Matematicas IV

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE APATZINGAN ACADEMIA DE CIENCIAS BASICAS

2009

matematicas IV Algebra lineal

Ing. Alma Araceli Alvarez Arzate

K M . 3 . 5 C A R R . A P A T Z I N G A N - A G U I L I L L A

CONTENIDO

UNIDAD I “NUMEROS COMPLEJOS” ......................................... 1

1.1. Definición y origen de los números complejos .............................. 2

1.2. Operaciones fundamentales con números complejo .................... 3

1.3. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número

complejo ................................................................................................... 3

1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo ...................... 3

1.5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un

número complejo ..................................................................................... 3

1.6. Ecuaciones polinómicas .......................................................... 3

UNIDAD II “SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES” ................... 4

2.1. Definición de sistemas de ecuaciones lineales .............................. 5

2.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de

solución .................................................................................................... 3

2.3. Interpretación geométrica de las soluciones ................................. 3

2.4. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

(Gauss – Jordan, Eliminación Gaussiana) ............................................. 3

2.5. Aplicaciones ..................................................................................... 3

UNIDAD III “MATRICES Y DETERMINANTES” ............................ 7

3.1. Definición de matriz, notación y orden ........................................... 8

3.2. Operaciones con matrices (suma, resta, producto, producto de

un escalar por una matriz) ...................................................................... 8

3.3. Clasificación de las matrices triangular superior, triangular

inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente,

idempotente, involutiva, transpuesta simétrica, antisimétrica,

compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana, ortogonal ............... 8

3.4. Calculo de la inversa de una matriz ............................................... 8

3.5. Definición de determinante de una matriz ...................................... 8

3.6. Propiedades de los determinantes .................................................. 8

3.7. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta ................. 8

3.8. Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la

inversa ...................................................................................................... 8

3.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la

regla de Cramer ....................................................................................... 8

3.10. Aplicación de matrices y determinantes ....................................... 8

UNIDAD IV “ESPACIOS VECTORIALES” .................................... 10

4.1. Definición de espacio vectorial y sus propiedades ...................... 5

4.2. Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus

propiedades ............................................................................................. 5

4.3. Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e

independencia lineal ............................................................................... 5

4.4. Base y dimensión de un espacio vectorial ..................................... 5

4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades .......... 5

4.6. Cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización

Gram - Schmidt ........................................................................................ 5

UNIDAD V “TRANSFORMACIONES LINEALES” ........................... 4

5.1. Definición de transformación lineal y sus propiedades ................ 5

5.2. Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación,

contracción, rotación) ............................................................................. 5

5.3. Definición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación

lineal ......................................................................................................... 5

5.4. La matriz de una transformación lineal y representación matricial

de una transformación lineal ................................................................. 5

5.5. Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales .................. 5

5.6. Algebra de las transformaciones lineales ...................................... 5

5.7. Aplicaciones de las transformaciones lineales .............................. 5

UNIDAD VI “VECTORES Y ESPACIOS CARACTERISTICOS” ........... 4

6.1. Definición de valores y vectores característico de una matriz

cuadrada .................................................................................................. 5

6.2. Polinomio y ecuación característica ............................................... 5

6.3. Determinación de los valores y vectores característicos de una

matriz cuadrada ....................................................................................... 5

6.4. Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices ...... 5

6.5. Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización

ortogonal .................................................................................................. 5

6.6. Formas cuadráticas .......................................................................... 5

6.7. Teorema de Cayley - Hamilton ......................................................... 5

6.8. Aplicaciones ..................................................................................... 5

1.1. Introducción

El gran matemático Diofanto (275 d.C) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3, 4 y 5 unidades.

Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

32 + 42= 52

Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades.

Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades.

Su planteamiento fue el siguiente:

un cateto mediría x como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras

pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12

Por tanto se debe cumplir la ecuación:

De donde se llega fácilmente a:

UNIDAD I

“NUMEROS COMPLEJOS”

Cuya solución Diofanto expresó como

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a –1, por tanto, el problema no tenía solución.

Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse.

En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.

A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

Euler

Kaspar Wessel dio una explicación a la raíz cuadrada de –1.

Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el teorema de la altura

Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand fue utilizada más tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos.

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/cardano.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/euler.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/gauss.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/gauss.html

Gauss

En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

Dentro de los números reales había números racionales y números irracionales. De la misma forma en C podemos hablar de números reales (los que tienen su parte imaginaria nula) y de números imaginarios (aquellos cuya parte imaginaria no es nula).

Se llaman números imaginarios puros a los que tienen nula la parte real, los de la forma (0,b) o bien 0+bi.

Números imaginarios puros, la unidad imaginaria

El número 1 es la unidad en los números reales, y en forma compleja se escribe como (1,0). Esto quiere decir que construimos los demás números reales a partir de éste. De la misma forma si consideramos el conjunto formado por los números imaginarios puros tendremos que todos los números se construyen a partir del (0,1). Sería lógico pues, llamar unidad imaginaria a este número. A esta unidad imaginaria la llamaremos i.

Veamos una propiedad fundamental de i:

i2 = (0,1)·(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0) = -1

de donde i =

Con esta propiedad ya tenemos resuelto el problema de las raíces cuadradas de números negativos, veamos como:

Observación

Si nos fijamos en el ejemplo veremos que el producto de un número imaginario puro por uno real es otro imaginario puro.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/cauchy.html

Un número complejo es la conjunción entre el conjunto de números reales y un conjunto de números que al elevarlos al cuadrado como resultado queda un número positivo; a este conjunto de números se les llama números imaginarios. Esta característica de los imaginarios es posible gracias a la existencia de una constante matemática conocida como identidad imaginaria, denotada mediante i y que tiene la siguiente particularidad: i2 = −1. Así pues todo número complejo se puede escribir como:

z = a + ib

siendo a ϵ R la parte real del número complejo y b ϵ R la parte imaginaria de dicho número; en esta notación i nos permite distinguir al conjunto de números imaginarios que, dicho sea de paso, resulta ser un clon, por así decirlo, del conjunto de los números reales.

NOTA : El símbolo i que se utiliza para la identidad imaginaria, en disciplinas relacionadas con la electricidad y el electromagnetismo es utilizado para denotar la corriente eléctrica, así que en dichas disciplinas en lugar de utilizar como identidad imaginaria a i utilizan j para este trabajo,

1.2. Operaciones fundamentales con números complejos

Al igual que con los números reales, los números complejos pueden utilizar las

operaciones básicas de:

Suma o adición

Resta o sustracción

Conjugado

Multiplicación

División

Valor absoluto

A. Z1 + Z2 (adición de complejos)

La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1 , x2) , (x3 , x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas. O sea:

(x1, x2) + (x3 , x4) = (x1 + x3 , x2 + x4)

* En Forma Binómica :

Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.

Ejemplo:

Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i

Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i

B. Z1 - Z2 (sustracción de complejos)

Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así :

Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)

Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.

Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b ) Entonces :

Z1 - Z2 = Z1 + ( - Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x - a, y - b).

* En forma Binómica :

Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces :

Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i.

C. 𝒛 (conjugado de un complejo):

Llamaremos conjugados a dos complejos Z y 𝒛 que tengan sus afijos simétricos

con respecto al eje real. Si se cumple, por tanto, que

Z = a + bi y

𝑧 = a - bi

Diremos que 𝒛 es el conjugado del complejo Z. En la práctica, para determinar el

conjugado de un complejo basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.

* En Forma de pares ordenados:

Si Z = (a , b) Entonces : 𝑧 = (a , -b)

D. Z1 *Z2 ( multiplicación de complejos )

Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 . Al final se reducen términos semejantes. La multiplicación puede hacerse más directamente observando que :

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

ac + (ad + bc)i + bd(-1)

= (ac - bd) + (ad + bc)i

* En forma de pares ordenados:

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y) dos números complejos, entonces, por definición :

Z1 Z2 = (a , b) (x , y) = (a x - b y , a y+b x).

Z1 * Z2 = (a , b) * (x , y) = (a* x – b* y , a* y+b* x).

E. 𝒛𝟏

𝒛𝟐 (división de complejos)

Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por -1.

𝒛𝟏

𝒛𝟐=

𝒂 + 𝒃𝒊

𝒄 + 𝒅𝒊 𝒄 − 𝒅𝒊

𝒄 − 𝒅𝒊 =

𝒂𝒄 + 𝒃𝒄𝒊 − 𝒂𝒅𝒊 − 𝒃𝒅𝒊𝟐

𝒄𝟐 + 𝒅𝒄𝒊 − 𝒄𝒅𝒊 − 𝒅𝟐𝒊𝟐

𝒛𝟏

𝒛𝟐=

𝒂𝒄 + 𝒃𝒄𝒊 − 𝒂𝒅𝒊 − 𝒃𝒅(−𝟏)

𝒄𝟐 + 𝒅𝒄𝒊 − 𝒄𝒅𝒊 − 𝒅𝟐(−𝟏)=

𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 + 𝒃𝒄 − 𝒂𝒅 𝒊

𝒄𝟐 + 𝒅𝟐

F. 𝒛 ( módulo o valor absoluto de un complejo )

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo

designaremos por 𝒛 o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación:

𝒛 = r = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

1.3. Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de un numero

complejo

Potencias de i

Vamos a calcular todas las potencias de i desde n=-10 hasta n=10 y sacar alguna conclusión.

i0 = 1, i1 = i, i2 = 1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i,...

Ordenando los resultados desde n = -10 hasta n = 10 tenemos:

1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1

La conclusión más elemental es que cualquier potencia de i es –1, –i, 1 ó i, y que las potencias de i se van repitiendo de forma periódica, de 4 en 4.

𝒛 ( módulo o valor absoluto de un complejo )

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo

designaremos por 𝒛 o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación:

𝒛 = r = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

Rojo =modulo

Verde = opuesto

Azul = conjugado

1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo

Forma polar o módulo-argumento

El ángulo se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las manecillas del reloj.

De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triangulo rectángulo, con catetos a=x y b=y e hipotenusa=r dada por el radio vector. Usando el

Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es 𝑎2 + 𝑏2 igual al módulo del complejo Z. Esto es:

│𝑧│ = 𝑎2 + 𝑏2

Usando los conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones

𝑎 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑏 = 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃

Conocidas como Fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas. Cualquier ángulo α, tal que sen α = sen θ y cos α = cos θ, se llama una amplitud o argumento para el complejo Z.

Sabemos por trigonometría, que dos argumentos cualesquiera de Z difieren en 2π.

El argumento θ, tal que – π ≤ θ ≤ π, se llama amplitud o argumento principal de Z.

Esta claro que si conocemos el argumento principal de Z y su modulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas de acuerdo a las formulas anteriores.

Se tiene entonces la Representación de Z en forma Polar

𝑍 = 𝑍 (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

Para.

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene

.

Resumen de cambio de forma rectangular o binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la

forma .

Ejemplos

Caso I. Numero complejo en el primer cuadrante

Hallar la forma polar del numero complejo Z = 2 + 2i, y dar su representación geométrica en el plano.

Solución. En primer lugar debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo para lo cual usaremos las siguientes formulas:

𝑍 = 22 + 22 = 8 = 2 2

Para calcular el ángulo, podemos usar la calculadora de mano

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2

2= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 = 45°

Luego la representación polar de Z es

𝑍 = 2 2(𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 45°)

La representación de este número en el plano complejo aparece en la siguiente figura:

Caso II. Número complejo en el segundo cuadrante

Hallar la forma polar del numero complejo Z =-3+4i, y dar su representación geométrica en el plano.


𝑍 = (−3)2 + 42 = 25 = 5

45°

y

2

x 2

Z= 2 + 2i


𝜃′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4

−3= −53.13°

El argumento principal de Z será

𝜃 = 180° + 𝜃′ = 126.87°

La razón para hacer este cambio es que ambos ángulos tienen la misma tangente, como lo muestra en la siguiente figura:


𝑍 = 5(𝑐𝑜𝑠 126.87° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 126.87°)

Caso III. Numero complejo en el tercer cuadrante

Hallar la forma polar del numero complejo Z = -3 - 4i, y dar su representación geométrica en el plano.


𝑍 = (−3)2 + (−4)2 = 25 = 5


𝜃′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −4

−3= 53.13°

Sabemos que este es un ángulo correspondiente al primer cuadrante, pero como la componente real de Z es negativa, al igual que su componente compleja, cualquier

Z= -3 + 4i

Z= -3 + 4i

y

-3 x

4

argumento de Z debe estar en el tercer cuadrante. Al ángulo hallado le sumamos 180° para obtener un argumento positivo,

Luego

𝜃 = 180° + 𝜃′ = 233.13°


𝑍 = 5(𝑐𝑜𝑠 233.13° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 233.13°)


Caso IV. Numero complejo en el cuarto cuadrante

Hallar la forma polar del numero complejo Z = 1 - 2i, y dar su representación geométrica en el plano.


𝑍 = 12 + (−2)2 = 5

Al buscar el ángulo la calculadora nos da un argumento negativo, en el cuarto cuadrante (esta vez no se presentan problemas de conversión), y para llevarlo a la forma positiva le sumamos 360°. Luego

𝜃′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −2

1= −63.43°

El argumento buscado es:

𝜃 = 360° + 𝜃′ = 296.55°

Por lo tanto, la forma polar de Z es

233.13°

y

-3 x

-4

Z=-3-4i

𝑍 = 5(𝑐𝑜𝑠 296.55° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 296.55°)


296.55°

y

1 x

- 2 Z=1 -2i

1.5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de

un numero complejo

Para hallar la potencia enésima de un número complejo, utilicemos la formula

𝑍𝑛 = 𝑍 𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑛 ∙ 𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑛 ∙ 𝜃 )

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, nos da un

algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia de cualquier número complejo en

forma polar.

Ejemplo 1. Sea 𝑍 = 2(𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖𝑠𝑒𝑛30°). Calcule la potencia de orden cinco de

este número, es decir Z5.

Solución.

Usando la ecuación anterior, tenemos que:

𝑍5 = 2 5(𝑐𝑜𝑠(5 ∙ 30°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 5 ∙ 30° )

𝑍5 = 32(𝑐𝑜𝑠150° + 𝑖𝑠𝑒𝑛150°)

Ejemplo 2. Calcular Z6, donde Z = 3 + 4i

En primer lugar, llevamos Z a la forma polar. Para hallar el módulo hacemos

𝑍 ] = 32 + 42 = 25 = 5

Por otro lado, el ángulo viene dado por

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4

3= 53.13°

Por lo tanto, tenemos a Z en forma polar

𝑍5 = 56(𝑐𝑜𝑠(6 ∙ 53.13°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 6 ∙ 53.13° )

𝑍6 = 15625(cos318.78° + 𝑖𝑠𝑒𝑛318.78°)

Finalmente, llevamos este resultado a la forma cartesiana

𝑍6 = 15625(0.7522 − 𝑖0.6590)

𝑍6 = 11753.12 − 𝑖10296.12

Para encontrar las raíces de un número complejo se realiza el siguiente

procedimiento:

Sea 𝑍 = 𝑍 (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃), entonces

𝑍𝑛

= 𝑍 1𝑛 cos

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛 + 𝑖𝑠𝑒𝑛

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛

Ejemplo 1. Hallar todas las raíces cúblicas de 𝑍 = 8(𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖𝑠𝑒𝑛30°)

Solución. Usando la formula anterior se tiene que:

𝑍3

= 8 13 cos

30° + 2𝑘𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑒𝑛

30° + 2𝑘𝜋

3

Con K=0,1,2.

Sustituyendo estos valores de k en la expresión de arriba nos da las tres raíces cubicas

𝑍1 = 2 𝑐𝑜𝑠10° + 𝑖𝑠𝑒𝑛10° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0

𝑍2 = 2 𝑐𝑜𝑠130° + 𝑖𝑠𝑒𝑛130° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1

𝑍3 = 2 𝑐𝑜𝑠250° + 𝑖𝑠𝑒𝑛250° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 3

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una

circunferencia con centro en el origen y radio 2. Además todas ellas están a la misma

distancia de las otras, forman los vértices de un triangulo equilátero.

Z2

Z1

Z3

Ejemplo 2. Hallar todas las raíces sextas de la unidad

Solución. Usando la formula anterior se tiene que:

1 = 1 ∙ (𝑐𝑜𝑠0° + 𝑖𝑠𝑒𝑛0°)

Luego hallamos las raíces sextas por la siguiente ecuación

16

= 1 16 cos

0° + 2𝑘𝜋

6 + 𝑖𝑠𝑒𝑛

0° + 2𝑘𝜋

6

Con K=0,1,2,3,4 y 5

Estos valores de k nos dan las seis raíces

𝑍1 = 1 𝑐𝑜𝑠0° + 𝑖𝑠𝑒𝑛0° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0

𝑍2 = 1 cos 6 0° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 60° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1

𝑍3 = 1 𝑐𝑜𝑠 120° + 𝑖𝑠𝑒𝑛120° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 2

𝑍4 = 1 𝑐𝑜𝑠180° + 𝑖𝑠𝑒𝑛180° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 3

𝑍5 = 1 𝑐𝑜𝑠240° + 𝑖𝑠𝑒𝑛240° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 4

𝑍6 = 1 𝑐𝑜𝑠300° + 𝑖𝑠𝑒𝑛300° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 5

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un

hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

Z3

Z1

Z5

Z2

Z6

Z4

x

y

1.6. Ecuaciones polinómicas

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma

𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Donde nϵN0 y an, an-1,…,a1,a0 son números reales, que denominamos coeficientes y si

cada polinomio se asocia a una única función definida por:

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociarle un polinomio.

Llamamos a la función p(x) función polinómica y si esta tiene raíces complejas se dice

que la función polinómica es compleja.

Ejemplo 1. Considérese la ecuación 5230 2 xx

ix

x

x

x

x

x

i

a

acb

ab

25.133.

33.

33.

6

56

6

56

6

604

62

)3(2

)5)(3(4)(2

)3(22

2

4

2

2

2

La solución es aproximadamente

ixóix 25.133.25.133.

EJERCICIOS

1. Escribe en forma polar el resultado del cociente: i i

i

5 8

2

2. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos es 5. Calcula ambos números.

3. La suma de dos números complejos es 3 i y la parte real de uno de ellos es 2. Determina dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro.

4. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad: 4 2

36 2

m i

nii

.

5. Calcula las partes reales e imaginarias de:

a) 3 2

2

i

i b)

1

1 5( ) i c)

4

1 3

i

i d)

1 3

2

i

i

e) 3 2

2 3

i

i f)

5 5

3 4

i

i g)

1

2 3

2

1 3

5 2 3

2 3

i i

i

i

/

h) ( )( )1 1 i i i i) ( )( )5 1 5 i i j) ( )( )( )( )1 2 3 3 2 2 i i i i

k) ( )1 4 i l) ( )2 5 3 i m) ( )3 2 3 i n) i 3459

o) ( )

( )

1

1

5

5

i

i p)

1

1 6( ) i q)

( )( )

( )

1 1

1 2

4

3

i i

i r)

6 2 1 2

3

2i i i

i

( )( )

6. Sean z y w dos números complejos cualesquiera. Comprueba la igualdad z w z w ___

.

7. Dados los números complejos z14

5 , z2 152 º y z i3 4 , calcula

a) z z3 2 b) z

z

1

2

2( ) c)

z z

z

1 2

3

3

d) z z1 2 e) ( )

( )

z

z z

1

3

2 3

2 f) z

z

z3

1

2

8. Sea zki

i

3

1. Calcula el valor de k para que arg( )z

4

9. Sea )3(3 º30 kiz . Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro.

10. Sea zk i

i

2. Calcula el valor de k para que | |z 2 .

11. Sea i

ikz

2. Calcula el valor de k para que iz 2 .

12. Sea z i ki ( )( )3 6 4 . Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario

puro.

13. Sea z i ki ( )( )3 6 4 . Calcula el valor de k para que z sea un número real.

14. Escribe una ecuación de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es z i 2 3 . 15. Escribe una ecuación de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es z i 3 .

16. Utilizando la Fórmula de Moivre halla las expresiones de sen 3 y cos 3 en función

de sen y cos .

17. Recurriendo a la fórmula de Moivre, expresa sen 5 y cos 5 en función de sen y

cos .

18. ¿Es posible dividir un segmento de longitud 10 en dos cuyas longitudes tengan su producto igual a 40?

19. Sea z 3 i . Calcular: a z b) 1

zc z d z4) ) )4

20. Contesta verdadero o falso: • Si se multiplican dos números complejos que no son reales, no se obtiene nunca un número real. • El cuadrado del conjugado de z es igual al conjugado del cuadrado de z. • Si dos números complejos tienen las mismas raíces cúbicas, entonces dichos números son iguales. • Un número complejo imaginario puro no tiene ninguna de sus raíces cúbicas imaginaria pura.

Justifica las respuestas.

21. Representa gráficamente las soluciones de las ecuaciones:

a) x x2 4 13 0 b) x2 16 0

22. Las raíces de una ecuación de segundo grado son x i1 3 4 y x i2 3 4 . Halla la

ecuación.

23. Halla los módulos y los argumentos principales de los números complejos:

a) 4–3 i b) 5+12 i c) –3+3 i d) 2 4i

24. Expresa en forma trigonométrica los complejos:

a) 3 3 3i b) 1 i c) 6 5 i d) –9–8 i

25. Expresa en forma binómica los siguientes complejos:

a) 7120º b) 2 6/ c) 33 4/ d) 5135º

26. Determina las formas polar y trigonométrica de los números:

a) 2 3 2 i b) 3 3 3 i c) 4 4i d) 7 7 i

27. Escribe en forma binómica y en forma de par el cociente de los números 6120º y 3 3/ .

28. Si z i 3 3 , halla el número complejo que tiene igual módulo que z y cuyo argumento es:

a) arg( )z b) arg( )z

4 c) 3arg( )z

29. Hallar los números complejos tales que z z 1.

30. Dados z i1 1 3 y z i2 2 , hallar un número complejo w tal que:

a) w z z 1 2 b) arg( )arg( ) arg( )

wz z

1 2

2

Representa z z w1 2, .y

31. Halla el módulo, el argumento y después la forma binómica de cada uno de los siguientes números complejos:

a) 3 245 15º º b) 1 2 333 16 41º º º c) 5 323 97º º d) 9 337 97º º:

e) 2 1106 61º º: f) 6 221 24 º º: g) ( )º º2 325

3

15 h) ( ) :( )º º2 451

4

72

2

i) ( ) :( )º º1 245

18

90

3 j) 26

i k) 3 38

i l) 2 210

i

32. Calcula el resultado de las siguientes operaciones, y escríbelos en todas las formas que conoces:

a) ( )( )1 1

2 2 3

5

i i

i b)

2

1 3

2

1 3

2

1

i i i

33. Escribe en todas las formas que conoces las soluciones de la ecuaciones:

a) x i x2 2 0 b) x i x x3 22 2 0 c) x2 2 0

d) x x3 3 0 e) x x2 1 0 f) x x2 4 13 0 g)

x x2 2 5 0 h) x x2 2 2 0 i) 012 zz j) z

z ii

3

21 k)

z

i

z

i2

1

4 23

l)

z

i

z

ii

3 2 4 23

m) 0732 zz n) z

i

z

ii

12

o) i

iz32

1

21

p) 1

3 2 3

i

zi i( )

34. Un cuadrado tiene sus vértices por encima del eje real. Si dos vértices consecutivos del cuadrado son z i1 2 y z i2 5 3 , halla los otros dos vértices.

35. Un triángulo equilátero tiene dos de sus vértices en (0,0) y (4,1). Halla las coordenadas del tercer vértice sabiendo que está en el primer cuadrante.

36. Halla las siguientes raíces:

a) 13 i b) i3 c) 646 d) 273

37. Calcula las raíces cuartas de –1 y de i.

38. Calcula y representa: 1

13

i

i

39. Una raíz cuarta de un número complejo es 1 i . Calcula dicho número y sus restantes raíces cuartas.

40. Calcula las raíces cúbicas de:

a) ( ) ( )

( )

1 1

1 2

4

3

i i

i b)

i i

i

5 8

2

c)

2 2

1 3

i

i

d) i i

i

3 4

2 e)

3

1

i

i f)

i

i

3

1 g)

i

i

2

1

41. Calcula las raíces cuartas de 2 i y represéntalas gráficamente.

42. Calcula las raíces quintas de 1 2

2

i

i.

43. Halla todos los números complejos de módulo unidad tales que sus raíces cuartas están situadas en las bisectrices de los ejes real e imaginario.

44. Una raíz cúbica de un número complejo es 1 i . Halla dicho número complejo y sus otras dos raíces cúbicas.

45. Halla el número complejo cuyas raíces cúbicas tienen módulo 1 y están situadas en los vértices de un triángulo:

que tiene un vértice sobre la parte positiva del eje real.

que tiene un vértice sobre la parte negativa del eje imaginario.

que no tiene ningún vértice sobre los ejes.

46. De un pentágono regular centrado en el origen conocemos un vértice que es el

punto ( , )1 3 . Calcula los restantes vértices.

47. Calcula:

a) 32

5

i b)

i i

i

5 8 5

2

c)

5

2

1

i

i

d) ( ) ( )1 3 33 i i e) 3 22 i

f) 4 388 i g)

4

3

1

i

i h)

4

1

3

i

i

48. Probar que la suma de los ángulos de un triángulo es .

2.1. Definición de sistemas de ecuaciones lineales

1. INTRODUCCIÓN.

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones

lineales, haciendo abstracción del tipo de problemas que origina su planteamiento.

Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de

tenerla, saber si es única o si no lo es.

Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones).

Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3

incógnitas ...) ya se han estudiado en Bachillerato. Aquí, analizaremos el caso general:

cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitas.

2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones

algebraicas de la forma:

c = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c = x a + . . . + x a + x a

c = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

] 1 [

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).

ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

UNIDAD II

“SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.

Los escalares aij y ci son números reales.

El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de

incógnitas.

Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

0 = t + z 3 -y +x

1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.

El término independiente de la misma es el 2.

3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.

Solución de un sistema. Es cada conjunto de valores que satisface a todas

las ecuaciones.

Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).

Dado el sistema:

0 = t + z 3 -y +x

1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

Una solución suya es x=6

1; y=

3

4 -; z=0; t=

6

7. Compruébese.

[MATEMATICAS IV] 1 de junio de 2009

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE APATZINGAN CIENCIAS BASICAS 1

2.2. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones

lineales y tipos de solución

Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:

1. Incompatible. No tiene solución.

2. Compatible. Tiene solución.

a. Compatible determinado. Única solución.

b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

8 =y 2 + x 2

3 =y +x incompatible. No tiene solución.

1 =y -x

3 =y +x compatible determinado. Única solución.

6 =y 2 + x 2

3 =y +x compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de

tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o

incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.



2.3. Interpretación geométrica de las soluciones .......................... 3



2.4. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

(Gauss – Jordan, Eliminación Gaussiana)

NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.

Consideremos un sistema escrito en forma clásica.

c = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c = x a + . . . + x a + x a

c = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

En él se pueden considerar las siguientes matrices:

a...2a1a

. . .. . .. . .. . .

a...aa

a...aa

=A

mnmm

n22221

n11211

c a. . .2a1a

. . . . . .. . .. . .. . .

c a. . .aa

c a. . .aa

= B

mmnmm

2n22221

1n11211

x

. . .

x

x

= X

n

2

1

c

. . .

c

c

= C

m

2

1

A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de

orden mx(n+1).

El sistema original se puede escribir en forma matricial así: C = X A



Si en el sistema clasico consideramos las siguientes matrices:

a

. . .

a

a

= A

1m

21

11

1

a

. . .

a

a

= A

2m

22

12

2 . . .

a

. . .

a

a

= A

mn

n2

n1

n

c

. . .

c

c

= C

m

2

1

El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:

C = x A + . . . + x A + x A nn2211

En esta notación, las soluciones de un sistema son los vectores de la forma:

S=(s1, s2, ..., sn)ϵRn

y se verifica la siguiente relación: A1·s1 + A2·s2 + ... + An·sn = C



Consideremos el sistema:

4 = z +y 5 - x 3

0 = z 2 -y 4 +x

6 = z +y - x 2

15 -3

2 -41

11 -2

=A

4 15 -3

0 2 -41

6 11 -2

= B

A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada

de orden 3x4.

El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

Forma matricial:

15 -3

2 -41

11 -2

z

y

x

=

4

0

6

Forma vectorial:

3

1

2

x +

5 -

4

1 -

y +

1

2 -

1

z =

4

0

6

En el sistema:

7 = t 2 + z +y +x

4 = t - z 2 +y +x

8 - = t + z 3 -y 2 + x 3

el vector s=(-1,1,3,2) es solución,

ya que se verifica:

1

1

3

(-1) +

1

1

2

(1) +

1

2

3 -

(3) +

2

1 -

1

(2) =

7

4

8 -

. Compruébese.



B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.

Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior con las ecuaciones del

sistema, podríamos realizarlas en la matriz ampliada del sistema, así surge el:

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de

resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un

sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz

escalonada por filas.

Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.

1. Resolvamos el sistema:

2 = z 2 +y - x 5

3 = z +y 3 + x 2

1 = z -y +x

Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la

columna de los términos independientes:

2 21 -5

3 132

1 1 -11

(a)

3 - 76 -0

1 310

1 1 -11

(b)

3 2500

1 310

1 1 -11



(a) las operaciones realizadas son:

Para el segundo renglón [0 1 3 1] = (-2)[1 1 -1 1] + [2 3 1 3],

Para el tercer renglón [0 -6 7 -3] = (-5)[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2]

(b) las operaciones realizadas son:

Para el tercer renglón [0 0 25 3] = 6[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

3 = z 25

1 = z 3 +y

1 = z -y +x

Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z=25

3, y=

25

16, x=

25

12.

Se trata de un sistema compatible determinado.


2 = t 2 + z 2 +y -x

4 = t 3 + z 5 + x 2

8 = t - z 11 +y 3 + x 3

La matriz ampliada es:

2 221 -1

4 3502

8 1 -1133

Intercambiando la primera fila con la tercera queda:

8 1 -1133

4 3502

2 221 -1

(a)

2 7 -560

0 1 -120

2 221 -1

(b)

2 4 -200

0 1 -120

2 221 -1



Las operaciones realizadas en cada inciso son:

(a) [0 2 1 -1] = (-2)[1 -1 2 2] + [2 0 5 3]

[0 6 5 -7] = (-3)[1 -1 2 2] + [3 3 11 -1]

(b) [0 0 2 -4] = (-3)[0 2 1 -1] + [0 6 5 -7]

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

2 = t 4 - z 2

0 = t - z +y 2

2 = t 2 + z 2 +y -x

Resolvemos la última ecuación, z=1+2t; si hacemos t=α, queda: z=1+2α;

y=2

1 --

2

; x=

2

1 --

2

13; t=α.

Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al

parámetro α.

Es un sistema compatible indeterminado.




1 = z 8 +y 4 + x 2

3 = z 4 +y 2 +x

2 - = z +y -

La matriz

ampliada es:

1 842

3 421

2 - 11 -0

Intercambiamos las dos primeras filas queda:

1 842

2 - 11 -0

3 421

(a)

5 - 000

2 - 11 -0

3 421

Las operaciones realizadas son:

(a) [0 0 0 -5] = (-2)[1 2 4 3] + [2 4 8 1]

Luego el sistema nos ha quedado de la siguiente forma:

5 - = 0

2 - = z +y -

3 = z 4 +y 2 +x

Se observa que el sistema es incompatible o dicho de otra manera sin

solución.



Ejercicios.

1. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve los sistemas:

a)

4 = z +y -x

3 =y + x -

2 = z +x

0 = z -y 2 + x 3

b)

1 = z -y 2 + x -

0 = z +y +x

1 - = t + z -y + x 2

Solución. a) Incompatible. b) x=9

5 -

3

-, y=

3

1, z=

9

2 +

3

, t=α.

Otra forma de ver la eliminación de Gauss-Jordan. Una matriz está escrita en forma escalonada reducida por renglones si cumple las condiciones: i) Si hay un renglón que consta completamente de ceros, deberá estar en la

parte inferior de la matriz.

ii) Si un renglón no consta completamente de ceros, el primer numero diferente de cero de cada renglón (Empezando por la izquierda), deberá ser 1(Llamado 1 principal).

iii) Si dos renglones consecutivos tienen elementos diferentes de cero, entonces el 1 principal del renglón de inferior está más a la derecha que el 1 principal del renglón superior.

iv) Cada columna que contenga un 1 principal, tiene ceros en todas las demás posiciones de dicha columna.

La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un

sistema de ecuaciones lineales consiste en convertir la matriz aumentada en una

matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la

solución del sistema.



Ejemplo 1:

Encuentra la solución del sistema

Solución: Escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones se tiene

El sistema equivalente obtenido tiene la forma

Por lo tanto la solución del sistema es:



Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solución: Escribiéndolo en la forma escalonada reducida por renglones:

Despejando la primera incógnita de cada una de las ecuaciones:

Puede observarse que el valor de estas incógnitas dependen del valor que se le

asigne arbitrariamente a , por lo tanto el sistema es consistente indeterminado, pues tiene un número infinito de soluciones que están

representadas por



2.5. Aplicaciones .............................................................................. 3



3.1. Definición de matriz, notación y orden

Una matriz es un arreglo rectangular de números, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas.

Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo:

Así el elemento será aquel localizado en la fila "i" y en la columna "j".

Los vectores son formas especiales de las matrices. Si m > 1, pero n = 1, la matriz se convierte en:

Con una sola columna, y se denomina vector columna.

UNIDAD III

“MATRICES Y DETERMINANTES”



Pero si la matriz es de m = 1 y n > 1 se convierte en vector fila.

Cuando solo hay una columna o una sola fila no es necesario utilizar dos subíndices, con un solo subíndice es suficiente.

3.2. Operaciones con matrices (suma, resta, producto, producto

de un escalar por una matriz)

Operaciones Básicas entre vectores

Igualdad

Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.

Definición 1

Consideremos los vectores y

. Decimos que si y sólo si

.

EJEMPLO 1

Sea y , entonces .



Suma y resta

La suma y resta se hace componente a componente

Definición 2

Consideremos los vectores y

.

EJEMPLO 2

Sea y , entonces

suma de vectores



resta de vectores

Multiplicación por un escalar

Un escalamiento de un vector, por un factor , se logra multiplicando cada componente por el mismo número real

Definición 3

Consideremos el vector y el escalar , entonces



EJEMPLO 3

Sea entonces

. multiplicación por un escalar



Propiedades de los vectores

TEOREMA 1

Consideremos el vector y entonces

1.

2. 3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

EJEMPLO 4



OPERACIONES ENTRE MATRICES

SUMA Y RESTA:

Podemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si ambas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y filas). Como los vectores son una forma especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores. Sea

la suma y resta de matrices del mismo tamaño esta definida por:

donde es una matriz con

ejemplo:



PRODUCTO VECTORIAL Y MATRICIAL Sea;

y dos n-vectores;

entonces el producto de (producto escalar), esta dado por:

Debido a la notación empleada , el producto escalar de dos vectores a menudo recibe el nombre de producto punto o producto interno de los vectores. Se puede advertir fácilmente que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar. A fin de que se puede hacer el cálculo del producto escalar de A y B es necesario que A y B tengan el mismo número de componentes.

El producto escalar entre vectores cumple con lo siguiente:

Sean a, b y c n-vectores y un escalar. Entonces:

1.-

2.- (Ley conmutativa del producto escalar)

3.- (Ley distributiva del producto escalar)

4.-

PRODUCTO ENTRE DOS MATRICES: Suponga que B y C son matrices. Si el número de columnas de A y el número de filas de B son idénticas, las matrices pueden multiplicarse como:

Donde es una matriz que representa el resultado de la multiplicación. Los elementos de C están relacionados con los de A y B por:

Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:



El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r , entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice que las matrices son conmutativas.

Ejemplo de productos entre matrices. Sea:

Encontrar C = AB



Obtenemos así que:



3.3. Clasificación de las matrices triangular superior, triangular

inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica,

nilpotente, idempotente, involutiva, transpuesta simétrica,

antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana,

ortogonal

TIPOS DE MATRICES.

a. Matriz fila. Es toda matriz de orden 1xn.

4 03-52 =A . A es de orden 1x5.

b. Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.

4

5 -

7

=A . A es de orden 3x1.

c. Matriz nula. Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos

por (0).

Son matrices nulas:

00

00 =A ,

000

000 = B , ...

d. Matriz vertical. Es aquella en la que m>n.



85

13

02

=A .

e. Matriz horizontal. Es aquella en la que m<n.

107

532 =A .

f. Matriz opuesta de A. Es la que tiene por elementos los opuestos de los

elementos de A. La denotaremos por -A. Si A=(aij), -A=(-aij).

Si

765 -

01 -3 =A

7 -6 -5

013 - =A - .

g. Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A cambiando filas

por columnas sin alterar su orden de colocación. La denotaremos por At.

Si A=(aij), At=(aji). Si A es de orden mxn, At será de orden nxm.

Si

876

543 =A

85

74

63

= At . A es de orden 2x3. At es de

orden 3x2.



h. Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que

columnas. Es decir m=n. En ellas podemos distinguir:

La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann.

La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.

987

654

321

=A . Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria:

3,5,7.

i. Submatriz de una matriz A. Es toda matriz A' obtenida suprimiendo p

filas y q columnas en A. Si A es de orden mxn, A' será de orden (m-p)x(n-

q).

45209

18645

07321

=A . Suprimiendo en AM3x5 la fila 3 y las

columnas 4 y 5, obtenemos

645

321 = A ,

submatriz A'M2x3.



TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.

1. Diagonales. Son aquellas que tienen todos sus elementos nulos excepto

los de la diagonal principal, los cuales pueden ser nulos o no.

50

07 ,

500

010

003

,

900

000

004 -

.

a. Escalares. Son las diagonales con todos los elementos de la diagonal

principal iguales.

20

02 ,

500

050

005

.

b. Unidad o identidad. Es una diagonal escalar con el número 1 en

todos los lugares de la diagonal principal. Se denota por In.

10

01 = I 2 ,

100

010

001

= I 3 .

2. Triangulares. Son aquellas en las que son nulos todos los elementos que

están por encima o por debajo de la diagonal principal.

a. Triangular superior. Si son nulos los elementos por debajo de la

diagonal principal. Es decir: aij=0 para i>j.



a...000

. . .. . .. . .. . .. . .

a...a00

a...aa0

a...aaa

=A

nn

n333

n22322

n1131211

,

400

730

815

= B .

b. Triangular inferior. Si son nulos los elementos por encima de la

diagonal principal. Es decir: aij=0 para i<j.

a...3a2a1a

. . .. . .. . .. . .. . .

0...aaa

0...0aa

0...00a

=A

nnnnn

333231

2221

11

,

216

075

004

= B .

3. Simétricas. Son las matrices A tales que At=A. Es decir: aij=aji para todos i,

j.

A = 43

32 =A t

B =

643

452

321

= B t

.

Antisimétricas. Son las matrices A tales que At=-A. O sea: aij=-aji para todos i,j.

03 -2 -

301 -

210

=A es antisimétrica, pues A - =

032

3 -01

2 -1 -0

= At

.

Observación. En las matrices antisimétricas los elementos de la diagonal

principal son nulos.



Regulares o invertibles. Son las que tienen inversa respecto al producto de

matrices. Es decir: A es regular si existe su inversa A-1 y por tanto: AA-1 =

A-1A = I.

53

21 =A su inversa es

1 -3

25 - = A

1- .

341

431

321

= B su inversa es

2

1 -

1

2

1 -

2

10

2

1 -

2

13 -

2

7

= B1 - .

Matriz escalonada. Es toda matriz en la que el número de ceros que precede

al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor

que el de la precedente. Puede ser escalonada por filas o escalonada por

columnas.

Escalonadas por filas. En ellas:

a110.

ai1=0 para i=2,3,...,m.

ai2=0 para i=3,4,...,m.

.......................

aim=0 para i=m+1,...,m.



6400

8570

4321

=A .

┌ 1 2 3 4 5 ┐

│ 0 7 4 2 0 │

│ 0 0 5 6 3 │

└ 0 0 0 4 8 ┘

Escalonadas por columnas. En ellas:

a110.

a1i=0 para i=2,3,...,n.

a2i=0 para i=3,4,...,n.

.......................

ami=0 para i=m+1,...,n.

0453

0072

0001

= B .

┌ 1 0 0 0 0 ┐

│ 2 8 0 0 0 │

│ 3 0 2 0 0 │

└ 4 5 9 4 0 ┘



Regulares o invertibles. Son las que tienen inversa respecto al producto de

matrices. Es decir: A es regular si existe su inversa A-1 y por tanto: AA-1 =

A-1A = I.

53

21 =A su inversa es

1 -3

25 - = A

1- .

341

431

321

= B su inversa es

2

1 -

1

2

1 -

2

10

2

1 -

2

13 -

2

7

= B1 - .

Singulares. Son las que no tienen inversa respecto al producto de matrices.

00

21 y

987

654

321

no tienen inversa.

Ortogonales. Son las matrices A tales que AAt=I, es decir, A-1=At.

sen cos -

cossen

y

100

010

001

son ortogonales. Compruébese.



Idempotentes. Son las matrices A tales que A2=A.

10

01 y

100

010

001

son idempotentes. Compruébese.

Involutivas. Son las matrices A tales que A2=I.

10

01 y

100

010

001

son involutivas. Compruébese.

MATRIZ CUADRADA:

Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de "n x n".

MATRIZ NULA:

Todos los elementos de la matriz son cero.

MATRIZ IDENTIDAD:

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son

"1"; mientras que todos los demás elementos son cero.

Esto es:

MATRIZ TRANSPUESTA:

La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de

las columnas y las columnas en el lugar de las filas. Así si ,

.



Por ejemplo:

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:

Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal

principal son ceros, esto es:

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arriba de la diagonal

superior son cero; esto es:



3.4. Calculo de la inversa de una matriz

Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que

AB = In = BA

entonces B se llama inversa de A y se denota con 1A . (Se lee “A inversa”)

Si a es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si

A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla.

3.5. Definición de determinante de una matriz

En el caso de determinantes de una fila por una columna, el determinante es igual al número con su signo.

En el caso de determinantes de dos filas por dos columnas, ya lo hemos visto: es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

En el caso de tres filas por tres columnas:



3.6. Propiedades de los determinantes

Propiedades de los determinantes.

1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta :

2º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

3º si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes:

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm#matriztraspuesta



4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices:

5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su determinante cambia de signo.

6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero.

7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía.

Menor complementario de un elemento

El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por Mij.

Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :

Adjunto de un elemento

Es el menor complemantario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por Aij



Desarrollo de un determianante por los elementos de una linea.

El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una linea (fila o columna) por sus adjuntos.

Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una linea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular.

Para desarrollar por una linea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad nº 7, hacer ceros todos los elementos de esa linea menos uno.

Ejemplo:

lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aqui, que si multiplicamos la linea a la que sumamos la combinación lineal de las demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número.

Para hacer ceros, procedemos así:



El determinante de tres por tres que queda, sabemos como desarrollarlo. Se puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una linea, sólo tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás desaparecen al estar multiplicados por cero

3.7. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

Ejemplo:

Inversa de una matriz 2 x 2

Método I:

TEOREMA:

2221

1211

aa

aaA

Si el determinante de A no es cero el inverso multiplicativo de A es:

1121

12221 1

aa

aa

AA

Calcula la 1A



343

215

321

A

Solución

Primero calculamos la determinante de A

343

215

321

A

2203615283

42

153

33

252

34

211A

10366425

Segundo calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.

534

21)1( 11

11

A 21

33

25)1( 21

12

A 17

43

15)1( 31

13

A

634

32)1( 12

21

A 12

33

31)1( 22

22

A 2

43

21)1( 32

23

A

121

32)1( 13

31

A 13

25

31)1( 23

32

A 9

15

21)1( 33

33

A



Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .

9131

2126

17215

B adjABT

9217

131221

165

Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así:

9217

131221

165

103

11

332313

322212

312111

1

AAA

AAA

AAA

AA



Ejemplo: encontrar 1A

41

53A

Primero encuentro el determinante de A:

75121543 A

Segundo calculo la adj A

Cofactores de A

41

53A

411 A 112 A

521 A 322 A

Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la

adjA .

35

14B adjABT

31

54

Cuarto aplicas el teorema

2212

21111 1

AA

AA

AA

7

3

7

17

5

7

4

31

54

7

11A



Comprobamos la respuesta:

AAIAA 1

2

1

10

01

7

3

7

17

5

7

4

41

53

17

7

7

5

7

12

7

15

7

4311

a 0

7

0

7

15

7

15

7

35

7

5312

a

07

0

7

4

7

4

7

14

7

4121

a

1

7

7

7

12

7

5

7

34

7

5122

a



3.8. Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de

la inversa

Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.



3.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de

la regla de Cramer

Teorema: Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variables

Dado el sistema :

entonces:

Nota: El determinante D es el determinante de la matriz coeficiente. Si D es diferente de cero, entonces el sistema tiene exactamente una solución. Por otro lado, si D = 0, entonces el sistema tiene infinito número de soluciones o ninguna solución. Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:

Nota: La regla de Cramer no se puede usar para resolver sistemas donde el número de variables no sea igual al número de ecuaciones. Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:

a x a y k

a x a y kcon D

a a

a a

11 12 1

21 22 2

11 12

21 22

0

,

x

k a

k a

Dy y

a k

a k

D

1 12

2 22

11 1

21 2.

3 5 2

4 3 1

x y

x y

2 0

1

x y

x y



Teorema: Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables Dado el sistema:

entonces:

. Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:

Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:

a x a y a z k

a x a y a z k

a x a y a z k

con D

a a a

a a a

a a a

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

,

x

k a a

k a a

k a a

Dy

a k a

a k a

a k a

Dz

a a k

a a k

a a k

D

1 12 13

2 22 23

3 32 33

11 1 13

21 2 23

31 3 33

11 12 1

21 22 2

31 32 3

x y

y z

x z

2

3 4

3

x y z

x y z

x y z

4

2 8

2 3



EJERCICIOS

Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.

1)

32

51 2)

43

12 3)

97

32 4)

64

32

5)

63

126 6)

43

18

EJERCICIOS

Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.

1)

010

101

011

2)

112

201

121

3)

511

832

521

4)

471

642

853

5)

356

344

122

6)

201

243

121



3.10. Aplicación de matrices y determinantes

EJERCICIOS CORRESPONDIENTES A APLICACIONES

1. Dibuje un diagrama semejante al que se presentó en el ejemplo de las comunicaciones, que corresponda

a la matriz:

RECEPTOR

E 1 2 3 4

M 1 0 0 0 0

C = I 2 0 0 1 0

S 3 0 0 0 1

O 4 0 0 0 0

R

a) Calcule: i) C 2 ii) C 3 iii) C + C 2 + C 3

b) Verifique en el gráfico Por ejemplo, hay una flecha de 2 a 3 y no la hay de 2 a 1) que C 2 si es la

matriz de las comunicaciones utilizando exactamente un relevo y C 3 la de las comunicaciones con

exactamente dos relevos. Distribuya los números 1,2,3,4 en un espacio tal que le permita trazar flechas

entre aquellos que están comunicados directamente (tienen un 1 en la intersección fila, columna de A).

Verifique además que C + C 2 + C 3 es la de las comunicaciones con a lo más dos relevos.

c) Encuentre matricialmente de cuántas maneras puede llegar la señal de la estación 4 a la estación 2

utilizando a lo más dos relevos. Dé la lista a partir del gráfico de todas las cadenas que cumplen tal

función.

2. Suponga que cuatro personas tienen establecido un tráfico de influencias de acuerdo con la figura

siguiente:



1 2

3 4

a) Escriba la matriz que muestra el número de maneras en las cuales una persona puede influenciar a otra

utilizando a lo más un intermediario.

b) Ordene a las personas de acuerdo con el número total de canales de influencia que puede ejercer

utilizando a lo más un intermediario.

3. Una fabrica de automóviles aconseja rotar las llantas después de cada 10.000 kmts., tal como se indica en

el diagrama siguiente:

TRASERA IZQ. DELANTERA IZQ.

REPUESTO

TRASERA DER. DELANTERA DER.

Escriba un ensayo corto sobre cómo el álgebra de matrices puede ser utilizada para determinar la posición

ocupada por una llanta al cabo de n rotaciones.

4. Teniendo en cuenta la matriz de transición presentada en el ejemplo teórico de ésta sección, conteste las

siguientes preguntas:

a) Qué porcentaje de quienes pertenecían originalmente al partido 3, votarán de nuevo por el

partido 3 en la segunda siguiente elección?.

b) Cuál partido retendrá mayor porcentaje de sus votantes originales en tal elección a partir del

estado inicial?



c) Qué porcentaje de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido 3 en tal elección?.

5. Suponiendo que el flujo de votantes (matriz de transición) se mantuviese inalterable año por año, verifique

que:

a) El 50% de los votantes iniciales del partido 1 votarán de nuevo por el partido 1 en la siguiente

tercera elección.

b) Aproximadamente el 50% de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido 1 en la

siguiente tercera elección.

6. Tres compañías A, B y C, introducen nuevas marcas de crema dental simultaneamente en el mercado.

Inicialmente el mercado está repartido así: A posee el 40%, B el 20% y C el 40%.

Durante el primer año, la compañía A retiene el 85% de sus clientes, pierde el 5% con B y el 10% con la

compañía C. La compañía B retiene el 75% y pierde el 15% con A y el 10% con C. La compañía C retiene

el 90% y pierde el 5% con A y el 5% con B. Asuma que los hábitos de consumo no cambian. Como estará

repartido el mercado en porcentajes al final del 1ro. y 2do. años?.

7) Asuma que las personas, de acuerdo con el trabajo que desempeñan y el grado de calificación, se dividen

en profesionales, trabajadores calificados y trabajadores no calificados. Asuma que el 70% de los hijos de

profesionales son profesionales, 20% trabajadores calificados y 10% no calificados. De modo similar

suponga que el 60% de los hijos de trabajadores calificados son trabajadores calificados, 20%

profesionales y 20% no calificados. Asuma además que 89% de los hijos de los trabajadores no

calificados son trabajadores no calificados, 10% son calificados y 1% son profesionales. Asuma que la

matriz de transición permanece constante. Muestre que las fracciones de los nietos de los trabajadores no

calificados que son profesionales, calificados y no calificados son (aproximadamente) 0.04, 0.15, y 0.81

respectivamente.

8. Con ayuda de un computador compruebe que si las relaciones dadas en el problema 7 se conservan por

más de 40 años, cada nueva generación estará discriminada (aproximadamente) así: profesionales

17.65%, trabajadores calificados 23.53% y trabajadores no calificados 58.82%.



4.1. Definición de espacio vectorial y sus propiedades

Definición 1

Sea V un conjunto sobre el cual se definen dos operaciones, a saber:

1.) Adición

Si V y V, entonces V

2.) Multiplicación escalar

Si y V, entonces V.

V se dice que es un espacio vectorial real para las operaciones definidas

anteriormente, si estas cumplen las siguientes propiedades:

a.) , para todo en V.

b.) , para todo en V.

c.) Existe un elemento en V, denotado 0 y llamado vector cero, tal

que para todo en V cumple que .

Para todo en V, existe un elemento en V, denotado , tal

que .

e.) , para todo , y para todo en V

f.) , para todo , y para todo en

V.

g.) , para todo , y para todo en V.

h.) , para todo en .

UNIDAD IV

“ESPACIOS VECTORIALES”



Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre de vectores.

Ejemplos de espacios vectoriales reales:

1. Sea V el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, con entradas en el conjunto

de los números reales, estos es:

Entonces V con las operaciones siguientes es un espacio vectorial.

i. Adición

Sea

y

ii. Multiplicación escalar

Sea

y un número real, entonces:

2. Sea el conjunto formado por todos los polinomios de grado menor o igual que n,

esto es:

Se puede verificar que con las operaciones suma y multiplicación escalar que se definen

a continuación constituye un espacio vectorial.



i. Adición

Sean y dos polinomios en tales que:

Entonces se define:

ii. Multiplicación escalar

Sea

y IR, entonces se define:

3. Se define el conjunto de la siguiente manera:

En se define la suma y la multiplicación escalar de la siguiente forma:



i.) Adición

Sean en tales que , entonces

ii.) La multiplicación escalar

Sea

y , se define:

Se puede verificar que es un espacio vectorial con las dos operaciones definidas

anteriormente.

Dos casos especiales, que se analizarán posteriormente, lo constituyen:



Ejercicios

1. Sean y dos números reales, tales que . Sea el conjunto de las

funciones continuas de valor real definidas en .

En se define la suma de funciones y la multiplicación escalar de la siguiente

forma:

i.) Suma

ii.) Multiplicación escalar

Verifique que , con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial.

2.

Sea el subconjunto de , definido de la siguiente forma:

Verifique que con las operaciones definidas en el punto 1 de este ejercicio es un

espacio vectorial.

3.

Verifique que si se define como

entonces con las operaciones definidas en el punto 2 del ejemplo anterior, no es

un espacio vectorial real.



4.2. Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus

propiedades

4.3. Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia

e independencia lineal

Definición 2

Sean vectores de un espacio vectorial real V. Sea otro vector

en V. Se dice que se puede escribir como combinación lineal de los

vectores si existen números reales tales que

Ejemplo:

Sean y vectores en .

Exprese, si es posible, como combinación lineal de y

Solución

Se tiene que determinar dos números reales, los cuales denotamos y , tales que

De la igualdad anterior se tiene que

De donde se obtiene que

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/index.htm



Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se concluye que y , y por lo

tanto:

Ejemplo:

Sea u = (2, -1, 1) y v = (1, -6, 2)

Determine para qué valores de se cumple que el vector w = (4, , 1) se puede expresar

como combinación lineal de u y v.

El vector w se puede expresar como combinación lineal de u y v si existen y tales que:

(4, , -1) = (2, -1, 1) + (1, -6, 2)

Para resolver este sistema se toma la primera y tercera ecuación:

-3 = 6

= -2

Sustituyendo = -2 en la primera ecuación se tiene que 2 + (-2) = 4, por lo que = 3.

Sustituyendo = 3 y = -2 en la ecuación - - 6 se tiene que -3 - 6(-2) = , se

tiene que = 9.

Respuesta:

El valor de para que w se pueda expresar como combinación lineal de u y v es 9.



Ejercicios


Exprese como combinación lineal de , y .

Dependencia lineal.

Definición 3

Sean vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que

son linealmente dependientes si para cualesquiera números

reales tales que cumplan

entonces existe algún en tal que .

Ejemplo:


Determine si y son linealmente dependientes.

Solución

Supóngase que existen y tales que



Multiplicando la primera ecuación por -2, la segunda por 1 y luego sumándolas, se tiene

Sustituyendo el valor de en la ecuación

Como el sistema de ecuaciones (I) tiene infinitas soluciones, entonces y son

linealmente dependientes, pues, por ejemplo, se puede tomar , de donde y

.

Teorema 1

Sean v1, v2,, v3,,..., vn vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que

v1, v2,, v3,,..., vn son linealmente dependientes si uno cualesquiera de estos

vectores se puede representar como combinación lineal de los otros n – 1

vectores, esto es, si es posible determinar 1, 2, ..., i-1, i+1,..., n tales que

vi = 1v1 + 2v2 + ...+ i-1vi-1 + i+1vi+1 +...+ nvn.

Ejercicios

1. Sean , y vectores en . Determine si son

vectores linealmente dependientes.

2. Sean y vectores en . Utilizando el criterio

anterior, determine si son linealmente dependientes.

Vectores paralelos

Definición



Sean y dos vectores de un espacio vectorial V. Se dice que y son

paralelos, si y son linealmente dependientes, y por el teorema anterior,

se puede decir que y son paralelos si existe un número real tal que

.

Ejercicios

En cada uno de los casos siguientes, determine si cada par de vectores dados son paralelos.

4.4. Base y dimensión de un espacio vectorial

Base de un espacio vectorial

Definición 6

Sean vectores, diferentes del vector cero, de un espacio

vectorial V. Se dice que el conjunto constituye una base de

V, y a su vez se dice que V tiene dimensión , si cumple las siguientes

condiciones:

i.)

Los vectores son linealmente independientes

ii.)

Todos los elementos de V se pueden expresar como combinación

lineal de . Cuando se cumple esta condición se dice



que genera a V.

Ejemplo:

Sean y . Demuestre que constituye una base de .

Solución

i.) y son linealmente independientes

Supóngase que existen y tales que:

Sustituyendo el valor de en , se tiene que .

Como , entonces y son linealmente independientes.

ii) generan a

En este caso se debe demostrar que para cualquier vector en ,existen y

tales que:



Sea que , entonces:

Del sistema de ecuaciones anterior se debe despejar tanto como en términos de

e .

2 = 11 (*)

Sustituyendo el valor de en la ecuación = - + 3 , se tiene que:

= - + 3

11 = -11 + 6 + 3

11 = -11 + 6 + 3

11 = -5 + 3



(**)

Por lo anterior, dado cualquier vector w = ( en IR siempre es posible expresarlo

como combinación lineal de u y v, utilizando (*) y (**), de la siguiente forma:

( (-1, 2) + (3,5)

Por (i) y (ii) se concluye que {(-1, 2), (3, 5)} es una base de IR y por tanto tiene

dimensión 2.

Teorema 4

Sea V un espacio vectorial real de dimensión , entonces:

La base de V no es única.

Todas las bases de V tienen exactamente elementos.

Cualquier subconjunto de V que contenga + 1 vectores es

linealmente dependiente.

Si un conjunto de V tiene vectores linealmente independientes, entonces

es una base de V.

Ejercicios

1.)

Sean y vectores en . Determine si es una base de .

2.)

Sean , y vectores en . Determine si es

una base de .

3.)

Sean , y vectores en . Determine si

es una base de .



4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

4.6. Cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram - Schmidt

Matematicas IV

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