MATEMÁTICAS PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS- PRESENTACIÓN

ESCUELA:

NOMBRES:

CIENCIAS BIOLÓGICAS Y AMBIENTALES

José Miguel Fernández

BIMESTRE: SEGUNDO

Abril Agosto 2011

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

• SISTEMA DE ECUACIONES: Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones

5.1. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

DIRECTRICES MÉTODO SUSTITUCIÓN, DOS ECUACIONES CON DOS

VARIABLES a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones en

función de la otra variable.b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra

ecuación.c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el

valor de la incógnita no eliminada.d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que

representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante, compruebe cada par (x, y), hallado.

5.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y , consiste de dos ecuaciones de la forma:

Donde a, b, c, d, r y s son constantes. El conjunto

solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema.

TEOREMA SOBRE SISTEMAS EQUIVALENTES

1. SE INTERCAMBIAN DOS ECUACIONES.

2. UNA ECUACIÓN SE MULTIPLICA O DIVIDE POR UNA CONSTANTE DIFERENTE DE CERO.

3. UN MULTIPLO CONSTANTE DE UNA ECUACIÓN SE SUMA A OTRA ECUACIÓN.

POSIBILIDADES DE SOLUCIÓN

• Una solución única

• Ninguna solución

• Infinito número de soluciones

APLICACIONES• El precio de admisión a un juego entre equipos

secundaria fue $3.00 para estudiantes y $4.5 para no estudiantes. Si se vendieron 450 boletos para un total de $ 1555.5. ¿Cuántos de cada tipo se compraron?.

• Una pequeña empresa de muebles manufactura sofás y divanes. Cada sofá requiere 8 horas de mano de obra y $180 en materiales, mientras que un diván se puede construir por $105 en 6 horas. La compañía tiene 340 horas de mano de obra y $ 6750 para materiales. ¿Cuántos divanes y sofás se pueden producir?

5.3. SISTEMA DE DESIGUALDADES•

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES LINEALES

5.4. ALGEBRA DE MATRICES• SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON MÁS

DE DOS VARIABLES

DEFINICIÓN DE MATRICES• Sean m y n, enteros positivos. Una matriz m x

n, es un conjunto de la forma siguiente, donde cada uno de los términos aij es un numero real:

FILA O RENGLÓNCOLUMNA

TEOREMA SOBRE TRANSFORMACIONES DE RENGLONES DE UNA MATRIZ

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, una matriz de un sistema equivalente resulta si:

1. SE INTERCAMBIAN DOS RENGLONES.2. SE MULTIPLICA O DIVIDE UN RENGLÓN POR UNA CONSTANTE

DIFERENTE DE CERO.3. UN MULTIPLO CONSTANTE DE UN RENGLÓN SE SUMA A OTRO

RENGLÓN

Ri↔Rj Intercambia renglón(fila) i y jkRi→Rj Multiplica renglón i por KkRi+Rj→Rj Suma k veces el renglón i al renglón j

SOLUCIÓN DE SISTEMAS USANDO MATRICES

FORMA ESCALONADA

FORMA ESCALONA REDUCIDA

OPERACIONES CON MATRICESIGUALDAD, A=B, ADICIÓN,A+B = C, PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL cA= ( )PRODUCTO DE DOS MATRICES, AXB=CA= mxn, B=nxp, C=mxp

6. SUCESIONES Correspondencia biunívoca con los enteros

positivos:

Notación de sucesión infinita:a1, a2, a3,….. an, …….

Definición sucesión infinita: Función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos:

f(n)→f(1), f(2), f(3)…..,f(n)…..(1, a1), (2, a2) (3, a3)………(n, an)…….,

SUCESIÓN DEFINIDA RECURSIVAMENTEa1, ak+1 → k≥1

a1= 2, ak+1 = 3ak-5

6.2. SUCESIÓN ARITMÉTICAa1, a2, a3…. an,..

ak+1 = ak+ d

d= ak+1- ak

N-ÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA

an= a1+(n-1)d

6.3. SUCESIÓN GEOMÉTRICAa1, a2, a3…. an,. si a1 ≠0, r ≠0 tal que para todo entero positivo k,

ak+1 = akr

→razón común de la sucesión

N-ÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICAan= a1rn-1

6.4. EL TEOREMA DEL BINOMIO (a+b)n = an +(n/1) an-1b +(n/2)an-2b2+………. …..+(n/k)an-kbk+.........+ (n/n-1)abn-1bn

1.n+1 términos, an…… bn

2.La potencia de a disminuye en 1, y la b aumenta en 1

3.Cada término tiene la forma (c)an-kbk, c es entero y k=0,1,2,…..,n.

4.

6.5. PERMUTACIONES(P)S = ne, y 1 ≤ r ≤ n. P de re de S, es una distribución

sin repeticiones de re.

Número P diferentes: P(n, r)= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)Forma factorial: P(n, r)=n!/(n-r)!6.6. Permutaciones y combinaciones distingibles

teoremas: número de permutaciones n!/r! n!/ (r1! r2!.....rk!)

COMBINACIÓN (C)S = ne, y 1 ≤ r ≤ n. C de re de S, es un subconjunto de S

que contiene re distintos

Teorema, número de combinaciones:C(n, r)=n!/(n-r)!.r!

6.7. Probabilidad de un evento

P(E) = n(E) Excluyentes Cualquier evento n(s) P(E)= P(E1)+P(E2) P(E1E2)= P(E1)+P(E2)-P(E1uE2)

7. FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA7.1.PARÁBOLA: Conjunto de todos los puntos de

una plano equidistante de un punto fijo F(el foco) y una recta fija l, (directriz) que está en el plano.

» ECUACIÓN ESTÁNDAR» y= ax2

» F(0,p)

» F(p, 0)»

7.2.Elipse: Conjunto de todos los puntos en un plano, la suma de cuyas distancias desde dos puntos fijos(los focos) en el plano es una constante positiva.

• Donde a >b>0, es una elipse con centro en el origen, la longitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje menor es 2b. Los focos están a una distancia c del origen, donde: c2= a2+b2

• Excentricidad e:

7.3. HIPERBOLAS: Conjunto de todos los puntos de una plano, la diferencia de cuyas distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.

• La longitud del eje transversal es 2a y la longitud del eje conjugado es 2b. Los focos están a una distancia c del origen, donde: c2= a2+b2