Funciones•Función exponencial

Función compuesta•Función inversa

•Función logaritmo

Cálculo diferencial (arq)

Función exponencial

Una función exponencial f está dada por:

f(x) = ax

donde x es cualquier número real, a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama base.

x

ytabulamos:

Gráfica de f(x)=2x

x

y

xy 2

La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

La gráfica es: Creciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).

x

y

a = 2

seguir

xay

x

y

a = 3

seguir

xay

x

y

a = 4

seguir

xay

x

y

a = 5

seguir

xay

x

y

a = 1.5

seguir

xay

x

y

a = 1.2

seguir

xay

x

y

a = 1

seguir

xay

tabulamos…

x

y

Gráfica de f(x)=(½)x

x

y

x

y21 La gráfica es:

Decreciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).

La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

x

y

a = 0.5

seguir

xay

x

y

a = 0.33

seguir

xay

x

y

a = 0.25

seguir

xay

x

y

a = 0.2

seguir

xay

Muy importante!!

x

y

f(x)= a > 1

xa

);1( 1a

);2( 2a

);1( 1 a)1;0(

Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

Conclusiones

OJO!!

x

y

f(x)= 0 < a < 1

xa

)1;0();1( 1a

);2( 2a

);1( 1 a

);2( 2 a

Función decrecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

Conclusiones

n

1 S/.2,00000

2 S/.2,25000

3 S/.2,37037

4 S/.2,44141

12 S/.2,61304

52 S/.2,69260

365 S/.2,71457

8760 S/.2,71813

525600 S/.2,71828

…. …..

n)n1(1A

El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande…

....718281828,2

11lim

en

en

n

El número e

Gráfica de f(x) = ex

x

y

xey

Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

x ex

0 1

1 2,71..

2 7,38..

x

y

xy 3xy 2

xey

Gráfica de f(x) = ex

Ejercicios

Ejercicio 1.5 (p. 63)1. Gráficas: 7, 8, 11 y 13.2. 17 y 183. Modelación: 23.

Composición de funciones

fg

entrada x g(x)

salidaf(g(x))

Función compuesta fog

Sean f y g funciones reales talesque Dom f Ran g ,entonces:

1. Dom(fog) = {x / xDomg g(x)Domf }

2. fog(x) = f(g(x))

Ejercicios

Ejercicio 1.3 (p. 48): 1. 36; 2. 38; 3. 54 y 55.

f

g

Note que: y = f(x) y x = g(y)

g(y)x. .y = f(x)

Diagrama de una función inversa

Definición

Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y rango C dominio de g es C y rango Dg es la inversa de f si se cumple: – g(f(x)) = x para todo x en D– f(g(x)) = x para todo x en C

Guía para hallar f -1

1. Verificar que f es inyectiva (*).2. Determinar Dom f -1 (**)3. Despejar x de y = f (x).

* Se recomienda realizar el gráfico y determinar el rango de f.

* * Dom f -1 = Ran f

Ejercicios

1. Ejercicio 1.6 (p. 73): 72. Ejercicio 1.6 (p. 73): 103. Dada la función f(x) = x2 - 1,

x<0; y grafique f y f -1 en un mismo plano.

Función logarítmo

log a x = y ay = x

a>1 y a≠1

• El logaritmo de un número x en una base a es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número.

Ecuación logarítmicaEcuación

exponencialNMa log Ma N

2100log10 201,0log10

21

49 7log

100102 01,010 2

749 21

Exponenciales y logarítmos

xxy y 2log2

¼ -2½ -11 02 14 28 3

yx 2 y

x

y

graficamos…

Gráfica de f(x) = log 2 x

x

y

xy 2log

Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y

La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0)

¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?

¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?

x

y

xxf 2)(

xxg 2log)(

xy

(2; 4)

(4; 2)

Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.

x

y

a = 2

seguir

xy alog

x

y

a = 2,5

seguir

xy alog

x

y

a = 3

seguir

xy alog

x

y

a = 3,5

seguir

xy alog

x

y

a = 4

seguir

xy alog

x

y

a = 4,5

seguir

xy alog

x

y

a = 5

seguir

xy alog

x

y

a = 1,6

seguir

xy alog

x

y

a = 1,2

seguir

xy alog

a = 0,8

x

y

seguir

xy alog

a = 0,7

x

y

seguir

xy alog

a = 0,6

x

y

seguir

xy alog

a = 0,5

x

y

seguir

xy alog

a = 0,4

x

y

seguir

xy alog

x

y

xy alog

a > 1

Función crecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncava hacia abajo

base

a

Conclusiones

x

y

xy alog

0 < a < 1

Función decrecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncavahacia arriba

a

base

Conclusiones

Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 y cualquier número real k:

MkM

NMN

M

NMNM

ka

a

ak

a

aaa

aaa

ka

a

a

loglog.6

logloglog.5

logloglog.4

log.3

01log.2

1log.1

Leyes de logarítmos

Para cualquier número positivo x.

xx loglog10

Logarítmo decimal o común

El logaritmo log10 x se llama logaritmo común de x y su forma abreviada es log x.

Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..

Para cualquier número positivo x.

xxe lnlog

Logaritmo natural

x

y

e

Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.

Gráfica de f(x) = ln x

Ejercicios

Ejercicio 1.6 (p. 73)1. De exponencial a logaritmo: 19 y 28.2. Función logaritmo: 42.3. Ecuaciones exponenciales: 49, 50,

51 y 52.4. Modelación: 55 y 56.

Tarea de conciencia

Ejercicio Capítulo 1 (p. 79)• 1, 2, 8, 10, 15, 16, 17c, 19,

23, 25, 27 y 28.