Matemáticas I

UNIVERSIDAD DE GRANADA

Grado en Ingeniería

de Edificación MATEMÁTICAS I

Curso: 2012/2013 Clase: Primero - Grupo: F

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TEORÍA



Indice general

Tema 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1

1. Matrices. Calculo matricial 1

2. Transformaciones elementales de una matriz. Rango 8

3. Matrices regulares. Matriz inversa 12

4. Determinantes 14

5. Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouche-Frobenius 18

6. Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales: metodo de eliminacion

gaussiana 21

TEMA 1

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. Matrices. Calculo matricial

1.1. Matrices.

D 1.1. Una matriz de orden n ×m es una caja de numeros que contiene n filas

y m columnas.

Las matrices se denotaran con mayusculas y sus elementos con minusculas y dos subındi-

ces que indican la fila y la columna en que esta el elemento.

A =

a11 a12 ... a1m

... ... ... ...

an1 an2 ... anm

= (ai j)

Denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n ×m por Mn×m(IR).

Ejemplo

A =

4 2 8 2

0 −1 4 3

1 7 1 −5

La matriz A es una matriz de orden 3 × 4 Consideremos algunos elementos. Por

ejemplo los coeficientes a12 = 2, a32 = 7, a34 = −5

1.2. Tipos de Matrices.

Una matriz cuadrada de orden n es una matriz que tiene n filas y n

columnas.

1

2 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

A =

1 2 3

0 −1 4

1 7 1

Un vector fila es aquel que tiene una fila y m columnas: su dimension es

1 ×m

U =(

1 2 3 4)

Un vector columna es aquel que tiene nfilas y una columna: su dimension

es n × 1

V =

4

3

2

1

Dentro de las matrices cuadradas:

• Las matrices diagonales son aquellas cuyos elementos fuera de la

diagonal principal son nulos.

Ejemplo:

−2 0 0

0 7 0

0 0 4

• Las matrices triangulares superiores son aquellas cuyos elemento

por debajo de la diagonal son nulos.

Ejemplo:

x x x

0 x x

0 0 x

• Las matrices triangulares inferiores son aquellas cuyos elemento

por encima de la diagonal son nulos. Ejemplo:

x 0 0

x x 0

x x x

1. MATRICES. CALCULO MATRICIAL 3

Ejemplo:

2 0 0

0 7 0

1 −3 4

• La matriz identidad es aquella cuyos elementos de la diagonal son

unitarios y el resto son nulos.

Ejemplo:

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.3. Calculo matricial.

1.3.1. Suma. Si A =(

ai j)

m×ny B =

(

bi j)

m×nentonces la matriz suma se

obtiene de la siguiente forma

A + B =(

ai j + bi j)

N 1.2. Solo se pueden sumar matrices de mismo orden.

E 1.3.

1 2

3 4

+

5 6

7 8

=

6 8

10 12

Propiedades:

• La suma es asociativa:

(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C

• La suma es conmutativa:

A + B = B + A

• El elemento neutro es la matriz nula:

A + 0 = A

• Cada matriz tiene un elemento opuesto:

A + (−A) = A −A = 0


1.3.2. Producto por un escalar.

D 1.4. Sea una matriz A ∈ Mn×m(IR) y un escalar λ ∈ IR. El

producto escalar de λ por A es la matriz

λA = (λai j)

Ejemplo:

Sea la matriz:

A =

1 −1

2 0

3 4

entonces la matriz 3A es:

3A =

3 −3

6 0

9 12

λ = 3

Propiedades:

• λ = 1 es el elemento neutro:

1A = A

• La multiplicacion por un escalar es distributiva con respecto a la

suma:

λ (A + B) = λA + λB

Ejemplo:

2

1

7

+

−1

0

= 2

0

7

=

0

14

2

1

7

+ 2

−1

0

=

2

14

+

−2

0

=

0

14

Ejercicio: Encontrar 2 matrices A y B que verifican:

8A − 5B =

3 2 0

−2 1 3

0 3 −3


2A − B =

1 −4 0

2 −1 3

0 1 −1

1.3.3. Producto matricial.

D 1.5. Sea A = (ai j) ∈Mn×m(IR) y B = (b jk) ∈Mm×p(IR). Entonces

el producto AB ∈Mn×p(IR) es de dimension n × p y esta dado por:

AB = (cik) =

m∑

j=1

ai jb jk

= (ai1b1k + ai2b2k + ai3b3k + . . . + aimbmk)

Ejemplos:

1 3

2 4

−1 0

4 2

=

11 6

14 8

(

1 2 3)

1

−2

3

= 1 · 1 + 2 (−2) + 3 · 3 = 6

1

−2

3

(

1 2 3)

=

1 2 3

−2 −4 −6

3 6 9

Ejemplo:

7 4 1

0 1 1

1 −1 2

2 1 0

3 4 1

=

18 1 15

5 5 1

Propiedades:

• El producto de matrices es asociativo:

(AB)C = A(BC) = ABC

• El producto de matrices es distributivo:

A(B + C) = AB + AC

• Cuando se multiplica un producto de matrices por un escalar, no

importa la posicion del escalar :

(λ · A)B = A(λ · B) = λ · (AB)


• El elemento neutro del producto de matrices es la Matriz Identidad:

AI = IA = A

• El producto de 2 matrices no es conmutativo: AB , BA en general

Ejemplo:

1 2

3 4

2 0

1 −1

=

4 −2

10 −4

y tenemos

2 0

1 −1

1 2

3 4

=

2 4

−2 −2

1.3.4. Traspuesta de una matriz.

D 1.6. Sea A ∈ Mn×m(IR) una matriz. La matriz traspuesta de

A que denotaremos por At es la matriz de dimension m × n que se obtiene

permutando las filas y columnas de A. Si A = (ai j), entonces

At = (a ji) ∈Mmxn

Ejemplos:

A =

1 4

2 5

3 6

At =

1 2 3

4 5 6

A =

1 2 3

4 −7 1

0 0 1

At =

1 4 0

2 −7 0

3 1 1

D =

1 0 0

0 −1 0

0 0 4


Dt =

1 0 0

0 −1 0

0 0 4

= D

Propiedades:

•

(A + B)t = At + Bt

•

(λA)t = λ(A)t

•

(At)t = A

•

(AB)t= BtAt

• Observacion

(AB)t , AtBt

Ejemplo: Sea

A =(

1 2 3)

B =

0

1

1

AB =(

1 2 3)

0

1

1

= 5

y

Bt =(

0 1 1)

At =

1

2

3

(AB)t = 5

BtAt = 5 = (AB)t


AtBt =

1

2

3

(

0 1 1)

=

0 1 1

0 2 2

0 3 3

, (AB)t

Ejercicio:

Calcula AtBt y (BA)t.

Las matrices simetricas son aquellas que coinciden con su su traspuesta

At = A.

Ejemplo:

2 3 4

3 7 −3

4 −3 4

Las matrices antisimetricas son aquellas cuya opuesta coinciden con su

traspuesta At = −A.

Ejemplo:

0 3 4

−3 0 −3

−4 3 0

N 1.7. La matriz identidad es triangular superior, inferior, simetrica y diagonal.

Ejercicio

Sea la matriz

B =

2 0

1 −1

encuentra unamatrizA antisimetrica y otra matriz S simetrica tales que B = A+S.

2. Transformaciones elementales de una matriz. Rango

2. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE UNA MATRIZ. RANGO 9

2.1. Transformaciones Elementales.

1. Permutar 2 filas: se intercambian dos filas

1 2 3

4 5 6

7 8 9

F1 ↔ F3

7 8 9

4 5 6

1 2 3

2. Multiplicar los elementos de una fila por un escalar distinto de cero.

1 2 3

0 1 7

3 2 1

F2= 3F2 →

1 2 3

0 3 21

3 2 1

3. Sumarle a una fila otra fila previamente multiplicada por un escalar.

1 2 3

0 1 7

3 2 1

F3 = F3 + 2F1 →

1 2 3

0 1 7

5 6 7

D 2.1. Dos matrices son equivalentes si una se deduce de otra por una o varias

transformaciones elementales.

2.2. Algoritmo de Gauss.

2.2.1. Matriz escalonada.

D 2.2. Diremos que una matriz es escalonada por filas si verifica las tres

siguientes condiciones:

Si hay filas de ceros, son las ultimas de la matriz.

El pivote de cada fila no nula es uno.

El pivote de cada fila esta a la derecha del de la fila anterior.

Ejemplo de matriz escalonada.

1 2 3 4

0 1 6 −1

0 0 0 1


2.2.2. Algoritmo de Gauss. Sea una matriz A ∈ Mn×m(IR). El proposito del

algoritmo de Gauss es encontrar mediante transformaciones elementales una

matriz equivalente a A que tenga una forma escalonada con uno como primer

elemento en cada fila no nula.

Primer paso: Hacer ceros en la primera columna por debajo del pivote.

Buscamos una fila con el primer elemento no nulo (pivote). Ejemplo:

0 1 2 1

1 1 2 0

2 1 0 1

F1 ↔ F2

1 1 2 0

0 1 2 1

2 1 0 1

F3= F3−2F1 →

1 1 2 0

0 1 2 1

0 −1 −4 1

Segundo paso: Hay que hacer ceros por debajo del pivote en la segunda

columna.

1 1 2 0

0 1 2 1

0 −1 −4 1

F3= F3+F2 →

1 1 2 0

0 1 2 1

0 0 −2 2

Tercer paso: Normalizamos la tercera fila.

1 1 2 0

0 1 2 1

0 0 −2 2

F3=F3−2→

1 1 2 0

0 1 2 1

0 0 1 −1

F2= F2−2F3 →

1 1 2 0

0 1 0 3

0 0 1 −1

Cuarto paso: Gauss-Jordan: hacemos ceros encima del pivote en la tercera

columna.

1 1 2 0

0 1 2 1

0 0 1 −1

F1 = F1 − 2F3

F2 = F2 − 2F3→

1 1 0 2

0 1 0 3

0 0 1 −1

Ultimo paso: hacemos ceros encima del pivote en la segunda columna.

1 1 0 2

0 1 0 3

0 0 1 −1

F1 = F1 − F2 →

1 0 0 −1

0 1 0 3

0 0 1 −1

2. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE UNA MATRIZ. RANGO 11

N 2.3. Despues de aplicar el algoritmo de Gauss (basico), obtenemos una matriz

equivalente a la matriz A en la forma escalonada y si seguimos con el algoritmo de

Gauss-Jordan, obtendremos una matriz escalonada reducida equivalente a la matriz A.

Ejercicio: Buscar la forma reducida de la matriz

3 6 −6 0

1 1 2 9

2 4 −3 4

2.3. Rango de una matriz.

D 2.4. Llamamos rango de una matriz A al numero de filas no nulas que tiene

una matriz escalonada equivalente a A.

Procedimiento para hallar el rango de una matriz : aplicamos el algoritmo de

Gauss hasta obtener una forma escalonada. Podemos parar antes de aplicar Jor-

dan.

Ejemplo Aplicamos el algoritmo de Gauss hasta obtener una forma escalonada.

A =

1 2 3 4

−1 −1 1 1

1 3 7 9

F2 = F2 + F1

F3 = F3 − F2

obtenemos:

1 2 3 4

0 1 4 5

0 1 4 5

F3 = F3 − F2 →

1 2 3 4

0 1 4 5

0 0 0 0

La matriz reducida es escalonada y tiene 2 filas no nulas por lo cual el rango de A

es 2

rg(A) = 2

Propiedades

rg(0) = 0

rg(In) = n


rg(λA) = rg(A) si λ , 0

Si A ∈Mnxm, rg(A) ≤ min(n,m).

rg(AB) ≤ min(rg(A), rg(B)).

rg(A + B) ≤ rg(A) + rg(B)

Ejercicio: Determina el Rango de A en funcion del parametro α

A =

α 1 1

1 α 1

1 1 α

3. Matrices regulares. Matriz inversa

D 3.1. Una matriz cuadrada A ∈Mn×n(IR) es regular si su rango es n, es decir

es igual al numero de filas y de columnas de A.

N 3.2. Si se aplica la reduccion de Gauss-Jordan a una matriz regular, se obtiene la

identidad.

D 3.3. Sea A ∈Mn , la matriz B es inversa de A si verifica

AB = BA = I

La matriz inversa de A se denota A−1

T 3.4. Una matriz A ∈Mn es regular si y solo si A es invertible.

D 3.5. Metodo para calcular la inversa de una matriz.

Ejemplo

Calcular la inversa de la matriz

A =

1 2 0

1 1 2

1 0 2

3. MATRICES REGULARES. MATRIZ INVERSA 13

Escribimos la matriz A a la izquierda y la identidad a la derecha:

1 2 0

1 1 2

1 0 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F2 = F2 − F1

F3 = F3 − F1

1 2 0

0 −1 2

0 −2 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

−1 1 0

−1 0 1

F2 = −F2

1 2 0

0 1 −2

0 −2 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

1 −1 0

−1 0 1

F3 = F3 + 2F2

1 2 0

0 1 −2

0 0 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

1 −1 0

1 −2 1

F3 = F3/−2,

1 2 0

0 1 −2

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

1 −1 0

−1/2 1 −1/2

F2 = F2 + 2F3

1 2 0

0 1 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

0 1 −1

−1/2 1 −1/2

1 2 0

0 1 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

0 1 −1

−1/2 1 −1/2

F1 = F1 − 2F2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 2

0 1 −1

−1/2 1 −1/2

Cuando la matriz obtenida a la izquierda es la identidad, la matriz a la derecha es

la inversa de A.

Entonces la matriz inversa de A es

A−1 =

1 −2 2

0 1 −1

−1/2 1 −1/2

y tenemos

AA−1 = I

Ejercicio: Calcular AA−1.

N 3.6. Una matriz A que tiene un rango inferior a n no tiene inversa.

Ejercicio:


Buscar la matriz inversa de

1 0

0 0

La matriz A ∈M2×2(IR) tiene una forma escalonada y su rango es 1. Entonces A no

es inversible. Si intentamos buscar la inversa de A

1 0

0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0

0 1

La segunda fila de A es nula por lo cual no podemos encontrar un pivote.

Ejercicio

Calcular la inversa de la matriz

A =

1 2 3

2 5 5

1 2 4

P 3.7. Si A, B ∈Mn son invertibles

(AB)−1 = B−1A−1

Si A ∈Mn es invertible,At es invertible y

(At)−1 = (A−1)t

D 3.8.

AB(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I

I = (AA−1)t = (A−1)tAt

4. Determinantes

Un determinante es la aplicacion

det : Mn×n(IR)→ IR

A 7−→ det(A)

que verifica las siguientes propiedades:

4. DETERMINANTES 15

P 4.1. Si la matriz A es diagonal o triangular superior o triangular

inferior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

El determinante es lineal por filas (o columnas)

det(F1, F2, ..., Fi + Gi, ..., Fn) = det(F1, F2, ..., Fi, ..., Fn) + det(F1, F2, ...,Gi, ..., Fn)

det(F1, F2, ..., λFi, ..., Fn) = λdet(F1, F2, ..., Fi, ..., Fn)

Si se intercambian 2 filas o 2 columnas en un determinante este cambia de signo.

det(F1, F2, . . . , Fi, F j, . . . , Fn) = −det(F1, F2, . . . , F j, Fi, . . . , Fn)

Si a una fila (resp. columna) se le suma una combinacion lineal de otras filas

(resp. columna), el valor del determinante no cambia.

El determinante de un producto matricial es el producto de los determinantes :

det(AB) = det(A) det(B)

El determinante de la matriz inversa de una matriz es el inverso del determinante

de la matriz:

det(A−1) =1

det(A)

El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

det(At) = det(A)

N 4.2. Estas propiedades valen lo mismo para las columnas

El determinante de una matriz regular no es nulo . Si el determinante de una

matriz es nulo, la matriz no es regular.

Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es nu-

lo.Ejercicio: Porque ?

Utilizando las propiedades precedentes, es muy facil calcular un determinante

utilizando el algoritmo de Gauss

Ejemplos:

1. Si

A =

1 0 7

0 2 1

0 0 −4

, det(A) = (1)(2)(−4) = −8

ya que la matriz A es triangular superior.


2.

D =

−7 0 0

0 −3 0

0 0 2

,det(D) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−7 0 0

0 −3 0

0 0 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−7)(−3)(2) = 42

ya que la matriz D es diagonal.

3. Sacamos 5 de la segunda columna∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 5 −2

7 10 1

3 25 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

7 2 1

3 5 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4. Utilizamos la linealdad con respecto a la primera fila∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3 5

2 7 y

1 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 7 1

2 7 y

1 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 10 6

2 7 y

1 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ejercicio:Calcular el siguiente determinante utilizando el algoritmo deGauss por

filas y luego por columnas.∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 5 −2

7 10 1

3 25 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

7 2 1

3 5 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Para calcular este ultimo determinante, aplicamos el algoritmo de Gauss por Filas∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

7 2 1

3 5 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

F2 = F2 − 7F1

F3 = F3 − 3F1=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

0 −5 15

0 2 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

F2 = F2/−5

= −5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

0 1 −3

0 2 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

F3 = F3 − 2F2 = −5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

0 1 −3

0 0 12

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−5)(1)(1)(12) = −60

Ahora vamos a calcular estemismodeterminante aplicando el algoritmo deGauss

por columnas∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −2

7 2 1

3 5 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

C2 = C2 − C1

C3 = C3 + C1=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

7 −5 15

3 2 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

C2 = C2/−5

4. DETERMINANTES 17

= −5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

7 1 15

3 −2/5 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

C3 = C3 − 15C2 = −5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0

7 1 0

3 −2/5 12

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−5)(1)(1)(12) = −60

4.1. Calculo de determinantes en pequenas dimensiones.

Si n = 1, det(a) = a

Si n = 2, el determinante se obtiene multiplicando los elementos de la

diagonal y restandole el producto de los elementos de la otra diagonal

det(T) =a b

c d=ad-bc

Ejemplo

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2

7 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1.(−3) − 7.(2) = −17

Para n = 3 podemos calcular los determinantes con la formula de Sarrus

det(A) =

a b c a b

d e f d e

g h i g h

Multiplicamos los elementos diagonales y sumamos los rojos y restamos

los azules

det(A) = aei + b f g + cdh − (gec + h f a + idb)

Ejercicio Calcular el determinante con la formula de Sarrus

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 5 −2

7 2 1

3 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


5. Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouche-Frobenius

D 5.1. Una ecuacion lineal es una ecuacion de la forma:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

donde a1, a2, ..., an son los coeficientes, x1, x2, ..., xn son las incognitas y b es el segundo

miembro.

Ejemplos:

Una ecuacion linal con dos incognitas:

2x + 3y = 4 .

Una ecuacion linal con cuatro incognitas:

−2x + 3y − z + t = 2 .

Ecuaciones no lineales

3x2 +3y = 4

cos x +2x = 1.

D 5.2. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:

Si consideramos un sistema de n ecuaciones lineales con m incognitas x1, ..., xm, los ai j son

los coeficientes del sistema y los b j son los terminos del segundo miembro.

a11x1 + a12x2 + ... + a1mxm = b1

...

an1x1 + an2x2 + ... + anmxm = bn

Ejemplos de sistemas:

Sistema de 2 ecuaciones con dos incognitas x y y.

2x + 3y = 1

−x + y = 2

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS 19

Sistema de 2 ecuaciones con 3 incognitas x, y y z:

x + y − z = 0

x − y + 2z = 4

Sistema de 4 ecuaciones con dos incognitas x y y.

2x − 3y = 1

−x + y = 2

x − 2y = 3

3x − 4y = −1

5.1. Representacion matricial. Un sistema lineal se puede representar ma-

tricialmente

Ejemplo

2 3

−1 1

x

y

=

1

2

o de manera mas concisa

2 3

−1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

2

Un sistema de dos ecuaciones con tres incognitas :

1 1 −1

1 −1 2

x

y

z

=

0

4

⇒

1 1 −1

1 −1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0

4

De forma general podemos considerar el sistema

AX = b

donde A es la matriz de coeficientes, X es vector de incognitas y b el vector de

terminos independientes, es decir

a11 a12 ... a1m

... ... ... ...

an1 an2 ... anm

x1

...

xm

=

b1

...

bn


D 5.3. Llamamos (A|b) a la matriz ampliada a la matriz de los coeficientes del

sistema A que ampliamos de una columna con el vector de los terminos independientes b.

Con la notacion de matriz ampliada (A|b), el sistema se escribe :

a11 a12 ... a1m

... ... ... ...

an1 an2 ... anm

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b1

...

bn

5.2. Solucion de un sistema lineal. Existen varios casos: el sistema tiene

Una unica solucion

x + y = 1

x − y = 0

2x = 1

x = y

x = 12

y = 12

una infinidad de soluciones

x + y = 1

2x + 2y = 2

5x + 5y = 5

Si restamos 2 veces la primera ecuacion a la segunda y 5 veces la primera

a la tercera, el sistema equivale a resolver la unica ecuacion

x + y = 1

Elegimos un parametro λ: Sea x = λ

λ + y = 1⇒ y = 1 − λ

Las soluciones del sistema son:

x = λ

y = 1 − λλ ∈ IR

Ninguna solucion

x + y = 1

x + y = 2⇒

No hay soluciones (1=2 es absurdo)

D 5.4. Segun el numero de soluciones que tiene, un sistema de ecuaciones

lineales es:

6. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA21

1. Compatible Determinado si tiene una unica solucion: S.C.D.

2. Compatible Indeterminado si tiene una infinidad de soluciones: S.C.I.

3. Incompatible si no tiene solucion: S.I.

Este teorema nos permite discutir y resolver los sistemas lineales

T 5.5. Teorema de Rouche-Frobenius

Sea el Sistema de Ecuaciones Lineales AX = b entonces

1) Si rg(A) = rg(A|b), el sistema de ecuaciones lineales es compatible S.C.

• Si el numero de incognitas es igual a rg(A), el sistema lineal es determinado

S.C.D.

• Si el numero de incognitas superior a rg(A), el SEL es indeterminado S.C.I.

y el numero de parametros para describir las soluciones es la diferencia entre

el numero de incognitas y el rango de A.

2) Si rg(A) < rg(A|b), entonces el SEL es incompatible S.I.

6. Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales: metodo de eliminacion

gaussiana

SeaAx = b un sistema de ecuaciones lineales. Hacemos las siguientes operaciones

elementales en el sistema lineal:

Permutar dos ecuaciones.

Multiplicar una ecuacion por un escalar no nulo.

Anadirle a una ecuacion una combinacion lineal de otras ecuaciones.

Aplicando estas 3 operaciones elementales, las soluciones del sistema lineal no

varian. El S.E.L. resultante es equivalente al sistema inicial. Entonces el procedi-

miento a seguir es el siguiente: Se escribe la matriz ampliada del sistema (A|b) y

se aplica el algoritmo de Gauss a esta matriz.

Ejemplo: Queremos resolver el sistema

x + y + 5z = 9

x + 2y + 7z = 5

x + 2y + 8z = 11


Es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas. La matriz ampliada del sistema

es

1 1 5

1 2 7

1 2 8

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

5

11

Primer paso Gauss: hacemos ceros en la primera columna

1 1 5

1 2 7

1 2 8

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

5

11

F2 = F2 − F1

F3 = F3 − F1→

1 1 5

0 1 2

0 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

−4

2

Segundo paso Gauss: hacemos ceros en la segunda columna por debajo

del pivote

1 1 5

0 1 2

0 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

−4

2

F3 = F3 − F2 →

1 1 5

0 1 2

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

−4

6

Tenemos rg(A) = rg(A|b) = 3. Entonces el sistema es Compatible. Ademas

rg(A) = noincognitas = 3, por tanto el sistema es Compatible Determina-

do, S.C.D.

Para determinar la solucion seguimos los pasos del metodo de Gauss-

Jordan.

Tercer paso: hacemos ceros en la tercera columna encima del pivote

1 1 5

0 1 2

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

−4

6

F1 = F1 − 5F3

F2 = F2 − 2F1→

1 1 0

0 1 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−21

−16

6

Cuarto paso: hacemos ceros en la segunda columna encima del pivote

1 1 0

0 1 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−21

−16

6

F1 = F1 − F2 →

1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−5

−16

6

La solucion del sistema es:

x = −5

y = −16

z = 6

6. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA23

Ejemplo: Queremos resolver el sistema:

x + y + 2z = 2

y + z = 1

2x + 2z = 2

Este sistema es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas. Escribimos la matriz

ampliada del sistema y hacemos el metodo de Gauss

1 1 2

0 1 1

2 0 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

2

1) Primer paso: hacemos ceros en la primera columna por debajo del

pivote

1 1 2

0 1 1

2 0 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

2

F3 = F3 − 2F1 →

1 1 2

0 1 1

0 −2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

−2

2) Segundo paso: hacemos ceros en la segunda columna por debajo del

pivote

1 1 2

0 1 1

0 −2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

−2

F3 = F3 + 2F2 →

1 1 2

0 1 1

0 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

0

La tercera fila de la matriz ampliada es nula. Tenemos rg(A) = 2 = rg(A|b)

por lo cual el sistema es Compatible.Hay 3 incognitas por lo cual necesita-

remos (numero de incognitas menos rango) un parametro para describir

las soluciones. El sistema es Compatible Indeterminado: S.C.I.

Rg(A) = 2

Rg(A |B) = 2

Si escogemos como parametro λ

z = λ

Entonces tenenos que resolver el sistema:

1 1

0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 − 2λ

1 − λ

F1 = F1 − F2 →

1 0

0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 − λ

1 − λ


Hay una infinidad de soluciones puesto que el parametro puede tomar cualquier

valor real:

x = 1 − λ

y = 1 − λ

z = λ

λ ∈ IR

Indice general

Tema 2. EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO Rn. 25

1. El espacio vectorial Rn 25

2. Combinacion lineal. Independencia lineal 26

3. Bases y dimension. 28

4. Cambio de base. 31

5. Subespacios vectoriales. 34

6. Estructura Euclıdea de Rn 43

7. Aproximacion por mınimos cuadrados 49

TEMA 2

EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO Rn.

1. El espacio vectorial Rn

Hay magnitudes fısicas tales como la longitud, el tiempo o la masa, que pueden

determinarse con un solo numero real. Sin embargo existen otras magnitudes

fısicas, tales como la fuerza o la velocidad, que no se pueden representar com-

pletamente por un numero real. Estas magnitudes se representan graficamente

mediante vectores en el plano o en el espacio.

D 1.1. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores,

dotado de dos operaciones , llamadas suma, +, y producto por un escalar, ·, y que es estable

para cada una de estas operaciones, es decir, que satisface las siguientes propiedades:

1. El vector nulo pertenece a V: 0 ∈ V.

2. La suma de dos vectores de V es un vector de V: si u, v ∈ V, entonces u + v ∈ V.

3. El producto de un vector de V por un escalar es un vector de V : si u ∈ V y

a ∈ R, entonces au ∈ V.

Propiedades La suma y el producto por un escalar tienen las siguientes propie-

dades:

1. La suma es asociativa : (u + v) + w = u + (v + w) para u, v,w ∈ V.

2. La suma es conmutativa: u + v = v + u para u, v ∈ V.

3. El vector nulo es elemento neutro para la suma : u + 0 = 0 + u = u para

u ∈ V.

4. Cada vector tiene un opuesto : u + (−u) = 0 para u ∈ V.

5. El producto por un escalar es distributivo para los escalares (a + b)u =

au + bu para u ∈ V, a, b ∈ R.

6. El producto por un escalar es distributivo para los vectores : a(u + v) =

au + av para u, v ∈ V, a ∈ R.

7. (ab)u = a(bu)para u ∈ V, a, b ∈ R.

25

26 2. EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO Rn.

8. 1u = u para u ∈ V.

Observese que la suma es una operacion interna mientras que el producto por un

escalar es una operacion externa.

En lo sucesivo el espacio vectorial considerado sera V = Rn, donde

Rn= {(x1, . . . , xn), x1, . . . , xn ∈ R} con la suma y el producto por un escalar usuales,

y a los valores x1, . . . , xn se le llamaran coordenadas del vector v.

Ejemplos de espacios vectoriales

R2=

{

(x, y), x, y ∈ R}

con la suma y el producto escalar usual.

V = {O} es un espacio vectorial.

Observese que el conjunto{

(x, y) ∈ R2

: x = 5}

no es un espacio vectorial.

¿Por que?

¿ Es el conjunto{

(x, y) ∈ R2

: y = 5x}

un espacio vectorial?

2. Combinacion lineal. Independencia lineal

2.1. Combinacion lineal.

D 2.1. Dado un espacio vectorial V, sean v1, . . . , vp ∈ V. Una combinacion

lineal de tales vectores es una expresion de la forma

a1v1 + a2v2 + · · · + apvp

donde a1, . . . , ap son numeros reales.

Ejemplo

En el espacio vectorial IR2, sean los vectores

u =

13

−2

, v =

−1

2

, w =

5

−2

.

El vector u es combinacion lineal de v y w porque u = 2v + 3w.

Ejercicio

2. COMBINACION LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL 27

Sean en IR3 los vectores

u =

6

−4

−15

, v =

2

1

−4

, w =

0

7

3

.

a) ¿ Es el vector u combinacion lineal de v y w ?

b) ¿ Es el vector v combinacion lineal de u y w ?

c) ¿Es el vector (1, 0, 0) combinacion lineal de los vectores u, v y w?

2.2. Independencia lineal.

D 2.2. Diremos que los vectores v1, . . . , vp de un espacio vectorial V son li-

nealmente independientes o que la familia de vectores {v1, . . . , vp} es libre si ningun

vector es combinacion lineal de los otros.

T 2.3. Los vectores v1, . . . , vp de un espacio vectorial V son linealmente indepen-

dientes (la familia de vectores {v1, . . . , vp} es libre) si para cualquier combinacion lineal

igualada al vector nulo se deduce que todos los coeficientes han de ser necesariamente

nulos, es decir

a1v1 + a2v2 + · · · + apvp = 0⇒ a1 = a2 = · · · = ap = 0

En caso contrario diremos que los vectores son linealmente dependientes (la familia de

vectores {v1, . . . , vp} es dependiente).

T 2.4. Si consideramos el sistema lineal de n ecuaciones con p incognitas a1v1 +

a2v2 + · · · + apvp = 0. La familia de vectores{

v1, . . . , vp

}

es independiente o libre si el

sistema es compatible determinado, se decir Rg(v1, . . . , vp) = p.Esto supone p ≤ n

La familia de vectores{

v1, . . . , vp

}

es linealmente dependiente si el sistema es compatible

indeterminado.

Ejercicio

Estudia si son linealmente independientes los vectores (0, 0, 1), (0, 2, 2), (1, 1, 1).


Estudia la dependencia lineal de la familia de vectores {u, v,w} con

u =

1

2

2

, v =

−2

7

1

,w =

0

11

7

Sea el vector t = w + u, ¿Son dependientes los vectores {u,w, t}?

Consideremos en R4 los vectores (1, 2, 0, 0), (0, 1, 0,−3), (1, 3, 0,−3). ¿Son

linealmente independientes?

Consideremos la base canonica de R4 y la matriz cuyas columnas son

las coordenadas de tales vectores en la base canonica

1 0 1

2 1 3

0 0 0

0 −3 −3

Como esta matriz tiene rango dos, significa que solo hay dos vectores

linealmente independientes y por tanto el conjunto inicial de los vectores

propuesto es linealmente dependiente.

N 2.5. Dos vectores son linealmente dependientes o colineales si, y solo si,

uno es un multiplo de otro. Los vectores u = (2,−1, 0) y v = (−6, 3, 0) son

colineales ya que v = −3u.

Una familia de vectores que contenga al vector nulo es siempre linealmente

dependiente.

Una familia de p vectores en IRn con p > n es dependiente.

3. Bases y dimension.

3.1. Sistema de generadores.

D 3.1. Sea (V,+, ·) un espacio vectorial. Un subconjunto S de V se dice sistema

de generadores de V si cualquier vector de V puede obtenerse como combinacion lineal

de los vectores de S, es decir, para todo v ∈ V existen a1, . . . , ap ∈ R y v1, . . . , vp ∈ S tales

que

v = a1v1 + a2v2 + · · · + apvp

3. BASES Y DIMENSION. 29

T 3.2. La familia de vectores{

v1, . . . , vp

}

es un sistema de generadores del espacio

vectorial V = IRn si y solo si Rg(v1, v2, . . . , vp) = n.

Ejemplos

El conjunto {(1, 0), (0, 1)} es un sistema de generadores de R2, ya que

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

para cualquier vector (x, y) ∈ R2.

¿Es {(1, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 0, 1)} un sistema de generadores para R3 ?

Calculamos el rango de la matriz formado por los tres vectores:

rg(A) =

1 1 0

1 −1 0

0 0 1

= 3

Como el rango de la matriz A es tres entonces el conjunto de vectores

constituye un sistema de generadores de R3.

Ejercicio

Estudiar si la familia de vectores {u, v,w} con u =

1

1

0

, v =

2

−1

1

,w =

8

−1

3

es

libre y si es un sistema de generadores.

3.2. Base.

D 3.3. Una familia de vectores{

v1, . . . , vp

}

es una base de un espacio vecto-

rial (V,+, ·) si es simultaneamente libre y un sistema de generadores de V.

D 3.4. Dado un espacio vectorial (V,+, ·) , llamaremos dimension de V al

numero de vectores de cualquiera de sus bases, y lo notaremos por dim(V).

Consecuencia La dimension de Rn es n, por tanto todas las bases de IRn tienen

exactamente n vectores.

T 3.5. En V = IRn, una familia de n vectores {v1, . . . , vn} es una base si y solo si

es libre.


T 3.6. En V = IRn, una familia de n vectores {v1, . . . , vn} es una base si y solo si

es un sistema de generadores de IRn

Proposicion La familia de n vectores {v1, . . . , vn} es una base de IRn si el sistema

lineal

a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0

es compatible determinado, es decir a1 = a2 = · · · = an = 0 es la unica solucion,

por tanto Rg(v1, v2, · · · , vn) = n.

N 3.7. Observese la utilidad en la practica de la proposicion, ya que en IRn, para saber

si una familia con n vectores es base, basta con comprobar que su rango es n, es decir que

el determinante det(v1, . . . , vn) , 0.

Base canonica

La familia de vectores {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} forma una base deR2 llamada

base canonica de R2.

La familia de vectores {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} forma una

base de R3 llamada base canonica de R3.

La familia de vectores {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), · · · , en = (0, 0, . . . , 1)}

forma una base de Rn llamada base canonica de Rn.

Ejemplos

La familia B = {u, v} con u = (1, 2) y v = (3, 4) es una base de R2 porque

det(u, v) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3

2 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2

Consideremos {v1, v2, v3} una base de R3. Estudiar si es base el conjunto

de vectores {v1 − v2, 2v1 − v2,−v1 + v2 + v3}.

El siguiente resultado justifica el concepto de base.

Proposicion:

Sea un espacio vectorial (V,+, ·) con dimension n y sea B = {v1, v2, . . . , vn} una

base de V. Entonces, cualquier vector de V se expresa de forma unica como

combinacion lineal de los elementos de la base B.

4. CAMBIO DE BASE. 31

Por tanto, para cualquier vector v ∈ V, existen de forma unica n escalares

a1, . . . , an ∈ R tales que

v = a1v1 + · · · + anvn

Dichos escalares se llaman coordenadas de v en la base B, y se representa de la

forma

v = (a1, . . . , an)B

Ejemplos:

Sea el vector v = 6e1+8e2. Sus coordenadas respecto las base canonica son

v = (6, 8)Bc

v = 6e1 + 8e2 = 6(1, 0) + 8(0, 1) = (6, 8)

Sea la base B = {u, v} de IR2 con u = (1, 2) y v = (3,−1) y sea el vector

w = (2, 3)B. ¿Cuales son las coordenadas de w respecto la base canonica?

w = 2u + 3v = 2(1, 2) + 3(3,−1) = (11, 1)

Entonces w = (11, 1)Bc

4. Cambio de base.

Consideremos de nuevo el ultimo ejemplo

w = 2u + 3v = 2(1, 2) + 3(3,−1) = (11, 1)

Si consideremos la matriz (u, v) donde las coordenadas de u estan en la primera

columna y las de v en la segunda columna tenemos

w =

1 3

2 −1

2

3

=

11

1

La matriz M =

1 3

2 −1

es la matriz que permite expresar las coordenadas de un

vector en la base canonica Bc a partir de sus coordenadas en la base B por tanto

tenemos la siguiente definicion.


D 4.1. Llamamos matriz de cambio de base de la base B a la base canonica

Bc a la matriz que permite expresar las coordenadas de un vector en la base canonica Bc a

partir de sus coordenadas en la base B y la denotaremos por MB→Bc .

Si w(x, y)Bc y w(x′, y′)B entonces

x

y

= MB→Bc

x′

y′

D 4.2. A las ecuaciones que nos permiten obtener las coordenadas respecto de

la base Bc de un vector cualquiera v ∈ V a partir de sus coordenadas respecto de la base B,

se les llama ecuaciones del cambio de base de B a Bc.

Nota

La matriz de cambio de base MB→Bc se obtiene escribiendo las coordenadas por

columnas de los vectores de la base B en funcion de la base canonica: MB→Bc =

(u1, u2, · · · , un)

Si ahora queremos expresar las coordenadas de un vector w(x, y)Bc en la base B,

de la relacion anterior tenemos que despejar x′ y y′. Tenemos

x′

y′

= M−1

x

y

D 4.3. Llamamos matriz de cambio de base de la base canonica Bc a la

base B a la matriz que permite expresar las coordenadas de un vector en la base B a partir

de sus coordenadas en la base canonica Bc y la denotaremos por NBc→B = M−1B→Bc

. Esta

matriz es la inversa de la matriz que permite pasar de la base B a la base canonica Bc.

D 4.4. A las ecuaciones que nos permiten obtener las coordenadas respecto de

la base B de un vector cualquiera v ∈ V a partir de sus coordenadas respecto de la base Bc,

se les llama ecuaciones del cambio de base de Bc a B.

Ejemplos:

¿Cuales serıan las coordenadas del vector v = (6, 8)Bc en la base B =

{(2, 0), (0, 4)} ?

La matriz del cambio de base de la base B a la canonica es

MB→Bc =

2 0

0 4

4. CAMBIO DE BASE. 33

La matriz del cambio de base de la base canonica a la base B es la inversa

NBc→B =M−1=

1/2 0

0 1/4

por tanto tenemos

vB = NBc→B

6

8

=

3

2

Por tanto v = (6, 8)Bc = (3, 2)B.

Si consideramos en R3 la base de R3, B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.

¿Cuales son las coordenadas del vector v(2, 3, 1)Bc en la nueva base B?

Para ello hemos de buscar la matriz de cambio de base NBc→B

NBc→B = M−1B→Bc

=

1 0 0

1 1 0

1 1 1

−1

=

1 0 0

−1 1 0

0 −1 1

por tanto tenemos

vB = NBc→B

2

3

1

=

2

1

−2

Por consiguiente

v = (2, 3, 1)Bc = (2, 1,−1)B1

Teorema

Sea V un espacio vectorial real de dimension n y sean B1, B2 y B3 tres bases de

dicho espacio. Entonces

MB1→B3=MB2→B3

·MB1→B2

Ejercicio

Dadas las bases B1 = {(1, 0), (1, 1)} y B2 = {(0,−1), (2, 1)} de R2, calcular:

a)Matriz de cambio de base de B1 a B2.


Al ser inmediato el cambio de base de una matriz cualquiera a la base canoni-

ca, utilizamos el teorema anterior, para calcular el cambio de base requerido, y

denotamos por Bc a la base canonica de R2.

MB1→B2=MBc→B2

·MB1→Bc

Al ser

MB1→Bc =

1 1

0 1

MBc→B2=M−1

B2→Bc=

0 2

−1 1

−1

=

12−1

12

0

Por tanto

MB1→B2=

12−1

12

0

·

1 1

0 1

=

12− 1

212

12

b)Calcula la matriz de cambio de base de B2 a B1.

MB2→B1=M−1

B1→B2=

12− 1

212

12

−1

=

1 1

−1 1

c)Calcula las coordenadas en la base B2 del vector cuyas coordenadas en la base

B1 son (2, 3).

12− 1

212

12

·

2

3

B1

=

− 12

52

B1

5. Subespacios vectoriales.

D 5.1. Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real y sea U un subconjunto no vacıo

de V . Diremos que U es un subespacio vectorial de V si es cerrado o estable para

combinaciones lineales, es decir, si u, v ∈ U y α, β ∈ R, entonces αu + βv ∈ U.

5. SUBESPACIOS VECTORIALES. 35

N 5.2. El vector nulo siempre pertenece a los subespacios vectoriales, es decir, si U es

un subespacio vectorial entonces {0} ∈ U.

Ejemplos:

• Todo espacio vectorial V no trivial, tiene, al menos dos subespacios que se

denominan impropios: el mismo V y el formado unicamente por el vector nulo,

es decir {0} .

• En R2 el conjunto de vectores

U = {(a, 0) : a ∈ R}

es un subespacio vectorial, ya que:

Si u = (a, 0) y v = (b, 0) son dos vectores de U y α, β ∈ R, entonces

αu + βv = (αa + βb, 0) ∈ U

•Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogeneo, tambien forman

un subespacio vectorial.

• Las rectas de R2 o de R3 son subespacios vectoriales de dimension uno.

• Los planos de R3 son subespacios vectoriales de dimension dos.

5.1. Subespacio generado por un conjunto de vectores.

D 5.3. Sea (V,+, ·) un espacio vectorial y S un conjunto cualquiera de vectores.

Notaremos por L(S) al conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales de

vectores de S , es decir

L(S) = {α1ω1 + · · · + αmωm : αi ∈ R, ωi ∈ S, i = 1, · · · ,m, m ∈N}

Proposicion: L(S) es un subespacio vectorial de V, ademas es el menor subespacio

vectorial que contiene a S y se le llama subespacio vectorial generado por S.

Ejemplo:

En R2 consideramos S = {(1, 1), (0, 1)}, entonces

L(S) ={

α(1, 1) + β(0, 1) : α, β ∈ R}

=

{

(α, α + β) : α, β ∈ R}

= R2


ya que rg

1 0

1 1

= 2

D 5.4. Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V, diremos que S

es una base de U si L(S) = U (S genera al subespacio ) y si es linealmente independiente.

D 5.5. Llamamos dimension del subespacio U al numero de vectores de una

de sus bases.

Proposicion:

Sea V un espacio vectorial de dimension n, sea B una base de V y U = L(u1, . . . , ur)

un subespacio vectorial de V. Consideremos la matriz A cuyas columnas son las

coordenadas respecto de la base B de los vectores u1, . . . , ur. Entonces:

a) dim(U) = rg(A)

b) Las columnas no nulas de la matriz escalonada reducida equivalente a A

son las coordenadas de los vectores de una base de U.

N 5.6.

dim(U) ≤ dim(V)

De hecho, la igualdad en las dimensiones ocurre solo cuando U = V

N 5.7. En la practica, para obtener una base de un subespacio vectorial a partir de un

sistema de generadores se aplica el algortimo de Gauss por columnas a la matriz A.

Ejemplo:

Consideremos enR4 el subespacio U generado por los vectores {(1, 3, 6, 1), (2, 8, 10, 2), (2, 5, 13, 2)},

estudiar cual es la dimension de dicho subespacio y obtener una base de U.

Solucion:

Escribimos una matriz cuyas columnas son las coordenadas, respecto de la base

canonica de R4, de los vectores que generan U y calculamos la matriz escalonada

asociada por columnas:


1 2 2

3 8 5

6 10 13

1 2 2

∼

1 0 0

3 1 0

6 −1 0

1 0 0

En este caso el rango es dos y una base estarıa formada por los vectores

1

3

6

1

,

0

1

−1

0

5.2. Ecuaciones parametricas e implıcitas de un subespacio. Nuestro obje-

tivo es describir un subespacio vectorial U de un espacio vectorial V.

Es posible determinar un subespacio vectorial mediante unas ecuaciones pa-

rametricas en una base de V y tambien podemos determinarlo mediante unas

ecuaciones implıcitas o cartesianas en una base de V.

5.2.1. Ecuaciones parametricas. Consideremos un espacio vectorial V de di-

mension n, y U un subespacio vectorial de V de dimension r y fijamos las bases

B = Bc = {e1, . . . , en} y BU = {u1, . . . , ur} en U. Cada uno de los vectores de BU

tendra ciertas coordenadas en la base B de V:

u j = (u1 j, . . . , unj)B para j = 1, . . . , r.

Si u ∈ U, u = (x1, . . . , xn)B, y podra escribirse como

u = λ1u1 + · · · + λrur con λ1, . . . , λr ∈ R

Esta igualdad podemas escribirla matricialmente en coordenadas por columnas

respecto de la base B de la siguiente forma:

x1

x2

...

xn

B

= λ1

u11

u21

...

un1

B

+ λ2

u12

u22

...

un2

B

+ · · · + λr

u1r

u2r

...

unr

B


Si igualamos coordenada a coordenada obtenemos

x1 = u11λ1 + u12λ2 + · · · + u1rλr

· · · · · · + · · ·

xn = un1λ1 + un2λ2 + · · · + unrλr

λ1, λ2, . . . , λr ∈ R

que se denominan ecuaciones parametricas de U respecto de la base B.

N 5.8. Las ecuaciones parametricas en una base B de V determinada, no son unicas,

puesto que dependen de la base escogida en el subespacio U.

N 5.9. El numero de ecuaciones parametricas es igual a n, que es la dimension del

subespacio V, y el numero de parametros que en ellas aparecen es igual a r que es la

dimension del subespacio U.

Ejemplo:

Consideremos enR3 el subespacio U generado por los vectores {(1,−1, 0), (1, 1, 0)}.

Hallar unas ecuaciones parametricas de U en la base canonica de R3.

En primer lugar necesitamos una base de U, pero al ser dos vectores no propor-

cionales, son linealmente independientes , entonces la dimension de U es dos, y

una base de U es {(1,−1, 0), (1, 1, 0)}.

En forma matricial, unas ecuaciones parametricas del subespacio son:

x

y

z

= λ1

1

−1

0

+ λ2

1

1

0

, λ1, λ2 ∈ R

Por tanto unas ecuaciones paramatricas del subespacio U en la base canonica son:

x = λ1 + λ2

y = −λ1 + λ2 λ1, λ2 ∈ R

z = 0


Por ejemplo, si λ1 = 2, λ2 = 1, obtenemos el vector (3,−1, 0) que pertenece a U, de

hecho dando valores a λ1 y a λ2 obtendremos vectores de U.

5.2.2. Ecuaciones cartesianas. Las ecuaciones cartesianas o implıcitas de un

subespacio U en la base B de V, son ecuaciones lineales homogeneas que indican

las condiciones que han de cumplir las coordenadas de un vector que pertenezca

a dicho subespacio.

En Rn, un subespacio puede determinarse como:

U = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn tal que

b11x1 + b12x2 + . . . + b1nxn = 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

bm1x1 + bm2x2 + . . . + bmnxn = 0

Por ejemplo, en R2 podemos determinar un subespacio

U ={

(x, y) ∈ R2 : x + 7y = 0}

N 5.10. Observese que si ninguna de las ecuaciones que aparecen pueden eliminarse

por transformaciones elementales, el rango indicado coincide con el numero de ecuaciones

y por tanto:

dim(U) = dim(V) − numero de ecuaciones implıcitas

Siempre sera interesante trabajar con el menor numero de ecuaciones posible que sean

independientes.

Ejemplos

a) U ={

(x, y, z, t) ∈ R4/x + y − z + t = 0}

.

b) U =

(x, y, z) ∈ R3/ {x + y − z = 0

x − 2z = 0

.

5.2.3. Obtencion de unas ecuaciones parametricas a partir de unas cartesianas.

El paso de unas ecuaciones cartesianas a unas parametricas de un subespacio

consiste en resolver el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones

cartesianas.

Ejemplos


a) U ={

(x, y, z, t) ∈ R4/x + y − z + t = 0}

. Sistema homogeneo de una ecua-

cion con 4 incognitas. Rg(A) = 1 por lo cual hay 3 parametros.

x = −λ1 + λ2 − λ3

y = λ1

z = λ2

t = λ3

λ1, λ2, λ3 ∈ R

b) U =

(x, y, z) ∈ R3/ {x + y − z = 0

x − 2z = 0

. Sistema homogeneo de 2 ecuaciones

con 3 incognitas Rg(A) = 2 por lo cual hay un parametro.

x = 2λ

y = −λ λ ∈ R

z = λ

5.2.4. Obtencion de unas ecuaciones cartesianas a partir de unas parametricas. Para

hallar unas ecuaciones cartesianas a partir de unas parametricas podemos, o bien

eliminar los parametros en las ecuaciones parametricas, o bien observar que si

v = (x1, . . . , xn)B es un vector de U, entonces

rg

x1 u11 u12 · · · u1r

x2 u21 u22 · · · u2r

......

......

...

xn un1 un2 · · · unr

= r

Luego todos los menores de orden r + 1 de la matriz

x1 u11 u12 · · · u1r

x2 u21 u22 · · · u2r

......

......

...

xn un1 un2 · · · unr

deben ser nulos, lo que nos proporciona un sistema de ecuaciones homogeneo

que verifican las coordenadas de cualquier vector de U. Entre estas ecuaciones

elegimos n − r que sean independientes para trabajar con el numero mınimo

posible de ecuaciones.


Metodo de eliminacion de los parametros para obtener unas ecuaciones carte-

sianas

Para eliminar los parametros resolvemos el siguiente sistema de n ecuaciones con

r incognitas λ1, . . . , λr.

u11 · · · u1r x1

u21 · · · u2r x2

......

......

un1 · · · umr xn

Este sistema es compatible determinado. Las condiciones de compatibilidad des-

pues de hacer el metodo de eliminacion de Gauss, nos proporcionaran las ecua-

ciones cartesianas de U.

Ejemplo

Consideremos enR3 el subespacio U generado por los vectores (1, 2,−1), y (3, 1, 0).

Obtener una ecuaciones parametricas y unas implıcitas de U.

Los vectores {(1, 2,−1), (3, 1, 0)}son linealmente independientes y generan al subes-

pacio, por tanto forman una base de U. Unas ecuaciones parametricas de U son:

x = λ1 + 3λ2

y = 2λ1 + λ2, λ1, λ2 ∈ R

z = −λ1

Como U tiene dimension dos en un espacio de dimension tres, solo necesitamos

una ecuacion implıcita para determinar U.

Como rg

x 1 3

y 2 1

z −1 0

= 2, entonces det

x 1 3

y 2 1

z −1 0

= 0

Por tanto una ecuacion implıcita de U es x − 3y − 5z = 0.

Otra forma de determinar una ecuacion implıcita es


1 3 x

2 1 y

−1 0 z

∼

1 3 x

0 −5 y − 2x

0 3 x + z

∼

1 3 x

0 1 −y−2x

5

0 3 x + z

∼

1 3 x

0 1 −y−2x

5

0 0 x + z + 35(y − 2x)

La condicion de compatibilidad es que 15(−x + 3y + 5z) = 0.

Ejemplo

Consideremos enR4 el subespacio U generado por los vectores {(1, 3, 6, 1), (2, 8, 10, 2), (2, 5, 13, 2)}.

Obtener unas ecuaciones parametricas y unas implıcitas de U.

Obtenemos en primer lugar la dimension y una base de U, para lo cual buscamos

una matriz escalonada asociada, y vemos que la dimension de U es dos, y que

una base de U es

{(1, 3, 6, 1), (0, 1,−1, 0)}

A partir de esta base, obtenemos las siguientes ecuaciones parametricas:

x = λ1

y = 3λ1 + λ2

z = 6λ1 − λ2, λ1 + λ2 ∈ R

t = λ1

Resolvemos el sistema lineal para eliminar los parametros λ1 y λ2

1 0

3 1

6 −1

1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x

y

z

t

F2 = F2 − 3F1

F3 = F3 − 6F1

F4 = F4 − F1

1 0

0 1

0 −1

0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x

y − 3x

z − 6x

t − x

F3 = F3 + F2

Obtenemos

1 0

0 1

0 0

0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x

y − 3x

−9x + y + z

t − x

6. ESTRUCTURA EUCLIDEA DE Rn 43

Las condiciones de compatibilidad nos dan las ecuaciones cartesianas del subes-

pacio U.

−9x + y + z = 0

t − x = 0

Otra forma de hallar las ecuaciones cartesianas es imponiendo que el rango sea

dos, puesto que U es un subespacio de dimension dos en R4, para describir el

subespacio U necesitamos dos ecuaciones implıcitas que sean independientes.

Como rg

x 1 0

y 3 1

z 6 −1

t 1 0

= 2, entonces todos los menores de orden tres tienen que

ser cero, elegimos dos de ellos, por ejemplo

det

x 1 0

y 3 1

z 6 −1

= 0, y , det

x 1 0

y 3 1

t 1 0

= 0

Obtenemos entonces las ecuaciones

−9x + y + z = 0

−x + t = 0

Al ser estas ecuaciones independientes, tenemos unas ecuaciones implıcitas de

U.

6. Estructura Euclıdea de Rn

6.1. Producto escalar: definicion y ejemplos. Hemos introducido los vecto-

riales como abstraccion de los vectores en el plano y en el espacio. Definimos ahora

el concepto de producto escalar como abstraccion del producto escalar usual de

vectores.

D 6.1. Sea V un espacio vectorial, un producto escalar en V es una aplicacion

〈 , 〉 : V ×V → R que verifica las siguientes propiedades:


a) Simetrıa 〈u, v〉 = 〈v, u〉, ∀u, v ∈ V.

b) Bilinealidad 〈u + v,w〉 = 〈u,w〉 + 〈v,w〉, ∀u, v,w ∈ V.

c) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉, ∀λ ∈ R,∀u, v ∈ V.

d) El producto escalar es positivo. Si u ∈ V entonces 〈u, u〉 ≥ 0 y 〈u, u〉 = 0⇔ u =

0.

Un espacio vectorial euclıdeo es un espacio vectorial V en el que hay definido

un producto escalar 〈 , 〉 y se denota por (V, 〈 , 〉).

Ejemplos

• En Rn podemos considerar el producto escalar usual

〈 , 〉 : Rn ×Rn → R

〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1y1 + · · · + xnyn

• En R2, si u =

1

2

, v =

4

5

entonces 〈u, v〉 = 1 · 4 + 2 · 5 = 14.

• Consideremos en R3 los vectores u =

1

2

3

, v =

−1

2

4

entonces 〈u, v〉 = 1 · (−1) + 2 · 2 + 3 · 4

6.2. Norma de un vector y angulo entre vectores.

D 6.2. Sea (V, 〈 , 〉) un espacio vectorial euclıdeo, se define la norma de un

vector v como

‖v‖ =√

〈v, v〉

Ejemplos

• En Rn con el producto escalar usual, si v = (x1, . . . , xn), entonces


‖v‖ =√

〈(x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn)〉 =√

x21+ · · · + x2

n

Por ejemplo, en R2, ‖(1, 2)‖ =√

5.

Propiedades

Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclideo, u, v ∈ V, y α ∈ R. Se verifican las siguien-

tes propiedades:

i) ‖v‖ ≥ 0.

ii) ‖v‖ = 0⇔ v = 0.

iii) ‖αv‖ = |α|‖v‖.

iv) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖. Desigualdad triangular.

v) ‖〈u, v〉‖ ≤ ‖u‖ · ‖v‖. Desigualdad de Schwartz.

N 6.3. Cualquier vector no nulo puede normalizarse, es decir, podemos conseguir que

tenga por norma la unidad, basta con considerar v 1‖v‖.

D 6.4. Sean u, v dos vectores no nulos de un espacio vectorial V, el angulo entre

tales vectores es el unico numero θ ∈ [0, π] tal que

cosθ =〈u, v〉

‖u‖‖v‖

o equivalentemente

θ = arc cos(

〈u, v〉

‖u‖‖v‖

)

∈ [0, π]

El angulo entre dos vectores sera denotado por (u, v).

D 6.5. Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo. Dos vectores u y v se dice que

son ortogonales , lo que notaremos por u ⊥ v, si 〈u, v〉 = 0. El angulo entre los vectores

es π2

Ejemplo

En R2, el angulo que forman los vectores u = (1, 1) y v = (1, 0) es


u ⊥ v = arc cos

(

〈(1, 1), (1, 0)〉

‖(1, 1)‖‖(1, 0)‖

)

= arc cos

(

1√

2√

1

)

=

π

4

6.3. Bases ortogonales y ortonormales.

D 6.6. Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo de dimension finita n. Una base

de V, B = {u1, . . . , un} se dice que es una base ortogonal si los vectores que la forman

son ortogonales dos a dos, es decir si

〈ui, u j〉 = 0, si i , j

D 6.7. Se dice que B es una base ortonormal si ademas todos los vectores que

la forman tienen norma uno.

Ejemplo

En Rn con el producto escalar usual, la bases canonica es ortogonal, de hecho es

ortonormal.

N 6.8. Si B = {e1, . . . , en} es una base ortogonal, entonces B′ ={

e1

‖e1‖, . . . , en

‖en‖

}

es una

base ortonormal.

Teorema

Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo de dimension finita. La matriz de cambio

de base entre dos bases ortonormales es una matriz ortogonal.

Teorema Una matriz cuadrada P se dice que es ortogonal si verifica que P−1= Pt,

es decir si PtP = I.

6.4. Coordenadas de un vector en una base ortogonal. El calculo de las

coordenadas de un vector en una base ortogonal o en una base ortonormal es

muy sencillo, como se vera a continuacion.

Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo de dimension n y sea B = {u1, . . . , un} una

base ortogonal de V. Si v es cualquier vector del espacio, entonces

v = x1u1 + · · · + xnun


donde (x1, . . . , xn) son las coordenadas del vector v en la base B.

Si i ∈ {1, 2, . . . , n}, entonces

〈v, ui〉 = 〈x1u1 + · · · + xnun, ui〉

= x1〈u1, ui〉 + . . . + xn〈un, ui〉 = xi〈ui, ui〉 = xi‖ui‖2

Entonces

xi =〈v, ui〉

‖ui‖2

Por tanto

v =〈v, u1〉

‖u1‖2u1 + . . . +

〈v, un〉

‖un‖2un

estas son las coordenadas de v en una base ortogonal.

En particular si la base B es ortonormal, las coordenadas son xi = 〈v, ui〉 y en tal

caso

v = 〈v, u1〉u1 + . . . + 〈v, un〉un

Ejemplo

Hallar las coordenadas del vector de R3, v = (1, 2, 1) en la base ortogonal B ={

(1, 1, 1), (1,−1, 0), (12, 1

2,−1)

}

.

Las coordenadas son

x1 =〈(1,2,1),(1,1,1)〉

‖(1,1,1)‖2=

43

x2 =〈(1,2,1),(1,−1,0)〉

‖(1,−1,0)‖2= − 1

2

x3 =〈(1,2,1),( 1

2 ,12 ,−1)〉

‖( 12 ,

12 ,−1)‖2

=13

Por consiguiente, v = (43,− 1

2, 1

3)B

6.5. Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt. Debido al hecho de la

sencillez para calcular las coordenadas de un vector respecto a una base ortogonal,

nos planteamos si todo espacio vectorial euclıdeo de dimension finita admite una

base ortogonal y como encontrarla.

La respuesta es afirmativa y es el metodo de Gram-Schmidt el que nos propor-

ciona un algoritmo explıcito para la construccion de una base ortogonal a partir

de otra base del espacio.


Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo de dimension n y B = {u1, . . . , un} una

base de V. El procedimiento para construir una base ortogonal de V, llamada

B′ = {e1, . . . , en} consiste en los siguientes pasos:

1) Consideramos e1 = u1.

2) Tomamos e2 = u2 − αe1, y buscamos α de forma que 〈e1, e2〉 = 0.

〈e1, e2〉 = 〈e1, u2 − αe1〉 = 〈e1, u2〉 − α〈e1, e1〉 = 0

Entonces α = 〈e1,u2〉

‖e1‖2 . Con lo cual

e2 = u2 −〈e1, u2〉

‖e1‖2e1

3) En general consideramos

e j = u j −〈e1, u j〉

‖e1‖2e1 − . . . −

〈e j−1, u j〉

‖e j−1‖2e j−1, j = 1, . . . , n

4) El conjunto B′′ ={

e1

‖e1‖, . . . , en

‖en‖

}

es una base ortonormal de V.

Ejemplo

Obtener una base ortonormal a partir de la siguiente base de R2 :

B = {(1, 1), (0, 1)}

Consideramos e1 = u1 = (1, 1)

e2 = u2 −〈e1, u2〉

‖e1‖2e1 = (−

1

2,

1

2)

Por consiguiente B′ ={

(1, 1), (− 12, 1

2)}

es una base ortogonal de R2. Para conseguir

que la base sea ortonormal tendremos que normalizar cada vector:

e1

‖e1‖=

(1, 1)

‖(1, 1)‖=

1√

2(1, 1) = (

1√

2,

1√

2)

e2

‖e2‖=

(− 12, 1

2)

‖(− 12, 1

2)‖=

11√2

(−1

2,

1

2) = (−

√2

2,

√2

2)

Por tanto B′′ ={

( 1√2, 1√

2), (−

√2

2,√

22

)}

es una base ortonormal de R2.

Ejercicios

• Ortonormalizar la base de R2, {(1, 2), (−1, 0)} .

• Ortonormalizar la base {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 1, 0)} de R3.

7. APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS 49

7. Aproximacion por mınimos cuadrados

7.1. Subespacios ortogonales. Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo de

dimension n y sean U y U′ dos subespacios vectoriales de V. Se dice que U ⊥ U′

si cada vector de U es ortogonal a cada vector de U′. En particular tenemos

< u, u′ >= 0 ∀u ∈ U, ∀u′ ∈ U′

D 7.1. Sea (V, 〈, 〉) un espacio vectorial euclıdeo de dimension n y sea U un

subespacio vectorial de V. Se llama complemento ortogonal de U al conjunto de vectores

de V que son ortogonales a todos los vectores de U, es decir

U⊥ = {v ∈ V : 〈v, u〉 = 0, ∀u ∈ U}

N 7.2. • U⊥ es un subespacio vectorial de V, y si dim(U) = r,⇒ dim(U⊥) = n − r.

• Si BU = {u1, . . . , ur} es una base de U, entonces

v ∈ U⊥ ⇔

〈v, u1〉 = 0

〈v, u2〉 = 0

· · ·

〈v, ur〉 = 0

Si desarrollamos estas igualdades obtenemos unas ecuaciones implıcitas o cartesianas de

U⊥.

• Es importante tener en cuenta las siguientes relaciones

Ecuaciones parametricas de U⇐⇒ Base de U

Ecuaciones cartesianas deU⇐⇒ Base de U⊥

(U⊥)⊥ = U

Ejemplos

•Sea U ={

(x, y, z, t) ∈ R4/x + y − z + t = 0}

=

{

(x, y, z, t) ∈ R4/〈(1, 1,−1, 1), (x, y, z, t)〉 = 0}

.

Luego una base de U⊥ = {(1, 1,−1, 1)}. Para obtener una base del subespacio U, resol-

verıamos el sistema y fijandonos en los coeficientes de los parametros de las ecuaciones


parametricas obtendrıamos una base de U.

x = −1λ1 + λ2 − λ3

y = λ1

z = λ2

t = λ3

Por tanto una base de U es B = {(−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}

• Si U =

(x, y, z) ∈ R3/x + y − z = 0

x − 2z = 0

. Entonces una base del subespacio se obtiene

resolviendo el sistema

x = 2λ

y = −1λ

z = 1λ

y serıa B = {(2,−1, 1)}. Un sistema de generadores del subespacio ortogonal, se podrıa

obtener de la siguiente forma

U =

(x, y, z) ∈ R3/x + y − z = 0

x − 2z = 0

=

{

(x, y, z) ∈ R3/〈(x, y, z), (1, 1,−1)〉 = 0 〈(x, y, z), (1, 0,−2)〉 = 0}

Entonces U⊥ = L ((1, 1,−1), (1, 0,−2))

Ejemplo

En R2 con el producto escalar usual, consideremos el subespacio vectorial gene-

rado por {(1, 2)}. Una base de BU = {(1, 2)}.Entonces

(x, y) ∈ U⊥ ⇔ 〈(x, y), (1, 2)〉 = 0⇔ x + 2y = 0

Por tanto

U⊥ ={

(x, y) ∈ R2 : x + 2y = 0}

Unas ecuaciones parametricas de U⊥ son

x = −2α, y = α

y una base de este espacio estarıa formada por {(−2, 1)} .

Ejemplo

En R4 con el producto escalar usual, consideremos el subespacio vectorial U

generado por {u1 = (1, 2, 3, 4), u2 = (0,−1, 1, 2)}. ¿Cuales son las ecuaciones de U y

de U⊥?


Los vectores u1 y u2 son linealmente independientes ya son dos vectores no colina-

les por lo cual la familia {u1, u2} es una base de U. Podemos escribir la ecuaciones

parametricas de U

x = λ1

y = 2λ1 − λ2

z = 3λ1 + λ2

t = 4λ1 + 2λ2

λ1, λ2 ∈ R

para calcular unas ecuaciones cartesianas de U, ya que los vectores u1 y u2 son

vectores directores de U, son vectores normales a U⊥. Entonces unas ecuaciones

cartesianas de U⊥ son

x + 2y + 3z + t = 0

−y + z + 2t = 0

7.2. Proyeccion ortogonal. Mejor aproximacion. Si (V, 〈, 〉) es un espacio

vectorial euclıdeo de dimension n y U es un subespacio de V de dimension r,

cualquier vector v ∈ V se escribe de forma unica como v = u+w con u ∈ U, w ∈ U⊥.

D 7.3. u es la proyeccion ortogonal de v sobre U y lo denotaremos por

PU(v).

Para calcular la proyeccion ortogonal de un vector v sobre un subespacio U,

imponemos que

PU(v) ∈ U, v − PU(v) ∈ U⊥

Ejemplo

Consideremos en R2 con el producto escalar usual, el vector v = (2, 4) y el subes-

pacio U generado por el vector (1, 1). Calcular la mejor aproximacion ortogonal

de v sobre U.

Como PU(v) ∈ U y (1, 1) es una base de U, entonces

PU(v) = λ(1, 1)

v − PU(v) = (2, 4) − λ(1, 1) = (2 − λ, 4 − λ)

Como v − PU(v) ∈ U⊥ ⇒ 〈v − PU(v), (1, 1)〉 = 0⇒

〈(2 − λ, 4 − λ), (1, 1)〉 = 0⇒ 2 − λ + 4 − λ = 0⇒ λ = 3


Por tanto PU(v) = 3(1, 1) = (3, 3).

D 7.4. Dados dos vectores u y v de un espacio vectorial euclıdeo V. La distancia

entre dichos vectores es el numero real

d(u, v) = ‖u − v‖

Teorema de la mejor aproximacion

Sea U un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo finito dimensional,(V, 〈, 〉).

Dado un vector v ∈ V, la proyeccion ortogonal de v sobre U es el unico vector de

U mas proximo a v en el sentido de que

‖v − pU(v)‖ ≤ ‖v − y‖, ∀y ∈ U

7.3. Aproximacion por mınimos cuadrados. Supongamos que disponemos

de un conjunto de datos experimentales de dos variables del tipo

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

y queremos encontrar una funcion de variable real y = f (x) que ajuste bien esos

datos, es decir que los aproxime en cierto sentido.

Para ello debemos concretar dos cuestiones:

Que tipo de relacion y = f (x) se ajusta mejor a nuestros datos, para ello

observamos la forma de la nube de puntos, nosotros trabajaremos con

aproximaciones por rectas y parabolas.

Una vez decidido el tipo de funcion usaremos una aproximacion en el

sentido de los mınimos cuadrados, es decir, buscamos una funcion f (x)

tal que se minimice la suma de las distancias entre los puntos (xi, f (xi)) y

(xi, yi) al cuadrado.

7.3.1. Aproximacion mediante una recta o ajuste lineal por mınimos cuadrados.

Dado el conjunto de n datos

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

buscamos la recta y = ax + b que mejor se aproxime a los datos en el sentido de

los mınimos cuadrados, es decir, buscamos los valores de a y b que hagan mınima


la expresion

(y1 − (ax1 + b))2+ (y2 − (ax2 + b))2

+ · · · + (yn − (axn + b))2

Por tanto para encontrar la recta que mejor aproxime a los datos, es equivalente a

encontrar a y b tales que

‖a(x1, x2, . . . , xn) + b(1, 1, . . . , 1) − (y1, y2, . . . , yn)‖2

sea mınima. La solucion nos la da el Teorema de la Mejor aproximacion, si llama-

mos U al subespacio generado por

{(x1, x2, . . . , xn), (1, 1, . . . , 1)}

a y b son los valores tales que

PU(y1, y2, . . . , yn) = a(x1, x2, . . . , xn) + b(1, 1, . . . , 1)

ya que este es el vector de U cuya distancia a (y1, y2, . . . , yn) es mınima.

Ejemplo

Encontrar la recta que mejor aproxima en el sentido de los mınimos cuadrados,

los datos

(1, 4), (−2, 5), (3,−1), (4, 1)

Sea U el subespacio de R4 generado por

(1,−2, 3, 4), (1, 1, 1, 1)

buscamos la mejor aproximacion del vector v = (4, 5,−1, 1) en el subespacio U.

Como PU(v) ∈ U, entonces

PU(v) = a(1,−2, 3, 4)+ b(1, 1, 1, 1)

= (a + b,−2a + b, 3a + b, 4a + b)

si imponemos que v − PU(v) ∈ U⊥, entonces:

〈(4, 5,−1, 1)− a(1,−2, 3, 4)− b(1, 1, 1, 1), (1,−2, 3, 4)〉 = 0

〈(4, 5,−1, 1)− a(1,−2, 3, 4)− b(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)〉 = 0

30a + 6b = −5

6a + 4b = 9⇒

a = − 3742

b = 257


La recta que mejor aproxima en el sentido de los mınimos cuadrados es

y = ax + b = −37

42x +

25

7

N 7.5. Otra forma de resolver el ajuste lineal,y = ax + b por mınimos cuadrados es

encontrar el vector u =

b

a

obtenido como

u =(

AtA)−1

Aty

donde

y =

y1

...

yn

, A =

1 x1

......

1 xn

7.3.2. Aproximacion mediante una parabola o ajuste cuadratico por mınimos cua-

drados. Dado el conjunto de n datos

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

buscamos la parabola y = ax2+ bx + c que mejor se aproxime a los datos en el

sentido de los mınimos cuadrados, es decir, buscamos los valores de a, b y c que

hagan mınima la expresion

(y1 − (ax21 + bx1 + c))2

+ (y2 − (ax22 + bx2 + c))2

+ · · · + (yn − (ax2n + bxn + c))2

Por tanto para encontrar la parabola que mejor aproxime a los datos, es equivalente

a encontrar a, b y c tales que

‖a(x21, x

22, . . . , x

2n) + b(x1, x2, . . . , xn) + c(1, 1, . . . , 1) − (y1, y2, . . . , yn)‖2

sea mınima. La solucion nos la da el Teorema de la Mejor aproximacion, si llama-

mos U al subespacio generado por

{

(x21, x

22, . . . , x

2n), (x1, x2, . . . , xn), (1, 1, . . . , 1)

}

a, b y c son los valores tales que

PU(y1, y2, . . . , yn) = a(x21, x

22, . . . , x

2n) + b(x1, x2, . . . , xn) + b(1, 1, . . . , 1)

ya que este es el vector de U cuya distancia a (y1, y2, . . . , yn) es mınima.

Ejemplo


Encontrar la parabola que mejor aproxima en el sentido de los mınimos cuadrados,

los datos

(1, 4), (−2, 5), (3,−1), (4, 1)

Sea U el subespacio de R4 generado por

(1, 4, 9, 16), (1,−2, 3, 4), (1, 1, 1, 1)

buscamos la mejor aproximacion del vector v = (4, 5,−1, 1) en el subespacio U.

Como PU(v) ∈ U, entonces

PU(v) = a(1, 4, 9, 16)+ b(1,−2, 3, 4)+ c(1, 1, 1, 1)

= (a + b + c, 4a − 2b + c, 9a + 3b + c, 16a + 4b + c)

si imponemos que v − PU(v) ∈ U⊥, entonces:

〈(4, 5,−1, 1)− a(1, 4, 9, 16) − b(1,−2, 3, 4)− c(1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 16)〉 = 0

〈(4, 5,−1, 1)− a(1, 4, 9, 16)− b(1,−2, 3, 4)− c(1, 1, 1, 1), (1,−2, 3, 4)〉 = 0

〈(4, 5,−1, 1)− a(1, 4, 9, 16) − b(1,−2, 3, 4)− c(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)〉 = 0

a = − 5132

b = − 107132

c = 154

La parabola que mejor aproxima en el sentido de los mınimos cuadrados es

y = ax2+ bx + c = a = −

5

132x2+ −

107

132x +

15

4

N 7.6. Otra forma de resolver el ajuste cuadratico,y = ax2+ bx + c por mınimos

cuadrados es encontrar el vector u =

c

b

a

obtenido como

u =(

AtA)−1

Aty

donde

y =

y1

...

yn

, A =

1 x1 x21

......

1 xn x2n

TEMA 3

DIAGONALIZACIONDEMATRICES.

1. Matrices diagonalizables

D 1.1. Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B se dice que son seme-

jantes si existe una matriz regular P de manera que

B = P−1AP

Nuestro objetivo es, dada una matriz cuadrada A encontrar, si es posible, una

matriz diagonal, D que sea semejante a la matriz A.

Ejemplo Sean las matrices

A =

1 −4

2 7

,

1 −2

−1 1

Calcula P−1AP y encuentra una matriz D semejante a A.

D 1.2. Se dice que A, una matriz cuadrada de orden n es diagonalizable si

existe una matriz diagonal semejante a A. Es decir, si existen una matriz regular P y una

matriz diagonal D tales que

A = PDP−1

N 1.3. Toda matriz diagonal, D, es diagonalizable basta con considerar P = I.

La preguntas que vamos a resolver a continuacion son las siguentes:

¿ Como saber si una matriz dada A es diagonalizable?

¿ Como calcular las matrices P y D ?

57

58 3. DIAGONALIZACION DE MATRICES.

2. Diagonalizacion de una matriz.

DiagonalizarA, unamatriz cuadradadeordenn, consiste en encontrar lasmatrices

P y D que verifiquen la igualdad A = PDP−1. Para ello vamos a necesitar las

siguientes definiciones.

D 2.1. Se dice que λ es un valor propio o autovalor de la matriz A si existe

algun vector no nulo v ∈ Rn tal que

Av = λv

si λ es un valor propio de A, se llaman vectores propios o autovectores de A asociados

al valor propio λ a los vectores no nulos v ∈ Rn tales que

Av = λv

Ejemplo En el ejemplo precedente 5 es un valor propio de A y u(1,−1) un vector

propio asociado porque Au = 5u. La matriz A tiene como otro valor propio 3 y

v(−2, 1) como vector propio asociado ya que Av = 3v.

D 2.2. Si A es una matriz cuadrada de orden n y λ es un valor propio de A,

entonces el conjunto de todos los vectores propios de A asociados a λ, es un subespacio de

Rn y se llama subespacio propio de A asociado al valor propio λ

Vλ = {v ∈ Rn : Av = λv}

Observar que si λ es valor propio de A

Av = λv⇒ Av = λIv⇒ (A − λI)v = 0

por tanto, λ es un valor propio de A, si y solo si el sistema lineal homogeneo

(A − λI)v = 0

tiene soluciones distintas de cero, es decir el sistemade n ecuaciones con n incogni-

tas v1, v2, · · · , vn es compatible indeterminado por tanto, segun el teorema de

Rouche-Frobenius tenemos

det(A − λI) = 0

.

2. DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ. 59

El subespacio Vλ, que son los vectores propios de A asociados al valor propio λ

son las soluciones de

(A − λI)v = 0

D 2.3. Se llama polinomio caracterıstico de la matriz A al polinomio de

variable λ:

pA(λ) = det(A − λI).

N 2.4. Los valores propios de la matriz A son las raıces de su polinomio caracterıstico.

Ejemplo Sean las matrices

A =

1 −4

2 7

, B =

0 1

−1 0

,

Calcula sus polinomio caracterıstico y determina sus autovalores.

D 2.5. Si λ es un valor propio de A, llamaremos:

Multiplicidad algebraica de λ, y la notaremos por, mλ, a la multiplicidad de

λ como raız del polinomio caracterıstico de la matriz A.

Mulplicidad geometrica de λ, y la notaremos por, dλ, a la dimension del

subespacio propio Vλ de A asociado a λ.

dλ = dim(Vλ) = n − rg(A − λI)

N 2.6. Puede probarse que si λ es un valor propio de A, entonces se verifica la relacion

1 ≤ dλ ≤ mλ

EjercicioDetermina losvalorespropiosy susmultiplicidades algebraicasygeometri-

cas de las siguentes matrices

A =

1 1

0 1

, B =

1 1 2

0 1 3

0 0 3

, C =

1 0 2

0 1 3

0 0 3

.

Teorema Fundamental de la Diagonalizacion.

Sea A una matriz cuadrada de dimension n. Entonces dicha matriz es diagonali-

zable si y solo si, se verifican las dos siguientes condiciones:


El polinomio caracterıstico pA(λ) factoriza en R, es decir, todas las raıces

de pA(λ) son numeros reales, por tanto, si los valores propios de A son

λ1, . . . , λp ∈ R, y si las multiplicidades algebraicas de estos son m1, . . . ,mp

entonces m1 + . . . +mp = n.

Lamulplicidad algebraica de cadavalor propio coincide con sumultiplici-

dad geometrica. Es decir, si las multiplicidades geometricas son d1, . . . , dp,

entonces di = mi, ∀i = 1, . . . , p.

Una vez que sabemos que la matriz A es diagonalizable, ¿Como la diagonaliza-

mos?

La matriz diagonal esta formada por los valores propios de la matriz

D =

λ1

λ2

λn

Las columnas de lamatrizP son los vectores propios de las bases de los respectivos

subespacios propios de A (asociados a los valores propios colocados en el mismo

orden que en la matriz diagonal). y tenemos

D = P−1AP

Metodologıa para calcular los valores y vectores propios asociados a unamatriz

cuadrada A.

La resolucion del problemade diagonalizacion de unamatriz,A, de orden n queda

estructurada de la siguiente forma:

a) Calculamos el polinomio caracterıstico det(A−λI) y hallamos las raıces de

dicho polinomio λ1, . . . , λp, y sus multiplicidades algebraicas m1, . . . ,mp.

b) Si alguna raiz del polinomio caracterıstico no es un numero real, la matriz

A no es diagonalizable ya que no se verifica la primera condicion del Teo-

rema Fundamental de Diagonalizacion. Si todas las raıces del polinomio

caracterıstico son reales, seguimos.

c) Calculamos las multiplicidades geometricas, di = n − rg(A − λI), y com-

probamos si mi = di para cada i = 1, . . . , p.

3. DIAGONALIZACION DE MATRICES SIMETRICAS REALES. 61

d) Si para algun valor propiomi , di, entoncesA no es diagonalizable puesto

que no se verifica la segunda condicion del Teorema Fundamental de

Diagonalizacion.

e) Si mi = di para cada i = 1, . . . , p, entonces la matriz A es diagonalizable.

Hallamos una base de cada subespacio propio.

f) Formamos la matriz diagonal, D, poniendo en la diagonal los valores

propios repetidos tantas veces como indica su multiplicidad algebraica.

Obtenemos la matriz P ordenando por columnas los vectores propios

que forman las bases de los subespacios propios (ordenados de la misma

forma que los valores propios).

Ejercicios Diagonalizar si es posible las matrices:

1.

A =

2 −1 0

0 1 0

1 −1 3

2.

B =

cosα −senα

senα cosα

En los dos siguientes casos se verican condiciones suficientes de diagonalizabili-

dad:

T 2.7. Si una matriz cuadrada de orden n tiene n valores propios distintos,

entonces esta matriz es diagonalizable.

T 2.8. Cualquier matriz simetrica real es diagonalizable.

3. Diagonalizacion de matrices simetricas reales.

Si A es una matriz simetrica real, es siempre diagonalizable, es decir, existen D

una matriz diagonal y P una matriz regular tales que

A = PDP−1

.

Ademas tenemos el siguiente teorema


T 3.1. Se A es una matriz simetrica real, los subespacios propios asociados a

valores propios distinctos son ortogonales entre ellos.

Consecuencia La matriz simetrica real A se puede diagonalizar en una base

ortonormal. Es decir se puede conseguir una matriz Q ortogonal, es decir, que

Q−1 = Qt, tal que

A = QDQt.

La diagonalizacion de una matriz simetrica considerando como matriz de paso

una matriz ortogonal, se denomina diagonalizacion por semejanza ortogonal.

N 3.2. Si una matriz A simetrica real tiene todos sus valores propios distintos, enton-

ces los vectores propios asociados son ortogonales entre ellos. Por lo cual solo es necesario

normalizar estos vectores para obtener una base ortonormal de diagonalizacion.

En el caso de que hubiese valores propios con multiplicidad algebraica mayor que uno, es

tambien necesario aplicar el metodo de ortogonalizacion de Gram-Schmidt para obtener

una base ortonormal de cada subespacio propio

Ejercicio Diagonalizar ortogonalmente las matrices

A =

3 0 2

0 2 0

2 0 0

B =

1 −1 1

−1 1 −1

1 −1 1

4. Aplicaciones: Calculo de la potencia de una matriz

Si A es una matriz diagonalizable, existen una matriz de cambio de base P y una

matriz diagonal D tal que

A = PDP−1

entonces

A2 = PD(P−1P)DP−1 = PD2P−1

y

An = PDnP−1

Ejercicio Calcular A1000 con la misma matriz del ejercicio precedente.

TEMA 4

CONICAS Y CUADRICAS.

1. Espacios afines R2 y R3. Sistemas de referencia.

1.1. Espacios afines R2 y R3.

D 1.1. Un espacio afın ,E, asociado a un espacio vectorial ,V, es el conjunto

de puntos ,M, tal que si O es un punto origen de E entonces−−→OM = v ∈ V.

Propiedades

Para cualquier punto P ∈ E y para cada vector v ∈ V, existe un unico

punto Q ∈ E tal que v =−−→PQ. Se dice que P y Q son respectivamente, el

origen y extremo del vector−−→PQ.

Para cualesquiera que sean los puntos P,Q, S ∈ E, se verifica la relacion

de Chasles

−−→PQ +

−→QS =

−→PS

Consecuencias

−−→PQ = −

−−→QP,

−→PP = 0

si

−→AB =

−−→CD entonces

−−→AC =

−−→BD

Plano afın IR2

El plano afınR2 es el conjunto de puntosM determinado por un punto O ,origen,

y por el plano vectorial asociado R2 tal que−−→OM = v ∈ R2 (espacio vectorial).

En el plano afın R2 podemos encontrar puntos o rectas.

63

64 4. CONICAS Y CUADRICAS.

Una recta r viene determinada bien por un punto A y un vector director v, o

por dos puntos A y B, en cuyo caso serıa suficiente considerar un vector director

v =−→AB.

Las diferentes formas de expresar una recta en el plano son:

Ecuacion vectorial: Observemos que si X(x, y) es un punto de la recta,

los vectores−−→AX y v son proporcionales, entonces

−−→AX = λv y operando

tenemos la llamada ecuacion vectorial

X = A + λv, λ ∈ R

, si escribimos la formula por coordenadas en el sistema de referencia

usual obtenemos

Ecuaciones parametricas

x = a1 + λv1

y = a2 + λv2, λ ∈ R

La ecuacion continua la obtenemos despejando, si es posible, λ de la

ecuacion anterior e igualando

x − a1v1

=

y − a2

v2

La ecuacion cartesiana o implıcita se obtiene operando e igualando a

cero la ecuacion en forma continua

Bx + Cy +D = 0

Observar que en la forma cartesiana, un vector director de la recta es

v = (−C,D) y por tanto un vector normal viene dado por N(B,C). Otra

forma de obtener esta ecuacion cartesiana es observar que, si X es un

punto de la recta y N es un vector normal a dicha recta, entonces los

vectores−−→AX y N son ortogonales, por tanto:

−−→AX ·N = 0

al ser−−→AX = (x−a1, y−a2) yN(n1, n2) entonces n1(x−a1)+n2(y−a2) = 0. Por

ejemplo, la recta que pasa por el punto A(−1, 4) y tiene por vector normal

N(−2, 1) tendrıa por ecuacion cartesiana −2(x + 1) + 1(y − 4) = 0.

1. ESPACIOS AFINES R2 Y R3. SISTEMAS DE REFERENCIA. 65

Otra opcion para construir estamisma ecuacion es notar que los vecto-

res−−→AX y v son colineales, o proporcionales, y por tanto su determinante,

det(−−→AX, v) = 0.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(5, 8) y B(3, 7).

Espacio afın

El espacio afın, R3, es el espacio de puntos asociado al espacio euclıdeo, R3, y

tenemos puntos, rectas y planos.

Las ecuaciones de la recta son analogas a las del plano afın, siendo ahoraX(x, y, z)

y serıan:

Ecuacion vectorial

X = A + λv, λ ∈ R


x = a1 + λv1

y = a2 + λv2

z = a3 + λv3

, λ ∈ R.

Ecuacion continua

x − a1v1

=

y − a2

v2=z − a3v3

Ecuaciones implıcitas

Bx + Cy +Dz + E = 0

B′x + C′y +D′z + E′ = 0

para hallar estas ecuaciones se elimina el parametro λ de las ecuaciones

parametricas y se iguala.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(0, 1, 2) y B(3, 2, 4).

Un plano en el espacio afın puede estar determinado por un punto y dos vecto-

res linealmente independientes, tres puntos no alineados, un punto y un vector


perpendicular al plano, veremos a continuacion las ecuaciones del plano a partir

de un punto A(a1, a2, a3) y dos vectores linealmente independientes u(u1, u2, u3) y

v(v1, v2, v3) ,o lo que es lo mismo, no colineales.

Ecuacion vectorial

Un punto X pertenece al plano si el vector−−→AX es combinacion lineal

de los dos vectores u y v, entonces

X = A + λu + µv, λ, µ ∈ R


x = a1 + λu1 + µv1

y = a2 + λu2 + µv2

z = a3 + λu3 + µv3

, λ, µ ∈ R

Ecuacion general o implıcita

Bx + Cy +Dz + E = 0

, esta ecuacion se puede obtener observando que el vector−−→AX es combi-

nacion lineal de los vectores u y v y por tanto

rango

x − a1 u1 v1

y − a2 u2 v2

z − a3 u3 v3

= 2,⇒ det

x − a1 u1 v1

y − a2 u2 v2

z − a3 u3 v3

= 0

Otro procedimiento para obtener la misma ecuacion es a partir de un

vector normal al plano, N(n1, n2, n3), entonces−−→AX ·N = 0 y se tiene que

n1(x − a1) + n2(y − a2) + n3(z − a3) = 0

Observese que las ecuaciones implıcitas de una recta en el espacio pueden

interpresarse geometricamente como el corte de dos planos.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0, 1, 0), B(1, 0, 3) y

C(2, 3, 4).


1.2. Sistemas de referencia. Sea E un espacio afın y V su espacio vectorial

asociado. Sea A un punto de E y B una base de V.

D 1.2. Un sistema de referencia R = {A,B} de E es un par formado esta definido

por un punto A de E y una base B de V. El punto A es el origen del sistema de referencia

y la base B su base.

Si M es un punto del espacio afın E, sus coordenadas respecto el sistema de

referencia R son las coordenadas del vector−−→AM en la base B.

Sistemade referencia de R2

Sea A un punto de R2 y B = {u, v} una base de R2. Entonces R = {A,B = {u, v}} es

un sistema de referencia deR2. Si un puntoM tiene las coordenadasM(x′, y′)R en

R, esto significa que el vector−−→AM(x′, y′)B en la base B.

Ejemplo 1: El sistema de referencia canonico Rc = {O,Bc} :

El origen de Rc es el punto O y su base asociada la base canonica Bc = {e1, e2}

donde e1(1, 0) y e2(0, 1).

Cuando decimos que un puntoM(x, y) en Rc sigifica que el vector−−→OM(x, y) en la

base Bc.

Cuando no se precisa el sistema de referencia escribiendo las coordenadas de un

punto, se considera que utilizamos el sistema de referencia canonico.

Ejemplo 2: Sea A(2, 1) = A(2, 1)Rc y la base B = {u, v} con u(3, 0) y v(1, 2). R = {A,B}

es un sistema de referencia de R2. Sea el punto C(2, 3)R. Cuales son las coordena-

das del punto C en Rc?

Tenemos−−→AC(2, 3)B. Si llamamos MB→Bc la matriz de cambio de base de B a Bc,

tenemos−−→ACBc = MB→Bc

−−→ACB

con

MB→Bc =

3 1

0 2

·

Por lo cual−−→ACBc =

3 1

0 2

2

4

=

9

6

Bc


de lo cual podemos deducir las coordenadas de C en Rc:xc = xA + 9 = 11

yc = yA + 6 = 7

C(11, 7)Rc . Mas generalmente siM(x, y)Rc en Rc yM(x′, y′)R en R, tenemos

−−→AMBc =MB→Bc

−−→AMB

es decir, x − xA

y − yA

=

3 1

0 2

x′

y′

Ası obtenemos las formulas de cambio de R a Rc:

x = 2 + 3x′ + y′

y = 1 + 2y′

Si queremos las formulas de cambio de Rc a R, despejamos (x′y′):

x′

y′

= NBc→B

x − xA

y − yA

donde NBc→B =M−1B→Bc. Aqui tenemos

NBc→B =1

6

2 −1

0 3

por lo cual tenemos las formulas de cambio de de Rc a Rx′ = 1

6(2x − y − 3)

y′ = 16(y − 1)

Sistemade referencia de R3

Sea A un punto de R3 y B = {u, v,w} una base de R3. Entonces R = {A,B} es un

sistema de referencia de R3.

Si un puntoM tiene las coordenadasM(x′, y′, z′)R en R, esto significa que el vector−−→AM(x′, y′z′)B en la base B.

Ejemplo 1: El sistema de referencia canonico R3 es Rc = {O,Bc = {e1, e2, e3}} :

El origen de Rc es el punto O y su base asociada la base canonica Bc = {e1, e2}

donde e1(1, 0) y e2(0, 1).


Ejemplo 2: Sea A(1,−1, 2)Rc y la base B = {u, v,w} con u(2, 1, 0), v(0, 2, 1} y

w(−7, 0, 2). R = {A,B} es un sistema de referencia de R3.

Vamos a calcular las formulas de cambio de sistema de referencia de R a Rc y de

Rc a R. Sea

MB→Bc =

2 0 −7

1 2 0

0 1 2

·

la matriz de cambio de B a Bc. Tenemos

−−→AMBc = MB→Bc

−−→AMB

es decir,

x − xA

y − yA

z − zA

=

2 0 −7

1 2 0

0 1 2

x′

y′

z′

Ası obtenemos las formulas de cambio de R a Rc:

x = 1 + 2x′ − 7z′

y = −1 + x′ + 2y′

z = 2 + y′ + 2z′

Si queremos las formulas de cambio de Rc a R, escribimos

−−→AMB = NBc→B

−−→AMBc

donde

NBc→B =M−1=

4 −7 14

−2 4 −7

1 −2 4

x′

y′

z′

=

4 −7 14

−2 4 −7

1 −2 4

x − xA

y − yA

z − zA

Las formulas de cambio de Rc a R son :


x′ = 4x − 7y + 14z − 39

y′ = −2x + 4y − 7z + 20

z′ = x − 2y + 4x − 11

Ejercicio

Si C(2, 3, 2)Rc , cuales son sus coordenadas en R?

Si D(0, 2, 4)R, cuales son sus coordenadas en Rc?

Ejercicio

Dados los sistemas de referencia en R3,

R1 = {A,B1} = {A(0, 0, 1); {(1, 1, 0), (0, 1, 1, ), (1, 0, 1)}}

y

R2 = (B,B2) = (B(1, 1, 1); {(1, 1, 0), (1, 1, 1, ), (1, 0, 0)})

se pide:

Hallar las ecuaciones de cambio de sistema de referencia de R1 a Rc y de

Rc a R2

Hallar las ecuaciones de cambio de sistema de referencia de R1 a R2.

Calcular las coordenadas en R2 del punto A(1, 1,−2)R1.

2. ELIPSE, HIPERBOLA Y PARABOLA DEFINIDAS MEDIANTE SUS PROPIEDADES GEOMETRICAS.71

2. Elipse, hiperbola y parabola definidas mediante sus propiedades

geometricas.

2.1. Elipse.

D 2.1. Una elipse es el lugar geometrico de puntos, X = (x, y) del plano

euclıdeo tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados, focos, (situados a

una distancia 2c), es constante (igual a 2a).

Para hallar una ecuacion de la elipse vamos a considerar el caso en el que sus

focos esten situados simetricamente sobre el ejeOX, por tanto las coordenadas de

los focos seran

F = (c, 0), y F′ = (−c, 0)

Para que un punto (x, y) pertenezca a la elipse tiene que cumplir que la suma de

las distancias a los focos sea constantemente igual a 2a.

d(X, F′) + d(X, F) = 2a⇒ d((x, y), (−c, 0))+ d((x, y), (c, 0)) = 2a

⇒

√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a

si operamos,

x2

a2+

y2

a2 − c2= 1

y definimos b =√a2 − c2, ya que a2 = b2 + c2, entonces obtenemos la llamada

ecuacion reducida de la elipse

x2

a2+

y2

b2= 1

D 2.2. Los ejes de la elipse son la recta que une los focos y su mediatriz

(tambien se denominan ejes de simetrıa de la elipse). El centro es el punto de interseccion

con los ejes, y los vertices son los puntos de corte de los ejes con la elipse.

N 2.3. Si el centro es el origen de coordenadas entonces los vertices serıan los puntos

(a, 0), (−a, 0), (0, b), (0,−b).

D 2.4. Se llama excentricidad de la elipse al cociente entre la semidistancia

focal ,c, y el semieje mayor, a

exc =c

a


Propiedades:

La excentricidad de la elipse esta acotada entre cero y uno, es decir,

0 ≤ exc ≤ 1.

La recta tangente a una elipse un un punto, forma elmismo angulo con las

rectas que unen dicho punto con los dos focos. Esta propiedad ha tenido

una gran cantidad de aplicaciones tales como cupulas en arquitectura.

Ejercicio

Representa las siguientes elipses e indica todos sus elementos geometricos

x2

16+y2

25= 1.

x2

25+y2

16= 1.

x2

2+y2

5= 1.

3x2 + 6y2 = 7.

2.2. Hiperbola.

D 2.5. Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, (situados a una distancia 2c),

y un numero positivo , a, la hiperbola es el conjunto de todos los puntos del plano cuya

diferencia de distancias en valor absoluto a los focos es constante (igual a 2a).

Por tanto la ecuacion de una hiperbola es

|d(X, F′) − d(X, F)| = 2a

Si consideramos los focos sobre un eje de coordenadas y equidistando del origen,

es decir, F′ = (−c, 0), y F = (c, 0) con c > 0, entonces

| d((x, y), (−c, 0))− d((x, y), (c, 0)) |= 2a⇒√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = 2a

Si operamos obtenemos

x2

a2−y2

c2 − a2= 1

y si definimos b =√c2 − a2, ya que c2 = a2 + b2, entonces obtenemos la llamada

ecuacion reducida de la hiperbola

x2

a2−y2

b2= 1

2. ELIPSE, HIPERBOLA Y PARABOLA DEFINIDAS MEDIANTE SUS PROPIEDADES GEOMETRICAS.73

D 2.6. Los ejes de simetrıa de esta hiperbola son los ejes del sistema de

coordenadas y el centro esta situado sobre el origen de coordenadas y es la interseccion de

los ejes de simetrıa. Los vertices, (a, 0) y (−a, 0), son los puntos de corte de la hiperbola

con los ejes, y las rectas que pasan por los puntos (a, b) y (−a, b) reciben el nombre de

asıntotas de la hiperbola.

N 2.7. Si el centro es el origen de coordenadas entonces los vertices serıan los puntos

(a, 0) y (−a, 0).

N 2.8. Dada una hiperbola en forma reducida, las asıntotas de la hiperbola son

y = ±b

ax

D 2.9. Se llama excentricidad de la hiperbola al cociente entre la semidis-

tancia focal ,c, y el semieje mayor, a

exc =c

a

Ejercicio

Representa las siguientes hiperbolas e indica todos sus elementos geometricos

x2

16−y2

25= 1.

x2

25−y2

16= 1.

x2

2−y2

5= 1.

3x2 − 6y2 = 7.

2.3. Parabola.

D 2.10. Una parabola es el lugar geometrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo F, llamado foco de la parabola, y una recta r dada, llamada

directriz. La condicion que ha de cumplir un punto X para pertenecer a la parabola es

d(X, F) = d(X, r)

La distancia entre el foco y la directriz la denotaremos por la letra p.

Para determinar la ecuacion reducida de la parabola consideramos que el foco

esta situado en el eje de abcisas y la directriz sea paralela al eje de ordenadas, es

decir,

F = (p

2, 0), r : x = −

p

2


entonces un punto X(x, y) pertenece a la parabola si verifica

d(X, F) = d(X, r)⇒√y2 + (x − p/2)2 =| x +

p

2|

y si operamos, obtenemos

y2 = 2px

que es la ecuacion reducida de la parabola.

D 2.11. Se llama eje de la parabola a la recta perpendicular a la directriz que

pasa por el foco (es el eje de simetrıa). El vertice es el punto de interseccion de la parabola

con el eje.

N 2.12. La parabola no tiene ni centro ni asıntotas.

N 2.13. Observar que si la parabola es de la forma x2 = 2py, entonces F(0,p

2) y la

directriz es la recta y = −p

2.

Ejercicio

Representa las siguientes parabolas e indica todos sus elementos geometricos

x2 = 9y.y2

16= x.

3. Ecuacion general de una conica.

El nombre generico de conicas que se da a la elipse, la hiperbola y la parabola

tiene el origen en el hecho de que se pueden obtener como resultado de intersecar

un cono con un plano, es decir, como una seccion conica.

Por ejemplo, si consideramos el cono de ecuacion

x2 + y2 − z2 = 0

y hacemos la interseccion

Con el plano π : z = 1 se obtiene la ecuacion x2 + y2 = 1 que es una

circunferencia, es decir, un tipo elipse.

Con el plano π : y = 1 se obtiene la ecuacion x2 − z2 = 1 que es una

hiperbola.

3. ECUACION GENERAL DE UNA CONICA. 75

Con el planoπ : x−z = 1 se obtiene la ecuacion y2 = −2x+1 que representa

una parabola.

Elipse, hiperbola y parabola son lo que llamamos conicas no degeneradas. Pero al

intersecar un cono con un plano pueden aparecer figuras geometricas diferentes,

por ejemplo:

Con el plano π : z = 0 se obtiene la ecuacion x2 + y2 = 0 que es un punto.

Con el plano π : y = 0 se obtiene la ecuacion x2−z2 = 0⇒ (x−z)(x+z) = 0

que son dos rectas que se cortan.

Con el plano π : x − z = 0 se obtiene la ecuacion y2 = 0 que es una recta

doble.

Estos tipos de secciones se denominan conicas degeneradas. Al igual que en el

caso de las conicas no degeneradas, cuando el sistema de referencia esta especial-

mente situado respecto de la conica aparecen ecuaciones simples de las conicas

degeneradas.

Nuestro objetivo es definir un concepto general que englobe todos los tipos de

conicas que han aparecido, para ello hemos de observar que la propiedad que

tienen todas en comun es que sus ecuaciones son de segundo grado en dos

variables.

D 3.1. Una conica es el lugar geometrico de los puntos del plano que verifican

una ecuacion polinomica de segundo grado en dos variables de la forma

a11x2+ a22y

2+ 2a12xy + a01x + a02y + a00 = 0

La ecuacion anterior puede escribirse en forma matricial

XtAX + BX + a00 = 0

donde

A =

a11 a12

a21 a22

, B =

(a01 a02

), X =

x

y

Ejemplo

La ecuacion

9x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 29y − 5 = 0


representa una conica puesto que es una ecuacion de segundo grado en dos

variables. Dicha ecuacion puede escribirse en forma matricial

(x y

) 9 −2

−2 6

x

y

+

(−10 −29

) x

y

− 5 = 0

Vamos a escribir a continuacion las ecuaciones matriciales de las ecuaciones re-

ducidas de las conicas no degeneradas

Elipse

x2

a2+

y2

b2= 1⇒

(x y

) 1a20

0 1b2

x

y

− 1 = 0

Hiperbola

x2

a2−y2

b2= 1⇒

(x y

) 1a2

0

0 − 1b2

x

y

− 1 = 0

Parabola

x2 = 2py⇒(x y

) 1 0

0 0

x

y

+

(0 −2p

) x

y

= 0

N 3.2. Las matrices A son siempre diagonales. En el caso de la elipse y de la parabola

los elementos de la diagonal son no nulos y la matriz B es nula. En la parabola es nulo un

elemento de la diagonal.

4. Ecuacion reducida de una conica y sus elementos geometricos.

El problema que trataremos de resolver a continuacion es el de obtener, a partir

de una ecuacion general de una conica,

a11x2+ a22y

2+ 2a12xy + a01x + a02y + a00 = 0

o en forma matricial

XtAX + BX + a00 = 0

su clasificacion y una ecuacion reducida realizando un cambio de sistema de

referencia .

Para identificar la conica, es determinante la parte homogenea de grado dos, es

decir a11x2+ a22y

2+ 2a12xy = X

tAX.

4. ECUACION REDUCIDA DE UNA CONICA Y SUS ELEMENTOS GEOMETRICOS. 77

Ya que la matriz A es una matriz simetrica real, es siempre diagonalizable por

semejanza ortogonal. Diagonalizamos ortogonalmente A: sean λ1 y λ2 los valores

propios, v1 y v2 los vectores propios normalizados asociados.

Segun los valores propios λ1, λ2 tenemos la siguiente clasificacion: Clasificacion

de conicas

Si λ1, y λ2 son del mismo signo y no nulos (λ1λ2 > 0) tenemos una elipse.

Si λ1, y λ2 son de distinto signo y no nulos (λ1λ2 < 0) tenemos una

hiperbola.

Si λ1, o λ2 son nulos (λ1λ2 = 0) tenemos una parabola.

Una vez clasificada la conica, vamos a determinar el nuevo sistema de referencia

R′′ en dos etapas:

Primera etapa : Calculamos las direcciones de los nuevos ejes, que es un

cambio de base.

Segunda etapa: Hallamos el origen del nuevo sistema de referencia.

Por consiguiente, si partimos de Rc : (O, {e1, e2}), con X =

x

y

En la primera etapa calculamos

R′ : (O, {v1, v2}), X′ =

x′

y′

Y en la segunda etapa hallamos

R′′ : (C, {v1, v2}), X′′ =

x′′

y′′

donde C sera el centro o vertice de la conica segun su tipo.

vamos a detallar a continuacion cada una de las etapas necesarias para el cambio

de sistema de referencia:

Primera etapa

Calculamos las direcciones de los nuevos ejes esta dada por los vectores propios de

la matriz A. Sea B = {v1, v2} una base ortonormal de diagonalizacion y P = PB→Bc ,


la matriz de cambio de base de B a Bc. Tenemos

P−1AP = PtAP = D =

λ1 0

0 λ2

Entonces si consideramos el cambio de sistema de referencia ortonormal

X = PX′

y remplazamos esta expresion en la ecuacion matricial de la conica, obtenemos la

ecuacion de la conica en R′

(PX′)tA(PX′) + B(PX′) + a00 = 0⇔ (X′)t(PtAP)X′ + (BP)X′ + a00 = 0

(X′)tDX′ + (BP)X′ + a00 = 0

es decir

λ1x′2+ λ2y

′2+ a′01x

′+ a′02 + a00 = 0

Ahora la ecuacion de la conica no tiene terminos cruzados en el sistema de refe-

rencia R′.

Segunda etapa

Calculamos el origen del nuevo sistema de referencia, entonces el cambio de

sistema de referencia sera de la formax′′ = x′ + c1

y′′ = y′ + c2

El procedimiento seguido para obtener el nuevo sistema de referencia R′′ es

completar cuadrados para eliminar los terminos lineales.

Resumen del cambio de referencia de R a R′′

Dada la ecuacion general

XtAX + BX + a00 = 0

hacemos la rotacion

X = PX′

que es un cambio de sistema de referencia donde origen queda fijo, siendo P la

matriz de paso para ortogonalizar por semejanza ortogonal la matriz A. Como


PtAP = D es diagonal, entonces la ecuacion de la conica en el nuevo sistema de

referencia R′ queda

(X′)tDX′ + (BP)X′ + a00 = 0

Ahora hacemos el segundo cambio de referencia que consiste en trasladar R′ de

forma que

X′′ = C + IX′

de manera que el movimiento rıgido que resulta al componer los dos cambios de

sistemas de referencia es

X′′ = C + PtX

o bien

X = P(X′′ − C)⇒ X = PX′′ − PC

Observar que estas dos ultimas ecuaciones nos permiten relacionar R y R′′

Ejemplo

Hallar la ecuacion reducida de la conica x2 + 6x + 5y + 14 = 0

Escribimos la forma matricial asociada

(x y

) 1 0

0 0

x

y

+

(6 5

) x

y

+ 14 = 0

Al ser en este caso la matriz A diagonal, no hay que realizar la primera etapa,

observese que en este caso hay un valor propio nulo, por tanto la conica es una

parabola. Completemos los cuadrados para eliminar el termino lineal en x.

x2 + 6x = x2 + 6x + 9 − 9 = (x + 3)2 − 9

por tanto,

x2+6x+5y+14 = 0⇒ (x+3)2−9+5y+14 = 0⇒ (x+3)2+5y+5 = 0⇒ (x+3)2+5(y+1) = 0

si hacemos el cambio x′′ = x + 3

y′′ = y + 1

La ecuacion reducida de la conica queda x′′2 + 5y′′2 = 0 que es una parabola.

N 4.1. El cambio de sistemas de referencia permite obtener los elementos geometricos

de la conica en el sistema de referencia inicial, R, a partir de los elementos en el sistema

final R′′.


4.1. Calculo de los elementos geometricos. Dada una elipse, hiperbola o

parabola en un sistema de referencia R, despues de un movimiento rıgido de

ecuaciones

X′′ = C + PtX

podemos obtener una ecuacion reducida de la conica. Esto significa que el nuevo

sistema de referencia R′′ tiene como origen el centro de la conica (elipse e hiperbo-

la) o el vertice (parabola) y como los ejes de la conica (elipse e hiperbola) o el eje y

la tangente en el vertice (parabola). Puesto que las coordenadas del origen de R′′

respecto de R′′ son (0, 0), entonces el centro o vertice es la solucion del sistema

O = C + PtX

Para calcular los ejes recordamos que la nueva base esta formada por los vectores

propios de la matriz A y por tanto estos vectores son los vectores directores de

los ejes de la conica. En el caso de la parabola, el vector propio asociado a λ = 0

nos da la direccion del eje y el otro vector propio proporciona la direccion de la

tangente en el vertice.

De forma analoga al calculo del centro se pueden obtener los focos de la conica,

la directriz de la parabola (que tiene la misma direccion que la tangente), las

asıntotas de la hiperbola que tienen direcciones (a, b)R′′ y (−a, b)R′′ .

4.2. Ejemplos detallados de conicas.

4.2.1. Estudio de una elıpse. Estudia la conica

3x2 − 2xy + 3y2 − 5√2x + 3

√2y − 2 = 0

Estudiamos la parte homogenea de grado 2 para identificar el tipo de

conica: La matriz A asociada a la conica es

A =

3 −1

−1 3

Calculamos el polinomio caraterıstico:

det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣3 − λ −1

−1 3 − λ

∣∣∣∣∣∣∣= (4 − λ)(2 − λ)

Los valores propios de A son λ = 2 y λ = 4. Son de mismo signo por lo

cual la conica es de tipo elıpse.


Diagonalizacion de la matriz A.

• para determinar V2 resolvemos el sistema:

(A − 2Id)

x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo1 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣∣0

0

Las soluciones sonx = λ

y = λλ ∈ IR.

por lo cual un vector director normalizado de V2 es

u2

∣∣∣∣∣∣∣1/√2

1/√2


(A − 4Id)

x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo−1 −1

−1 −1

∣∣∣∣∣∣∣0

0

Las soluciones sonx = −λ

y = λλ ∈ IR.


u4

∣∣∣∣∣∣∣−1/√2

1/√2

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u2, u4} y la

matriz de cambio de base de la base B a la canonica Bc es:

PB→Bc =

1/√2 −1/

√2

1/√2 1/

√2


Cambio de base : Si ahora consideramos el sistema de referencia R′ =

{0,B}, si las coodenadas deunpunto son (x′, y′) respectoR′ y (x, y) respecto

Rc, tenemos las fomulas de cambio de sistema de referencia de R′ a Rc:

x

y

= PB→Bc

x′

y′

,

es decir: x = 1√

2(x′ − y′)

y = 1√2(x′ + y′)

Respecto al sistema de referencia R′, la ecuacion de la conica es:

2x′2 + 4y′2 −5√2√2(x′ − y′) +

3√2√2(x′ + y′) − 2 = 0

Simplificando esta expresion:

2x′2 − 2x′ + 4y′2 + 8y′ − 2 = 0

Busqueda del centro de la elipse:

Factorizamos

2x′2 − 2x′ = 2[x′2 − x′] = 2[(x′ −1

2)2 −1

4] = 2(x′2 −

1

2)2 −1

2

4y′2 + 8y′ = 4[y′2 + 2y′] = 4[(y′ + 1)2 − 1] = 4(y′ + 1)2 − 4

Respecto al sistema de referencia R′, el centro de la elipse C tiene como

coordenadas C(1/2,−1)R′ .

Cambio de orıgen:

Si consideremos el sistema de referencia R′′

= {C,B}, entoncesx′′

= x′ − 12

y′′

= y′ + 1

La ecuacion de la elipse en R′′

es

2x′′2+ 4y

′′2=

13

2

Multiplicando esta ultima ecuacion por 13/2 obtenemos una ecuacion

reducida de la elipse:

x′′2

(√134)2+

y′′2

(√138)2= 1


Determinacion de los elementos geometricos de la elıpse:

Tenemos

a =

√13

4, b =

√13

8c =√a2 − b2 =

√13

8

a es la longitud del gran eje y b la longitud del pequeno eje. Los focos

tienen como coordenadas en R′′

:

F(

√13

8, 0)R′′ F′(

√−13

8, 0)R′′

Calculo del centro C respecto el sistema de referencia canonico Rc;

CRc = P

1/2

−1

=

1√2

1 −1

1 1

1/2

−1

=

3/2√2

−1/2√2

Formulas de cambio de R′′

a Rc:

x = 3

2√2+1√2(x′′

− y′′

)

y = − 1

2√2+1√2(x′′

+ y′′

)

En el sistema de referencia R′′

, los ejes de la elipse tienen como ecuacion

x′′

= 0 y y′′

= 0 y en la base canonica x + y = 1/√2 y x − y =

√2.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 0 1 2 3

y

x

3*y2-2*x*y+3*sqrt(2)*y+3*x2-5*sqrt(2)*x = 2x-y = sqrt(2)

y+x = 1/sqrt(2)


4.2.2. Estudio de una hiperbola. Ejercicio Estudia la conica

x2 − 4xy + y2 − 7√2x +

√2y − 6 = 0


conica: La matriz A es

A =

1 −2

−2 1


det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣1 − λ −2

−2 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣= (3 − λ)(−1 − λ)

Los valores propios de A son λ = 3 y λ = −1. Son de signo opuesto

por lo cual la conica es de tipo hiperbola.



(A − 3Id)

x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo−2 −2

−2 2

∣∣∣∣∣∣∣0

0


y = λλ ∈ IR.


u3

∣∣∣∣∣∣∣−1/√2

1/√2

• para determinar V−1 resolvemos el sistema:

(A + Id)

x

y

=

0

0


Resolvemos el sistema homogeneo2 −2

−2 2

∣∣∣∣∣∣∣0

0


y = λλ ∈ IR.


u−1

∣∣∣∣∣∣∣1/√2

1/√2

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u3, u−1} y la


PB→Bc =

−1/√2 1/

√2

1/√2 1/

√2


{0,B}, si las coodenadas de unpunto son (x′, y′) respectoR′ y (x, y) respecto


x

y

= PB→Bc

x′

y′

,

es decir: x = 1√

2(−x′ + y′)

y = 1√2(x′ + y′)


3x′2 − y′2 −7√2√2(−x′ + y′) +

√2√2(x′ + y′) − 6 = 0


3x′2 + 8x′ − y′2 − 6y′ − 6 = 0

Busqueda del centro de la hiperbola:

Factorizamos

3x′2 + 8x′ = 3[x′2 +8

3x′] = 3[(x′ −

4

3)2 −16

9] = 3(x′ −

4

3)2 −16

3

−y′2 − 6y′ = −[y′2 + 6y′] = −(y′ + 3)2 + 9


Respecto al sistema de referenciaR′, el centro de la hiperbolaC tiene como

coordenadas C(4/3,−3)R′ .

Cambio de orıgen:


= {C,B}, entoncesx′′

= x′ − 43

y′′

= y′ + 3

La ecuacion de la hiperbola en R′′

es

3x′′2− y

′′2=

7

3

Multiplicando esta ultima ecuacion por 3/7 obtenemos una ecuacion re-

ducida de la hiperbola:

x′′2

(√79)2−y′′2

(√73)2= 1

Determinacion de los elementos geometricos de la hiperbola:

Tenemos

a =

√7

9, b =

√7

3c =√a2 + b2 =

√28

9=

2√7

3

Los focos tienen como coordenadas en R′′

:

F(2√7

3, 0)R′′ F′(−

2√7

3, 0)R′′

Las asıntotas tienen como ecuacion en R′′

:

y′′

= ±b

ax′′

= ±√3x

′′

Calculo del centro C respecto el sistema de referencia canonico Rc;

CRc = P

4/3

−3

=

1√2

−1 1

1 1

4/3

−3

=

−13/3

√2

−5/3√2


a Rc:

x = − 13

3√2+1√2(−x

′′

+ y′′

)

y = − 5

3√2+1√2(x′′

+ y′′

)

En el sistema de referencia R′′

, los ejes de la hiperbola tienen como ecua-

cion x′′

= 0 y y′′

= 0 y en la base canonica x − y = 4√2/3 y x + y = −3

√2.


-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -4 -2 0 2 4

y

x

y2-4*x*y+sqrt(2)*y+x2-7*sqrt(2)*x = 6x-y = 2(5/2)/3

y+x = -3*sqrt(2)

4.2.3. Estudio de una parabola. Estudia la conica

x2 − 2xy + y2 − 5√2x + 3 = 0


conica: La matriz A asociada a la conica es

A =

1 −1

−1 1


det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣1 − λ −1

−1 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣= (2 − λ)(−λ)

Los valores propios de A son λ = 2 y λ = 0. Ya que uno de los valores

propios es nulos, la conica es de tipo parabola.




(A)

x

y

=

0

0

Resolvemos el sistema homogeneo

1 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣∣0

0


y = λλ ∈ IR.


u0

∣∣∣∣∣∣∣1/√2

1/√2


(A − 2Id)

x

y

=

0

0


−1 −1

−1 −1

∣∣∣∣∣∣∣0

0


y = λλ ∈ IR.


u2

∣∣∣∣∣∣∣−1/√2

1/√2

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u0, u2} y la


PB→Bc =

1/√2 −1/

√2

1/√2 1/

√2



{0,B}, si las coodenadas de unpunto son (x′, y′) respectoR′ y (x, y) respecto


x

y

= PB→Bc

x′

y′

,

es decir: x = 1√

2(x′ − y′)

y = 1√2(x′ + y′)


0x′2 + 2y′2 −5√2√2(x′ − y′) + 3 = 0


2y′2 + 5y′ + 3 = 5x′

Busqueda del vertice de la parabola:

Factorizamos

2y′2 + 5y′ = 2[y′2 +5

2y′] = 2[(y′ +

5

4)2 −25

16] = 2(y′ +

5

4)2 −25

8

Entonces la ecuacion de la parabola es:

2(y′ +5

4)2 = 5x′ +

1

8= 5(x′ +

1

40)

Respecto al sistema de referencia R′, el vertice de la parabola V tiene

como coordenadas V(−1/40,−5/4)R′.

Cambio de orıgen:


= {V,B}, entoncesx′′

= x′ + 140

y′′

= y′ + 54

Una ecuacion reducida de la parabola en R′′

es

y′′2= 2.5

4x′′

Determinacion de los elementos geometricos de la parabola:

Tenemos

p =5

4


El focos tiene como coordenadas en R′′

:

F(−p/2, 0)R′′ = F(5/8, 0)R′′

La directriz tiene como ecuacion en R′′

:

x′′

= −p

2= −5

8

Calculo del vertice V respecto el sistema de referencia canonico Rc;

VRc = P

−1/40

−5/4

=

1√2

1 −1

1 1

−1/40

−5/4

=

49/40

√2

−51/40√2


a Rc:

x = 49

40√2+1√2(x′′

− y′′

)

y = − 51

40√2+1√2(x′′

+ y′′

)

En el sistema de referenciaR′′

, los ejes de la parabola tienen como ecuacion

x′′

= 0 y y′′

= 0 y en la base canonica x + y = −1/20√2 y x + y = 5/2

√2.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y

x

y2-2*x*y+x2-5*sqrt(2)*x+3 = 0x-y = 5/2(3/2)

y+x = -1/(5*2(5/2))

5. CUADRICAS. ECUACION REDUCIDA. APLICACIONES A LA EDIFICACION. 91

5. Cuadricas. Ecuacion reducida. Aplicaciones a la Edificacion.

D 5.1. Una cuadrica es el lugar geometrico de puntos del espacio que verifican

una ecuacion polinomica de segundo grado en tres variables de la forma

a11x2+ a22y

2+ a33z

2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + a01x + a02y + a03z + a00 = 0

La ecuacion anterior puede escribirse en forma matricial

XtAX + BX + a00 = 0

donde

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

(a01 a02 a03

), X =

x

y

z

De la misma manera que con las conicas la matriz A es simetrica por lo cual

diagonalizable ortogonalmente. La clasificacion de la cuadrica depende del signo

de los valores propios de la matriz A λ1 λ2 y λ3 ası que de su forma reducida

haciendo un adecuado cambio de sistema de referencia ortonormal, como en el

caso de las conicas. Cualquier cuadrica adopta una de las siguientes expresiones

algebraicas:

• Elipsoide : valores propios de A no nulos λ1,λ2 y λ3 de mismo signo

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

• Hiperboloide de una hoja o hiperbolico: dos valores propios positivos y uno

negativo o dos valores propios negativos y uno positivo

x2

a2+

y2

b2−z2

c2= 1

• Hiperboloide de dos hojas o elıptico : dos valores propios positivos y uno

negativo o dos valores propios negativos y uno positivo

x2

a2+

y2

b2−z2

c2= −1

• Cono: dos valores propios positivos y uno negativo o dos valores propios

negativos y uno positivox2

a2+

y2

b2−z2

c2= 0


• Paraboloide elıptico: dos valores propios de mismo signo y el tercero nulo

x2

a2+

y2

b2− 2cz = 0

• Paraboloide hiperbolico: dos valores propios de signo opuesto y el tercero nulo

x2

a2−y2

b2− 2cz = 0

• Cilindro Elıptico: dos valores propios de mismo signo y el tercero nulo

x2

a2+

y2

b2= 1

• Cilindro Hiperbolico : dos valores propios de signo opuesto y el tercero nulo

x2

a2−y2

b2= 1

• Cilindro Parabolico : dos valores propios nulos y uno no nulo

x2

a2− 2py = 0

• Par de planos que se cortan: dos valores propios de signo opuesto y el tercero

nulo

x2

a2−y2

b2= 0

• Par de planos paralelos: dos valores propios nulos y uno no nulo

x2 − a2 = 0

• Par de planos coincidentes : dos valores propios nulos y uno no nulo

x2 = 0

5.1. Ejemplos detallados de cuadricas. Estudia la cuadrica

2x2 + 2y2 + z2 + 2xz + 2yz − 2√2x + 2

√2y +

√3z = 0



cuadrica: La matriz A asociada a la cuadrica es

A =

2 0 1

0 2 1

1 1 1


det(A − λId) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 − λ 0 1

0 2 − λ 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (2 − λ)(3 − λ)(−λ)

Los valores propios de A son λ = 2, λ = 3y λ = 0. Ya que uno de los

valores propios es nulos, y los dos otros son de mismo signo, la cuadrica

es de tipo paraboloide elıptico.



(A)

x

y

z

=

0

0

0


0 0 1

0 0 1

1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

0

Las soluciones son

x = −λ

y = λ

z = 0

λ ∈ IR.


u2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1/√2

1/√2

0



(A − 3Id)

x

y

z

=

0

0

0


−1 0 1

0 −1 1

1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

0

Las soluciones son

x = λ

y = λ

z = λ

λ ∈ IR.


u3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1/√3

1/√3

1/√3


(A)

x

y

z

=

0

0

0


2 0 1

0 2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

0

Las soluciones son

x = λ

y = λ

z = −2λ

λ ∈ IR.



u0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1/√6

1/√6

1/ − 2√6

Una base ortonormal de diagonalizacion es la base B = {u2, u3, u0} y la


PB→Bc =

−1/√2 1/

√3 1/

√6

1/√2 1/

√3 1/

√6

0 1/√3 −2/

√6


{0,B}, si las coodenadas de un punto son (x′, y′, z′) respecto R′ y (x, y, z)

respecto Rc, tenemos las fomulas de cambio de sistema de referencia de

R′ a Rc:

x

y

z

= PB→Bc

x′

y′

z′

,

es decir:

x = − 1√2x′ + 1√

3y′ + 1√

6z′

y = 1√2x′ + 1√

3y′ + 1√

6z′

z = 1√3y′ − 2√

6z′

Respecto al sistema de referencia R′, la ecuacion de la cuadrica es:

2x′2 + 3y′2 + 0z′2 + 4x′ + y′ −√2z′ = 0

Busqueda del vertice del paraboloide elıptico:

Factorizamos

2x′2 + 4x′ = 2[x′2 + 2x′] = 2(x′ + 1)2 − 2

3y′2 + y′ = 3[y′2 + 13y′] = 3[(y′ + 1

6)2 − 1

36] = 3(y′ + 1

6)2 − 1

12

Entonces la ecuacion del paraboloide elıptico es:

2(x′ + 1)2 + 3(y′ +1

6)2 =

√2z′ +

25

12=

√2(z′ +

25

12√2)

Respecto al sistema de referencia R′, el vertice del paraboloide elıptico

V tiene como coordenadas V(−1,−1/5,−25/12√2)R′ .


Cambio de orıgen:


= {V,B}, entonces

x′′

= x′ + 1

y′′

= y′ + 16

z′′

= z′ + 25

12√2

Una ecuacion reducida del paraboloide elıptico en R′′

es

z′′

=

x′′2

(√1√2)2+

y′′2

(

√√23)2

PROBLEMAS



Calculo matricial y sistemas lineales.

Matematicas I. Grupos F y G

Octubre de 2012

1. Encuentra dos matrices cuadradas de orden tres no nulas cuyo producto sea la matriz nula.¿Podrıa ser regular alguna de ellas?

2. Dadas las matrices A y B de orden 4× 5 y las matrices C, D y E de ordenes 5× 2, 4× 2y 5×4 respectivamente. Determina cuales de las siguientes operaciones matriciales puedenrealizarse y en su caso determina el orden de la matriz resultante.

a) BA, b) AC +D, c) AE +B, d) AB+B, e) E(A+B), f) E(AC).

3. Dadas las matrices

A =

3 0−1 2

1 1

, B =

1 5 2−1 0 1

3 2 4

, C =

6 1 3−1 1 2

4 1 3

, D =(

4 −10 2

),

calcula: a) AD, b) B+Ct , c) DAt , d) BC y C B, e) At C. f) AD−1.


A =

−1 2 10 1 31 0 1

, B =

3 1−1 1

2 2

, C =

−1 −13 11 0

, D =

−1 0 10 1 01 0 1

,

a) calcula AB−AC +D(A−1D

)−1C y

b) obten la matriz X ∈M3×2 tal que AX = B.

5. Responde a las siguientes cuestiones:

a) Si A y B son dos matrices tales que AB y BA se pueden calcular, ¿Deben ser cuadradas?

b) Dos matrices cuadradas del mismo orden diremos que conmutan cuando AB = BA. Pruebaque, si A y B conmutan y son regulares, entonces A y B−1 y A−1 y B−1 tambien conmutan.

c) Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, calcula una expresion para (A+B)2.Simplifica esta expresion si A y B conmutan.

d) Si A2 = A, ¿que valores puede tomar el determinante de A ? ¿Y si A = A−1?

6. Dadas las matrices A =(

1 03 1

)y C =

(2 00 2

)encuentra una matriz B tal que AB = C.

1

7. Dada la matriz A =(−2 1

1 3

)encuentra todas las matrices B tales que AB = BA.

8. Demuestra que la inversa de A es B siendo:

A =

1 2 32 3 43 4 6

, y B =

−2 0 10 3 −21 −2 1


A =

1 1 11 1 11 1 1

, B =(

a 10 a

)calcular A2, A3, B2, B3. ¿ Pueden deducirse formulas para An y Bn?

10. Escribir razonadamente, si es posible:

a) una matriz cuadrada de orden 4 con rango 2,

b) una matriz 4×3 de rango 4,

c) una matriz cuadrada de orden 5 y rango 4 con dos filas de ceros,

d) una matriz 3×4 de rango 3,

e) una matriz 3×3 de rango 1.

11. Calcular el rango de las siguientes matrices usando determinantes y algoritmo de Gauss.

A =

1 2 3 02 4 3 23 2 1 36 8 7 5

, B =

0 2 3 42 3 5 44 8 13 12

.

12. Determinar el rango de:

a) una matriz de orden n×n diagonal,

b) una matriz de orden n×n triangular superior,

c) una matriz de orden n×n triangular inferior,

segun los valores no nulos de su diagonal.

13. Si una matriz cuadrada A cumple la igualdad A4−A2 + 2A− I = 0, comprueba que A esregular y da una expresion de su inversa.

14. Calcular las inversas de las matrices

2 3 45 6 63 1 2

,

2 3 4 15 6 6 03 1 2 23 5 6 7

,

2 0 0 0 00 5 0 0 00 0 −1 0 00 0 0 7 00 0 0 0 π

.

2

−1 2 10 1 −21 4 −1

,

2 1 32 −1 51 1 1

,

1 2 31 3 32 0 0

.

15. Comprueba que las matrices(−1 0

0 −1

),(

1 00 −1

),(−1 0

0 1

)y(

0 −1−1 0

), ve-

rifican la ecuacion A2 =I aunque no sean la identidad.

Comprueba que, en general, A2 =I⇔ (A+I)(A−I) = 0.

16. Busca una matriz X que verifique AX A−B = C, siendo A, B, C las matrices

A =(

2 31 2

), B =

(1 −1−3 5

), C =

(1 00 1

).

17. Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 tales que det(A) = 3 y det(B) =−2. Calcular:

a) det(2A), b) det(12B), c) det(AB),

d) det(BAt), e) det((BA)t), f) det((BtAtB)t).

18. Prueba que el determinante de una matriz antisimetrica de orden 11 es nulo.

19. Calcula los siguientes determinantes:

∣∣∣∣∣∣1 0 30 1 41 1 7

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 0 32 0 3 −2−1 7 5 8

3 1 4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 7 61 9 3 61 9 4 77 4 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣

4 −2 5−4 1 0

2 1 −1

∣∣∣∣∣∣ .20. Transforma cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en otro equivalente

escalonado, discutelo y, cuando sea compatible, resuelvelo.

a)

x+ y+ z = 72x−5y+2z = 63x+2y− z = 1

b)

x+2y+ z = 32x− y+4z = 1−x+ y− z = 0x+ y+2z = 2

c)

x+ y+ z+ t = 0x− y+ z− t = 03x− y+3z− t = 07x−5y+7z−5t = 0

21. Discute los siguientes sistemas empleando el teorema de Rouche-Frobenius y resuelveloscuando sea posible

3

a)

x+ y+ z+ t = 6x− y+ z− t =−23x− y+3z− t = 37x−5y+7z−5t =−6

b)

x+ y+ z+ t = 6x− y+ z− t =−23x− y+3z− t = 27x−5y+7z−5t =−6

c)

2x−3y+ z+ t = 0x− y+ z+ t = 03x+2y+ z+ t = 06x−6y+3z+3t = 0

22. En este ejercicio consideramos dos sistemas de ecuaciones en forma matricial:

AX = b , AX = c ,

para una misma matriz cuadrada A pero terminos independientes posiblemente distintos b yc. Razona cuales de las siguentes afirmaciones son ciertas en general.

a) Si el primer sistema es compatible indeterminado, el segundo tambien lo es.

b) Si el primer sistema es compatible determinado, el segundo tambien lo es.

c) Si el primer sistema es incompatible, el segundo tambien lo es.

23. Discute los siguentes sistemas de ecuaciones lineales (sin necesidad de resolverlos)x+ y+ z = 02x−5y+2z = 03x+2y− z = 0

x+ y+ z =−12x−5y+2z = 23x+2y− z = 3

24. Dada la matriz

A =

1 1 −1 01 0 1 10 −1 2 1

a) Halla su rango.

b) Clasifica y resuelve el sistema homogeneo, cuya matriz de coeficientes es A.

25. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.

a) Si un sistema de ecuaciones es compatible determinado, entonces la matriz A de coefi-cientes es cuadrada.

b) En un sistema incompatible de cinco ecuaciones con cuatro incognitas, si el rango dela matriz de coeficientes es cuatro, entonces el rango de la matriz ampliada es cinco.

c) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene la solucion trivial, entonces el sistema eshomogeneo.

4

d) Dado un sistema de ecuaciones en el que la matriz de coeficientes A es triangular condet(A) = 0, entonces el sistema es compatible determinado.

26. Responda verdadero o falso justificando la respuesta.

a) El sistema de ecuaciones x+2y− z = 02x+5y+2z = 0x+4y+7z = 0x+3y+3z = 0

tiene como unica solucion la solucion trivial.

b) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A17 = 0. Entonces A no es regular.

c) Las transformaciones elementales sobre una matriz cuadrada dejan invariante su deter-minante.

d) Si A es una matriz cuadrada de orden n y a es un numero real, entonces

det(aA) = andet(A)

5

El espacio vectorial euclideo Rn.

Matematicas I : Grupos F y G

Octubre-Noviembre de 2012.

1. Determina si el vector v de R3 indicado se puede expresar como combinacion lineal de losvectores que se senalan:

a) v = (5, 2,−3) como combinacion lineal de {(1, 1,−1), (2,−1, 0)}.b) v = (−1, 2, 1) como combinacion lineal de {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 0,−1)}.c) v = (−1,−1,−1) como combinacion lineal de {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 0,−1)},

2. Estudia la dependencia o independencia lineal de los conjuntos de vectores indicados:

a) En R2, el conjunto {(a, 0), (0, b)} con a 6= 0 y b 6= 0.

b) En R3, el conjunto {(1, 1,−1), (1, 0,−2), (2, 1,−3)}.c) En R3, el conjunto {(1,−2, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}.

3. En R3 consideramos un conjunto de vectores linealmente independientes {u, v, w}. Estudiasi los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:

a) S1 = {u, v, u + v}.b) S2 = {u, w, u + w}.c) S3 = {u, v, (0, 0, 0)}.d) S4 = {u− v, 2u− v − w, v + w}e) S5 = {u + v − w, u− v + w, 2u + 3v − 3w}

4. Sea A una matriz real de orden 3 × 4 y de rango 3. Indica razonadamente si las siguientesafirmaciones son ciertas o falsas:

a) Las tres primeras columnas de A son linealmente independientes.

b) Las columnas de A son un sistema de generadores de R3.

c) Las filas de A generan un subespacio de dimension 3 de R3.

d) Las filas de A generan un subespacio de dimension 3 de R4.

5. Sea {e1, e2, e3} una base de R3. Sean u = 2e1+e2−3e3, v = 3e1+2e2−5e3 y w = e1−e2+3e3.

a) Comprueba que {u, v, w} es otra base de R3.

b) Calcula las coordenadas de 6e1 + 2e2 − 7e3 en la nueva base.

6. Sea B = {e1, e2, e3} una base de R3. Sean u1 = e1 − e2, u2 = e3 − e1, u3 = e3 + 2e2.

a) Comprueba que B1 = {u1, u2, u3} es otra base de R3.

b) Encuentra las ecuaciones de cambio de base de B a B1 y las del cambio de B1 a B.

c) Calcula las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en la base B son(1, 0, 2).

1

7. Determina si el conjunto de vectores dado genera el espacio vectorial que se indica:

a) En R2, {(1, 2), (3, 4)}.b) En R2 {(1, 1), (1, 0), (1,−1)}.c) En R3, {(2, 0, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1), (7, 3, 5)}.d) En P4(x), {1, (x− 1), (x− 1)2, (x− 1)3, (x− 1)4}.

e) En M2,2,{(

1 11 1

),

(1 11 0

),

(1 10 0

),

(1 00 0

)}.

8. (i) Consideremos en R2, el conjunto B = {(1, 1), (1, 2)}.a) Comprueba que B es base de R2.b) Calcula las coordenadas respecto de B de los vectores (1, 0), (0, 1) y (−1, 1).c) ¿Cuales son los vectores de R2 que tienen por coordenadas respecto a B a (1, 0),

(0, 1) y (2, 3)?d) ¿ Cuales son las coordenadas de (1, 0), (0, 1) y (−1, 1) respecto de la base B′ ={(1, 2), (1, 1)}?

(ii) Demuestra que B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es una base de R3 y calcula las coorde-nadas del vector (1, 1, 0) en dicha base.

(iii) Demuestra que B = {(2, 1, 3), (3, 2,−5), (1,−1, 1)} es una base de R3 y calcula las coorde-nadas del vector (6, 2,−7) en dicha base. ¿Cual es el vector de R3 que tiene coordenadas(3, 2, 5) respecto de la base B?.

9. Halla las coordenadas de los vectores de la base canonica de R3 respecto de la siguiente baseB = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Calcula la matriz de cambio de base de la base canonica ala base B.

10. i) En R2 consideramos las bases B1 = {(1, 1), (−1, 4)} y B2 = {(3, 0), (1, 7)}.a) Halla la matriz de cambio de base de B2 a B1.b) Halla la matriz de cambio de base de B1 a B2.c) Calcula las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en B2 son (2, 3).

ii) En R3 consideramos las bases B1 = {(1, 0, 1), (−1, 1, 1), (1,−1, 0)} y B2 ={(2, 1, 1), (1, 1, 1), (1,−1, 1)}:a) Calcula la matriz de cambio de base de B2 a B1.b) Calcula las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en B2 son

(3, 2,−2).

11. i) Sea B = {u1, u2, u3} una base de V y x ∈ V cuyas coordenadas respecto de la base B son(3, 2, 1). Calcula un vector w3 ∈ V de forma que si tomamos B′ = {w1 = u1 − u2, w2 =u2 + u3, w3}, las coordenadas de x respecto de B′ sean (1, 1, 1).

ii) Sean B y B′ dos bases de V y sean x, y, z ∈ V, con coordenadas (2,−1,−1), (1, 0,−1)y (2,−2, 0) en la base B. Si las cordenadas de los mismos vectores respecto de B′ son(1, 3, 0), (3, 4,−2) y (0, 2, 1) respectivamente, calcular las coordenadas de los vectores deB′ respecto de los de B.

12. En el espacio vectorial R3 se consideran las bases B1 = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0,−1)} y B2 ={(2, 1,−1), (−1, 2, 1), (1,−1, 2)}.

a) Halla la matriz del cambio de base de B1 a B2.

b) Halla los vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de las dos bases.

2

13. Sea Bc la base canonica en R4 y B el conjunto de vectores siguiente:

B = {(0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}

(a) Comprueba que B es una base de R4.

(b) Calcula las matrices de cambio de base de B a Bc y de Bc a B.

(c) Calcula los vectores de R4 que tienen las mismas coordenadas en las dos bases.

14. Determina si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V :

a) V = R2 y H = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 0}.b) V = R2 y H = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.c) V = R3 y H = {(x, y, z) : x + y + z = 1}.d) V = R3 y H = {(x, y, z) : x2 = y}.e) V = R3 y {(x, y, z) : x2 + y − z = 0}.f) V = R3 y {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 0}.g) V = R3 y {(x, y, z) : x = 2y = 3z}.

15. i) Encuentra las ecuaciones parametricas y dos bases distintas para cada uno de los subes-pacios de R3 siguientes

a) U = {(x, y, z) : x + y + z = 0}.b) W = {(x, y, z) : x = z}.

ii) Halla las ecuaciones parametricas y una base del subespacio W de R3

W = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y − z = 0}

iii) Dados los subespacios de R3 definidos por H1 = L ({(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 1)}) yH2 = L ({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0)}), determina la dimension, una base y las ecuacionesparametricas de cada uno de ellos.

iv) Calcula una base del siguiente subespacio de R4

H ={

(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = 0x1 − x2 + x3 + x4 = 0

}

16. Consideremos el subespacio vectorial V de R3 generado por los vectores{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)} y el subespacio vectorial W = {(x, y, z) : x − y + 2z = 0}.Calcula una base de cada uno de los subespacios dados.

17. Demostrar que si dos vectores u y v son ortogonales entonces

‖u + v‖2 = ‖v‖2 + ‖u‖2

18. En R3 se considera una base B = {v1, v1, v3} tal que ‖v1‖ = ‖v2‖ = 1, ‖v3‖ =√

2 y< v1, v2 >= 0. Sabiendo que el vector 2v2−v3 es ortogonal al vector v1 y al vector v3, calculeel angulo que forman los vectores siguientes:

a) v2 y v3 a) v1 − v2 y v1 + v2

19. Calcula el angulo que forman los vectores de R3 u = (1, 1, 1) y v = (1, 1, 0).

3

20. En R2 con el producto escalar usual se consideran las bases:

B = {(1, 1), (1,−1)} B′ = {( 1√2,

1√2

), (1√2,− 1√

2)}

a) ¿Es alguna de estas bases ortogonal?,

b) ¿Alguna de estas dos bases es ortonormal?

c) Halla las coordenadas de v = (2, 1) respecto de cada una de estas bases.

21. Ortonormaliza las siguientes bases

a) B1 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 1, 0)} en R3 con el producto escalar usual.

b) B2 = {(1, 1, 1), (1,−1, 0), (1, 0,−1)} en R3 con el producto escalar usual.

a) B3 = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)} en R4 con el producto escalar usual.

22. Sean B y B′ las bases de R3

B = {(1,−1, 0), (0, 1,−1), (1, 0, 1)} B′ = {(3, 0, 0), (1, 2,−1), (0, 1, 5)}

a) Aplica el proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt para obtener una base ortogonala partir de B.

b) Sea U el subconjunto de R3 definido por

U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0, x + 2z = 0}.

Razona por que U es un subespacio de R3. Obten una base, la dimension y unasecuaciones parametricas de U .

c) Sea U el subespacio de R4 de ecuacion cartesiana

x1 + x2 − x3 − 5x4 = 0

Obten una base ortogonal de U .

d) En R3 con el producto escalar usual, se considera el subespacio U de ecuaciones implıcitas{2x + y − z = 0x− y + 3z = 0

Calcula unas ecuaciones parametricas de U⊥.

23. Se considera el subespacio vectorial de R3

H = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0} .

a) Calcular la dimension y una base de H.

b) Se considera en R3 el producto escalar usual. Ortogonalizar dicha base mediante Gram-Schmidt.

c) Hallar las ecuaciones parametricas y cartesianas del complemento ortogonal de H (H⊥).

d) Ampliar la base de H a una base ortogonal de R3.

24. i) Hallar la proyeccion del vector (1, 2, 1) sobre los siguientes subespacios vectoriales de R3:

a) U = L({(0, 1, 2), (1, 2, 3)})b) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + 3z = 0}

4

ii) Calcular la proyeccion ortogonal del vector (1, 0, 1) sobre los subespacios generados por{(1, 2, 1), (0, 1, 1)} y {(2,−1, 0)}. ¿Cual es la distancia de este vector a cada uno de lossubespacios?

25. Halla el polinomio de mınimos cuadrados de grado 1 que ajusta los datos

{(−2, 5), (1, 4), (3,−1), (4, 1)}

26. Halla la recta (y = ax+b) y la parabola (y = ax2 +bx+c) que mejor aproximan, en el sentidode mınimos cuadrados, los siguientes datos

(x1, y1) = (1, 1) , (x2, y2) = (2, 1) , (x3, y3) = (0, 2) , (x4, y4) = (3, 2) ,

Una vez obtenidas estas aproximaciones, representa graficamente los datos junto con lasfunciones obtenidas en el intervalo [0, 3].

27. Determina la parabola de ecuacion y = ax2 + bx + c que mejor aproxima, en el sentido de losmınimos cuadrados, los datos:

{(−1, 0), (0, 1), (1, 2), (3, 0)}

5

Diagonalizacion de matrices

Mathematicas I. Grupos F y G

Diciembre de 2012

1. Razonese la veracidad o falsedad de las siguientes afimaciones

(a) Un subespacio propio de una matriz puede reducirse al vector cero.

(b) Una matriz puede tener a λ = 1 como unico valor propio y ser diagonalizable.

(c) Existe una matriz A diagonalizable cuyos valores propios son π, 7 y 10−4.

(d) λ = 0 es un valor propio de A si, y solo si, detA = 0.

(e) Si λ es un valor propio de A entonces λ2 lo es de A2.

(f) Si A es regular y λ es un valor propio de A entonces 1λ

lo es de A−1.

(g) Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con autovalores: λ1 = −1, λ2 = 7 yλ3 = 2, entonces es diagonalizable y conocemos su polinomio caracterıstico.

(h) Toda matriz diagonal es diagonalizable.

(i) Si A y B son matrices diagonalizables del mismo orden han de ser semejantes.

(j) Sea A una matriz cuadrada de orden 2. Si su traza es 5 y su determinante −6 supolinomio caracterıstico es λ2 + 6λ+ 5.

(k) Si A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que det(A) < 0, entonces A esdiagonalizable.

2. Comprueba que las siguientes matrices son diagonalizables, y encuentra una matriz P ,tal que P−1AP sea diagonal.

A =

(1 42 3

)B =

1 4 −40 2 00 3 −1

C =

1 −1 −20 3 20 1 4

E =

−2 8 4−2 6 2

1 −2 1

F =

−3 8 4−2 5 2

1 −2 0

3. Prueba que las matrices A yB tienen los mismos valores propios {1, 1, 5} pero no son

semejantes.

A =

2 2 11 3 11 2 2

y B =

2 1 −10 2 −1−3 −2 3

1

4. Sean A, B C matrices cuadradas de orden 3 con polinomios caracterısticos:

pA(λ) = −(λ2 − 1)(λ− 2) , pB(λ) = −(λ2 + 1)(λ− 2) , pC(λ) = −(λ− 1)2(λ− 2) .

¿Cuales son los valores propios de cada una de estas matrices? ¿Podemos saber si sono no diagonalizables? Justifica la respuesta.

5. Diagonaliza por semejanza ortogonal las siguientes matrices y encuentra una matriz Ptal que A = PDP t con D matriz diagonal

A =

3 0 20 2 02 0 0

, B =

1 −1 1−1 1 −1

1 −1 1

, C =

1 −1 0 0−1 0 2 0

0 2 4 10 0 1 2

,

D =1

3

1 −2 2−2 1 2

2 2 1

.

6. Calcula A100 y D1000 con las matrices del ejercicio precedente.

7. En una ciudad hay dos centros comerciales Hipercor y Carrefour. Se sabe que el 70%de las personas que van a comprar a Hipercor vuelven a comprar al ano siguientepasandose el 30% a la competencia.Analogamente, el 60% de los que compran un ano en Carrefour vuelven a comprar endicho establecimiento al ano proximo pasandose el 40% restante a comprar en Hipercor.En el ano 2009 entraron 1200 clientes en Carrefour.

• ¿Cuantos clientes entraron en Hipercor si en el ano 2010 entraron el mismo numerode clientes que en el ano 2009 en ambos establecimientos?

8. Un estudio realizado sobre el lugar preferido por los espanoles para disfrutar de susvacaciones de verano revela el siguiente hecho: El 80% de las personas que veraneanun ano en la penınsula vuelven a hacer lo mismo al ano siguiente, mientras que el 20%restante pasa a disfrutar sus vacaciones al ano siguiente fuera de la penınsula.Analogamente, el 70% de las personas que disfrutan de sus vacaciones de verano fuerade la penınsula vuelven a hacerlo el ano pr’oximo, pasando el 30% restante a veranearen la penınsula.Si en el ano 1989 salieron de la penınsula tres millones de espanoles durante las vaca-ciones de verano,

• ¿Cuantas personas veranearon en dicho ano en la penınsula, si sabemos que enel ano 1990 veranearon, tanto en el interior como fuera de la misma, el mismonumero de espanoles que en 1989?Nota: Se supone que el numero de espaoles que veranean anualmente es constante.

9. Un estudio realizado sobre la comunidad de ingenieros industriales revela el hechosiguiente: El 90% de los hijos de padres ingenieros industriales cursan estudios deingenierıa industrial y solo el 20% de los que no lo hicieron consiguen que sus hijoscursen dicha carrera.

2

• ¿Cual sera el porcentaje de estudiantes que cursaran la carrera de ingenierıa in-dustrial despues de muchas generaciones? Nota: Se supondra un hijo como de-scendencia de cada familia.

10. Sean x0 e y0 las poblaciones iniciales de conejos y zorros respectivamente, se sabe queel numero de conejos en cualquier mes es la mitad de la poblacion de conejos del mesanterior y que el numero de zorros en dicho mes es la suma de la poblacion de zorrosmas la mitad de la de conejos en el mes anterior.

(a) ¿Cuantos conejos y zorros habra despues de diez meses si inicialmente hay 1024conejos y 2 zorros?

(b) Calcula las poblaciones de zorros y conejos al cabo de un tiempo infinito.

(c) ¿Se extinguira alguna de las especies mencionadas? Razonar la respuesta.

3

Espacio afın, conicas y cuadricas

Mathematicas I. Grupos F y G

Enero de 2013

1. En el espacio afın R2, consideremos el sistema de referencia R = {A, {u, v}} dondeA(3,−4) y los vectores u(2, 3) y v(3, 4).

(a) Halla la matriz de cambio de base M de la base B = {u, v} a la base canonica Bc

y la matrizde cambio de base N de la base canonica Bc a la base B = {u, v}.(b) Determina las formulas de cambio de sistema de referencia de R a Rc y de Rc a

R

(c) Determina las coordenadas respecto cada sistema de referencia de los puntos A yC(3,−4)R.

(d) Determina los puntos que tienen mismas coordemadas en los dos sistemas dereferencia

2. En el espacio afın R3, sea el punto A(1,−2, 1) y los tres vectores u(5, 1, 2), v(−2, 0,−1)y w(2, 1, 1).

(a) Verifica que la familia B = {u, v, w} es una base.

(b) Halla la matriz de cambio de base M de la base B = {u, v, w} a la base canonicaBc y la matrizde cambio de base N de la base canonica Bc a la base B = {u, v}.

(c) Determina las formulas de cambio de sistema de referencia de R a Rc y de Rc aR

(d) Determina las coordenadas respecto cada sistema de referencia de los puntos A yO.

(e) Determina los puntos que tienen mismas coordemadas en los dos sistemas dereferencia

3. En el espacio afın R2, consideremos los puntos A(1,−1) y B(2, 3) y los vectores u(2, 3),v(3, 4), u′(1, 4) y v′(3, 11).

(a) Demuestra qua R = {A, {u, v}} y R′ = {B, {u′, v′}} son sistemas de referencia

(b) Determina las formulas de cambio de sistema de referencia de R a Rc, de Rc a Rası que de R′ a Rc y Rc a R′

(c) Determina las formulas de cambio de sistemas de referencia de R a R′ y de R′ aR.

(d) Determina las coordenadas respecto cada sistema de referencia de los puntos O,A y B.

1

4. Calcule la ecuacion reducida de las conicas, clasifıquelas y especifique los cambios desistema de referencia que ha necesitado hacer para llegar a dicha ecuacion. Calcule loselementos geometricos en cada caso.

a) 3x2 + 3y2 − 2xy + 2x− 4y + 1 = 0

b) x2 + y2 − 2xy + 4x− 6y + 1 = 0

c) x2 + y2 + 10xy − 6x− 6y + 2 = 0

5. Calcule la ecuacion reducida de las conica siguientes

a) 4x2 − 3y2 + 8x + 16 = 0

b) 2x2 + y2 − 12x− 4y + 18 = 0

c) 5x2 + 8y2 − 4xy + 20√5x− 80√

5y + 4 = 0

d) x2 + 2xy + y2 + x− 2y + 1 = 0

e) x2 − y2 − x− y = 0

f) x2 − 2xy + y2 − x + y = 0

g) 2x2 + 2y2 − 4x− 4y + 8xy + 1 = 0

Clasifıquelas y especifique los cambios de sistema de referencia que ha necesitado hacerpara llegar a dicha ecuacion. Calcule los elementos geometricos en cada caso.

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-5 -4 -3 -2 -1 0

y

x

y2-2*x*y-6*y+x2+4*x+1 = 0y+x = -11/2y+x = -21/4

x-y = -5/2

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

y

x

3*y2-2*x*y-4*y+3*x2+2*x+1 = 0x-y = -3/4y+x = 1/2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

y2+10*x*y-6*y+x2-6*x+2 = 0y+x = 1x-y = 0

(sqrt(6)/2-1)*y+(sqrt(6)/2+1)*x-sqrt(6)/2 = 0-(sqrt(6)/2+1)*y+(1-sqrt(6)/2)*x+sqrt(6)/2 = 0

PRÁCTICAS



edificacion 1.wxmx 1 / 2

Práctica 1: Introducción a Maxima

1 Entrada a Maxima

Para acceder al programa desde el terminal del aula de ordenadores,debes autentificarte escribiendo "aulas", tanto en usuario como en contraseña.

2 Operaciones elementales

Los siguientes ejemplos ilustran las operaciones de suma, resta, producto, cociente y potencias de números reales, tanto de forma simbólica como decimal. Observa que el signo ";" aparece automáticamente al ejecutar cualquier operación (tecla "intro").

(%i1) 2+3;(%o1) 5

(%i2) 3-6.888;(%o2) -3.888

(%i3) 5*(4-2);(%o3) 10

(%i4) 6+2/2;(%o4) 7

(%i5) (6+2)/2;(%o5) 4

(%i6) 2+4/7-8/65;

(%o6) 1114

455

(%i7) 2.0+4/7-8/65;(%o7) 2.448351648351648

(%i8) 2^3.01;(%o8) 8.055644400453748

Podemos trabajar con la expresión decimal, bien como acabamos dehacer introduciendo alguno de los números en forma decimal, bien mediante la sentencia "float":

(%i9) float(sqrt(2));(%o9) 1.414213562373095

(%i10) float(%pi);(%o10) 3.141592653589793


(%i11) float(%e);(%o11) 2.718281828459045

La sentencia anterior admite una variante, "bfloat", con la que podemos modificar la precisión (la letra "b" a la derecha de la salida significa "10^")

(%i12) fpprec : 20;(%o12) 20

(%i13) bfloat(%pi);(%o13) 3.1415926535897932385b0

(%i14) fpprec : 50;(%o14) 50

(%i15) bfloat(%e);(%o15) 2.7182818284590452353602874713526624977572470937b0

3 Funciones matemáticas

Puedes observar en las siguientes entradas diversas funciones que usaremos a lo largo del curso

(%i16) sin(%pi);(%o16) 0

(%i17) cos(1.0);(%o17) 0.54030230586814

(%i18) sqrt(2.0);(%o18) 1.414213562373095

(%i19) log(%e);(%o19) 1

(%i20) exp(0.98);(%o20) 2.664456241929417


Práctica 2: Matrices y sistemas deecuaciones lineales

1 Definición de vectores y matrices

Vectores: entrada, longitud y localización de un e lemento a partirde su posición

--> a:[1,2,-3/8];

--> length(a);

--> a[3];

Unir dos vectores

--> b:[1,-5.09,7,7,8];

--> append(a,b);

--> append(b,a);

Si cada coordenada depende explícitamente de la po sición correspondiente, podemos construir fácilmente el ve ctormediante la sentencia "makelist"

--> makelist(i^2,i,1,10);

Las matrices se introducen de forma similar, y las manipulaciones realizadas con vectores se pueden también efectuar con matrices:

--> c:matrix([1,2,3],[4,5,6]);

Comprueba que también puede introducirse una matri z a partir del menú "Álgebra/Introducir matriz" de la barra princi pal. Manipulala ventana que se despliega, cambiando las dimensio nes y el tipo de matriz.

--> matrix_size(c);

--> c[1,2];

--> c[1];

--> d: matrix( [1,1,0], [-1,7,9]);


--> e:append(c,d);

--> append(d,c);

--> col(e,2);

--> row(e,2);

2 Operaciones con matrices

Suma de matrices, producto de un escalar por una m atriz, producto de matrices y trasposición

--> m: matrix( [1,3], [4.56,-9]);

--> n: matrix( [1/2,1/3], [1/4,1/5]);

--> o: matrix( [1,-11.2,1.1], [1,4,0]);

--> m+n;

--> 2*n;

--> n.o;

--> transpose(o);

--> transpose((2*m+3*n).o);

Podemos también multiplicar una matriz por un vect or:

--> c.a;

3 Rango. Matrices regulares y determinante

Observa cómo la orden que aparece a continuación p ermite hallar elrango de una matriz

--> echelon(n);


Mediante el siguiente comando es posible calcular el determinantede una matriz cuadrada:

--> determinant(n);

Además, para una matriz regular (determinante no n ulo) se calculasu matriz inversa con la siguiente sentencia

--> invert(n);

Observa que no se corresponde con la notación usua l ^(-1):

--> n^-1;

4 Sistemas de ecuaciones lineales

La sentencia linsolve discute y, en su caso, resue lve simultáneamenteun sistema de ecuaciones lineales:

--> linsolve([2*x+y-3*z=0, x+y+z=1,x-y+9*z=-2], [x,y,z] );

--> linsolve([2*x+y-3*z=0, x+y+z=1,x+y+z=11], [x,y,z]);

--> linsolve([2*x+y-3*z-7*w-t=1, x+y+z+w+t=1,2.5*x+ 1.5*y-2.5*z-7.5*w=0.5], [x,y,z,w,t]);

Puedes recurrir al menú "Ecuaciones/Resolver siste ma lineal" para generarfácilmente el comando anterior

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practica_diagonalizacion_olga.wxm 1 / 7

Práctica 4:Diagonalización

1 Polinomio característico asociado a una matriz A

La orden chaporly(A,x) calcula el polinomio característico de la matriz A respecto de la variable x.

(%i1) A:matrix( [1,3,0], [3,1,0], [0,0,-2]);

(%o1)

1

3

0

3

1

0

0

0

-2

(%i2) charpoly(A, x), expand;(%o2) -x3+12 x+16

2 Valores y vectores propios de una matriz A

La función eigenvalues llama a la función solve para calcular las raíces del polinomio característico, y devuelve una lista con dossublistas. La primera la forman los valores propios de la matriz A y la segunda sus multiplicidades correspondientes.

(%i3) eigenvalues(A);(%o3) [[-2,4],[2,1]]

Tiene por tanto dos valores propios, -2, con multiplicidad 2, y elvalor propio 4 con multiplicidad 1.

La función eigenvectors(M), o eigenvects(M) calcula los valores propios de la matriz M. El resultado devuelto es una lista con doselementos; el primero está formado por dos listas, la primera con los valores propios de M y la segunda con sus respectivas multiplicidades, el segundo elemento es una lista de vectores propios,una por cada valor propio, pudiendo haber uno o más vectores propiosen cada lista.

(%i4) eigenvectors(A);(%o4) [[[-2,4],[2,1]],[[[1,-1,0],[0,0,1]],[[1,1,0]]]]

Ejemplo: Una matriz con un único vector propio para cada valor propio


(%i5) M:matrix( [11,-1], [1,7]);

(%o5) 11

1

-1

7

(%i6) eigenvalues(M);(%o6) [[9- 3 , 3 +9],[1,1]]

(%i7) eigenvectors(M);(%o7) [[[9- 3 , 3 +9],[1,1]],[[[1, 3 +2]],[[1,2- 3 ]]]]

Observar que los dos valores propios [9-sqrt(3),sqrt(3)+9] tienen multiplicidad uno y sus respectivos vectores propios son [[1,sqrt(3)+2]],[[1,2-sqrt(3)]].

Veamos un ejemplo de una matriz que no es diagonalizable:

(%i8) N:matrix( [0,1,0,0], [0,0,0,0], [0,0,2,0], [0,0,0,2]);

(%o8)

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

(%i9) eigenvectors(N);(%o9) [[[0,2],[2,2]],[[[1,0,0,0]],[[0,0,1,0],[0,0,0,1]]]

]

Los valores propios son cero y dos, cada uno de ellos con multiplicidad dos, pero como solo hay un vector propio asociado al cero, [1,0,0,0], alno coincidir la multiplicidad algebraica, 2, con la geométrica, 1,la matriz N no es diagonalizable.

Veamos otro ejemplo de una matriz que si es diagonalizable


(%i10) M:matrix( [1,3,0], [3,1,0], [0,0,-2]);

(%o10)

1

3

0

3

1

0

0

0

-2

(%i11) eigenvalues(M);(%o11) [[-2,4],[2,1]]

(%i12) eigenvectors(M);(%o12) [[[-2,4],[2,1]],[[[1,-1,0],[0,0,1]],[[1,1,0]]]]

Esta matriz si es diagonalizable puesto que coincide para cadavalor propio la multiplicidad algebraica con la geométrica.

3 Diagonalización de matrices simétricas

Una matriz simétrica es siempre diagonalizable, además los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales. Cuandola matriz es simétrica podemos obtener una base ortonormal de vectorespropios para ello basta aplicar el método de Gram-Schmidt a los vectorespropios que correspondan al mismo valor propio y luego normalizardichos vectores.

Ejemplo: Diagonalizar ortogonalmente la matriz

(%i13) A: matrix( [1,0,2], [0,-1,0], [2,0,1]);

(%o13)

1

0

2

0

-1

0

2

0

1

calculamos los valores y vectores propios

(%i14) eigenvectors(A);(%o14) [[[3,-1],[1,2]],[[[1,0,1]],[[1,0,-1],[0,1,0]]]]


esta matriz tiene el valor propio 3 con multiplicidad algebraica uno y el valor propio -1 con multiplicidad algebraica 2, el vectorpropio del valor propio 3 es ortogonal con los dos vectores propiosdel valor propio -1, falta conseguir que los dos vectores propiosasociados al -1 sean ortogonales entre si, para ello aplicamos elmétodo de Gram-Schmidt a la matriz formada por las filas de los vectores propios asociados al -1.

En este caso da la casualidad de que los dos vectores propios asociados al -1 son ortogonales entonces no haría falta ortogonalizar la base formada por dichos vectores. Asi quesolo es necesario normalizar para obtener una base ortonormalformada por los vectores propios, para ello recordemos queutilizamos la orden unitvector.

(%i15) u1: matrix( [1,0,1]);

(%o15) 1 0 1

(%i16) unitvector(u1);

(%o16) 1

20

1

2

(%i17) u2: matrix( [1,0,-1]);

(%o17) 1 0 -1

(%i18) unitvector (u2);

(%o18) 1

20 -

1

2

al ser el vector u3 (0,1,0) unitario no hace falta normalizarlo, así que la matriz diagonal quedaría

(%i19) D: matrix( [3,0,0], [0,-1,0], [0,0,-1]);

(%o19)

3

0

0

0

-1

0

0

0

-1

y la matriz P ortogonal (está formada por la base ortonormal asociada a losvectores propios de A) es


(%i20) P: matrix( [1/sqrt(2),1/sqrt(2),0], [0,0,1], [1/sqrt(2),-1/sqrt(2),0]);

(%o20)

1

2

0

1

2

1

2

0

-1

2

0

1

0

efectivamente comprobamos que A=P.D.P^t, o equivalentemente queA-P.D.P^t=0

(%i21) A-P.D.transpose(P);

(%o21)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3.1 Ejemplo completo de diagonalización ortogonal

Diagonalizar por semejanza ortogonal (halla una base ortonormal devectores propios) para la matriz

(%i22) E: matrix( [1,-1,1], [-1,1,-1], [1,-1,1]);

(%o22)

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

calculamos los valores y vectores propios

(%i23) eigenvectors(E);(%o23) [[[0,3],[2,1]],[[[1,0,-1],[0,1,1]],[[1,-1,1]]]]

el valor propio 0 tiene multiplicidad algebraica dos (que en estecaso no son ortogonales entre si) y el valor propio 3 tiene multiplicidad algebraica uno, como vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales, necesitamos aplicar elmétodo de Gram-Schmidt a los vectores propios asociados al cero,para ello definimos la matriz formada por las dos filas de dichosvectores propios

(%i24) load(eigen)$


(%i25) H: matrix( [1,0,-1], [0,1,1]);

(%o25) 1

0

0

1

-1

1

(%i26) HH:gramschmidt(H);

(%o26) [[1,0,-1],[12,1,

12]]

(%i27) ratsimp(HH);

(%o27) [[1,0,-1],[12,1,

12]]

ahora solo necesitamos normalizar los tres vectores propios, anteshay que definirlos

(%i28) u1: matrix( [1,0,-1]);

(%o28) 1 0 -1


(%o29) 1

20 -

1

2

(%i30) u2: matrix( [1/2,1,1/2]);

(%o30) 1

21

1

2


(%o31) 1

2 3

2

3

1

2 3

(%i32) u3: matrix( [1,-1,1]);

(%o32) 1 -1 1


(%o33) 1

3-

1

3

1

3


por tanto las matrices diagonal y de paso son respectivamente

(%i34) D: matrix( [0,0,0], [0,0,0], [0,0,3]);

(%o34)

0

0

0

0

0

0

0

0

3

(%i35) P: matrix( [1/sqrt(2),1/sqrt(6),1/sqrt(3)], [0,sqrt(2)/sqrt(3),-1/sqrt(3)], [-1/sqrt(2),1/sqrt(6),1/sqrt(3)]);

(%o35)

1

2

0

-1

2

1

6

2

3

1

6

1

3

-1

3

1

3

comprobamos que E-P.D.P^t coincide con la matriz nula

(%i36) E-P.D.transpose(P);

(%o36)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Asignatura: MATEMATICAS I – Curso: 2012–2013Relacion de problemas del tema 1 para la sesion de practicas

* 1.2 Se consideran las matrices siguientes:

A =

3 0−1 2

1 1

B =

(4 −10 2

)C =

(1 4 23 1 5

)

D =

1 5 2−1 0 1

3 2 4

E =

6 1 3−1 1 2

4 1 3

.

Calcula:

a) AB Solucion:

12 −3−4 5

4 1

b) D + E Solucion:

7 6 5

−2 1 3

7 3 7

c) D − E Solucion:

−5 4 −10 −1 −1−1 1 1

d) DE Solucion:

9 8 19

−2 0 0

32 9 25

e) ED Solucion:

14 36 25

4 −1 7

12 26 21

f ) −7B Solucion:

(−28 7

0 −14

)

g) (3E)D Solucion:

42 108 75

12 −3 21

36 78 63

h) D + E2 Solucion:

48 15 31

0 2 6

38 10 27

2 Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

i) (BBt)C Solucion:

(11 66 24

10 −4 16

)

j ) DtEt − (ED)t Solucion:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

* 1.3 Calcula A3, A2 − 2A+ I2, siendo

A =

(1 02 3

).

Solucion: A3 =

(1 0

26 27

), A2 − 2A+ I2 =

(0 0

4 4

).

* 1.6 Calcula el rango de las siguientes matrices:

a)

3 0 0 3 02 2 1 1 −16 2 0 4 44 0 1 3 1

Solucion: 4.

b)

0. 5 1 3 1 40. 5 1 1 2 80. 5 0 3 1 1

1 1 0 4 13

Solucion: 4.

c)

7 4 11 2 28 6 3

Solucion: 2.

d)

3 7 4 −12 11 6 175 1 24 −7

Solucion: 3.

* 1.7 Halla la matriz inversa de las matrices que entre las siguientes sean regulares:

a)

−8 25 402/5 3 −2

0 27 0

Solucion: no regular.

b)

1 0 −10 2 31 −1 1

Solucion:1

7

5 1 2

3 2 −3−2 1 2

c)

1 2 −10 1 21 2 0

Solucion:

−4 −2 5

2 1 −2−1 0 1

Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 3

d)

1 −1 2 40 −3 5 61 4 0 30 5 −6 7

Solucion:

263260 − 7

13 − 3260 − 29

260

− 71260

113

71260 − 7

260

− 51260

213

51260 − 27

2607

260113 − 7

26019260

e)

1 2 3 40 2 3 40 0 3 40 0 0 4

Solucion:

1 −1 0 0

0 12 −1

2 0

0 0 13 −1

3

0 0 0 14

* 1.11 Calcula los determinantes de las matrices

a)

7 0 71 6 12 4 2

Solucion: 0.

b)

5 1 46 3 69 6 8

Solucion: −18.

c)

a2 ab b2

2a a+ b 2b1 1 1

, (a, b ∈ R) Solucion: (a− b)3.

d)

1 2 3 47 −3 6 11 1 2 11 1 1 0

Solucion: 22.

e)

1 −5 −3 03 0 −1 62 5 2 −11 10 5 −9

Solucion: 0.

* 1.15 Discute y resuelve, en los casos que proceda, los siguientes sistemas de ecuacioneslineales:

a)

3x+ 2y + z = 15x+ 3y + 3z = 2x+ y − z = 1

Solucion: incompatible.

b)

2x+ y + z + w = 0−4x− 2y + z − 6w = 77x+ 3. 5y + 2z + 8w = 9

Solucion: compatible indeterminado; (−7− 0. 5λ, λ, 9, 5), (λ ∈ R).

4 Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

c)

3x+ 2y + 5z − w = 492x− y − z + w = 2x+ y − 3z − 2w = −11w = 0

Solucion: compatible determinado; (5, 2, 6, 0).

d)

x1 + 2x2 + x3 = 33x1 + 8x2 − 7x3 = −1x1 + 3x2 − 4x3 = −3

Solucion: incompatible.

e)

−6x− 6y − 6z = −123x− 2y − z = 4−2x+ y + 2z = 2

Solucion: compatible determinado; (1,−2, 3)

f )

2x+ 5y = 16x+ 3y − 2z = −2x+ z = 4

Solucion: compatible determinado; (−2, 4, 6).

g)

x− 2y = −3−2x+ 3y + z = 42x+ y − 5z = 4

Solucion: compatible indeterminado; (1 + 2λ, 2 + λ, λ), (λ ∈ R).

h)

−x+ 2y − 3z = −2x− 8y + 2z = 0x− y − z = 1

Solucion: compatible determinado;

(8

5,7

25,8

25

).

* 1.16 Discute y resuelve, cuando proceda, cada uno de los siguientes S.E.L., donde A esla matriz de coeficientes y b el vector de terminos independientes:

a) A =

2,3 e

√67 3/2

1 2 3 41 0 1,1 2,45√3√

2 1 0

, b =

−√

5332π

b) A =

1 2 3 2 2 11 1 1 1 1 12 4 2 5 1 −2−3 −4 −1 −5 −1 1

1 1 1 1 5 −61 3 7 2 2 −4

, b =

111−2

0−3

Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 5

c) A =

1 2 3 4,55

3,44 7,98 9,89 13,243,78 8,66 10,91 14,7871,1 2,2 3 3,24

, b =

−1

3,44−2

7,501

Asignatura: MATEMATICAS I – Curso: 2012–2013Relacion de problemas 2: El espacio vectorial euclıdeo Rn

* 2.1 Determina si el vector x de R3 indicado se puede expresar como combinacion linealde los vectores que se senalan:

a) x = (5, 2,−3) como combinacion lineal de {(1, 1,−1), (2,−1, 0)}b) x = (−1, 2, 1) como combinacion lineal de {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 0,−1)}c) x = (−1,−1,−1) como combinacion lineal de {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 0,−1)}.

Solucion: a) sı, b) y c) no.

2.2 Estudia la dependencia o independencia lineal de los conjuntos de vectores indicados:

a) En R2, el conjunto {(a, 0), (0, b)} con a 6= 0 y b 6= 0.

b) En R2, el conjunto {(1, 3), (−3, 6)}.*c) En R2, el conjunto {(2, 0), (4, 8), (0, 3)}.d) En R3, el conjunto {(1, 2,−1), (1,−3, 4)}.

*e) En R3, el conjunto {(1, 3, 4), (0, 2,−5), (0, 0, 6)}.*f) En R3, el conjunto {(1, 1,−1), (1, 0,−2), (2, 1,−3)}.g) En R4, el conjunto {(1, 1, 1, 1), (3, 4, 2, 5)}.

*h) En R4, el conjunto {(2, 5, 6, 4), (0,−1, 2, 3), (0, 0, 1, 6)}.

Solucion: todos l.i., salvo c) y f)

2.3 ¿Para que valores de α los siguientes conjuntos de vectores de R3 son linealmenteindependientes?

a) {(1, 2, 3), (2,−1, 4), (3, α, 4)}.b) {(2,−3, 1), (−4, 6,−2), (α, 1, 2)}.

Solucion: a) α 6= −13/2, b) ningun valor de α.

2.4 En R3 consideramos un conjunto de vectores linealmente independientes {x, y, z}.Estudia si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:

a) S1 = {x, y, x+ y}.b) S2 = {x, z, x+ y}c) S3 = {x, y, (0, 0, 0)}.

Solucion: Solo l.i. S2.

2.5 Determina si el conjunto de vectores dado genera el espacio vectorial que se indica:

2 Tema 2: El espacio vectorial euclıdeo Rn

(a) En R2

*i) {(1, 2), (3, 4)}*ii) {(−1, 4), (3, 2), (5,−2)}iii) {(1, 1)}

Solucion: i) y ii) sı, iii) no.

(b) En R3

i) {(1, 2, 0), (4, 6, 1)}*ii) {(1, 2, 3), (−1, 2, 3), (5, 2, 3)}

*iii) {(2, 0, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1), (7, 3, 5)}iv) {(1, 1, 1), (2, 1, 0)}Solucion: Ninguno.

* 2.6 a) Calcula las coordenadas del vector de (4, 5) en la base canonica de R2 y en labase B′ = {(2, 1), (−1, 1)}.Solucion: (4, 5)Bc , (3, 2)B′ .

b) Calcula las coordenadas del vector de (2, 3, 1) en la base canonica de R3 y en labase B′ = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.Solucion: (2, 3, 1)Bc , (2, 1,−2)B′ .

2.7 Consideremos en R2, el conjunto B = {(1, 1), (1, 2)} .

a) Comprueba que B es base de R2.

b) Calcula las coordenadas respecto de B de los vectores (1, 0), (0, 1) y (−1, 1).Solucion: (2,−1)B, (−1, 1)B, (−3, 2)B.

c) ¿Cuales son los vectores de R2 que tienen por coordenadas respecto a B a(1, 0), (0, 1) y (2, 3)?Solucion: (1, 1), (1, 2), (5, 8).

d) ¿Cuales son las coordenadas de (1, 0), (0, 1) y (−1, 1) respecto de la baseB′ = {(1, 2), (1, 1)}Solucion: (−1, 2)B′ , (1,−1)B′ , (2,−3)B′ .

2.8 ¿Para que valores de λ el conjunto B = {(λ, 1, 0), (1, 0, λ), (1 + λ, 1, λ)} es una basede R3?Solucion: Para ninguno.

2.9 Si {x1, x2, x3} es una base de R3:

a) ¿Sucede lo mismo con el conjunto de vectores {x1−x2, 2x1−x2,−x1+x2+x3}?b) ¿Y con el conjunto de vectores {x1 + x2 − x3, x1 − x2 + x3, 2x1 + 3x2 − 3x3}?

Solucion: a) sı, b) no.

2.10 Sea {e1, e2,e3} una base de R3. Sean u1 = 2e1 + e2 − 3e3, u2 = 3e1 + 2e2 − 5e3, yu3 = e1 − e2 + 3e3.

Tema 2: El espacio vectorial euclıdeo Rn 3

a) Comprueba que {u1, u2,u3} es otra base de R3.

b) Calcula las coordenadas de e = 6e1 + 2e2 − 7e3 en la nueva base.

Solucion:

(13

3,−1, 1

3

).

* 2.11 Sea B = {e1, e2,e3} una base de R3. Sean u1 = e1− e2, u2 = e3− e1, y u3 = e3 + 2e2.

a) Comprueba que B1 ={u1, u2,u3} es otra base de R3.

b) Encuentra las ecuaciones de cambio de base de B a B1 y las del cambio de B1

a B.

Solucion: xB1 =1

3

2 −1 2

−1 −1 2

1 1 1

xB, xB =

1 −1 0

−1 0 2

0 1 1

xB1 .

c) Calcula las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en la baseB son (1, 0, 2).Solucion: (2, 1, 1)B1 .

* 2.12 En R2 consideramos las bases B1 = {(1, 1), (−1, 4)} y B2 = {(3, 0), (1, 7)}.

a) Halla la matriz de cambio de base de B2 a B1.

Solucion: CB2B1 =1

5

(12 11

−3 6

).

b) Halla la matriz de cambio de base de B1 a B2.

Solucion: CB2B1 =1

7

(2 −11/31 4

).

c) Calcula las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en B2 son(2, 3).

Solucion:1

5(57, 12)B1 .

* 2.13 En R3 consideramos las siguientes bases: B1 = {(1, 0, 1), (−1, 1, 1), (1,−1, 0)} yB2 = {(2, 1, 1), (1, 1, 1), (1,−1, 1)}.

a) Calcula la matriz de cambio de base de B2 a B1.

Solucion: CB2B1 =

3 2 0

−2 −1 1

−3 −2 2

.

b) Halla las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en B2 son(3, 2,−2).Solucion: (13,−10,−17)B1 .

c) Determina los vectores de R3 cuyas coordenadas en ambas bases coinciden.Solucion: (0, 0, 0).


2.14 Determina si el subconjunto dado Y del espacio vectorial X es un subespacio vec-torial de X:

a) X = R2 e Y = {(x, y) : y 6= 0}.b) X = R2 e Y = {(x, y) : y = 0}c) X = R2 e Y = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}d) X = R2 e Y = {(x, y) : x = y}e) X = R3 e Y = {(x, y, z) : x+ y + z = 1}f ) X = R3 e Y = {(x, y, z) : x2 = y}

Solucion: (b), (d) sı; (a), (c), (e) ,(f) no.

* 2.15 Encuentra una base de cada uno de los siguientes subespacios de R3:

a) Y = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} .Solucion: {(−1, 0, 1), (−1, 1, 0)}.

b) Z = {(x1, x2, x3) : x1 = x3} .Solucion: {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}.

c) W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − x2 − x3 = 0} .Solucion: {(1, 2, 0), (1, 0, 2)}.

2.16 Dados Y1 = L({(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 1)}) e Y2 = L({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0)}), determinala dimension, una base y unas ecuaciones parametricas de cada uno de ellos.

Solucion: dimY1 =dimY2 = 2, Y1 :

x = a

y = b

z = a+ b

w = b

, (a, b ∈ R), Y2 :

x = a

y = b

z = 2b

w = a

, (a, b ∈ R).

2.17 Dados los vectores de R3, (4,−5, 7), (3,−3, 4), (1, 1,−2), y (2,−1, 1):

a) Halla una base del subespacio Y que generan.Solucion: {(1, 0,−1/3), (0, 1,−5/3)}.

*b) Estudia si dicho subespacio es el mismo que el engendrado por los vectores(1,−2, 3) y (3, 0,−1).Solucion: sı.

*c) Determina unas ecuaciones parametricas y otras cartesianas de Y .

Solucion:

x = a

y = b

z = −a/3− 5b/3

, (a, b ∈ R), x+ 5y + 3z = 0.

* 2.18 Halla el angulo que forman los vectores x e y, siendo

a) x = (1, 2), y = (1, 4).Solucion: arccos 9√

85.

Tema 2: El espacio vectorial euclıdeo Rn 5

b) x = (1, 2, 0), y = (7, 3, 4).Solucion: arccos 13√

370.

2.19 Demuestra que si x e y son dos vectores perpendiculares de Rn, entonces

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

Interpreta geometricamente el resultado. ¿Tiene sentido llamar a este resultado teo-rema de Pitagoras? ¿Por que?

2.20 Sean v1, v2 y v3 vectores de Rn de forma que

‖v1‖ = ‖v2‖ = 1, ‖v3‖ =√

2

y< v1, v2 >=< 2v2 − v3, v1 >=< 2v2 − v3, v3 >= 0.

Calcula los angulos que forman los vectores

a) v2 y v3.

Solucion:π

4.

b) v1 − v2 y v1 + v2.

Solucion:π

2.

c) v1 − v2 y v3.

Solucion:2π

3.

* 2.21 A partir de la base de R4

{(3, 1, 0, 0), (1, 3, 1, 0), (0, 1, 3, 1), (0, 0, 1, 3)}

y haciendo uso del proceso de ortogonalizacion de Gram–Schmidt, obten una baseortogonal de R4 (producto escalar usual).Solucion: {(3, 1, 0, 0), 1/5(−4, 12, 5, 0), 1/74(21,−63, 168, 74), 1/103(−11, 33,−88, 231)}.

* 2.22 Sea Y el subespacio de R4 de ecuaciones cartesianas

x1 + x2 − x3 − 5x4 = 0.

Obten una base de Y y aplica a dicha base el proceso de ortogonalizacion de Gram–Schmidt para conseguir una base ortogonal de Y.Solucion: {(1, 0, 1, 0), (1,−1, 0, 0), (5, 0, 0, 1)},{(1, 0, 1, 0), (1/2,−1,−1/2, 0), (5/3, 5/3,−5/3, 1)}.

2.23 Halla el complemento ortogonal del subespacio de R5

Y = L({(1, 2, 3, 4, 5), (0, 2, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0)}).

Solucion: Y ⊥ =

(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 :

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0

2x2 + x4 = 0

x2 + x3 = 0

.


* 2.24 Determina la proyeccion ortogonal del vector x = (1, 2, 1) ∈ R3 sobre los siguientessubespacios vectoriales de R3 :

a) Y1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + 3z = 0}.Solucion: (1, 2, 1).

b) Y2 = L({(1, 2, 3), (0, 2, 2)}).Solucion: (1/3, 4/3, 5/3).

* 2.25 Halla la recta de ecuacion y = ax + b que mejor aproxima, en el sentido de losmınimos cuadrados, los siguientes datos:

xi 1 2 0 3yi 1 1 2 -2

Si los datos anteriores corresponden a observaciones experimentales de la temper-atura mınima en cierta ciudad a lo largo de cuatro dıas (0,1,2 y 3), utiliza la rectaanterior para decidir cual puede ser la temperatura mınima esperada para el dıa 6.Solucion: y = −1,2x+ 2,3; prediccion temperatura mınima: −4,9.

* 2.26 Calcula la parabola de ecuacion y = ax2 + bx+ c que mejor aproxima, en el sentidode los mınimos cuadrados, los datos del Ejercicio 2.25.Solucion: y = −0,5x2 + 0,3x+ 1,8.

2.27 Halla el valor de α ∈ R de forma que la recta que mejor aproxime en el sentido delos mınimos cuadrados los puntos

(1, 1), (0, 1), (2, 2), (1, α)

seay =

x

2+ 1.

Solucion: α = 2.

Asignatura: MATEMATICAS I – Curso: 2012–2013Relacion de problemas 3: Diagonalizacion de matrices

* 3.1 Determina los numeros a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ R, sabiendo que los vectores (1, 1, 1), (1, 0,−1)y (1,−1, 0) son vectores propios de la matriz 1 1 1

a1 a2 a3b1 b2 b3

.

Solucion: a1 = a2 = a3 = b1 = b2 = b3 = 1.

3.2 Justifica cuales de las siguientes matrices son diagonalizables y diagonaliza aquellasque lo sean:

*i) A1 =

(1 10 1

). Solucion: No es diagonalizable.

*ii) A2 =

(2 22 2

). Solucion: D =

(4 0

0 0

), P =

(1 −11 1

).

iii) A3 =

(cosθ −senθsenθ cosθ

), (0 ≤ θ < π). Solucion: No es diagonalizable.

*iv) A4 =

1 0 06 2 02 0 1

. Solucion: No es diagonalizable.

*v) A5 =

2 1 31 2 33 3 20

. Solucion:D =

21 0 0

0 2 0

0 0 1

, P =

1 −3 −11 −3 1

6 1 0

.

*vi) A6 =

0 −1 00 0 1−1 −3 3

. Solucion: No es diagonalizable.

*vii) A7 =

5 −6 −6−1 4 2

3 −6 −4

. Solucion:D =

1 0 0

0 2 0

0 0 2

, P =

1 1 0

−1/3 0 1

1 1/2 −1

.

*viii) A8 =

1 1 −1−1 1 1−1 1 1

. Solucion: D =

0 0 0

0 1 0

0 0 2

, P =

1 1 0

0 1 1

1 1 1

.

3.3 Se considera la matrizA =

1 1/2 −1/3−2/5 1/10 1/52/5 2/5 2/15

y los vectores (1,−1, 0), (1, 0, 2)

y (0,−2,−3). Se pide:

2 Tema 3: Diagonalizacion de matrices

a) Comprueba que dichos vectores son vectores propios de A.

b) A partir de a), halla los valores propios de A. Solucion: 12 ,

13 ,

25 .

c) ¿Es A diagonalizable? ¿Por que? En caso afirmativo, diagonaliza A.

Solucion: D =

1/2 0 0

0 1/3 0

0 0 2/5

, P =

1 1 0

−1 0 −20 2 −3

.

3.4 Estudia, en funcion de α, β ∈ R, si es diagonalizable o no la siguiente matriz: 5 2 3. 70 −1 00 α β

.

Solucion:

β 6= −1, 5 : diagonalizable

β = 5 : no diagonalizable

β = −1 : diagonalizable⇔ α = 0

.

3.5 Decide de forma razonada cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas:

i) Cualquier matriz diagonal es diagonalizable.

ii) Sea A una matriz cuadrada de orden n de modo que A2 = −In. Entonces Ano posee valores propios.

iii) Una matriz cuadrada es diagonalizable si, y solo si, es regular.

iv) Una matriz cuadrada es regular si, y solo si, no admite a 0 como valor propio.

v) Si λ es un valor propio de una matriz cuadrada A, entonces −λ es un valorpropio de la matriz At.

vi) Supongamos que una matriz cuadrada A posee un valor propio λ. Entonces,para todo k ∈ N, la matriz Ak admite a λk por valor propio.

vii) Sea A una matriz regular y sea λ un valor propio suyo. Entonces el numero1

λes un valor propio de la matriz A−1.

viii) Si A es una matriz cuadrada y λ ≥ 0 es un valor propio de A2, entonces,o bien

√λ, o bien −

√λ, son valores propios de A. (Indicacion: A2 − λI =

(A+√λI)(A−

√λI)).

ix) Toda matriz diagonalizable es simetrica.

x) Cualquier matriz diagonalizable de orden n tiene n valores propios distintos.

3.6 Sea A, B y C matrices cuadradas de orden 3 con polinomios caracterısticos:

pA(λ) = −(λ2− 1)(λ− 2), pB(λ) = −(λ2 + 1)(λ− 2), pC(λ) = −(λ− 1)2(λ− 2).

¿Cuales son los valores propios de cada una de estas matrices? ¿Podemos saber sison o no diagonalizables? Justifica la respuesta.

Tema 3: Diagonalizacion de matrices 3

* 3.7 Diagonaliza ortogonalmente las siguientes matrices:

i)

A =

(2 22 5

).

Solucion: D =

(6 0

0 1

), P =

1√5

(1 −22 1

).

ii)

B =

1 3 43 1 04 0 1

.

Solucion: D =

6 0 0

0 −4 0

0 0 1

, P =1

5

5√2− 5√

20

3√2

3√2−4

4√2

4√2

3

.

iii)

C =

3 0 20 2 02 0 0

.

Solucion: D =

2 0 0

0 4 0

0 0 −1

, P =

0 2√

5− 1√

5

1 0 0

0 1√5

2√5

.

iv)

E =

−1/3 2/3 2/32/3 −1/3 2/32/3 2/3 −1/3

.

Solucion: D =

1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

, P =

1√3

1√2− 1√

61√3

0 2√6

1√3− 1√

2− 1√

6

.

* 3.8 Sea A =

(1 0−1 2

). Calcula A20.

Solucion:

(1 0

−1048575 1048576

).

* 3.9 Dada la matriz A =

2 −1 −11 0 −1−1 1 2

, calcula A10.

Solucion:

1024 −1023 −10231023 −1022 −1023−1023 1023 1024

.

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