Matematicas II Bloque I
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MATEMÁTICAS II GRADO ADE
1Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
José Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica
Universidad de Alicante
GRADO ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
MATEMÁTICAS II
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
2Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
BLOQUE I
1. Algunos Conceptos Topológicos.
2. Funciones de varias variables. Dominio, rango.
3. Representaciones geométricas. Curvas de nivel.
4. Límites y continuidad. Propiedades.
5. Derivadas parciales de primer orden. Vector gradiente.
6. Regla de la cadena (derivada función compuestas).
7. Derivada direccional.
8. Funciones implícitas. Derivada de la función impícita.
9. Diferencial. Aproximación lineal.
10.Derivadas de orden superior. Matriz hessiana.
11.Desarrollo de Taylor de orden 2.
12.Formas cuadráticas. Signo de una forma cuadrática.
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
3Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
BLOQUE I
1. Algunos Conceptos Topológicos.
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Distancia Euclídea :
2 2 21 1 2 2 n n
n2
k kk 1
d x,y x y
d x,y (x y ) (x y ) ... (x y )
d x,y (x y )
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Denominamos Bola Abierta de centro y radio al conjunto de puntos:
na 0
n
n
B(a; ) x : d x,a
B(a; ) x : x a
Ejemplo:
2 2B( 0,0 ;1) (x,y): x y 1
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6Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
b
a
c
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Dado el conjunto decimos que es un punto
interior del conjunto S si y sólo si
nS a S
0 / B(a; ) S
Definición: Denominamos interior de un conjunto al conjunto de sus puntos interiores, es decir,
x xint(S) x S : 0 tal que B(x, ) S
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8Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos: 1S (x,y): y 3 x, -1 x 3
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9Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
22S (x,y): 0 x 4, x y
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10Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Dado el conjunto decimos que es un punto
frontera del conjunto S si y sólo si
nS na
n
0 B(a; ) S
0 B(a; ) \S
Definición: Denominamos frontera de un conjunto S al conjunto de sus puntos frontera, es decir,
nfr(S) S x S : 0 B(a; ) S B(a; ) \S
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
11Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos: 1S (x,y): y 3 x, -1 x 3
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
12Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
22S (x,y): 0 x 4, x y
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
13Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
nS Definición: Denominamos Clausura de un conjunto al conjunto
cl S S (S)
ncl(S) x : 0 tal que B(a; ) S
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14Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos: 1S (x,y): y 3 x, -1 x 3
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15Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
22S (x,y): 0 x 4, x y
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
16Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Dado el conjunto decimos que es un punto
aislado del conjunto S si y sólo si
nS a S
0 / B(a; ) S= a
Definición: Denominamos exterior de un conjunto al conjunto de sus puntos exteriores, es decir,
n nx xex t(S) x \ S : 0 tal que B(x, ) \ S
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Definición: Dado el conjunto es un conjunto abierto si y sólo sinS
x xa) x S 0 tal que B(x, ) S
b)S
Es decir:
- Todos los puntos del conjunto S son interiores.
S=int(S)
Nota: es un conjunto abierto.n
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Ejemplo:
2 2S (x,y) :1 y x 4; 3 x 3; 3 y 3
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Dado el conjunto es un conjunto cerrado si y sólo sinS
a) S =cl(S)
b) (S) S
c)S
Nota: es un conjunto cerrado.n
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
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Ejemplo:
2 2S (x,y) :1 y x 4; 3 x 3; 3 y 3
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21Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Dado el conjunto es un conjunto acotado si y sólo sinS
a) S B(0;M)
b) M>0 tal que x S x M
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22Jose Angel Silva Reus
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M
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Definición: Dado el conjunto es un conjunto compacto si y sólo si
nS
a) S es cerrado (S cl(S))yb) S está acotado (S B(0;M))
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24Jose Angel Silva Reus
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M
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BLOQUE I
2. Funciones de varias variables. Dominio, rango.
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Funciones de varias variables
Una función real de varias variables es una regla que a cada vector o punto del espacio euclídeoperteneciente a un conjunto determinado le asociaun número real.
: ( )
nf Dx f x
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos
xy
1
2 1 2 3 1 2 3
f (x,y) e
f (x ,x ,x ) ln x x x
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28Jose Angel Silva Reus
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Dominio
El dominio de una función es el conjunto de puntos del espacio para los que está definida la regla.
( )Dm f
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Recorrido, rango o imagen
El recorrido (rango o imagen) de una función es el conjunto de valores que puede tomar la función actuando sobre los puntos de su dominio
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Ejemplos:
Calculad el dominio y rango de las siguientes funciones
xy
1
2 1 2 3 1 2 3
f (x,y) e
f (x ,x ,x ) ln x x x
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BLOQUE I
3. Representaciones geométricas. Curvas de nivel.
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2 2f(x,y) x y
Representación gráfica.
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Representación gráfica.
2f(x,y) x y
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
f x dom(f) : f x
Ejemplo:
0
2
f(x,y) x y
f x,y : x y 0
f x,y : x y 2
Definición: Sea denominamos curva de nivel
al conjunto .
nf :
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2f x+y=-2
0f x+y=0 3f x+y=3
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0
1
f(x,y) xy
f x,y : xy 0 x,y : x 0 o y 0
f x,y : xy 1
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1 2 3 4 51
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1-5
-4
-3
-2
-1
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BLOQUE I
4. Límites y continuidad. Propiedades.
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0 >0 / x-a f x -A
0 >0 / x B a; f x -A
lim ( ) x a f x A
Límite de funciones de varias variables
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Propiedades del límite de funciones:
x a
n n
x a x a
x a x a x a
x a x a x a
lim g(x)g(x)
x a x a
x ax a
x a
f : ; g: ;
lim f(x) limf(x)
lim f(x) g(x) limf(x) limg(x)
lim f(x)g(x) limf(x)limg(x)
limf(x) limf(x)
limf(x)f(x)limg(x) limg(x)
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Definición: Sea decimos que f es una función continua
en el punto si y sólo si .
nf : a dom f
x alimf(x) f(a)
Ejemplo:
2
x,y 0,0
x 3lim 3xy 1
f(0,0) 3
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Propiedades de las funciones continuas:
n n
g(x)
f : ; g : ; f y g continuas en a.
1) f(x) es continua en a.
2) f(x) g(x) es continua en a.
3)f(x)g(x) es continua en a.
4) Si f(a) 0 y g(a) 0 f(x) es continua en a.
f(x)5) Si g(a) 0 es cog(x)
ntinua en a.
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6) Si f es continua en a y g(f(x)) es continua en a g es continua en f a
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Análisis de continuidad
i 1 i n ip (x ,...,x ,...,x ) x
Es una función continua en n
1,2
1p (1,2) 1
2p (1,2) 2
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45Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplo: Analizad la continuidad de las funciones
xy
1
2 1 2 3 1 2 3
f (x,y) e
f (x ,x ,x ) ln x x x
Analizamos la continuidad utilizando las propiedades de las funciones continuas.
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46Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
BLOQUE I
5. Derivadas parciales de primer orden. Vector gradiente.
6. Regla de la cadena (derivada función compuestas).
7. Derivada direccional.
8. Funciones implícitas. Derivada de la función impícita.
9. Diferencial. Aproximación lineal.
10. Derivadas de orden superior. Matriz hessiana.
11. Desarrollo de Taylor de orden 2.
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Sea denominamos derivada parcial de f en el punto
con respecto a la variable al límite (si existe)
1 i n 1 i nh 0
i
ih 0
i
f(a ,...,a h,...,a ) f(a ,...,a,...,a )f(a) limx h
f(a he ) f(a)f(a) limx h
nf :
ix
a
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Ejemplo:
1 2 2 2
h 0 h 01
h 01
xyf(x ,x )x y 1
f(0,0) f(0 h,0) f(0,0) f(h,0) f(0,0)lim limx h h
f(0,0) 0 0lim 0x h
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
49Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
1 21 2 2 2
1 2
h 02
2
2h 0 h 02
2h 02
x xf(x ,x )x x 1
f(1,1) f(1,1 h) f(1,1)limx h
1 h 132 1 hf(0,0) h(1 h)lim lim
x h 3h 2 1 h
f(0,0) (1 h) 1limx 93 2 1 h
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
50Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Cálculo de derivadas parciales.
Para calcular una derivada parcial se aplican los métodos de derivación de una variable. Por definición de derivada parcial, exceptuando la variable con respecto a la que se deriva, el resto se consideran constantes.
1 2 31 2 3 1 2 3
2 21 2
2 21 2 1 1
2 2 2 21 1 2 1 2
21 2 3
21 2 3 2 1
2 22 1 2 3 1 2 3
x x xx x x x x x1 2 3
1 23 3
x x 1ln x x 1 x 2x
x x x 1 x x 1
x x xx x x x x
x 2 x x x 2 x x x
x x xe e x x ex x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
51Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Interpretación de la derivada parcial.
Es análoga al caso de una variable.
i
f(a) 0x
Si la función f es creciente en un entorno del punto con
respecto a la variable .
a
ix
2 21 2 1
2 21 1 2 (1,1)(1,1)
ln x x 1 2x 2 0x x x 1 3
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
52Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Interpretación de la derivada parcial.
Es análoga al caso de una variable.
i
f(a) 0x
Si la función f es decreciente en un entorno del punto con
respecto a la variable .
a
ix
1 2 31 2 3
x x xx x x 2
1 2 ( 1,1,2)3 ( 1,1,2)
e x x e 2e 0x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
53Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Sea tal que existen todas su derivadas parciales
en el punto . Denominamos gradiente de la función f en el punto al vector de
todas sus derivada parciales evaluadas en el punto.
nf :
a a
1 2 i n
f a f a f a f af a , ,..., ,...,
x x x x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
54Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
11 2 3 2 2
2 3
1 2 3
1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3
1, 1,3
xf x ,x ,xx x 1
f 1, 1,3 f 1, 1,3 f 1, 1,3f 1, 1,3 , ,
x x x
2x x2x x1f 1, 1,3 , ,x x 1 x x 1 x x 1
1 2 3f 1, 1,3 , ,11 121 121
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
55Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Análogamente al caso de una variable también tenemos el concepto de derivadas parciales de orden superior.
2
2i i i
2 2
j i j i i j i j
3
k j i k j i
f(a) f(a)x x x
f(a) f(a) f(a) f(a) ; x x x x x x x x
f(a) f(a)x x x x x x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
56Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Teorema de Schwartz : Sea verificando que existentodas
sus derivadas parciales primeras y segundas en . Si
son funciones continuas en se verifica
que:
nf :
B(a; )
i
f(a)i 1,...,n x
B(a; )
2 2
j i i j
f(a) f(a) con i jx x x x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
57Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplo:
11 2 3 2 2
2 3
21 2 3 2
22 22 1 2 3
21 2 3 2
22 22 1 2 3
xf x ,x ,xx x 1
f x ,x ,x 2xx x x x 1
f x ,x ,x 2xx x x x 1
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
58Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Matriz Hessiana:
2 2 2
21 2 1 n 1
2 2 2
21 2 2 n 2
2 2 2
21 n 2 n 2
f a f a f a...
x x x x xf a f a f a
...Hf(a) x x x x x
... ... ... ...f a f a f a
...x x x x x
Si se verifican las condiciones del Teorema de Schwartz es una matriz simétrica.
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
59Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplo
2 21 2 1 2
2
22 1 23
11 22
1 2 1
1f(x ,x ) x xx
22x 4x xxHf(x ,x )
4x x 2x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
60Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Sea tal que existen todas sus derivadas
parciales primeras en .Decimos que f es diferenciable en el punto
si y sólo si
nf : B(a; )
1
1x a
f(x) f(a) f(a)(x a) E (x,a)
E (x,a)lim 0x a
1
1v 0
f(a v) f(a) f(a)v E (v,a)
E (v,a)lim 0v
a
Fórmula de Taylor de Primer Orden
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
61Jose Angel Silva Reus
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Fórmula de Taylor de Segundo Orden
2
22x a
1f(x) f(a) f(a)(x a) (x a)'Hf a (x a) E (x,a)2
E (x,a)lim 0x a
2
22v 0
1f(a v) f(a) f(a)v v 'Hf a v E (v,a)2
E (v,a)lim 0v
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
62Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Definición: Sea denominamos derivada f en el punto
con respecto a la dirección del vector al límite (si existe)
h 0
f(a hv) f(a)f ' a;v limh
nf :
va
Definición: Sea denominamos derivada direccional de f en el punto
con respecto al vector al límite (si existe)
h 0
vf(a h ) f(a)vvf ' a; lim
v h
nf :
va
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
63Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Si la función f es diferenciable en el punto a
n
ii 1 i
n
ii 1 i
f '(a;v) f(a)v
f af '(a;v) v
x
v vf ' a; f(a)v v
f av 1f '(a; ) vv v x
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
64Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ecuación del Plano Tangente
aSea f diferenciable en el punto . La ecuación del plano tangente al grafo
de la función de la función en el punto es a, f a
z f a f a x a
1 1 n n1 n
f a f az f a x a ... x a
x x
Nota: El vector normal al plano tangente es f a
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
65Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos:
Calculad la derivada según el vector y la derivada direccional.
11 2 3 2 2
2 3
1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3
(1,1, 1)
xf x ,x ,x f' 1,1,-1 ; 2,-2,1x x 1
2x x2x x1 1 2 2f 1,1, 1 , , , ,x x 1 3 9 9x x 1 x x 1
Plano tangente en el punto (1,1,-1)
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
66Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Regla de la cadena. Derivada de la función Implícita
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
67Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
2f :
f(x,y) f(x,y)df(x,y) dx dyx y
x(t) e y(t)
g(t)=f(x(t),y(t))
dg df(x,y) f(x,y) dx f(x,y) dy dx dyf(x(t),y(t)) ,dt dt x dt y dt dt dt
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
68Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
2f :
f(x,y) f(x,y)df(x,y) dx dyx y
x(u,v) e y(u,v)
g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))
g f(x,y) f(x,y) x f(x,y) y x yf(x(u,v),y(u,v)) ,u u x u y u u u
g f(x,y) f(x,y) x f(x,y) y f(x(uv v x v y v
x y,v),y(u,v)) ,v v
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
69Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
n
1 2 n 1 2 n1 2 n
i
1 2 n 1 n1 n
1 2 n
f :
f(x) f(x) f(x)df(x ,x ,...,x ) dx dx ... dxx x x
x (t) i=1,...,n
g(t)=f(x(t))
dx dx dx dx dxdg df(x) f(x) f(x) f(x)... f(x (t),...,x (t)) ,...,dt dt x dt x dt x dt dt dt
En general
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
70Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
2
1 n 1 n1 n
i 1 m
1 1 m n 1 m
1 n 11 1 m n 1 m
j j 1 j n j j
f :
f(x) f(x)df(x ,...,x ) dx ... dxx x
x (u ,...,u )
g(u)=f(x (u ,...,u ),... ,x (u ,...,u ) )
x x xg f(x) f(x) f(x)... f(x (u ,...,u ) ,...,x (u ,...,u ) ) ,...,u u x u x u u
n
j
xu
En general
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
71Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Derivación Implícita
n
1 2 n
1 2 n1 2 n
k 1 k 1 k 1 n
j1 k n
1 j j j k j n j
i
j
j
f :
f(x ,x ,...,x ) C
f(x) f(x) f(x)dx dx ... dx 0x x x
x (x ,...,x ,x ,...,x )
xx x xf(x) f(x) f(x) f(x)... ... ... 0x x x x x x x x
x 0 i j (i,j k)x
f(x) fx
jk k
k j j
k
f(x)xx x(x) 0 f(x)x x xx
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
72Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Interpretación de las derivadas direccionales.
Aproximación lineal de Primer Orden.
Aproximación de Segundo Orden.
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73Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Interpretación del signo de una derivada parcial y direccional.
Si la derivada parcial o direccional tiene signo positivo entonces la función crece si los valores de la variable aumentan en la dirección del vector en el que se calcula la derivada.
Si la derivada parcial o direccional tiene signo negativo indica que la función decrece si los valores de la variable aumentan en la dirección del vector en el que se calcula la derivada.
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74Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos
1 2 3 1 2 3
1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3
f(x ,x ,x ) x x x
1 1 1f(x ,x ,x ) , ,2 x x x 2 x x x 2 x x x
f(1,4, 1) 2
1 1 1f(1,4, 1) , , (0,0,0)4 4 4
f((1,4, 1) (1,0,0)) f(2,4, 1) 5 f(1,4, 1) 2
f((1,4, 1) (0,1,0)) f(1,5, 1) 5 f(1,4, 1) 2
f((1,4, 1) (0,0,1)) f(1,4,0) 5 f(1,4, 1) 2
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75Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos
f '[(1,4, 1);(1,1, 1)] f(1,4, 1) (1,1, 1) 1 0
f((1,4, 1) (1,1, 1)) f(2,5, 2) 5 f(1,4, 1) 2
f '[(1,4, 1);(1, 2, 1)] f(1,4, 1) (1, 2, 1) 1 0
f((1,4, 1) (1, 2, 1)) f(2,2, 2) 2 f(1,4, 1) 2
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Interpretación del valor de una derivada parcial
El valor de una derivada parcial con respecto xi, con signo positivo, nos aproxima cuanto aumenta la función si se incrementa en una unidad el valor de la variable xi .
El valor de una derivada parcial con respecto xi, con signo negativo, nos aproxima cuanto disminuye la función si se incrementa en una unidad el valor de la variable xi .
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Ejemplos
1 2 3 1 2 3
1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3
i
f(x ,x ,x ) x x x
1 1 1f(x ,x ,x ) , ,2 x x x 2 x x x 2 x x x
f(1,4, 1) 2
f 1,4,-11 1 1 1f(1,4, 1) , , (0,0,0); 4 4 4 x 4
1f((1,4, 1) (1,0,0)) f((1,4, 1)) 5 2 0'236 0'254
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78Jose Angel Silva Reus
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11 2 3 2 2
2 3
1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3
(1, 1,3)
2
xf x ,x ,x f' 1,1,-1 ; 2,-2,1x x 1
2x x2x x1 1 2 2f 1,1, 1 , , , ,x x 1 3 9 9x x 1 x x 1
f 1,1, 1 2f((1,1, 1) (0,1,0)) f 1,1, 1 0'17 0'22x 9
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Interpretación del valor de una derivada direccional
El valor de , con signo positivo, nos aproxima cuanto
aumenta la función si nos desplazamos , es decir, uu
uf ' x,u
u uf x f x f ' x,u u
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80Jose Angel Silva Reus
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Interpretación del valor de una derivada direccional
El valor de , con signo negativo, nos aproxima cuanto
disminuye la función si nos desplazamos , es decir, uu
uf ' x,u
u uf x f x f ' x,u u
MATEMÁTICAS II GRADO ADE
81Jose Angel Silva Reus
Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Ejemplos
1 2 3 1 2 3
1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3
f(x ,x ,x ) x x x
1 1 1f(x ,x ,x ) , ,2 x x x 2 x x x 2 x x x
f(1,4, 1) 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1f(1,4, 1) , , ; f' 1,4, 1 ; , , , , , ,4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4
1 1 1f (1,4, 1) , ,3 3 3
1 1 1f(1,4, 1) 2'236 f' 1,4, 1 ; , , 0'253 3 3
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11 2 3 2 2
2 3
1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3
(1,1, 1)
xf x ,x ,x x x 1
2x x2x x1 1 2 2f 1,1, 1 , , , ,x x 1 3 9 9x x 1 x x 1
1 1 1 3f ' 1,1, 1 ; , ,93 3 3
1 1 1 1f((1,1, 1) , , ) f 1,1, 1 0'21 f ' 1,1, 1 ;3 3 3 3
1 1, , 0'203 3
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Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante
Aproximación Lineal
o
De Primer Orden
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Para el caso de una variable la aproximación lineal se realiza con los valores de la recta tangente.
En el caso de varias variables la aproximación lineal, o de primer orden, se realiza con los valores del plano tangente.
Por tanto si x B a;
f(x) f(a) f(a)(x a)
La aproximación es mejor para épsilon pequeño
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Aproximación Cuadrática
o
De Segundo Orden
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Para el caso de una variable la aproximación lineal se realiza con la fórmula de Taylor de Segundo Orden.
En el caso de varias variables se realiza de forma análoga.
Por tanto si
x B a;
La aproximación es mejor para épsilon pequeño
1f(x) f(a) f(a)(x a) (x a)'Hf a (x a)2
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Ejemplo
2 2
2 2
f(x,y) x y
f(1,1) 2,2
2 0Hf 1,1
0 2
f(1'01,1'01) 2'0402 2 0'02 0'02 2'0400
f(1'01,1'01) 2'0402 2 0'02 0'02 2(0'01) 2(0'01) 2'0404