EL PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS En varias ocasiones hemos comentado algunas biografías y anécdotas de renombrados matemáticos, astrónomos, físicos y demás personajes catalogados como sabios. Algunos de nuestros lectores califican esto de trivial al considerar que no aporta nada al aprendizaje de las matemáticas. Al mismo tiempo, otros han utilizado dichos artículos para llamar la atención de sus estudiantes y despertar en ellos su interés por las aportaciones de estos personajes. Desde nuestra perspectiva, el conocer la historia de algún sabio nunca estará de sobra y, si además entendemos el valor de sus aportaciones, habremos dado un paso gigante en el aprendizaje de esta ciencia. Hacemos tal afirmación porque sabemos que nuestros alumnos sólo aprenden aquello que les interesa, les gusta y les sirve. Tomando como justificación este argumento, en este número hablaremos de uno de los matemáticos más famosos de nuestra historia: Johann Carl Friedrich Gauss quien, debido a sus aportaciones, ganó el apodo de “ El príncipe de la matemáticas”.

Pintura de Johann Carl Friedich Gauss realizada por Christian

Albrecht Jensen (Imagen obtenida de Wikipedia) Gauss fue un niño prodigio. De hecho, el próximo 30 de abril se celebrarán los 222 años de su nacimiento en Brunswick (actualmente Alemania). Fue matemático, astrónomo y físico. Sus principales

aportaciones fueron en los campos de la teoría de los números, el análisis matemático, el cálculo diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Se cuentan muchas anécdotas de la infancia de Gauss, entre ellas destacan las siguientes: Su padre, de origen humilde, llevaba la contabilidad de un negocio. Se dice que el niño Gauss, a los cinco años, era un gran calculista mental ya que a esa edad, a simple vista, era capaz de detectar los errores en los libros de su padre. También se dice que en la escuela era muy inquieto. Una vez, para mantener entretenido al grupo, la maestra pidió a sus alumnos que le dijeran cuál era el resultado de sumar todos los números del 1 al 100. Cuatro minutos después de la pregunta, el buen Carl pidió la palabra de manera insistente; cuando habló dijo “ya tengo el resultado: es 5050”. La maestra le dijo que era imposible que hubiera obtenido tan pronto el resultado y que explicara cómo lo había calculado. El niño, ni tardo ni perezoso, señaló que era fácil. “Sólo multipliqué 101 por 50 y eso da la suma de los primeros 100 números enteros” dijo. La maestra le pidió más explicaciones a lo que él respondió: “Si, en lugar de sumar los cien números uno por uno, sumo los primeros cincuenta números a los últimos cincuenta, obtengo que el resultado siempre es 101. Así, si multiplico ese número por cincuenta, obtengo el resultado de la suma”. Después pasó al pizarrón y apuntó lo siguiente:

MATEMÁTICAS PARA

TODOSAño 10, Número 88, marzo de 2009

EN ESTE BOLETÍN:

El príncipe de las matemáticas

Teoría de las gráficas Nuestro campeón habla: Artículo de José Luis Álvarez Rebollar

De nuestros lectores Los problemas del calendario

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“El ruido de las carcajadas pasa. La fuerza de los razonamientos queda.” Concepción Arenal

Educación y el Desarrollo, A. C.Educación y Desarrollo, A. C.Educación y el Desarrollo, A. C.Educación y Desarrollo, A. C.

1 2 3 4…….. 47 48 49 50100 99 98 97………54 53 52 51101+101+101+101+… +101+101+101+101

=(101)x(50)=5050

1 2 3 4…….. 47 48 49 50100 99 98 97………54 53 52 51101+101+101+101+… +101+101+101+101

=(101)x(50)=5050

Esta fue la base para determinar la fórmula para calcular la suma de una serie de números. Esta fórmula quedo de la siguiente forma:

En donde: a1 = al primer número de la serie an = al último número de la serie n = Número de términos a sumar.

Traslademos los datos del problema de Gauss a la fórmula: a1 = 1 an = 100 n = 100

Al sustituir tenemos:

( ) 5050)50)(101(2

1001001==

+=nS

Después de este razonamiento, no es de sorprender que el niño Gauss fuera recomendado por sus profesores al duque de Brunswick, quien lo becó para que realizara sus estudios secundarios y universitarios. A los 21 años, Gauss realizó su obra Disquisitiones Aritmeticae que sirvió para sustentar la teoría de los números de manera sistemática. Por esas fechas, calculó también la órbita del asteroide Ceres. A los 31 años fue nombrado director del observatorio de Göttinegen, en donde pudo profundizar en el estudio del cálculo diferencial y el cálculo de los planetas. En 1823, Gauss publicó su libro Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, destinado al estudio de la estadística, con el que sentó las bases para el desarrollo de esta rama de las matemáticas. Después de muchas aventuras intelectuales, y tras formar a otros destacados matemáticos, Gauss murió a los 88 años de edad. En honor a su destacada labor en el campo de la física, se incluyó, como medida del campo magnético, la unidad Gauss dentro el sistema de medidas Cegesimal, misma que equivale a un Maxwell por centímetro cuadrado. Nuestra admiración y reconocimiento al bien llamado

“Príncipe de las matemáticas”

TEORÍA DE LAS GRÁFICAS En las matemáticas, existen muchas formas de plantear y de resolver problemas como pueden ser

la solución de sistemas de ecuaciones por el método gráfico o la aplicación de la geometría euclidiana y la no euclidiana. No obstante, existe una rama de las matemáticas en la que los problemas y las soluciones se representan por medio de gráficas, ésta es: la teoría de gráficas o teoría de grafos, que se aplica en una gran cantidad de áreas como la ingeniería de transito, las rutas aéreas, la economía, las ciencias sociales, la lingüística, la física, la logística, la computación y la inteligencia artificial, entre otras. Aunque en el campo de las matemáticas no se han estandarizado las definiciones que se usan dentro de esta teoría, podemos decir que, de manera general, una gráfica es un conjunto de nodos (también llamados vértices) unidos por líneas o conexiones (por los regular, llamadas aristas). Fue Euler (1707-1783) quien inició el estudio sistemático de esta rama de las matemáticas. Utilizando la teoría de las gráficas, Euler pudo solucionar un problema aparentemente sencillo: el de los puentes de la ciudad de Koenigsberg, que consistía en lo siguiente: En dicha ciudad existen dos islas unidas entre ellas y, a su vez, con tierra firme por medio de siete puentes.

Imagen de Wikipedia

La tradición decía que, a quien lograra recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo, se le entregarían las llaves de la ciudad y una suma considerable en oro. Intente hacerlo usted mismo: recorra los siete puentes con un lápiz, sin levantarlo y sin que las

2 MATEMÁTICAS PARA TODOS

“No basta saber, se debe también aplicar. No es suficiente querer, se debe también hacer.”

Johann Wolfgang Goethe

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líneas que trace se crucen. ¿Podría haber sido usted el ganador de los premios que ofrecía el alcalde? Euler, por medio de la teoría de las gráficas, encontró la solución a este problema y fue a platicar con el alcalde… A continuación, trataremos de dar una breve introducción a esta teoría: En cada gráfica existen dos tipos de nodos o vértices: los pares y los impares. La característica de los primeros es que a éstos llegan, o de éstos salen, un número par de aristas y en los impares, como su nombre lo indica, llegan o salen un número impar de aristas. Por ejemplo:

V1 nodo par V2 nodo par V3 nodo par V4 nodo impar V5 nodo impar V6 nodo par

Euler, tras muchas pruebas, análisis y observaciones, logró establecer que: 1) Si en la gráfica hay más de dos nodos impares, la

gráfica no se puede recorrer sin levantar el lápiz o cruzar las aristas.

2) Si en una gráfica hay sólo dos nodos impares, se podrá encontrar un camino sin levantar el lápiz o cruzar las aristas, siempre que se inicie el camino en uno de los nodos impares.

3) Si una gráfica tiene todos sus nodos de tipo par el camino se puede lograr, no importa en qué nodo se inicie.

La gráfica que construyó Euler a partir de los puentes de la ciudad de Koenigsberg es como la que sigue.

¿Qué le dijo Euler al alcalde?

NUESTRO CAMPEÓN HABLA En Educación y Desarrollo, A.C., una de nuestras acciones, aunque modesta, es brindar un apoyo

simbólico durante seis meses a uno de los campeones de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. A partir de este año, solicitamos a nuestro becario que escriba un artículo con la intención de publicarlo en este boletín. Nuestro admirado campeón es José Luis Álvarez Rebollar, quien ganó medalla de oro en la 21 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en 2007. Además, el año pasado obtuvo medalla de Bronce en la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas que se celebró en Salvador de Bahía, Brasil. A continuación presentamos su interesante artículo.

Creatividad en las matemáticas para comprenderlas mejor

Soy José Luis Álvarez Rebollar, estudio en la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo en Morelia, Michoacán. Elegí esta carrera porque me gustan mucho las matemáticas, además, con mi participación en la Olimpiada de Matemáticas me di cuenta de que tenía aptitudes para poderlas estudiar y decidí dedicarme a ellas. Mi participación en las Olimpiadas de Matemáticas empezó cuando cursaba el tercer año en la telesecundaria, participé tres veces en el concurso siendo el último el más exitoso, en el que representé a México en la Olimpiada Iberoamericana. Durante este tiempo mi preparación fue constante, me citaban a cursos de entrenamiento en los cuales nos ponían a resolver problemas de matemáticas en los que se requería ingenio, no era indispensable tener conocimientos extensos en matemáticas, sólo imaginación y creatividad. A mí me era muy agradable asistir a los entrenamientos porque los problemas que nos ponían me parecían muy divertidos y despertaron mi interés por la matemática, ya que no eran como los de la escuela, que sólo aplicaba una fórmula y ya quedaban resueltos; en estos problemas había que quedarse un ratito pensando qué hacer para que salieran, aunque muchas veces no me salían. Toda mi participación en las Olimpiadas de Matemáticas se trató de resolver problemas de este tipo que hacen más agradable el estudio de las matemáticas, por eso pienso que en las secundarias y preparatorias deberían poner a los estudiantes de vez en cuando problemas así, para que no las vean de mala manera, sino como algo divertido y agradable. En las escuelas yo creo que deberían de dar varios ejemplos sencillos de dónde se aplica lo que se está enseñando, ya que muchas veces los alumnos no ven para qué sirve lo que están aprendiendo y por lo tanto no le ponen empeño; también pienso que los maestros no deberían poner a los alumnos a memorizar tantas fórmulas sin entenderlas realmente, esto es lo que les da miedo a los estudiantes:

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“Si la razón hace al hombre, el sentimiento lo conduce.” Jean Jacques Rousseau

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aprender muchas fórmulas que no saben por qué salen y luego hacer ejercicios muy complicados donde las aplican; deberían los alumnos primeramente, entender completamente lo que se les está enseñando y luego aplicar los conocimientos en ejemplos sencillos, fáciles de hacer. También opino que el sistema que maneja la telesecundaria es muy conveniente, yo estudié en una telesecundaria y realmente se me hizo muy fácil aprender, todo era muy gráfico, entendía completamente lo que en el televisor se veía, me parecía muy divertido estar aprendiendo mientras veía la televisión y casi no había necesidad de que el maestro explicara ya que todo quedaba claro con la televisión. Pienso que en las demás secundarias deberían hacer algo similar, o apoyarse de algún televisor o algo así porque usando materiales audiovisuales y la nueva tecnología el aprendizaje puede ser más divertido y eficiente, y más en matemáticas porque algunas veces no es tan fácil ver las cosas y, en cambio, con una animación es más fácil de entender. Por último, quisiera invitar a los alumnos de secundaria y preparatoria a que se inscriban en este tipo de concursos, ya que se aprende mucho, se conocen lugares y personas, y dan una importante herramienta para toda la vida que es: el aprender a razonar correctamente. Los comentarios y éxitos de nuestro campeón nos dan una referencia sobre lo que sí se puede hacer en la telesecundaria.

DE NUESTROS LECTORES Queremos agradecer al Prof. Simón Pedro Herrera Pardo que, como siempre, es el primero en contestar los problemas del calendario. En este mes recibimos varios comentarios y recomendaciones, de ellos queremos reproducir el comunicado de la Lic. Leonor Hernández García: “Hola. Primero que nada quiero presentarme: soy Leonor, Licenciada en Pedagogía y siempre temerosa de las matemáticas. Gracias a gente como ustedes, que tratan de aligerarlas y hacernos ver que no son tan complicadas, cada vez les tengo menos temor y, conforme voy leyendo, me doy cuenta de que nuestro temor realmente es una muestra de

las lagunas que traemos en la cabeza; muchas veces porque ningún profesor se encargó de dejarnos claro o de preocuparse porque entendiéramos algunos conceptos básicos que, a la larga, se van haciendo como una bola de nieve que algún día nos derrumba y nos deja sorprendidos porque no entendemos de qué nos hablan. Hasta pareciera que las matemáticas fueran otro idioma. Esto, para mí, tiene sus fundamentos en el constructivismo, en donde efectivamente cada quien construye su propio conocimiento pero siempre sobre la base de lo que ya posee, entonces imagínense como vemos a las matemáticas aquellos que no tenemos una base sólida. Ahora me queda claro que, para tratar de que alguien aprenda algo nuevo siempre hay que averiguar primero qué tanto sabe de lo que se necesita para entender aquellas novedades y, lo más importante, cómo le ayudo para que primero cubra esas carencias y entonces sí esté listo para la nueva experiencia. Espero no haberlos mareado con mis comentarios, en realidad solo quería agradecerles el que nos compartan sus materiales. MIL GRACIAS Y QUE TENGAN EXCELENTE DÍA.” LOS PROBLEMAS DEL CALENDARIO Martes 3. Los números de cada uno de los triángulos están relacionados. ¿Puedes descubrir la relación y decir el número que falta? Viernes 6. Si el área del triángulo es 4.5 cm2, <BAC=90º y AB=3 cm, ¿cuánto mide <BCA? Lunes 9. Las siguientes sucesiones A y B contienen ambas al 95: A: 19, 95, 171, 247… B: 20, 45, 70, 95,… ¿Cuál es el siguiente número que es común a ambas?

“La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las que se sientan a ver lo que pasa.”

Albert Einstein

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Matemáticas para todos. Año 10, número 88, marzo de 2009. Periodicidad: diez números al año. Editor responsable: Alfonso Ramón Bagur. Nº de Certificación de reserva de derechos al uso exclusivo de título: 04-2000-0829110600-106. Certificado de licitud de título: Núm. 11423. Certificado de licitud de contenido: Núm. 8018. Publicación en formato electrónico elaborado y distribuido por: Educación y Desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM.

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