Matemáticas I

321

7SOLUCIONARIO

Dadas las funciones:

calcula.

a) (f + g)(5) c) (f ⋅ g)(0) e) (f ⋅ f )(2) g) (g − f )(3) i)

b) (f −g)(3) d) f ) (g + f )(5) h) (f + f ⋅ g)(0) j) f 2(2)

no es real, porque el denominador de una fracción no puede ser igual a 0.

( )( )f 2 2 4=j) ( )( )f x x2 2= +

g

f

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −( )2

i)g

fx

x x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

− +( )

( )

3

1 22

( )( )f g⋅ = −0 2 2h) ( )( )f f g x xx

x+ ⋅ = + +

+−

23 2

12

( )( )g f− = −33

85g) ( )( )g f x

xx− =

−− +

3

12

2

( )( )g f+ = +51

87f ) ( )( )g f x

xx+ =

−+ +

3

12

2

( )( )f f⋅ =2 4e) ( )( )f f x x⋅ = + 2

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − =( )2 0d)

f

gx

x x⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

− +( )

( )2 1 2

3

( )( )f g⋅ = −0 3 2c) ( )( )f g xx

x⋅ =

+−

3 2

12

( )( )f g− = −3 53

8b) ( )( )f g x x

x− = + −

−2

3

12

( )( )f g+ = +5 71

8a) ( )( )f g x x

x+ = + +

−2

3

12

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −( )2

g

f

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟−( )2

g xx

( ) =−3

12f x x( ) = + 2

041

Y

X

2

2

f (x)−f (x)

Y

X

2

2

f (x)f (−x)

d) − = −f xx

( )8

c) f xx

( )− = −8

322

Calcula el dominio de las funciones.

Utiliza el resultado para calcular el dominio de las siguientes funciones.

a) (f + g)(x) c)

b) (f ⋅ g)(x) d)

Dom f = (−�, −2] ∪ [2, + �)

Dom g = [−5, 5]

a) Dom (f + g) = [−5, −2] ∪ [2, 5]

b) Dom (f · g) = [−5, −2] ∪ [2, 5]


n(x) = x + 6

define las siguientes funciones y determina sus dominios.

a) (m + n)(x) c)

b) (n + p)(x) d) (m ⋅ n + p)(x)

Dom (m + n) = (−�, −2] ∪ [2, +�)

Dom (n + p) = R− {−1}

Dom (m · n + p) = (−�, −2] ∪ [2, +�)

d) ( )( ) ( )m n p x x xx

x⋅ + = − ⋅ + +

−+

2 4 61

1

Domn

m

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − ∪ +( , ) ( , )� �2 2

c)n

mx

x

x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

+

−( )

6

42

b) ( )( )n p x xx

x+ = + +

−+

61

1

a) ( )( )m n x x x+ = − + +2 4 6

n

mx

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )

p xx

x( ) = −

+1

1m x x( ) = −2 4

043

d) Dom [g

f

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − ∪5 2 2 5, ) ( , ]

c) Domf

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − ∪( , ] [ , )5 2 2 5

g

fx

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )

f

gx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟( )

g x x( ) = −25 2f x x( ) = −2 4

042

Funciones

323


f(x) = 2x g(x) = x 2

calcula las composiciones de funciones.

a) f g d) g f

b) g h e) h g

c) h f f ) f h

Determina el valor de cada función para x = 3.

Comprueba con las funciones y g(x) = 3x −2 que la composición de funciones no es conmutativa. Calcula el dominio de f g y de g f.

(f g)(x) � (g f )(x) → La composición de funciones no es conmutativa.

Dom ( ) [ , )g f = − +1 �

Dom ( ) ,f g = +⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

3�

( )( ) ( ( ))g f x g f x g x x = = +( ) = + −1 3 1 2

( )( ) ( ( )) ( )f g x f g x f x x = = − = −3 2 3 1

f x x( ) = + 1045

( )( )f h 3 23=

f) ( )( ) ( ( ))f h x f h x fx

x = =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

12

1

( )( )h g 31

9=

e) ( )( ) ( ( )) ( )h g x h g x h xx

= = =2

2

1

( )( )g f 3 64=

d) ( )( ) ( ( )) ( )g f x g f x g x x = = =2 22

( )( )h f 31

8=

c) ( )( ) ( ( )) ( )h f x h f x h x

x = = =2

1

2

( )( )g h 31

9=

b) ( )( ) ( ( ))g h x g h x gx x

= =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1 12

( )( )f g 3 512=

a) ( )( ) ( ( )) ( )f g x f g x f x x = = =2 22

h xx

( ) = 1

044

7SOLUCIONARIO

324

Explica de qué manera hay que componer las funciones:

g(x) = 5x + 1

para obtener las siguientes funciones.

b) n(x) = 25x + 6

Determina f f −1 y f −1 f en los pares de funciones para comprobar si son inversas o no.

a) f(x) = 3x −1 y

b) f(x) = 2x y

c) f(x) = 2x y f −1(x) = log2 x

d) f(x) = sen x y f −1(x) = arc sen x

e) f(x) = x2 + 2 y

Las funciones no son inversas.

Las funciones no son inversas.

Las funciones son inversas.



e) ( )( ) ( ( ))

(

f f x f f x f x x x

f f

− −

−

= = −( ) = − + =1 1

1

2 2 2

))( ) ( ( )) ( )x f f x f x x x= = + = + − =− −1 1 2 22 2 2

d) ( )( ) ( ( )) ( ) (f f x f f x f arc sen x sen arc se − −= = =1 1 nn x xf f x f f x f sen x arc sen

)( )( ) ( ( )) ( )

== = =− − −1 1 1 (( )sen x x=

c) ( )( ) ( ( )) (log )(

logf f x f f x f x xf

x − −

−= = = =1 1

2 2 2

11 1 122 2 f x f f x f xx x)( ) ( ( )) ( ) log= = = =− −

b) ( )( ) ( ( ))f f x f f x fx

− −= =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜1 1 1

2⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

=

⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

− −

21

2

1 1

x

f f x f( )( ) ( ff x f x

x

( )) ( )= =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−1

2

21

2

a) ( )( ) ( ( ))f f x f f x f x − −= = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1 1 1

31 3

1

331 1 2

1 1

x x

f f x f f x

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = +

= =− −( )( ) ( ( )) ff x x x− −( ) = − + = +1 3 11

33 1 1

2

3( )

f x x− = −1 2( )

f xx

− =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1 1

2( )

f x x− = +1 1

31( )

047

c) ( )( ) ( ( ))g h x g h x gx x

= =+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

++

2

1

10

11==

++

=x

xp x

11

1( )

b) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )g g x g g x g x x x = = + = + + = + =5 1 5 5 1 1 25 6 nn x( )

a) ( )( ) ( ( )) ( )g f x g f x g x x m x = = +( ) = + + =2 24 5 4 1

c) p xx

x( ) = +

+11

1a) m x x( ) = + +5 4 12

h xx

( ) =+2

1f x x( ) = +2 4

046

Funciones

325

Calcula la función inversa de cada función.

a) y = 2x + 5

b)

c)

Comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Y

X

1f (x)

f −1(x)

1

c) y x xy

f xx

= − =+

=+−2 3

3

2

3

23

31

3

→ → ( )

Y

X

2

f (x)

f −1(x)

2

b) yx

x y f x x=−

= − = −−3

23 2 3 21→ → ( )

Y

X

2

2

f (x)

f −1(x)

a) y x xy

f xx

= + =−

=−−2 5

5

2

5

21→ → ( )

y x= −2 33

yx= −3

2

048

7SOLUCIONARIO

326

Dada la gráfica de la función y = x3:

dibuja la gráfica de su función inversa.

Dibuja las funciones inversas.

a)

b)

1

1

X

Y

y = 1 + 2x

1

1

X

Y

y = ln (x + 3)

050

1

1

X

Y

f (x)

f −1(x)

1

1

X

Y

y = x3

049

Funciones

327

c)

d)

Y

X

1

1

f (x)

f −1(x)

d)

Y

X

1

1

f (x)

f −1(x)

c)

Y

X

1

1

f (x)

f −1(x)

b)

Y

X

2

2

f (x)

f −1(x)

a)

1

1 X

Y

y = 2x − 1

1

1 X

Y

yx

=+1

2

log2

7SOLUCIONARIO

328

Dibuja funciones que cumplan estas propiedades.

a) Su dominio y su recorrido son R.

b) Su dominio es R− {1}.

c) Es creciente y su dominio es R− {−1, 2}.

d) Es logarítmica y su dominio es (3, +�).

e) Es logarítmica y su dominio es (−�, −2).

f ) Es exponencial y su dominio es R− {0}.

Respuesta abierta.

En una vivienda pagan 10 euros de gasto fijo y 0,50 euros por cada kilovatioconsumido a la empresa que les suministra electricidad.

a) Obtén una expresión de la relación que existe entre el consumo y el precioy represéntala.

b) Si a esta cantidad hay que aumentarle el 16 % de IVA, ¿cómo será la ecuación?¿Qué variación sufre la gráfica?

052

Y

X

1

1

f (x)

f)Y

X

1

1

f (x)

c)

Y

X

1

1

f (x)

e)Y

X

1

2

f (x)

b)

Y

X

1

1

f (x)

d)Y

X

1

1

f (x)a)

051

Funciones

329

a) f(x) = 10 + 0,5x

b) g(x) = (10 + 0,5x) · 1,16 = 11,6 + 0,58x

La gráfica es otra recta con mayor pendiente que la primera.

Halla el dominio de las funciones del tipo , siendo n un número natural.

Si n es impar: Dom f = R− {0}

Si n es par: Dom f = (0, +�)

El manual de usuario de un vehículo afirma que el ruido producido por el motorsigue aproximadamente la fórmula:

r = at 2 + 2,8t + 8

donde t es el número de años de antigüedad del vehículo; a es un número fijo, que se denomina coeficientede atenuación, y r es el nivelde ruido, medido en decibelios.

La semana pasada llevé mi vehículo a pasar la revisión de los cuatro años y en elinforme figura que la medición fue de 27 decibelios. ¿Cuál es el coeficiente deatenuación? ¿Cuántos decibelios producirá a los ocho años?

27 = a · 42 + 2,8 · 4 + 8 → 16a = 7,8 → a = 0,4875

A los ocho años producirá: r = 0,4875 · 82 + 2,8 · 8 + 8 = 61,6 decibelios

054

f xxn

( ) = 1053

Y

X

8

2

f (x)g(x)

Y

X

8

2

f (x)

7SOLUCIONARIO

330

En una circunferencia de 5 cm de radio se inscribe un rectángulo de lado x.a) Expresa el área en función de x. ¿Cuál es su dominio?

b) Realiza un tanteo para determinar el máximo valor que puede tomar esa función. ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo en ese caso? ¿Qué tanto por ciento de la superficie del círculo ocupael rectángulo?

a) Por el teorema de Pitágoras:

El área del rectángulo viene dada por la función:

b) Al ser x la medida de un lado, el dominio de la función es: Dom f = [0, 10]

El máximo valor del área es, aproximadamente, 49,98 cm2. En ese caso, el lado x mide 7 cm. Así, el otro lado mide: = 7,14 cm

El área del círculo mide: cm2

Como = 0,6364, el área del rectángulo ocupa el 63,64 %

de la superficie del círculo.

Considera los triángulos cuya superficie mide S.

a) Escribe la expresión algebraica que relaciona la base en función de la altura en estos triángulos.

b) ¿Cuál es la función que relaciona la altura en función de la base?

c) Representa ambas funciones.

Las dos gráficas son iguales.

Y

X

2

h

2

Y

X

2

b

2

c)

b) hA

b=

2a) b

A

h=

2

h

b

h

bh

b

056

49 98

78 53

,

,

A r= =π 2 78 53,

b = 51

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f (x) 0 9,95 19,59 28,62 36,66 43,3 48 49,98 48 39,23 0

f x x x( ) = −100 2

10 1002 2 2 2= + = −b x b x→

x

b

10

055

Funciones

331

PARA FINALIZAR…

Sean las funciones y .

Comprueba que se cumple que [g (x)]2 − [f (x)]2 = 1.

Calcula las funciones inversas de:

Por tanto, las funciones inversas son de la forma:

e .

Por tanto, las funciones inversas son de la forma:

e .

Si la función definida por , con , verifica que f [f (x)] = x,

¿cuánto vale c?

Si :c f xx

x= − =

−+

33

2 3( )

Si 3:c x f xx x

xx= + =

++

=22 3

2 3

2

( )

f f x fcx

x

ccx

xcx

x

( ( )) =+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⋅+

⋅+

2 3

2 3

22 3

++=

+ += = + +

− −

3 2 6 92 6 9

2

22 2 2

2 2

c x

cx xx c x cx x x

c x cx

→

→ 66 9 02 4 24 36

2

6 9

22 4 3 2

2

x x cx x x x

x

x x x

− = =± + +

=

= ± + + =

→

xx x x x± + = ± +( ) ( )3 32

x � − 3

2f x

cx

x( ) =

+2 3059

y x x= − −( )ln 2 1

y x x= + −( )ln 2 1

Si z e

y zz

z yz zy y

e y

x

x

=

= + − + = =± −

= ±

:

21

2 1 02 4 4

22

2

→ → → yy 2 1−

y x x= − +( )ln 2 1

y x x= + +( )ln 2 1

Si e :z

y zz

z yz zy y

e y

x

x

=

= − − − = =± +

= ±21

2 1 02 4 4

22

2

→ → → yy 2 1+

ye e

y ee

x xx

x=

−= −

−

22

1→

ye ex x

= + −

2y

e ex x

= − −

2

058

[ ( )] [ ( )]g x f xe e e ex x x x

2 2

2

2− =

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−−− −

22

2

4

2

42

2 2 2 2 2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+ +

−+ −

=

=+

− −e e e ex x x x

22

41=

g xe ex x

( ) = + −

2f x

e ex x

( ) = − −

2057

7SOLUCIONARIO

332

En un cuadrado de 16 cm de lado se suprime, de cada esquina, un triángulorectángulo e isósceles de cateto x. Expresa el área y el perímetro del polígonoresultante en función de x. ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido?

El área de la figura viene dada por la función:

La hipotenusa de los triángulos mide:

El perímetro de la figura viene dado por la función:

Dom f = Dom g =

Im f = [0, 256] Im g = [0, 64]

Un grupo de alumnos de 1.o Bachillerato pide presupuesto en dos agencias de viajespara realizar una excursión.

La primera agencia les hace la siguiente propuesta.

• Si el número de alumnos que va a la excursión es 40 o menos, les cobrará 200 €por alumno.

• Si el número de alumnos es superior a 40 le descontará un 10 % a cada uno de los alumnos que se inscriba.

La oferta de la segunda agencia es:

• Si completan un autobús, con capacidad para 60 personas, el precio será de 150 €por persona. Si alguno de los autobuses no está completo, se incrementará elprecio en un 1 % por cada persona que falte para completarlo.

¿Qué agencia les conviene más?

Un descuento del 10 % en el precio de 200 € significa un precio de: 200 · 0,9 = 180 €

Así, la función que representa la propuesta de la primera agencia es:

f xx xx x

( ) = ≤ ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

200 0 40180 40

sisi

061

0 8 2 16, +⎡⎣

⎤⎦0 8 2,⎡

⎣⎤⎦

Y

X

10

g(x)

10

Y

X

50

f (x)

2

g x x x x( ) ( )= + − = −( ) +4 2 4 16 2 4 2 8 64

a x x a x2 2 2 2= + =→

f xx

x( ) = − ⋅ = −16 42

256 222

2

x

x

16

060

Funciones

333

El incremento de un 1 % por cada persona que falte significa que el precio será:

La función que representa la propuesta de la segunda agencia es:

Los puntos de intersección de ambas funciones son:

• Si x ≥ 60 → 180x = 150x → x = 0

Por tanto, la primera agencia resulta más conveniente si el número de alumnoses menor o igual a 26. A partir de 27 alumnos, es más económica la segundaagencia.

Una farola tiene 7 m de altura. En su base hay una persona de 1,80 m de altura que empiezaa andar en línea recta, alejándosede la farola a una velocidadde 2 m/s. Al cabo de 10 segundos, ¿cuálserá la longitud de su sombra?

Halla una función que exprese lalongitud de la sombra en funcióndel tiempo, t, que se camina.

Al cabo de 10 segundos, la persona ha recorrido 20 m.

Como la farola y la persona forman ángulos rectos con el suelo, sus alturas determinandos lados paralelos de triángulos que se encuentran en posición de Tales.

La función que expresa la longitud de la sombra en función del tiempo es:

f tt t

( ) =⋅

=1,8 3,62

7 7

7 20 20

71,8

1,85,14 m= =

⋅=

ss→

7 m

20 m s

1,8 m

7 m

1,80 m

062

• Si 60 1,5 1,540 180 240 60 0 02 2< < = − − = =x x x x x x

xx

→ → →==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 40

• Si 40 1,5 1,50 200 240 40 00

2 2≤ ≤ = − − ==

=x x x x x x

x

x→ → → 880

326 6=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

,

g x x x xx x

( ) ,= − ≤ <≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

240 1 5 0 60150 60

2 sisi

150 160

100150 60 2⋅ +

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + − =

xx x x x1,5( ) 2240 2x x−1,5

7SOLUCIONARIO

334

Funciones elementales8L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S

El árbol de la cienciaAl decir Andrés [estudiante de medicina] que la vida, según su profe-sor Letamendi, es una función indeterminada entre la energía indivi-dual y el cosmos, y que esta función no puede ser más que suma, res-ta, multiplicación y división, y que no pudiendo ser suma, ni resta, nidivisión, tiene que ser multiplicación, uno de los amigos de Sañudo[estudiante de ingeniería] se echó a reír. –¿Por qué se ríe usted? –le preguntó Andrés sorprendido. –Porque en todo eso que dice usted hay una porción de sofismas y defalsedades. Primeramente hay muchas más funciones matemáticasque sumar, restar, multiplicar y dividir. –¿Cuáles? –Elevar a potencia, extraer raíces... Después, aunque no hubiera másque cuatro funciones matemáticas primitivas, es absurdo pensar queen el conflicto de estos dos elementos, la energía de la vida y el cos-mos, uno de ellos, por lo menos, heterogéneo y complicado, porqueno haya suma, ni resta, ni división, ha de haber multiplicación. Ade-más, sería necesario demostrar por qué no puede haber suma, por quéno puede haber resta y por qué no puede haber división. Después ha-bría que demostrar por qué no puede haber dos o tres funciones si-multáneas. No basta decirlo. –Pero eso lo da el razonamiento. –No, no; perdone usted –replicó el estudiante–. Por ejemplo, entreesa mujer y yo puede haber varias funciones matemáticas: suma, sihacemos los dos una misma cosa ayudándonos; resta, si ella quiereuna cosa y yo la contraria y vence uno de los dos contra el otro; multi-plicación, si tenemos un hijo, y división si yo la corto en pedazos aella o ella a mí. –Eso es una broma –dijo Andrés. –Claro que es una broma –replicó el estudiante–, una broma por el es-tilo de las de su profesor; pero que tiende a una verdad, y es que entrela fuerza de la vida y el cosmos hay un infinito de funciones distintas:sumas, restas, multiplicaciones, de todo, y que además es muy posibleque existan otras funciones que no tengan expresión matemática.

PÍO BAROJA

Existen algunas proteínas de gran tamaño a las que se lespueden unir hormonas para modificar su función en el cuerpo humano.

Este mecanismo está regulado por la fórmula

,

siendo y la concentración de hormonas unidas, la concentración total de hormonas y k una constante.Representa esta función para k = 1.

ykx

kx=

+10

11

1

Y

X

ANTES DE COMENZAR… RECUERDA

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(−2, 3).

Dibuja sobre unos ejes de coordenadas algunas parábolas que tengan como vérticeel punto (0, 1).

Dibuja, sobre unos ejes de coordenadas, una hipérbola de vértices (1, 1) y (−1, −1) y con asíntotas y = 0 y x = 0.

Calcula las siguientes razones trigonométricas.

a) b) c) d) e) f )

a) c) no existe. e)

b) d) f ) no existe.

ACTIVIDADES

Representa, sobre los mismos ejes de coordenadas, las funciones y = 3x −1 e y = 5x + 4. Halla el punto común a las dos gráficas.

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

2

17

2,

El punto de intersección es: 1

1

Y

X

001

tg5

2

πsen

10

6

3

2

π= −cos

4

3

1

2

π= −

cos9

4

2

2

π=tg

3

2

πsen

3

4

2

2

π=

tg5

2

πcos

9

4

πsen

10

6

πtg

3

2

πcos

4

3

πsen

3

4

π004

1

1

Y

X

Respuesta abierta.

003

1

2

Y

X

Respuesta abierta.

002

m = −1

2

001

8SOLUCIONARIO

335

336

Dibuja todos los tipos de rectas que conoces y encuentra aquellos que nocorresponden a una función. Escribe sus ecuaciones.

Respuesta abierta.

y = 4 es una función constante.

es una función afín.

y = −3x es una función lineal.

x = 4 no es una función.

Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas.

a) y = −3x2 −x −1 b) y = x2 + 2x −2

a) b) V (−1, −3)

Representa en el intervalo [−1, 1], con una escala que sea lo suficientemente grande,las funciones.

f(x) = x f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = x4

Describe sus propiedades.

En todas las funciones, el dominio es R y el punto de corte con los ejes es el origende coordenadas.

Las funciones de exponente par son decrecientes para los valores negativos de x,son crecientes para los valores positivos, tienen un máximo absoluto en x = 0 y son simétricas respecto del eje de ordenadas.

Las funciones de exponente impar son crecientes, no tienen máximos ni mínimosy son simétricas respecto del origen de coordenadas.

1

1

Y

X

004

1

1

Y

X

1

1

Y

X

V − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

6

11

12,

003

4

3

y x= −3

4

3

22

1

2

1

2

Y

X

2 3 4

002

Funciones elementales

337

Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa.

a) b)

Representa estas funciones racionales, y relaciónalas con las funciones de proporcionalidad inversa.

a) b)

Es una traslación horizontal de la función de proporcionalidad inversa:

Halla el dominio de las funciones con radicales.

a) b)

a) Dom f = Rb) Dom g = (−�, −6] ∪ [6, +�)

g x x( ) = −2 36f x x( ) = −23 4

007

f xx

f xx

( ) ( )= + =+

12

1

2→

Es el producto por sí misma de la función de proporcionalidad inversa:

f xx

f x f xx

( ) ( ) ( )= ⋅ =1 1

2→

1

1

Y

X

b)

1

2

Y

X

a)

yx

= 12

yx

=+1

2

006

2

2

Y

X

b)

1

1

Y

X

a)

yx

= −1

2y

x= 3

005

8SOLUCIONARIO

338

Representa gráficamente estas funciones.

a) c)

b) d)

Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.

a) f(x) = 1,2x

b)

c) h(x) = 0,8x

d)

a) 1,2 > 1 → f(x) es creciente.

b) < 1 → g(x) es decreciente.

c) 0,8 < 1 → h(x) es decreciente.

d) > 1 → i(x) es creciente.


a) y = −2x c) e) y = −2−x

b) y = 2−x d) y = 0,1x f ) yx

= 2 3

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

4

3

010

3

2

3

i xx

( ) = ( )3

g xx

( ) =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

2

3

009

1

2

Y

X

d)

1

1

Y

X

b)

3

1

Y

X

c)

1

2

Y

X

a)

i x x( ) = + 23g x x( ) = − 4

h x x( ) = − 13f x x( ) = + 2

008


339

Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.

a) f(x) = log1,2 x c) h(x) = log7 x e)

b) d) i(x) = log0,8 x f ) k(x) = log8,2 x

a) 1,2 > 1 → f(x) es creciente.

b) < 1 → g(x) es decreciente.

c) 7 > 1 → h(x) es creciente.

d) 0,8 < 1 → i(x) es decreciente.

e) > 1 → j(x) es creciente.

f ) 8,2 > 1 → k(x) es creciente.


a) y = −log2 x c) e)

b) y = log2 (−x) d) y = log0,1 x f ) yx=

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟log2

3

y x= − −log2 ( )y x= log 4

3

012

3

2

3

g x x( ) = log 2

3

j x x( ) = log 3

011

1

2

Y

X

f )

1

2

Y

X

c)

1

1

Y

X

e)

1

1

Y

X

b)

1

1

Y

X

d)

1

1

Y

X

a)

8SOLUCIONARIO

340

Describe las características de estas funciones.

a) f(x) = sen (x −1)

b) g(x) = (sen x) − 1

a) Dom f = R Im f = [−1, 1]

La función es periódica, de período 2π radianes. No es simétrica.

Presenta máximos en y mínimos en ,

siendo k ∈Z.

b) Dom g = R Im g = [−2, 0]

La función es periódica, de período 2π radianes. No es simétrica.

Presenta máximos en y mínimos en ,

siendo k ∈Z.

Representa las funciones y di qué observas.

a) b) g x cos x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

π2

f x sen x( ) = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

π2

014

x k= +3

22

ππx k= +

ππ

22

x k= + +13

22

ππx k= + +1

22

ππ

013

1

1

Y

X

f )

1

2

Y

X

c)

1

1

Y

X

e)

1

1

Y

X

b)

1

1

Y

X

d)

1

1

Y

X

a)


341

Describe las características de estas funciones.

a) b) g(x) = tg (x + 1)

a) Dom f = R− {kπ, k ∈Z} Im f = RLa función es periódica, de período π radianes.

Es siempre creciente y simétrica respecto del origen de coordenadas.

b) Dom g = R− Im g = R

La función es periódica, de período π radianes.

Es siempre creciente y no es simétrica.

Representa las funciones inversas.

a) b) g(x) = arc sen (x −π)

Representa gráficamente esta función definida a trozos.

Describe sus principales características.

Dom f = R Im f = [0, 4]

La función es continua, no es periódica ni simétrica.

Es decreciente en (−2, 0) y es creciente en (0, 1). Tiene un mínimo absoluto en x = 0.

1

1

Y

X

f xx

x x

x

( ) =≤−

− < ≤>

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

4 2

2 1

1 1

2

si

si

si

017

π

1

Y

X

b)

π

1

Y

X

a)

f x arc cos x( ) = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

π2

016

ππ

21− + ∈

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

k k, Z

f x tg x( ) = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

π2

015

g x x sen x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =cos

π2

f x sen x x( ) = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

π2

cos

π

1

Y

X

b)

π1

Y

X

a)

8SOLUCIONARIO

342

En un contrato mensual de telefonía móvil se factura a 0,12 € por minuto. Si el consumo no llega a 9 €, entonces se abona esa cantidad.

a) Halla la expresión de la función que relaciona el consumo, en minutos, y el importe de la factura mensual, en euros.

b) Representa la función.

El servicio de correos cobra 0,30 € por los primeros 25 g de envío y, a partir de esacantidad, cobra 0,20 € por cada 25 g (o fracción) de peso extra. Representa la gráficadel coste del envío de cartas hasta 150 g.

La función que asocia a cada número su parte decimal es:

f(x) = x − [x]

Representa la función y analiza sus propiedades.

Dom f = R Im f = [0, 1)

La función no es continua. Todos los números enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.

Es periódica, de período 1. No es simétrica.

Es creciente en (k, k + 1), siendo k ∈Z. No tiene máximos ni mínimos.

1

1

Y

X

020

0,300,500,700,901,101,30

25

Y

X

019

9,369,38

9,249,12

75 76 77 78 79

9

Y

X

b)

f x

xxx( )

,,,

=

≤ <≤ <≤ <

9 0 769 12 76 779 24 77 789 3

sisisi

66 78 799 38 79 80

sisi

≤ <≤ <

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

xx,

…⎪⎪

a)

018


343

Representa, sin hacer las tablas de valores correspondientes, las funciones linealesy afines.

a)

b) y = −x + 4

c)

d) y = −2x

Escribe la expresión algebraica de las funciones representadas, y calcula su pendiente y su ordenada en el origen.

r: y = x + 2 m = 1 n = 2

s: y = −3x − 2 m = −3 n = −2

t: y = x m = n = 0

u: y = x − 1 m = n = −11

3

1

3

−2

3−

2

3

1

5

st r

v

Y

X

022

1

2

Y

X

d)

1

1

Y

X

b)

1

1

Y

X

c)

2

1

Y

X

a)

y x= +1

21

yx= − 3

3

021

8SOLUCIONARIO

344

Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas, y relaciona la aberturade las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2.

a) y = x2 b) c) y = 2x2 d)

La abertura es menor cuando el coeficiente es mayor.

Halla los vértices y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas.

a) f(x) = x2 −2x + 2 b) g(x) = −2x2 + x −1 c) h(x) = −x2 −2

a) V(1, 1)

No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, 2)

b)

No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, −1)

c) V(0, −2)

No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, −2)

Haz la representación gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, indicando el vértice y los cortes con los ejes.

a) y = x2 −2x −8

b) y = −x2 + 3x

c) y = x2 + 4x + 4

d) y = 2x2 + 3x −2

a) V(1, −9)

Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y (4, 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, −8)

1

1

Y

X

025

V1

4

7

8, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

024

2

1

Y

X

y x= 1

42y x= 1

22

023


345

b)

Puntos de corte con el eje X: (0, 0) y (3, 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, 0)

c) V(−2, 0)

Punto de corte con el eje X: (−2, 0)


d)

Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y

Punto de corte con el eje Y: (0, −2)

Representa la función y = x2 y, a partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas.

a) y = (x −2)2

b) y = x2 + 3

c) y = (x + 3)2

d) y = x2 −4

¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas cuatro funciones con la gráfica de la primera?

La función se traslada horizontalmente 2 unidades a la derecha.

1

1

Y

X

a)

026

1

20,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

1

Y

X

V − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

4

25

8,

1

1

Y

X

1

1

Y

X

V3

2

9

4,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

8SOLUCIONARIO

346


La función se traslada verticalmente 3 unidades hacia arriba.

La función se traslada horizontalmente 3 unidades a la izquierda.

La función se traslada verticalmente 4 unidades hacia abajo.

Haz la gráfica de la función f(x) = x2 + 2x. Obtén la expresión algebraica de las siguientes funciones y represéntalas.

a) f(x −2) c) f(x + 1)

b) f(x) −4 d) f(x) + 2

¿Hay alguna relación entre estas gráficas?

a) f(x − 2) = (x − 2)2 + 2(x − 2) = x2 − 2x

3

2f(x − 2)

Y

X

027

1

1

Y

X

d)

1

1

Y

X

c)

1

1

Y

X

b)

347

b) f(x) − 4 = x2 + 2x − 4

c) f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = x2 + 4x + 3

d) f(x) + 2 = x2 + 2x + 2

Considera las siguientes funciones.

f(x) = x2 −2x + 1 g(x) = (x −1)2 h(x) = 3x

Calcula la expresión algebraica de la función que se indica en cada apartado, y represéntala gráficamente.

a) f(−x) c) g(−x) e) h(−x)

b) −f(x) d) −g(x) f ) −h(x)

a) f(−x) = (−x)2 − 2(−x) + 1 = x2 + 2x + 1

1

1

f(−x)

Y

X

028

1

1f(x) + 2

Y

X

1

3

f(x + 1)

Y

X

2

2

f(x) − 4

Y

X

8SOLUCIONARIO

348


b) −f(x) = −x2 + 2x − 1

c) g(−x) = (−x− 1)2 = x2 + 2x + 1

d) −g(x) = −(x − 1)2 = −x2 + 2x − 1

e) h(−x) = 3(−x) = −3x

f ) −h(x) = −3x

1

3

−h(x)

Y

X

1

3

h(−x)

Y

X

1

1

−g(x)

Y

X

1

1

g(−x)

Y

X

1

1

−f(x)

Y

X

349

Construye la tabla de valores y dibuja la gráfica de las funciones.

a) y = x3 + 2x2 + 3

b) y = −x3 + 6x + 1

Halla los puntos donde cortan las siguientes funciones polinómicas al eje X.

a) y = 3x + 9 d) y = 8x2 + 10x −3

b) y = −2x + 5 e) y = 2x2 + x + 3

c) y = 6x2 + 17x −3

a) x = −3 d)

b) e) No tiene puntos de corte.

c) x = −3,

Halla los puntos donde estas funciones cortan al eje X.

a) y = (x −1)(x + 2) b) y = (2x −1)2 c) y = (x −2)(x + 3)(2x + 1)

a) x = 1, x = −2 b) c) x = 2, x = −3, x = −1

2x =

1

2

031

x =1

6

x =5

2

x x= = −1

4

3

2,

030

1

1

Y

X

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) 10 −3 −4 1 6 5 −8

b)

1

1

Y

X

x −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 1 2

f(x) −0,125 3 4,125 4 3,375 3 6 19

a)

029

8SOLUCIONARIO

350

Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes.

a) y = 4x2 + 4x + 1 d) y = x3 −2x2 −7x −4

b) y = x3 −x2 −9x + 9 e) y = x3 −2x2 −2x −3

c) y = 2x3 −9x2 + x + 12

a) Punto de corte con el eje X:


b) Puntos de corte con el eje X: (−3, 0), (1, 0) y (3, 0)


c) Puntos de corte con el eje X:

(− 1, 0), y (4, 0)


d) Puntos de corte con el eje X: (−1, 0) y (4, 0)


e) Punto de corte con el eje X: (3, 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, −3) 1

1

Y

X

2

1

Y

X

3

20,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

1

Y

X

6

4

Y

X

1

1

Y

X

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

20,

032


351

Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica.

a) c)

b) y = 2x2 −2x + 1 d) y = −2x2 + x + 1

a) y = f(x), porque si , la parábola es abierta hacia arriba y c = −1.

b) y = h(x), pues si a = 2 > 0, la parábola es abierta hacia arriba y c = 1.

c) y = g(x), porque si , la parábola es abierta hacia abajo y c = 2.

d) y = i(x), ya que si a = − 2 < 0, la parábola es abierta hacia abajo y c = −1.

Representa funciones de la forma y = ax2 −3x + 2 con distintos valores de a, y estudia su variación en función del parámetro.

Respuesta abierta.

Si a = 1 → f(x) = x2 − 3x + 2

Si

Si

Si a = −1 → i (x) = −x2 − 3x + 2

Si a = −3 → j (x) = −3x2 − 3x + 2

La abertura de las parábolas es menor cuanto mayor es el valor absoluto de a.

Representa funciones de la forma y = x2 + bx + 2 con distintos valores de b, y explica cómo varían en función del parámetro.

Respuesta abierta.

Si b = 1 → f(x) = x2 + x + 2

Si

Si

Si b = −1 → i (x) = x2 − x + 2

Si b = −3 → j (x) = x2 − 3x + 2

La abertura de las parábolas es mayor cuanto mayor es el valor absoluto de b.

b h x x x= − = − +1

2

1

222→ ( )

b g x x x= = + +3

2

3

222→ ( )

1

1

Y

X

035

a h x x x= − = − − +1

2

1

23 22→ ( )

a g x x x= = − +3

2

3

23 22→ ( )

4

4

Y

X

034

a = − <1

30

a = >1

20

1

1

f(x) g(x)

h(x) i(x)

Y

X

yx

x= − − +2

32y

xx= + −

2

23 1

033

8SOLUCIONARIO

352

Representa funciones de la forma y = x2 + 2x + c con distintos valores de c, y analiza su variación en función del parámetro.

Respuesta abierta.

Si c = 1 → f(x) = x2 + 2x + 1

Si

Si c = 2 → h(x) = x2 + 2x + 2

Si

Si c = −1 → j (x) = x2 + 2x − 1

Si c = −3 → k(x) = x2 + 2x − 3

Todas las parábolas tienen la misma abertura. Se trasladan verticalmente, hacia arriba si c es positivo, y hacia abajo si c es negativo.

Escribe funciones con las siguientes características.

a) Una parábola que corte al eje X en x = 3 y x = 5.

b) Una parábola que corte al eje X en x = −2 y x = 1.

c) Una parábola que corte dos veces al eje X en x = 2.

d) Una función cúbica que corte al eje X en x = −3, x = −1 y x = 1.

e) Una función cúbica que corte al eje X dos veces en x = 2 y una vez en x = −1.

f ) Una función cúbica que corte una vez al eje X en x = 5.

g) Una función polinómica de cuarto grado que corte al eje X en x = −1, x = 3, x = 4 y x = 5.

h) Una función de cuarto grado que solo corte dos veces al eje de abscisas, en x = −2 y en x = 5.

Respuesta abierta.

a) y = (x − 3)(x − 5) e) y = (x − 2)2(x + 1)

b) y = (x + 2)(x − 1) f ) y = (x − 5)3

c) y = (x − 2)2 g) y = (x + 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)

d) y = (x + 3)(x + 1)(x − 1) h) y = (x + 2)2(x − 5)2

Explica las diferentes situaciones que pueden producirse al determinar dónde cortaal eje X una función polinómica de cuarto grado.

Para determinar los puntos de corte con el eje X se iguala la expresión de la función a cero. Entonces se obtiene una ecuación polinómica de cuarto grado que puede tener como máximo cuatro soluciones. Por tanto, la función puede no cortar el eje, o cortarlo una, dos, tres o cuatro veces, según el número de raícesdel polinomio.

038

037

c i x x x= − = + −1

22

1

22→ ( )

c g x x x= = + +3

22

3

22→ ( ) 2

2

Y

X

036


353

Obtén la expresión algebraica y representa la función cuadrática que pasa por los puntos A(1, −2), B(2, −2) y C(3, 0).

Sea f(x) = ax2 + bx + c.

La expresión de la función es: f(x) = x2 − 3x

Halla y representa las funciones polinómicas de grado mínimo que pasan por los siguientes puntos.

a) A(0, 0), y C(−2, −1) d) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) y D(4, 1)

b) A(−1, 0), B(0, −1) y e) A(−2, 3), y C(2, 2)

c) A(3, 0), B(4, 1) y C(5, 0) f) A(−2, −2), B(1, 1) y C(4, −3)

a) Los puntos A, B y C están alineados.

La función que pasa por ellos es: f(x) = 2x

b) Sea f(x) = ax2 + bx + c.

a b cc

a b c

a b− + =

= −

+ + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

− =01

9

4

3

2

1

2

→ 113 2 2

4

51

5

a b

a

b+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=

= −

1

1

Y

X

B2

3

3

2,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟C

3

2

1

2,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

B 55

2,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

040

1

1

Y

X

a b ca b ca b c

a b c+ + = −+ + = −+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =24 2 29 3 0

→−−

+ =+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + = −+ =

=

23 08 2 2

23 02

a ba b

a b ca ba

→22

130

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

== −=

abc

039

8SOLUCIONARIO

354

La expresión de la función es:

c) Sea f(x) = ax2 + bx + c.

La expresión de la función es: f(x) = −x2 + 8x − 15

d) Sea f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.


f x x x x( ) = − + −2

35

34

373 2

2

1

Y

X

a b c da b c da b c da b

+ + + =+ + + =+ + + =+ +

08 4 2 1

27 9 3 064 16 4cc d

a b c da b ca

+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+ + + =+ + =+

1

07 3 1

13 4→

bb ca b c

a b c da

+ =+ + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+ + + =

063 15 3 1

07→ ++ + =

+ = −+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+ +3 1

6 121 3 1

b ca ba b

a b c

→

++ =+ + =+ = −

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=d

a b ca ba

a

b0

7 3 16 13 2

2

3== −

=

= −

534

37

c

d

1

1

Y

X

9 3 016 4 125 5 0

9 3a b ca b ca b c

a+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+→

bb ca ba b

a b ca b

+ =+ =+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =+

07 1

16 2 0

9 3 07→ ==

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −== −

12 2

18

15a

abc

f x x x( ) = − −4

5

1

512

1

1

Y

X


355

e) Sea f(x) = ax2 + bx + c.


f ) Sea f(x) = ax2 + bx + c.


¿Cuál es el dominio de estas funciones racionales?

a) b)

a) R− {−7, 4} b) R− {−5, 2}

Dada la función , determina la expresión algebraica

de las siguientes funciones.

a) g(x) = f(x −3) c) g(x) = f(x) − 2 e) g(x) = f(−x)

b) g(x) = f(x + 1) d) g(x) = f(x) + 3 f) g(x) = −f(x)

a) c) e)

b) d) f ) g xx

( ) = −2

g xx

x

x( ) = + =

+23

2 3g x

x( ) =

+2

1

g xx x

( ) =−

= −2 2

g xx

x

x( ) = − =

−22

2 2g x

x( ) =

−2

3

f xx

( ) = 2042

g xx

x x( ) = +

+ −2 3

3 102f x

x x( )

( )( )=

+ −7

7 4

041

f x x x( ) = − + +7

18

11

18

7

92 1

1

Y

X

4 2 21

16 4 3

a b ca b ca b c

a b c− + =−+ + =+ + = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ +→

==− = −+ = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =− = −

13 3 3

15 3 4

11a b

a b

a b ca b→

118 7

7

1811

187

9

a

a

b

c= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −

=

=

f x x x( ) = − +15

64

1

4

25

162

2

1

Y

X

4 2 34

9

2

3

3

24 2 2

a b c

a b c

a b c

− + =

+ + =

+ + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→→ →4 2 38 12 18 27

4 1

8 2a b ca b c

b

a− + =+ + =

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ cca c

b

a

c

=+ =

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=

=

58 18 30

1

4

15

6425

16

8SOLUCIONARIO

356

Observa la gráfica de la función .

Representa las siguientes funciones.

a) c) e)

b) d) f )

2

2

Y

X

f )

2

2

Y

X

c)

2

2

Y

X

e)

2

2

Y

X

b)

2

2

Y

X

d)

2

2

Y

X

a)

yx

= −−9

1y

x=

+9

2y

x= −9

3

yx

= +92y

x= − 9

yx

=−9

3

1

1

yx

= 9

Y

X

yx

= 9043


357

Sin representarlas, escribe la relación que hay entre las gráficas de estas funciones

y la de .

a) b) c) d)

a) La función se desplaza horizontalmente 4 unidades a la izquierda.

b) La función se desplaza verticalmente 2 unidades hacia abajo.

c) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba.

d) La función es simétrica a la inicial y el eje de simetría es el eje de ordenadas.

La gráfica de la función es:

Encuentra la relación que tienen estas funciones con la función y represéntalas.

a) . Ten en cuenta que: .

b)

c)

d)

yx

x x=

−−

= −−

2 5

12

3

1y

x

x x=

++

= ++

4

11

3

1

4

4

Y

X

b)

2

2

Y

X

a)

yx

x= − −

+5

2

yx

x= − +

+2 1

1

yx

x= −

−2 5

1

yx

x x= +

+= +

+4

11

3

1y

x

x= +

+4

1

yx

= 3

1

1y

x= 3

Y

X

yx

= 3045

yx

= −12

yx

= +12

1yx

= −12

2yx

=+12

4

yx

= 12

044

8SOLUCIONARIO

358

Determina el dominio de estas funciones con radicales.

a) c)

b) d)

a) Dom f = [0, +�) c) Dom h = [−7, +�)

b) Dom g = [0, +�) d) Dom i = [−5, +�)

Halla el dominio de las siguientes funciones con radicales.

a) b) c)

a) Dom f = Rb) Dom g = (−�, −3] ∪ [3, +�)

c) Dom h = (−�, −1]

¿Cuál es el dominio de estas funciones con radicales?

a) b)

a) Dom f = [5, 9) ∪ (9, +�) b) Dom g = [−1, 15) ∪ (15, +�)

La gráfica de la función es:

Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.

a) f(x −2) c) 1 + f(x) e) −1 − f(x)

b) f(x + 3) d) −f(x) f ) f(x) −2

1

1

f x x( ) =

Y

X

f x x( ) =049

g xx

x( ) =

−

− +

3 1

4 1f x

x

x( ) =

− −

7

2 5

048

h x x( ) = −1 34g x x( ) = −4 81f x x( ) = − 13

047

i x x( ) = − + 5g x x( ) = − + 5

h x x( ) = + 7f x x( ) = + 7

046

yx

x x=

− −+

= − −+

5

21

3

2y

x

x x=

− ++

=+

−2 1

1

3

12

2

2

Y

X

d)

2

2

Y

X

c)


359

a) d)

b) e)

c) f )

Con ayuda de la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la función

. Determina su dominio y su recorrido.

Dom f = RIm f = [1, +�)

2

2

Y

X

x −2 −1 0 1 2

f(x) 2,23 1,41 1 1,41 2,23

y x= +2 1

050

1

1

Y

X

1

1

Y

X

f x x( ) − = −2 21 1+ = +f x x( )

1

1

Y

X

1

1

Y

X

− − = − −1 1f x x( )f x x( )+ = +3 3

2

1

Y

X

1

1

Y

X

− = −f x x( )f x x( )− = −2 2

8SOLUCIONARIO

360

A partir de la gráfica de la función , explica cómo haríasla representación gráfica de las siguientes funciones con radicales.

a) c)

b) d)

a) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba.

b) La función se desplaza verticalmente 2 unidades hacia abajo.

c) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia abajo.

d) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba y se dibuja abiertahacia abajo con la misma abertura.

Calcula el dominio de estas funciones.

a) b)

Utiliza el resultado para probar que las funciones no son iguales y represéntalasgráficamente.

a) Dom f = R b) Dom f = [1, +�)

Representa la gráfica de las funciones y = 2x e y = 3x. A partir de ellas, razona cómo será la gráfica de las funciones y = 5x e y = 10x.

Las gráficas de las funciones y = 5x e y = 10x

también son crecientes y pasan por el punto (0, 1), pero su crecimiento es más lento si x < 0, y es más rápido si x > 0, cuanto mayor es el valor de la base.

Ayúdate de la calculadora y realiza una tabla de valores para representar

la función exponencial .

x −2 −1 0 1 2

f(x) 9 3 1 0,33 0,11

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

3

1

1

Y

X

054

1

1

Y

X

053

1

1

Y

X1

1

Y

X

y x= − 1y x= −( )1 24

052

y x x= + +2 2 2y x= − + +2 12

y x= − +1 12y x= + +1 12

y x= +2 1051


361

Representa las funciones e . A partir de las gráficas,

¿cómo serán las gráficas de las funciones e ?

Las gráficas de las funciones

e también son

decrecientes y pasan por el punto (0, 1), pero su decrecimiento es más lento si x < 0,

y es más rápido si x > 0, cuanto menor es el valor de la base.

Esta es la gráfica de la función exponencial f(x) = 4x.


a) f(x −3) c) 4 + f(x) e) 2 − f(x)

b) f(x + 1) d) −f(x) f ) f(x) −2

a) f(x − 3) = 4x − 3 c) 4 + f(x) = 4 + 4x

b) f(x + 1) = 4x + 1 d) −f(x) = −4x

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

f (x) = 4x

Y

X

056

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

10y

x

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

5

1

1

Y

X

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

10y

x

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

5

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

3y

x

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

2055

8SOLUCIONARIO

362

e) 2 − f(x) = 2 − 4x f ) f(x) − 2 = 4x − 2

A partir de la gráfica de la función , explica cómo harías la representación

gráfica de las siguientes funciones.

a) c) e) y = 3x + 2

b) y = 3x d) f )

a) La función se traslada horizontalmente 3 unidades hacia la derecha.

b)

La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría de ambas.

c)

La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría de ambas. Coincide con la anterior.

d) La función se traslada horizontalmente 1 unidad hacia la izquierda.

e)

Primero se traslada horizontalmente 2 unidades hacia la izquierda y, después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas.

f )

Primero se traslada horizontalmente 2 unidades hacia la derecha y, después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas.

yx x

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞− −1

3

1

3

2 2

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−1

y x

x

= =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=+

− +

31

3

1

32

1 2⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

+ −x 2 1

yx x

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟−

1

3

1

3⎟⎟⎟⎟⎟

−1

y x

x

= =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

⎛

⎝⎜⎜

−

31

3

1

3

1

⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−x 1

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

−1

3

2

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

+1

3

1

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

−1

3y

x

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

−1

3

3

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1

3057

1

1

Y

X

1

1

Y

X


363

Con la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la funciónlogarítmica y = log3 x.

Representa la gráfica de las funciones.

y = log2 x y = log3 x

Deduce, a partir de ellas, cómo será la gráfica de las funciones y = log5 x e y = log x.

Las gráficas de las funciones y = log5 x e y = log x también son crecientes y pasanpor el punto (1, 0), pero su crecimiento es más rápido si 0 < x < 1, y es más lento si x > 1, cuanto mayor es el valor de la base.

Representa las funciones e .

¿Cómo serán las gráficas de las funciones e ?

Las gráficas de las funciones e también son decrecientes

y pasan por el punto (1, 0), pero su decrecimiento es más rápido si 0 < x < 1, y es más lento si x > 1, cuanto menor es el valor de la base.

y x= log 1

10

y x= log 1

5

1

1

Y

X

y x= log 1

10

y x= log 1

5

y x= log 1

3

y x= log 1

2

060

1

1

Y

X

059

1

1

Y

X

x 1 2 3 4 5

f(x) 0 0,63 1 1,26 1,46

058

8SOLUCIONARIO

364

Esta es la gráfica de la función logarítmica f(x) = log x.


a) f(x −4) c) 4 + f(x + 1) e) 2 − f(x −2)

b) f(x + 3) d) −f(x) f ) f(2 −x)

a) f(x − 4) = log (x − 4) d) −f(x) = −log x

b) f(x + 3) = log (x + 3) e) 2 − f(x − 2) = 2 − log (x − 2)

c) 4 + f(x + 1) = 4 + log (x + 1) f ) f(2 − x) = log (2 − x)

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

Y

X

1

1

f (x) = log x

Y

X

061


365

A partir de la gráfica de la función logarítmica y = log3 x, explica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones.

a) y = log3 3x c) e)

b) d) f )

a) y = log3 3x = 1 + log3 x

La función se traslada verticalmente 1 unidad hacia arriba.

b)

La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas.

c) La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas.Coincide con la anterior.

d)

Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas y, después, se traslada verticalmente1 unidad hacia arriba.

e)

Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas y, después, se traslada verticalmente 1 unidad hacia abajo.

f )

La función se traslada verticalmente 2 unidades hacia abajo.

Dibuja la gráfica de y = cos x y, a partir de ella, haz la gráfica de las siguientesfunciones.

a) y = −cos x c) y = 1 + cos x

b) d) y = cos (−x)

π

1

Y

X

b)

π

1

Y

X

a)

y x= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟cos

π2

063

yx

x=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −log log3 3

92

y x x x= = + = − + −log log log log1

3

1

3

1

333 3 1 1

yx

x=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −log log3 3

31

y x x= = −log log1

33 1

yx=

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟log3

9y

x=

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟log 1

3

3y x= log 1

3

y x= log 31

3

yx

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟log3

1

062

8SOLUCIONARIO

366

Dibuja la gráfica de y = sen x y, a partir de ella, haz la gráfica de estas funciones.

a) y = −sen x c) y = −2 + sen x

b) d) y = −sen (−x)

Realiza una gráfica y estudia las características de estas funciones.

y = sen 2x y = sen 3x

A partir de lo anterior explica cómo serán las gráficas de las funciones:

a) y = sen 4x b) y = sen 6x

Las gráficas de las funciones y = sen 4x e y = sen 6x tienen el mismo dominio y recorrido y son periódicas, pero el período es mayor cuanto mayor es el valor por el que se multiplica la variable independiente x.

π

1

Y

X

065

π

1

Y

X

d)

π

1

Y

X

b)

π

1

Y

X

c)

π

1

Y

X

a)

y x= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟sen

π2

064

π

1

Y

X

d)

π

1

Y

X

c)


367

Representa y estudia las características de estas funciones.

Explica, a partir del estudio anterior, cómo serán las gráficas de las siguientes funciones.

a) b)

a) La gráfica de la función tiene el mismo dominio y recorrido

y es periódica, pero el período es 10π.

b) La gráfica de la función tiene el mismo dominio y recorrido

y es periódica, pero el período es 6π.

Ayudándote de su gráfica, comprueba que estos pares de funciones no son iguales.

a) c)

b)

Esta es la gráfica de la función trigonométrica y = tg x.

1

π

Y

X

068

π

1

Y

X

b)

π

1

Y

X

c)

π

1

Y

X

a)

y senx

ysen x=

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =

2 2

y tgx

ytg x=

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =

2 2y cos

xy

cos x=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =

2 2

067

yx

= cos6

yx

= cos5

yx= cos6

yx= cos5

π

1

Y

X

yx= cos3

yx= cos2

066

8SOLUCIONARIO

368

Utiliza la gráfica anterior para construir las gráficas de las siguientes funciones.

a) y = tg (x + π) b) y = 1 − tg x

A continuación puedes ver la gráfica de la función y = arc sen x.

Realiza las gráficas de las funciones.

a) y = 2 + arc sen x c)

b) y = 3 −arc sen x d) y = arc sen (x −1)

π2

1

Y

X

d)

π2

1−1

Y

X

b)

π2

1−1

Y

X

c)π

1−1

Y

X

a)

y arc sen x= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1

2

1−1

y = arc sen x

π2

−π2

Y

X

069

π

1

Y

X

b)

π

1

Y

X

a)


369

Esta es la gráfica de la función y = arc cos x.


a) y = 2 + arc cos x

b) y = 3 −arc cos x

c)

d) y = arc cos (x −1)

Observa la gráfica de la función y = arc tg x.


a) y = 2 + arc tg x

b) y = 3 −arc tg x

c)

d) y = arc tg (x −1)

π

1

Y

X

b)

π

1

Y

X

a)

y arc x= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟tg

1

2

y = arc tg x

π2

−π2

Y

X

071

π2

1

π

−1

Y

X

d)

π2

1

π

−1

Y

X

b)

π2

1

π

−1

Y

X

c)

π2

1

π

−1

Y

X

a)

y arc x= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟cos

1

2

π2

1−1

y = arc cos x

Y

X

π070

8SOLUCIONARIO

370

La función cuya expresión algebraica es se llama función signo de x.

Encuentra su expresión algebraica como una función definida a trozos.

a) ¿Cuánto vale si x = 3? b) ¿Y si x = −5? c) ¿Y si x = −3,4?

a) f(3) = 1 b) f(−5) = −1 c) f(−3,4) = −1

Representa y describe las características de las siguientes funciones.

a) Dom f = R Im f = RLa función es creciente en (−�, 2) ∪ (2, +�).

No es continua en x = 2, y este es un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.

No tiene asíntotas.

No es simétrica ni periódica.

2

2

Y

X

c)si

sih x x

x

x x( ) = −

<

+ ≥

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

6

12

2 1 2

b)sisisi

g xx x x

xx x

( ) =− <

=− + >

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

2 3 36 3

3 3

a)sisi

f xx x

x x( ) =

+ <− ≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 1 25 2

073

f xxx

( ) = >− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 01 0

sisi

1

1

yx

x=

⏐ ⏐

Y

X

yx

x=

⏐ ⏐072

π

1

Y

X

d)

π

1

Y

X

c)


371

b) Dom g = R Im g =

La función es creciente en ∪ (3, +�)

y es decreciente en .

Tiene un mínimo absoluto en .

No es continua en x = 3, y este es un punto de discontinuidad evitable.

No tiene asíntotas. No es simétrica ni periódica.

c) Dom h = R− {1} Im h = (−�, 0) ∪ [6, +�)

La función es decreciente en (−�, 1) ∪ (1, 2) y es creciente en(2, +�).

Tiene un mínimo relativo en x = 2.

No es continua en x = 1, y este es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

Tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asíntota horizontal en y = 0.


Representa y describe las características de estas funciones definidas a trozos.

a) b)

a) Dom f = R− {3} Im f = (−�, 0] ∪ [2, +�)

La función es creciente en (−�, 0) ∪ (4, +�) y es decreciente en (0, 3) ∪ (3, 4).

Tiene un mínimo relativo en x = 4.

No es continua en x = 0, ni en x = 3, y el punto x = 0 es de discontinuidadinevitable de salto finito, y el punto x = 3 es de discontinuidad inevitable de salto infinito.

Tiene una asíntota vertical en x = 3.


4

2

Y

X

g x xx x

x

( ) = ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 11

silog sif x

x x

xx

x x

( ) =

≤

−< ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

3 02

30 4

4

si

si

si

074

2

2

Y

X

x =3

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟� ,

3

2

3

23,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− +⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

9

4, �

8SOLUCIONARIO

1

1

Y

X

372

b) Dom g = R Im g = (0, 2]

La función es creciente en (−�, 1) ∪ (1, +�).

No tiene máximos ni mínimos.

No es continua en x = 1, y este punto es de discontinuidad inevitable de salto finito.

No tiene asíntotas.


Escribe como funciones definidas a trozos.

a) y = ⏐x + 2⏐ b) y = ⏐12 −3x⏐

a) b)

Observa la gráfica de la función y = x2 −x −6.

Realiza la gráfica de y = ⏐x2 −x −6⏐.

1

1

Y

X

y = x2 − x − 6

1

1

Y

X

076

f xx x

x x( ) = − ≤

− + >⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

12 3 412 3 4

sisi

f xx xx x

( ) = + ≥ −− − < −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 22 2

sisi

075

1

1

Y

X


373

Representa la función.

Estudia el valor que toma la función en los puntos próximos a −1, completando las tablas.

Describe lo que le sucede a la función en las proximidades de −1.

Por la izquierda de −1 los valores de la función se acercan a 2, y por la derecha se acercan a 4.

Escribe como una función definida a trozos y representa las funciones.

a) y = ⏐x2 −4x −5⏐ c) y = ⏐2x2 −7x + 3⏐b) y = ⏐x2 −4x + 5⏐ d) y = ⏐−x2 + 4x −5⏐

a)

c)

1

1

Y

X

f xx x x x

x x x( )

,=

− + ≤ ≥

− + − < <

⎧

⎨

⎪2 7 3

1

23

2 7 31

23

2

2

si

si

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

1

1

Y

X

b)

2

2

Y

X

f x x x x xx x x

( ) ,= − − ≤ − ≥− + + − < <

⎧⎨⎪⎪⎩

2

2

4 5 1 54 5 1 5

sisi⎪⎪⎪

078

Derecha de −1 0 −0,5 −0,9 −0,95

f (x) 3 3,5 3,9 3,95

Izquierda de −1 −2 −1,5 −1,1 −1,05

f (x) 2 2,25 2,09 2,0475

f xx x x

xx x

( ) =+ <−

− = −− + >−

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪

⏐ ⏐2 3 1

4 13 1

si

sisi⎪⎪⎪

077

8SOLUCIONARIO

374

Expresa como una función definida a trozos.

a) y = ⏐x⏐ + ⏐x + 2⏐b) y = ⏐x + 1⏐ −⏐1 − x⏐c) y = ⏐x −1⏐ −⏐1 − x⏐d) y = ⏐2x + 1⏐ −⏐2 − x⏐

c) f(x) = 0

El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir de la función:

siendo x el número de días transcurridos desde el comienzo de la epidemia.

a) ¿Cuántos afectados hubo el primer día?

b) ¿En qué momento el número de afectados fue 15?

c) Representa la función y comprueba los resultados que has obtenido en los apartados anteriores.

a) f(1) = 10 afectados

b)

Hubo 15 afectados dos días después del comienzo de la epidemia.

2

20

Y

X

c)

30

215 30 15 30 15 30 2

x

xx x x x

+= = + = =→ → →

f xx

x( ) =

+30

2

080

d)

si

si

si

f x

x x

x x

x x

( ) =

− − ≤ −

− − < ≤

+ >

⎧

⎨

⎪⎪ 31

2

3 11

22

3 2

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

b)sisisi

f xx

x xx

( ) =− ≤ −

− < ≤>

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

2 12 1 12 1

a)sisisi

f xx x

xx x

( ) =− − ≤ −

− < ≤+ >

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪

2 2 22 2 0

2 2 0⎪⎪⎪

079

1

1

Y

X

d)


375

Un capital de 5.000 €está depositado en un banco, y produce un interés anual del 2 %.

a) ¿Cuánto dinero hay al cabo de un año?

b) ¿Y a los dos años?

c) ¿Y a los n años?

a) 5.100 € b) 5.202 € c) C = 5.000 · 1,02n

La tabla recoge el interés que ofrece un banco al ingresar dinero durante un año.

a) Representa la función que determina el interés obtenido dependiendo del dineroque se ingresa. ¿De qué tipo de función se trata?

b) Si se ingresan 1.800 €, ¿cuánto dinero tendré al final del año?

c) ¿Y si ingreso 500 €?

Se trata de una función definida a trozos.

b) 1.800 · 1,1 = 1.980 €

c) 500 · 1,05 = 525 €

Encuentra las funciones inversas de estas funciones.

a) y = 3x −1 f ) y = ln (x + 3)

b) g) y = 3 + 4 ⋅ 5x

c) y = sen 2x h)

d) i) y = ⏐x −1⏐

e) y = arc cos (x −2) j) y = x

ytg x= +1

2

yx= +1

5

log3

y x=

083

500

5

Y

X

a)

Dinero (€) Interés (%)

Hasta 1.000 5

De 1.000 a 2.500 10

De 2.500 a 5.000 15

Más de 5.000 20

082

081

8SOLUCIONARIO

376

j) y = x → x = y → f −1(x) = x

Una granja de caracoles ha ajustado sus gastos de producción por x kilogramos de caracoles según la función:

Sus ingresos se rigen por la fórmula:

Averigua cuál es el número de kilogramos de caracoles con el que se obtiene el beneficio máximo.

Los beneficios de la granja se obtienen a partir de la función:

Se trata de una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola. Al ser el coeficiente de x2 un valor negativo la parábola está abierta hacia abajo.Entonces la función alcanza su máximo en el vértice de la misma:

kgxb

a= − =

22 000.

f x x x x( ) .. .

.= + − + − −8 000 21

1 000

1

200 0002 000

1

202 3

00 000

6 000 21

1 000

3

2

.

..

x

x x

=

= + −

I x x x x( ) .. .

= + − +8 000 21

1 000

1

200 0002 3

G x x( ) ..

= +2 0001

200 0003

084

y x x yy x x y

f xx= − = +

= − + = − +⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +−1 11 1

11→→

→ ( ) siisi

xx x

≥− + <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

11 1

i) sisi

f xx xx x

( ) = − ≥− + <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 11 1

h) yx

y x x y x fy=+

= + = − = −1

55 1 5 1 33

3 35 1log

log log→ → → −− −=1 5 13( )x x

g) yy

xy

fx x= + =−

=−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3 4 5 53

4

3

45· log→ → → 11

53

4( ) logx

x=

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

f ) lny x x e x e f x ey y x= + + = = − = −−( ) ( )3 3 3 31→ → →e) y arc cos x cos y x x cos y f x= − = − = + = +−( ) ( )2 2 2 21→ → → ccos x

d) ytg x

y tg x x arctg y f x ar=+

− = = − =−1

22 1 2 1 1→ → →( ) ( ) cctg x( )2 1−

c) y sen x x arc sen y xarc sen y

f xarc s

= = = =−2 22

1→ → → ( )een x

2

b) y x x y f x x= = =−→ →2 1 2( )

a) y x y x xy

f xx

= − + = =+

=+−3 1 1 3

1

3

1

31→ → → ( )


377

Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales

tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula:

donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de díastranscurridos desde el tsunami.

a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día?

b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas?

c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2.000 camas, ¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad?

a) 11.000 personas

b) 1.243 personas

c)

Como el número de personas hospitalizadas decrece según el número de días la capacidad de hospitalización estuvo desbordada hasta el décimo día.

La evolución de una población viene determinada por la función P(t) = 100 ⋅ 2t, y la de los alimentos que necesitan sigue la función A(t) = 1.000t + 1.000.

a) ¿Cuánta población había al principio? ¿Y alimentos?

b) ¿Y después de 2 años?

c) ¿A partir de qué año la población tendrá menos alimentos de los que son necesarios?

a) P(0) = 100 A(0) = 1.000

b) P(2) = 400 A(2) = 3.000

PARA FINALIZAR...

Razona para qué valor de x se hace mayor la diferencia −⏐x⏐.

La diferencia alcanza el mayor valor para x = 0.

1

3

Y

X

x 2 1+087

A partir del sexto año.

2

1.000

Y

X

c)

086

1110

102 120 2 20 100 0 10

2

2 2 2++

= + = + − = = ±t

t t t t→ → →

Pt

t= ++

∈1110

100 30

2( , )

085

8SOLUCIONARIO

378

La función f(x) está formada por cuatro segmentos.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f [f(x)] = 6?

Como f(1) = f(−2) = 6, las soluciones de la ecuación son los valores para los que las ordenadas son iguales a 1 y a −2. En total hay seis puntos que cumplen estas condiciones, es decir, la ecuación tiene seis soluciones.

Calcula los valores máximo y mínimo (extremos absolutos) que puede alcanzar la función f(x) = ⏐1 −x2⏐en el intervalo [−2, 2].

En el intervalo [− 2, 2], el máximo valor es 4, ya que los puntos x = 2 y x = −2 son los máximos absolutos, y el mínimovalor es 0, porque los puntos x = 1 y x = −1son los mínimos absolutos.

¿Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el intervalo [−π, π]?

a) e x = 2 −x2 b) ln x = −x c)

Tiene dos soluciones. Tiene tres soluciones.

Las manecillas de un reloj miden 20 y 30 cm. Entre las 12 horas y las 12 horas y 30 minutos:

a) Expresa el ángulo que forman en función del tiempo, t, medido en minutos.

b) Halla el área del triángulo creado al unir sus extremos en función de t. ¿Puede tomar el valor cero? ¿A qué hora alcanza su mayor valor?

c) Expresa la distancia entre los extremos de las agujas en función de t.

091

Tiene una solución.2

2

Y

X

y = ln x

y = –x

b)

π

1

Y

X

y = sen x

yx

=2

c)

1

y = e x

y = 2 − x2

Y

X

a)

sen xx=2

090

1

1

Y

X

089

2

2

B (−2, 6) C (1, 6)

D (5, −6)A (−7, −4)

Y

X

088


379

a) Como la manecilla que marca las horas tarda 12 horas en completar una vuelta

(2π radianes), su velocidad es: rad/min

Análogamente, la velocidad de la otra manecilla es: rad/min

El ángulo que forman ambas manecillas es la diferencia entre los ángulosrecorridos por cada una, en función del tiempo t transcurrido:

rad

Esta función se anula si el ángulo mide kπ radianes, con k ∈Z. En el intervalo de tiempo dado esta condición solo se cumple a las 12 horas (α = 0).

Como el mayor valor de la función seno se alcanza cuando el ángulo mide

radianes, hay que calcular a qué hora el ángulo formado tiene esta amplitud:

El área es máxima a las 12 horas y 16,36 minutos.

c) Por el teorema del coseno, la distancia entre las agujas es:

La temperatura media diaria, medida en grados Celsius, en una ciudad, durante el año pasado, viene dada por la siguiente función.

donde t es el tiempo en días, correspondiendo t = 1 al 1 de enero, y el ángulo estámedido en radianes. Halla la temperatura correspondiente a los días 1 de enero y 10 de agosto. Calcula las temperaturas máxima y mínima del año.

Para calcular la temperatura del 1 de enero: t = 1 → T = −3,77 grados

Para calcular la temperatura del 10 de agosto: t = 222 → T = 19,89 grados

Como en la expresión dada, el coseno del ángulo está multiplicado por un númeronegativo, la función alcanza el máximo si su amplitud es de π radianes.

Por tanto, la temperatura máxima es: T = 20 grados

Análogamente, la función alcanza el mínimo si dicho ángulo mide 0 radianes.

Así, la temperatura mínima es: T = −5,55 grados2

36532 0 32

π( )t t− = =→

2

36532 214 5

ππ( ) ,t t− = =→ días

T t= − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

5

913 23

2

36532cos

π( )

092

d t= + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =20 30 2 20 30

11

3601 32 2 · · · .cos

π000 1 200

11

360

10 13 121

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= −

. cos

cos

πt

11

360

πt

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

11

360 216 36

π πt t= =→ ,

π2

b) A sen t sen=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

220 30

11

360300

11· · ·

π ππ360

t⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

απ π π

= − =30 360

11

360t t t

vm = =2

60 30

π π

vh = =2

720 360

π π

8SOLUCIONARIO

380

Límite de una función1SOLUCIONARIO

L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S

El ochoSharrif iba sacando los libros [de mi bolsa] y ordenándolos en una pila sobre el escritorio mientras leía cuidadosamente los títulos.

–Juegos matemáticos de ajedrez... ¡ah! ¡Los números de Fibonacci! –ex-clamó, con esa sonrisa que me hacía sentir que tenía algo contra mí.Señalaba el aburrido libro de Nim–. ¿De modo que te interesan lasmatemáticas? –preguntó, mirándome con intención.

–No mucho –dije, poniéndome en pie y tratando de volver a guardarmis pertenencias en la bolsa. [...]

–¿Qué sabe exactamente sobre los números de Fibonacci? [...]

–Se usan para proyecciones de mercado –murmuré–. [...]

–¿Entonces no conoce al autor? [...] Me refiero a Leonardo Fibonacci.Un italiano nacido en Pisa en el siglo XII, pero educado aquí, en Argel.Era un brillante conocedor de las matemáticas de aquel moro famoso,Al-Kwarizmi, que ha dado su nombre a la palabra «algoritmo». Fibo-nacci introdujo en Europa la numeración arábiga, que reemplazó a losviejos números romanos...

Maldición. Debí haber comprendido que Nim no iba a darme un libro só-lo para que me entretuviera, aun cuando lo hubiera escrito él mismo. [...]

Permanecí leyéndolo casi hasta el amanecer y mi decisión había resulta-do productiva, aunque no sabía con certeza cómo. Al parecer, los núme-ros de Fibonacci se usan para algo más que las proyecciones del mercadode valores. La resolución de un problema había llevado a Fibonacci a for-mar esta interesante sucesión de números empezando por el uno y su-mando a cada número al precedente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... [...] Descu-brió que los cocientes entre cada término y el anterior se aproximan al

número y que este número describía también la estructura

de todas las cosas naturales que formaban una espiral.

KATHERINE NEVILLE

1 52

+

Los números de Fibonacci aparecen con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, el númerode espirales de los girasoles o de las piñas es siempre uno de estos números. Además, como se dice en esta novela, al dividir cada término de la sucesión de Fibonaccientre el anterior, se obtiene una nueva sucesión de números que se aproximan

cada vez más al número de oro: . Aunque no la descubrió Fibonacci, esta propiedad

es verdadera. Compruébala tú mismo.

La sucesión que se obtiene al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior es:

a1 = 1

a2 = 2 = 1,6�

Estos valores se aproximan a: 1 5

21 618

+= , …

a834

211 619= = , …a6

13

81 625= = ,a4

5

3=

a721

131 615= = , …a5

8

51 6= = ,a3

3

21 5= = ,

1 5

2

+

Límite de una función9

381

9SOLUCIONARIO


Escribe los términos 14, 123 y 2.345 de estas sucesiones.

a) b)

a) a14 = 156 a123 = 14.762 a2.345 = 5.491.992

b) a14 = a123 = a2.345 =

Factoriza este polinomio: P (x) = 7x 5 + 14x 4 −35x 3 − 42x 2

P (x) = 7x2(x − 2)(x + 1)(x + 3)

Simplifica estas fracciones algebraicas.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Resuelve estas operaciones y simplifica el resultado.

a) b)

a)

b)

ACTIVIDADES

Obtén el término general de estas sucesiones.

a) … b) , …

a) b) an

nn =

− +2 52

an

n n=

−⋅ −

4 1

5 3 1

3

1

1

4

1

9

3

16, , ,

− −3

5

7

15

11

45, , ,

001

( )2 21

3

6 6 1

3

6 7 1

3

2 2

xx

x

x x x

x

x x

x− −

−=

− − +=

− +

( )xx x

x

x x x

x

x

x+ −

− +−

=− − + −

−=

−−

13 1

1

1 3 1

1

3 2

1

2 2 2

( )2 21

3x

x

x− − −

( )x x x

x+ − − +

−1 3 1

1

2

004

( )( )

( )( )

( )( )( )x y

xy x y

x x y2 2

2

9 16

2 6 4

3 3 4− −

− +=

+ − + (( )

( )( )

( )( )

( )

y

xy x y

x y

xy y

−

− +=

+ −

+

4

2 3 4

3 4

2 42

y x x

x x

y x

x x

y x

x

2 2 2 2 24 4

2

2

2

2( )

( )

( )

( )

( )− +

−=

−

−=

−

x x

x x

x x x

x xx x

2 2 24

2

2 2

22

( )

( )

( )( )

( )( )

−−

=+ −

−= +

x x

x x

x

x x

x

x

2 22 1

1

1

1

1+ ++

=+

+=

+( )

( )

( )

( )( )

( )( )

x y

xy x y

2 2

2

9 16

2 6 4

− −− +

x x

x x

2 2 4

2

( )

( )

−−

y x x

x x

2 2 4 4

2

( )

( )

− +−

x x

x x

2 2 1

1

+ ++( )

003

002

2 349

4 691

.

.

127

247

18

29

an

nn = +

+4

2 1a n nn = − +2 3 2

001

382

Límite de una función

Con tu calculadora, halla los cinco primeros términos de la sucesión recurrente

, siendo a1 = 1, y determina el número al que se aproxima.

a1 = 1 a2 = 2 a3 = = 1,6� a4 = a5 = = 1,72�

Los términos de la sucesión se aproximan a:

Con ayuda de tu calculadora, halla el límite de las siguientes sucesiones.

a) b) an = n2 c) d)

a) b) c) d)

Escribe sucesiones de números reales que cumplan que su límite, cuando ntiende a infinito, es:

a) b) c) d)

Respuesta abierta.

a) b) c) d)

Calcula estos límites de sucesiones.

a) b) c) d)

a) b) c) d)

Halla los límites de las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes.

a) b)

a) b)

Halla los siguientes límites.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d) limn

n

n

n

n→�

+−

−−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

1

1

10lim ln

n

n

2 7

2

+= +�

limn

n

n n→�

3 1

23

2

2

++ +

=limn

n

n

n

n→�

3 1 4

2 30

2

3

4

4

−⋅

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

limn

n

n

nn→�

+−

− −+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

1

1

1lim

n

nn→�ln

2 7

2

+

limn

n nn→�

3 1

2

2

2

++ +

limn

n

n

nn→�

3 1 4

2 3

2

3

4

4

− ⋅+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

007

limn

n

n→�

( )

( )

−+

=1

21

10

10lim

n

n

n n→�

8

2 3 10

2 + −=

( )

( )

n

n

−+

1

2

10

10

8

2 3 12

n

n n+ −

006

limn

n

→�0 5 0, =lim

nn

→��43 = +lim

nn

→��= +lim

nn

→��3 = +

limn

n

→�0 5,lim n

n→�

43lim nn→�

lim nn→�

3

005

ann= − +( )1 1a nn = +2 3a nn = −4a

n

nn =

+3

1

lim an

n→�no existelim a

nn→�

�= +lim an

n→��= −lim a

nn→�

= 3

004

limn

na→�

= 0limn

na→�

�= −limn

na→�

�= +limn

na→�

= 1

ann= 0 2,a n nn = −2 3an

n= − +( )1 2 4

003

3 1 732= , …

19

11

7

41 75= ,

5

3

aaa

nn

n

= ++

−

−

1

1

31

002

383

9SOLUCIONARIO

Calcula estos límites.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Explica por qué no son indeterminaciones.

a) � ⋅ � b) c) d) �1

a) El producto de valores muy grandes resulta un valor aún más grande.

b) Al dividir cero entre cualquier número distinto de él, el resultado es cero.

c) El cociente de un valor muy grande entre un número muy próximo a cero es un valor aún más grande.

d) Cualquier número elevado a uno es el mismo número.

Pon ejemplos de límites que produzcan indeterminaciones de los tipos.

a) 0 ⋅ � b) 1� c) �0 d) 00

Respuesta abierta.

a) c)

b) d)

Calcula los siguientes límites, resolviendo las indeterminaciones que puedan presentar.

a) b)

a)

b)

limn

n n

n→�

+ +=

1

2

1

2

limn

n n

n→→

�

�

�

+ + 1

2

limn

n n

n→�

+=

3

0

limn

n n

n→→

�

�

�

+ 3

limn n

nn→�

+ + 1

2lim

n n

nn→�

+ 3

011

limn

n

n→�

12

1⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟lim

n

nn

n→�

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

1

2

limn

nn→�

( )− 41

limn

n

n→�

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ln

010

�

0

0

�

009

limn

n

n

→�0 1 1

12,

+

=limn

n

n n→�ln

2 1

20

3

3

++

=

limn

n

n

→�9 3

2

2

1+

=2limn

n

n

n

n n→�

4

4

3

3

1

2 1 3 1

1

6

++

+−+ +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

limn

n

n

→�0 1

12,

+

limn

n nn→�ln

2 1

2

3

3

++

limn

n

n

→�9

2

2

1+

2limn

n

n

n nn→�

4

4

3

3

1

2 1 3 1

++

+ −+ +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

008

384


¿Presentan indeterminaciones del tipo estas sucesiones?

En caso afirmativo, halla el límite.

a) b)

a) No es una indeterminación, porque la raíz cuadrada no está definida para valores grandes de n.

b) Es una indeterminación del tipo :

Calcula los siguientes límites.

a) b)

a)

b)

Halla estos límites.

a)

b)

c)

a)

b)

c) limn

n n n→�

�2 27 3+ + +( ) = +

lim limn n

n nn

n n→ →� �2 5

3 5

4 5

3

42

2

2 2− +( ) =

−

+ +=

limn

n n→

→�

� �2 52− +( ) −

lim limn n

n n nn

n n n→ →� �

2 2

2 24 3

3 4

4 3

3

2− − −( ) =

−

− + −=

limn

n n n→

→�

� �2 24 3− − −( ) −

lim n n nn→�

2 27 3+ + +( )

lim n nn→�

2 52− +( )

lim n n nn→�

2 24 3− − −( )014

lim limn n

n

n

n

n

n→ →� �

4

2

3 3

1

2 2

++

− +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=− + nn

n n

2

3

21

++

= −

limn

n

n

n

n→→

��

4

2

3

1

2

++

− +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

lim limn n

n n

n

n

n→ →� �

3

2

22 1

2 1 1

+ +−

−−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−− − + − −

− − += −

n n n n

n n n

4 3 2

3 2

3 1

2 2 1�

limn

n n

n

n

n→→

��

3

2

22 1

2 1 1

+ +−

−−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

limn

n

n

nn→�

4

2

3

1

2

++ − +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟lim

n n

n

n

nn→�

3

2

22 1

2 1 1

+ +−

−−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

013

limn

n

n→�

50

23 −=�

�

limn

nn→�

5 23 −lim

n

nn→�

5 2−

�

�012

385

9SOLUCIONARIO

Calcula los siguientes límites.

a) b)

a)

b)

Halla estos límites.

a) b)

a)

b)


a) b)

a) b)

Calcula estos límites.

a) b)

a)

b)

lim limx

x

x

x x

x

x→ →+ +

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= +−

� �

2

2

2

11

2 1

xx x

x

x

x2 211

1

1

2 1

+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

+−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜+

lim→ �

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

+

−

−x

x

x x

x2 1

1

2 1

2

( )22 1

2

+

= e

limx

xx x

x→→

+

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟�

�2

2

2

11

limx

xx

x→+

++

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

�

1

3 30

limx x

xx

x

→+

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟�

2

2

2

1lim

x

xx

x

→+

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟�

1

3 3

018

limx

x x

x x→+

+− −

=�

( )

( )( )

3 1

6 2 1

3

8

4

2 3lim

x

x

x→+ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = =

�

2

12 8

3

3

limx x

x xx →+

+− −�

( )

( )( )

3 1

6 2 1

4

2 3lim

x

xx →+ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟�

2

1

3

017

lim limn

n

nn n→ →� �1

3

21

1

2

3

2

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

⎛

⎝

⎜⎜−3

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

−2

3

2nn

n3

3 2( )

ee9

2limn

n

n→→

�

�13

21

3 2

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

lim limn

n

nn n→ →� �1

51

1

5

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

n

e5

5

5limn

n

n→→

�

�15

1+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

limnn

n

→�1

3

2

2

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−3

limnn

n

→�1

5+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

016

lim limn

n

nn n→ →� �1

11

13−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠

2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=− −

−n

e

2

3 2

3limn

n

n→→

�

�11

13

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

lim limn

n

nn n→ →� �1

11

15+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=n

e

1

5 1

5limn

n

n→→

�

�11

15

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

limnn

n

→�1

1 3−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

2

limnn

n

→�1

1 5+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

015

386


Calcula los límites laterales en el punto x = 3 de:

Halla los límites laterales en x = 0 de las funciones.

a) b)

a)

b)

Calcula el límite de la función en x = 2 y en x = 5.

Razona si existe o no el límite de la función

en x = 2, en x = 3 y en x = 4.


a) b)

a)

b)

lim limx x

x

x

x x x

x→ →− −

−+

=+ + −+2

4

3 2

216

8

4 2 2( ) ( ) ( )

( 22 2 4

8

32) ( )x x− += −

limx

x

x→→

−

−+2

4

3

16

8

0

0

lim limx x

x x x

x x

x x

x x→ →1

3 2

2 1

22

3 2

1

1

− +− +

=−

− −( )

( )( 220

)=lim

x

x x x

x x→→

1

3 2

2

2

3 2

0

0

− +− +

limx

xx → −

−+2

4

3

16

8lim

x x x

x xx →1

3 2

2

2

3 2

− +− +

023

limx

f x→4

53

14( ) =lim

xf x

→3

37

6( ) =

lim

limx

x

f x

f x→

→

→2

2

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�No exisste lim

xf x

→2( ).lim

xf x

→→

2

5

0( )

f xx

x

x

x( ) = −

++ +

−2

3

3

2022

lim

limx

x

f x

f x→

→

→5

5

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�No exisste lim

xf x

→5( ).lim

xf x

→→

5

24

0( )lim

xf x

→21( ) = −

f xx

x( ) = −

−

2 1

5021

limx

f x→0

1+

=( )limx

f x→0

1−

= −( )f x xx

( ) = >− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1 0

1 0sisi

limx

f x→0+

= +( ) �limx

f x→0−

= −( ) �

f xx

x( ) =

⏐ ⏐f x

x

x( ) = −1

2

020

lim limx x

f x x→ →3 3

2 1 10+ +

= + =( ) ( )lim limx x

f x x→ →3 3

3 0− −

= − =( ) ( )

f xx xx x

( ) = − <+ ≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

3 31 32

sisi

019

387

9SOLUCIONARIO

Calcula si m = 2 y m = 3.

¿Puedes determinar el límite para un valor m cualquiera?

Pon un ejemplo de una función que tenga como asíntotas verticales las rectas cuyas ecuaciones son:

x = 1 x = 2 x = 3

Respuesta abierta. Por ejemplo:

Halla las asíntotas verticales de las funciones.

a) b) c)

a) Dom f = � − {0}

f (x ) tiene una asíntota vertical en x = 0.

b) Dom f = � − {−1, 1}

f (x ) tiene una asíntota vertical en x = −1.


c) Dom f = � − {−2, 0, 2}

f (x ) tiene una asíntota vertical en x = −2.


f (x ) tiene una asíntota vertical en x = 0.lim

limx

x

f x

f x→

→

→0

0

−

+

= +

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�

lim

limx

x

f x

f x→

→

→2

2

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�

lim

limx

x

f x

f x→

→

→−

−

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2

2

( )

( )

�

�

lim

limx

x

f x

f x→

→

→1

1

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�

lim

limx

x

f x

f x→

→

→−

−

−

+

= +

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

1

1

( )

( )

�

�

lim

limx

x

f x

f x→

→

→0

0

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�

f xx x

( ) =−1

43f x

x( ) =

−1

12f x

x( ) = 1

026

f xx x x

( )( )( )( )

=− − −

1

1 2 3

025

lim limx

m

x

m mx

xx x x m

→ →1 1

1 21

11

−−

= + + + + =− −( … )

lim limx x

x

xx x

→ →1

3

1

21

11 3

−−

= + + =( )limx

x

x→→

1

3 1

1

0

0

−−

lim limx x

x

xx

→ →1

2

1

1

11 2

−−

= + =( )limx

x

x→→

1

2 1

1

0

0

−−

limx

xx

m

→1

1

1

−−

024

388


¿Puede ocurrir que una función tenga una asíntota horizontal y otra oblicua cuando x → +�? Razona la respuesta.

No puede ocurrir, ya que si tiene una asíntota horizontal se verifica que:

Y si , la función no tiene asíntota oblicua.

Calcula sus asíntotas y representa las funciones.

a) b) c)

a) f (x ) tiene una asíntota horizontal: y = 0.

b) f (x ) tiene una asíntota horizontal: y = 1.

c) f (x ) tiene una asíntota oblicua: y = x.

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x

x x

x

xx

→ →

→

+ +

+

=+

=

+−

� �

�

( ) 3

3

3

2

1

1

⎛⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=−

+=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪+lim

x

x

x→ � 2 10⎪⎪⎪

→

limx

x

x→→

+ +=

�

2

2 11

limx

x

x→→

+ +=

� 2 10

f xx

x( ) =

+

3

2 1f x

x

x( ) =

+

2

2 1f x

x

x( ) =

+2 1

028

limx

f x

x→+=

�

( )0

limx

f x k→+

=�

( )

027

1

1 X

Y

1

1 X

Y

1

1 X

Y

389

9SOLUCIONARIO

Estudia la continuidad de estas funciones.

a) b) c)

a) Dom f = � − {0} → f (x ) es continua en � − {0}.

b) Dom f = [4, +�) → f (x ) es continua en [4, +�).

c) Dom f = (−1, 1) → f (x ) es continua en (−1, 1).

Halla m y n para que la función f ( x) sea continua en �.

f (x ) es continua en x = 1 si se verifica que:

f (x ) es continua en x = 3 si se verifica que:

Estudia la continuidad de la función que asigna a cada número su parte entera.

y = [x]

Especifica los tipos de discontinuidades que presenta esta función.

La función no es continua para todos los valores enteros. Todos los númerosenteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.


a) b)

a) Dom f = � − {2}

No existe y f (x) no es continua en x = 2.

La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntotavertical en x = 2.

limx

f x→2

( )lim

limx

x

f x

f x→

→

→2

2

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�

f xx

x

x xx

( ) =≤

< <≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

11

1 45 4

si

sisi

f xx

x( ) = +

−1

2

032

031

m n

m n

m

n

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

2

3 4

1

1→

lim

limx

x

f x m n

f x

f

→

→

3

3

3

4

4

−

+

= +

=

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

( )

( )

(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪

+ =→ 3 4m n

f lim f xx

( ) ( )33

=→

lim

limx

x

f x

f x m n

f

→

→

1

1

2

1 2

−

+

=

= +

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

+ =→ m n 2

f lim f xx

( ) ( )11

=→

f xx

mx n xx

( ) =≤

+ < <≥

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

2 11 3

4 3

sisisi

030

f x x( ) ( )= −ln 1 2f x x( ) = − 4f x x( ) = −2

029

390


b) Dom f = � − {0}


La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntotavertical en x = 0.

Como , la función es continua en x = 1.


La discontinuidad es inevitable de salto finito.

Halla el término general de las sucesiones cuyos primeros términos son:

a) 1, −1, 1, −1, … b) 1, 2, 4, 8, …

a) an = (−1)n−1

b) an = 2n−1

Con ayuda de la calculadora, halla el límite de esta sucesión definida de formarecurrente.

a1 = 1

a1 = 1

Los términos de la sucesión se aproximan a:

Calcula el límite de la siguiente sucesión con ayuda de la tabla.

limn

na→�

�= +

an

nn = −

+

2 1

2 1

035

1

20 7071= , …

a329

410 70731= = , …

a5985

1 3930 707106= =

., …a2

5

70 71428= = , …

a4169

2390 70711= = , …

aa

an

n

n

= ++

−

−

3 2

4 31

1

034

033

limx

f x→4

( )lim

limx

x

f x

f x→

→

→4

4

4

5

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

∃ =f f xx

( ) ( )11

lim→

lim

limlimx

x

x

f x

f x→

→→

→1

1

1

1

1

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃( )

( )ff x( ) = 1

limx

f x→0

( )lim

limx

x

f x

f x→

→

→0

0

−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

�

�

n 5 50 500 5.000 50.000

an 2,18 24,74 249,74 2.499,74 24.999,74

391

9SOLUCIONARIO

Comprueba la igualdad con ayuda de la tabla.

Halla los siguientes límites de sucesiones.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Obtén los resultados de:

a) b) c)

a)

b)

c) limn

n n

n n→�

5 2 6

60

3

2

− +− −

=

limn

n n

n n→�

8 3 2

2

8

24 2

2

3 4

+ +

+= =lim

n

n n

n n→→

�

�

�

8 3 2

2

2

3 4

+ +

+

limn

n n

n→�

4 3

3 1

2

3

2 + −+

=limn

n n

n→→

�

�

�

4 3

3 1

2 + −+

limn n

n nn→�

5 2 6

6

3

2

− +− −

limn n

n nn→�

8 3 2

2

2

3 4

+ +

+lim

n n

nn→�

4 3

3 1

2 + −+

038

lim limn n

n

n

n

n→ →�

6 1

2 4

9 5

3 6

2 2++

−−

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=��

13

6 20

( )n +=

limn

n

n

n

n→→

��

6 1

2 4

9 5

3 6

2 2++

−−

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

lim limn n

nn n

n

n→ →� �

24 2 7

2 1

42

−− +

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=− 77

2 12

n +=

limn

nn n

n→→

�� 2

4 2 7

2 1

2

−− +

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

lim limn n

n n

n

n

n

n→ →� �

2 23 2

3 3

2− +−

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=− 33

2

7 6

3 9

− ++

= −n

n n�

limn

n n

n

n

n→→

��

2 23 2

3 3

− +−

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

lim limn n

n n

n

n

n

n→ →� �

5

3

2

1

42 2+−

−+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=33 2

2

3 6

4 3

− − +− +

= +n n

n n�

limn

n n

n

n

n→→

��

5

3

2

1

2 2+−

−+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

limn

n

n

nn→�

6 1

2 4

9 5

3 6

2 2++

− −+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟lim

n n

n

n

nn→�

2 23 2

3 3

− + −+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

lim nn n

nn→�2

4 2 7

2 1

2

− − ++

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟lim

n n

n

n

nn→�

5

3

2

1

2 2+−

− +−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

037

limn

nn→�

4 6

2 13

−+

= −

036

n 5 50 500 5.000 50.000

an −2,36 −2,93 −2,993 −2,9993 −2,9999

392


Determina los límites.

a)

b)

c)

a)

b)

c)


a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Representa las funciones.

A partir de la gráfica, calcula los siguientes límites.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d) limx

g x→+

= +�

�( )limx

g x→−

= +�

�( )

limx

f x→+

= +�

�( )limx

f x→−

= −�

�( )

lim g xx →+ �

( )lim g xx →−�

( )

lim f xx →+ �

( )lim f xx →−�

( )

f x x g x x x( ) ( )= − = + −2 3 2 12

041

limx

xxe→ +

= +�

�limx x→ ⏐ ⏐−

=�

10

ln

limx x x→− + +

=�

4

2 10

2lim

xx x

→ ++ − = +

��( )3 22 3

lim xex

x

→+�

limxx → ⏐ ⏐−�

1

ln

limx xx →− + +�

4

2 12lim x x

x →++ −

�

3 22 3

040

lim limn n

n nn n→ →� �

4 16 22

4 16 202

2− +( ) =

−

+ +=

limn

n n→

→�

� �4 16 22− +( ) −

lim limn n

n n nn n

n n→ →� �4 31 3

5 31

4 31

22

2+ + −( ) =

− + +

+ + ++= −

3n�

limn

n n n→

→�

� �4 31 32 + + −( ) −

lim limn n

n n nn

n n n→ →� �− + −( ) =

− +

+ + −= −2

24 1

4 1

4 12

limn

n n n→

→�

� �− + −( ) −2 4 1

lim n nn→�

4 16 22− +( )

lim n n nn→�

4 31 32 + + −( )

lim n n nn→�

− + −( )2 4 1

039

1

g(x) f (x)

2 X

Y

393

9SOLUCIONARIO

Calcula.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Determina los límites.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Halla los límites.

a) b)

a) b)

Calcula los límites, y comprueba el resultado con tu calculadora.

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c) limx

x x

x x x→ +

+ −− +

= −�

5 3 1

6 3

5

3

3

2 3

limx

x x x

x x→ +

+ − ++ −

= −�

�1 6

3 2 3

4 3

2lim

x

x x x

x x→ +

− − ++ −

= −�

�2 6 1

4 5 2

2 3

2

limx

x x

x x→ +

+ −− +

=�

4 12

20

2

2 3lim

x

x x

x x→ +

− +− +

=�

2 6 3

3 52

2

2

limx x

x x xx →+

+ −− +�

5 3 1

6 3

3

2 3

limx x x

x xx →+

+ − ++ −�

1 6

3 2 3

4 3

2lim

x x x

x xx →+

− − ++ −�

2 6 1

4 5 2

2 3

2

limx x

x xx →+

+ −− +�

4 12

2

2

2 3lim

x x

x xx →+

− +− +�

2 6 3

3 5

2

2

045

limt

t t→

⏐ ⏐−

+ + = +�

�3 6 3limt

t→

⏐ ⏐+

− + = +�

�2 52

lim t tt →

⏐ ⏐−

+ +�

3 6 3lim tt →

⏐ ⏐+

− +�

2 52

044

limx

x x x→−

− + + = −�

�( )7 12 3 92 3

limx

x x x→−

− − + = −�

�( )5 3 16 33 2

limx

x x x x→−

+ + − + = +�

�( )4 3 24 7 12 1

limx

x x→−

+ = −�

�( )6 3 2

lim x x xx →−

− + +�

( )7 12 3 92 3lim x x x xx →−

+ + − +�

( )4 3 24 7 12 1

lim x x xx →−

− − +�

( )5 3 16 33 2lim x xx →−

+�

( )6 3 2

043

limx

x x x→ +

− + − = −�

�( )1 3 5 63 2

limx

x x x x→ +

− + − + − = −�

�( )2 4 3 28 3 27 42

limx

x x x x→ +

+ + − = +�

�( )4 3 22 17

limx

x x→ +

− = +�

�( )3 23

lim x x xx →+

− + −�

( )1 3 5 63 2lim x x x xx →+

+ + −�

( )4 3 22 17

lim x x x xx →+

− + − + −�

( )2 8 3 27 424 3 2lim x xx →+

−�

( )3 23

042

394


Halla estos límites con ayuda de la calculadora, y comprueba el resultado obtenido.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Escribe, en cada caso, un polinomio, P (x), para obtener los resultados indicadoscuando calculamos el límite.

a) 4 b) 5 c) 0 d) +� e) −� f ) 1

Respuesta abierta.

a) P (x) = 2x2 + x + 1 c) P (x) = 2x3 + x e) P (x) = −1

b) P (x) = x2 + x + 1 d) P (x) = x + 1 f ) P (x) = 8x2

Encuentra el valor de:

a) b)

a)

b)

Halla los límites.

a) b)

a)

lim limx x

x

x

x

x

x→ →− −

++

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=� �

5 1 3

2

42 2 33 2

2

10 4 2

2

+ + ++

= −x x

x x�

limx

x

x

x

x→→

−

++

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−�

� �5 1 3

2

2 2

limx

x x

x

xx →− −−

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟�

3

2

2

2

2 1

2 4lim

x

x

x

xx →−

+ + −+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟�

5 1 3

2

2 2

049

lim

lim

x

x

x x x x

x x

→

→

+

+

− + − − +( ) =

= −

− + +

�

�

2 2

2

2 1 2 4

3

2 1 xx x2 2 40

− +=

limx

x x x x→

→+

− + − − +( ) −�

� �2 22 1 2 4

lim limx x

x x xx

x x x→ →+ ++ − −( ) =

+

+ +� �4 2 4 3

2 3

4 2 4

2 2

2 2 −−=

3

1

2

limx

x x x→

→+

+ − −( ) −�

� �4 2 4 32 2

lim x x x xx →+

− + − − +( )�

2 22 1 2 4lim x x xx →+

+ − −( )�

4 2 4 32 2

048

8

5

limx x

P xx →+�

8 6 12 + −( )

047

limx x

x x xx →−

− + +− +

=�

2

2 3

3 21

5 4 20lim

x

x x

x x→−

+ −− +

= +�

�4 2

2 3 11

3

2

limx

x x x

x x x→−

− −− + − +

=�

3 2

2 3

2 10

2 3

1

2lim

x

x x

x x→−

+ ++ +

=�

2

2

5 7

2 1

1

2

limx x

x x xx →−

− + +− +�

2

2 3

3 21

5 4 2lim

x x

x xx →−

+ −− +�

4 2

2 3 11

3

2

limx x x

x x xx →−

− −− + − +�

3 2

2 3

2 10

2 3lim

x x

x xx →−

+ ++ +�

2

2

5 7

2 1

046

395

9SOLUCIONARIO

b)

Obtén los resultados de:

a) b)

a) b)

Determina.

a) b)

a)

b)

Determina los límites, calculando previamente sus límites laterales.

a) d)

b) e)

c) f )

a) d)

b) e)

c) f ) limx x→− +

=3

5

45lim

x

x x

x→0

2 2 3

13

− ++

=

limx

x→2

1

30ln

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =lim

x

xx→3

1 2 343( )+ =

limx

x

x x→−

−−

=1 2

4 2

22lim

x

x x

x→2

2 3 2

2 50

− +−

=

limxx →− +3

5

4lim

x x

xx →0

2 2 3

1

− ++

limx

x →2

1

3ln

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟lim x

x

x

→31 2( )+

limx

x xx →−

−−1 2

4 2

2lim

x x

xx →2

2 3 2

2 5

− +−

052

lim lim limx x x

x

x

x

x x x→ → →2 2 2

2

2

2

2 2

1

2

−−

=−

− +( )=

+( )== =

1

2 2

2

4

limx

x

x→→

2

2

2

0

0

−−

lim lim limx x x

x

x

x

x x x→ → →0 0 0

2 4

2 4

1

2 4

− +=

−

+ +( )=

−

+ +== −

1

4

limx

x

x→→

0

2 4 0

0

− +

limx

xx →2

2

2

−−

limx

xx →0

2 4− +

051

limx

x x x

x→ −

+ −−

= −�

�2 5 2

3

4 3 2

1lim

x

x x

x→ −

− ++

=�

3 6

20

2

2

limx x x

xx →−

+ −

−�

2 5 2

3 1

4 3 2

limx x

xx →−

− +

+�

3 6

2

2

2

050

lim limx x

x

x x

x

x→ →− −−−

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=�

3

2

2

2

2 1

2 4 ��

−−

=x

x x2 40

2

limx

x

x x

x

x→→

− −−

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−�

� �3

2

2

2

2 1

2 4

396


Con ayuda de la calculadora, completa la tabla y comprueba que

si , entonces .

Calcula los límites indicados en la función.

a) c) e)

b) d) f )

a) d)

b) e)

c) f )

Observa las gráficas de las funciones f (x) y g (x), y halla los siguientes límites.

a)

b)

a) b)

limx

g x→1+

= +( ) �limx

f x→1+

= +( ) �

limx

g x→1−

= −( ) �limx

f x→1−

= +( ) �

lim g xx →1+

( )

lim g xx →1−

( )

lim f xx →1+

( )

lim f xx →1−

( )

055

lim limx x

g x x x→ →4 4

2 2 1 9+ +

= − + =( ) ( )lim limx x

g x x→ →4 4

2 4 12− −

= + =( ) ( )

lim limx x

g x x x→ →6 6

2 2 1 25+ +

= − + =( ) ( )lim limx x

g x x x→ →6 6

2 2 1 25− −

= − + =( ) ( )

lim limx x

g x x→ →3 3

2 4 10( ) ( )= + =lim limx x

g x x→ →− −

= + = −3 3

2 4 2( ) ( )

lim g xx →4+

( )lim g xx →3

( )lim g xx →6−

( )

lim g xx →6+

( )lim g xx →4−

( )lim g xx →−3

( )

g xx x

x x x( ) =

+ <− + ≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 4 4

2 1 42

si

si

054

lim f xx →1

0 5( ) ,= −f xx

x( ) =

−

2

3

053

x 0 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1

f (x) 0 −0,38 −0,48 −0,49 −0,501 −0,51 −0,63

Y

X1

1 f (x)

Y

X1

1 g(x)

397

9SOLUCIONARIO

Determina los límites, y si es preciso, calcula los límites laterales.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Halla los límites.

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

Dada la función f (x) definida a trozos, encuentra los límites.

a) c) e) g)

b) d) f ) h)

a) d) g)

b) e) h) .

c) f ) limx

f x→3

9

2−=( )lim

xf x

→− −= −

23( )

limx

f x→3

( ) no existelimx

f x→−

= −2

3( )limx

f x→+

= +�

�( )

limx

f x→3

5+

= −( )limx

f x→− +

= −2

3( )limx

f x→−

= −�

�( )

lim f xx →3

( )lim f xx →3−

( )lim f xx →− +2

( )lim f xx →+�

( )

lim f xx →3+

( )lim f xx →−2

( )lim f xx →−2−


( )

f x

x x

xx

x x x

( ) =

+ < −

−− ≤ <

+ − ≥

⎧

⎨

⎪ 2 1 2

9

12 3

6 32 32

si

si

si

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

058

limcos

x

x

sen x→π+= +�lim

cos

x

x

sen x→π−= −�lim

cosx

x

sen x→→

π−

1

0

limx

sen x→ 3

2

1π

= −

limx

tg x→ π

2

+= −�lim

x

tg x→ π

2

−= +�lim

x

tg x→

→π

2

1

0

lim cosx

x→π

= −1

limx

xx →π

cos

senlim x

x → 3

2

πsenlim x

x → π2

tglim xx →π

cos

057

limx

x

x x→1 2

4 2

2 1+

−− +

= +�limx

x

x x→1 2

4 2

2 1−

−− +

= +�limx

x

x x→→

1 2

4 2

2 1

2

0

−− +

limx

x x

x→4

2 2

8 2+

+−

= −�limx

x x

x→4

2 2

8 2−

+−

= +�limx

x x

x→→

4

2 2

8 2

24

0

+−

limx x→3 2

3

9+ −= −�lim

x x→3 2

3

9− −= +�lim

x x→→

3 2

3

9

3

0−

limx

x

x→2

2 6

2+

+−

= +�limx

x

x→2

2 6

2−

+−

= −�limx

x

x→→

2

2 6

2

10

0

+−

limx

x xx →1 2

4 2

2 1

−− +

limxx →3 2

3

9 −

limx x

xx →4

2 2

8 2

+−

limx

xx →2

2 6

2

+−

056

398


Calcula los límites laterales y el siguiente límite.

Resuelve los límites.

a) d)

b) e)

c) f )

a)

b)

c)

d)

lim limx x

x x x

x x x

x→ →5

3 2

3 2 5

9 15 25

5 2 10

5− + +

− + −=

−( )(( )

( )( )

x x

x x

x x

xx

2

2 5

2

2

4 5

5 2

4 5

20

− −

− +=

− −

+=lim

→

limx

x x x

x x x→→

5

3 2

3 2

9 15 25

5 2 10

0

0

− + +− + −

lim limx x

x x x

x x x

x→− →−4

3 2

3 2 4

3 12 4

7 14 8

4+ − −

+ + +=

+( ))( )

( )( )

3 1

4 3 2

3 1

3

2

2

4

2

2

x

x x x

x

x xx

−

+ + +=

= −+ +

lim→− 22

47

6=

limx

x x x

x x x→−→

4

3 2

3 2

3 12 4

7 14 8

0

0

+ − −+ + +

lim limx x

x x

x x

x x

x→ →2

2

2 2

2 9 10

3 7 2

2 2 5− +− +

=− −( )( )

( −− −=

−−

= −2 3 1

2 5

3 1

1

52)( )x

x

xxlim→

limx

x x

x x→→

2

2

2

2 9 10

3 7 2

0

0

− +− +

lim limx x

x x

x x

x

x→ →− −

− ++ +

=−+3 3

2 3 3

1 3

2 3

1

( )( )

( )( )==

9

2

limx

x x

x x→→

−

− ++ +3

2 3 3

1 3

0

0

( )( )

( )( )

limx x x

x x xx →−1

3 2

3 2

1

2

+ − −+ +

limx x x

x x xx →−

+ − −+ + +4

3 2

3 2

3 12 4

7 14 8

limx x

x xx →2

2

2

2 11 14

4 16 16

− +− +

limx x

x xx →2

2

2

2 9 10

3 7 2

− +− +

limx x x

x x xx →5

3 2

3 2

9 15 25

5 2 10

− + +− + −

limx x

x xx →−

− ++ +3

2 3 3

1 3

( )( )

( )( )

060

lim

lim

x

x

x x

x xx x

x x

→

→

3

2

2

3

2

2

6

6 96

6 9

−

+

− −− +

= +

− −− +

�

== +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− −− +

= +

�

�→→

limx

x x

x x3

2

2

6

6 9

lim limx x

x x

x x

x x

x→ →3

2

2 3 2

6

6 9

3 2

3

− −− +

=− +

−=

( ) ( )

( )llimx

x

x→→

3

2

3

5

0

+−

limx

x x

x x→→

3

2

2

6

6 9

0

0

− −− +

limx x

x xx →3

2

2

6

6 9

− −− +

059

399

9SOLUCIONARIO

e)

f )

Dada la función:

determina los siguientes límites.

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

Encuentra el límite de la función cuando x tiende a 0 y cuando x tiende a 3.

Especifica el valor de los límites laterales, si es necesario.

lim

lim

x

x

x

x x

xx x

→

→

3

4

3 2

3

4

3 2

3

3

−

+

−= −

−= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪�

�⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪−

→→

No existe limx

xx x3

4

3 23.

limx

x

x x→→

3

4

3 23

81

0−

lim limx x

x

x x

x

x→ →0

4

3 2 0

2

3 30

−=

−=lim

x

x

x x→→

0

4

3 23

0

0−

f xx

x x( ) =

−

4

3 23

062

lim limx x

x x

x

x x

x→ →− −

+ −−

=+ −+2

2

2 2

2 3 2

4

2 2 1

2

( ) ( )

( ) (( )x

x

xx−=

−−

=−2

2 1

2

5

42lim→

limx

f x→

→−2

0

0( )

limx

f x→ −

=�

( ) 2

limx

f x→1

1( ) = −

limx

f x→+

=�

( ) 2

lim f xx →−2


( )lim f xx →1

( )lim f xx →+ �

( )

f xx x

x( ) = + −

−2 3 2

4

2

2

061

lim limx x

x x x

x x x

x x→ →− −

+ − −+ +

=+ −

1

3 2

3 2 1

21

2

1 1( ) ( )

xx x

x

xx( )+=

−=

−1

12

2 1lim→

limx

x x x

x x x→→

−

+ − −+ +1

3 2

3 2

1

2

0

0

limx

x x

x x→2

2

2

2 11 14

4 16 16+

− +− +

= −�limx

x x

x x→2

2

2

2 11 14

4 16 16−

− +− +

= +�

lim limx x

x x

x x

x x→ →2

2

2 2

2 11 14

4 16 16

2 2 7− +− +

=− −( )( ))

( )( )x x

x

xx− −=

−−

−2 4 8

2 7

4 8

3

02lim→

→

limx

x x

x x→→

2

2

2

2 11 14

4 16 16

0

0

− +− +

400


Determina el límite, y comprueba el resultado con la calculadora.

Observa las tablas de valores de la función.

¿Es cierto que y = 2 es una asíntota? Cuando x tiende a +�, ¿está la función porencima o por debajo de la asíntota? ¿Qué sucede cuando x tiende a −�?

Sí, es cierto que y = 2 es una asíntota horizontal.

Cuando x tiende a +�, la función está por debajo de la asíntota.

Cuando x tiende a −�, la función está por encima de la asíntota.

Decide si la función tiene alguna asíntota horizontal, y sitúa la función

respecto de esa asíntota.

La función tiene una asíntota horizontal: y = −2.

Si x = 1.000, f (x) > −2, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) < −2, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

Observa las tablas de valores de la función.

f xx

x( ) = +

−3 1

3

066

limx

x

x→→

+

−+

= −�

3 2

12

yx

x= −

+3 2

1065

f xx x

x( ) = −

+4 5

2 7

2

2

064

lim limx x

x x

xx

x→ →+ +

−+

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−

� �

3 4

23

102

xx += −

210

limx

x x

xx

→→

+

−+

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−�

� �3 4

23

2

limx x

xx

x →+�

3 4

23

2 −+

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

063

x −1 −10 −100 −1.000 −10.000

f (x) 1 2,17 2,024 2,0025 2,00025

x 1 10 100 1.000 10.000

f (x) −0,11 1,69 1,974 1,9975 1,99975

x 3,0001 3,001 3,01 3,1 3,5

f (x) 100.003 10.003 1.003 103 23

x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999

f (x) −7 −17 −97 −997 −9.997 −99.997

401

9SOLUCIONARIO

¿Es cierto que x = 3 es una asíntota vertical? Cuando x tiende a 3 por la izquierda,¿la rama infinita de la función tiende a +� o −�? ¿Qué sucede cuando x tiende a 3 por la derecha?

Sí, es cierto que x = 3 es una asíntota vertical.

Cuando x tiende a 3 por la izquierda, la rama infinita de la función tiende a −�.

Cuando x tiende a 3 por la derecha, la rama infinita de la función tiende a +�.

Decide si la función tiene alguna asíntota vertical,

y estudia sus ramas infinitas próximas a esas asíntotas.

Dom f = � − {−1, 4}

La función tiene una asíntota vertical en x = −1.

Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha, a −�.

La función tiene una asíntota vertical en x = 4.

Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.

Observa la tabla de valores de la función.

Esta es la tabla de valores de la recta y = 2x + 6.

¿Es cierto que la recta es una asíntota de la otra función? ¿Qué posición tienen cuando x tiende a +�? Investiga la posición relativa de ambas cuando x tiende a −�.

Sí, es cierto que y = 2x + 3 es una asíntota oblicua.

Cuando x tiende a +�, la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − 2x − 3 > 0, y cuando x tiende a −� la función está por encima de la asíntota.

f xx x

x( ) = +

−4 6

2 3

2

068

lim

lim

x

x

x x

x x

→

→

4 2

4 2

1

3 413 4

−

+

− −= −

− −= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪�

�⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx x x→

→4 2

1

3 4

1

0− −

lim

lim

x

x

x x

x x

→

→

−

−

−

+

− −= +

− −= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪1 2

1 2

1

3 413 4

�

�

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx x x→

→− − −1 2

1

3 4

1

0

yx x

=− −

1

3 42067

x 10 100 1.000 10.000

y = 2x + 3 26 206 2.006 20.006

x 10 100 1.000 10.000

f (x) 27,06 206,09 2.006,009 20.006,0009

402


Comprueba si la recta y = x + 3 es una asíntota oblicua de la función .

En caso afirmativo, decide la posición que ocupa una respecto de la otra.

La función tiene una asíntota oblicua: y = x + 3.

Si x = 1.000, f (x) − x − 3 < 0, y cuando x tiende a +� la función está por debajo de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − x − 3 > 0, y cuando x tiende a −� la función está por encima de la asíntota.

Calcula las asíntotas oblicuas de las funciones y su posición relativa respecto de ellas.

a) b)

a) La función tiene una asíntota oblicua: y = 2x + 2.

Si x = 1.000, f (x) − 2x − 2 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − 2x − 2 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

b) La función tiene una asíntota oblicua: y = 2x − 4.

Si x = 1.000, f (x) − 2x + 4 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − 2x + 4 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

Determina todas las asíntotas de las funciones, y sitúa sus ramas infinitas.

a) d)

b) e)

c) f ) f xx

x x( ) =

+ +2 1f x

x

x( ) =

−4

5

3

f xx

x x( ) =

− +

3

2 5 6f x

x x

x( ) = +

+3 2

1

2

f xx

( ) =−3

1f x

x

x( ) = −

+2 6

3

071

lim lim

lim

x x

x

f x

xxx x

x

→ →

→

+ +

+

= ++

=

+

� �

�

( ) 2 42

2

2

2

2

2 442

24 4

14

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−−

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪

+xx

x

xxlim→ �

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

lim lim

lim

x x

x

f x

xx

x x

x

→ →

→

+ +

+

= +−

=

+

� �

�

( ) 2 42

2 4

2

2

2

xxx

x

xx−−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+−

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

+12

4 2

12lim

→ � ⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

f xx

x( ) = +

+2 4

2

2

f xx

x( ) = +

−2 4

1

2

070

lim lim

lim

x x

x

f x

xx xx x

x

→ →

→

+ +

+

= ++

=

+

� �

�

( ) 2

2

2

52

1

5xx

xx

x

xx+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪+2

32

3lim→ �

⎪⎪⎪⎪⎪

→

yx x

x= +

+

2 5

2069

403

9SOLUCIONARIO

a)




Si x = 1.000, f (x) > −6, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000 → f (x) < −6, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.

b)



La función no tiene asíntota horizontal.

La función tiene una asíntota oblicua: y = 3x −1.

Si x = 1.000, f (x) − 3x + 1 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − 3x + 1 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

c)




La función no tiene asíntota oblicua.limx

x

x x→→

+ −= +

��

4

5

3

2

limx

x

x→→

+ −= +

��

4

5

3

lim

lim

x

x

x

x

xx

→

→

5

3

5

3

45

45

−

+

−= −

−= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

�

�⎪⎪⎪

→

limx

x

x→→

5

34

5

500

0−

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x x

x x

x

→ →

→

+ +

+

=++

=

+

� �

�

( ) 3 23

3

2

2

2 22

13

11

x

xx

x

xx+−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−+

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

+lim→ �

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x x

x→→

+

++

= +�

�3 2

1

2

lim

lim

x

x

x x

xx x

x

→

→

−

−

−

+

++

= −

++

= +

⎫

⎬

⎪1

2

1

2

21

3 2

1

3�

�

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x x

x→→

−

++1

23 2

1

1

0

limx

x

x→→

+

−+

= −�

2 6

36

lim

lim

x

x

xx

xx

→

→

−

−

−

+

−+

= −

−+

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪3

3

2 63

2 63

�

�⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x

x→→

−

−+3

2 6

3

20

0

404


d)



La función tiene una asíntota horizontal: y = 0.

Si x = 1.000, f (x) > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.


e)






La función tiene unaasíntota oblicua: y = x + 5.

Si x = 1.000, f (x) − x − 5 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − x − 5 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x

x x x

x

x

→ →

→

+ +

+

=− +

=� �

�

( ) 3

3 2

3

15 6

22

2

25 6

5 6

5 6− +−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−

− +=

+xx

x x

x xxlim→ �

55

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x

x x→→

+ − += +

��

3

2 5 6

lim

lim

x

x

xx x

xx x

→

→

3

3

2

3

3

2

5 6

5 6

−

+

− += −

− += +

⎫

⎬

⎪⎪⎪�

�

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x

x x→→

3

3

2 5 6

27

0− +

lim

lim

x

x

x

x x

x

x x

→

→

2

3

2

2

3

2

5 6

5 6

−

+

− += +

− += −

⎫

⎬

⎪⎪⎪�

�

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x

x x→→

2

3

2 5 6

8

0− +

limx x→

→+ −

=�

3

10

lim

lim

x

x

x

x

→

→

→1

1

31

31

−

+

−= −

−= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

�

�

limx x→

→1

3

1

3

0−

405

9SOLUCIONARIO

f ) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.


Si x = 1.000, f (x) > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.


Obtén todas las ramas infinitas y las asíntotas de las funciones, y decide la posiciónque tienen entre sí.

a)

b)

c)

d)

a) Dom f = �


Las dos ramas infinitas de la función tienden a +�.

La función tiene una asíntota vertical en .

Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha tiende a +�.

x =2

5

lim

lim

x

x

x x

x x

x x

x

→

→

2

5

3

2 3

2

5

3

2

7 1

2 5

7 1

2

−

+

− +−

= −

− +

�

−−= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 3x

�

→

limx

x x

x x→

→2

5

3

2 3

7 1

2 5

1 736

0

− +−

− ,

lim

lim

x

x

x x

x xx x

x

→

→

0

3

2 3

0

3

2

7 1

57 1

2 5

−

+

− +−

= +

− +−

2�

xx 3= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

→

limx

x x

x x→→

0

3

2 3

7 1

2 5

1

0

− +−

−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

02

5,

f xx x

x( ) =

− ++

3 7 1

2 8

f xx x

x( ) =

− ++

3

2

7 1

2 8

f xx x

x( ) =

− +−

3

2

7 1

2 8

f xx x

x x( ) =

− +−

3

2 3

7 1

2 5

072

limx

x

x x→→

+ + +=

� 2 10

406


La función tiene una asíntota horizontal: .

Si , y cuando x tiende a +� la función está

por debajo de la asíntota.

Si , y cuando x tiende a −� la función

está por encima de la asíntota.


b) Dom f = � − {−2, 2}


Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha tiende a −�.


Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha tiende a −�.






x f x x= − − >1.000, ( )1

20

x f x x= − <1.000, ( )1

20

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x x

x x→ →

→

+ +

+

=− +

−=

� �

�

( ) 3

3

7 1

8122

xx x

xx

xx

3

2

7 12 8

12

3 12

− +−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=− +

+lim→ � xx 2 8

0−

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x x

x→→

+

− +−

= +�

�3

2

7 1

2 8

lim

lim

x

x

x x

xx x

x

→

→

2

3

2

2

3

2

7 1

2 87 1

2 8

−

+

− +−

= +

− +−

= −

�

��

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x x

x→→

2

3

2

7 1

2 8

5

0

− +−

−

lim

lim

x

x

x x

xx x

x

→

→

−

−

−

+

− +−

= +

− +−

2

3

2

2

3

2

7 12 8

7 12 8

�

== −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

→

limx

x x

x→→

−

− +−2

3

2

7 1

2 8

7

0

x f x= − > −1.000, ( )1

5

x f x= < −1.000, ( )1

5

y = −1

5lim

x

x x

x x→→

+

− +−

= −�

3

2 3

7 1

2 5

1

5

La función tiene una asíntota oblicua:

.y x=1

2

407

9SOLUCIONARIO

c) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.






d) Dom f = � − {−4}


Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derechatiende a −�.


La función no tiene asíntota oblicua.

Halla las asíntotas de estas funciones, y la posición de las ramas infinitas.

a) d)

b) e)

c) f )

a) Dom f = � − {−3}

La función tiene una asíntota vertical en x = −3. Por la izquierda la ramainfinita de la función tiende a +�, y por la derecha tiende a −�.

lim

lim

x

x

x x x

x

x x

→

→

−

−

−

+

− + −+

= +

− +3

3 2

3

3 2

6 12 83

6 12

�

xx

x

−+

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

83

�

→

limx

x x x

x→→

−

− + −+

−3

3 26 12 8

3

125

0

f xx x x

x( ) = − + −

+

3 2

2

6 12 8

4f x

x x x

x( ) = − + −

−

3 26 12 8

2

f xx x x

x( )

( )= − + −

−

3 2

2

6 12 8

2f x

x x

x x( ) = − + −

+ −

3 2

2

6 12 8

6

f xx x x

x( ) = − + −

−

3 2

2

6 12 8

4f x

x x x

x( ) = − + −

+

3 26 12 8

3

073

lim limx x

f x

x

x x

x x→ →→

+ +=

− ++

= +� �

�( ) 3

2

7 1

2 8

limx

x x

x→→

+

− ++

= +�

�3 7 1

2 8

lim

lim

x

x

x x

xx x

x

→

→

−

−

−

+

− ++

= +

− ++

= −

4

3

4

3

7 1

2 87 1

2 8

�

��

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x x

x→→

−

− ++

−4

3 7 1

2 8

35

0

x f x x= − − >1.000, ( )1

20

x f x x= − <1.000, ( )1

20

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x x

x x→ →

→

+ +

+

=− +

+=

� �

�

( ) 3

3

7 1

2 8

1

2

xx x

xx

xx

3

2

7 12 8

12

11 1− ++

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= − ++

lim→ � 22 8

02x +

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x x

x→→

+

− ++

= +�

�3

2

7 1

2 8

La función tiene una asíntota oblicua:

.y x=1

2

408



La función no tiene asíntota

oblicua.

b) Dom f = � − {−3, 2}

La función tiene una asíntota vertical

en x = −3. Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha tiende a +�.

→ La función no tiene asíntota vertical en x = 2.


→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 7.

Si x = 1.000, f (x) − x + 7 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000, f (x) − x + 7 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

c) Dom f = � − {2}

La función

no tiene asíntota vertical en x = 2.



oblicua.

lim limx x

f x

x

x x x

x x→ →→

+ +=

− + −−

= +� �

�( ) 3 2

2

6 12 8

2

limx

x x x

x→→

+

− + −−

= +�

�3 26 12 8

2

lim limx x

x x x

x

x x x

x→ →2

3 2

2

26 12 8

2

2 4 4− + −−

=− − +( ) ( )

−−=

20 →

limx

x x x

x→→

2

3 26 12 8

2

0

0

− + −−

lim lim

l

x x

f x

x

x x x

x x x→ →+ +=

− + −+ −

=� �

( ) 3 2

3 2

6 12 86

1

iim limx

x x x

x xx

→ +

− + −+ −

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=�

3 2

2

6 12 86 xx

x x

x x→ +

− + −+ −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪�

7 18 86

72

2

limx

x x x

x x→→

+

− + −+ −

= +�

�3 2

2

6 12 8

6

lim limx x

x x x

x x

x x x→ →2

3 2

2 2

26 12 8

6

2 4− + −+ −

=− − +( ) ( 44

2 30

)

( ) ( )x x− +=

limx

x x x

x x→→

2

3 2

2

6 12 8

6

0

0

− + −+ −

lim

lim

x

x

x x x

x x

x x

→

→

−

−

−

+

− + −+ −

= −

−3

3 2

2

3

3 2

6 12 86

6

�

++ −+ −

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

12 862

x

x x�

→

limx

x x x

x x→→

−

− + −+ −

−3

3 2

2

6 12 8

6

125

0

lim limx x

f x

x

x x x

x x→ →→

+ +=

− + −+

= +� �

�( ) 3 2

2

6 12 8

3

limx

x x x

x→→

+

− + −+

= +�

�3 26 12 8

3

409

9SOLUCIONARIO

d) Dom f = � − {−2, 2}

La función tiene una asíntota vertical

en x = −2. Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha tiende a +�.

La función

no tiene asíntota vertical en x = 2.





e) Dom f = � − {2}


vertical en x = 2.


→ La función

tiene una asíntota oblicua: y = x − 2.

f (x) − x + 2 = 0 → La expresión de la función coincide con la ecuación de la asíntota salvo en x = 2.

lim limx x

f x

xx x x

x x x→ →+ +=

− + −

− +=

� �

( ) 3 2

3 2

6 12 81

4 4

llim lx

x x x

x xx

→ +

− + −− +

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=�

3 2

2

6 12 8

44iim

x

x x

x x→ +

− + −− +

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪�

2 8

4

2

2

8

42

limx

x x x

x→→

+

− + −−

= +�

�3 2

2

6 12 8

2( )

lim limx x

x x x

x

x

x→ →2

3 2

2 2

3

2

6 12 8

2

2

2

− + −−

=−−( )

( )

( )== 0 →

limx

x x x

x→→

2

3 2

2

6 12 8

2

0

0

− + −−( )

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x x x

x x→ →+ +=

− + −−

=� �

( ) 3 2

3

6 12 81

4

→→ →+ +

− + −−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−

� �

x x x

xx

x

3 2

2

6 12 8

4lim

66 16x x

x

2

2

8

46

+ −−

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

limx

x x x

x→→

+

− + −−

= +�

�3 2

2

6 12 8

4

lim limx x

x x x

x

x x x→ →2

3 2

2 2

26 12 8

4

2 4 4− + −−

=− − +( ) ( )

(( ) ( )x x− +=

2 20 →

limx

x x x

x→→

2

3 2

2

6 12 8

4

0

0

− + −−

lim

lim

x

x

x x x

xx x

→

→

−

−

−

+

− + −−

= −

− +2

3 2

2

2

3 2

6 12 8

46 1

�

22 8

42

x

x

−−

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

→

limx

x x x

x→→

−

− + −−

−2

3 2

2

6 12 8

4

64

0

410


f ) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.





Calcula las ramas infinitas y asíntotas de las funciones.

a) y = x 2 + 5x − 1 b) y = 2x − 1 c) y = log x d) y = tg x

a) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.



b) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.



c) Dom f = (0, +�)


La rama infinita de la función tiende a −�.



d) Dom f = �

La función tiene una asíntota vertical en .


Al ser una función periódica, de período π, todos los puntos que no pertenecen al dominio son asíntotas del mismo tipo. Por tanto, la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

x =π2

lim

lim

x

x

tg x

tg x

→

→

→π

π

2

2

−

+

= +

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

�

�

limx

tg x→

→π2

1

0

− + ∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

ππ

2k k, �

lim limx x

f x

x

x

x→ →→

+ += =

� �

( ) log0

limx

x→

→+

= +�

�log

limx

x→

→0+

= −log �

lim limx x

xf x

x x→ →→

+ +=

−= +

� ��

( ) 2 1

limx

x

→→

+− = +

��( )2 1

lim limx x

f x

x

x x

x→ →→

+ +=

+ −= +

� ��

( ) 2 5 1

limx

x x→

→+

+ − = +�

�( )2 5 1

074

lim lim

lim

x x

x

f x

xx x x

x x→ →+ +=

− + −+

=� �

( ) 3 2

3

6 12 84

1

→→ →+ +

− + −+

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=−

� �

x x x

xx

x

3 2

2

6 12 84

lim66 8x x

x

2

2

8

46

+ −+

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

limx

x x x

x→→

+

− + −+

= +�

�3 2

2

6 12 8

4

411

9SOLUCIONARIO

Encuentra las asíntotas de las funciones.

a) b)

a)

Dom f = � − {0}




Si x = 1.000, f (x) < 2, y cuando x tiende a +� la función está por debajo de la asíntota.


Si x = −1.000, f (x) < −2, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.

Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.

b) Dom f = (−2, 2)


La rama infinita de la función tiende a −�.


La rama infinita de la función tiende a +�.

Dado el dominio de la función, no tienen sentido los límites en el infinito, y la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

Observa la gráfica de la función y determina estos límites.

Estudia la continuidad de la función f (x).

lim f xx →2

( )lim f xx →3

( )lim f xx →2−

( )

lim f xx →0

( )lim f xx →0+

( )lim f xx →0−

( )

076

limx

x

x→→

2 24− −

= +2

�

limx

x

x→→

− + −= −

2 24

2�

limx

x

x→→

+

− += −

�

2 32

limx

x

x→→

+

−=

�

2 32

lim

lim

x

x

xx

xx

→

→

0

0

2 3

2 3

−

+

− += −

− += +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

�

�⎪⎪⎪

→

limx

x

x→→

0

2 3 3

0

− +

f x

xx

x

xx

x( ) =

− ≥

− + <

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

2 3 32

2 3 32

si

si

yx

x=

−

2

4 2y

x

x= −⏐ ⏐2 3

075

Y

X1

1

f (x)

412


La función es continua salvo en x = 2, ya que no existe f (2).

Completa la tabla para la función.

Comprueba que su límite, cuando x tiende a 3, es:

¿Cuánto vale f (3)? Haz una representación de la función. ¿Qué diferencia hay entre las gráficas de f (x) y de y = x + 1?

No existe f (3).

La gráfica de f (x) coincide con la gráfica de la recta y = x + 1, salvo en el punto x = 3.

Dibuja una función que sea continua, salvo en x = −1, que tenga un salto infinito y que tenga en x = 3 un salto finito.

Respuesta abierta.

078

lim f xx →3

4( ) =

f xx x

x( ) = − −

−

2 2 3

3

077

limx

f x→2

3( ) =limx

f x→3

( ) = 3,5limx

f x→2

3−

=( )

limx

f x→0

2( ) =limx

f x→0

2+

=( )limx

f x→0

2−

=( )

x 2,5 2,9 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5

f (x) 3,5 3,9 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5

4

3 X

Y

2

3 X

Y

413

9SOLUCIONARIO

Dibuja una función cuyo domino sea [0, +�), y que presente un punto de discontinuidad evitable en x = 4.

Respuesta abierta.

Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.

a) e)

b) f )

c) g)

d) h)

a) Dom f = � − {−3}

No existe , y x = −3 es un punto

de discontinuidad inevitable de salto infinito.

b) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.

c) Dom f = [−4, +�) → No hay puntos de discontinuidad.

d) Dom f = [−4, 1] → No hay puntos de discontinuidad.

e) Dom f = � − {3, 4}

No existe , y x = 3 es un punto


limx

f x→3

( )lim

lim

x

x

x

x xx

x x

→

→

3 2

3 2

2

7 122

7 12

−

+

+− +

= +

+− +

= −

⎫�

�

⎬⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x

x x→→

3 2

2

7 12

5

0

+− +

limx

f x→−3

( )lim

lim

x

x

x

x

→

→

−

−

−

+

+= −

+= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

3

3

13

13

�

�

→→

limx

x

x→→

− +3 3

1

0

y x x= − +2 2 8y x x= − −4 3 2

y x x= − −2 2 8y x= +4

y x= − 5yx

x x= +

− +2

122

yx

x x= +

− +2

7 122y

x=

+1

3

080

079

1

41 X

Y

414


No existe , y x = 4 es un punto


f ) Dom f = [5, +�) → No hay puntos de discontinuidad.

g) Dom f = (−�, −2] ∪ [4, +�) → No hay puntos de discontinuidad.

h) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.

Estudia la continuidad de las funciones en x = 3, y si presentan discontinuidad,decide de qué tipo de discontinuidad se trata.

a) d)

b) e)

c)

a) f (3) = 6

Como f (3) = , la función es continua en x = 3.

b) f (3) = 6

No existe , y la función no es continua

en x = 3.

Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.

c) f (3) = −2

Como f (3) , la función no es continua en x = 3.

Se trata de un punto de discontinuidad evitable.

� limx

f x→3

( )

lim lim

lim lx x

x

f x x

f x→ →

→

3 3

3

2 0− −

+

= −( )=

=

( ) ( )

( )

ln

iimlim

x

xsen xf x

→→

→3

33 00

+− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=( )

( )

limx

f x→3

( )lim lim

lim limx x

x x

f xx

f x→ →

→ →

3 3

3

121

6− −

+

=−

=

=

( )

( )33

2 1+

− =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

( )x→

limx

f x→3

( )

lim lim

lim limx x

x x

f x x

f x→ →

→ →

3 3

3

3 6− −

+

= + =

=

( ) ( )

( )33

2 33 66

+− + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=( )

( )x x

f xx2

→→

lim

f xx x

xx x

( )ln ( )

( )=

− <− =

− >

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩

2 32 3

3 3

sisisisen

⎪⎪⎪⎪

f xxx

x

x

( ) =+−

≠

− =

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

11

3

2 3

si

sif x

xx

xx x

( ) = −<

=− >

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

121

3

6 32 3

si

sisi

f x xx

x x

( ) = −<

− ≥

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

123

3

15 3

si

si

f xx x

xx x x

( ) =+ <

=− + >

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

3 36 3

2 3 32

sisisi

081

limx

f x→4

( )

lim

lim

x

x

x

x xx

x x

→

→

4 2

4 2

2

7 122

7 12

−

+

+− +

= −

+− +

= +

⎫�

�

⎬⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

limx

x

x x→→

4 2

2

7 12

6

0

+− +

415

9SOLUCIONARIO

d) f (3) = −12

No existe , y la función no es

continua en x = 3.

Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

e) f (3) = −2

Como f (3) , la función no es continua en x = 3.

Se trata de un punto de discontinuidad evitable.

¿Qué valor debe tomar a para que las funciones sean continuas?

a) c)

b)

a) f (−2) = a

La función es continua si f (−2) = a = −3.

b)

c) f (−2) = 1

→ →→

∃ = − + = −−

lim ( ) log ( )x

f x a a2

1 2 732

si

lim lim

lim lx x

x

f x tgx

f x→ →

→

− −

−

− −

+

=−

=

=2 2

2

21( )

( )

π

iimx

ax a→− +

+ = − +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪2

7 2 7log ( ) log ( )

→ →→

∃ = − − = −−

limx

f x a a2

18

2 21716

( ) si

lim lim

lim lix x

x

x

f x

f x→ →

→

− −

−

−

− −

+

= =

=2 2

1

2

218

( )

( ) mmx

ax a→− +

− = − −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪2

2 2 2( )

f ( )− = =−2 21

83

limx

f x→

→−2

( )

lim lim

lim lix x

x

f xx

f x→ →

→

− −

−

− −

+

=+

= −

=2 2

2

31

3( )

( ) mmlim

x

xxf x

→

→→

−

−

+− − = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

∃ = −

2

22 7 3( )( ) 33

f xx

ax x

x

( ) =≤ −

− > −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

−2 2

2 2

1 si

si

f xtg

xx

ax x

( )

log ( )

=− −

+ > −

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

π2

2

7 2

si

si

≤f x x

x

a xx x

( ) = +< −

= −− − > −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

3

12

22 7 2

si

sisi⎪⎪⎪⎪

082

� limx

f x→3

( )

lim limx x

f xx

x→ →3 3

1

12( ) =

+−

=

limx

f x→3

( )lim lim

lim limx x

x x

f xx

f x→ →

→

3 3

3

12

3− −

+

=−

= −

=

( )

( )

�

→→

→

315 12

+− = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

( )x

416


Razona si la siguiente función es continua en x = 3 y en x = 0.

f (3) = 7


No existe f (0).

No existe , y la función no es continua

en x = 0.


Estudia la continuidad en todo el dominio de las funciones. Determina los puntos de discontinuidad que presenta cada una de ellas.

a) y = sen (x + π)

b) y = ln (x + e)

c)

d) y = 2x−3

a) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.

b) Dom f = (−e, +�) → No hay puntos de discontinuidad.

c) Dom f = � − {π + kπ, k ∈ �}

No existe , la función no es continua

en x = π.


Al ser una función periódica, de período π, todos los puntos en los que falla el dominio son puntos de discontinuidad inevitable de salto infinito.

d) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.

limx

f x→π

( )lim

lim

x

x

tg x

tg x

→

→

π

π

π

π

−

+

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = +

−⎛⎝⎜

2

2

�

⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

→

y x= −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟tg

π2

084

limx

f x→0

( )

lim lim

lim

x x

x

f xx→ →

→

0 0

123

− −= +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −( ) �

00 0

123

+ += +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭f x

xx( ) lim

→�

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

f f xx

( ) ( )33

= lim→

lim lim

lim limx x

x x

f xx

f x→ →

→ →

3 3

3

123 7

− −

+

= + =

=

( )

( )33

32 1 7+

− =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

∃( )

( )x x

f x→→

lim

yx

xx

x

=− ≥

+ <

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

2 1 3

123 3

si

si

083

417

9SOLUCIONARIO

Investiga si las funciones son continuas.

a)

b)

c)

a) Si x < 3: f (x) = log (x + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hay puntosde discontinuidad.

Si x = 3: f (3) = 1


Si x > 3: Dom f = (3, +�) → No hay puntos

de discontinuidad.

La función es continua en (−7, +�).

b) Si x < −1: Dom f = No hay puntos

de discontinuidad.

Si x = −1: f (−1) = 1

No existe , y la función no es

continua en x = −1. Se trata de un puntode discontinuidad inevitable de salto finito.

Si x > −1: f (x) = x + 1 → Dom f = (−1, +�) → No hay puntos de discontinuidad.

La función es continua en ∪ (−1, +�).− −⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

31,

limx

f x→−1

( )lim lim

lim li

x x

x

f xx

f x

→ →

→

− −

−

− −

+

=+

=

=1 1

1

3 52

1( )

( ) mmx

x→

→

− ++ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪1

1 0( )

− −⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

31, →f x

x( ) =

+3 5

2→

f xx

( ) =+5

2→

f f xx

( ) ( )33

= lim→

lim lim

lim

x x

x

f x x

f x

→ →

→

3 3

3

7 1− −

+

= +( ) =

=

( ) log ( )

( ) llimlim

x

x

x

f x

→→

→3

35

21

1+ +

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

∃ =( )

f xx

x

xxx

( ) = −<

=+ >

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪ +

52

1

5 12 1 11

si

sisi⎪⎪

f x

xx

xx x

( ) =

+ < −

= −+ > −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

3 5

21

0 11 1

si

sisi⎪⎪⎪

f x

x x

x

xx

( )

log ( )

=

+ <=

+>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

7 3

1 35

23

si

si

si⎪⎪⎪⎪

085

418


c) Si x < 1: → Dom f = (−�, 1) → No hay puntos de discontinuidad.

Si x = 1: f (1) = 5


Si x > 1: f (x) = 2x + 1 + 1 → Dom f = (1, +�) → No hay puntos de discontinuidad.

La función es continua en �.

Estudia la continuidad de la siguiente función.

Si presenta puntos de discontinuidad, estudia el límite cuando t tiende a ellos y decide qué tipos de discontinuidades son.

Si t < 3: g (x ) = log (t + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hay puntos de discontinuidad.

Si t = 3: g (3) = 2

Como , la función es continua en t = 3.

Si t > 3: → Dom f = (3, +�) − {7}

No existe y la función no es

continua en t = 7.


La función es continua en (−7, 7) ∪ (7, +�).

Estudia la continuidad de las funciones.

a) y = [x] (Parte entera de x) c)

b) d) yx

=−1

12⏐ ⏐y

x

x=

⏐ ⏐

y x= −⏐ ⏐2 1

087

limt

g t→7

( )lim lim

lim lim

t t

t t

g tt

g t

→ →

→ →

7 7

7

47− −

+

=−

= +

=

( )

( )

�

77

47+ −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪t�

→

g tt

( ) =−4

7

g g tt

( ) ( )33

= lim→

lim lim

lim li

t t

t

g t t

g t

→ →

→

3 3

3

7 1− −

+

= + =

=

( ) log ( )

( ) mmlim

t

t

t

g t

→

→→

3

34

71

1+ −

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

=( )

g t

t t

t

tt

( )

( )

=

+ <=

−>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

log si

si

si

7 3

2 34

73⎪⎪⎪⎪

086

f f xx

( ) ( )11

= lim→

lim lim

lim lim

x x

x x

f xx

f x

→ →

→ →

1 1

1 1

52

5− −

+

=−

=

=

( )

( )++

+ + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

∃ =( )

( )2 1 5

51 1x x

f x→→

lim

f xx

( ) =−5

2

419

9SOLUCIONARIO

a) La función es continua salvo en los números enteros.

Si No existe .

Todos los números enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.

b)

No existe f (0).

No existe , y la función no es continua en x = 0.


La función es continua en � − {0}.

c)

Si x = −1: f (−1) = 0

Como f (−1) = , la función es continua en x = −1.

Si x = 1: f (1) = 0

Como f (1) = , la función es continua en x = 1.

La función es continua en �.

d)

No existe f (−1).

La función no es continua en x = −1.

Es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

No existe f (1).

La función no es continua en x = −1.

Es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

La función es continua en � − {−1, 1}.

lim lim

lim lim

x x

x

f xx

f x

→ →

→

1 1 2

1

11− −

+

=− +

= +

=

( )

( )

�

xx x→

→

1 2

11+ −

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

�

lim lim

lim l

x x

x

f xx

f x

→ →

→

− −

−

− −

+

=−

= +

=

1 12

1

11

( )

( )

�

iimx x→

→

− + − += +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪1 2

11

�

f x xx x

xx

( ) = −< − >

− −−

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪1

11 1

11

1 1

2

2

si o si

si < <⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪

limx

f x→1

( )

lim lim

lim limx x

x

f x x

f x→ →

→

1 1

2

1

1 0− −

+

= − + =

=

( ) ( )

( )xx

xxf x

→→

→1

2 11 00

+− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=( )

( )lim

limx

f x→−1

( )

lim lim

lim lx x

x

f x x

f x→ →

→

− −

−

− −

+

= − =

=1 1

2

1

1 0( ) ( )

( ) iimlim

xxx

f x

→→

→−

−+

− + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=1

2 11 00

( )( )

f x x x xx x

( ) = − < − >− + −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2

2

1 1 11 1 1

si o sisi ≤ ≤

limx

f x→0

( )lim

limx

x

f x

f x→

→

→0

0

1

1

−

+

= −

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

f x xx

( ) = − <>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 01 0

sisi

limx a

f x→

( )af x a

f x ax a

x a

∈= −

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−

+

� → →→

→

lim

lim

( )

( )

1

420


Observa la gráfica de la función y determina los límites que se indican.

a)

b)

c)

d)

a) c) no existe.

b) d) no existe.

Calcula los límites indicados en la función definida a trozos.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Calcula , siendo las funciones:

No existe el límite.lim

lim

x

x

x x

x x

x x

x

→

→

3

2

2

3

2

2

4 32 2 12

4 3

2

−

+

+ +− −

= −

+ +

�

−− −= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪2 12x�

→

lim limx x

f g xx x

x x→ →→

3 3

2

2

4 3

2 12

24

0� ( )( ) =

+ +− −2

f g x f g x f xx

x x� ( ) ( ) ( )

( )

( ) (= ( ) = + =

+ −+ − +

22 1

2 2 10

2

2 22

4 3

2 2 12

2

2)=

+ +− −

x x

x x

g x x f xx

x x( ) ( )= + = −

−2

1

2 10

2

2

lim f gx →3

( )�090

lim limx x

h x x x→ →+ +

= − + = +� �

�( ) ( )3 5 62

lim limx x

h x x x→ →− −+ +

= − + =1 1

23 5 6 14( ) ( )

lim limx x

f x x x→ →− −− −

= + + = −1 1

2 5 1 3( ) ( )

lim limx x

h x x x→ →− −

= + + = +� �

�( ) ( )2 5 1

lim h xx →+�

( )lim h xx →− −1

( )

lim h xx →− +1

( )lim h xx →−�

( )

h xx x x

x x x( ) =

+ + < −

− + ≥ −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2

2

5 1 1

3 5 6 1

si

si

089

limx

f x→−1

( )limx

f x→ +

=�

( ) 0

limx

f x→−2

( )limx

f x→ −

= +�

�( )

lim f xx →−1

( )

lim f xx →−2

( )

lim f xx →+�

( )

lim f xx →−�

( )

088 Y

X1

1 f (x)

421

Haz la gráfica aproximada de una función que cumpla las siguientes condiciones.

•

•

•

•

Respuesta abierta.

Realiza la gráfica aproximada de una función que cumpla las siguientes condiciones.

•

•

•

•

Respuesta abierta.

lim g xx →+

=�

( ) 0

lim g xx →2

2+

= −( )

lim g xx →2

3−

=( )

lim g xx →−

= −�

�( )

092

lim f xx →− +

= −2

( ) �

lim f xx →+

= +�

�( )

lim f xx →− −

= +2

( ) �

lim f xx →−

=�

( ) 0

091

9SOLUCIONARIO

1

1

Y

X

2

2

Y

X

422

Construye la gráfica aproximada de una función que cumpla estas condiciones.

•

•

•

•

Respuesta abierta.

Representa tres funciones que cumplan que y cada una de estascondiciones.

a) f (3) = 5

b) f (3) no existe.

c) f (3) = 2

Respuesta abierta.

a)

lim f xx →3

5( ) =094

lim h xx →+

=�

( ) 1

lim h xx →0+

= +( ) �

lim h xx →0−

= −( ) �

lim h xx →−

=�

( ) 1

093


1

1

Y

X

5

3

Y

X

423

b)

c)

Dibuja una función continua que cumpla que f (x) es negativa si x > 3 y es positiva si x < 3.

a) ¿Cuánto vale ? ¿Y f (3)?

b) ¿Hay un posible resultado? Razona la respuesta.

Respuesta abierta.

a)

f (3) = 0

b) Sí, porque si la función es continua tiene que verificarse que: limx

f x f→3

3( ) ( )=

limx

f x→3

0( ) =

lim f xx →3

( )

095

9SOLUCIONARIO

5

3

Y

X

5

3

Y

X

1

3

Y

X

424

Halla las asíntotas de estas funciones.

Razona las diferencias entre ambas funciones.

Dom f = � − {−1, 2}


La función no tiene una asíntota

vertical en x = 2.



Dom g = � − {−2, 1}





Las funciones f(x) y g(x) tienen distintas asíntotas verticales, porque los valores que anulan el denominador en cada una de ellas son diferentes.

limx

x x

x x→→

+

− ++ −

=�

2

2

4 4

21

lim

lim

x

x

x x

x x

x x

x x

→

→

1

2

2

1

2

2

4 42

4 42

−

+

− ++ −

= −

− ++ −

�

== +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

→

limx

x x

x x→→

1

2

2

4 4

2

1

0

− ++ −

lim

lim

x

x

x x

x x

x x

x x

→

→

−

−

−

+

− ++ −

= +

− ++

2

2

2

2

2

2

4 42

4 4

�

−−= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪2�

→

limx

x x

x x→→

−

− ++ −2

2

2

4 4

2

16

0

limx

x x

x x→→

+

− +− −

=�

2

2

4 4

21

lim limx x

x x

x x

x

x x→ →2

2

2 2

24 4

2

2

1 2

− +− −

=−

− −=

( )

( )( )00 →

limx

x x

x x→→

2

2

2

4 4

2

0

0

− +− −

lim

lim

x

x

x x

x xx x

x x

→

→

−

−

−

+

− +− −

= +

− +−

1

2

2

1

2

2

4 42

4 4

�

−−= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪2�

→

limx

x x

x x→→

−

− +− −1

2

2

4 4

2

9

0

f xx x

x xg x

x x

x x( ) ( )= − +

− −= − +

+ −

2

2

2

2

4 4

2

4 4

2

096


425

Escribe una función racional para cada caso.

a) Que tenga x = 2 y x = −3 como únicas asíntotas.

b) Sus únicas asíntotas son x = −2 e y = 3.

c) Sus asíntotas son x = 4 e y = 2x −1.

Respuesta abierta.

a)

b)

c)

Calcula el valor de a para que el límite tenga valor finito: .

Con ese valor de a, halla b para que se verifique que:

¿Qué relación existe entre la función y la recta y = ax + b?

El límite tiene valor finito si el grado del numerador es menor o igual que el denominador, por lo que a = 2.

La recta y = 2x + 2 es la asíntota oblicua de la función .

Se ha estimado que la población de zorros en una finca se rige

por la fórmula , donde z representa el número de zorros

y t es el tiempo transcurrido, en meses.

El veterinario de la finca ha observado que, en los primeros seis meses, la población ha aumentado. Investiga si el crecimiento será indefinido, si tenderá a estabilizarse la población o si tenderá a disminuir.

La población de zorros tenderá a estabilizarse.

limt

t

t→ +⋅

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=�

1006 3

2600

2

2

zt

t= +

+100

6 3

2

2

2

099

yx

x=

+−

2 3

1

2

lim limx x

x

xx b

→ →+ +

+−

− −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+

� �

2 3

12

3 22 xx bx

xb b

− +−

= − = =1

12 0 2→

lim limx x

x

xax

x→ →+ +

+−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+

� �

2 3

1

2 32 2 −− +−

ax ax

x

2

1

yx

x= +

−2 3

1

2

limx

xax b

x →+

+−

− − =�

2 3

10

2

limx

xax

x →+

+−

−�

2 3

1

2

098

f xx x

x( ) =

−−

2 9

4

2

f xx

x( ) =

+3

2

f xx

x x( )

( ) ( )=

− +

4

2 3

097

9SOLUCIONARIO

426

La famosa fórmula se debe a Einstein, y expresa la masa M de un

cuerpo en función de su velocidad v, siendo c la velocidad de la luz (300.000 km/s).

Calcula el límite de la masa M cuando v tiende a c. A la vista de ese resultado, ¿crees que un cuerpo puede alcanzar esa velocidad?

Para que la velocidad llegara a ser la de la luz el cuerpo debería tener una masa infinita.

Representa mediante una función definida a trozos la tarifa de un aparcamiento.

a) Estudia su continuidad.

b) Clasifica los puntos de discontinuidad, si los tuviera.

a) La función no es continua en:

x = 10

x = 11

x = 12

x = 13

x = 14

b) Los puntos son de discontinuidad inevitable de salto finito.

APARCAMIENTOHorario: de 10:00 a 22:00 horas

Tarifas:

• Cada hora o fracción: 2 €• Más de 5 horas: 10 €• Estancia máxima: 12 horas

101

limv c

mc

c v→ 2 2−= +�

Mmc

c v=

−2 2100


10

8

6

4

2

2 4 6 8

Y

X

427

PARA FINALIZAR…

Calcula el valor de k para que el siguiente límite sea un número real:

Para el valor de k obtenido, ¿cuánto vale el límite?

Si k = −3, entonces la indeterminación es:

Así, el límite vale:

Calcula los límites.

a) b)

Aunque no sepamos el valor que toman el seno y el coseno de un ángulo cuandoel ángulo tiende a infinito, sí sabemos que es una cantidad acotada, pues tanto el seno como el coseno de un ángulo tienen un valor comprendidoen [−1, 1], y al multiplicar por cero una cantidad acotada, el resultado es cero.

a) b)

¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 si el coeficiente a tiendea cero y los coeficientes b y c son constantes, siendo b � 0?

Las soluciones de la ecuación son de la forma:

Comprueba que no existe.

lim

lim

x

x

x

x

e

e

→

→

→0

1

0

1

0−

+

=

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

No exiiste limx

xe→0

1

.

limx

xe→0

1

105

lim lima a

b b ac

a

b b ac

a b b→ →0

2

0

2 2

2

4 4− + −=

− −

− − −2 2

( )

442

40 2

acc

b b ac

c

ba

( )=

=− − −

= −lim→

lima

b b ac

a

b→

→ →0

2 4

2

2

0

− − − −�lim

a

b b ac

a→→

0

2 4

2

0

0

− + −

xb b ac

a=

− ± −2 4

2

104

lim cosx x

x→ +

⋅ =�

10lim

xx sen

x→0

10⋅ =

lim cosx x

x→�

1 ⋅limx

x senx→0

1⋅

103

lim limx x

x x

x

x x

x x→ →2

2

2 2

3 2

4

2 1

2 2

− +−

=− −− +

( ) ( )

( ) ( ))=

1

4

0

0

limx

x kx

x

k→

→2

2

2

2

4

2 6

0

+ +−

+

limx

x k x

x→2

2

2

2

4

+ +−

102

9SOLUCIONARIO

428

Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones.

a) b) c)

a) f (0) = 1




b) f (0) = 1




c) f (0) = 0

Al ser , la función es continua en x = 0.

Así, la función es continua en �.

Demuestra que la recta de ecuación es una asíntota

de la hipérbola .

lim limx x

b

ax a

b

ax

b

a

a→ →+ +

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅

−� �

2 22

xx a x2 20

− +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=

limx

b

ax a

b

ax

→→

+− −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

�� 2 2

→ yb x a b

a

b

ax a= ±

−= ± −

2 2 2 2

2

2 2

x

a

y

bb x a y a b y

b x a b

a

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

21− = − = =

−→ →

x

a

y

b

2

2

2

21− =

yb

ax=107

f f xx

( ) ( )00

= lim→

limx

x senx→0

2 10⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

limx

f x→0

( )

lim

limx

x

x

x

→

→

0

1

0

5 0

2 1

−

+

=

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

limx

f x→0

( )

lim

lim

x

x

x

x

→

→

0

0

1

2 1

5

−

+

=

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

�

y x senx

x

x= ⋅

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

2 10

0 0

si

si

�y xx

x

x= <

≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

5 02 0

1

sisi

yx

x

x

x=

≤

>

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

2 0

5 01

si

si

106


429

Si medimos el ángulo x en radianes, demuestra que .

Si el ángulo x se mide en grados sexagesimales, entonces .

Como la medida de la longitud del arco está comprendida entre la longitud de los segmentos AC y AB, entonces el área del sector circular está comprendida entre el área de los triángulos.

Área de OAC < Área de sector < Área OAB

Simplificamos dividiendo entre

Dividimos entre sen x :

Hacemos límites con x → 0:

, que es lo

que queríamos demostrar.

Si x viene medido en grados:

Simplificamos dividiendo entre :

Dividimos entre sen x:

Hacemos límites con x → 0:

Y despejando, resulta que: limx

sen x

x→0 180=

π

lim lim limx x x

sen x

xcos x

→ → →→

0 0 01 1> ⋅ > > ⋅

180 180

π πllim

lim

x

x

sen x

xsen x

x

→

→→

0

0

1

1

>

⋅ =180

π

sen x

sen x

x

sen x

tg x

sen x

x

sen x c< ⋅ < < ⋅ <

π π180

1180

1→oos x

sen x

xcos x→ 1> ⋅ >

180

π

sen x x tg x< ⋅ <π

180

R2

2

R R sen xR

x R R tg x R sen x Rx

⋅< ⋅ <

⋅< ⋅ <

2 360 2 2 3602

2 2

ππ→

RR tg x2

2

lim lim lim limx x x x

sen x

xcos x

sen x→ → → →

→0 0 0 0

1 1> > >xx

sen x

xx> =1 1

0→

→lim

→ →sen x

sen x

sen x

x

sen x

tg x

sen x

xx> > > >1 cos

sen x

sen x

x

sen x

tg x

sen x< <

Rsen x x tg x

2

2: < <

R sen xR

x R tg x22

2

2 2 2< ⋅ <

R R sen xR

x R R tg x⋅< ⋅ <

⋅

2 2 22π

π

limx

sen x

x→0 180= π

limx

sen x

x→01=108

9SOLUCIONARIO

BC

AxO

430

Derivada de una función


La ciudad Rosa y RojaAquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al ob-servar que cada día muchos se quedaban enredados en su peine. Pero,para su tranquilidad, la cuenta se mantenía siempre alrededor de losciento cincuenta mil cabellos, pese a que se le caían unos cincuentadiarios, por lo que no parecía probable que fuera a perder su doradoatributo.

Llegado el momento de tomar esposo, la princesa declaró que sólo secasaría con quien adivinara la longitud de su cabellera. Eran datos so-bradamente conocidos el número de sus cabellos y los que perdía dia-riamente, así como el hecho de que nunca se los cortaba, ya que la au-gusta melena era uno de los temas de conversación más frecuentes enpalacio. Así que el astrónomo real, que la amaba en silencio, se pre-sentó ante la princesa (que para confundir a sus pretendientes se reco-gía el pelo en un enorme moño) y le dijo:

–Si tenéis ciento cincuenta mil cabellos y se os caen unos cincuentadiarios, dentro de tres mil días se habrán caído todos los que ahoraadornan vuestra cabeza (aunque, naturalmente, para entonces ten-dréis otros ciento cincuenta mil, que os habrán ido saliendo al mismoritmo que se os caen, puesto que la cuenta diaria demuestra que el nú-mero de vuestros cabellos permanece constante). Lógicamente, los úl-timos en caer serán los que hoy mismo os han salido, lo que equivalea decir que la vida media de un cabello es de tres mil días. Puesto queel cabello humano (incluso el principesco) crece a razón de un centí-metro al mes, y tres mil días son cien meses, vuestra cabellera debemedir en su punto de máxima longitud (ya que en realidad tenéis ca-bellos de todas las medidas) aproximadamente un metro.

La princesa se casó con el astrónomo, que, acostumbrado a contar lasestrellas, pasó a ocuparse personalmente del cómputo de los cabellos,uniendo al rigor del científico la solicitud del esposo.

CARLO FRABETTI

Al suponer que la «velocidad» de crecimiento del cabello es constante: 1 cm/mes, la funciónque relaciona la longitud, en cm, del cabello (l ) y el tiempo, en meses, transcurrido (t ) es l = t. Si la velocidad de crecimiento fuera de 2 cm/mes, la fórmula sería l = 2t. Pero esta velocidad no es siempre constante. Imagina que, por efecto de un crecepelo, la relación entre la longitud y el tiempo viene expresada por la fórmula . Determinala velocidad de crecimiento entre los meses 2.o y 7.o, 2.o y 6.o, 2.o y 4.o. ¿Es constante?

La velocidad de crecimiento no es constante.

l l( ) ( )4 2

4 2

6 3 2

2

−

−=

−= 0,87

l l( ) ( )6 2

6 2

3 6 3 2

4

−

−=

−= 0,77

l l( ) ( )7 2

7 2

3 7 3 2

5

−

−=

−= 0,73

l t= 3

Derivada de una función10

431

10SOLUCIONARIO


Determina cuáles de estos vectores son paralelos y cuáles son perpendiculares

a v�= (−2, 1).

a) v�1 = (−6, 3)

b) v�2 = (−2, −4)

c) v�3 = (8, −4)

a) v�1 = 3v� → Los vectores son paralelos.

b) v�⋅ v�2 = 0 → Los vectores son perpendiculares.

c) v�3 = −4v� → Los vectores son paralelos.

El ángulo que forma una recta con el eje de abscisas, ¿puede medir más de 180°? ¿Por qué?

No, porque si la inclinación de la recta sobrepasa la inclinación del eje, la semirrecta que queda por encima del mismo determina el ángulo menor de 180° que hay que considerar para calcular la pendiente.

Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por el punto A(−3, 6)y que tiene como vector director v�= (2, −4).

y − 6 = −2(x + 3)


a) f (x) es continua en � − {1}.

b) g(x) es continua en (−�, −2] ∪ [2, +�).

c) h(x) es continua en (0, +�).

Dadas las funciones f (x) = (2x −1)2 y , calcula (g � f )(2) y (f � g )(2).

Si la función f (x) crece en el intervalo (−10, −2) y decrece en el intervalo (−2, 22),¿qué ocurre en el punto x = −2?

En x = −2 la función presenta un máximo.

006

( )( ) [ ( )] [( ) ] ( )g f x g f x g x x x� = = − = − − = −2 1 2 1 2 4 42 2 2 xx g f

f g x f g x f x x

− =

= = −( ) = −

1 2 7

2 2 2

→ ( )( )

( )( ) [ ( )]

�

� −−( ) =1 2 12

→ ( )( )f g�

g x x( ) = −2005

c) h xx

( ) = ln1

b) g x x( ) = −2 4

a) f xx

( ) = −−5

1

004

003

002

001

432

ACTIVIDADES

Halla la tasa de variación media de las funciones f (x) = x2 + x y g (x) = x3 + xen los siguientes intervalos.

a) [0, 1] b) [2, 3]

La cotización de una acción sigue durante una semana la función f (x) = 0,02x2 + 1,donde x es el día de la semana (0 = lunes, 1 = martes, …). Halla la tasa de variación media de esa cotización de lunes a viernes.

Calcula la derivada de estas funciones en x = 1.

a) f (x) = 4x + 2 b)

Halla la derivada de las funciones en los puntos x = 0 y x = 1.

a) f (x) = x3 b)

f limf h f

hlim

h

hlim

h h h' (1) =

+ −=

+ −=

→ → →0 0

1 1 1 1( ) ( )00

0

1 1

1 11

1 1

1

2

+ −

+ +=

=+ +

=

h

h h

limhh

( )

→

b) (0)f limf h f

hlim

h

hlim

h h h' =

+ −= =

→ → →0 0 0

0 0 1( ) ( )

hh→ No existe.

f limf h f

hlim

h

hli

h h' (1) =

+ −=

+ −=

→ →0 0

31 1 1 1( ) ( ) ( )mm

h h h

hlim h h

h

h

→

→

0

2 3

0

2

1 3 3 1

3 3 3

+ + + −=

= + + =( )

a) (0)f limf h f

hlim

h

hlim

h h h' =

+ −= =

→ → →0 0

3

0

0 0( ) ( )hh2 0=

f x x( ) =

004

b) (1)f limf h f

hlim

h

hh h' =

+ −= +

−

→ →0 0

21 1

1

11

( ) ( ) ( ) ==− +

+=

=− − −

limh

h h

limh h

h

h

h

→

→

0

2

2

0

2

1 1

11 1 2

1

( )

( )

( ++=

− −+

= −h

limh

hh) ( )2 0 2

2

12

→

a) (1)f limf h f

hlim

hh h

' =+ −

=+ + −

→ →0 0

1 1 4 1 2 6( ) ( ) ( )

hhlim

h

hh=

+ −=

→0

4 4 44

f xx

( ) = 12

003

T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

0 44 0

4 0

1

4=

−−

=−

=1,32

0,08

002

T.V.M.g g

([ , ])( ) ( )

2 33 2

3 2

30 10

120=

−−

=−

=

b)(3) (2)

T.V.M.f f

([ , ])2 33 2

12 6

16=

−−

=−

=

T.V.M.g g

([ , ])0 11 0

2 0

12=

−−

=−

=(1) (0)

a)(1) (0)

T.V.M.f

([ , ])0 11 0

2 0

12=

−−

=−

=f

001


433

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 en x = 2.

La pendiente de la recta tangente es 4.

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x3

en x = −1?


Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = 2x2

en el punto P (−1, 2). ¿Cuál es la ecuación de la recta normal?

La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = −4(x + 1) → y = −4x − 2

La ecuación de la recta normal es:

Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f (x) = x3 + 1 en los puntos x = 1 y x = −1. Comprueba que son paralelas a la recta y = 3x + 4.

La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1

La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 3(x + 1) → y = 3x + 3

Y

X1

2

f limf h f

hlim

hh h

' ( )( ) ( ) ( )

− =− + − −

=− + +

11 1 1 1

0 0

3

→ → hhlim

h h h

hlim h h

h

h

=− + − + +

=

= − + =→

→

0

2 3

0

2

1 3 3 1

3 3 3( )

f limf h f

hlim

h

hh h' (1) =

+ −=

+ + −=

→ →0 0

31 1 1 1 2( ) ( ) ( )llim

h h h

hlim h h

h

h

→

→

0

2 3

0

2

1 3 3 1

3 3 3

+ + + −=

= + + =( )

008

y x y x− = + = +21

41

1

4

9

4( ) →

f limf h f

hlim

hh h

' ( )( ) ( ) ( )

− =− + − −

=− + −

11 1 2 1

0 0

2

→ →

22 2 4 2 2

4 2 40

2

0

hlim

h h

hlim h

h

h

=− + −

=

= − + = −→

→( )

007

f limf h f

hlim

hh h

' ( )( ) ( ) ( )

− =− + − −

=− + +

11 1 1 1

0 0

3

→ → hh

limh h h

hlim h h

h h

=

=− + − + +

= − + =→ →0

2 3

0

21 3 3 13 3 3( )

006

f limf h f

hlim

h

hh h' ( )

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 60 0

2

=+ −

=+ + −

=→ →

llimh h

hlim h

h

h

→

→

0

2

0

4 4 4

4 4

+ + −=

= + =( )

005

10SOLUCIONARIO

434

Halla la función derivada de f (x) = 4x + 2, aplicando la definición de derivada de una función en un punto. A partir del resultado que has obtenido, calcula la derivada de f (x) en estos puntos.

a) x = 2 b) x = −7

Comprueba que obtienes el mismo resultado que si utilizas la definición de derivada en un punto.

¿Cuál es la función derivada de estas funciones?

a) b)

Utiliza la definición para calcular la función derivada de la función f (x) = 2x3 + x2.

Calcula la derivada de estas funciones, y comprueba que se cumple que el resultadoes igual a la suma de las derivadas de las funciones que las forman.

a) f (x) = 7x + 2x2 b) f (x) = x−2 + 3x

012

f x limf x h f x

hlim

x h x hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ + +

→ →0 0

32 )) ( )2 3 2

0

3 2 2 3 2

2

2 6 6 2 2

− +=

=+ + + + +

x x

h

limx hx h x h x

h→

hhx h x x

h

limhx h x h hx h

hh

+ − −=

=+ + + +

2 3 2

0

2 2 3 2

2

6 6 2 2→

== + + + + =

= +

lim x hx h x h

x x

h→0

2 2

2

6 6 2 2

6 2

( )

011

b) f x limf x h f x

hlim x h x

h h' ( )

( ) ( ) ( )=+ −

= +−

→ →0 0

2

1 122

0

2 2

2 2

0

2 2 2h

limx x h

h x h x

limx x

h

h

=− +

+=

=− −

→

→

( )

( )hhx h

h x h xlim

x h

x h x

x

xh

−+

=− −

+=

−= −

2

2 2 0 2 2 4

2 2

( ) ( )→

223x

a) f x limf x h f x

hlim

x h x

hlim

h h' ( )

( ) ( )=

+ −=

+ −=

→ →0 0 hh

h

x h x

h x h x

limx h x x

→

→

0

0

1 1

2

+ −

+ +=

=+ +

=

( )

f xx

( ) = 12

f x x( ) =

010

b) f

f limf h f

hlim

h h

'

'

( )

( )( ) ( ) (

7 4

77 7 4 7

0 0

=

=+ −

=→ →

++ + −=

+ −=

h

hlim

h

hh

) 2 30 28 4 284

0→

a) f

f limf h f

hlim

h h

'

'

( )

( )( ) ( ) (

2 4

22 2 4 2

0 0

=

=+ −

=→ →

++ + −=

+ −=

h

hlim

h

hh

) 2 10 8 4 84

0→

f x limf x h f x

hlim

x h xh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ + −

→ →0 0

4 2 4 ++=

+ −=

2 4 4 44

0

)

hlim

x h x

hh→

009


435

Halla la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición de derivadadel producto de un número por una función.

a) f (x) = 8x3 b) c) f (x) = −5x2

f ' (x) = 8 · 3x2 = 24x2

c) limx h x

hlim

x hx h x

hlim

h h h→ →0

2 2

0

2 2 22( )+ −=

+ + −=

→→ →0

2

0

22 2

5 2 10

hx h

hlim x h x

f x x x

h

+= + =

= − ⋅ = −

( )

( )'

b) limx h x

hlim

x h x

h x h xlim

xh h h→ → →0 0 0

1+ −=

+ −

+ +( )=

++ +=

= ⋅ =

h x x

f xx x

1

2

41

2

2' ( )

a) limx h x

hlim

x hx h x h xh h→ →0

3 3

0

3 2 2 3 33 3( )+ −=

+ + + −hh

limhx h x h

h

lim x hx h

h

h

=+ +

=

= + + =

→

→

0

2 2 3

0

2 2

3 3

3 3( ) 33 2x

f x x( ) = 4

013

g x limx h x

hlim

x h x

hl

h h' ( )

( ) ( )=

+ −+

+ −=

− −

→ →0

2 2

0

3 3iim x h x

h

limx h x

hlim

x

h

h h

→

→ →

0

2 2

0 0

1 1

3 3 3

( )+−

+

++ −

=22 2 2

2 2

0 2

23

2

− − −+

+ =

=− −

+

x hx h

h x h x

limx h

h x hh

( )

( )→ xx

x

x

x

x2 4

3

33

23

3 2+ =

−+ =

−

b) g x limg x h g x

hlim

x hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ +−

→ →0 0

2 3 xx h x x

h

lim x hx h

xx

h

+ − +=

= ++ + − −

−) ( )

( )

2

0

2 2

3

13 3

13

→ hh

limx hx h x h x x hx h

h xh

=

=+ + + − − −

+→0

2 4 2 3 2 2 2 23 6 3 2

( hh x

limx hx hx x h

x h x

xh

)

( )

2 2

0

4 3 2

2 2

3 6 3 2 3

=

=+ + − −

+=

→

44

4

3

3

2 3 2−=

−x

x

x

x

f x limx h x

hlim

x h x

hl

h h' ( )

( ) ( )=

+ −+

+ −=

→ →0 0

2 27 7 2 2iim

x h x

h

limx hx h x

hl

h

h

→

→

0

0

2 2 2

7 7 7

2 4 2 27

+ −+

++ + −

= + iim x h xh→0

4 2 7 4( )+ = +

a) f x limf x h f x

hlim

x h xh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ +

→ →0 0

7 2 ++ − +=

=+ + + + −

h x x

h

limx h x hx h x

h

) ( )2 2

0

2 2

7 2

7 7 2 4 2 7→

−−=

+ +=

= + + =

2 7 4 2

7 4 2 7

2

0

2

0

x

hlim

h hx h

hlim x h

h

h

→

→( ) ++ 4x

10SOLUCIONARIO

436

Calcula el producto de las funciones f (x) = x2 − 4 y g(x) = x + 1, y después hallasu derivada. Comprueba que el resultado es el mismo que si aplicamos la fórmulade la derivada del producto de funciones.

Halla las derivadas de las funciones f (x) = x2 + 1 y g(x) = −x + 5.

¿Cuál es la derivada del cociente ? ¿Y la derivada del cociente ?

Calcula la derivada de esta función, indicando los pasos que sigues para hallarla.f (x) = x 2 + 2x

Se aplica la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función potencial (n = 2), la derivada del producto de un número por una función y la derivadade la función identidad: f ' (x) = 2x2−1 + 2 ⋅ 1 = 2x + 2

Halla la derivada de la siguiente función:

Se aplica la derivada del cociente de funciones. Para derivar la funcióndel numerador se usa la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función identidad y la derivada de la función constante. Para obtener la derivada del denominador se aplica la derivada del producto de un número por una función y la derivada de la función potencial (n = 5):

f xx x x

x

x x

x' ( )

( )

( )=

⋅ − − ⋅ ⋅=

− +1 2 3 2 5

2

8 30

4

5 4

5 2

5 4

10==

− +4 15

2 6

x

x

f xx

x( ) = −3

2 5017

016

g x

f x

g x f x g x f x

f x

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ (

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

⋅ − ⋅' ' '

))]

( )( ) ( )

( ) (2

2

2 2

21 1 5 2

1

10 1=

− + − − + ⋅+

=− −x x x

x

x x

x 22 21+ )

f x

g x

f x g x f x g x

g x

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ (

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

⋅ − ⋅' ' '

))]

( ) ( )( )

( ) (2

2

2

22 5 1 1

5

10 1=

⋅ − + − + −− +

=− + +x x x

x

x x

−− +x 5 2)

g x limx h x

hlim

x h x

hh h' ( )

( ) ( )=

− + + − − +=

− − +=

→ →0 0

5 5−−1

f x limx h x

hlim

x hx hh h

' ( )( ) ( )

=+ + − +

=+ +

→ →0

2 2

0

21 1 2 22 2

02 2

−= + =

x

hlim x h xh→

( )

g x

f x

( )

( )f xg x( )( )

015

Aplicando la fórmula: p x f x g x f x g' ' '( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ (( )

( ) ( )( ) ( )

x

limx h x

hx x l

h

=

=+ − − −

⋅ + + − ⋅→0

2 224 4

1 4 iimx h x

h

limx hx h x

h

h

h

→

→

0

0

2 2 2

1 1

2

( ) ( )

(

+ + − +=

=+ + −

⋅ xx x limx h x

hlim x h x

h

h

+ + − ⋅+ −

=

= + ⋅ +

1 4

2

2

0

0

) ( )

( ) (

→

→11 4 1 2 1 4 3 2 42 2 2) ( ) ( )+ − ⋅ = + + − = + −x x x x x x

p x f x g x x x x x x

p x

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

= ⋅ = − + = + − −

=

2 3 24 1 4 4

' llimx h x h x h x x x

hh→0

3 2 3 24 4 4 4( ) ( ) ( ) ( )+ + + − + − − + − −==

=+ + + + + + − − − −

limx hx h x h x hx h x h

h→0

3 2 2 3 2 23 3 2 4 4 4 xx x x

h

limhx h x h hx h h

hh

3 2

0

2 2 3 2

4 4

3 3 2 4

− + +=

=+ + + + −

→== + + + + − =

= + −

lim x hx h x h

x x

h→0

2 2

2

3 3 2 4

3 2 4

( )

014


437

Halla la derivada de las siguientes funciones.

a) f (x) = 5 sen x + 3 cos x b) f (x) = (5x2 ⋅ sen x) + (x ⋅ cos x)

a) f ' (x) = 5 · cos x + 3 · (−sen x) = 5 cos x − 3 sen x

b) f ' (x) = (5 · 2x · sen x + 5x2 · cos x) + (1 · cos x + x · (−sen x)) == 10x sen x + 5x2 cos x + cos x − x sen x

Obtén la derivada de estas funciones.

a) f (x) = e x ⋅ tg x b) f (x) = 3x 2 − arc sen x

a) f ' (x) = e x · tg x + e x · (1 + tg2 x) = e x (1 + tg x + tg2 x)

Halla la derivada de estas funciones aplicando la regla de la cadena.

a) f (x) = ln (cos x) c) f (x) = (x4 + 2)9

b) f (x) = cos (ln x) d) f (x) = x

Calcula la derivada de estas funciones.

a) f (x) = sen c) f (x) = ln

b) f (x) = 3 sen x2 + 2 sen2 x d) f (x) =

f x e x x ex

xx x' ( ) = ⋅ +( ) ⋅ = ⋅

++( ) −+( )1

1

2 12 2

2 11

2

1

c) f xx

x

x x

x' ( )

( ) ( ) ( )

( )=

+−

⋅⋅ − − + ⋅ −

−=

11

1

1 1 1 1

1

2

12 −− x 2

b) f x cos x x sen x cos x x cos x' ( ) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +3 2 2 2 6 42 2 ⋅⋅ sen x cos x

a) f x cos x x x x xx

' ( ) ( ) ( )( )

= + ⋅ + ⋅ + =+−

2 21

231

23 2 3

2 3 ccos x x

x x

2

2

3

2 3

+

+

e x +( )12

1

1

+−

x

xx x2 3+

021

d) f x x x x x

x

' ( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

= + +

−1 2 1

1

22 1 6

2 13

3 31

2 2

3 xx

x

x

x

3

3

3

32 1

5 1

2 1+=

+

+

c) f x x x x x' ( ) ( ) ( )= + ⋅ = +9 2 4 36 24 8 3 3 4 8

b) f x sen xx

' ( ) (ln )= − ⋅1

a) f xcos x

sen x tg x' ( ) ( )= ⋅ − = −1

2 13x +

020

b) f x xx

' ( ) = −−

61

1 2

019

018

10SOLUCIONARIO

438

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.

a) f (x) = x2 −6x + 5

b) f (x) = 8x + x2

a) f ' (x) = 2x − 6

2x − 6 = 0 → x = 3

La función es decreciente en (−�, 3) y es creciente en (3, +�).

b) f ' (x) = 8 + 2x

8 + 2x = 0 → x = −4

La función es decreciente en (−�, −4) y es creciente en (−4, +�).

Determina los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de estas funciones.

a) f (x) = x3 −3x

b) f (x) = 2 −x

a) f ' (x) = 3x2 − 3

3x2 − 3 = 0 → x = ±1

La función es creciente en (−�, −1) ∪ (1, +�) y es decreciente en (−1, 1).

Presenta un máximo en x = −1 y un mínimo en x = 1.

b) f ' (x) = −1 < 0

La función es decreciente en �. No tiene máximos ni mínimos.

Calcula los máximos y mínimos de estas funciones.

a) f (x) = x4 −4x 2 + 2

b) f (x) =

c) f (x) = x3 −12x

d) f (x) = x

x

2

3 1+

8

22x +

024

f ' (−2) > 0 f ' (2) > 0f ' (0) < 0

−2 −1 1 20

023

f ' (−5) < 0 f ' (0) > 0

−5 −4 0

f ' (0) < 0 f ' (4) > 0

0 3 4

022


439

a) f ' (x) = 4x3 − 8x

f" (x) = 12x2 − 8

tiene un mínimo.

f" (0) = −8 < 0 → En x = 0 tiene un máximo.

tiene un mínimo.

f" (0) = −4 < 0 → En x = 0 tiene un máximo.

c) f ' (x) = 3x2 − 12

3x2 − 12 = 0 → x = ±2

f" (x) = 6x

f" (−2) = −12 < 0 → En x = −2 tiene un máximo.

f" (2) = 12 > 0 → En x = 2 tiene un mínimo.

f" (0) = 2 > 0 → En x = 0 tiene un mínimo.

tiene un máximo.

Si la función f (x) = x3 + ax + b tiene un mínimo en el punto (1, 5), determinalos valores de a y b. ¿Tiene algún otro máximo o mínimo esta función?

f ' (x) = 3x2 + a

Si la función tiene un mínimo en x = 1: f ' (1) = 0 → 3 + a = 0 → a = −3

Como el punto (1, 5) pertenece a la gráfica de la función f (x), se verifica que: f (1) = 5

Al ser f (x) = x3 − 3x + b, se tiene que: 1 − 3 + b = 5 → b = 7

Por tanto, la expresión de la función es: f (x) = x3 − 3x + 7

f ' (x) = 3x2 − 3

3x2 − 3 = 0 → x = ±1

f" (x) = 6x

f" (−1) = −6 < 0 → En x = −1 tiene un máximo.

025

f x" 22

30 23 3( ) = − < =→ En

d) f xx x x x

x

x x

x' ( )

( )

( ) (=

⋅ + − ⋅+

=− +

+2 1 3

1

2

1

3 2 2

3 2

4

3 ))

( )

2

4

3 2

43

2

10 2 0

02

− ++

= − + ===

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

x x

xx x

x

x

f

→ →

"" ( )( )( ) ( ) ( )

(x

x x x x x x=

− + + − − + ⋅ + ⋅4 2 1 2 2 1 33 3 2 4 3 2

xx

x x

x3 4

6 3

3 31

2 14 2

1+=

− ++) ( )

b) f xx

x

x

xx

f x

'

"

( )( )

( )

( )

=−

+−

+= =

=−

16

216

20 0

2 2

2 2→

116 2 16 2 2 2

2

48 322 2 2

2 4

2

2

( ) ( )

( ) (

x x x x

x

x

x

+ + ⋅ + ⋅+

=−

++ 2 3)

f x" 2 16 0 2( ) = > =→ En

f x" −( ) = > = −2 16 0 2→ En

4 8 0 4 2 00

23 2x x x x

x

x− = − =

== ±

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →( )

10SOLUCIONARIO

440

Halla los máximos y mínimos de f (x) = sen2 x en [0, 2π].

tiene un mínimo.

tiene un máximo.

tiene un mínimo.

tiene un máximo.

Representa estas funciones.

a) c)

b) d)

a) Dom f = � − {0}

x = 0 es una asíntota vertical.

y = 0 es una asíntota horizontal.

No hay puntos de corte con los ejes.

Si x > 0 → f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (0, +�).

Si x < 0 → f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, 0).

La función no tiene máximos ni mínimos.

f (x)

Y

X1

1

f xx

' ( ) = −2

3

limxx →

→+

=�

10

2

limxx →

→0 2

1= +�

f xx

( ) =+2

32f x

x

x x( ) = +

−

2

2

1

f xx

x x( ) =

+ +2 1f x

x( ) = 1

2

027

f x"3

22 0

3

2

π π⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < =→ En

f x" ( )π π= > =2 0 → En

f x"π π2

2 02

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < =→ En

f x" ( )0 2 0 0= > =→ En

f x sen x cos x

sen x cos x

sen xxx

' ( ) =

=

= ==

⎧⎨⎪

2

2 0

0 0

→

→π

⎪⎪⎩⎪⎪

==

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

cos xx

x0 2

3

2

→

π

π

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪= −f x cos x sen x" ( ) ( )2 2 2

026


b) Dom f = � − {0, 1}

x = 0 es una asíntota vertical. x = 1 es una asíntota vertical.



f (x) es decreciente en (−�; −2,41) ∪ (0,41; 1) ∪ (1, +�) y es creciente en (−2,41; 0) ∪ (0; 0,41)

Mínimo: (−2,41; 0,82)

Máximo: (0,41; −4,82)

c) Dom f = �


Punto de corte: (0, 0)

f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (1, +�) y es creciente en (−1, 1).

Mínimo: (−1, −1)

Máximo: (1; 0,33)1

1 f (x)

Y

X

f ' (−2) < 0 f ' (0) > 0

−2 −1 1 20

f ' (2) < 0

f xx x x x

x x

x

x' ( )

( ) ( )

( ) (=

⋅ + + − ⋅ ++ +

=−

+1 1 2 1

1

12

2 2

2

2 xxx x

+= − = = ±

10 1 0 1

2

2

)→ →

limx

x xx →→

+ + +=

� 2 10

− − +−

= − − + = =±−

= − ±x x

x xx x x

2

2 2

22 10 2 1 0

2 8

21 2

( )→ →

f xx x x x x

x x

x x' ( )

( ) ( ) ( )

( )=

⋅ − − + ⋅ −−

=− −2 1 2 1 22 2

2 2

2 ++−

12 2( )x x

limx

x xx→+

+−

=�

2

2

11 →

limx

x xx

x x

x

x

→

→

−

+

+−

= −

+−

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪1

2

2

1

2

2

1

1

�

�lim⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

0

2

2

0

2

2

1

1

−

+

+−

= +

+−

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪�

�⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

limx

x xx→→

1

2

2

1 2

0

+−

limx

x xx→→

0

2

2

1 1

0

+−

441

10SOLUCIONARIO

Y

X

f (x)

1

1

f ' (−3) < 0 f ' (−1) > 0 f ' (0,2) > 0

−3 −1−2,41 0,41 1 20,5

0

f ' (2) < 0

0,2

f ' (0,5) > 0

442


d) Dom f = �



Si x > 0 → f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (0, +�).

Si x < 0 → f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, 0).

Máximo: (0; 0,66)

Representa las siguientes funciones.

a) b)

a) Dom f = �

f ' (x) = 3x3 − 3x2 − 6x

f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (0, 2) y es creciente en (−1, 0) ∪ (2, +�).

Mínimos: (−1; 4,75) y (2, −2)

Máximo: (0, 6)

X

f (x)

1

1

Y

f ' (−2) < 0 f ' (−0,5) > 0

−2 −1 −0,5 1 2 30

f ' (1) < 0 f ' (3) > 0

3 3 6 0 3 2 00

2 0 23 2 22x x x x x x

x

x xxx

− − = − − ==

− − = ==

→ → →( )−−

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪ 1

f xe x

( ) =−1

1f x x x x( ) = − − +3

43 64 3 2

028

Y

X

f (x)

1

1

−+

= =4

30 0

2 2

x

xx

( )→

f xx

x' ( )

( )= −

+4

32 2

limxx →

→+ +

=�

2

30

2

443

b) Dom f = � − {0}

x = 0 es una asíntota vertical.


y = −1 es una asíntota horizontal.


f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, 0) ∪ (0, +�).

No hay máximos ni mínimos.

Halla dos números naturales positivos cuya suma sea 60 y sabiendo que la sumade uno más el cuadrado del otro es la mayor posible.

tiene un máximo.

Los números son: 1

2

119

2y

f x x" ( ) = − < =2 01

2→ En

− + = =1 2 01

2x x→

f x x' ( ) = − +1 2

f x x x( ) = − +60 2

x y y x+ = = −60 60→

029

Y

X

f (x)

1

1

f xe

e

x

x' ( )

( )= −

−1 2

limex x→

→− −

= −�

1

11

limex x→

→+ −

=�

1

10

lime

lime

x x

x x

→

→

0

0

1

11

1

−

+

−= −

−= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

�

�

→→

limex x→

→0

1

1

1

0−

10SOLUCIONARIO

444


El área de un rectángulo es de 100 cm2. Si queremos que tenga el menor perímetroposible, ¿cuáles son sus dimensiones?

tiene un mínimo.

Como el valor de x corresponde a la medida de un lado, no puede ser x = −10. Por tanto, las dimensiones del rectángulo son: x = y = 10 cm. Se trata de un cuadrado de 10 cm de lado.

Una pieza con forma de triángulo rectángulo tiene un cateto cuya longitud es 1 m y el otro cateto mide 3 m. Determina el rectángulo de lados paralelos a los catetos y cuya área sea la mayor posible que se puede obtener de ella.

Si el triángulo se apoya sobre los ejes de coordenadas, los vértices coincidencon los puntos (0, 0), (3, 0) y (0, 1).

Entonces el rectángulo de lados paralelos a los catetos tiene un vérticesobre la recta que contiene a la hipotenusa:

tiene un máximo.

Así, los lados del rectángulo miden 1

2

3

2m y m.

x = − ⋅ =3 31

2

3

2

f y y" ( ) = − < =6 01

2→ En

3 6 01

2− = =y y→

f y y' ( ) = −3 6

f y y y y y( ) ( )= − = −3 3 3 3 2

x y= −3 3

x yx y

−=

−+ =

3

3 13 3→

X

1

1

(x, y)

Y

031

f x" ( )10 0 10> =→ En

f xx

" ( ) =400

3

2200

0 2 200 0 102

2− = − = = ±x

x x→ →

f xx

' ( ) = −2200

2

f x xx

xx

( ) = + ⋅ = +2 2100

2200

x y yx

⋅ = =100100→

030

445

Se han construido cajas de cartón, de base cuadrada y sin tapa, cuya capacidad es de 1 m3. Si queremos mantener el volumen, pero modificar la base, ¿cuáles seránsus dimensiones para minimizar el gasto de cartón empleado?

tiene un mínimo.

La arista de la base mide m y la altura del ortoedro es m.

Sabemos que el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunferenciaes el cuadrado. ¿Sucederá lo mismo si consideramos una semicircunferencia? Para comprobarlo, halla las dimensiones de un rectángulo de área máxima, inscrito en una semicircunferencia de 5 cm de radio, sabiendo que su base está situada sobre el diámetro.

tiene un máximo.

Como el valor de x corresponde a la medida de un lado, no puede ser x = − .

Se trata de un cuadrado cuyo lado mide cm; por tanto, también se verificaen la semicircunferencia.

5 2

2

y = − = =2525

2

25

2

5 2

2

5 2

2

f x"5 2

20

5 2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

< =→ En

f x

x x xx

xx

x x" ( )

( )

=

− − − −−

−−

=−

4 25 25 225

25

2 752 2

2

2

3

(( )25 252 2− −x x

25 2

250 25 2 0

25

2

5 2

2

2

2

2−

−= − = = ± = ±

x

xx x→ →

f x x xx

xx

x

' ( ) = − + ⋅−

−=

=−

−

252

2 2525 2

25

2

2

2

2

f x x x( ) = −25 2

x

y5 cm

x y y x2 2 2 25 25+ = = −→

033

1

4323

y =( )

=1

2

1

432 3

f x" 2 0 23 3( ) > =→ En

f xx

" ( ) = +28

3

24

0 2 0 22

3 3xx

x x− = − = =→ →

f x xx

' ( ) = −24

2

f x x xx

xx

( ) = + ⋅ = +2

2

241 4

x

x

y

x y yx

2

21

1= =→

032

10SOLUCIONARIO

446

Determina la tasa de variación media de la función y = x2 −2x + 6 en el intervalo [1, 3].

¿Cuál es la tasa de variación media de la función en el intervalo [1, 4]?

Calcula la tasa de variación media en los intervalos indicados para la siguiente función.

a) [1, 2]

b) [1, 3]

c) [2, 3]

Determina la tasa de variación media de esta función en cada uno de los intervalos.

a) [−1, 1] b) [1, 3] c) [−1, 3]

c) T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

( )− =

− −− −

=−

=1 33 1

3 1

4 2

4

1

2

b) T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

1 33 1

3 1

4 1

2

3

2=

−−

=−

=

a) T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

( )− =

− −− −

=−

= −1 11 1

1 1

1 2

2

1

2

Y

X

1

1

037

c) T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

2 33 2

3 2

6 3

13=

−−

=−

=

b) T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

1 33 1

3 1

6 2

22=

−−

=−

=

a) T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

1 22 1

2 1

3 2

11=

−−

=−

=

Y

X

1

1

036

T.V.M.f f

([ , ])( ) ( )

1 44 1

4 1

3 12

33=

−−

=−

= −

f xx

( ) = 12035

T.V.M.f f

([ , ])( ) ( )

1 33 1

3 1

9 5

22=

−−

=−

=

034


447

Halla la tasa de variación media de la función y = 2x2 −x en el intervalo [2, 2 + h].Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media de la función en los siguientes intervalos.

a) [2, 3] b) [2, 5] c) [2, 8]

a) T.V.M. ([2, 3]) = 7 + 2 · 1 = 9

b) T.V.M. ([2, 5]) = 7 + 2 · 3 = 13

c) T.V.M.([2, 8]) = 7 + 2 · 6 = 19

Calcula el valor de a de modo que la tasa de variación media de la función f (x) = 2x + ax −5 en el intervalo [0, 2] sea 1.

Encuentra dos funciones polinómicas de segundo grado que pasen por los puntos(0, 4) y (3, 10). Comprueba que la tasa de variación media en el intervalo [0, 3] es la misma para las dos funciones.

Respuesta abierta.

La función es de la forma: f (x) = ax2 + bx + c

Como la gráfica pasa por el punto (0, 4), se verifica que: c = 4

Al pasar también por el punto (3, 10), se cumple que: 9a + 3b + 4 = 10 → 3a + b = 2

Sean f (x) = x2 − x + 4 y g(x) = 2x2 − 4x + 4 las funciones pedidas.

¿Por qué la tasa de variación media de la función y = 2x −3 en cualquier intervaloes siempre 2?

Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente 2, y esta indica su variación en cualquier intervalo.

El espacio recorrido por un objeto, en metros, se expresa con la fórmula: e = 4t2 + 2t + 1

a) ¿Qué espacio ha recorrido a los 4 segundos? ¿Y a los 7 segundos?

b) ¿Cuál es la velocidad media que ha mantenido entre los 4 y 7 segundos?

a) A los 4 segundos: e = 73 m A los 7 segundos: e = 211 m

b) m /sT V M. . . ([ , ])4 7211 73

7 446=

−−

=

042

041

T V Mg g

. . . ([ , ])( ) ( )

0 33 0

3 0

10 4

32=

−−

=−

=

T V Mf f

. . . ([ , ])( ) ( )

0 33 0

3 0

10 4

32=

−−

=−

=

040

T V Mf f a

. . . ([ , ])( ) ( ) ( )

0 22 0

2 0

4 2 5 5

2

4 2=

−−

=+ − − −

=+ aa

a a2

2 1 1= + = = −→

039

T V M hf h f

h

h. . . ([ , ])

( ) ( ) ( ) (2 2

2 2

2 2

2 2 22

+ =+ −+ −

=+ − ++ −

=

=+ + − − −

= +

h

hh h h

hh

) 6

8 8 2 2 67 2

2

038

10SOLUCIONARIO

448

Aplica la definición de derivada en un punto para calcular las derivadas de las funciones en los puntos que se indican.

a) y = 3x − 1 en x = 2

b) y = x2 + x en x = 3

c) en x = −1

d) en x = 1

e) y = (x − 1)2 en x = −2

Calcula, utilizando la definición de derivada en un punto, f' (2) y f' (0) para la siguientefunción: f (x) = 2x2 −x + 3

f limf h f

hlim

h h

hl

h h' ( )

( ) ( )0

0 0 2 3 30 0

2

=+ −

=− + −

=→ →

iim hh→0

2 1 1( )− = −

f limf h f

hlim

h hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

22 2 2 2 2

0 0

2

=+ −

=+ − +

→ →

))

( )

+ −=

=+ + − − −

= +

3 9

8 8 2 2 67 2

0

2

0

h

limh h h

hlim h

h h→ →== 7

044

e) f limf h f

hlim

hh h

' ( )( ) ( ) (

− =− + − −

=− + −

22 2 2 1

0 0→ →

))

( )

2

0

2

0

9

9 6 96 6

−=

=− + −

= − + = −

h

limh h

hlim h

h h→ →

d) f limf h f

hlim h

hli

h h' ( )

( ) ( )1

1 16

16

0 0=

+ −= +

−=

→ →mm

h

h h

limh

h

h

→

→

0

0

6 6 6

16

16

− −+

=

=−+

= −

( )

c) f limf h f

hlim

h

h h' ( )

( ) ( )( )

− =− + − −

=

− +

11 1

4 1

0 0→ →

+++

=

=− + + +

=

3

2

1

2

4 4 3 1

22

0

h

limh

hh→

b) f limf h f

hlim

h hh h

' ( )( ) ( ) ( )

33 3 3 3

0 0

2

=+ −

=+ + +

→ →

−−=

=+ + + −

= + =

12

9 6 97 7

0

2

0

h

limh h h

hlim h

h h→ →( )

a) f limf h f

hlim

hh h

' ( )( ) ( ) ( )

22 2 3 2 1 5

0 0=

+ −=

+ − −→ → hh

limh

hh=

+ −=

→0

6 3 63

yx

= 6

yx= +4 3

2

043


449

Si , determina a partir de la definición de derivada en un punto

las siguientes derivadas.

a) f' (−3) b) f' (2)

Obtén la pendiente de la recta tangente a la función y = 3x2 + 2x en el punto de abscisa x = 5.


Halla la derivada de la función y = −t2 + 2t en el punto t = 8.

El espacio, en metros, que recorre un móvil en función del tiempo, en segundos,viene descrito por la expresión.

Calcula la velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos.

La velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos es de 5 m/s.

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x2 en el punto de abscisa 1.

f (1) = 3

La ecuación de la recta tangente es: y − 3 = 6(x − 1) → y = 6x − 3f x x f' '( ) ( )= =6 1 6→

049

f t t f' '( ) ( )= + =4

31 3 5→

e t t= +2

32

048

f t t f' '( ) ( )= − + = −2 2 8 14→

047

f x x f' '( ) ( )= + =6 2 5 32→

046

b) f limf h f

hlim

h

hh h' ( )

( ) ( )2

2 22 6

3

8

30 0

=+ −

=

+ +−

→ →==

+ −=lim

h

hh→0

8 8

3

1

3

a) f limf h f

hlim

h

h h' ( )

( ) ( )− =

− + − −=

− + +

33 3

3 6

30 0→ →

−−=

+ −=

13 3

3

1

30hlim

h

hh→

f xx

( ) = + 6

3045

10SOLUCIONARIO

450

Demuestra gráficamente que la derivada de esta función en el punto de abscisa 3tiene un valor comprendido entre 2 y 3.

La derivada de la función en el punto x = 3 es la pendiente de la recta tangente, y observando el dibujo de la misma se obtiene que, por cada unidad en horizontal, el avancevertical está comprendido entre 2 y 3 unidades.

A partir de la definición, calcula las funciones derivadas de las funciones que se indican.

a) y = 2x + 3 c) y = x3 e)

b) d) y = 2x2 − 3x f ) y = (3x2 + 2)2

e) f x limf x h f x

hlim x h x

hh h' ( )

( ) ( )=

+ −= +

−

→ →0 0

12 12

==− −

+=

=−

+

limx x h

hx x h

limx x h

h

h

→

→

0

0

12 12 12

12( )

( )== −

122x

d) f x limf x h f x

hlim

x hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ −

→ →0 0

22 3 xx h x x

h

limx hx h x h x

h

+ − −=

=+ + − − −

) ( )2 3

2 4 2 3 3 2

2

0

2 2

→

22

0

34 2 3 4 3

+= + − = −

x

hlim x h xh→

( )

c) f x limf x h f x

hlim

x h x

hh h' ( )

( ) ( ) ( )=

+ −=

+ −→ →0 0

3 3

==

=+ + + −

= +limx hx h x h x

hlim x hx

h h→ →0

3 2 2 3 3

0

23 33 3( ++ =h x2 23)

b) f x limf x h f x

hlim

x h

h h' ( )

( ) ( )( )

=+ −

=

+ −−

→ →0 0

2 1

4

22 1

4

2 2 1 2 1

4

1

20

x

h

limx h x

hh

−

=

=+ − − +

=→

a) f x limf x h f x

hlim

x hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ + −

→ →0 0

2 3 22 3

2 2 22

0

x

h

limx h x

hh

+=

=+ −

=

)

→

yx= −2 1

4

yx

= 12

051

Y

X1

1

Y

X

1

1

050


451

10SOLUCIONARIO

Obtén, aplicando la definición, la función derivada de f (x) = x2 − 2x + 4, y calcula la derivada en estos puntos.

a) f' (1) b) f' (−3) c) f' (2)

a) f ' (1) = 0 b) f ' (−3) = −8 c) f ' (2) = 2

A partir de la definición, encuentra la función derivada de f (x) = x2 + 2x + 2, y calcula f' (0), f' (−1) y f' (3). Decide el tipo de crecimiento de la función en los puntos de abscisa 0, −1 y 3.

f ' (0) = 2 > 0 → La función es creciente en x = 0.

f' (−1) = 0 → No se puede decir si la función tiene un mínimo o un máximo en x = −1.

f ' (3) = 8 > 0 → La función es creciente en x = 3.

La función derivada de y = ln x es . Utiliza el resultado para determinar

la ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto de abscisa 1.

La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 1(x − 1) → y = x − 1

Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa 4.

La ecuación de la recta tangente es:


y x y x− = − − = − +64

54

4

5

46

5( ) →

y x y x− = − = +65

44

5

41( ) →

yx

' = +11

2

y x x= +055

yx

' = 1054

f x limf x h f x

hlim

x h x hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ + +

→ →0 0

2 2 )) ( )+ − + +=

=+ + + + + −

2 2 2

2 2 2 2

2

0

2 2 2

x x

h

limx hx h x h x

h→

−− −= + + = +

2 22 2 2 2

0

x

hlim x h xh→

( )

053

f x limf x h f x

hlim

x h x hh h

' ( )( ) ( ) ( ) (

=+ −

=+ − +

→ →0 0

2 2 )) ( )+ − − +=

=+ + − − + −

4 2 4

2 2 2 4

2

0

2 2 2

x x

h

limx hx h x h x

h→

++ −= + − = −

2 42 2 2 2

0

x

hlim x h xh→

( )

052

f ) f x limf x h f x

hlim

x hh h

' ( )( ) ( ) ( ( )

=+ −

=+ +

→ →0 0

23 2)) ( )

( ) ( )

2 2 2

0

4 2 4

3 2

9 12 4 9

− +=

=+ + + + −

x

h

limx h x h x

h→

−− −=

=+ + + +

12 4

9 36 54 36 9

2

0

4 3 2 2 3 4

x

h

limx hx h x h x h

h→

++ + + − −=

= +

12 24 12 9 12

36 54

2 2 4 2

0

3

x hx h x x

hlim x hh→

( xx h x h x h x x2 2 3 336 9 24 12 36 24+ + + + = +)

452

¿Es horizontal la recta tangente a la función y = x3 + x2 en el origen de coordenadas?Si es cierto, ¿cuál será la ecuación de la recta normal?

y' = 3x2 + 2x

La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 0(x − 0) → y = 0

Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x = 0

¿Es cierto que la curva tiene una tangente horizontal

en el punto (1, 0)?

La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 0(x − 1) → y = 0

Es una recta horizontal.

¿Se verifica que la recta tangente a la curva y = (x2 − x)(2x + 1), en el punto de abscisa −1, es paralela a la recta 14x − 2y − 3 = 0?


Como las pendientes de las rectas son iguales, se verifica que son paralelas.

Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función y = cos xen el punto de abscisa π.

y' = −sen x

La ecuación de la recta tangente es: y + 1 = 0(x − π) → y = −1

Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x = π

¿Cuánto tiene que valer a para que la función f (x) = x ln x − ax tenga, en el punto de abscisa e, una recta tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante?

La bisectriz del primer cuadrante es: y = x

Esta recta y la recta tangente son paralelas si sus pendientes son iguales.

La pendiente de la recta tangente a la función, en x = e, es:

Entonces, tenemos que: 2 − a = 1 → a = 1

Halla la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados.

a) y = 23x−8 en x = 3 b) y = x2 ln (x + 3) en x = −2 c) y = (3x − 5)6 en x = 2

a) y' = 23x−8 ⋅ 3


La ecuación de la recta normal es: y x y x− = − − = − +21

63

1

6

5

2( ) →

061

f x x xx

a x a f e a' '( ) ln ln ( )= + ⋅ − = + − = −1

1 2→

060

059

14 2 3 0 73

2x y y x− − = = −→

y x x x x x x' = − + + − ⋅ = − −( )( ) ( )2 1 2 1 2 6 2 12 2

058

y xx

x x x' = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + ⋅ = −2

3

1

2

1

32 2

y xx= −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

2

3

1

2057

056


453



c) y' = 6(3x − 5)5 ⋅ 3 = 18(3x − 5)5



Determina la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntosindicados.

a) en x = 5

b) y = sen (2x + π) en x = 0

c) en x = π


La ecuación de la recta normal es: y − 4 = −4(x − 5) → y = −4x + 16

La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = −2(x − 0) → y = −2x



La ecuación de la recta normal es: y − 0 = 2(x − π) → y = 2x − 2π

Obtén las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 + 3x2 + 3x + 4, que son paralelas a la recta de ecuación 6x − 2y + 1 = 0.

Esta recta y las rectas tangentes son paralelas si sus pendientes son iguales.

y' = 3x 2 + 6x + 3

Si x = 0, la ecuación de la recta tangente es: y − 4 = 3(x − 0) → y = 3x + 4

Si x = −2, la ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 3(x + 2) → y = 3x + 8

3 6 3 3 2 0 02

2 2x x x xxx

+ + = + = == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →

6 2 1 0 31

2x y y x− + = = +→

063

y x y x− = − − = − +01

2

1

2 2( )π

π→

c) y tgx

' = +−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

2

1

22 π

y x y x− = − =01

20

1

2( ) →

b) y cos x' = + ⋅( )2 2π

y x y x− = − = +41

45

1

4

11

4( ) →

a) y xx

' = + ⋅ =+

−1

22 6 2

1

2 6

1

2( )

y tgx= −π

2

y x= +2 6

062

y x y x− = − − = − +11

182

1

18

10

9( ) →

y x y x− = − + = − −01

42

1

4

1

2( ) →

b) y x x xx

' = + + ⋅+

2 31

32ln ( )

10SOLUCIONARIO

454


Halla los puntos en los que la función y = x3 + 4x2 + 2x + 1 tiene rectas tangentesde pendiente −2. Determina también la ecuación de dichas rectas tangentes.

y' = 3x2 + 8x + 2

Si , la ecuación de la recta tangente es:

Si x = −2, la ecuación de la recta tangente es:

y − 5 = −2(x + 2) → y = −2x + 1

Aplica las reglas de derivación a la función y = x3 − 3x2 + 2x − 5 para calcular:

a) La función derivada.

b) La derivada en los puntos de abscisa −1, 0 y 3.

c) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 3.

a) f ' (x) = 3x2 − 6x + 2

b) f ' (−1) = 11f ' (0) = 2f ' (3) = 11

c) y − 1 = 11(x − 3) → y = 11x − 32

Emplea las reglas de derivación para calcular la función derivada de: f (x) = (2x + 3)(x − 2)

A partir del resultado obtenido, determina:

a) f' (2) f' (−2)

b) La ecuación de la recta tangente en el punto x = −2.

c) La ecuación de la recta tangente en el punto x = 2.

b) y − 4 = −9(x + 2) → y = −9x − 26

c) y − 0 = 1(x − 2) → y = x − 2

a) f

f

f

f

'

'

'

'

( )

( )

2 7

3

27

2 9

1

3

=

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

− = −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3

f x x x x' ( ) ( ) ( )= − + + ⋅ = −2 2 2 3 1 4 1

f'1

3

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟f' −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

3

2

066

065

y x y x− = − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − −

31

272

2

32

5

27→

x = −2

3

3 8 2 2 3 8 4 02

32

2 2x x x x x

x+ + = − + + = = −

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→ →

064

455

Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de las siguientesfunciones.

a) y = x3 − 2x2 + 5x − 6 c) y = 2x

b) y = log3 x d)

Utiliza las reglas de derivación para hallar la función derivada de estas funciones.

a) c) e)

b) y = 42x d) f ) y = (6x)4

Halla la derivada de estas operaciones de funciones.

a) y = (x − 2)(x2 + 3x) e) y = ln x + ex

b) f )

c) y = x2 log x − 1 g) y = x2 ⋅ 2x

d) h)

h) yx x

x x' =

− − + ⋅−

= −−

3 2 1 3 4 2

2 1

11

2 12 2

( ) ( )

( ) ( )

g) y x xx x' = ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2 22 ln

f) y x x x x' = ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅ + ⋅ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

− −1

3

1

2

2

3 31

2

⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= + =+

=x

x

x

x

x x

x x3 2

2 3

6

5

623

3

76 6

e) yx

e x' = +1

d) yx x

' =− ⋅

−= −

−8 2

2 1

16

2 12 2( ) ( )

c) y x x xx

x xx

' = + ⋅ = +21

102

102log

lnlog

ln

b) y x xx x

' = ⋅ − ⋅ = −− −1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

2

323

a) y x x x x x x' = ⋅ + + − + = + −1 3 2 2 3 3 2 62 2( ) ( )( )

yx

x= +

−3 4

2 1y

x=

−8

2 1

y x x= 3y x x= − 3

069

f ) y x x' = ⋅ =4 6 6 24 63 3( ) ( )c) yx

' =−2 3

2

e) y' =2

7b) y x' = ⋅ ⋅4 4 22 ln

d) yx

x x' =

−= −

4 43

4 2 5( )a) y x

x' = ⋅ =

−1

5

1

5

4

545

yx

= 14

yx= +2 5

7y

x x= − +2 3 8

2y x= 5

068

d) y x xx

x

x

x' = ⋅ = =

−1

26 30

15

6

15

6

51

2 44

5

2

( )b) yx

' =1

3ln

c) y x' = ⋅2 2lna) y x x' = − +3 4 52

y x= 6 5

067

10SOLUCIONARIO

456

Calcula la derivada de las siguientes operaciones de funciones.

a) d)

b) e) y = 5e x − 3x

c) y = (x 2 + 2) log2 x f )

Deriva las siguientes funciones trigonométricas.

a) y = sen x cos x d) y = x tg x

b) e) y = x arc cos x

c) y = sec x cosec x f )

f ) ytg x

tg x' = −

+1 2

2

e) y arc cos x xx

arc cos x' = ⋅ + ⋅ −−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −1

1

1 2

xx

x1 2−

d) y tg x x tg x x tg x x tg x' = ⋅ + ⋅ + = + +1 1 2 2( )

c) ysen x

cos xcosec x sec x

cos x

sen x' = ⋅ + ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜2 2

⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= −1 12 2cos x sen x

b) ysen x x cos x x

x

x sen x cos x

x' =

− ⋅ − ⋅=

− −2

4 3

2 2

a) y cos x sen x' = −2 2

ytg x

= 1

ycos x

x=

2

071

f) yx x x

x

x x

x' =

− − ⋅−

=−−

4 1 1

1

3 4

1

3 4

2

4 3

2

( )

( ) ( )

e) y e x x' = − ⋅5 3 3ln

d) y xe x e

e

x x

xe

x x

x x' =

⋅ − ⋅=

−1

12

ln

( )

ln

c) y x x xx

x xx

x' = ⋅ + + ⋅ = +

+2 2

1

22

2

22

22

2

log ( )ln

logln

b) yx x x

x

xx

xx

x

x x' =

⋅ − −=

−−

=+

−1 8

1

2

8

2 8

2

1

2

2

( )

( )

a) y xe x e

e

x x

xe

x x

x x' =

⋅ − +=

− +1

4 1 42

(ln )

( )

(ln )

yx

x=

−

4

1

yx

x= −8

yx

e x= +ln

4yx

e x= +ln 4

070


457

Calcula la derivada de las siguientes operaciones donde intervienen funcionestrigonométricas.

a) y = 2x + arc sen x + arc cos x

b) y = (1 + x2) arc tg x

c) y = ln x ⋅ tg x

d) y = ex sen x

e)

Determina las derivadas que se indican.

a) f (x) = ln x f'' (x) y f''' (x)

b) f (x) = x5 f' (x) y f'' (x)

c) f (x) = x5 − 3x4 f''' (x) y f IV(x)

Calcula las seis primeras derivadas de las funciones y = sen x e y = cos x.

Halla el valor de k para que la función cumpla que f' (−1) = 19.

f xk x kx

x

k

x' ( )

( ) ( )

( ) ( )=

⋅ + − − ⋅+

=++

2 3 5 2

2 3

3 10

2 32 2

ff k k' ( )− = + = =1 3 10 19 3→

f xkx

x( ) = −

+5

2 3075

y cos x y sen x y cos x y sen x y cos x= = − = − = =→ → → →→

' " '" IV

yy sen x y cos xV VI= − = −→

y sen x y cos x y sen x y cos x y sen x= = = − = − =→ → → →→

' " '" IV

yy cos x y sen xV VI= = −→

074

c) f x x x f x x x f x x' " '"( ) ( ) ( )= − = − =5 12 20 36 604 3 3 2→ → 22 72120 72

−= −

xf x x→ IV ( )

b) f x x f x x' "( ) ( )= =5 204 3→

a) f xx

f xx

f xx

' " '"( ) ( ) ( )= = − =1 1 2

2 3→ →

073

e) ysen x x cos x

x

x sen x c' =

− − − ⋅ −−

=− +( ) ( )

( )

( )2 1

2

22

oos x

x( )2 2−

d) y e sen x e cos x e sen x cos xx x x' = ⋅ + ⋅ = +( )

c) yx

tg x x tg x' = ⋅ + ⋅ +1

1 2ln ( )

b) y x arc tg x xx

x arc tg x' = ⋅ + + ⋅+

= +2 11

11 22

2( )

a) yx x

' = +−

−−

=21

1

1

12

2 2

ycos x

x=

−2

072

10SOLUCIONARIO

458

Escribe las funciones que componen las siguientes funciones y halla la derivadaen cada caso.

a) y = log3 (2x + 1) e) y = 23x−4

b) y = (3x 2 − 3x + 1)4 f )

c) g) y = cos ln x

d) y = arc tg e x h) y = 3cos x

Calcula la función derivada de estas funciones, aplicando la regla de la cadena.

a) y = ln (x2 − 5x) c)

b) y = 23x−5 d)

d) y xx x x

' = ⋅ = ⋅−1

2

1

3

1

2

1

33

1

2

3

(log )ln log ln

c) y x x xx

x x' = + ⋅ + =

+

+

−1

22 1

2 1

22

1

22

( ) ( )

b) y x' = ⋅ ⋅−2 2 33 5 ln

a) yx x

xx

x x' =

−⋅ − =

−−

1

52 5

2 5

52 2( )

y x= log3

y x x= +2

077

h) yf x g x cos xy sen x

x

cos x

( ) ( )ln ( )

= == ⋅ ⋅ −

33 3'

g) yf x cos x g x x

y sen xx

sen x

x

( ) ( ) ln

lnln

= =

= − ⋅ = −'1

f ) yf x x g x x

y x xx

x

( ) ( )

( )(

= = −

= − ⋅ =−

−

4 2

23

4

2

1

1

41 2

2'

11 34 )

e) yf x g x xy

x

x

( ) ( )ln

= = −= ⋅ ⋅−

2 3 42 2 33 4'

d) yf x arc tg x g x e

ye

ee

e

x

x

xx

x

( ) ( )

( )

= =

=+

⋅ =+

'1

1 12 2

c) yf x sen x g x x

y cos x xcos x

x

( ) ( )= =

= ⋅ =−

'1

2 2

1

2

b) yf x x g x x xy x x x( ) ( )

( ) (= = − +

= − + −

4 2

2 3

3 3 14 3 3 1 6 3' ))

a) yf x x g x x

yx x

( ) log ( )

( ) ln (

= = +

=+

⋅ =+

3 2 11

2 1 32

2

2'

11 3) ln

y sen x=y x= −24 1

076


459

10SOLUCIONARIO

Aplica la regla de la cadena para determinar la función derivada de estas funciones.

a) y = ln tg x f ) y = tg ln x

b) g)

c) y = log2 x2 h) y = log22 x

d) y = sen (cos x) i) y = cos (sen x)

e) y = arc tg x2 j) y = arc tg2 x

Halla los coeficientes y exponentes desconocidos para que se verifique que las funciones y sus derivadas se corresponden.

a) f (x) = x3 + ax2 + bx + 6 f' (x) = 3x2 + 4x −3

b) g (x) = a ln x + bx

c)

d)

a) a = 2, b = −3

b) a = 3, b = −5

c) a = 2, b = 1

d) b = 3

i xxb

'( ) = 2

3i x

x

xb( ) =

h x ax x

x'( ) = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

ln 2 12

h xa

x

x

b( ) =

g xx

'( ) = −3

5

079

j) y arc tg xx

' = ⋅+

21

1 2

i) y sen sen x cos x' = − ⋅( )

h) y xx

' = ⋅⋅

21

22log

ln

g) y sen x xsen x

x' = −( )⋅ = −

−1

2 2

1

2

f) y tg xx

' = + ⋅( ln )112

e) yx

xx

x' =

+⋅ =

+1

12

2

12 2 4( )

d) y cos cos x sen x' = ⋅ −( ) ( )

c) yx

xx

' =⋅

⋅ =1

22

2

22 ln ln

b) y cos x sen xsen x

cos x' = ⋅ − = −

−1

2 2

1

2( ) ( )

a) ytg x

tg x' = ⋅ +1

1 2( )

y cos x=y cos x=

078

460


Deriva las siguientes funciones.

a) y = x2 ⋅ 2x2d)

b) y = 5x ln x e) y = ln (xex)

c) f ) y = ln x ⋅ ex

Halla la derivada de estas funciones.

a) y = (2x + 1)3 ⋅ 3x d)

b) e)

c) f )

f) y x

x x

xx

x

x xx' = +

⋅ ⋅ ⋅= + = +

−

2

31

23

29

22

93

1

2 2

3

2

3 3

( )

22 2x x

e) y

x x x x x

x

x x'

( )(

=⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅

=− −

−1

23 2 3 3

32

1

2 3 2 2

6

2 2 33

3

2 9

34 2

2

4 2

)

x x

x

x x−=

− +

−

d) ye x e

e

x

e

x x

x x' =

⋅ − − ⋅=

−2 2 3 5 22

( )

c) y

x x x x x

x

x x x' =

⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅=

−

−2 3

1

23

4 33 2 3

1

2 2

3

3( ) ( )

( 22

2 3

2

2

3

2

9

2

−=

+)

x x

x

x x

b) yx

x

x x x' = ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅⋅ − − ⋅

−1

2

3 2 32

3

1

2 3 2( ) 33 9

2 3

2

6

2

4

3

2

x

x

x

x

x

x=

− +⋅

−

a) y x x xx x' = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = + +3 2 1 2 3 2 1 3 3 6 2 12 3( ) ( ) ln [ ( ) lln ] ( )3 2 1 32⋅ + ⋅x x

y xx

= −2

3

3y

x

x= −2

3

3

yx

x= −2

3

3yx

x= −2

3

3

yx

e x= −2 3

081

f) yx

e x ex x' = ⋅ + ⋅1

ln

e) yxe

e xex

xx

x x' = ⋅ + =+1 1

( )

d) y

ex

x e

x

x x

' =⋅ ⋅ − ⋅

=

ln ln11

02

c) y e xx x

xe

x

x

x

x

x

x' = ⋅⋅ − ⋅

= ⋅−ln lnln

ln1

11

2 2

b) y x xx

x x x x' = ⋅ ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅5 5

15ln lnln ln ln 55 1⋅ +(ln )x

a) y x x x x xx x x' = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ++2 2 2 2 2 2 22 2 22 1 3ln ( ln )

y ex

x=ln

ye

x

x

=ln

080

461

10SOLUCIONARIO

Calcula la derivada de estas funciones trigonométricas.

a) e)

b) f )

c) g)

d) h)

Decide si la siguiente función es continua y derivable en todo su dominio. Si en algún punto no es continua o derivable, razónalo.

La función es continua en � y es derivable en � − {−3, 2}, porque en los puntos x = −3 y x = 2 la gráfica presenta «picos», es decir, en estos puntos no puededeterminarse una tangente a la función, ya que las pendientes en los puntos que están a su izquierda y a su derecha tienen distinto signo.

Y

X

1

1

083

h) y arc tg x xx

x arc tg xx

' = ⋅ + ⋅+ ( )

⋅ = ++

−1

1

1

1

2 2 12

1

2

( xx x)

g) ysen cos x x cos cos x sen x

sen cos x' =

⋅ − −12

( ) ( ) ( )

( ))

( ) ( )

( )=

+ ⋅sen cos x x cos cos x sen x

sen cos x2

f) ycos x cos x sen x sen x

cos x

cos x sen x' =

⋅ − −=

+( )2

2 2

ccos x cos x2 2

1=

e) y cosx

cos x

cos x x sen x

cos x' = ⋅

+2

d) y senx x

x c' = − ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅ +

1 12

oosx

senx x

cosx

11

1 1 1⋅ = ⋅ +

c) ysen x

cos x

sen x

cos x' = −

−=

2 2

b) ysen x x cos x

x

x sen x cos x

x' =

− ⋅ − ⋅=

− −12 2

a) y senx x

senx x

' = − ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅

1 1 1 12 2

y x arc tg x=y cosx

x=⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

yx

sen cos x=y

cos x= 1

ysen x

cos x=y

cos x

x=

y senx

cos x=y cos

x= 1

082

462

Dibuja una función continua que no sea derivable en el punto de abscisa x = 4, que en el resto del dominio sea derivable y que su derivada se anule si x es mayor o igual que 4.

Respuesta abierta.

Estudia si las siguientes funciones son continuas y derivables en los puntos en los que la función cambia su expresión algebraica.

a) b)

a) f (2) = 13

es continua en x = 2.

La función no es derivable en x = 2, porque los valores no coinciden.

b) g(−1) = −5

es continua en x = −1.

La función es derivable en x = −1.gg''( )( )− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

+1 41 4

→

g xx xx x

'( ) = + < −+ > −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 6 14 8 1

sisi

g lim g x g xx

( ) ( ) ( )− =−

11→

→

lim g x lim x x

lim g xx x

x

→ →

→

− −

−

− −

+

= + = −1 1

2

1

6 5( ) ( )

( ) == + + = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃−

−+

lim x xlim g

xx

→→

→1

2 12 8 1 5( )(xx) = −5

f

f

'

'

( )

( )

2 4

229

2

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

→

f xx

x x' ( ) =

<

− >

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

4 2

83

22

si

si

f lim f x f xx

( ) ( ) ( )22

=→

→

lim f x lim x

lim f x lim

x x

x

→ →

→

2 2

2

4 5 13− −

+

= + =

=

( ) ( )

( )xx

xx xlim

→

→2

243

213

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

∃→→2

13f x( ) =

g xx x x

x x x( ) = + <−

+ + ≥−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2

2

6 12 8 1 1

sisif x

x x

x x x( ) =

+ <

− ≥

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

4 5 2

4 32

22

si

si

085

Y

X

1

2

f (x)

084


463

¿Son continuas y derivables las funciones en todos los puntos de su dominio?

a) y = ⏐x2 − 4⏐

b) y = ⏐x2 + 1⏐

Si x ∈ � − {−2, 2}, la función es continua. Se estudian los puntos en los que la función cambia de expresión:

f (−2) = 0

f (x) es continua en x = −2.

f(2) = 0

f (x) es continua en x = 2.

Por tanto, la función es continua en �.

Si x ∈ � − {−2, 2}, la función es derivable. Se estudian los puntos en los que la derivada cambia de expresión:

La función no es derivable en x = −2, porque los valores no coinciden.


Por ser polinómica, la función es continua y derivable en �.

b) g x x x( ) = + = +⏐ ⏐2 21 1

ff''( )( )2 42 4

−

+= −=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

ff''( )( )− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

+2 42 4

f xx xx xx x

' ( ) =< −

− − < <>

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

2 22 2 22 2

sisisi

f lim f xx

( ) ( )22

=→

lim f x lim x

lim f x limx x

x

→ →

→

2 2

2

2

4 0− −

+

= − + =

=

( ) ( )

( )xx

xxlim f x

→→

→2

2 24 00

+− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃ =( )

( )

f lim f xx

( ) ( )− =−

22→

lim f x lim x

lim f x lx x

x

→ →

→

− −

−

− −

+

= − =

=2 2

2

2

4 0( ) ( )

( ) iim xlim f x

x

x

→−−

+− + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃ =2

2 24 00

( )( )→

→

a)sisisi

f xx x

x xx x

( ) =− ≤ −

− + − < <− ≥

⎧

⎨⎪⎪

2

2

2

4 24 2 24 2

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

086

10SOLUCIONARIO

464

Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones.

a) b)

a) Si x ∈ � − {−2}, la función es continua. Se estudia el punto en el que la funcióncambia de expresión:

f(−2) = 14

es continua en x = −2.


Si x ∈ � − {−2}, la función es derivable. Se estudia el punto en el que la derivada cambia de expresión:

La función no es derivable en x = −2, porque los valoresno coinciden.

b) Si x ∈ � − {3, 5}, la función es continua. Se estudian los puntos en los que la función cambia de expresión:

h(3) = 6


h(5) = 30



Si x ∈ � − {3, 5}, la función es derivable. Se estudian los puntos en los que la derivada cambia de expresión:

La función es derivable en x = 3.


Luego la función es derivable en x ∈ � − {5}.

ff''( )( ) ln5 165 32 2

−

+== −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→

ff''( )( )3 83 8

−

+==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→

h xx xx x

xx

'( )ln

=+ <− < <

− ⋅ >

⎧

⎨−

2 2 34 4 3 5

2 2 510

sisisi

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

h lim h x h xx

( ) ( ) ( )55

=→

→

lim h x lim x x

lim h x lx x

x

→ →

→

5 5

2

5

2 4 30− −

+

= − =

=

( ) ( )

( ) iimlim h x

x

x x→

−+

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃ =5

10 52 2 3030

( )( )→

→

h lim h x h xx

( ) ( ) ( )33

=→

→

lim h x lim x x

lim h xx x

x

→ →

→

3 3

2

3

2 9 6− −

+

= + − =

=

( ) ( )

( ) liimx

xx xlim h x

→→

→3

2 32 4 66

+− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃ =( )

( )

ff''( )( )− = −− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

+2 92 14

→

f xx xx x

'( ) = − < −− > −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 5 26 2 2

sisi

f lim f x f xx

( ) ( ) ( )− =−

22→

→

lim f x lim x x

lim f xx x

x

→ →

→

− −

−

− −

+

= − =2 2

2

2

5 14( ) ( )

( ) == − − =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

∃−

−+

lim x xlim f

xx

→→

→2

2 23 2 2 14( )(xx) = 14

h xx x x

x x xxx

( ) =+ − <− ≤ <

− ≥

⎧

−

2

2

10

2 9 32 4 3 52 2 5

sisisi

⎨⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

f xx x x

x x x( ) = − <−

− − ≥−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2

2

5 23 2 2 2

sisi

087


465

10SOLUCIONARIO

Decide si estas funciones crecen o decrecen en los puntos que se indican.

a) y = −2x3 + 3x2 − x + 1En x = 1

b)

En x = −2

c) y = 2x + 3 ln x − 8En x = 4

d)En x = 9

a) f ' (x) = −6x2 + 6x − 1

f ' (1) = −1 < 0 → La función es decreciente en x = 1.

La función es creciente en x = −2.

La función es creciente en x = 4.

La función es creciente en x = 9.

Determina los puntos de las gráficas de estas funciones cuya tangente es horizontal.

a) y = 3x2 − 15x + 13

b) y = 2x3 + 3x2 − 36x + 8

c) y = 2x3 + 3x2 + 6x − 12

d)

e)

La tangente es horizontal si la pendiente es igual a cero.

b) y x x

x x x xxx

' = + −

+ − = + − = == −

⎧6 6 36

6 6 36 0 6 0 23

2

2 2→ → ⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) y x

x x

' = −

− = =

6 15

6 15 05

2→

yx

x= +

−2

2

yx x

x= + +

+

2 2 2

1

089

f' ( )95

20= > →

d) f xx

'( ) = +23

2

f' ( ) ln4 16 23

40= + > →

c) f xx

x'( ) ln= ⋅ +2 23

f'( )− = >27

40 →

b) f xx x x x

x

x x

x'( )

( ) ( )=

− − − +=

− −4 3 2 3 1 2 12

2

2

2

y x x= +2 3

yx x

x= − +2 3 12

088

466

La ecuación no tiene solución, por lo que no hay puntos que tengan tangentehorizontal.

La ecuación no tiene solución, y no hay puntos que tengan tangentehorizontal.

¿En qué puntos de las gráficas de estas funciones es horizontal la tangente? Decide si son máximos o mínimos.

a)

b)

c)

d)

tiene un mínimo.

tiene un máximo.

tiene un mínimo.

tiene un máximo.f x"( )4 1 0 1= − < =→ Enf x" ( )0 1 0 1= > = −→ En

b) f xx x x

x

x x

xx

' ( )( ) ( )

( ) ( )=

− − −−

=−−

−

2 2 1

2

4

24

2

2

2

2

xx

xx x

xx

f x

2

2

2

20 4 0 4

0

8

2

( )

( )(

−= − = =

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

=−

→ →

"xx)3

f x"( )0 2 0 0= − < =→ En

f x"( )2 2 0 2= > =→ En

a) f xx x x x

x

x x

x' ( )

( )( ) ( )

( ) (=

− − − − +−

=−2 3 1 3 3

1

22

2

2

−−−−

= − = ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

12

10 2 0 0

2

2

2

2

2

)

( )

(

x x

xx x

xx

f

→ →

" xxx

)( )

=−2

1 3

yx

x=

+

3

2 4

yx

x= +2 9

yx

x=

−

2

2

yx x

x= − +

−

2 3 3

1

090

e) yx x

x x

x

' =− − +

−=

−−

−−

= − =

2 2

2

4

24

20 4

2 2

2

( )

( ) ( )

( )→ 00

d) yx x x x

x

x x

x' =

+ + − + ++

=++

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 1 2 2

1

2

1

2

2

2

22

2

2

22

10 2 0 0

2x x

xx x

xx

++

= + = == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪( )

→ →

c) y x xx x x x' = + +

+ + = + + =6 6 6

6 6 6 0 1 0

2

2 2→


467

tiene un máximo.

tiene un mínimo.

no tiene un máximo ni un mínimo.

Sea la función f (x) = 4x3 + 15x2 − 18x + 10.

a) Determina los máximos y mínimos de la función.

b) Calcula .

c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.

tiene un mínimo.

tiene un máximo.

Y

X1

20

f (x)

c)

b) lim f x

lim f xx

x

→

→

−

+

= −

= +�

�

�

�

( )

( )

f x"( )− = − < = −3 42 0 3→ En

f x"1

242 0

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = > =→ En

a) f x x x

x x x x

'( ) = + −

+ − = + − =

12 30 18

12 30 18 0 2 5 3

2

2 2 2→ 001

23

24 30

→ x

xf x x

=

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

= +" ( )

lim f x lim f xx x→ →− +� �

( ) ( )y

091

f x"( )0 0 0= =→ En

d) f xx x x x

x

x x

x' ( )

( )

( ) (=

⋅ + − ⋅+

=++

3 4 2

4

122 2 3

2 2

4 2

2 4412

40 12 0 0

4

2

4 2

2 2

4 2

)

( )

( )(

x x

xx x x

f xx

++

= + = =

=

→ →

"33 2 2 4 2 2

2 4

24 4 12 2 4 2

4

+ + − + ⋅ + ⋅+

=x x x x x x

x

)( ) ( ) ( )

( )

996 8

4

3

2 3

x x

x

−+( )

f x" ( )32

30 3= > =→ En

f x"( )− = − < = −32

30 3→ En

c) f xx x x

x

x

xx

xx

'( )( )

=⋅ − +

=−

−= − =

2 9 9

90 9 0

2

2

2

2

2

2

2→ →→ x

f xx x x x

x x

= ±

=⋅ − − ⋅

=

3

2 9 2 182 2

4 3"( )

( )

10SOLUCIONARIO

468


Sea la función .

a) Encuentra los máximos y mínimos de la función.

b) Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas.

c) Construye un esbozo de la gráfica de la función.

tiene un mínimo.

no tiene un máximo ni un mínimo.

tiene un máximo.

b) Dom f = � − {−1, 1}

es una asíntota vertical.


No hay asíntota horizontal.

Asíntota oblicua: y = −x

Si Cuando x tiende a +�, la función está por debajo de la asíntota.

Si Cuando x tiende a −�, la función está por encima de la asíntota.

Y

X2

1

f (x)

c)

x f x x= − − − >1 000 0. ( ) ( )→ →

x f x x= − − <1 000 0. ( ) ( )→ →

m limf x

xlim

x

x x

n lim f

x x

x

= =−

= −

=

+ +

+

→ →

→

� �

�

( )

[ (

3

31

xx mx limx

xx lim

x x) ]− =

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+ +→ →� �

3

21

xx x x

x

3 3

210

+ −−

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

lim f xx →

→+

= −�

�( )

lim f x

lim f xxx

x

→

→

→1

1

1−

+

= +

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=( )

( )

�

�

lim f x

lim f xxx

x

→

→

→−

−

−

+

= +

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −1

1

( )

( )

�

�11

f x''( )33 3

20 3= − < =→ En

f x"( )0 0 0= =→ En

f x" −( ) = > = −33 3

20 3→ En

a) f xx x x x

x

x x' ( )

( ) ( )

( ) (=

⋅ − − −−

=−

−3 1 2

1

3

1

2 2 3

2 2

2 4

xxx x

xx x

x

x

2 2

2 4

2 2

2 43

10 3 0

03

)

( )

−−

= − === ±

⎧⎨⎪⎪⎩⎪

→ →⎪⎪

=− − − − ⋅ − −

f xx x x x x x

"( )( )( ) ( ) ( )(6 4 1 3 2 1 23 2 2 2 4 2 xx

x

x x

x

)

( ) ( )1

6 2

12 4

3

2 3−=

+−

f xx

x( ) =

−

3

21092

469

10SOLUCIONARIO

Halla los máximos y mínimos de la función:

Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas.Haz también un esbozo de la gráfica de la función.

No hay máximos ni mínimos, f ' (x) < 0 → La función es decreciente.

Dom f = � − {4}


es una asíntota horizontal.

Si x = 1.000 → f (x) > 1 Cuando x tiende a +�, la función está por encima de la asíntota.

Si x = −1.000 → f (x) < 1Cuando x tiende a −�, la función está por debajo de la asíntota.

Obtén los vértices de las siguientes parábolas, teniendo en cuenta que la tangente es horizontal en ellos.

a) y = 3x2 − 6x + 1

b) y = 3x2 + x + 9

Representa una función continua y derivable cuya derivada se anule en los puntos(−1, 4) y (2, −3), y que cumplan estas condiciones.

Respuesta abierta.

Y

X

1

1

f (x)

lim f xx →+

= +�

�( )lim f xx →−

= −�

�( )

095

b) y x

x x V

' = +

+ = = − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6 1

6 1 01

6

1

6

107

12→ → ,

a) y xx x V' = −

− = = −6 6

6 6 0 1 1 2→ → ( , )

094

Y

X

2

2

f (x)lim f x y

x→+= =

�( ) 1 1→

lim f x

lim f xxx

x

→

→

→4

4

4−

+

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=( )

( )

�

�

f xx x

x x' ( )

( )

( ) ( )=

⋅ − −−

=−−

1 4

4

4

42 2

f xx

x( ) =

−4093

470

Dada la función y = x3 + 6x2 − 36x + 29, resuelve.

a) Determina su dominio.

b) Halla sus asíntotas.

c) ¿Tiene puntos de corte con los ejes? ¿Cuáles son?

d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

e) Halla los máximos y mínimos.

f ) Representa la función.

a) Dom f = �

b)



c) Si x = 0 → y = 29

f (x) es creciente en (−�, −6) ∪ (2, +�).

f (x) es decreciente en (−6, 2).

e) Mínimo: (2, −11)

Máximo: (−6, 245)

Y

X3

50

f (x)

f )

f ' (−7) > 0

−7 −6 2 30

f ' (0) < 0 f ' (3) > 0

d) f x x x

x x x xx

'( ) = + −

+ − = + − =

3 12 36

3 12 36 0 4 12 0

2

2 2→ → === −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

26x

Si y x x x x x xx

= + − + = − + − ==

0 6 36 29 0 1 7 29 01

3 2 2→ →

→

( )( )

xx =− ±

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

7 165

2

limf x

xx →+= +

��

( )

lim f xx →+

= +�

�( )

096


471

10SOLUCIONARIO

Estudia y representa las funciones polinómicas.

a) y = 3x 4 − 4x 3 − 36x 2 + 10

b) y = x 3 − 6x2 + 12x − 5

c) y = 3x 4 − 4x 3 − 48x 2 + 144x + 212

a) Dom f = �

La función no tiene asíntotas.

f (x) es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +�) y es decreciente en (−�, −2) ∪ (0, 3).

Mínimos: (−2, −54) y (3, −179)

Máximo: (0, 10)

b) Dom f = �


f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en �.

f ' (2) = 0 → En x = 2 no tiene un máximo ni un mínimo.

f"(x) = 6x − 12.

f"(x) > 0 si x > 2 → f (x) es cóncava en (2, +�).

f"(x) < 0 si x < 2 → f(x) es convexa en (−�, 2).

Y

X1

1

f (x)

f x x xx x x x x'( )

(= − +

− + = − + = −3 12 12

3 12 12 0 4 4 0 2

2

2 2→ → ))2 0 2= =→ x

Y

X2

30f (x)

f ' (−3) < 0

−3 −2 −1 1 3 40

f ' (−1) > 0 f ' (1) < 0 f ' (4) > 0

f x x x x

x x x x x x

'( )

(

= − −

− − = − −

12 12 72

12 12 72 0 6

3 2

3 2 2→ )) ==== −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

003

2→

xxx

097

472

c) Dom f = �


f (x) es creciente en (−3, 2) ∪ (2, +�) y es decreciente en (−�, −3).

Mínimo: (−3, −301)

f"(x) > 0 si x > 2 → f (x) es cóncava en (2, +�).

Dada la función , resuelve.

a) Determina su dominio.

b) Halla sus asíntotas.

c) ¿Tiene puntos de corte con los ejes? ¿Cuáles son?

d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

e) Halla los máximos y mínimos.

f ) Representa la función.

a) Dom f = � − {−4}



Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.

limx

xy

x →→

+

−+

= =�

3 2

43 3

b) limx

x

limx

x

x

x

→

→

−

−

−

+

−+

= +

−+

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪4

4

3 2

43 2

4

�

�

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= −→ x 4

yx

x= −

+3 2

4098

Y

X1

300

f (x)

f x x f x" ( ) ( ) ,< < − − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠0

4

3

4

3si es convexa en→ � ⎟⎟⎟⎟⎟.

f x x f x" ( ) ( ) ,< − < < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞0

4

32

4

32si es convexa en→⎠⎠⎟⎟⎟⎟.

f x x x

x x x xx

" ( ) = − −

− − = − − =

36 24 96

36 24 96 0 3 2 8 0

2

2 2→ →==

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

24

3x

f ' (−4) < 0

−4 −3 0 2 3

f ' (0) > 0 f ' (3) > 0

f x x x x

x x x

' ( ) = − − +

− − + =

12 12 96 144

12 12 96 144 0

3 2

3 2 → xxx

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

32


473

10SOLUCIONARIO

c) Punto de corte con el eje X :

Punto de corte con el eje Y:

f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, −4) ∪ (−4, +�).

e) La función no tiene máximos ni mínimos.

Estudia y representa estas funciones racionales.

a) c)

b) d)

a) Dom f = � − {2}




Punto de corte con el eje X:


f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, 2) ∪ (2, +�).

f xx x

x x' ( )

( ) ( )

( ) ( )=

− − +−

=−−

5 2 5 1

2

11

22 2

01

2, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

50,

limx

xy

x →→

+

+−

= =�

5 1

25 5

limx

x

limx

x

x

x

→

→

2

2

5 1

25 1

2

−

+

+−

= −

+−

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪

�

�⎪⎪⎪⎪⎪

=→ x 2

yx x

x x= + −

+ −2 2 4

6

2

2y

x x

x= − +

−

2 2 1

3

yx

x=

−

2

2y

x

x= +

−5 1

2

099

Y

X2

2

f (x)

f )

d) f xx x

x x' ( )

( ) ( )

( ) ( )=

+ − −+

=+

3 4 3 2

4

14

42 2

01

2, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

30,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

474



b) Dom f = � − {3}



Punto de corte con el eje X: (1, 0)


f (x) es creciente en (−�, 1) ∪ (5, +�) y es decreciente en (1, 3) ∪ (3, 5).

Máximo: (1, 0) Mínimo: (5, 8)

Y

X6

3

f ' (2) < 0 f ' (4) < 0 f ' (6) > 0

0 1 2 3 4 5 6

f ' (0) > 0

f xx x x x

x

x x

x' ( )

( )( ) ( )

( ) (=

− − − − +−

=− +2 2 3 2 1

3

6 52

2

2

−−

− + = ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

3

6 5 0 15

2

2

)

x xxx

→

01

3, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

m limx x

x x

n limx x

x

x

x

=− +

−=

=− +

−−

+

+

→

→

�

�

2

2

2

2 1

31

2 1

3xx lim

x

xx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=+−

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪+→ �

1

31⎪⎪⎪

= +→ Asíntota oblicua: y x 1

limx x

xx →→

+

− +−

= +�

�2 2 1

3

limx x

x

limx x

x

x

x

→

→

3

2

3

2

2 1

32 1

3

−

+

− +−

= −

− +−

= +

⎫

⎬

⎪�

�

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=→ x 3

Y

X4

4

f (x)

475

c) Dom f = � − {2}



Punto de corte con los ejes: (0, 0)

f (x) es decreciente en (−�, 0) ∪ (4, +�) y es creciente en (0, 2) ∪ (2, 4).

Máximo: (4, −8) Mínimo: (0, 0)

d) Dom f = � − {−3, 2}





limx

x xy

x →→

+

+ −+ −

= =�

2 2 4

61 1

2

2

limx x

x x

limx x

x x

x

x

→

→

2

2

2

2

2

2

2 2 4

62 2 4

−

+

+ −+ −

= −

+ −+

�

−−= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=

6

2

�

→ x

limx x

x x

limx x

x

x

x

→

→

−

−

−

+

+ −+ −

= +

+ −

3

2

2

3

2

2

2 2 4

62 2 4

�

++ −= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= −

x

x

6

3

�

→

Y

X4

2

f ' (1) > 0 f ' (3) > 0 f ' (5) > 0

−1 0 1 2 3 4 5

f ' (−1) < 0

f xx x x

x

x x

x

x xx

' ( )( )

( ) ( )=

− +−

=−

−

− =

2 2

2

4

2

4 0

2

2

2

2

2 → ===

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

04x

m limx

x x

n limx

xx

x

x

=−

= −

=−

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

+

+

→

→

�

�

2

2

2

21

2⎟⎟⎟⎟⎟

=−

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪+lim

x

xx →

→

�

2

22

Asíntotta oblicua: y x= − − 2

limx

xx →→

+ −= +

��

2

2

limx

x

limx

x

x

x

→

→

2

2

2

22

2

−

+

−= +

−= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

�

�

→→ x = 2

10SOLUCIONARIO

476

Puntos de corte con el eje X: (1, 0) y (−2, 0)


f (x) es creciente en (−�, −3) ∪ y es decreciente en ∪ (2, +�).

Máximo:

Representa estas funciones racionales, analizando sus características.

a) d)

b) e)

c) f )

a) Dom f = � − {−1, 4}





limx

x xy

x →→

+ − −= =

� 2 3 40 0

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

4 2

4 2

3 4

3 4

−

+

− −= −

− −= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪�

�⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=→ x 4

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

−

−

−

+

− −= −

− −= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪1 2

1 2

3 4

3 4

�

�

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= −→ x 1

yx

x x= −

+ −3

1 1( )( )y

x

x x= +

− −5

3 42

yx

x x=

+ −2

62y

x x

x x= + +

+ +

2

2

2 3

2 1

yx x

x= + +2

2

4 2y

x

x x=

− −2 3 4

100

Y

X4

4

f (x)

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

2

18

25,

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

22,−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

1

2,

−4 −3 −1 0 2 3−

1

2

f ' (–4) > 0 f ' (−1) > 0 f ' (0) < 0 f ' (3) < 0

f xx

x x

x x

' ( )( )

=− −

+ −

− − = = −

16 8

6

16 8 01

2

2 2

→

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

1

2,


477


f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (−1, 4) ∪ (4, +�).


b) Dom f = � − {−1}





f ' (x) > 0 si x < −1 → f (x) es creciente en (−�, −1).

f ' (x) < 0 si x > −1 → f (x) es decreciente en (−1, +�).


Y

X1

1

f (x)

f xx x x x x x

x x' ( )

( )( ) ( )( )

(=

+ + + − + + ++

2 2 2 1 2 3 2 2

2

2 2

2 ++=

− −+ +

− − = = − ∉

1

4 4

2 1

4 4 0 1

2 2 2) ( )

x

x x

x x f→ Dom

limx x

x xy

x →→

+

+ ++ +

= =�

2

2

2 3

2 11 1

limx x

x x

limx x

x

x

x

→

→

−

−

−

+

+ ++ +

= +

+ ++

1

2

2

1

2

2

2 3

2 1

2 3

�

22 1

1

x

x

+= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= −

�

→

Y

X2

2

f (x)

f xx x x x

x x

x

x x' ( )

( )

( ) (=

− − − −− −

=− −−

2

2 2

2

2

3 4 2 3

3 4

4

3 −− 4 2)

10SOLUCIONARIO

478

c) Dom f = � − {−1, 4}





Punto de corte con el eje X: (−5, 0)


f (x) es creciente en (−11, −1) ∪ (− 1, 1) y es decreciente en (−�, −11) ∪ (1, 4) ∪ (4, +�).

Mínimo: Máximo: (1, −1)

d) Dom f = � − {0}




limx x

xy

x →→

+

+ += =

�

2

2

4 21 1

limx x

x

limx x

x

x

x

→0

2

2

0

2

2

4 2

4 2

−

+

+ += +

+ += +

⎫

⎬

⎪⎪⎪

→

�

�

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=→ x 0

Y

X6

2

f (x)

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟11

1

25,

f ' (−2) > 0 f ' (0) > 0

f ' (3) < 0

f ' (5) < 0

−12 −11 −2 −1 0 1 4 5

f ' (−12) < 0

3

f xx x x x

x x

x x' ( )

( )( )

( )=

− − − + −− −

=− −2

2 2

23 4 5 2 3

3 4

10 ++− −

− − +− −

= − −

11

3 4

10 11

3 40 10

2 2

2

2 2

2

( )

( )

x x

x x

x xx→ xx

xx

+ = = −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

11 0 111

→

05

4, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

limx

x xy

x →→

+

+− −

= =�

5

3 40 0

2

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

4 2

4 2

5

3 45

3 4

−

+

+− −

= −

+− −

= +

⎫

⎬

⎪�

�

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=→ x 4

limx

x

x

x x

limx

x x

→

→

−

−

−

+

+− −

= +

+− −

= −

⎫1 2

1 2

5

3 45

3 4

�

�

⎬⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= −→ x 1


479

Puntos de corte con el eje X:

f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (0, +�) y es creciente en (−1, 0).

Mínimo: (−1, 1)

e) Dom f = � − {−3, 2}






f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, −3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, +�).

La función no tiene máximos ni mínimos.Y

X1

1

f (x)

f xx x x x

x x

x

x' ( )

( ) ( )

( ) (=

+ − − ++ −

=− −2 6 2 2 1

6

2 122

2 2

2

22 26+ −x )

limx

x xy

x →→

+ + −= =

�

2

60 0

2

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

2 2

2 2

2

62

6

−

+

+ −= −

+ −= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪�

�⎭⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=→ x 2

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

−

−

−

+

+ −= −

+ −= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪3 2

3 2

2

62

6

�

�

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= −→ x 3

Y

X1

1

f (x)

f ' (−0,5) > 0 f ' (1) < 0

−2 −1 −0,5 0 1

f ' (−2) < 0

f xx x x x x

x

x

x' ( )

( ) ( )

( )=

+ ⋅ − + + ⋅=

− −

−

2 4 4 2 2 4 4

4

2 2

2 2 3

xx x− = = −4 0 1→

− −( ) −( )2 2 0 2 2 0, ,y

10SOLUCIONARIO

480

f ) Dom f = � − {−1, 1}





Punto de corte con el eje X: (3, 0)


f (x) es decreciente en

y es creciente en .

Máximo: Mínimo:

Calcula la tasa de variación media de la función f (x) = 2x2 − 2x + 3 en el intervalo [1, 1 + h].

a) Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media en los intervalos [1, 3], [1, 5] y [1, 8].

b) Calcula el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación media en el intervalo [1, 1 + h], y comprueba que equivale a f' (1).

101

Y

X1

1 f (x)

3 2 23 2 2

2−

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

,3 2 23 2 2

2+

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

,

3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,

( , ) , ,− − ∪ − −( ) ∪ + +( )� �1 1 3 2 2 3 2 2

f ' (6) < 0

−2 −1 0,5 1 2 6

f ' (−2) < 0 f ' (0) < 0 f ' (0,5) f ' (2) < 0

3 2 2−

3 2 2+0

f xx x x

x

x x

x' ( )

( )

( ) ( )=

− − − ⋅−

=− + −

−−

2

2 2

2

2 2

1 3 2

1

6 1

1

xx x

xx x x

2

2 2

26 1

10 6 1 0 3 2 2

+ −−

= − + − = ⇒ = ±( )

→

limx

x xy

x →→

+

−+ −

= =�

3

1 10 0

( )( )

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

1

1

3

1 13

1 1

−

+

−+ −

= +

−+ −

( )( )

( )( )

�

== −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=�

→ x 1

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

−

−

−

+

−+ −

= −

−+ −

1

1

3

1 13

1

( )( )

( )(

�

11

1

)= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= −�

→ x


481

a) T.V.M. ([1, 3]) = 2 · 2 + 2 = 6

T.V.M. ([1, 5]) = 2 · 4 + 2 = 10

T.V.M. ([1, 8]) = 2 · 7 + 2 = 16

A partir de la definición, halla la función derivada de estas funciones.

a) b)

Las siguientes funciones se pueden expresar como composición de otras funcionesmás sencillas. Halla sus funciones derivadas de dos modos diferentes, y compara los resultados que obtienes.

a) y = 23x+5 b) y = (x2 + 7x)2 c) y = ln (3x) d)

Los resultados obtenidos coinciden.

d) yf x x g xx

yx

x

x( ) log ( )

ln ln= = =

⋅⋅ =

⋅3

2

23

13

3

2

3

2

3'

yyx

x x yx

= = − = − = ⋅⋅

log log log logln

3

2

3 3 33

2 3 2 1 21→ '

33

2

3=

⋅x ln

c) yf x x g x x yx x

y x

( ) ln ( )

ln ( ) ln l

= = = ⋅ =

= = +

31

33

1

3 3

'

nn x yx

→ ' =1

b) yf x x g x x x y x x x x( ) ( ) ( )( )= = + = + + = +2 2 2 37 2 7 2 7 4 4' 22 987 7 2 7 7

2

2 2 2

x xy x x x x y x x x

+= + ⋅ + = + ⋅ +( ) ( ) ( ) ( )→ ' ++ + ⋅ + == + +

( ) ( )x x xx x x

2

3 2

7 2 74 42 98

a) yf x g x x yy y

x x

x

( ) ( ) ln= = + = ⋅ ⋅= ⋅

+2 3 5 2 2 32 2

3 5

3 5

'→ '' = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+2 2 3 2 2 2 33 5 3 5x xln ln

yx= log3

2

3

103

b) f x limf x h f x

hlim x h x

hl

h h' ( )

( ) ( )=

+ −= +

−=

→ →0 0

1 1

iimx x h

h x h x

limx h x x

h

h

→

→

0

0 2

1 1

− ++

=

=−+

= −

( )

( )

( )

a) f x limf x h f x

hlim

x h x

hh h' ( )

( ) ( )=

+ −=

+ + − +→ →0 0

1 1==

=+ + − +

+ + + +( )=

+lim

x h x

h x h xlim

x hh h→ →0 0

1 1

1 1

1( )

++ + +=

+1 1

1

2 1x x

yx

= 1y x= + 1

102

b) limf h f

hlim h f x

h h→ →0 0

1 1

1 12 2 2

( ) ( )( ) (

+ −+ −

= + = ' )) ( )= − =4 2 1 2x f→ '

T V M hf h f

h

h. . . ([ , ])

( ) ( ) ( ) (1 1

1 1

1 1

2 1 22

+ =+ −+ −

=+ − 11 3 3

2 4 2 2 22 2

2

+ + −=

=+ + − −

= +

h

hh h h

hh

)

10SOLUCIONARIO

482

Obtén las funciones derivadas de estas funciones utilizando la regla de la cadena.

a) y = e ln x

b)

c)

d) y = ln (x 2e)

Determina el valor de la expresión a para que la función no sea derivable en el punto x = 3.

f (3) = 13

Si a � 13, la función no es continua y no es derivable.

Completa la siguiente función para que sea derivable en todo el conjunto �.

Para que sea derivable, la función tiene que ser continua: f (2) = 2b + 4

Si 6 = 2b + 4, la función es continua → b = 1.

f xx x

x

ff

'

''

( )

( )( )

= + <≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

==

−

+

2 1 21 2

2 52

sisi

11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ La función no es derivable.

lim f x

lim f x bx

x

→

→

→2

2

6

2 4−

+

=

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

f x x x xbx x

( ) = + <+ ≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 24 2

sisi

106

lim f x a

lim f xx

x

→

→

→3

313

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

f xa x

x x x( ) = <

+ − ≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

sisi

33 5 32

105

d) yx e

xex

' = ⋅ =1

22

2

c) y cosx

' = ⋅2

1

2

b) yx x x

' =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛

⎝4

29

210

23 2

⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −4

2 642x x 55 4 3 2

72 40 8+ − +

x x x

a) y ex

xx

x' = ⋅ = ⋅ =ln 1 11

y senx=2

yx x x

=⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠

23

25

24 3

⎟⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

2

42

3x

104


483

La recta cuya ecuación es y = 9x − 14 es tangente a la función y = x3 − 3x + k.Determina en qué punto son tangentes y halla el valor de k. ¿Hay una sola solución?La función tiene dos puntos en los que la tangente es horizontal. Hállalos y escribe la ecuación de esas rectas.

f ' (x) = 3x2 − 3

Cuando la recta dada es tangente: 3x2 − 3 = 9 → x2 = 4 → x = ±2

Si x = 2 → y − (2+ k) = 9(x − 2) → y = 9x − 16 + k → k = 2Si x = −2 → y − (−2 + k) = 9(x + 2) → y = 9x + 16 + k → k = −2

Luego hay dos soluciones válidas.

Cuando la tangente es horizontal, se cumple que: 3x2 − 3 = 0 → x2 = 1 → x = ±1

Si x = 1 → y − (−2 + k) = 0 · (x − 1) → y = −2 + kSi x = −1 → y − (2 + k) = 0 · (x + 1) → y = 2 + k

¿Es cierto que la función y = x3 es siempre creciente? ¿Qué ocurre en el origen de coordenadas?

f ' (x) = 3x2

Si x � 0 → f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, 0) ∪ (0, +�).

Si x = 0 → f ' (0) = 0 → La función no es creciente ni decreciente en este punto.

Se ha estimado que el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 17 horas, sigue esta función.

E (t) = 0,01t3 − 0,36t2 + 4,05t − 10

donde t pertenece al intervalo (8, 17).

a) ¿Cuál es el consumo a las 10 horas? ¿Y a las 16 horas?

b) ¿En qué momento del día es máximo el consumo? ¿Y mínimo?

c) Determina las horas del día en las que el consumo se incrementa.

a) E(10) = 4,5

E(16) = 3,6

Por tanto, el consumo es máximo a las 9 horas y es mínimo a las 15 horas.

c) Como t = 9 es un máximo, el consumo crece de las 8 horas a las 9 horas.

Del mismo modo, como t = 15 es un mínimo, el consumo crece de las 15 horas a las 17 horas.

E t" ( ) ,15 0 18 0 15= > =→ En tiene un mínimo.

E t" ( ) ,9 0 18 0 9= − < =→ En tiene un máximo.

b) 0,03 0,72 4,05

0,03 0,72 4,05

E t t t

t t

' ( ) = − +

− + =

2

2 00 915

→ tt

E t t

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

= −" ( ) 0,06 0,72

109

108

107

10SOLUCIONARIO

484

Un investigador está probando la acción de un medicamento sobre una bacteria. Ha comprobado que el número de bacterias, N, varía con el tiempo, t, una vezsuministrado el medicamento, según la función:

N = 20t 3 − 510t 2 + 3.600t + 2.000

a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento? ¿Y al cabo de 10 horas?

b) En ese momento, ¿el número de bacterias está creciendo o disminuyendo?

c) ¿Cuál es el momento en que la acción del producto es máxima?

d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del medicamento?

e) ¿Y en qué momento empieza a perder su efecto el medicamento?

a) Si t = 0 → N = 2.000 bacterias

Si t = 10 → N = 7.000 bacterias

El número de bacterias crece hasta las 5 horas y vuelve a crecer a partir de las 12 horas. Este número decrece entre las 5 horas y las 12 horas.

c) El medicamento alcanza su máxima acción a las 12 horas.

d) El efecto del medicamento empieza a notarse a partir de las 5 horas.

e) El medicamento empieza a perder su efecto a partir de las 12 horas.

¿Cuál es la ecuación de una parábola que pasa por el punto (0, 9) y en el punto (2, 9)tiene como recta tangente y − 6x + 3 = 0?

Sea f (x) = ax2 + bx + c.

Como la parábola pasa por el punto (0, 9) → c = 9

Y como también pasa por el punto (2, 9) → 4a + 2b + 9 = 9 → 4a + 2b = 0 → b = −2a

Así, resulta que: f (x) = ax2 − 2ax + 9 → f ' (x) = 2ax − 2a

Si y = 6x − 3 es la tangente en el punto x = 2, entonces: f ' (2) = 6 → 4a − 2a = 6 → a = 3

La ecuación de la parábola es: f (x) = 3x2 − 6x + 9

Obtén la expresión algebraica de una función que pasa por (2, 5), sabiendo que su derivada es: f' (x) = 2x2 + 6x − 3

Como la función pasa por el punto (2, 5) → f (2) = 5

La ecuación de la parábola es: f x x x x( ) = + − −2

33 3

19

33 2

2

38 12 6 5

19

3⋅ + − + = = −k k→

Si f x x x f x x x x k' ( ) ( )= + − = + − +2 6 32

33 32 3 2→

112

111

f ' (0) > 0 f ' (6) < 0 f ' (20) > 0

5 60 12 20

b) .02 3.600N t t

t tt

' = − +

− + =

60 1 0

60 1 020 3 600 0

2

2 . . → ===

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

512t

110


485

Representa la función

a) Considera un punto cualquiera de la función que esté en el primer cuadrante.Comprueba que la recta tangente a la función en ese punto forma un triángulocon los semiejes positivos.

b) Demuestra que, independientemente del punto que se escoja, el área de ese triángulo es siempre la misma.

b) Si a > 0, entonces es un punto de la función en el primer cuadrante.

Como la ecuación de la recta tangente en x = a es:

Las coordenadas de los puntos de corte de la tangente con los ejes determinanla base y la altura del triángulo.

Así, el área del triángulo es: u2, independientemente

del valor de a.

La recta tangente a una función f (x) en el punto de abscisa x = 2 es y = 5x −7. Halla el valor de la función y de su derivada en el punto de abscisa 2.

y = 5x − 7 → y − 3 = 5(x − 2)

Explica cuánto valen f' (0) y g' (0) en las funciones f (x) = ln x y .(Puedes hacer la gráfica de las funciones, si es necesario).

Dom f = (0, +�) → f ' (0) no existe porque la función no está definida en x = 0.

Dom g = [0, +�) → g' (0) no existe porque la función no está definida para valoresmenores que 0 y no existe g' (0−).

g x x( ) =115

→ ff

( )( )2 32 5

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ '

114

Aa

a=⋅

=2

2

22

Si ya a

xa a

xa

x a= − = − + = =0 01 1 1 1 2

22 2

→ → →

Si x ya a

ya

= − = =01 1 2→ →

ya a

x a− = − −1 1

2( )

yx

' = −1

2,

aa

,1⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Y

X1

1 f (x)

a)Y

X1

1 f (x)

yx

= 1.113

10SOLUCIONARIO

486

La función derivada de una parábola es una recta que pasa por los puntos

y . Halla la abscisa del vértice de esa parábola.

Como la ecuación de una parábola es y = ax2 + bx + c, su derivada es y' = 2ax + b.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos es:

Igualando coeficientes, resulta:

La abscisa del vértice es:

Si trazamos la recta tangente y la recta normal a la función y = x3 − 12x2 + 42x − 40,en el punto (3, 5) se forma, con los semiejes positivos de coordenadas,un cuadrilátero. Determina su área.

La ecuación de la recta tangente en (3, 5) es:

Y la ecuación de la recta normal es:

El cuadrilátero tiene como vértices: (0, 0), (0, 4), (3, 5) y .

Para calcular su área se descompone en tres figuras:

• El rectángulo de vértices (0, 0), (4, 0), (3, 4) y (3, 0) mide 12 u2.

• El triángulo de vértices (4, 0), (3, 4) y (3, 5) mide u2.

• El triángulo de vértices (3, 5), (3, 0) y mide u2.

Luego el área del cuadrilátero es: u2

Sea una función que no es continua en x = 3.

Demuestra que la función no puede ser derivable en ese punto estudiando el límite.

limf h f

hh→0

3 3( ) ( )+ −

lim f x fx→3

3( ) ( )�

118

123

2

25

6

53

3+ + =

25

6

14

30,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

2

14

30,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

y x y x− = − = +51

33

1

34( ) →

y x y x− = − − = − +5 3 3 3 14( ) →

Y

X1

1

f x x x

f

''( )( )

= − += −

3 24 423 3

2

117

xb

a= − = −

−

⋅=

2

52

23

2

5

6

2 33

25

2

ax x a

b

= =

= −

→

x yy x

−−

=−

−= −

1

2

12

63

5

2→

− −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟1

11

2,

11

2,

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟116


487

Si la función es derivable en x = 3 entonces existe el límite:

Esto no es cierto, porque la función no es continua en x = 3, y la función no puedeser derivable en este punto.

Considera una parábola general expresada de la forma:

y = ax2 + bx + c

a) Como en el vértice la tangente será horizontal, la derivada se anula en ese punto.Compruébalo y despeja el valor de x.

b) Encuentra también el valor de y, aplicándolo a la parábola y = −2x2 + 8x + 4.

PARA FINALIZAR…

Sea . Estudia si f (x) y f' (x) son constantes.

Al ser f ' (x) constante y no nula, la función f (x) no es constante.

f xsen x

cos x

cos x co' ( )

(=

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

⋅+1

11

12

ss x sen x

cos x

cos x

x sen x

)

( ) ( )

++

=+

+ +=

=

2

2 2 21

1

1 cos

ccos x

cos x cos x sen x

cos x

cos x

++ + +

=++

=1

1 2

1

2 2

1

22 2

f x arc tgsen x

cos x( ) =

+1120

b) xb

ay a

b

ab

b

a= − = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 2 2

2

→ ⎟⎟⎟ + = − + =− +

cb

a

b

ac

b ac

a

2 2 2

4 2

4

4

a) y ax b

ax b xb

a

' = +

+ = = −

2

2 02

→

119

limf h f

hl lim f h f l l

h h→→

0 0

3 33 3

( ) ( )( ( ) ( ))

+ −= + − =

→iim h

lim f h f lim f h

h

h h

→

→ →→ →

0

0 03 3 0 3( ( ) ( )) ( )+ − = + = llim f

h→03( )

10SOLUCIONARIO

488

Dada la gráfica de una función f (x), representala función f' (x) de forma aproximada.

Si la gráfica de una función f' (x) es la siguiente, representa de formaaproximada la función f (x).

Si f (x) y g (x) son funciones inversas, es decir, (g � f )(x) = x, ¿se verifica que (g' � f' )(x) = x?

No se verifica. Si se consideran las funciones f(x) = x3 y g(x) = , se tiene que son inversas ya que cumplen que: (g o f )(x) = x

Sin embargo, resulta que:

Luego f ’(x) y g’(x) no son funciones inversas.

Se define el ángulo de dos curvas en un punto común como el ángulo formado por sus rectas tangentes en ese punto.

Aplícalo a las curvas y = x2 y x = y2.

es el punto de intersección de las curvas.

La recta tangente en este punto a la primera curva es: y = 0

La recta tangente en el mismo punto a la segunda curva es: x = 0

Como las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman las dos curvas mide 90°.

Verifica que si un polinomio tiene una raíz doble, también lo es de su derivada.

Resuelve la ecuación 12x3 −16x2 + 7x −1 = 0, sabiendo que una de sus raíces es doble.

Si un polinomio tiene una raíz doble a, entonces: f(x) = (x − a)2 ⋅ p(x)

Por tanto, a es también una raíz de la derivada.

f x x a p x x a p x x a p x' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )= − ⋅ + − ⋅ = − +2 22 (( ) ( )]x a p x− ⋅ '

125

y xx y

==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2

2 0 0→ ( , )

124

( )( ) ( ( )) ( )( )

g f x g f x g xx x

' ' ' ' '� = = = =31

3 3

1

3 9

2

2 23 xxx

3�

x3

123

Y

X1

1f(x)

122

Y

X1

1f ’(x)

121


Y

X1

1

Y

X1

1f ’(x)

f(x)

489

Sea .

Como , resulta que:

Y como una de las raíces es doble coincide con una de las anteriores:

Las soluciones de la ecuación son: (doble) y

¿Cómo debe descomponerse un número positivo a en la suma de dos números no negativos para que la suma de los cuadrados de los dos sumandos sea mínima? ¿Y para que sea máxima?

Sea x tal que de modo que a = x + (a − x).

Luego si el número a se descompone en + , la suma de los cuadrados

es mínima. Al ser una parábola abierta haciaarriba, como , la suma de los cuadrados es máxima si x = 0 o si x = a, es decir, si el número se descompone en a + 0.

Demuestra que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular alradio en ese punto.

Sea una circunferencia centrada en el origen de coordenadas de radio r:

Entonces la ecuación de la recta tangente en un punto (a, b) es:

La recta determinada por el radio de la circunferencia que pasa por este punto es:

Las rectas son perpendiculares ya que: b

a a

b

= −−

1

x

a

y

by

b

ax= =→

y ba

bx a− = − −( )

Si y r x yx

r x

x

r x= − =

−

−= −

−2 2

2 2 2 2

2

2→ '

x y r2 2 2+ =

127

0 ≤ ≤x af x x a x x ax a( ) ( )= + − = − +2 2 2 22 2

a

2

a

2

f x x a x

f x x a x x a x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + −

= + − ⋅ − = − −

2 2

2 2 1 4 2 4' 22 02

42

4 02

a xa

f x fa

xa

= =

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = > =

→

→'' "( ) ess un mínimo.

0 ≤ ≤x a,

126

1

3

1

2

12 10 2 0

1

21

3

2x xx

x− + =

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

→

f x x x x1

20 12 16 7 1

1

23 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − + − = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠→ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +( )12 10 22x x

36 32 7 0

1

27

18

2x xx

x− + =

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

→f x x x'( ) = − +36 32 72

f x x x x( ) = − + −12 16 7 13 2

10SOLUCIONARIO

490

Un arquitecto quiere diseñar un jardín en un terreno cuadrado de 70 m de lado. En él pondráuna zona de arena con forma de triángulo equilátero, y alrededor estará la zona de césped. Si desea que las dos zonas tengan la misma superficie, ¿qué altura debe tener el triángulo?

Si el terreno tiene 70 m de lado, el área mide 4.900 m2.El área de la zona de arena es igual al área de la zona de césped si mide 2.450 m2.

Integrales11L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S

Los pilares de la TierraRaschid era uno de sus mecenas. [...] A pesar de ser un comerciante,tenía un poderoso intelecto y una curiosidad abierta a todos los cam-pos. [...] Había simpatizado de inmediato con Jack, que cenaba en sucasa varias veces por semana. –¿Qué nos han enseñado esta semana los filósofos? –le preguntó Ras-chid tan pronto como empezaron a comer. –He estado leyendo a Euclides. –Los Elementos de Geometría de Eucli-des era uno de los primeros libros traducidos. –Euclides es un extraño nombre para un árabe –apuntó Ismail, her-mano de Raschid. –Era griego –le explicó Jack–. Vivió antes del nacimiento de Cristo.Los romanos perdieron sus escritos, pero los egipcios los conservaron,de manera que han llegado hasta nosotros en árabe. –¡Y ahora los ingleses están traduciéndolos al latín! –exclamó Ras-chid–. Resulta divertido. –Pero ¿qué has aprendido? –le preguntó el prometido de una de lashijas de Raschid.Jack vaciló por un instante. Resultaba difícil de explicar. Intentó expo-nerlo de manera práctica. –Mi padrastro, el maestro constructor, me enseñó diversas operacio-nes geométricas; por ejemplo, a dibujar un cuadrado dentro de otro,de manera que el más pequeño sea la mitad del área del grande.–¿Cuál es el objetivo de esas habilidades? –Esas operaciones son esenciales para proyectar construcciones.Echad un vistazo a este patio. El área de las arcadas cubiertas que lorodean es exactamente igual al área abierta en el centro. La mayor par-te de los patios pequeños están construidos de igual manera, incluidoslos claustros de los monasterios. Ello se debe a que esas proporcionesson las más placenteras. Si el centro fuera mayor, parecería una plazade mercado, y si fuese más pequeño, daría la impresión de un agujeroen el tejado. [...]–¡Nunca pensé en ello! –exclamó Raschid, a quien nada le gustabamás que aprender algo nuevo.

KEN FOLLETT

a ha

h a a h2 22

2 2

4

3

4

2

3= + = =→ →

2 450

2

32

2 4503

2 450 3 65 142

. . . ,=⋅

= = =h h

hh→ → m

h

a


Deriva las siguientes funciones.

a) f(x) = 5x2 −6 c)

b) d)

Identifica la ecuación de estas parábolas.

a) f(x) = x 2 −1 b) f(x) = −x 2 + 1

a) Como a = 1 > 0, la parábola está abierta hacia arriba y tiene un mínimo en el punto (0, −1).

b) Como a = −1 < 0, la parábola está abierta hacia abajo y tiene un máximo en el punto (0, 1).

Determina los puntos de corte en cada caso.

a) b)

Los puntos de corte son: y (−1, −1)

Los puntos de corte son: (2, 10) y (−1, −5)

b) f x g x x x x x x xxx

( ) ( )= + − = + − − − = ==

→ → →3 2 6 4 8 2 0 22 2 2

−−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 1

4

3

4

3,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) f x g x x x x x x

x( ) ( )= − = − − = =

= −

⎧⎨⎪⎪⎪→ → →3 4 3 4 0

4

31

2 2

⎩⎩⎪⎪⎪

f(x) = 3x 2 + 2x −6g(x) = 4x 2 + x −8

f(x) = 3x 2 −4g(x) = x

003

Y

X

2

2

002

d) f x

tg x arc cosx

tg x tg xx

'( ) ( )=

−

⋅ + +1

2 32

6 3 1 32

24

233

4 2

12

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

c) f xe

x

e xx

x

'( )( )

=

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅+

−

−1

12

21

3

2

1 3 −− ⋅+

=− +

+ +

− −e x

x

e x x

x e

x x

x

1 2

3 2

1 3 2

3 2 2

3

2

3 2

2( )

( )

( ) −−2

b) f xx

x cos xx

xcos x'( ) = −

−⋅ − ⋅ = −

−−

1

3

2

2 5 52

310 5

2 2

a) f x x'( ) = 10

f x tg x arc x( ) = −24

32

cosf xx

sen x( ) = − − −ln2 3

22 5

f x arc tge

x

x

( ) =+

−1

3 2

001

11SOLUCIONARIO

491

492

ACTIVIDADES

La función F(x) = k ⋅ e3x + n es una función primitiva de la función f(x) = e3x. Halla los valores de las constantes k y n si F(0) = 0.

La pendiente de la recta tangente a una curva, en un punto de abscisa x, es 6 x. Halla de qué función se trata, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas.

La pendiente de la recta tangente en un punto es: f ' (x) = 6xEntonces, resulta que: f(x) = 3x2 + kSi f(x) pasa por el origen de coordenadas: f(0) = 0 → k = 0Así, la función es: f(x) = 3x2

Si f(x) dx = F(x) + k y g(x) dx = G(x) + k, halla:

a) [f(x) + g(x)] dx c)

b) [2f(x) − g(x)] dx d) [−f(x) + b ⋅ g(x)] dx

Dada la serie de funciones: f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = x3…, calcula:

a) Su derivada.

b) ¿Qué expresión general tendrá la derivada de f( x) = x n?

c) ¿Cuál será la integral de f( x) = x n?

b) f x nx n'( ) = −1

c) �x dxx

nkn

n

=+

++1

1a) f x f x x f x x1 2 3

21 2 3' ' '( ) , ( ) , ( ) ,= = = …

004

d) � � �[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( (− + ⋅ = − + = −f x b g x dx f x dx b g x dx F x)) ) ( ( ) )

( ) ( )

+ + + =

= − + +

k b G x k

F x bG x k

c) � � �1

22

1

22f x g x dx f x dx g x d( ) ( ) ( ) ( )−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = − xx F x k G x k

F x G x k

= + − + =

= − +

1

22

1

22

( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

b) � � �[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ( )2 2 2f x g x dx f x dx g x dx F x k− = − = + )) ( ( ) )

( ) ( )

− + =

= − +

G x k

F x G x k2

a) � � �[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) (f x g x dx f x dx g x dx F x k G x+ = + = + + ))

( ) ( )

+ =

= + +

k

F x G x k

�� 1

22f x g x dx( ) ( )−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥�

��003

002

F k e n k n n k( )0 0 0 00= ⋅ + = + = = −→ → →

001

Integrales

493

Calcula las siguientes integrales.

a) (x2 + x) dx c) (x3 −2) dx e) (2x2 −3x + 5) dx

b) d) f)

Halla estas integrales..

a) 2x(x2 + 3)4 dx c)

b) d)

d) � x

xdx x k

2

3

3

6

1

36

−= − +ln

c) � x xdx

xk

2 3 3 22

3

2

18

( ) ( )−=

−+

b) � 2

11

2

2x

xdx x k

−= − +ln

a) �2 33

52 4

2 5

x x dxx

k( )( )

+ =+

+

� x

xdx

2

3 6−� 2

12

x

xdx

−

� x xdx

2 3 2

3

( )−�006

f ) � 11

xdx x x k−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − +ln

e) �( )2 3 52

3

3

252

3 2

x x dxx x

x k− + = − + +

d) � x

xdx

x

xk

2

3

3

23

1

9

1

2+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= − +

c) �( )x dxx

x k34

24

2− = − +

b) � �x dx x dxx

kx

k33

2

5

2 5

5

2

2

5= = + = +

a) �( )x x dxx x

k23 2

3 2+ = + +

� 11

xdx−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟� x

xdx

2

33

1+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟� x dx3

��005

11SOLUCIONARIO

494


a) c)

b) d)

Halla estas integrales.

a) c)

b) d)


a) c)

b) d)

d) �sen x dx cos x k( ) ( )− = − +b) �cos x dx sen x k( ) ( )+ = + +1 1

c) �sen

x

dx cosx

k22 2

= − +a) �sen x dx cos x k21

22= − +

�sen x dx( )−�cos x dx( )+ 1

�sen

x

dx2

2�sen x dx2

009

d) � �x

edx x e dx e k

x

x x2

2 21

2= ⋅ = − ⋅ +− −b) �2 42

22

2e dx e k

x x+ +

= +

c) � 3

2

1

2

1

5

3

3

3

10 3

5 1 5 1 5 1x x x

dx k k− − −

= ⋅ ⋅ + = +ln ln

a) �5 25

5

2

2

11

xx

x dx k++

⋅ = +ln

� x

edx

x2�2 22

e dxx +

� 3

2

5 1x

dx−

�5 22 1x x dx+ ⋅

008

d) �( )e e dx e e kx x x x− − − −+ = − ⋅ + +2 1 2 11

2

c) � 5

2

1

2

5

25

2

2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x

x

dxln

++ k

b) �e dx e kx x+ += +1 1

a) �2 22

2

2

22

2 21x

x x

dx k k= ⋅ + = ++

ln ln

�( )e e dxx x− −+2 1�e dxx +1

� 5

2

2⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

x

dx�2 2x

dx

007

Integrales

495

Halla estas integrales.

a)

b)

c)

d)

Resuelve estas integrales.

a) b)

Halla la solución de las integrales.

a) b)

b) � x

xdx arc tg x k

1 9

1

63

4

2

+= +

a) � 1

1 2 3

1

22 3

2− −= − +

( )( )

xdx arc sen x k

� x

xdx

1 9 4+� 1

1 2 3 2− −( )xdx

012

b) � 1

1 33

2+ −= − +

( )( )

xdx arc tg x k

a) � 1

1 25

1

55

2−= +

xdx arc sen x k

� 1

1 3 2+ −( )xdx� 1

1 25 2− xdx

011

d) � x

cos xdx tg x k

2 2

2

3

1

23

( )( )

−= − +

c) �( ) ( ) ( )x cos x x dx sen x x k+ ⋅ + = + +1 21

222 2

b) �− + = + +3 2 13

22 1sen x dx cos x k( ) ( )

a) � 1

11

2cos xdx tg x k

( )( )

+= + +

� x

cos xdx

2 2 3( )−

�( ) ( )x cos x x dx+ +1 22⋅

�− +3 2 1sen x dx( )

� 1

12cos xdx

( )+

010

11SOLUCIONARIO

496

Calcula las siguientes integrales definidas.

a) b)

Comprueba la siguiente igualdad.

Halla el área del triángulo rectángulo que tiene como vértices (0, 0), (4, 0) y (4, 5),utilizando integrales definidas.

El triángulo está limitado por el eje X y las rectas

x = 4 e .

Así, el área es:

�4

0

2

0

45

4

5

4 210x dx

x= ⋅

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

y x=5

4

Y

X

1

1

x = 4

y x=5

4

015

� �4

2

2

6

4

21 1 4 2 6( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x dx x x dx F F F+ + + + + = − + − FF( )4

100

3

20

396

100

3

268

3

=

= − + − =

�6

2

2 1 6 2 9620

3

268

3( ) ( ) ( )x x dx F F+ + = − = − =

F x x x dxx x

x( ) ( )= + + = + +� 23 2

13 2

� � �6

2

2

4

2

2

6

4

21 1 1( ) ( ) ( )x x dx x x dx x x dx+ + = + + + + +

014

�2

4

2 4 82 41

2

1

2−

−= − − = −e dx F F e ex ( ) ( )

b) F x e dx ex x( ) = =� 2 21

2

�7

2

2 2 1 7 2469

3

14

3

455

3( ) ( ) ( )x x dx F F+ − = − = − =

a) F x x x dxx

x x( ) ( )= + − = + −� 23

22 13

�2

4

2

−

e dxx�7

2

2 2 1( )x x dx+ −

013

Integrales

497

Calcula las integrales definidas y . Explica los resultados obtenidos.

La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Así, la primera integral da comoresultado cero porque el área corresponde a dos regiones iguales, una por encima del eje y otra por debajo. Los valores son iguales, pero de signo contrario, y se anulan.

Determina el área limitada por la gráfica de la función f( x) = x2 −1 y el eje Xen el intervalo [−2, 2].

Halla el área limitada por la gráfica de la función f(x) = sen x y el eje X en el intervalo [0, π].

Determina el área comprendida entre las funciones f( x) = x2 − 4 y g( x) = x + 2en el intervalo [−3, 4].

� � �−

− −

− − + − − + − −2

3

2

3

2

2

4

3

26 6 6( ) ( ) ( )x x dx x x dx x x dxx F F

F F F F

= − − − +

+ − − + − = −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3

3 2 4 322

3

9

2++ − − + − + =

27

2

22

3

32

3

27

2

53

2

F x x x dx x x dxx x

x( ) ( ( )) ( )= − − + = − − = − −� �2 23 2

4 2 63 2

6

f x g x x x x xxx

( ) ( )= − = + − − = = −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ → →2 24 2 6 0 23

019

Área = = − = + =�π

π0

0 1 1 2sen x dx F F( ) ( )

F x sen x dx cos x( ) = = −�f x sen xxx

( ) = = ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 0 0→ →π

018

Área = − + − + −− −� � �

–

( ) ( ) ( )1

2

2

1

1

2

2

1

21 1 1x dx x dx x dx ==

= − − − + − − + − =

= + +

F F F F F F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1

2

3

2

3−− − + + =

2

3

2

3

2

3

2

34

F x x dxx

x( ) ( )= − = −� 23

13

f x x x( ) = − = = ±0 1 0 12→ →

017

Y

X

1

1

�1

0

34

0

1

4

1

4x dx

x=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =�

1

1

34

1

1

4

1

4

1

40

− −

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = − =x dx

x

�1

0

3x dx�1

1

3

−

x dx016

11SOLUCIONARIO

498

Halla el área comprendida entre las parábolas f( x) = x2 y g( x) = −x2 + 2.

Comprueba si las funciones F(x) son primitivas de f (x).

a)

b)

c)

d)

e)

Comprueba si e son primitivas de la función .

En caso afirmativo, encuentra otra primitiva.

Las dos funciones son primitivas porque:

Respuesta abierta. Por ejemplo: yx

x=

+2 1

yx

xy

x x

x x=

+=

− += −

1 1 12 2

→ '( )

yx

xy

x x

x x=

+=

− += −

3 1 3 3 1 12 2

→ '( )

yx

= −1

2y

x

x= + 1

yx

x= +3 1

022

e) es primitiva de porque:F x f x F xx

x

( ) ( ) ( )' =

+

⋅1

1

2

22 1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

x x x

x

x x

x x

x

x x

⋅ + −+

=

=++

=++

( )

( )

( ) ( )

d) es primitiva de porque:F x f x F x cos x co( ) ( ) ( )' = ⋅ ss x sen x sen x

cos x sen x cos x cos x

+ − =

= − = − + =

( )2 2 2 21 22 12cos x −

c) es primitiva de porque:F x f x F xx x

( ) ( ) ( )(

' =⋅ −2 1)) ( )

( ) ( )

− +−

=− −

−x

x

x x

x

2

2

2

2

1

1

2 1

1

b) no es primitiva de porque:F x f x F x x( ) ( ) ( )' = −6 22 xx − 3

a) es primitiva de porque:F x f x F x x x( ) ( ) ( )' = −3 122 ++ 2

F xx

xf x

x

x x( ) ( )

( )=

+= +

+ln

2

1

2

1

F x sen x cos x f x cos x( ) ( )= = −2 12

F xx

xf x

x x

x( ) ( )

( )= +

−= − −

−

2 2

2

1

1

2 1

1

f x x x x( ) = − −6 123

22 2F x x x x( ) ,= − − +2 3 9 53 2

f x x x( ) = − +3 12 22F x x x x( ) = − + −3 26 2 1

021

Área = − − = − − =F F( ) ( )1 14

3

4

3

8

3

F x x x dx x dxx

x( ) ( ( )) ( )= − − + = − = −� �2 2 23

2 2 22

32

f x g x x x x x( ) ( )= = − + − = = ±→ → →2 2 22 1 0 1

020

Integrales

499


a)

b)

c)

d)

e)


a) d)

b) e)

c) f )

f) � 2 32

13

3 2

2

x xx dx

xx x k− −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − − +lnc) �− = +

7 7

23 2xdx

xk

e) � 12 1

21

2− +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − +

x xdx x x

xklnb) � 5 5

2xdx

xk= − +

d) �− = +2 1

25 4xdx

xka) � 3

3x

dx x k= +ln

� 2 32

3x xx dx− −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟�− 7

3xdx

� 12 1

2− +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟x x

dx� 52x

dx

�− 25x

dx� 3

xdx

024

e) � − + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − + −

3

7

1

5

7

4 14 205 3 2

6 4

x x x dxx x 77

12

3xk+

d) �( , , , )0 3 1 3 0 23

40

13

30 53 2

4 3

x x dxx x x

k+ − = + − +

c) � 1

3

3

42

15 44 2

5 32x x x dx

x xx k− −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − +

b) �( )5 3 25

3

3

222

3 2

x x dxx x

x k+ − = + − +

a) �( )6 4 3 2 2 32 3 2x x dx x x x k− + = − + +

� − + −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

3

7

1

5

7

45 3 2x x x dx

�( , , , )0 3 1 3 0 23 2x x dx+ −

� 1

3

3

424 2x x x dx− −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

�( )5 3 22x x dx+ −

�( )6 4 32x x dx− +

023

11SOLUCIONARIO

500

Calcula las integrales.

a) d)

b) e)

c) f )

Determina las siguientes integrales.

a) h)

b) i)

c) j)

d) k)

e) l)

f) m)

g) � 6

1

9

2 14

2−−

++

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟x x

dx

�( )tg x sen x dx2 1+� 2

3

6

2 5x xdx

++

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

� 3

3 2− 2xdx� 2

3

1

3x xdx

++

−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

� e

edx

x

x

2

31( )2 +� 2

3

4

4 3x xdx

+−

−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

� 3 4x xdx

23

7� − ++

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

4 12

12 2x xdx

� x x

xdx

− 2 3

2� sen xdx

x

3

3

5+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

� x x

xdx

+3� 3

13x

xcos x dx− −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

026

f) �−−

= − +3

1 32 1 3

xdx x k

e) � 612

xdx x k= +

d) �( )ln

22

2x x

xxe dx e k+ = + +

c) � −+

= − +3

13

2xdx arc tg x k

b) � 5

15

2−= +

xdx arc sen x k

a) �( )sen x cos x dx cos x sen x k+ = − + +2 2

�−−

3

1 3xdx� −

+3

12xdx

� 6

xdx� 5

1 2− xdx

�( )2x xe dx+�( )sen x cos x dx+ 2

025

Integrales

501

m) � �( )tg x sen x dxcos x

sen x dxcos x

k2

21

1 1+ = = +

l) � � �3

3 2

3

3 12

3

3

3 12

2 2−=

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

−x

dxx

dx

x

33

3

2

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

=

dx

arc seenx

k arc senx

k2

3

3 2

2

6

3+ = +

k) � e

edx

ek

x

x x

2

2 3 2 21

1

4 1( ) ( )+= −

++

j) � �3 4

7

3

568 4

3

56

44

3

232

1

32

4

3x xdx x x dx

x= = ⋅ +( )

( )kk

x xk= +

9 4

56

2 23

i) � � �x x

xdx

x

x

x

xdx x

−= −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=−2

23

2 2

3

2

3

22

5

3

1

2

2

3

23

2

1

2

22

3

2 3

dx x dx

x xk

x x

− =

=−

− ⋅−

+ = − +

−

− −

�++ k

h) � � � �x x

xdx

x

x

x

xdx x dx

+= +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= +3 3 3

2

3 xx dx

x xk

x x x xk

1

6

5

3

7

6 23 6

5

3

7

6

3

5

6

7

=

= + + = + +

g) � 6

1

9

2 14 6 9 2

2−−

++

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − +

x xdx arc sen x x 11 4+ +x k

f) � 2

3

6

2 54 3 6 2 5

x xdx x x k

++

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= + + + +

e) � 2

3

1

32 3 2 3

x xdx x x k

++

−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + + − +ln

d) � 2

3

4

4 32 3 4 3

x xdx x x k

+−

−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + − − +ln ln

c) � − ++

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + +

4 12

1

412

2 2x xdx

xarc tg x k

b) � sen xdx

cos xk

x x

3

3

5 3

3

5 3+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= − + +ln

a) � 31

33

23

2

xx

cos x dxx

x sen x− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − +ln kk

11SOLUCIONARIO

502

Dadas las funciones f(x) = 6x −1 y g(x) = 3x2 −4x, comprueba si se verifica que:

En caso afirmativo, determina si se cumple que:

a)

b)

c)

d) ¿Cómo comprobarías si sin hacer ninguna integral?

La igualdad se verifica si k = 2.

La igualdad se verifica si k = 2.

La igualdad no se verifica.

d) La igualdad no se verifica, utilizando el apartaddo anterior:

� �f x

g xdx f x

g x

( )

( )( )

( )= ⋅

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1ddx f x dx

g x dx

f x dx

g x dx

� ��

��

( )

( )

( )

( )

⋅ =1

c) � �[ ( ) ( )] ( )f x g x dx x x x dxx

x⋅ = − + = −18 27 49

293 2

43 ++ +

⋅ = − + − =

2

3 2 2 3

2

2 3 2

x k

f x dx g x dx x x x x x� �( ) ( ) ( ) ( ) 55 4 3 27 4 4− + −x x x

b) � �[ ( ) ( )] ( )f x g x dx x x dx x x x− = − + − = − + − +3 10 1 52 3 2 kk

f x dx g x dx x x x x x x x� �( ) ( )− = − + − + = − + − +3 2 2 52 3 2 3 2 22

a) � ��

[ ( ) ( )] ( )

(

f x g x dx x x dx x x x k

f

+ = + − = + − +3 2 12 3 2

xx dx g x dx x x x x x x x) ( )+ = − + + − = + − +� 3 2 2 22 3 2 3 2

( ) ( )3 2 6 1 2 3 42 3 2 2x x x x x x x− + = − − = −' '

��

f x

g xdx

f x dx

g x dx

( )

( )

( )

( )

=

� � �[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx⋅ ⋅=

� � �[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −

� � �[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +

�g x dx x x( ) = −3 22�f x dx x x( ) = − +3 22

027

Integrales

503

La derivada de la función y = sen2 x es y' = 2 sen x cos x, es decir,

�2 sen x cos x dx = sen2 x + k.

En general, como (f 2(x))' = 2 f( x) f'( x), tenemos que �2 f( x) f'( x) dx = f 2 (x) + k.

Usa lo anterior para calcular las siguientes integrales.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

h) � tg x

cos xdx tg x k

2

21

2= +

g) � �e dx e e dx e kx x x x4 4 2 2 2 2 4 41

4+ + + += ⋅ = ⋅ +

f) � �4 2 2 2 21

222x x x xdx dx kln ln= ⋅ = ⋅ +

e) � arc sen x

xdx arc sen x k

1

1

22

2

−= +

d) � lnln

x

xdx x k= +

1

22

c) � 2

1 2

2

+= +

xarc tg x dx arc tg x k( )

b) �2 3 2 3 32 2 2( )( ) ( )x x x dx x x k+ + = + +

a) �2 1 2 12 2 2( ) ( )x x dx x k− = − +

� tg x

cos xdx

2

�e dxx4 4+

�4 2x dxln

� arc sen x

xdx

1 2−

� ln x

xdx

� 2

1 2+ xarc tg x dx

�2 3 2 32( ) ( )x x x dx+ +

�2 1 22( )x x dx−

028

11SOLUCIONARIO

504

Si derivas la función y = ln cos x, obtienes o, lo que es lo mismo,

En general, se verifica que

Usa lo anterior para calcular las siguientes integrales.

a) c)

b) d)

Expresa las integrales como funciones logarítmicas.

a) d)

b) e)

c) f )

f) � �tg x dxsen x

cos xdx cos x k3

3

3

1

33= = − +ln

e) � 11

22+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + +

ln(ln )

x

xdx x x k

d) � 4

2 12 2 1

xdx x k

+= + +ln

c) � e

edx e k

x

x

x

+= + +

44ln

b) � cos x

sen xdx sen x k= +ln

a) � 1

2 2

1

21

xdx x k

+= + +ln

�tg x dx3� e

edx

x

x + 4

� 1 +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

ln x

xdx� cos x

sen xdx

� 4

2 1xdx

+� 1

2 2xdx

+

030

d) � 5

15 3

1

315 3

xdx x k

+= + +ln

c) � 1

1 2( )ln

+= +

x arc tg xdx arc tg x k

b) � −+

= − + +x

xdx x k

2

2

3

1

23ln

a) � 2 3

33

2

2x

x xdx x x k

++

= + +ln

� 5

15 3xdx

+� −+x

xdx

2 3

� 1

1 2( )+ x arc tg xdx� 2 3

32

x

x xdx

++

� f x

f xdx f x k

'( )

( )( )= +ln .⏐ ⏐

�− = +sen x

cos xdx cos x kln⏐ ⏐ .

ysen x

cos x= −

029

Integrales

505

Observa que la derivada de es , y que, por tanto:

Usa lo anterior para calcular estas integrales.

a) d)

b) e)

c) f )

El resultado de las siguientes integrales es una función del tipo .Determínalas.

a) c) e)

b) d) f )

f) � 2 12

cos x x sen x

x cos x sen xdx

x cos x sen x

−+

= −+

+( )

kk

e) � �x

x x xdx

x

x x x

++

=+

⋅+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1 1 1

2 2( ln ) ( ln )⎟⎟⎟⎟

=

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟

dx

x x x� 11 1

2( ln )⎟⎟⎟⎟⎟

= −+

+dxx x

k1

ln

d) � �1

2

1

2

13x x

dxx

dxx

k= = − +

c) �− = +ln

ln

ln

ln

3 32x x

dxx

k

b) � 1 12sen x

dxtg x

k= − +

a) � �1 1 1 12 2x x

dxx x

dxxln ln ln

= ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= − + kk

� 22

cos x x sen x

x cos x sen xdx

−+( )� 1

2x xdx� 1

2sen xdx

� x

x x xdx

++

12( )ln�−

ln

ln

32x x

dx� 12x x

dxln

yf x

= 1

( )032

f) � sen x

cos xdx

cos xk

( )+=

++

3

1

32c) � 3

5

3

52

e

edx

ek

x

x x( )+= −

++

e) � �1 2

1

1 2 12 2 2 2 2

−−

=−−

=−

+x

x xdx

x

x xdx

x xk

( ) ( )b) � sen x

cos xdx

cos xk

2

1= +

d) � sen x cos x

cos x sen xdx

cos x sen xk

−+

=+

+( )2

1a) �− = +

ln 2

2

1

2x xdx k

� sen x

cos xdx

( )+ 3 2� 3

5 2

e

edx

x

x( )+

� 1 2

12 2

−−

x

x x( )� sen x

cos xdx

2

� sen x cos x

cos x sen xdx

−+( )2�−

ln 2

2xdx

�− = +f x

f xdx

f xk

'( )

( ) ( )2

1

yf x

f x'

'= −( )

( )2y

f x= 1

( )031

11SOLUCIONARIO

506

Calcula las siguientes integrales definidas.

a) �3

1

(2x2 + 8x + 1) dx c) �3

−2

b) �4

2

(6x2 + 4x −2) dx d) �−1

−6

(3x3 + 2x2 −2) dx

Resuelve.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h) �2

51

4

xdx�

1

12

2

1−

+ xdx

�π2

0

3 2( )cos x sen x dx−�4

22

1

1

4x

x xdx−

−+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

�3

1

8

4− +xdx�

−

−

3

52

6

xdx

�1

2

20

2

1− xdx�

5

2

4

2xdx

+

034

�−

−

+ − = − − − = − = −1

6

3 23 2 2 1 625

12840

10( ) ( ) ( )x x dx F F

..055

12

d) F x x x dxx x

x( ) ( )= + − = + −� 3 2 23

4

2

323 2

4 3

�3

2

3 21

212 3 3 2

8

−

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − = −x x x dx F F( ) ( )

991

828

1 115

8− = −

.

c) F x x x x dxx

x( ) = − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − −� 1

212 3

84

33 24

3 xx 2

2

�4

2

2

6 4 2 4 2 152 20 132( ) ( ) ( )x x dx F F+ − = − = − =

b) F x x x dx x x x( ) ( )= + − = + −� 6 4 2 2 2 22 3 2

�3

2

1

2 8 1 3 1171

3

17

3

154

3( ) ( ) ( )x x dx F F+ + = − = − =

a) F x x x dxx

x x( ) ( )= + + = + +� 2 8 12

342

32

1

212 33 2x x x dx− −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

033

Integrales

507

�2

51

42 1

1

161

15

16xdx F F= − = − + =( ) ( )

h) F xx

dxx

( ) = = −� 4 15 4

�π

π2

0

3 22

0 3( ) ( )cos x sen x dx F F− =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = − − 55 8= −

g) F x x sen x dx sen x x( ) ( )= − = − +� 3 2 3 2cos cos

�3

1

8

43 1 16 7 16 3

− += − − = −

xdx F F( ) ( )

f ) F xx

dx x( ) =+

= +� 8

416 4

�1

2

02

2

1

1

20

30

3−=

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = − =

xdx F F( )

π π

e) F xx

dx arc sen x( ) =−

=� 2

12

2

�1

12

2

11 1

2 2−

+= − − = + =

xdx F F( ) ( )

π ππ

d) F xx

dx arc tg x( ) =+

=� 2

12

2

�4

22

1

1

44 2 7 3x

x xdx F F−

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − = − −( ) ( ) ln lln ln1 7 3= −

c) F x xx x

dxx

x( ) ln= −−

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − − −� 1

1

4

21

42

2

xx

�−

−

= − − − = − =3

52

63 5 2

6

5

4

5xdx F F( ) ( )

b) F xx

dxx

( ) = = −� 6 62

�5

2

4

25 2 4 7 4 4 4

7

4xdx F F

+= − = − =( ) ( ) ln ln ln

a) F xx

dx x( ) ln=+

= +� 4

24 2

11SOLUCIONARIO

x 1 2 3 4 5

Área entre 0 y x 3 6 9 12 15

508

Completa la tabla referida a la gráfica de la función.

Completa la tabla con la función representada en el gráfico.

Representa la función y = 3, y completa la tabla de su función integral.

Determina la expresión analítica de dicha función.

La expresión analítica de la función es: y = 3x

Y

X

1

y = 3

1

037

x 1 2 3 4 5

Área entre 0 y x 7

26 15

2

17

2

19

2

1

1

Y

X

036

x 1 2 3 4 5 6

Área entre 0 y x 2 5 845

415

77

4

Y

X1

1

035

Integrales

x 1 2 3 4 5

Área entre 0 y x 1 4 9 16 25

509

Representa la función y = 2x, y completa la tabla de su función integral.

Halla la expresión analítica de dicha función.

La expresión analítica de la función es: y = x2

Halla el área encerrada bajo la gráfica y el eje X en el intervalo [0, 2].

¿Y en los intervalos [2, 5] y [5, 8]?

Hazlo también en los intervalos [1, 3] y [4, 7].

Determina el área que queda situada bajo la función y sobre el eje X en los intervalos [0, 2], [2, 5], [2, 8], [8, 9], [0, 5] y [5, 9].

A([ , ])5 960 9

4

5

2

70 9

4=

−+ =

−π πA([ , ])2 8

60 9

2=

− π

A([ , ])0 5 560 9

4

80 9

4= +

−=

−π πA([ , ])2 5

60 9

4=

− π

A([ , ])·

8 91 5

2

5

2= =A([ , ])

·0 2

2 5

25= =

1

1

Y

X

040

A([ , ]) ·4 7 3 3 21

27= + + =

A([ , ])1 3 23

43

23

4= + + =

A([ , ])·

5 83 3

2

9

2= =

A([ , ]) ·2 5 3 3 9= =

1

1

Y

X

A([ , ])·

0 2 42 1

25= + =

039

Y

X

1

y = 2x

1

038

11SOLUCIONARIO

510

Determina el área de la región comprendida entre la función, el eje X y las abscisas indicadas.

a) f(x) = 3x2 −2x x = 2 y x = 4

b) f(x) = x3 −x2 + 5x + 1 x = 1 y x = 3

c) f(x) = 5x x = −1 y x = 2

d) x = 3 y x = 8

e)

Comprueba que las funciones son negativas en el intervalo indicado. Halla el área de la zona definida en ese intervalo por la función y el eje de abscisas.

a) f(x) = x2 −x3 en [1, 2]

b) f(x) = 1 + 2x −3x2 en [2, 4]

c) en [−7, −5]

d) f(x) = cos (π+ x) en [−1, 1]

f xx

( ) =+6

2

042

Área =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = − =F F

3

21 0 1

ππ( )

e) F x sen x dx x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞� π π2 2

cos⎠⎠⎟⎟⎟⎟

Área = − = − + =F F( ) ( )8 31

2

4

3

5

6

d) F xx

dxx

( ) = = −� 4 42

Área = − − = − =F F( ) ( )ln ln ln

2 125

5

1

5 5

124

5 5

c) F x dxxx

( )ln

= =�55

5

Área = − = − =F F( ) ( )3 1147

4

41

12

100

3

b) F x x x x dxx x x

x( ) ( )= − + + = − + +� 3 24 3 2

5 14 3

5

2

Área = − = − =F F( ) ( )4 2 48 4 44

a) F x x x dx x x( ) ( )= − = −� 3 22 3 2

x x= =π πy

3

2f x x( ) = −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟sen

π2

f xx

( ) = 42

041

Integrales

511

Área = − − = + − − =F F sen sen( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1 1 1 1 68π π

F x x dx sen x( ) ( ) ( )= + = +� cos π π

Y

X

1

1

d)

Área = − − − = − =F F( ) ( ) ln ln ln5 7 6 3 6 5 63

5

F xx

dx x( ) ln=+

= +� 6

26 2

Y

X

1

1

c)

Área = − = − + =F F( ) ( )4 2 44 2 42

F x x x dx x x x( ) ( )= + − = + −� 1 2 3 2 2 3

Y

X

1

1

b)

Área = − = − − =F F( ) ( )2 14

3

1

12

17

12

F x x x dxx x

( ) ( )= − = −� 2 33 4

3 4

Y

X

1

1

a)

11SOLUCIONARIO

512

Calcula el área de la zona limitada por la función, el eje de abscisas y las rectasverticales que se indican. Ten en cuenta que las funciones pueden cortar al eje X.

a) f(x) = 3x2 + 16 x −12 x = −7 y x = 0

b) f(x) = 2x2 + 6x −20 x = −1 y x = 5

c) f(x) = 2x3 −19x2 + 49x −20 x = −1 y x = 3

d) x = 0 y x = π

e) f(x) = 4x −4 x = 0 y x = 2

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− − + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −F F F F

1

21 3

1

2( ) ( )

4445

96

154

330

445

96

4 349

48− + + =

.

� �1

2

1

3 2

3

1

2

3 22 19 49 20 2 19 49−

− + − + − + −( ) (x x x dx x x x 220) dx =

F x x x x dxx x x

( ) ( )= − + − = − + −� 2 19 49 202

19

3

49

223 2

4 3 2

00x

c) f x x x xx

xx

( ) = − + − ==

==

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪0 2 19 49 20 0

1

245

3 2→ → ⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

= − − + + =68

3

67

3

175

3

68

3126

� �2

1

2

5

22 6 20 2 6 20 22−

+ − + + − = − −( ) ( ) ( ) (x x dx x x dx F F 11 5 2) ( ) ( )+ − =F F

F x x x dxx

x x( ) ( )= + − = + −� 2 6 202

33 202

32

b) f x x xxx

( ) = + − = = −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 2 6 20 0 52

2→ →

= − − − + − − = − + − =F F F F( ) ( ) ( ) ( )6 7 0 6 144 133 0 144 155

� �−

− −

+ − + + − =6

7

2

0

6

23 16 12 3 16 12( ) ( )x x dx x x dx

F x x x dx x x x( ) ( )= + − = + −� 3 16 12 8 122 3 2

a) f x x xx

x( ) = + − =

= −

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

0 3 16 12 06

2

3

2→ →

f x x( ) = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟sen

π2

043

Integrales

513

Halla el área de la región que queda definida entre las funciones y el eje X.

a) y = (x −2)(2 x + 1)

b) y = (3 + x )(2 −5 x)

c) y = x3 −3x2 −6x + 8

d) y = x3 −x2 −21x + 45

e) y = (x + 3)(2x −1)(3x + 2)

�2

5

3

25 13 62

53

94

−

− − + =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− − =( ) ( )x x dx F F

775

63

2

4 913

150+ =

.

F x x x dx x x dxx

( ) ( )( ) ( )= + − = − − + = − −� �3 2 5 5 13 65

3

123 33

26

2xx+

b) f x x x x

x( ) ( )( )= + − = =

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

0 3 2 5 02

53

→ →

�2

1

2

22 3 2 21

2

14

3−

− − = − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −( ) ( )x x dx F F −− =

13

24

125

24

F x x x dx x x dxx x

( ) ( )( ) ( )= − + = − − = −� �2 2 1 2 3 22

3

3

22

3 2

−− 2x

a) f x x x x

x( ) ( )( )= − + = = −

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

0 2 2 1 01

22

→ →

044

� �1 2

0 1

4 4 4 4 1 0 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xdx dx F F F F− + − = − + − ==

= − − + − − + =4

44

1

4

16

48

4

44 6 48

ln ln ln ln,

F x dx xxx

( ) ( )ln

= − = −� 4 44

44

e) f x xx( ) = − = =0 4 4 0 1→ →

� �π

π

π ππ2

20

2 2sen x dx sen x−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ =

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

dx

F F F Fπ

ππ

20

2( ) ( )

⎠⎠⎟⎟⎟⎟ = − − + + =1 0 0 1 2

F x sen x dx x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟� π π

2 2cos ⎟⎟⎟⎟

d) f x sen x x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = =0

20

2→ →π π

11SOLUCIONARIO

514

Sea la función . Calcula el área de la región limitada

por la función, el eje de abscisas y las rectas.

a) x = −1 y x = 0

b) x = 3 y x = 7

c) x = −1 y x = 4

f xx xx x

( ) = + <− + ≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

4 1 16 1

sisi

045

� �−

− −

+ + − + + + −

2

3

3

3 2

1

2

2

3

3 26 19 6 6 19 6( ) ( )x x x dx x x x ddx

F F F F

=

= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− − +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

2

33

1

2( ) −−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + + − − =

2

3

214

8127

191

96

214

81

88 83. 77

2 592.

F x x x x dx x x x dx( ) ( )( )( ) ( )= + − + = + + −� �3 2 1 3 2 6 19 63 2 ==

= + + −3

2

19

3 26

4 3 2x x xx

e) f x x x x

x

x

x

( ) ( )( )( )= + − + =

= −

=

= −

⎧

0 3 2 1 3 2 0

31

22

3

→ → ⎨⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

�3

5

3 2 21 45 3 5207

4

3 475

1−

− − + = − − = +( ) ( ) ( ).

x x x dx F F22

1 024

3=

.

F x x x x dxx x x

x( ) ( )= − − + = − − +� 3 24 3 2

21 454 3

21

245

d) f x x x xxx

( ) = − − + = = −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 21 45 0 53

3 2→ →

= − − + − = + + − − =F F F F( ) ( ) ( ) ( )1 2 4 117

416 16

17

4

81

2

� �1

2

3 2

4

3 23 6 8 3 6 81−

− − + + − − + =( ) ( )x x x dx x x x dx

F x x x x dxx

x x x( ) ( )= − − + = − − +� 3 24

3 23 6 84

3 8

c) f x x x xxxx

( ) = − − + == −==

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

0 3 6 8 02

14

3 2→ →

Integrales

515

Sea la función

Determina el área de la región limitada por esta curva, el eje X y las rectas.

a) x = −1 y x = 0 b) x = 3 y x = 7 c) x = −1 y x = 4

�7

3

67 3 6 7 6 3 6

7

3xdx F F= − = − =( ) ( ) ln ln ln

b) F xx

dx x( ) ln= =� 66

�0

1

23 6 3 0 1 0 5 5−

+ − = − − = − =( ) ( ) ( )x x dx F F

F x x x dx x x x( ) ( )= + − = + −� 3 6 3 3 32 3 2

a) f x x x x( ) = + − = = − ±0 3 6 3 0 1 22→ →

g xx x x

xx

( ) =+ − <

≥

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

3 6 3 16 1

2 si

si046

= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− − + − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟F F F F

1

41 1

1

4( ) ( ) ++ − =

= − − + + + − =

F F( ) ( )4 1

1

81 3

1

816

11

216

c) � � �−

− −

+ + + + − + =

1

4

1

1

1

4

4

4 1 4 1 61

( ) ( ) ( )x dx x dx x dx

� �6 7

3 6

6 6 6 3 7 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + + − + = − + −x dx x dx F F F F ==

= − + − =1827

2

35

218 5

F x x dxx

x( ) ( )= − + = − +� 62

62

b) f x x x( ) = − + = =0 6 0 6→ →

� �−

− −

+ + + = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1

4

1

0

1

4

4 1 4 11

4( ) ( )x dx x dx F ⎟⎟− − + − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − − + + =

F F F( ) ( )1 01

4

1

81 0

1

8

5

44

F x x dx x x( ) ( )= + = +� 4 1 2 2

a) f x x x( ) = + = = −0 4 1 01

4→ →

11SOLUCIONARIO

516

Halla el área de la región limitada por estas curvas.

a) y = x2 + 5x + 8 y = x + 8

b) y = 6 −x −x2 y = −2x

c) y = −x2 −6x −5 y = −2x2 −12x −10

d) y = x3 −2x2 + x y = x3 −3x2 + 3x

�2

2

0

2 2 04

30

4

3( ) ( ) ( )x x dx F F− = − = − − =

F x x x x x x x dx x x dxx

( ) ( ( )) ( )= − + − − + = − =� �3 2 3 2 22 3 3 233

2

3− x

d) x x x x x x x xxx

3 2 3 2 22 3 3 2 0 02

− + = − + − = ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →

�−

−

+ + = − − − = − − =1

5

2 6 5 1 57

3

25

3

32

3( ) ( ) ( )x x dx F F

F x x x x x dx x x( ) ( ( )) ( )= − − − − − − − = + +� �2 2 26 5 2 12 10 6 5 ddx

xx x

=

= + +3

2

33 5

c) − − − = − − − + + = = −= −

⎧⎨x x x x x x

xx

2 2 26 5 2 12 10 6 5 0 51

→ → ⎪⎪⎪⎩⎪⎪

�3

2

2 6 3 227

2

22

3

125

6−

− + + = − − = + =( ) ( ) ( )x x dx F F

F x x x x dx x x dxx x

( ) ( ( )) ( )= − − − − = − + + = − +� �6 2 63

2 23 2

226+ x

b) 6 2 6 0 23

2 2− − = − − − = = −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

x x x x xxx

→ →

�0

4

2 4 0 4 032

3

32

3−

+ = − − = − =( ) ( ) ( )x x dx F F

F x x x x dx x x dxx

x( ) ( ( )) ( )= + + − + = + = +� �2 23

25 8 8 43

2

a) x x x x xxx

2 25 8 8 4 0 40

+ + = + + = = −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →

047

= − − + − − + − = + +5 4 2 5 1 5 4 2 6 4 6 1 8 2 5 6 4( ) ln ln ln

= − + − − + − − + + − =F F F F F F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 4 1

c) � � �− +

− − +

+ − + + − +1 2

1

2

1

1 2

2

4

3 6 3 3 6 3( ) ( )x x dx x x dx11

6

xdx =

Integrales

517

Halla el área de la región limitada por las funciones

Las funciones y = sen x e y = cos x determinan regiones del plano, que son la repetición de una figura. Determina el área de la figura base.

El área de la región limitada por las dos curvas de la figura se indica por una de las siguientes expresiones. Di cuál es la expresión.

a) �c

a

[f (x) −g(x)] dx

b) �c

a

[g(x) − f (x)] dx

c) �b

a

[g(x) − f (x)] dx + �c

b

[f (x) −g(x)] dx

d) �b

a

[f (x) −g(x)] dx + �c

b

[f (x) −g(x)] dx

La expresión es la del apartado c).

f (x)g(x)

a b c

Y

X

050

�5

4

4

5

4 4

π

π

π π( )sen x x dx F F− =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

⎛

⎝⎜⎜cos ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + =2 2 2 2

F x sen x x dx x sen x( ) ( )= − = − −� cos cos

Y

X

1

1

sen x xx

x=

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

cos →

π

π4

5

4

049

= − + − − − = −3 0 10 5 10 10 2 4 105

23ln ( ln ) ln

� �2 5

0 2

3

22 2

102x dx

x+ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ddx

xx x=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ =

3

410 2

2

0

2

2

5ln

Y

X

1

1

yx

y x y= = + =10 3

22 2, e .048

11SOLUCIONARIO

518

Dibuja la parábola y = x2 −2x −8 y su recta tangente por el punto de abscisa 2.Halla el área de la región limitada por ambas y las abscisas 2 y 4.

Como y' = 2x − 2, la recta tangente es:

Halla el área de la región del plano indicada en el dibujo, sabiendo que las tresfunciones son y = 8 −2x −x2, y = x + 4 y 11x + 3y −12 = 0.

Un móvil que parte con una velocidad inicial de 3 m/s se somete a una aceleración constante de 2 m/s. Eso significa que suvelocidad viene expresada por la fórmula v = 3 + 2t, mientras que el espacio que recorre en función del tiempo es: e = 3t + t2.

(Recuerda que, en un movimiento uniformemente acelerado,

v = v0 + at y ).e v t at= +021

2

053

= − −( ) + + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

=

−� �

0

4

2

3

24 3 45

30

x x dx x x dx

443

2 34

5

6 3

2 3

4

0 2 3

xx x

xx x

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + + −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− 00

3

056

30

21

2

175

6= + + + =

� �0

4

2

3

28 2 4 8 211

34

0−

− − − +( ) + − − − − +⎛

⎝⎜x x x dx x x x( ) ⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=dx

2

−2

Y

X

052

�4

2

2

4 4 4 216

3

8

3

8

3( ) ( ) ( )x x dx F F− + = − = − =

F x x x x dx

x x dxx

( ) ( ( ))

( )

= − − − − =

= − + =

��

2

23

2 8 2 12

4 43

−− +2 42x x

y x y x+ = − = −8 2 2 2 12( ) →

Y

X

2

2

051

Integrales

519

Representa la función velocidad y calcula.

a) El área comprendida entre la gráfica, el eje de abscisas y las abscisas 0 y 2.

b) El espacio recorrido en los dos primeros segundos.

c) El área comprendida entre la función, el eje de abscisas y las abscisas 0 y 5.

d) El espacio recorrido en los cinco primeros segundos.

e) El área comprendida entre la función, el eje de abscisas y las abscisas 2 y 6.

f) El espacio recorrido entre el segundo 2 y el segundo 6.

b) e = 3 · 2 + 22 = 10 m

d) e = 3 · 5 + 52 = 40 m

f) (3 · 6 + 62) − (3 · 2 + 22) = 54 − 10 = 44 m

La velocidad de un móvil viene dada por la fórmula v = 1 + 3t. Representa la función.

Calcula, utilizando la medida de sus áreas:

a) El espacio recorrido en los tresprimeros segundos.

b) El espacio recorrido entre el segundo 1 y el segundo 6.

c) El espacio recorrido entre el segundo 8 y el segundo 12.

c) �12

2

8

12

8

1 33

2228 104 12( )+ = +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = − =t dt t t 44

b) �6

2

1

6

1

1 33

260

5

2

115

2( )+ = +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = − =t dt t t

a) �3

2

0

3

0

1 33

2

33

2( )+ = +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =t dt t t

Y

X

1

1

054

e) �6

2

2

6

2

3 2 3 54 10 44( )+ = +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = − =t dt t t

c) �5

2

0

5

0

3 2 3 40( )+ = +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =t dt t t

a) �2

2

0

2

0

3 2 3 10( )+ = +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =t dt t t

Y

X

1

1

11SOLUCIONARIO

520

¿Es posible encontrar una función tal que �6

1

f (x) dx = 8, pero que el área descrita

por la función, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 6 sea 12?

En caso afirmativo, represéntala.

Sí, es posible si la gráfica de la función está por encima y por debajo del eje X.Respuesta abierta.

La siguiente función tiene por ecuación y = x2. Para calcular el área que quedadebajo de la curva, sobre el eje X y las abscisas 0 y 4, podemos hacerlo de formaaproximada utilizando el área de los trapecios que hemos dibujado.

El área de esos trapecios es:

A1 + A2 + A3 + A4 = 22 unidades cuadradas

a) Realiza el cálculo por medio de integrales y comprueba que el error no es excesivo.

b) Calcula, mediante los dos procedimientos, el área de la región que la curva y = 6 + x −x2 describe en el primer cuadrante.

b) T1 = 6 T2 = 5 T3 = 2

T1 + T2 + T3 = 13

�3

22 3

0

3

0

6 62 3

27

213 5( ) ,+ − = + −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = =x x dx x

x x

a) �4

23

0

4

03

64

321 33x dx

x=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = = ,

1 2

1

y = 6 + x − x2

Y

X

T1

T2

T3

A A A A1 2 3 41

2

5

2

13

2

25

2= = = =

1 2 3 4

y = x2

T2T1

T3

T4

2

Y

X

056

Y

X

1

1

055

Integrales

521

El cálculo de una integral definida se relaciona con el área bajo una curva. Explica por qué se verifica entonces que:

�6

0

(x2 −2x) dx <�6

2

(x2 −2x) dx

De la función f(x) = x2 + bx + c se sabe que determina un área de 36 unidadescuadradas con el eje X y las abscisas 0 y 3, y que corta al eje X, al menos, en el punto (−3, 0). Determina la expresión algebraica de la función f (x).

Si el punto (−3, 0) pertenece a la gráfica de la función: 9 − 3b + c = 0 → 3b − c = 9,y se obtiene que: c = 3 → b = 4 → f(x) = x2 + 4x + 3

Calcula �π

0

tg x dx y y explica los resultados obtenidos.

Las integrales definidas son iguales a cero, porque las áreas determinadas por las gráficas por encima y por debajo del eje X tienen el mismo valor, pero sonde distinto signo, y se anulan.

Y

X

1

1

Y

X

1

1

�1

11

110

−−

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =

xdx xln� �

π ππ

0 00

0tg x dxsen x

xdx x= = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =

coscosln

�1

1

1

−x

dx059

�3

23 2

0

3

0

363 2

36( )x bx c dxx bx

cx+ + = + +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =→

→ 999

23 36 3 2 18+ + = + =

bc b c→

058

� � �2

2

6

2

6

2

0 0 2

2 0 2 2( ) ( ) ( )x x dx x x dx x x dx− < − < −→

� � �6

2

2

2

6

2

0 0 2

2 2 2( ) ( ) ( )x x dx x x dx x x dx− = − + −

x xxx

2 2 0 02

− = ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→

Y

X

2

2

057

11SOLUCIONARIO

522

Al llover, una gota de agua cae desde una altura de 600 m. ¿Qué velocidad tendrá a los 3 segundos? Determina mediante integrales el espacio que habrá recorridohasta ese momento.

¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?

(La aceleración de la gravedad es 9,8 m/s2.)

La velocidad viene dada por la fórmula: v = 9,8t

A los 3 segundos, la velocidad es: v = 29,4 m/s

Halla una primitiva, F(x), de la función:

tal que F(2) = 5.

Así, la función es:

Siendo f(x) una función definida a trozos:

calcula �x

0

f (x) dx.

Si x � (0, 2]:

Si x � (2, 3]:

Y si x � (3, 4]:

� � � �4 2 3

2

0 0 2 3

2 4 2 10f x dx x dx dx x dx xx

( ) ( )= + + − + = ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥ + ⎡⎣ ⎤⎦ + − +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ =

= + − +

0

2

2

3 2

3

2

4 10

4 4 10

x x x

x

x

xx x x− = − + −21 10 132

� � �x x

f x dx x dx dx x x0 0 2

2

2

0

2

22 4 4( ) = + = ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ + ⎡⎣ ⎤⎦

xxx x= + − = −4 4 8 4 4

� �x x

xf x dx x dx x x

0 0

2 2

0

2( ) = = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =

f xx x

xx x

( )[ , ]( , ]( , ]

=∈∈

− + ∈

⎧⎨

2 0 24 2 3

2 10 3 4

sisisi

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

062

F x x( ) = + + −3 1 5 3 52

F k k( )2 5 3 5 5 5 3 5= + = = −→ →

F xx

xdx x k( ) =

+= + +� 3

13 1

2

2

f xx

x( ) =

+

3

1 2

061

4 9 600 122 44 11 062 2, , ,t t t= = =→ → se t dt t= = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =�

3

2

0

3

0

9 8 4 9 44 1, , , m

060

Integrales

523

De una función f(x) sabemos que:

f(−1) = −19 f'(2) = 24 f'' ( x) = 18x −10

Determina su expresión analítica.

Calcula el área de la región limitada por las dos curvas de la figura, sabiendo que una de ellas es una parábola.

La parábola pasa por los puntos: (0, 6), (−3, 0) y (2, 0), su ecuación

será de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

La recta pasa por los puntos: (2, 0) y (0, 4), y su ecuación es g(x) = −2x + 4.

El área de la región limitada por las dos curvas es:

La siguiente figura es la silueta del arco de un palacio árabe. Halla el área de la superficie que forma con el eje X, sabiendo que la figura se construye trasladando y haciendo simetrías de la función y = tg x en el

intervalo

� �7

18

4

7

18

4

π

π

π

π− −

= =

= −⎡⎣

tg x dxsen x

cos xdx

xln cos⎢⎢ ⎤⎦⎥ =−

π

π

4

7

18 0 72,

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

π π4

7

18, .

1

1

Y

X

065

�2

23 2

1

6 2 43 2

2−

− − + − − + = − + +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥( ( ))x x x dx

x xx

−−

= + =1

210

3

7

6

9

2

ca b ca b c

a ba b

=− + =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

− = −+ = −

69 3 04 2 0

3 22 33

11

62⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −= −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − − +ab

f x x x→ ( )

1

1

Y

X

064

Por tanto, la función es: f x x x x( ) = − + −3 5 8 33 2

Si f k k( )− = − − − − + = − = −1 19 3 5 8 19 3→ →

F x x x dx x x x k( ) ( )= − + = − + +� 9 10 8 3 5 82 3 2

Si y entonces:f k k f x' '( ) , ( )2 24 36 20 24 8 9= − + = = =→ → xx x2 10 8− +

F x x dx x x k'( ) ( )= − = − +� 18 10 9 102

063

11SOLUCIONARIO

524

Dada la integral , encuentra los valores de A y B tales que:

Opera en el último miembro e iguala los polinomios. Después, resuelve la integral.

La variación instantánea de la cotización, su derivada, sigue durante una semana la funciónf(x) = 0,02 x2 + 1, donde x es el día de la semana (0 = lunes, 1 = martes, …). Si el lunes cotiza a 5 €,halla la función de cotización.

Halla el área de las figuras coloreadas, si la gráfica corresponde a la función f(x) = x2 + x.

Determina el área de las zonas coloreadas sabiendo

que la curva corresponde a

� �0

1

32 2

322

3

2

31 28−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

+ −⎛

⎝⎜⎜x

xdx x

x

,⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + −

⎡

⎣⎢

−

dxx x x x4 3

1

0 4 3

4

2

9 4

2

9⎢⎢⎤

⎦⎥⎥ =

= + − =1 28

2

0 47 2 22 0 205 2 485,

, , , ,

xx

x322

31 1 28− = ≅→ ,

xx x

x3

22

30

02

3

− ==

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

f x xx

( ) .= −322

3

1 2

1

Y

X

−1

069

� �1

2

3

2

3 2

0

0 2

6

3 2

( ) ( )x x dx x x dx

x x

+ + + − =

= +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

11 3 2

2

3

3 26

5

6

53

66

11

3

+ +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ − =

= + − =

x x

1 2 3

1

6

Y

X

y = x2 + x

068

Si (0) 5 5 0,02F k F xx

x= = = ⋅ + +→ → ( )3

35

F x x dxx

x k( ) ( , ) ,= + = ⋅ + +� 0 02 1 0 023

23

067

� �8 7

2 1

3

2

5

13

x

x xdx

x xdx

−− +

=−

++

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

( )( )lln lnx x k− + + +2 5 1

8 7

2 1 2 18 7 1 2

x

x x

A

x

B

xx A x B x

−− +

=−

++

− = + + −( )( )

( ) ( )→

→→ A BA B

AB

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

82 7

35

8 7

2

8 7

2 1 2 12

x

x x

x

x x

A

x

B

x

−− −

= −− +

=−

++( )( )

� 8 7

22

x

x x

−− −

066

Integrales

525

De la función f sabemos que:

Calcula razonadamente las siguientes integrales, e indica si utilizas alguna propiedad.

La función cuya gráfica aparece en el dibujo es f(x) = sen x. Considera el recintosombreado en la figura y contesta a las siguientes preguntas.

a) Halla de forma aproximada su área, y razona cuál puede ser su medidaaproximada.

b) Calcula su valor mediante el cálculo integral.

a) El recinto sombreado corresponde aproximadamente a 4 rectángulos.

= +⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦ + +⎡⎣ ⎤⎦ =

= −

x x x x xcos cosππ

π

π

π

π

π

2

2

2

5

2

112

25

22 1 2 2 4 28− + − + − − = −

ππ π

ππ π � ,

� � �π

π

π

π

π

π2

25

2

2

1 1 1( ) ( )− + + − =sen x dx dx sen x dx

b) sen xx

x=

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

1 25

2

→

π

π

A =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =4

31

4

34 18

π π· ,�

1

Y

X2ππ

071

c) � � �5 5 5

1

5

1 1 1

7 7 7 8( ( )) ( )+ = + = ⎡⎣ ⎤⎦ +f x dx dx f x dx x == + =28 8 36

b) � �5 5

1 1

2 2 2 8 16( · ( )) ( ) ·f x dx f x dx= = =

a) � � �10 5 10

1 1 5

8 2 10f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )= + = + =

c) �5

1

7( ( ))+ f x dxb) �5

1

2( ( ))⋅ f x dxa) �10

1

f x dx( )

� �5 10

1 5

8 2f x dx f x dx( ) ( )= =

070

11SOLUCIONARIO

526

Representa gráficamente las siguientes funciones, y halla sus integrales sin utilizarla regla de Barrow.

Dada la función f(x) = sen x, compara los valores de y el área bajo

la curva en el intervalo

La integral vale 0 mientras que el área es 4.

Representa gráficamente el recinto plano limitado por la parábola y = x2 −4 y la recta que pasa por los puntos A(−1, −3) y B(3, 5). Calcula su área.

074

Área = + = −⎡⎣ ⎤⎦ + −−

−� �0

2

2

2

0

0π

π

πsen x dx sen x dx xcos ccos x⎡⎣ ⎤⎦ = + =02 1 1 2π

sen x x= =0 0→�π

ππ

π2

22

2 0−

−= −⎡⎣ ⎤⎦ =sen x dx xcos

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

π π2 2

, .

�π

π

2

2−

sen x dx073

Y

X

1

1

c) �1

22

0

11

4 4− = =x dx

π π·

Y

X

1

1

b) �3

0

11 1

2

2 2

2

5

2x dx− = + =

· ·

Y

X

1

1

a) �2

0

14

22 4( )x dx+ = + =

c) �1

2

0

1− x dxb) �3

0

1x dx−a) �2

0

1( )x dx+

072

Integrales

Y

X

1

1

527

La ecuación de la recta es: y = 2x − 1

Determina el área que encierra una parábola que pase por los puntos:

(−2, 0) (0, 6)

y la recta y = x en el intervalo [1, 3].

La ecuación de la parábola es de la forma: y = ax2 + bx + c

Entonces, resulta que:

PARA FINALIZAR…

Comprueba que los siguientes pares de funciones son primitivas de la misma función.

a)

b)

c)

g x sen x sen x x sen x x'( ) · ·= = =2 2 2 2 4cos cosc) f x sen x x sen x x'( ) ·= =2 2 4cos cos

g x e e e e e ex x x x x x'( ) ( )( ) ( )= − + = −− − −2 2 2 2

b) f x e e e e e ex x x x x x'( ) ( )( ) ( )= + − = −− − −2 2 2 2

g xax

ax

'( ) ·= =1 1

a) f xx

'( ) =1

f x sen x g x x( ) ( )= = −2 22 y cos

f x e e g x e ex x x x( ) ( ) ( ) ( )= + = −− −2 2y

f x x g x ax( ) ( )= =ln y ln

076

� � �3

2

6

2

3

6

2

1 1

6 6 6( ) ( ) ( )− + + − = − + + − + =x x x dx x dx x dx

== − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + − +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = −

xx

xx

3

1

6 3

6

3

36

36 4 6

17

339 4 6

10

3+ − =

− + + = − + = = ±x x x x x2 26 6 0 6→ →y x x= − + +2 6

( , )

,

− − + =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + +

2 0 4 2 0

1

2

25

4

1

4

1

2

→

→

a b c

a b c ==

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

− = −+ =

⎫25

40 6 6

2 32 1

( , ) → c

a ba b

⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −=

ab

11

1

2

25

4,

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

075

� �3

1

2

3

1

23

2 1 4 2 33

− −

− − − = − + + = − +( ( )) ( )x x dx x x dxx

x 22

1

3

3

95

3

32

3

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

= + =

−

x

11SOLUCIONARIO

528

Calcula .


a) b)

Justifica el razonamiento y calcula: .

Si f(x) es par → Si f(x) es impar →

Si f(x) es par, la gráfica de la función es simétrica respecto del eje Y.

Si f(x) es impar, la gráfica de la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y los recintos determinados por encima y por debajo del eje Xson iguales:

Como sen27 x es una función impar:

�2

2

27 0−

=sen x dx

� � � �0 0

0− − −

= − =a

a a

a a

f x dx f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( ) ( )→ ++ =�a

f x dx0

0( )

� � � �0 0

0− − −

= = +a

a a

a a

f x dx f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( ) ( )→ �� a a

f x dx f x dx0 0

2( ) ( )=

�a

a

f x dx−

=( ) 0� �a

a

a

f x dx f x dx−

=( ) ( )20

�2

2

27

−sen x dx079

b) � � � �cosec x dxsen x

dxsen

xcos

xdx= = =

1 1

22 2

2

1

·

coss

sec

2

2

2

2

22 2

2

22

x

senx

cosx

dx

x

tgx

dx tgx

k

=

= = +� ln

a) � � �secsec

sec

secx dx

sec x x tg x

x tg xdx

x=

++

=+( ) 2 ssec

sec

cos cos

cos

x tg x

x tg xdx

x

sen x

x

x

+=

=+

+�

1

1

2 2

ssen x

x

dxx

sen x

xk x tg x k

coscos cos

sen= + + = + +ln ln1

�cosec x dx�sec x dx

078

� �cos x dxx

dx xsen x2 1 2

2

1

2

2

2=

+= +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

coskk

� �sen x dxx

dx xsen x2 1 2

2

1

2

2

2=

−= −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

coskk

� �sen x dx x dx2 2y cos077

Integrales

529

Halla la función que pasa por el punto P(1, 5) y tal que la pendiente de la rectatangente en cualquiera de sus puntos viene dada por la función g(x) = 3x2 + 5x −2.

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente con una velocidad inicial v0, y despreciando la resistencia del aire, viene dada por la función:

v = v0 −g ⋅ t

donde g es la aceleración de la gravedad y t es el tiempo, en segundos. El cuerpoalcanza una altura que viene dada por la fórmula: e = v ⋅ t, donde e es la altura.

a) ¿A qué altura se encontrará este cuerpo transcurridos t segundos?

b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

c) ¿Cuánto tiempo tarda en caer al suelo?

d) ¿Qué espacio recorre?

a) e = v � t → e = v0 � t = 9,8t2

b) La fórmula corresponde a una función cuadrática cuya representación gráficaes una parábola. Como el coeficiente de mayor grado es negativo, la alturamáxima se alcanza en el vértice de la parábola:

c) El cuerpo tarda el mismo tiempo en alcanzar la máxima altura que en caer al suelo. Por tanto, el tiempo que tarda en caer al suelo es:

d) El espacio que recorre en total es el doble del espacio que recorre para alcanzarla altura máxima.

ev v

= =25

196

5

980

20

2

·

tv v

= ⋅ =25

98

5

490 0

tv v

e vv v

= −−

= = −⎛

⎝⎜0 0

00 0

2 9 8

5

98

5

989 8

5

98· ( , )· , ·→ ⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − =

20

20

20

25

98

5

196

5

196

v v v

081

( , ) ( )1 5 15

22 5

7

2

5

22

7

23

2

→ → →+ − + = = = + − +k k f x xx

x

f x g x f x x x dx xx

x k'( ) ( ) ( ) ( )= = + − = + − +→ � 3 5 25

222 3

2

1

1

P

Y

X

080

11SOLUCIONARIO

530


Resume los datos en una tabla de frecuencias y represéntalos en un gráfico estadístico.¿Puedes calcular alguna medida de centralización?

Se ha elegido una muestra de 50 personas con características personales y profesionalessimilares.

No es posible calcular ninguna medida de centralización porque la variable no es cuantitativa.

5

Respuestas

Frec

uenc

ias 25

(5)(1) (2) (3) (4) (6) (7) (8)

Y

X

Respuestas fi

No les gustan los muñecos (1) 30

Los comprarían si fueran más grandes (2) 4

Los comprarían si fueran más pequeños (3) 3

No están en edad de jugar (4) 4

Protestan por figurillas de extranjeros (5) 1

Alérgicas al barro (6) 2

Malos recuerdos (7) 4

Agradecidas por ser gratuitas (8) 2

Estadística bidimensional12La cavernaBuenas tardes, señor Algor, Buenas tardes, señor, Supongo que imagina por qué motivo le estoy te-lefoneando hoy, Supone bien, señor, dígame, Tengo ante mí los resultados y las conclusiones delsondeo acerca de sus artículos, [...] Y esos resultados cuáles son, señor, preguntó Cipriano Algor,Lamento informarle de que no fueron tan buenos cuanto desearíamos, Si es así nadie lo lamentarámás que yo, Temo que su participación en la vida de nuestro Centro ha llegado al final, [...] Vaya to-mando nota de los resultados, Dígamelos, El universo de los clientes sobre el que incidiría el son-deo quedó definido desde el principio por la exclusión de las personas que por edad, posición so-cial, educación y cultura, y también por sus hábitos conocidos de consumo, fuesen previsible yradicalmente contrarias a la adquisición de artículos de este tipo, es bueno que sepa que si toma-mos esta decisión, señor Algor, fue para no perjudicarlo de entrada, Muchas gracias, señor, Le doyun ejemplo, si hubiéramos seleccionado cincuenta jóvenes modernos, cincuenta chicos y chicas denuestro tiempo, puede tener la certeza, señor Algor, de que ninguno querría llevarse a casa uno desus muñecos, o si se lo llevase sería para usado en algo así como tiro al blanco, Comprendo, Escogi-mos veinticinco personas de cada sexo, de profesiones e ingresos medios, personas con anteceden-tes familiares modestos, todavía apegadas a gustos tradicionales, y en cuyas casas la rusticidad delproducto no desentonaría demasiado, E incluso así, Es verdad, señor Algor, incluso así los resulta-dos fueron malos, Qué le vamos a hacer, señor, Veinte hombres y diez mujeres respondieron que noles gustaban los muñecos de barro, cuatro mujeres dijeron que quizá los compraran si fueran másgrandes, tres podrían comprarlos si fuesen más pequeños, de los cinco hombres que quedaban,cuatro dijeron que ya no estaban en edad de jugar y otro protestó por el hecho de que tres de las fi-gurillas representasen extranjeros, para colmo exóticos, y en cuanto a las ocho mujeres que todavíafaltan por mencionar, dos se declararon alérgicas al barro, cuatro tenían malos recuerdos de estaclase de objetos, y sólo las dos últimas respondieron agradeciendo mucho la posibilidad que les ha-bía sido proporcionada de decorar gratuitamente su casa con unos muñequitos tan simpáticos, hayque añadir que se trata de personas de edad que viven solas, Me gustaría conocer los nombres y lasdirecciones de esas señoras para darles las gracias, dijo Cipriano Algor, Lo lamento, pero no estoyautorizado a revelar datos personales de los encuestados, es una condición estricta de cualquiersondeo de este tipo, respetar el anonimato de las respuestas. [...] Buenas tardes, Buenas tardes.

JOSÉ SARAMAGO


En una revista leemos que el pastor alemán tiene una alzada media de 55 cm. ¿Crees que han medido a todos los pastores alemanes del planeta? Explica cómo crees que han llegado a esta conclusión.

No los han medido. Se elige una muestra representativa de la población de pastores alemanes y se estudia el valor de la media en dicha muestra.

Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando.

a) El programa favorito de los miembros de tu familia.

b) El número de calzado de los alumnos de un IES.

c) La temperatura media diaria de tu provincia.

d) La edad de los habitantes de un país.

e) El sexo de los habitantes de un pueblo.

f ) El dinero gastado a la semana por tus amigos.

g) Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.

h) El color del pelo de tus compañeros de clase.

a) Cualitativa

b) Cuantitativa discreta

c) Cuantitativa continua

d) Cuantitativa discreta

e) Cualitativa

f ) Cuantitativa discreta

g) Cualitativa

h) Cualitativa

El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:

3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3

a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.

b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas?

b) Las frecuencias acumuladas indican el número de alumnos que estudian como máximo el número de horas correspondiente. Por ejemplo, la frecuencia acumulada para el valor 2 es 18, es decir, hay 18 alumnos que estudian 0, 1 o 2 horas.

Fi Hi

3 0,1

11 0,37

18 0,6

24 0,8

27 0,9

30 1

fi hi

3 0,1

8 0,27

7 0,23

6 0,2

3 0,1

3 0,1

N = 30 hi∑ = 1

Horas

0

1

2

3

4

5

a)

003

002

001

12SOLUCIONARIO

531

532

De los 30 asistentes a una cena, el 20 % comió ternera, el 40 % cordero y el restotomó pescado. Indica la variable estadística y organiza los resultados en una tabla de frecuencias; después, representa los datos en un diagrama de sectores.

La variable estadística es el plato elegido en la cena.

ACTIVIDADES

Pon dos ejemplos de variables estadísticas unidimensionales.

Respuesta abierta. Por ejemplo: la calificación de los alumnos de una clase en un examen y la estatura de los miembros de un equipo de baloncesto.

Organiza estos datos en una tabla de frecuencias absolutas y relativas.

0 5 1 1 4 4

0 6 2 2 3 6

1 4 7 1 7 5

3 6 8 2 8 6

La tabla muestra la estatura, en centímetros, de un grupo de personas.

a) Elabora una tabla de frecuencias.

b) ¿Qué porcentaje de personas miden entre 165 cm y 175 cm? ¿Y menos de 185 cm?

Estatura (cm) [165, 175) [175, 185) [185, 195)

N.o de personas 40 85 25

003

Fi Hi

2 0,08

6 0,25

9 0,38

11 0,46

14 0,59

16 0,67

20 0,84

22 0,92

24 1,92

fi hi

2 0,08

4 0,17

3 0,13

2 0,08

3 0,13

2 0,08

4 0,17

2 0,08

2 0,08

N = 24 hi∑ = 1

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

002

001

PescadoTernera

Cordero

Fi Hi

6 0,2

18 0,6

30 1

fi hi

6 0,2

12 0,4

12 0,4

N = 30 hi∑ = 1

Plato

Ternera

Cordero

Pescado

004

Estadística bidimensional

533

b) El porcentaje de personas que miden entre 165 cm y 175 cm es del 27 %.

Y el porcentaje de personas que miden menos de 185 cm es del 83 %.

A partir de los datos, construye la tabla de frecuencias, y calcula las medidas de centralización.

23 10 25 12 13 24 17 22

16 20 26 23 22 13 21 18

16 19 14 17 11 17 15 26

x� = = 18,33 → El valor medio es 18,33.

Mo = 17 → El valor más frecuente es 17.

Me = = 17,5

Hay tantos valores menores que 17,5 como mayores.

17 18

2

+

440

24

Fi Hi

1 0,04

2 0,08

3 0,13

5 0,21

6 0,25

7 0,29

9 0,38

12 0,5

13 0,54

14 0,58

15 0,63

16 0,67

18 0,75

20 0,83

21 0,88

22 0,92

24 1

fi hi

1 0,04

1 0,04

1 0,04

2 0,08

1 0,04

1 0,04

2 0,08

3 0,13

1 0,04

1 0,04

1 0,04

1 0,04

2 0,08

2 0,08

1 0,04

1 0,04

2 0,08

N = 24 hi∑ = 1

xi

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

004

Fi Hi

40 0,27

125 0,83

150 1

fi hi

40 0,27

85 0,57

25 0,17

N = 150 hi∑ = 1

Estatura xi

[165, 175) 170

[175, 185) 180

[185, 195) 190

a)

12SOLUCIONARIO

534

Obtén e interpreta las medidas de centralización correspondientes a los datos de esta tabla.

x� = = 72,75

El peso medio es de 72,75 kg.

El intervalo modal es [65, 80); su marca de clase: 72,5 es la moda.

Lo más frecuente es que el peso esté comprendido entre 65 kg y 80 kg.

El intervalo mediano es [65, 80); su marca de clase: 72,5 es la mediana.

Hay tantas personas que pesan menos de 72,5 kg como personas que pesan más.

Calcula las medidas de dispersión para estos datos.

x� = = 26,67

Rango: R = 45 − 5 = 40

Desviación media: DM = = 11,39

Varianza: σ2 = = 155,56

Desviación típica: σ = 12,47

Coeficiente de variación: CV = = 0,4712 47

26 67

,

,

18 666 8

120

. ,

1 366 6

120

. ,

3 200

120

.

|xi − x� | (xi − x�)2

16,67 277,89

6,67 44,49

3,33 11,09

13,33 177,69

fi

35

15

25

45

N = 120

Clases xi

[5, 15) 10

[15, 25) 20

[25, 35) 30

[35, 45) 40

Clases [5, 15) [15, 25) [25, 35) [35, 45)

Frecuencias 35 15 25 45

006

21 462 5

295

. ,

hi

75

215

295

fi

75

140

80

N = 295

Peso xi

[50, 65) 57,5

[65, 80) 72,5

[80, 95) 87,5

Peso (kg) [50, 65) [65, 80) [80, 95)

N.o de personas 75 140 80

005


535

Compara las edades, en años, de los jugadores de estos equipos de baloncesto,utilizando las medidas estadísticas.

A: 18 26 20 26 22 26 23 27 25 25

B: 20 21 20 21 22 23 23 24 25 25

xA� = = 23,8 σA = = 7,96 σA = 2,82 CVA = = 0,12

xB� = = 22,4 σ2B = = 3,24 σB = 1,8 CVB = = 0,08

La media de las edades del equipo A es superior, pero también es mayor el coeficiente de variación de este equipo, por lo que hay más diferencias entre sus jugadores.

Considera estas variables bidimensionales, y escribe las variables unidimensionalescorrespondientes y tres pares de valores que las determinan.

a) Edad y sexo de los asistentes a un concierto.

b) Tamaño de un archivo informático y tiempo que se tarda en copiarlo.

a) X → Edad, en años, de los asistentes al concierto

Y → Sexo de los asistentes

(20, mujer) (25, hombre) (28, mujer)

b) X → Tamaño, en kb, del archivo informático

Y → Tiempo, en s, que se tarda en copiarlo

(220, 35) (158, 24) (285, 42)

Ordena estos datos en una tabla de doble entrada.

XY

0 1 2 Total

8 0 0 1 1

12 1 0 0 1

14 0 1 0 1

17 0 1 0 1

18 1 0 0 1

23 0 0 1 1

Total 2 2 2 6

X Y

1 14

2 23

1 17

X Y

0 18

0 12

2 8

009

008

1 8

22 4

,

,

32 4

10

,224

10

2 82

23 8

,

,

79 6

10

,238

10

007

12SOLUCIONARIO

536

Construye la tabla de doble entrada y las tablas marginales correspondientes.

Tabla de frecuencias Tabla de frecuencias marginales de X marginales de Y

Determina la covarianza para los datos que aparecen en la siguiente tabla.

x� = = 10,75

y� = = 15,75

σXY = − 10,75 ⋅ 15,75 = −9,44

Representa la nube de puntos correspondiente a la siguiente variable estadísticabidimensional.

X 1 1 3 5 2 4 5 2 5 2 4 3 2 1 1

Y 4 5 2 5 5 4 5 3 6 5 1 2 8 6 3

012

1 279

8

.

126

8

86

8

X 8 10 11 9 13 12 9 14

Y 20 18 16 22 10 10 21 9

011

yi fi

3 1

4 2

5 2

6 2

8 3

Total 10

xi fi

13 1

14 3

15 1

16 2

17 2

18 1

Total 10

XY

13 14 15 16 17 18 Total

3 0 0 0 0 1 0 1

4 1 0 0 0 1 0 2

5 0 1 0 1 0 0 2

6 0 0 0 1 0 1 2

8 0 2 1 0 0 0 3

Total 1 3 1 2 2 1 10

X 16 17 18 16 14 17 14 13 14 15

Y 5 4 6 6 8 3 5 4 8 8

010


537

Indica la dependencia entre estas variables.

Dependencia lineal débil y positiva.

Describe el grado de correlaciónentre las dos variablesrepresentadas.

La correlación lineal es débil y negativa.

Si el signo de la covarianza entre dos variables es negativa, ¿qué podemos decir del signo del coeficiente de correlación?

¿Y si la covarianza es positiva?

Si la covarianza es negativa, el coeficiente de correlación es negativo. Y si la covarianza es positiva, el coeficiente de correlación es también positivo.

Representa el diagrama de dispersión y halla el coeficiente de correlación de esta variable.

¿Qué relación puedes describir entre ellos?

x� = = 40,8 y� = = 176,2

σX = = 1,83 σY = = 9,05

σXY = − 40,8 ⋅ 176,25 = 13,6 rXY = = 0,8213 6

1 83 9 05

,

, · ,

72 046

10

.

81 96,3 36,

1 762

10

.408

10

X 39 43 40 40 42 41 42 38 39 44

Y 167 184 177 168 185 173 180 164 170 194

38 40 42 44 46 48

165

175

185

195

Y

X

016

015

Y

X

014

X

Y

013

1

1

Y

X

12SOLUCIONARIO

538

Razona qué valor tomará el coeficiente de correlación.

a) El coeficiente de correlación tomará un valor relativamente cercano a −1,porque la nube de puntos se aproxima bastante a una recta con pendientenegativa y la correlación es fuerte.

b) El coeficiente de correlación es 1, ya que la nube de puntos coincide con una recta de pendiente positiva.

Halla la recta de regresión de Y sobre X.

x� = = 6 y� = = 16

σX2 = = 6 σXY = − 6 ⋅ 16 = 18

Recta de regresión de Y sobre X: y − 16 = (x − 6) → y = 3x − 2

Determina la recta de regresión correspondiente.

x� = = 40,7 y� = = 174,5

σX2 = − 40,72 = 3,41 σXY = − 40,7 ⋅ 174,5 = 12,35

Recta de regresión de Y sobre X: y − 174,5 = (x − 40,7) → y = 3,62x + 27,17

Determina las dos rectas de regresión, e indica la relación que hay entre las variables.

a)

b) X 8 10 11 12 16 13 12 17 13 13

Y 15 10 15 10 20 15 10 25 10 15

X 10 10 13 15 12

Y 6 5 2 3 5

020

12 35

3 41

,

,

71 145

10

.16 599

10

.

1 745

10

.407

10

X 39 40 40 42 43 38 39 44 42 40

Y 167 168 180 164 177 154 185 195 183 172

019

18

6

570

5

30

5

80

5

30

5

X 2 5 6 8 9

Y 4 13 16 22 25

018

X

Y

X

Ya) b)

017


539

a) x� = = 12 y� = = 4,2

σX2 = − 122 = 3,6 σXY = − 12 ⋅ 4,2 = −2,2

Recta de regresión de Y sobre X: y − 4,2 = − (x − 12) → y = −0,61x + 11,52

σX2 = − 4,22 = 2,16

Recta de regresión de X sobre Y: x − 12 = − (y − 4,2) → x = −1,02y + 16,28

σX = = 1,89 σY = = 1,47

rXY = − = −0,79 → La dependencia es débil y negativa.

b) x� = = 12,5 y� = = 14,5

σX2 = − 12,52 = 6,25 σXY = − 12,5 ⋅ 14,5 = 7,75

Recta de regresión de Y sobre X: y − 14,5 = (x − 12,5) → y = 1,24x − 1

σX2 = − 14,52 = 22,25

Recta de regresión de X sobre Y: x − 12,5 = (y − 14,5) → x = 0,35y + 7,43

σX = = 2,5 σY = = 4,72

rXY = = 0,66 → La dependencia es débil y positiva.

Razona cuál es el grado de dependencia entre las variables en cada caso.

a) La dependencia es fuerte y negativa.

b) La dependencia es débil y negativa.

Y

X

Y

X

a) b)

021

7 75

2 5 4 72

,

, · ,

22 25,6 25,

7 75

22 25

,

,

2 325

10

.

7 75

6 25

,

,

1 890

10

.1 625

10

.

145

10

125

10

2 2

1 89 1 47

,

, · ,

2 16,3 6,

2 2

2 16

,

,

99

5

2 2

3 6

,

,

241

5

738

5

21

5

60

5

12SOLUCIONARIO

540

En un estudio sobre los ingresos mensuales, X, y la superficie de las viviendas, Y,resulta: y = 0,02x + 47,96.

a) Halla la estimación de la superficie de la vivienda de una familia cuyos ingresosmensuales son de 3.200 €.

b) Si una familia vive en una casa de 90 m2, ¿cuáles serán sus ingresos mensuales?

a) y = 0,02 ⋅ 3.200 + 47,96 = 111,96 m2

b) 0,02x + 47,96 = 90 → x = 2.102 €

En un estudio estadístico, el coeficiente de correlación entre dos variables X e Yes −0,8. Se sabe que x� = 20; σX = 4; y� = 8 y σY = 1.

a) Determina las dos rectas de regresión, represéntalas y analiza la correlación que existe entre las variables.

b) Si x = 30, ¿cuál es la estimación de y?

a) −0,8 = → σXY = −3,2

Recta de regresión de Y sobre X: y − 8 = − (x − 20) → y = −0,2x + 12

Recta de regresión de X sobre Y: x − 20 = − (y − 8) → x = −3,2y + 45,6

La dependencia es fuerte y negativa.

b) y = −0,2 ⋅ 30 + 12 = 6

Utiliza la calculadora para determinar todas las medidas estadísticas.

a)

b)

a) x� = 2,93 y� = 6,73

σX2 = 1,82 σY

2 = 1,97

σX = 1,35 σY = 1,4

σXY = 0,35

rXY = 0,19

b) x� = 24,6 y� = 2,6

σX2 = 4,44 σY

2 = 1,64

σX = 2,11 σY = 1,28

σXY = 0,44

rXY = 0,16

X 24 27 22 23 24 26 27 28 22 23

Y 2 1 2 4 5 2 3 4 1 2

X 2 4 2 3 5 1 4 5 1 3 4 2 1 3 4

Y 5 8 8 7 6 5 9 6 7 7 8 9 5 6 5

024

3 2

1

,

3 2

16

,

σXY

4 1⋅

023

022


2

2

Y

X

541

Estudia la correlación entre estas variables, utilizando la calculadora para realizar las operaciones.

Determina la recta de regresión y razona si tiene sentido estimar el valor de Ysi la variable X toma el valor 18.

x� = 14,4 y� = 33,9

σX2 = 2,24 σY

2 = 4,49

σX = 2,11 σY = 2,12

σXY = 0,14

rXY = 0,03

Recta de regresión de Y sobre X: y − 33,9 = (x − 14,4) → y = 0,06x + 33

Como la correlación es casi nula, no tiene sentido estimar el valor de y para x = 18.

Representa la nube de puntos asociada a las siguientes distribuciones bidimensiones.

a) (2, 2) (3, 6) (5, 10) (6, 14) (8, 19) (9, 23) (10, 25)

b) (5, 2) (6, 0) (8, −2) (10, −7) (11, −9) (13, −13) (15, −17)

c) (120, 60) (122, 75) (126, 60) (128, 90) (130, 50) (132, 100) (136, 70)

d) (7, 3) (8, 9) (9, 2) (10, 8) (11, 5) (12, 1) (13, 7)

Decide si existe dependencia entre las variables y de qué tipo es.

6

1

Y

X

d)

2

2

Y

X

b)

120

20

130 160

100

Y

X

c)

1

20

10

4

Y

X

a)

026

0 14

2 24

,

,

X 14 16 17 14 15 12 13 13 14 16

Y 32 34 36 34 32 34 31 36 38 32

025

12SOLUCIONARIO

542

Representa la nube de puntos asociada a estas variables bidimensionales, y decide si hay dependencia entre las variables que las forman.

En caso afirmativo, califícala.

a) La dependencia es fuertey positiva.

b) La dependencia es fuerte y negativa.

c) No se aprecia dependencia entre las variables E y F.

d) No se aprecia dependencia entre las variables G y H.

10 20

12

6

H

G

110 120

50

10

F

E

2 10

25

20

5

D

C

2 10

25

20

5

B

A

G 26 24 23 22 18 15 14 12

H 8 12 14 7 10 11 9 13

d)C 1 3 6 7 10 13 17 18

D 25 21 18 20 12 15 8 6

b)

E 110 112 115 116 118 120 121 124

F 40 45 35 40 60 70 45 33

c)A 6 8 9 11 13 15 16 18

B 8 13 13 16 21 26 28 33

a)

027


543

A partir de los diagramas de dispersión, decide si hay o no dependencia lineal y, en su caso, si es fuerte o débil, y si es positiva o negativa.

a) c)

b) d)

a) No hay dependencia lineal.

b) La dependencia lineal es fuerte y negativa.

c) La dependencia lineal es débil y positiva.

d) La dependencia lineal es fuerte y positiva.

Representa las nubes de puntos correspondientes a las variables bidimensionalesdefinidas por estas fórmulas.

a) y = 2x + 5

b) y = x2 + 3x

¿Qué tipo de dependencia presentan?

La dependencia es lineal. La dependencia es funcional.

2

2

Y

X

b)

2

2

Y

X

a)

029

028

12SOLUCIONARIO

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

544

La tabla muestra el número de cuadros que han pintado los alumnos de un tallersobre paisajes y bodegones.

a) Determina las tablas de frecuencias marginales de paisajes y bodegones.

b) Calcula las medias y las desviaciones típicas de cada una de las variables.

c) Usa el coeficiente de variación para decidir cuál de las dos variables es más dispersa.

d) Realiza el diagrama de dispersión correspondiente a la variable bidimensional.

a) Tabla de frecuencias marginales Tabla de frecuencias marginales de los paisajes de los bodegones

b) x� = 5,47 y� = 5,82

σX = 1,15 σY = 1,19

c) CVX = 0,21 CVY = 0,204

La variable de los paisajes es un poco más dispersa que la de los bodegones.

1

1

Y

X

d)

yi fi

4 3

5 12

6 13

8 6

Total 34

xi fi

4 8

5 10

6 10

7 4

8 2

Total 34

Paisajes

Bodegones4 5 6 7 8

4 2 1 0 0 0

5 4 4 3 0 1

6 2 5 4 2 0

8 0 0 3 2 1

030


Construye la tabla de doble entrada que corresponde a esta variable bidimensional, representada mediante el diagrama de dispersión.

A partir de este diagrama de dispersión, construye la tabla de doble entrada correspondiente.

XY 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

3 0 0 0 1 0 0 0 0 1

4 0 0 0 0 1 0 0 0 1

5 0 0 1 1 0 1 0 0 3

6 1 0 0 1 0 0 1 0 3

7 0 0 1 0 0 1 1 1 4

9 0 0 0 0 0 0 1 0 1

10 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Total 1 1 2 3 1 2 3 2 15

1

1

X

Y032

XY 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 Total

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 4

5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2

6 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3

7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2

9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Total 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 15

1

1

X

Y031

545

12SOLUCIONARIO

546

Construye la tabla de doble entrada correspondiente, a partir del diagrama dedispersión, teniendo en cuenta la frecuencia de los datos que figura entre paréntesis.

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación para las variablesbidimensionales indicadas en las siguientes tablas.

σPQ = −7,22 rPQ = −0,11 σRS = 84,29 rRS = 0,99

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación correspondientes a estas variablesestadísticas.

σTU = −3,69 rTU = −0,22 σVW = 127,5 rVW = 0,99

Representa la variable bidimensional cuyos pares de valores son:

(8, 2) (12, 6) (10, 4) (12, 2) (8, 6)

a) Calcula su covarianza y razona el resultado.

b) Elimina un punto de manera que se mantenga la correlación.

a) σXY = 0

No hay dependencia entre las variables, por lo que la covarianza es nula.

b) Al eliminar el punto (10, 4), la correlación no varía.

6

1

Y

X

036

V 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2

W 100 150 220 270 340 400 460 520

T −12 −14 −15 −16 −18 −20 −22

U 8 5 3 12 20 10 6

035

R 90 80 70 60 50 40 30

S −5 −7 −8 −11 −13 −16 −17

P 0 1 2 3 4 5 6 7

Q 20 18 17 15 12 10 7 4

034

XY 1 2 3 4 5 Total

2 0 9 0 6 0 15

4 9 0 3 0 0 12

6 0 0 3 0 0 3

7 0 0 0 0 12 12

Total 9 9 6 6 12 421 2

(9) (6)

(12)(3)

(3)(9)

2

4

6

8

3 4 5 X

Y

033


547

Construye el diagrama de dispersión correspondiente a la variable bidimensionaldeterminada por los siguientes pares de datos.

(10, 20) (16, 30) (10, 30) (16, 20)

a) Calcula su covarianza y explica a qué se debe el resultado.

b) Añade un punto de manera que se mantenga la correlación.

a) σXY = 0

No hay dependencia entre las variables, por lo que la covarianza es nula.

b) Al añadir el punto (13, 15),la correlación no varía.

En la tabla se presentan datos climatológicos referidos a una ciudad: la temperatura,en °C; la humedad relativa del aire, en %, y la velocidad del viento, en km/h.

Determina la covarianza y el coeficiente de correlación de las siguientes variablesbidimensionales.

a) Temperatura–Humedad.

b) Temperatura–Velocidad del viento.

c) Humedad–Velocidad del viento.

a) σTH = 6,46 rTH = 0,59

b) σTV = 3,17 rTV = 0,93

c) σHV = 6,404 rHV = 0,507

Se ha hecho una encuesta a personas que han tenido un accidente de tráfico,preguntando por el número de meses transcurridos e incluyendo el grupo de edad.

Las respuestas han sido:

Carmen, 35: [60, 70) Jesús, 24: [50, 60)Teresa, 15: [50, 60) Marta, 12: [30, 40)Pilar, 12: [50, 60) José, 28: [40, 50)Esther, 6: [20, 30) Andrés, 3: [20, 30)Juan, 8: [40, 50) María Jesús, 20: [40, 50)Jacinto, 15: [30, 40) Beatriz, 16: [30, 40)

a) Construye la tabla correspondiente a la variable bidimensional.

b) Representa el diagrama de dispersión.

c) Estudia si hay correlación entre ambas variables, y determina su coeficiente de correlación lineal.

039

Días L M X J V S D

Temperatura 22 24 25 24 23 21 20

Humedad 78 90 80 92 88 74 80

Velocidad del viento 1 3 6 4 4 1 0

038

2 10 20

5

25

Y

X

037

12SOLUCIONARIO

548

b) La correlación es débil y positiva. c) σXY = 89,5rXY = 0,73

En la siguiente tabla se han perdido dos datos.

Se sabe que la media de la primera variable es 28 y la media de la segunda variablees 5,8. Completa la tabla y determina el coeficiente de correlación.

x� = 28 → = 28 → x1 = 21 y� = 5,8 → = 5,8 → y5 = 8

rXY = 0,802

Se está estudiando imponer un impuesto alas empresas químicas que sea proporcional a sus emisiones de azufre a la atmósfera. Se ha experimentado con varios procedimientos para medir dichas emisiones, pero no se ha encontrado ninguno fiable. Finalmente, se ha decidido investigar algún método indirecto.

Se cree que la emisión de azufre puede estar relacionada con el consumo eléctrico, con el consumo de agua o con el volumen de las chimeneas de las fábricas. Para valorarlo se ha realizado un estudio en un medio controlado. Los resultadospueden verse en la tabla.

¿Cuál de las medidas estadísticas se relaciona de forma más evidente con las emisiones de azufre? Justifica la respuesta.

Cantidad de azufre (t) 2,3 1,8 1 0,4 0,6 3 0,5

Consumo eléctrico (kWh) 1.400 1.250 1.850 600 300 3.400 400

Consumo de agua (¬) 100 230 45 50 10 540 22

Volumen de las chimeneas (m3) 18 16 12 5 6 21 4

041

y5 50

10

+x1 259

10

+

x1 23 24 25 27 28 29 33 34 36

2 4 3 5 y5 6 7 9 6 8

040

3 15 30

10

50

Y

X

XY 3 6 8 12 15 16 20 24 28 35 Total

[20, 30) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2

[30, 40) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3

[40, 50) 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 3

[50, 60) 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3

[60, 70) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Total 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 12

a)


549

El volumen de las chimeneas es la variable que más se relaciona con la cantidad de emisiones de azufre.

Traza a mano alzada, y sin realizar cálculos, la recta de regresión de las siguientesvariables bidimensionales.

Representa, sin hallar su ecuación, la recta de regresión correspondiente a estas variables.

X

Yb)

X

Ya)

043

Y

X

b)Y

X

a)

X

Yb)

X

Ya)

042

1 2 3

100

500

Y

X1 2 3

100

500

Y

X1 2 3

500

1.500

2.500

Y

X

12SOLUCIONARIO

550

Para las variables bidimensionales representadas a continuación, hemos ajustadodiferentes rectas de regresión a las nubes de puntos correspondientes. Estima el valor que tendrá y en cada una de ellas para un valor de x = 12.

¿Cuál de las estimaciones te parece más fiable?

a) y = 1,99 ⋅ 12 − 0,04 = 23,84

b) y = −1,83 ⋅ 12 + 29,25 = 7,29

c) y = 0,35 ⋅ 12 + 13,67 = 17,87

La estimación más fiable es la del apartado a).

y = 0,35x + 13,67

5

5

X

Yc)

y = −1,33x + 29,25

5

5

X

Yb)

y = 1,99x − 0,04

5

5

X

Ya)

044

Y

X

b)Y

X

a)


551

12SOLUCIONARIO

Determina la recta de regresión de Y sobre X y la recta de regresión de X sobre Ycorrespondientes a estas tablas.

a) x� = 13,5 y� = 31,5 σXY = 15,5σX

2 = 5,25 σY2 = 50,75

Recta de regresión de Y sobre X:

y − 31,5 = (x − 13,5) → y = 2,95x − 8,33

Recta de regresión de X sobre Y:

x − 13,5 = (y − 31,5) → x = 0,31y + 3,74

b) x� = 90 y� = −14,29 σXY = −115,33σX

2 = 400 σY2 = 37,22


y + 14,29 = − (x − 90) → y = −0,29x + 11,81


x − 90 = − (y + 14,29) → x = −3,099y + 45,72

c) x� = −7,14 y� = 80,86 σXY = 34,48σX

2 = 11,31 σY2 = 159,37


y − 80,86 = (x + 7,14) → y = 3,049x + 102,63


x + 7,14 = (y − 80,86) → x = 0,22y − 24,93

d) x� = 0,71 y� = 58,75 σXY = −1,088σX

2 = 0,099 σY2 = 635,94


y − 58,75 = − (x − 0,71) → y = −10,99x + 66,55


x − 0,71 = − (y − 58,75) → x = −0,0017y + 0,811 088

635 94

,

,

1 088

0 099

,

,

34 48

159 37

,

,

34 48

11 31

,

,

115 33

37 22

,

,

115 33

400

,

15 5

50 75

,

,

15 5

5 25

,

,

X 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 0,9 1 1,2

Y 40 50 120 70 40 40 60 50

d)

X −3 −4 −5 −6 −9 −10 −13

Y 80 92 100 88 76 70 60

c)

X 60 70 80 90 100 110 120

Y −5 −8 −12 −15 −16 −24 −20

b)

X 10 11 12 13 14 15 16 17

Y 20 24 28 30 36 32 42 40

a)

045

552

Encuentra cinco puntos que pertenecen a la recta y = 4x + 6.

a) Calcula el coeficiente de correlación correspondiente y explica el resultado.

b) Halla las dos rectas de regresión.

Respuesta abierta.

a) x� = 0 y� = 6 σX = = 1,41 σY = = 5,66 σXY = 8

rXY = 1 → La dependencia es lineal.

b) Recta de regresión de Y sobre X:

y − 6 = (x − 0) → y = 4x + 6


x − 0 = (y − 6) → x = y −

Obtén cinco puntos que pertenecen a la recta.

y = −20x + 10

a) Calcula el coeficiente de correlación y explica el resultado.

b) Halla las dos rectas de regresión. Razona los resultados obtenidos.

Respuesta abierta.

a) x� = 0 y� = 10 σX = = 1,41 σY = = 28,28 σXY = −40

rXY = −1 → La dependencia es lineal.


y − 10 = − (x − 0) → y = −20x + 10


x − 0 = − (y − 10) → x = − y +1

2

1

20

40

800

40

2

8002

x −2 −1 0 1 2

y 50 30 10 −10 −30

047

3

2

1

4

8

32

8

2

322

x −2 −1 0 1 2

y −2 2 6 10 14

046


553

Se cree que el número de zorros en una finca está relacionado con el número de conejos.

En los últimos años se han realizado ocho censos de ambos animales, resultando estos datos.

Si la correlación es fuerte:

a) Determina las dos rectas de regresión.

b) Estima la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 zorros.

c) ¿Cuántos zorros serían si hubiéramos contado 350 conejos?

d) ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?

a) x� = 21,25 y� = 337,5 σX = = 6,5 σY = = 100,84

σXY = 653,13 rXY = 0,99 → La dependencia es fuerte y positiva.


y − 337,5 = (x − 21,25) → y = 15,48x + 8,55


x − 21,25 = (y − 337,5) → x = 0,064y − 0,35

b) x = 10 → y = 15,48 ⋅ 10 + 8,55 = 163,35

En este caso habría 163 conejos.

c) y = 350 → x = 0,064 ⋅ 350 − 0,35 = 22,05

En este caso serían 22 zorros.

d) Como el coeficiente de correlación es muy próximo a 1, las dos estimacionesson bastante fiables.

A lo largo de un día se han medido la tensión y el pulso cardíaco de una persona,tratando de decidir si ambas variables tienen alguna relación.

Los datos obtenidos se han reflejado en la tabla.

a) Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación y las dos rectas de regresión.

b) Si la correlación es fuerte, estima las pulsaciones que tendrá la persona cuando su nivel mínimo de tensión sea 15.

c) ¿Qué nivel mínimo de tensión se estima cuando las pulsaciones cardíacas por minuto son 70?

d) ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?

e) Dibuja la nube de puntos y la recta de regresión correspondientes.

Nivel mínimo de tensión 6 5 9 4 10 8 6 9

N.o de pulsaciones por minuto 60 55 80 40 95 75 55 90

049

653 13

10 168 75

,

. ,

653 13

42 19

,

,

10 168 75. ,42 19,

N.o de zorros 20 32 16 18 25 30 14 15

N.o de conejos 320 500 260 300 400 470 210 240

048

12SOLUCIONARIO

554

a) x� = 7,13 y� = 68,75 σX = = 2,01 σY = = 17,98

σXY = 35,44 rXY = 0,98 → La dependencia es fuerte y positiva.


y − 68,75 = (x − 7,13) → y = 8,77x + 6,22


x − 7,13 = (y − 68,75) → x = 0,11y − 0,43

b) x = 15 → y = 8,77 ⋅ 15 + 6,22 = 137,77

En este caso tendría 138 pulsaciones por minuto.

c) y = 70 → x = 0,11 ⋅ 70 − 0,43 = 7,27

Se estima que tendría un nivel mínimo de 7.

d) Las dos estimaciones son muy fiables, porque el coeficiente de correlación es bastante cercano a 1.

Tenemos dos variables bidimensionales representadas por estas nubes de puntos.

a) Elige los coeficientes de correlación de ambas y razónalo.−0,92 0,6 0,95 −0,65

b) Ahora decide cuáles son las ecuaciones de las dos rectas de regresióncorrespondientes.y = 3x + 0,2 y = 1,3x + 0,9 y = −0,6x + 10 y = −2x + 12,6Justifica la respuesta.

a) El coeficiente de correlación de las variables representadas en el gráfico I es 0,95; porque la nube de puntos muestra una dependencia entre las variablesfuerte y positiva. El coeficiente de correlación de las variables representadas enel gráfico II es −0,65; por ser la dependencia entre las variables débil y negativa.

b) La recta de regresión del gráfico I es y = 1,3x + 0,9; ya que la pendiente de la recta dibujada es un valor próximo a 1. La recta de regresión del gráfico II esy = −0,6x + 10, puesto que el valor de la ordenada de la recta representada es 10.

X

Y

5

2

(II)

X

Y

5

5

(I)

050

90

1 5 10

30

60

Y

X

e)

35 44

323 44

,

,

35 44

4 04

,

,

323 44,4 04,


555

Una empresa está investigando la relación entre sus gastos en publicidad y sus beneficios (en millones de euros).

Este es un resumen del estudio.

a) Comprueba si existe relación entre las magnitudes y, si es posible, estima los beneficios que se obtendrán en el año 2008, si se van a invertir 4,2 millones de euros en publicidad.

b) ¿Qué inversión sería necesaria para alcanzar 30 millones de euros de beneficios?

a) x� = 2,94 y� = 17,3 σX = = 0,61 σY = = 3,16 σXY = 1,89

rXY = 0,98 → La dependencia es fuerte y positiva.


y − 17,3 = (x − 2,94) → y = 4,97x + 2,69

x = 4,2 → y = 4,97 ⋅ 4,2 + 2,69 = 23,56

Los beneficios serían de 23,56 millones de euros.

b) Recta de regresión de X sobre Y:

x − 2,94 = (y − 17,3) → x = 0,19y − 0,35

y = 30 → y = 0,19 ⋅ 30 − 0,35 = 5,35

La inversión tendría que ser de 5,35 millones de euros.

María y Diego viven en la misma calle, pero en aceras opuestas. Los dos tienen un termómetro en su balcón y, como María cree que el suyo está estropeado,deciden tomar la temperatura exterior, en °C, durante una semana y a la misma hora del día.

Han anotado los resultados en una tabla.

a) ¿Crees que las dos variables están relacionadas? ¿Y opinas que deberían estarlo?

b) Razona si con estos datos se puede obtener alguna conclusión sobre el termómetro de María.

a) x� = 22,43 y� = 18,57 σX = 2,86 σY = 1,69 σXY = −2,097

rXY = −0,43 → La dependencia es débil y negativa.

Las dos variables están poco relacionadas, pues al estar los termómetros en lados opuestos de la acera reciben distinta exposición solar.

b) Como la dependencia es débil no se puede concluir nada sobre el termómetrode María.

Diego 22 24 25 27 18 20 21

María 18 20 18 17 20 21 16

052

1 89

10 01

,

,

1 89

0 38

,

,

10 01,0 38,

Año 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07

Gastos 2 2,4 2 2,8 3 3,2 3,2 3,3 3,5 4

Beneficios 12 15 13 15 18 19 19 20 20 22

051

12SOLUCIONARIO

556

Se ha medido el peso, X, y la estatura, Y, de los alumnos de una clase. Su peso medioha sido de 56 kg, con una desviación típica de 2,5 kg.

La ecuación de la recta de regresión que relaciona la estatura y el peso es: y = 1,8x + 62

a) ¿Qué estatura puede estimarse en un alumno que pesa 64 kg?

b) Y si un alumno pesara 44 kg, ¿cuál sería su altura?

c) ¿Cuál es la estatura media de los alumnos de esa clase?

d) La pendiente de esa recta es positiva. ¿Qué significa esto?

a) x = 64 → y = 1,8 ⋅ 64 + 62 = 177,2

El alumno medirá 1,77 m.

b) x = 44 → y = 1,8 ⋅ 44 + 62 = 141,2

En este caso medirá 1,41 m.

c) y = 1,8 ⋅ 56 + 62 = 162,8

La estatura media es 1,63 m.

d) Si la pendiente es positiva, entonces la correlación entre las variables tambiénes positiva, es decir, cuando los valores de una variable aumentan, los valoresde la otra variable también lo hacen.

Daniel afirma que si una nube de puntos es de una recta, el coeficiente decorrelación siempre vale 1 o −1. Como Eva no está de acuerdo, Daniel prueba conlos puntos de la recta cuya ecuación es y = −5x + 20, y Eva hace lo mismo con los puntos de y = 2x −x2.

¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

Si y = −5x + 20, entonces algunos de los puntos son:

x� = 0 y� = 20 σX = 1,41 σY = 7,07 σXY = −10

rXY = −1 → La dependencia es lineal.

Si y = 2x − x2, no es una recta, y algunos de los puntos son:

x� = 0 y� = −2 σX = 1,41 σY = 3,29 σXY = 4

rXY = 0,86 → La dependencia es débil; por tanto, Eva no tiene razón.

Un equipo de alpinistas que escaló una montaña, midió la altitud y la temperatura cada 200 metros de ascensión. Luego reflejó los datos en estas tablas.

Altitud (m) 2.200 2.400 2.600 2.800 3.000 3.200

Temperatura (°C) 5 3 2 2 2 1

Altitud (m) 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000

Temperatura (°C) 22 20 17 15 11 9 8

055

X −2 −1 0 1 2

Y −8 −3 0 1 0

X −2 −1 0 1 2

Y 30 25 20 15 10

054

053


557

12SOLUCIONARIO

a) Toma las diez primeras mediciones y, si la correlación es fuerte, calcula la recta de regresión de la temperatura sobre la altitud.

b) Estima la temperatura que habrá a los 1.900 metros de altitud.

c) ¿Qué temperatura se estima a los 3.200 metros? ¿Cómo explicas las diferencias?

a) x� = 1.700 y� = 11,2 σX = 574,46 σY = 6,69 σXY = −3.820

rXY = −0,99 → La dependencia es fuerte y negativa.


y − 11,2 = − (x − 1.700) → y = −0,012x + 31,6

b) x = 1.900 → y = −0,012 ⋅ 1.900 + 31,6 = 8,8

La temperatura estimada es de 8,8 °C.

c) x = 3.200 → y = −0,012 ⋅ 3.200 + 31,6 = −6,8

La diferencia se debe a que el valor no está incluido en el intervalo [800, 2.600],formado por los datos que se han utilizado para calcular la recta de regresión.

El alcalde de un pueblo ha constatado una reducción del número de nacimientos de niños, y ha encargado realizar un estudio.

a) ¿Puede establecerse, de forma fiable, una fórmula que relacione el año con el número de nacimientos?

b) ¿Cuántos nacimientos pueden estimarse en 2008? ¿Y en 2010? ¿Qué puedeestimarse para 2050?

c) ¿Es fiable esta última estimación? Razona la respuesta.

x� = 10,5 y� = 34 σX = 6,87 σY = 12,61 σXY = −83,63

rXY = −0,97 → La dependencia es fuerte y negativa, por lo que puede utilizarsela recta de regresión para relacionar las dos variables.


y − 34 = − (x − 10,5) → y = −1,77x + 52,59

En el año 2008 se estiman: x = 22 → y = −1,77 ⋅ 22 + 52,59 = 13,65 nacimientos

En el año 2010 se estiman: x = 64 → y = −1,77 ⋅ 64 + 52,59 = −60,69 nacimientos

Para el año 2050 se estiman −60 nacimientos.

c) No es fiable, ya que el año 2050 está muy alejado del rango de años estudiadosen la regresión.

83 63

47 25

,

,

X 0 3 6 9 12 15 18 21

Y 50 54 40 33 34 23 21 17

a)

Año 86 89 92 95 98 01 04 07

Nacimientos 50 54 40 33 34 23 21 17

056

3 820

330 000

.

.

558

En una empresa se está estudiando el número de días de baja por enfermedad, Y, de cada uno de sus empleados en el último año. Para compararlo con la antigüedad,X, de los empleados dentro de la empresa, se ha elaborado la siguiente tabla.

a) Calcula las medias y las desviaciones típicas de las distribuciones marginales.

b) Determina la covarianza y el coeficiente de correlación.

c) Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima, si es fiable, el número de díasde baja que puede esperarse en un empleado con 6 años de antigüedad en la empresa.

a) Tabla de frecuencias marginales Tabla de frecuencias marginalesde los años de antigüedad de los días de baja

x� = 2,59 y� = 1,46

σX = 1,11 σY = 1,89

b) σXY = 1,02 rXY = 0,49

c) Recta de regresión de Y sobre X: y − 1,46 = (x − 2,59) → y = 0,83x − 0,69

La dependencia es débil, por lo que la estimación no es fiable.

Un inversor bursátil quiere predecir la evolución que va a tener el Índice de la Bolsade Madrid (IBEX).

Ha concluido que lo que sucede con el IBEX un día es lo que le sucede a la cotizaciónde la empresa AW&B el día anterior.

Investiga si esto es correcto, a partir de sus cotizaciones durante una semana y los valores alcanzados por el IBEX al día siguiente.

Día 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o 8.o

IBEX 12.560 12.720 11.580 11.420 10.930 11.450 11.480

Día 1.o 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o

AW&B 21,8 23,4 19,6 19,4 18,4 19,9 19,2

058

1 02

1 23

,

,

yi fi

0 29

2 15

3 6

5 5

9 1

Total 56

xi fi

1 10

2 18

3 16

4 9

5 3

Total 56

XY 1 2 3 4 5

0 6 12 8 3 0

2 4 5 3 2 1

3 0 1 3 2 0

5 0 0 2 2 1

9 0 0 0 0 1

057


559

a) ¿Qué cotización tendrá AW&B el día anterior al día en que el IBEX alcance los 14.000 puntos?

b) Si un día AW&B tiene una cotización de 24 euros, ¿qué valor podemos esperar que alcance el IBEX al día siguiente?

x� = 20,24 y� = 11.734,29

σX = = 1,66 σY = = 605,65

σXY = 977,26

rXY = 0,97 → La dependencia es fuerte y positiva.

a) Recta de regresión de X sobre Y:

x − 20,24 = (y − 11.734,29) → x = 0,0027y − 11,44

y = 14.000 → x = 0,0027 ⋅ 14.000 − 11,44 = 26,36


y − 11.734,29 = (x − 20,24) → y = 352,8x − 4.593,62

x = 24 → y = 352,8 ⋅ 24 − 4.593,62 = 3.873,58

Encuentra el coeficiente de correlación de la variable bidimensional cuyas rectas de regresión son:

• Recta de Y sobre X: 2x −y −1 = 0

• Recta de X sobre Y: 9x −4y −9 = 0

a) Halla la media aritmética de cada una de las variables.

b) ¿Podrías calcular la desviación típica de Y sabiendo que la de la variable X

es ?

a) Las rectas de regresión se cortan en el punto (x�, y� ).

Entonces, resulta que: x� = 5, y� = 9

b) σσ

σ σXXY

XY Y= = = = =22

2 43 2

23→ → → ·

2 1 09 4 9 0

5 9x yx y

x y− − =− − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= =→ ,

2 1 0 2 1 22

9 4 9 0

2x y y x

x y x

XY

X

XXY− − = = − = =

− − =

→ → →

→

σσ

σσ

== + = =

=

4

91

4

9

3

2

2

3

2

2y

r

XY

Y

YXY

XYXY

XY XY

→ →σσ

σσ

σ

σ σ·

== =2 2

30 94,

2

059

977 26

2 77

,

,

977 26

366 809 62

,

. ,

366 809 62. ,2 77,

12SOLUCIONARIO

560

Se tiene la siguiente variable bidimensional.

Investiga lo que sucede con la covarianza y el coeficiente de correlación en cada caso.

a) Sumamos 10 a todos los valores de la variable X.

b) Sumamos 10 a todos los valores de la variable X y de la variable Y.

c) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X.

d) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X y de la variable Y.

x� = 8,86 y� = 5,29 σXY = 6,42

σX = = 3,75 σY = = 2,24 rXY = 0,76

x� = 8,86 + 10 = 18,86 σXY = 6,42

σX = 3,75 rXY = 0,76

y� = 5,29 + 10 = 15,29 σXY = 6,42

σY = 2,24 rXY = 0,76

x� = 8,86 ⋅ 4 = 35,44 σXY = 6,42 ⋅ 4 = 25,68

σX = 3,75 ⋅ 4 = 15 rXY = 0,76

y� = 5,29 ⋅ 4 = 21,16 σXY = 6,42 ⋅ 16 = 102,72

σY = 2,24 ⋅ 4 = 8,96 rXY = 0,76

Investiga sobre las siguientes cuestiones.

a) ¿Es cierto que el signo de las pendientes de las dos rectas de regresión de unavariable bidimensional es siempre igual?

b) ¿Qué sucede si las dos rectas de regresión tienen la misma pendiente? ¿Cómo esla correlación?

a) Es cierto, porque el signo de las pendientes de las rectas de regresión coincidecon el signo de la covarianza en ambas.

b) Como las dos rectas pasan por el punto (x�, y�), si tienen la misma pendiente,entonces son coincidentes. Por tanto, la dependencia entre las dos variablesunidimensionales es lineal.

La correlación es igual a 1 o 0.

061

X 12 20 32 36 40 48 60

Y 8 12 28 16 32 20 32

d)

X 12 20 32 36 40 48 60

Y 2 3 7 4 8 5 8

c)

X 13 15 18 19 20 22 25

Y 12 13 17 14 18 15 18

b)

X 13 15 18 19 20 22 25

Y 2 3 7 4 8 5 8

a)

5 02,14 07,

X 3 5 8 9 10 12 15

Y 2 3 7 4 8 5 8

060


561

El ángulo que forman las dos rectas de regresión de una distribución bidimensionales mayor cuanto menor sea el coeficiente de correlación.

Vamos a comprobarlo estudiando las dos magnitudes en estas distribuciones.

x� = 14 y� = 4,6 σXY = −0,4

σX = = 2,83 σY = = 1,24 rXY = −0,11

Recta de regresión de Y sobre X: y − 4,6 = − (x − 14) → y = −0,05x + 5,3

Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 = − (y − 4,6) → x = −0,26y + 15,2

El ángulo que forman las rectas es:

y� = 6 σY = = 1,67 σXY = 3,2 rXY = 0,68

Recta de regresión de Y sobre X: y − 6 = (x − 14) → y = 0,4x + 0,4

Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 = (y − 6) → x = 1,14y + 7,16


y� = 7 σY = = 1,55 σXY = 4,2 rXY = 0,96

Recta de regresión de Y sobre X: y − 7 = (x − 14) → y = 0,53x − 0,42

Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 = (y − 7) → x = 1,75y + 1,75


cos α α=+

+ += =

1 75 0 53

1 0 53 1 75 10 99 1 49

2 2 2 2

, ,

, · ,, → ° '' "16

4 2

2 4

,

,

4 2

8

,

2 4,

cos α α=−

+ + −= =

1 14 0 4

1 0 4 1 14 10 45 63

2 2 2 2

, ,

, · , ( ), → ° 33 30' "

3 2

2 8

,

,

3 2

8

,

2 8,

cos α =+

− + − +=

0 26 0 05

1 0 05 0 26 10 29

2 2 2 2

, ,

( ) , · ( , ), → αα = 72 33 48° ' "

0 4

1 55

,

,

0 4

8

,

1 55,8

10 12 14 16 18

5 6 6,5 8,5 9

10 12 14 16 18

3 6 8 6 7

10 12 14 16 18

3 8 1 9 2

062

12SOLUCIONARIO

562

Se ha realizado un test de memoria, X, y otro test de atención, Y, a varios alumnos y se han reflejado los resultados en esta tabla.

a) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.

b) Determina las dos rectas de regresión.

c) Si es factible, estima qué puntuación obtendrá Andrés en memoria, si ha obtenido 33 en atención.

d) Si es factible, estima qué puntuación obtendrá Eva en atención, si ha obtenido 27 en memoria.

a) x� = 25,91 y� = 26,82 σXY = 71,0038

σX = = 10,83 σY = = 9,35 rXY = 0,7


y − 26,82 = (x − 25,91) → y = 0,61x + 11,01


x − 25,91 = (y − 26,82) → x = 0,81y + 4,19

c) y = 33 → x = 0,81 ⋅ 33 + 4,19 = 30,92

d) x = 27 → y = 0,61 ⋅ 27 + 11,01 = 27,48

71 0038

87 51

,

,

71 0038

117 31

,

,

87 51,117 31,

yjxi

5 15 25 35 45 Total

5 0 0 0 0 0 0

15 1 1 1 0 0 3

25 0 1 2 1 0 4

35 0 0 1 1 1 3

45 0 0 0 1 0 1

Total 1 2 4 3 1 11

XY [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)

[0, 10)

[10, 20) Beatriz Jesús Marta

[20, 30) DanielMaríaEsther

Miguel

[30, 40) ElenaJacintoCarmen

Inés

[40, 50) Diego

063


PARA FINALIZAR…

Halla la relación existente entre el coeficiente de correlación lineal de unadistribución bidimensional y las pendientes de sus rectas de regresión.

Comprueba el resultado obtenido para estos datos.

Las pendientes de las rectas de regresión son:

x� = 14,67 y� = 7,67 σXY = 6,98

σX = = 2,67 σY = = 2,8 rXY = 0,93

Recta de regresión de Y sobre X: y − 7,67 = (x − 14,67) → mX = 0,98

Recta de regresión de X sobre Y: x − 14,67 = (y − 7,67) → mY = 0,89

mX ⋅ mY = 0,93

Discute si es posible que la recta de regresión de X sobre Y y la recta de regresión de Y sobre X sean paralelas. ¿Y perpendiculares?

No es posible que sean paralelas, ya que tienen siempre un punto común: (x�, y�)

Son perpendiculares si la correlación es nula.

Investiga sobre cómo varía el coeficiente de correlación entre dos variables estadísticascuando multiplicamos los datos relativos a una de ellas por una cantidad constante, k.

¿Y si las multiplicamos por la misma constante? ¿Qué sucedería si multiplicamoscada variable por una constante distinta?

Al multiplicar los datos de una variable por una cantidad constante k, sus medidasestadísticas verifican que:

k kX X2 2· ·σ σ=

f kx kx

N

f k x x

N

k fi ii

n

i ii

n

i· ( ) · ( ) ·−∑=

−∑== =

2

1

2 2

1

2 ·· ( )·

x x

Nk

ii

n

X

−∑==

2

1 2 2σ

f kx

N

k f x

Nk x

i ii

n

i ii

n· · ·

·= =∑

=∑

=1 1

066

065

6 98

7 84

,

,

6 98

7 12

,

,

7 84,7 12,

r

m m

m mXYXY

X Y

XY

XY

X

XY

Y

X Y= = =σ

σ σσ

σ σ··

·Entonces, resulta que:

mm

mm

XXY

X

XXY

x

YXY

Y

YXY

Y

= =

= =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

σσ

σσ

σσ

σσ

2

2

→

→

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X 10 13 16 14 17 18

Y 3 6 7 8 11 11

064

563

12SOLUCIONARIO

2

2

Y

X

564

Entonces la covarianza entre las dos variables es:

Así, el coeficiente de correlación es:

Si se multiplican los datos de las dos variables por la misma constante k, entonces el coeficiente de correlación es:

Y si multiplicamos la segunda variable por un constante m:

Demuestra que el coeficiente de correlación de dos variables estadísticas no varía si a cada valor de las dos variables se les suma o resta un mismo número.

Utiliza esta propiedad para calcular el coeficiente de correlación de las siguientesvariables estadísticas.

Si se suma un valor c a cada valor de una variable estadística, entonces la media de los datos obtenidos es:

La varianza de estos datos verifica que:

Por tanto, la desviación típica también coincide.

La covarianza entre las dos variables es:

f x c y

Nx c y

f x y fi ii

n

i i ii

n

i i· ( ) ·( ) ·

· ·+∑− + =

∑ += =1 1

·· ·· ·

· · ·

c y

Nx y c y

f x y c f

i

n

i

i ii

n

i ii

=

= =

∑− − =

=∑ +

1

1 1

nn

i

i ii

n

i

y

Nx y c y

f x y

Nc y x y c y

∑− − =

=∑

+ − −=

·· ·

· ·· · ·1 == σXY

f x c x c

N

f x x

N

i ii

n

i ii

n

X

· ( ( )) · ( )+ − +∑=

−∑== =

2

1

2

1 2σ

f x c

N

f x f c

N

f xi ii

n

i ii

n

ii

n

i i· ( ) · · ·+∑=

∑ + ∑== = =1 1 1 ii

n

ii

n

i ii

n

c f

N

f x c N

Nx c

= =

=

∑ + ∑=

=∑ +

= +

1 1

1

·

· ·

X 2.001 2.002 2.003 2.004 2.005

Y 7.390 7.350 7.240 7.210 7.110

067

k m

k mrXY

X Y

XY

X Y

XY· ·

· · · ·

σσ σ

σσ σ

= =

k

k krXY

X Y

XY

X Y

XY

2 ·

· · · ·

σσ σ

σσ σ

= =

k

krXY

X Y

XY

X Y

XY·

· · ·

σσ σ

σσ σ

= =

f kx y

Nkx y

k f x y

Nkx y

i ii

n

i i ii

n

i· ··

· · ··= =

∑− =

∑− =1 1 kk

f x y

Nx y k

i ii

n

i

XY

· ·· ·=

∑−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=1 σ


565

Así, el coeficiente de correlación es igual que el de las variables iniciales. Del mismo modo, si se suma o se resta un mismo número a las dos variables el coeficiente no varía.

En dos estudios realizados sobre los datos de una variable bidimensional, las rectasde regresión fueron las siguientes.

En el primer estudio, la recta de regresión de Y sobre X es: 8x −3y −61 = 0 y la recta de X sobre Y es: x −y + 18 = 0.

Y en el otro estudio, las rectas de regresión son, respectivamente:

8x −5y + 20 = 0 5x −2y −10 = 0

Si conocemos x� = 23, y� = 41 y r = 0,8, comprueba cuál de los estudios es válido.

El primer estudio es el correcto, ya que las rectas se cortan en el punto (x�, y�).

Sean dos variables estadísticas X e Y. Sabemos que:

• La recta de regresión de Y sobre X pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5).

• La recta de regresión de X sobre Y tiene pendiente m = 3 y su ordenada en el origen es 2.

• La varianza de Y es 3.

Calcula las medidas estadísticas de cada una de las variables estadísticas y el coeficiente de correlación.

La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5) tiene como ecuación: y = 2x + 1

La ecuación de la otra recta es: y = 3x + 2


El coeficiente de correlación es igual a la raíz cuadrada del producto de lapendiente de la recta de regresión de Y sobre X por la inversa de la pendiente de larecta de regresión de X sobre Y:

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas de regresión es:

Como la varianza de Y es 3: σX2 1

2=

σσσσ

σσ

XY

X

Y

XY

Y

X

2

2

2

2

2

32 3

=

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= ⋅→ → σσ σ σ σY X Y X2 26 6= =→

Por tanto, tenemos que: 0,8164r = ⋅ =21

3

r mm

XY

X

XY

Y

XY

X Y

= ⋅ = ⋅ =⋅

12 2'

σσ

σσ

σσ σ

x

y

= −

= −

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

1

1

2 1 03 2 0

1 1x yx y

x y− + =− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − = −→ ,

069

8 3 61 0

18 023 41

8 5 20x y

x yx y

x y− − =

− + =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪= =

− +→ ,

==

− − =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪= =

0

5 2 10 010 20

x yx y→ ,

068

12SOLUCIONARIO

566

Demuestra que la respuesta correcta a El problema de Monty Halles la que dio Marilyn vos Savant.

Si la puerta elegida tenía una cabra detrás, y esto ocurre en dos de los tres casos, hay dos posibilidades: mantener la opción y ganar una cabra, o cambiarla y elegir la otra puerta (la que no se ha abierto), donde estará el coche.

Si la puerta elegida tenía detrás el coche también hay dosposibilidades: mantener la opción y ganarlo, o cambiarla y elegir la otra puerta, en la que hay una cabra.

Por tanto, si se cambia de puerta dos de las tres veces se gana el coche.

Probabilidad13L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S

El curioso incidente del perro a medianoche El señor Jeavons decía que a mí me gustaban las matemáticas porqueson seguras. Decía que me gustaban las matemáticas porque consistenen resolver problemas, y esos problemas son difíciles e interesantes,pero siempre hay una respuesta sencilla al final. Y lo que quería decirera que las matemáticas no son como la vida, porque al final en la vidano hay respuestas sencillas.Eso es así porque el señor Jeavons no entiende los números.He aquí una famosa historia llamada El Problema de Monty Hall, quehe incluido en este libro porque ilustra lo que quiero decir.Había una columna titulada «Pregúntale a Marilyn» en una revista lla-mada Parade, en Estados Unidos. Y esa columna la escribía Marilynvos Savant y en la revista se decía que tenía el mayor coeficiente inte-lectual del mundo según el Libro Guinness de los Récords. En la colum-na respondía a preguntas sobre matemáticas enviadas por los lectores.En septiembre de 1990 envió la siguiente pregunta Craig F. Whitaker,de Columbia, Maryland […]:«Estás en un concurso en la televisión. En este concurso la idea es ga-nar como premio un coche. El locutor del programa te enseña trespuertas. Dice que hay un coche detrás de una de las puertas y que de-trás de las otras dos hay cabras. Te pide que elijas una puerta. Tú eli-ges una puerta, que no se abre todavía. Entonces, el locutor abre unade las puertas que tú no has elegido y muestra una cabra (porque élsabe lo que hay detrás de las puertas). Entonces dice que tienes unaúltima oportunidad de cambiar de opinión antes de que las puertas seabran y consigas un coche o una cabra. Te pregunta si quieres cambiarde idea y elegir la otra puerta sin abrir. ¿Qué debes hacer?».Marilyn vos Savant dijo que siempre debías cambiar y elegir la últimapuerta, porque las posibilidades de que hubiese un coche detrás deesa puerta eran de 2 sobre 3.Pero, si usas la intuición, decides que las posibilidades son de 50 y 50,porque crees que hay igual número de posibilidades de que el cocheesté detrás de cualquiera de las puertas.Mucha gente escribió a la revista para decir que Marilyn vos Savant seequivocaba, incluso después de que ella explicara detalladamente porqué tenía razón. [...]

MARK HADDON


Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 10 ⋅ 9!b) 10! −9!c) 4! + 5!d) 10! ⋅ 9!

a) 10 ⋅ 9! = 10! = 3.628.800

b) 10! − 9! = 9! ⋅ (10 − 1) = 9! ⋅ 9 =3.265.920

c) 4! + 5! = 4! ⋅ (1 + 5) = 4! ⋅ 6 = 144

d) 10! ⋅ 9! = 1.316.818.944.000

Haz estas operaciones.

a) c)

b) d)

Hemos alquilado un palco en el teatro con 6 asientos. ¿De cuántas formas podemossentarnos mis padres, mi hermana y yo?

Con 14 bolas rojas, 13 azules, 12 naranjas y 11 blancas, ¿cuántos collares diferentesde 10 bolas podemos hacer?

¿Cuántas formas hay de ponerse 5 anillos, uno en cada dedo de la mano?

P5 5 120= =! formas

005

VR50 101050, = collares

004

V6 46

26 5 4 3 360,

!

!· · ·= = = formas

003

d) 10 2 1 0240

1010

ii

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =

=∑ .

c) 54

105

87

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + − −9

35

4 1

10

5 5

8

7 1

9!

! · !

!

! · !

!

! · !

!!

! · !3 6

5 252 8 84 165

=

= + − − =

b) 106

96

10

6 4

9

6

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = +

!

! · !

!

!! · !

· · ·

· · ·

· ·

· ·3

10 9 8 7

4 3 2 1

9 8 7

3 2 1210 84 294= + = + =

a) 74

75

85

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ == = =

8

5 3

8 7 6

3 2 156

!

! · !

· ·

· ·

10

0

10

ii

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

=∑10

696

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

54

105

87

93

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

74

75

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

002

001

13SOLUCIONARIO

567

568

Con 4 botes de pintura: amarilla, azul, roja y blanca, ¿cuántas mezclas de dos colorespuedes realizar?

ACTIVIDADES

Describe tres experimentos aleatorios y otros tres deterministas.

Respuesta abierta.

Experimentos aleatorios: lanzar una moneda y anotar el resultado de la carasuperior; extraer una de las cinco bolas distintas de una urna y anotar su color, y hacer girar una ruleta numerada del 1 al 7 y anotar el número en el que se detiene.

Experimentos deterministas: hallar el volumen de agua desplazado por un objetoen un recipiente; medir el tiempo necesario para realizar un trayecto a una velocidad constante, y calcular la altura alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente.

Indica los sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad anterior.

Respuesta abierta.

Los sucesos elementales del primer experimento son: {cara} y {cruz}

El espacio muestral es: E = {cara, cruz}

Los sucesos elementales del segundo experimento son: {blanca}, {amarilla}, {azul},{roja} y {negra}

El espacio muestral es: E = {blanca, amarilla, azul, roja, negra}

Los sucesos elementales del tercer experimento son: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} y {7}

El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Halla experimentos aleatorios que tengan:

a) Cuatro sucesos elementales.b) Seis sucesos elementales.

Respuesta abierta.

a) Lanzar un dado tetraédrico y anotar el resultado de la cara inferior.

b) Elegir una de las tarjetas de un sobre en el que hay una tarjeta de cada uno de estos colores: amarillo, naranja, verde, azul, violeta y marrón.

Razona por qué no se puede encontrar ningún experimento aleatorio con un solosuceso elemental.

Si solo hay un suceso elemental, entonces el espacio muestral tiene un únicoelemento, es decir, solo hay un resultado posible. Por tanto, el experimento es determinista, y no aleatorio.

004

003

002

001

C4 24

2 26,

!

! · != = mezclas

006

Probabilidad

569

Con ayuda de un diagrama de árbol, calcula el espacio muestral asociado al experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas y anotar el número de caras y cruces.

Cara CCCCara

Cruz CCXCara

Cara CXCCruz

Cruz CXX

Cara XCCCara

Cruz XCXCruz

Cara XXCCruz

Cruz XXX

El espacio muestral es: E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX }

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas, encuentra dos sucesos compatibles y dos incompatibles.

Escribe dos sucesos seguros y dos imposibles.

Respuesta abierta.

Dos sucesos compatibles son: «Obtener cara en una moneda» y «Obtener cruz en una moneda».

Dos sucesos incompatibles son: «Obtener tres caras» y «Obtener cruz en una moneda».

Dos sucesos seguros son: «Obtener cara o cruz en cada moneda» y «Obtener 0, 1, 2 o 3 cruces».

Dos sucesos imposibles son: «Salir un número par» y «Salir un as».

Al extraer una carta de una baraja española, expresa estos sucesos en forma de uniones e intersecciones.

a) A = «Salir una figura de copas» b) B = «Salir una sota o bastos»

a) A = {Salir la sota de copas} ∪ {Salir el caballo de copas} ∪ {Salir el rey de copas}

b) B = {Salir una sota} ∪ {Salir una carta de bastos}

Pon un ejemplo y comprueba las siguientes igualdades.

a) A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )

Respuesta abierta.

En el experimento que consiste en lanzar un dado consideramos los sucesos:

A = {1, 2, 4, 6} B = {1, 2, 3} C = {1, 3, 5}

b) A B C A

A B A C

∪ ∩ = ∪ =

∪ ∩ ∪ =

( ) { , } { , , , , }

( ) ( ) {

1 3 1 2 3 4 6

1,, , , , } { , , , , , } { , , , , }2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 6∩ =

a) A B C A

A B A C

∩ ∪ = ∩ =

∩ ∪ ∩ =

( ) { , , , } { , }

( ) ( ) { ,

1 2 3 5 1 2

1 2}} { } { , }∪ =1 1 2

008

007

006

005

13SOLUCIONARIO

570

Lanzamos 2 monedas y contamos el número de caras.

a) Describe el espacio muestral.

b) ¿Podrías asignarle alguna probabilidad a los sucesos elementales?

a) El espacio muestral es: E = {CC, CX, XC, XX }

b) La probabilidad de obtener una cara o una cruz en una moneda es igual.Repartimos la probabilidad total entre los sucesos elementales y obtenemos:

En un llavero hay 3 llaves de las que solo una llave abre un cofre.

a) ¿Qué probabilidad hay de abrir en un intento?

b) ¿Y de abrir en tres intentos o menos?

a) P(Abrir en un intento) =

b) P(Abrir en tres intentos o menos) = 1

Se lanza un dado de 6 caras donde hay marcados tres 1, dos X y un 2.

Calcula la probabilidad de estos sucesos.

a) «Salir 1» b) «Salir X» c) «Salir 2»

a) P(Salir 1) = b) P(Salir X) = c) P(Salir 2) =

De 20 alumnos hay que elegir a 3 representantes para formar un grupo de trabajo.

Calcula la probabilidad de que los representantes sean Marta, Julia y Rodrigo.

P(Salir Marta, Julia y Rodrigo) = = 0,00088

En una empresa de rodamientos tienen una máquina que fabrica arandelas.

Diseña un método para calcular la probabilidad de que la máquina fabrique una arandela que sea defectuosa.

Se examina un número grande de arandelas para ver cuántas son defectuosas y se apuntan las frecuencias absolutas. Se calculan las frecuencias relativas para observar su tendencia y asignar la probabilidad de que la máquina fabriqueuna arandela defectuosa.

013

1

1 140.

C20 320

3 17

20 19 18

3 2 11 140,

!

! · !

· ·

· ·.= = =

012

1

6

1

3

1

2

011

1

3

010

P XX( ) =1

4P XC( ) =

1

4

P CX( ) =1

4P CC( ) =

1

4

009

Probabilidad

571

Al lanzar un dado se han obtenido estos resultados.

¿Qué conclusión puedes deducir?

La frecuencia relativa del último valor esaproximadamente el doble de las demás;por tanto, el dado está trucado de modoque el suceso «Salir 6» tenga el doble deprobabilidad que el resto de los sucesoselementales.

Si P( A) = 0,2; P( B) = 0,7 y P( A ∩ B) = 0,1; calcula.

a) P( A ∪ B) b) P( A� ∪ B�) c) P( A −B) d) P( B� −A)

Razona las siguientes afirmaciones.

a) Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,45; los sucesos A y B son compatibles.

b) Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,4; A y B son contrarios.

a) P(A) + P(B) > 1 → P(A ∩ B) � 0 → A y B son sucesos compatibles.

b) P(A) + P(B) = 1 → P(A) = 1 − P(B) → A y B son sucesos contrarios.

En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas. Si escogemos una persona al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea chica, sabiendo que lleva gafas. b) Lleve gafas, sabiendo que es chico.

A = «Ser chica» B = «Ser chico» G = «Llevar gafas»

En un panel electrónico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciendeuna luz. Halla la probabilidad de acertar con el interruptor correcto:

a) En el primer intento. c) En el tercer intento.

b) En el segundo intento. d) En el cuarto intento.

d) /P A A A A( )4 1 2 3 1∩ ∩ =b) /P A A( )2 11

3=

c) /P A A A( )3 1 21

2∩ =a) P A( )1

1

4=

018

b) /P G B( ) = =4

8

1

2a) /P A G( ) = =

6

10

3

5

017

016

d) P B A P B A P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , ,− = ∩ = ∪ = − ∪ = − =1 1 0 8 0 2

c) P A B P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , ,− = ∩ = − ∩ = − =0 2 0 1 0 1

b) P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) , ,∪ = ∩ = − ∩ = − =1 1 0 1 0 9

a) P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,∪ = + − ∩ = + − =0 2 0 7 0 1 0 8

015

1 2 3 4 5 6

fi 51 48 52 50 49 102

014

13SOLUCIONARIO

Resultados fi hi

1 51 0,14

2 48 0,14

3 52 0,15

4 50 0,14

5 49 0,14

6 102 0,29

N = 352

572

En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas. Si escogemos un trabajador al azar, calcula las siguientes probabilidades.

a) Sea chica y no lleve gafas.

b) No lleve gafas y sea chico.

A = «Ser chica» B = «Ser chico» G = «Llevar gafas»

En un panel electrónico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciendeuna luz. Consideramos el experimento aleatorio que consiste en anotar el número de interruptores que necesito pulsar para encender la luz. Describe el espaciomuestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.

E = {un conmutador, dos conmutadores, tres conmutadores, cuatro conmutadores}

Completa la siguiente tabla de contingencia,explicando cómo obtienes los datos que faltan.

60 + 45 = 105 fumadores

60 + 50 = 110 hombres

200 − 110 = 90 mujeres

90 − 45 = 45 mujeres que no fuman

50 + 45 = 95 no fumadores

Utilizando la tabla de la actividad anterior, calcula las siguientes probabilidades.

a) Al elegir una persona, ¿qué probabilidad hay de que sea fumadora?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar no fume y sea mujer?

c) Si la persona fuma, ¿qué probabilidad hay de que sea un hombre?

A = «Ser hombre» B = «Ser mujer» F = «Ser fumador»

c) /P A F( ) = =60

105

4

7b) P F B( )∩ = =

45

200

9

40a) P F( ) = =

105

200

21

40

022

110

90

200

Fuma No fuma

60 50

45 45

105 95

Hombre

Mujer

021

P P A A A A A A A( ) (cuatro conmutadores / /= ∩ ∩ ∩ ∩1 2 1 3 1 2 44 1 2 3

3

4

2

3

1

21

1

4

/A A A∩ ∩ =

= =

)

· · ·

P P A A A A A A( ) ( )tres conmutadores / /= ∩ ∩ ∩ =1 2 1 3 1 23

4·· ·

2

3

1

2

1

4=

P P A A A( ) ( ) ·dos conmutadores /= ∩ = =1 2 13

4

1

3

1

4

P P A( ) ( )un conmutador = =11

4

020

b) /P G B P G P B G( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =7

17

4

7

4

17

a) /P A G P A P G A( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =9

17

3

9

3

17

019

Probabilidad

573

El porcentaje de tornillos defectuosos y del total de producción, que fabrican tres máquinas, viene recogido en la siguiente tabla.

Halla la probabilidad de que un tornillo seadefectuoso.

P(D) = P(M1)P(D/M1) + P(M2)P(D/M2) + P(M3)P(D/M3) == 0,4 ⋅ 0,02 + 0,25 ⋅ 0,05 + 0,35 ⋅ 0,03 = 0,031

Disponemos de dos urnas, que contienen bolas de colores. La primera urna, U1,contiene 2 bolas blancas y 12 negras, y la segunda urna, U2, tiene 3 bolas blancas y 10 negras.

Si escogemos una urna al azar y sacamos una bola:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que resulte de color negro?

b) ¿Y de que resulte de color blanco?

El porcentaje de tornillos defectuosos y del total de producción, que fabrican tres máquinas, es:

Si el tornillo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la máquina 1?

Disponemos de dos urnas, que contienen bolas de colores. La primera urna, U1,contiene 2 bolas blancas y 12 negras, y la segunda urna, U2, tiene 3 bolas blancas y 10 negras.

Si la bola extraída es de color negro, calcula la probabilidad de que:

a) Sea de la primera urna.b) Sea de la segunda urna.

b) //

/P U N

P U P N U

P U P N U P U P( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2

2 2

11 1 2

=+ NN U/ 2

1

2

10

1374

91

455

962)=

⋅=

a) //

/P U N

P U P N U

P U P N U P U P N( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (1

1 1

1 1 2

=+ //U2

1

2

12

14

74

91

273

518)=

⋅=

026

P M DP M P D M

P M P D M P M P D M( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (1

1 1

1 1 2

//

/ /=

+ 22 3 3

0 4 0 02

0 0310 258

) ( ) ( )

, ,

,,

+=

⋅=

P M P D M/

025

b) / /P B P U P B U P U P B U( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ·= + = +1 1 2 21

2

2

14

1

2

33

13

17

91=

a) / /P N P U P N U P U P N U( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ·= + = +1 1 2 21

2

12

14

1

2··

10

13

74

91=

024

023

13SOLUCIONARIO

M1 M2 M3

Producción 40 % 25 % 35 %

Defectuosos 2 % 5 % 3 %

M1 M2 M3

Producción 40 % 25 % 35 %

Defectuosos 2 % 5 % 3 %

574

Describe tres experimentos aleatorios, y determina sus sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno.

Respuesta abierta.

Si se tienen cinco tarjetas con las vocales en una bolsa y se extrae una de ellas; los sucesos elementales son: {a}, {e}, {i}, {o} y {u}, y el espacio muestral es: E = {a, e, i, o, u}

Se lanza un dado con las caras de distintos colores y se anota el color de la carasuperior; los sucesos elementales son: {blanco}, {azul}, {verde}, {amarillo}, {rojo} y {negro}, y el espacio muestral es: E = {blanco, azul, verde, amarillo, rojo, negro}

En una caja se tienen las fichas de un damero y se extrae una de ellas; los sucesoselementales son: {blanca} y {negra}, y el espacio muestral es: E = {blanca, negra}

Indica experimentos aleatorios que tengan:

a) Tres sucesos elementales. b) Doce sucesos elementales.

Respuesta abierta.

a) Se extrae una bola de una urna en la que hay bolas azules, rojas y amarillas.

b) Se extrae una tarjeta de una caja en la que hay tarjetas numeradas del 1 al 12.

Si un experimento aleatorio tiene dos sucesos elementales, A y B:

a) ¿Cuántos sucesos tiene el experimento?

b) Describe la unión, la intersección y los contrarios de los sucesos A y B.

a) El experimento tiene tres sucesos: A, B y el suceso seguro E.

A partir del gráfico, comprueba las siguientes igualdades de sucesos.

a) c)

b) d)

A B∪ A B∩b)

A − B A B∩

a)

A A=A B A B∪ = ∩

A B A B∩ = ∪A B A B− = ∩

E

A

B

030

b) A B E A B A B B A∪ = ∩ = ∅ = =

029

028

027

Probabilidad

575

En el experimento que consiste en lanzar 3 veces una moneda, consideramos los siguientes sucesos.

A = «Salir dos cruces» C = «La última es una cruz»B = «Salir alguna cara» D = «La primera es una cara»

Describe los casos elementales que componen los sucesos.

a) A ∩ C c) A ∪ C e) C ∩ Db) A −B d) f )

Se lanzan tres monedas y se consideran los sucesos:

A = «Salir dos caras» B = «Salir tres cruces» C = «Salir una cara»

Define verbalmente estos sucesos.

a) b) c)

a) «Salir dos caras, tres o ninguna» c) «Salir una cara»

b) «Salir una cara, tres o ninguna»

Lanzamos tres veces un dado de cuatro caras, anotando el resultado de la cara oculta, y consideramos los sucesos.

A = «Salir, al menos, un 1»B = «No salir un 2»C = «Los tres números sumen menos que 8»D = «Salir más de un 3»E = «Salir menos de dos números 4»

Describe los sucesos contrarios de cada uno de los sucesos anteriores.

= «No salir ningún número 1» = «Salir uno o ningún número 3»

= «Salir uno, dos o tres números 2» = «Salir dos, tres o cuatro números 4»

= «Los tres números sumen 8 o más»C

EB

DA

033

C B∩A B∪C

032

f) C D E∪ =c) A C CXX XCX XXC CCX XXX∪ = { , , , , }

e) C D CCX CXX∩ = { , }b) A B− = ∅

d) B D XCC XCX XXC∩ = { , , }a) A C CXX XCX∩ = { , }

C D∪B D∩

031

A

A A=

→

d)

A B∩ A B∪

c)

13SOLUCIONARIO

576

En una caja tenemos carteles con las siguientes letras.

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u

a) En el experimento aleatorio consistente en extraer uno de los carteles, describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen.

V = «Vocal»C = «Consonante»A = «Letra alta como b o f»B = «Letra baja como g»M = «Letra mediana como a o c»

b) Enumera los sucesos elementales que tiene cada uno de estos sucesos.

A ∪ B M ∩ A

M ∪ V

M ∩ V

C − A

c) Comprueba las propiedades.

a) V = {a, e, i, o, u}C = {b, c, d, f, g, h, j }A = {b, d, f, h}B = {g, j }M = {a, c, e, i, o, u}

C M a b c d e f g h i j o u C M

C a e i

∪ = ∪ = ∅

=

{ , , , , , , , , , , , }

{ , ,

→

,, , }

{ , , , , , }

o u

M b d f g h jC M

=

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪∩ = ∅→

c) C M C C M a b d e f g h i j o u

C a e

∩ = ∩ =

=

{ } { , , , , , , , , , , }

{ ,

→

,, , , }

{ , , , , , }{ , , ,

i o u

M b d f g h jC M a b d e

=

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪∪ =→ ,, , , , , , , }f g h i j o u

C A c g j− = { , , }

A C a c e g i j o u∩ = { , , , , , , , }

M V a e i o u∩ = { , , , , }

C A B a b d e f g h i j o u∪ ∪ = { , , , , , , , , , , }

A a c e g i j o u= { , , , , , , , }

M V a c e i o u∪ = { , , , , , }

M A∩ = ∅

b) { }A B b d f g h j∪ = , , , , ,

C M C M∪ = ∩C M C M∩ = ∪

A C∩C A B∪ ∪

A

034

Probabilidad

577

Un experimento consiste en sacar una bola de una urna con 4 bolas rojas,numeradas del 1 al 4; 5 azules, numeradas del 1 al 5, y 3 negras, numeradas del 1 al 3.

R = «Salir bola roja» A = «Salir bola azul»N = «Salir bola negra»I = «Salir número impar»P = «Salir número par»

Describe los sucesos.

a) R ∪ P c) e)

b) I ∪ P d) R ∩ I f )

En una caja hay 5 botones rojos, 3 azules y 7 verdes. Si sacamos un botón al azar,calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

A = «Salir botón rojo»

B = «Salir botón verde o azul»

C = «No salir botón azul»

Una baraja española se compone de 40 cartas. Llamamos figuras a las sotas, los caballos y los reyes. En el experimento consistente en sacar una carta de la baraja,consideramos A = «Salir un as», C = «Salir copas» y F = «Salir una figura».

Determina las siguientes probabilidades.

P( A) P( C ) P( F )P( A ∩ F ) P( A ∪ C ) P( C ∩ F )P( A� ∩ F ) P( A� ∩ C ) P( A ∪ C�)

P A C( )∪ =31

40P A C( )∩ =

9

40P A F( )∩ =

3

10

P C F( )∩ =3

40P A C( )∪ =

13

40P A F( )∩ = 0

P F( ) =3

10P C( ) =

1

4P A( ) =

1

10

037

P C( ) =4

5P B( ) =

2

3P A( ) =

1

3

036

f ) R A N N N∪ = { , , }1 2 3

e) N R R R R A A A A A= { , , , , , , , , }1 2 3 4 1 2 3 4 5

d) R I R R∩ = { , }1 3

c) P N N N∩ = { , }1 3

b) I P R R R R A A A A A N N N∪ = { , , , , , , , , , , , }1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3

a) R P R R R R A A N∪ = { , , , , , , }1 2 3 4 2 4 2

R A∪NP N∩

035

13SOLUCIONARIO

578

En una empresa disponen de los tipos y las marcas de vehículos reflejados en la tabla.

Si las llaves están en una caja y elegimos una llave al azar, determina cuál será la probabilidad de que:

a) Las llaves sean de un vehículo de la marca Seat.

b) Las llaves sean de una furgoneta de la marca Renault.

c) Las llaves pertenezcan a un turismo que no sea Opel.

d) Las llaves no sean de una furgoneta, ni de un vehículo de la marca Seat.

El 35% de los vecinos de un barrio practica algún deporte (D). El 60 % está casado (C ) y el 25 % no está casado, ni hace deporte.

Describe, en función de D y C, los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades.

a) Está casado y practica deporte.b) Practica deporte, pero no está casado.c) Está casado, pero no practica deporte.d) No está casado.e) No está casado, ni practica deporte.

a)

b)

c)

d)

e)

P C D( ) ,∩ = 0 25

C D∩

P C P C( ) ( ) , ,= − = − =1 1 0 6 0 4

C

P C D P C P C D( ) ( ) ( ) , , ,∩ = − ∩ = − =0 6 0 2 0 4

C D∩

P D C P D P D C( ) ( ) ( ) , , ,∩ = − ∩ = − =0 35 0 2 0 15

D C∩

P C D P C D

P C D P C P D P

( ) , ( ) ,

( ) ( ) ( ) (

∩ = ∪ =

∩ = + −

0 25 0 75→→ CC D∪ = + − =) , , , ,0 6 0 35 0 75 0 2

C D∩

039

d) P F S( )∩ =9

25b) P F R( )∩ =

2

25

c) P T O( )∩ =11

25a) P S( ) =

13

25

Opel Renault Seat

Turismo 3 6 5

Furgoneta 1 2 8

038

Probabilidad

579

Un vidente predice que, en el próximo sorteo de lotería, el primer premio va a ser un número con tres cifras distintas de 0 y, además, todas serán diferentes.Juan ha comprado el número 00175, Belén ha comprado 13340 y Andrés ha comprado 00643.

En el caso de que el vidente esté en lo cierto, di cuál es la probabilidad de lossiguientes sucesos.

a) Juan resulte afortunado.

b) Belén acierte la terminación.

c) Andrés acierte las tres primeras cifras (006).

c) Podemos hacer: 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números de tres cifras distintas de cero.

Hay formas distintas de colocar 2 ceros en un número de 5 cifras.

Si el vidente tiene razón, el número de posibilidades es: 10 ⋅ 504 = 5.040posibilidades, y de ellas 56 posibilidades comienzan por 006,

luego la probabilidad es:

El espacio muestral de un experimento aleatorio se compone de los sucesoselementales a, b, c y d.

Sabiendo que estos sucesos son equiprobables y que:

M = {a} N = {b} P = {c, d } Q = {b, c, d }

Calcula las probabilidades de los sucesos:

a) M b) M ∪ Q c) P d) P� ∪ N e) M ∩ Q f ) Q� ∪ P

a) c) e)

b) d) f )

Se lanzan dos dados y se calcula la diferencia entre los resultados mayor y menor.Halla las siguientes probabilidades.

a) La diferencia sea 0.

b) La diferencia sea 1.

c) La diferencia sea 2.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea 3 o más?

e) ¿Y de que la diferencia se encuentre entre 2 y 4, ambos números incluidos?

a) c) e)

b) d)12

36

1

3=

10

36

5

18=

18

36

1

2=

8

36

2

9=

6

36

1

6=

042

P Q P( )∪ =3

4P P N( )∪ =

1

2P M Q( )∪ = 1

P M Q( )∩ = 0P P( ) =1

2P M( ) =

1

4

041

56

5 040

1

90.=

52

10⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

b)9 8 7 6 1

9 8 7 7 6

1

7

· · · ·

· · · ·=

a)1

9 8 7 7 6

1

21 168· · · · .=

040

13SOLUCIONARIO

580

Los médicos de un hospital hacen guardias tres días a la semana.

a) Calcula la probabilidad de que un médico haga guardia el lunes, el martes y el miércoles.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que libre el fin de semana (sábado y domingo)?

c) ¿Y de que esté de guardia tres días alternos, es decir, con un día de descansoentre la primera y la segunda guardias, y otro día de descanso entre la segunda y la tercera?

a) P(Hacer guardia lunes, martes y miércoles) =

b) P(No hacer guardia sábado y domingo) = 1 − P(Hacer guardia sábado,

domingo y otro día de la semana) =

c) P(Hacer guardia lunes, miércoles y viernes) ++ P(Hacer guardia lunes, miércoles y sábado) ++ P(Hacer guardia lunes, jueves y sábado) ++ P(Hacer guardia lunes, viernes y domingo) ++ P(Hacer guardia martes, jueves y sábado) ++ P(Hacer guardia martes, jueves y domingo) ++ P(Hacer guardia martes, viernes y domingo) +

+ P(Hacer guardia miércoles, viernes y domingo) =

Sacamos una ficha del dominó. Determina las probabilidades de los siguientessucesos.

a) Que la ficha obtenida tenga un 1.

b) Que la suma de sus puntos sea mayor que 4.

c) Que la ficha se pueda encadenar a la ficha 3:5.

Imagina que hemos sacado una ficha y ha resultado ser la ficha 2:6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar otra ficha y de que no se pueda encadenar a esta?

a) b) c)

La probabilidad pedida es:

Elegimos al azar una ficha de dominó. Sea:

A = «La ficha contiene, al menos, un número impar» B = «La ficha tiene los dos números iguales»

Describe los siguientes sucesos, escribiendo sus sucesos elementales.

A A ∩ BB A ∪ B

Halla sus probabilidades y comprueba que se verifica la propiedad.

P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)

045

15

28

12

28

3

7=

17

28

7

28

1

4=

044

8

35

15

35

6

7− =

1 1

357 3C ,

=

043

Probabilidad

581

A = {0:1, 0:3, 0:5, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:3, 2:5, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:5, 5:5, 5:6}

B = {0:0, 1:1, 2:2, 3:3, 4:4, 5:5, 6:6}

A ∩ B = {1:1, 3:3, 5:5}

A ∪ B = {0:0, 0:1, 0:3, 0:5, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:2, 2:3, 2:5, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:4, 4:5,5:5, 5:6, 6:6}

En un experimento aleatorio sabemos que:

P( A) = 0,6 P( B) = 0,5 P( A ∩ B) = 0,2

Calcula.

a) P( A�) d) P( A − B)

b) P( A ∪ B) e) P( B� − A)

c) P( A� ∪ B�)

a)

b)

c)

d)

e)

Si A y B son incompatibles y P( A) = 0,6 y P( A ∪ B) = 0,9; halla:

P( B) P( A − B) P( A� ∩ B)

Determina P( A ∪ B), P( A� ∪ B�) y P( A� ∩ B�), si:

P( A) = 0,6 P( B) = 0,5 P( A ∩ B) = 0,3

P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ,∩ = ∪ = − ∪ =1 0 2

P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ,∪ = ∩ = − ∩ =1 0 7

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,∪ = + − ∩ = 0 8

048

P A B P B P A B( ) ( ) ( ) ,∩ = − ∩ = 0 3

P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = 0 6

P B P A B P A( ) ( ) ( ) ,= ∪ − = 0 3

047

P B A P B P B A P B P A P A B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − ∩ = − − − ∩⎡⎣ ⎤⎦ =1 1−− ∪ =P A B( ) ,0 1

P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = 0 4

P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ,∪ = ∩ = − ∩ =1 0 8

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,∪ = + − ∩ = 0 9

P A P A( ) ( ) ,= − =1 0 4

046

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ = + − = =9

14

1

4

3

28

22

28

11

144

P A B( )∪ =11

14P A B( )∩ =

3

28P B( ) =

1

4P A( ) =

9

14

13SOLUCIONARIO

582

Halla P( A), P( B) y P( A� ∩ B), si:

P( A ∪ B) = 0,8 P( B�) = 0,6 P( A ∩ B) = 0,3

¿Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) = 0,6; P( B) = 0,8 y P( A� ∪ B�) = 0,7?

No es posible.

¿Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) = 0,3; P( B) = 0,6 y P( A ∩ B) = 0,3?¿Cómo son esos sucesos?

Sí, es posible, pues:

El suceso A está contenido en el suceso B.

¿Es posible encontrar dos sucesos tales que P( A) = 0,5; P( B) = 0,2 y P( A� ∩ B�) = 0,6?

Sí, es posible.

Si P( A) = 0,7 y P( B) = 0,4; ¿pueden ser incompatibles?

No, porque si

Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,3; ¿pueden ser incompatibles? En caso afirmativo, ¿cuántotiene que valer P( A ∪ B)?

Sí, pueden ser incompatibles:


Sabemos que P( A ∪ B) = P( A) −P( A ∩ B).

a) Decide cómo son los sucesos A y B.

b) Calcula P( A ∪ B) y P( A ∩ B).

El enunciado indica que , y por otra parte, sabemos

que .

De ambas igualdades obtenemos que P(B) = 0 y P(A ∩ B) = 0.

a) Los sucesos A y B son disjuntos, pues la probabilidad de su intersección es cero.

b) P(A ∪ B) = P(A) P(A ∩ B) = 0

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩

P A B P A P A B( ) ( ) ( )∪ = − ∩

055

P A B P A P B( ) ( ) ( ) ,∪ = + = 0 9

P A P B( ) ( ) , ,+ = + <0 6 0 3 1

054

P A B P A B P A P B( ) ( ) ( ) ( ) .∩ = ∪ = + >0 1→

053

P A B P A P B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ,∪ = + − ∩ = ∩ =0 4 0 3→

P A B P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) , ( ) ,∩ = ∪ = − ∪ = ∪ =1 0 6 0 4→

052

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , , .∪ = + − ∩ = + − =0 3 0 6 0 3 0 6

051

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,∪ = + − ∩ = + − = >0 6 0 8 0 3 1 1 1

P A B P A B P A B P A B( ) ( ) , ( ) , ( ) ,∪ = ∩ = − ∩ = ∩ =0 7 1 0 7 0 3→ →

050

P A B P B P A B( ) ( ) ( ) ,∩ = − ∩ = 0 1

P A P A B P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,= ∪ − + ∩ = 0 7

P B P B( ) ( ) ,= − =1 0 4

049

Probabilidad

583

Si E = {S1, S2, S3, S4} es el espacio muestral de un experimento aleatorio:

a) ¿Puede suceder que P( S1) = , P( S2) = , P( S3) = y P( S4) = ?

b) ¿Y que P( S1) = , P( S2) = , P( S3) = y P( S4) = ?

Justifica tus respuestas.

a)

No puede suceder, porque la probabilidad no puede valer más de 1.

b)

No puede suceder, porque la probabilidad del espacio muestral es igual a 1.

Discute si estás de acuerdo con el razonamiento.

«Cuando lanzo dos dados y sumo los resultados, para obtener 11 necesito un 5 y un 6. Si deseo conseguir 12 es preciso que aparezcan dos 6. Es decir, hay un casofavorable para cada uno de los sucesos, luego la probabilidad es la misma».

Comprueba el resultado anterior, calculando su probabilidad de maneraexperimental: lanza un dado 200 veces (o cinco dados 40 veces) y estudia cuál de los dos sucesos sale más veces.

El razonamiento no es correcto, porque hay dos formas de obtener un 5 y un 6;por tanto, la probabilidad de obtener 11 es el doble que la de obtener 12.

P(Obtener 11) = P(Obtener 12) =

Un jugador de parchís fabrica un dado trucado, donde todos los números tengan la misma probabilidad de salir, salvo el 5, que quiere que salga dos veces más que el 1, el 2, el 3 y el 4, y el 6, que quiere que salga el doble de veces que el 5. ¿Cuál es la probabilidad de cada número?

P(Salir 1) = x P(Salir 3) = x P(Salir 5) = 2x

P(Salir 2) = x P(Salir 4) = x P(Salir 6) = 4x

Entonces: P(Salir 1) = P(Salir 2) =

P(Salir 3) = P(Salir 4) =

P(Salir 5) = P(Salir 6) =2

5

1

5

1

10

1

10

1

10

1

10

P E x x x x x x x x( ) = + + + + + = = =1 2 4 1 10 11

10→ → →

058

1

36

2

36

1

18=

057

1

5

2

3

1

4

1

6

57

601+ + + = <

1

5

2

3

1

4

1

6

57

601+ + + = <

1

6

1

4

1

3

1

5

1

6

1

4

2

3

1

5

056

13SOLUCIONARIO

584

En un montón de cartas hemos determinado que

¿Cuántas cartas de cada palo hay en el montón?

P(Oros) = P(Copas) = P(Espadas) =

El número de cartas del montón es proporcional a 12, luego si suponemos que setrata de una sola baraja, puede haber 12, 24 o 36 cartas y, por tanto, habrá 5, 3 y 4;10, 6 y 8; o 15, 9 y 12 cartas de oros, copas y espadas, respectivamente. No hay cartasde bastos, porque la suma de las probabilidades de oros, copas y espadas es 1.

Vamos a extraer una bola de una urna que contiene 3 bolas rojas, 2 azules y 5 verdes,numeradas del 1 al 3, del 1 al 2 y del 1 al 5, respectivamente.

Consideremos los sucesos.

R = «Salir bola roja»

A = «Salir bola azul»

V = «Salir bola verde»

S2 = «Salir bola con un 2»



Determina las probabilidades.

a) P( R/S3) d) P( A/S2) g) P( S5 ∩V )

b) P( V�/S2) e) P( S3 /R) h) P( A ∩S2)

c) P( S5 / V ) f ) P( V/S5)

A una excursión acuden niños, padres y profesores de dos colegios, como se indicaen la tabla.

Niños Padres Profesores

Colegio A 50 5 5

Colegio B 30 3 2

061

e) /P S R( )31

3=

d) /P A S( )21

3=

h) /P A S P A P S A( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =2 21

5

1

2

1

10c) /P S V( )5

1

5=

g) /P S V P V P S V( ) ( ) · ( ) ·5 51

21

1

2∩ = = =b) /P V S( )2

2

3=

f) /P V S( )5 1=a) /P R S( )31

2=

060

1

3

4

12=

1

4

3

12=

5

12

P P P P( ) , , ( ) (Oros (Copas) Espadas y Bas= = =5

12

1

4

1

3ttos) = 0

059

Probabilidad

585

Si llamamos N = «Ser niño», P = «Ser padre», F = «Ser profesor», A = «Pertenecer al colegio A» y B = «Pertenecer al colegio B», calcula las probabilidades.

a) P( P) c) P( A/N) e) P( P ∩B)

b) P( A) d) P( B/F) f ) P( P/B)

Comprueba si los sucesos P y B son independientes.

En un instituto, la probabilidad de aprobar Matemáticas es del 60 % y la de aprobarFísica es del 50 %. La probabilidad de aprobar las dos asignaturas es del 30 %. ¿Son independientes ambos sucesos?

Los sucesos M = «Aprobar Matemáticas» y F = «Aprobar Física» sonindependientes.

Una empresa de transporte tiene dos autobuses, A y B, y tres conductores, Diego (D), Elena (E ) e Inés (I ). Los viajes realizados por los conductores y los autobuses durante el último mes se han reflejado en la tabla.

Durante uno de los viajes se produjo un accidente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que condujera Elena?b) ¿Y de que el autobús afectado fuera B?c) Estudia si E y B son sucesos independientes.d) Haz lo mismo con los sucesos I y A.

d) y no sP I A P I P A I A( ) · ( ) · ( )∩ = = =20

105

4

21

10

21

1

3� → oon sucesos independientes.

c) y son sucesos iP E B P E P B E B( ) ( ) · ( )∩ = = =10

105

2

21→ nndependientes.

b) P B( ) = =70

105

2

3

a) P E( ) = =15

105

1

7

Diego Elena Inés

Autobús A 10 5 20

Autobús B 30 10 30

063

P M P F P M F( ) · ( ) , · , , ( )= = = ∩0 6 0 5 0 3

062

P P P B P P B P B( ) · ( ) · ( )= = ∩8

95

35

95

3

95� → y no son sucesoos independientes.

f ) /P P B( ) =3

35c) /P A N( ) = =

50

80

5

8

e) P P B( )∩ =3

95b) P A( ) = =

60

95

12

19

d) /P B F( ) =2

7a) P P( ) =

8

95

13SOLUCIONARIO

586

El médico de una empresa tiene una tabla en la que distribuye a los empleadossegún el sexo y su condición de fumadores, pero se ha perdido un dato. Complétala sabiendo que «ser mujer» y «ser fumador» son sucesos independientes.

Sea x el número de hombres no fumadores de la empresa.

Si M y F son sucesos independientes:

Una urna contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul.

a) Extraemos una bola, anotamos su color, la devolvemos a la urna, sacamos otrabola y anotamos su color. Halla las siguientes probabilidades.

• Que las dos bolas sean rojas.

• Que haya alguna bola azul.

• Que no haya ninguna bola verde.

b) Repetimos el experimento sin devolver la bola a la urna. Determina las mismasprobabilidades.

Si sacáramos las dos bolas a la vez, ¿en cuál de las dos situaciones anteriores nos encontraríamos?

P(Al menos una bola azul) =

P(Al menos una bola azul) =

Nos encontraríamos en la situación del apartado b), ya que si se sacan dos bolas a la vez no hay reemplazamiento como en el primer caso.

P V V( ) ·1 22

3

3

5

2

5∩ = =

1 15

6

4

5

1

31 2− ∩ = − =P A A( ) ·

b) P R R( ) ·1 21

2

2

5

1

5∩ = =

P V V( ) ·1 22

3

2

3

4

9∩ = =

1 15

6

5

6

11

361 2− ∩ = − =P A A( ) ·

a) P R R( ) ·1 21

2

1

2

1

4∩ = =

065

→ → →30 155 8 250 155 275 120( ) .+ = + = =x x x

P M F P M P Fx x x

( ) ( ) · ( ) ·∩ =+

=+ +

→ 30

155

75

155

110

155

Fumador No fumador

Mujer 30 45

Hombre 80 x

064

Probabilidad

587

De una caja que contiene 3 fichas azules y 5 rojas sacamos 2 fichas. Determina las siguientes probabilidades.

a) Salgan 2 fichas azules.

b) Sean 2 fichas rojas.

c) La primera sea azul y la segunda roja.

d) Haya una ficha azul y otra roja.

e) La segunda sea roja, si la primera es azul.

f ) La segunda sea roja, si la primera es roja.

De una bolsa en la que tenemos 3 fichas azules y 5 rojas sacamos dos fichas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que:

a) Las dos fichas sean azules.

b) Las dos fichas sean rojas.

c) La primera ficha sea azul y la segunda roja.

d) Haya una ficha azul y otra roja.

Al realizar el experimento con reemplazamiento, las dos extracciones son independientes:

d) P A R P R A( ) ( ) · ·1 2 1 23

8

5

8

5

8

3

8

30

64

15

32∩ + ∩ = + = =

c) P A R P A P R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 23

8

5

8

15

64∩ = = =

b) P R R P R P R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 25

8

5

8

25

64∩ = = =

a) P A A P A P A( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 23

8

3

8

9

64∩ = = =

067

f) /P R RP R R

P R( )

( )

( )2 1

1 2

1

514

5

8

4

7=

∩= =

e) /P R AP A R

P A( )

( )

( )2 1

1 2

1

15

563

8

5

7=

∩= =

d) P A R P R A( ) ( ) · ·1 2 1 23

8

5

7

5

8

3

7

15

28∩ + ∩ = + =

c) /P A R P A P R A( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 13

8

5

7

15

56∩ = = =

b) /P R R P R P R R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 15

8

4

7

5

14∩ = = =

a) /P A A P A P A A( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 13

8

2

7

3

28∩ = = =

066

13SOLUCIONARIO

588

Un examen tipo test consta de dos preguntas para las que se ofrecen cuatro posiblesrespuestas, de las que solo una es correcta. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar dos preguntas? ¿Y de no acertar ninguna?Resuélvelo considerando que el examen consta de cuatro preguntas.

¿Cuál es la probabilidad de tener 15 aciertos en una quiniela de fútbol compuestapor 15 partidos? ¿Y de tener 14 aciertos?

P(15 aciertos) = = 0,000000069

P(14 aciertos) = = 0,00000209

De una baraja extraemos dos montones de cartas; en el primer montón hay 5 oros y 2 copas, y en el segundo montón hay 2 oros, 3 copas y 5 espadas.

Se saca una carta del primer montón y otra del segundo. Determina las probabilidades de los siguientes sucesos.

a) Salen dos cartas de oros.

b) Son dos cartas de copas.

c) Hay una carta de oros y otra de copas.

d) La segunda carta es de espadas.

e) La segunda carta es de espadas, sabiendo que la primera fue de copas.

e) / porque los sucesos son independieP E C( ) ,2 11

2= nntes.

d) P E( )25

10

1

2= =

c) P O C P C O( ) ( ) · ·1 2 1 25

7

3

10

2

7

2

10

19

70∩ + ∩ = + =

b) P C C( ) ·1 22

7

3

10

3

35∩ = =

a) P O O( ) ·1 25

7

2

10

1

7∩ = =

070

151

3

2

314· ·

1

315

069

P A A A A( ) · · ·1 2 3 43

4

3

4

3

4

3

4

81

256∩ ∩ ∩ = =

P A A A A( ) · · ·1 2 3 41

4

1

4

1

4

1

4

1

256∩ ∩ ∩ = =

P A A( ) ·1 23

4

3

4

9

16∩ = =

P A A( ) ·1 21

4

1

4

1

16∩ = =

068

Probabilidad

589

En la caja A hay un dado de cuatro caras, en la caja B uno de seis caras y en la caja Cotro de ocho. Elegimos una caja al azar y lanzamos el dado que contiene. Calcula las probabilidades de que:

a) Salga un 3.

b) Salga un 3, si resultó elegida la caja A.

c) Hayamos tirado el dado de la caja A, si sabemos que ha salido un 3.

d) Salga un 6.

e) Hayamos sacado el dado de la caja A, si sabemos que salió un 6.

f ) Salga un 6, si la caja seleccionada fue la caja C.

Sacamos la sota, el caballo y el rey de copas de una baraja y hacemos dos montones,uno con las figuras restantes y otro con las demás cartas. Lanzamos un dado, y si aparece un número menor que 5, sacamos una carta del montón de las figuras, y del otro montón si sale un 5 o un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una carta de oros? ¿Y de que salga una figura? ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta de oros si al tirar el dado salió un 3?

A = «Salir un número menor que 5 al lanzar el dado»

B = « Salir 5 o 6 al lanzar el dado»

P O A( )/ =1

3

P F P A P F A P B P F B( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) · ·= + = + =/ /2

31

1

30

2

3

P O P A P O A P B P O B( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) · ·= + = + =/ /2

3

1

3

1

3

1

4

11

336

072

f ) /P S C( ) =1

8

e) //

/ /P A S

P A P S A

P A P S A P B P S B( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) · ( )=

+ ++= =

P C P S C( ) · ( )/

0

7

72

0

d) / / /P S P A P S A P B P S B P C P S C( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( )= + + =11

30

1

3

1

6

1

3

1

8

7

72· · ·+ + =

c) //

/ /P A T

P A P T A

P A P T A P B P T B( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) · ( )=

+ ++= =

P C P T C( ) · ( )/

112

13

72

6

13

b) /P T A( ) =1

4

a) / / /P T P A P T A P B P T B P C P T C( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( )= + + =11

3

1

4

1

3

1

6

1

3

1

8

13

72· · ·+ + =

071

13SOLUCIONARIO

590

En una caja hay 6 fichas rojas y 4 fichas negras. Se sacan dos fichas. Determina la probabilidad de los sucesos.

a) La segunda ficha es roja.

b) La segunda es roja, si la primera fue negra.

El 1 % de los ejemplares de una variedad europea de pez presenta una malformacióncongénita consistente en la ausencia de la aleta dorsal. Ese defecto está presente en el 3 % de los peces de la variedad africana. En un criadero de peces, el 80 % de sus ejemplares es de procedencia europea y el resto africana.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un pez del criadero no tenga aleta dorsal?

b) Si el criadero tiene aproximadamente dos millones de ejemplares de peces, ¿cuántos no tendrán aleta dorsal?

a)

b) 0,014 ⋅ 2.000.000 = 28.000 ejemplares no tendrán aleta dorsal.

En la central telefónica de una empresa hay tres telefonistas, A, B y C, que atienden a la misma proporción de clientes. Cuando estos solicitan hablar con el serviciotécnico, los telefonistas deben derivar la llamada, de forma aleatoria, a las extensiones 1, 2, 3 o 4. Pero A solo tiene acceso a las extensiones 1, 2 y 3; B solo puede comunicar con 2, 3 y 4 y, finalmente, C solo tiene acceso a 1 y 4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que te atienda C?

b) ¿Y de llamar al servicio técnico y que te atienda 4?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que te atienda 3, si el telefonista que te respondió fue A?

d) ¿Y la de que te atendiera A, si te desviaron al número 3?

e) ¿Y la de que te pasen con el número 1, si no te atendió C?

075

P D P E P D E P A P D A( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) , · , , ·= + = +/ / 0 8 0 01 0 2 0,, ,03 0 014=

074

b) /P R N( )2 16

9

2

3= =

a) / /P R P R P R R P N P R N( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ·2 1 2 1 1 2 13

5

5

9= + = ++ =

2

5

2

3

3

5·

073

Probabilidad

591

En un montón de cartas hay 3 cartas de oros y 2 de copas, y en un segundo montónhay 2 cartas de oros, 2 de copas y 4 de espadas. Se saca una carta del primer montóny se mete en el segundo. A continuación se saca una carta del segundo montón.Calcula las probabilidades de:

a) Sacar una carta de oros.

b) Pasar una carta de copas y que luego salgan copas.

c) Que salga una carta de copas, si se pasó una de oros.

Se han metido 6 bolas rojas y 4 negras en la urna 1, y 3 bolas rojas y 4 negras en la urna 2. Se saca una bola de la primera urna y se pasa a la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda urna.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sacada sea negra?

b) Si finalmente salió una bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que hubiéramospasado una bola roja?

b) //

/P R R

P R P R R

P R P R R P N( )

( ) · ( )

( ) · ( ) (1 2

1 2 1

1 2 1

=+ 11 2 1

3

5

1

23

5

1

2

2

5

3

8

310

9

20

2

3) · ( )

·

· ·P R N/

=+

= =

a) / /P N P R P N R P N P N N( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ·2 1 2 1 1 2 13

5

1

2= + = ++ =

2

5

5

8

11

20·

077

c) /P C O( )2 12

9=

b) /P C C P C P C C( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 12

5

1

3

2

15∩ = = =

a) / /P O P O P O O P C P O C( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ·2 1 2 1 1 2 13

5

1

3= + = ++ =

2

5

2

9

13

45·

076

e) / / /P E C P E A P E B( ) ( ) ( )1 1 11

30

1

3= + = + =

d) //

/P A E

P A P E A

P A P E A P B P E( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) · (3

3

3

=+ 33 3

1

3

1

31

3

1

3

1

3

1

3

1

30

1

/ /B P C P E C) ( ) · ( )

·

· · ·

+=

=+ +

=22

c) /P E A( )31

3=

b) / /P E P A P E A P B P E B P C P E( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · (4 4 4 4= + + //C)

· · ·

=

= + + =1

30

1

3

1

3

1

3

1

2

5

18

a) P C( ) =1

3

13SOLUCIONARIO

592

En un cine hay tres salas. En la sala A están proyectando una película y hay 240espectadores. En la sala B hay 180 butacas ocupadas y en la sala C hay 80 personas.Se sabe que la película de la sala A agrada al 40 % de los espectadores, mientras quelas películas de las otras salas tienen un 50 % y un 90 % de aceptación.

A la salida de las tres películas elegimos un espectador al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la película le haya gustado?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala C?

c) ¿Y cuál es la probabilidad de que salga de la sala C si sabemos que la película le ha gustado?

El 60 % de los productos de una marca se fabrica en su factoría de Portugal, el 30 %se fabrica en España y el resto en la factoría de Andorra. El 1% de los productosfabricados en Portugal presenta algún defecto de fabricación, mientras que enEspaña y en Andorra estos porcentajes son del 0,5 % y el 3 % respectivamente.

a) Determina la probabilidad de que un producto resulte defectuoso.

b) Si compramos un producto y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de queproceda de Andorra?

El 60 % de los habitantes adultos de un pueblo es votante del partido QW y el resto vota al partido SZ. Se ha organizado un referéndum. El 35 % de los votantesde QW está a favor de la propuesta, mientras que el 90 % de los votantes de SZ también está dispuesto a apoyarla.

a) Si se realiza la votación, ¿cuál es la probabilidad de que la propuesta sea aprobada?

b) Elegimos al azar un votante de los que votaronafirmativamente. ¿Cuál es la probabilidad de que sea votante de QW?

b) //

/P QW A

P QW P A QW

P QW P A QW P SZ( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) ·=

+ PP A SZ( )

, · ,

,,

/= =

0 6 0 35

0 570 37

a) / /P A P QW P A QW P SZ P A SZ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ), · ,

= + == 0 6 0 355 0 4 0 9 0 57+ =, · , ,

080

b) //

/ /P A D

P A P D A

P P P D P P E P D E( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) · ( )=

+ ++= =

P A P D A( ) · ( )

, · ,

,,

/

0 1 0 03

0 01050 28

a) / / /P D P P P D P P E P D E P A P D A( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( )= + + === + + =0 6 0 01 0 3 0 005 0 1 0 03 0 0105, · , , · , , · , ,

079

c) //

/ /P C G

P C P G C

P A P G A P B P G B( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) · ( )=

+ ++= =

P C P G C( ) · ( )

·

/

80

500

90

100129

250

36

129

b) /P G C( ) =9

10

a) / / /P G P A P G A P B P G B P C P G C( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( )= + + =

== + + =240

500

40

100

180

500

50

100

80

500

90

100

129· · ·

2250

078

Probabilidad

593

En un cajón tengo 3 calcetines rojos, 5 verdes y 8 negros. Si con la luz apagada saco un par, determina la probabilidad de que los calcetines sean de los colores que se indican en cada caso.

a) Ambos sean verdes.

b) Los dos sean del mismo color.

c) No haya ninguno rojo.

d) Si el primero que saqué resultó ser verde, el segundo también lo sea.

e) El primero es verde y el segundo es de cualquier otro color, excepto el verde.

En una caja hay 3 fichas rojas y 1 ficha azul. Un juego consiste en sacar una ficha,anotar su color, devolverla a la caja y seguir sacando hasta el momento en que se hayan conseguido 2 fichas azules.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar con menos de cuatro extracciones?

b) ¿Y cuál es la probabilidad de sacar 5 fichas y no ganar?

En una urna hay 5 bolas rojas, 2 negras y un número indeterminado de bolas azules.Se sabe que la probabilidad de que, al sacar dos bolas, haya 1 bola roja y 1 bola azul

es de . Determina el número de bolas azules que hay en la urna.

Sea x el número de bolas azules de la urna.

→ → →5

7 6 7

5

6

1

330 42 13 142

+ ++

+ += = + + =

x

x

x

x

x xx x x

xx

· ·==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 3

P R A P A R P R P A R P A P R( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) · (1 2 1 2 1 2 1 1 2∩ + ∩ = +/ //A11

3) =

1

3

083

b) P R R R R R P A R R R R( ) ( )∩ ∩ ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ ∩ =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟5

3

4

5

++⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =5

1

4

3

4

81

128

4

· ·

a) P A A P A R A P R A A( ) ( ) ( ) · · ·∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ = + +1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

3

44

1

4

1

4

10

64

5

32· · = =

082

e) /P V R P V N P V P R V P V P( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) · (1 2 1 2 1 2 1 1∩ + ∩ = + NN V2 1

5

16

3

15

5

16

8

15

11

48

/ )

· ·

=

= + =

d) /P V V( )2 14

15=

c) /P R R P R P R R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 113

16

12

15

13

20∩ = = =

b) /P R R P V V P N N P R P R R( ) ( ) ( ) ( ) · ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1∩ + ∩ + ∩ = ++ + =

= +

P V P V V P N P N N( ) · ( ) ( ) · ( )

·

1 2 1 1 2 1

3

16

2

15

5

1

/ /

66

4

15

8

16

7

15

41

120· ·+ =

a) /P V V P V P V V( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 15

16

4

15

1

12∩ = = =

081

13SOLUCIONARIO

594

Para recibir las quejas de los clientes, una empresatelefónica dispone de una oficina atendida portres empleados.

• El empleado A está exclusivamente dedicado a la atención a los clientes y los otros dosempleados realizan, además, otras tareas.

• El empleado A atiende al 60 % de los visitantes,B al 25 % y C al resto.

• El empleado más efectivo es A, que resuelve el 95 % de los problemas que le plantean los clientes, mientras que B solo resuelve el 80 % y C el 60 %.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no me atiendael empleado A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que me resuelvan el problema si no me atiende A?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema si me atiende A?

e) Si no me han resuelto el problema, ¿cuál es la probabilidad de que me hayaatendido B?

Calcula.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentrendos amigos y hayan nacido el mismo día de lasemana?

b) Y si se encuentran tres amigos, ¿cuál es laprobabilidad de que haya, por lo menos, dos amigos que nacieran el mismo día de lasemana?

c) ¿Cuántos amigos han de juntarse para poderasegurar, con más del 50 % de probabilidad,que haya dos amigos, al menos, que nacieranel mismo día de la semana?

S = «Haber nacido un día de la semana»

a) 7 71

7

1

7

1

70 14· ( ) · · ,P S S∩ = = =

085

e) //

/ /P B R

P B P R B

P A P R A P B P R B( )

( ) · ( )

( ) · ( ) ( ) · ( )=

+ ++= =

P C P R C( ) · ( )

, · ,

,,

/

0 25 0 2

0 140 36

d) /P R A( ) ,= 0 05

c) // /

P R AP R A

P A

P B P R B P C P R C( )

( )

( )

( ) · ( ) ( ) · ( )=

∩=

+PP A( )

, · , , · ,

,,=

+=

0 25 0 8 0 15 0 6

0 40 725

b) / / /P R P A P R A P B P R B P C P R C( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( )= + + === + + =0 6 0 05 0 25 0 2 0 15 0 4 0 14, · , , · , , · , ,

a) P A P A( ) ( ) ,= − =1 0 4

084

Probabilidad

595

b) P(Al menos dos nacieron el mismo día) = P(Dos nacieron el mismo día) + P(Tres

nacieron el mismo día) =

c) Si se reúnen cuatro amigos: P(Al menos dos nacieron el mismo día) = P(Dosnacieron el mismo día) + P(Tres nacieron el mismo día) + P(Cuatro nacieron el mismo día) =

Averigua la relación que deben cumplir x, y, z y t para que A y P sean sucesosindependientes.

Si A y P son independientes, entonces:

Sol y Jesús lanzan dos monedas. Sol afirma que los resultados posibles son: 2 caras,

1 cara y 0 caras, y asegura que la probabilidad de sacar cara es de . Jesús lanza

las monedas sesenta veces y asegura que la probabilidad de que salga una cara es del 50 %.

Decide quién está en lo correcto y razónalo.

Jesús tiene razón, ya que el espacio muestral de este experimento es:

E = {CC, CX, XC, XX }

Entonces la probabilidad de que salga una cara es:

P CX XC P CX P XC( ) ( ) ( )∪ = + = + =1

4

1

4

1

2

1

3

087

→ →x x y xz xt x x y xz yz xt yz2 2+ + + = + + + =

→ x

x y z t

x z

x y z t

x y

x y z t+ + +=

++ + +

++ + +

·

P A P P A P P( ) ( ) · ( )∩ =

x + y

z + t

x + y + z + t

A B

x y

z t

x + z y + t

P

Q

086

= + +6 71

7

1

7

6

7

5

74 7

1

7

1

7

1

7

6

77

1

7

1

7

1

7· · · · · · · · · · · · · ··

,

1

7205

3430 59

=

= =

3 71

7

1

7

6

77

1

7

1

7

1

7

19

490 39· · · · · · · ,+ = =

13SOLUCIONARIO

596

En un juego se lanza una moneda al aire y si sale cara, pierde un punto Beatriz y lo gana Jesús, y si sale cruz, se hace al contrario. Entre ambos acuerdan que solo se puede jugar si se dispone de puntos para perder.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Jesús tenga que dejar de jugar al tercerlanzamiento?

b) ¿Y cuál es la probabilidad de que, tras lanzar la moneda cuatro veces, Jesús tenga solo un punto?

Suponemos que el juego es equitativo, es decir, que Beatriz y Jesús parten con un mismo número de puntos.

a) Queremos calcular la probabilidad de que Jesús pierda todos sus puntos al tercer lanzamiento.

Esto quiere decir que debe tener 1 punto después del segundo lanzamiento y que salga cruz en el tercero.

Como tras el segundo lanzamiento tiene 1 punto, la única posibilidad es quetras el primer lanzamiento tenga 2 puntos, es decir, en el segundo lanzamientodebe salir cruz.

Si tras el primer lanzamiento tiene 2 puntos, necesariamente ha de tener 1 o 3 puntos al comenzar a jugar, pero no puede tener 1 punto, ya que estosignificaría que el juego acaba en la primera tirada, pues Jesús o Beatriz se quedarían sin puntos para jugar.

Por tanto, la única opción válida para que Jesús termine de jugar en el tercerlanzamiento es que haya partido con tres puntos y que salgan 3 crucesseguidas.

P(XXX ) =

Si al comienzo de la partida, tuvieran un número de puntos distinto de 3, la probabilidad de que Jesús pierda exactamente al tercer lanzamiento es cero.

b) Con un razonamiento análogo al anterior, que podemos resumir en el siguientecuadro, comprobamos que las únicas opciones válidas para que Jesús tenga 1 punto tras la cuarta tirada es que haya comenzado con 3 puntos o con 5 puntos.

Si ha comenzado con 3 puntos, la probabilidad de que acabe con 1 punto es:

P(Acabar con 1 punto) =

Y si ha comenzado con 5 puntos:

P(Acabar con 1 punto) =1

2

1

2

1

2

1

2

1

16· · · =

31

2

1

2

1

2

1

2

3

16· · · · =

1 23

45

343

21

1

←⎯←⎯

←⎯←⎯

←⎯

←

o

o

o

o

o

++

++⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

C

⎯⎯ ←⎯

←⎯ ←⎯ ←⎯

2 1

3 2 1

2 3

1 2

o o

o o o

C

C

+

+

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪++

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3

1

2

1

2

1

2

1

8· · =

088

Probabilidad

597

En una urna en la que hay dos bolas de color desconocido introducimos una tercerabola de color rojo. Después de remover las tres bolas, sacamos una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?

Hay tres posibles composiciones de la urna tras introducir la tercera bola: las tres bolas son rojas (U1), dos bolas son rojas y una es de otro color (U2) o una bola es roja y las otras dos son de otro color (U3).

PARA FINALIZAR...

Se lanza un dardo sobre el rectángulo determinadopor las rectas x = ±2 e y = ±1 en un sistema de ejes coordenados.

Calcula la probabilidad de que el dardo impactesobre un punto que:

a) Tenga su abscisa mayor que su ordenada.

b) La suma de sus coordenadas sea mayor que 1.

c) El producto de sus coordenadas sea positivo.

d) La suma de los valores absolutos de sus coordenadas sea mayor que 1.

a) P(La abscisa es mayor que la c) P(El producto de las coordenadas

ordenada) = es positivo) =

b) P(La suma de las coordenadas d) P(La abscisa es mayor que la

es mayor que 1) = ordenada) =

1

1 X

Y

1

1 X

Y

6

8

3

4=

2

8

1

4=

1

1 X

Y

1

1 X

Y

4

8

1

2=4

8

1

2=

1

1 X

Y090

P R P U P R U P U P R U P U P R( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · (= + +1 1 2 2 3/ / /UU31

31

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3) · · ·= + + =

089

13SOLUCIONARIO

598

En la ecuación de segundo grado:

x2 + ax + b = 0

los coeficientes, a y b, son los posibles resultados al lanzar dos dados.

Calcula la probabilidad de que la ecuación no tenga solución real.

Los resultados al lanzar dos dados son:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

La ecuación de segundo grado no tiene solución si el discriminante es negativo:

En la ecuación de segundo grado x2 + ax + b = 0, los coeficientes, a y b, son dos números reales escogidos al azar en el intervalo [0, 1].

Calcula la probabilidad de que tenga dos soluciones reales distintas.

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas si el discriminante es positivo:

¿Cuál es el mínimo número de personas necesarias, para que la probabilidad de que,al menos, dos de ellas cumplan años el mismo día, sea superior al 50 %?

Suponemos que el año tiene 365 días.

Si estudiamos un grupo de n personas, el número de casos posibles es 365n.

P(n personas no cumplen años el mismo día) =

P(Al menos dos personas del grupo de n personas cumplen años el mismo día) == 1 − P (n personas no cumplen años el mismo día) =

= −… − +

1365 364 365 1

365

· · · ( )nn

365 364 365 1

365

· · · ( )… − +nn

093

P(Dos soluciones distintas)Área favorable

Área=

pposible= =

112

1

1

12

Área encerrada bajo la curva = =⎡

⎣⎢⎢

⎤�1 2 3

04 12

xdx

x

⎦⎦⎥⎥ =0

11

12

Δ = − > >a b a b2 24 0 4→1

1 X

Y

092

Δ = − < < =a b a b P2 24 0 417

36→ → ( )No solución

091

Probabilidad

599

El mínimo número de personas es 23.

Tenemos dos urnas iguales, una con 25 bolas rojas y otra con 25 bolas negras.Cambiamos el número de bolas que queramos de una urna a otra. Si después se elige una urna al azar y se saca una bola:

¿Cómo distribuirías las bolas para que la probabilidad de sacar una bola roja sea la mayor posible? ¿Cuál es esa probabilidad?

Observamos que, al cambiar las bolas negras de urna, la probabilidad de extraer una bola roja es menor que al cambiar las bolas rojas. Por tanto, esta probabilidad es máxima al pasar 24 bolas rojas a la segunda urna, junto con las 25 bolas negras, y su valor es 0,74.

U1 U2 Probabilidad

25 rojas 25 negras1

21

1

20

1

20 5· · ,+ = =

25 rojas y 5 negras 20 negras1

2

5

6

1

20

1

2

5

6

5

120 41· · · ,+ = = =

25 rojas y 20 negras 5 negras1

2

4

9

1

20

1

2

4

9

4

180 22· · · ,+ = = =

20 rojas y 5 negras 20 negras y 5 rojas1

2

4

5

1

2

1

5

1

21

1

20 5· · · ,+ = = =

15 rojas y 5 negras 20 negras y 10 rojas1

2

3

4

1

2

1

3

1

2

13

12

13

240 54· · · ,+ = = =

20 rojas 25 negras y 5 rojas1

21

1

2

1

6

1

2

7

6

7

120 58· · · ,+ = = =


21

1

2

2

7

1

2

9

7

9

140 64· · · ,+ = = =


21

1

2

3

8

1

2

11

8

11

160 69· · · ,+ = = =


21

1

2

4

9

1

2

13

9

13

180 72· · · ,+ = = =

1 roja 25 negras y 24 rojas1

21

1

2

24

49

1

2

73

49

73

980 74· · · ,+ = = =

094

n Probabilidad

20 0,41

21 0,44

22 0,47

23 0,51

n Probabilidad

5 0,027

10 0,12

15 0,25

20 0,41

25 0,57

13SOLUCIONARIO

600


El teorema–Como la mayoría de los que estamos presentes en esta aula, Laplacefue incomprendido por sus padres –dijo Caine mientras caminaba pordelante de la pizarra–. Aunque su padre quería que fuera soldado osacerdote, Laplace se decidió por la vida académica. Por lo tanto,cuando cumplió los dieciocho años marchó al epicentro académico deFrancia: París. Allí consiguió un trabajo como profesor de geometríade los cadetes de una academia militar. Entre ellos había un chico ba-jito llamado Napoleón Bonaparte que, según me han dicho, hizo des-pués algunas cosas extraordinarias.

Los doce estudiantes reunidos alrededor de la mesa se rieron cortés-mente.

–En 1770, Laplace presentó su primer trabajo en la prestigiosa Acadé-mie des Sciences. Después de aquello, quedó claro para todos que eraun genio matemático. Así que dedicó el resto de su vida a dos campos:la probabilidad y la astronomía. Casi treinta años más tarde, en 1799,unió los dos campos cuando publicó el libro de astronomía más im-portante de la época: Tratado de la mecánica celeste. El libro no sólocontenía una exposición analítica del sistema solar, sino que tambiénincluía nuevos métodos para calcular las órbitas planetarias.

»Sin embargo, la razón por la que el Tratado de la mecánica celeste si-gue considerándose hoy muy importante no es por sus hallazgos as-tronómicos, sino porque fue la primera persona que aplicó la teoría delas probabilidades a la astronomía. Laplace demostró que las múltiplesobservaciones de la posición de una estrella tendían a formar una cur-va con forma de campana. […]

–¿A qué se refiere con «múltiples observaciones de la posición de unaestrella»?–, preguntó un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro.

–Ah, buena pregunta. –Caine se acercó a la pizarra–. En aquel enton-ces, uno de los grandes problemas de la astronomía era que todos to-maban sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las per-sonas cometen errores, los datos no eran claros. Veinte astrónomosdiferentes medían la posición de una estrella y obtenían veinte lectu-ras diferentes. Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observa-ciones diferentes y elaborar un gráfico. Cuando lo hizo, vio que lasposiciones formaban una curva con forma de campana como ésta.–Caine señaló una gráfica de distribución normal en la pared–. Encuanto vio esto, exclamó: «Ajá, si las observaciones están en una dis-tribución normal, entonces la punta nos indica la posición más proba-ble de la estrella».

ADAM FAWER

Mide las dimensiones, en mm, de tu mesa y calcula su superficie.Con los datos de tus compañeros elabora un polígono de frecuencias y, a partir de él, calcula la superficie más probable de la mesa.

Respuesta abierta.

Distribuciones binomial y normal14


Indica el tipo de variable estadística.

a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona.

b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana.

a) Cuantitativa continua

b) Cuantitativa continua

c) Cualitativa

d) Cuantitativa discreta

Organiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso, en kg, de 20 personas.

42 51 56 66 75 47 51 45 63 79

69 59 50 70 59 62 54 60 63 58

Respuesta abierta.

Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 7, 5, 6, 10, 9, 7 y 6.Calcula la media, la varianza y la desviación típica.

σ = 1,65

Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma:

a) Sea 3. c) Sea inferior a 11.

b) No sea 7. d) Sea 4 o 5.

d)3

36

4

36

7

36+ =b) 1

6

36

5

6− =

c) 13

36

11

12− =a)

2

36

1

18=

004

σ2 2376

7= − =7,14 2,73

x = =50

77,14

003

Fi Hi

3 0,15

11 0,55

17 0,85

20 1

fi hi

3 0,15

8 0,4

6 0,3

3 0,15

N = 20 hi =∑ 1

Peso

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

002

001

14SOLUCIONARIO

601

602

ACTIVIDADES

Lanzamos dos dados de 6 caras.

a) Comprueba que la función que asigna a cada suceso elemental la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.

b) Elabora su tabla de valores y represéntala gráficamente.

a) El espacio muestral es: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

La función X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.

b)

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda.

a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental.b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represéntalas.

a) El espacio muestral es:

E = {(1, C ), (2, C ), (3, C ), (4, C ), (5, C ), (6, C ), (1, X ), (2, X ), (3, X ), (4, X ), (5, X ), (6, X )}

La probabilidad de cada suceso elemental es .1

12

002

0,18

0,160,14

0,120,1

0,080,060,04

0,02

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X P(X = xi) P(X ≤xi)

21

36

1

36

31

18

1

12

41

12

1

6

51

9

5

18

65

36

5

12

71

6

7

12

85

36

13

18

91

9

5

6

101

12

11

12

111

18

1

12

121

361

X(1, 1) = 2 X(1, 2) = 3 X(1, 3) = 4 X(1, 4) = 5 X(1, 5) = 6 X(1, 6) = 7X(2, 1) = 3 X(2, 2) = 4 X(2, 3) = 5 X(2, 4) = 6 X(2, 5) = 7 X(2, 6) = 8X(3, 1) = 4 X(3, 2) = 5 X(3, 3) = 6 X(3, 4) = 7 X(3, 5) = 8 X(3, 6) = 9X(4, 1) = 5 X(4, 2) = 6 X(4, 3) = 7 X(4, 4) = 8 X(4, 5) = 9 X(4, 6) = 10X(5, 1) = 6 X(5, 2) = 7 X(5, 3) = 8 X(5, 4) = 9 X(5, 5) = 10 X(5, 6) = 11X(6, 1) = 7 X(6, 2) = 8 X(6, 3) = 9 X(6, 4) = 10 X(6, 5) = 11 X(6, 6) = 12

001

Distribuciones binomial y normal

603

b) Respuesta abierta.

La función X asigna a cada suceso el número obtenido en el dado.

La función Y asigna a cada suceso el número elemental 1 si sale cara en la moneda y 2 si sale cruz.

Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzardos dados de 6 caras. Calcula los parámetros de esta variable aleatoria.

Media: μ = 7

Desviación típica:

¿Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variableestadística continua? ¿Y lo contrario?

Consideramos la variable estadística cuantitativa continua «altura de las personasde un país, medida en metros». Definimos sobre esta variable estadística la variable aleatoria:

Para cada altura

Esta variable está definida para cualquier suceso elemental de la variable estadística,es decir, cada una de las alturas; además, es discreta, pues solo toma dos valores.

Por tanto, de una variable estadística continua se puede obtener una variablealeatoria discreta, pero no a la inversa, pues un número finito de valores no puedetener un número infinito de imágenes.

h X hhh

→ ( ) = ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 11 1

sisi

004

σ = =5,852 2,419

003

0,5

0,1

21

Y P(Y = yi) P(Y ≤yi)

11

2

1

2

21

21

Y(1, C ) = 1 Y(2, C ) = 1 Y(3, C ) = 1 Y(4, C ) = 1 Y(5, C ) = 1 Y(6, C ) = 1Y(1, X ) = 2 Y(2, X ) = 2 Y(3, X ) = 2 Y(4, X ) = 2 Y(5, X ) = 2 Y(6, X ) = 2

0,16

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

2 3 4 5 61

0,18


11

6

1

6

21

6

1

3

31

6

1

2

41

6

2

3

51

6

5

6

61

61

X(1, C ) = 1 X(2, C ) = 2 X(3, C ) = 3 X(4, C ) = 4 X(5, C ) = 5 X(6, C ) = 6X(1, X ) = 1 X(2, X ) = 2 X(3, X ) = 3 X(4, X ) = 4 X(5, X ) = 5 X(6, X ) = 6

14SOLUCIONARIO

604

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de 6 caras,consideramos la variable aleatoria X, que asocia a cada suceso elemental el productode las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad y de distribución.

La función de probabilidad es:

f x

x

x

( )

, , , ,

, , , , ,

=

=

=

1

361 9 16 25 36

1

182 3 5 8 10 1

si

si 55 18 20 24 30

1

124

1

96 12

0

, , , ,

,

si

si

en el resto

x

x

=

=

⎧

⎨⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪


101

18

19

36

121

9

23

36

151

18

25

36

161

36

13

18

181

18

7

9

201

18

5

6

241

18

8

9

251

36

11

12

301

18

35

36

361

361


11

36

1

36

21

18

1

12

31

18

5

36

41

12

2

9

51

18

5

18

61

9

7

18

81

18

4

9

91

36

17

36

X(1, 1) = 1 X(1, 2) = 2 X(1, 3) = 3 X(1, 4) = 4 X(1, 5) = 5 X(1, 6) = 6X(2, 1) = 2 X(2, 2) = 4 X(2, 3) = 6 X(2, 4) = 8 X(2, 5) = 10 X(2, 6) = 12X(3, 1) = 3 X(3, 2) = 6 X(3, 3) = 9 X(3, 4) = 12 X(3, 5) = 15 X(3, 6) = 18X(4, 1) = 4 X(4, 2) = 8 X(4, 3) = 12 X(4, 4) = 16 X(4, 5) = 20 X(4, 6) = 24X(5, 1) = 5 X(5, 2) = 10 X(5, 3) = 15 X(5, 4) = 20 X(5, 5) = 25 X(5, 6) = 30X(6, 1) = 6 X(6, 2) = 12 X(6, 3) = 18 X(6, 4) = 24 X(6, 5) = 30 X(6, 6) = 36

005


0,2

5 10 15 20 25 30 35 X

Y

605

La función de distribución es:

F x

x

x

x

x

( ) =

− < <

≤ <

≤ <

≤ <

0 11

361 2

1

122 3

5

363

si

si

si

si

�

44

2

94 5

5

185 6

7

186 8

4

98 9

17

3

si

si

si

si

≤ <

≤ <

≤ <

≤ <

x

x

x

x

669 10

19

3610 12

23

3612 15

25

361

si

si

si

si

≤ <

≤ <

≤ <

x

x

x

55 16

13

1816 18

7

918 20

5

620 24

8

≤ <

≤ <

≤ <

≤ <

x

x

x

x

si

si

si

9924 25

11

1225 30

35

3630 36

1 36

si

si

si

si

≤ <

≤ <

≤ <

≤

x

x

x

xx < +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

�

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

14SOLUCIONARIO

1

0,1

5 10 15 20 25 30 35 X

Y

606

Esta es la gráfica de una función de distribución. Halla y representa la función de probabilidad.

Comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un 5, al lanzar 4 veces un dado de seis caras, sigue una distribución binomial.

La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4.

n = 4 es el número de veces que se realiza el experimento.

Sea A = «Salir un 5», entonces P(A) = .

Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamientono influye en el siguiente.

Por tanto, la variable sigue una distribución binomial:

Calcula la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta el número de vecesque sale un 5 en 4 tiradas de un dado, sea mayor o igual que 3.

Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolasblancas y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula la probabilidad de que obtenga 2 bolas blancas.

P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =2 3

22

5

3

5

2

0,2888X B� 32

5,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

009

P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = = + = =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞3 3 4 4

31

6 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛3 45

6

44

1

6

5

6⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0

0,0162

008

B 41

6,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

6

007

0,1

0,4

X

Y

F x

x

x

x

x( )

,,,=

− < <≤ <≤ <≤ <

0 10 1 1 20 3 2 30 6 3

sisisisi

�

440 7 4 50 8 5 61 6

,,

sisisi

≤ <≤ <≤ < +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x

x

x �⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

==→ f x

x

x( )

, , ,, ,,

0 1 1 4 50 2 2 60 3

sisissien el resto

x =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

30

1

0,2

1Y

X2 3 4 5 6

006


7654321

607

Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.

a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.

b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo.

Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolasblancas y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula, utilizando la tabla de la distribución binomial, la probabilidad de que haya anotado 2 bolas blancas.

X � B(3; 0,4)

P(X = 2) = 0,288

Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.

a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.

b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo.

a) P(X = 3) + P(X = 0) = 0,064 + 0,216 = 0,28

b) 1 − P(X = 3) = 1 − 0,064 = 0,936

Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad, y halla la función de distribución asociada a ella.

Halla la función de densidad que corresponde a esta función de distribución.

f xx x( ) = ≤ ≤⎧

⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 0 10

sien el resto

F xx

x xx

( ) =− < <

≤ ≤< <+

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

0 00 1

1 1

2

sisisi

�

�

014

F x

xx

x

x

( ) =

− < <

≤ ≤

< < +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

0 0

40 2

1 2

2

si

si

si

�

�⎪⎪⎪⎪

12

21

2

0

2

0

2

= = =⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = =

+

−� �

�

�

f x dx kx dxkx

k k( ) →22

f xkx x( ) = ≤ ≤⎧

⎨⎪⎪⎩⎪⎪

sien el resto

0 20

013

012

011

b) 1 3 1 33

2

5

33

− = = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅P X( )

55

0⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0,936

a) P X P X( ) ( )= + = =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3 0 3

32

5

33 03

5

30

2

5⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0 33

50,28

010

14SOLUCIONARIO

608

Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ= 3 y σ= 2.

a) x1 = 3 b) x2 = 4,5 c) x3 = −0,5 d) x4 = −1

Compara los datos de estas distribuciones.

x1 = 2 (con μ= 1, σ= 2)

x2 = 1 (con μ= 2, σ= 1)

x3 = 1,5 (con μ= 1,5; σ= 1,5)

z2 < z3 < z1

Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X � N(5, 2), calcula las siguientes probabilidades.

a) P(X < 2) c) P(X = 4) e) P(X < 7)

b) P(X > 3) d) P(X = 6) f ) P(X = 8)

c) P(X = 4) = 0

d) P(X = 6) = 0

f ) P(X = 8) = 0

Una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviacióntípica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución valen 12 y 36, respectivamente.

¿Cuánto valen la media μ y la desviación típica σ?

1236

24− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

μ σμ σ

μσ

0,680,68 17,647

P X PX

P Z( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−⎛

⎝⎜⎜36

36 36μσ

μσ

μσ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−=

− =

0,75 0,68

0,68

→

→

36

36

μσ

μ σ

P X PX

P Z( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−⎛

⎝⎜⎜12

12 12μσ

μσ

μσ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

< −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

0,25

0,75→ →P Z12 12μ

σ−−

= − = −μ

σμ σ0,68 0,68→ 12

018

e) 0,841P X PX

P Z( ) ( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = < =7

5

2

7 5

21 33

b) P X PX

P Z P Z( ) ( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = > − = <3

5

2

3 5

21 11) = 0,8413

a) 1,5P X PX

P Z( ) ( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <− = −2

5

2

2 5

21 PP Z( )≤ = − =1,5 0,9332 0,06681

017

z3 0=−

=1,5 1,5

1,5z2

1 2

11=

−= −z1

2 1

2=

−= 0,5

016

d)− −

= −1 3

22b)

4,50,75

−=

3

2

c)0,5

1,75− −

= −3

2a)

3 3

20

−=

015


609

Una fábrica de componentes elabora 2.000 circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del 1 %, ¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos sea mayor que 50? ¿Y menor que 25?

El 10 % de las personas de una ciudad afirma que no ve nunca televisión. Calcula la probabilidad de que, escogidas 100 personas al azar, haya al menos 14 personas que no vean televisión. ¿Qué probabilidad hay de que sean exactamente 14?

En una urna hay 5 bolas rojas y 3 bolas azules. Se sacan 3 bolas y se anota el númerode bolas azules que se han conseguido. Realiza una tabla con la distribución deprobabilidad, y halla la media y la desviación típica.

Desviación típica: 0,502 0,709σ = =

Media: 1,125μ = =9

8


05

28

5

28

115

28

5

7

215

56

55

56

31

561

021

P X P X PX

( ) ( )= = < < =−

<−

<1410

3

10

313,5 14,5

13,5 14,5 −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= < − < =

10

3P Z P Z( ) ( )1,5 1,17 0,9332 −− =0,879 0,0542

P X PX

P Z( ) ( )≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≥ =14

10

3

14 10

31,33 11

1

− < =

= − =

P Z( )1,33

0,9082 0,0918

X B N� ( ; ) ( , )100 10 30,1 ≈

020

P X PX

P Z( ) (< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <25

20 25 20

4,45 4,4511,12 0,8686) =

P X PX

P Z( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >50

20 50 20

4,45 4,4566,74 6,74) ( )= − ≤ = − =1 1 1 0P Z

X B N� ( . ; ) ( ; )2 000 200,01 4,45≈

019

14SOLUCIONARIO

610

En el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ficha de dominó, se considera la variable X = «mayor número de las dos puntuaciones de la ficha».

Construye la distribución de probabilidad y halla la media, la desviación típica y la varianza.

Varianza: σ2 = 3Desviación típica: σ = 1,732

Se lanzan dos dados y se considera la variable aleatoria que a cada suceso elementalle hace corresponder la diferencia entre el mayor y el menor de los resultados de ambos dados.

a) Clasifica la variable aleatoria.

b) Describe la distribución de probabilidad en forma de tabla.

a) Es una variable discreta.


01

6

1

6

15

18

4

9

22

9

2

3

31

6

5

6

41

9

17

18

51

181

b)

023

Media: 4μ = =112

28


01

28

1

28

11

14

3

28

23

28

3

14

31

7

5

14

45

28

15

28

53

14

3

4

61

41

022


611

Hemos pintado tres caras de un dado con un 1, dos caras con un 2 y una cara con un 3.Si consideramos la variable que asigna a cada suceso elemental su puntuación:

a) Elabora una tabla con la distribución de probabilidad.

b) Halla la media y la desviación típica.

Un juego consiste en lanzar dos dados, anotar la suma de los resultados divididaentre 2 y aproximarla, por exceso, al número entero más próximo.

a) Realiza la distribución de probabilidad.

b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica.

Varianza: σ2 = 1,52

Desviación típica: σ = 1,23

Dada la siguiente tabla, que corresponde a los valores que toma una variablealeatoria X y a sus probabilidades:

a) Comprueba que corresponde a una distribución de probabilidad.

b) Calcula la función de distribución.

c) Halla su media y su desviación típica.

a) 0,6 + 0,2 + 0,15 + 0,05 = 1

b)

sisisisi

F x

xxx( )

,,,

=

− < <≤ <≤ <

0 40 6 4 50 8 5 60 95 6

�

≤≤ <≤ < +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

xx

71 7si �

c) Media: 4,65

Desviación típica: 0,8275 0,9

μ

σ

=

= = 009

X 4 5 6 7

P(X) 0,6 0,2 0,15 0,05

026

b) Media: 3,75μ = =135

36X P(X = xi) P(X ≤xi)

11

36

1

36

25

36

1

6

31

4

5

12

411

36

13

18

57

36

11

12

61

121

a)

025

Desviación típica: 0,554 0,745σ = =

b) Media: 1,667μ = =5

3X P(X = xi) P(X ≤xi)

11

2

1

2

21

3

5

6

31

61

a)

024

14SOLUCIONARIO

612

Con la distribución de la actividad anterior, determina las siguientes probabilidades.

a) P (X >4) c) P (4 ≤X <7)

b) P (X <6) d) P (μ − σ < X <μ + σ)

Identifica las variables aleatorias que siguen una distribución binomial.

a) Tenemos tres fichas blancas y cinco fichas azules en una bolsa. Sacamos cuatrofichas y contamos el número de fichas que son blancas.

b) En la situación anterior sacamos una ficha, anotamos su color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos el experimento 3 veces y anotamos el número de fichas de color blanco.

c) Lanzamos un dado diez veces y anotamos las veces que sale el número 1.

d) Se lanza un dado y si sale un número par, se vuelve a lanzar el mismo dado, pero si sale un número impar se lanza un dado con forma de tetraedro y carasnumeradas del 1 al 4. Se cuenta el número de las veces que sale el número 3.

e) En una ciudad, el 10 % de la población tiene los ojos de color azul. Se eligen, al azar, 20 personas y se anota el número de ellas que tiene los ojos azules.

a) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial.

b) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3.


Sea A = «Salir una ficha blanca», entonces P(A) = .

Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en una extracciónno influye en la siguiente.


c) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.


Sea A = «Salir un 1», entonces P(A) = .

Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente.


d) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial.

e) La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20.


Sea A = «Tener los ojos azules», entonces P(A) = 0,1.

Los experimentos son independientes, porque el color de los ojos de una persona no influye en el color de los ojos de la otra persona.

Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B(20; 0,1)

B 101

6,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

6

B 33

8,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

8

028

d) 3,741 5,559 0,8P X P X( ) ( )μ σ μ σ− < < + = < < =b) 0,8P X( )< =6

c) 0,95P X( )4 7≤ < =a) P X( ) ,> =4 0 4

027


613

Calcula las probabilidades que se indican en las siguientes distribuciones binomiales.

a) En B (8; 0,2) P (X = 4), P (X = 1), P (X = 0)b) En B (12; 0,9) P (X = 2), P (X <3), P (X ≥11)c) En B (6; 0,8) P (2 ≤X ≤5), P (1 ≤X ≤4)

= 0,01536 + 0,08192 + 0,24576 + 0,39322 = 0,73626

= 0,001536 + 0,001536 + 0,08192 + 0,24576 = 0,344576

Haz la tabla de la distribución de una distribución B (5; 0,8) y comprueba

que se verifica que μ = np y .

La probabilidad de que un lanzamiento dé en el blanco

es de . Efectuamos 8 lanzamientos.

a) Determina la probabilidad de acertar 3 veces en el blanco.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que den en el blanco más de 2 lanzamientos?

c) ¿Y de que no acierte ninguno?

d) Determina la probabilidad de que el número de lanzamientos que acierten en el blanco sea mayor o igual que 1 y menor o igual que 4.

d)0,0

P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 2 3 4≤ ≤ = = + = + = + = == 002438 0,01707 0,06828 0,1707 0,2585+ + + =

c) P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜0 8

02

3

1

3

0

⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

8

0,0001524

b) P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))> = − ≤ = − = + = + = =2 1 2 1 0 1 2== − + + =1 ( )0,0001524 0,002438 0,01707 0,9803

a) P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜3 8

32

3

1

3

3

⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

5

0,06828

23

031

σ = = = ⋅ ⋅0,8 0,89 0,8 0,25μ = ⋅ =5 40,8

X 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0,00032 0,0064 0,0512 0,2048 0,4096 0,32768

σ = −np p( )1030

P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 2 3 4≤ ≤ = = + = + = + = =

c) P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 2 3 4 5≤ ≤ = = + = + = + = =

P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = = + = = + =11 11 12 0,37657 0,28243 0,6559

= + +0,000000000001 0,000000000108 0,0000000053446 0,000000005455=P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )< = = + = + = =3 0 1 2

b) 0,9 0,1 0,000000P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 12

22 10 0005346

P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =0 8

00 80,2 0,8 0,16777

P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 8

170,2 0,8 0,33554a) 0,2 0,8 0,045875P X( )= =

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =4 8

44 4

029

14SOLUCIONARIO

614


Una máquina que fabrica discos compactos consigue fabricar un 90 % de discos sin error. Si escogemos 10 de ellos al azar, calcula las siguientes probabilidades.

a) No hay ninguno defectuoso.

b) Hay más de uno defectuoso.

Un examen tipo test tiene 30 preguntas a las que se ofrecen cuatro respuestasposibles.

a) Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar más de dos preguntas?

b) Si para aprobar hay que tener más de 15 respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un aprobado?

Se lanza el dado 25 veces. Cada vez que se obtiene un número mayor que 2 gana Eva. En caso contrario, gana Daniel.

a) Describe la función de probabilidad y la función de distribución.

b) ¿Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que Eva gane exactamente 3 veces?

d) ¿Cual es la probabilidad de que Daniel gane más de 22 veces?

a) La función de probabilidad es:

La función de distribución es:

σ = ⋅ ⋅ =252

3

1

32,36

b) 16,67μ = ⋅ =252

3

F xx

x

( ) =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞25 2

3

1

3 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟∑

−

−

25 xx

�

f x x

x

( ) =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞25 2

3

1

3 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

−25

0 1 2 25

0

x

xsi …

en el resto

, , , ,

⎪⎪⎪

034

b)7,5

2,37

7,5

2,37P X P

X( )> =

−>

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =15

15PP Z P Z( ) ( )> = − ≤ =

= − =

3,16 3,16

0,9992 0,0008

1

1

a)7,5

2,37

7,5

2,37P X P

XP( ) (> =

−>

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =2

2ZZ P Z> − = < =2,32 2,32 0,9898) ( )

npn p

X B N= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≈7,522,5

0,2551 5

30( )

( ; )→ � (( )7,5; 2,37

X B� ( ; )30 0,25

033

b) 0,34P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( )) (> = − ≤ = − = + = = −1 1 1 1 0 1 1 887 0,3874 0,2639+ =)

a) 0,1 0,9 0,3487P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =0 10

00 10

032

615

14SOLUCIONARIO

De cada 10 veces que mi hermano juega conmigo al ajedrez, me gana 7 veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que me gane 1 vez?

b) ¿Y de hacer tablas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que me gane entre 1 y 3 veces, ambos números incluidos?

d) Si apostamos que, en 10 partidas, yo le ganaréal menos 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de ganar la apuesta?

En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 98 % de las pruebas de diabetesque realizan resulta negativo. Si han recibido 10 muestras para analizar:

a) Determina la probabilidad de que haya 2 personas a las que la prueba les dé positivo.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de 1 persona?

b) P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ))> = − ≤ = − = + = =

= −⎛⎝⎜

1 1 1 1 0 1

1 100⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅0,02 0,98 0,020 10 110

1⋅⋅ = − − =0,98 0,8171 0,1667 0,01629 1

a) 0,02 0,98 0,01531P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 10

22 8

X B� ( ; )10 0,02

036

d) P X P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )< = = + = + = + = + =6 0 1 2 3 4 ++ = == + + +

P X( )50,000005904 0,0001378 0,001447 0,0009002 0,03676 0,10290,15025

+ + ==

c) P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 3

101

≤ ≤ = = + = + = =

=⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +0 7 0 3 10

20 7 0 3 101 9 2 8, , , ,

330 7 0 33 7⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =

= +

, ,

0,0001378 0,001447 ++ =0,009002 0,0105868

b) 0,3 0,1029P X( ) ,= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =5 10

50 75 5

a) 0,7 0,3 0,0001378P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 10

11 9

X B� ( ; )10 0,7

035

d)16,67

2,36

16,67

2,36P X P

X( )< =

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟3

3⎟⎟ = < − = − ≤ =P Z P Z( ) ( )5,79 5,791 0

P X P X PX

( ) ( )= = < < =−

<−

3 2,5 3,52,5 16,67

2,36

16,67

2,,36

3,5 16,67

2,365,5

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < −P Z( )6 == < < =P Z( )5,5 6 0

c) 16,678,33

0,6npn p

X B= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

51 5

25( )

( ;→ � 66 16,67; 2,36) ( )≈ N

616

Si 1 de cada 5 turistas que entra en una tienda compra algún artículo y hoy hemos atendido a 8 personas, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) 3 personas compraron algún artículo.

b) Hubo entre 5 y 7 personas, ambos números incluidos, que adquirieron algún artículo.

c) Más de 2 personas compraron en la tienda.

a) P(X = 3) = 0,1468

b) P(5 ≤ X ≤ 7) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) == 0,0092 + 0,0011 + 0,0001 = 0,0104

c) P(X > 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) == 1 − 0,1678 − 0,3355 − 0,2936 = 0,2031

El 2 ‰ de las pilas fabricadas llegan descargadas al proceso de envasado. Si escogemos 12 pilas al azar, calcula la probabilidad de que haya más de 2 pilasdescargadas.

Un estudio médico asegura que 1 de cada 8 niños tiene gingivitis. Escogidos 7 niños al azar:

a) Determina la probabilidad de que haya exactamente 2 niños con la enfermedad.

b) Los dentistas han decidido que, si en el grupo hay más de 2 niños enfermos, se iniciaría un tratamiento a todo el grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que estosuceda?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la padezcan 6 niños o menos?

c) P X P X P X( ) ( ) ( )≤ = − > = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅6 1 6 1 7 1 7

700,125 0,875

0,00000048 0,99999952

7 0

1

⋅ =

= − =

b) P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))> = − ≤ = − = + = + = =2 1 2 1 0 1 2

== −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟1 7

071

0 70,125 0,875 ⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅0,125 0,875 0,125 0,871 6 27

255

0,3927 0,3927 0,1683 0,0463

5

1

=

= − − − =

a) 0,125 0,875 0,1683P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 7

22 5

X B� ( ; )7 0,125

039

P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))> = − ≤ = − = + = + = =

=

2 1 2 1 0 1 2

1−−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅ ⋅ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟12

0121

0 120,002 0,998 ⎟⎟⎟⎟⋅ ⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅ ⋅0,002 0,998 0,002 01 11 212

2,,998

0,97626 0,023477 0,00025877 0,00

10

1

=

= − − − = 00004

X B� ( ; )12 0,002

038

X B� ( ; )8 0,2

037


617

El 20 % de la población de una ciudad es inmigrante de procedencia africana. Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que:

a) Haya un inmigrante africano. d) Haya, al menos, un africano.b) Sean dos o más inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos.c) Las cinco sean inmigrantes africanos.

Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas que lanza a la diana.

a) ¿Es cierto que si lanza 3 flechas, al menos una de ellas dará en el blanco?

b) ¿Qué probabilidad hay de que eso suceda?

c) Y si lanza 6 flechas, ¿puede estar seguro de quealguna de sus flechas va a dar en el blanco?

d) ¿Cuántas flechas debería lanzar para asegurar, con una probabilidad de más del 95%, que va a conseguirlo?

a) No, la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento.

c) No, la probabilidad no varía y no puede asegurar el resultado.

A partir de 8 flechas, la probabilidad de que al menos una flecha dé en el blanco es más del 95%.

→ →2

3 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = =

n

n0,050,05

7,21log

log

P X P X P Xn( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅1 1 1 1 0 1

01

3

⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

02

31

2

3

n

⎟⎟ =n

0 95,

d) X B n� ,1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅1 1 1 1 0 1 3

01

3

⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − =

0 32

31 0,2963 0,70377

b) X B� 31

3,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

041

e) 0,2 0,8 0,0064P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =4 5

44 1

d) P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅1 1 1 1 0 1 5

000,2 0,8 1 0,3277 0,67230 5⋅ = − =

c) 0,2 0,8 0,00032P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =5 5

55 0

b) P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ))≥ = − < = − = + = =

= −⎛⎝

2 1 2 1 0 1

1 50

⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅0,2 0,8 0,2 0,80 5 15

144 = − − =1 0,3277 0,4096 0,2627

a) 0,2 0,8 0,4096P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 5

11 4

X B� ( ; )5 0,2

040

14SOLUCIONARIO

618

Comprueba que esta función es de densidad.

a) Halla la función de distribución.

b) Calcula las siguientes probabilidades.

P (X <2) P (X >4) P (2 <X <4)

b) P(X < 2) = F(2) = 0,2

P(X > 4) = 1 − P(X ≤ 4) = 1 − F(4) = 1 − 0,56 = 0,44

P(2 < X < 4) = P(X < 4) − P(X < 2) = 0,56 − 0,2 = 0,36

Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad, y halla su función de distribución.

La función de distribución de una variable continua es:

Determina las siguientes probabilidades.

a) P (2 ≤X ≤3) b) P (X ≤3) c) P (1,5 ≤X ≤2,5) d) P (X >2)

d) P X P X F( ) ( ) ( )> = − ≤ = − = − =2 1 2 1 2 11

3

2

3

c) 1,5 2,5 2,5 1,5 2,5 1P X P X P X F F( ) ( ) ( ) ( ) (≤ ≤ = ≤ − ≤ = − ,,5) = − =1

2

1

6

1

3

b) P X F( ) ( )≤ = =3 32

3

a) P X P X P X F F( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 22

3

1

3

1

3≤ ≤ = ≤ − ≤ = − = − =

F x

xx x

x

( ) =

<− ≤ ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

0 11

31 4

1 4

si

si

si

044

F xx

x x xx

( ) =− < < −

− + − ≤ ≤< < +

0 11 1

1 1

2

si0,25 0,5 si

si

�

��

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

1 0 5

1

1

2= = − + = − +⎡⎣ ⎤+

− −� �

�

�

f x dx x k dx x kx( ) ( , ) 0,25 ⎦⎦ = =−1

12

1

2k k→

f xx k x

x( )

, [ , ][ , ]

= − + ∈ −∉ −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 5 1 10 1 1

sisi

043

a)sisisi

F xx

x x xx

( ) , ,=− < <

+ ≤ ≤< < +

0 10 02 0 06 1 61 6

2�

��

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

� �+

−

= + = +⎡�

�

f x dx x dx x x( ) ( )

6

1

20,04 0,06 0,02 0,06⎣⎣ ⎤⎦ = − =1

611,08 0,08

f xx

x xx

( ) , ,=<

+ ≤ ≤>

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

0 10 04 0 06 1 60 6

sisisi

042


619

Una variable aleatoria tiene la siguiente función de distribución.

Calcula las siguientes probabilidades.

a) P (3 ≤X ≤4) c) P (X ≤3,5)

b) P (3,5 ≤X <3,6) d) P (X >3,8)

La función de densidad de una variable aleatoria continua es:

Halla su función de distribución y las siguientes probabilidades.

a) P (0,5 <X <1,5) b) P (1 <X <2) c) P (X <1,5)

En una distribución N (0, 1), calcula las probabilidades.

a) P (Z <0,73) e) P (Z >−0,38)

b) P (Z <2,05) f ) P (Z >−1,297)

c) P (Z ≤1,77) g) P (Z = −2,75)

d) P (Z <0,274) h) P (Z ≥−1,04)

h) 1,04 1,04 0,8508P Z P Z( ) ( )≥ − = ≤ =g) P Z( , )= − =2 75 0

f ) 1,297 1,297 0,9026P Z P Z( ) ( )> − = < =e) 0,648P Z P Z( , ) ( , )> − = < =0 38 0 38

d) 0,274 0,6079P Z( )< =c) 0,9616P Z( , )≤ =1 77

b) 0,9798P Z( , )< =2 05

a) 0,73 0,7673P Z( )< =

047

c) 1,5 1,5 0,42P X F( ) ( )< = =

b) 0,125P X P X P X F F( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 1< < = < − < = − = − = 00,875

a) 1,5 1,5 0,5 1,5 0P X P X P X F F( , ) ( ) ( ) ( ) (0 5 < < = < − < = − ,,5 0,42 0,015 0,405) = − =

F x

xx

x

x

( ) =

− < <

≤ ≤

< < +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

0 0

80 2

1 2

3

si

si

si

�

�⎪⎪⎪⎪

f xx x

x( )

[ , ]

[ , ]=

∈

∉

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

38

0 2

0 0 2

2 si

si

046

d) 3,8 3,8 3,8 0,78 0,22P X P X F( ) ( ) ( )> = − ≤ = − = − =1 1 1

c) 3,5 3,5 0,47P X F( ) ( )≤ = =

b) 3,5 3,6 3,6 3,5 3,6 3P X P X P X F F( ) ( ) ( ) ( ) (≤ < = < − ≤ = − ,,5 0,5 0,47 0,1) = − =7

a) P X P X P X F F( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 4 3 4 3 1 0 1≤ ≤ = ≤ − ≤ = − = − =

F x

x

x x x

x

( )

( , )

[ , ]

( ,

=

∈ −+ − ∈

∈ +

0 312

83 4

1 4

2

si

si

si

�

�))

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

045

14SOLUCIONARIO

620

En una distribución N (0, 1), halla las siguientes probabilidades.

a) P (Z >3,58) e) P (Z <−0,33)

b) P (Z ≥1,3487) f ) P (Z <−1,334)

c) P (Z = 2,107) g) P (Z ≤−2,19)

d) P (Z ≥0,53) h) P (Z <−3,487)

En una distribución N (0, 1), obtén las probabilidades.

a) P (0,26 <Z <0,39) d) P (−0,56 <Z <3,92)

b) P (1,16 <Z <2,03) e) P (−2,6 <Z <−0,4329)

c) P (−0,64 <Z <1,36) f ) P (−1,49 <Z <−1,07)

Calcula el valor de k para que se verifiquen las igualdades en la distribución N (0, 1).

a) P (Z <k) = 0,9608 c) P (Z >k) = 0,9573

b) P (Z <k) = 0,3192 d) P (Z ≥k) = 0,0113

a) k = 1,76

Determina las siguientes probabilidades en una distribución N (12, 2).

a) P (X <12,36) e) P (X >11,82)

b) P (X <16,4) f ) P (X >9,84)

c) P (X ≤17,01) g) P (X = 12,55)

d) P (X <12,0273) h) P (X ≥7,89)

051

d) P Z k P Z k k( ) , ( ) , ,≥ = < = =0 0113 0 9887 2 28→ →c) P Z k P Z k k k( ) , ( ) , ,> = < − = − = = −0 9573 0 9573 1 72 1→ → → ,,72

b) P Z k P Z k k k( ) , ( ) , ,< = < − = − = = −0 3192 0 6808 0 47 0→ → → ,, 47

050

f ) P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( , ) ,− < < − = < − < =1 49 1 07 1 49 1 07 0 93119 0 8577 0 0742− =, ,

e) 0,4329 2,6 0,4329 0,P Z P Z P Z( , ) ( ) ( )− < < − = < − < =2 6 99953 0,6674 0,3279− =

d) 0,56 3,92 3,92 0,56 0P Z P Z P Z( ) ( ) ( ( ))− < < = < − − < =1 ,,9999 0,7123 0,7122− + =1

c) 0,64 1,36 1,36 0,64 0P Z P Z P Z( ) ( ) ( ( ))− < < = < − − < =1 ,,9131 0,7389 0,652− + =1

b) P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( , ) ,1 16 2 03 2 03 1 16 0 9788< < = < − < = −− =0 877 0 1018, ,

a) 0,26 0,6517P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( )0 26 0 39 0 39< < = < − < = −− =0,6026 0,0491

049

h) 0,9999 0,0001P Z P Z( , ) ( , )< − = − ≤ = − =3 487 1 3 487 1

g) 2,19 2,19 0,9857 0,0143P Z P Z( ) ( )≤ − = − ≤ = − =1 1

f ) 1,334 1,334 0,9088 0,0912P Z P Z( ) ( )< − = − ≤ = − =1 1

e) 0,33 0,33 0,6293 0,3707P Z P Z( ) ( )< − = − ≤ = − =1 1

d) 0,7019 0,2981P Z P Z( , ) ( , )≥ = − ≤ = − =0 53 1 0 53 1

c) 2,107P Z( )= = 0

b) 1,3487 1,3487 0,9113 0,0887P Z P Z( ) ( )≥ = − ≤ = − =1 1

a) 3,58 3,58 0,9999 0,0001P Z P Z( ) ( )> = − < = − =1 1

048


621

g) P(X = 12,55) = 0

En una distribución N (56, 4), calcula las siguientes probabilidades.

a) P (X >68,4) c) P (X = 56) e) P (X <53,3) g) P (X ≤46,92)

b) P (X ≥62,45) d) P (X ≥52,45) f ) P (X ≥57,32) h) P (X <46,877)

c) P(X = 56) = 0

h) 46,87746,877

P X PX

( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

56

4

56

4PP Z P Z( , ) ( , )< − = − ≤ =

= − =

2 28 1 2 28

1 0,9887 0,0113

g) 46,9246,92

P X PX

P( ) (≤ =−

≤−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

56

4

56

4ZZ P Z≤ − = − < =

= − =

2 27 1 2 27

1

, ) ( , )

0,9884 0,0116

f ) P X PX

P( , ),

(≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =57 32

56

4

57 32 56

4ZZ P Z≥ = − < =

= − =

0 33 1 0 33

1 0 6293 0 3707

, ) ( , )

, ,

e) P X PX

P Z( , ),

(< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <53 3

56

4

53 3 56

4−− = − ≤ =

= − =

0 68 1 0 68

1 0 7517 0 2483

, ) ( , )

, ,

P Z

d) P X PX

P( , ),

(≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =52 45

56

4

52 45 56

4ZZ P Z≥ − = ≤ =0 89 0 89 0 8133, ) ( , ) ,

b) P X PX

P( , ),

(≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =62 45

56

4

62 45 56

4ZZ P Z≥ = − < =

= − =

1 61 1 1 61

1 0 9463 0 0537

, ) ( , )

, ,

a) P X PX

P Z( , ),

(> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >68 4

56

4

68 4 56

433 1 1 3 1

1

, ) ( , )= − ≤ =

= − =

P Z

0,999 0,001

052

h) P X PX

P Z( , ),

(≥ =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <7 89

12

2

7 89 12

2−− = − ≤ =

= − =

2 06 1 2 06

1 0 9803 0 0197

, ) ( , )

, ,

P Z

f ) 9,849,84

P X PX

P Z( ) (> =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

12

2

12

2−− = − ≤ =

= − =

1,08 1,08

0,8599 0,1401

) ( )1

1

P Z

e) 11,8211,82

P X PX

P( ) (> =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

12

2

12

2ZZ P Z< − = − ≤ =

= − =

0 09 1 0 09

1 0 5359 0 4641

, ) ( , )

, ,

d) 12,027312,0273

P X PX

( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

12

2

12

2 ⎟⎟ = < =P Z( , )0 014 0,5056

c) P X PX

P( , ),

(≤ =−

≤−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =17 01

12

2

17 01 12

2ZZ < =2 51 0 994, ) ,

b) P X PX

P Z( , ),

(< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <16 4

12

2

16 4 12

222 2 0 9861, ) ,=

a) P X PX

P( , ),

(< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =12 36

12

2

12 36 12

2ZZ < =0 18 0 5714, ) ,

14SOLUCIONARIO

622

En una distribución N (90, 12), obtén estas probabilidades.

a) P (106 <X <120) d) P (76,67 <X <103,96)

b) P (109 <X <117,3) e) P (58,89 <X <82)

c) P (84 <X <112,6) f ) P (69 <X <87)

Halla a, b, c, …, para que en una distribución normal N (108, 16) se cumpla que:

a) P (X <a) = 0,8849 d) P (X ≥d) = 0,0495

b) P (X <b) = 0,9972 e) P (X ≥e) = 0,5987

c) P (X <c) = 0,3632

c) 0,3632P X c PX c

( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 108

16

108

16==

−≤ −

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0,3632

0,636→ PX c108

16

108

1688 0,35→

→

−−

=

=

c

c

108

16102 4,

b) 0,9972P X b PX b

( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 108

16

108

16==

−=

=

0,9972 2,77

2,32

→

→

b

b

108

1615

a) 0,8849P X a PX a

( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 108

16

108

16==

−=

=

0,8849 →

→

a

a

108

161 2

127 2

,

,

054

f ) P X PX

( )69 8769 90

12

90

12

87 90

12< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = − < < − =

= < − <

P Z

P Z P Z

( )

( ) ( )

1,75 0,25

1,75 0,25 == − =0,9599 0,5987 0,3612

e) 58,8958,89

P X PX

( )< < =−

<−

<−⎛

8290

12

90

12

82 90

12⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < − = < −P Z P Z P Z( ) ( , ) (2,59 0,67 2 59 << == − =

0 67, )0,9952 0,7486 0,2466

d) 76,67 103,9676,67 103,

P X PX

( )< < =−

<−

<90

12

90

12

996

1,11 1,16 1,

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < = <

90

12P Z P Z( ) ( 116 1,110,877 0,8665 0,7435

) ( ( ))− − < == − + =

11

P Z

c) 112,6112,6

P X PX

( )8484 90

12

90

12

90

12< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − −

P Z

P Z P

( )

( ) ( (

0,5 1,88

1,88 1 ZZ < = − + =0,5 0,9699 0,6915 0,6614)) 1

b) 117,3117,3

P X PX

( )109109 90

12

90

12

90

1< < =

−<

−<

−22

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = < < =

= < −

P Z

P Z P Z

( )

( ) (

1,58 2,28

2,28 << = − =1,58 0,9887 0,9429 0,0458)

a) P X PX

( )106 120106 90

12

90

12

120 90

12< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = < < =

= < − <

P Z

P Z P Z

( )

( , ) ( )

1,33 2,5

1,332 5 == − =0,9938 0,9082 0,0856

053


623

El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normalN (192,12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:

a) Superior a 200 unidades.

b) Entre 180 y 220 unidades.

La edad de un grupo de personas sigue una distribución N (35,10).Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegida al azar, tenga:

a) Más de 40 años.

b) Entre 23 y 47 años.

c) Di entre qué edades estará comprendido el 50 % central de la distribución.

El 50 % central de la distribución estará comprendido entre 28 y 42 años.

c) P a X a Pa X a

( ) ,35 35 0 535 35

10

35

10

35− < < + =

− −<

−<

+→ −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < <⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

35

10

10 10P

aZ

aP ZZ

aP Z

a<

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− − <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜101

10

⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

= <⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = <

⎛

⎝⎜2

101 0 5

10P Z

aP Z

a, → ⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = =0 75

10, → →a

a0,68 6,8

b) P X PX

( )23 4723 35

10

35

10

47 35

10< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − − < =

P Z

P Z P Z

( , , )

( , ) ( ( , ))

1 2 1 2

1 2 1 1 2 22 1⋅ − =0,8849 0,7698

a) 0,P X PX

P Z( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >40

35

10

40 35

1055 0,5

0,6915 0,3085

) ( )= − ≤ =

= − =

1

1

P Z

056

b) P X PX

( )180 220180 192

12

192

12

220 192

12< < =

−<

−<

−⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − −

P Z

P Z P Z

(

( , ) ( (

1

2 33 1

2,33)

<< = − − =1 0 9901 1 0 8413 0 8314)) , ( , ) ,

a) P X PX

P( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =200

192

12

200 192

12ZZ P Z> = − ≤ =

= − =

0,67 0,67

0,7486 0,2514

) ( )1

1

055

PX e−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 108

16

108

16==

−≤ −

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0,5987

0,598→ PX e108

16

108

1677 0,25→

→

−−

=

=

e

e

108

16104

e) 0,5987P X e( )≥ =

d) 0,0495P X d PX d

( )≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 108

16

108

16==

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0,0495

0,9505→ PX d108

16

108

16→→

→

d

d

−=

=

108

161,65

134,4

14SOLUCIONARIO

624

El peso de las ovejas adultas se distribuye normalmente con una media de 53 kg y una desviación típica de 2,4 kg.

a) ¿Qué porcentaje de las ovejas pesará entre 50 y 57 kg?

b) Si pretendemos separar una cuarta parte de las ovejas, siendo las más pesadasdel rebaño, ¿a partir de qué peso se hará la separación?

La separación debe hacerse a partir de 54,63 kg.

En una distribución normal N (μ, σ):

P (X <8) = 0,9938 P (X >4,8) = 0,9332

determina μ y σ.

Un fabricante de correas para relojes ha estudiado que el contorno de la muñeca de los varones sigue una distribución normal cuya media es 20,5 cm y la desviacióntípica es 1,5 cm.

a) ¿Qué porcentaje de la población tiene un contorno de muñeca de más de 23 cm?

b) Si fabricamos correas que midan entre 17 y 22 centímetros, ¿qué porcentaje de la población podrá usarlas?

c) Se pretende reducir costes fabricando menos variedad de longitudes de correas.Encuentra un intervalo (20,5 − a; 20,5 + a) en el que se incluya el 95% de los varones.

El 4,75 % de la población tiene un contorno de muñeca de más de 23 cm.

a)20,5

1,5

20,5

1,5P X P

X( )> =

−>

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟23

23⎟⎟

= > = − ≤ =

= − =

P Z P Z( ) ( )1,67 1,67

0,9525 0,0475

1

1

059

8 6− =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

μ σμ σ

μσ

2,54,8 1,5 0,8

P X PX

P Z( , )> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >4 8 0,9332

4,8→ μσ

μσ

44,8

4,80

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= < −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

μσ

μσ

P Z ,,9332 4,8 1,5→ →−−

= − = −4 8

1 5,

,μ

σμ σ

P X PX

P Z( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−8

8 80,9938 → μ

σμ

σμ

σ

⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−= − =

0,9938

2,5 2,5→ →88

μσ

μ σ

058

b) 0,252,4 2,4

P X a PX a

P( )> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =→ 53 53

ZZa

P Za

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − ≤−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟

53

153

2,4

2,4⎟⎟⎟⎟ = ≤

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−

0,25 0,75→

→

P Za

a

53

2 453

2

,

, 44= =0,68 54,63→ a

a) P X PX

( ), , ,

50 5750 53

2 4

53

2 4

57 53

2 4< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − − <

P Z

P Z P Z

( )

( ) ( (

1,25 1,67

1,67 1 11,25 0,9525 0,8944 0,8469)) = − + =1

057


625

Estas correas podrá usarlas el 83,14 % de la población.

El intervalo en el que se encuentra el 95 % de los varones es (17,56; 23,44).

Se ha comprobado que el tiempo medio que resiste un adulto sin respirar es de 40 segundos, con una desviación típica de 6,2 segundos, y que los datosanteriores siguen una distribución normal.

a) Halla el porcentaje de personas que aguantan más de 53 segundos y menos de 30 segundos.

b) ¿Qué porcentaje resiste entre 30 y 50 segundos?

El porcentaje de personas es del 0,09 %.

El 89,26 % resiste entre 30 y 50 segundos.

b)6,2 6,2 6,2

P X PX

( )30 5030 40 40 50 40

< < =−

<−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − − <

P Z

P Z P Z

( )

( ) ( (

1,61 1,61

1,61 1 11,61 0,9463 0,8926)) = ⋅ − =2 1

a)6,2 6,2

P X P X PX

( ) ( )> ⋅ < =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟53 30

40 53 40 ⎟⎟⎟⎟ ⋅−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= >

PX

P Z

40 30 40

6,2 6,22,09( )) ( ) ( ( )) ( ( , ))⋅ < − = − ≤ ⋅ − ≤ =

=P Z P Z P Z1,61 2,091 1 1 61

(( ) ( )1 1− ⋅ − =0,9817 0,9463 0,00098

060

c) 20,5 20,5 0,95

20,5 20,5

1,5

P a X a

Pa X

( )− < < + =

− −<→ −−

<+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= −

20,5

1,5

20,5 20,5

1,5

a

Pa

1 5,

<< <⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− −Z

aP Z

aP Z

1,5 1,51 <<

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

= <⎛

⎝⎜⎜

a

P Za

1,5

1,52 ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1 0,95

1,50,975

1→ →P Z

a a

,,51,96 2,94= =→ a

b)20,5

1,5

20,5

1,5

20,5

1P X P

X( )17 22

17 22< < =

−<

−<

−,,5

2,33⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − − <

P Z

P Z P Z

( )

( ) ( (

1

1 1 22,33 0,8413 0,9901 0,8314)) = − + =1

14SOLUCIONARIO

626

El tiempo medio de espera de un viajero en una estación ferroviaria, medido en minutos, sigue una distribución normal N (7,5; 2). Cada mañana 4.000 viajerosacceden a esa estación. Determina el número de viajeros que esperó:

a) Más de 9 minutos.

b) Menos de 6 minutos.

c) Entre 5 y 10 minutos.

d) Completa la frase: «Los 1.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de … minutos».

0,2266 ⋅ 4.000 = 906,4 → 906 viajeros esperaron más de 9 minutos.

0,2266 ⋅ 4.000 = 906,4 → 906 viajeros esperaron menos de 6 minutos.

0,7888 ⋅ 4.000 = 3.155,2 → 3.155 viajeros esperaron entre 5 y 10 minutos.

Los 1.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de 8 minutos.

d) 0,257,51 000

4 0000 25

7 5

2

.

., ( )

,= < =

−<

−→ →P X a PX a

22

20 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0,25

7,5→ P Za

, 557 5

27 5

2

→

→ →

P Za

aa

≤−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−= =

,

,

0,75

0,68 88,86

c)7,5 7,5 7,5

P X PX

( )5 105

2 2

10

2< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = − < < =

= < − − <

P Z

P Z P Z

( )

( ) ( ( )

1,25 1,25

1,25 1,251 )) = ⋅ − =2 10,8944 0,7888

b)7,5 7,5

0,7P X PX

P Z( ) (< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = < −6

2

6

255 0,75

0,7734 0,2266

) ( )= − ≤ =

= − =

1

1

P Z

a)7,5 7,5

0,75P X PX

P Z( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >9

2

9

2)) ( )= − ≤ =

= − =

1

1

P Z 0,75

0,7734 0,2266

061


627

Se sabe que el 98,61% de los tornillos fabricados por una empresa tiene un diámetromenor que 3,398 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normalde media μ = 3,2 mm, determina la desviación típica.

Dos amigos están jugando al parchís. Uno de ellos asegura que ha tirado el dado 30 veces y no le ha salido ningún 5. El otro amigo afirma que eso es imposible. ¿Es realmente imposible? ¿Cuál es la probabilidad de que eso suceda?

No es imposible, porque la probabilidad no puede asegurar el resultado de los lanzamientos.

El 60 % de una población de 20.000 habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos, al azar, 50 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros?

El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Se empaquetan en cajasde 80 unidades para distribuirlos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos?

P X PX

P( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =10

105,6

2,28

5,6

2,28ZZ P Z> = − ≤ =

= − =

1,93 1,93

0,9732 0,0268

) ( )1

1

X B N≈80( ; )� 0,07 (( ; )5,6 2,28

npn p

= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 6 51 78 4 5

,( ) ,

X B� ( ; )80 0,07

065

P X PX

P Z( ) (< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <30

30 30 30

3,46 3,4600) = 0,5

X B N≈50 30( ; ) ( ;� 0,6 33,46)

npn p

= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

30 51 20 5( )

X B� ( ; )50 0,6

064

P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜0 30

01

6

5

6

0

⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

30

0,0042X B� 301

6,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

063

P X PX

( ),

< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠3,398 0,9861

3,398 3,2→ 3 2

σ σ⎟⎟⎟⎟⎟ =

<⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0,9861

0,1980,9861

0,→ →P Zσ

11982,2 0,09

σσ= =→

062

14SOLUCIONARIO

628

Se estima que 1 de cada 8 españoles padece hipertensión. Si elegimos a 60 personasal azar:

a) Determina la probabilidad de que en ese grupo haya exactamente 7 personashipertensas.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de diez personas hipertensas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo tengan hipertensión 11 personas o menos?

Se está experimentando una nueva vacuna para la malaria que resulta efectiva en el 60 % de los casos. Si se eligen al azar 45 personas, halla las siguientesprobabilidades.

a) La probabilidad de que en ese grupo la vacuna sea efectiva en 27 personas.

b) La probabilidad de que sea efectiva en un número de personas comprendidoentre 25 y 27, ambos inclusive.

c) La probabilidad de que resulte efectiva en menos de 20 personas.

c)3,28 3,28

P X PX

P( ) (< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =20

27 20 27ZZ P Z< − = − ≤ =

= − =

2,13 2,13

0,9834 0,0166

) ( )1

1

b)3,28 3,28 3,28

P X PX

( )25 2725 27 27 27 27

≤ ≤ =−

≤−

≤−⎛

⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − ≤ ≤ =

= ≤ − ≤ =

P Z

P Z P Z

( )

( ) ( )

0,61

0,61

0

0 00,7291 0,5 0,2291− =

a) 26,5 27,526,5

3,28 3P X P X P

X( ) ( )= = < < =

−<

−27

27 27

,,28

27,5

3,280,15 0,15

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < <

27

P Z( )) ( ( ( ))= < − − < == ⋅ − =

P Z P Z0,15) 0,150,5596 0,11

12 1 992

npn p

X B N= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≈27 51 5

45 2( )

( ; ) (10,8

0,6→ � 77; )3,28

X B� ( ; )45 0,6

067

c)7,5

2,56

7,5

2,56P X P

X( )≤ =

−≤

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =11

11PP Z( )≤ =1,36 0,9131

b)7,5

2,56

7,5

2,56P X P

X( )> =

−>

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =10

10PP Z P Z( ) ( )> = − ≤ =

= − =

0,97 0,97

0,834 0,166

1

1

a) 6,5 7,56,5 7,5

2,56

7,5

2,5P X P X P

X( ) ( )= = < < =

−<

−7

66

7,5 7,5

2,560,39

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < =P Z P Z( ) (0 << − < = − =0,39 0,6517 0,5 0,1517) ( )P Z 0

npn p

X B= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≈7,56,56

0,12551 5

60( )

( ; )→ � NN( ; )7,5 2,56

X B� ( ; )60 0,125

066


629

Las compañías de seguros han calculado que 1 de cada 5 vehículos tiene un accidente al año. Si se toman al azar 40 vehículos, determina.

a) La probabilidad de que ese año 10 de ellos tengan un accidente.b) La probabilidad que sean entre 10 y 12 vehículos, ambos números incluidos.c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese año se accidenten más de 15 vehículos?

En un concurso dan a elegir una entre tres pruebas.

Si las probabilidades de encestar lanzando un tiro son

y las de acertar al blanco son , elige la prueba

en la que tengas más probabilidad de ganar.

• Lanzar 5 tiros a una canasta de baloncesto y encestar 2 por lo menos.

• Tirar 6 veces al blanco y acertar 3 como mínimo.• Tirar 2 veces a canasta y hacer 1 tiro al blanco.

Para superar la prueba se debe conseguir 1 canasta por lo menos y dar en el blanco.

En la primera prueba:

En la segunda prueba:

P Y P Y P Y P Y P Y( ) ( ( ) ( ) ( ))≥ = − <( ) = − = + = + = =

=

3 1 3 1 0 1 2

1−−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

60

1

3

2

3

0

⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟

6 161

1

3

2

3⎟⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞5 262

1

3

2

3 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − − − =

4

1 0,0878 0,2634 0,3292 0,3196

Y B� 61

3;

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

P X P X P X P X( ) ( ( ) ( ))≥ = − <( ) = − = + = =

= −⎛⎝⎜⎜

2 1 2 1 0 1

1 50⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛⎝

1

5

4

5

51

0 5

⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

1

5

4

51

1 4

00,3277 0,4096 0,2627− =

X B� 51

5;

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

3

1

5

069

c)2,53 2,53

P X PX

P Z( ) (> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >15

8 15 822,76 2,76

0,9971 0,0029

) ( )= − ≤ =

= − =

1

1

P Z

b)2,53 2,53 2,53

P X PX

( )10 1210 8 8 12 8

≤ ≤ =−

≤−

≤−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≤ ≤ =

= ≤ − ≤

P Z

P Z P Z

( )

( , ) (

0,79 1,58

0,791 58 )) = − =0,9429 0,7852 0,1577

a) 9,5 10,59,5

2,53 2,53P X P X P

X( ) ( )= = < < =

−<

−<10

8 8 110,5

2,530,59 0,98

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= < < = <

8

P Z P Z( ) ( 00,98 0,590,8365 0,7224 0,1141

) ( )− < == − =

P Z

npn p

X B N= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≈8 51 5

40 8( )

( ; ) ( ;6,4

0,2 2→ � ,,53)

X B� ( ; )40 0,2

068

14SOLUCIONARIO

630

En la tercera prueba:

La probabilidad de ganar es:

Por tanto, hay más probabilidad de ganar la segunda prueba.

Solo el 10 % de los boletos de una tómbola tienen premio. ¿Qué es más fácil, tener dos premios comprando 10 boletos o conseguir un premio comprando 3 boletos?

Si se compran 10 boletos:

Si se compran 3 boletos:

Así, es más probable conseguir un premio comprando 3 boletos.

Supongamos que la probabilidad de que nazca una niña es la misma de que nazca un niño.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga 2 hijos y 1 hija?

b) Si tomamos 100 familias con 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que haya 35 familias con 2 hijos y 1 hija?

c) ¿Y de que se encuentre entre 35 y 39?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en esas 100 familias haya 12 familias que solo tengan hijas?

a) P(2 hijos y 1 hija) = 3 ⋅ 0,52 ⋅ 0,5 = 0,375

c)37,5

4,84

37,5

4,84

37,P X P

X( )35 39

35 39< < =

−<

−<

− 55

4,840,51 0,31 0,31

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < = <P Z P Z( ) ( )) ( ( ))− − < == − + =

11

P Z 0,510,6217 0,695 0,3167

P X P X PX

( ) ( )= = < < =−

<−

35 34,5 35,534,5 37,5

4,84

37,55

4,84

35,5 37,5

4,840,62

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < <P Z( −− = < − < == − =

0,41 0,62 0,410,7324 0,6591

) ( ) ( )P Z P Z00 0733,

npn p

X B= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

37,562,5

0,37551 5

100( )

( ;→ � )) ( ; )≈ N 37,5 4,84

b) 0,375X B� ( ; )100

071

P X( ) ,= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 3

10 11 20,9 0,243

P X( ) ,= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 10

20 12 80,9 0,1937

070

0,36 0,12⋅ =1

3

P Z P Z P Z( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅1 1 1 1 0 1 2

01

5

⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − =

0 24

51 0,64 0,36

Z B� 21

5;

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟


631

d) P(3 hijas) = 0,53 = 0,125

Marta va a salir de viaje y ha consultado las previsiones meteorológicas. Ha visto que la probabilidad de que llueva el sábado es del 50 %, siendo la misma para el domingo.

Marta hace la siguiente reflexión.

«Como 50 + 50 = 100, es seguro que un día va a llover».

a) ¿Es correcta su reflexión?b) Calcula la probabilidad de que llueva solo un día.c) ¿Cuál es la probabilidad de que llueva los dos días?d) ¿Y de que no llueva ningún día?

a) No es correcta, porque la probabilidad de que llueva algún día es: 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25

b) P(llueva solo un día) = 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5

c) P(llueva los dos días) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25

d) P(no llueva ningún día) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25

La talla media del pie de los bomberos que ingresaron en el cuerpo el año pasadoera 42, con una desviación típica de 1,4. Este año ingresarán 40.000 personas en el cuerpo de bomberos.

a) Determina el número aproximado de los bomberos que tendrán una talla mediadel pie de 44 o 45.

b) Calcula el número de botas del número 38 que debería encargar el cuerpo de bomberos.

(Consideramos que un pie tiene talla 40 cuando le correspondería un tallajecomprendido en [39,5; 40,5). Por ejemplo, si a una persona le corresponde una talla de 36,7; diremos que su tallaje es 37. Y si es 38,4; diremos que su tallaje es 38.)

0,1361 ⋅ 40.000 = 5.444 bomberos

Por tanto, encargarán: 0,0055 ⋅ 40.000 = 220 pares de botas.

b) P X PX

( , , ),

, ,

,37 5 38 5

37 5 42

1 4

42

1 4

38 5 4≤ < =

−≤

−<

− 22

1 43 21 2 5 3 21

,( , , ) ( , )

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − ≤ < − = ≤P Z P Z −− < == − =

P Z( , ), , ,

2 50 9993 0 9938 0 0055

a) P X PX

( , , ),

, ,

,43 5 45 5

43 5 42

1 4

42

1 4

45 5 4≤ < =

−≤

−<

− 22

1 41 07 2 5 2 5

,( , , ) ( , ) (

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= ≤ < = < −P Z P Z P ZZ ≤ == − =

1 07, )0,9938 0,8577 0,1361

X N� ( ; )42 1,4

073

072

P X P X PX

( ) ( )= = < < =−

<−

12 11,5 12,511,5 12,5

0,33

12,55

0,33

12,5 12,5

0,33<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < =P Z( )3 0 PP Z P Z( ) ( )< − < = − =3 0 0,9987 0,5 0,4987

npn p

X B= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

12,587,5

0,12551 5

100( )

( ;→ � )) ( ; )≈ N 12,5 0,33

X B� ( ; )100 0,125

14SOLUCIONARIO

632

Escoge, entre los juegos a) y b), el juego que tengas mayor probabilidad de ganar.

a) Se lanzan 2 dados y si la suma es mayor que 9 ganas.b) Se lanzan 10 monedas y ganas si salen más de 6 caras.

a) P(suma mayor que 9 al lanzar dos dados) =

En el juego b) se tiene mayor probabilidad de ganar.

La distribución de edades de los miembros de una asociación sigue una ley normalN(μ, σ). Sabiendo que el 94,52 % tiene menos de 32 años, y un 21,19 % tiene menosde 20 años, calcula su media y su desviación típica.

En una granja de gallinas se clasifican los huevos por su peso, en gramos, según las categorías incluidas en la tabla.

El peso de los huevos de las gallinas de esa granja sigue una distribución N (62, 8). Calcula los porcentajes de huevos que se obtienen de cada categoría.

P X PX

( )63 7363 62

8

62

8

73 62

8≤ < =

−≤

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = PP Z

P Z P Z

( , , )

( , ) ( , ) ,

0 125 1 375

1 375 0 125 0

≤ < =

= < − ≤ = 99154 0 5497 0 3657− =, ,

P X PX

( )53 6353 62

8

62

8

63 62

8≤ < =

−≤

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = PP Z

P Z P Z

− ≤ <( ) =

= <( )− − ≤(

1 125 0 125

0 125 1 1 125

, ,

, ( , )) = − + =) , , ,0 5497 1 0 8697 0 4194

P X PX

P Z( ) ,< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = < −(53

62

8

53 62

81 125)) = − ≤( ) =

= − =

1 1 125

1 0 8697 0 1303

P Z ,

, ,

Categoría S M L XL

Peso < 53 [53, 63) [63, 73) ≥ 73

076

32 1 620 0 8

245

− =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

μ σμ σ

μσ

,,

P X PX

P Z( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−⎛

⎝⎜⎜20

20 20μσ

μσ

μσ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

< −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0 2119

200 7881

,

,→ P Zμ

σ→→ →−

−= − = −

200 8 20 0 8

μσ

μ σ, ,

P X PX

P Z( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−⎛

⎝⎜⎜32

32 32μσ

μσ

μσ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−=

− =

0 945232

1 6

32 1 6

, ,

,

→

→

μσ

μ σ

075

P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )> = = + = + = + = =⎛⎝⎜⎜6 7 8 9 10 10

7⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅

0 5 0 5

108

0 5 0 5

7 3

8

, ,

, , 22 9 1109

0 5 0 5 1010

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟, , ⋅⋅ ⋅ =0 5 0 5 0 171810 0, , ,

b) 0,5X B� ( ; )10

6

36

1

6= = 0,1667

074


633

Hay un 13,03 % de huevos de tamaño S; un 41,94 % de tamaño M; un 36,57 % de tamaño L; y un 8,46 % de tamaño XL.

El gerente de una granja de gallinas ha observado que la categoría de huevos S no tiene éxito en el mercado, mientras que la categoría XL es la más rentable para la empresa, y sin embargo le corresponde una proporción demasiado baja de la producción. Por ese motivo decide hacer nuevas categorías que denominará, de mayor a menor peso: A, B, C, D y E, de modo que los porcentajes de huevos en cada categoría sean las siguientes.

Encuentra los intervalos de peso correspondientes a cada categoría.

La categoría A corresponde a los huevos que pesan menos de 53,68 gramos; la categoría B a los que pesan entre 53,68 y 58,88 gramos; la categoría C a los que pesan entre 58,88 y 66,24 gramos; la categoría D a los que pesan entre66,24 y 75,2 gramos, y la categoría E a los que pesan más de 75,2 gramos.

P X PX

P Z( ) ,< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−D

D D0 95

62

8

62

8

62→88

0 95

62

81 65 75 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−= =

,

, ,→ →DD

P X PX

P Z( ) ,< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−C

C C0 7

62

8

62

8

62

8→

⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−= =

0 7

62

80 53 66 24

,

, ,→ →CC

P X PX

P Z( ) ,< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−B

B B0 35

62

8

62

8

62→88

162

80 35

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − ≤ −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =P Z

B, → PP Z ≤ −

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−−

= =

B

BB

62

80 65

62

80 39 58

,

,→ → ,,88

P X PX

P Z( ) ,< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−A

A A0 15

62

8

62

8

62→88

162

80 15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − ≤ −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =P Z

A, →

→ →

P Z ≤ −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−−

= =

A

AA

62

80 85

62

81 04 5

,

, 33 68,

Categoría A B C D E

Porcentaje 15% 20% 35% 25% 5%

077

P X PX

P Z( ) ,≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≥( )73

62

8

73 62

81 375 == − <( ) =

= − =

1 1 375

1 0 9154 0 0846

P Z ,

, ,

14SOLUCIONARIO

634

La nota media de las Pruebas de Acceso a EstudiosUniversitarios en un distrito sigue una ley normal con media 6,2 y desviación típica 1,3.

a) Uno de los estudios más solicitados es Fisioterapia, por lo que un periódico local afirma que solo el 10 % de los alumnos del distrito tendrá nota suficientepara realizar esos estudios. ¿A qué nota se refiere?

b) ¿Qué porcentaje de alumnos supera el sobresaliente?c) ¿Qué nota supera el 25 % de los alumnos?

La nota suficiente para acceder a Fisioterapia es 7,87.

El 1,58 % de los alumnos supera el sobresaliente.

El 25 % de los alumnos supera una nota de 5,31.

En un instituto se han comprado 150 ordenadores para 4 aulas de informática. La duración de la batería permite tener una media de trabajo de 180 minutos, con una desviación típica de 25 minutos.

a) Calcula la probabilidad de que la batería de uno de los ordenadores solo dure dos horas.

b) ¿Cuántos ordenadores tendrán una batería cuya carga dure más de 200 minutos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que 110 de esos ordenadores sigan trabajando

a los 180 minutos?

Como 0,2119 ⋅ 150 = 31,785; en 31 ordenadores la carga de la batería durarámás de 200 minutos.

b) P X PX

P Z( )> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =200

180

25

200 180

25>>( ) = − ≤( ) =

= − =

0 8 1 0 8

1

, ,P Z

0,7881 0,2119

P X PX

P Z( )≤ =−

≤−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≤ −120

180

25

120 180

2522 4 1 2 4

1

, ,( ) = − <( ) =

= − =

P Z

0,9918 0,0082

a) X N� ( , )180 25

079

c) P X a PX a

( ) ,,

,

,

,≤ =

−≤

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟0 25

6 2

1 3

6 2

1 3→ == ≤

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − ≤ −−⎛

⎝⎜

P Za

P Za

6 2

1 3

16 2

1 3

,

,,

,⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≤ −

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =0 25

6 2

1 30 75,

,

,,→ P Z

a

→→ →−−

= =a

a6 2

1 30 68 5 31

,

,, ,

b) P X PX

P Z( ),

,

,

,≥ =

−≥

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≥9

6 2

1 3

9 6 2

1 32,, ,

, ,

15 1 2 15

1 0 9842 0 0158

( ) = − <( ) =

= − =

P Z

a) P X a PX a

( ) ,,

,

,

,≥ =

−≥

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =0 1

6 2

1 3

6 2

1 3→ PP Z

a

P Za

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − <−⎛

⎝⎜⎜⎜

6 2

1 3

16 2

1 3

,

,,

,

⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−

0 16 2

1 30 9

6

,,

,,

,

→

→

P Za

a 22

1 31 29 7 87

,, ,= =→ a

078


635

La estatura de los 1.200 alumnos de un colegio sigue una distribución normal, de media 156 cm y desviación típica 9 cm.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumnoseleccionado al azar mida más de 180 cm?

b) ¿Cuántos estudiantes debemos esperar que midan entre 140 y 170 cm?

c) Busca un intervalo de alturas que contenga el 90 % de los alumnos y que sea el mínimo posible.

d) Si elijo 10 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 6 de ellos midan más de 165 cm?

e) Si elijo 40 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 10 que midan más de 165 cm?

Como 0,9031 ⋅ 1.200 = 1.083, hay 1.083 estudiantes que miden entre 140 y 170 cm.

P Y( ) , , ,= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =6 10

60 1587 0 8413 0 0016 4 77

Y B� ( ; )10 0,1587

d) P X PX

P Z( )> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >165

156

9

165 156

91(( ) = − ≤( ) =

= − =

1 1

1 0 8413 0 1587

P Z

, ,

c) P a X a Pa X a

( )156 156156 156

9

156

9

156− < < + =

− −<

−<

+ −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < <⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

156

9

9 9P

aZ

aP Z

aaP Z

a

91

9

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− − <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=

= <⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− = <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2

91 0 9

9P Z

aP Z

a, → ⎟⎟⎟ = =

=

0 959

1 65

14 85 141 15 170 85

, ,

, ( , ; , )

→

→ →

a

a es ell intervalo de alturas.

b) ( )140 170140 156

9

156

9

170 156

9< < =

−<

−<

−⎛

⎝⎜⎜X P

X⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − < < = <( )− − <P Z P Z P Z( , , ) , ( (1 78 1 56 1 56 1 11 780 9406 1 0 9625 0 9031

, )), , ,

== − + =

a) P X PX

P Z( )> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >180

156

9

180 156

92,, ,67 1 2 67

1

( ) = − ≤( ) =

= − =

P Z

0,9962 0,0038

080

P Y P Y PY

( ) ( , , ),

,= = < < =

−<

−110 109 5 110 5

109 5 75

6 12

755

6 12

110 5 75

6 125 62 5

,

,

,( , ,

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= < <P Z 88 5 8 5 62 1 1 0) ( , ) ( , )= < − < = − =P Z P Z

npn p

Y B N= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≈75 51 75 5

150 75( )

( ; ) (→ � 0,5 ;; , )6 12

Y B� ( ;150 0,5)

c) P X PX

P Z( )≥ =−

≥−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =180

180

25

180 180

25≥≥( ) = − <( ) = − =0 1 0 1 0 5 0 5P Z , ,

14SOLUCIONARIO

636

El peso de los recién nacidos se distribuye según una distribución normal de media μ y desviación típica σ. Si los últimos datos publicados aseguran que los percentiles 75 y 90 de esta distribución son 3,2 y 3,5 kg, respectivamente:

a) Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,5 kg.b) Halla la probabilidad de que un recién nacido pese más de 4 kg.c) ¿Cuál es el percentil 10?d) Determina la mediana de la distribución.

El sueldo de los trabajadores de una empresa sigue una distribución normal de media 1.500 €. Si el sueldo de un técnico de categoría 3 es de 960 €, y el 75 % de los trabajadores de la empresa cobra más que él:

a) Calcula la probabilidad de que el sueldo de un empleado escogido al azar sea superior a 1.600 €.

b) El sueldo más elevado es el de los directivos. Si estos representan el 5 % de los empleados de la empresa, ¿cuál es su sueldo mínimo?

082

d) P X M PX M

( ) ,,

,

,

,≤ =

−≤

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟0 5

2 86

0 49

2 86

0 49→ ⎟⎟⎟⎟ = ≤

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−

P ZM

M

2 86

0 490 5

2 86

0 4

,

,,

,

,→

990 2 86= =→ M ,

c) P X a PX a

( ) ,,

,

,

,< =

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟0 1

2 86

0 49

2 86

0 49→ ⎟⎟⎟⎟ = <

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

≤ −−

P Za

P Za

2 86

0 490 1

2 8

,

,,

,→ 66

0 490 9

2 86

0 491 29 2

,,

,

,, ,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

−= =→ →a

a 223

b) P X PX

( ),

,

,

,> =

−>

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =4

2 86

0 49

4 2 86

0 49PP Z P Z>( ) = − ≤ =

= − =

2 32 1 2 32

1 0 9898 0 0102

, ( , )

, ,

a) P X PX

( , ),

,

, ,

,< =

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟2 5

2 86

0 49

2 5 2 86

0 49⎟⎟⎟⎟ = < −( ) = − ≤ =

= − =

P Z P Z0 73 1 0 73

1 0 7673 0 232

, ( , )

, , 77

3 2 0 683 5 1 29

2 860 49

, ,, ,

,,

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

μ σμ σ

μσ

P X PX

P Z( , ) ,, ,

< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <3 5 0 9

3 5 3 5→ μσ

μσ

−−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−=

μσ

μσ

0 93 5

1 29,,

,→

P X PX

P Z( )< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <3,2 0,75

3,2 3,→ μσ

μσ

220,75

3,20,68

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−=

μσ

μσ

→

081

P Y PY

( ),

,

,

,'

'> =

−>

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟10

6 348

2 31

10 6 348

2 31⎟⎟⎟⎟ = >( ) = − ≤( ) =

= − =

P Z P Z1 58 1 1 58

1 0 719 0 281

, ,

, ,

npn p

Y B= >− = >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6 348 51 33 652 5

40 0 1,( ) ,

( ; ,→ � 5587 6 348 2 31) ( , ; , )≈ N

e) Y B' � ( ; , )40 0 1587


637

El sueldo mínimo de los directivos es de 2.810,29 euros.

PARA FINALIZAR…

Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad de una variable aleatoria continua.

a) Obtén la función de distribución F(x).b) Representa gráficamente ambas funciones.

c) Calcula las probabilidades.

P(X = 1) = 0

c) P X P X P X1

2

3

2

3

2

1< <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− <

22

3

2

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟F F == − =

39

48

15

48

1

2

1 f (x)

1 X

Y

1F (x)

1 X

Yb)

F x

xx x

x

x

( ) =

− < <

− + ≤ ≤

< < +

⎧

⎨

⎪⎪0 0

12

2

30 2

1 2

2

si

si

si

�

�

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

a) 11

6 1

2

0

2

= = − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

+

−� �

�

�

f x dx x k dxx

( )22

1

32 2

4

3

2

30

2

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = − + = =kx k k k→ →

P X P X1

2

3

21< <

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =( )

f x x k x

x( ) [ , ]

[ , ]= − + ∈

∉

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

1

60 2

0 0 2

si

si

083

b) P X a PX a

( ) ,.

,

.

,≥ =

−≥

−⎛0 05

1 500

794 12

1 500

794 12→

⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ≥

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =P Z

a 1 500

794 120 0

.

,, 55

1 500

794 120 95

1 500→ →P Za a

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−.

,,

.

7794 121 65 2 810 29

,, . ,= =→ a

a) P X PX

( . ).

,

. .

,> =

−>

−1 600

1 500

794 12

1 600 1 500

794 1120 13 1 0 13

1 0 5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >( ) = − ≤ =

= −

P Z P Z, ( , )

, 5517 0 4483= ,

P X PX

( ) ,. .

> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟960 0 75

1 500 960 1 500→σ σ ⎟⎟⎟ = > −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= <⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

P Z

P Z

540

540σ

σ== = =0 75

5400 68, ,→ →

σσ 794,12

14SOLUCIONARIO

638

La probabilidad de que un reloj sea defectuoso es del 4 %. Halla.

a) El número de relojes defectuosos que se estima en un lote de 1.000.b) La probabilidad de menos de 10 defectuosos.

a) μ = 1.000 ⋅ 0,04 = 40 relojes

b) B(1.000; 0,04) ⊕ N(40; 6,19)

En una distribución normal, el 3 % de los valores es inferior a 19 y el 5 % es superior a 28,6. Calcula P ( X <18).

Las bolas para rodamiento se someten a un control de calidad consistente en eliminar las que pasan por un orificio de diámetro d y, también, las que no pasanpor otro orificio de diámetro D, con d <D.

Calcula la probabilidad de eliminar una bola, sabiendo que la medida de sus

diámetros sigue una distribución normal de parámetros: .

P X d P X D P

XD d

D d

dD d

D d( ) ( )

( ) (< + > =

−+

−<

−+

−2 2

0,3 0,3 )) ( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+

−+

−>

−+

P

XD d

D d

DD

20,3

dd

D d

P Z

d D

20 3

2

, ( )−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

= <

−

0,3(( ) ( )D dP Z

D d

D d−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+ >

−

−

⎛

20,3⎝⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

= <−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+P Z P

1

0 6,ZZ P Z P Z

P

>⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= <− + > =

=

1

0 61 67 1 67

2,

( , ) ( , )

(( , ) ( , ) ,Z > = − =1 67 2 1 0 9525 0 095

ND d

D d+ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥2

0 3; , ( )

086

P X PX

( ),

,

,

,< =

−<

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟18

24 13

2 71

18 24 13

2 71 ⎟⎟ = < − = − ≤ =

= − =

P Z P Z( , ) ( , )

, ,

2 26 1 2 26

1 0 9881 0 0119

19 1 8928 6 1 65

24 132 71

− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

μ σμ σ

μσ

,, ,

,,

P X PX

P Z( , ) ,,

> =−

>−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = >28 6 0 05

28 6→ μσ

μσ

228 60 05

28 6

,,

,

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

≤−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟

μσ

μσ

→ P Z ⎟⎟⎟⎟ =−

=

− =

0 9528 6

1 65

28 6 1 65

,,

,

, ,

→

→

μσ

μ σ

P X PX

P Z( ) ,< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = <

−19 0 03

19 19→ μσ

μσ

μσσ

μσ

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

≤ −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

0 03

190 9

,

,→ P Z 7719

1 89

19 1 89

→

→

−−

=

− = −

μσ

μ σ

,

,

085

P XX

P Z( ), ,

< =−

<−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = < −10

40

6 19

10 40

6 194,, ,84 1 4 84 0( ) = − <( ) =P Z

084


639

Una máquina tiene 800 componentes y la probabilidad de que, en un tiempodeterminado, falle uno de ellos es 2 ⋅ 10−4. Calcula la probabilidad de que en ese tiempo:

a) Falle al menos 1 componente.

b) Fallen exactamente 2 componentes.

c) Fallen, como máximo, 2 componentes.

d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.

800 ⋅ 0,0002 = 0,16 < 5 → No se puede aproximar con una distribución normal.

d) 0,0002μ

σ

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

800 0 16

800 0 0002 0 9998 0 39

,

, , ,

c) P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )≤ = = + = + = =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟2 0 1 2 800

0 ⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

0 0002 0 9998

8001

0 00

0 800, ,

, 002 0 9998 8002

0 0002 0 991 799 2⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅, , , 998

0 8521 800 0 0002 0 8523 319 600 4

798 =

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅, , , . 110 0 8224 0 98948− ⋅ , ,�

b) P X( ) , ,= =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 800

20 0002 0 99982 798 3319 600 4 10 0 0018. ,⋅ ⋅ ⋅− 0,8724 �

a) P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟1 1 1 1 0 1 800

0 ⎟⎟ ⋅ ⋅ =

= −

0 0002 0 9998

1 0 8521

0 800, ,

, � 0,1479

X B� ( ; )800 0,0002

087

14SOLUCIONARIO

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública otransformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorizaciónde sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO(Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesitafotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

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ISBN: 978-84-294-4354-7CP: 833210Depósito legal:

Dirección de arte: José Crespo

Proyecto gráfico:Portada: Carrió/Sánchez/LacastaInteriores: Manuel García, Rosa Barriga

Ilustración: Enrique Cordero, José María Valera

Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés

Dirección técnica: Ángel García Encinar

Coordinación técnica: Félix RotellaConfección y montaje: MonoComp, S. A., Luis González, Hilario Simón

Corrección: Marta Rubio, Gerardo Z. GarcíaDocumentación y selección fotográfica: Nieves Marinas

Fotografías: A. Toril; D. López; E. Marín; F. Ontañón; I. Rovira; J. C. Muñoz; J. I. Medina; J. Jaime; J. Lucas; J. M.ª Escudero; J. M.ª Regalado; J. V. Resino; L. Olivenza; M. Blanco; ORONOZ; P. Carrió/S. Sánchez; P. Esgueva; Prats i Camps; S. Cid; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; CENTRAL STOCK; COMSTOCK;CONTIFOTO/SYGMA/KEYSTONE; DIGITALVISION; EFE/EPA/Humayoun Shiab,EPA/Armin Weigel, A. Estévez; EFE/SIPA-PRESS/J. Sommers; FOTONONSTOP; GETTY IMAGES SALES SPAIN/The Bridgeman Art Library, David Young-Wolff,Stone/Ryan McVay; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; MUSEUM ICONOGRAFÍA/J. Martin; NASA/Credit Image created by Reto Stockli with the help of Alan Nelson, under the leadership of Fritz Hasler; PHOTODISC; STOCKBYTE; FUNDACIÓN GIANNI MATTIOLI, MILÁN; HP/Hewlett-Packard; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

Matemáticas I

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