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2011

DIRECCION DE EDUCACION PERMANENTE.

DIRECCION DE EDUCACION COMUNITARIA.

MATEMÁTICAS I

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MATERIAL DISTRIBUIDO DE MANERA GRATUITA POR LA SECRETARÍA DE

EDUCACIÓN JALISCO.

3

ATEMÁTICAS

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DE JALISCO

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN PERMANENTE

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN COMUNITARIA

BACHILLERATO DE EDUCACIÓN PARA ADULTOS

M

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Unidad I Pág.

Sistema decimal

1.2 Sistemas no posicionales y posicionales. 1.2 Sistema decimal: orden, notación desarrollada y notación

científica. 1.3 Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

1.4 Operaciones aritméticas, problemas. 1.5 Sistemas de medición: decimal, inglés, sexagesimal, etc.

Unidad 2

Divisibilidad 2.1 Primos y Divisores

2.2 Criterios de divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, etc. 2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) y máximo común divisor

(m.c.d.)

Unidad 3 Fracciones y reales

3.1 Unidad y partición.

3.2 Equivalencias y orden de fracciones. 3.3 Expansión decimal finita y periódica.

3.4 Conversiones de expresiones decimales a fracciones. 3.5 Operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potencia.

3.6 Porcentajes. 3.7 Variación proporcional (tablas y gráficas).

3.8 Los números e, pi, raíz cuadrada de 2, etc. 3.9 Introducción al seno y coseno de un ángulo

Unidad 4 Conteo y probabilidad

4.1 Diagramas de árbol. 4.2 Principio multiplicativo (principio fundamental del conteo). 4.3 Principio aditivo. 4.4 Permutaciones y combinaciones.

ÍNDICE

=

+

- X

5

Unidad 5

Estadística 5.1 Tasas e índices.

5.2 Elaboración e interpretación de gráficas de frecuencias

absolutas y relativas (Tablas, histogramas, poligonales, circulares, etc.).

5.3 Medidas de tendencia central (media, mediana y moda). 5.4 Medidas de dispersión (desviación media, estándar y varianza).

Unidad 6 Lenguaje algebraico y

Ecuaciones de primer grado 6.1 Lenguaje algebraico.

6.2 Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y

división). 6.3 Signos de agrupación.

6.4 Valor numérico y despejes de fórmulas 6.5 Noción de función. Tabulación y graficación. El plano

cartesiano. 6.7 Progresiones aritméticas y geométricas

6.8 Resolución de ecuaciones de la forma: ax + b = c; ax + b = cx + d; con

Paréntesis y con coeficientes fraccionarios

VISISTA NUESTRO PORTAL:

http://portalsej.jalisco.gob.mx/educacion-comunitaria/

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Las matemáticas constituyen una línea de formación del individuo, que

está presente a lo largo de todos los niveles educativos y con una estrecha vinculación entre grados sucesivos, los contenidos se presentan

a partir de situaciones y actividades que tienen sentido para los estudiantes y les permite generar conjeturas, analizarlas con sus

compañeros y poner en juego, de manera consciente, los conocimientos adquiridos con anterioridad.

Siendo esto muy complejo, aunque a medida que se desarrollan las habilidades, es más sencillo orientar a los alumnos y así podrán

preguntar o sugerir los temas de los problemas que le sean más

interesantes.

Contribuye ésta, además, a crear el marco teórico de la física y es una herramienta fundamental para el desarrollo de esta ciencia, así como de

otras disciplinas científicas y técnicas, como la química, la biología y, actualmente, la economía, asignaturas que se incluyen en el plan de

estudios del Bachillerato. La enseñanza de las matemáticas en el nivel bachillerato tiene como propósitos importantes:

Desarrollar en los estudiantes nociones y conceptos que les sean útiles para comprender su entorno y acceder a otras áreas del

conocimiento y la actividad humana. Proporcionar un conjunto de procedimientos y formas de

pensamiento propias del razonamiento lógico; en particular del inductivo-deductivo, indispensable en la comprensión y aplicación

de los diferentes métodos y conceptos matemáticos.

Que el estudiante adquiera habilidades de abstracción, de análisis y de síntesis, al igual que capacidades para desglosar y

sistematizar ideas y métodos. Desarrollar la capacidad del estudiante para explorar y buscar

soluciones a problemas, a través del dominio del lenguaje de la matemática y de los modelos que esta disciplina desarrolla.

Que el estudiante desarrolle aptitudes para comunicar y justificar sus afirmaciones.

Las actividades sugeridas que aparecen en cada Unidad son propuestas para que el profesor y su academia elaboren secuencias de problemas y

ejercicios a seguir en clase, bajo la dinámica de solución de problemas, con las adaptaciones necesarias, según el número de alumnos, el tiempo

INTRODUCCIÓN

=

+

- X

7

disponible o la evaluación que haga el profesor en cuanto al avance de

los estudiantes. También se recomienda el uso de la calculadora por diversas razones:

puede utilizarse como un recurso para la ejecución de cálculos en la

resolución de problemas, permitiendo que el estudiante se centre en el método de solución y asimile mejor los conceptos y operaciones

involucrados; además, puede proponerse como un medio de aprendizaje para practicar conocimientos, por ejemplo, la jerarquía de las

operaciones y el uso de los paréntesis, notación exponencial, así como el de aproximación y redondeo.

Ningún método aislado resuelve el problema de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en su totalidad. Las clases magistrales

tienen su importancia, lo mismo que los ejercicios de mecanización y demás actividades por siempre realizadas.

Lo más importante es elegir el mejor método en el momento y con el tema adecuado. Los programas son una línea para el desarrollo de la

enseñanza-aprendizaje, pero en cada salón de clase se tienen que resolver un sinnúmero de detalles sobre la didáctica, los contenidos y las

formas que deberá tomar la evaluación, la operación de los programas

que tienen que ser planteadas en la Academia.

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También conocido como sistema decimal,

es un sistema de numeración posicional en

el que las cantidades se representan

utilizando como base el número diez, por lo

que se compone de diez cifras diferentes:

cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro

(4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y

nueve (9). Este conjunto de símbolos se

denomina números árabes, y es de origen

hindú.

Según los antropólogos, el origen del

sistema decimal está en los diez dedos que

tenemos los humanos en las manos, los

cuales siempre nos han servido de base para

contar.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Al escribir números de más de cuatro cifras, se agruparán estas de tres en tres,

empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco: 8 327 451

(y no por puntos o comas, como, dependiendo de las zonas, se hacía hasta ahora:

8.327.451; 8,327, 451). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de

separación: 2458 (no 2 458). En ningún caso deben repartirse en líneas diferentes las

cifras que componen un número: 8 327 / 451.

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos:

1.2 Posicionales y no posicionales:

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no

depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito

depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el

número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el

babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración

posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos.

Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen

nombres basados en numerales más pequeños.

SISTEMA DE

NUMERACIÓN DECIMAL

=

+

- X

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Entre los sistemas de numeración posicionales de numeración romana, y los usados en

Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce

como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene

base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y

que unidades forman una unidad de orden superior.

Conocimientos y habilidades Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas

con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

ACTIVIDAD PREVIA

Además de los números que actualmente utilizamos, ¿Qué otras formas utilizarías

para expresar cantidades? Por ejemplo, una manera de representar el numero tres,

coméntalo al grupo.

Piensa… Menciona otras culturas que haya escrito sus números de manera diferente a

como actualmente los escribimos y ejemplifica como lo hacían.

NUMERACIÓN EGIPCIA

La escritura egipcia tuvo su origen alrededor del año 3.000 antes de Cristo. Los

"jeroglíficos" o símbolos con los que los representaban egipcios han sido sacados de la

flora y fauna del Nilo. Está basada en el sistema de base diez y los reproducen

grabándolos o esculpiéndolos por medio del cincel y el martillo sobre piedras o bien

con un junco con la punta aplastada y mojado en un colorante sobre cerámica u hojas

de papiro.

Uno de los más antiguos sistemas de numeración que se conocen es el egipcio.

Los egipcios escribían así el tres III, el cuatro IIII, cada una de estas marcas llamadas

varas, representaba el uno.

Actividad 1.1

Escribe con números egipcios las siguientes cantidades;

a) Ocho b) seis c) dos d) cinco

Actividad 1.2

Escribe con números egipcios las siguientes cantidades;

a) quince b) dieciocho c) trece d) diecisiete

10

Actividad 1.3

Escriba estas representaciones en número decimal.

Escribe dos semejanzas y dos diferencias entre el sistema de numeración egipcia y el

que nosotros usamos

El sistema de numeración egipcio utilizaba el principio aditivo

Un signo no se repetía más de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se

utilizaba el número siguiente. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario.

El sistema de numeración egipcio es no posicional, es decir, los símbolos se pueden

colocar en cualquier posición sin que cambie su valor. Es decir de izquierda a derecha,

al revés o de arriba abajo o cambiando la orientación de las figuras según el caso.

NUMERACIÓN ROMANA

El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. La Numeración Romana utiliza siete letras mayúsculas, a las que corresponden los siguientes valores:

Para escribir los Números Romanos, se deben cumplir las siguientes reglas:

1ª Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

Letras I V X L C D M

Valores 1 5 10 50 100 500 1000

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2ª La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la

"C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

3ª En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

Actividad 1.4

Completa escribiendo en el paréntesis, el valor numérico que representa cada

uno de los siguientes números romanos.

I V X L C M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Actividad 1.5

Convierte los siguientes números romanos a nuestro sistema de numeración.

a) XIV B) LVIII c) MMVI d) CLV e) MDCLVI

Para números con valores iguales o superiores a 4 000, se coloca una línea horizontal

por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1.000:

Actividad 1.6

Organizados en equipos, observa los siguientes números romanos y su equivalencia en

el sistema usual de numeración. Completa los valores faltantes. __ ___ ___

V = 5 x 1 000 = 5 000 b) VIII = c) XIII =

__ ___ ____

d) C = e) MC = f) XLVI =

NUMERACIÓN MAYA

Los mayas, antigua civilización de la zona de América central usaban un sistema de

numeración de base 20 (llamada también vigesimal) y de base 5. Además los mayas

preclásicos y sus predecesores olmecas definieron el concepto del cero o “nada” sobre

el año 36 AC, lo que constituye el primer hecho documentado del cero como hoy lo

conocemos.

La escritura maya, llamada jeroglífica por su parecido a la escritura egipcia, era una

combinación de símbolos fonéticos e ideogramas. Su descifrado fue un complicado

proceso, ya que los sacerdotes españoles ordenaron la quema de todos los libros

mayas tras la conquista.

Los números mayas se usaban para medir el tiempo y no las matemáticas. Por ese

motivo tienen relación con los días, meses y años y en definitiva con el calendario. La

numeración maya posee solo tres símbolos para representar los números, como

12

podemos ver en el siguiente gráfico que representa en numeración maya los números

del 0 al 19.

Los tres símbolos básicos son:

El punto. Su valor es uno. La unidad (1) se representa por un punto. Dos, tres, y

cuatro puntos sirven para los números 2, 3 y 4.

La raya. Su valor es cinco. Se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y

9. Caracol. Su valor es cero.

Actividad 1.7

Observa y completa el equivalente de los siguientes números mayas.

a). b) … c) . d) = e) _

f) …. g) … h) …. i) .. j) ..

En el ejemplo B de la tabla, podemos ver el número 429 representado en tres niveles.

El más bajo simboliza el número 9 (una raya más cuatro puntos). El segundo nivel

suma en forma vigesimal, una “unidad” de 20. El tercer nivel, tan sólo con un punto

representa el número 400. Así, en los tres niveles, sumamos 9+20+400=429

Cómo podemos observar, para representar cada número, debemos prestar atención y

realizar operaciones matemáticas para interpretarlos. Las reglas para escribir números

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mayas sería: el punto no se repite más de 4 veces y al necesitar un 5, se sustituye por

una raya. Al mismo tiempo, la raya no se repite más de 3 veces, si necesitamos 4 rayas entonces necesitamos saltar al otro nivel.

El sistema de Números Mayas era por decirlo poco práctico para representar grandes

cantidades. Así, para un número demasiado grande, la representación era bastante

complicada y tomaba un gran espacio para poder representarlo y agilidad mental para

calcularlo. Sin embargo, hay que reconocer, que es un modo práctico para emplear un

sistema de números con tan sólo tres símbolos, algo ingenioso y difícil de superar, que además resultó muy útil para organizar el famoso calendario Maya.

Cero

Símbolo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en América.

La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para

su numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema

de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que

ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una

media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.

Actividad 1.8

Escriba el equivalente en el sistema de numeración decimal, de cada uno de los

siguientes números mayas.

NUMERACIÓN BINARIA

Nosotros estamos acostumbrados a representar cualquier cantidad valiéndonos

de 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A este sistema de representar cantidades le

llamamos sistema numérico decimal o base 10. Sin embargo, el ordenador trabaja

utilizando solamente 2 dígitos: 0 y 1, es decir, con el sistema binario o base 2.

Cualquier cantidad se puede representar como una combinación de ceros y unos.

.

. .

…

.

_

. .

14

Paso del sistema decimal al sistema binario

Para pasar del sistema decimal al sistema binario se realizan divisiones

sucesivas entre dos, sin aproximar. Paramos cuando el resultado del último cociente es

cero o uno. El número binario se forma, comenzando por la izquierda, por el último

cociente, seguido en orden ascendente de los restos de las divisiones. En el ejemplo de

la Figura 1.1, 75 en base 10 equivale a 1001011 en base 2.

Paso del sistema binario al sistema decimal

Los números representados con el sistema binario, que contienen ceros y unos,

pueden transformarse al sistema decimal de forma muy sencilla: en lugar de realizar

divisiones sucesivas entre dos, como hemos hecho anteriormente, realizamos la

operación inversa, es decir, multiplicamos de forma sucesiva por las potencias de 2. En

el ejemplo anterior (Fig. 1.1), para llegar al último cociente 1 hemos tenido que dividir

entre 2 seis veces. Por tanto, ahora multiplicaremos 1 por 26. Pero se debe continuar

mientras queden restos completando el desarrollo poli nómico en función de las

potencias de 2, de forma que el resultado es:

Conversión entre números decimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar

divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden

inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de

divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 ÷ 2 = 38 Resto: 1

38 ÷ 2 = 19 Resto: 0

19 ÷ 2 = 9 Resto: 1

9 ÷ 2 = 4 Resto: 1

4 ÷ 2 = 2 Resto: 0

2 ÷ 2 = 1 Resto: 0

15

1 ÷ 2 = 0 Resto: 1

Y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

Actividad 1.9

a) Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99,

135, 276

b) Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:

110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

c) Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el

mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

d) Escribe tu edad, expresándola en el sistema binario.

Actividad 1.10

En equipo, contestar las siguientes preguntas, argumenten ante el grupo sus

respuestas,

a) ¿Cuál es la base del sistema de numeración decimal?

b) Si la base es decimal, ¿Cuántos símbolos distintos utiliza?

c) ¿Cuáles son esos símbolos?

d) ¿Por qué se dice que el sistema decimal de numeración es posicional?

1.2 Sistema de numeración decimal

Se llama decimal o de base diez porque se utilizan diez símbolos para representar

todos los números. Los diez símbolos, cifras son:

0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La relación decimal que hay entre las diversas unidades es:

1 decena = l0 unidades

1 centena = l0 decenas

1 millar = 10 centenas

1 cent. de mil = 10 dec. de mil

1 millón = 10 cent. de mil.

Cada diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato

superior.

NOTACION DESARROLLADA Y CIENTIFICA

Actividad 1.11

En equipo, expresen en notación desarrollada las siguientes cantidades, observen el

ejemplo para recordar como se hace.

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a) Si 364932= 300 000 + 60 000 + 4 000 + 900 + 30 + 2

= 3 x 100 000 + 6 x 10 000 + 4 x 1 000 + 9 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1

= 3 x 105 + 6 x 10

4 + 4 x 10

3 + 9 x 10

2 + 3 x 10

1 + 2 x 10

0

7 825 65 320 2 105 20 355

Convertir números decimales a notación científica

La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Un número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o

decimal) y una potencia de 10. El número tiene un dígito a la izquierda del punto

decimal. La potencia de diez indica cuantos lugares se ha corrido el punto decimal.

El número decimal 0.00000065 escrito en notación científica sería 6.5 x 10-7 porque el

punto decimal se movió 7 lugares hacia la derecha para formar el número 6.5. Es

equivalente a 6.5 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1

Un número decimal menor a 1 se puede convertir a notación científica disminuyendo la

potencia de diez en uno por cada lugar en que el punto decimal se corrió hacia la

derecha.

Los números en notación científica se pueden escribir en diferentes formas. El número

6.5 x 10-7

En ocasiones, incluyendo algunos temas de este propio sitio web, las cifras de números

enteros muy grandes, o los decimales extremadamente pequeñas, se representan en

forma más simplificada. Veamos algunos ejemplos:

Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por

segundo, o también de 300 000 000 m/seg. Si hablamos de grandes cantidades de

bytes, se puede decir que la capacidad de almacenamiento de datos de una gran

computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500 000 000 000

000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podría

decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros.

Sin embargo, en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de

forma tan grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento

matemático denominado “notación científica”. Por tanto, las cifras del párrafo anterior

seguramente aparecerían escritas en textos de ciencia y técnica de la forma siguiente:

“La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg. “La capacidad de almacenamiento de

datos de la gran computadora es de 5 x 1014 bytes.” y “la longitud de onda de los

rayos cósmicos es inferior a 1 x 10-14 metros.” Se nota la diferencia ¿verdad?

17

Ejemplo: Si el número es menor que 1, el punto decimal se mueve a la derecha, y la potencia de 10 será negativa:

Ejemplo: 0.0055 se escribe 5.5 × 10-

3, porque 0.0055 = 5.5 × 0.001 =

5.5 × 10-3

Actividad 1.12

a) ¿Representar en notación científica la longitud de onda de los rayos cósmicos

se podría decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros?

b) ¿Representar en notación científica la capacidad de almacenamiento de datos

de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad

equivalente a 500 000 000 000 000 bytes?

Expresa en forma decimal:

c) 1) 3,23.10-7

d) 2) 1,75.108

e) 3) La masa de un electrón: 1,67.10-27kg

1.3 JERARQUIA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARENTESIS

En la siguiente expresión se pretende hacer dos operaciones con tres números. 2 + 3 * 5 Si primero sumamos 2 + 3 el resultado es 5, que multiplicado por 5 nos da 25. Pero si primero multiplicamos 3 x 5, obtenemos 15, que sumado con 2 nos da 17.

Me imagino que te has de preguntar ¿Qué operación debo de realizar primero, la suma

de 2 y 3 para luego multiplicarlo por 5, o la multiplicación de por 5 y luego sumarle 2? Como ya vimos la respuesta es distinta en cada caso.

Para evitar confusiones, se han establecido reglas para realizar las operaciones en un

orden determinado. Este orden se llama jerarquía de las operaciones. Veamos cuales son esas reglas.

1. Al realizar una serie de sumas y restas, estas se deben realizar de

izquierda a derecha.

a) Por ejemplo, en esta serie de sumas y restas 65 + 21 – 68 + 31 – 27 vamos

haciendo las siguientes operaciones: primero sumamos 65 + 21, que da como

resultado 86, luego hacemos la resta de 86 – 68, que da 18, a lo cual le

18

sumamos 31, para obtener 49 y finalmente restamos 27, de modo que el

resultado final es 22.

1. El mismo orden (de izquierda a derecha) se utiliza para las expresiones que

solo tienen multiplicaciones y divisiones.

a). Por ejemplo, 7 x 8 ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14

El problema surge cuando combinamos sumas y restas con multiplicaciones y

divisiones. Como ya vimos antes el resultado de 2 + 3 x 5 depende de la operación

que se realice primero.

2. Las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y restas.

Así en la expresión 2 + 3 x 5, primero realizamos la multiplicación y luego la suma, por lo que el resultado es 2 + 15 = 17.

La escritura de las operaciones se puede aclarar mucho más con el uso de

paréntesis. En algunos casos, podemos utilizar los paréntesis solo para reafirmar la

jerarquía, como cuando escribimos 2 + (3 x 5), que es lo mismo que 2 + 3 x 5.

Pero también podemos utilizar los paréntesis para modificar la jerarquía. Así, si en la expresión anterior queremos sumar primero y luego multiplicar (2 + 3) x 5.

3. Siempre que aparezcan paréntesis en una expresión aritmética, las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar.

Por ejemplo en la expresión (3 x 4) + (5 – 2), como tenemos paréntesis primero

realizamos las operaciones dentro de ellos, siguiendo un orden de izquierda a derecha. Así (3 x 4) = 12 y (5 – 2) = 3. Después sumamos 12 + 3 = 15.

Otro ejemplo 7 x (5 + (8 ÷ 2)), como aquí tenemos dos pares de paréntesis,

realizamos primero la operación 8 ÷ 2 (es decir, la de los paréntesis internos). Esto

da como resultado 4; luego sumamos 5 + 4, que da 9. Final mente multiplicamos por 7. Entonces 7 x (5 + (8 ÷ 2)) = 7 x (5 + 4) = 7 x 9 = 63.

Para terminar, recuerda que un aspecto importante de las expresiones aritméticas

es su claridad. Si tiene alguna duda de la jerarquía de las operaciones, puedes utilizar los paréntesis para evitar confusiones.

Actividad 1.13

Realiza las siguientes operaciones:

a) 6 + 8 ÷ 7 + 5 x 5 + 2=

b) =

c) =

19

d) 8 ÷ 2 x 4 – 15 ÷ 5 x 3=

e) = f) (-12) ÷ 3 + 3.5 – 6 x 8 – 3= g) 15÷ [(-12)÷ 4]+5= h) –3 + 5 - 3.7 + (3)2 = i) 2-{5+3-[3+7-(3x4-3)+5-6]-3+4}= j) 18 ÷ 3 x 6 – (7 – 35 ) ÷ 14= k) 72 ÷ (-18) x 4 – (3 – 12) ÷ (-9)

1.4 Operaciones aritméticas, problemas.

Actividad 1.14

En equipo resuelvan los siguientes problemas:

Problema 1 Un tren lleva 5 coches de pasajeros. En el primero van 32 personas, en el

segundo van 13 viajeros más que en el primero, en el tercero van tantos viajeros

como en el primero y en el segundo, el cuarto y quinto coche llevan cada uno 43

viajeros.

¿Cuántos viajeros lleva el tren?

Un niño ha comprado 4 chicles de 3 ptas. cada uno, 4 piruletas de 5 ptas. cada una y 4

bolsas de pipas de 10 ptas. cada una. ¿Cuánto dinero ha gastado en total?

Un comerciante ha comprado 385 botellas de aceite a 154 ptas. cada una. Después las

vende a 179 ptas. cada una. ¿Cuánto ganará en la venta de todas las botellas?

En una tienda hay 147 cajas de pinturas. En cada caja hay 10 estuches de pinturas. Si

en cada estuche hay 8 pinturas, ¿cuántas pinturas hay en la tienda?

Un aeroplano recorrió 1940 km el primer día, el segundo recorrió 340 km más que el

primero y el tercero 890 km menos que entre los dos anteriores. ¿Cuántos km recorrió

el aeroplano en total?

Juan compra 3 lápices a 15 ptas. cada uno. Da al tendero 50 ptas. ¿Cuánto le

devuelven?

En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas

van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la

tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden

hacerse?

Juan ha hecho 3 problemas más que Pedro. Pedro ha hecho el doble que Enrique.

Enrique ha hecho 9 problemas. ¿Cuántos problemas ha hecho Juan?

Tengo 48 libros colocados en 2 estanterías. En una estantería hay 8 libros más que en

la otra. ¿Cuántos libros hay en cada estantería?

20

Si 20 obreros hacen una obra en 6 días, ¿cuántos días tardarán en hacer esa obra 8

obreros?

16 100 obreros construyen una tapia de 50 m en 10 días. ¿Cuántos obreros se

necesitarían para construir 40 m de tapia en 4 días?

Un profesor dice a un niño que tiene que añadir 12 a un número dado y dividir el

resultado por 13. Pero el niño, que no presta atención, resta 13 del número dado y

divide el resultado por 12. Se extraña, pues la respuesta es correcta. ¿Cuál es el

número dado?

Juan hizo un trabajo por 100 dólares. Si el material que empleo le costo $13 dólares,

¿Cuánto gano por hora si en total trabajo 6 horas?

1.5 Sistemas de medición

Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen

un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:

Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema más usado. Sus

unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin,

la candela y el mol. Las demás unidades son derivadas del Sistema

Internacional.

Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas.

Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo.

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système

International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es

el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en todos los países y es la

forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema

métrico», especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su

uso cotidiano.

El sistema métrico decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y

submúltiplos de cada unidad de medida están relacionados entre sí por múltiplos o

submúltiplos de 10.

El sistema cegesimal de unidades, también llamado sistema CGS, es un sistema

de unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es el

acrónimo de estas tres unidades.

El sistema CGS ha sido casi totalmente reemplazado por el Sistema Internacional de

Unidades. Sin embargo aún perdura su utilización en algunos campos científicos y

técnicos muy concretos, con resultados ventajosos en algunos contextos.

Así, muchas de las fórmulas del electromagnetismo presentan una forma más

sencillas cuando se las expresa en unidades CGS, resultando más simple la expansión

de los términos en v/c.

Unidades básicas

21

El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas. Son las

unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como básicas, a

partir de las cuales se definen las demás:1

Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan mediante

prefijos. Así, por ejemplo, la expresión «kilo» indica „mil‟ y, por lo tanto, 1 km son

1000 m, del mismo modo que «mili» indica „milésima‟, por ejemplo, 1 mA es 0,001 A.

Tabla de equivalencias:

1 kilómetro = 1 000 metros 1 decímetro = 0.1 metro 1 hectómetro = 100 metros 1 centímetro = 0.01 metro 1 decámetro = 10 metros 1 milímetro = 0.001 metro 1 milla =1 609 00 metros 1 yarda = 91.40 centímetros 1 pie =30.50 centímetros 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 Milla = 5 280 Pies 1 Milla = 1.609347 Kilómetros 1 Kilometro = 1 000 Metros 1 Pie = 12 Pulgadas 1 Kilogramo = 1000 gramos 1 miligramo = 0.001 Gramos 1 centigramo = O.O1 gramos 1 libra = 0.4535924 kilogramo 365 Días = 1 Año 1 Día = 24 Horas

1 Hora = 60 Minutos 1 Minuto = 60 Segundo

1 Microsegundo = 10-6

Segundo

Ejemplo:

a. Expresar 3.78 Kilómetros a millas

b. 8.563 Millas a Pulgadas.

c. 1.5 libra a centigramos

Actividad 1.15

En equipo resuelvan las siguientes conversiones.

a) 4876598.24 centímetros a Millas i) 3Km. A Pulgadas.

b) 23 Millas a kilómetros j) 8 pies a pulgadas

c) 5 decámetros a metros k) 25 kilómetros a metros

d) 8 hectómetros a metros l) h15 yardas a centímetros

e) 3.5 kilogramos a libras m) 845.2 miligramos a hectogramos

f) 49874.57 centigramos a libras n) 2.5 kilogramos a miligramos

g) Expresar 256 Días a horas. o) Expresar 5 millones de segundos a días.

h) 67 X 108 Minutos a mes p) 860 horas a semanas

MILLASMILLASKms

MILLAKmsMILLASX 35.234878.2)

609.1

1(78.3

.68.542551)1

.12)(

1

5280(563.8. PULG

PIE

PULG

MILLA

PIESMILLASPULGX

cgg

cg

Kg

g

LIBRA

KgOLIBRAcgsX 86.68038)

01.0

1)(

1

1000)(

1

45359.(5.1

22

Un número b es divisible por otro a cuando la div isión es exacta .

2.1 Primos y Divisores

Un número se puede hacer multiplicando dos

o más números. Los números que se

multiplican se llaman divisores o factores del

número final. Todos los números tienen un

divisor uno ya que uno multiplicado por

cualquier número es igual a ese número.

Todos los números se pueden dividir por si

mismos para obtener ese número. Por lo

tanto, habitualmente ignoramos el uno y el

número en si mismo como divisores útiles.

El número quince se puede dividir por dos

divisores que son el tres y el cinco.

El número doce se podría dividir por dos

divisores que son 6 y 2. El seis todavía se

podría dividir por otros dos divisores 2 y 3.

Por lo tanto los divisores de doce son 2, 2 y

3.

Si en primer lugar dividimos doce en los divisores 3 y 4, el cuatro se podría dividir en 2

y 2. Por lo tanto los divisores de doces siguen siendo 2, 2, y 3.

Hay varios consejos para ayudarte a determinar los divisores.

Cualquier número par tiene un divisor dos.

Cualquier número que termina en 5 tiene un divisor cinco.

Cualquier número mayor que 0 que termine con 0 (tal como 10, 30, 1200) tiene

los divisores 2 y 5.

Para determinar los divisores fíjate si puedes aplicar alguna de las reglas antes

mencionadas (terminación 5, 0 o número par). Si ninguna de estas reglas se

puede aplicar, todavía podrás encontrar divisores 3, 7 o algún otro número.

Explicación:

Los divisores de un número son aquellos valores que dividen al número en partes

exactas. Así, dado un número a, si la división a/b es exacta (el resto es cero),

entonces se dice que b es divisor de a. También se puede decir que a es divisible

DIVISIBILIDAD

=

+

- X

23

por b o que a es un múltiplo de b. Esto nos resulta útil, por ejemplo, a la hora de

agrupar una cantidad de objetos en partes iguales sin que nos sobre ninguno.

Por ejemplo, tenemos 36 bolígrafos y queremos hacer paquetes de modo que no sobre

ninguno. Como los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, podemos hacer

paquetes de esas cantidades. Con cualquier otro valor nos quedarían bolígrafos sueltos (si hacemos paquetes de 5 en 5, nos sobraría un bolígrafo).

Lógicamente, el 1 siempre es divisor de cualquier número, porque siempre podemos

hacer paquetes individuales y no nos sobrará ninguno. De igual forma, todo número es

divisible por sí mismo, lo que equivaldría a hacer un único paquete.

A los números que tienen más de dos divisores como el 36, se les llama números

compuestos, a los números como el 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Etc. Que únicamente tienen

dos divisores, que son ellos mismos y la unidad (1) se les llama números primos. Por ejemplo, los únicos divisores de 5 son el mismo 5 y el 1.

Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún

divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros

conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos

comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en

factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo

exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es

60=22·3·5.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores

comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su

mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12

es 2.

Otras propiedades

En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5

acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos

los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima

con la base.

De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la

forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

Actividad 2.1

Escriba los divisores de la siguiente cantidad, en equipos:

24

a) 72 b) 84 c) 25 d) 44 e) 17 f) 215 g) 336 h) 53 i) 93 ¿Cómo se puede estar seguro de haber incluido todos los divisores de un número?

Coméntenlo entre los miembros del equipo y coméntenlo al grupo?

Localicen los primos entre: el uno y el diez; el uno y el veinte; el uno y el treinta.

Construir el modelo de la criba de Eratóstenes para localizar los primos entre el uno y

el cien.

2.2 Criterios de Divisibilidad Son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de

realizar la división.

Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta

con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es

cero 30:5=6.

Divisibilidad por 2 Un número entero es divisible por 2 SI su última cifra es 0, 2, 4, 6, o 8.

Divisibilidad por 3

Un número entero es divisible por 3 SI la SUMA de sus cifras es divisible por 3.

Por ejemplo, ¿es 394 divisible por 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que 16

NO es divisible por 3, 394 tampoco es.

También se puede usar este método para hallar el resto o residuo: se suma las cifras y

se prueba dividir por 3. El resto de esta división también es el resto de división del

número original.

Por ejemplo, ya hallamos que la suma de las cifras de 394 es 16. El resto de dividir 16

por 3 es 1; entonces dividiendo 394 por 3, el resto es 1 también.

Se puede aplicar este criterio múltiple veces. ¿Es 907730485 divisible por 3? La suma

de sus cifras es 9 + 7 + 7 + 3 + 4 + 8 + 5 = 43. Si no sabes si 43 es divisible por 3,

puedes sumar las cifras de 43 y obtener 4 + 3 = 7. Entonces, ya que 7 no es divisible

por 3, tampoco son 43 y 907730485.

Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es

divisible por 4.

Por ejemplo, 45,253. Toma las dos últimas cifras: 53. 53 no es divisible por 4, y

tampoco es 45,253.

Otro ejemplo: ya que 80 es divisible por 4, entonces 3280, 32480, 293180 etcétera

todos son divisibles por 4.

Divisibilidad por 5 Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0 o 5, es divisible por 5.

Divisibilidad por 10

Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0, es divisible por 10.

Divisibilidad por 6

Si un número es divisible tanto por 2 como por 3, es divisible por 6.

Divisibilidad por 11

25

Toma las cifras de tu número por la derecha, y alterna sumando y restando. Si la

respuesta es divisible por 11, también es tu número.

Por ejemplo, estudiamos 294,398. Alterna sumando y restando sus cifras comenzando

por la derecha: 8 - 9 + 3 - 4 + 9 - 2 = 5. Ya que 5 no es divisible por 11, tampoco es

294,398; y también sabemos que el resto de dividir 294,398 por 11 es 5.

Actividad 2.2

Conteste en equipos lo que a continuación se pide.

De los números siguientes subraye:

Los divisibles entre 3.

873 1 857 1 472 1 429 12 423 24 216 32 821 52 534

Los divisores entre 5.

375 2 530 9 101 74 552 218 250 471 935 20 000 35 570

Los divisores entre 7.

119 1 472 5 589 12 423 53 361 70 141 22 578 101 361

Multiplique su edad por su peso, y del número obtenido determine que números lo

dividen exactamente.

Factorización de un número

La factorización (o descomposición factorial) de un número consiste en expresarlo como un producto de factores primos Ejemplo: 30 = 2 x 3 x 5

Para factorizar un número dividimos por cada uno de los números primos (2, 3, 5,..) y

nos quedamos con el cociente, el cual lo volvemos a dividir por el mismo primo mientras podamos (cuando no sea divisible, pasamos al siguiente primo).

Veamos un ejemplo: Factorización del número 120

26

Nota: Es posible concluir la prueba de divisibilidad de un numero dado cuando se llega

a uno primo tal, que al multiplicarse por si mismo, da como resultado un producto

mayor que el numero dado.

Actividad 2.3

Escriba los números siguientes en términos de sus factores primos.

12 18 30 36 45 112 504 819 468 360

2.3 Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de varios números es el menor de sus

Múltiplos comunes. Para calcularlo:

Factorizamos los números.

Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores Exponentes.

El m.c.m. es el producto de los factores anteriores ¿Qué es un "múltiplo común"? Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los

múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...

Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,50,...

¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

27

Ejemplo:

Los factores son: 2, 3 y 5 elevados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían: 23, 32 y 5

Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm

Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 20, 40, 60, 80...

10: 10, 20, 30...

20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.

Múltiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....

Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35....

O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...

Actividad 2.4

Calcula el mínimo común múltiplo de

a) 4, 6 y 8 b) 16, 24 y 35 c) 165, 236 y 485

Máximo común divisor

28

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible,

que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se

ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el

máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20

10: 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la

descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).

Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores

poniendo números primos.

Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40

2 60

2

20 2 30 2

10 2 15 3

5 5 5 5

1 1

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

MCD = 2x2x5= 20

M.C.D. 40 =

2x2x2x5

M.C.D. 60 =

2x2x3x5

29

Actividad 2.5

Calcular el máximo común divisor de las siguientes cantidades.

a) 60 y 35 b) 82, 94 y 102 c) 345 y 482

En equipo resuelvan los siguientes problemas de aplicación del mcm y mcd.

Un trozo de cartulina mide 1 m. por 45 cm. Y quiero dibujar en ella una cuadricula del

mayor Tamayo posible cada cuadrado. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible?

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en

Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar las dos a la vez en Barcelona?

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada

minuto. A las 6.30 de una tarde las 3 coinciden. Averigua las veces que volverán a

coincidir en los 5 minutos siguientes.

Se requiere embaldosar una cocina de 1620 cm. De largo por 980 cm. De ancho con

baldosas cuadradas l0 mas grande posible y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado de

cada baldosa?

¿Cuanta pesa como mínimo, un paquete que puede ser pesado exactamente utilizando

solo pesas de uno de estos tres tipos: pesa de 20 kg. De 125 kg., es decir utilizando

solo pesas de 20 o solo de 125 Kg. O solo de 1 kg.?

María tiene tres cortes de tela de 35, 49 y 42 metros, respectivamente. Si desea hacer

cortinas de igual tamaño y sin desperdiciar nada. ¿De qué longitud debe cortar cada

cortina?

Como promoción en sus ventas, una fábrica de refrescos pone un cupón para un

refresco gratis cada 80o refresco y otro cupón para dos refrescos gratis cada 120o

refresco. ¿Con qué frecuencia pone ambos cupones en un solo refresco?

30

Los números surgen de la necesidad de

contar. Pero el Hombre no se limitó sólo a

contar, sino que acumulaba o intercambiaba

o repartía bienes…. Estas actividades tan

cotidianas tuvieron respuesta en operaciones

tan sencillas como la suma, la resta, la

multiplicación o la división. A medida que

estos cálculos se complicaron fueron

apareciendo distintas clases de números. El

conjunto más amplio con el que vamos a

trabajar durante esta etapa es el de los

números reales.

Los números racionales, cuyo conjunto se

representa por Q, son los números que se pueden

expresar como cociente de dos números enteros.

-5, - 4/3, 3, -2, -1, 0, 16/2, 0.125,

El cociente de dos números enteros a y b, con b ≠ 0, se puede expresar de la forma b /a

3.1 Unidad y partición

Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3

tercios. Eso se expresa como 1 =. En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y

en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de

las partes

1 1 = 2/2 1 = 4/4 1 = 6/6

UNIDAD MEDIOS CUARTOS SEXTOS

REALES Y FRACCIONES

=

+

- X

31

En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en

cuántas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes

tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de

abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado.

En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes

que forman la unidad.

Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación.

Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado

en un medio, en un tercio, en dos sextos, y en dos cuartos. Al pie de cada

Dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.

½ = 2/4 Y 2/6 = 1/3 En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad.

Actividad 3.1 Construir en una cuadrícula de 5x5 o en un geoplano, una unidad que, dependiendo de la

posibilidad de colocar ligas sobre el geoplano o dibujar sobre las intersecciones de la

cuadrícula, pueda partirse en:

a) Mitades.

b) Tercios.

c) Mitades, pero no en tercios.

d) Sextos, ¿pueden partirse en tercios y medios?

Construcción del geoplano: en una tabla de madera delgada o triplay (15X15

cm), se colocan clavos despuntados para atorar ligas de colores. Los clavos

definirán la cuadrícula, colocándolos en los vértices o centros de los cuadrados.

Dada una figura, que es 1/2; 1/3; 1/4; 2/3, de cierta unidad, ahora el ejercicio consiste en

elaborar la posible unidad.

Construir unidades en el geoplano o cuadrícula, que acepten diferentes particiones; tomar

una parte y llegar a establecer diferentes clases de equivalencias.

Ejemplos: ½ = 2/4 1/3 = 2/6 ¾ = 6/8, etcétera.

Deducir que la generación de fracciones equivalentes a una dada, se produce multiplicando

numerador y denominador por un mismo número diferente de cero.

En equipos representen otras maneras de representar una misma cantidad, mediante rectángulos o

círculos.

32

De las siguientes fracciones cuales son equivalentes

a)1/3 b) ¼ c)3/4 d)2/6 e)2/8 f) 6/8 g)3/9 h)5/20 i)9/12 j)6/18

3.2 Equivalencia y orden de fracciones

No siempre podemos trabajar con unidades divididas decimalmente; con frecuencia nos conviene

partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces

necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos.

Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.

Estas fracciones son en realidad lo mismo:

1 =

2 =

4

2 4 8

¿Por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo

número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:

× 2 × 2

1 =

2 =

4

2 4 8

× 2 × 2

Y en un dibujo se ve así: 1/2 2

/4 4/8

=

=

Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:

÷ 3 ÷ 6

18 = 6 = 1

33

36 12 2

÷ 3 ÷ 6

Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la hemos

hecho la más simple posible).

Simplificando Fracciones Para simplificar una fracción, divide los números de arriba y abajo por el mayor número que

divida a los dos exactamente.

Simplificando Fracciones

Simplificar (o reducir) fracciones significa hacer la fracción lo más simple posible. ¿Por qué decir

cuatro octavos (4/8) cuando en realidad quieres decir la mitad (

1/2) ?

4/8 ==>

2/4 ==>

1/2

(Cuatro octavos) (Dos cuartos) (Un medio)

¿Cómo simplifico una fracción?

Hay dos maneras de simplificar una fracción:

Método 1

Intenta dividir los números de arriba y abajo de la fracción a la vez hasta que no puedas seguir más

(prueba a dividirlos por 2, 3, 5,7,... etc.).

Ejemplo: Simplifica la fracción 24

/108:

÷ 2 ÷ 2 ÷ 3

24 =

12 =

6 =

2

108 54 27 9

÷ 2 ÷ 2 ÷ 3

Método 2

Divide las dos partes de la fracción por el Máximo Factor Común (¡tienes que calcularlo primero!).

Ejemplo: Simplifica la fracción 8/12:

34

1. El mayor número que divide exactamente 8 y 12 es 4 (¿por qué?), así que el Máximo Factor

Común es 4.

2. Divide arriba y abajo por 4:

÷ 4

8 =

2

12 3

÷ 4

Y la respuesta es: 2/3

Actividad 3.2

Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreductible: 1. 3

6

2. 15

45

3. 4

9

4. 2 8

5. 6 12

6. 12 48

Indique cuál fracción es mayor. (Utiliza el signo de >, <)

7. 6 2

11 9

8. 4 6

11 7

9. 4 12

9 17

10. 4 9

3 2

35

Sistema de numeración No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que

partir lo que tenemos para usarlo.

En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del

sistema de numeración decimal, que ya hemos empezado a estudiar.

Recuerde que nuestro sistema de numeración es d e c i m a l porque agrupa de diez

en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una

cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando

Un entero decimos

Para contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los

dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes

iguales; cada una de esas partes se llama décima.

Veamos un ejemplo.

Queremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la siguiente figura, utilizando

como unidad el cuadrado. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la

unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez

partes. Cada una de esas “rebanadas” es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay

un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo.

Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes

cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 x 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos

pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada.

Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos.

Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar

posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los

enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los

36

enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de

cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.

En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete centésimos: entonces escribimos 1.37

Este número lo podemos leer también como un entero treinta y siete centésimos.

3.3 Expansión decimal finita

Con cualquier cantidad de cifras.

Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto

decimal de un número se llama la expansión decimal d e l número.

Hay números que tienen una expansión decimal que no se termina; se dice que tienen expansión

decimal infinita.

Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número significan que sigue 3 un número

infinito de veces.

Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene

expansión decimal finita.

Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 888.9393939222929399932221929292475751. Esto último no incluye a los ceros que se pueden

agregar a la derecha de la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión

decimal finita, porque es igual a 6.7705.

Actividad 3.3 Escriba con notación decimal los números que le damos en español:

a) Doce unidades doce centésimos b) cuarenta y siete décimos

c) doscientos treinta y cinco milésimos d) dos unidades quince milésimos

e) ciento seis milésimos f) diecinueve milésimo

g) cinco centésimos h) cinco décimos

i) dos diezmilésimos j) ciento treinta centésimos

k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonésimos

l) seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete mil once diezmillonésimos

Escriba en español los siguientes números:

a) 354.7 e) 123.321 i) .00315 b) 32.00 f) 4702.0934

j) .772 c) 302.07 g) 2791.579 k) .039 d) 9.777

h) 0.550 l) .630038

3.4 conversiones de expresiones decimales a fracciones

Para expresar partes de una unidad hemos trabajado con números fraccionarios en el sistema de

numeración decimal posicional y también con quebrados con cualquier denominador. Es

conveniente ver la relación entre estas dos maneras de escritura. Observe que podemos escribir las

fracciones decimales como quebrados o como números decimales, por ejemplo:

Un décimo 1/10 = 0.1

Un centésimo 1/100 = 0.01

Un milésimo 1/1000 = 0.001

Un diezmilésimo 1/10 000 = 0.0001

Un cienmilésimo 1/100 000 = 0.00001

Un millonésimo 1/1000 000 = 0.000001

37

Un diezmillonésimo 1/ 10 000 000 = 0.0000001

Un cienmillonésimo 1/100 000 000 = 0.00000001

En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado. Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos. Sabemos entonces que se puede escribir como 23 partes de un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir: 0.23 = 23/100. Observe que el denominador de la fracción que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras decimales.

Decimales Los decimales son un tipo de número fraccionario. El decimal 0.5 representa la fracción 5/10. El decimal 0.25 representa la fracción 25/100. Las fracciones decimales siempre tienen un denominador basado en una potencia de 10. Un número decimal (en base 10) contiene un punto decimal.

Valor posicional Para entender los números decimales primero tienes que conocer la notación

posicional.

Cuando escribimos números, la posición (o "lugar") de cada número es importante. En el número 327: el "7" está en la posición de las unidades, así que vale 7 (o 7 "1"s),

el "2" está en la posición de las decenas, así que son 2 dieces (o veinte), y el "3" está

en la posición de las centenas, así que vale 3 cientos.

Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más!

De unidades, a decenas, a centenas

... y...

Cuando vamos a la derecha, cada posición es 10 veces más pequeña.

De centenas, a decenas, a unidades

38

¿Pero qué pasa si seguimos

después de las unidades?

¿Qué es 10 veces más pequeño que las unidades?

¡1/10 (décimos)!

Pero tenemos que poner un punto decimal (o coma

decimal, depende de dónde vivas), para que sepamos

exactamente dónde está la posición de las unidades:

"Trescientos veintisiete y cuatro décimos"

¡Y eso es un número decimal!

Convertir una fracción a un decimal Sigue los siguientes pasos Para convertir una fracción a un decimal: Por ejemplo: Convierte 4/9 a un decimal. Divide el numerador de la fracción por el denominador (ej. 4 ÷9= 0.44444) Redondea el resultado a la precisión deseada. Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción

Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción Paso 1: Escribe: 0.75 1

Pasó 2: Multiplica el número de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos

luego de la coma):

39

× 100

0.75

=

75

1 100

× 100

(¿Ves como el número de arriba se convierte

en un entero?)

Pasó 3: Simplifica la fracción:

÷ 25

75

=

3

100 4

÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común! Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción Paso 1: escribe:

0.625

1

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1.000)

625

1,000

40

Pasó 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

÷ 25 ÷ 5

625

=

25

=

5

1.000 40 8

÷ 25 ÷ 5

Respuesta = 5/8

Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracción

Paso 1: Escribe abajo:

0.333

1

Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego

de la coma así que es 10×10×10=1000)

333

1,000

Pasó 3: Simplifica la Fracción: ¡No se puede simplificar! Respuesta = 333/1000 Pero una Nota Especial: Si en realidad quieres expresar 0.333... (En otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos:

0.333...

1

41

Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:

× 3

0.333...

=

0.999...

1 3

× 3

Y 0.999... = 1 (¿Es así? - ver la discusión sobre 9 Periódico si estás más interesado),

así que:

Respuesta = 1/3

Actividad 3.4 Encuentre el número decimal equivalente a cada uno de los siguientes quebrados: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 f)1/7

g) 1/8 h) 1/9 i) 1/10 j) 1/11 k) 1/12 l)3/4

Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los siguientes números decimales: a) 0.12 b) 1.34 c) 9.75 d) 71.1 e) 82.7 f) 38.44

g) 0.75 h) 0.25 i) 1.20 j) 5.5 k) 21.83 l) 8.90

José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo tamaño y decidieron que cada

uno pintara una pared. En 3 horas José pintó de la pared que le correspondía y

Fermín.

a) Represente gráficamente las paredes y la parte de cada una que ya está pintada.

b) Exprese las porciones de pared pintadas por cada uno con fracciones de igual

denominador.

c) ¿Quién pintó más, José o Fermín?

d) ¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo al mismo ritmo? ¿Por qué?

Se extrajeron 7/11 del contenido de un depósito de agua que estaba lleno.

a) Represente gráficamente el depósito y la parte de agua que se extrajo.

b) Exprese con un quebrado la parte del contenido que quedó en el depósito.

c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menos de la mitad de su

capacidad?

42

Orden en los números decimales Para saber si un número decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte

entera es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es

mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque

56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son

iguales, nos fijamos en los décimos, que son las fracciones decimales más grandes.

El número que tiene más décimos es más grande.

Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.

Actividad 3.5 En cada par de números indique cuál es el mayor:

a) 14.27 y 12.98 g) 126.44 y 126.4491

b) 364.846 y 325.787 h) 8.66 y 8.656

c) 90.13 y 90.95 i) 7.02 y 7.002

d) 6.328 y 6.32 j) 0.00637 y 0.0063

e) 51.1 y 51.01 k) 4.49 y 4.5

f) 0.014 y 0.14 l) 87.3 y 87.03

En cada par de números indique cuál es el menor:

a) 50.4 y 30.43 g) 71.9 y 71.900

b) 46.793 y 46.79326 h) 0.0016 y 0.001

c) 518.628 y 192.475 i) 55.55 y 55.555

d) 6.57 y 4.75 j) 6.14 y 6.104

e) 59 y 59.9 k) 3.87 y 3.087

f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040

Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo > o el símbolo < según

corresponda:

a) 2.21 2.214 i) 27.430000 27.43

b) 6.12 6.1200 j) 0.001 0.0001

c) 12.9 12.09 k) 2.71013 2.72

3.5 Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones 1. Cuando tienen el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Después si podemos se simplifica.

2. Cuando tienen distinto denominador

Hay que reducir a común denominador. 1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.

43

2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador. 3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. 4º Si podemos simplificamos. * Para comparar fracciones de distinto denominador, primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.

Ejemplos

Actividad 3.6 9/5 + 1/5= 2/3 + 5/3 = ½ + 2/3 = 5/6 + 1/5 =

3/7 + ½ = 11/8 + 21/4 = 9/11 + 5/7 = 3/2 + 4/3=

6/7 – 1/7 = 6/11 – ½ = 4/3 – 5/2 = 5/8 -1/8 =

9/11 – 1/5 21/5 – 11/4 = ¾ - ½ = 7/9 – 1/3=

1/3 + 1/5 + 2/3= 2/4 + 3/5+ 3/6 = 3/6 – 5/4 – 2/3=

44

Multiplicación de fracciones 1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.

2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.

3º Después se simplifica.

Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador

uno.

Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.

Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el

nuevo denominador. Una fracción x su inversa da la unidad.

Multiplicación de fracción por fracción

Observe como se puede simplificar el calculo de 8/10 x 5/6

Forma “A” 8 x 5 = 5 x 8 + = 40 = 20 = 10 = 2

10 6 10 x 6 60 30 15 3

Forma “B” 8 5 simplificando cruzado nos queda 4 x 1 = 4

10 6 2 3 6

Simplifico 4/6 = 2/3

Se puede simplificar las fracciones antes de resolverlas “cual te parece mas fácil”

Ahora observa como se puede calcular

2 x 4 = 8 = 4 = 1 1/3 2 x 4 y 2 x 3

6 4 1 6 6 3

2 x 3 = 6 = 3 = 1 1/2

4 1 4 2

Multiplicación de fracciones mixtas

1 1 X 2 1 = 3 x 7 = 21 simplificando 7 = 3 1/2

2 3 2 3 6 2

División de fracciones 1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador. 2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador. 3º Después si podemos se simplifica.

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Ejemplos de multiplicación y división de fracciones

Actividad 3.7

3/5 x 4/6= 6/7 x 3/2 = 8/6 x 12/5= 10/7 x 12/6 = 15/3 x 3/8=

2/4 x 12/3= 3/5 x 8/2= 13/6 x ½= 4/2 x 12/3= 5/5 x 6/6=

½ ÷ ¼ = ¾ ÷ 1/5 = 3/8 ÷ 1/8 = 12/3 ÷ ¼ = 8/5 ÷ 1/6 =

3 x ½ = 5 x ¾ = 7 x 3/6 = 5/8 x 9 = 12/6 x 6=

Actividad 3.8

Resolver en equipos los siguientes problemas

Tenía ahorrados 18 €. Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero de mi

hucha. ¿Cuánto me ha costado el juguete?

Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo 5 / 12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?

Hoy he perdido 18 cromos que son 3 / 11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía?

El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene coche. Si el número total de empleados es de 1200. ¿Cuántos empleados tienen coche?

Un profesor de computación da 3 ½ horas de clase por la mañana y ¾ horas por la tarde ¿Cuántas horas de clase da durante el día?

Un niño camina 2/3 de kilometro de su casa al mercado y 8/12 de quilómetros del mercado hacia el campo de futbol. ¿Cuántos kilómetros recorre en total?

En una hora Vicky corre 10 1/6 de kilometro y catalina 11 2/4 de kilometro, ¿Cuántos

kilómetros mas corrió catalina?

46

47

Actividad 3.9

Elevar las siguientes fracciones al exponente indicado:

(1/2)2 = (3/4)3 = (8/3)2 = (2/3)4 =

(1/4)2 x (3/5)3 = (5/8)3 x (2/3)3 = (1/3)2 x (1/2)4 =

(3/4)6 ÷ (1/3)4 = (4/5)8 ÷ (1/5)5 = (3/6)10 ÷ (1/4)8 =

[(4/5)2]3 = [(2/3)3]4 =

3.6 Porcentajes

Pero ¿Cuál es el concepto de porcentaje? El porcentaje se da de tomar una cantidad de

cada cien, es decir, determinar la cantidad que le corresponde proporcionalmente.

Entonces, el porcentaje trata de buscar números proporcionales derivados de cien.

“En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes, por ejemplo, en todo tipo de

comercios, en los cuales los precios se rebajan un 10%, un 25% o cualquier otro

porcentaje” (Océano; 2002:142) Es por esto que el significado debe quedar

completamente claro para cualquier persona, pues el uso de éste, es indispensable en

la vida diaria. Lo encontramos en descuentos, aumentos y en el IVA de tiendas y supermercados.

Encontrar el porcentaje de un número Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos:

Multiplica el número por el porcentaje (ej. 87 * 68 = 5916)

Divide el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda) (ej. 5916/100=59.16)

Redondea a la precisión deseada (ej. 59.16 redondeado al número entero más próximo=59)

Determinar un porcentaje

Ejemplo: ¿68 que porcentaje es de 87?

Divide el primer número por el Segundo (ej. 68 ÷ 87 = 0.7816)

Multiplica el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.7816 *100 = 78.16)

Redondea con la precisión deseada (ej. 78.16 redondeado al número entero más próximo = 78)

Termina tu respuesta con el signo % ej. 68 es el 78% de 87)

Convertir una fracción a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir una fracción a un porcentaje. Por ejemplo: Convierte 4/5 a un porcentaje.

Divide el numerador de la fracción por el denominador ( ej. 4 ÷ 5 = 0.80)

48

Multiplica por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.80*100=80)

Redondea el resultado a la precisión deseada.

Termina tu respuesta con el signo % (ej. 80%)

Convertir un porcentaje a una fracción Sigue los siguientes pasos para convertir un porcentaje a una fracción: Por ejemplo: Convierte 83% a una fracción.

Elimina el signo porcentual

Haz una fracción con el porcentaje como el numerador y 100 como el denominador (ej. 83/100).

De ser necesario reduce la fracción.

Convertir un decimal a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje: Por ejemplo: Convierte 0.83 a un porcentaje.

Multiplica el decimal por 100 (ej. 0.83 * 100 = 83)

Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%)

Convertir un porcentaje a un decimal Como convertir un porcentaje a un decimal: Por ejemplo: Convierte 83% a un decimal.

Divide el porcentaje por 100 (ej. 83 ÷ 100 = 0.83)

Usos de porcentajes Descuento de precios

A menudo los negocios venden productos a un precio de descuento. El

negocio hará un descuento en un producto utilizando un porcentaje del

precio original. Por ejemplo, un producto que originalmente cuesta $20

podría tener un 25% de descuento.

Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20.

($20.00*25/100=$5.00)

Resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta.

(precio de venta $20.00-$5.00=$15.00).

Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados:

50% menos

Ahorre 50%

Descontado en 50%

Aumento Un negocio puede tener una regla que el precio de determinado tipo de

producto necesita un incremento de un determinado porcentaje para

establecer a cuanto venderlo. Este porcentaje se llama margen de

ganancia.

49

Si se conoce el costo y el porcentaje de del margen de ganancia, el

precio de venta es el costo original más la cantidad del margen de

ganancia. Por ejemplo, si el costo original es $4.00 y el margen de

ganancia es 25%, el precio de venta debería ser $4.00 + $4.00*25/100

= $5.00.

Una forma más rápida de calcular el precio de venta es igualar el costo

original a 100%. El margen de ganancia es 25% entonces el precio de

venta es 125% del costo original. En el ejemplo, $4.00 * 125/100 =

$5.00.

Monto del Impuesto a las venta Muchos estados y ciudades recaudan un impuesto a las ventas sobre

precios al consumidor. El impuesto a las ventas se determina

averiguando un porcentaje del precio de compra. El porcentaje del

impuesto llamado tasa impositiva varía entre las diferentes ciudades y

estados.

Si el impuesto a las venta es 5% y se hace una compra de $10.00, el impuesto a las venta es $10.00*6/100 o $0.60.

Actividad 3.10

Hallar el:

a. 7% de $41.50. 10% de 90 78% de 905 10% de 250 20% de 52.

Convertir a porcentaje las siguientes fracciones:

a. ¾= ½= 1/5= 1/10= 2/100= 5/8=

Convertir los siguientes porcentajes a fracción:

a. 25% 35% 125% 85% 12% 10%

Convertir los siguientes decimales a porcentajes.

b. 0.36 0.45 0.125 0.25 0.12 0.75

Convertir los siguientes porcentajes a decimales:

a. 36% 125% 45% 8% 20% 6%

Actividad 3.11

En equipo resuelvan los siguientes problemas

a. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de

alumnos ha ido de viaje?

b. Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál

es el porcentaje de aumento?

c. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del

7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

d. Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%.

¿Cuánto tenemos que pagar?

50

e. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se

ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

f. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha

ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

g. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para

perder el 12% sobre el precio de venta?

h. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el

precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

i. Había ahorrado el dinero suficiente para comprarme un abrigo que costaba

$90.000. Cuando llegué a la tienda, este tenía una rebaja del 20%. ¿Cuánto

tuve que pagar por él?

j. Una calculadora costaba $25000, y la rebajan un 35%. ¿Cuál será su precio

rebajado?

k. Un comerciante ha vendido una mercancía que le costó $150000, obteniendo

un beneficio del 40%. ¿Cuál ha sido el precio total de venta de dicha

mercancía?

3.7 Variación proporcional

Proporcionalidad directa

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos

comenzar por comprender el concepto de razón.

Razón y proporción numérica

Razón entre dos números

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al

cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el

cociente entre

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2

es 5, ya que

Y la razón entre los números 0.15 y

0.3 es

51

Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver

como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la

misma que entre c y d.

Es decir

Se lee “a es a b como c es a d”

Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la

misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la

proporción

Hay cuatro términos; a y d se llaman extremos,

c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el

producto de los extremos es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior

Se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los

medios nos da 5 x 8 = 40

52

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o

magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las

magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o

relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes

directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la

misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde

doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son

directamente proporcionales

Ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán

hacer?

a) Completa la tabla

Número de

sacos 1 2

6 26

Peso en kg 20 40 60

520 200

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

53

Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que

llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de

problemas matemáticos.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar

contendrán 5.200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple,

etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente

proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y

formamos la siguiente tabla:

Litros de

agua

50 x

Gramos de sal 1.300 5.200

Se verifica la proporción:

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de

extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:

50 por 5.200 = 1.300 por x

Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el

nombre de regla de tres simple directa

54

Actividad 3.12 Calcular el término desconocido de las s iguientes proporciones :

1

Actividad 3.13 Resolver los siguientes problemas en equipo Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado $60 ¿Cuánto cobrará por 8 horas? Un granjero tiene 4 vacas que comen 50 kilos de pastura al día. Si tuviese 56 vacas, ¿cuánta pastura consumirían en un día? Por 5 días de trabajo he ganado $390. ¿Cuánto ganaré por 18 días? Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media? Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si Mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?

Un padre les da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad? Trescientos gramos de queso cuestan $6 ¿Cuánto podré comprar con $4.50?

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde

la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes

son inversamente proporcionales.

Ejemplo

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18

hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple

número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las

magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son

indirectamente proporcionales).

55

Formamos la tabla: complete los espacios vacios.

Hombres 3 6 12 18

Días 24 12 8

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72

Por tanto 18 por x = 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando

las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Importante:

Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes

inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre

sí, y el resultado se mantendrá constante.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)

Ejemplo 1

Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.

¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la

mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son

magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450

Nº de días 45 X

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de

donde

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

56

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el

nombre de regla de tres simples inversas.

Ejemplo 2

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad

cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál

deberá ser la capacidad de esos toneles?

Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma

cantidad de vino.

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES

Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa

Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En

las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de

campamento?

Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el

doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son

directamente proporcionales.

El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el

doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado

son directamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la

cantidad desconocida, gasto.

SABEMOS

QUE

pesos

REDUCCIÓN

A LA

UNIDAD

pesos

pesos

pesos

57

BÚSQUEDA

DEL

RESULTADO

pesos

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa

15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos

días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la

mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y

el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán

la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de

trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias

de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.

SABEMOS

QUE

REDUCCIÓN

A LA UNIDAD

BÚSQUEDA

DEL

RESULTADO

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.

Actividad 3.14

Se ha conseguido un bus de 40 asientos para los alumnos de la prepa. El bus tiene un

costo total para el curso. Si van los 30 alumnos de prepa, cada uno deberá cancelar $1

800. Si participan 25 alumnos, ¿cuánto debe pagar cada uno?

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18

hombres para realizar el mismo trabajo?

Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En

las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de

campamento?

58

Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en

hacer el mismo trabajo?

Una cuadrilla formada por 4 obreros alicata un muro de una nave industrial en 12 días.

¿Cuántos obreros deben tener la cuadrilla para hacer el mismo trabajo en 4 días?

Para una misma pieza de cinta. Si se cortan 5 trozos de igual longitud, cada trozo mide

24 cm ¿cuál será la longitud de cada trozo si se cortan 10? Y si se cortan 12 ¿Y si cada

trozo mide 6 cm?, ¿cuántos trozos se podrán cortar?

Para resolverlo, ¿cuál es la condición (constante) que permite el cálculo? Que indique

que es para la misma pieza de cinta., es decir la longitud es iguala a 120 cm. Luego si

se cortan 10 trozos, cada uno medirá 12 cm. Calcule Usted los restantes.

Para preparar el decorado para la feria de ciencias de la escuela, se ha designado a 6

alumnos. Se estima que tardarán 4 días en terminarla. Pero, por distintos cambios en

las actividades escolares, se necesita que esté lista en 4 días. ¿Cuántos alumnos más

se necesitarán?

Es indudable que se necesitarán más, pero resolverlo como un problema de

proporcionalidad inversa, habrá que suponer que todos los alumnos trabajan de la

misma forma y al mismo tiempo, de lo contrario no habrá condición que permita el

cálculo. ¿Tiene sentido este tipo de problema?

La empresa elaboradora de alimentos para animales acostumbra a envasar su

producción en bolsas de 3kg, 5kg, 10kg, 15 kg y 20 kg. En esta oportunidad dispone

de 15 toneladas a granel y envasarán la misma cantidad de alimento por cada tipo de

bolsa. La persona responsable de esta operación hizo la siguiente tabla:

Kg. por bolsa 3 5 10 15 20

Núm. De

bolsas 1000

Completar la tabla.

¿Qué tipo de relación hay entre el número de bolsas y la cantidad de kg por bolsa?

3.8 Números irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción el decimal

sigue para siempre sin repetirse.

59

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3.1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que

tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3.1428571428571... Se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o

fracción),

¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número

racional:

Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así

19/2 = 9.5

Así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos: completa la tabla

Números En fracción ¿Racional o

irracional?

5 5/1

1.75

.001 1/1000

√2

(raíz cuadrada de 2)

60

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, ¡pero

eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

La raíz cuadrada de 2, también conocida como constante pitagórica, se denota a menudo

como:

La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido.

Geométricamente es la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud unidad; el valor

de la longitud de esta diagonal se puede averiguar mediante el Teorema de Pitágoras.

La razón plateada se define como: .

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado

más de un millón de cifras decimales y sigue sin

repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número

irracional famoso. Se han calculado muchas cifras

decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

61

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también

son irracionales. Ejemplos:

√3 1.7320508075688772935274463415059

(etc.)

√ 9 9.9498743710661995473447982100121

(etc.)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces

son irracionales.

(Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría

euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más

importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante

del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no

puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos.

Su valor aproximado es:

e = 2.7182818284590452354

62

Razón de oro

La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la

izquierda) es un número especial que vale aproximadamente 1.618

Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras

áreas.

La idea

Si divides una línea en dos partes de manera que:

la parte larga dividida entre la corta

es igual que

el total dividido entre la parte larga

Entonces tienes la razón de oro.

Actividad 3.15

Resuelve en equipo los siguientes problemas

Supón que te encargan pintar las 2/3 partes centrales de una mesa circular de 0.9

metros de diámetro. ¿Que área tendrías que pintar?

Un hilo de cobre esta rodeando una plataforma circular de 60 cm de radio. Se quiere

emplear este mismo hilo para rodear 3 plataformas circulares de 20 cm de radio cada

una de ellas. .Cual debe ser la longitud de los trozos de hilo que cortemos?

El patio de un Instituto tiene la forma de un cuadrado de 22 metros de lado. Se quiere

trazar una franja de color blanco que divida el patio en dos triángulos iguales, con la

idea de dar distintas utilidades al patio. Sabiendo que para pintar 1 metro de franja se

necesitan 30 gramos de pintura, ¿que cantidad de pintura se necesitara para pintar la

franja entera?

En un reloj circular de 1 cm de radio, .que arco debe recorrer la aguja grande en

treinta y cinco minutos?

Una piscina de forma circular de 6 metros de radio se quiere cubrir en invierno con una

malla metálica de modo que quede totalmente cubierta. ¿Que cantidad de malla se

necesitara?

Calcula la distancia mínima que hay que recorrer para atravesar un patio de forma

63

Cuadrada de 10 metros de lado desde una esquina hasta la esquina opuesta.

Una finca rectangular de 50 Hectáreas se quiere dividir en dos partes de forma que

una de las partes sea de tamaño el cuadrado de la otra parte. Si el largo de cada una

de las partes es de 100 metros, calcula el ancho de la parcela mayor.

3.9 Introducción de Seno, Coseno y Tangente

Un triángulo rectángulo consta de un ángulo de 90oy dos ángulos agudos. Cada ángulo

agudo de un triángulo rectángulo tiene las funciones de seno, coseno y tangente. El

seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son

rezones de dos de los tres catetos de un triángulo rectángulo.

El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido

por el largo de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo

dividido por el largo de la hipotenusa.

La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo

dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.

Razones trigonométricas

64

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones

seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la

hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Actividad 3.16

a) En el triángulo ABC, b=42 cm, c=25 cm. y B+C=94º. Calcular los lados By C, el lado a y el área del triángulo.

b) En el triángulo ABC se tiene A=94º, B=36º y a + b =30. Calcular a, b, c y el ángulo C. c) En el triángulo ABC se tiene b=52 cm; c=49 cm y B C= 12º. Calcular A, B, C, a, el área y el

perímetro del triángulo. d) Resolver el triángulo de lados a=36cm. b=26 cm y c=24 cm. Calcular su área. e) En un triángulo se conoce A=94º, B=36º y a +b =30. Calcular C, a, b, c, y el área del

triángulo. f) En un triángulo ABC se conoce a=37, b=42 y c=68. Calcular A.B.C y el área del triángulo. g) En un rombo de lado 4 el área es 10. ¿Cuáles son los ángulos del rombo? h) Resolver el triángulo en el que se conoce A+B=60º, a=7, b=5 i) Una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con la horizontal del

terreno un ángulo de 60º, supongamos que el hilo esta tirante, hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa.

j) Un faro de 50 mts. situado sobre un promontorio a 85 mts se ve un barco desde el extremo superior y 65 mts. Desde el extremo inferior mide. Calcular la altura del promontorio.

k) Cual es la altura de un puente que cruza un rio de 35 m. de ancho si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo pero del lado opuesto con un ángulo de 15º.

65

l) Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?

m) Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal

n) Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de

dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que

separa a dichos botes.

o) Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de

205 m. hacia la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la

carretera?

66

La probabilidad mide el elemento de

aleatoriedad que se encuentra

asociado a la ocurrencia de

determinados eventos. El objetivo

aquí es contar los distintos arreglos

de los puntos en un espacio muestral

sin que se tenga que anotar cada uno

de ellos.

Por ejemplo, miremos qué pasa

cuando se lanza una moneda. Qué

puedo obtener al lanzarla, solamente

cara o sello, no hay más opciones en

esa moneda. Cuando se trata de

contar las posibilidades en una

moneda....fácil, pero y si es algo más

complicado que una moneda..... ?

Supongamos que la señora que nos hace el favor de vendernos el almuercito

solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas (sopa con verduras, de pasta, de arroz y de

plátano), además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles, con lentejas y

con verduras), sabe hacer además postre de natas, de guayaba y miel y sólo da agua

con el almuerzo.

¿QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY?

Entonces las posibilidades son:

1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua

2. Sopa de verduras con lentejas, postre de natas y agua

3. Sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua

4. Sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua

5. Sopa de pasta con lentejas, postre de natas y agua

Alguno dirá: ¡Cambie de restaurante! (tiene razón)... y otros observarán todas las

posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan pequeño el menú, sólo

enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil

hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una por una. Por ello

existen técnicas que sin duda facilitan notablemente los conteos de todas las posibilidades existentes.

PROBABILIDAD Y

CONTEO

=

+

- X

67

4.1 DIAGRAMA DE ARBOL

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama

para cada una de las posibil idades , acompañada de su probabil idad .

En el f inal de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten

nuevas ramas , según las posibi l idades del siguiente paso, salvo si el nudo

representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabil idades de las ramas de

cada nudo ha de dar 1 .

Ejemplos Una universidad tiene de tres facultades: La 1ª con el 50% de estudiantes. La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

68

ACTIVIDADES 4.1

Representa en un diagrama de árbol los siguientes problemas

Diana se viste para ir al trabajo, se va a poner una falda negra, No sabe si combinarla

con una blusa rosada, blanca o azul.

También podría usar zapatos negros, blancos o rosados.

¿Cuántos trajes posibles puede formar?

Felipe desea empezar un programa de ejercicios con dos actividades. Durante la

semana puede correr o montar en bicicleta.

En los fines de semana, puede jugar béisbol, fútbol o voleibol. ¿Cuántos programas de

ejercicios puede planear Felipe?

TÉCNICAS DE CONTEO

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente

fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay

seis posibles resultados.

Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de

niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las

posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas,

etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación,

la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

4.2 La Técnica de la Multiplicación La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra

cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.

En términos de fórmula, número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

69

Ejemplo 1: Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con

que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de

ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines

puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m

es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines

en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho

modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las

posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

Ejemplo 2:

Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como

vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?

Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de

dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas

seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?

Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para

cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo

elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (n m) posibilidades.

4.3 PRINCIPIO ADITIVO. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser

realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o

formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas…. y la última

de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad

puede ser llevada a cabo de,

M + N +………+ W maneras o formas

Ejemplos:

1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que

puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando

acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en

dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser

automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en

tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser

automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo

de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.

¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

70

Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.

2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?. Solución: a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia

b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas

D = maneras de ir y regresar a Disneylandia V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras

D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

4.4 La Técnica de la Permutación y combinación Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el

número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es

aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo un grupo de

objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes

electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una

tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier

orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres

componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y

son las siguientes:

T D C D T C C D T

T C D D C T C T D

Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles la fórmula

empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es: n P r = n! (n – r)!

71

Donde: n P r es el número de permutaciones posible

n es el número total de objetos

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n – r)! (3 – 3)! 1 Ejemplo: Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles? n P r = n! = 8! = 8! = 336 (n – r)! (8 – 3)! 5! En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente: n Pr = n r

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar

con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las

Siguientes:

AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC

Usando la fórmula:

n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

La Técnica de la Combinación

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de

los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por

ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de

un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si

importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay

funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones.

Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos

sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!

r! (n – r )! Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? Usando la fórmula de combinaciones:

72

n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Actividad 4.2 Resuelve en equipo los siguientes problemas Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.

a. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.

b. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.

c. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

d. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.

e. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

f. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.

g. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.

h. ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?

i. ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, quede sentados intercalados hombres y mujeres?

En la escuela primaria Netzahualcóyotl imparte clase la maestra Betty. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Betty propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

a. Betty piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe

integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa

directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

b. La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente

sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras

puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los

otros puestos.

c. El profesor de educación física (Ramón) dice que todos los puestos deben de ser

para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas

maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados

los otros puestos.

d. En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra

Betty decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De

73

cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como

queden asignados los puestos.

e. ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos

los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin

importar como queden asignados los puestos.

f. ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos

los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin

importar como queden asignados los puestos.

g. ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos

los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero

sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los

puestos.

Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición de n elementos tomados m

cada vez (m ≤ n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con la n

elementos, de manera que:

- En cada grupo entren m elementos, distintos

- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de

colocación de éstos.

El número de variaciones ordinarias de n elementos tomando m cada vez se presenta

por Vn, m

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda obteniendo en cada caso una Cara

(C) o Cruz (X). ¿Cuántos resultados distintos podremos obtener?

Formemos el diagrama de árbol correspondiente:

Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman variaciones con repetición de dos elementos tomados de a cuatro cada vez.

74

Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso anterior, pero

además los elementos se pueden repetir:

Variaciones con repetición de n elementos tomados m cada vez (m ≤ n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con la n elementos, de manera que:

En cada grupo entren m elementos, repetidos o no.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.

El número de variaciones con repetición de n elementos tomando m cada vez se representa por VRn, m.

Número de Variaciones con Repetición. Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16

De la misma forma, podemos hallar el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar:

Una vez una moneda: 2.

Dos veces una moneda: 2 · 2 = 22 = 4 (Di cuáles son estas posibilidades)

Tres veces una moneda: 2 · 2 · 2 = 23 = 8

Cinco veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 25.= 32

Ene (n) veces una moneda: 2 · 2 · 2... · 2 = 2n. En general si queremos hallar el número de variaciones con repetición que se pueden formar con

n elementos tomados de a m cada vez, obtendremos: VRn, m = n · n · n ·... n = nm m factores

Ejemplos ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras? Tenemos que hallar el número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir: VR10, 3 = 103 = 1000 Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto debemos descontar estos números, y tendremos: VR10, 3 - VR10, 2 = 103 - 102 = 1000 - 100 = 900 4. Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Son VR6, 3 = 63 = 216 resultados diferentes.

Actividad 4.3 ¿De cuántas formas se pueden repartir 10 cuadernos iguales entre cuatro niños si cada niño

recibe al menos dos cuadernos?

¿De cuántas formas se puede cambiar un billete de k pesos utilizando monedas de $1.00,

$2.00, $5.00 y $10.00?

75

¿De cuántas formas se puede franquear una carta con r pesos utilizando timbres

(estampillas) de $3.00, $4.00 y $20.00?

a) suponga que no se toma en cuenta el orden en que se pegan las estampillas en el

sobre.

b) Suponga que las estampillas se pegan en una fila y que se tiene en cuenta el

orden en que pegan.

¿De cuántas formas se pueden separar 3000 sobres idénticos en paquetes de 25, entre

cuatro grupos de estudiantes, de modo que cada grupo tenga al menos 150, pero no más

de 1000 sobres?

Una empresa contrata a 11 nuevos empleados, cada uno de los cuales es asignado a una de

cuatro subdivisiones. Si cada subdivisión recibe al menos a uno de ellos, ¿de cuántas

formas se pueden hacer las asignaciones?

FENOMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS A los resultados que pueden ocurrir en un experimento o fenómeno se les llama eventos. A los fenómenos que de antemano se conoce su resultado se les llama deterministas. Ejemplo:

Si se lanza una pelota hacia arriba, sabemos que tendrá que caer.

Si se deja un trozo de hielo en el agua, sabemos que se derretirá.

Si el agua se calienta a 100° C sabemos que se evaporará.

Si se deja sin agua a una planta sabemos que se secará en poco tiempo. Otros ejemplos de fenómenos deterministas son:

La fecha en que será tu cumpleaños, Se les llama aleatorios a los fenómenos que tienen varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos ocurrirá. Ejemplo:

Al lanzar al aire una moneda puede caer águila o sol.

Al lanzar un dado puede caer 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

El último dígito del número que saldrá premiado en la lotería puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.

Otros ejemplos de fenómenos aleatorios son:

Los ganadores de los próximos juegos olímpicos,

El marcador del próximo juego de la selección mexicana de futbol.

Actividad 4.4

Señala si los fenómenos son aleatorios o determinista

1) Numero de años que vive un habitante de este país

76

2) Poner agua en una olla y ponerla al fuego 3) El numero de personas que entrara a comprar al negocio de la esquina 4) Mezclar agua y azúcar 5) Ganar una rifa comprando solo un boleto 6) Una piedra cae, si nada la soporta 7) Si un líquido se calienta suficientemente, se evapora 8) Si se suman los ángulos de un triángulo, el resultado es de 180º. 9) Extraer una carta de una baraja 10) Lanzar un dado y anotar el símbolo que aparece en la cara superior. 11) Lanzar una moneda y anotar el símbolo que aparece en la cara superior. 12) Extraer una bola de la lotería. 13) Abrir un libro al azar y anotar el último número de la página de la derecha

Probabilidad condicional

En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.

Ejemplo Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. Cuál es la probabilidad de que:

La primera semilla sea roja

La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja.

Solución: La probabilidad de que la primera semilla sea roja es 10/15, puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R1)= 10/15 La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (B2 R1) y se lee: la probabilidad de B2 dado R1. Esta probabilidad P (B2 R1)= 5/15, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes 4

Actividad 4.5

Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila? Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.

Sacar al azar cualquier as.

Sacar una carta roja Como existe 4 ases, pero solo 2 son rojos, entonces la probabilidad de sacar un as que sea rojo.

77

Aquí tienes un tip!

La probabilidad de un evento significa las posibilidades que tiene de suceder y generalmente se mide como un valor entre 0 y 1; también se puede interpretar como el porcentaje de veces que sucederá. La probabilidad se calcula de dos formas: Probabilidad frecuencial: es aquella que se obtiene de manera experimental, al contabilizar la cantidad de ocurrencias de un evento y anotando el número de veces que aparece un resultado (suceso) deseado; así, la fórmula para esta probabilidad es:

P (A) =

Número de veces que aparece el resultado que se desea

Número de veces que se realiza el experimento

También se puede obtener la probabilidad frecuencial por medio del cálculo de la frecuencia relativa.

Probabilidad clásica: cuando se desea que las posibilidades matemáticas de un evento ocurran de determinada manera, se debe calcular con cualquiera de los dos diagramas (de árbol o rectangular) y emplear la fórmula siguiente:

Probabilidad clásica

En una caja hay 2 bolas blancas y 2 rojas, calcula la probabilidad de los siguientes eventos al tomar 2 bolas cada vez, durante 2 intentos:

78

El número total de soluciones es: 4 Las soluciones para cada evento son: A = {(B, B)} 1 solución B = {(R, B), (B, R)} 2 soluciones C = {(B, B), (B, R)} 2 soluciones D = {(R, R)} 1 solución

79

Puede definirse como aquellos métodos que

incluyen la recolección, presentación y

caracterización de un conjunto de datos con

el fin de describir apropiadamente las

diversas características de ese conjunto.

5.1 Tasas e índices.

La tasa de mortalidad es el indicador demográfico que señala el número de

defunciones de una población por cada 1 000 habitantes, durante un período

determinado (generalmente un año). Usualmente es denominada mortalidad.

Fórmula:

m: tasa de mortalidad media F: cantidad de fallecimientos (en un período) P: población total

ESTADÍSTICA

=

+

- X

80

Tasa bruta de mortalidad por país.

Se considera:

Alta tasa de mortalidad si supera el 30‰. Moderada tasa de mortalidad entre 15 y 30‰. Baja tasa de mortalidad por debajo del 15‰.

Ejemplo

En el año 2007 se han registrado 124 muertes en el distrito de Pimentel , de los cuales

25 fallecidos fueron por neumonía , en niños menores de 5 años, determine la tasa de

mortalidad general en el distrito de Pimentel y la tasa de mortalidad por causa especifica

Empezaremos por hallando la TMG

Ya , para empezar sabemos que hay 124 muertos y que la población a la que se

refieren es la de niños menores de cinco años , los cuales son 3092 niños en total ,

ahora aplicamos la fórmula multiplicándolo por 1000.

Respuesta: 40 de cada 1000 niños menores de cinco años fallecieron en Pimentel en el

año 2007

Actividad 5.2

Hallaremos ahora la TMCE

Como el anterior problema, sabemos ahora que fallecieron 25 por neumonía en una

población de niños menores de cinco años, los cuales suman 3092, aplicamos la

fórmula y lo multiplicamos también por 1000.

En el año 2007 ingresaron al establecimiento de salud 14 pacientes con TBC

comprendidos entre los 30 –74 años, indique usted la tasa de incidencia.

Hallaremos a la TI

Sabemos que 14 personas entre los 30 –74 años (con una población de 12687

personas en ese rango de edad) enfermaron con TBC durante el 2007, ahora

aplicamos la fórmula y multiplicamos por 10000.

En el años 2007 se registraron 76 casos de E.D.A.S en menores de cinco años de edad ,

algunos fueron referidos al hospital regional ” Las Mercedes” , donde fallecen 13

pacientes por su estado , indique usted la tasa de mortalidad por causa específica ,

además la tasa de morbilidad y la tasa de letalidad.

81

Hallaremos la TMCE:

Sabemos que de los 76 casos registrados 13 fallecieron por complicaciones, además,

nos dicen que la población son todos niños menores de cinco años, ahora solo

aplicamos la formula y multiplicamos por 1000

Hallaremos la T. Morbilidad

Sabemos que existieron 76 casos de enfermedad y también sabemos la población,

ahora aplicamos la fórmula y multiplicamos 1000

Hallaremos la tasa de letalidad

Sabemos que existieron 76 niños que enfermaron y que de ellos 13 murieron por

complicaciones de la enfermedad, ahora aplicamos la formula y multiplicamos por 100

La densidad de población (también denominada formalmente población relativa, para

diferenciarla de la absoluta) se refiere a la distribución del número de habitantes a

través del territorio de una unidad funcional o administrativa (continente, país, estado, provincia, departamento, distrito, condado, etc.).

Su sencilla fórmula es la siguiente:

Como a nivel mundial las superficies usualmente se expresan en kilómetros

cuadrados, la densidad obtenida comúnmente corresponde a habitantes por

km². No obstante, en los países angloparlantes se suele utilizar la milla

cuadrada como unidad de superficie, por lo que en ellos la población relativa es normalmente expresada por medio de habitantes/mi²

Ejemplo

Se denomina densidad de población a la cantidad de habitantes que viven por kilómetro cuadrado.

Por ejemplo, si en una isla la superficie es de 200 km2 y su población asciende a

54.000 habitantes, la densidad de población será:

Actividad 5.3

Completa la siguiente tabla, compara los resultados y contesta las preguntas

país Población

absoluta 2002 superficie Densidad

Hungría 9 900 000 hab. 93 033 km2

España 41 000 000 hab. 504 783 km2

Estados unidos 288 500 000 9 529 063 km2

Singapur 4 200 000 618 km2

China 1 294 400 000 9 572 900 km2

82

Tasa de crecimiento poblacional

En demografía y ecología, la tasa del crecimiento poblacional (PGR de las siglas en

inglés: Population growth rate) es la tarifa fraccionaria en la cual el número de

individuos en una población aumenta. Específicamente, el PGR, se refiere

ordinariamente al cambio en la población durante un período de tiempo de unidad,

expresado a menudo como un porcentaje del número de individuos en la población al

principio de ese período. Esto se puede escribir como la fórmula:

La manera más común de expresar el crecimiento demográfico es mostrarlo como una

razón aritmética, y no como porcentaje. El cambio en la población durante un período

de unidad se expresa como porcentaje de la población al principio del período. Eso es:

Una positiva razón aritmética o (tasa) del crecimiento indica que la población está

aumentando, mientras que un cociente del crecimiento negativo indica la declinación

de la población. Un cociente del crecimiento de cero indica que había el mismo número

de gente en los dos tiempos - la diferencia neta entre los nacimientos, las muertes y la

migración es cero. Sin embargo, una tasa de crecimiento puede ser cero incluso

cuando hay cambios significativos en los índices de natalidad, los índices de

mortalidad, las tasas de inmigración, y la distribución de edad entre los dos tiempos.

Equivalentemente, el porcentaje del índice de mortalidad = el número medio de

muertes en un año para cada 100 personas en la población total.

Una medida relacionada es la tasa neta de reproducción. En la ausencia de migración,

un índice de reproducción neta de más de uno indica que la población de mujeres está

aumentando, mientras que una tasa neta de reproducción menor a uno (fertilidad del

reemplazo secundario) indica que la población de mujeres está disminuyendo

Actividad 5.4

Calcula la tasa anual de crecimiento de la población de los países A, B y C utilizando los datos del cuadro y la fórmula siguientes: *

Aumento de

la población

en un año

÷ Población al

comienzo del

año

x

100

= Tasa anual de

crecimiento de la

población (%)

83

Población

al comienzo

del año

Población

al final

del año

Aumento

de la

población

durante

el año

Tasa anual

de

crecimiento

de la

población

(%)

País A 22.000.000 22.400.000

País B 8.500.000 8.800.000

País C 400.000.000 410.000.000

*(Las tasas medias de crecimiento anual de la población a lo largo de varios años dan

una idea más exacta que las tasas anuales. Por esta razón, se utilizan en el Cuadro de

datos. Para calcular una tasa de crecimiento durante un período más largo que un año

es necesario utilizar fórmulas matemáticas más complicadas que la utilizada para calcular una tasa anual.)

Las tasas de crecimiento de la población son cifras pequeñas, pero producen grandes efectos en la población. Para ver lo que esto significa, haz los siguientes ejercicios.

a. Supongamos que la población mundial a comienzos de 2000 era de

aproximadamente 6.000 millones. Si la tasa media anual proyectada de

crecimiento de la población mundial en 2000 era de 1,1%, ¿cuántas personas

más se habrán agregado a la población mundial en 2001? b. Si en 2000 la población mundial creciera a una tasa del 0,2%, es decir, a la

misma tasa proyectada del Reino Unido, ¿cuántas personas más se habrían

agregado a la población mundial en 2001? c. Si en 2000 la población mundial creciera a una tasa de 1,7%, es decir, a la

misma tasa proyectada de Kenia, ¿cuántas personas más se habrían agregado a la población mundial en 2001?

Utiliza los cálculos y los datos del cuadro que sigue para calcular las tasas de natalidad,

las tasas de mortalidad y las tasas de crecimiento de la población de tres países y agrega la información que falta.

Número de

nacimientos

(%)

÷ población X 100 = tasa de

natalidad

Número de

muertes

(%)

÷ población X 100 = tasa de

mortalidad

84

Tasa de natalidad

(%)

– Tasa de

mortalidad

(%)

= Tasa de

crecimiento

de la población (%)

Nacimientos Muertes Población Tasa de

natalidad

Tasa de

mortalidad

Tasa de

crecimient

o

de la

población

País A 662.000 297.000 33.100.000 [2%] [0,9%] [1,1%]

País B 411.000 191.800 27.400.000 [1,5%] [0,7%] [0,8%]

País C 211.200 96.800 4.400.000 [4,8%] [2,2%] [2,6%]

Estadística

La estadística es una rama de las matemáticas que conjunta herramientas para

recolectar, organizar, presentar y analizar datos numéricos u observacionales.

Presenta números que describen una característica de una muestra. Resulta de la

manipulación de datos de la muestra según ciertos procedimientos especificados.

Procedimiento:

1. Obtención de datos

2. Clasificación

3. Presentación

4. Interpretación

5. Descripción

6. Generalizaciones

7. Comprobación de hipótesis por su aplicación.

8. Toma de decisiones

Términos comunes.

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que

porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la

edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de

dicha ciudad.

Muestra: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que

sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de

la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.

85

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se

estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un

individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de

dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo). Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos

anuales). Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y

continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número

de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la

velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Las variables

también se pueden clasificar en:

Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por

ejemplo: edad de los alumnos de una clase). Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la

población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase). Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características

(por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

Actividad 5.5

Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

1 Comida Favorita.

2 Profesión que te gusta.

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

4 Número de alumnos de tu Instituto.

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continúas.

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

3 Período de duración de un automóvil.

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

5 Número de hijos de 50 familias.

6 Censo anual de los españoles.

Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o

continuas.

1 La nacionalidad de una persona.

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

3 Número de libros en un estante de librería.

86

5.2 Elaboración e interpretación de graficas de frecuencia

absoluta y relativa Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación.

Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las

mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y

pájaros

perro gato perro hámster

pájaro hámster gato perro

hámster gato pájaro gato

perro perro hámster pájaro

perro perro pájaro gato

A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y

porcentuales de las mascotas más comunes de los niños.

Mascota Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada

Perro 7 .35 35 %

Pájaro 4 .20 20 %

Hámster 4 .20 20 %

gato 5 .25 25 %

Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:

Gráfica de barras

87

Gráfica de pastel

NOTA: Para calcular:.. Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de veces que ocurre el evento, en este caso,

las mascotas.

Frecuencia relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el total de

eventos.

Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia relativa por 100.

CONSTRUCCION DE TABLAS ESTADÍSTICAS

Distribución agrupada de frecuencias: Distribución de frecuencias en la que los valores de

la variable se han agrupado en clases. Esto se debe principalmente a la disposición de

gran número de datos. Las razones por las que se elaboran este tipo de agrupación de

datos son por economía, practicidad, y baja frecuencia de algunos puntajes.

Agrupación de datos: para elaborar las tablas estadísticas, se debe seguir un

procedimiento preciso:

Estos son algunos métodos para obtener datos:

Censo: Se entiende por censo aquella numeración que se efectúa a todos y cada uno

de los caracteres componentes de una población. Para Lavín & Rubín (1996) "Algunas

veces es posible y práctico examinar a cada persona o elemento de la población que

deseamos describir. A esto lo llamamos una numeración completa o censo. Utilizamos

el muestre cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población. Si

es posible listar (o enumerar) y observar cada elemento de la población, los censos se

utilizan rara vez porque a menudo su compilación es bastante difícil, consume mucho

tiempo por lo que resulta demasiado costoso.

Encuesta: Se entiende por encuesta las observaciones realizadas por muestreo, es

decir son observaciones parciales. El diseño de encuestas es exclusivo de las

ciencias sociales y parte de la premisa de que si queremos conocer algo sobre el

comportamiento de las personas, lo mejor, más directo y simple es preguntárselo

directamente a ellas. (Cadenas, 1974). Según Antonio Napolitano "La encuesta, es un

método mediante el cual se quiere averiguar. Se efectúa a través de cuestionarios

verbales o escritos que son aplicados a un gran número de personas".

Toma de datos.- es la obtención de una colección de datos por medio de encuestas,

preguntas, sondeos etc. Que no han sido ordenados numéricamente y que dicha

información se extrae al azar, es decir, de tal forma que cada miembro de la población

tenga la misma oportunidad de ser elegida o seleccionada.

88

Ordenación de datos: es una colocación de los datos numéricos tomados en orden

creciente a decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los

números se llama rango o recorrido de datos.

No. De clases (Regla de Sturges): 1 + 3.332 log N

Tamaño de clase = Rango / No. De clases

Cálculo de tamaño de clase: para calcular el tamaño de clase es necesario calcular

primeramente el número de clases utilizando la regla de Sturges y después se obtiene

el tamaño de clase dividiendo el rango entre el número de clases.

Límites de clase: representan el tamaño de cada clase. El límite inferior de la primer

clase toma el valor de el dato menor de la colección de datos, para obtener el límite

inferior de la clase siguiente, se suma al límite inferior de la case anterior el tamaño de

clase.

Límites reales de clase: se obtienen sumando al LS de la clase el Lide la clase

contigua superior y dividiendo entre dos.

Marca de clase: Es el punto medio de la clase y se obtiene sumando los LI y LS de la

clase y dividiendo entre 2. La marca de clase también se llama punto medio de la

clase.

Ejemplo de tablas estadísticas:

AUTOBUSES FORANEOS

Toma de datos

Los siguientes datos corresponden a la cantidad de asientos vacíos que reportaron 50

autobuses foráneos en un domingo.

12 11 4 6 6 11 3 10 12 4

10 1 1 2 4 5 2 4 4 8

8 7 8 4 10 4 2 6 2 9

5 6 6 4 12 8 1 12 1 7

7 6 8 4 6 9 3 7 7 5

89

2) Ordenación de datos

1 2 4 4 5 6 7 8 9 11

1 2 4 4 5 6 7 8 10 12

1 2 4 4 6 6 7 8 10 12

1 3 4 4 6 6 7 8 10 12

2 3 4 5 6 7 8 9 11 12

Rango = 12-1 = 11

3) Tamaño de clase

No de clases = 1 + 3.332log (50) = 6

Tamaño de clase = 11/6 = 2

4) Límites de clase

5) Límites reales de clase

6) Marca de clase

Clase Intervalo LRI LRS Frecuencia

Absoluta

Frec.

Relat

Frecuencia

Porcentual

X

LI LS

1 1 2.9 0.95 2.95 8 .16 16 % 1.95

2 3 4.9 2.95 4.95 11 .22 22 % 3.95

3 5 6.9 4.95 6.95 10 .20 20 % 5.95

4 7 8.9 6.95 8.95 10 .20 20 % 7.95

5 9 10.9 8.95 10.95 5 .10 10 % 9.95

6 11 12.9 10.95 12.95 6 .12 12 % 11.95

total

50 1 100 %

90

Actividad 5. 6

Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de

frecuencias.

El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1,

1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7 , 7, 5 , 5, 2 , 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4 , 0, 8 ,

4, 8, 6, 6, 3 , 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7 , 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4 , 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Constru i r la tabla de distribución de frecuencias y d ibuja el

diagrama de barras .

Representación gráfica de datos.

Se tomará el ejemplo anterior para demostrar el uso de diferentes gráficas.

Histograma: forma gráfica de barras que emplea variables con escala de intervalos o

de proporciones. Para realizarla, se toma en cuenta para el eje X, los Límites reales, y

para el eje Y, las frecuencias absolutas.

Polígono de frecuencias: Forma gráfica que representa una distribución de

frecuencias en la forma de una línea continúa que traza un histograma. Para su

elaboración, se consideran las marcas de clase en el eje X y las frecuencias absolutas

en el eje Y.

91

Gráfica de barras: la gráfica de barras es una forma de gráfica que utiliza barras para

indicar la frecuencia de ocurrencia de las observaciones. Para construirla se constituye

el eje y por las frecuencias absolutas y el eje X por los límites inferior y superior de

cada clase, dejando un espacio entre barra y barra.

5.3 Medidas de tendencia central.

CALCULO DE LA MEDIA MEDIANA Y MODA

Medidas de tendencia central:

La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de

tendencia central se conocen como medidas de posición.

Media

La media es el punto en una distribución de medidas, alrededor del cual las

desviaciones sumadas son iguales a cero. Es el valor promedio de una muestra o

población. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estén balanceadas

en ambos lados. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:

92

a. Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces

que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos

de la muestra:

Mediana Observación u observación potencial en un conjunto que divide el conjunto, de modo que el mismo número de observaciones estén en cada uno de sus lados. Para un número impar de valores, es el valor de en medio; para un número par es el promedio de los dos medios. Para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios. Ejemplo: Calcule la mediana para los siguientes datos. La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22. Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21. La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: Mediana = LRI + [(n/2 - FA)/f] c

Donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada

que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana. MODA La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. Ejemplo: Las calificaciones de un examen de diez estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81 La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo.

93

Ejemplo de cálculo de media mediana y moda. Para ejemplificar, tomaremos el ejemplo de autobuses foráneos de la pagina 6.

Clase Intervalo LRI LRS Frec.

Absoluta

Frec.

Relat

Frec.

Porcentual

X fx

LI LS

1 1 2.9 0.95 2.95 8 .16 16 % 1.95 15.60

2 3 4.9 2.95 4.95 11 .22 22 % 3.95 43.45

3 5 6.9 4.95 6.95 10 .20 20 % 5.95 59.50

4 7 8.9 6.95 8.95 10 .20 20 % 7.95 79.50

5 9 10.9 8.95 10.95 5 .10 10 % 9.95 49.75

6 11 12.9 10.95 12.95 6 .12 12 % 11.95 71.70

total

50 1 100 %

319.50

Actividad 5.7

Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso [50,

60)

[60,

70)

[70,

80) [80,90)

[90,

100)

[100,

110)

[110,

120)

fi 8 10 16 14 10 5 2

1 Construir la tabla de frecuencias.

2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en

un examen de Física.

94

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20,

11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1 Construir la tabla de frecuencias.

2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi 61 64 67 70 73

fi 5 18 42 27 8

Calcular:

1 La moda, mediana y media.

2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

Dadas las series estadísticas:

3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Calcular:

La moda , la mediana y la media .

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de

Bachillerato es el siguiente:

1. Formar la tabla de la distribución.

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?

3. Calcular la moda.

4. Hallar la mediana.

5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

95

5.4 Medidas de dispersión

CÁLCULO DE VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN.

Medidas de dispersión: Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si

estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos

Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula

como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media,

multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio

obtenido se divide por el tamaño de la muestra.

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más

concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario,

mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Desviación estándar: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.

Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación

típica y la media de la muestra

Continuando con el caso de los autobuses foráneos, se realizará el ejemplo de medidas

de dispersión.

Clase Intervalo LRI LRS Frec.

Absoluta

Frec.

Relat

Frec.

Porcentual

X fx

f(x-x)2

LI LS

1 1 2.9 0.95 2.95 8 .16 16 % 1.95 15.60 157.71

2 3 4.9 2.95 4.95 11 .22 22 % 3.95 43.45 171.63

3 5 6.9 4.95 6.95 10 .20 20 % 5.95 59.50 354.03

4 7 8.9 6.95 8.95 10 .20 20 % 7.95 79.50 632.03

5 9 10.9 8.95 10.95 5 .10 10 % 9.95 49.75 495.01

6 11 12.9 10.95 12.95 6 .12 12 % 11.95 71.70 856.82

total

50 1 100 %

319.50 2667.21

96

Ejemplo: Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la

series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

Media

Desviación típica

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

Desviación típica

Ejemplo:

Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su

consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses Niños

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

97

15 1

Calcular la desviación típica.

xi fi Ni xi · fi x²i · fi

9 1 1 9 81

10 4 5 40 400

11 9 14 99 1089

12 16 30 192 2304

13 11 41 143 1859

14 8 49 112 1568

15 1 50 15 225

50 610 7526

Actividad 5.8

Sea la población de elementos: {22,24, 26}.

1. Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante muestreo

aleatorio simple.

2. Calcule la varianza de la población.

3. Calcule la varianza de las medias muéstrales.

El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

Calcular la desviación típica.

Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la

siguiente tabla:

[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

fi 3 5 7 4 2

Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

98

En lenguaje algebraico nace en la

civilización musulmana en el período

de Al–khwarizmi, al cual se le

considera el padre del álgebra. El

lenguaje algebraico consta

principalmente de las letras de

alfabeto y algunos vocablos griegos.

La principal función de lenguaje

algebraico es estructurar un idioma

que ayude a generalizar las diferentes

operaciones que se desarrollan dentro

de la aritmética, por ejemplo: si

queremos sumar dos números

cualesquiera basta con decir a + b;

donde la letra a indique que es un

número cualquiera de la numeración

que conocemos, b de la misma

manera que a significa un número

cualquiera de la numeración.

También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para

razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la

vida cotidiana.

6.1 Expresión algebraica.

Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de

constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, - ,

x, ÷ en un número finito.

El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación

y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a

una potencia.

El término independiente solo consta de un valor numérico.

Términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras

(parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los

términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o

multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto,

lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado

relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su exponente.

Notación: Si a es una constante o una variable y b una variable entonces ab indica el

producto de a y b o sea: ab =a*b

EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y

ECUACIONES DE PRIMER

GRADO

=

+

- X

99

Ejemplos: (De expresiones algebraicas)

3x2y4 x3y2+ 5xy a + b _ 3

Z2x a – c 2

Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las

potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados

únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador. Ejemplo: (De monomios)

Ejemplo: (De expresiones algebraicas que no son monomios)

a)

c)

b)

d)

En un monomio se puede distinguir el factor numérico (coeficiente) y el factor literal. Ejemplo: En 4x2y3z, 4 es el factor numérico (coeficiente) y x2y3z es el factor literal. En -3x2z5, -3 es el factor numérico (coeficiente) y x2z5 es el factor literal. 4 4 En 1/5 x2(-2) z4, -8/5 es el factor numérico (coeficiente) y es el factor literal.

Notación: Si x es una variable o una constante entonces: 1 * x = x y -1 * x = -x Tomando en cuenta esta notación tenemos que: Si el coeficiente de un monomio o de una expresión algebraica es 1 o -1, no escribimos el 1. Ejemplo:

a.) En x2y el coeficiente es 1 b.) En -a3b5c2 el coeficiente es -1. Si dos o más monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí. Ejemplo: a.) Los monomios 6x5 y2, 1/3 x5y2, -2x5y2 , son semejantes entre sí. 9

b.) Los monomios , no son semejantes entre sí.

100

Operaciones con Lenguaje Algebraico

Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más

comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico;

cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa

estrictamente en estas definiciones:

Un número cualquiera

Se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:

La suma de dos números cualesquiera

a + b = la suma de dos números cualesquiera

x + y = la suma de dos números cualesquiera

La diferencia de dos números cualesquiera

a - b = la diferencia de dos números cualesquiera

m - n = la diferencia de dos números cualesquiera

La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

a + b - c = la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

El producto de dos números cualesquiera

a * b = el producto de dos números cualesquiera

El cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números

cualesquiera)

a / b= el cociente de dos números cualesquiera

La semisuma de dos números cualesquiera

(a + b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera

El semiproducto de dos números cualesquiera

(a * b)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera

El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia

(a + b)/(a – b)

El doble de un número

2X

El doble de la suma de dos números

2(a + b)

El triple de la diferencia de dos números

3(x-y)

La mitad de un número

X/2

La mitad de la diferencia de dos números

(x-4)/2

El cuadrado de un número

El cuadrado de la suma de dos números

El triple del cuadrado de la suma de dos números.

Actividad 6.2

101

Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:

a) El doble de un número.

b) El cuadrado de un número menos tres.

c) La suma de dos números.

d) La diferencia de los cuadrados de dos números.

e) La mitad de un número.

f) El cuádruplo de un número.

g) La suma de un número y su cuadrado.

h) El doble de un número menos cinco.

i) La tercera parte de un número.

j) El cuadrado de la suma de dos números.

k) El doble de la suma de tres números.

l) El triple de la raíz cuadrada de un número.

m) La suma de tres números consecutivos.

n) Una cuarta parte de la suma de dos números.

o) Un número aumentado en cinco unidades.

p) El doble de un número menos el triple de otro.

q) Las tres cuartas partes de un número.

r) El cubo de la diferencia de dos números.

s) El producto de dos números.

t) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.

A continuación te sugerimos realices el ejercicio, donde tienes que expresar

en forma verbal o escrita los diferentes términos según sea el caso.

a)

b) El cociente de la suma de dos números sobre tres.

c) El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.

d) (x–4)c

e) La diferencia de los números es mayor que su cociente.

f) (3x)2

g) El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio.

h)

i) La suma del doble de un número con otro número.

j) El cubo de la raíz cuadrada de la suma de dos números

Las siguientes expresiones algebraicas pasarlas del lenguaje escrito a

lenguaje algebraico

Evaristo tiene 14 años, ¿Cuántos tendrá durante x años?

Paca tiene 12 años, ¿Cuántos tendrá en “y” años?

Completar la siguiente tabla

Expresión algebraica valores Valor numérico

3n + 10 n=3

3x2 - 12 X=2

4a– 8b a=-1 y b=0

102

3x2 – 5x + 6 X=3

a + 3

5

a=12

6.2 Operaciones con monomios y polinomios Resolver los siguientes problemas algebraicos Si a la cuarta parte de un número le quitamos 4, el resultado es 20. Halle el número.

Encuentre dos números consecutivos cuya suma sea 43.

Pedro tiene 28 años y su hijo 4. ¿Dentro de cuántos años, Pedro tendrá cuatro veces la

edad de su hijo? ¿Es única la solución?

Hallar dos números enteros pares consecutivos, cuya suma sea 14.

La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años.

Hallar ambas edades.

Monomios Para sumar o restar dos monomios, es necesario que sean monomios semejantes.

Observa cómo sumamos los siguientes monomios:

7x + 4x = (7 + 4) x = 11x

3xy2 − 5xy2 = (3 − 5) xy2 = −2xy2

La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante

cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados.

Si queremos reducir dos o más monomios no semejantes, no nos será posible. Por

ejemplo, los monomios 3x2z y 7yx2 no se pueden reducir. Por tanto: 2z + 7yx2

2z − 7yx2

La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es el polinomio formado

por la suma o diferencia indicada de dichos monomios

Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son:

3x − 7x + 4x2 = −4x

+ 4x2

8xy2 + 2xy2 =

10xy2

6x2z − 3zx2 + x y =

3x2z + x y

8x4 − 3x4 + 5x4 =

10x4

103

Actividad 6.3

Realiza las sumas y restas de monomios

2x2y3z + 3x2y3z = 22x3 − 5x3 = 33x4 − 2x4 + 7x4 = 42 a2bc3 − 5a2bc3 + 3a2bc3 − 2 a2bc3 =

Suma y resta de polinomios

Para sumar dos o más polinomios, agrupamos los términos semejantes y los

reducimos. A continuación, añadimos los términos no semejantes.

Si queremos sumar los polinomios x3 + 8z + y + 4 y 2x3 + 5z − 12 agrupamos

términos y sumamos del siguiente modo:

(x3 + 8z + y + 4) + (2x3 + 5z − 12) = (x3 + 2x3) + (8z + 5z) + y + (4 − 12) = 3x3 +

13z + y − 8

Cuando los polinomios que queremos sumar tienen

muchos términos, conviene colocarlos de modo que los

términos semejantes queden unos encima de otros.

Cuando queremos restar dos polinomios, cambiamos el

signo de todos los términos del sustraendo y

sumamos directamente.

La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado:

Actividad 6.4

Realizar las siguientes operaciones de polinomios

a) (3x3 + 2x2 + x + 2) + (5x2 + 4x +10)

b) (6x3 – 3x2 – 2x- 8) + (8x3 + 5x2 + x + 10)

c) (2x + 12) + (6x2 + 6x + 3)

d) (9x3 + 12x2 + 15x +20) – (5x3 + 6x2 – 4x -10)

e) (12x2 + 8x – 15) – (3x2 – 3x + 2)

f) (4x2 – 1) + (x3 − 3x2 + 6x – 2)

g) (6x2 + x + 1) – (1/2x2 + 4)

h) (2x2 + 5) + (x2 + 2)

104

Multiplicación de Monomios

Para multiplicar monomios debes tener en cuenta cómo se multiplicaban potencias

de la misma base. Recuerda que:

a2 · a5 = a2 + 5 = a7

En general:

am * an = am + n

Por ejemplo, si quieres multiplicar los monomios 4ab y 6a2 b, no tienes más que

multiplicar por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:

4ab * 6a2 b = (4 · 6) (a · a2) (b · b) = 24 · a1 + 2 · b1 + 1 = 24 a3 b2

El producto de monomios es otro monomio que tiene:

coeficiente, el producto de los coeficientes de los monomios dados.

parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las multiplicaciones

de potencias de igual base.

Observa que para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes (como

ocurría en el caso de la suma).

Otros ejemplos de multiplicación de monomios son:

3xz · 4x2z = (3 · 4) (x · x2) (z · z) = 12x3z2

−5x2y3 · 6xy2 · 2x3 = (−5 · 6 · 2) (x2 · x · x3) (y3 · y2) = −60x6y5

Actividad 6.5

Efectúa los productos de monomios .

1(2x3) · (5x 3) =

2(12x3) · (4x) =

35 · (2x 2y3z) =

4(5x2y3z) · (2y 2z 2) =

5(18x3y2z 5) · (6x 3yz 2) =

6(−2x3) · (−5x) · (−3x 2) =

Cuando quieras multiplicar dos polinomios que tengan muchos términos, puede

serte útil que los multipliques como te muestra el siguiente ejemplo:

Fíjate que debes colocar los términos ordenados

según el grado de cada uno, y después

multiplicar término a término.

Cuando te falte el monomio de algún grado, llena

el hueco con el monomio de ese grado y

coeficiente 0.

El producto de un monomio por un

polinomio es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el

monomio por cada término del polinomio.

105

producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se

obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo, y

sumando luego los términos semejantes

Actividad 6.6 Multiplicar: 1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

División de monomios

Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la

misma base. En general, am ÷ an = am-n

Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que

dividir por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:

Actividad 6.7 Realiza las divisiones de monomios .

1(12x3) ÷ (4x) =

2(18x6y 2z 5) ÷ (6x3yz 2) =

3(36x3y 7z 4) ÷ (12x 2y2) =

4

5

6

El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene:

Como coeficiente, el cociente de los coeficientes de los monomios dados.

Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las divisiones de potencias de igual base.

106

En general, la división de un polinomio entre un monomio no es posible. Solo podrá realizarse cuando

todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.

Por ejemplo:

Actividad 6.8

En equipos d iv idan las s iguientes expresiones a lgebraicas

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) † (x2 + 3x − 2)=

2(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) ÷(x2 − x + 3)=

3(x5 − 2x2 − 3) ÷(x −1)=

4(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) ÷ (x + 2)=

5 (x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)=

6 (x3 + 2x + 70) ÷ (x + 4)=

7(x5 − 32) ÷ (x − 2)=

8 (x4 − 3x2 + 2) ÷ (x −3)=

6.3 Signos de agrupación

Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se

indica dentro de estos cual de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos

símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos

de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje

algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras

letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema,

(aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos

vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o

variables de la expresión algebraica.

107

En las matemáticas se emplean numerosas reglas que se simplifican usando letras; tal es el caso de las fórmulas de perímetros, de áreas, y de volúmenes. Las fórmulas: son reglas expresadas por medio de símbolos, que resuelven problemas como en aritmética, sólo que los números son sustituidos por letras. Como ya lo hemos mencionado en las fórmulas, cada letra representa un número, por

ejemplo:

Considera que quieres saber qué número sumado a 3 te da 10 o que número

multiplicado por 5 te da 30; lo que se hace es plantear una fórmula que nos ayude. En

este caso serían las siguientes fórmulas:

Primer caso 3 + x = 10, x será igual a 7

Segundo caso (5) (x) = 30, x será igual a 6

Como puedes ver en los dos casos anteriores "x" toma diferentes valores.

Existen igualdades que admiten cualquier valor que se pueda dar a las letras que

los forman, a este tipo de igualdad, se le llama identidad.

Las igualdades que admiten sólo algún valor dado a las letras que las forman,

son las que conocemos como ecuaciones

Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera:

1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos

que estaban agrupados por él no cambian de signo.

2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos

que estaban agrupados por él cambian de signo.

3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los

términos semejantes.

Ejemplo:

{2*2[2+2(4+2)]} Primeramente realizaremos la operación entre paréntesis, en este

caso sería 4+2=6 {2*2[2+2(6)]} posteriormente la que se encuentra entre los

corchetes en este caso es una suma con multiplicación 2+2=4*6 {2*2[24]} como ves

el paréntesis ha desaparecido ahora vamos con la que se encuentra entre

llaves2*2=4*24 {96} han desaparecido los corchetes por tanto el resultado es 96.

Así de sencillo solo hay que seguir la jerarquía de los signos.

Ejemplo: 3a + (4 - b) - (a + c - 5) - (2b + 5b - 2ab)

3a + (4 - b) - (a + c - 5) - 2b - 5b + 2ab

3a + (4 - b) - a - c + 5 - 2b - 5b + 2ab

3a + 4 - b - a - c + 5 - 2b - 5b + 2ab

3a - a - b - 2b -5b - c + 2ab + 4 + 5

2a - 8b - c + 2ab +9

Actividad 6.9 Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:

x-(x-y)

x2 + (-3x - x2 + 5)

a + b – (-2ª+3)

4m-(-2m - n)

a+(a-b) + (- a + b)

108

2ª-[-x+a-1]-[a+x+3]

(-5m+6) + (-m+5)-6

4a + {2a + (3a - 5b)}

4a - {2a + (3a - 5b)}

4a - {2a - (3a - 5b)}

4a + {2a - (3a - 5b)}

6.4 Valor numérico y despeje de formulas

Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtienes al

sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano,

y de efectuar la operación indicada.

Ejemplo: a.) Determine el valor numérico de -x2 + 3x – 4, si x=2 b.) Determine el valor numérico de -6ax3y2 si a=5, x=1, y=2 Solución: a.) Sustituyendo la “x” por el valor asignado a -x2 + 3x – 4 se obtiene que:

-(2)2 + 3(2) - 4

=-4 + 6 - 4

= -2

Por lo que si x=2, el valor numérico de, -x2 + 3x – 4 es -2.

b.) Sustituyendo las variables a, x, y por los valores asignados, en -6ax3y2 se

obtiene que:

-6(5) (1)2(-2)2

= -120 Por lo que: si a=5, x=1, y=2, el valor numérico de -6ax3y2 es -120.

Actividad 6.10

Determine el valor numérico correspondiente, en cada una de las siguientes

expresiones:

1.

si

2.

si

3.

si

4.

si

Fórmulas Una fórmula es una igualdad matemática que tiene como objetivo casi siempre el

calcular alguna cantidad.

Ejemplos de fórmulas son:

109

La fórmula del área a de un cuadrado de lados l es a = l * l.

La fórmula del área a de un triángulo rectángulo de base b y altura h, es a = b * h

2 La fórmula de la velocidad media v es v = d / t donde d es la distancia y t el

tiempo.

Problemas de despeje Dada una fórmula, entonces nuestro problema es despejar una de las cantidades

participantes dentro de la fórmula.

Lo más importantes del despeje es poder aplicar las reglas de los números reales a la

igualdad que nos define la fórmula para “despejar” la cantidad que queremos.

Nota 1 De la ecuación a + b = c, sumar el inverso aditivo −b de b, ó restar −b a

ambos lados de la ecuación, se suele decir como: b pasa restando al lado contrario de

la igualdad, a = c – b

Nota 2 De la ecuación a · b = c, multiplicar por el inverso multiplicativo 1/b de b, ó

dividir entre b a ambos lados de la ecuación, se suele decir como: b pasa dividiendo al

lado contrario de la igualdad, a = c/b

Ejemplo

Problemas de despeje

De la fórmula v = d/t, despejar la distancia d.

Como v = d/t, entonces d = v * t, multiplicando ambos lados de la igualdad por t.

De la fórmula de aceleración a =v − v0

t

Despejar la velocidad v.

Primero multiplicar ambos lados de la igualdad por t, obteniendo at = v−vo.

Sumar ambos lados de la igualdad vo, entonces v = at + vo.

Actividad 6. 11

De las siguientes formulas despejar la letra que se le indique según sea el caso:

A= b*h despeje b A= b*h/2 despeje h A= D*d /2 despeja d

A= (B+b) h /2 despeja h V= Ab*h despeja b C=Pi*d despeja d

6.5 Funciones Conceptos Básicos

Las funciones matemáticas, en términos simples, corresponden al proceso lógico

común que se expresa como “depende de”. Este proceso lógico se aplica a todo lo que

tiene relación a un resultado o efecto sea este medible o no en forma cuantitativa.

110

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el

valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros

cúbicos consumidos en el mes; el valor de un departamento que depende del número

de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende

de la hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su duración; el

costo de enviar una encomienda que depende de su peso; la estatura de un niño que

depende de su edad; Las entradas del cine: Función que relaciona el coste de las entradas con

el número de personas que van a ver la película.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con

los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

x -------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f

(de función). f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 ó f(x) = x2 .

Así, f (3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f (3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.

Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso

expresado en kilos

X Y

Marcela 55

Pablo 88

Sergio 62

Jorge 88

René 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la entrada o

variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y) constituye lo que

se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede

tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas

diferentes tengan el mismo peso.

111

B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente) y

el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más

3".

x -------> 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

X Y

-1 ------------> 1

0 -------------> 3

1 -------------> 5

2 -------------> 7

Estos ejemplos van introduciendo la noción de función: se pretende que todos y cada

uno de los elementos del primer conjunto están asociados a un y sólo a un elemento

del segundo conjunto. Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en

X sin su correspondiente elemento en Y. Un y sólo a un significa que a un mismo

elemento en X no le puede corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar la siguiente definición formal:

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X

exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.

Formas de expresar una función

Hay varias formas de expresar una función:

Mediante un enunciado.

Mediante una expresión algebraica.

Mediante una gráfica.

La variable independiente puede ser: Discreta: Si los valores que toma van dando saltos. Su gráfica está formada por puntos separados. Por ejemplo, la variable "número de bolígrafos que compramos en una papelería".

Continua: Si los valores que toma no dan saltos. Su gráfica está formada por trazos. Por ejemplo,

la variable "peso de una persona".

Funciones y gráficas

1. La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que

vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

112

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?

b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?

c) ¿A qué altura se encuentra el nido?

d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?

e) ¿Qué altura máxima alcanza el águila en su vuelo? ¿Y la mínima?

f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

2. Poner un anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de $0.50 y $0.05 por cada palabra.

a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".

b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).

c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?

d) Encuentra una fórmula que exprese esta función.

113

Solución

a) Tabla de valores:

x 0 1 2 3 4 5 6

y 50 55 60 65 70 75 80

b) Representación gráfica:

c) Discreta.

d) (céntimos de $)

Si dos variables, x y y, están relacionadas de tal forma que, para cada valor asignado

a x, queda determinado un valor de y, se dice entonces que y esta en función de x. A

la variable que se le asignan valores (x) se le denomina variable independiente,

pues esta puede tomar cualquier valor; por lo tanto, a la otra se le conoce como

variable dependiente, ya que el valor que esta adquiera dependerá del valor que se

le asigne a la variable independiente.

Una función responde a una regla en la que se establece la relación existente entre las

variables x y y, de tal manera que, conociendo los valores asignados a x, es posible

obtener valores para y, y representar estos gráficamente.

Por ejemplo:

y = 2x +3

1= x -1

114

En este apartado se representarán, en forma grafica, las funciones lineales o de primer

grado y las funciones cuadráticas o de segundo grado.

Una función lineal o de primer grado se caracteriza porque el termino x no tiene

exponente 1.

Ejemplos de este tipo de función son:

y = 3x - 1; y = -x + 2; y = -2x - 4; y = 4x + 1, etcétera.

Para obtener la grafica de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular,

es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las

operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a

continuación.

Función: y = -2x + 5, completa la tabla

X -3 -2 -1 0 1 2 3

y 11 9

Si la x vale -3, cuanto vale la y.

Y= -2(-3) +5 Y=6 + 5 Y= 11

Y= -2(-2)+5 Y=4 + 5 Y= 9

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráficamente.

La grafica de una función de primer grado se llama también función lineal porque su

grafica es siempre una línea recta.

Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde

m y b pueden tener valores positivos o negativos

Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el

término x con exponente; ejemplos de esta función son:

y = X2 +5; y = -3x2+1; y = 4x2-1; y = (x2 -3), etcétera.

115

Para obtener la grafica de la función y = (x2 - 3), se procede a tabular. Se dan valores

a la variable independiente x y, resolviendo las operaciones indicadas, se van

obteniendo los valores de la variable dependiente y. Así, se tiene que:

Función y = (x2 - 3), despejamos la x y queda x= completar la grafica

y 1 2 3 4 5

x 2 2.23

Cuando y vale -3, cuanto vale x

X= =2 x= = 2.23

Una vez tabulados los valores, estos se representan gráficamente de la siguiente

manera:

Actividad 6.12

Tabular y graficar las siguientes funciones:

Y= 2x + 3 y=3x-2 y=5x+1 y= x/2 y= x/2 + 2

X2=2y+4 x2=y-5 x2=y+6

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra

vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o

de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se

cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se

representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman

asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica

que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo

cual se representa como:

116

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente

procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes

hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto

de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes

hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza

cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos:

Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se

emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en

el plano cartesiano.

Dos ejes perpendiculares

entre sí.

117

Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se

encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la

izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean

positivas o negativas, respectivamente.

Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad.

Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe

Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos

oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras

hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que

caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:

Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en

donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

Actividad 6.13

En un plano cartesiano encuentra cuatro puntos importantes de la ciudad de

Guadalajara.

Encuentra en el plano cartesiano las siguientes coordenadas:

(3,2) (-5,7) (0,-4) (-3.6) (6,-3) (10, 6)

6.7 Progresiones aritméticas y geométricas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada

uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado

diferencia que se representa por d .

Diferencia

d = an - an - 1

118

Término general de una progresión aritmética

an = a1 + (n - 1) · d

an = ak + (n - k) · d

Interpolación de términos

Sean los extremos a y b , y el número de medios a interpolar m .

Suma de n términos consecutivos

Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se

obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r , llamada razón .

Término general de una progresión geométrica

an = a1 · rn - 1

an = ak · rn - k

Interpolación de términos

Suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de n términos equidistantes

Ejercicios

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir

la progresión.

a 4 = 10; a 6 = 16

a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

119

1, 4, 7, 10, 13 , . . .

Interpolar t res medios ar i tmét icos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7, -12.

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27.

Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a1 = − 1; a 15 = 27;

an = a1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Hal lar los ángulos de un cuadri látero convexo, sabiendo que están en

progresión aritmética , s iendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= (a1 + a4) · 4/2

a4= a1 + 3 · 25

360= (a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo

que los lados del triángulo forman una progresión aritmética .

a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24 .

Calcula tres números en progresión aritmética , que suman 27 y siendo la suma

de sus cuadrados es 311/2.

Término central x

1º x - d

3º x + d.

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2

d = ± 5 / 2

13 / 2, 9, 23/2

23 / 2, 9, 13/2

El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la

progresión.

a2= 6; a5= 48;

an = ak · r n - k

48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

120

3, 6, 12, 24, 48,. . .

El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la

razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

a 1 = 3; a 8 = 384;

384 = 3 · r8-1; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.

S8 = (384 · 2 - 3) / (2 − 1) = 765

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24, 48

Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el

4º 8 € y así sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

a1= 1 r= 2; n = 20;

S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 €.

Actividad 6.14 El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.

El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el

producto de los 8 primeros términos.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

121

Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el

4º 8 € y así sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

6.8 Resolución de ecuaciones de primer grado

Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras. La letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. En la ecuación x + 2 = 9 la incógnita es x. La incógnita de una ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x Soluciones de una ecuación son los números que la verifican, es decir, los números

que convierten la ecuación en una igualdad de números cierta.

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones

Así la ecuación x + 4 = 12 sólo se verifica si x = 8. Se dice que 8 es la solución de la

ecuación

Términos de una ecuación son los sumandos que tienen cada miembro de la ecuación,

pueden ser términos en x, y términos independientes

Por ejemplo

La ecuación: 3x - 1 = x + 3

Primer miembro: 3x - 1

Segundo miembro: x + 3

Términos en x: 3x, x

Términos independientes: -1, 3

Transposición de términos: Pasar términos de un miembro a otro de una igualdad

según las siguientes reglas:

El término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando, y viceversa. Si

está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo, o viceversa

122

ECUACIONES DE LA FORMA a x + b = c, con a#0

Para resolver la ecuación: 2x + 7 = 13

1) Se deja el término en x en el primer miembro y los términos independientes se

pasan al segundo miembro: 2x = 13 - 7

2) Se reducen los términos semejantes: 2x = 6

3) Se despeja la incógnita: x = 6/2 x=3

Actividad 6.15

Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno de trabajo y comprueba cómo lo hacen tus compañeros:

2x + 8 = 18 b) 3x - 7 = 13 c) 4x - 12 = 8 d) -5x -20 = 10

e) 8x - 40 = 0 f) - 4x + 30 = 18 g) 3x - 6 = 0 h) - 3x - 2 = 4

ECUACIONES DE LA FORMA ax + b = cx + d

Para resolver esta ecuación 6 x - 4 = 3x + 2

1) Se pasan todos los términos en x a uno de los miembros de la ecuación, por

ejemplo al primero y se pasan los términos independientes al segundo miembro: 6x - 3x = 2 + 4

2) Se reducen los términos semejantes: 3x = 6

3) Se despeja la incógnita

Actividad 6.16 Resolver las ecuaciones siguientes: a) 2x - 3 = 4x – 7 b) 5x + 4 = 6x + 3 c) 6x - 1 = 8x – 5

d) 3x + 10 = 5x – 6 e) 4x + 1 = 9x – 64 f) 7x + 6 = 9x – 2

23

6x

123

ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Para resolver esta ecuación

2(7 - x) + 7x = 8 - 5(x - 1) + 8x + 4

1) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

14 - 2x + 7x = 8 - 5x + 5 + 8x + 4

2) Se trasponen los términos (los términos en x al primer miembro y los términos

independientes al segundo):

-2x + 7x + 5x - 8x = 8 + 5 + 4 - 14

3) Se reducen los términos semejantes:

2x = 3

4) Se despeja la incógnita:

Actividad 6.17 Resuelve las ecuaciones:

3 (x + 6) = 2 (x - 5); - 3 (2x + 5) = - 4 (-x + 2); 9 (x - 1) = 6 (x + 3)

5 (-2x + 6) = - 3 (-x + 3); - 2 (x + 7) = 2 (3x + 9); - 4(3x - 5) = -2 (x - 8)

ECUACIONES CON DENOMINADORES

Para resolver esta ecuación:

1) Se reduce a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores

2) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

5,12

3x

6

)2(.71

4

3

xx

12

214

12

12

12

9

xx

214129 xx

124

9x + 12 = 14x - 28

3) Se trasponen términos (los términos en x a un miembro y los términos

independientes al otro)

9x - 14x = -28 - 12

4) Se reducen términos semejantes:

-5x = -40

5) Se despeja la incógnita:

Actividad 6.18 Resuelve las siguientes ecuaciones

85

40

x

8272

5

x

x97

5

83

x

x524

3

14

x

x

927

15

x

x426

5

54

x

x

125

ANAYA Debernard, Salvador. Carrusel Matemático. México: Editorial Limusa Noriega, 1990. BATANERO, Carmen, et al. «Razonamiento Combinatorio en alumnos de secundaria». Educación Matemática, Vol. 8, Núm. 1. México: Grupo Editorial Iberoamérica, abril 1996, pp. 26-38. BRITTON, Jack e Ignacio Bello, Matemáticas Contemporáneas. México: Harla, 1982, 2a. edición. CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la Matemática Moderna, México: Trillas, 9a. reimpresión. REYES, Araceli, Sistemas numéricos I. México: Grupo Noriega Editores, 1993, Caps. 3, 4 y 5. FLORES Peñafiel, Alfinio. «La Criba de Eratóstenes. Una Conjetura y una Prueba». Educación. Matemática.Vol.5, Núm. 1. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1993. FLORES Peñafiel, Alfinio. “Nexos en el razonamiento proporcional. Palancas, media aritmética, Promedio ponderado, mezclas, porcentajes de bateo y velocidades”. Educación Matemática, Vol.7, Núm.2, agosto 1995. México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp.113-125. GRIMALDI, Ralph. Matemáticas discreta y combinatoria. México: Addison-Wesley iberoamericana, 1989. KLINE, Morris. Matemáticas para los estudiantes de Humanidades. 1a. edición español, México, Fondo de Cultura Económica, 1992. MEYER, Paul, Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EUA: Addison-Wesley iberoamericana, Edición revisada. PERELMAN, Y Matemáticas recreativa 1. México: Ediciones Martínez Roca S.A., 1991. PONCE, Rosa; RIVERA, Humberto. Aritmética y pre-álgebra. México: Editorial Mc Graw Hill, 1998, segunda edición. REYES, Araceli, Sistemas numéricos I. México: Grupo Noriega Editores, 1993, Caps. 3, 4 y 5. TAHAN, Malba. El hombre que calculaba. México: Noriega Editores, 1992. VALIENTE, Santiago. Algo acerca de los números lo curioso y lo divertido. México: Alhambra Mexicana, 1989, 1a edición. WAGEMANN, Ernst, El número detective, México, Breviarios 136, Fondo de Cultura económica, 1988. WENZELBURGER, Elfride. Calculadora Electrónica. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1993.

Links recomendados para consulta: http://www.disfrutalasmatematicas.com

http://www.profesorenlinea.cl

http://algebrabaldor.webcindario.com

http://math2me.com

BIBLIOGRAFÍA

=

+

- X

126

http://matematica.laguia2000.com

Videos http://www.metacafe.com/watch/3080349/sistemas_de_numeracion/

Sistemas de numeración

http://www.youtube.com/watch?v=KBv_Z01ge9I&feature=related

Conversión de unidades de medida

http://www.youtube.com/watch?v=RZ_i833AZ6w&feature=related

Divisibilidad

http://www.youtube.com/watch?v=jvjib50-gQY

mcm y mcd

http://www.youtube.com/watch?v=4zMaEK-2NIE&feature=related

Suma y resta de fracciones

http://www.youtube.com/watch?v=xe8JIPhA1rk

Conteo (principio multiplicativo)

http://www.youtube.com/watch?v=XSPWWIGjA4k&feature=related

Diagrama de árbol

http://www.youtube.com/watch?v=yk2Qkn11xFM&feature=related

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MATERIAL DE TRABAJO RECOLECTADO Y REALIZADO POR:

Profesor Efraín Álvarez Chávez

LIE Perla Yanet Manzo Hernández

Mtro. Roberto Rodríguez Nava