reemplazamos el valor de k encontrado en 1º), en la expresión de

la ecuación de la recta del 2º).

4º) Reemplazamos en la expresión de la recta a x por x1, a y por y1.

5º) Nos quedó una ecuación donde b es la incógnita a descubrir.

Despejamos b y precisamos su valor.

6º) Reemplazamos el valor de k y de b hallados en la ecuación de la

recta 2º)

Aprendamos algo

nuevo



18

Ejemplo 1:

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (20; 35) y

(30; 20).

Como ya tenemos la pendiente, es 2

1, el problema se reduce a

encontrar la ordenada, b.

La ecuación de la recta correspondiente a la gráfica será del tipo:

Y = f (x) = k · x + b

La pendiente ya es dato, reemplacemos a k por el valor de la pendiente.

Y = f (x) = 2

1 x + b

Pero esta ecuación es la que corresponde a la tabla:

X

(Nº de

rasuradoras)

Y

$

20 25

30 20

Si reemplazamos en la fórmula a x = 20, el valor que deberíamos

obtener para y es 25

Y =2

1 · x + b

25 = 2

1 · 20 + b



19

20 = - 10 + b

Despejemos b:

20 + 10 = b

30 = b

La ecuación de la recta será: y = f (x) = 2

1x + 30

Repasemos lo que hicimos en los dos últimos ejemplos. Teníamos que

hallar la ecuación de la recta y nos daban como datos los pares

ordenados (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ).

Para dar la ecuación de la recta necesitamos hallar los valores de k y b.

Expliquemos como procedimos:

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Pre

cio

Cantidad



20

Aquí quedó escrito lo requerido por el ejercicio.

ACTIVIDAD

1) a) Marca los puntos (-2; 1) y (1; 7) en un sistema de ejes

coordenados.

b) Traza la recta que pase por esos dos puntos.

c) Encuentra la pendiente de la recta que pase por esos dos puntos.

d) Expresa la ecuación de la recta que corresponda a esa tabla.

e) Confecciona una tabla con al menos 5 renglones. Toma otros valores

de x distintos a -2 y 1.

f) Verifica que esos nuevos 5 pares ordenados gráficamente quedan

sobre la recta trazada en b).

2) a) Grafica las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



21

I. (-1; 4) y (3; 2)

II. (2; 5) y ( -2; -1)

III. (2; 5) y ( -1; 5)

b) Indica la pendiente y el intercepto (ordenada al origen) de cada una.

3) Las ventas totales de una compañía se pueden aproximar mediante

una función lineal del tiempo (en años). Las ventas en 1990 fueron de

$2,4 millones, mientras que en 1995 ascendieron a $7,4 millones.

a) Halla la ecuación que de las ventas de la compañía como función del

tiempo.

b) ¿Cuáles fueron las ventas en 1993?

Gráfico de una recta dadas su pendiente y su intercepto

(ordenada al origen).

Si conocemos la pendiente y ordenada al origen de la recta no es útil

para graficarla.

Veamos cómo hacerlo con la función y = 3 x – 1

La pendiente es 3, y la ordenada al origen es -1. La pendiente podemos

expresarla en forma fraccionaria:

Aprendamos algo

nuevo



22

La pendiente = 3 = 1

3

1º) Como la ordenada al origen es -1, la recta cortará al eje y en

(0; -1). Marca ese punto en el gráfico.

2º) Como la pendiente es 3, significa que por cada una unidad que crece

x, y crece 3. Entonces desde el punto que marcamos antes avanzamos 1

unidad, nos movemos una unidad hacia la derecha en sentido

horizontal, y a continuación 3 unidades hacia arriba, en sentido vertical.

Allí marcamos otro punto.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3x



23

3º) Marcamos la recta que pase por esos dos puntos.

Ejemplo 2:

22

3xy . La ordenada al origen es -2 y la pendiente es la fracción

2

3.

1º) Marcamos la ordenada -2 sobre el eje y, como un punto.

2º) Desde allí nos desplazamos 2 unidades hacia delante en sentido

horizontal, luego 3 unidades hacia arriba en sentido vertical. Marcamos

un segundo punto.

3º) Trazamos la recta que pasa por esos dos puntos.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3x

1

3



24

Si la recta a graficar fuera y = -3x – 1, la ordenada al origen es -1 y la

pendiente es -3. Expresando la pendiente en forma de fracción sería:

1

3.

1º) Marcamos el punto (0; -1).

2º) Desde el lugar (0; -1) avanzamos 1 unidad en sentido horizontal y

luego bajamos 3 unidades en sentido vertical. Allí marcamos el segundo

punto.

3º) Traza la recta que pase por los dos puntos.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

2

3



25

ACTIVIDAD

1) Realiza la gráfica sacando los puntos a partir de cada una de las

siguientes funciones:

a) 22

3xy

b) 32xy

c) xy52

d) 32

5xy

e) y= -5x+3

2) Determina la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes

rectas:

a) y = 2x

b) y = x + 2

c) 2x – y = 4

d) y = -x

e) 2x + 3y – 4 = 0

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



26

f) 2y – x = 6

g) y = -2

h) y = 4

3) Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

a) (2, 1) y (3, 2)

b) (-2, 6) y (5, -8)

c) (-1, -4) y (2, 8)

d) 2,2

1 y

3

1,1

e) 3

2,

4

3 y

2

1,

4

1

Raíz o Cero de la función

La raíz o cero de una función es el punto dónde la recta corta el eje x,

es decir, el punto donde la ordenada y vale cero. El procedimiento

adecuado para hallar el cero de la función lo veremos por medio del

siguiente ejemplo.

Ejemplo 1:

Aprendamos algo

nuevo



27

La función que describió la ley “demanda de las rasuradoras eléctricas”

fue:

y = x2

1+ 30

¿Para qué cantidad x el precio de la demanda se anula?

Continuando con el ejercicio, entendemos que pregunta para qué valor,

x, de las rasuradora eléctricas es, y, el precio de demanda igual a 0.

Reemplazando a y por 0 en la expresión de la ecuación de la recta

y = x2

1+ 30 es:

y = x2

1+ 30

0 = -2

1 x + 30

Con lo cual nos queda una ecuación de una incógnita a descubrir.

Despejando x:

0 – 30 = x2

1

-30 = x2

1

x

2

1

30

60 = x

Para una cantidad de 60 rasuradoras, el precio por unidad será 0. En la

gráfica significa que la recta pasa por el par ordenado (60; 0). En otras

palabras, la recta corta al eje x en 60.



28

ACTIVIDAD

En tu cuaderno debes hallar los ceros o puntos de intersección de las

siguientes funciones con el eje x, luego grafícalas y saca una tabla de

valores para cada una de ellas.

a) Y=8x+4

b) Y= 3x+2

c) Y=x

d) Y= -x

e) Y= - 2x-2

f) (2, 1) y (3, 2)

g) (-2, 6) y (5, -8)

h) (-1, -4) y (2, 8)

i) 2,2

1 y

3

1,1

j) 3

2,

4

3 y

2

1,

4

1

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



29

Grafico de la recta por ordenada y ceros de la función.

Para graficar la recta por la ordenada y ceros de la función,

sencillamente es necesario localizar los dos puntos a los que estamos

haciendo referencia: al punto (0,b) y el punto (c,0) siendo c el valor del

punto que corta el eje x.

Ejemplo:

Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función

que expresa el costo total anual, y, en función de la cantidad de

unidades producidas, x. Los contadores indican que los gastos fijos

cada año son de $ 54.000. También han estimado que los costos de

materias primas por cada unidad producida ascienden a $ 5.50 y que los

de mano de obra son de $ 1.50 en el departamento de montaje por cada

unidad, $ 0.75 en el cuarto de acabado por cada unidad y $ 1.25 en el

departamento de empaque y embarque por unidad.

X es la cantidad de productos elaborados, o unidades fabricadas.

Y es el costo total de la empresa

La función costo total será el resultado de sumar los costos fijos

a los costos variables por las unidades producidas. Los costos fijos

son los que posee una empresa aunque no haya producción, esté

parada. Por ejemplo, el gasto de alquiler, impuesto inmobiliario, etc. En

contraposición, los costos variables, son costos que fluctúan

dependiendo de la cantidad fabricada. En el caso de la situación, los

costos variables constan de dos componentes: los costos de materias

Aprendamos algo

nuevo



30

primas y los de mano de obra. Los costos por mano de obra se calculan

al sumar los respectivos costos de mano de obra de los tres

departamentos. Entonces, el costo total se define por medio de la

función:

COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLE + COSTOS FIJO

Y = (Costo materia prima + Costo Mano Obra Montaje + Costo Mano

Obra acabado + Costo Mano Obra embarque) + Costo fijo

y = (5,50 x + 1,50 x + 0,75 x + 1,25 x) + 54000

y = 9 x + 54000

El 9 es la pendiente de la recta, representa el costo por unidad

fabricada.

Los 54000 es la ordenada al origen o intercepto, representa el costo fijo.

Al marcar la ordenada al origen sobre el eje y vemos que es necesario

decidir qué escala es la adecuada. Tomemos 1cm: $9000. ¿Y para el eje

x, cuál será la adecuada?

Busquemos el valor de x por el cual y es 0, o sea, el cero de la función:

Y = 9 x + 54000

0 = 9 x + 54000

0 – 54000 = 9 x

-54000 = 9 x

-54000/9 = x

-6000 = x

Marquemos el eje x con la escala 1cm: 1000 unidades.

Para graficar por ordenada y pendiente necesitamos las escalas en los

ejes de 1 en 1. Este no es el caso.



31

Hacemos los siguiente: marcamos en el sistema de ejes coordenados los

puntos (0; 54000) y (-6000; 0). Luego trazamos la recta que atraviese

esos dos puntos.

ACTIVIDAD

10) Grafica la función costo con lápiz negro, según el procedimiento

descrito.

Interpretemos esta gráfica. Nos ha quedado un trazado de la recta a la

izquierda del eje y, y otro a la derecha. Por ejemplo, ha quedado el par

ordenado (-6000; 0) o el (-5000; 9000) o (-4000; 18000) o (-1000;

45000) como pertenecientes a la recta y a la solución de la situación. En

los casos mencionados los valores de x son negativos. Estaríamos

diciendo que para una fabricación de -5000 unidades tuvimos un costo

de $9000. Pero -5000 unidades es una cantidad por debajo de 0, es

decir ¡no fabriqué! Una empresa fabrica o no fabrica. Si no fabrica - la

variable x es 0 - y sólo tiene costos fijos, si además fabrica – la

variable x toma valores positivos-, y se le suma a los costos fijos, los

variables. Entonces este gráfico sólo tiene sentido para valores de

x ≥ 0. Lo que hacemos es borras la parte de la recta que está a la

izquierda del eje y.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



32

ACTIVIDAD

1) Un fabricante tiene costos fijos mensuales de $ 60.000 y un

costo de producción unitario de $ 10. El producto se vende

por $ 15 por unidad. ¿Cuál es la función de costos?

Grafique dicha función.

2) En el mercado un kilo de naranjas cuesta $1.800. Completa

la siguiente tabla sobre los precios de las naranjas según

vamos variando el peso, forma la función y halla la

pendiente y el intercepto.

Peso 1 2 3 4 1,5 0,5 2,5 3,5 3,1 0

Precio 1800

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33

Ecuación implícita de la recta.

Estudiemos este tema a partir de un ejemplo:

Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del

primer producto requiere 2 horas- máquina y cada unidad del segundo

requiere 5 horas-máquina. Hay 280 hora-máquinas disponibles cada

semana.

Si x representa las unidades del primer tipo e y unidades del segundo

tipo que se fabrican cada semana, ¿cómo será la expresión que

relaciona las incógnitas x e y con los datos 2, 5 y 280?

El total de horas-máquinas consumidas para las x unidades es:

2·x

El total de horas-máquinas consumidas para las y unidades es:

5·y

El total de horas máquinas disponibles es

280

La ecuación que relaciona x e y es: 2 x + 5 y = 280

Es una ecuación de la recta, llamada implícita; no está dada en la forma

y = k · x + b. Para transformarla a esta forma podemos comenzar por

despejar y.

2 x + 5 y = 280 => 5 y = 280 – 2 x

+

Aprendamos algo

nuevo



34

=> y = 565

2

5

256

5

2

5

280

5

2280xxx

x

La ecuación de la recta 565

2xy expresa la cantidad de unidades del

segundo tipo en función de la cantidad de unidades del primer tipo.

ACTIVIDAD

1) Según el ejemplo anterior responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa?

b. ¿Cuántas unidades del segundo producto pueden fabricarse si

se producen 40 unidades del primero cada semana?

c. Interpreta el par ordenado (0; 56).

d. Calcula el cero de la función. Interpreta dicho resultado.

e. Grafica la recta sin hacer tabla. Usa alguno de los dos

procedimientos descriptos.

2) ¿Para qué valores de x tiene sentido esta recta? ¿Por qué?

3) La compañía FACA fabrica productos X e Y. Cada unidad de X

requiere 3 horas-trabajo y cada unidad de Y requiere 4 horas-

trabajo. Hay 120 horas- trabajo disponible cada día.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



35

a) Si x unidades de X e y unidades de Y se fabrican al día y se

emplean todas las horas de trabajo, encuentre la relación entre

x e y.

b) Grafique.

c) De la interpretación física de la pendiente de la relación lineal

obtenida.

d) ¿Cuántas unidades de x pueden fabricarse en un día si se

producen 15 unidades de Y en el mismo día?

e) ¿Cuántas unidades de Y pueden producirse en un día si se

fabrican 16 unidades de X en el mismo día?

4) Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $500

aumente su valor a una razón constante de $50 por año durante los

próximos 5 años.

a) Escriba la ecuación que prediga el valor de de la obra de arte en

los próximos cinco años.

b) ¿Cuál será su valor tres años después de la fecha de adquisición?

5) Supongamos que se ha aceptado un empleo como vendedor. El

patrón ha dicho que el sueldo dependerá del número de unidades

que venda a la semana. La variable y es el sueldo semanal; x, el

número de unidades vendidas a la semana; y, la ecuación del sueldo

es: y = 3x + 25:

a) ¿Cuánto es la pendiente?

b) ¿Cuánto es la ordenada?



36

c) Confecciona una tabla

d) Grafica

e) ¿Qué representa la pendiente en el contexto de esta situación? Es

decir, ¿cómo se interpreta?, ¿qué significado tiene?

f) ¿Qué representa la ordenada al origen? Es decir, ¿cómo se

interpreta?

Función cuadrática

La función cuadrática no es mas que una función polinómica de grado

dos; ésta tiene la forma f(x)=ax2+bx+c con a,b y c є R y a≠0.

Expresiones como y=f(x)=5x2, y=f(x)=7x2 + 8, y=f(x)= 7x2 + 8x +8

son ejemplos de funciones cuadráticas.

La función cuadrática más simple es y=f(x)= x2, si evaluamos esta

función con algunos valores tendremos lo siguientes datos:

x Y

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

Cuya grafica correspondiente es:

Aprendamos algo

nuevo



37

ACTIVIDAD

En tu cuaderno toma cada una de las siguientes funciones cuadráticas y

evalúalas haciendo una tabla con números naturales, luego traza la

gráfica según lo visto en el ejemplo anterior y escribe un comentario

describiendo que diferencias ves en cada una de ellas respecto a la

función y=f(x)= x2.

.

1) y=f(x)= 2x2

,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0 1 2 3 4 5 6 7

y

y

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



38

2) y=f(x)= x2/2

3) y=f(x)=-x2

4) y=f(x)=-x2+5

5) y=f(x)=-x2-5

6) y=f(x)= 2x2 + 5

7) y=f(x)= 2x2 - 5

Estas graficas que realizaste se llaman semiparábolas, pero si a la

función le damos valores de enteros positivos y negativos también,

tendremos que:

x y

-6 36

-5 25

-4 16

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

Aprendamos algo

nuevo



39

6 36

Y si vemos ahora la gráfica correspondiente sería:

Esta gráfica recibe el nombre de parábola y es la representación gráfica

de la función cuadrática.

Elementos de la parábola:

En toda parábola se distinguen los siguientes elementos:

Abertura: Está determinada por el signo de “a” (el coeficiente de

x2); si a<0 la parábola abre hacia abajo pero si a>0 entonces la

parábola abre hacia arriba.

Vértice: es el punto v= (h,k) donde h= y k= f( si la parábola

abre hacia abajo, el vértice es el valor máximo; si la parábola abre

hacia arriba, es el valor mínimo.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Series1



40

Eje de simetría: es la recta que pasa por el vértice y es paralela al

eje y. recibe el nombre pues al doblar el plano por esta recta los dos

brazos de la parábola coinciden en todos sus puntos.

Y-intersecto. Es el punto (0,c); dicho valor se halla al reemplazar x

por 0 en la expresión Y=f(x)=ax2+bx+c.

X-intersecto. Son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y se

hallan al sustituir y o f(x) por 0 en la expresión Y=f(x)=ax2+bx+c.

ACTIVIDAD

Graficar las siguientes parábolas y señalar sus elementos.

1) y=f(x)= 2x2

2) y=f(x)= x2/2

3) y=f(x)=-x2

4) y=f(x)=-x2+5

5) y=f(x)=-x2-5

6) y=f(x)= 2x2 + 5

7) y=f(x)= 2x2 – 5

8) y=f(x)= 3x2+ 3x - 2

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



41

Ceros, raíces o soluciones de la función cuadrática:

Las raíces o ceros de una función cuadrática son los puntos donde la

gráfica de la función corta el eje x, se representan tres casos.

1) La gráfica de la función corta al eje x en un solo punto. En este

caso, se dice que la función tiene una sola raíz real y está ubicada en

el vértice. Para lograr que la función tenga una sola raíz real es

necesario que la función se desplace por el eje x partiendo de la

función original y=f(x)=x2 para esto solo tenemos que sumar o

restar un número real cualquiera c de tal manera que al sumarlo

(y=f(x)=(x+c)2), la gráfica se desplazará a la izquierda c veces y

al restarlo (y=f(x)=(x-c)2) la grafica se desplazará a la derecha c

veces.

Ejemplo:

Dada la función y=f(x)=(x+3)2 Podemos apreciar que su vértice se

desplazó tres unidades a la izquierda del punto cero.

Y realizando los respectivos cálculos podremos comprobar que el

vértice queda en el punto (0,-3).

Aprendamos algo

nuevo



42

2) La gráfica de la función corta al eje x en dos puntos, en este caso se

dice que la función tiene dos raíces reales diferentes.

Para conseguir esto debemos partir de la función cuadrática mas

simple y=f(x)=x2 y sumarle un valor cualquiera c si la función tiene

abertura hacia abajo (y=f(x)=-x2 + c) haciendo que se desplace

hacia arriba c veces y restarlo si la función tiene abertura hacia

arriba (y=f(x)=x2 – c) haciendo que se desplace hacia abajo c

veces.

Ejemplo:

Dada la función y=f(x)=x2+20

Podemos observar que la gráfica de la función se desplaza veinte

unidades hacia arriba en el eje y, pero si en vez de sumarle 20

unidades se las restáramos, entonces la función no se desplazaría

hacia arriba sino hacia abajo.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-15 -10 -5 0 5 10

y

y



43

3) La grafica de la función no corta al eje x, en cuyo caso se dice que la

función no tiene solución real. Es decir, sus raíces son números

complejos.

Para lograr esta gráfica tenemos una combinación de las dos anteriores,

por lo que esta función es: y=f(x)=(x-5)2+20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-5 0 5 10 15

y

y



44

ACTIVIDAD

En tu cuaderno determina hacia dónde abre la parábola, el vértice y los

puntos de corte con el eje x de las funciones dadas, además intenta

graficarlas sin hacer una tabla siguiendo las pautas estudiadas

recientemente:

1) y=(x-5)2

2) y=(x+5)2

3) y=(x-9)2

4) y=(x+9)2

5) y= 5x2 + 3x

1)

1) Hallar la ecuación de una recta que corta el eje de ordenadas en el punto

A( 0, 1), y cuya pendiente es -2

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE

RECOLECTEMOS LO

SEMBRADO



45

2) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto M(1, -1), y que

corta el eje x en el punto de coordenadas (2

3 , 0)

3) Las rectas “a” y “b” pasan por los puntos de coordenadas ( -1, 4) , y

( 1, -1), respectivamente. Ambas rectas se cortan en el punto P(2 ,1).

Hallar las ecuaciones de dichas rectas y la pendiente de cada una.

Determinar a cuál de las dos rectas pertenece el punto de coordenadas

(3, 2)

4) Una recta “r” pasa por los puntos ( -1, 1) y (1 , 3) Hallar la ecuación

de las rectas “m” y “p” sabiendo que:

i) la recta “m” es paralela a “r” y pasa por el origen

ii) la recta “p” es paralela a “r” y pasa por el punto M (3, 5)

5) Sean un par de ejes coordenados y tres puntos A(-2, 1) , B(1, 5) , C( 4, 3) ,

que son vértices de un triángulo, SE PIDE: Hallar las ecuaciones de las

rectas que contienen los lados del triángulo, graficar una recta que corta los

ejes coordenados en los puntos P( -3, 0) , y Q( 0, 4) y establecer la ecuación

de la misma.

6) Sea la función f(x) = 2x - 1 SE PIDE:

i) hallar su raíz ii) Hallar f(0) iii) Hallar la imagen de -3 en dicha

función

iv) graficarla y determinar si el punto N( 2, 4) pertenece a dicho gráfico

7) Para cada uno de los casos siguientes, hallar la expresión algebraica de una

función lineal “f” sabiendo que su gráfico es una recta tal que:

i) Tiene una pendiente 8, y la ordenada en el origen es -3

ii) pasa por el origen, y el punto A(2, -4) pertenece a dicho gráfico

iii) Es paralela a la recta de ecuación y= -2x + 1 y pasa por el punto

(2, 2)



46

8) Determinar la expresión algebraica de la función f(x) sabiendo que su gráfico

es una paralela a la recta de ecuación y = 4x + 3, y pasa por el punto (1,

5)

12) La entrada para un espectáculo deportivo cuesta $ 15.000. Por la

televisación de dicho evento se recaudan $ 40.000.000. Establecer la

expresión algebraica de la función que representa la recaudación total obtenida

y determinar cuántas entradas se deben vender para que dicha recaudación

total ascienda a $ 115.000.000

13) Un vendedor percibe un sueldo mensual de $500.000, y $ 3.000 de comisión

por cada artículo que vende. Determinar la expresión algebraica de la función

que representa el ingreso mensual total que percibe dicho vendedor, y cuántos

artículos debe vender para que dicho ingreso sea de $ 1.500.000

14) Determinar para qué valores de “x” las funciones f(x) = 2 x + 3 y g(x) =

-x + 2 son simultáneamente positivas.

15) Sea f(x) = mx + p; Determinar la expresión algebraica de la función sabiendo

que su gráfico pasa por el punto (3, -3), y corta el eje vertical en el punto

(0, 3)

16) Determina las coordenadas del vértice, la abertura, los interceptos con

los ejes coordenados y las graficas de las siguientes funciones

cuadráticas.

a) y2 =12x b) y2 = -4x c) x2 = 8y d) (x - 3)2 = 16y

Matemáticas Grado 9º Unidad 3 Función lineal y función...

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