Matemáticas para dummies Introducción

sábado, noviembre 26, 2005

Tomas Bradanovic Filosofía barata, historias, historietas, mecánica, moralejas, chamullos, relatos absurdos, la vida de un vago, cosas de Arica,

fotografía de autor, literatura, dibujo, escultura, pornografía, política, cocina regional, minas, copete y otras cosas por el

estilo. Las increibles, absurdas y a menudo aburridas aventuras de nuestro hombre en Arica from the trenches, in the

Northern Front. Sacar a mil, sacar a mil.

Ya me carrilié con la música, ahora leyendo el blog del Ivi League Hernando, me entusiasmé

con otro tema que parece fome pero es super entretenido (siempre y cuando no tengas que

dar pruebas): las matemáticas. Obviamente no soy matemático así es que cualquier error

grosero, favor corregírmelo. La verdad es que esto lo escribí hace mucho tiempo, solo lo copio

aquí porque creo que puede ser interesante para algunos.

Tal como la música clásica que al principio parece difícil y aburrida, las matemáticas esconden

su belleza detrás de un árido aparataje de operaciones, pero existe un aspecto estético que

puede causar placer y adicción al que llega a entenderla. Lejos de dominar las matemáticas,

yo solo alcancé a intuir una pequeña parte del asunto y si no seguí estudiando fue

precisamente cuando me di cuenta que con mi escasa concentración nunca iba a ser bueno

en el asunto. Igual quiero compartir algunas cosas lindas y entretenidas que existen detrás de

la operatoria y la memorización de enredados procedimientos.

Intuición y formalismo: toda teoría matemática es intuitiva en sus fundamentos y formal en

su desarrollo, casi todos podemos entender la parte intuitiva, ya que responde a realidades,

observaciones, cosas que percibimos y –aunque no las entendamos claramente- podemos

intuir.

El desarrollo formal en cambio, que consiste en sacar consecuencias de esas ideas intuitivas

sin caer en contradicciones es casi siempre un asunto complicado. Es la parte “mecánica”, la

más árida y fructífera de las matemáticas.

Tomemos por ejemplo la teoría de los números, Todos sabemos contar: 1,2,3,4 etc... es algo

que aprendimos casi junto con hablar y se basa en ideas intuitivas muy comunes: mucho,

poco, nada, quedar debiendo, todo y partes de un todo. Así es como existen los números

naturales (“todos”) y las fracciones (“partes de un todo”), existe la idea del cero (“nada”) y de

quedar en deuda (“números negativos”), esas son las bases intuitivas de los números, cosas

bastante simples para cualquiera de nosotros.

Sin embargo al formalizar la teoría tenemos consecuencias extrañas y extremadamente

complicadas ¿cuántos números reales existen? “infinitos” es decir tantos que por más que

contemos siempre existirán mas. Sin embargo entre dos números, digamos entre el 1 y el 2

también existen infinitas fracciones. Es decir que existe un conjunto infinito de elementos y

cada elemento en si contiene subconjuntos infinitos. Más aún, entre dos fracciones cualquiera,

no importa cuan cerca estén también podemos encontrar infinitos elementos, cosa que va en

contra de nuestra experiencia y de nuestra idea intuitiva de “infinito”. He escuchado que Georg

Cantor, el matemático que aportó mucho a formalizar la teoría de conjuntos se murió loco. No

me extrañaría que en una especulación de ese tipo se haya pasado de revoluciones.

Geometría y álgebra: la geometría se dedica a las formas, el álgebra a las predicciones en

base a igualdades. El método de la geometría es observar formas e idealizarlas para

comprender sus “propiedades esenciales”, aquellas que no cambian entre elementos

similares.

El álgebra en cambio se basa en el equilibrio, se trata de escribir igualdades y mantenerlas

equilibradas, mientras se mantenga la igualdad podemos cambiar el orden de los elementos,

bajo ciertas reglas, lo que nos permite “despejar” o aislar las incógnitas, es decir las

cantidades que no conocemos. De este modo si tenemos una o más igualdades que

contengan una o más cantidades desconocidas, podemos “manipularlas” (o sea cambiar su

orden) para encontrar el valor de estas cantidades desconocidas en función de las que

conocemos.

Gracias Pitágoras por c²=a²+b²: una muestra notable del poder predictivo

de las matemáticas es que en la época de los griegos, ya fueron capaces de

calcular el diámetro de la tierra “sin haberse movido de su escritorio” por la

simple medición de una sombra. Esa es para mi una de las muestras más

asombrosas del poder que se obtiene al formalizar una teoría matemática,

en este caso el Teorema de Pitágoras, uno de los descubrimientos más

útiles en la historia de la ciencia y tecnología.

El Teorema de Pitágoras c²=a²+b², permite conocer uno de los lados de un triángulo

rectángulo cuando se conocen los otros dos. Nada muy impresionante en apariencia pero con

una multitud de consecuencias para la ciencia, tecnología y la vida diaria.

Con la teoría que se desarrolló en base al Teorema de Pitágoras, la trigonometría

(trigo=triángulo, metría=mediciones), es posible resolver la mayoría de los problemas físico

geométricos en un espacio de dos dimensiones y con alguns modificaciones (la trigonometría

esférica) se pueden resolver los problemas en tres dimensiones o sea todo el espacio que

podemos percibir con nuestros sentidos: ancho, alto y largo.

Una simple observación intuitiva, práctica, al ser formalmente desarrollada permite describir y

predecir la mayoría de los problemas físicos, reales que podemos percibir con nuestra

experiencia sensorial. La geometría plana, del espacio y la esférica, junto con la geometría

analítica (es decir los métodos del álgebra aplicados a los problemas geométricos) nos

entregan una herramienta de un poder inmenso para predecir acontecimientos futuros: la

trayectoria de un proyectil, el movimiento de cualquier cuerpo, medidas de área, volumen y

superficie, etc

Las consecuencias de un movimiento circular: cuando a un matemático (Descartes me

imagino), se le ocurrió pensar en una partícula que gira en un círculo, y colocar un cuadrante

de dos ejes que pasan por el centro del movimiento, nació la trigonometría. De allí a la genial

idea de que cualquier curva o figura geométrica puede ser representada por una ecuación

(geometría analítica) había solo un paso.

Aquí las consecuencias del Teorema de Pitágoras alcanzaron un poder enorme. Si

consideramos la partícula girando, el ángulo y el triángulo que va formando con los ejes, el

Teorema de Pitágoras que relaciona a un triangulo rectángulo con una ecuación y las

relaciones entre los lados y los ángulos (seno, coseno, tangente, cotangente), tenemos las

bases del aparato matemático más útil jamás creado.

La geometría está en todo: algo notable es que casi todos los problemas que estudian las

ciencias duras terminan reducidos a cuestiones geométricas. La física, química y biología son,

en sus niveles más fundamentales asuntos geométricos porque la materia se mueve, se

asocia y se comporta de acuerdo a su forma. Por un lado la geometría estudia las formas y el

álgebra “despeja incógnitas” es decir, predice. La combinación de ambas es una muy potente

herramienta.

La geometría también parte de bases intuitivas muy simples: hay cosas derechas y otras

chuecas, hay formas características en la naturaleza que pueden idealizarse: triángulos,

cuadrados, pentágonos, etc. Hasta llegar a la circunferencia (un polígono con infinitos lados),

también hay cubos, conos, etc. La parábola es la trayectoria natural de cualquier cuerpo que

cae, eso es algo que podemos observar tirando una piedra, todos los fundamentos son ideas

simples e intuitivas.

Pero también en la naturaleza existe multitud de formas que no son “puras” (en verdad no creo

que existan formas rigurosamente ideales) ¿cómo tratar estas formas impuras como por

ejemplo la trayectoria del vuelo de una mosca?. Bueno, un señor de apellido Laplace inventó

la famosa transformada que lleva su nombre y que permite representar cualquier curva como

una suma de funciones trigonométricas. Así podemos tener ecuaciones que representan no

solo a las formas ideales sino también a las reales: esta transformación es una herramienta de

enorme valor para representar, por ejemplo, los complicadísimos fenómenos ondulatorios, tan

comunes en la naturaleza.

Formas y predicciones: geometría y álgebra; representar curvas y formas como ecuaciones

nos permite predecir el futuro. Como conocemos la ecuación de la parábola podemos predecir

exactamente la trayectoria de cualquier cosa que tiremos si conocemos las fuerzas que están

actuando en el momento. Gracias a eso se pueden poner satélites en órbita y también se

puede apuntar un cañón, entre muchas otras cosas útiles.

La suma infinita: pero a medida que tratamos de crear modelos (ecuaciones) más exactos

vamos necesitando nuevos métodos: es lo que le pasó a Newton cuando trataba de modelar

fenómenos más complicados, llegado un momento necesitó calcular áreas que no

correspondían a ninguna de las formas ideales, para las cuales conocemos su ecuación.

Teniendo una curva cualquiera Newton necesitaba saber cual era el área encerrada debajo de

ella, como ni la geometría ni el álgebra clásicos le daban respuesta a esto tuvo que desarrollar

el cálculo diferencial e integral.

La idea intuitiva del cálculo también es bastante simple: como la curva es “irregular” se trataba

de sumar infinitos rectángulos de un ancho muy pequeño (infinitesimal) y de distinta altura. La

operación algebraica para hacer esto no es tan sencilla, tampoco el desarrollo formal de los

métodos, pero la idea fundamental, intuitiva sigue siendo simple: Una integral definida es una

suma de rectángulos infinitesimalmente delgados.

Y la parte complicada: cuando empezaron a estudiarse los fenómenos electromagnéticos el

asunto se complicó bastante. La verdad es que un campo eléctrico y otro magnético,

esféricos, desplazados en noventa grados, y que a su vez avanza en dirección perpendicular a

ambos es un asunto que ninguna persona normal se puede imaginar usando la intuición,

entonces llegamos a un punto en que los fenómenos físicos ya no pueden ser imaginados sino

que solamente representados matemáticamente. Surge el cálculo vectorial para

representarlos, con conceptos que ya casi no tienen nada de intuitivo: gradiente, rotor y

divergencia.

Peor aún en el estudio de las partículas subatómicas y de la física cuántica, donde los

fenómenos pierden gran parte de su equivalencia con percepciones a las que estamos

acostumbrados. Es lo que ocurre con la representación de partícula-onda, el principio de

incertidumbre, los cuantos, etc. Que ya no pueden ser imaginados sino solo representados –y

manipulados- matemáticamente por una combinación de estadísticas con el cálculo tensorial.

Por allí la cosa ya se pone peluda, y yo mejor no me meto.

Para ser un buen matemático: las condiciones que debe tener un buen matemático son

contradictorias; por una parte debe tener facilidad con la operatoria mecánica, capacidad de

concentración y habilidad para desenredar asuntos complicados. Por otra parte debe tener

golpe de vista, intuición, capacidad para inventar, "ver" cosas que aún no entiende.

Generalmente en los matemáticos predomina bien la parte mecánica o bien la intuitiva, solo

los muy grandes tienen ambas simultáneamente, el mismo Einstein reconocía tener problemas

de concentración y ser "muy lento" para entender las matemáticas que necesitaba en su

trabajo, siempre trabajó con ayudantes para el desarrollo pesado.

Por eso la formación matemática exige un durísimo entrenamiento mecánico: se necesitan

años de agrupar términos semejantes, factorizar, simplificar, despejar y reconocer ecuaciones

típicas antes de poder entender el fondo del asunto. Igual que el atleta debe entrenar duro

todos los días, un futuro matemático debe hacer lo mismo hasta desarrollar habilidades que

nuestro cerebro no trae de fábrica. Me imagino que antiguamente debe haber sido todavía

peor.

A mi me gustaría que me hubiesen enseñado matemáticas de manera distinta. Me vinieron a

gustar demasiado tarde, después de años de memorizar y entrenarme en la aburridísima

operatoria y mecánica algebraica. Creo que las matemáticas no debieran enseñarse con una

aproximación lógica (casi cronológica) como se hace ahora, sino que debiera ir a saltos de

modo de entregar una visión mucho más global e interesante, que haga ver que es algo que

realmente vale la pena aprender., que motive a sacrificarse.

Me parece que el actual sistema solo entusiasma a los "mecánicos de nacimiento", los que

cuando llega el momento de innovar se dan cuenta que han alcanzado su límite. Me gustaría

pensar que a alguien que esté estudiando el ciclo básico de matemáticas en la universidad le

sirviera esto que he escrito para tener una idea de adonde va la micro y darse cuenta que toda

la aridez y sacrificio que requiere dominar la operatoria al final tienen su recompensa.