Math Guia de Matematicas Ns 2009 2010

Matemticas NS

Primeros exmenes: 2008

b

PROGRAMA DEL DIPLOMA

MATEMTICAS NS


Organizacin del Bachillerato Internacional

Buenos Aires Cardiff Ginebra Nueva York Singapur

Programa del Diploma

Matemticas NS

Versin en espaol de la gua publicada en septiembre de 2006 con el ttulo Mathematics HL

Publicada en septiembre de 2006

Organizacin del Bachillerato Internacional Peterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate

Cardiff, Wales GB CF23 8GL Reino Unido

Tel.: + 44 29 2054 7777 Fax: + 44 29 2054 7778

Sitio web: http://www.ibo.org

Organizacin del Bachillerato Internacional, 2006

La Organizacin del Bachillerato Internacional es una fundacin educativa internacional sin fines de lucro. Fue creada en 1968 y tiene sede legal en Suiza. IBO agradece la autorizacin para reproducir en esta publicacin material protegido por derechos de autor. Cuando procede, se han citado las fuentes originales y, de serle notificado, IBO enmendar cualquier error u omisin con la mayor brevedad posible. El uso del gnero masculino en esta publicacin no tiene un propsito discriminatorio y se justifica nicamente como medio para hacer el texto ms fluido. Se pretende que el espaol utilizado sea comprensible para todos los hablantes de esta lengua y no refleje una variante particular o regional de la misma. Los artculos promocionales y las publicaciones de IBO en sus lenguas oficiales y de trabajo pueden adquirirse en la tienda virtual de IBO, disponible en http://store.ibo.org. Las consultas sobre pedidos deben dirigirse al departamento de marketing y ventas en Cardiff.

Tel.: +44 29 2054 7746 Fax: +44 29 2054 7779 Correo-e: [email protected]

Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)

5009

NDICE

INTRODUCCIN 1

NATURALEZA DE LA DISCIPLINA 3

OBJETIVOS GENERALES 6

OBJETIVOS ESPECFICOS 7

RESUMEN DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS 8

DESCRIPCIN DETALLADA DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS 9

RESUMEN DE LA EVALUACIN 53

DESCRIPCIN DETALLADA DE LA EVALUACIN 55

Organizacin del Bachillerato Internacional, 2006 1

INTRODUCCIN

El Programa del Diploma del Bachillerato Internacional es un curso pre-universitario exigente, diseado para responder a las necesidades de estudiantes de secundaria altamente motivados, de edades comprendidas entre los 16 y los 19 aos. El curso dura dos aos y su amplio currculo prepara a los estudiantes para que cumplan con los requisitos de sistemas educativos de distintos pases. Su modelo no se basa en el de ninguno en particular, sino que integra los mejores elementos de muchos de ellos. Puede cursarse en ingls, francs y espaol.

El modelo del programa se presenta en forma de hexgono, con seis reas acadmicas en torno al centro. Las asignaturas se estudian simultneamente y los estudiantes tienen la oportunidad de acceder a las dos grandes reas tradicionales del saber, las humanidades y las ciencias.

Los alumnos aspirantes al Diploma deben seleccionar una asignatura de cada uno de los seis grupos de asignaturas. Por lo menos tres y no ms de cuatro deben cursarse en el Nivel Superior (NS), y las dems en el Nivel Medio (NM). Se dedican 240 horas lectivas a los cursos de Nivel Superior y 150 a los de Nivel Medio. Al organizar los estudios de esta manera, se da a los estudiantes la posibilidad de explorar, en los dos aos del programa, algunas disciplinas en profundidad y otras de modo ms general. Este plan es el resultado de la bsqueda deliberada de un equilibrio entre la especializacin precoz de ciertos sistemas nacionales y la universalidad preferida por otros.

INTRODUCCIN

2 Organizacin del Bachillerato Internacional, 2006

El sistema de eleccin de asignaturas est concebido de tal manera que permite al estudiante con inclinaciones cientficas aprender una lengua extranjera, y al lingista nato familiarizarse con el trabajo de laboratorio. A la vez que se mantiene un equilibrio general, la flexibilidad de elegir asignaturas en el Nivel Superior permite al estudiante desarrollar reas en las que est particularmente interesado y reunir los requisitos para el ingreso a la universidad.

Adems del estudio de las seis asignaturas, los alumnos aspirantes al Diploma han de cumplir con otros tres requisitos. La Teora del Conocimiento (TdC) es un curso interdisciplinario concebido para desarrollar un enfoque coherente del aprendizaje, que no slo trascienda y unifique las diferentes reas acadmicas sino que adems estimule la apreciacin de otras perspectivas culturales. La Monografa, de unas 4.000 palabras, ofrece a los estudiantes la oportunidad de investigar un tema de especial inters y les familiariza con la investigacin independiente y el tipo de redaccin acadmica que se espera de ellos en la universidad. La participacin en el componente Creatividad, Accin y Servicio (CAS) del colegio anima a los estudiantes a tomar parte en actividades deportivas, artsticas y de servicio a la comunidad en el contexto local, nacional e internacional.



NATURALEZA DE LA DISCIPLINA

Introduccin La naturaleza de las matemticas se puede resumir de varias maneras, por ejemplo como un conjunto de conocimientos bien definido, un sistema abstracto de ideas o una herramienta til. Es probable que para muchas personas sea una combinacin de estas tres cosas, pero no hay duda de que el conocimiento matemtico proporciona una clave importante para la comprensin del mundo en que vivimos. Las matemticas pueden aparecer en nuestra vida de diversas formas: al comprar productos en el mercado, consultar un horario, leer un peridico, cronometrar un proceso o calcular una longitud. Para muchos de nosotros las matemticas tambin forman parte de nuestra profesin: los pintores han de aprender perspectiva, los msicos deben comprender las relaciones matemticas dentro de un mismo ritmo y entre ritmos distintos, los economistas tienen que reconocer tendencias en las transacciones financieras y los ingenieros deben tener en cuenta los tipos de tensin. Los cientficos consideran las matemticas como un lenguaje fundamental para la comprensin de lo que ocurre en la naturaleza. Algunas personas disfrutan de los desafos que plantean los mtodos lgicos de las matemticas y de la aventura del razonamiento que suponen las demostraciones. Para otras, las matemticas constituyen una experiencia esttica o incluso uno de los pilares de la filosofa. Este predominio de las matemticas en nuestra vida ofrece motivos claros y suficientes para que sea una asignatura obligatoria del Programa del Diploma.

Presentacin de las asignaturas Debido a las diversas necesidades, intereses y capacidades de los alumnos, existen cuatro asignaturas distintas de matemticas pensadas para diferentes grupos de estudiantes: aquellos que quieren estudiar matemticas en profundidad como una disciplina en s misma o por su inters en materias afines; los que desean adquirir un cierto grado de comprensin y conocimiento que les ayude en el estudio de otras asignaturas; y aquellos que todava no son conscientes de la relacin que pueden tener las matemticas con sus estudios y con la vida cotidiana. Cada asignatura est concebida para satisfacer las necesidades de un grupo concreto de estudiantes. As pues, los alumnos deben elegir cuidadosamente el curso ms adecuado para ellos.

Para tomar esta decisin, se debe aconsejar a cada alumno que tenga en cuenta los siguientes factores:

las destrezas matemticas que posee y el rea de las matemticas en la que pueda obtener mejores resultados

su inters personal en las matemticas y las reas de la asignatura que puedan resultarle ms interesantes

las otras asignaturas que elige en el Programa del Diploma

sus planes acadmicos para el futuro, en concreto las asignaturas que desea estudiar

la profesin que desea desempear en el futuro.

Se espera que los profesores presten ayuda en este proceso y aconsejen a los alumnos sobre el modo de elegir el curso ms adecuado entre los cuatro cursos de matemticas que se ofrecen.



Estudios Matemticos NM Esta asignatura se ofrece slo en el Nivel Medio (NM). Est destinada a estudiantes con distintas capacidades y niveles de conocimiento. Concretamente, est diseada para infundir seguridad en relacin con las matemticas y fomentar su comprensin entre los alumnos que no tienen previsto necesitarlas en sus estudios posteriores. Los alumnos que elijan esta asignatura han de poseer unas destrezas bsicas y unos conocimientos rudimentarios de los procedimientos fundamentales.

Matemticas NM Esta asignatura est destinada a estudiantes que ya tienen conocimientos sobre los conceptos matemticos fundamentales y que poseen las destrezas necesarias para aplicar correctamente tcnicas matemticas sencillas. La mayora de estos alumnos va a necesitar una formacin matemtica slida para sus estudios posteriores en reas tales como la qumica, la economa, la psicologa, y la administracin y gestin de empresas.

Matemticas NS Esta asignatura est destinada a estudiantes con una buena formacin matemtica que poseen una serie de destrezas analticas y tcnicas. Para la mayora de estos alumnos, las matemticas constituirn uno de los componentes fundamentales de sus estudios universitarios como materia en s misma o en reas tales como la fsica, la ingeniera y la tecnologa. Para otros la eleccin puede deberse a que tengan un gran inters por las matemticas, les atraigan sus desafos y disfruten con la resolucin de los problemas que se plantean.

Ampliacin de Matemticas NM Esta asignatura se ofrece slo en el Nivel Medio (NM). Est destinada a estudiantes con una buena formacin matemtica que han alcanzado un alto nivel de competencia en una serie de destrezas analticas y tcnicas, y que muestran un inters considerable por la materia. La mayor parte de estos alumnos pretende seguir estudios de matemticas en la universidad, bien como materia en s misma o bien como componente fundamental de alguna rea relacionada con ella. La asignatura se ha concebido especficamente para que los alumnos puedan comprender en profundidad diversas ramas de las matemticas y conocer tambin sus aplicaciones prcticas.

Matemticas NS: descripcin de la asignatura Esta asignatura est destinada a estudiantes con una buena formacin matemtica que poseen una serie de destrezas analticas y tcnicas. Para la mayora de estos alumnos, las matemticas constituirn uno de los componentes fundamentales de sus estudios universitarios como materia en s misma o en reas tales como la fsica, la ingeniera y la tecnologa. Para otros la eleccin puede deberse a que tengan un gran inters por las matemticas, les atraigan sus desafos y disfruten con la resolucin de los problemas que se plantean.

La asignatura se caracteriza por centrarse en el desarrollo de importantes conceptos matemticos de forma comprensible, coherente y rigurosa. Ello se consigue mediante un enfoque cuidadosamente equilibrado. Se pretende que los alumnos apliquen sus conocimientos matemticos a la resolucin de problemas extrados de una diversidad de contextos. En el desarrollo de los temas se debe dar importancia a la justificacin y la demostracin de los resultados. Los alumnos que elijan esta asignatura lograrn desarrollar su comprensin de las formas y las estructuras matemticas y han de estar capacitados para apreciar las relaciones entre conceptos pertenecientes a distintos temas. Tambin se les debe animar a desarrollar las destrezas necesarias para continuar su formacin matemtica en otros mbitos de aprendizaje.



El componente de la evaluacin interna, la carpeta, ofrece a los alumnos un marco para el desarrollo de su aprendizaje matemtico de forma independiente, haciendo que se interesen por la investigacin y los modelos matemticos. Se proporciona a los alumnos oportunidades de reflexionar sobre estas actividades y explorar distintos modos de abordar un problema. La carpeta tambin permite que los alumnos trabajen sin las limitaciones de tiempo de los exmenes escritos y que desarrollen destrezas para exponer ideas matemticas.

Este es un curso muy exigente, donde los alumnos deben estudiar una amplia variedad de temas matemticos a travs de distintos enfoques y con distintos niveles de profundidad. Los alumnos que deseen estudiar matemticas de un modo menos riguroso deben optar por una de las asignaturas del nivel medio, Matemticas NM o Estudios Matemticos NM.


OBJETIVOS GENERALES

Todas las asignaturas del Grupo 5 tienen como meta permitir a los alumnos:

apreciar las perspectivas multiculturales e histricas de todas las asignaturas de este grupo disfrutar de los cursos y llegar a apreciar la elegancia, las posibilidades y la utilidad de las asignaturas desarrollar el pensamiento lgico, crtico y creativo desarrollar una comprensin de los principios y la naturaleza de la asignatura emplear y perfeccionar sus capacidades de abstraccin y generalizacin ejercitar la paciencia y la perseverancia en la resolucin de problemas valorar las consecuencias derivadas de los avances tecnolgicos aplicar destrezas a distintas situaciones y a la evolucin de stas comunicarse con claridad y confianza en diversos contextos.

Internacionalismo Uno de los objetivos generales de esta asignatura es permitir a los alumnos apreciar la multiplicidad de las perspectivas histricas y culturales de las matemticas y, en consecuencia, su dimensin internacional. Los profesores pueden lograr este objetivo mediante debates que surjan al tratarse temas relacionados con este aspecto, y a travs de referencias a la informacin de contexto adecuada. Por ejemplo, podra ser conveniente fomentar el debate entre los alumnos sobre:

diferencias de notacin las vidas de los matemticos en su contexto histrico y social el contexto cultural de los descubrimientos matemticos la forma en que se han realizado ciertos descubrimientos matemticos y las tcnicas utilizadas para ello el modo en que se manifiestan las actitudes de las distintas sociedades ante determinados

aspectos de las matemticas la universalidad de las matemticas como medio de comunicacin.


OBJETIVOS ESPECFICOS

Se espera que los alumnos que hayan seguido cualquiera de los cursos de matemticas del Grupo 5 conozcan y utilicen conceptos y principios matemticos. En concreto, han de ser capaces de:

leer, interpretar y resolver un problema dado utilizando trminos matemticos adecuados

organizar y representar la informacin y los datos en forma de tablas, grficas y diagramas

conocer y utilizar la terminologa y la notacin adecuadas

formular un razonamiento matemtico y exponerlo con claridad

seleccionar y utilizar tcnicas y estrategias matemticas adecuadas

demostrar la comprensin tanto del significado de los resultados como de su coherencia

reconocer modelos y estructuras en situaciones diversas y hacer generalizaciones

reconocer y manifestar una comprensin de las aplicaciones prcticas de las matemticas

utilizar como herramientas matemticas los instrumentos tecnolgicos apropiados

manifestar una comprensin y un uso adecuado de los modelos matemticos.


RESUMEN DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS

Matemticas NS El programa de estudios de la asignatura se compone de siete unidadesque constituyen el tronco comn y una unidad opcional. Total 240 h

Unidades del tronco comn 190 hRequisitos Todas las unidades del tronco comn son obligatorias. Los alumnos debern estudiar todos los temasde cada una de esas unidades del programa de estudios que se especifican en esta gua. Asimismo,deben estar familiarizados con los temas incluidos como conocimientos previos (CP).

Unidad 1: lgebra 20 h

Unidad 2: Funciones y ecuaciones 26 h

Unidad 3: Funciones circulares y trigonometra 22 h

Unidad 4: Matrices 12 h

Unidad 5: Vectores 22 h

Unidad 6: Estadstica y probabilidad 40 h

Unidad 7: Anlisis 48 h

Unidades opcionales 40 hRequisitos Los alumnos deben estudiar todos los temas de una de las siguientes unidades opcionales, segn seespecifican en la descripcin detallada del programa de estudios.

Unidad 8: Estadstica y probabilidad 40 h

Unidad 9: Conjuntos, relaciones y grupos 40 h

Unidad 10: Series y ecuaciones diferenciales 40 h

Unidad 11: Matemtica discreta 40 h

Carpeta 10 hDos trabajos, a partir de distintas reas del programa de estudios, que reflejen los dos tipos de tarea siguientes:

investigacin matemtica utilizacin de modelos matemticos.


DESCRIPCIN DETALLADA DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS

Estructura del programa de estudios El programa de estudios que se debe impartir en las clases se presenta organizado en tres columnas.

Contenidos: la primera columna especifica, bajo cada unidad, los temas que se deben tratar.

Ampliaciones/inclusiones: la segunda columna contiene informacin ms especfica acerca de los temas detallados en la primera columna. Ello ayuda a delimitar lo que es obligatorio en la preparacin del examen.

Exclusiones: la tercera columna contiene informacin sobre lo que no es obligatorio en la preparacin del examen.

Aunque el curso de Matemticas NS es similar en sus contenidos a algunas partes del curso de Matemticas NM, existen diferencias. En concreto, se pretende que los alumnos y los profesores realicen un enfoque ms complejo en el curso de Matemticas NS, tanto durante el desarrollo del curso como en los exmenes. Cuando el caso lo requiere, se proporcionan pautas a seguir en la segunda y tercera columnas de la descripcin detallada del programa de estudios (lo cual se indica con la frase Consultar la gua de Matemticas NM).

En publicacin aparte se pueden encontrar notas para los profesores y sugerencias para el uso de las calculadoras en relacin con el programa de estudios.

Programacin del curso Los profesores han de impartir todos los temas de las siete unidades del tronco comn, junto con todos los temas de la unidad opcional elegida.

No es necesario impartir las unidades del programa de estudios en el mismo orden en el que aparecen en esta gua. Asimismo, no es necesario impartir todas las unidades del tronco comn antes de empezar a estudiar una unidad opcional. Los profesores han de estructurar el curso para que se adapte a las necesidades de sus alumnos, con el objetivo de integrar las reas contempladas en el programa de estudios y, cuando sea necesario, los conocimientos previos.

Integracin de las tareas de la carpeta Los dos trabajos de la carpeta, desarrollados a partir de los dos tipos de tarea (investigacin matemtica y utilizacin de modelos matemticos), deben integrarse en la programacin y han de estar directamente relacionados con el programa de estudios. En el apartado correspondiente a la evaluacin interna se proporciona informacin detallada sobre cmo hacerlo.



Distribucin del tiempo La carga horaria recomendada para los cursos del Nivel Superior es de 240 horas. Para Matemticas NS, 10 de esas horas se dedicarn a la carpeta. La distribucin del tiempo establecida en esta gua es aproximada y tiene por finalidad sugerir cmo podran distribuirse las restantes 230 horas de docencia del programa de estudios. Sin embargo, el tiempo exacto dedicado a cada unidad depender de diversos factores, como la formacin previa y el nivel de preparacin de cada alumno. Los profesores deben pues ajustar este esquema a las necesidades de sus alumnos.

Uso de calculadoras Se espera que los alumnos dispongan de una calculadora de pantalla grfica durante el curso, en todo momento. Se proporcionar a los colegios informacin actualizada respecto a los requisitos mnimos a medida que la tecnologa evolucione. Los profesores y los colegios deben supervisar el uso de las calculadoras de acuerdo con la reglamentacin sobre las mismas. Se publica cada ao en el Vademcum informacin sobre los tipos de calculadoras permitidas. Para ms informacin y orientacin, consulte el material de ayuda al profesor. Existen requisitos especficos para las calculadoras que han de utilizar los alumnos en la unidad opcional de Estadstica y probabilidad.

Cuadernillo de informacin de Matemticas NS Puesto que todos los alumnos deben poder disponer de un ejemplar sin anotaciones de este cuadernillo durante el examen, se recomienda que los profesores se aseguren que sus alumnos conocen su contenido desde el principio del curso. El cuadernillo lo proporciona IBO y se publica por separado.

Material de ayuda al profesor Esta gua se complementa con una serie de materiales de ayuda al profesor. Los mismos incluirn sugerencias para ayudar a los profesores a integrar el uso de calculadoras de pantalla grfica en las actividades didcticas, orientacin para la correccin de carpetas y ejemplos de pruebas de examen y esquemas de calificacin. Este material se enviar a todos los colegios.

Pautas para la evaluacin externa Se recomienda que los profesores se familiaricen con las pautas para la evaluacin externa, que incluyen informacin importante acerca de las pruebas de examen. Asimismo, los alumnos debern conocer la notacin y la terminologa utilizadas por IBO, ya que se emplean sin explicacin en las pruebas de examen.

Conocimientos previos Generalidades No se exige que los alumnos estn familiarizados con todos los temas incluidos en la lista de conocimientos previos (CP) antes de comenzar el curso. Sin embargo, s debern estarlo antes de los exmenes, porque en las preguntas se dar por supuesto su conocimiento. Los profesores debern, por tanto, asegurarse de que cualquier tema incluido en la lista de CP que sus alumnos no dominen al principio del curso se imparta en las primeras etapas del mismo. Debern tambin tener en cuenta el conocimiento matemtico que sus alumnos ya poseen a la hora de disear una programacin adecuada para Matemticas NS.



Esta relacin de temas no pretende ser el resumen de un curso de introduccin a la asignatura de Matemticas NS, sino que enumera los conocimientos que, junto con los contenidos del programa de estudios, son imprescindibles para poder seguir y superar el curso de Matemticas NS.

Los alumnos tambin deben conocer las unidades de longitud, masa y tiempo del SI (Sistema Internacional) y sus derivadas.

Temas

Aritmtica y lgebra Uso habitual de la suma, resta, multiplicacin y divisin con enteros, decimales y fracciones, incluyendo el orden de las operaciones.

Ejemplo: ( )2 3 4 7 62+ = Potencias sencillas con exponente positivo.

Ejemplos: 3 3 42 8; ( 3) 27; ( 2) 16= = =

Simplificacin de expresiones con radicales (irracionales o no).

Ejemplos: 27 75 8 3; 3 5 15+ = =

Nmeros primos y divisores, incluyendo el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo.

Aplicaciones sencillas de razones, porcentajes y proporciones, en relacin con la semejanza.

Definicin y uso elemental del valor absoluto (mdulo), | |a .

Redondeo, aproximaciones decimales y cifras significativas, incluyendo la estimacin de errores.

Expresin de nmeros en forma estndar (notacin cientfica), es decir, 10 ,ka 1 10,a k < Z .

Concepto y notacin de conjunto, elemento, conjunto universal (de referencia), conjunto vaco (nulo), conjunto complementario, subconjunto, igualdad de conjuntos, conjuntos disjuntos. Operaciones con conjuntos: unin e interseccin. Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Diagramas de Venn.

Conjuntos de nmeros: nmeros naturales; enteros, ] ; racionales, _ , e irracionales; nmeros reales, \ . Intervalos de la recta real utilizando la notacin de conjuntos y las inecuaciones. Conjunto de soluciones de una inecuacin de primer grado indicado en la recta numrica y expresado mediante la notacin de conjuntos.

Concepto de relacin entre los elementos de un mismo conjunto y entre los elementos de dos conjuntos distintos. Aplicaciones de los elementos de un conjunto en otro conjunto o en el mismo. Ejemplos con tablas, diagramas y grficas.

Manejo bsico de expresiones algebraicas sencillas que incluya factorizacin y desarrollo.

Ejemplos: 2 2 2( ) ; ( ) 2ab ac a b c a b a b ab+ = + = + ; 2 2 ( )( )a b a b a b = + ; 23 5 2 (3 2)( 1)x x x x+ + = + + ; 2 2 ( 2)( )xa a xb b x a b + = +

Transformacin, clculo del valor numrico y combinacin de expresiones sencillas. Se deben incluir ejemplos relacionados con otras asignaturas, en especial las de ciencias.

La funcin lineal x ax b+6 y su grfica, pendiente e interseccin con el eje y. Suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores de la forma ax b+ .

Ejemplo: 2 3 13 1 2 4

x xx x

++

+



Propiedades de las relaciones de orden: , , ,< > .

Ejemplos: , 0 ;a b c ac bc> > > , 0a b c ac bc> < < Resolucin de ecuaciones e inecuaciones con una incgnita, incluyendo los casos con coeficientes racionales.

Ejemplo: ( )3 2 1 517 5 2 7

x x x = = Resolucin de sistemas de ecuaciones con dos incgnitas.

Geometra Geometra elemental del plano, incluyendo el concepto de dimensin de punto, recta, plano y espacio. Rectas paralelas y perpendiculares, incluyendo 1 2m m= y 1 2 1m m = . Geometra de las figuras planas sencillas. La funcin x ax b+6 : su grfica, pendiente e interseccin con el eje y. Medida de ngulos en grados. Rumbos y demoras. Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo. Aplicaciones sencillas a la resolucin de tringulos.

Teorema de Pitgoras y su recproco.

El plano cartesiano: pares ordenados (x, y), origen, ejes. Punto medio de un segmento de recta y distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Transformaciones geomtricas sencillas: traslacin, simetra, rotacin, homotecia. Congruencia y semejanza, incluyendo el concepto de razn de una homotecia.

El crculo, centro y radio, rea y circunferencia. Los trminos arco, sector circular, cuerda, tangente y segmento circular.

Permetro y rea de las figuras planas. Tringulos y cuadrilteros, incluyendo paralelogramos, rombos, rectngulos, cuadrados, cometas, trapecios y trapezoides; figuras combinadas.

Estadstica Estadstica descriptiva: recopilacin de datos de la realidad, representacin pictrica o grfica (por ejemplo, grficas de sectores, pictogramas, diagramas de tallos y hojas, grficas de barras y grficas de lneas).

Clculos de parmetros estadsticos sencillos de datos discretos, incluyendo la media, la mediana y la moda.

Unidades del tronco comn Unidad 1 (tronco comn): lgebra 20 h

Objetivos generales El objetivo general de esta unidad es introducir algunos conceptos y aplicaciones algebraicos elementales.

Descripcin detallada


Contenidos Ampliaciones/inclusiones Exclusiones

Progresiones aritmticas y series aritmticas; suma finita de series aritmticas; progresiones geomtricas y series geomtricas; suma finita e infinita de series geomtricas.

Ejemplos de aplicaciones: inters compuesto y crecimiento demogrfico.

1.1

Notacin de sumatoria.

Potencias y logaritmos. Slo se requiere un estudio elemental.

Propiedades de las potencias; propiedades de los logaritmos.

1.2

Cambio de base. logloglog

cb

c

aab

=

Reglas de recuento, incluyendo permutaciones y combinaciones.

nicamente aplicaciones sencillas.

La expresin de nr

tambin conocida como Cn

r .

La expresin de Pn r .

Permutaciones con repeticin.

Teorema del binomio: desarrollo de ( )na b+ , n` .

1.3

Consultar la gua de Matemticas NM.

Unidad 1 (tronco comn): lgebra (continuacin)



Demostracin por induccin matemtica. Demostracin del teorema del binomio. 1.4

Elaboracin de conjeturas que se puedan demostrar por induccin matemtica.

Nmeros complejos: el nmero i 1= ; los trminos parte real, parte imaginaria, conjugado, mdulo y argumento.

La forma cartesiana iz a b= + .

La forma mdulo-argumental ( )cos isenz r = + .

Nocin de que ( )cos isenz r = + se puede escribir como iez r = y como cisz r = .

1.5

El plano complejo. El plano complejo tambin se conoce como plano de Argand.

Lugares geomtricos en el plano complejo.

1.6 Sumas, productos y cocientes de nmeros complejos.

Teorema de de Moivre. Demostracin por induccin matemtica para n +] .

1.7

Potencias y races de un nmero complejo.

1.8 Races conjugadas de ecuaciones polinmicas con coeficientes reales.

Ecuaciones con coeficientes complejos.

Unidad 2 (tronco comn): Funciones y ecuaciones 26 h

Objetivos generales Los objetivos generales de esta unidad son estudiar el concepto de funcin como tema unificador de las matemticas y aplicar las funciones como mtodo para abordar distintas situaciones en matemticas. Se espera que se haga un amplio uso de las calculadoras de pantalla grfica tanto en el desarrollo de los temas de esta unidad como en sus aplicaciones.




Concepto de funcin : ( )f x f x6 : dominio, recorrido; imagen (valor).

En los exmenes: si el dominio es el conjunto de los nmeros reales, se omitir la expresin x\ .

El trmino codominio.

Composicin de funciones f gD ; funcin identidad.

La funcin compuesta ( )( )f g xD se define como ( ( ))f g x .

Funcin inversa 1f . Distincin entre funciones biyectivas y no biyectivas. Restriccin del dominio.

2.1


Grfica de una funcin; su ecuacin ( )y f x= . En los exmenes: se podrn formular preguntas en las que se pida la representacin grfica de funciones que no aparecen explcitamente en el programa de estudios.

Habilidades referidas a la representacin grfica de funciones:

uso de la calculadora de pantalla grfica para obtener la grfica de diversas funciones;

estudio de las caractersticas principales de las grficas;

Identificacin de asntotas.

2.2

resolucin grfica de ecuaciones. Podrn denominarse tanto races de ecuaciones como ceros de las funciones.

Unidad 2 (tronco comn): Funciones y ecuaciones (continuacin)



Transformaciones de grficas: traslaciones; estiramientos; simetras respecto a los ejes.

Traslaciones: ( ) ; ( ).y f x b y f x a= + =

Estiramientos: ( )( ); .y pf x y f x q= = Simetras (respecto a los dos ejes):

( ); ( )y f x y f x= = .

Ejemplos: 2y x= utilizada para obtener 23 2y x= + mediante un estiramiento de razn 3

en la direccin del eje y, seguido de la traslacin 02

.

seny x= utilizada para obtener 3 sen 2y x= mediante un estiramiento de razn 3 en la direccin del eje y, y un estiramiento de razn 12

en la direccin del eje x.

La grfica de 1( )y f x= como simtrica de la grfica de ( )y f x= respecto a la recta y x= .

Grfica de ( )1y

f x= a partir de ( )y f x= .

2.3

Grficas de las funciones valor absoluto, ( )y f x= e ( )y f x= .




2.4 La funcin recproca 1 , 0x xx

6 su grfica; su propiedad de coincidir con su inversa.

La funcin cuadrtica 2x ax bx c+ +6 : su grfica.

nicamente con coeficientes reales.

Eje de simetra, 2bxa

= .

La forma 2( )x a x h k +6 .

2.5

La forma ( )( )x a x p x q 6 .

Resolucin de 2 0, 0ax bx c a+ + = . En los exmenes: no se formularn preguntas que requieran tcnicas de factorizacin complicadas.

La frmula de la solucin de una ecuacin de segundo grado.

2.6

Uso del discriminante 2 4b ac = .

La funcin: xx a6 , 0a > .

La funcin inversa logax x6 , 0x > . log xa a x= ; loga xa x= , 0x > .

Grficas de xy a= e logay x= .

2.7

Resolucin de xa b= utilizando logaritmos.




La funcin exponencial e .xx 6

La funcin logartmica lnx x6 , 0x > . lnex x aa =

2.8

Ejemplos de aplicaciones: inters compuesto, crecimiento y decrecimiento.

Resolucin grfica de inecuaciones con una incgnita.

Uso del smbolo del valor absoluto en las inecuaciones.

En los exmenes: no se formularn preguntas que impliquen operaciones complejas.

2.9

Resolucin de ( ) ( )g x f x , donde f, g son funciones lineales o cuadrticas.

Resolucin analtica en casos sencillos.

Funciones polinmicas. Significado grfico de las races mltiples. 2.10

Teorema del resto y teorema del divisor, junto con sus aplicaciones a la resolucin de ecuaciones e inecuaciones polinmicas.

Unidad 3 (tronco comn): Funciones circulares y trigonometra 22 h

Objetivos generales Los objetivos generales de esta unidad son analizar las funciones circulares, introducir algunas relaciones trigonomtricas importantes y resolver tringulos aplicando la trigonometra.




3.1 El crculo: medida de ngulos en radianes; longitud de un arco; rea del sector circular.

La medida en radianes puede expresarse mediante mltiplos de , o con decimales.

Definicin de cos y sen en el crculo de radio unidad o radio unitario.

Definicin de tg como sencos

.

Definicin de sec , cosec y cotg .

Relacin fundamental: 2 2cos sen 1 + = ; 2 21 tg sec + = ; 2 21 cotg cosec + = .

3.2


Unidad 3 (tronco comn): Funciones circulares y trigonometra (continuacin)



Frmulas de la suma y diferencia de dos ngulos.

Demostracin de las frmulas: sen ( ),A B cos( )A B , tg ( )A B .

Frmulas del ngulo doble. Demostracin de las frmulas del ngulo doble.

Dado el sen , clculo de los posibles valores de otras razones (por ejemplo, sen 2 ) sin hallar el valor de .

3.3


Las funciones circulares sen x , cos x y tg x , dominios y recorridos; periodicidad; grficas.

En los exmenes: se dar por supuesto que las medidas son en radianes a menos que se indique otra cosa, por ejemplo, sen x x6 .

Funciones compuestas de la forma ( ) sen( ( ))f x a b x c d= + + .

Ejemplo: ( ) 3tg(4( 2)) 1f x x= + .

Las funciones inversas arcsenx x6 , arccosx x6 , arctgx x6 ; sus dominios y

recorridos; sus grficas.

En los exmenes: no se formularn preguntas que requieran un tratamiento analtico complejo de las funciones trigonomtricas inversas.

Ejemplos de aplicaciones: altura de las mareas, norias.

3.4


Unidad 3 (tronco comn): Funciones circulares y trigonometra (continuacin)



Resolucin de ecuaciones trigonomtricas en un intervalo acotado.

Ejemplos:

2 sen 3cosx x= , 0 2x ; 2 sen 2 3cosx x= , 0 180x ; 2sen cos2x x= , x .

La solucin general de ecuaciones trigonomtricas.

3.5

Uso de las relaciones trigonomtricas y la factorizacin para transformar las ecuaciones.

Se requieren tanto mtodos analticos como grficos.

Resolucin de tringulos.

Teorema del coseno: 2 2 2 2 cos .c a b ab C= +

Teorema del seno: .sen sen sen

a b cA B C

= = El caso ambiguo del teorema del seno.

rea del tringulo mediante la frmula 1 sen 2

ab C .

3.6

Aplicaciones a situaciones de la vida real en dos dimensiones y casos sencillos en tres dimensiones, por ejemplo, en navegacin.

Unidad 4 (tronco comn): Matrices 12h

Objetivos generales El objetivo general de esta unidad es proporcionar una introduccin elemental a las matrices, un concepto fundamental del lgebra lineal.




4.1 Definicin de matriz: los trminos elemento, fila, columna y orden.

Uso de las matrices para almacenar datos. Uso de las matrices para representar transformaciones.

lgebra de matrices: igualdad; suma; resta; multiplicacin por un escalar.

Operaciones con matrices para organizar y procesar la informacin.

Producto de matrices.

4.2

Matriz identidad y matriz nula.

Determinante de una matriz cuadrada. El concepto de matriz singular y matriz no singular.

Clculo de determinantes de matrices de orden 2 2 y 33 .

La propiedad det det det=AB A B . Cofactores (o adjuntos) y menores.

4.3

Inversa de una matriz: condiciones de existencia.

Obtencin de la inversa de una matriz de orden 33 utilizando la calculadora de pantalla grfica.

Otros mtodos para obtener la inversa de una matriz de orden 33 .

Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales (mximo de tres ecuaciones con tres incgnitas).

4.4

Condiciones para que exista una solucin nica, que no exista ninguna solucin o que existan infinitas soluciones.

Estos casos se pueden estudiar utilizando la reduccin de filas, incluyendo el uso de matrices ampliadas. Las soluciones nicas tambin se pueden calcular utilizando las matrices inversas.

Unidad 5 (tronco comn): Vectores 22 h

Objetivos generales El objetivo general de esta unidad es introducir el uso de los vectores en dos y tres dimensiones, y facilitar la resolucin de problemas relacionados con puntos, rectas y planos.




Los vectores como desplazamientos en el plano y en el espacio.

Distancia entre dos puntos en tres dimensiones.

Componentes de un vector; representacin en

columna 1

2 1 2 3

3

vv v v vv

= = + +

v i j k .

Las componentes estn referidas a los vectores unitarios i, j, k (base cannica).

Enfoques algebraico y geomtrico de los siguientes temas:

suma y diferencia de dos vectores; el vector nulo, el vector v ;

La diferencia de v y w como ( ) = + v w v w .

multiplicacin por un escalar, kv ;

mdulo de un vector, v ;

vectores unitarios; la base i, j, k ;

5.1

vectores de posicin OA .

= a AB OB OA

= = b a .

Unidad 5 (tronco comn): Vectores (continuacin)



Producto escalar de dos vectores, cos =v w v w ; 1 1 2 2 3 3v w v w v w = + +v w .

El producto escalar tambin se denomina producto punto o producto interior.

Proyecciones.

Propiedades algebraicas del producto escalar.

Vectores perpendiculares; vectores paralelos. Para vectores perpendiculares no nulos 0 =v w ; para vectores paralelos no nulos = v w v w .

5.2

ngulo entre dos vectores.

Ecuacin vectorial de una recta =r a + b . Rectas en el plano y en el espacio tridimensional.

Conocimiento de las siguientes formas de la ecuacin de una recta.

Forma paramtrica: 0x x l= + , 0y y m= + , 0z z n= + .

Forma cartesiana: 0 0 0x x y y z zl m n

= = .

ngulo entre dos rectas.

5.3


Unidad 5 (tronco comn): Vectores (continuacin)



Rectas coincidentes, rectas paralelas, rectas que se cortan, rectas que se cruzan, distincin entre estos casos.

5.4

Puntos de interseccin.

Producto vectorial de dos vectores, v w . El producto vectorial se suele representar por una cruz.

Expresin mediante el determinante.

5.5

Interpretacin geomtrica de v w . reas de tringulos y paralelogramos.

Ecuacin vectorial de un plano = + +r a b c .

Utilizacin del vector normal para obtener la expresin r n = a n .

5.6

Ecuacin cartesiana de un plano ax by cz d+ + = .

Intersecciones de: una recta y un plano; dos planos; tres planos.

Mtodo de la matriz inversa y la reduccin de filas para hallar la interseccin de tres planos.

5.7

ngulo entre: una recta y un plano; dos planos. Nocin de que tres planos pueden cortarse en un punto, cortarse en una recta o no cortarse.

Unidad 6 (tronco comn): Estadstica y probabilidad 40 h

Objetivos generales El objetivo general de esta unidad es introducir conceptos bsicos que se pueden organizar en tres grupos: manejo y representacin de datos estadsticos (6.16.4), leyes de la probabilidad (6.56.8) y variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad (6.96.11). Se supone que la mayora de los clculos se harn con la calculadora de pantalla grfica. Se har nfasis en la comprensin y la interpretacin de los resultados obtenidos.




6.1 Conceptos de poblacin, muestra, muestra aleatoria y distribuciones de frecuencia de datos discretos y continuos.

Slo un estudio elemental.

Representacin de datos: tablas de frecuencias y diagramas de frecuencias, diagramas de caja y bigote.

Estudio de datos discretos y continuos.

Datos agrupados: valores centrales de los intervalos, amplitud de los intervalos, lmites superior e inferior de los intervalos,

6.2

histogramas de frecuencias. En un histograma de frecuencias los intervalos de clase tienen la misma amplitud.

Histogramas con intervalos de clase de distinta amplitud.

Unidad 6 (tronco comn): Estadstica y probabilidad (continuacin)



Media, mediana, moda; cuartiles, percentiles. Nocin de que, por lo general, la media de la poblacin, , se desconoce, y que la media muestral, x , es una estimacin sin sesgo de la anterior.

Estimacin de la moda a partir de un histograma. Tratamiento formal de la estimacin sin sesgo.

Rango; rango intercuartil; varianza, desviacin tpica.

Comprensin del concepto de dispersin y del significado del valor numrico de la desviacin tpica. Obtencin de la desviacin tpica (e indirectamente de la varianza) mediante la calculadora de pantalla grfica y por otros mtodos. Nocin de que, por lo general, la varianza de la

poblacin, 2 , se desconoce, y que, 2 21 1n nns s

n=

,

es una estimacin sin sesgo de 2 .

6.3


6.4 Frecuencia acumulada; grficas de la frecuencia acumulada; su uso para calcular la mediana, cuartiles y percentiles.

Conceptos de experimento, resultado, resultados equiprobables, espacio muestral (U) y suceso.

Probabilidad de un suceso A como ( )P( )( )

n AAn U

= .

El clculo de ( )n A y de ( )n U puede implicar el uso de las reglas de recuento.

6.5

Los sucesos complementarios A y A (no A); P( ) P( ) 1A A+ = .




Sucesos compuestos, la frmula: P( ) P( ) P( ) P( )A B A B A B = + .

Reconocimiento del o no exclusivo. 6.6

P( ) 0A B = para sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes.

Uso de P( ) P( ) P( )A B A B = + para sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes.

Probabilidad condicionada; definicin:

( ) P( )P |P( )A BA B

B

= .

Sucesos independientes; definicin ( ) ( )P | P( ) P |A B A A B= = .

El trmino independiente es equivalente a estadsticamente independiente. Uso de P( ) P( )P( )A B A B = para sucesos independientes.

6.7

Aplicacin del teorema de Bayes con dos sucesos. ( ) ( )( ) ( )

P( )P |P |

P( )P | P( )P |B A B

B AB A B B A B

=

+

6.8 Uso de diagramas de Venn, diagramas de rbol y tablas en la resolucin de problemas.




Concepto de variables aleatorias discretas y continuas y sus distribuciones de probabilidad.

Definicin y uso de las funciones densidad de probabilidad.

Esperanza matemtica (media), moda, mediana, varianza y desviacin tpica.

Conocimiento y uso de las frmulas de E( )X y de Var( )X .

Aplicaciones de la esperanza matemtica en, por ejemplo, juegos de azar.

6.9


Distribucin binomial, su media y su varianza. Distribucin de Poisson, su media y su varianza.

Condiciones bajo las cuales las variables aleatorias tienen esas distribuciones.

Demostracin formal de las medias y las varianzas.

6.10


Distribucin normal. Aproximacin de una binomial por una normal.

Propiedades de una distribucin normal. Concepto de que la variable tipificada o estandarizada (z) mide la desviacin de la media en unidades de la desviacin tpica.

6.11

Tipificacin o estandarizacin de variables en una distribucin normal.

Uso de la calculadora (o tablas) para calcular probabilidades en una distribucin normal; proceso inverso.

Unidad 7 (tronco comn): Anlisis 48 h

Objetivos generales El objetivo general de esta unidad es introducir conceptos y tcnicas elementales del clculo diferencial e integral y sus aplicaciones.




Idea informal de lmite y convergencia. nicamente un tratamiento informal de lmite y convergencia, incluyendo el resultado

0

senlim 1

= .

Definicin de derivada como

0

( ) ( )( ) limh

f x h f xf xh

+ = .

Aplicacin de esta definicin para establecer la derivada de un polinomio, y para la justificacin de otras derivadas.

Familiaridad con las dos formas de notacin, ddyx

y ( )f x , para la derivada primera.

Derivada de ( ) nx n_ , sen x , cos x , tg x , ex y ln x .

En los exmenes: no ser necesario que los alumnos demuestren estos resultados.

Interpretacin de la derivada como pendiente de la recta tangente a la curva y como medida de la razn de cambio entre dos variables.

Obtencin de las ecuaciones de las tangentes y las normales. Identificacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin.

Derivadas de las funciones circulares recprocas. Derivadas de xa y loga x . Derivadas del arcsen x , arccos x , arctg x .

7.1


Unidad 7 (tronco comn): Anlisis (continuacin)



Derivada de la suma y del producto por un escalar de las funciones del apartado 7.1.

Regla de la cadena para la composicin de funciones. Aplicacin de la regla de la cadena a medidas de razn de cambio entre dos variables relacionadas.

Regla del producto y del cociente.

Derivada segunda. Familiaridad con las dos formas de notacin, 2

2

dd

yx

y ( )f x , para la derivada segunda.

Conocimiento de las derivadas de orden superior.

Familiaridad con las notaciones dd

n

n

yx

, ( ) ( )nf x .

7.2


Mximos y mnimos locales. Comprobacin de mximos y mnimos utilizando el cambio de signo en la derivada primera y el signo de la derivada segunda.

7.3

Aplicacin de las derivadas primera y segunda en problemas de optimizacin.

Ejemplos de aplicaciones: beneficios, reas, volmenes.




La integral indefinida como primitiva (antiderivada) de una funcin.

Interpretacin de la integral indefinida como una familia de curvas.

Integral indefinida de ( 1)nx n , sen x , cos x ,

ex , 1x

.

1 d lnx x Cx

= +

Funciones compuestas de las anteriores con la funcin lineal ax b+ .

Ejemplo:

( ) cos(2 3)f x x = + 1( ) sen (2 3)2

f x x C = + + .

7.4


Integracin con una restriccin para determinar el trmino constante.

Ejemplo: si 2d 3dy x xx

= + e 10y = cuando

0,x = entonces 3 21 102

y x x= + + .

Integral definida.

Clculo de reas entre una curva y el eje x o el eje y en un intervalo dado, clculo de reas entre curvas.

db

ay x y dba x y .

Volmenes de revolucin. Revolucin alrededor del eje x o del eje y . 2 d

b

aV y x= , 2 dbaV x y= .

7.5





7.6 Problemas de cinemtica relativos al desplazamiento, s, la velocidad, v, y la aceleracin, a.

ddsvt

= , 2

2

d d dd d dv s va vt t s

= = = . El rea bajo la

grfica de la velocidad en funcin del tiempo representa el espacio recorrido.


Comportamiento de la grfica de una funcin: tangentes y normales, comportamiento para valores grandes de x ;

Se incluye: comportamiento local y global.

asntotas. Asntotas oblicuas.

Importancia de la derivada segunda; distincin entre mximos y mnimos.

Uso de los trminos concavidad positiva para ( ) 0f x > y concavidad negativa

(convexidad) para ( ) 0f x < .

Puntos de inflexin con pendiente nula y no nula.

En un punto de inflexin ( ) 0f x = y ( )f x cambia de signo (cambia la concavidad de la funcin). ( ) 0f x = no es condicin suficiente para que exista un punto de inflexin, por ejemplo: 4y x= en (0,0) .

Puntos de inflexin donde ( )f x no est definida, por ejemplo, 1 3y x= en (0,0) .

7.7


7.8 Derivacin implcita.




Mtodos de integracin: Cambio de los lmites de integracin en las integrales definidas.

Integracin de funciones racionales utilizando la descomposicin en fracciones simples.

integracin por sustitucin; En los exmenes: se pueden proponer sustituciones distintas de las habituales.

7.9

integracin por partes. Ejemplos: sen dx x x y ln dx x . Integracin por partes aplicada varias veces de forma sucesiva;

ejemplos: 2e dxx x y sen dxe x x .

Frmulas de reduccin.

7.10 Resolucin de ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables.

Unidades opcionales Unidad 8 (opcional): Estadstica y probabilidad 40 h

Objetivos generales Los objetivos generales de esta unidad opcional son: proporcionar a los alumnos la oportunidad de abordar la estadstica de un modo prctico, alcanzar un buen nivel de comprensin de la estadstica y discriminar en qu situaciones se han de aplicar e interpretar los resultados obtenidos. Se espera que las calculadoras de pantalla grfica se utilicen ampliamente en el estudio de esta unidad opcional y, como mnimo, se exigir que se utilicen para hallar la funcin densidad de probabilidad, la funcin densidad acumulada, la funcin densidad acumulada inversa, los valores del parmetro p y los estadsticos de los contrastes (o tests), incluyendo los clculos para las siguientes distribuciones: binomial, Poisson, normal, t y chi-cuadrado. Se espera que los alumnos planteen el problema en forma matemtica y despus obtengan las respuestas con la calculadora de pantalla grfica, indicndolo por escrito. En estas explicaciones no se debe utilizar el lenguaje especfico de las calculadoras o de una marca de calculadoras determinada.




lgebra de la probabilidad de sucesos. E( ) E( )aX b a X b+ = + ;2Var( ) Var( )aX b a X+ = .

Transformacin lineal de una variable aleatoria unidimensional.

8.1

Media y varianza de combinaciones lineales de dos variables aleatorias independientes.

Ampliacin a las combinaciones lineales de n variables aleatorias independientes.

1 1 2 2 1 1 2 2E( ) E( ) E( )a X a X a X a X = ; 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2Var( ) Var( ) Var( )a X a X a X a X = + .

Unidad 8 (opcional): Estadstica y probabilidad (continuacin)



Funciones de distribucin acumulada. Demostracin formal de las medias y las varianzas.

Distribuciones discretas: uniforme, Bernoulli, binomial, binomial negativa, Poisson, geomtrica, hipergeomtrica.

Funciones de probabilidad generales, medias y varianzas.

8.2

Distribuciones continuas: uniforme, exponencial, normal.

Funciones densidad de probabilidad, medias y varianzas.

Distribucin de la media muestral. Muestreo sin reposicin.

Distribucin de combinaciones lineales de variables aleatorias independientes. En concreto

( ) 22~ N , ~ N ,X X n

.

Una combinacin lineal de variables aleatorias independientes normalmente distribuidas tambin est normalmente distribuida.

Teorema central del lmite. Demostracin del teorema central del lmite.

8.3

Aproximacin por la normal de la proporcin de xitos en una muestra grande.

Ampliacin de estos resultados para muestras grandes a distribuciones que no son normales, utilizando el teorema central del lmite.

Distribuciones que no satisfacen el teorema central del lmite.




Clculo de intervalos de confianza para la media de una poblacin.

Uso de la distribucin normal cuando es conocida y de la distribucin t cuando es desconocida (con independencia del tamao de la muestra). El caso de muestras bidimensionales podra ser contrastado como ejemplo de una tcnica de muestreo unidimensional.

Diferencias de medias y diferencias de proporciones.

8.4

Clculo de intervalos de confianza para la proporcin de xitos en una poblacin.

Contrastes de significacin para la media. Contrastes de significacin para la proporcin.

Uso de la distribucin normal cuando es conocida y de la distribucin t cuando es desconocida. El caso de muestras bidimensionales podra ser contrastado como ejemplo de una tcnica de muestreo unidimensional.

Diferencias de medias y diferencias de proporciones.

Hiptesis nula y alternativa H0 y H1.

Errores de tipo I y de tipo II.

8.5

Niveles de significacin; regin crtica, valores crticos, valores del parmetro p; contrastes de una y de dos colas.




La distribucin chi-cuadrado: grados de libertad, .

El estadstico 2 , ( )2

2 o ecalc

e

f ff

= . Concepto de que 2calc es una medida de la

discrepancia existente entre las frecuencias observadas y esperadas.

El test 2 para la bondad del ajuste. Test para la bondad del ajuste mediante las distribuciones anteriores; el requisito de combinar clases con frecuencias esperadas menores que 5.

8.6

Tablas de contingencia: el test 2 para la independencia de dos variables.

Correccin de Yates a la continuidad para 1 = .

Unidad 9 (opcional): Conjuntos, relaciones y grupos 40 h

Objetivos generales Los objetivos generales de esta unidad opcional son proporcionar la oportunidad de estudiar importantes conceptos matemticos e introducir los principios de la demostracin a travs del lgebra abstracta.




Conjuntos finitos e infinitos. Subconjuntos. Operaciones con conjuntos: unin; interseccin; conjunto complementario, diferencia de conjuntos, diferencia simtrica.

9.1

Leyes de de Morgan; propiedades distributiva, asociativa y conmutativa (para la unin y la interseccin).

Ilustracin de estas propiedades mediante diagramas de Venn.

Demostracin de estas propiedades.

Pares ordenados: producto cartesiano de dos conjuntos.

9.2

Relaciones; relaciones de equivalencia; clases de equivalencia.

Una relacin de equivalencia en un conjunto induce una particin en el mismo.

Aplicaciones: inyectivas; sobreyectivas; biyectivas.

El trmino codominio. 9.3

Composicin de aplicaciones y aplicaciones inversas.

Concepto de que la composicin de aplicaciones no es una operacin conmutativa y que si f es una aplicacin biyectiva del conjunto A en el conjunto B entonces existe 1f y es una aplicacin biyectiva del conjunto B en el conjunto A.

Unidad 9 (opcional): Conjuntos, relaciones y grupos (continuacin)



Operaciones binarias. Una operacin binaria sobre un conjunto no vaco S es una regla que asocia a cada dos elementos cualesquiera a, b S un nico elemento c. Es decir, en esta definicin, una operacin binaria no es necesariamente cerrada.

En los exmenes: se puede pedir a los alumnos que comprueben si una operacin dada satisface la condicin de ser cerrada.

9.4

Tablas de operaciones (tablas de Cayley). Tablas de operaciones con la propiedad del cuadrado latino (ningn elemento aparece dos veces en una misma fila o en una misma columna).

9.5 Operaciones binarias que verifican las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa.

Operaciones aritmticas en \ y en ^ ; operaciones con matrices.

El elemento neutro e. Para que e sea elemento neutro lo ha de ser por la derecha a e a = y por la izquierda e a a = .

El simtrico 1a de un elemento a. Lo ha de ser por la derecha 1a a e = y por la izquierda 1a a e = .

Demostracin de que se puede eliminar un elemento a por la izquierda o por la derecha, siempre que a tenga simtrico.

9.6

Demostracin de la unicidad de los elementos neutro y simtrico.




Axiomas de grupo { },G . El conjunto G para una operacin dada verifica: G es cerrado para es asociativa G posee elemento neutro

para todo elemento de G existe un simtrico.

9.7

Grupos abelianos. a b b a = , para todo ,a b G .

Los grupos: , , \ _ ] y ^ para la adicin matrices del mismo orden para la adicin matrices regulares de orden 2 2 para la

multiplicacin enteros para la adicin mdulo n

grupo de las transformaciones La notacin 1 2TT para la composicin significa

2T seguida de 1T .

simetras de un tringulo equiltero, de un rectngulo y de un cuadrado

aplicaciones biyectivas para la composicin de aplicaciones

9.8

permutaciones para la composicin. En los exmenes: se utilizar la notacin 1 2 33 1 2

p = para representar la aplicacin

1 3 , 2 1 , 3 2.




Grupos finitos e infinitos. Propiedad del cuadrado latino de la tabla de un grupo.

9.9

Orden de un elemento del grupo y orden del grupo.

Grupos cclicos. Generadores. 9.10

Demostracin de que todos los grupos cclicos son abelianos.

Subgrupos, subgrupos propios.

Demostracin y aplicacin de las condiciones necesarias y suficientes para que un subconjunto de un grupo sea un subgrupo.

Sea G un grupo y H un subconjunto no vaco de G. H es un subgrupo de G si 1ab H para todo a , b H .

Sea G un grupo finito y H un subconjunto no vaco de G. H es un subgrupo de G si H es cerrado para la operacin del grupo.

9.11

Teorema de Lagrange.

Demostracin y aplicacin del resultado de que el orden de un grupo finito es divisible por el orden de cualquier elemento. (Corolario del teorema de Lagrange.)

En los exmenes: no se pedir la demostracin del teorema de Lagrange.




Isomorfismo de grupos. Tanto de grupos finitos como infinitos.

Dos grupos { },G D y { },H son isomorfos si existe una aplicacin biyectiva tal que

( ) ( ) ( )f a b f a f b= D para todo ,a b G . La funcin :f G H es un isomorfismo.

9.12

Demostracin de las propiedades de los isomorfismos para el elemento neutro y los elementos simtricos.

Elemento neutro: sean 1e y 2e los elementos neutros de G, H respectivamente. Entonces

1 2( )f e e= .

Elemento simtrico: ( ) 11( ) ( )f a f a = para todo a G .

Unidad 10 (opcional): Series y ecuaciones diferenciales 40 h

Objetivos generales Los objetivos generales de esta unidad opcional son la introduccin de teoremas de lmites y convergencia de series, as como la aplicacin de resultados del anlisis para resolver ecuaciones diferenciales.




Sucesiones infinitas de nmeros reales.

Teoremas de lmites cuando n tiende a infinito. Lmite de la suma, diferencia, producto, cociente; teorema del paso al lmite en desigualdades.

Lmite de una sucesin. Definicin formal: la sucesin { }nu converge al lmite L si para todo 0 > existe un entero positivo N tal que nu L < para todo n N> .

Integrales impropias del tipo ( )da

f x x .

10.1

La integral como lmite de una suma; sumas superiores e inferiores.

Unidad 10 (opcional): Series y ecuaciones diferenciales (continuacin)



Convergencia de series infinitas. La suma de una serie es el lmite de la sucesin de sus sumas parciales.

Fracciones simples y series telescpicas (mtodo de las diferencias).

Cuando la descomposicin de los denominadores tiene nicamente factores lineales.

Criterios de convergencia: criterio de comparacin; criterio de comparacin del lmite; criterio de DAlembert; criterio de la integral de Cauchy.

Los alumnos han de saber que si lim 0nx x =

entonces la serie no es necesariamente convergente, pero si lim 0nx x la serie es

divergente.

Las series-p, 1pn . 1pn es convergente para 1p > y divergente en los dems casos. Si 1p = , la serie se llama armnica.

10.2

Clculo de la suma de una serie mediante integrales.

Series absolutamente convergentes.

Series condicionalmente convergentes.

10.3

Series alternadas. Condiciones de convergencia. El valor absoluto del error cometido al aproximar la suma de la serie por una suma parcial es menor que el siguiente trmino de la serie.




10.4 Series de potencias: radio de convergencia e intervalo de convergencia. Determinacin del radio de convergencia por el criterio de DAlembert.

Polinomios de Taylor y series de Taylor, incluyendo el trmino complementario (resto).

Aplicaciones a la aproximacin de funciones; frmulas del trmino complementario: en funcin del valor de la derivada de orden ( 1)n + en un punto intermedio, y en funcin de una integral de la derivada de orden ( 1)n + .

Demostracin del teorema de Taylor.

Derivacin e integracin de series (vlido nicamente en el intervalo de convergencia de la serie inicial).

Obtencin de nuevas series mediante productos y cocientes.

Desarrollo en serie de Maclaurin de ex , sen x ,

cos x , arctg x , ( )ln 1 x+ , ( )1 px+ . Obtencin de otras series mediante sustitucin.

Intervalos de convergencia para estas series de Maclaurin.

Ejemplo: 2ex .

10.5

Clculo de lmites de la forma ( )( )limx af xg x

mediante

la regla de LHpital o el desarrollo en serie de Taylor.

Casos en que las derivadas de ( )f x y ( )g x se anulan para x a= .

Demostracin de la regla de LHpital.




Ecuaciones diferenciales de primer orden: interpretacin geomtrica mediante campos de direcciones;

resolucin numrica de ( )d ,dy f x yx

= por el

mtodo de Euler.

( )1 ,n n nny y h f x y+ = + ; 1 nnx x h+ = + , donde h es una constante.

Ecuaciones diferenciales homogneas, aplicacin de la sustitucin y vx= .

10.6

Resolucin de ( ) ( )y P x y Q x + = , mediante el factor integrante.

Unidad 11 (opcional): Matemtica discreta 40 h

Objetivos generales El objetivo general de esta unidad opcional es proporcionar a los alumnos la oportunidad de interesarse por el razonamiento lgico, el pensamiento algortmico y sus aplicaciones.




La divisin y los algoritmos de Euclides. El teorema |a b y ( )| |a c a bx cy donde ,x y] .

El algoritmo de la divisin a bq r= + , 0 r b < .

El mximo comn divisor, mcd( , )a b , y el mnimo comn mltiplo, mcm( , )a b , de dos nmeros enteros a y b.

El algoritmo de Euclides para determinar el mximo comn divisor de dos nmeros enteros.

11.1

Nmeros primos entre s; nmeros primos y teorema fundamental de la aritmtica.

Demostracin del teorema fundamental de la aritmtica.

11.2 Representacin de nmeros enteros en distintas bases.

En los exmenes: no es probable que se planteen preguntas ms all de la base 16.

11.3 Ecuaciones diofnticas lineales ax by c+ = . Soluciones generales y soluciones sujetas a restricciones. Por ejemplo, todas las soluciones han de ser positivas.

11.4 Aritmtica modular. Congruencias lineales. Teorema chino del resto.

Unidad 11 (opcional): Matemtica discreta (continuacin)



11.5 Teorema de Fermat. (mod )pa a p donde p es primo. En los exmenes: no se pedir la demostracin del teorema.

Grafos, vrtices, aristas. Vrtices adyacentes, aristas adyacentes.

Dos vrtices son adyacentes si estn unidos por una arista. Dos aristas son adyacentes si tienen un vrtice comn.

Grafos simples; grafos conexos; grafos completos; multigrafos; grafos bipartidos; grafos planarios; rboles; grafos ponderados.

Subgrafos; grafos complementarios.

Relacin de Euler: 2v e f + = ; teoremas de grafos planarios incluyendo 3 6e v ,

2 4e v , 5 y 3,3 no son planarios.

11.6

Isomorfismo de grafos. nicamente grafos simples para el isomorfismo.

11.7 Recorridos, senderos, caminos, circuitos, ciclos.

Caminos y ciclos hamiltonianos; senderos y circuitos eulerianos.

Un grafo conexo contiene un circuito euleriano si y slo si todos los vrtices del grafo son de grado par.

Teorema de Dirac para ciclos hamiltonianos.

Matriz de adyacencia. Aplicaciones a los isomorfismos y aplicaciones de las potencias de la matriz de adyacencia al nmero de recorridos.

11.8

Matriz de adyacencia de costos.

11.9 Algoritmos de grafos: de Prim; de Kruskal; de Dijkstra.

Estos son ejemplos de algoritmos potentes.

Unidad 11 (opcional): Matemtica discreta (continuacin)



El problema del cartero chino (anlisis de rutas).

Para determinar la ruta ms corta en un grafo ponderado pasando al menos una vez por cada arista (algoritmo de anlisis de rutas).

Grafos con ms de dos vrtices de grado impar.

El problema del viajante. Para determinar el ciclo hamiltoniano de menos peso en un grafo completo ponderado.

11.10

Algoritmos para determinar los lmites superior e inferior del problema del viajante.

Grafos en los que no se verifica la inecuacin del tringulo.



Glosario de trminos para la unidad opcional de matemtica discreta Introduccin Profesores y alumnos han de tener en cuenta que existen diversas terminologas en teora de grafos y que cada libro de texto puede emplear distintas combinaciones de las mismas. Algunos ejemplos son: vrtice/ nodo/ confluencia/ punto; arista/ ruta/ arco; grado de un vrtice/ orden; aristas mltiples/ aristas paralelas; lazo/ bucle.

En las preguntas de examen de IBO, se utilizar la terminologa que aparece en el programa de estudios. Para mayor claridad se definen a continuacin estos trminos.

Trminos

Grafo Consta de un conjunto de vrtices y un conjunto de aristas; una arista conecta sus extremos (vrtices).

Subgrafo Un grafo dentro de otro grafo.

Grafo ponderado Un grafo en el que a cada arista se le asigna un nmero o peso.

Lazo Una arista cuyos extremos estn unidos al mismo vrtice.

Aristas mltiples Ocurre cuando ms de una arista conecta el mismo par de vrtices.

Recorrido Una sucesin de aristas enlazadas.

Sendero Un recorrido en el que ninguna arista aparece ms de una vez.

Camino Un recorrido sin vrtices repetidos.

Circuito Un recorrido que empieza y termina en el mismo vrtice y que no tiene aristas repetidas.

Ciclo Un recorrido que empieza y termina en el mismo vrtice y que no tiene ms vrtices repetidos.

Camino hamiltoniano Un camino que contiene todos los vrtices del grafo.

Ciclo hamiltoniano Un ciclo que contiene todos los vrtices del grafo.

Sendero euleriano Un sendero que contiene todas las aristas de un grafo.

Circuito euleriano Un circuito que contiene todas las aristas de un grafo.

Grado de un vrtice Nmero de aristas conectadas al vrtice; un lazo cuenta como dos, una por cada extremo.

Grafo simple Un grafo sin lazos ni aristas mltiples.

Grafo completo Un grafo simple donde cada vrtice est conectado a todos los otros vrtices.



Grafo conexo Un grafo tal que para cada par de vrtices existe un camino que los conecta.

Grafo inconexo Un grafo tal que existe al menos un par de vrtices que no estn conectados por un camino.

rbol Un grafo conexo que no contiene ciclos.

rbol ponderado Un rbol en el que a cada arista se le asigna un nmero o peso.

rbol generador de un grafo

Un subgrafo que contiene todos los vrtices del grafo, y que adems es un rbol.

rbol generador minimal Un rbol generador de un grafo ponderado que tiene un peso total mnimo.

Complementario de un grafo G

Un grafo que tiene los mismos vrtices que G, pero tal que entre cada dos vrtices existe una arista si y slo si no existe en G.

Isomorfismo de grafos entre dos grafos simples G y H

Una biyeccin entre los vrtices de G y de H tal que dos vrtices en G son adyacentes si y slo si los dos vrtices correspondientes de H son adyacentes.

Grafo planario Un grafo que puede representarse sobre un plano de una manera tal que ninguna arista corte otra arista.

Grafo bipartido Un grafo que admite una particin de sus vrtices en dos conjuntos de modo que las aristas unen siempre un vrtice de un conjunto con un vrtice del otro conjunto.

Grafo bipartido completo Un grafo bipartido en el cual cada uno de los vrtices de un conjunto est conectado a todos los vrtices del otro conjunto.

Matriz de adyacencia de G , que se denota por GA

La matriz de adyacencia, GA , de un grafo G con n vrtices es la matriz n n tal que la entrada correspondiente a la fila i y la columna j es el nmero de aristas que unen los vrtices i y j. Por tanto, la matriz de adyacencia es simtrica respecto a la diagonal.

Matriz de adyacencia de costos de G , que se denota por GC

La matriz de adyacencia de costos, GC , de un grafo G con n vrtices es la matriz n n tal que la entrada correspondiente a la fila i y la columna j es el peso de las aristas que unen los vrtices i y j.


RESUMEN DE LA EVALUACIN


Matemticas NS

Evaluacin externa 5 h 80%

Exmenes escritos Prueba 1 2 h 30%

No se permite el uso de calculadoras.

Seccin A 15%

Preguntas obligatorias de respuesta corta en relacin con las unidades obligatorias del tronco comn del programa de estudios

Seccin B 15%

Preguntas obligatorias de respuesta larga en relacin con las unidades obligatorias del tronco comn del programa de estudios

Prueba 2 2 h 30%

Se requiere el uso de calculadoras de pantalla grfica.

Seccin A 15%

Preguntas obligatorias de respuesta corta en relacin con las unidades obligatorias del tronco comn del programa de estudios

Seccin B 15%

Preguntas obligatorias de respuesta larga en relacin con las unidades obligatorias del tronco comn del programa de estudios

Prueba 3 1 h 20%

Se requiere el uso de calculadoras de pantalla grfica.

Preguntas de respuesta larga fundamentalmente relacionadas con las unidades opcionales del programa de estudios

RESUMEN DE LA EVALUACIN


Evaluacin interna 20%

Carpeta Un conjunto de dos trabajos que asigna el profesor y realiza el alumno durante el curso. Los trabajos deben estar basados en distintas reas del programa de estudios y reflejar los dos tipos de tarea siguientes:

investigacin matemtica

utilizacin de modelos matemticos.

La carpeta la evala internamente el profesor y la modera externamente IBO. Los procedimientos se explican en el Vademcum.


DESCRIPCIN DETALLADA DE LA EVALUACIN

Descripcin detallada de la evaluacin externa 5 h 80% Generalidades

Prueba 1, prueba 2 y prueba 3 Estas pruebas las establece y evala IBO. En total, representan el 80% de la nota final del curso. Estn diseadas para que los alumnos puedan demostrar lo que saben y son capaces de hacer.

Calculadoras

Prueba 1 No se permite a los alumnos disponer de ninguna calculadora. En las preguntas se les pedir principalmente que adopten un enfoque analtico para llegar a las soluciones, en lugar de que usen calculadoras de pantalla grfica. La prueba no requerir clculos complicados que puedan llevar a cometer errores por descuido. No obstante, las preguntas implicarn realizar operaciones aritmticas cuando stas sean esenciales para su desarrollo.

Pruebas 2 y 3 Los alumnos deben disponer de una calculadora de pantalla grfica en todo momento. No obstante, no todas las preguntas requerirn necesariamente el uso de calculadoras de pantalla grfica. Cada ao se publica en el Vademcum informacin sobre las calculadoras de pantalla grfica permitidas.

Cuadernillo de informacin de Matemticas NS Todos los alumnos deben poder disponer de un ejemplar sin anotaciones del cuadernillo de informacin durante el examen.

Calificacin Se asignan puntos por mtodo, precisin, respuestas correctas y razonamiento, lo cual incluye interpretacin.

En las pruebas 1, 2 y 3, las respuestas correctas que no presentan por escrito el procedimiento realizado no siempre reciben la puntuacin mxima. Las respuestas se deben justificar mediante el procedimiento seguido o las explicaciones correspondientes (por ejemplo, en forma de diagramas, grficas o clculos). Aun cuando una respuesta sea incorrecta, se pueden otorgar algunos puntos siempre que aparezca el mtodo empleado y ste sea correcto. Por lo tanto, se debe recomendar a los alumnos que muestren todos los procedimientos utilizados.



Prueba 1 2 h 30% Esta prueba consta de una seccin A con preguntas de respuesta corta y una seccin B con preguntas de respuesta larga. Cada seccin representa un 15% de la nota total.

Parte del programa que cubre la prueba Para esta prueba se requiere el conocimiento de todas las unidades del tronco comn del

programa de estudios. Sin embargo, esto no significa que todos los temas se vayan a evaluar en cada convocatoria de examen.

Calificacin Esta prueba se califica con un mximo de 120 puntos y representa el 30% de la nota final.

Las preguntas de esta prueba pueden no ser equivalentes en cuanto a su extensin y nivel de dificultad. As pues, cada una de ellas no necesariamente se califica con el mismo nmero de puntos. La puntuacin mxima de cada pregunta se indica al principio de la misma.

Seccin A Esta seccin consta de preguntas obligatorias de respuesta corta en relacin con las unidades del tronco comn del programa de estudios. Se califica con un mximo de 60 puntos y representa el 15% de la nota final.

La finalidad de esta seccin es comprobar la amplitud de los conocimientos de los alumnos sobre las unidades del tronco comn. No obstante, no se debe suponer que se vaya a dar la misma importancia a todos los temas.

Tipo de preguntas Para resolver cada pregunta ser necesario un pequeo nmero de pasos.

Las preguntas pueden formularse mediante palabras, smbolos, tablas, diagramas o una combinacin de stos.

Seccin B Esta seccin consta de preguntas obligatorias de respuesta larga en relacin con las unidades del tronco comn del programa de estudios. Se califica con un mximo de 60 puntos y representa el 15% de la nota final.

Una misma pregunta puede implicar conocimientos de ms de un tema del tronco comn.

La finalidad de esta seccin es comprobar la amplitud los conocimientos de los alumnos sobre las unidades del tronco comn. Puede abarcar menos temas que la seccin A.

Para cubrir el temario de forma adecuada, algunas preguntas de esta prueba pueden incluir dos o ms apartados no relacionados entre s. Cuando esto ocurra, dichos apartados vendrn claramente rotulados en este sentido.

Tipo de preguntas Las preguntas requieren respuestas largas que implican razonamientos slidos.

Cada pregunta puede desarrollar una nica cuestin o estar dividida en apartados no relacionados entre s.




En general, cada pregunta presenta una escala de dificultad que va de cuestiones relativamente fciles al principio, a otras relativamente ms difciles al final. Se pone especial nfasis en la resolucin de problemas.

Prueba 2 2 h 30% Esta prueba consta de una seccin A con preguntas de respuesta corta y una seccin B con preguntas de respuesta larga. Cada seccin representa un 15% de la nota total.

Parte del programa que cubre la prueba Para esta prueba se requiere el conocimiento de todas las unidades del tronco comn del

programa de estudios. Sin embargo, esto no significa que todos los temas se vayan a evaluar en cada convocatoria de examen.

Calificacin Esta prueba se califica con un mximo de 120 puntos y representa el 30% de la nota final.

Las preguntas de esta prueba pueden variar en cuanto a su extensin y nivel de dificultad. As pues, cada una de ellas no necesariamente se califica con la misma puntuacin. La puntuacin mxima de cada pregunta se indica al principio de la misma.

Seccin A Esta seccin consta de preguntas obligatorias de respuesta corta en relacin con las unidades del tronco comn del programa de estudios. Se califica con un mximo de 60 puntos y representa el 15% de la nota final.

La finalidad de esta seccin es comprobar la amplitud de los conocimientos de los alumnos sobre las unidades del tronco comn. No obstante, no se debe suponer que se vaya a dar la misma importancia a todos los temas.

Tipo de preguntas Para resolver cada pregunta ser necesario un pequeo nmero de pasos.


Seccin B Esta seccin consta de preguntas obligatorias de respuesta larga en relacin con las unidades del tronco comn del programa de estudios. Se califica con un mximo de 60 puntos y representa el 15% de la nota final.

Una misma pregunta puede implicar conocimientos de ms de un tema del tronco comn.

La finalidad de esta seccin es comprobar la profundidad de los conocimientos de los alumnos sobre las unidades del tronco comn. Puede abarcar menos temas que la seccin A.

Para cubrir el temario de forma adecuada, algunas preguntas de esta prueba pueden incluir dos o ms apartados no relacionados entre s. Cuando esto ocurra, dichos apartados vendrn claramente rotulados en este sentido.


Cada pregunta puede desarrollar una nica cuestin o estar dividida en apartados no relacionados entre s.





Prueba 3 1 h 20% Esta prueba consta de cuatro secciones, una para cada unidad opcional del programa de estudios. Cada seccin se compone de un pequeo nmero de preguntas de respuesta larga relacionadas fundamentalmente con la unidad opcional correspondiente. Siempre que sea posible, el primer apartado de cada seccin se referir a los contenidos del tronco comn que se relacionan con la unidad opcional. Cuando no pueda ser as, como por ejemplo en el caso de la unidad opcional sobre matemtica discreta, el nivel de dificultad del primer apartado de la pregunta ser equivalente al de las preguntas del tronco comn.

Los alumnos deben responder solamente a las preguntas de una unidad opcional y han de responder a todas las preguntas de la seccin elegida.

Parte del programa que cubre la prueba Los alumnos deben responder a todas las preguntas relacionadas con la unidad opcional que han

estudiado.

Para esta prueba se requiere el conocimiento de todos los contenidos de la unidad opcional estudiada y tambin de los contenidos del tronco comn.


Cada pregunta puede desarrollar una nica cuestin o estar dividida en apartados no relacionados entre s. Cuando esto ocurra, dichos apartados vendrn claramente rotulados en este sentido.



Calificacin Esta prueba se califica con un mximo de 60 puntos y representa el 20% de la nota final. Se

asignan aproximadamente 15 puntos a los contenidos del tronco comn (o ejercicios de nivel equivalente).

Las preguntas de esta prueba pueden no ser equivalentes en cuanto a su extensin y nivel de dificultad. As pues, cada una de ellas no necesariamente se califica con el mismo nmero de puntos. La puntuacin mxima de cada pregunta se indica al principio de la misma. Todas las secciones se califican con un mximo de 60 puntos y el nivel de dificultad general ha de ser el mismo en cada una de ellas.



Pautas generales

Notacin Entre los diversos tipos de notacin usuales, IBO ha decidido adoptar un sistema que sigue las recomendaciones de la Organizacin Internacional de Normalizacin (ISO). Esta notacin se utiliza en las pruebas de exmenes de este curso sin explicaciones. Si en una prueba de examen determinada se utilizasen otras formas de notacin no contenidas en esta gua, stas vendran definidas dentro de la pregunta donde aparezcan.

Puesto qu

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