Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo

29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo

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Derivada

DerivadaDerivada de Orden SuperiorFunciones definidas implícitamenteRegla de L'HopitalAplicaciones de la DerivadaMáximo y MínimoConcavidad

Derivada

Sea y sea un punto de acumulaci\on

Diremos que es derivable en el punto cuando el siguiente límite existe

En el caso que el límite exista, el valor de el se denota por , indicando de esta forma que el valor depende

del punto . El valor es llamado la derivada de en el punto y se usan las siguiente notaciones.

Observación:

1) puede ser calculado de otra forma ya que:

a) Tomando se tiene

que es otra de las formas que aparece la definici\on de la derivada en algunos libros.

b) Usando una caracterizaci\on de límite via sucesiones se tiene, que es derivable en si s\olo si para

cualquier sucesi\on con se tiene que existe el siguiente límite

c) Generalizando lo anterior, tenemos que tambi\en tenemos

donde , (obviamente ) y

2) es derivable en si para la gr\afica de existe la recta tangente; inversamente se puede decir: Si la funci\on

es derivable en se tiene que la recta tangente a la gr\afica de en existe. Si Ud. compara las definicionesde recta tangente y derivada, se puede percatar que es lo mismo.

3) Por propiedad de límite se tiene que si existe , \el es \unico, por esto se puede usar el artículo ``la'' en ``laderivada'', o``la recta tangente''.



De la observaci\on 2 se concluye que ya tenemos varios ejemplos de funciones derivables, ellas son las de los

ejemplos y ejercicios de rectas tangentes, adem\as podemos notar f\acilmente que la pendiente de la recta

tangente a en el punto Note_1 satisface

Por lo tanto; si es derivable en se tiene que la ecuaci\on de la recta tangente a la gr\afica de en el punto es

Usando trigonometría se tiene que el \angulo que forma la recta tangente a la gr\afica de en (es decir, en

)con el eje de las esta dado por:

Ejemplos de funciones derivables

Veremos que la funci\on es derivable en el punto .Soluci\on:

El resultado anterior no debe ser extra\no ya que naturalmente se tiene que la recta tangente a la gr\afica de (la

recta ) es ella misma, por lo tanto las pendientes deben coincidir.

?`Cu\al es la derivada de en otros puntos? Por el argumento gr\afico que hemos dado en el p\arrafo anterior

deberíamos tener que . Compruebelo Ud. usando la definici\on de derivada.

La funci\on (funci\on constante) tiene como gr\afica la recta que es una recta horizontal (paralela al

eje ) situada ``al nivel 4''; obviamente su pendiente es cero, por lo tanto la derivada en todo punto debe ser nula.Comprobemos esto vía la definici\on.

Sea un n\umero real fijo

Calculemos ahora la derivada de en el punto .

Si es que existe esta debe ser igual a



Si repetimos los pasos anteriores un punto fijo (pero arbitrario) de obtendremos que

Utilizando la gráfica de ver figura que sigue, notemos que la pendiente de es mayor que la pendiente de y a

medida que tomemos más cerca del origen obtendremos pendientes, cada vez mayores, hecho que podemos

comprobar también en la derivada de que es una función decreciente en ( ), es la función que al

ser evaluada en nos dá la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica de la raíz cuadrada.

El ejemplo anterior nos induce a definir la ``funci\on derivada" por abuso de lenguaje se acostumbra llamar

simplemente la derivada.

Note_2 Sea una funci\on derivable en todo punto de . Se define la funci\on derivada de como

De la definici\on tenemos que .En los ejemplos anteriores tenemos calculadas las funciones derivadas



Note que en el \ultimo caso existe, pero no existe, es decir, .

Sea calculemos la función derivada de

En los ejemplos de cálculo de recta tangente para obtuvimos

Así, la función derivada de es .

El siguiente ejemplo muestra una funci\on que no es derivable en todo punto, a pesar de ser continua en todo .

Sea . Calculemos su derivada en todo punto que exista.

C\alculo de la derivada en . Si se tiene que y en caso contrario , de estaforma:

i) Si ,

ii) Si , (c\alculo an\alogo a los recien hechos).

iii) Si

Pero como tiene distinto comportamiento cerca del para calcular este \ultimo límite debemos tomar límiteslaterales y verificar que ellos son iguales

Como los límites laterales que definen son distintos no tenemos la existencia de , así la funci\on

derivada de es

Notar que es continua en .



Observaci\on: De lo anterior, podemos afirmar que si es continua en un punto , no necesariamente es

derivable en . Sin embargo el siguiente teorema nos afirma que si es derivable en un punto , entonces es

continua en .

Si es derivable en , entonces es continua en .Demostraci\on: Debemos demostrar que

o equivalentemente nos bastaría mostrar que:

Como

tenemos que efectivamente es continua en .

Observe que el teorema anterior es de la forma , la funci\on que vimos en el ejemplo que no

es derivable en , sin embargo ella es continua en , nos sirve de contraejemplo para la afirmaci\on que:continuidad en un punto implica derivabilidad en el punto.

Notaciones:

La derivada de en es el límite

el límite lateral izquierdo de , es decir, es llamada derivada lateral izquierda en y se denota por

. Tambi\en se define la derivada lateral derecha en que corresponde al límite lateral derecho y se denota por

.

Calcular la derivada de , donde

Claramente los puntos conflictivos son y ya que en vecindades de ellas, tiene distintocomportamiento y este hecho trajo dificultades en el ejemplo anterior.

a) Veamos en primer lugar si es derivable en , para ello necesitamos calcular el siguiente límite (si es queexiste):

Este límite debemos calcularlo mediante los límites laterales



De esta forma tenemos que es derivable en y que .

b) Ahora veamos si es derivable en el punto .Como

y como el otro límite lateral.

no existe Note_3 se tiene que no es derivable en

c) Veamos ahora si es derivable en los puntos que son mayores que . En este caso la funci\on toma la

forma .

d) Calculemos ahora la derivada en el punto ,

e) Finalmente, calculemos cuando

De esta forma, la funci\on derivada (que conseguimos por parte y analizamos en los puntos conflictivos) es



Ahora calculemos algunas derivadas de funciones b\asicas, en el sentido que posteriormente nos ayudar\an aobtener la derivada de otras funciones.Mediante el c\alculo de las funciones derivadas. Justifique el si-guien-te listado.

1. Si constante entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

4. Si entonces

5. Si entonces , si

6. Si entonces , si

7. Si entonces

Soluci\on: En todos los casos indicar\a un elemento gen\erico del dominio de la funci\on correspondiente.

1.

Así, en el caso

2.

Por lo tanto la funci\on identidad tiene como funci\on derivada .

3. Calculada anteriormente, en los ejemplos de funciones derivables.

4.



De esta forma

5. Calculada anteriormente como ejemplo de funciones derivables, de esta forma

6.

Así,

Esta f\ormula tambi\en es v\alida para potencias distintas de un n\umero natural pero la

demostraci\on hecha es s\olo v\alida para

7.



De esta forma

Algebra de Derivadas

Si es derivable en el punto , entonces la funci\on con fijo tambi\en es derivable en y

Demostraci\on:

Como es derivable, el \ultimo límite es simplemente la derivada de en el punto . Así,

que es lo mismo que

Usando este teorema y los resultados anteriores tenemos que

1.

2.

3.

4.

5.

Si y son derivables en , tambi\en lo es y adem\as su derivada satisface

El teorema dice que la derivada de la suma es la suma de las derivadas.Demostraci\on:

Separando los sumandos y agrup\andolos para formar el límite que define la derivada (de cada funci\on) se tiene



que es simplemente el resultado pedido, s\olo que est\a escrito en otra notaci\on. Usando este teorema tenemos que son derivables las funciones;

1.

2.

3.

4.

y sus derivadas son:

1. si

2. si

3. si

4. si

Si y son derivables en , tambi\en lo son y , (para esta \ultima no nulo)

si .

Usando otra notaci\on la derivada del producto es

y el cuociente

Demostraci\on: La demostraci\on es simplemente un ejercicio de límites, s\olo que es necesario ``fabricar los lí

mites de las derivadas; en el caso del producto el ``truco'' es sumar y restar (sumar cero) el t\ermino .

Como es continua en obtenemos lo buscado



Para la otra parte dejaremos al lector buscar en cualquier libro de c\alculo b\asico. Observaci\on: Notemos que el teorema no dice que la derivada del producto es el producto de las derivadas

sino que es algo bastante distinto, esto tambi\en ocurre con la derivada del cuociente.Calcular la derivadas de:

1. , si .

2. , si .

3. , si .

4. , si .

5. , si .

6. si .

7. si .

Soluci\on:

1.

2.

Así agregamos a nuestra tabla de derivadas a memorizar , si

3.



De esta forma , si (otra a memorizar).

4.

, si .

5.

, si

6.

7.

En resumen se tiene

Algebra de derivadas.

Si y son funciones derivables en entonces , , son derivables en y si entonces es

derivable en . Adem\as

1.

2.



3.

4. .

Sea funci\on derivable en , entonces la funci\on es derivable en y

Con este corolario calculemos la derivada de

Calcule las derivadas de

Solución:

Regla de la CadenaSiguiendo con teoremas que nos permitan calcular derivadas de funciones usando las ya calculadas, veamos el

teorema de la derivada de funciones compuestas, por ejemplo sabiendo que y son

funciones derivables ¿ Qué podemos decir en cuánto a derivabilidad, de y de ?Calculemos usando la definición, las derivada de la función

en el punto .Solución:

Observaci\on: Veremos a continuaci\on un resultado ``la regla de la cadena'' que nos permitir\a calcular esta y

otras derivadas (de una funcion compuesta) de una manera m\as simple.

Regla de la Cadena o Derivada de la compuesta Sea , ,

Si existe y entonces existe y



o escrita de otra forma

Sean , es derivable en y

por lo tanto, para

ya que se tiene

Sea , y

Calcule .Soluci\on: Por regla de la cadena

Luego

pero y .

de donde .

Por lo tanto, reemplazando en

Sea donde con entonces .

Sea

Como puede ser escrita como la compuesta de dos funciones más simples, como sigue:

donde y , son funciones derivables, se tieneusando la regla de la cadena



Sea . Calculemos

Tenemos que con luego

Sea una funci\on derivable en .

Calculemos la derivada de .

Como donde , usando la regla de la cadena tenemos que

Así obtenemos la siguiente formula

que en el caso de nos queda

La regla de la cadena por inducci\on se puede generalizar a la composici\on de m\as de dos funciones por ejemplocalculemos la derivada de

Soluci\on:

Calculemos la derivada de

Solución: Usando la regla de la cadena obtenida en el ejemplo tenemos



Calculemos cada derivada indicada y realizando las evaluaciones correspondiente tenemos

Usando la regla de la cadena, pruebe que si es diferenciable en , entonces

Soluci\on: Considermos la funci\on diferenciable en

Por hip\otesis es una funci\on diferenciable en , luego por el teorema regla de la cadena

es diferenciable en y

donde y .

Así .Por lo tanto en se tiene

Calcule la derivada de las siguientes funciones

1.

2.

Soluci\on:

1.

2. .

Sean y funciones tales que

Demostrar que



Soluci\on: Sabemos por propiedad del logaritmo que

luego por ejercicio anterior

pero es la derivada de un producto y de composici\on de funciones, luego

Así reemplazando en

Observaci\on: De lo anterior se obtiene:

si es una constante positiva

si .Calcular las derivadas de las siguientes funciones.

1.

2.

3.

Soluci\on:

1. luego aplicando el ejercicio anterior

2. , analogamente

3. ,



Comentarios

1. Veamos geométricamente por qué debemos usar la regla de la cadena, para eso usaremos las

funciones y .

Si no usamos la regla cometemos el típico error de afirmar que , así en ,

.

Analizando los gráficos de y en la figura que sigue, podemos notar que , recta tangente a la

gráfica de no tiene la misma pendiente que , recta tangente a puesto que las ondulaciones de

(frecuencia de onda) son más rápida que las de , obligando esto a tener mayor pendiente

que .

2. Por regla de la cadena , veamos via la definición como se obtiene este resultado.

Usando una identidad trigonométrica para tenemos

3. Sobre las diferentes notaciones

Consideremos la función , volumen de un cilindro de altura y radio , es decir, la función volumen



. Si nos piden calcular la derivada de en el punto , es decir, ¿Qué debemos

contestar? No es lo mismo que nos pidan , donde , ya que en este último caso está

clara la variable, pero en el caso de ¿Cuál es la variable? ¿Debe ser tomada como variable

independiente? ¿O a lo mejor ?.

En este caso la notaci\on es ambigua y es conveniente usar la notaci\on

ya que de esta forma queda explícita la variable con respecto a la cual se quiere derivar.

Mediante la definici\on podemos ver que los resultados son totalmente diferentes si se toma una uotra variable

En el caso que una funci\on tiene m\as de una variable (por ejemplo ) se

acostumbra a indicar la derivaci\on con respecto a la variable y por ejemplo, como a cambio de

, así, indica la derivada de con respecto a la variable solamente, quedando las otras

variables como constante (es decir, se comporten como n\umero para el momento de derivar.

Si

En el caso del volumen del cilindro

Sea entonces tenemos que



Tomemos ahora la funci\on . Claramente tenemos, por lo anterior, que

y que ya que en este \ultimo caso debemos pensar que la variable es , pero se comporta

como constante respecto a esta variable así que su derivada es cero

\begin{enumerate}

4. Notaciones regla de la cadena

Sean supongamos que ambas tiene derivadas y que es posible hacer la

compuesta . (es decir, si d\an las hipotesis de la regla de la cadena). Entonces

Notacionalmente el t\ermino izquierdo de la igualdad se refiere a la derivada de calculada despues

de haber hecho la compuesta de y , en cambio el primer factor del t\erminos derecho

se refiere a la derivada de antes de hacer la compuesta.

Sea una funci\on de , derivable con respecto a . Calculemos las derivadas que se indican

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. .

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

1. Sean y funciones derivables en . Si y son crecientes en entonces es creciente

en .



2. Si es derivable en y es continua en pero no derivable en entonces no es derivable

en .

Soluci\on:

1. Verdadero Si y son funciones creciente y derivables en entonces y en

, luego

Por lo tanto es creciente en .

2. Falso.

Sean , y es continua en pero no derivables en y es derivable en

, pero la cual es derivable en

En qu\e puntos, existe la derivada de la funci\on

Soluci\on:

Si , . Sabemos que es derivable para todo en particular para ;

.

Si ; . En este caso es la compuesta de funciones derivables y su derivada

, por regla de la cadena.

Si , debemos analizar por definici\on la derivada de , ya que est\a definida de forma distinta

para y para

Veamos si existe .

Para esto calculemos

por lo tanto

Por otra parte



(Para calcular el \ultimo límite tuvimos que racionalizar)

Como entonces no existe y en consecuencia

(así para cualquier punto existe la derivada de ).

Consideremos ahora la funci\on

Determinemos la derivada de .Soluci\on:

Es claro que para la función es derivable por algebra y composición defunciones derivables, luego usando las reglas de derivación tenemos

An\alogamente para es derivable por composici\on de funci\onesderivables, luego

Para , debemos analizar mediante la definici\on, ya que tiene distinto comportamientoen torno al cero, es decir, debemos calcular



y el otro límite lateral

como son distintos, se concluye que el límite no existe.

En consecuencia no es derivable en y por lo tanto la función está definida solamente

para y su valor es:

?`En qu\e puntos del intervalo la funci\on es derivable?

Soluci\on: Separando el dominio de apropiadamente obtenemos la siguiente funci\on definida por partes.

Calculemos ahora su derivada

Si , es derivable y , an\alogamente para y se sabe que

es derivable y para y

para .

En , s\olo tiene sentido determinar (si existe) que por definici\on es la derivada de en

.

Es claro que en y en es discontinua, luego no es derivable en estos puntos, así

es derivable en



Considere la funci\on

donde

Determine y de modo que sea derivable en .

Soluci\on: ser\a derivable en si y s\olo si existe (es decir ).

Por otra parte;

pero este límite podria existir s\olo si

pero .

luego podria existir s\olo si de donde por lo tanto;

Así , luego .

Observaci\on: Si con entonces , es de la forma luego el límite

no exsite

Otra forma de resolver el problema, es determinar condiciones para que sea continua (Si no lo fuera no seríaderivable), de donde



Obtenemos;

lo que equivale a determinar la condici\on

y luego calcular y usando la condici\on .Sea

Determinar y en para que sea derivable en .

Soluci\on: Primero determinemos condiciones para que sea continua en

Por lo tanto

Calculemos por definición

Ahora por la derecha

pero

y



nos falta calcular

Luego , ser\a derivable en si , es decir, , pero , luego

resolviendo el sistema tenemos y .Sea

Determinar .

Calcule el valor de donde

Soluci\on:

Sea entonces , es derivable por algebra de funciones derivables y

.

Sea entonces . Por algebra de funciones derivables, tenemos

.

Sea entonces . Por algebra de funciones derivables tenemos

Notemos que es continua en y en .

Calculemos por definici\on



Por lo tanto

Falta calcular .

Como y



Por lo tanto

Luego . Por lo tanto no existe.

Así el dominio .

, , luego

Una herramienta \util y simple para determinar si una funci\on es derivable en alg\un punto es la siguienteproposici\on que se puede demostrar en base al teorema de L'Hopital que veremos m\as adelante.

Si es continua en .

Si los límites , existen y son iguales a entonces es derivable en y

.



Si los límites , existen (son n\umeros reales) y son diferentes entonces no es

derivable en .

Consideremos la función dada en el ejercicio

Como es continua en , pues

además

y existen pues

y

pero luego según la proposición anterior no es derivable en .

Sin embargo; es derivable en pues

y

y es continua en .Observaci\on: Note que la hip\otesis de continuidad es fundamental. Lo podemos ver en el siguiente ejemplo.

En este caso se tiene que , pero no es derivable en pues no es continua en

Volviendo al ejemplo



es continua en si y s\olo si .

Adem\as para , se tiene

Como los límites existen; pues

entonces; ser\a derivable en si

es decir, y como , entonces .Analogamente en el ejercicio

es continua en si . Además

Los límites y existen pues

y

luego será derivable si

de donde y .

Derivada de una funci\on InversaC\alculo de derivada de una funci\on inversa

Sea funci\on invertible y derivable, denotemos por g a la inversa , así .

Si es derivable en con derivada y es derivable continua en .



Es decir, la derivada de la funci\on inversa en se calcula usando el inverso multiplicativo de la derivada de en

(recordemos que es n\umero real no nulo).

Demostraci\on: Se sabe que y que la derivada de en todo punto es , usando la regla de la

cadena

Como

ya que es no cero podemos obtener la igualdad y en

o cambiando de notaci\on

Calculemos la derivada de en

Recordemos que es la funci\on inversa de , así es equivalente a .Usando corolario

De esta forma en nuestra tabla de derivadas debemos anotar

Calculemos ahora la derivada de . Recordemos que la inversa local de es , es decir, para apropiados se tiene

Usando corolario en un punto , donde tenemos:

Con el objeto de dejar el resultado en t\erminos de usaremos la identidad trigonom\etrica



De esta forma

Como era sólo un representante, tenemos

Análogamente se puede probar que

sólo que aquí debe utilizar otra identidad trigonométrica. ( )Observaci\on: Ahora que hemos logrado una t\ecnica para encontrar derivada de funciones inversas creemos

que es bueno hacer notar lo que es el resultado del teorema de la funci\on inversa.

Funci\on inversa Sea , una funci\on, un vecindad de tal que sea derivable en con derivada no nula (

).

Entonces existe vecindad de ( ) y vecindad de tal que es invertible con inversa diferenciable

verifica la siguiente igualdad

es decir

Observaci\on: Supongamos que y son funciones derivables y que entonces necesariamente sus

derivadas son no nulas.Por regla de la cadena se tiene

y como se trata de la multiplicaci\on de dos n\umeros reales, ambos deben ser no nulos, mas a\un, uno debe ser elinverso multiplicativo del otro.

Recordemos que seno es una función de en que no es inyectiva y tampoco es sobreyectiva, como solución

a esto último podríamos considerarla como , pero el problema de la inyectividad aún permanece.

En definitiva no se puede pensar que tenga inversa de en , pero que es distinto de ,

luego el teorema de la función inversa nos garantiza la existencia de una inversa.?`Cu\al es la contradicci\on entre estas \ultimas dos frases?

Ninguna, puesto que el teorema de la función inversa no habla de una función inversa de con dominio en

y recorrido , sino que nos garantiza la existencia de una inversa local. Esto significa que existe vecindad

de y vecindad de tal que tiene inversa. En el caso de exist vecindad de cero donde

y vecindad de tal que tiene inversa.



Con el teorema de la funcion inversa podemos lograr variar inversas locales ya que basta tomar puntos quesatisfagan la hipotesis

En los puntos donde se anula la derivada de seno (por ejemplo en ) es imposible encontrar una inversa localde ella, ya que para todo intervalo abierto que contenga el punto, seno siempre ser\a no inyectiva.

Ya que hemos hablado de la función , calculemos la derivada de

, para apropiado en el ejercicio que sigue

Calcular la derivada de

Solución: Sea donde entonces si y

Sea entonces . luego pues pero luego

Por lo tanto

En cambio si consideramos entonces si y pero

por lo tanto si consideramos por , se tendrá

considerando

Observación: Se acostumbra a reservar a la inversa de la función seno defina en su rama principal, esdecir

y

An\alogamente se calcula las derivada de las inversas de coseno, cotangente, secante y cosecante, definida ensu rama principal obteniendo:



Derivada de Orden Superior

Consideremos la función , que como ya hemos visto su derivada es

Podemos notar que tambi\en es derivable y tiene como derivada a

, nuevamente podemos calcular la derivada de esta y obtener

Se dice que es la derivada de primer orden y se anota la funci\on es la derivada de segundo orden de y

se anota , corresponde a la derivada de tercer orden de y se anota .

Sea una funci\on derivable en y sea su derivada, se define la derivada de segundo orden de en

como

y se denota este límite por .

Se dice que tiene derivada de orden en si tiene derivada de segundo orden en cada punto de .

Existiendo la derivada de segundo orden de en se puede definir en forma analoga la derivada de tercer

orden en como el siguiente límite (si es que existe ).

an\alogamente se define la derivada de orden como el límite que involucra la derivada de orden y se

anotar\a por .

Notaciones:

Se definen los siguientes conjuntos

Con estos conjuntos podemos definir la siguiente funci\on, llamada operador diferenciable.

Así



1. si ,

2. si , .

3. si , .

Notemos que la funci\on pero . Analogamente se puede definir el operador diferencial

de orden ,

Así

1. si , entonces

2. si , entonces .

3. si , entonces y .

4. si entonces .

Como , son funciones, se puede definir la suma y multiplicaci\on por escalar de ellasobteniendose otra funciones, por ejemplo.

Aquí se entiende que y .

Sea y , , . Calcule .

1.

2.

3.



Sea , y .

1. Sea

Calcule Compare los tres resultado y diga si son iguales odistintos.

Repite lo anterior pero esta vez use las funciones y .

2. Tome una funci\on g\enerica y pruebe que

3. Sea , pruebe que .

Considere la ecuaci\on

Una soluci\on de ella en , es una funci\on que satisface la igualdad, por ejemplo la funci\on

es soluci\on de ella ya que

Muestre que las funciones , , y en general cualquier funci\on

, donde , son soluciones de la ecuaci\on

1. Muestre que y son soluciones de la ecuaciones

2. Muestre que es tambi\en soluci\on de la ecuaci\on (cualquier sea ).

1. Muestre que , funciones de son soluciones de la ecuaci\on

2. Muestre que las funciones de , , son soluciones de la ecuaci\on



Muestre que es soluci\on de la ecuaci\on de Bernoulli

Muestre que es soluci\on de la ecuaci\on de Riccati

Muestre que todas las funciones cubicas son soluciones de la ecuaci\on

Muestre que los arcos de circulos e son soluciones de la ecuaci\on

Funciones definidas implícitamenteEn geometría an\alitica, hemos visto que la ecuaci\on

tiene como representaci\on gr\afica una hip\erbola que tiene como eje principal el eje y v\ertices y .Si recordamos la materia de funciones podemos afirmar que tomando algunos sectores de la hip\erbola se

puede definir funciones, por ejemplo,

con o la misma expresi\on pero tomando en el conjunto la cual se obtiene tambi\en al despejar

pero esta vez tomando el valor negativo (bajo el eje ) y el intervalo (rama izquierda de la hip\erbola).Así como en el caso de la funci\on inversa, el objetivo de esta parte no es determinar en forma tan explícita la o

las posibles funciones que se pueden definir a partir de una relaci\on que involucre dos variables (como el caso dela hip\erbola) ya que muchas veces no es posible conseguir un despeje de una de las variables para verla en formaexplícita como funci\on dependiente de la otra. El teorema de la funci\on implicita d\a respuesta a las preguntas:

1.- ?`Dada una relaci\on entre e , , es posible encontrar una funci\on ?

2.- ?`Se puede garantizar la existencia de tal funci\on . Cu\al es la derivada de ella?

Note que la primera pregunta no dice que se obtiene explí citamente en t\erminos de , s\olo habla de la

existencia, en cambio la segunda pregunta nos pernite calcular sus derivada.

Hasta el momento hemos trabajado con funciones de la forma , es decir, `` como funci\on de x" donde

la variable dependiente est\a despejada quedando una expresi\on en t\erminos de la variable independiente ,

esto se acostumbra a decir que `` es una funci\on explícita en la variable ".Pero en la pr\actica se d\an casos de funciones no dadas explí citamente. Veamos el siguiente ejemplo

Una industria desea fabricar tarros de conserva con volumen fijo de ?`C\uales son las dimensiones deltarro?



Respuesta: Naturalmente el tarro es un cilindro. Si tomamos como la altura y el radio de tal cilindro tenemosque

Es claro que dependiendo del radio que decida tomar el queda totalmente determinado, y en forma \unica,

así tenemos la funci\on .Supongamos ahora que el precio de la etiqueta esta dado por

Entonces necesitamos calcular .

En este caso es posible despejar explícitamente desde la formula del volumen, pero esto no siempre ocurreVeamos uno de estos casosConsideremos 2 especies de peces que comparten un mismo habitat (un lago del sur de Chile).

Suponemos que la especie (medida en toneladas) se alimenta de la especie m\as peque\na (medida entoneladas), adem\as que ambos comparten los nutrientes del lago. Suponemos que el aporte de la especiepeque\na varía notoriamente siendo oscilatorio en el a\no.

Como el lago tiene una capacidad para alimentar 100 millones de toneladas tenemos que

y como la se alimenta de la especie pequeña el aporte de esta varía oscilatoriamente, te-ne-mos que satisface

donde y son constantes.Por lo tanto las biomasas estan relacionada en la ecuación

El empresario explotador de la biomasa del lago, motivado por los precios en el mercado desea conocer las

tasa de crecimiento relativo de las poblaciones .

Se ve en la ecuaci\on que es imposible obtener como funci\on explícita de o como funci\on explícita de .

?`C\omo obtener entonces ?

Veamos esto un un contexto puramente matem\atico.

Supongamos que tenemos una funci\on real de dos variables definida en . Por ejemplo:

Consideremos la ecuaci\on , es decir, la ecuaci\on

cuya gr\afica es una par\abola con eje de sim\etria el eje .

Notemos que al despejar y en términos de , obtenemos por ejemplo las siguientes funciones cuyas gráficasestán en la figura izquierda y corresponde a distintos sectores de la parábola.



\vspace{.2cm}

\vspace{.2cm}

y



\vspace{.2cm}

Aunque estas funciones son diferentes todas se caracterizan por satisfacer la ecuaci\on ya que,

Las funciones se dicen estar definidas implícitamente por la ecuaci\on

Una ecuaci\on define implícitamente a como funci\on de si y s\olo si existe un intervalo abierto Note_4

tal que

La ecuaci\on determina muchas funciones implícitas pero nos interesan aquellas diferenciables en

alg\un intervalo, por ejemplo y definidas en son funciones implícitas diferenciables en todo intervalo abierto

contenido en su dominio, en cambio es una funci\on definida implícita pero no es continua en luego no es

diferenciable en cualquier intervalo abierto que contenga al .

Bajo qu\e condiciones existe una funci\on diferenciable definida implícitamente por una ecuaci\on

y ?`C\ual es su derivada?El teorema de la funci\on implícita nos entrega condiciones para garantizar la existencia de tal funci\on

diferenciable, pero antes consideremos el problema de encontrar la derivada de bajo el supuesto que su derivadaexista.Supongamos que la ecuaci\on

define implícitamente a una funci\on diferenciable en alg\un intervalo. Determinaremos derivando con

respecto a ambos lados de la ecuaci\on considerando a como funci\on de .

Seguiremos la costumbre y en vez de hacer lo anterior subentendemos que es funci\on de no explicitando este

hecho y que indica la derivada de esa funci\on, así podemos derivar de la siguiente forma;



Este procedimiento se denomina derivaci\on implícita.

Note que lo crucial en esta derivaci\on implícita es suponer que es dependiente de , de no ser así ,

pero en este caso depende de , luego debemos aplicar la regla de la cadena

Por lo tanto, si queremos determinar la ecuaci\on de la recta tangente a la par\abola curva en el

punto , debemos

1.- Verificar que el punto pertenece a la curva, es decir, que cumpla con la ecuaci\on .

2.- Evaluar la derivada en el punto para obtener la pendiente; donde

Así la recta tangente a la curva en el punto est\a dada por la ecuaci\on

donde , así la ecuaci\on buscada es .

Supongamos que en una funci\on definida implícitamente por la ecuaci\on y que esdiferenciable en alg\un intervalo.

Determinemos para cada una de las siguientes ecuaciones y para valores e apropiados

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Soluci\on:

1. Derivando ambos lados respecto a pensando que depende de

e indicando con parentesis la derivada de cada producto, tenemos

agrupando los t\erminos que tiene a como factor obtenemos



suponiendo que

2. Usando la regla de la cadena y la regla del producto

Si entonces

3.

Si entonces

Nota: En el ejercicio siguiente necesitamos la derivada de , donde depende de . Esta

derivada se puede calcular de dos formas, usando regla de la cadena, usando derivaci\on implícita.

Derivando por regla de la cadena y usando propiedades de logaritmo tenemos

luego

Para encontrar , usando derivaci\on implícita consideremos,

luego , si .

Como es una funci\on de pues entonces derivando implícitamente la ecuaci\on



tenemos;

luego

pero y luego

4.

Nota: En el siguiente ejercicio necesitamos calcular . obtengamos la derivada usando derivaci\on

implícita.

Sea como es funci\on que depende de (pues ), aplicando logaritmo natural, , y

derivando implícitamente con respecto a tenemos,

luego;

así

pero y luego



Notemos que si escribimos como entonces usando la regla de la cadena tambi\enobtenemos

5.

luego .

Por lo tanto usando el calculo anterior

Si entonces

6. En este ejemplo, usaremos los dos calculemos realizando en forma separada en las notasanteriores

Usando derivaci\on implícita calcule , donde y son funciones derivables con y

Ayuda: Considere , así y luego derive en ambos lados de la \ultima ecuaci\onCalcule la derivada de las siguientes funciones, usando

Regla de la cadena.Derivaci\on implícita (como el problema anterior)

1.

2.

3.

Sea una funci\on de que satisface la relaci\on

Muestre que satisface la ecuaci\on



Soluci\on: Derivando ambos lados de la ecuaci\on tenemos que

por lo tanto

Sustituyendo en

se verifica que

Verifique que la funci\on satisface la ecuaci\on diferencial

sabiendo que cumple la relaci\on .

Hasta el momento hemos calculado derivadas de primer orden de funciones definidas implícitamente. En elejercicio que sigue mostraremos la derivadas de primer orden de este tipo de funciones (t\ecnica que se repitepara derivada de orden superior).

Calculemos y de una funci\on en la variable definida implícitamente por la relaci\on

Soluci\on:

Usando la regla de la cadena se tiene

Factorizando por



Sustituyendo y simplificando se obtiene

Verifique que

satisface la ecuaci\on diferencial

Soluci\on:

Puesto que se tiene

Por otro lado

luego por , y por , del ejemplo anterior se tiene

Observaci\on: Notemos que todas las ecuaciones del ejemplo anterior pueden ser escrita de la forma

donde en cada caso es

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tambi\en podemos notar que la derivada requerida corresponde al cuociente de las derivadas parciales de

la funci\on multiplicada por .

Veamos en el caso



1.

Por lo tanto

que es justamente la derivada requerida en el ejercicio a)

2.

Por lo tanto

y esto es igual a .

Esto mismo ocurre con los ejercicios de (c) al (f).

Finalmente podemos notar que la existencia de , (en cada caso) es posible si

Esencialmente esto es lo que establece el teorema de la función implícita.

Función Implícita Sea una función tal que

1. Existe un punto ,

2. es una funci\on continuamente diferenciable en una vecindad del punto ( por ejemplo

un disco sin orilla que contenga a ).

3. .

Entonces existe una funci\on implícita definida en un intervalo abierto que contiene a y cuyo recorrido

contiene a tal que y por lo tanto , m\as a\un para todo (es decir no

tan s\olo satisface sino que tambi\en los infinitos puntos .

Y finalmente, la mencionada funci\on es derivable en y su derivada est\a dada por la expresi\on



La demostraci\on no corresponde a un curso de este nivel, sino que para uno correspondiente a c\alculo envarias variables. Para clarificar un poco las hip\otesis, explicaremos esta en la observaci\on y ejemplo que sigue.

Observaci\on: El concepto de diferenciabilidad para funciones de dos va-ria-bles es un poco m\as complicado

que hasta ahora y seguro que lo veremos en un curso de c\alculo en varias variables. Como ejemplo de funcionesde dos variables continuamente diferenciables mencionaremos las siguientes funciones

1. Las funciones polinomiales en dos variables son continuamente diferenciables

2. Las funciones tales como seno, coseno, exponencial, logaritmo y raiz n- \esima son continuamentediferenciables en sus respectivos dominios.

3. La compuesta o alguna combinaci\on algebraica (suma, resta, producto, o divisi\on de ellas)tambi\en son continuamente diferenciable en sus dominios de definici\on.

Las siguientes funciones son continuamente diferenciables

1.

2.

3.

4.

Supongamos que la función

es continuamente diferenciable en , es decir, satisface hipótesis (2) del teorema de la función implícita

El punto satisface la ecuación . Determine si existe una función definida

implícitamente por la ecuación y diferenciable en un intervalo abierto de

Solución: Considerando la ecuación , es decir,

y derivando implícitamente con respecto a se tiene;

lo que implica

Puesto que , ya que y por el teorema de la función implícita, existe

una función diferenciable en (un intervalo abierto de ), definida implí citamente por la ecuación

y .

Determine (si existe) la recta tangente a la curva en el punto .

Solución: Puesto que satisface la ecuación y evaluada en existe, entonces

existe la recta tangente en el punto , cuya ecuación es



donde y , es decir,

Suponga que la función

es continuamente diferenciable en una vecindad del punto (lo es por observación anterior).

Determine si existe una función (" en función de " ) definida implícitamente por la euación

diferenciable en un intervalo abierto de .

Solución: Note_5 Derivando implícitamente con respecto a tenemos

Puesto , ya que y entonces

existe

función diferenciable en (un intervalo abierto de ), definida implícitamente por .

Determine (si existe) de modo que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el punto

pase por el origen, sabiendo que es una función diferenciable en un intervalo que contiene a

, definida implícitamente por

Solución: Notemos que independiente del valor de , satisface la ecuación,

Derivando implícitamente con respecto a



evaluando esta derivada en el punto tenemos la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto

.

Luego ecuación de la recta tangente a la función , definida implícitamente, está dada por

Esta recta pasa por el origen si y sólo si el punto satisface su ecuación, es decir,

de donde obtenemos el valor de .

Determine el (o los) punto(s) donde la gr\afica de la relaci\on

tiene tangente(s) paralela(s) a la recta (gr\aficar la situaci\on)Soluci\on: Derivando implícitamente ambos lados de la ecuaci\on

con respecto a , tenemos;

La recta tangente a la gr\afica es paralela a la recta si y s\olo si para alg\un perteneciente a la curva.

Como

y el punto debe cumplir la ecuaci\on , tenemos por lo tanto

Reemplazando tenemos



de donde

Cuando , el valor de es y cuando se tiene Por lo tanto los puntos pedidos (ver figura ) son

Notemos que la relaci\on

es equivalente a;

luego, gr\aficamente la relaci\on es una circunferencia con centro en y las rectas tangentes paralelas a

tienen ecuaci\on

Verifique si la funci\on definida implícitamente por es soluci\on de .Soluci\on:

pero entonces

derivando nuevamente en forma implícita obtenemos

Por lo tanto

pero de se tiene

luego reemplazando en



de donde .

En consecuencia la funci\on definida implícitamente por es soluci\on de la ecuaci\on diferencial

Regla de L'Hopital

Se dice que el cuociente es del tipo en ( o que el límite es del tipo ) si ambas funciones y tiene

límite cuando tiende a .

Si los límites de y son o cuando tiende a , se dice que tiene la forma indeterminada o el

límite es del tipo (Regla de L'Hopital)

Sea una vecindad de . Sean y funciones derivables en .

Si tiene la forma indeterminada o bien en entonces

siempre que exista o bien .

Observaci\on: La regla de L'Hopital tambi\en puede aplicarse a los límites laterales.

Calculemos usando L'Hopital

Solución: Este límite es de la forma pues

luego calculemos

Por lo tanto

Observación: Si es de la forma y no existe, no podemos afirmar que no existe,

como veremos en el ejemplo que sigue.



Sea . Como y entonces es de la forma pero

este límite no existe, pues existe pero no existe (ver ejercicio capítulo de límite ycontinuidad).

Sin embargo, (a pesar de que no existe), existe, pues por teorema de cero aniquila.

Calcular

Soluci\on: .

Como (ver gr\afica de logaritmo) y entonces el límite es de la forma luego,

calculemos (si es que existe)

Por lo tanto

Calcular

Solución: Este límite es del tipo , pues

,

luego



Calcular

Solución: a) Como y luego es de la forma , calculemos

Por la regla de L'Hopital tenemos

b) Calculemos

notemos que y , luego

es de la forma , veamos,

el cual nuevamente es de la forma



Así por algebra de límite y por la regla de L'Hopital se tiene que y por consiguiente

Observaci\on: La regla de L'Hopital tambi\en es v\alida si o y adem\as note que

Sean y funciones diferenciables para todo , donde y sup\ongamos que para todo .entonces

a) Si y (es decir, tiene la forma indeterminada ) y si , entonces

.

An\alogamente si y y

si , entonces .

b) Si y (es decir, tiene la forma indeterminada ) y si , entonces

.

An\alogamente si y y si

, entonces .

El teorema tambi\en es v\alido si se sustituye por o Calcular

Solución: pues .

, luego el lí mite es de la forma , aplicando L'Hopital

dado que

y entonces por algebra de límite,



en consecuencia, por L'Hopital

Calcular

Soluci\on: Ya que y , aplicando la regla de L'Hopital, obtenemos

pero es de la forma luego

por lo tanto

Observemos que en algunos casos debemos aplicar m\as de una vez la regla de L'Hopital.Calcular

Este límite es del tipo Soluci\on:

Calculemos

es del tipo entonces veamos si existe

es del tipo ,

pero



Por lo anterior, tenemos

luego en usanado la continuidad de la funci\on exponencial se tiene

Por lo tanto

Calcular

Este límite es del tipo Soluci\on:

Calculemos

es del tipo Calculemos

es del tipo , luego aplicando L'Hopital nuevamente

Por lo tanto



luego en se tiene

de est forma llegamos a que

Calcular

Este límite es del tipo Solución:

Calculemos

pero este límite es del tipo , luego aplicando L'Hopital

es del tipo y será igual a siempre que exista este último,

En consecuencia, por regla de L'Hopital se tiene que

luego en obtenemos

Por lo tanto,

Calcule el valor de los siguientes límites (L'Hopital)

1.



2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Aplicaciones de la DerivadaAplicaciones Geom\etricas

La aplicaci\on geom\etrica m\as directa y clara obviamente est\a en el hecho que la derivada nos permiteencontrar la pendiente de la recta tangente a ciertas gr\aficas de funciones, explicaci\on que hemos dado antes delconcepto de la derivada, como motivaci\on a ella; pero no est\a de m\as hacer algunos ejemplosEncontrar el punto de la par\abola

cuya recta tangente forma un \angulo con el eje .

Soluci\on: , así la pendiente de la recta tangente debe ser 1.



De esta forma el punto de la par\abola es .Usando derivada encontrar el v\ertice de la par\abola

Soluci\on: En el v\ertice la tangente tiene pendiente cero

Por lo tanto el v\ertice est\a en el punto .

Usando derivada muestre que en una circunferencia de centro y radio .

la recta tangente en el punto es perpendicular a la recta que une con (recta radial)

Soluci\on: Si las rectas tangentes son perpendiculares al eje con ecuaci\on o y la

recta radial es por lo tanto son perpendiculares.

Si entonces

Pendiente de recta tangente a la circunferencia en el punto es .

La ecuaci\on de la recta tangente a la circunferencia en es:

La ecuaci\on de la recta radial en el punto es

y claramente son perpendiculares.

Aplicaciones FísicasConsideremos el problema de encontrar la velocidad en cualquier instante de un objeto que se mueve sobre una

trayectoria recta (movimiento rectilineo).Una f\ormula muy utilizada en la resoluci\on de pro-ble-mas a-cer-ca del mo-vi-mien-to de una partícula sobre una

línea recta es

donde es la velocidad media durante un intervalo de tiempo, la magnitud del intervalo de tiempo y es la



distancia total recorrida.

Ejemplifiquemos esta situaci\on. Supongamos que un autom\ovil sale de la ciudad a las 11:00 AM y viaja a lo

largo de una carretera recta hasta una ciudad que se encuentra a 120 km de , llegando a las 1:00 PM. Aplicando

la f\ormula con , vemos que la velocidad media del autom\ovil es

Esto significa que un autom\ovil que mantenga su velocidad a durante todo el tiempo, tomara

horas en recorrer la distancia entre las dos ciudades. Pero,

?`Cu\al es la velocidad (instant\anea) que marc\o el velocímetro (por ejemplo) a las ? Notemos que el

autom\ovil pudo haber estado en reposo (detenido en un peaje) o haber marcado su velocímetro u otrovalor.

Para determinar la velocidad con que el autom\ovil viajan cierto instante (en este caso a las 11:30hrs), senecesita conocer alguna informaci\on sobre la posici\on del autom\ovil alrededor de esa hora. Por ejemplo,

supongamos que a las 11:30 hrs, el autom\ovil est\a a 20 kms de y que a las 1:35 horas est\a a 24,5 kms de ,entonces en 5 minutos la distancia recorrida es 4,5 kms.

Sustituyendo en la f\ormula tenemos que la velocidad media durante ese intervalo de tiempo es

Pero este valor, no es el valor exacto de la velocidad a las 11:30hrs, es s\olo una aproximaci\on. Obviamenteuna mejor aproximaci\on de la velocidad a las 11:30 hrs se obtiene si consideramos intervalos de tiempo m\as

peque\nos. Esto nos lleva a considerar el límite de la velocidad media cuando tiende a 11:30hrs.

Supongamos que se conoce la posici\on de un punto en todo instante en un intervalo de tiempo, entonces

la velocidad de en el tiempo velocidad instantanea se define como

se conoce como la funci\on de posici\on de .

Si un punto se mueve sobre una recta de modo que su posici\on en el tiempo es , con

, entonces la velocidad media de entre los tiempos y es

y la velocidad instant\anea de en el tiempo es

siempre y cuando el límite existe, es decir .

La rapidez de al tiempo se define como y la aceleraci\on de al tiempo como

es decir,



usando otra notaci\on

Una atleta corre los cien metros planos Note_6 , de manera que la distancia que ha recorrido a los segundosest\a dada por

Calcular la velocidad del corredora) en el momento de la salida b) a los 5 segundos de la salida c) al cruzar la meta

Soluci\on: a) Notemos que en el momento de la salida , la posici\on del atleta es metros.

Usando la definici\on, la velocidad del atleta en .

Que es equivalente a calcular , derivando con respecto al tiempo y luego evaluando en .Así,

b) A los 5 segundos de la salida, tenemos

c) Al cruzar la meta, es decir, a los 100 metros se tiene,

por lo tanto a los 10 seg el atleta ha cruzado la meta y su velocidad es

Dos carreteras se cruzan formando en un \angulo de . Sabiendo que en un instante dos autom\oviles y

distan del cruce 100 kms, el autom\ovil alej\andose con una rapidez de y alej\andose con una rapidezde 60 km/hrs.

Determine la rapidez con que se separa uno del otro en el instante . (figura )

Soluci\on: Sea la distancia desde el cruce al autom\ovil en el instante , la distancia desde el cruce al

autom\ovil , y la distancia entre y , adem\as velocidad de los autom\ovil , respectivamente



en el instante .

Por hip\otesis kms , km/hrs y km/hrs. Nosotros

buscamos .

Aplicando el teorema del coseno al tri\angulo tenemos

es decir,

Con el objeto de obtener derivamos la expresi\on con respecto a tenemos;

Evaluando en la expresi\on obtenemos la distancia entre los aut\omoviles en el instante .

Así, usando Note_7 esto en obtenemos la velocidad requerida

Luego los autom\oviles en el instante se separan a una velocidad de km/hrs.

Otra forma de dar esta respuesta es: Luego los automóviles en el intante se separan a "razón" de

km/hrs.

Razón de Cambio, tasa de variaciónA continuaci\on veremos una de las m\ultiples aplicaciones de la derivada, la que refiere a variaci\on o raz\on

de cambio. Por ejemplo, la velocidad que ha sido definida anteriormente es la variaci\on de la posici\on con

respecto al tiempo (su rapidez de variaci\on). La aceleraci\on de al tiempo es la raz\on de cambio de lavelocidad con respecto al tiempo.

Consideremos la siguiente situaci\on general;

Sea donde es una funci\on derivable respecto al tiempo

1. La tasa (o raz\on) media de variaci\on de en el intervalo es



2. La tasa (o raz\on) de variaci\on de con respecto a es

Notar que esta definici\on es an\aloga al concepto de velocidad.

Las unidades que deben usarse en las definiciones anteriores dependen de la naturaleza de la

cantidad representada por .

El volumen (en ) de una peque\na represa durante la \epoca de lluvia, est\a dado por

donde se mide en meses y . La tasa de cambio del volumen con respecto al tiempo es el flujo

instant\aneo hacia la represa. Calcule el flujo en los tiempos y ?` Cu\al es el valor del flujo cuando el

volumen es de ?

Soluci\on: Por definici\on la tasa de cambio del volumen con respecto al tiempo es .

En este problema representa el flujo hacia la represa, entonces derivando la funci\on respecto del tiempo

tenemos

evaluando en y obtenemos el flujo;

Si el volumen entonces

de donde meses

La Temperatura (en grados Celsius) de una soluci\on al tiempo (en minutos) est\a dada por

para

1. Calcule aproximadamente la tasa media de cambio o variaci\on de la temperatura durante el

intervalo de tiempo .



2. Calcule la tasa de variaci\on o raz\on de cambio de con respecto al tiempo en y .

Soluci\on:

1. Sustituyendo en la definici\on se obtiene que la tasa media de cambio de en

es

2. Por definici\on la tasa de variaci\on de con respecto al tiempo es

Así,

Los extremos de un abrevadero de 3 mt de largo tienen la forma de tri\angulo equil\atero con lados de 60cm (perfil).Se suministra agua al abrevadero a raz\on de 20 L/min. ?`Cu\al es la rapidez de cambio o variaci\on del nivel del

agua cuando la profundidad es de 20cm? (1L(litro)= 1000 )

Soluci\on: Sea el nivel del agua en el instante , el volumen del agua en el instante , la longitud que

se muestra en la figura

Luego el volumen est\a dado por

pero por teorema de Thales, en el tri\angulo , se tiene

donde es la altura del tri\angulo equil\atero . Luego y .

Así, derivando con respecto al tiempo , tenemos

de donde

Evaluando cuando tenemos



Así la rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es es .

La orilla de una piscina es un rect\angulo de 60 pie de largo y 30 pie de ancho. Su profundidad aumentauniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y despu\es contin\ua al mismo nivel los 20 pie restantescomo se ilustra en la figura , la cual representa una secci\on transversal. La piscina se est\a llenando a raz\on de500 gal/min de agua. Calcule aproximadamente la rapidez de cambio del nivel del agua en el momento en que;

1. La profundidad en la parte m\as honda es de 4 pie ( ).

2. La profundidad es de 6 pie.

3. La profundidad es de 5 pie.

Soluci\on:

1. En el ejemplo del capítulo de funciones obtuvimos que la funci\on volumen en t\ermino de es

donde es el nivel del agua en el lado m\as profundo. Luego para calcular la rapidez de cambio del

nivel del agua con respecto al tiempo cuando consideramos la funci\on volumen para

;

Así, derivando con respecto al tiempo, por (regla de la cadena) tenemos

por lo tanto

donde , pero y luego

Así la rapidez de cambio del nivel del agua en el instante en que el nivel del agua es 4 pies es

aproximadamente .

2. Para calcular la raz\on de cambio cuando se procede de manera an\aloga a la parte (a)considerando

pues esta funci\on est\a definida para .

3. ejercicio para el lector

Un tanque c\onico de 12 pie de altura y 8 de di\ametro en la tapa, se llena con agua a una raz\on constante. Alencontrar el nivel a media altura, la raz\on de cambio de esta altura es de 1pie/min. ?` Cu\anto tardaría en llenarse eltanque?



Soluci\on: Sea la altura del nivel de agua y la longitud del radio del cono cuando la altura es (ver figura ).

Como donde constante entonces . Como en entonces Luego

pero

luego

pero del tri\angulo se tiene

de donde . Así reemplazando en ( ) tenemos

derivando con respecto a tenemos

pero al encontrar el nivel del agua a media altura, es decir, cuando se tiene;

Así evaluando la expresi\on ( ) cuando ;

Por lo tanto

Por otra parte el tanque est\a lleno cuando , es decir el tanque se llena cuando de

donde .Así el estanque tardaría en llenarse 16 minutos.No tan s\olo interesa las razones de cambio con respecto al tiempo, sino tambi\en con respecto a otras

variables.

Sea donde es cualquier variable

1. La tasa media de variaci\on de con respecto a en el intervalo es el cuociente

2. La tasa instant\anea de variaci\on de con respecto a es el límite de la raz\on promedio cuando



tiende a , es decir,

Esto significa que si la variable cambia, entonces cambia a raz\on de unidades por unidad de

cambio de .

La relaci\on entre la temperatura en la escala Fahrenheit y la temperatura en la escala Celsius est\a dada por

?` Cu\al es la raz\on de cambio de con respecto a ?

Soluci\on: Derivando con respecto a , tenemos

de donde la raz\on de cambio de con respecto a es

Demuestre que la tasa de cambio del volumen de una esfera con respecto al radio es igual al \area de la superficieSolución: El volumen y el área de una esfera están dados por las fórmulas

donde es el radio. Es claro que si derivamos con respecto a tenemos

es decir, la tasa de cambio del volumen es igual al área de la superficie.

Ejemplos típicos

Problema de la sombra

Paulina, de de alto, corre en la noche alejandose de un poste a la velocidad de el foco del

poste que ilumina a Paulina esta a de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de lella crece(¿es verdad? o ¿realmente decrece?).

Contestemos las siguientes preguntasa.- ¿A qué velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ?b.- El extremo de la sombra se aleja también del poste, la velocidad de este alejamiento ¿ es la misma

velocidad de la niña? o ¿es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?.



Sea:

la distancia de la niña al poste en el instante

el largo de la sombra de la niña en el tiempo

Entonces la velocidad de la niña es y en término de estas variables, lo que buscamos para contestar la

primera pregunta es

Lo que debemos hacer es encontrar una relación en donde aparezca y después derivar.

Como los triángulos y son semejantes (tienen los mismos ángulos), se da la siguiente relación entrelos lados

y de esta forma tenemos

Que es lo mismo que

derivando a ambos lados

La pregunta b se refiere a la derivada de la suma y como conocemos cada derivada, la respuesta es

no es igual a ninguna de las dos sugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es

Supongamos ahora que Pedrito es el que corre, pero a

´¿Cuál corre más rápido, Pedrito o la niña?

Si Pedrito mide ¿A qué velocidad el extremo de la sombra se aleja del poste?Problema de la escalera

Una escalera de metal con ruedas en su base esta apoyada en una muralla de tal forma que su extremo superior

esta a del suelo. El bloqueo de sus ruedas le impide moverse. La escalera mide de largo y es pesada demodo tal que cuando se desbloquean las ruedas la escalera se desliza en la muralla moviendose su extremo

superior a la velocidad de Cuando esta a un metro del suelo ¿a qué velocidad se mueven las ruedas en



ese instante?Para contestar esa pregunta necesitamos definir algunas variables y hacer un diagrama del problemaEl diagrama del problema es:.

Sean:

la distancia de las ruedas a la muralla y

la distancia del extremo superior de la escalera al suelo.

Por lo tanto y lo que buscamos es en que es el instante en que la escalera está a

del suelo, es decir, metro.

Como se ve, la muralla con la escalera y el suelo en todo tiempo forman un triángulo rectángulo asi tenemos elteorema de Pitágoras,

derivando en ambos lados de la igualdad (y usando la regla de la cadena) tenemos

y por lo tanto en el instante

Usando podemos obtener

Por lo tanto las ruedas se deslizan a la velocidad de

¿Por qué nos dió una respuesta negativa?

Por el sistema de referencia elegido; como la distancia disminuye, la velocidad de caida de la escalera

debería ser negativa, es decir, en vez de haber puesto en deberiamos haber puesto

Problema de la Sombra 2

En el cruce de dos calles, que tienen ancho cada una, hay un poste de 3 metros de alto en una de las



esquinas. En la noche Pedrito, de , camina a alejandose de la esquina por la vereda contraria al

poste y a un metro de la orilla de la calle.

¿A qué velocidad se alarga la sombra de Pedrito cuando este se encuentra a de la orilla de la calleque recien cruzó?

Como podemos ver en el diagrama este se puede simplificar a un triángulo rectángulo como sigue

Sea

distancia de Pedrito a la base del poste ( )

largo de la sombra de Pedrito ( )

distancia de Pedrito a la calle transversal a la calle donde camina ( )

Sea el instante que Pedrito esta a

¿Qué buscamos ?,El valor de ,

¿Qué conocemos?

Como tenemos dos triángulos rectángulos semejantes



Por lo tanto necesitamos conocer Como forma un triángulo rectángulo, tenemos

derivado

asi, en el instante

En el instante usando tenemos

De esta forma logramos y así,

El globo de Pedrito

En una carretera un auto va a en el interior va Pedrito con un globo con helio. Pedrito suelta el globo y

este sube en forma perpendicular a Veamos a qué velocidad se separa Pedrito del globo después de

segundos.Esquema del problema

Sea el instante que Pedrito suelta el globo y sea la distancia entre el globo y el auto, la

distancia del globo al suelo, la distancia del auto al punto de , donde se forma un ángulo recto.



¿Qué buscamos?. Respuesta :

¿Qué tenemos?. Respuesta : en particular

el cual esta en kilómetros por hora, asi que debemos cambiarla a metros segundos

Como forma un triángulo rectángulo

por lo tanto necesitamos

después de segundo el globo esta a metros

después de segundo el auto está a metros y utilizando en

De esta forma tenemos toda la información para ponerla en

La Teletón

El círculo de la figura representa un escenario redondo, de radio 3 metros, ubicado al centro del Estadio

Nacional y que gira a revoluciones por minutos. Don Francisco camina desde el centro del escenario (punto )

en forma recta hasta el punto ubicado a la orilla del escenario La recta forma un ángulo con la recta

que une con la ubicación de Paula que esta en la galeria (punto ) a docientos metros del centro.

¿A que velocidad varia la distancia entre Don Francisco y Paula si Don Francisco camina a ?.

Sea la distancia entre Don Francisco y Paula en el tiempo

la distancia de Don Francisco al centro del escenario en el tiempo asi

el ángulo que forma la ruta de Don Francisco en el escenario con la recta OP.



Lo que buscamos es donde es el instante que Don francisco llega a

Como la ubicacion de Don Francisco, Paula y el centro del escenario en todo tiempo forman un triángulo,usaremos la ley del coseno

Derivando en respecto al tiempo nos queda

Como en y utilizando lograremos

De esta forma nos queda

Problema del tren a vapor:En la figura hay una varilla de largo L fija (en el punto B),en el aro de una rueda de radio R el otro extremo de la

varrilla (A) se mueve en forma horizontal (eje x). La rueda rota fija en su centro O contra el sentido del reloj a revoluciones por segundo



Veamos la velocidad del movimiento del extremo A.

Sea la distancia desde el centro O hasta el punto A (OA) en el tiempo . Con esta notacion podemos decir

que buyscamos

Sea el ángulo que forma el eje horizontal con el radio que une el centro con el extremo B de la varilla en el

tiempo

Utilizando la ley del coseno en el triángulo

derivando en ambos lados (no olvidar la derivada del producto y la regla de la cadena)tenemos

¿Qué relación deben cumplir y

¿En que posición del ángulo se tiene mayor velocidad?

¿En que momento se tiene velocidad ?

Con un mismo Las velocidaddes aumenrtan o disminuyen si la rueda es mas grande?.Problema de arena

En un estanque en forma de cono circular recto de radio y altura se deja caer arena de tal forma que amedida que se llena el estanque se forma dos conos iguales.



Si se deja caer ¿Con qué velocidad sube el extremos de superior de la pila de arena cuando se hecha el

máximo de arena?

Sea el nivel de la arena en la pared del cilindro en el tiempo t, el radio de los conos asociados al nivel

Dada estas notaciones, se puede decir que buscamos donde es el instante que se llena el estanque

, es decir,

Si denota el volumen de la arena en el tiempo como el volumen total de arena en el tiempo es dos

veces el volumen del cono recto de altura y radio se tiene

De esta relación se puede obtener via derivación, pero también aparecería la derivada de , como se

ve acontinuación

Pero si vemos el triángulo dibujado al lado del cono (como modelo matemático), vemos dos triángulossemejantes, por lo tanto tenemos la siguiente relación entre sus lados

y por lo tanto

y

reemplazando en tenemos

¿Cuando el nivel sube más rápido, cuando la altura de la arena es más poca ´cuando está cerca de



Máximo y MínimoHemos visto algunas aplicaciones de la derivada. Ahora veremos que la derivada adem\as nos da informaci\on

sobre el crecimiento y decrecimiento de la funciones, y nos permitar\a encontrar los puntos donde hay m\aximos omínimos.

Hay dos t\ecnicas directas para encontrar tales puntos, estas t\ecnicas ge-ne-ralmente se denominan criterio dela primera derivada y criterio de la segunda derivada.

Para entrar en materia necesitamos definir con precisi\on que entenderemos por m\aximo, mínimo, etc.

Sea , diremos que es el valor m\aximo de la funci\on (\o Valor M\aximo absoluto de o

simplemente el m\aximo de ) si para todo elemento se cumple

En forma totalmente an\aloga se define mínimo absoluto o mí nimo. es el valor mínimo absoluto en si

Note que necesariamente el valor m\aximo (el valor mínimo) es la imagen de un punto ; Se dice

``en est\a el m\aximo de ''(``en est\a el mínimo de ").

Si no es inyectiva, puede existir varios otros elementos de donde alcance el valor m\aximo o el valormínimo, sin embargo el valor m\aximo o el valor mínimo absoluto si existen son \unicos.

Por ejemplo la funci\on no es inyectiva, el valor m\aximo de es y el valor mínimo de es y estosvalores son alcanzados en m\as de un punto.

Hay otro concepto de m\aximo (o mínimo) de que es menos exigente, este es m\aximo local o relativo (mínimolocal o relativo).

En el gráfico de ventas de un producto en el año, una multitienda tiene dos "grandes" meses de ventas Marzo yDiciembre (ver gráfico siguiente)

pero claramente ambos no son máximo absolutos.

Sea . Diremos que en hay un m\aximo relativo o m\aximo local si existe una

vecindad de tal que es el m\aximo absoluto de la funci\on , es decir,

, an\alogamente se define mínimo local

Sea . Diremos que tiene un m\aximo relativo estricto en si existe una

vecindad de tal que . An\alogamente se define mí nimo

relativo estricto

Sea una función continua con gráfica dada en la figura



. Claramente es el máximo absoluto, a diferencia de los valores que son solamente máximo relativo y

de los valores que son mínimos relativos unicamente ( son también relativos)

Diremos que un valor con es un valor extremo de en si es el m\aximo o mínimo de alguna especie en

y punto extremo al punto donde alcanza el valor extremo.

Sea .

La gr\afica de es un trozo de una par\abola y claramente se puede notar mediante su gr\afica que es el

mínimo absoluto y que es el m\aximo absoluto (tambi\en relativo) y m\aximo absoluto estricto.

En este caso tiene tres valores extremos .

Sea .

Como la funci\on es estrictamente decreciente tiene s\olo dos valores extremos

que es el m\aximo absoluto en .

que es el mínimo absoluto en .

Sea .

Claramente es estrictamente creciente, por lo tanto el m\aximo se encuentra en , y este es . Pero esta

funci\on no tiene un mínimo, ya que , sin embargo es acotado inferiormente por , pues

No podemos decir que es mínimo absoluto ni local ya que \el debe ser imagen de un elemento del dominio que se

est\a utilizando, en este caso En estos dos \ultimos ejemplos se puede visualizar lo \util que resulta tener la informaci\on relativa al decreciento

o creciento de una funci\on.

Consideremos la figura



Figura

Supongamos que ella representa la gráfica de una función continua en y diferenciable en

Notemos que en el intervalo , donde la funci\on es creciente, la pendiente de la tangente a la gr\afica de en

es positiva, por lo tanto Esto ocurre para cualquier , así para todo en .

Lo mismo ocurre en el intervalo , es decir, es creciente ahí y tambi\en en .

Sin embargo en el intervalo la funci\on es decreciente y la recta tangente trazada en tiene pendiente

negativa, así si .

Finalmente, usando figura se tiene que las tangentes a la gráfica en los puntos extremos y tienenpendiente cero, es decir;

Note que son también extremos pero las "derivadas derechas e izquierda Note_8 ", de existir no sonnulas.

Como conclusi\on del caso anterior tenemos que los extremos se pueden encontrar donde la derivada se anula,donde no existe la derivada o en los extremos del intervalo.

Veamos a continuaci\on algunos ejemplos donde estos casos ocurre.

Sea , la derivada se anula en , es decir, y tiene un mínimo en (ver figura gráfico

izquierdo.).



Figura

Sea , la derivada no existe en , sin embargo tiene un mínimo en (ver figura gráfico central.).

Sea y sea , la derivada de no se anula en , es decir, y tiene un mínimo en .(ver

figura gráfico derecho).

Sea derivable en , vecindad de y un mínimo relativo entonces .

Demostración: Como es un mínimo relativo se tiene que

De esta forma

Así, si

y si

luego

y como es derivable en si tiene obtenemos la siguiente cadena



de donde se concluye que

Sea un valor m\aximo de , derivable en , entonces

Demostraci\on: Si es un valor m\aximo de , es un valor mínimo de , por teorema anterior

.

Observaci\on: Si , no necesariamente tiene un extremo en .

Por ejemplo; definida en tiene derivada en pero no tiene extremos, a pesar que en laderivada es anula.

Conclusi\on:

Si esta definida en una vecindad de y (por lo tanto es derivable en ) entonces puede ocurrir que:

sea un m\aximo relativo.

sea un mínimo relativo.

no sea valor extremo.

¿Pero cómo decidir cuál de estos casos se cumple?

Primero veamos cómo decidir en el caso que sean extremos, trabajando con una función continua definida en

un intervalo cerrado y derivable en .

Por lo tanto, si es un función derivable en y continua en podemos asegurar que alcanza el máximo y

el mínimo en algún punto donde o en los bordes o .Así, para determinar cuál es el valor máximo y cuál es el valor mínimo basta evaluar la función en los extremos

del intervalos o , y los puntos donde la derivada se anula y considerar el valor máximo y el valor mínimoentre estos valores.

Sea

Tenemos que es continua en y derivable en .

Puesto que entonces evaluando en los puntos obtenemos;

Así el m\aximo absoluto de es y el mínimo absoluto es .

Se desea construir un oleoducto de un punto a otro punto que distan y se encuentran en riberas opuestas

de un río de cauce recto de de ancho. El oleoducto ir\a bajo el agua de a un punto en la ribera opuesta y

luego sobre el suelo de a .

El costo por kil\ometro de tubería bajo el agua es el cu\adruple del costo sobre tierra. Calcule la posici\on de queminimizar\a el costo (desprecie la pendiente de lecho del río).

Solución: Sea la distancia (en kms) del punto al punto ver figura



figura

.

Por Pit\agoras en el tri\angulo se tiene

luego , de donde .

Adem\as, en el tri\angulo , se tiene

Sea el costo por de tubería sobre tierra, entonces el costo por km de tubería bajo el agua es Luego la función que representa el costo de construción del oleoducto es

donde .

Como es una función continua en y derivable en entonces alcanza su máximo en algún punto

a donde o en los bordes del intervalos .

Como ,

evaluando la funci\on en y en los puntos y se tiene;

Como y ,

entonces el mínimo costo es y la posici\on del punto debe ser del punto .

Un campo petrolero tiene ocho pozos que producen un total de 1600 barriles de crudo al día. Por cada pozo nuevoque se tiene, la producci\on media por pozo disminuye en 10 barriles diarios ?`Cu\antos pozos adicionales sedeben formar para obtener la mayor producci\on de crudo al día?



Soluci\on: Sea : el n\umero de pozos adicionales; . Si se tiene 8 pozos que producen un total de1600 barriles entonces la producci\on media por pozo es 200 barriles diarios. Por cada pozo nuevo que se tiene laproducci\on media por pozo disminuye en 10 barriles luego, la producci\on media por pozo es

por lo tanto la producci\on de crudo al día es

Como y , entonces (de donde ).En consecuencia la función a maximizar es;

, con .

Como es una funci\on continua en el intervalo cerrado y derivable en , alcanza su m\aximo en

alg\un punto donde o en los bordes del intervalo.

luego;

Así al evaluar la funci\on de producci\on en los puntos tenemos;

De esta forma la producci\on m\axima se obtiene con 6 pozos adicionales.El propietario de un huerto de manzana, calcula que si siembra 24 \arboles por acre, entonces cada \arbol adultodar\a 600 manzanas al a\no.Por cada tres \arboles m\as que se planten por acre el n\umero de manzanas que produce cada \arbol disminuye en12 al a\no. ?`Cu\antos \arboles se deben plantar por acre para obtener el mayor n\umero posible de manzanas ala\no?

Soluci\on: Sea el n\umero de \arboles que se plantan (sobre los 24 \arboles) por acre.

Puesto que por cada tres \arboles m\as que se planten por acre el n\umero de manzanas que produce cada

\arbol disminuye en 12 al a\no, entonces si se plantan \arboles por acre el n\umero de manzanas que

produce cada \arbol ser\a , luego la producci\on de manzanas al a\no ser\a;

Como y , entonces (de donde ).Así;

Luego

Dado que es continua en y derivable en entonces evaluando en los puntos



tenemos

luego la máxima producción de manzana se obtiene cuando se plantan 63 árboles más por acre es, es decir, 87árboles por acre.

Test de la Primera Derivada

Observaci\on: En los ejemplos anteriores s\olo bast\o evaluar en los puntos donde y en los bordes del

intervalo , pero en general si queremos determinar los extremos de una funci\on necesitamos informaci\on

sobre el crecimiento y decrecimiento de la funci\on en una vecindad de .

Así, para se obtiene los siguientes casos:

Si es estrictamente creciente en la vecindad izquierda de , y estrictamente decreciente

en la vecindad derecha de , se tiene que es un máximo local estricto. (figura izquierda).

Figura

Análogamente si es estrictamente decreciente en y es estrictamente creciente en

entonces es un mínimo relativo estricto (figura gráfico derecho).

Si no ocurre alguna de las dos alternativas anteriores, no es valor extremo.

De lo anterior es claro que necesitamos una forma de visualizar cuando es creciente y cuando esdecreciente. Con ese objeto enunciaremos los teoremas siguientes.

Un punto , se dice que es un punto crítico de si ocurre una de las siguientes posibilidades;

Sea .

es un punto crítico de , pues .

Sea luego tenemos que su derivada es:



Puesto que , es un punto crí tico

Sea , entonces tenemos que si . Por lo tanto es un punto crí tico.

Teorema del valor medio y Rolle

Teorema de Rolle Sea es una función continua en el intervalo y derivable en el intervalo abierto , tal que

, entonces tiene al menos un punto crítico en , es decir, existe tal que .(ver figura

gráfico izquierdo).

Figura

Demostraci\on: Note_9

Si la funci\on es constante en , su derivada es cero en , es decir

Si no ocurre lo anterior, no es constante y tenemos dos casos, (i) existe un intervalo donde la

funci\on crece y luego decrece o bien (ii) decrece en un intervalo para luego crecer (ya que

).

En el primer caso se obtiene un m\aximo local y en el segundo un mínimo local en ambos caso la

tangente en esos puntos ser\a de pendiente cero . De esta forma es un punto crí tico .

Una generalización en este teorema es el teorema de valor medio que se puede motivar de la siguiente forma.

Consideremos un auto (un jeep para estar en onda) que parte de Vi\na a las 11:30 horas y llega a una partecercana a Santiago a las 13:00 horas. Si recorre 130 kilometros, entonces la velocidad promedio o media es

Esto significa que al menos alg\un momento de su viaje el velocímetro marc\o , es decir, la velocidad

instant\anea en alg\un momento entre 11:30 y las 13:00 horas fue de .

En la figura se ha graficado la recta que indica la velocidad media (recta secante a la gráfica de la

función que nos dá la distancia recorrida porel móvil en el tiempo

)



Las rectas son paralelas a , luego tiene la misma pendiente de la recta secante; ellas est\an dadaspor las derivadas en el punto, en este caso obtenemos la pendiente de la secante

que es igual las pendiente de las tangentes en , , es decir, a los valores , , .

Así tenemos la existencia a lo menos de un punto en este caso tal que

Teorema del Valor Medio Sea una funci\on definida en , tal que

1. sea continua en

2. sea derivable en

Entonces se tiene que existe al menos un tal que

Demostraci\on: La funci\on

satisface las hip\otesis del teorema de Rolle por lo tanto existe tal que o

Observaci\on: Lo que dice es que la recta tangente secante que pasa por los puntos es

paralela al menos a una de las rectas tangentes a la gr\afica de entre los puntos mencionados.La aplicaci\on m\as directa de este teorema es en la demostraci\on del siguiente teorema

Sea una funci\on derivable en su dominio.

1. Si en , se tiene que es creciente en .

2. Si en , se tiene es estrictamente creciente en .

3. Si en , se tiene que es decreciente en



4. Si en , se tiene que es estrictamente decreciente en .

Demostraci\on: Mostraremos s\olo (4)

Tenemos que suponer que y debemos probar que:

Sean . Como satisface el teorema del Valor Medio, tenemos que existe tal que

Como y se tiene que . Así se ha probado que

Sea una funci\on cuya derivada es .

Determine en que intervalos es estrictamente decrecienteSolución: Usando la tabla de signos

tenemos en , por lo tanto es estrictamente creciente alli, lo mismo ocurre en el intervalo .

Sea , como es positiva para todo valor , se concluye que es estrictamente creciente, sin

embargo , , por lo tanto es estrictamente decreciente.

Sea , como

y la variable es positiva, se tiene que determina el signo de la derivada de por lo tanto tenemos que:

1. Si , es estrictamente creciente

2. Si , es estrictamente decreciente

Sae , veamos en que intervalos es decreciente

El dominio de la funci\on es , y su derivada la obtenemos utilizando regla de la cadena y la derivadade un cuociente

Como en su dominio se concluye que es estrictamente creciente en la cada intervalo (no podemos decir



que es creciente en la uni\on).

Err\oneamente podriamos decir que en intervalo , la raz\on del error es que la funci\on no esta

definida en este intervalo, así que es imposible que este definida en un conjunto mayor.

Sea la velocidad de un m\ovil en el tiempo , .

Determinemos los intervalos de tiempo donde el m\ovil esta aumentando de velocidad (acelerando) y en quemomento est\a disminuyendo su velocidad (frenando o aceleraci\on negativa)

Soluci\on: Necesitamos determinar el signo de .

Tenemos que , así el m\ovil esta frenando entre los valores , adem\as en

. Por lo tanto el m\ovil acelera desde a y posteriormente acelera de a .?`Cuando se detiene el m\ovil

Observaci\on: En teorema anterior es s\olo de la forma ya que la funci\on es estrictamente

creciente en pero no es positiva siempre ya que .Basados en el teorema anterior podemos enunciar el criterio de la primera derivada para m\aximos y/o mínimos

relativos estricto.

Criterio de la primera derivada Sea continua en y derivable en no necesariamente en

Si existe tal que en y en entonces tiene un m\aximo

relativo estricto en

Si existe tal que en y en entonces tiene un mínimo

relativo estricto en

Generalmente, las hip\otesis en (a), para un m\aximo relativo, se escribe resumidamente así

+ -

y las hip\otesis para un mínimo relativo se escribe;

- +

Sea , como

Luego

de donde es estrictamente creciente en y estrictamente decreciente en , así por el criterio de la

primera derivada podemos concluir que es un valor mínimo relativo estricto, que adem\as es absoluto.

Este resultado tambi\en lo podemos obtener graficando la par\abola que re-pre-senta a con



v\ertice en

Considere una funci\on derivable tal que

Determinar los extremos de .

Soluci\on: Determinemos en qu\e intervalos y donde . Para esto formemos una tabla para la

funci\on que nos indique resumidamente donde es positiva y donde es negativa.

- - 0 + +

- 0 + + +

- - - 0 +

De esta forma tenemos informaci\on sobre resumidas en el siguiente cuadro;

-2 3 5

- 0 + 0 - 0 +

0 0 0

Del res\umen se puede concluir que y son mínimo locales estricto y es un m\aximo local estricto.

Sea . Determimos los extremos de .

Soluci\on: y notemos que no es derivable en , sin

embargo es continua y

es decir,

- +

luego por el criterio de la primera derivada tiene un nínimo en que es tambi\en absoluto (notar que el

no es acotado), no tiene m\aximo.Determinemos si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificaremos nuestras respuesta.

Sea , la funci\on , definida en su dominio m\aximo tiene s\olo un valor extremo.

La funci\on no tiene extremos.

La funci\on es estrictamente decreciente en el intervalo

La funci\on no tiene m\aximo y no tiene mínimo.

La funci\on tiene m\aximo y mínimo.



La funci\on definida en tiene un m\aximo si .

La funci\on definida en no tiene extremos.

Soluci\on:

Verdadero. , como entonces;

De esta forma

Por criterio de la primera derivada tiene un máximo relativo estricto que es también absoluto (puesla función sube y baja sólo una vez), y no tiene mínimo.

Falso. Por definición es claro que tiene un mí nimo local absoluto en , pues

por lo tanto .

Verdadero. analizando los signos de , obtenemos

Luego es estrictamente decreciente en .

Observaci\on: Notar que por criterio de la primera derivada podemos afirmar que tiene un

mínimo en , m\as a\un \el es el mínimo absoluto.

Falso. adem\as , es decir, es estrictamente creciente

y definida en un dominio acotado inferiormente por , luego tiene un mínimo en .

Este resultado tambi\en es claro graficando la funci\on :

Verdadero. Notemos que es una funci\on continua definida en el intervalo cerrado , luego

por el teorema de los valores extremos tiene un m\aximo y mínimo que son absolutos.

Verdadero. Notemos que . Si entonces

, luego es creciente en su dominio acotado superiormente por

de esta forma tiene un m\aximo (absoluto) que es .

Falso.

luego es decreciente definida en un dominio acotado inferiormente por , así tiene

como m\aximo ; claramente podemos ver que f no tiene mínimo.

En base a la informaci\on que hemos obtenido hasta el momento, podemos graficar algunas funcionesconsiderando; dominio, dominio de continuidad, interceptos con los ejes coordenados, intervalos de crecimiento y



decrecimiento, m\aximos y/o mínimos.

Gr\afiquemos .Soluci\on:

.

es continua en todo (funci\on polinomial).

Interceptos con el eje

Interceptos con el eje

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De la tabla, se tiene que , y en consecuencia estrictamente creciente en el intervalo

y tambi\en en , y (en consecuencia estrictamente decreciente) en el

intervalo .

Resumiendo tenemos la siguiente informaci\on de ;

Por el criterio de la primera derivada tiene un máximo relativo estricto en y un mínimo

relativo estricto en . Así la gráfica de es aproximadamente como la de la figura



Sea . Determinemos los puntos extremos y especificaremos de que tipo son.

Solución: los puntos críticos son las soluciones de la ecuación

que es equivalente a la unión de las soluciones de las ecuaciones

Así, los puntos críticos son .

Usando el signo de las funciones y en los cuadrantes de , tenemos que:En el primer y tercer cuadrantes ambas tiene el mismo signo por lo tanto la derivada es positiva. es decir,

y en los otros cuadrantes se tiene

Usando la periodicidad de y se obtiene el signo de en toda la recta real.Si

y en caso contrario .

De esta forma se tiene m\aximos locales en los puntos y , y mínimo locales los puntos

. Por otra parte

Con la informaci\on que hemos obtenido, podemos hacer la gr\afica de en forma aproximada.

Sabemos que la funci\on es creciente en el intervalo y que y son mínimo y m\aximo relativos

respectivamente, como es una funci\on continua, la gr\afica en corresponda a unir los puntos y

en forma creciente, a diferencia de la uni\on de los puntos y que es en forma decreciente

El gráfico se puede hacer completo, por la periodicidad basta saber lo que ocurre en .



El siguiente problema de aplicación es necesario obtener previamente una función que se buscará el máximo omínimo y luego aplicar algún criterio de obtención de máximo o de mínimo.Se intenta cercar un campo rectangular con 4 hebras de alambre y después subdividir el campo en dos partes

(como en la figura ) con una cerca paralela a uno de los lados, utilizando 2 hebras de alambre. Determinar lasdimensiones del terreno de área máxima.

Solución: Sean e las dimensiones del terreno, entonces el área está dada por la fórmula

pero al distribuir los 600 metros de alambre se tiene la ecuación;

de donde luego;

pero y , es decir, y

Por lo tanto la función que se necesita maximizar es;

definida en el intervalo abierto .



Ahora apliquemos el criterio de la primera derivada;

Resumiendo tenemos

+ +

+ -

luego el área máxima se alcanza cuando .Así las dimensiones del terreno son

Observación: Aquí no se evalúa en los extremos del intervalo, pues no están considerados en el dominio de la

función.

Criterio de la segunda derivada Sea una función derivable en un intervalo abierto que contiene a tal que

. (es decir, es un punto crítico).

Si entonces tiene un m\aximo local estricto en .

Si entonces tiene un mínimo local estricto en

Observaci\on: (1) Es importante hacer notar que a diferencia del criterio de la primera derivada este criterio

exige que , sea derivable dos veces en con .

(2) Si este criterio no nos d\a informaci\on, y se debe recurrir al criterio de la primera derivada.Resolvamos el ejemplo usando este nuevo criterioLa funci\on a maximizar es:

Determinemos tal que .

Luego es un punto crítico que debemos evaluar en la segunda derivada. Como

en particular , así podemos afirmar que es el m\aximo buscado.Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro recto y semiesfera en los extremos (vease la



figura ) para almacenar gas propano. El costo de fabricación por pie cuadrado de los extremos es el doble al de la

parte cilíndrica. ¿ Qué dimensiones minimizan el costo, si la capacidad deseada del tanque es de ?

Figura

Soluci\on: Sea el costo del pie cuadrado de la parte cilíndrica entonces el costo del pie cuadrado de los

extremos es .

Puesto que en la parte cilíndrica se tiene y en los extremos entonces el costo de construcci\on es

pero el volumen es

entonces

y la funci\on costo en t\erminos de es;

es decir;

Como entonces



de donde , luego

Así la funci\on costo a minimizar es

Ahora determinemos el mínimo por el criterio de la segunda derivada (notemos que es dos veces diferenciableen su dominio)

luego

Como y es derivable podemos aplicar el criterio de la segunda derivada.

La derivada de es

luego , de donde tiene un mínimo en .

Las dimensiones que minimizan el costo de fabricaci\on del tanque son

Concavidad

Sea , un intervalo

1. Diremos que la función es convexa o concava hacia arriba en si tal que el

punto (de la gráfica de ) está abajo de la recta secante que une los puntos y

figura gráfico izquierdo.

2. Diremos que la función es concava o concava hacia abajo en si tal que el

punto (de la gráfica de ) está sobre la recta secante que une los puntos y

figura gráfico. derecho



Figura

La par\abola es concava hacia arriba o convexa.

La par\abola es concava hacia abajo o concava.

La funci\on es concava hacia abajo en el intervalo y concava hacia arriba en el intervalo .

Sea una funci\on y sea .

1. Diremos que es concava hacia arriba o convexa en el punto si existe una vecindad

tal que y la funci\on es concava hacia arriba en .

2. Diremos que es concava hacia abajo o concava en el punto si existe una vecindad

tal que y la funci\on es concava hacia abajo en .

Observaci\on:

1. De la definici\on se puede concluir que concavidad se refiere a una propiedad de la gr\afica.

En el caso de tener una función estrictamente creciente en el intervalo se puede tener que

sea concava en o convexa en o en un sector concava y en otro convexa (ver figura ), lo mismo sepuede decir de una función estrictamente decreciente.

Figura

2. Como la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos , es



o

Decir que para , el punto esta debajo de la secante significa por lo tanto

y que

operando en la desigualdad

ahora operando en la desigualdad

Usando las \ultimas desigualdades se tiene que es concava hacia arriba si y s\olo si setiene

3. Hay una caracterizaci\on geom\etrica mas clara para el caso de una funci\on que sea derivable en un

punto

a. La gráfica de es concava hacia arriba en el punto si existe un intervalo que

contiene a , tal que la gráfica de está por encima de la recta tangente en figura

, gráfica izquierda



Figura

.

b. La gráfica de es concava hacia abajo en si existe un intervalo que contiene a tal

que la gráfica de esta por abajo de la recta tangente en figura gráfica derecha

Figura

4. En la figura izquierda tenemos la gráfica de una función derivable concava hacia arriba en el

intervalo , en ella hemos dibujado distintas rectas tangentes, las pendientes de estas rectasaumentan a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Como las pendientes estan

determinada por las derivadas se concluye que es creciente. Si la función es también

derivable se concluye que es positiva o cero por el hecho que es una función creciente.

En la figura derecho hemos dibujado varias rectas tangentes a la gráfica de , cuyas pendientes

son los valores de las derivadas de , . es decreciente ya que las pendientes de las tangentesdisminuye a medida que cambian de puntos de izquierda a derecha en la gráfica de la derecha de

figura .

Como la función es decreciente, de ser ella derivable, su derivada es negativa o cero, es decir,

.

Sea , dos veces derivable en el intervalo abierto

1. es concava hacia arriba en para todo .

2. es concava hacia abajo en para todo .

La forma como generalmente se aplica este teorema es: usando la informaci\on de la segunda derivada seobtiene la concavidad o convexidad de la gr\afica



Sea derivable en y supongamos que existe .

1. la gr\afica de es concava hacia arriba en

2. la gr\afica de es concava hacia abajo en

Con este corolario queda abierto el caso que la segunda derivada se anule.

Un punto de la gráfica de se dice que es un punto de inflexion si existe un abierto tal que para todo

, existe y además cambia de signo en .

Sea una par\abola. Como se dijo anteriormente es el ejemplo m\as simple de concava hacia

arriba, .

Sea , que es negativa, por lo tanto la gr\afica de (la par\abola) es concava haciaabajo.

Los dos ejemplos anteriores le deberian permitir recordar cual es el signo de la segunda derivada exigido paraconcavidad y cual es exigido para convexidad.

En los dos ejemplos anteriores no tenemos puntos de inflexi\on, a continuci\on veremos uno

Sea , veamos si tiene puntos de inflexi\on.

por lo tanto los puntos de inflexi\on tiene primera componente que probablemente satisface la ecuaci\on ,

en este casos . Como cambia de signo en se tiene que es el punto de inflexi\on.Podemos hacer una tabla resumen de la segunda derivada y su conclusi\on

- +

gr\afica de Concava Inflexi\onConvexa

Ahora usando la primer derivada podemos hacer una tabla resumen que nos permitir\a graficar con mayorprecisi\on

Así, los puntos críticos son y .

0

+ - - 0 +

- - + +

gr\afica de Concava Concava Convexa Convexa

o una tabla mas resumida y gr\afica mas explícita en la \ultima línea

0

+ - - 0 +

- - + +



Así, la gráfica de debería ser la unión de las puntos , , como se indica en laúltima linea de la tabla, obtenemos de esta forma el gráfico de la figura

El ejemplo anterior nos podría llevar a pensar que los puntos de inflexi\on siempre se obtiene de la ecuaci\on

. Al igual que en el caso de valores extremos estos no se obtiene siempre de la ecuaci\on . Esteejemplo nos muestra en que otros casos aparecen los puntos de inflexi\on.

Sea . El dominio de es y sus derivadas de orden 1 y de orden 2 son respectivamente.

Claramente no nos arroja soluci\on, pero si podemos notar que no existe en y que su

cambia de signo en por lo tanto es un punto de inflexi\on

- +

gr\afica de concava convexa

Tabla resumen para gráfica de en la figura



Grafiquemos la funci\on , indicando intervalo de crecimiento, de decrecimiento, concavidad y

concavidad hacia arriba, y si los hubiere, valores extremos y punto de inflexi\on.

Soluci\on: Notemos en primer lugar que , por lo tanto la gr\afica es sobre eje .

Las derivadas son y .

+ -

+ +

Según los ejemplos anteriores deberiamos unir puntos de las gráficas como se indica en la última linea de la

tabla, pero no es posible ya que no hay tales puntos (Nota , , no son puntos de la gráfica)

pero podemos ver a que valores tienden cuando , y cuando

De esta forma la gráfica debería ser como se indica en figura



Así de la misma tabla podemos decir que

es creciente en .

es decreciente en .

es concava hacia arriba en y también en .

no tiene valores extremos ( no es valor extremo ya que no pertenece a ).

no tiene puntos de inflexión ya que el único candidato a tal era , pero no pertenece a la gráfica de (

no existe) amén de que no cambia de signo en .

Test de la Segunda Derivada:Los resultados de concavidad enunciados en el corolario anterior nos permiten en muchos casos clasificar

rapidamente los puntos extremos en m\axima locales o mínimos locales mediante lo que suele llamarse criterio dela segunda derivada

De una plancha met\alica de 100 cm 2 mts se desea construir dos tubos de metros de largo uno con secci\ontransversal una circunferencia y otro secci\on cuadrada ?`Como se debe cortar la plancha a lo largo de tal formaque la suma de los vol\umenes interiores sea m\aximo. ?`Cuando es mínimo?

Soluci\on: Supongamos que la plancha se cortan en cm mts y cm mts, con la primera haremos el

cilindro de radio , entonces y con la segunda el tubo con secci\on cuadrada, es decir, cada lado es de

cms.

El volumen del cilindro es

El volumen del otro tubo es

La suma de los vol\umenes de los tubos en t\ermino de es



Puntos críticos son soluci\on de la ecuaci\on

Como , ; se tiene de esta forma que con el corte en se obtiene dos tubos cuya

suma de los volumenes es lo mínimo posible de obtener.Como no se obtuvo otro punto crítico via la derivada, el o los m\aximos deben encontrarse en la frontera del

intervalo .

Si hacemos un tubo cilíndrico .

Si s\olo hacemos un tubo con secci\on cuadrada

Como se tiene que cuando s\olo hacemos un tubo cilíndrico obtenemos m\aximo volumen.

Este ejemplo nos muestra una vez más que los extremos se buscan no tan sólo donde la derivada se anula, sinoque también en los extremos del intervalo cerrado donde la función está definida.

Test de la Segunda Derivada:

Sea una función continua en un intervalo cerrado Note_10 y supongamos que es derivable en

Si es un punto crítico de (i.e., su derivada se anula, ) y existe se tiene dos

posibilidades dependiendo del signo de

1.- Si se concluye que en hay un mínimo relativo, este es

2.- Si se concluye que en hay un máximo relativo, este es

Como puedes notar si no se dice nada, podría ocurrir cualquier cosa como se pueden ver en las

funciones

en un intervalo cerrado cerca del cero no tiene máximo ni mínimo en cero,

tiene un mínimo en cero y

tiene una máximo en cero



Observación: Esto de poner un intervalo cerrado es sólo para garantizar la existencia de valores extremos, peroel test es aplicable en otros casos ya que se debe cumplir las hipótesis en una vecindad del punto crítico.

Recuerde que tambien puede haber máximo o mínimos en lugares que la función no es derivable, asi menosserá dos veces derivable y en ese caso sólo nos queda el test de la primera derivada.

Límite Infinito

Como un elemento m\as que nos permitir\a graficar con mayor precisi\on estudiaremos los siguientes tipos delímites

La raz\on de estudiar aparte este tipo de límites en forma separada a los otros se debe al hecho que y no

son n\umeros reales, por lo tanto no tienen sentido las expresiones , y en general operaciones que

estan definida entre n\umeros reales. Por lo anterior no podemos hablar de vecindad como se defini\o

anteriormente ya que de hecho no hay subconjuntos de que contenga a infinito, pero para ampliar nuestradefinici\on de límites a este caso, damos la definici\on siguiente.:

1. Todo intervalo abierto de la forma es una vecindad de infinito, una vecindad de es

cualquier intervalo abierto de la forma

2. Diremos que límite de cuando tiende a infinito es , .

Si para todo vecindad de , existe una vecindad de infinito tal que

Introduciendo la notación anterior, natural de este caso, e indicando lo que significa las vecindadestenemos

3. Diremos que límite de cuando tiende a menos infinito es , .

Si para todo vecindad de , existe una vecindad de menos infinito, , tal que

Es así que

Si se tiene que .Esta afirmación es válida por la propiedad Arquimediana puesto que



De esta forma, si se tiene , luego

o equivalentemente

Si , se tiene que .

Demostraci\on: Para se tiene que .

Como , se tiene, mediante el teorema de acotamiento (que es v\alido tambi\en aquí)

En general, para se tiene

Observaciones Importantes

Toda el algebra de límites se cumple en este tipo de lí mites

El Teorema de sustituci\on tambi\en

Sean polinomio de grado y respectivamente entonces

Demostraci\on: Caso (1) supongamos que .

Por ejemplo anterior se tiene que los primeros límites del numerador y los primeros límites deldenominador son nulos, así

Caso(2)



Calculemos

Soluci\on:

Calcular

Soluci\on:

Calculemos

Como es acotada entre y se tiene que

y como adem\as usando acotamiento se obtiene

Un material radio activo en el tiempo tiene una masa donde .

Muestre que la masa tiende a desaparecer cuando

Soluci\on: pero como



Así,

Asíntotas

Asintotas Horizontales

Sea definida en y con .

Como se tiene que para todo , existe tal que si

, pero esto \ultimo es equivalentemente a , .

Tomamos la recta , recta horizontal, se tiene que a medida que se acerca al infinito se acerca a estarecta como la figura.

Asíntota Horizontal

En el caso de ocurre lo mismo para funciones definidas en dominio que contenga intervalo de la

forma , ya que

En la figura siguiente se ilustra esta situación



Asíntota Horizontal

Sea función tal que contiene un intervalo del tipo . Diremos que la recta es una

asíntotas horizontales de si

Calcule las asíntota horizontal de

Como ; es una asíntota horizontal.

Como se obtiene la misma asíntotas horizontales.

Calcule las asíntotas horizontales de

Soluci\on:

luego es una asíntota horizontal.

(Recuerde que ).

Por lo tanto es otra asíntota horizontal.



Ahora estudiaremos límites que van a infinito, como es el caso de

Diremos que el límites de cuando tiende a es infinitos (y lo denotamos por )

si para toda vecindad de infinito, , existe una vecindad de tal que

Haciendo la traducci\on de las vecindades tenemos

En forma analogamente se tiene

Diremos que el límites de cuando tiende a es menos infinitos (y lo denotamos por

) si para toda vecindad de menos infinitos existe una vecindad de

tal que

Haciendo la traducci\on de las vecindades tenemos

Demostremos que

Sea , entonces por propiedad Arquimediana tenemos existe tal que .

Sea , luego si

es decir,

Calculemos

Soluci\on: Sea , así si se tiene que por lo tanto



Este \ultimo límite es por ejemplo anterior

Observaci\on: Recuerde si entonces . De esta forma si entonces

.

Calcule

Soluci\on:

y como si y , se tiene

Tomando , se tiene

Dado existe tal que

Así

Por lo tanto

Dado tal que , es decir,

Como si , impar, se tiene

Como , no son n\umeros reales, no se puede utilizar el algebra de límites ya que no tiene

sentido expresiones del tipo , , .

El siguiente teorema nos ayudar\a a calcular algunos límites.



Si y se tiene

1.

2. Para

3. Para

4.

Demostraci\on: (4) Sea positivo, como

Por otro lado, como , para todo existe tal que

Sea entonces

Así, tomando suficientemente grande se obtiene lo requerido. Es analogala demostraci\on para

el caso .

Observaci\on: El teorema anterior sigue siendo v\alido para límites laterales.

Calculemos

Solución: y . Por teorema anterior parte (2) tenemos

Asíntotas Verticales

Sea definida en una vecindad de salvo en . Diremos que tiene como asíntota vertical a la recta si

ver figura



Sea

Como , , y

, se tiene que las rectas y son asíntotas verticales. Por otra parte, como

y se concluye que tiene como asíntota horizontal a la recta .

Otras asíntotas

Sea con dominio que contenga a un intervalo del tipo o . Diremos que la recta es

una asíntota oblicua de si

Asintotas Oblicuas

Sea , muestre que es una asíntota oblicua

Soluci\on:



Sea Determine todas las asíntotas oblicuas

Soluci\on: . Si y tenemos que

Para poder comprobar que no hay m\as asíntotas necesitamos la siguiente proposici\on

Sea una funci\on tal que el dominio de contiene a un conjunto del tipo o entonces

La recta es una asíntota de si y s\olo si

Sea , Muestre que es una asíntotas oblicua.

Soluci\on: .

Como y se tiene que es una asíntota oblicua

Muestre que las asíntotas de la hip\erbolas son , .

Soluci\on: Una de las funciones de la hip\erbola corresponde a el ala superior

Como se tiene que es una asíntota oblicua.

El límite cuando nos d\a la misma así ntota

La otra funci\on (ala inferior) nos d\a la otra asíntota, ya que en este caso



Así, .

Graficaci\on

Para graficar necesitamos hacer los siguientes pasos

1. Conocer el dominio de .

2. Calcular puntos críticos (donde no existe o donde se anula)

3. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (signo de ).

4. Determinar donde no existe o donde se anula.

5. Determinar la concavidad de (signo de )

6. Asíntotas verticales (encontrar tal que ).

7. Asíntotas horizontales .

8. Asíntotas Oblicuas (encontrar y tal que ).

Grafique

La derivada de primer orden de es:

La derivada de segundo orden es:

- + + + 0 - - +

+ + + - - + + +

Asi tenemos la siguiente gráfica



Grafique

Soluci\on: y .

-

+

asi tenemos la siguiente gráfica

Graficar

Soluci\on:

1.

2. Interceptos con los ejes coordenados

Si entonces .

Si entonces de donde , luego el \unico punto intercepto con los ejes es

.

3. Intervalo de crecimiento y intervalo de decrecimiento.



Puesto que entonces

luego es estrictamente decreciente en . esto se resumen en la siguiente tabla.

4. M\aximo y/o Mínimo

Por el criterio de la primera derivada para m\aximo y mínimo relativos se tiene que tiene un

mínimo en (que en este caso tambi\en es absoluto)

El punto mínimo es .

Observar que no tiene m\aximo.

5. Concavidad, convexidad y punto de inflexi\on

En este caso es positiva en el intervalo y negativa en . Esto se resumenen la tabla siguiente

de donde es concava en y convexa en . adem\as el punto es un

punto de inflexi\on de .

6. Asíntotas

Puesto que est\a definida en todo , es claro que no tiene asíntotas verticales.

Determinar las posibles asíntotas oblicuas u horizontales.

Sea para



luego no existe asíntotas para .

Sea para .

Por lo tanto

pero y .

luego es de la forma . Aplicando L'Hopital

Por lo tanto es una asíntota horizontal para . Con toda esta información, podemos

hacer un esbozo de la gráfica de .(ver figura )

Considere

1. Determine .

2. Calcule

3. Calcule

4. Calcule

5. Calcule

6. Grafique ,

Soluci\on:

1.

luego .



2. Determinemos cual es el comportamiento de cerca de

pero

y este \ultimo límite es de la forma , luego aplicando L'Hopital se tiene

Por lo tanto .

Esto significa que si tiende a por la derecha, la imagenes de tienden a .

3. Asíntotas.

Sea , si entonces

Por lo tanto .

4. El intercepto

Observemos que si se tiene también que y . Por 3)

y 4) se tienen que es una asíntota horizontal para

5. Analicemos el comportamiento de cerca de .

pero pues, y .

Por lo tanto

Esto significa que tiene una asíntota vertical en (cuando tiende a por laizquierda, las imagenes tienden a infinito).

6. De la gr\afica de se observa que en y en , luego es



estrictamente creciente en estos intervalos. Adem\as es creciente en y

decreciente en , así en y en

Por lo tanto es convexa en y concava en . En resumen se tiene la siguientetabla

Considerando toda la información obtenida, obtenemos la gráfica de (ver figura)

Sea una función tal que la gráfica de es

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. La funci\on es estrictamente decreciente en .

2. La gr\afica de la funci\on es convexa s\olo en .

3. La gr\afica de la funci\on es concava s\olo en y en .

4. La funci\on tiene un mínimo en .

5. La funci\on tiene un m\aximo en .

Soluci\on: De la gr\afica se tiene que la funci\on es positiva en los intervalos y y



negativa en .

Además es estrictamente creciente en lo intervalos y y estrictamente decreciente

en , es decir, en y en , y en .

Por lo tanto se tiene la siguiente tabla resumen.

0 1

- + + +

+ + - +

de donde es claro que

1. Falso.

2. Falso.

3. Falso.

4. Falso.

5. Falso.

Sea una función tal que la gráfica de es la figura

Sabiendo que , y , grafique aproximadamente la funci\on .

Soluci\on: De la gr\afica de se obtiene que es positiva en los intervalos y y

es negativa en el intervalo . Adem\as es estrictamente decreciente en y en

y es estrictamente creciente en , es decir en y en y en

.

De lo anterior se tiene la siguiente tabla

+ + + -

- + - -

De donde se tiene la siguiente informaci\on tiene un m\aximo relativo estricto en , no tienemínimo (que pasa si se restrige a un intervalo cerrado), tres puntos de inflexi\on

Luego una gr\afica aproximada de es la figura

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Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo

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