MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc
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8/18/2019 MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc
1/15
Matemáticas
DERIVADAS
Q Q Q( )22 , y x ),( 11 y x P
Q ↓ y∆ P P
x∆
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Definiciones:
Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos Fig! 1"!
Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posici#n límite delas líneas secantes PQ $ siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P$ %a sea por laderec&a o por la i'quierda Fig! 2"!
Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente$ en caso de que e(ista$ de lalínea tangente a la curva en el punto P!
)álculo de la pendiente de una curva )( x f y = en un punto ),( 11 y x P :
*aciendo referencia a la Figura 3$ sea 12 x x xh −=∆= $ entonces h x x += 12 ! +&ora ,ien:)()()()( 111212 x f h x f x f x f y y y −+=−=−=∆ ! Por tanto por las definiciones anteriores$ se tiene
que:
h
x f h x f
x
ym
h x p
)()(límlím 11
00
−+=
∆∆
=→→∆
E-emplos! Encontrar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto indicado:
1 ( ) :7,2;3)( 2 P x x f +=
( )( ) 44lím
4lím
732lím
)2()2(lím
0
2
0
2
00=+=
+=
−++=
−+=
→→→→h
h
hh
h
h
h
f h f m
hhhh p
2 ( ) :2,3;1
4 P
x y
−=
12
2lím
)2(
2lím
)2(
)2(24lím
22
4
lím)3()3(
lím00000
−=+−
=+
−=
++−
=−
+=−+
=→→→→→ hhh
h
hh
h
h
h
h
f h f m
hhhhh p
3 ( ) :3,4;5 P x y +=
0
x
y
x
y
x
y
-
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( )( )( ) ( )
6
1
39
1lím
39lím
39
3939lím
39lím
)4()4(lím
0
0000
=++
=
++=
++++−+
=−+
=−+
=
→
→→→→
h
hh
h
hh
hh
h
h
h
f h f m
h
hhhh p
Definiciones:
Derivada de una funci#n )( x f : Es la funci#n denotada por )( x f ′ % definida por:
h
x f h x f x f
h
)()(lím)(
0
−+=′
→
siempre que el límite e(ista! .eom/tricamente representa la pendiente de la línea tangente a lacurva en cualquier punto de la misma!
Funci#n diferencia,le: 0na funci#n cu%a derivada e(iste dentro de su dominio!
Diferenciaci#n: El proceso de encontrar la derivada de una funci#n!
E-emplos! Encontrar las derivadas de las siguientes funciones:
1 32)( −= x x f ( )[ ] ( )
( ) 22lím2
lím32322
lím3232
lím)(0000
===+−−+
=−−−+
=′→→→→ hhhh h
h
h
xh x
h
xh x x f
2 4)( 3 += x x f
( ) ( ) ( ) 2220
33223
0
33
0333lím
4433lím
44lím)( xh xh x
h
xh xhh x x
h
xh x x f
hhh=++=
−−++++=
+−++=′
→→→3
222)( =−=−= x y xen x x f
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) x xh x xh xh
h
xh xh
xh x xh xh
xh x xh x
h
xh x x f
hhh
hh
−−=
−+−−−
=−+−−
−=
−+−−−−−−
=−+−−
−+−−−−−−=
−−+−=′
→→→
→→
22
1
22
1lím
22lím
22
22lím
22
2222lím
22lím)(
000
00
4
1
42
1)2( −=−=−′ f →−=′
0
1)2( f no está definida no es diferencia,le"
Diferentes formas de representar la derivada de una funci#n )( x f y = :
[ ] [ ])(;;;;)(;)( x f D y D ydx
dy x f
dx
d x f x x′′ $ % en el punto
)(;;)(:),(1111 1
x ydx
dy x f y x P x x ′′ =
Encontrar la derivada de: )(532 2 q f pqq p =→+−=
( ) ( ) ( )2 2
0 0
2 3 5 2 3 5( ) ( )lím límh h
q h q h q qdp f q h f q
dq h q→ →
+ − + + − − ++ − = =
( )2 2 2
0 0
4 2 32 4 2 3 3 5 2 3 5lím lím 4 3h h
h q hq qh h q h q qq
h h→ →
+ −+ + − − + − + −= = = −
Determinaci#n de la ecuaci#n de la recta tangente a una curva )( x f y = en un punto dado:),( 11 y x P
1
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1 Encontrar )( 1 x f ′ que es la pendiente de la curva en el punto ),( 11 y x P $ es decir lapendiente de la línea tangente a la curva en ese punto!
2 +plicar la e(presi#n para encontrar la ecuaci#n de una recta en su forma punto pendiente:)( 11 x xm y y −=− !
E-emplo: Determinar la ecuaci#n de la recta tangente a la curva x
y6
= en el punto )3,2( P !
20000
6
)(
6lím
)(
)(66lím
66
lím)()(
lím xh x xh xhx
h x x
h
xh x
h
x f h x f
dx
dy
hhhh−=
+−
=++−
=−
+=−+
=→→→→
mdx
dy x
=−==2
32
62
3)2(
2
33 +−=→−−=− x y x y o tam,i/n 01223 =−+ y x
eglas de diferenciaci#n:
*ip#tesis: )()( x g y x f son funciones diferencia,les4 c esuna constante % n un n5mero real!1! 0)( =c D x !
[ ] )()()()( x g x f x g x f D x ′+′=+
2! 1)( −= nn x nx x D 6![ ] )()()()( x g x f x g x f D x ′−′=−
3! [ ] )()( x f c xcf D x ′=
Demostraciones:
1 7ea ch x f c x f =+→= )()(
0)0(límlím)()(
lím)()(000
==−
=−+
=′=→→→ hhh x h
cc
h
x f h x f x f c D
2 7e dará una demostraci#n para el caso en que n sea un entero positivo:7ea ( ) nn h xh x f x x f +=+→= )()(
( )
11342321
0
221
000
......24
)3)(2)(1(
6
)2)(1(
2
)1(lím
...2
)1(
límlím)()(
lím)()(
−−−−−−
→
−−
→→→
=
++
−−−+
−−+
−+=
−
++
−++
=−+
=−+
=′=
nnnnnn
h
nnnnn
h
nn
hh
n
x
nxhh xnnnn
h xnnn
h xnn
nx
h
xhh xnn
hnx x
h
xh x
h
x f h x f x f x D
3 7ea )()()()( h xcf h x F xcf x F +=+→=
[ ] )()()(
lím)()(
lím)()(
lím)()(000
x f ch
x f h x f c
h
xcf h xcf
h
x F h x F x F xcf D
hhh x
′=
−+=
−+=
−+=′=
→→→
7ea )()()()()()( h x g h x f h x F x g x f x F +++=+→+=
2
-
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[ ] [ ] [ ]
)()()()()()(
lím
)()(()(lím
)()(lím)()()(
0
00
x g x f h
x g h x g
h
x f h x f
h
x g x f h x g h x f
h
x F h x F x F x g x f D
h
hh x
′+′=
−++
−+=
+−+++=
−+=′=+
→
→→
6 7e demuestra de la misma forma que el !
E-emplos:
1 x x x x D x D x D x f x x x f x x x 1060)2(5)3(2)7()(5)(2)(752)( 222323 −=+−=+−=′→+−=
23 2
3/23/13
3
1
3
10)()3(3
x x x D D
dx
dy x y x x =+=+=→+=
−
3 )(4)(3)(5)(43
5)( 3/22/12/13 2
−− +−=′→+−= x D x D x D x g x x
x x g x x x
3 53
3/52/32/1
3
2
2
3
2
5
3
24
2
13
2
15)(
x x x x x x x g −+=
−+
−−
=′ −−−
)1(7
235)(2
h Evaluar p
p p p ph ′→
−+=
2
155
2
351545)1(
2
351545)(
2
135
2
310)3(15)(35)(10)(15)(
3
2
2/32/122/12/33
=++=′→++=′
−−
+=−+=′ −−
h p
p p ph
p p p p D p D p D ph p p p
6 Determinar la ecuaci#n de la recta tangente a la curva: 22
64 2
=−
= xen x
x y
m y x
x y x x y ==+=′→+=−−=′→−= −−4
11
4
32)2(
32)(3232
2
21
si 01241134
11)2(
4
11
2
5
2
5
4
616,2 =−−−=→−=−→=−== y xo x y x y y x
La derivada como ra'#n de cam,io!
Definici#n:
[ ]
∆
∆=
∆+∆
∆
→=
→∆ xarespectocon ydeainstantánecambioderazónlaes
x
y
dx
dy
x x xen xarespectocon yde promediocambioderazónlaes x
y
x f y si
x 0lím
,
)(
El intervalo [ ] x x x ∆+, se puede representar tam,i/n como [ ]21 , x x $ en donde x x x ∆+= 12 ! +sí )()()()(
111212 x f x x f x f x f y y y −∆+=−=−=∆
La ra'#n de cam,io instantánea se a,revia simplemente como ra'#n de cam,io )( x f ′= !
E-emplo: 7i mvt
st f s =
∆∆→= )( $ representa la velocidad promedio de 21 t at
% vdt
ds
t
t f t t f
t
s
t t ==
∆−∆+
=∆∆
→∆→∆
)()(límlím
00 $ es la velocidad instantánea para cualquier valor de t!
7i 12 2 += t s s en metros % t en segundos"$ la velocidad promedio de 2 a 6 segundos es:
3
-
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2 1
2 1
51 9 4214 /
5 2 3m
s s sv m s
t t t
∆ − −= = = = =
∆ − − % la velocidad instantánea para cualquier valor de t es:
smt dt
dsv /4== ! Para 2=t % para 5=t las velocidades son: smv smv /20)5(,/8)2( == !
8nterpretaci#n de la derivada como ra'#n de cam,io:
7i 0→∆ x es decir$ es 9mu% pequeo9" xdxdy y
dxdy
x y ∆≅∆→≅∆∆→ % si dx
dy y x ≅∆→=∆ 1 !
Por tantodx
dy representa apro(imadamente el cam,io de % por cada cam,io unitario en (!
E-emplo: 22500 q p −= es la ecuaci#n de la demanda del producto de un fa,ricante$ donde q es eln5mero de artículos demandados % p es su precio unitario en d#lares! Determinar qu/ tan rápidoestá cam,iando el precio del artículo con respecto a los artículos demandados$ cuando /stos son 6!
20)5(445
−=−=→−==qdq
dpq
dq
dp ! Es decir$ cuando se demandan 6 artículos$ al incrementar la
demanda en un artículo el precio del mismo disminu%e en 2; d#lares!
)osto marginal! Es la ra'#n de cam,io del costo total con respecto al n5mero de artículosproducidos % comerciali'ados es decir$ el costo apro(imado de una unidad e(tra producida"!
7i )(q f c = es la funci#n del costo total de producci#n de q artículos )(q f dq
dc ′=→ es la funci#n
del costo marginal!El costo total está dado por: V F ccc += $ es decir la suma de los costos fi-os % los costos varia,les!
El costo medio unitario de producci#n de q artículos está dado por: qccq
cc =→=
E-emplos:
1 El costo total en d#lares de producci#n de q li,ras de cierta sustancia química está dado por:2
545 qc += ! Determinar el costo marginal cuando se producen 3 li,ras de dic&a sustancia!3010
3
=→==qdq
dcq
dq
dc $ es decir$ si la producci#n se incrementa de 3 a li,ras$ el costo
se incrementa 3; d#lares!
2 El costo medio unitario en la producci#n de q unidades esq
qqc000,100
504.0002.0 2 ++−= !
Determinar la ecuaci#n del costo marginal % el costo marginal para producir ; unidades!
508.0006.0000,100504.0002.0223 +−=→++−== qq
dq
dcqqqqcc
unidad dq
dc
q
/60.27$50326.940
=+−==
adicional producida!
8ngreso marginal! Es la ra'#n de cam,io del valor total reci,ido con respecto al n5mero de unidadesvendidas Es decir$ el ingreso apro(imado reci,ido por la venta de una unidad adicional producida"!
7i )(q f r = es la funci#n del ingreso total por la venta de q unidades )(q f dq
dr ′=→ es la
funci#n del ingreso marginal! 8ngreso < precio unitario"=o! de unidades vendidas" : pqr =
E-emplo: 0n fa,ricante vende un producto a 503 +q pesos>unidad! Determinar la ecuaci#n delingreso marginal % el ingreso marginal para 100=q !
( ) vendidaadicional unidad por dq
dr q
dq
dr qqqqr
q
/650$056503503100
2 =→+=→+=+==
4
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a'ones de cam,io relativas % porcentuales:
7i
( )
′
′=
⇒=
porcentual cambioderazóndenomina se x f x f
relativacambioderazóndenomina se x f
x f
y
dxdy
x f y
100)()(
)(
)(
)(
E-emplo: El ingreso reci,ido por la venta de q unidades está dado por: 23300 qqr −= ! Determinarla ra'#n de cam,io relativa % la ra'#n de cam,io porcentual del ingreso$ para 20=q !
180)20(6300630020
=−=→−==q
dq
dr q
dq
dr % como 800,4)400(320(300)20( =−=r se tiene
que:
→==
=
0375.0800,4
180
20q
r
dqdr
3!?6@ $ es decir$ si se vende una unidad adicional a 2;$ el
ingreso aumenta apro(imadamente en 3!?6@!
Atros e-emplos:1 El costo total por producir q unidades es: 50404 2 ++= qqc ! Determinar la ra'#n de cam,io
de c con respecto a q cuando se producen 2; unidades! Determinar tam,i/n la ra'#n decam,io promedio cuando la producci#n se incrementa de 2; a 3; unidades!
2004016040820
=+=→+==q
dq
dcq
dq
dc pesos>unidad adicional producida!
[ ] [ ]240
10
400,2
2030
50)20(40)20(450)30(40)30(4 22
12
12 ==−
++−++=
−−
=∆∆
qq
cc
q
c pesos>unidad adic!
2 De,ido a la depreciaci#n$ el valor de cierta maquinaria despu/s de t aos está dada por:100,000,60000,800 ≤≤−= t dondet v ! Determinar que tan rápido cam,ia v con respectoa t a los 2 % a los 3 aos!
000,60000,60000,6032
−=−=→−=== t t dt
dv y
dt
dv
dt
dv $ es decir$ se deprecia o
disminu%e su valor a ra'#n constante de B C;$;;; > ao !
3 El volumen de cierto gas varía con la presi#n P de acuerdo con la ecuaci#n:V
P 200
= !
Determinar la ra'#n de cam,io de P con respecto a cuando 10=V !
2200
)(200)200(10
2
21 −=→−=−===
−−
v
V dV
dP
V V V D
dV
dP $ es decir$ la presi#n disminu%e a
ra'#n de 2 unidades de presi#n$ por cada unidad de volumen adicional a 1;!
Diferencia,ilidad % continuidad!eorema: 7i f(" es diferencia,le en ( < a → f(" es continua en ( < a
Demostraci#n: )omo f(" es diferencia,le enh
a f ha f a f a x
h
)()(lím)(
0
−+=′→=
→ e(iste!
7i a xh xha −=→=+ % si a xh →⇒→ 0 ! Por lo tanto:
5
-
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)()()(
lím)()(
lím0
a f a x
a f x f
h
a f ha f
a xh′=
−−
=−+
→→! +&ora ,ien:
( ) [ ] ( ) →
−
−−
=−→−−−
=−→→
a xa x
a f x f a f x f a x
a x
a f x f a f x f
a xa x
)()(lím)()(lím
)()()()(
( ) ( ) )()(lím00)()()(límlím)()(
lím)(lím)(lím a f x f a f a f x f a xa x
a f x f a f x f
a xa xa xa xa xa x=→=′=−→−
−−
=−→→→→→→
Por
lo tanto f(" es continua en ( < a !
)omo consecuencia una funci#n que es discontinua en ( < a no puede ser diferencia,le en ( < a !
Es importante &acer notar que$ si ,ien la diferencia,ilidad en un punto implica continuidad en esepunto$ la continuidad en un punto no implica diferencia,ilidad en ese punto!
eglas de diferenciaci#n de productos % cocientes:
*ip#tesis: f(" % g(" son funciones diferencia,les!1! [ ] )()()()()()( x f x g x g x f x g x f D x ′+′=
2! [ ] 0)()(
)()()()(
)(
)(2 ≠
′−′=
x g si
x g
x g x f x f x g
x g
x f D x
Demostraciones:
1 7ea )()()()()()( h x g h x f h x F x g x f x F ++=+→= ! +&ora ,ien:
[ ] [ ]
h
x f hh f x g
h
x g h x g h x f
h
x f h x f x g x g h x g h x f
h
x g x f h x g h x f
h
x F h x F x F
hh
h
hh
)()()(lím
)()()(lím
)()()()()()(lím
)()())()(lím
)()(lím)(
00
0
00
−++
−++=
−++−++=
−++=
−+=′
→→
→
→→
Puesto que f(" es diferencia,le$ entonces es continua! Por tanto: )()(lím0
x f h x f h
=+→ ! Por lo
tanto: [ ] )()()()()()()( x f x g x g x f x g x f D x F x ′+′==′ !
2 7ea →′+′=′→=→≠= )()()()()()()()(0)()(
)()( x F x g x g x F x f x g x F x f x g siendo
x g
x f x F ,
[ ]2)(
)()()()(
)(
)()(
)()(
)(
)()()()(
x g
x g x f x f x g
x g
x g x g
x f x f
x g
x g x F x f x F
′−′=
′−′=
′−′=′
E-emplos:
1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )153441534153 233232 +−−+−+−=′→−+−= x x D x x D x x y x x x y x x( ( ( ( ) 34234322 52062431595643153 x x x x x x x x x x x y +−−+−+−=−−+−+−=′
202432015234 −+−+−=′ x x x x y
2 Determinar la pendiente de la curva: ( )( )( ) 134123 2 =−−+= xen x x x y
6
-
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( )( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
−++−+
−−+=′
−+−+−−+=′→−−+=
−− 2/122/12
222
2
1124334
2
3123
123343412334123
x x x x x x x x y
x x D x x D x x y x x x y x x
2
21
2
1166
2
1)1()4(4)1(
2
3)1(41 =++−=
++
−== xm
3 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
72
72535372)(
72
53)(
222
−
−+−+−=′→
−+
= x
x D x x D x x f
x
x x f x x
( ) ( ) (( ) ( ) ( ) 2
2
2
22
2
2
72
10426
72
1064212
72
)2(53672)(
−
−−=
−
−−−=
−
+−−=′
x
x x
x
x x x
x
x x x x f
( )( ) ( )
x x
x x x
x
x x x
x x
x
x x
x x y
22
31511
1
412
3511
1
42
3511
2
222
−−+
+−=
+−+
−+−=
+−
−+−=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )22
2
22
2431)1(3)1(12210
x x
x x x x x x x x y
− −−+−−++−+−=′
[ ]
( ) ( ) 22
2
22
223223
2
22
12
3610
14
6421284444410
)1(2
)24)(32()22)(22(10
−
−++−=
−
−−+++−+−−+−=′
−
−−−−−−+−=′
x x
x x x
x x
x x x x x x x x x x y
x x
x x x x x x x y
6 Determinar la ecuaci#n de la recta tangente a la curva: ( )38443
2 +−=
x x y en ( < 2
( )( ) ( ) 3
2
9
6
384
)1(6
38416
)88)(4(3)0(384422222
2
−=−
=→+−
−−=+−
−−+−=′ = xm x x
x
x x
x x x
y
→=→=4
1,2
4
12 P puntoel por pasa y xi
12
19
3
2
4
1
3
4
3
2)2(
3
2
4
1+−=→++−=→−−=− x y x y x y o tam,i/n : 019128 =−+ y x
C La ecuaci#n de la demanda del producto de un fa,ricante está dada por:25
000,5
+=q
p $ en
donde q son los artículos demandados % p es el precio de cada artículo! Determinar la funci#ndel ingreso marginal % evaluarla cuando q < 1;;!
( ) ( ) ( )( ) ( )
→+
=+
−+=→+== 22 25000,125
25)1(000,5000,525
25000,5
qqqq
dqdr
qq pqr
8625,15
000,125
100
==
=Qdq
dr ! Es decir que$ vender un artículo adicional más allá de 1;;$
proporciona apro(imadamente B más de ingreso!
Propensi#n marginal al consumo % al a&orro!
7i )( ! f " = es la funci#n de consumo$ en donde 8 es el ingreso nacional total % ) el consumonacional total$ am,os en miles de millones de d#lares % 7 < 8 G ) es el a&orro nacional total
7
-
8/18/2019 MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc
9/15
)( ! f d!
d" ′=→ se define como la propensi#n marginal al consumo la ra'#n de cam,io del consumo
con respecto al ingreso" %d!
d"
d!
d −=1 se define como la propensi#n marginal al a&orro!
E-emplo: La funci#n de consumo de cierto país está dada por:( )
12
1046 3
+
+=
!
! " ! Determinar la
propensi#n marginal al a&orro cuando el ingreso es de ;;$;;; millones de d#lares 8 < ;;"!
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
+
+−+−=
+
+−+−=−=
22
32/1
12
10412661
12
104612611
!
! ! ! !
!
! ! !
d!
d"
d!
d
[ ]
( ) 384.0616.01
412
10)20)(400(4)412)(20(61
2 =−=
+−−=
d!
d $ o sea que cuando el ingreso nacional
es de ;;$;;; millones de d#lares$ por cada 1$;;; millones de d#lares de ingreso adicionales$ lanaci#n a&orra 3 millones de d#lares % consume C1C millones de d#lares!
Atros e-emplos:
1 El n5mero de &u/spedes con parásitos P en funci#n de la densidad de &u/spedes * es decir
&u/spedes por unidad de área"$ está dada por: #
# P
31
500
+= ! Determinar la ra'#n de cam,io
del n5mero de &u/spedes con parásitos$ con respecto a la densidad de &u/spedes$ cuando/sta es de 3 &u/spedes por unidad de área!
( )
( ) ( ) 5
5
500
31
500
31
)3(500)500(31
3
22 ==→
+=
+
−+=
= # d#
dP
# #
# #
d#
dP o sea que$ cuando e(iste
una densidad de 3 &u/spedes por unidad de área$ un incremento de una unidad en ladensidad de &u/spedes provoca un incremento de 6 &u/spedes con parásitos!
2 El n5mero = de seres vivos consumidos por un depredador es una funci#n de la densidad de
seres vivos es decir$ seres vivos por unidad de área" % está dada por la siguiente ecuaci#n:
V
V $
5.015
5.2
+= ! Determinar la ra'#n de cam,io del n5mero de seres vivos consumidos$ con
respecto a la densidad de seres vivos!
( ) ( ) ( ) 222 )5.015
5.37
)5.015
)5.2(15
)5.015
)5.0(5.2)5.2)(5.015(
V V V
V V
dV
d$
+=
+=
+
−+= !
egla de la cadena:
*ip#tesis: f % g son funciones diferencia,les!
)()()()( x g u f dxdu
dudy
dxdy x g u yu f yi ′′=
=→==
7e omite la demostraci#n de este teorema!
E-emplos:
1 13,452 32 +=+−= xuuu y ! Determinardx
dy !
8
-
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10/15
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) 2523232 9108911295134954 x x x x x x xudx
du
du
dy
dx
dy−=−=−+=−=
=
Atra forma: ( ) ( ) 4515212184135132 336323 +−−++=++−+= x x x x x y2536
91086318 x x y x x y −=′→+−=
2 .34,
93 x%% y −== Determinar dx
dy
( )( ) 44
4
34
8181)3(27
x%%
dx
d%
d%
dy
dx
dy
−==−−=
= −
3 .13,43 2t x x x z −=+= Determinar4=t dt
dz
( )
+−=−
+=
= − 4
2
3224
2
3 2/1
xt t x
dt
dx
dx
dz
dt
dz
362
984
)3(2
3)4(294
4
−=
−=
+−=⇒=→=
=t dt
dz xt i
.3
3,2 2
−+
==v
v z z s Determinar
2=vdv
ds
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 222 3
24
3
)6(4
3
)1(3)1(34
−−=
−
−=
−
+−−=
=
v
z
v
z
v
vv z
dv
dz
dz
ds
dv
ds
120)1(
)5(2452
2
2
=−−
−=⇒=→==vdv
ds z vi
egla de la potencia:
realnúmerouny ble!"eren#!a"un#!$nunae% )( :&!'$e%!% n x g u =
dxdunuu D nn
x
1)( −=
Demostraci#n:
=→==
dx
du
du
dy
dx
dy x g uu y n )( !'$e%!% 'or#omoy*ea
( ) ( )dx
dunu
dx
duu Du D y nn
u
n
x
1 : o*u%!uyen −== ! Atra forma de representar la regla de la potencia
es: [ ] [ ] )()()( 1 x g x g n x g D nn x
′= −
E-emplos! Determinar las derivadas de las siguientes funciones:
1 ( ) ( ) ( ) ( )932293103 12606121012 −=−=→−= x x x x
dxdy x y
2 ( ) ( ) ( ) x x x z x x x x z 1035322
1532532
2/122/122 +−+−=′→+−=+−= −
( ) 22/12 5322310
5322
310
x x
x
x x
x z
+−
−=
+−
−=′
3 ( ) 122
957)( )2(+aluar. 95
7)(
−−=→′
−= x x f f x
x f
9
-
8/18/2019 MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc
11/15
( )( ) 121
140)2(
95
70)10(95)1(7)(
22
22 −=′→−
−=−−=′
− f
x
x x x x f
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )2(25)2(252
11251251
2/12/122/122t t t t
dt
dst t t t s −+−−+=→−+=−+= −
( ) ( )t
t t
t
t t t
t
t t t t t
t
t
dt
ds
25
1105
25
4101
25
2521252
25
1 22222
−
−+−
=−
−+−−
=−
−++−
=−+−
+
−=
6 ( ) ( )
( )
+
−−+
+−
=′→
+−
=+−
=−
22
223/2
2
23/1
2
2
2
2
4
)2(13)6(4
4
13
3
1)(
4
13
4
13)(
x
x x x x
x
x x f
x
x
x
x x f
( ) ( ) ( )
3/2
2
2
2222
3/2
2
2
22
333/2
2
2
13
4
43
26
4
26
13
4
3
1
4
26246
13
4
3
1)(
−
+
+=
+
−
+=
+
+−+
−
+=′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x
x x f Determinar
la ecuaci#n de la recta tangente a la curva: 2en)3(3 22 =−= x x y
( )3
8)2(
33
4)2(3
3
22
3 2
3/12 ==′→−
=−=′ =−
xm y
x
x x x y
7i ( ) :-ue!ene%e :e%re#aunaee#ua#!$nla#omoy12 11 x xm y y y x −=−=→=
( ) 01338 amb!no 3
13
3
82
3
81 =−−−=→−=− y x x y x y
C( )
3#uano ,are%'e#o#one 'or#enual#amb!oera$nlabener.32
12
=+
= qq pq
p
( )( )
( )
( )
( )
( ) 32
4
32
32(4
32
1
32
4
32
4)2(322
3
2
2
3
3
3
+−
=+
+−=
+
+−
=→+
−=+−= −
qq
q
q
q
p
dq
dp
qq
dq
dp
44.444444.09
4
3
→−=−
=
=q
p
dqdp
Producto del ingreso marginal:
7i un fa,ricante emplea m tra,a-adores para o,tener q unidades de un producto por día % r es el
ingreso total que el fa,ricante reci,e por la venta de las unidades producidas$ entoncesdm
dr se
denomina producto del ingreso marginal! Por tanto$ es la ra'#n de cam,io del ingreso con respecto aln5mero de empleados$ es decir$ apro(imadamente el cam,io del ingreso cuando se emplea un
tra,a-ador adicional:)()()(y)( m g q f
dm
dq
dq
dr
dm
dr q f r m g q ′′=
=→==
ecordar que pqr = $ siendo p el precio unitario % )(qh p = es la ecuaci#n de la demanda!
E-emplos:
10
-
8/18/2019 MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc
12/15
1 Para cierto fa,ricante$ la producci#n de q unidades por día en funci#n del n5mero de empleados
m está dada por:23
122
2
+=
m
mq ! La ecuaci#n de la demanda para el producto es:
11
000,1
+=q
p !
Determinar el producto del ingreso marginal si el n5mero de empleados es 11!
( ) ( ) 22 11
000,11
11
000,1)000,1)(11(
11
000,1
+=
+
−+=→
+=→=
qq
qq
dq
dr
q
qr pqr
( ) ( )( ) ( ) 32
3
2/32
32
2
2/1222
23
55212
23
122324
23
)2(232112)24(23
+
+=
+
−+=
+
+−+=
−
m
mm
m
mmm
m
mmmmm
dm
dq
/ía.8.01en#re#er!nre%oelr,rabaaouo#!mounaem'lea%e%!
-ue,e#!re% ,01.8)76.12)(6313.0(
76.12,6313.0)132(
000,11121
23)11(
)11(1211 *!
1112111
11
2
121
2
2
==
=→
=
===→=+
=→=
===
==
mqm
mq
dm
dq
dq
dr
dm
dr
dm
dq
dq
dr
dm
dr
dm
dq
dq
dr qm
2 Para cierto fa,ricante 2102.0,
30
300 2
+−=−
= q pmm
q $ en donde q es el n5mero total de
unidades producidas por día con m empleados % p es el precio de venta por unidad! Determinarel producto del ingreso marginal para 60=m !
48030
)60300(60
30
)60()60(30060
2
=−
=−
=→=
= qm si
dm
dq
dq
dr
dm
dr
182104.021002.480
2 =→+−=→+−===qdq
dr q
dq
dr qq pqr
108)6)(18(630
2300
604806060
==
=→=→
−=
==== mqmm dm
dq
dq
dr
dm
dr
dm
dqm
dm
dq o sea que si
se contrata un empleado más$ de los C;$ los ingresos se incrementan en B1;>día!
Atros e-emplos:
1 7i 40200 2 +−= q p es la ecuaci#n de la demanda para el producto de un fa,ricante$determinar: a" La ra'#n de cam,io de p con respecto a q $ ," La ra'#n de cam,io relativa dep con respecto a q $ c" La funci#n del ingreso marginal!
a" ( )40
)2(402
12
2/12
+=+−=
−
q
qqq
dq
dp
,"
( ) 4020040404020040200
40
22222
2
+−+=
+−+
−=
+−
+
−
=qq
q
qq
q
q
q
q
p
dqdp
c" ( )
+++−=→+−== −
40)2(402
1
20040200 22/122
qqqqdq
dr
qqq pqr
40
4024020040
40200
2
22
2
2
2
+
−−+=+−
+−=
q
qqq
q
q
dq
dr
2 Para cierta po,laci#n$ si E es el n5mero de aos de educaci#n % 7 representa un valor num/rico
de su condici#n social ,asada en ese nivel educativo$ entonces2
14
4
+= E
Determinar: a" Qu/ tan rápido está cam,iando la condici#n social con respecto a la educaci#n$cuando 16= E $ ," + qu/ nivel de educaci#n es igual a la ra'#n de cam,io de la condici#nsocial!
11
-
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13/15
a" 1014
24
11
4)2(4
16
=→
+=
+=
= E dE
d E E
dE
d
," 7i ao%. 1234
414
814
28 =→=→=+→=
+→= E
E E E
dE
d
3 500= pq es la ecuaci#n de la demanda para el producto de un fa,ricante % c es el costo total!7i el costo marginal es ;!;6 cuando 000,1=q $ determine por la regla de la cadena$ la ra'#n decam,io del costo total con respecto al precio unitario cuando 000,1=q !
2
1
000,1
500500
500500#omo ,;05.0
pdp
dq p
pq pq
dp
dq
dq
dc
dp
dc
dq
dc
q
−=→==→=
== −
=
7i
000,24/1
50050.0
2
1
000,1
500000,1
2/1
−=−=→===→== p
dp
dq pq
100)000,2)(05.0(2/1000,2000,1
−=−=
=
=== pqq dp
dq
dq
dc
dp
dc
0n empresario que emplea m tra,a-adores encuentra que ellos producen ( ) 2/3122 += mmq
unidades de producto diariamente! El ingreso total está dado por:q
qr
3000,1
50
+= ! Determine
cuando &a% 12 empleados tra,a-ando: a" El precio por unidad$ ," El ingreso marginal$ c"El producto del ingreso marginal!
a" 50.0000,3)25(24123000,1
50 2/3 =→==→=+
==→= pqmiqq
r p pqr
,"
( )
( )( ) ( ) 32/3
2/1
3000,175000,50
3000,1753000,150
3000,1
)3(3000,1
2
150)50(3000,1
qq
qqq
q
qqq
dqdr
++=+ −+=+
+−+
=
−
27.0000,0001
000,275
)000,9000,1(
)000,3(75000,503
000,3
==+
+==qdq
dr
c" ( ) ( ) ( ) ( )15122122126122)2(122
32
32/32/1 ++=+++=+++= mmmmmmmmdm
dq
70.164)610)(27.0(61012000,31212
==
=→=
==== mqmm dm
dq
dq
dr
dm
dr
dm
dq
6 10)10(,80)10(,60)10(,50)10(,)()( =′==′=== f f g g sim g q yq f r ea
10
eerm!nar , 60)50(,500)50(,400)50(,300)50(=
=′==′=mdm
dr f f g g
→==→=′′=
= 50)10(10.)()( g qmim g q f
dm
dq
dq
dr
dm
dr
000,3)50(60)10()50(10
==′′==
g f dm
dr
m
!
12
-
8/18/2019 MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc
14/15
DE8+D+7 DE F0=)8A=E7 LA.+HI8)+7
epaso de conceptos % propiedades logarítmicas!Definici#n: ℜ∈>≠>=⇔= cba yabacb ca 0,10;lo
+,reviaciones:10lo ln ; lo lo ; (lo ) lo
n n
e a au u u u u u= = =
Propiedades: 1! 01lo =a 2! 1lo =aa 3!
b
u
b
u
b
uu
a
a
bln
ln
lo
lo
lo
lolo ===
! vuuv aaa lolo)(lo += 6! vuv
uaaa lololo −= C! unu a
n
a lolo =
eoremas:
1 7i x
x D x x1
)(ln0 =→>
2 7i [ ]1 ( )
( ) 0 e% !"eren#!able (ln ) , o e ora "orma: ln ( ) ( ) xdu g x
u g x u D g xu dx g x
′
= > → = =Demostraciones:
1 7a,emos que: [ ] )(límln)(lnlím;)1(lím /1
0 x f x f e x
a xa x
x
x →→→==+
7ea )ln()(ln)( h xh x f x x f +=+→=
+=
+
=−+
=−+
=′=→→→→ x
h x
hh
x
h x
h
xh x
h
x f h x f x f x D
hhhh x
ln1
lím
ln
límln)ln(
lím)()(
lím)()(ln0000
+=
+
=
+=
+=
→→→→→
h x
h
h x
hh
h x
hh x
x
h
x x
h
x x
h
x x
h
h
x
x x D
/
0
/
00
/
001límln
11lnlím
1lím1ln
1lím1ln
1lím)(ln
7ea 00 %!;1 →⇒→=→= z h z h
x
x
h z
[ ] x x
e x
z x
x D z z
x
1)1(
1ln
1)1(límln
1)(ln /1
0===+=
→
3 7ea u y ln= ! )omo
=→=
dx
du
du
dy
dx
dy x g u )( $ regla de la cadena!
7ustitu%endo y en la regla de la cadena se tiene que: [ ]dx
du
udx
duu Du D u x
1)(ln)(ln =
=
E-emplos
1 x x x f x x f 31)3()(ln3)( −= −=′→−=
22222
2
2 )3(
ln23
)3(
)2(ln1
)3(
3
ln
+
−+=
+
−
+
=′→+
= x
x x x
x
x
x x x
x
y x
x y
33
10
3
25)()3ln(5)(
22
2
−=
−=′→−=
x
x
x
x x g x x g
[ ] )23ln(223
6)2()23ln(
23
6)()23ln()( 3
3
43
3
2232 x x
x
x x x
x
x x xh x x xh −+
−−=−+
−−
=′→−=
13
-
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15/15
6 2 / 2 3
3ln(ln 2 ) 3ln 2 ln 2
x y x y
x x x
′= → = =
C ( )1/ 2 2 1
( ) ln 2 7 ln 2 7 (1/ 2)ln(2 7) ( )2(2 7) 2 7
f x x x x f x x x
′= + = + = + → = =+ +
? 3 5( ) ln (3 1)(2 5) (3 ) ln(3 1) 3ln(2 5) 5ln(3 ) f p p p p p p p
= − + − = − + + + − 3 6 5( )
3 1 2 5 3 f p
p p p′ = + −
− + −
2 2
2 232 2
2 5 2 55ln ln ln(2 ) ln( 3)
3 3 3 3
x x% x x
x x
− − = = = − − + + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
10 3 10 25 2 2 10 10
3 2 3 3 2 3 3 2 3
x x x xd% x x x x
dx x x x x x x
− + − −− = − = − − = − + − + − +
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2 2 210 30 20 10 50
3 2 3 3 2 3d% x x x x xdx x x x x
− − − + −= =− + − +
J [ ] [ ]3
4 34 3 84ln (3 1)( ) 7 ln (3 1) 7 ln(3 1) ( ) 28 ln(3 1)
3 1 3 1
x f x x x f x x
x x
− ′= − = − → = − = − −
1; 2
2 2
6ln 6 1 63lo 6lo
ln 2 ln 2 ln 2
x dy y x x
dx x x
= = = → = =
11 ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
ln 3 5 3 10 3 10lo 3 5
ln10 3 5 ln10(ln10) 3 5
x x x x y x x y
x x x x
− − −′= − = → = =−−
12 La ecuaci#n de la demanda para el producto de un fa,ricante es50
ln( 7) p
q=
+$ en donde p es
el precio unitario % q son las unidades demandadas! Eval5a el ingreso marginal cuando lademanda es de unidades!
[ ]
[ ] ( )2 2
1 50(8)ln( 7) 50 50 50ln15750 15 14.8272
ln( 7) ln15ln( 7)
q qqq dr
r pqq dq q
+ − − + = = → = = =
+ +es decir$ B1!3>unidad adicional!
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