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MATEMATICAS PARA EL ANLISIS ECONMICO

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MATEMATICAS PARA EL ANLISIS ECONMICO

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" MATEMATICASPARA EL

ANLISIS ECONMICOKnut fu:!lsaeterUniversity olOsloTraduccin:Manuel Jess Soto Prieto Jos Luis Vicente Crdoba Universidad de Sevilla

Peter HammondStanlord

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Revisin tcnica:Emilio Cerd Tena Universidad Complutense de Madrid Xavier Martnez Guiralt Universidad Autnoma de Barcelona

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PRENTICE

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Madrid e Upper Saddle River e Londres e Mxico e Nueva Delhi Ro de Janeiro e Singapur e Sydney e Tokio e Toronto

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datos de catalogacin bibliogrfica

SYDSAETER, K. YHAMMOND, P. Matemticas para el anlisis econmico PRENTICE HALL,Madrid,1996 ISBN: 0-13-240615-2 MATERIA: Matemticas 51 Economa en general 33 CDU 51.7 Formato: 200 x 250nun Pginas 796

KNUT SYDSAETER & PETER HAMMOND Matemticas para el anlisis econmicoNo esta permitida la reproduccin total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisin por cualquier medio o mtodo sin autorizacin escrita de la Editorial.DERECHOS RESERVADOS

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1996 respecto a la primera edicin en espaol por: P R E N TIC E H A L L International (UK) Ltd. Campus 400, Maylands Avenue Heme! Hempstead Hertfordshire, HP2 7EZ Simon & Schuster International A Viacom Company

ISBN: 0-13-240615-2 Depsito legal: M. 9.651-1998 1. reimpresin, 1998

Traducido de:MATHEMATICS FOR ECONOMIC ANALYSIS.

P R E N TIC E H A L L , INC.- Simon & Schuster International A Viacom Company Copyright MCMXCV ISBN: 0-13-583600-X

Edicin en espaol: Editor: Andrs Otero Diseo de cubierta: Diseo y Comunicacin Visual Composicin: Manuel Jess Soto Impreso por: Fareso S.A.IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAlN

Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos

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MATEMATICAS PARA EL ANLISIS ECONMICO

A nuestras esposas internacionales, Gull-Maj y Mrudula, cuyas prontas sonrisas nos ayudan tanto.

Contenid~s

Prlogo xvii

1 ______Introduccin 11.1 Por qu los economistas usan las matemticas 1 1.2 El mtodo cientfico en las ciencias empricas 3 1.3 El uso de los smbolos en matemticas 5 1.4 El sistema de los nmeros reales 9 1.5 Algunos aspectos de lgica 15 1.6 Demostracin matemtica 21 1.7 Teora de conjuntos 23

CID. ESPOL

2 _____Funciones de una variable: introduccin2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Introduccin 30 Funciones de una variable real 32 Grficas 37 Grficas de funciones 43 Funciones lineales 46

30

3 ______Polinomios, potencias y exponenciales 583.1 Funciones cuadrticas 58 3.2 Ejemplos de problemas de optimizacin cuadrtica 62ix

X

Contenidos

3.3 3.4 3.5 3.6

Polinomios 64 Funciones potenciales 69 Funciones exponenciales 75 El concepto general de funcin 79

4 ______Clculo diferencial de una variable4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

83

Pendientes de curvas 83 La pendiente de la tangente y la derivada 85 Tasas de variacin y su significado econmico 90 Una pincelada sobre lmites 93 Reglas sencillas de derivacin 100 Derivacin de sumas, productos y cocientes 104 Derivadas de segundo orden y de orden superior 111

5 ______Ms sobre derivacin 1145.1 La Regla generalizada de la potencia 114 5.2 Funciones compuestas y regla de la cadena 117 5.3 Derivacin implcita 122 5.4 Aproximaciones lineales y diferenciales 128 5.5 Aproximaciones polinmicas 132 5.6 Elasticidades 135

_,_6 ______Lmites, continuidad y series6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

139

Lmites 140 Continuidad 146 Continuidad y derivabilidad 151 Sucesiones Infinitas 153 Series 155 Valor actual descontado e inversin 161 Un estudio riguroso de los lmites (opcional) 164

Contenidos

xl

. 7 ______Consecuencias de la continuidad y de la derivabilidad7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 El teorema del valor intermedio 170 El teorema de los valores extremos 172 El teorema del valor medio 175 Frmula de Taylor 179 Formas indeterminadas y regla de 1'Hpital 184 Funciones inversas 187

169

8 _____Funciones exponenciales y logartmicas8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

196

La funcin exponencial natural 196 La funcin logartmica natural 200 Generalizaciones 209 Aplicaciones de exponenciales y logaritmos 214 Inters compuesto. Valores actuales descontados 220

"'--9 _______ /Optimizacin en una variable9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

224

Definiciones bsicas 224 El test de la derivada primera para los puntos ptimos 226 Maneras alternativas de hallar mximos y mnimos 230 Mximos y mnimos locales 234 Funciones convexas y cncavas y puntos de inflexin 241 Ms sobre funciones cncavas y convexas 250

-10 _ _ __Integracin 25610.1 reas bajo curvas 257 10.2 Integrales indefinidas 261 10.3 La integral defiriida 266 10.4 Aplicaciones econmicas de la integracin 272

xii

Contenidos

11 _ _ __Otros temas de integracin 27911.1 Integracin por partes 279 11.2 Integracin por sustitucin 283 11.3 Extensin del concepto de integral 288 11.4 Una nota sobre distribucin de rentas y curvas de Lorenz 296

_12 _ _ __lgebra lineal: vectores y matrices 30012.1 Sistemas de ecuaciones lineales 301 12.2 Vectores 304 12.3 Interpretaciones geomtricas de los vectores 308 12.4 El producto escalar 311 12.5 Rectas y planos 317 12.6 Matrices y operaciones con matrices 320 12.7 Multiplicacin de matrices 323 12.8 Reglas para la multiplicacin de matrices 327 12.9 La traspuesta 332

- 13 _ _ _ __Determinantes y matrices inversas 33613.1 Determinantes de orden 2 336 13.2 Determinantes de orden 3 339 13.3 Determinantes de orden n 343 13.4 Reglas bsicas para los determinantes 346 13.5 Desarrollo por adjuntos 351 13.6 La inversa de una matriz 354 13.7 Una frmula general para la inversa 360 13.8 Regla de Cramer 364

'14 _ _ __Otros temas de lgebra lineal 36714.1 Independencia lineal 367 14.2 El rango de una matriz 372 14.3 Resultados principales sobre sistemas de ecuaciones lineales 375

Contenidos

xiii

14.4 Autovalores 380 14.5 Diagonalizacin 385 14.6 El teorema espectral para las matrices simtricas 388

15 _ _ _ __Funciones de varias variables 39015.1 Funciones de dos o ms variables 390 15.2 Representacin geomtrica de las funciones de varias variables 395 15.3 Derivadas parciales en dos variables 401 15.4 Derivadas parciales y planos tangentes 406 15.5 Derivadas parciales de funciones de varias variables 409 15.6 Derivadas parciales en economa 412 15.7 Modelos lineales con objetivos cuadrticos 415 15.8 Formas cuadrticas en dos variables 420 15.9 Formas cuadrticas en varias variables 423

-16 _ _ _ __Tcnicas de esttica comparativa 42916.1 La regla de la cadena 429 16.2 Generalizaciones de la regla de la cadena 435 16.3 Derivadas de funciones definidas implcitamente 440 16.4 Elasticidades parciales 447 16.5 Funciones homogneas de dos variables 451 16.6 Funciones homogneas generales y funciones homotticas 455 16.7 Ms sobre derivacin implcita 460 16.8 Aproximaciones lineales y diferenciales 462 16.9 Sistemas de ecuaciones 467 16.10 El teorema de la funcin im.plcita (opcional) 473

17 _ _ __Optimizacin en varias variables 47517.1 17.2 17.3 17.4 Optimizacin en dos variables 476 Mximos y mnimos con nociones de Topologa 480 El teorema de los valores extremos y cmo usarlo 483 Puntos ptimos locales 488

xlv

Contenidos

17.5 Conjuntos convexos 494 17.6 Funciones cncavas y convexas 496 17.7 Condiciones tiles de concavidad y convexidad 502 17.8 Tests de la derivada segunda para concavidad y convexidad: El caso de dos variables 505 17.9 Tests de la segunda derivada para concavidad y convexidad: El caso de n variables 509 17.10 Funciones cuasi cncavas y cuasiconvexas 513*

18 _ _ _ __520

Optimizacin restringida

18.1 Dos variables y una restriccin de igualdad 521 18.2 El mtodo de los multiplicadores de Lagrange 523 18.3 Demostracin analtica del mtodo lagrangiano (opcional) 530 18.4 Condiciones suficientes 532 18.5 Problemas lagrangianos ms generales 535 18.6 Interpretaciones econmicas de los multiplicadores de Lagrange 539 18.7 Resultados sobre envolventes 542 18.8 Programacin no lineal: Una gua informal 544 18.9 Ms sobre programacin no lineal (opcional) 552 18.10 Resultados precisos (opcional) 558

==19 _ _ __Programacin lineal19.1 19.2 19.3 19.4 19.5

563

Preliminares 563 Introduccin a la teora de la dualidad 569 El teorema de dualidad 572 Una interpretacin econmica general 575 Holgura complementaria 576

20 _ _ __Ecuaciones en diferencias20.1 20.2 20.3 20.4

583

Ecuaciones en diferencias de primer orden 583 Inters compuesto y valor actual descontado 591 Ecuaciones lineales cQn coeficientes variables 593 Ecuaciones de segundo orden 5?5

Contenidos

XV

20.5 Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 600

21 _ _ _ __Ecuaciones diferenciales 60721.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 607 21.3 Hallar el camino conociendo la direccin 610 21.3 Ecuaciones diferenciales de variables separables I 611 21.4 Ecuaciones diferenciales de variables separables 11 616 21.5 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden I 620 21.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 11 624 21. 7 Teora cualitativa y estabilidad 626 21.8 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 631 21.9 Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 634

==A ______lgebra elementalA.1 A.2 A.3 AA A.5 A.6 A.7 A.8 A.9

641

Potencias 641 Races cuadradas 646 Reglas algebraicas 648 Factorizaciones 651 Fracciones 654 Ecuaciones sencillas y cmo resolverlas 659 Desigualdades 662 Ecuaciones cuadrtias o de segundo grado 667 Dos ecuaciones con dos incgnitas 672

- B ______Sumas, productos e induccin 675B.1 B.2 B.3 BA B.5 Notacin sumatoria 675 Reglas de las sumas 679 Sumas dobles 684 Productos 686 Induccin 687

xvi

Contenidos

c _____Funciones trigonomtricas690C.l Definiciones y resultados bsicos 690 C.2 Derivadas de las funciones trigonomtricas 696 C.3 Nmeros complejos 701

==D ______Geometra 705

Soluciones a los problemas impares 708 Bibliografa 765. ndice analtico 767

Prlogo

Propsito del libroLos estudiantes de economa de hoy necesitan diversas herramientas matemticas importantes. Entre otras, son necesarias el clculo para funciones de una y varias variables, as como unos conocimientos bsicos de los problemas de optimizacin en varias variables, con restricciones o sin ellas. El lgebra lineal se usa en teora econmica y ms extensamente en econometra. Todas estas tcnicas son tiles, y hasta esenciales, para los cursos superiores de economa, como economa del trabajo, organizacin industrial y finanzas pblicas. Los estudiantes de otras ramas, como la economa del desarrollo y del medio ambiente, en las cuales hay que considerar la evolucin de un sistema econmico a lo largo del tiempo, pueden sacar un enorme partido de la teora de ecuaciones diferenciales y en diferencias. La experiencia indica que bastantes profesores de estas reas de la economa suelen asignar como trabajo a los estudiantes la lectura de artculos recientemente publicados. As ven que, en general, la base matemtica de los estudiantes no es adecuada para entender incluso los trabajos menos tcnicos de este tipo. Incluso estudiantes que hayan realizado con aprovechamiento cursos intermedios en micro y macro--economa han utilizado poco clculo, si es que lo han utilizado. En general, los conocimientos de clculo que tienen los estudiantes de economa provienen, bien de la enseanza media, bien de cursos impartidos por los departamentos de matemticas de sus propias Facultades durante los primeros aos. Estos conocimientos no suelen sobrepasar la barrera de las funciones de una variable y, en general, se han adquirido per se, sin ver aplicaciones al campo de la economa. El propsito de este libro es ayudar a los estudiantes a adquirir las habilidades matemticas que necesitan para leer los artculos de economa menos tcnicos, al menos, y as ser capaces de desempear una labor de economistas o de analistas financieros en el mundo contemporneo. Como el ttulo del libro indica, se trata de un libro de matemticas, en el cual el material est ordenado de tal manera que los conocimientos se van adquiriendo progresivamente. Si, al mismo tiempo, el estudiante adquiere algunas intuiciones o tcnicas econmicas muy elementales, tanto mejor. A veces damos importancia a lo econmico no solamente para motivar un tema matemtico, sino para ayudar a tener una intuicin matemtica. Obviamente, para entender los ejemplos econmicos que aqu se exponen, ser bueno que el estudiante tenga un cierto conocimiento rudimentario de economa y de lo que sta trata. Sin embargo, es posible estudiar este libro antes de embarcarse en estudios de economa propiamente dichos. ste no es un libro sobre economa ni sobre economa matemtica. Esperamos que los estudiantes aprendan teora econmica, de forma sistemtica, en otros cursos. Consideraremos que habremos

xvii

xviii

Prlogo

tenido xito cuando estos estudiantes se puedan concentrar en la parte puramente econmica de dichos cursos, sin preocuparse de las matemticas subyacentes, que ya hayan aprendido aqu.

Caractersticas especialesDesde luego que ste no es el primer texto del mundo escrito con el propsito que acabamos de indicar. Pero creemos que una parte de su originalidad radica en cmo se ha organizado el material que contiene. Uno de los autores (Sydsreter) es profesor de matemticas en un departamento de economa. Tiene muchos aos de experiencia enseando a estudiantes materias de este tipo en Noruega, y gran parte del contenido de este libro est basado y traducido de sus libros de texto, escritos en noruego, que han sido utilizados ampliamente en Escandinavia. El otro autor (Harnmond) ha investigado y enseado teora econmica a ambos lados del Atlntico, y tiene una larga experiencia en la utilizacin de variadas tcnicas matemticas en el anlisis econmico. Tambin ha explicado cursos de matemticas para economistas, durante varios aos, en el departamento de economa de la Universidad de Stanford. A lo largo de todos estos aos hemos reunido un cierto nmero de ejemplos resueltos, as como problemas para proponer a los estudiantes. Incluimos en el libro una amplia seleccin de ellos. Somos conscientes de que nosotros mismos aprendimos bastante del material que incluimos a base de ejemplos y problemas. El hecho de que los libros de texto contengan un gran nmero de problemas es clsico para libros de matemticas, pero quizs no tanto en los de matemticas para economistas. Este libro contiene las soluciones de los problemas con nmeros impares. Las otras se pueden encontrar en otro libro, Instructor's Manual.! Hay otro aspecto de los problemas que merece la pena destacar. Aparentemente algunos de ellos contienen un exceso de notacin. Por ejemplo, una expresin del tipo Anoa b se podra sustituir simplemente por una constante c. Pero el punto importante de estos problemas es el ensear al estudiante a ver cundo se pueden hacer esas sustituciones y para qu sirven. Adems, en muchos de los casos, la notacin de esos problemas est tomada de artculos publicados de economa.

Temas estudiadosHemos incluido una gran parte de material elemental en los primeros captulos del libro, as como en los apndices. La experiencia indica que es muy difcil empezar un libro como ste a un nivel que sea realmente demasiado elemental. Hoy da, los estudiantes que ingresan en nuestras Facultades de Econmicas tienen una amplia cantidad de conocimientos bsicos y tcnicas matemticas, desde unas reglas algebraicas elementales hasta una cierta facilidad para el clculo con funciones de una variable. Sin embargo, hemos credo necesario incluir estos temas introductorios para que sirvan para refrescar conocimientos a aquellos estudiantes que los tengan ms flojos, de tal manera que todos pueden incorporarse al estudio del ncleo del libro. De nuevo esto viene motivado por la necesidad creciente de tcnicas matemticas en cursos avanzados de economa. Hemos incluido en el Instructor' s Manual algn material para tests, con la finalidad de que estudiantes y profesores. puedan comprobar la marcha del curso. El profesor ajustar el punto de partida y el ritmo a la situacin particular de sus estudiantes. Pero es ms importante que quien estudia pueda ver por s mismo sus particulares puntos fuertes y dbiles, sobre todo para pedir ayuda para salvar stos. As es probable que los primeros captulos sean de ms utilidad a los estudiantes menos aventajados. Adems, la gran cantidad de ejemplos econmico,s, como los problemas de optimizacin cuadrtica del Captulo 3, se ponen para motivar a los estudiantes que hayan podido encontrar tedioso estas materias en el pasado.1 N. del T. No traducido al espaiol en el momento de la publicacin de este libro

\Prlogo

xix

Despus del material introductorio en los Captulos 1 a 3 viene un tratamiento sencillo del clculo en una variable, contenido en los Captulos 4 a 11. Creemos que este es la materia que debe contener un curso elemental de este tipo. Luego viene el lgebra lineal (Captulos 12 a 14), clculo en varias variables (Captulos 15 y 16), teora de la optimizacin (Captulos 17 a 19) y ecuaciones en diferencias y diferenciales (Captulos 20 y 21), como materias importantes en economa. En un cierto sentido los captulos 12 a 21 son el ncleo del libro, la primera parte del cual es el lgebra lineal. Las personas que tengan una buena base de clculo en una variable casi pueden empezar aqu. De los primeros once captulos necesitarn solamente revisar rpidamente algunos temas especiales no tratados en los cursos estndar de clculo. La ordenacin de los captulos tiene su lgica, aunque hay algunas otras posibilidades. Por ejemplo, se podra haber puesto el Captulo 19 (sobre programacin lineal) antes del 14, o incluso del 13 (sobre lgebra lineal). En este caso las referencias al teorema de Kuhn-Tucker tendran que ser pospuestas hasta despus del Captulo 18. Tambin es posible que algunos profesores no quieran detenerse mucho en la integracin, especialmente en el Captulo 11, Y que la falta de tiempo impida estudiar los ltimos captulos.

Conceptos y tcnicas claveLas personas menos ambiciosas pueden querer concentrarse en aprender justo lo esencial de cada captulo. Por eso se han enmarcado estos puntos en el texto, para resaltar su importancia. Los problemas son esenciales para la comprensin de los conceptos, y se deben hacer los ms elementales. Las personas con ms ambiciones, o las dirigidas por profesores ms exigentes, deben intentar los problemas ms avanzados. Tambin pueden estudiar las secciones opcionales o el material en letra pequea. Este ltimo proporciona explicaciones de por qu ciertas tcnicas son adecuadas, o es una demostracin de un resultado. Siempre que sea posible, el estudiante debe saber por qu son ciertos los resultados y por qu hay que intentar resolver los problemas de una cierta forma; por eso hemos incluido explicaciones a nivel adecuado. Somos conscientes de que, aunque slo una minora de estudiantes comprender el libro en su totalidad, los otros pueden estar interesados en adquirir una cierta intuicin de las matemticas que estudian. Otra razn para incluir en el libro este tipo de material es que este texto puede servir de base para que profesores de departamentos de matemticas que quieran dar cursos, o partes de cursos, especializados en aplicaciones a la economa. Adems, si comparamos este libro con lo estndar para clculo en algunos departamentos de matemticas aplicadas, vemos que nosotros damos ms explicaciones y demostraciones.

AgradecimientosNancy Ralbin ley cuidadosamente la versin preliminar e hizo una buena cantidad de observaciones valiosas. Ella tambin nos ha ayudado a corregir algunos errores embarazosos. Ame Strjijm nos ha ayudado de muchas formas con los macros de TEX, con las figuras, y con sus comentarios sustanciosos sobre el material. Anders Rjijyer Berg ha comprobado las soluciones a la mayora de los problemas y ha sugerido varias correcciones al texto. Anders Fyhn ha hecho la mayora de las figuras usando MG (Mathematical Graphics System, de Israel y Adams). Agradecemos a Thorsten Rens, Uday Rajan, Mario Epelbaum, Susan Snyder y Reinhart John sus valiosas sugerencias que provienen de su experiencia de impartir cursos en Stanford y en Alemania usando versiones preliminares de este libro.

XX

Prlogo

El Instituto de Economa de la Universidad de Oslo y los Departamentos de Economa del Instituto Universitario de Florencia y de la Universidad de Stanford han acogido a los autores. Nuestro trabajo ha sido ms fcil gracias a la ayuda econmica prestada por el Instituto de Economa de la Universidad de Oslo, el Instituto Universitario de Florencia y la Fundacin Alexander von Humboldt. Vaya nuestro agradecimiento a estas personas e instituciones as como a todas las que nos han ayudado a que este libro sea una realidad.Peter Hammond y Knut Sydsteter

Kiel y Oslo, Febrero de 1994N. del T. La traduccin al espaol ha sido realizada en la Universidad de Sevilla, en la primavera de 1996

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1Introduccin

El mundo econmico es una regin nebulosa. Los primeros exploradores usaron visin no asistida. La Matemtica es elfaro mediante el cual lo que antes se vea tenue ahora surge con trazos firmes y marcados. La viejafantasmagor(a 1 desaparece. Vemos mejor. Tambin es mayor el alcance de nuestra visin. -lrving Fisher (1892)

1.1 POR QU LOS ECONOMISTAS USAN LAS MATEMTICASLa actividad econmica ha sido parte integrante de la vida humana durante miles de aos. La misma palabra "economa" viene del griego clsico y significa "gestin domstica". Incluso antes de los griegos, haba vendedores y mercaderes que mostraban comprensin de ciertos fenmenos econmicos. Por ejemplo, saban que una cosecha pobre implicaba un aumento de precio del maz, pero que una escasez de oro provocaba una disminucin de este precio. Durante muchos siglos los conceptos econmicos ms bsicos se expresaban en trminos sencillos, que requeran solamente una matemtica rudimentaria. A los vendedores, mercaderes, agricultores y otros agentes econmicos les bastaban ~onceptos como enteros y fracciones, junto con las cuatro reglas de la aritmtica, para discutir y debatir las actividades y sucesos econmicos que afectaban a sus vidas diarias. Con esas herramientas los mercaderes tenan suficiente para su contabilidad y para calcular los precios. Incluso los clculos de intereses de los prstamos no revestan complicacin. La aritmtica bastaba para cumplir estas tareas, aun sin los conceptos de cero y de sistema de numeracin decimal. Cuando se necesitaba un aparato para calcular, el baco tena suficiente potencia. La ciencia de la economa dio un giro en redondo en el siglo XVIII con la publicacin de trabajos como el de David Hume, Political Discourses (1752), el Tableau Economique de Fran~ois Quesnay (1758-1759), o The Wealth ofNations de Adam Smith (1776). Se empezaron a formalizar"Fantasmagora" es un tnnino inventado en 1802 para describir una exhibicin de ilusiones pticas producidas por una linterna mgica.

1

2

Captulo 1 Introduccin

los razonamientos econmicos y a desarrollarlos en teoras. Esto cre la necesidad de expresar interrelaciones e ideas, de complejidad creciente, de una manera automtica. Hacia mitad del siglo XIX algunos autores comenzaron a usar las matemticas para elaborar sus teoras. Entre los pioneros estaban economistas como Agustn Cournot (que fue el primero en definir y dibujar una curva de demanda y en usar el clculo diferencial para resolver problemas de maximizacin en economa) y Lon Walras (que se distingui por redactar y resolver el primer modelo multiecuacional para el equilibrio general de oferta y demanda en todos los mercados simultneamente). Descubrieron que muchas de sus ideas se podan formular de forma ms efectiva usando lenguaje matemtico, que inclua smbolos algebraicos, diagramas y grficos sencillos. En verdad, el uso del lenguaje matemtico ha hecho posible la introduccin de conceptos econmicos mucho ms sofisticados y de teoras econmicas cada vez ms complejas. Hoy da es esencial para un estudiante de economa una comprensin slida de las matemticas. Aunque se pueden dar de forma clara, sin usar matemticas, razonamientos convincentes de problemas econmicos sencillos que impliquen dos o tres variables, si queremos considerar muchas variables y la forma como interaccionan, es necesario recurrir a un modelo matemtico. Por ejemplo, supongamos que un organismo gubernamental planea dar una gran cantidad de nuevos permisos de construccin en un terreno que controla. Qu consecuencias tendr esto para el empleo? En principio, la incidencia mayor estar en el sector de la construccin, debido a la creacin de nuevos puestos de trabajo. Sin embargo, la construccin de casas nuevas requiere ladrillos, cemento, acero para refuerzos, madera, cristal y otros muchos materiales. As debe crecer el empleo en las empresas de suministro de estos productos. Pero estas empresas necesitan, a su vez, materiales que fabrican otras, y as sucesivamente. Adems de todos estos efectos de produccin, el crecimiento del empleo conlleva el de los ingresos. Si stos no son completamente absorbidos por los impuestos, se producir una mayor demanda de bienes de consumo. Esto, a su vez, implicar una mayor necesidad de nuevos empleos entre los productores de bienes de consumo y, de nuevo, el flujo de datos de entrada crece. Al mismo tiempo hay respuestas del sistema. Por ejemplo, ms ingresos generan ms demanda de vivienda. De esta forma, tanto los cambios positivos como los negativos en un sector de la economa de transmiten a los otros. La enseanza de este ejemplo es que el sistema econmico es tan complejo que los efectos finales son muy difciles de calcular sin recurrir a dispositivos matemticos formales tales como el "modelo de flujo circular de la renta", Un ejemplo es el modelo input-output que presentamos en la Seccin 12. L

Anlisis matemticoEl tema principal de este libro es una rama importante de las matemticas que se llama Anlisis Matemtico. Incluye el clculo diferencial e integral y sus extensiones. El clculo se desarroll al final del siglo XVII de la mano de Newton y Leibniz. Sus hallazgos transformaron completamente las matemticas, la fsica y las ingenieras, inyectndoles una nueva vida. De forma anloga, la introduccin del clculo en economa ha cambiado radicalmente la forma en que los economistas analizan el mundo que les rodea. Ahora se usa el clculo en muchas reas diferentes de la economa. Por ejemplo, se usa para estudiar los efectos de las variaciones de precios relativos sobre la demanda, los efectos de la variacin del precio o disponibilidad de una materia prima esencial como el petrleo en el proceso de produccin, las consecuencias econmicas del crecimiento de la poblacin, y hasta qu punto se pueden reducir las emisiones de dixido de carbono por la creacin de un impuesto sobre el uso de la energa. El siguiente episodio ilustra cmo los economistas usan el anlisis matemtico para resolver problemas prcticos. En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundacin ms importante de su historia. Los diques que protegan el pas fueron arrasados y murieron ms de 1.800 personas. Los

Seco 1.2/ El mtodo cientffico en las ciencias empricas

3

daos se cifraron en el 7% del producto nacional bruto de aquel ao. Se cre una comisin de investigacin sobre los hechos y sobre cmo prevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstruccin de los diques de tal forma que la seguridad fuese total requera desembolsos astronmicos, y poda no ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de compromiso, o equilibrio, entre costes y seguridad: diques ms altos eran ms costosos, pero reducan las posibilidades de futuras inundaciones. Por tanto, la comisin se enfrent al problema de seleccionar la altura ptima de los diques. Algunos economistas aplicaron el anlisis coste-beneficio, que es una rama de la economa que usa el anlisis aatemtico, para sopesar los costes y beneficios de las diferentes alternativas de reconstruccin de los diques. Se discutir este problema con mayor detalle en el Problema 7 de la Seccin 8.4. Estos tipos de compromisos son centrales en economa. Conducen a problemas de optimizacin de un tipo que el anlisis matemtico maneja de forma natural.

1.2 EL MTODO CIENTFICO EN LAS CIENCIAS EMPRICASLa economa se considera hoy da como una ciencia emprica. Estas ciencias participan de una metodologa comn, que incluye los siguientes como sus elementos ms importantes: l. Observaciones cualitativas y cuantitativas de los fenmenos, bien directamente o por experimentos cuidadosamente diseados. 2. Procesamiento numrico y estadstico de los datos observados. 3. Construccin de modelos tericos que describan los fenmenos observados y expliquen las relaciones entre ellos. 4. Uso de esos modelos tericos para deducir predicciones. 5. Correccin y mejora de los modelos para que permitan mejores predicciones As las ciencias empricas se asientan sobre procesos de observacin, modelizacin y verificacin. Si una actividad pretende ser considerada como una ciencia emprica, cada uno de los puntos anteriores es importante. Observaciones sin teora producen un dibujo puramente descriptivo de la realidad, que carece de poder explicativo. Pero la teora sin observacin tiene el riesgo de perder el contacto con esa realidad que trata de explicar. Muchos episodios de la historia de la ciencia demuestran el peligro de que la "pura teora" carezca de fundamentos reales. Por ejemplo, hacia el ao 350 A.c. Aristteles desarroll la teora de que los objetos en cada libre tienen velocidad constante y que un objeto cae ms rpidamente cuanto ms pesado es. Esto fue refutado por Galileo Galilei de forma convincente en el siglo XVI cuando demostr (en parte dejando caer objetos desde la Torre Inclinada de Pisa) que, despreciando los efectos del rozamiento con el aire, la velocidad de cada de un objeto es proporcional al tiempo que lleva cayendo, y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los objetos, independientemente de su peso. As la teora aristotlica qued desacreditada mediante observaciones empricas. Hay un segundo ejemplo, que procede de la astronoma. En el ao 1800, Hegel dio un razonamiento filosfico para demostrar que slo puede haber siete planetas en el sistema solar. No obstante Hegel, el asteroide Ceres (que es un octavo cuerpo planetario) fue descubierto en enero de 1801. Se descubri Neptuno, el octavo planeta, en 1846 y en 1930, el noveno, Plutn. 2 Vista a posteriori, parece elemental la falsedad de las afirmaciones de Aristteles y Hegel. Sin embargo, en todas las ciencias hay aseveraciones falsas que se repiten una y otra vez y solamente2 El proceso del descubrimiento se bas en el estudio de cmo el movimiento de los planetas conocidos se desviaba de las rbitas previstas por la teora de la gravitacin de Newton. Estas perturbaciones permitan, incluso, predecir dnde se encontraba el planeta adicional que las produca. Hasta tiempos recientes los cientficos estaban usando an la teora de Newton para buscar un dcimo planeta cuya existencia sospechaban. Sin embargo, clculos ms exactos de las masas de los planetas exteriores parecen sugerir que no hay ms planetas por descubrir, despus de todo.

4

Capftulo 1 Introduccin

son refutadas ms tarde. La correccin de teoras inexactas es una parte importante de la actividad cientfica, y los ejemplos anteriores prueban la necesidad de asegurarse de que los modelos tericos estn apoyados por evidencia emprica. En economa, las hiptesis son normalmente menos precisas que en las ciencias fsicas y, por tanto, su eventual falsedad es menos evidente que las afirmaciones de Aristteles y Hegel que acabamos de ver. Sin embargo, hay unas pocas viejas teoras que se han desacreditado tanto que pocos economistas las toman ahora en serio. Un ejemplo de ellas es la "curva de Phillips" que pretenda demostrar cmo una economa poda establecer un compromiso entre desempleo e inflacin. La idea se basaba en que se poda crear empleo con recortes en los impuestos y/o aumento del gasto pblico, pero a costa de aumentar la inflacin. Recprocamente, se poda reducir la inflacin aumentando los impuestos o reduciendo el gasto pblico, pero a costa de mayor desempleo. A diferencia de Hegel, que no poda esperar contar todos los planetas, o de Aristteles, que presumiblemente no observ jams con atencin la cada de un cuerpo, la curva de Phillips se basaba en una observacin emprica. En un artculo publicado en 1958, A.W. Phillips estudi las medias de aumentos anuales de sueldos y el desempleo en la economa del Reino Unido en un largo periodo: 1861-1957. El dibujo de esas observaciones dio lugar a la curva de Phillips'y el binomio inflacindesempleo form parte de la economa convencional hasta la dcada de los setenta. Sin embargo, la dcada de elevada inflacin y desempleo que experimentaron muchas econ!,mas occidentales en el periodo 1973-1982 produjo observaciones que estaban claramente fuera de la curva de Phillips. El pretendido compromiso inflacin-desempleo fue muy difcil de mantener.De la misma fonna que las afinnaciones de Aristteles y Hegel se revisaron a la luz de nuevas evidencias, el episodio anterior produjo una profunda revisin de la teora en la que se basaba la curva de Phllps. Se sugiri que, confonne la poblacin aprenda a vivir con la inflacin, se ajustaban salarios y contratos de prstamos a las tasas de inflacin previstas. Entonces, el compromiso entre paro e inflacin que la curva de PhiUips pretenda describir se susttuy por uno nuevo, esta vez entre desempleo y desviacin de la inflacin de su tasa esperada. Pero la tasa esperada crece segn sube la inflacin actual. Por tanto, se pens que la disminucin del paro conducira, no slo a un aumento de la inflacin, sino a acelerar la inflacin que creca en cada periodo en ms de lo esperado. Por otra parte, cuando se poda esperar una inflacin alta, el combatirla con polticas conducentes a aumentar el paro llevara solamente a disminuciones graduales de la inflacin, ya que las expectativas que la gente tiene sobre la inflacin decaen lentamente. As hubo que revisar y extender la teora original de la curva de Phillips, a la luz de evidencias ms recientes.

Modelos y realidadEn el siglo XVIII el filsofo Emmanuel Kant consider la geometra eucldea como una descripcin absolutamente cierta del espacio fsico que observamos a travs de nuestros sentidos. Esta concepcin pareca evidente por s misma y la compartan todos los que haban reflexionado sobre ello. La razn de este acuerdo radicaba en el hecho de que todos los resultados de esta geometra se podan deducir, mediante una lgica irrefutable, de unos pocos axiomas que eran considerados como verdades evidentes sobre el espacio fsico. La primera persona que cuestion este punto de vista fue el matemtico alemn Gauss hacia principios del siglo XIX. Insisti en que la relacin entre el espacio fsico y el modelo de Euclides poda c1arificarse solamente por mtodos empricos. Durante la dcada de 1820 se desarroll la primera geometra no eucldea, esto es, una geometra basada en unos axiomas distintos de los de Euclides. Desde entonces se acepta que slo las observaciones pueden decidir qu modelo geomtrico suministra la mejor descripcin del espacio fsico. Esto prueba que puede haber una diferencia importante entre un modelo matemtico y sus posibles interpretaciones en la realidad. Ms an, puede ocurrir que haya ms de un modelo capaz de describir un cierto fenmeno, como la relacin entre la oferta monetaria y la inflacin en EE.UU. o Alemania. Ciertamente, ste parece ser a menudo el caso en economa. En tanto que los modelos

Seco 1.3/ El uso de los sfmbolos en matemticas

5

a considerar son consistentes internarnente, la mejor manera de seleccionar entre explicaciones que compiten entre s consiste normalmente en ver cul de ellas suministra la mejor descripcin de la realidad. Pero esto es, a menudo, muy difcil, especialmente en economa. Adems, debemos reconocer que un modelo cuyo objetivo sea explicar un fenmeno como la inflacin, no puede ser considerado nunca como una verdad absoluta; en el mejor de los casos es solamente una representacin aproximada de la realidad. No podemos jams considerar todos los factores que influyen en un fenmeno tan complejo. Si tratramos de hacerlo, obtendramos una teora descorazonadoramente complicada. Esto es cierto no s610 para los modelos de los fenmenos fsicos, sino para todos los modelos en las ciencias empricas. Estos comentarios son particularmente relevantes en la investigacin econmica. Consideremos, una vez ms, los efectos de permitir la construccin de nuevas viviendas. Para entender todas las implicaciones de esto, un economista requerira una cantidad increble de datos sobre millones de consumidores, negocios, bienes y servicios, etctera. n si se pudiera disponer de ellos con este nivel de detalle, su cantidad sobrepasara las capacidades de los computadores ms modernos. En sus intentos de entender las relaciones subyacentes al entramado econmico, los economistas se ven forzados a usar varios tipos de datos agrupados, entre otras simplificaciones. As debemos recordar siempre que un modelo es capaz solamente de dar una descripcin aproximada de la realidad. El objetivo de los investigadores empricos debera pasar por hacer que sus modelos reflejasen la realidad de la manera ms fiel y exacta posible.

1.3 El USO DE lOS SMBOLOS EN MATEMTICASAntes de comenzar a estudiar cualquier tema, es importante que todo el mundo se ponga de acuerdo en un "lenguaje" comn con el que hablar de l. Anlogamente, en el estudio de las matemticas (que es un lenguaje en s mismo en cierto sentido) es importante asegurarse de que todos entendemos lo mismo cuando vemos el mismo smbolo. Algunos smbolos en matemticas representan casi siempre un objeto matemtico definido. Unos ejemplos de esto son 3, .../2, 7r, Y [O, 1], que significan, respectivamente, tres nmeros especiales y un intervalo cerrado. Los smbolos de este tipo se llaman constantes lgicas. Frecuentemente necesitamos tambin smbolos que representen variables. Los objetos que se supone que una variable representa se dice que forman su dominio de variacin. Por ejemplo, usamos la letra x como un smbolo que representa a un nmero cuando escribimosX2 -

16 = (x

+ 4)(x

4)

Expresado en palabras esto dice lo siguiente: La diferencia entre el cuadrado del nmero que aqu se llama x y 16 es siempre igual al producto de los dos nmeros que se obtienen sumando 4 al nmero y restando 4 de l.(x + 4)( x - 4) se llama una identidad porque es vlida para todo x. En La igualdad X2 - 16 tales casos escribimos a veces X2 - 16 == (x + 4)(x 4), donde~ es el smbolo de identidad. se usa tambin de otras formas. Por ejemplo, escribimos que A 7rr 2 El signo de igualdad es la frmula del rea A de un crculo de radio r. Adems, el signo = se usa en ecuaciones comoX2

+x

12

O

donde x es ahora el smbolo de un nmero desconocido. Si sustItUimos x por varios nmeros descubrimos que la igualdad no se verifica casi nunca. De hecho, la ecuacin es cierta solamente para x = 3 y para x -4, por consiguiente esos nmeros se llaman sus soluciones.

6

Capftulo 1 / Introduccin

Ejemplo 1.1 Un granjero tiene 1.000 metros de malla para cercar un terreno rectangular. Si un lado del rectngulo es x (medido en metros), hallar el rea cercada cuando se hace x igual 150, 250, 350, Y para un x general. Qu valor de x cree el lector que encierra la mayor rea posible?

Solucin: Si el otro lado del rectngulo es y, entonces 2x+2y = 1.000. Por tanto, x+y 500, luego y = 500-x (vase Figura Ll) El rea A de este rectngulo (en m Z ) es, por consiguiente,

A

x(500 - x) = 500x

xZ

Puesto que ambos lados deben ser positivos, x debe ser positivo y 500 - x debe ser positivo. Esto significa que x debe estar entre y 500 m. Las reas, cuando x = 150, 250 y 350 valen 150 . 350 52.500, 250 . 250 = 62.500, y 350 . 150 = 52.500, respectivamente. De ellos, x = 250 da el mayor valor. En el Problema 7 de la Seccin 3.1 pediremos demostrar que x = 250 da realmente la mayor rea posible.

xFIGURA 1.1

Cuando se estudian problemas que requieren varias variables (pero no demasiadas), designamos a stas frecuentemente por letras distintas, como a, b, e, x, y, z, A, B, y as sucesivamente. A menudo se suplementan las letras del alfabeto latino con letras griegas maysculas y minsculas, como a, /3, , r, y Q. Si crece el nmero de variables, usamos subndices o superndices para distinguir unas de otras. Por ejemplo, supongamos que estamos estudiando el empleo de un pas que est dividido en 100 regiones, numeradas del 1 al 100. As designamos por NI al nmero de personas con empleo en la regin 1, por N z al de la regin 2 y as sucesivamente. En general definimos

Ni = nmero total de personas con empleo en la regin ,

1,2, ... ,100

La expresin = 1, 2, ... , 100 significa que el ndice i puede ser un nmero arbitrario entre 1 y 100. Si N S9 = 2.690, esto significa que 2.690 personas tienen empleo en la regin 59. Si queremos ir ms lejos y dividir a los trabajadores en hombres y mujeres, podemos designar por Ni(M) (Ni(H) H al nmero de mujeres (hombres) con empleo en la regin i. As debe ser Ni(M) + Ni ) Ni, para i = 1, 2, ... , 100. Obsrvese que esta notacin es mucho ms clara que si tuviramos que usar 100 letras diferentes para representar a las variables Ni -incluso si pudiramos encontrar 100 letras distintas en una combinacin de los alfabetos latino, griego, cirlico y snscrito! Muchos estudiantes que estn acostumbrados a manejar expresiones algebraicas en una sola variable (usualmente x) tienen dificultades al principio manejando expresiones en varias variables. Sin embargo, para los economistas, el ejemplo anterior demuestra lo importante que es tratar con expresiones y ecuaciones algebraicas en muchas variables distintas. Damos otro ejemplo.

Seo. 1.3/ El uso de los s(mbolos en matemticas

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Ejemplo 1.2

Consideramos el modelo macroeconmico sencillo

(1)donde Y es el producto nacional neto, es el consumo e Ila inversin total, que se considera fija. 3 La tres letras 1, a y b, designan constantes numricas positivas -por ejemplo, 1 lOO, a = 500 Y b = 0,8 son valores posibles de esas constantes. Ms bien que pensar en dos modelos distintos, uno con 1 = lOO, = 500 + 0,8Y Y otro con 1 = 150, = 600 + 0,9Y es preferible considerarlos como un caso particular del modelo general (1), donde 1, a y b son desconocidos y pueden variar; usualmente se les llama parmetros. Sin embargo, debe diferencirselos de las variables e Y del modelo. Despus de estas consideraciones sobre constantes como parmetros del modelo, resolver (1) en Y.

e

e

e

e

Solucin: Sustituyendo el valor se obtiene

e=

a + bY dado por la segunda ecuacin de (1) en la primera,

y

a+bY +1

Ahora se reordena esta ecuacin de tal forma que los trminos que contienen Y pasan al lado izquierdo. Se puede hacer esto aadiendo -bY a ambos miembros, cancelando as el trmino bY de la derecha, para obtener

Y -bY =a+lNtese que el miembro de la izquierda es igual a (1 b)Y, luego (1 b)Y a+. Dividiendo ambos miembros por 1 - b, de tal manera que el coeficiente de Y sea 1, se obtiene la respuesta, que es a 1Y I

l b + lb

Esta solucin nos da una frmula que expresa Y en trminos de los tres parmetros 1, a y b. Se puede aplicar la frmula para valores particulares de las constantes, como 1 lOO, a = 500, b = 0,8, para obtener la respuesta correcta en todos los casos. Ntese la potencia de esta forma de operar: se resuelve el modelo una nica vez y se hallan las respuestas numricas simplemente sustituyendo valores apropiados para los parmetros del modelo.

Problemas1 (a) Una persona compra X, X2 Y X3 unidades de tres productos cuyos precios unitarios son, respectivamente, P, P2 Y P3 Cul es el gasto total? (b) Un automvil de alquiler cuesta F dlares al da de cuota fija y b dlares por kilmetro. Cunto paga un cliente que conduce x kilmetros en 1 da? (c ) Una compaa tiene costes fijos de F dlares por ao y costes variables de e dlares por unidad producida. Hallar la expresin del coste total por unidad (coste total medio) que tiene la compaa si produce x unidades en un ao. (d) Una persona tiene un salario anual de L dlares y recibe un aumento del p% seguido de un segundo aumento del q%. Cul es el nuevo salario anual de esta persona? (e) Se pretende hacer una caja sin tapa a partir de una plancha cuadrada de estao de 18 cm de lado cortando cuadrados iguales de lado x de cada esquina y doblando sobre las aristas. Hallar el volumen de la caja. (Dibujar una figura.)3 En economa se usafrecuen~emente

W1a barra sobre W1 snbolo para indicar que es fijo.

8

Captulo 1 Introduccin

2 (a) Demostrar que

a+--100

ap

a. ( a+ToO 'p100

p)

se puede escribir en la forma

(b) Un objeto cuesta inicialmente 2.000$ y luego su precio aumenta un 5%. Ms adelante el objeto se rebaja un 5%. Cul es el precio final? (c) Un objeto cuesta inicialmente a dlares y luego su precio aumenta un p%. Ms adelante el objeto se rebaja un p% (del nuevo precio). Cul es el precio final? (Despus de resolver este problema, vase la expresin de la parte (a).) (d) Qu resulta si primero se rebaja el precio en un p% y luego se aumenta en un p%?

3 Resolver las siguientes ecuaciones en las variables que se indican:(a) x

= ~(ya

3)

+Y

en Y

(b) ax - b = ex(d) px

+d

en x

(c)

AKVL1+r

Yo

en L

+ qy = m=

en y

(e)

e en r

(f)

Y

a(Y - tY - k) + b + Ip + G en Y

1

+b

l+r4 La relacin entre la temperatura medida en grados Celsius (o centgrados) (e) y Fahrenheit (F) est dada por = ~(F 32).

e

(a) Calcular

e cuando F es 32; calcular F

cuando

e = 100.

(b) Hallar la expresin de F en trminos de

e.

(c) Un cierto da la temperatura en Oslo era de 40F, mientras que en Los ngeles era de 80F. Qu respondera el lector a la afirmacin de que en Los ngeles haca el doble de calor que en Oslo? (Indicacin: Hallar las dos temperaturas en grados Celsius.) 5 Si se extendiese una cuerda a lo largo de la superficie de la Tierra por el Ecuador, sera aproximadamente circular de una longitud de 40 millones de metros. Supongamos que queremos alargar la cuerda de tal manera que se eleve sobre el Ecuador 1 metro en cada punto. Cuntos metros de cuerda necesitaramos? (Trate el lector primero de intuir y luego halle la respuesta mediante un clculo preciso. Vase la frmula de la longitud de la circunferencia en el Apndice D.)

Problemas avanzados6 Resulvase el siguiente par de ecuaciones simultneas en x e y:

px + (1

q)y

=R

y

qx + (1 - p)y

=S

7 Considrese un tringulo equiltero y sea P un punto arbitrario del tringulo. Sean h, h 2 y h3 las distancias ms cortas desde P a cada uno de los tres lados. Probar que la suma h + h z + h3 es independiente de donde est colocado P en el tringulo. (Indicacin: Calcular el rea del tringulo como la suma de la de los tres tringulos.)

Seco 1.4/ El sistema de los nmeros reales

9

1.4 EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALESDios cre los enteros; el resto es obra del hombre. --L. Kronecker

Originariamente se introdujeron los nmeros reales para medir caractersticas fsicas como longitud, temperatura y tiempo. Los economistas los usan tambin para medir precios, cantidades, ingresos, tipos impositivos, tipos de inters y costes medios, entre otras cosas. Supondremos aqu que el lector tiene un cierto conocimiento del sistema de los nmeros reales pero, debido a su papel fundamental, estudiaremos de nuevo sus propiedades bsicas.

Nmeros naturales, enteros y racionalesLos nmeros que usamos cada da para contar son 1, 2, 3, .... stos son los llamados nmeros naturales. Aunque resulten familiares, estos nmeros son, en realidad, conceptos ms bien abstractos y avanzados. La civilizacin cruz un umbral significativo cuando capt la idea de que un rebao de cuatro ovejas y una coleccin de cuatro piedras tiene algo en comn: el carcter de "cuatro". Esta idea se represent por smbolos, como el primitivo :: (usado an en el domin o las cartas), el moderno 4 y el nmero romano IV. Esta nocin de cuatro se vuelve a inventar cuando cada nio pequeo comienza a desarrollar sus habilidades matemticas. Durante los estadios iniciales de muchas culturas, los problemas diarios motivaron las cuatro reglas de la aritmtica: adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. Si se suman o multiplican dos nmeros naturales se obtiene un nmero natural. En cambio, las operaciones de sustraccin 5 = -2), y divisin sugieren que se debe tener un cero (4 4 = O), nmeros negativos (3 Y fracciones (375 3/5). Los nmeros O, 1, 2, 3, ... se llaman enteros. Se les puede representar sobre una recta numrica como la de la Figura 1.2.

FIGURA 1.2 La recta numrica.

Los nmeros racionales son aquellos que, como 3/5, se pueden escribir en la forma a/b, donde = n/!. Son ejemplos de nmeros racionales los siguientes:

a y b son enteros. Un entero n es tambin un nmero racional, porque n11

125

1' Se pueden representar tambin los nmeros racionales sobre la recta numrica. Imaginemos que marcamos primero el nmero 1/2 y todos sus mltiplos, luego 1/3 y todos sus mltiplos y as sucesivamente. Se puede excusar al lector si piensa que, "al final" de todo este proceso, no quedar sitio en la recta para poner ms puntos. Sin embargo, esto es completamente falso. Ya los antiguos griegos comprendieron que quedaran "agujeros" en la recta numrica despus de representar sobre ella a todos los nmeros racionales. Esto se demuestra en la construccin de la Figura 1.3. 12 + 12 = 2, luego 8 ..;2. Se puede probar que El teorema de Pitgoras nos dice que 8 2 no hay dos enteros p y q tales que..;2 p/q. Por tanto, ..;2 no es un nmero racional. (Euclides prob este resultado hacia el ao 300 A.c., vase el Problema 3 en la Seccin 1.6.) Los nmeros racionales son, por tanto, insuficientes para medir todas las longitudes posibles, ms an reas y volmenes. Podemos remediar esta deficiencia ampliando el concepto de nmero

2'

70'

7 '

O

O

19,

126 -126 = , 100

10

Captulo 1 Introduccin

-1

o

1

v'2

2

3

FIGURA 1.3para incluir a los llamados nmeros irracionales. Esta extensin se puede llevar a cabo de una forma natural usando la notacin decimal para los nmeros.

El sistema decimalLa manera en que la mayora de la gente escribe hoy da los nmeros se llama el sistema decimal o sistema de base 10. Se trata de un sistema de posicin, con 10 como nmero base. Se puede escribir todo nmero natural usando slo los smbolos O, 1,2, ... , 9, que se llaman dgitos. El lector notar que "dgito" proviene de la palabra latina "digitus", que significa "dedo", y que la mayora de los humanos tienen 10 dedos. El sistema de posicin define cada combinacin de dgitos como una suma de dgitos por potencias de 1O, por ejemplo,

1.996

= 1 . 103 + 9 . 102 + 9 . 101 + 6 . 10

Todo nmero natural se puede expresar en esa forma. Con el uso de los signos + y -, se pueden escribir todos los enteros, positivos o negativos, de la misma manera. La coma decimal nos permite expresar nmeros racionales no enteros, como por ejemplo,

3,1415

= 3 + 1/101 + 4/102 + 1/103 + 5/104

Los nmeros racionales que pueden escribirse usando slo un nmero finito de cifras decimales se llaman fracciones decimales finitas. Cada fraccin decimal finita es un nmero racional, pero no todo nmero racional se puede expresar como una fraccin decimal finita. Nos vemos obligados a considerar tambin fracciones decimales infinitas como

100/3

33,333 ...

donde los puntos indican que el dgito 3 se repite indefinidamente.

Seco 1.4/ El sistema de los nmeros reales

11

Si la fraccin decimal es un nmero racional. entonces ser siempre peridica --esto es, hay un cierto lugar en la expresin decimal a partir del cual, o bien no hay ms dgitos, o bien se repite indefinidamente una sucesin finita de ellos. Por ejemplo, u/70 0,1 5714285714285 ....

--------------

Nmeros realesLa definicin de nmero real aparece como continuacin de la discusin anterior. Definimos un nmero real como una fraccin decimal arbitraria. Por tanto, un nmero real es de la forma x m.Q' Q'2Q'3 , donde m es un entero y Q'n (n = 1, 2 ... ) es una sucesin de dgitos

cada uno en el valor O a 9. Acabamos de identificar las fracciones decimales peridicas con los nmeros racionales. Aparte hay otros infinitos nmeros representados por fracciones decimales no -O, 7!', 20, peridicas. A stos se les llama los nmeros irracionales. Como ejemplos estn Y 0,12112111211112 .... En general ocurre que es muy difcil saber cundo un nmero dado es racional o irracional. En el ao 1776 se demostr que 7!' es irracional y en 1927 que 20 lo es asimismo. Sin embargo quedaba an por saber en 1993 si 20 + 30 era irracional o no. Se puede sacar la impresin de que hay relativamente pocos nmeros irracionales. Pero esto es falso; en un cierto sentido, hay infinitamente ms nmeros irracionales que racionales. Hemos dicho antes que cada nmero racional se puede representar como un punto de la recta numrica, pero no todos los puntos de ella representan nmeros racionales. Los irrac"ionales "rellenan" los huecos de la recta numrica, despus de que se hayan marcado en ella los racionales. As, un modelo satisfactorio de los nmeros reales es una recta, sin extremos y sin agujeros, con un origen y una unidad de longitud. De esta forma decimos que hay una correspondencia biunvoca entre los nmeros reales y los puntos de una recta numrica. Se dice que los nmeros racionales de un lado, y los irracionales de otro, son "densos" en la recta numrica. Esto significa que entre dos nmeros reales distintos, por muy juntos que se encuentren, hay siempre un nmero racional y otro irracional --de hecho hay infinitos de cada clase. Cuando las cuatro reglas de la aritmtica se aplican a los nmeros reales, el resultado es siempre un nmero real. La nica excepcin es que no se puede dividir por O.

Vi.

- no est definido para ningn nmero real aO

a

Esto es muy importante y no debe confundirse con Ola O, para todo a =F O. Ntese en particular que 010 no est definido. Por ejemplo, si un automvil necesita 60 litros de combustible para recorrer 600 kilmetros, entonces el consumo es de 60/6 = 10 litros cada 100 kilmetros. Sin embargo, si nos dicen que un automvil necesita O litros de gasolina para recorrer O kilmetros, no sabemos nada sobre el consumo; 010 no est definido.

DesigualdadesEn matemticas, y especialmente en economa, se encuentran desigualdades casi tan frecuentemente como igualdades. Por tanto, es importante saber y entender las reglas de clculo con desigualdades. Se dan stas en la Seccin A.7 del Apndice A. El ejemplo siguiente tiene inters en estadstica.

12

Captulo 1 / Introduccin

Ejemplo 1.3 Probar que, si a 2:

y b 2: 0, entonces-;-b a +b yao < - 2(1.1)

Solucin: (Se aconseja al lector que ensaye unas pocas veces, para ver si esta desigualdad se verifica, eligiendo algunos nmeros concretos y usando una calculadora.) Para demostrar la desigualdad basta comprobar que ab ::; (a + b? /4 porque la raz cuadrada del miembro de la izquierda no puede exceder la del de la derecha -esto es, v;;b ::; ! (a + b). Para demostrar eso basta probar que la diferencia entre el miembro de la derecha y el de la izquierda es no negativa. As,

2 2 2 2 (a+b)2 -ab= a +2ab+b -4ab = a -2ab+b = (a-b)2 >0 4 4 4 4Ntese que se puede usar la misma demostracin para probar que que a = b. El nmero! ((1, + b) se llama la media aritmtica de a y b, y trica. Qu dice de estas medias la igualdad (1.1)?

v;;b < !(a + b) a menos

v;;b se llama la media geom-

IntervalosSi a y b son dos nmeros de la recta numrica, el conjunto de los nmeros que estn entre a y b se llama un intervalo. En muchas situaciones es importante distinguir entre intervalos que incluyen sus extremos e intervalos que no los incluyen. Cuando a < b, hay cuatro intervalos distintos, todos con extremos a y b, como se ve en la Tabla 1.1. Ntese que los nombres de la tabla no distinguen [a, b) de (a, b]. Si quisiramos hacerlo deberamos hablar de intervalos "cerrados a izquierda", "abiertos a derecha", y as sucesivamente. Ntese asimismo que un intervalo abierto no incluye ninguno de sus extremos; en cambio, uno cerrado incluye a los dos. Los cuatro intervalos tienen sin embargo la misma longitud, a saber b - a.TABLA 1.1El intervalo consta de todos Notacin (a, b) [a, bJ (a, bJ [a, b) Nombre Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalo semi-abierto Intervalo semi-abierto los x que verifican: aFIGURA 3.1

(b) a> 0, b 0, b > 0, b2

= 4ac

Grficas de la parbola y = ax2 + bx + c.

Para responder a la pregunta 1 hay que resolver la ecuacin f (x) = O. En trminos geomtricos esto significa hallar los puntos de interseccin de la parbola con el eje x. Esos puntos se llaman los ceros de la funcin cuadrtica. En la Figura 3.1(a), los ceros estn representados por Xl y X2. en la Figura 3.1(b} no hay ceros, mientras que el grfico de la Figura 3.1(c) tiene un nico punto Xl de interseccin con el eje x. Se prueba en la Seccin A.8 del Apndice A que, si b2 ~ 4ac ya", 0, entonces

-b Vb 2 - 4ac ax 2 +bx+c=0 ~ x = - - - - - 2a

(3.2)

que es la expresin de las dos races de una ecuacin de segundo grado. Para demostrar esta frmula, hemos usado en el Apndice A el mtodo conocido bajo el nombre de "completar el cuadrado". Esta tcnica nos va a servir tambin para contestar a la pregunta 2. En efecto, cuando a '" 0, se puede escribir la funcin (3.1) as

b2

4ac 4a

(3.3)

Considrese la expresin despus del segundo signo de igualdad de (3.3). Cuando X vara, s610 cambia el valor de a(x + b/2a)2. Este trmino es igual a si X = -b/2a, y si a > 0, no es nunca negativo. Esto significa que, si a > 0, la funcin f(x) alcanza un mnimo para X -b/2a, yel valor de f(x) es entonces igual a f( -b/2a) = -(b2 - 4ac)/4a = e b2/4a. De otro lado, si a < 0, entonces a(x + b/2a)2 ::; O para todo x y el cuadrado es igual a cuando x -b/2a. Por tanto, f(x) alcanza un mximo para x = -b/2a en este caso. Resumiendo, hemos probado lo siguiente:

Si a

> 0, entonces f (x)

= ax 2 + bx

+ e tiene mnimo en

Si a

< 0, entonces f(x)

ax 2 + bx + e tiene un mximo en

(3.4)

60

Captulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

Si el lector tiene dificultades en seguir el razonamiento para deducir (3.4), debe estudiar con cuidado los ejemplos que siguen. Ejemplo 3.1 Completar el cuadrado, como en (3.3), para las funciones siguientes y hallar el mximo o mnimo de cada una:

(a) f(x) =

X2 -

4x + 3 (b) f(x)

-2x 2 + 40x

600

(e) f(x)2?1

Solucin: (a) X2 - 4x + 3 = (X2 4x) + 3 = (x 2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x La expresin (x - 2)2 - 1 alcanza el mnimo -1 para x = 2.

(b)

-2x 2 + 40x - 600 = -2(x2 -2(x=2

-

20x) - 600 20x + 100)400

-

+ 200

600

-2(x - lOf~(X2HX2

"

La expresin -2(x - 10)2 - 400 alcanza el mximo -400 para x

10.

(e)

~X2

+ ~x

~

+ 2x)

~~

+ 2x + 1) - ~

=}(x+l)2-3La expresin }(x + 1)2 - 3 alcanza el mnimo -3 para x =1.

Un ejercicio til es resolver los tres casos del Ejemplo 3.1 directamente usando las frmulas de (3.4), sustituyendo los parmetros a, b y e por los valores correspondientes. Comprobar que se obtienen los mismos resultados.

Problemas1 (a) Sea f(x)X2

4x. Rellenar la tabla siguiente:

xf(x)1

1 -11

O

1

1

2

1

3

1

4

1

5

(b) Usando la tabla anterior. dibujar la grfica de (e) Usando (3.3), detenninar el mnimo. (d) Resolver la ecuacin f(x) = O. 2 (a) Sea

f.

f (x)

- ~ X2

-

X

+ ~.

Rellenar la tabla siguiente:

xf(x)

(b) Usar la infonnacin de la parte (a) para dibujar la grfica de (e) Usando (3.3), detenninar el mximo. (d) Resolver la ecuacin~X2

f.

(e) Probar que f (x ) - ~ (x vara. Comparar el resultado con la grfica.

+ ~ = O en x. 1)(x + 3) Y usarlo para estudiar la variacin de signo de fx

cuando x

Seco 3.1/ Funciones cuadrticas

61

3 Completar los cuadrados como en (3.3) en las siguientes funciones cuadrticas y determinar su mximo o mnimo:

X2 + 4x (d) 9x 2 - 6x - 44(a)

(b) x 2 +6x+18 (e) _x 2 - 200x + 30.000

(c)

(f)

-3x 2 + 30x - 30 X2 + 100x - 20.000

4 Hallar los ceros de cada una de las funciones cuadrticas del Problema 3, escribindolas en la forma a(x - x)(x - X2) (si es posible). 5 Usar la frmula de (3.2) para hallar las soluciones de las ecuaciones siguientes, suponiendo que p y q son parmetros positivos.(a) x 2 -3px+2p2=0

(b) x 2 _(p+q)x+pq=0

(c)

x 2 +px+q=0

6 Se da una cuerda de longitud L a una persona para que delimite un rea rectangular. (a) Si uno de los lados es x, probar que el rea delimitada es A(x) = Lx/2 - x 2, con O ~ x ~ L/2. Hallar x para que el rea sea mxima. (b) Delimitar una circunferencia de longitud L un rea mayor que la que hemos hallado en (a)? (Se sabe que algunos agrimensores de la antigedad redactaron contratos de venta de parcelas en los cuales slo se especificaba el permetro. El resultado fue que los lotes constaban de rectngulos muy alargados y. estrechos. ) 7 Considrese la funcin dada por la frmula A = 500x - x 2, como en el Ejemplo 1.1 de la Seccin 1.3. Para qu valor de x se alcanza el mayor valor del rea A? 8 (a) Resolver x 4

5x 2 + 4 = O. (Indicacin: Hacer X2 = u formando una ecuacin cuadrtica en u.) (b) Resolver las ecuaciones (i) x 4 - 8x 2 - 9 = O y (ii) x 6 - 9x 3 + 8 = O.-

9 En la teora de mercados eficientes de crditos aparece un modelo dado por la funcin

U(x) = 72 - (4 + X)2 - (4 - rx)2donde r es una constante. Calcular el valor de x para el cual U(x) alcanza un mximo.10 Hallar la ecuacin de la parbola y = ax 2 + bx (Indicacin: Calcular a, b, c.)

+ e que

pasa por los puntos (1, -3), (O, -6), (3,15).

Problemas avanzados11 Se dice que la grfica de una funcin

f

es simtrica respecto de la recta x = p si

(para todo t) f(p - t) = f(p + t) 2 Probar que la parbola f(x) = ax + bx + e es simtrica respecto de la recta x = -b/2a. (Indicacin: Usar (3.3).)12 Sean a, a2, ... , a n y b, b2, ... , bn nmeros reales cualesquiera. Afirmamos que la desigualdad siguiente (llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz) se verifica siempre:

(ab

+ a2b2 + ... + an bn )2

~ (ai

+ a~ + ... + a;,)(bi + b~ + ... + b;,)

(3.5)

(a) Comprobar la desigualdad para (i) a = 1, a2 = 3, b = 2, b2 = 5 Y (ii) a = -3, a2 = 2, b = 5, b2 = -2. (En ambos casos, n = 2.) (b) Probar (3.5) usando el siguiente artificio: primeramente se define

f, para todo x, por

f(x) = (ax

+ bd + ... + (anx + bn )2

62

CapItulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

Es claro que f(x) ?: O para todo x. Escn'base f(x) en la fonna AX2 + Bx + C, donde A, B, C estn dados en funcin de los tnninos de (3.5). Puesto que AX2 + Bx + C ?: O para todo x, se debe tener B2 - 4AC O. Por qu? De aqu se deduce la conclusin.

:s

3.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACiN CUADRTICAUna buena parte de la economa matemtica trata de problemas de optimizacin. La economa es, despus de todo, la ciencia de la eleccin y los problemas de optimizacin son la forma en que la eleccin se expresa matemticamente. Se debe posponer una discusin general de estos problemas hasta que hayamos desarrollado las herramientas necesarias en el clculo. AqU vamos a demostrar cmo se puede usar el clculo del mximo de las funciones cuadrticas, que vimos en la seccin anterior, para ilustrar algunas ideas econmicas bsicas.Ejemplo 3.2 (Un problema de monopolio) Consideremos una empresa que es la nica que vende un cierto bien, digamos un medicamento patentado, y as tiene el monopolio. Se supone que los costes totales del monopolista vienen dados por la funcin cuadrtica

e = aQ + f3Q2,P = a - bQ,

Q ~

o

(1)

de su nivel de produccin Q, donde a y f3 son constantes positivas. Para cada Q, se supone que el precio P al que puede vender la produccin viene determinado por la funcin lineal "inversa" de demanda

Q ~O

(2)

donde a y b son constantes con a > O Y b ~ O. Por tanto, para todo Q no negativo, el ingreso total R viene dado por la funcin cuadrtica

R1r(Q) = R

= PQ = (a aQ

bQ)Q f3Q2(a - a)Q - (b

y el beneficio por la funcin cuadrtica l

e=M

(a

bQ)Q

+ f3)Q2

(3)

El objetivo del monopolista es hacer mximo 1r = 1r(Q). Usando (3.4) vemos que hay un mximo de 1r (para el monopolista M) en

a

a

Q

= 2(b + f3)

con

1r

M

(a - a)2 =---

4(b + f3)

(4)

Esto es vlido si a > a; si a :s; a, la empresa no producir y tendr QM = O Y 1r M = O. Los dos casos estn recogidos en las Figuras 3.2 y 3.3. El precio y coste asociados se pueden hallar por clculos rutinarios. Si ponemos b = O en (2), entonces P = a para todo Q. En este caso, la eleccin por la empresa del nivel de produccin no tiene influencia en el precio y se dice que la empresa O, vemos que el es perfectamente competitiva. Sustituyendo a por P en (3) y haciendo b beneficio se hace mximo para una empresa perfectamente competitiva en

Q*

P-a 2f3

con

(P - a)2 4f3

(5)

Antes se ha usado 1r para.desigar la razn constante 3,14159 ... de la longitud de una circunferencia a su dimetro. En economa, no se usa esta constante con mucha frecuencia, y as se ha llegado a usar 1r para designar beneficio o probabilidad.

Seco 3.2/ Ejemplos de problemas de optimizacin cuadrtica

63

11"

~~--~----+------Q

a-o.

2(b + f:J) 2(b + f:J) b+ f:J

FIGURA 3.2 La funcin de beneficios, a

> a.

FIGURA 3.3 La funcin de beneficios, a

~

a.

siempre y cuando P > a. Si P ::; a, es Q* == O Y 11"* O. Resolviendo la primera ecuacin de (5) en P se obtiene P

= a + 2f3Q*.

As,

P

a

+ 2f3Q*

(6)

representa la curva de oferta de la empresa perfectamente competitiva, para P > a cuando Q* > O, mientras que para P ::; a, el beneficio que hace mxima la produccin Q* es O. La curva de la Figura 3.4 es la de oferta, que relaciona el precio del mercado con la eleccin, por parte de la empresa, de su cantidad de produccin; incluye todos los puntos entre el origen y

{O, a).p

P

= a+2f:JQ

~-------------------+Q

FIGURA 3.4

La curva de oferta de una empresa perfectamente competitiva.

Volvamos a la empresa monopolstica (que no tiene curva de oferta). Si de alguna forma se le pudiera hacer comportar como una empresa competitiva, tomando el precio como dato, estara en la curva de oferta (6). Dada la curva de demanda P a - bQ, hay equilibrio entre oferta y demanda cuando se verifica (6) tambin y as P = a - bQ = a + 2f3Q. Resolviendo la segunda ecuaci6n en Q y sustituyendo en P y 11" a su vez, vemos que el nivel de equilibrio de producci6n, el precio correspondiente y el beneficio seran

2af3 + ab b + 213 '

11"

e

= '---::'-----::-"-:-

f3(a af (b + 213)2

(7)

Para que el monopolista pueda imitar a una empresa competitiva eligiendo estar en la posicin (Qe, pe), puede ser deseable gravar (o subvencionar) la produccin. Supongamos que el monopolista debe pagar un impuesto t por unidad producida. Puesto que el pago tQ en concepto de impuestos se aade a los costes de la empresa, la nueva funcin de costes totales es

(8)

64

Capftulo 3/ Polnomos. potencias y exponenciales

Despus de algunos clculos como antes, pero con a de produccin del monopolista:

+ t en lugar de a, se obtiene la eleccin

Qtt =

{

a 2(b: (3/' O,

si a a + t en otro caso

~

(9)

Por tanto, Qf1 Qe cuando (a a t)j2(b + (3) = (a - a)j(b + 2(3). Resolviendo esta ecuacin en t se obtiene t = -(a - a)bj(b + 2(3). Ntese que t es negativo, lo que indica que es deseable subvencionar la produccin del monopolista para animar su aumento. (Desde luego, generalmente se considera injusto subvencionar monopolistas y hay que considerar muchas complicaciones adicionales antes de formular una poltica idnea para tratar a los monopolistas. El anlisis anterior sugiere que, si la justicia requiere rebajar el precio o beneficio de una empresa monopolista, esto se hace mucho mejor directamente que a travs de impuestos a la produccin.)

Problemas1 Una empresa importadora-exportadora de coco rallado vende Q toneladas en Inglaterra y recibe un precio dado por P al - ~Q. Por otra parte, si compra Q toneladas de su nico proveedor en Gbana, tiene que pagar un precio dado por P = a2 + ~Q. Adems, le cuesta 'Y el transporte por tonelada, desde el proveedor en Ghana hasta los clientes en Inglaterra (su nico mercado). Los nmeros al. a2 Y 'Y positivos. (a) Hallar el beneficio de la empresa en funcin de Q, nmero de toneladas vendidas. (b) Suponiendo que al - a2 'Y > O. hallar la cantidad que hace mximo el beneficio. Qu ocurre si al a2 'Y S; O? (c ) Supongamos que el gobierno de Ghana impone un gravamen de t por tonelada a la exportacin de coco. Hallar la nueva expresin de los beneficios de la empresa y la nueva cantidad exportada. (d) Calcular los ingresos del gobierno por este impuesto en funcin de t y aconsejar cmo se puede obtener el mximo posible de ingresos por este concepto.

3.3 POLINOMIOSDespus de considerar funciones lineales y cuadrticas, el siguiente paso lgico sera considerar funciones cbicas, esto es, de la forma (a, b, e, d constantes; a

=/: O)

(3.6)

Es relativamente fcil entender el comportamiento de las funciones lineales y cuadrticas a partir de sus grficas. Las funciones cbicas son notablemente ms complicadas porque la forma de las grficas cambia drsticamente cuando los coeficientes a, b, e, d varan. En las Figuras 3.5 y 3.6 damos dos ejemplos. Las funciones cbicas aparecen ocasionalmente en los modelos econmicos. Veamos un ejemplo tpico. Ejemplo 3.3 Consideremos una empresa que produce un nico bien. El coste total de producir Q unidades es C(Q). Las funciones de costes tienen a menudo las siguientes propiedades: Primeramente, C(O) es positivo, porque siempre hay un gasto inicial fijo. Cuando aumenta la produccin, tambin aumentan los costes. Al principio los costes crecen rpidamente, pero la tasa de crecimiento se hace ms pequea a medida que el equipo de produccin se va usando en proporcin

Seco 3.3/ Polinomios

65

y1510

y

yf(x) =_X 3

C(Q)

+ 4x2 -

X -

6

5

-2

4

-r-----------------QFIGURA 3.5 Una funcin cbica. FIGURA 3.6 Una funcin cbica de costes.

ms alta cada semana laboral. Sin embargo, a altos niveles de produccin, los costes vuelven a crecer a una tasa alta, por los cuellos de botella tcnicos y por los pagos de horas extras a los trabajadores, por ejemplo. La funcin cbica de costes C(Q) = aQ3 + bQ2 + cQ + d tiene este comportamiento cuando a > O, b < O, e > O Y d > O. Una funcin como sta es la que representa la Figura 3.6.

Polinomios generalesLas funciones lineales, cuadrticas y cbicas son ejemplos de polinomios. La funcin P definida para todo x por (las a son constantes y a n =1- O) (3.7) se llama el polinomio general de grado n. Cuando n = 4 tenemos P(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + al x + ao, que es el polinomio general de grado 4. Muchos problemas de matemticas y sus aplicaciones requieren polinomios. A menudo interesa hallar el nmero y la localizacin de los ceros de P (x) -esto es, los valores de x tales que P ( x) = O. La ecuacin (3.8) se llama la ecuacin general de orden n. Pronto demostraremos que esta ecuacin tiene a lo ms n soluciones reales, llamadas tambin races, pero puede no tener ninguna. Segn el teorema fundamental del lgebra, se puede escribir todo polinomio de la forma (3.7) como producto de polinomios de primer y segundo grado. Un caso complicado es, por ejemplo:

x5

x4 +

X -

1 = (x - 1)( x 4 + 1) = (x - 1) (X2

hx + 1)( X2 + hx + 1)

Races enterasSupongamos que Xo es un entero que verifica la ecuacin cbica _x 3 + 4x2 X - 6 equivalentemente, - x 3 + 4x 2 X 6. Entonces Xo debe tambin verificar la ecuacin O o,

Puesto que Xo es entero, 4xo y + 4xo - 1 deben serlo tambin. Pero ya que Xo multiplicado por el entero + 4xo - 1 es igual a 6, el nmero Xo debe ser un divisor de 6 -esto es, 6 deber ser divisible por xo. Ahora bien, los nicos enteros que dividen a 6 son 1, 2, 3 Y 6. Sustituyendo en el miembro de la izquierda de la ecuacin (*) se obtiene que, de las ocho

-xa

xa,

-xa

xo(-x~+4xo

1)

6

(*)

66

CapItulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

posibilidades, slo -1, 2 Y 3 son races de la ecuacin. Como una ecuacin de tercer grado tiene a lo ms tres races, las hemos hallado todas. En general, se puede enunciar lo siguiente:

Supongamos que an , ecuacin

an-, ... , ah

ao son enteros. Todas las races enteras posibles de la(3.9)

deben dividir al trmino independiente ao.

Demostracin:

Si

Xo

es una raz entera entoncesxo{anx~-l

Xo

debe verificar la ecuacin

+ an_IX~-2 + ... + a) = -ao

Los dos factores de la izquierda son enteros, luego -ao debe ser divisible por cada uno de ellos y, en particular, por xo. Por tanto, ao debe ser divisible por xo.

Ejemplo 3.4 Hallar todas las races enteras posibles de la ecuacin x 3

!

-

X2

+ !x

1 = O.

Solucin: Multiplicamos ambos lados de la ecuacin por 2 para tener una ecuacin con coeficientes enteros: x 3 - 2x 2 + X - 2 = O

Segn (3.9), todas las soluciones enteras de la ecuacin deben dividir a -2. Por tanto, slo l y 2 son las posibles soluciones enteras. Comprobando se ve que x = 2 es la nica solucin entera. De hecho. puesto que x 3 2x 2 + X - 2 = (x - 2)(x 2 + 1), hay una nica raz real.

El teorema del restoSean P(x) y Q(x) dos polinomios tales que el grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x). Entonces existen siempre polinomios nicos q(x) y r(x) tales que

P(x) = q(x)Q(x)

+ r(x)

(3.10)

con el grado de r(x) menor que el de Q(x). Este resultado se llama el teorema del resto. Cuando x es tal que Q(x) =-10, entonces se puede escribir (3.10) de la fonna

P(x) Q(x) = q(x)

+ Q(x)

r(x)

(3.11)

Si r(x) O en (3.10) y (3.11) decimos que Q(x) es un divisor de P(x), o que P(x) es divisible por Q(x). En este caso, P(x) = q(x)Q(x) o P(x)fQ(x) = q(x), que se llama el cociente. Cuando r(x) =-10, se le llama el resto. Un caso particular importante es cuando Q(x) = x-a. Entonces, Q(x) es de grado 1, luego el resto r(x) debe ser de grado O y as es una constante. Podemos escribir lo anterior en la fonna

P(x) = q(x)(x - a)

+r

para todo x. En particular, para x = a obtenemos pea) = r. Por tanto, x - a divide a P(x) si y slo si pea) = O. Esta importante observacin se puede fonnular as

Seco 3.31 Polinomos

67

El polinomio P(x) es divisible por x - a

{:::::;:?

pea)

O

(3.12)

Se deduce de (3.12) que un polinomio P(x) de grado n puede tener, a lo ms, n ceros distintos. Para ver esto ntese que cada cero x = ah x = a2, ... , x = ah produce un divisor distinto, de P(x), de la forma x a. Se deduce de aqu que se puede expresar P(x) en la forma P(x) = A(x)(x - al) ... (x ah) donde A(x) es un polinomio. As, P(x) es de grado mayor o igual que k, luego k ~ n. Ejemplo 3.5 Demostrar que el polinomio f(x) = -2x3 factorizar el polinomio.

+ 2x 2 + lOx + 6

tiene un cero para x

=

3, y

Solucin: Haciendo x

f(3)

= 3 en el polinomio se obtiene -2.3 3 + 2 32 + 103 + 6 = -54 + 18 + 30 + 6

O

Por tanto x - 3 es un divisor. Se deduce de aqu que la funcin cbica f (x) se puede expresar como el producto de (x 3) por un polinomio de segundo grado. En efecto,

(x) = -2x3 + 2x 2 + lOx + 6 f(x)

-2(x - 3)(x2 + ax + b) 2b)x + 6b

y debemos calcular a y b. Desarrollando la ltima expresin se obtiene

= -2x3 + (6 -

2a)x 2 + (6a3

Como este polinomio f(x) debe coincidir con -2x +2X2+ lOx+6 para todo x, los coeficientes de las mismas potencias de x deben ser iguales. As 6 - 2a = 2, 6a - 2b = 10 y 6b = 6. Por tanto, b = 1 y a = 2. Puesto que X2 + 2x + 1 (x + 1)2, concluimos con unos pocos clculos algebraicos elementales que

f(x) = -2x 3 + 2x 2

+ lOx + 6

-2(x - 3)(x2 + 2x + 1) = -2(x

3)(x + 1)2

El procedimiento de factOfZacin que hemos usado en este Ejemplo se llama el mtodo de los coeficientes indeterminados (porque, como hemos visto, a y b eran coeficientes indeterminados). Hay un mtodo alternativo para factorizar polinomios, que es la "divisin larga" y que estudiamos a continuacin.

Divisin de polinomiosSe pueden dividir polinomios de forma anloga a como se dividen nmeros. Consideremos primero un ejemplo numrico sencillo: 2735 + 5 = 500 + 40 + 7 2500 35 200 35 35 O resto

4

Por tanto, 2735 + 5 547. Ntese que las lneas horizontales indican que se deben restar los dos nmeros que hay sobre ellas. (Puede que el lector est ms acostumbrado a otra forma de ordenar los nmeros en la operacin, pero la idea es la misma.)

68

Captulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

Consideremos a continuacin la divisin

(_x 3 + 4x 2La escribimos as:

-

x

6) + (x

2)

(_x 3 + 4x2 -x3

-

X

-

6)

+ (x - 2)

= _X22

+

2x 2x2 2x 2

2

-

l-x (x x - 6 4x f-----2x(x - 2)1 3x - 6 3x - 6 - - - - 3 ( x - 2)1+-------'+- O,

p entero, q natural

(3.16)

Sec. 8.4/ Funciones potenciales

71

ves

Nota: Si q es impar y p es entero, se puede definir a P/ q aun cuando a < O. Por ejemplo, (_8)1/3 = -2 porque (_2)3 -8. Para definir aP / q cuando a < O, hay que cuidar que la fraccin p/q sea irreducible porque, si no, podriamos incurrir en contradicciones como "-2 (_8)1/3 (_8)2/6 = -8)2 = yt64 2".

V'(

Ejemplo 3.' Calcular 6250,75 y 32- 3/ 5.Solucin:

625,75 = 625 3/ 4 = (625 1/ 4)3 = 53 = 125 32- 3/ 5 = (32 1/ Sf 3 = 2- 3 = 1/8

I I

Muchas calculadoras cientficas tienen una tecla de potenciacin, a menudo llamada IyZ l. Por ejemplo, supongamos que y = 625, x = 0,75 Y que ordenamos a la calculadora que halle yZ (la manera de hacer esto vara de unas calculadoras a otras). La pantalla puede mostrar el nmero 125,000 -o, a lo mejor, 125,0000001 si se calcula con 7 cifras decimales. Esto prueba que la tecla yZ no siempre da una respuesta exacta, aun en casos sencillos. Ensyese con 23 , Y comprubese el

valor para 32- 3/ 5 Las calculadoras de bolsillo sencillas son nonnalmente lo suficientemente exactas en la prctica. . Podemos probar que, con esta definicin de aP / q , las reglas (3.14) siguen valiendo cuando r y s son nmeros racionales. En particular,

aP/ q = (a 1/ q

y

(a P )I/q = ~

As, para calcular aP/ q , podemos, bien tomar primero la raz q-sima de a y elevar a p el resultado, bien elevar primero a a la potencia p y luego tomar la raz q-sima del resultado. Obtendremos el mismo resultado de las dos maneras. Por ejemplo, 625,75

= 6253/ 4

(625 3 ) 1/4

= (244140625)1/4

V'244140625

= 125

Ntese que este procedimiento necesita clculos ms difciles que los que usamos en el ejemplo 3.7. Ejemplo 3.8 Si z designa la demanda de caf en toneladas por ao y p el precio por tonelada, la relacin aproximada entre ellos para un cierto periodo de tiempo es

z = 694.500p-O,3(a) Escribir la fnnula usando races. (b) Usar una calculadora para hallar la demanda cuando p = 35.000 Y cuando pSolucin: 55.000.

(a)(b)

p-O,3

1pO,3 p3/10ZZ

ifi)' luego tenemos

1

694.500Z

ifi}

P p

35.000 da

694.500 (35.000)-0,3 ~ 30.092

(toneladas) (toneladas)

= 55.000

da

= 694.500 (55.000)-0,3 ~ 26.276

Ntese que, cuando el precio aumenta, la demanda disminuye.

72

Cspitulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

Uso de las reglas de potenciacinEn aplicaciones econmicas aparecen frecuentemente potencias de exponentes racionales, luego el lector debe aprender a usarlas correctamente. Antes de considerar algunos ejemplos ms se debe notar que las reglas de potenciacin se pueden extender fcilmente a ms factores. Por ejemplo, tenemos Ejemplo 3.9 Simplificar la expresin siguiente, de tal manera que la respuesta contenga un nico exponente para cada variable x e y:

5- 22 / 3 )-1/3 ( 62;X 4:-4/ 3Solucin: Un mtodo comienza por simplificar la expresin entre parntesis,

5x-Zy2/3 ) -1/3 ( 625x4y-4/3

(1 x-42 y2/3) -1/3 (1 z) -1/3 = 125' x >i-4/ 3 125 . x . y = (_1_) -1/3 (x(y2) (125)1/3 x Zy -Z/3 125-66 ) -1/3

-1/3

De otra manera: podemos elevar todos los factores a la potencia - 1/3 Y luego simplificar, usando la relacin 625 54

5x-2y2/3 ) ( 625x 4y-4/3

-1/3

=

5- 1/ 3X2/3 y -Z/9 (5 4)-1/3 X-4/3y4/9

5-1/3-(-4/3) .

X2/3-(-4/3) . y-2/9-4/9

Ejemplo 3.10 Las frmulas para la superficie S y el volumen V de una esfera cuyo radio es r vienen dadas, respectivamente, por las expresiones S = 41lT Z y V = (4/3)7rr 3. Escribir S como una funcin de V. Solucin: Hay que eliminar r. De V = (4/3)7rr 3 obtenemos r 3 3V/47r. Elevando cada miembro de esta ecuacin a 1/3 y usando que (r 3)1/3 r, tenemos que r = (3V/47r)1/3. Por tanto,

S

47rr 2

47r[(3V)I/3]2 = 47r(3V)2/3 47r (47r )2/3 (47r)1-(2/3)3 2/ 3V 2/ 3 = (47r)1/3(3 2 )1/3V 2/ 3 = -J'367r V Z/ 3

As hemos probado que

S

= -J'367r V 2/ 3 ~ 4,84 V 2/ 3

(1)

Nota: Quizs el error ms comn que se comete en lgebra elemental es escribir que (x + y)2 es igual a X2 + y2 Y perder as el trmino 2xy. Si sustituimos (x + y)3 por x 3 + y3 perdemos 3x2y + 3xy2. Qu error cometemos si sustituimos (x - y)3 por x 3 - y3? Evidentemente -3x2y + 3xy2. Los exmenes realizados por estudiantes muestran cmo personas que son capaces de manejar este tipo de expresiones simples cometen frecuentemente errores de bulto cuando manejan potencias ms

Seco 3.4 / Funciones potenciales

73

complicadas. Un error sorprendentemente comn es sustituir (25 ejemplo. En general:

&x) 1/2

por 25 1/ 2 -

(&x) 1/2, por

(x + y)a NO es igual a x a + ya (x - y z)l/a NO es igual a xl/a _ yl/a

zl/a

La nica excepcin, para valores generales de x, y, z, es cuando a

1.

Grficas de funciones potencialesVolvemos a la funcin potencial f(x) xr de (3.13), que est ya definida para todos los nmeros racionales r siempre que x > O. Siempre tendremos que f(l) Ir 1, luego la grfica pasa por el punto (1, 1) del plano xy. El comportamiento de la grfica depende esencialmente de si r es positivo o negativo. Ejemplo 3.11 Dibujar las grficas de y =XO,3

ey=

X- I ,3.

Solucin: Podemos escribir la tabla siguiente usando una calculadora de bolsillo

xY = xo,s

O

1/30,72

2/30,89

1 1 1

2 1,230,41

3 1,390,24

4 1,520,16

=x-t,s.. No definido.

.

O

4,17

1,69

Las grficas estn en las Figuras 3.8 y 3.9.y y32 2

2 FIGURA 3.8

3

4

2

3

4

FIGURA 3.9

La Figura 3.10 ilustra cmo la grfica de y = xr cambia para distintos valores del exponente. Dibujar las grficas de y x- 3, y = x-l, y = X-l/2 e y X-I/3.

Problemas1 Calcular lo siguiente:(a)

161/ 4

(b) 243- 1/ 5

74

Cspftulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

y y = x3

2

y=x y=x y=x! I y=x!

Z

1 FIGURA 3.10

2

2 Hallar valores aproximados para las siguientes potencias, usando una calculadora de bolsillo o un computador: (a) 1001/ 5 (b) 16- 3,33 (c) 5,23 1,02. 2,11- 3,11

3 Calcular lo siguiente: 4rl/3 (a) .yg.4 Cmo se puede expresar el nmero 50,16 en forma de raz?

S Simplificar las expresiones siguientes de tal forma que cada una contenga un nico exponente de a. (a) {[(a l/ 2)2/3f/4}4/5 (b) al/Za2/3a3/4a4/5

(c) {[(3a)-I-z(2a- z)-I}/a- 36 Resolver las siguientes ecuaciones en x:

(d)

3/a al/IZ 41(i3 V: /12 JaU5

(b) 33:H1

= 1/81(b) 3,,-3y=

7 Cules de las ecuaciones siguientes son vlidas para todo x e y?

(a) (2")2

=

2,,2(x

~ 33y1 (x=

(c) 3-1/" _ _1_ - 3 1/"

:. O)

(d) SI/"

5'"

:. O)(x e y positivos)

(f) 2fi . 2../ii

2v"XY

8 Resolver las ecuaciones siguientes en las variables que se indican:(a) 3K-I/2LI/3 (c) ax(ax1)

= 1/5

en K

(b) P - abxg- I ::= O en Xo

+ b)-2/3 + (ax + b)I/3 = O en x

(d) [(1 - A)a- P + Ab- P ] -1/p

=e

en b

Hay que pintar la superficie externa de una esfera de un volumen de 100m3 Un litro de pintura cubre 5 m 2 Cuntos litros de pintura se necesitan? (Indicacin: Usar la frmula (1) del Ejemplo 3.10.)

10 Usando una calculadora de bolsillo (o un computador) probar que la ecuacin

y

::=

2,262Ko,203 Lo,763(1,02)tRj

tiene una solucin aproximada en K dada por K mente cuando Y ::= 100, L ::= 6 y t ::= 10.

O,018y4,926 L- 3,759(O,907)t. Hallar K numrica-

Seco 3.5/ Funciones exponenciales

75

II Simplificar las expresiones siguientes:

(a)

(a

l 3 /

bl / 3 )

(a

2 3 /

l 3 l 3 2 3 / b / +b / ) +a

(x> O)

3.5 FUNCIONES EXPONENCIALESSe dice que una cantidad aumenta (o disminuye) exponencialmente cuando a1J!llenta (o disminuye) en un factor fijo por unidad de tiempo. Si el factor fijo es a, esta definicin se traduce en'la funcin exponencial f definida por f(t) = Aa t (3.17) donde a y A son constantes positivas. Ntese que, si f(t) = Aat , entonces f(t + 1) = Aat+l = Aat al af(t), luego el valor de f en el instante t + 1 es a vecS su valor en el instante t. Si a > 1, f crece; si O < a < 1 f, decrece. Puesto que feO) = AaO = A, se puede escribir

f(t) = f(O)a t .

Las funciones exponenciales aparecen en muchos modelos econmicos, sociales y fsicos importantes. Por ejemplo, se pueden describir mediante funciones exponenciales fenmenos como el crecimiento econmico, crecimiento demogrfico, inters acumulado continuamente, desintegracin radioactiva, y disminucin del analfabetismo. Adems, la funcin exponencial es una de las ms importantes en estadstica.

Ejemplo 3.12 (Crecimiento demogrfico) Consideremos una poblacin en crecimiento, como la de Europa. En el Ejemplo 2.13, construimos una funcin lineal P = 6,4t +641 donde P designa la poblacin en millones, t = O corresponde al ao 1960 cuando la poblacin era de 641 millones, y t = 10 corresponde al ao 1970 cuando la poblacin estimada era de 705 millones. Segn esta frmula, el aumento anual de poblacin sera constante e igual a 6,4 millones. Esta hiptesis no es razonable. Las poblaciones crecen ms rpidamente cuanto mayores son, porque hay ms gente para tener hijos y la tasa de mortalidad usualmente decrece o permanece constante. En efecto, segn estimaciones de la ONU, la esperanza de crecimiento de la poblacin europea es, aproximadamente, del 0,72% anoal durante el periodo 1960 al 2000. Con una poblacin de 641 millones en 1960, la poblacin en 1961 sera entonces 641 '0,72 + 641100 = 641 (0,72) 1 + 100 = 641 . 1,0072

que es aproximadamente 645 millones. Para el ao siguiente, 1962, habra crecido hasta

, = 641 . 1,0072' (1 + 0,0072) = 641 . 1,00722 100 que es aproximadamente 650 millones. Ntese cmo la cifra de poblacin crece por el factor 1,0072 cada ao. Si la tasa de crecimiento anual continuara siendo del 0,72%, entonces t aos despus de 1960 la poblacin vendra dada porP(t) = 641 . 1,0072t

641 . 1,0072 +

641 . 1 0072 . O 72

'

(l)

As, P(t) es una funcin exponencial del tipo (3.17). Para el ao 2000, que corresponde a t = 40, la frmula da una estimacin de P(4O) ~ 854 millones. Muchos pases, especialmente en frica y Amrica Latina, han tenido un mayor crecimiento demogrfico que Europa. Por ejemplo, durante la dcada de los setenta y los ochenta la tasa de

76

Capftulo 3/ Polinomios, potencias y exponenciales

crecimiento de la poblacin de Zimbabwe se acercaba al 3,5% anual. Si ponemos t = para el ae 1969, en que se hizo el censo, y cuando la poblacin era de 5,1 millones, t aos despus de 196~ vendr dada por P(t) = 5,1 . 1,035t As, P(20), P(40) Y P(60) dan aproximadamente, usando esta frmula, 10, 20 Y 40 millones Por tanto, la poblacin de Zimbabwe se duplica durante los primeros 20 aos; durante los 20 am siguientes se duplica de nuevo, y as sucesivamente. Decimos que el tiempo de duplicaci6n de la pob