Instituto Politécnico Nacional Semestre 2015-II

Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Grupos 3AM1 / 3AV1

Campus Guanajuato Marzo 18

Tarea 6

Ecuaciones clásicas en otros sistemas coordenados / Transformada de Laplace

Matemáticas Superiores Rubén A. Águeda-Altúzar / Carlos Campos-Apanco

1. Dé un esbozo de la deducción de la ecuación deLaplace para la distribución de temperaturas u =u(r, θ) en forma polar

∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂θ2= 0,

a partir de su forma cartesiana

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

para u = u(x, y).

2. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, θ) enla placa cuya forma se indica en la siguiente �gura,sujeta a las condiciones que allí mismo se indican.

3. Considere ahora para este mismo anillo las condicio-nes de frntera

u(a, θ) = u0 y a(b, θ) = u1,

u0 y u1 constantes, demuestre que la temperatura deestado estable está dada por

u(r, θ) =1

ln (a/b)[u0 ln(r/b) − u1 ln(r/a)].

Sugerencia: Observe que la ecuación a resolver es no ho-mogénea.

4. Una placa circular está compuesta por dos mterialesdistintos en forma de círculos concéntricos, como semuestra en la �gura anterior. Determine la distribu-ción de temperaturas u(r, θ) en la placa se rige porla ecuación

∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r=∂u

∂t,

sujeto a las condiciones

u(2, t) = 100 y u(r, 0) =

{200, 0 < r < 1100, 1 < r < 2.

Sugerencia: proponga u(r, t) = v(r, t) + ψ(r).

5. Cuando hay transferencia de calor desde la super�cielateral de un cilindro circular de longitud in�nita yradio r = 1 (véase la imagen siguiente) hacia el me-dio circundante a temperatura cero, la temperaturadentro del cilindro se determina mediante la ecuación

k

(∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r

)=∂u

∂t,

sujeta a las condiciones

∂u

∂r

∣∣∣∣r=1

= −hu(1, t) y u(r, 0) = f(r),

donde h es una constante positiva. Determine u(r, t).

2 Matemáticas Superiores

6. El comportamiento de una membrana circular vibra-toria de radio c lo describe la siguiente ecuación,

a2(∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂θ2

)=∂2u

∂t2,

sujeta a las condiciones de frontera

u(c, θ, t) = 0 y∂u

∂t

∣∣∣∣t=0

= g(r, θ)

y a la condición inicial u(r, θ, 0) = f(r, θ).

(a) Suponga que u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t) y que lasconstantes de separación son −λ y −ν. Demues-tre que las ecuaciones dierenciales separadas son

T ′′ + a2λT = 0, Θ′′ + νΘ = 0

y r2R′′ + rR′ + (λr2 − ν)R = 0.

(b) Haciendo λ = α2 y ν = β2, resuelva las ecua-ciones separadas.

(c) Determine las ecuaciones características de ca-da ecuación separada y los valores correspon-dientes.

(d) Resuelva la ecuación parcial usando una solu-ción en series múltiples. No intente evaluar loscoe�cientes.

7. Determine la temperatura de estado estable u(r, θ)en el interior de una esfera hueca a < r < b, si susuper�cie interna r = a se conserva a la temperatu-ra f(θ) y su super�cie externa r = b se conserva atemperatura cero.

8. La temperatura de estado estable de un hemisferiode radio r = c se determina a partir de

∂2u

∂r2+

2

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂θ2+

ctg θ

r2∂u

∂θ= 0,

donde 0 < r < c y 0 < θ < π/2, sujeta a las condi-ciones u(r, π/2) = 0 y u(r, θ) = f(θ).

9. Resuelva el problema anterior, pero ahora conside-rando que la base del hemisferio está aislada:

∂u

∂θ

∣∣∣∣θ=π/2

,

para 0 < r < c, desde luego.

10. Transformada de Laplace. Una barra uniformeestá sujeta en x = 0 y está inicialmente en reposo.Si se aplica una fuerza constante F0 al extremo libreen x = L, el desplazamiento longitudinal u(x, t) deuna sección transversal de la barra se determina por

a2∂2u

∂x2=∂2u

∂t2

sujeta a las condiciones

u(x, 0) = u(0, t) =∂u

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0 y E∂u

∂x

∣∣∣∣x=L

= F0,

con E constante. Determine u(x, t).

Sugerencia: Desarrolle la expresión 1

1+e−2sL/a en una se-rie geométrica.

11. El desplazamiento de una cuerda elástica semiin�ni-ta se determina a partir de la ecuación

a2∂2u

∂x2=∂2u

∂t2,

sujeta a las condiciones u(0, t) = f(t), u(x, 0) = 0,

∂u

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0 y lımx→∞

.

(a) Determine u(x, t).

(b) Dibuje el desplazamiento u(x, t) > 1 después deresolver el problema anterior, considerando que

f(t) =

{sen (πt), 0 ≤ t ≤ 10, t > 1.