MATEMATICAS XIII.doc

MATEMÁTICAS GRADO SUPERIOR

S.E.PER. “LA FUENTE” Página 1


CONTENIDOS.-

UNIDAD 1. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.



TEMA 1.- Números reales. La recta real. Intervalos y distancias. Notación científica. Aproximación y error. Valor absoluto. Uso de la calculadora científica.TEMA 2.- Potencias. Notación científica.TEMA 3.- Ecuaciones de primer y segundo grado. Interpretación geométrica.TEMA 4.- Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución algebraica y gráfica.TEMA 5.- Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

UNIDAD 2. GEOMETRÍA.

TEMA 6.- Figuras planas y cuerpos elementales. Áreas y volúmenes. Escalas.TEMA 7.- Ángulos. Sistema sexagesimal de medidas de ángulos. El radián.TEMA 8.- Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Relaciones entre las razones trigonométricas.TEMA 9.- Triángulos rectángulos.

UNIDAD 3. FUNCIONES.

TEMA 10.- Concepto de función. Diferentes expresiones de una función. Dominio y recorrido. Gráfica.TEMA 11.- Representación gráfica de las funciones elementales: constantes, lineales, cuadráticas y proporcionalidad inversa.TEMA 12.- Estudio gráfico de funciones: monotonía, extremos, periodicidad, simetrías y continuidad.

UNIDAD 4. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD.

TEMA 13.- Idea intuitiva de probabilidad. Experimentos aleatorios. Regla de Laplace.TEMA 14.- Variables estadísticas discretas y continuas. Recuento y presentación de datos. Tablas de frecuencias, histogramas, polígono de frecuencias, gráficos de barras y sectores.TEMA 15.- Parámetros estadísticos: moda, media, mediana, recorrido, varianza y desviación típica.

UNIDAD 1. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.

TEMA 1.- Números reales.



1.1. Números reales. La recta real.

Los números se agrupan en conjuntos:A. Números naturales, N: comprende los números positivos (1, 2, 3, 4,…)B. Números enteros, Z: comprende los números negativos, el cero y los números positivos (…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…).C. Números racionales Q: comprende a los números enteros y los números decimales. Los números decimales que se pueden expresar en forma de fracción.D. Números irracionales, I: comprende los números decimales que no se pueden expresar en forma de fracción, como el número π, el número e,… E. Números reales, R: comprende los números racionales e irracionales.

Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional; por eso a la recta numérica la llamamos recta real.

La representación de un número real sobre la recta se hará de un modo u otro según el tipo de número que sea:

Entero o decimal exacto. Por ejemplo, 2’53.Se toman valores aproximados, el número 2’53 está comprendido entre el 2 y el 3. Posteriormente tomaremos valores entre 2’5 y 2’6 donde estará situado el 2’53.

Decimal periódico. Todo número periódico se puede expresar en forma de fracción, lo que facilita su representación es más fácil.

Radical cuadrático. Se representa construyendo triángulos rectángulos, tal que la suma de sus lados al cuadrado nos dé el valor del radicando.

Irracional. Viene expresado por decimales infinitos y lo representaremos por aproximación como los números enteros y decimales exactos. Hay números no racionales, es decir, que no se pueden expresar como cociente de dos números enteros, estos se llaman irracionales. Entre los que destacan radicales como √2; √5; √7, el número π, el número e,… Las expresiones decimales ilimitados no periódicos se llaman

números irracionales, en oposición a los números racionales, cuya



expresión decimal es periódica. Los números racionales e irracionales se llaman números reales, que se designa con la letra R.

1.2. Intervalos y distancias.

Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.Ejemplo de Intervalo: , donde a es el extremo inferior del in-tervalo y b es el extremo superior del mismo, además a < b ¿Cómo se leen los intervalos?

a < b se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta.

b< a se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.

Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b, a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números.

a ≤ b se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamosb, “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas. Como puedes obser-var, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números.

Clases de intervalos: Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del

mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos


http://www.google.es/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_-nSst8zPjzw/Sxj5-TaRb2I/AAAAAAAAABs/z5nfv79plYw/s320/n%C2%BA+naturales&imgrefurl=http://analistasenevolucion.blogspot.com/2009/11/unidad-n1-conjuntos-numericos-numeros.html&h=281&w=297&sz=15&tbnid=QEr2iFCJed2elM:&tbnh=87&tbnw=92&prev=/search?q=conjuntos+num%C3%A9ricos&tbm=isch&tbo=u&zoom=1&q=conjuntos+num%C3%A9ricos&usg=__xuBkha8sObBBq4yp9Sa-bXEsfJk=&hl=es&sa=X&ei=1VRhUNreGsWThgeA5YGAAQ&ved=0CCYQ9


entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos. En otras palabras , observa que se

trata de desigualdades estrictas. También se expresa en ocasiones como .

Gráficamente

Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo. En otras palabras , observa que

ahora no se trata de desigualdades estrictas.

Gráficamente:

Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo. Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la

izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras

, observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

También se expresa en ocasiones como . Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la

derecha, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras

, observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

También se expresa en ocasiones como . Gráficamente:


a b

a b


Semirrectas reales: Semirrecta de los números positivos (0, ), es decir,

desde cero hasta infinito. Semirrecta de los números negativos (-, 0), es decir,

desde el menos infinito, el infinito negativo, hasta cero.

Con lo que toda la recta de los números reales sería (-,).

Distancia entre dos puntos de la recta real:Se define la distancia entre dos puntos, A y B, de la recta real, y se denota por , como el valor absoluto de la diferencia entre los valores de los mismos, en otras palabras,

1.3. Notación científica. Aproximación y error. Valor absoluto. Uso de la calculadora científica.

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez.

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:


http://www.profesorenlinea.cl/matematica/PotenciasDe10.htm


732,5051 = 7,325051 • 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612 = −5,612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561

La coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 • 103

Operaciones con números en notación científica

Multiplicar

Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10.

Ejemplo:

(5,24 • 106) • (6,3 • 108) = 5,24 • 6,3 • 106 + 8 = 33,012 • 1014 = 3,301215

Dividir

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica.


http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm


Hagamos una división:

(5,24 • 107)(6,3 • 104)

=(5,24 ÷ 6,3) • 107−4 = 0,831746 • 103 = 8,31746 • 10−1 • 103 = 8,31746 • 102

Suma y resta

Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo:

5,83 • 109 − 7,5 • 1010 + 6,932 • 1012 =

lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 10 9 (la potencia más pequeña), y factorizamos:

109 (5,83 − 7,5 • 101 + 6,932 • 103) = 109 (5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 • 109

Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda:

6,86283 • 1012, si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este quedará 6,86 • 1012.

Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatamente menor que el dado.Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatamente mayor.Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:

a) por defecto es 1.34b) por exceso es 1.35

Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, que llamaremos error absoluto, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044


http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraFactorizacion.htm


Mientras que el error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. (0.0056 : 1.3456 = 4.16 . 10-3)

Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.

Valor absoluto de un número:Una definición poco acertada sería la de que es el número sin el

signo, pero si queremos ser precisos deberíamos decir que es el propio número, si éste es positivo, o el opuesto del número, si éste es negativo.

Así, tendríamos que: -7 = 7 +5 = 5

Actividades.-

1.- Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos:

a) -< x ≤ b) c) d) e)

f) g) h) i)

j) k) l)

m) n)

2.- Escribe la definición de los siguientes intervalos siguiendo el ejemplo: x ε R / 2 < x ≤ 4a) [-3, 5)b) [-3, )

3.- Escribe el intervalo definido y represéntalos en la recta real por:a) x ε R / -7≤x ≤ -4

b) x ε R / x ≤ -9

4.- Representa en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una recta distinta): (-4, 6] (-, 7) [2, ) [-3, 5]



5.- Expresa en lenguaje matemático los siguientes intervalos:a) (1, 2’5) b) [-3,) c) [-2 ,) d) (2, )

6.- Representa gráficamente y expresa simbólicamente las siguientes expresiones:a) x ε R / -6 ≤ x ≤ 3 b) x ε R / -4 < x ≤ 4

c) x ε R / 3 ≤ x d) x ε R / x > -2

7.- Expresa analíticamente o en intervalos según corresponda:

ANALÍTICAMENTE EN INTERVALOSx ε R / 5 ≤ x[-3,)

x ε R / -2 < x ≤ 3(-3, 7)

x ε R / x > 1(6, )

8.- Escribe en notación científica:a) 34780000000000000000 b) 345,6c) 0,0000000000000003478 d) 0,0002003e) 0,0000023450000000 f) 2456000000,987

9.-Escribe el número completo:a) 2,045·1012 b) 2,045·10-12 c) 2,045·100

10.- Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo obteniendo los siguientes resultados expresados en gramos:12.372 12.373 12.372 12.371 12.37012.374 12.372 12.372 12.371 12.373Exprese correctamente el resultado de la pesada y calcule, además, su error relativo.

11.- En la medida de una longitud hemos determinado los siguientes valores en cm.:1.32 1.3 1.32 1.33 1.32 1.31 1.32 1.31 1.31 1.31



Determine el error de la media aritmética y los errores relativos de las medidas del área de un cuadrado y el volumen de un cubo que tenga por arista tal longitud.

12.- Clasifica los siguientes números como 4; 10; 2,333...; 7; 36; π/2; 5; 7,4

13.- Aproxima hasta las décimas cada uno de los siguientes números:a) 1,84 b) 39,174

Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al tomar esas aproximaciones.

14.-La velocidad de la luz, en el vacío, es 300.000 km/s. ¿Cuántos metros recorre la luz en un día? Expresa el resultado en notación científica.

15.- Una determinada bacteria mide 2.10-6 m. ¿Cuántas bacterias colocadas en línea recta serían necesarias para cubrir 1 metro de longitud?

16.- Clasifica los siguientes números en diagrama:

a) -2, 1’7, √3, 4’22222…, -3’7555555…, 3п, -2 √5.

b) √3/2, 0’87777…, -√4, -7/3, 8/4, 1/√2, 2п, -4’56

17.- Expresar en forma de intervalos las siguientes expresiones matemáticas:

a) Números reales mayores que 5.b) x≤ 7c) Números reales positivos y menores que 10.d) Números reales cuya mitad es menor que 5 y mayor que 2.e) - ∞ < x ≤ 4




a) Números reales menores o iguales que 18.b) x≤ 8c) Números reales negativos y mayores que - 5.d) Números reales tales que su doble sea menor que 8 y mayor que

6.e) - 3 < x ≤ 7f) x≥ 18


a) Números reales comprendidos entre -2 y 34.b) Números reales positivos y menores o iguales que 15.c) Números reales que cumplan la siguiente condición: 2<x<12d) x≤ 12e) x≥ 1f) Números reales tales que su tercera parte sea menor que 12 y

mayor que -5.

20.- Indica cómo se leerían los siguientes intervalos. Exprésalos en forma algebraica y represéntalos gráficamente.

a) (-2, 8] b) [5, ∞) c)(-∞, ∞)d) (-∞, -3] e) (-12, 15) f) [-4, 19]

21.- Expresa en intervalos y en forma algebraica las siguientes magnitudes matemáticas:

a) (-1, 6] U [2, 8) (-3, 5) ∩ [4, 7)

22.- Redondear a dos cifras significativas:a) 0,09468 b) 0.1870 c) 5,364 c) 19,978 d) 9,09. 10-5



TEMA 2.-POTENCIAS.Potencias.

Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.

Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 = 64

Casos particulares de potencias:Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 21= 2.Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1.Potencias de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente.

Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100103 = 10 x 10 x 10 = 1.000

• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10.Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107

200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108

Producto de potencias de igual baseEl producto de dos o más potencias de igual base es otra

potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.Ejemplos: 23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29 43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411

Cociente de potencias de igual baseEl cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la

misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes.Ejemplos: 26 : 23 = 26-3 = 23 48 : 42 = 48-2 = 46

Potencia de una potenciaLa potencia de una potencia es otra potencia de igual base y

cuyo exponente es el producto de los exponentes.Ejemplos: (23)2 = 23 x 2 = 26 (44)3 = 44 x 3 = 412

Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual al producto de cada uno de

los factores elevado a dicha potencia.



Ejemplos: (5 x 3)2 = 52 x 32 (4 x 2 x 5)3 = 43 x 23 x 53

Ejercicios.-

1.-Halla el valor de las siguientes potencias.71 = 80 = 92 =83 = 110 = 251 =

2.-Escribe en forma de potencia los siguientes productos.8 x 8 x 8 = 7 x 7 x 7 x 7 =9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 15 x 15 x 15 x 15 x 15 =8 x 8 x 7 x 7 x 7 = 5 x 5 x 5 x 6 x 6 =7 x 7 x 9 x 9 x 9 = 10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =

3.- Calcula.104 = 106 = 107 = 108 =

4.-En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.

Tierra Urano Neptuno PlutónDistancia mediaal Sol (km)

149.500.000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000

Potencias debase 10

5.- Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.3.000 = 40.000 = 600.000 = 7.000.000 =80.000.000 = 130.000.000 = 200.000.000 = 32.000.000 =6.-Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos.Después, calcula su valor. Ejemplo: 22 x 22 = 24 = 1622 x 2 x 23 = 22 x 23 = 23 x 2 =3 x 32 x 3 = 24 x 2 = 42 x 42 x 4 =5 x 5 x 52 = 32 x 32 = 62 x 62 x 6 =33 x 3 = 72 x 7 x 7 = 32 x 33 =82 x 8 x 83 = 92 x 92 x 9 = 34 x 3=



9 x 92 x 90 = 10 x 100 x 102 = 43 x 40 =7.- Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes.Después, calcula su valor. Ejemplo: 38 : 35 = 33 = 27205 : 202 = 54 : 53 = 306 : 303 =69 : 67 = 407 : 404 = 710 : 78 =503 : 502 = 812 : 810 = 603 : 600 =913 : 911 = 704 : 700 = 103 : 10 =805 : 80 = 112 : 112 = 112 : 112 =906 : 902 = 123 : 12 = 1007 : 100 =

8.- Escribe en forma de una sola potencia.(32 )3 = (43 )2 = (52 )2 =(64 )3= (75 )2 = (84 )5 =(97 )3 = (104 )2 = (115 )6 =

9.- Escribe el resultado como producto de potencias.(2 x 3)3 = (4 x 2)2 =(3 x 5)4 = (5 x 7)3 =(8 x 9)5 = (7 x 10)2 =

10.- Escribe en forma de una sola potencia:a) 3 3 · 3 4 · 3 b) 5 7 : 5 3 c) (5 3)4

d) (5 · 2 · 3) 4 e) (3 4)4 f) [(5 3)4 ]2

g) (8 2)3 h) (9 3)2 i) 2 5 · 2 4 · 2j) 2 7 : 2 6 k) (2 2)4 l) (4 · 2 · 3) 4

l l) (2 5)4 m) [(2 3 )4]0 n) (27 2)5

11.- Realizar las siguientes operaciones con potencias:a) (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 b) (−2) 2 · (−2) 0 (−2)c) (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2) 4 d) 2− 2 · 2− 3 · 2 4

e) 2 2 : 2 3 f) 2− 2 : 2 3 g) 2 2 : 2− 3

h) [(−2) − 2 ] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 i ) [ (−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2) − 4

12.- Realiza las siguientes operaciones con potencias:

a) b)

c) d)



e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) 13.- Simplifica. Utilizando las propiedades de las potencias.

a) b)

c) d) 14.- Calcula utilizando las potencias de base 2, 3 y 5.

a) b)

c) d)

15.- Calcula.a) (-6)3 . (-6)7 : (-6)7; b)83 . 810 : 89

c) (-4)3 . (-4)7 : (-4)5 . (-4)2 d)

e) f)

16.- Simplifica:



a) b) TEMA 3.-ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO.

Ecuaciones de primer. Interpretación geométrica.

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la incógnita x está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador

(calculando el m.c.m.) y suprimimos los denominadores. 2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.3. Al final tendremos a ambos lados del igual, sólo sumas y restas,

unos términos llevaran x y otros no. 4. Transposición de términos: Pasamos todos los términos con x a

un lado de la ecuación, los números al otro lado. 5. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x

obteniendo la solución.6. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida

en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 1: Supongamos que queremos resolver la ecuación:

3(x-1) = 4 - 2(x+1).

Primero quitaremos los paréntesis, efectuando las multiplicaciones y teniendo en cuenta los signos

3x - 3 = 4 - 2x - 2

En segundo lugar, pasaremos todos los términos con x a la izquierda y los que no tengan x a la derecha. Simplificaremos y calcularemos el valor de x:

3x + 2x =3 + 4 - 2 ; 5x = 5; x = 5/5 ; x = 1



Ejemplo 2: Sea la ecuación:

y suprimiendo los denominadores ya estamos como en el caso anterior:

2(x - 2) - 3(x + 3) = 5(1 - 2x)

Seguimos los pasos del ejemplo anterior:2x – 4 – 3x – 9 = 5 – 10x2x – 3x + 10x = 5 + 4 +9

9x = 18 x = 18/9 x = 2

Soluciones de una ecuación de primer grado

Un número real: Es cuando normalmente decimos que nos da solución. x + 3 = 5 x + 11 ; x - 5 x = 11 - 3 ; - 4 x = 8 ; x = 8 / - 4 ; x = - 2 Todo número real: No importa el valor de x, nos da 0 x = 0 13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x ; - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 ; 0 = 0 Incompatible: Se anulan las x y nos da 0 x = número. No tiene solución. 6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x ; 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 ; 0 x = - 10

Interpretación geométrica.

En una ecuación de primer grado, si pasamos todos los términos al primer miembro, como por ejemplo:

2x + 3 = x +5 → 2x – x + 3 – 5 = 0 → x – 2 = 0Obtenemos una función lineal, llamando a este miembro y, es decir, y = x – 2Cuya representación gráfica es una línea recta.



Ecuaciones de segundo grado. Interpretación geométrica.


http://www.google.es/imgres?imgurl=http://www.analyzemath.com/Graphing/graph_abs1.gif&imgrefurl=http://www.analyzemath.com/spanish/Graphing/Graph_Abs_Val_Func.html&h=310&w=440&sz=3&tbnid=hek9FOQ_BoZbRM:&tbnh=82&tbnw=116&prev=/search?q=y+=+x+%E2%80%93+2&tbm=isch&tbo=u&zoom=1&q=y+=+x+%E2%80%93+2&usg=__m2yNfAyByx5SVzJd7fjKooFvE8s=&hl=es&sa=X&ei=_aZiULSnHOHM0QWj2IDQBg&ved=0CDUQ9


Interpretación geométrica.Toda ecuación de segundo grado tiene como representación gráfica una parábola.

Ejemplo: y = x2

Expresiones algebraicas.-

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Expresiones algebraicas comunes: El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3,...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

Dos números consecutivos: x y x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3. Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.



La suma de dos números es 24: x y 24 − x. La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x. El producto de dos números es 24: x y 24/x. El cociente de dos números es 24; x y 24 · x. Ejercicios.-

1. Resolver las ecuaciones.

a) 3x-2 = 4x-7 g) x-7 = 2(x-3)

b) 6x-3 = 2x+1 h) 12-(x-3) = 6

c) 10+2x = 7x-15 i) 2x-7 = 3x-8

d) –3x+2 = x+10 j) 2x+2 = x+2

e) 3(6+x) = 2(x-5) k) 2x+2 = x+5

f) 9(x-1) = 6(x+3) l) 8(x-2) = 12(x-3)

2. Resolver.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

ll)

3. Resolver.

a) b)

c) d)



e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

4. Resolver.

a)

b)

c)

d)

e)

6.- Resolver las siguientes ecuaciones de 2º grado:

a) x 2-25 = 0 b) x 2+ 11 = 0

c) 2x 2 -6= 0 d) x 2-5x+6= 0

e) 2x 2-7x+3= 0 f) -x 2+7x-10= 0

g) x2-4x+4= 0 h) x 2-2x+1= 0

i) x2+x+1= 0 j) 2x-3=1-2x+x 2

k) x 2+ (7-x) 2=25 l) 7x+21x-28= 0

ll) –x 2+4x-7= 0 m) 18 = 6x+x(x-13)

n) 6x 2-5x+1= 0 ñ) x 2 +(x+2) 2 =580

o) x2-5x-84= 0 p) 4x 2-6x+2= 0



TEMA 4.-Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución algebraica y gráfica.

Resolución algebraica.-

Podemos resolver algebraicamente los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas por tres métodos distintos: sustitución, igualación y reducción.Ejemplo:

x+5y = 84x-2y=10

Método de sustitución:

1º Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones:

x+5y = 8 x=8-5y

2º Se sustituye el valor obtenido en la otra ecuación por dicha incógnita.

4x-2y=10 Sustituimos la x por 8-5y y tendremos 4(8-5y)-2y=10.

3º. Resolvemos 32-20y-2y=10

4º. Despejamos la y:

-22y=10-32 -22y=-22 y=-22/-22 y=1.

5º. Sustituimos el valor de y en x=8-5y y obtenemos el valor de xx=8-5y = 8-5(1) = 8-5=3 x=3

Método de igualación:

1º. Se despeja la misma incógnita de cada ecuación:

x+5y = 8 x=8-5y

4x-2y=10 x=



2º. Se igualan las expresiones obtenidas para la incógnita despejada.

8-5y =

3º. Se resuelve:

32-20y-2y=10

4º. Despejamos la y:

-22y=10-32 -22y=-22 y=-22/-22 y=1.5º. Sustituimos el valor de y en x=8-5y y obtenemos el valor de x

x=8-5y = 8-5(1) = 8-5=3 x=3

Método de reducción se multiplica cada ecuación por el número adecuado para que los coeficientes de una de las incógnitas resulten de igual valor absoluto pero distinto signo; se suman miembro a miembro y con ello desaparece una de las incógnitas. Ejemplo

.x+5y = 8 Multiplico por 4 4x+20y = 324x-2y=10 Multiplico por –1 -4x+y =-10

22y = 22de donde y=1.

Sustituimos el valor de y en x+5y=8 y obtenemos el valor de x

x+5y=8 x+5(1) = 8 x=3

Resolución gráfica.-

La resolución gráfica consiste en despejar de cada ecuación la incógnita y, dándole valores a la variable x obtenemos los valores de la y.

Ejemplo:



3x – 4 y = -6 2x + 4y = 16

y = y =

x y x y-6 -3 -2 5-2 0 0 42 3 2 36 6 4 2

10 9 6 1

Gráficamente la solución es el punto de corte de

las dos rectas.

Pueden ocurrir otros dos casos:1º. Cuando todos los coeficientes de las dos ecuaciones son

proporcionales. Ejemplo:



Se trata de un sistema que tiene infinitas soluciones. Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es la solución.

2º. Cuando los coeficientes de las incógnitas de las dos ecuaciones son proporcionales, pero no con los coeficientes independientes. Ejemplo:

El sistema no tiene solución. Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.



Ejercicios.-

1.- Resolver.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

Problemas.-

1.- Si al doble de un número le añadimos 8 unidades será el triple de dicho número. ¿De qué número estamos hablando? Sol.: 8

2.- El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la edad que tendré dentro de 6. ¿Qué edad tengo ahora? Sol.: 18

3.- En un corral hay 40 animales entre gallinas y conejos. Si suman en total 106 patas, ¿cuántos conejos y gallinas hay? Sol.: 27 gallinas

4.- De un depósito lleno de agua se extrae la mitad del contenido; después, la tercera parte del resto y quedan todavía 240 litros. Determina la capacidad del depósito. Sol.: 720



5.- Halla un número sabiendo que 11 veces dicho número más 10 unidades es igual a 14 veces dicho número menos cinco unidades.Sol.: 56.- Calcula un número cuya tercera parte sumada con el triple del mismo número dé 40.Sol.: 12

7.- Busca un número tal que la diferencia entre su cuádruplo y la tercera parte del número dado menos 4 es triple de la suma de 12la mitad del número dado más 10.Sol.: 12

8.- Descompón el número 133 en dos partes tales que, al dividir la parte mayor por la menor, dé 4 de cociente y 8 de resto. Sol.: 25

9.- Halla dos números consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte del menor sea igual a la quinta parte del menor. Sol.: 35

10.- Busca dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 unidades a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor. Sol.: 10

11.- La razón de dos números consecutivos es ¾. ¿Cuáles son esos números? Sol.: 3 y 4

12.- Un niño tiene 30 años menos que su madre y ésta tiene cuatro veces la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? Sol.: 40 y 10

13.- Un padre tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la del hijo? Sol.: Hace 6 años

14.- Tres socios se reparten 1.500.000 euros. Calcula lo que le corresponde a cada uno, si el primero ha de tener dos veces más que el segundo y éste tres veces más que el tercero. Sol.: 600000, 300000 y 100000

15.- Un señor distribuye su capital de la siguiente manera: 1/3 para sus herederos; los 3/5 para un hospital y ½ del resto para los pobres, quedándole todavía 200.000 euros. ¿Cuál era su capital? Sol.: 6000000



16.- Un comerciante paga una deuda de 350 Є con billetes de 50 Є y 100 Є. En total, entrega 5 billetes. ¿Cuántos billetes de cada clase ha entregado? Sol.: 3 de 50 y 2 de 100

17.- Halla los tres lados de un triángulo rectángulo si el lado menor mide 4cm menos que le mediano y éste 4 cm menos que el mayor.Sol.: 20, 16 y 12

18.- Hemos comprado un terreno rectangular que mide el doble de largo que de ancho. Si nos dicen que su perímetro es de 84m, ¿qué longitud tienen sus lados? Sol.: 14 y 28

19.- Halla dos números si su suma es 33 y su diferencia, 15.Sol.: 9 y 24

20.- Calcula dos números tales que su suma es 17 y la suma del doble de uno más el otro es 24.Sol.: 7 y 10

21.- La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su padre y hace seis años era siete veces menor. ¿Cuáles son las edades del hijo y del padre? Sol.: 12 y 48

22.- Vamos al banco a sacar 260 Є y los pedimos en 10 billetes que pueden ser de 20 Є o de 50 Є. ¿Cuántos billetes tienen que darnos de cada tipo? Sol.: 2 de 50 y 3 de 20

23.- Un comerciante compra dos productos por 350 Є y los vende por 325 Є. ¿cuánto costó cada producto si en la venta de uno pierde el 10% y en la del otro, el 5%? Sol.: 200 y 150

24.- La edad de un padre de familia es triple que la de su hijo. Dentro de 16 años será solamente el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? Sol.: 16 y 4825.- El cociente de una división es 3 y el resto es 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades, el cociente aumenta en 1 y el resto nuevo es 1. Hallar el dividendo y el divisor. Sol.: 41 y 12

26.- Un oficinista compra 30 objetos entre lápices y bolígrafos con un coste de 290 Є. Si los lápices cuestan 5Є. y los bolígrafos 12Є. ¿Cuántos bolígrafos y lápices compró? Sol.: 10 y 20



27.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?Sol.: 37 dobles y 13 sencillas28.- Con dos clases de café de 15 Є /kg. y 20 Є /kg. se quiere obtener una mezcla de 18Є /kg. Halla la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg. de mezcla. Sol.: 12 y 18

29.- ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo si uno mide 50o y la

30.- Encuentra dos números sabiendo que la mitad de su suma es 218 y el doble de su diferencia es 116.Sol.: 334 y 102

31.- El triple de un número más el cuádruplo de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 9. ¿Cuáles son estos números? Sol.:2 y 1

32.- ¿Qué fracción es igual a cuando se suma 1 al numerador y es

igual a cuando se suma 1 al denominador? Sol.:

33.- Halla dos números cuya suma es 1 y su diferencia es 7.Sol.:4 y 3

34.- Una persona compra un traje y un abrigo, y de 100 € le sobran

19 €. Sabiendo que del coste del traje son 10 € más que del coste

del abrigo, ¿cuánto pago por cada prenda? Sol.: 18 y 63

35.- He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas. Sol.: 0,8 y 0,5

36.- En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y de gallinas. Sol.: 37 y 24

37.- Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 50 céntimos. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor de 130 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase? Sol.: 6 y 2



38.- Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado tendría el mismo número de hombres que de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres habría en el jurado? Sol.: 6 H y 8 M

39.- La edad de una persona es el doble de la de la otra. Hace 7 años la suma de las edades era igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas. Sol.: 14 y 28

40.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide

80 m. y la altura es de la base. Sol.: 30 y 20

41.- Se desea mezclar vino de 5,50 €/l. con otro de 4 €/l. de modo que la mezcla resulte a 4,50 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla? Sol.: 100 y 200

42.- Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg. de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas y oro de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase? Sol.: 0,25 y 0,75

43.- La diagonal de un rectángulo mide 26 cm, y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. Sol.: 24 y 10

44.- Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el doble. Halla las edades de cada una de las personas. Sol.: 15 y 35

45.- Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4,50 €, y otros, a 3,60 €, obteniendo de la venta 310,50 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? Sol.: 9 y 75

46.- El dividendo de una división es 1081, el cociente y el resto son iguales y el divisor es el doble del cociente. Halla el divisor. Sol.: 23

47.- En una fiesta juvenil hay chicas y chicos. Quince chicas abandonan la fiesta, quedando dos chicos por cada chica. Entonces 45 chicos se van y quedan 5 chicas por cada chico. ¿Cuántas chicas había inicialmente en el grupo? Sol.: 40 chicas y 50 chicos



48.- Hace 1 año la edad del padre era 3 veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13 años no tendrá más que el doble . Halla las edades del padre y del hijo. Sol.: 15 y 43

49.- Para pagar un artículo que costaba 3 €, he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado? Sol.: 5 y 4

50.- Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas? Sol.: 1.2 y 1.8

51.- Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,3 € por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2 100 bombillas, obteniendo unos beneficios de 484,4 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día? Sol.: 1892 y 208

52.- Una empresa aceitera ha envasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Sol.: 1000 y 200

53.- En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 € y bocadillos de tortilla a 2 €. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 €. ¿Cuántos se vendieron de cada clase? Sol.: 30 y 12

54.- En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5, ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido? Sol.: 18 y 12

55.- Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modelo B, 2 kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar? Sol.: 20 y 30

56.- La base mayor de un trapecio es 2 cm más larga que la menor; la altura del trapecio es 8 cm y su área 48 cm2. ¿Cuánto miden las bases?Sol: 5 y 7.



57.- María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Marta ha comprado otro abrigo 25 € más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%, con lo que solo ha pagado 8 € más que María. ¿Cuál era el precio de cada abrigo? Sol.: 240 y 265

58.- Por un pantalón y unos zapatos he pagado 126 €. Si el precio del pantalón aumentara en un 14%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos. ¿Cuánto pagué por cada uno? Sol.: 50 y 76

59.- He pagado 90,50 € por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 110 €. En la camisa me han rebajado un 20% y en el jersey, un 15%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo? Sol.: 50 y 60

60.- En un centro escolar hay matriculados 795 estudiantes entre los dos cursos de Bachillerato. El 45% de primero y el 52% de segundo son mujeres, lo que supone un total de 384 alumnas entre los dos cursos. ¿Cuántos estudiantes hay en cada curso? Sol.: 420 y 375

61.- Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 60 cm y que la base es el doble de la altura. Sol.: 10 y 20

62.- Para pagar un artículo que costaba 3 €, he utilizado 9 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado? Sol.: 5 y 4

63.- Sobre una mesa hay latas de tónica y cola, en número total de 10. Si se duplica el número de latas de cola existentes hay 14 latas en total. Averigua el número de latas de cada clase. Sol.: 6 y 4

64.- Al comenzar los estudios de Secundaria se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente? Sol.:22y8

65.- En una fábrica de zumos se mezclan dos tipos de calidades, una de 50 céntimos el litro y otra de 80 céntimos el litro. ¿Cuántos litros de zumo han de mezclarse de cada tipo para obtener 120 litros con un coste total de 85,50 €? Sol.: 35 y 85



66.- En un taller hay 50 vehículos entre motos y coches. Si el número total de ruedas es 140, ¿cuántos vehículos hay de cada tipo? Sol.: 30 y 20

67.- Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano? Sol.: 35 y 15

68.- El precio de entrada a un espectáculo es de 5 euros para un adulto y 3 euros para un niño. Ayer asistieron 60 personas, y la recaudación total fue de 264 euros. ¿Cuántos niños había entre las 60 personas? Sol.: 42 y 18

69.- Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial. Sol.: 3 y 7

70.- La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es de 24 cm2. Calcula la longitud de sus dos bases. Sol.: 3 y 9

71.-La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada una de ellas? Sol.: 30 y 45

72.-Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero sería igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números. Sol.: 16 y 28

73.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo? Sol.: 8, 8 y 3

74.-El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo. Sol.: 3 y 8



75.-Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de 0,86 €/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase? Sol.: 15 y 25

76.- El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el quíntuplo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos números. Sol.: 3 y 2

77.- Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%? Sol.: 800 y 1200

78.- ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura? Sol.: 12 cm2.

79.- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? Sol.: 26 y 32

80.- En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?Sol.: 25 y 35

82.- Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo? Sol.: 2500 y 1000

83.- Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.Sol.: 18

84.- Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.Sol.: 30 y 25



TEMA 5.-Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita.-

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas:

ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Ejemplos:9 > 5 -2 > -69 + 2 > 5 + 2 -2 -3 > -6 -311 > 7 -5 > -9

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Ejemplos:12 > 7 15 > -2512 x 3 > 7 x 3 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 536 > 21 3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.



Ejemplos:3 > -15 64 < 803(-4) < (-15)(-4) 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)-12 < 60 -16 > -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x7x - 130 > -9 + 5x

Al igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos inecuaciones con paréntesis y denominadores. Para resolverlas obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión cada vez más sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas.

Ejemplo:

Resolvamos la inecuación:

El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones:

1º.- Quitar paréntesis.

2º.- Quitar denominadores.

3º.- Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una de las formas básicas).



4º.- Resolver la inecuación.

Ejercicios.-

1.- Resuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anterior para ver las gráficas de las funciones correspondientes en cada caso:

a) 2x + 6 < 0 b) 3x – 2 ≥ 0 c) 5x + 8 ≤ 0 d) 7x < 0e) –x + 4 < 0 f) –2x – 5 ≥ 0 g) –4x ≥ 0 h) 15x – 25 ≤ 0

2.- Resolver las inecuaciones de primer grado.

a) 2(x+1)-3(x-2) < x+6 b)

c)

d)

3.- Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones de primer grado, con una incógnita:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)



i)

j) -3x +6 > 0

k) 3(x+5) – 4(x-3) < 0

l)

4.- Un vinatero dispone en su almacén de dos tipos de vino: uno a 4€ el litro y otro a 7€ el litro. Quiere mezclarlos para llenar un tonel de 500 litros de capacidad y quiere que la mezcla no cueste más de 6€ ni menos de 5€ el litro. Averigua entre que valores debe estar la cantidad de litros del primer tipo de vino para que el precio final este en el intervalo deseado.Sol.: 167 < x < 333

5.- Dentro de cinco años, Pepa tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente Pepa? Sol.: x > 13

6.- Tres hermanos recibieron el mismo número de naranjas. El hermano mayor se comió la tercera parte de las naranjas que recibió. El mediano cuarta parte de las que recibió más la cuarta parte de una naranja. El pequeño se comió la octava parte de las que recibió más los 7/8 de una naranja. Se sabe que el mayor comió más naranjas que el mediano y éste menos que el pequeño. ¿Cuántas naranjas recibieron? Sol.: 3 < x < 5, es decir, x =4

7.- Un ciclista marcha por una carretera llana a 30 km/h y recorre un número entero de kilómetros. Después de recorrer la mitad de los kilómetros de dicha carretera le quedan más de 4 horas y 11 minutos por pedalear. Cuando le faltan 90 kilómetros para llegar a su destino le quedan menos de 5 horas y 19 minutos. ¿Cuál es la longitud de la carretera? Sol.: x > 251

8.- Traduce a lenguaje algebraico:a) La mitad de un número menos 10 unidades es menor que 7.b) Si a los tres cuartos de un número le resto 2, obtengo más que si a su mitad le sumo 5.c) El perímetro de un rectángulo cuya base mide 3 cm más que la altura es menor que 50 m.



9.- En un examen de 40 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas hay que contestar bien para obtener como mínimo 40 puntos, si es obligatorio responder a todas? Sol.: x > 24

10.- ¿Cuántos kilos de pintura de 3,5 €/kg debemos mezclar con 6 kg de otra de 5 €/kg para que el precio de la mezcla sea inferior a 4 €/kg?Sol.: x>12

11.- Las edades de dos hermanos difieren en 7 años. ¿Cuáles pueden

ser si su suma es menor que 20? Sol.: x<

12.- En una caja hay 200 tornillos unos defectuosos y otros no defectuosos. Si el doble de defectuosos es menor que el de no

defectuosos. ¿Cuántos tornillos defectuosos hay? Sol.: x<

13.- En una clase hay 40 alumnos. En un examen de matemáticas resulta que le triple de aprobados es mayor que el doble de suspensos. ¿Cuál es el menor número de aprobados posible? Sol.: x>16

14.- ¿Cuáles son los posibles valores del precio de un litro de vino, si el triple de su precio más 14 es menor que 200? Sol.: x< 62



UNIDAD 2. GEOMETRÍA.

TEMA 6.- Figuras planas y cuerpos elementales. Áreas y volúmenes. Escalas.

Figuras planas: Perímetro y área.- EL TRIÁNGULO es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de sus tres ángulos siempre es 180 grados. El perímetro es la suma de sus ángulos. Para calcular el área se emplea la siguiente formula, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos):

Los triángulos se clasifican según sus lados en equiláteros (los que tienen los tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) y escalenos (los tres lados son desiguales).Los triángulos se clasifican según sus ángulos en acutángulo (sus ángulos son agudos), rectángulos (un ángulo recto) y obtusángulos (un ángulo obtuso).

EL CUADRADO es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. Los cuatro ángulos son rectos. El perímetro es la suma de sus lados. La suma de los cuatro ángulos es 360 grados. Para hallar el área se utiliza la siguiente formula:

A = l ·l

(Es decir, el área es igual al valor de un lado (l) multiplicado por sí mismo).

EL RECTÁNGULO es un polígono de 4 lados, que son iguales dos a dos. Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos. Suman en total 360 grados.


A = (b · h) / 2

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.html


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/base.html




Para hallar el área de un rectángulo se utiliza la siguiente formula:

A = a · b

(Es decir, el área es igual a multiplicar el valor de la base(a) por el valor de la altura (b).)

EL ROMBO es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos son iguales dos a dos. (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos). Para hallar el área se utiliza la formula siguiente:

A = (D · d) / 2

(Es decir, el área es igual al producto de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d) y el resultado se divide entre dos).

EL TRAPECIO es un polígono que tiene 4 lados, de ellos, dos son paralelos. Los cuatro ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es 360 grados. El área se halla con la siguiente formula:

A = (B + b) · h / 2

(Es decir, el área es igual a la suma de las dos bases (B y b), multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos).

EL PARALELOGRAMO es un polígono que tiene 4 lados, que son iguales y paralelos, de dos en dos. Los ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es de 360 grados.



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/altura1.html



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/diagonal.html





El área se halla con la formula siguiente:

A = b · h

(Es decir, el área es igual al producto de la base (b) por la altura(h))

LOS POLÍGONOS REGULARES que tienen más de 4 lados iguales. Los ángulos también son iguales. El de 5 lados se llama pentágono. El de 6 lados hexágono, etc. Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente formula:

A = (P · a) / 2

(Es decir, el área es igual al perímetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido entre dos.)

Apotema: es la distancia del centro de un polígono regular a la mitad de un lado.

EL CÍRCULO es la región delimitada por una circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico de los

puntos que equidistan del centro, su perímetro es 2. ·r .Para hallar el área del círculo se utiliza la siguiente formula:

A = · r 2

(Es decir, se multiplica 3,14) por el radio (r) elevado al cuadrado)Elementos de la circunferencia: Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos A y B de la circunferencia.Cuerda: es el segmento que une dos puntos A y B.Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro.Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la circunferencia.Cuerpos elementales.-

PRISMA El prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por 2 polígonos regulares, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/cuer_geom.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/radio.html


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/circunfe.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/apotema.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/perimetro.html



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/altura1.html



la base. Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Prisma pentagonal). Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL

AL = P · h

(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma)

ÁREA TOTAL

AT = AL + 2 · Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de las2 bases)

VOLUMEN

V = Ab · h

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma)

PIRÁMIDE REGULAR

La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base. Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).ÁREA LATERAL

AL = P · a / 2

(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura de una cara lateral (a) de la pirámide y dividido entre 2)


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/perimet.html



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/perimet.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/volumen.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/a_total.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/a_lateral.html


ÁREA TOTAL

AT = AL + Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de la base)

VOLUMEN

V = Ab · h / 3

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) de la pirámide y dividido entre 3)

EL CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. ÁREA LATERAL

AL = 2 · · r · g

(Es decir, es área lateral es igual a 2 multiplicado por π ( pi), el resultado multiplicado por el radio de la base (B) y multiplicado por la generatriz (g) del cilindro)

ÁREA TOTAL

AT = AL + 2 · Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral más las áreas de los dos círculos de las bases)

VOLUMEN

V = Ab · h

(Es decir, el volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del cilindro)

CONO

El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. ÁREA LATERAL



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/a_circul.html



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/pi.html



AL = π· r · g

(Es decir, es área lateral es igual a π (pi) multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado por la generatriz (g) del cono)

ÁREA TOTAL

AT = AL + Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área del círculo de la base)

VOLUMEN

V = Ab · h/ 3

(Es decir, el volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del cono y dividido entre 3)

ESFERALa esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro. ÁREA

A = 4 · π · r2

(Es decir, es área es igual a 4 multiplicado por π (pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado del radio de la esfera)

VOLUMENV = 4/3 · π · r3

(Es decir, el volumen es igual a 4 multiplicado por π (pi), el resultado se multiplica por el cubo del radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3)La escala.-

Es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las dimensiones representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado escala de ampliación. La escala a utilizar se determina entonces en función de las medidas del objeto y las medidas del papel en el cual será representado. El dibujo hecho a escala mantendrá de esta forma todas las proporciones del objeto


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/cub.html


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/cuad.html






representado, y mostrará una imagen de la apariencia real del mismo. Finalmente, deben indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.

Las escalas se escriben en forma de fracción donde el numerador indica el valor del plano (el valor dibujado) y el denominador el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que 1 cm del plano equivale a 500 cm en la realidad.

Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1

Si lo que se desea medir del dibujo es una superficie, habrá que tener en cuenta la relación de áreas de figuras semejantes.

Escala gráfica.

Basado en el Teorema de Tales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una escala.

Teorema de Tales.-

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.


http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(cartograf%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetro

http://es.wikipedia.org/wiki/Denominador

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerador

http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n


El teorema de Tales en un triánguloDado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC

Aplicaciones del teorema de Tales

El teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.



TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES

cuadrado

A = a2

triángulo

A = B · h / 2

rectángulo

A = B · h

romboide

A = B · h

rombo

A = D · d / 2

trapecio

A = (B + b) · h / 2

polígono regular

A = P · a / 2 (1)

círculo

A = π · R2

P = 2 · π · R

corona circular

A = π· (R2 - r2)

sector circular

A = π· R2 · n / 360

cubo

A = 6 · a2

V = a3

cilindro

A = 2 · π· R · (h + R)

V = π· R2 · h

ortoedro

A = 2 · (a·b + a·c + b·c)

V = a · b · c

cono

A = π· R2 · (h + g) (2)

V = π· R2 · h / 3

prisma recto

A = P · (h + a)

V = AB · h (3)

tronco de cono

A = π· [g·(r+R)+r2+R2]

V = π· h · (R2+r2+R·r) / 3


http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm#notas%23notas




tetraedro regular

A = a2 · √3

V = a2 · √2 / 12

esfera

A = 4 · π· R2

V = 4 · π· R3 / 3

octaedro regular

A = 2 · a2 · √3

V = a3 · √2 / 3

huso. cuña esférica

A = 4 · π·R2 · n / 360

V = VEsf · n / 360

pirámide recta

A = P · (a + a') / 2

V = AB · h / 3

casquete esférico

A = 2 · π· R · h

V = π· h2 · (3·R h) / 3

tronco de pirámide

A=½(P+P')·a+AB+AB'

V = (AB+AB'+√AB·√AB') · h/3

zona esférica

A = 2 · π· R · h

V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6

Ejercicios.-

1.- Halla el área de un cuadrado de 8 cm de lado.

2.- Halla el área de un rectángulo de lados 15 cm y 12 cm

3.- Halla el área de un rombo de diagonales 24 cm y 16 cm.

4.- Halla el área de un romboide de 16 cm de base y 15 cm de altura.

5.- Halla el área de un trapecio sabiendo que la base menor mide 10 cm, la base mayor es doble que la menor y la altura mide 8 cm.

6.- Halla el área y la diagonal de un cuadrado de 30 cm de lado.

7.- Halla el lado de un cuadrado de área 144 cm2.

8.- De un rectángulo se sabe que su área mide 52 dm2 y su altura mide 4 dm. Hallar la base.

9.- Hallar el área de un triángulo de 20 cm de base y 18 cm de altura.



10.- Hallar el área de un triángulo de 5 dm de base y 43 cm de altura.

11.- Hallar la medida de la base de un triángulo sabiendo que el área es 180 cm2 y la altura mide 20 cm.

12.- Hallar la medida de la altura de un triángulo sabiendo que el área es 200 dm2 y la base 50 cm.

13.- Hallar el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 cm y 15 cm.

14.- Hallar el área de un triángulo equilátero de lado 30 cm.

15.- En un rombo, la diagonal mayor mide 8 cm y el lado 5 cm. Hallar la diagonal menor y el área.

16.- De un trapecio isósceles conocemos sus bases, 26 cm y 36 cm y sus lados oblicuos, 13 cm. Halla la altura y el área.

17.- Halla el área de un hexágono regular de 10 cm de lado y 8,6 cm de apotema.

18.- Halla la longitud de una circunferencia de 20 cm de radio.

19.- Halla el área de un círculo de 20 cm de diámetro.

20.- Halla el perímetro y el lado de un hexágono regular de 166,08 cm2 de área y 6,92 cm de apotema.

21.- Halla el diámetro de un círculo de 78,5 cm2 de área.

22.- Halla el radio de una circunferencia cuya longitud es 12,56 cm.

23.- Halla el área de un hexágono regular de 8 cm de lado.

24.- Hallar el área de un semicírculo de 18 cm de radio.

25.- Hallar la longitud de una semicircunferencia de 16 cm de diámetro.



26.- Halla el área de una corona circular de radios R = 8 m y r = 5 m

27.- Halla el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 121 cm.

28.- Halla el área y el perímetro de un rectángulo de base 15 cm y de altura 8 cm.

29.- Halla la longitud de una circunferencia de 20 cm de diámetro.

30.- Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

31.- Hallar las medidas de los segmentos a y b.

32.- Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

33.- Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

a. Cuánto costará pintarla.



b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

34.- En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?

35.- Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.

36.-Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

37.- Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

38.- Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular:

1 El área total.2 El volumen

39.- En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

40.- La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

41.- ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?

42.- Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?

43.- Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?


http://www.vitutor.net/2/2/31.html








44.- Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

45.- Calcula el área total y el volumen de un ortoedro de 4,8 cm de alto, 2,5 cm de ancho y 7,6 cm de largo.

46.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma triangular de 7,9cm de alto y 1,5 cm de arista de la base.

47.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal de 4,3cm de alto y 5,1 cm de arista de la base.

48.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 9,3 cm de arista lateral y 6,5 cm de arista de la base.

49.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide decagonal de 1,5 cm de lado de la base menor, 5,2 cm de lado de la base mayor y 9,2 cm de arista lateral.50.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 8,1 cm de alto y 2,4 cm de radio de la base.

51. La figura adjunta muestra dos triángulos rectángulos semejantes ABC y AMN.a) Con BC = 50, AC = 120 y AN = 40, AB = 130. Hallar las medidas de: AM, MN.

52. De acuerdo a la figura, hallar las medidas respectivas: X, Y y Z.




53. La siguiente gráfica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine la longitud de cada uno de los lotes de la calle 9.

54. Si AB = 14cm, BC = 21cm y CD = 30cm Hallar BE.

55. En la siguiente figura tenemos que: CD = 4, BC = 5, BA = 8. Calcule CE

56. Si un edificio proyecta una sombra de 14 metros, y una persona que mide 1.6 metros proyecta una sombra de 0.8 metros. Determine la altura del edificio.



57. Un poste vertical de 6 metros de alto, proyecta una sombra de 4 metros. ¿Cuál es la altura de un árbol que a la misma hora, proyecta una sombra de 1,8 metros?

58. Encuentre la altura de un árbol, tomando en cuenta que la estatura de un hombre es de 1.8 m y a cierta hora de un día soleado su sombra de 1.2 m, y en ese mismo momento la sombra del árbol es de 3 m de longitud.

59. Un poste de 8 m de altura proyecta una sombra de 6 m de longitud. ¿Cuál es la medida de la altura de una torre que en el mismo instante proyecta una sombra de 42 m?

60. Una torre de 86 m de alto proyecta una sombra de 129 m de longitud, entonces hallar la medida de la sombra que en ese mismo instante proyecta una persona de 1,86 m de alto.

61. El área de un cuadrado es 64 cm2. ¿Cuál es su perímetro?

62. Las diagonales de un cuadrado mide 12 cm. ¿Cuál es su área?

63. Si el área de un círculo es de 28,26 cm2, ¿cuánto mide su diámetro?

64. ¿Calcular el área de un hexágono de 7cm de lado?

65.- Si la superficie de una pelota mide 1325cm2 ¿cuánto mide su radio?

66.- Halla el área de la superficie de la tierra, si su radio es 6370km.67.- Halla el área:



a) Un triángulo escaleno obtusángulo de 13 cm de base y 4 cm de altura.b) Un triángulo rectángulo de 13 cm de base y 4 cm de altura. c) Un cuadrado de 3 dm de lado. Hallar también su perímetro. d) Un rectángulo de 4 cm de altura y doble de base. Hallar también su perímetro. e) Un rectángulo de 8 cm de altura y la mitad de base. f) Un paralelogramo de base 3 m y altura 5 m. g) Un rombo de diagonales 9 y 12 dam.h) Un trapecio isósceles de bases 12 y 8 cm y altura 5 cm.

68.- En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es2,5 cm.a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas?b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km?

69.- En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el salón ocupa una superficie de 7 cm2. ¿Cuál es la superficie real del salón?

70.- Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala 1:25?

71.- Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro.b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2.c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.

72.- ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?



73.- Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. ¿Cuánto mide la casa?

74.- Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas AP= 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MN es paralela a AB). Halla la distancia AB.



TEMA 7.- Ángulos. Sistema sexagesimal de medidas de ángulos. El radián.

Ángulos.-

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Distinguimos los siguientes tipos de ángulos:

Llano: sus dos lados están alineados (180º)

Convexo: menor que un llano.

Cóncavo: mayor que uno llano.

Recto: sus lados son perpendiculares (90º).

Agudo: menor que el ángulo recto.

Obtuso: mayor que el ángulo recto.

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°



Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Sistema sexagesimal de medidas de ángulos.-

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: Grado sexagesimal (º): Si se divide la circunferencia

en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Radián (rad.): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio. Equivalencia con los grados: 2 Π rad = 360Ί

Operaciones con ángulos.-

Suma de ángulos

1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2º Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.



3º Se hace lo mismo para los minutos.

Resta de ángulos

1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2º Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3º Hacemos lo mismo con los minutos.

Multiplicación de ángulos1º Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.



2º Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3º Se hace lo mismo para los minutos.

División de ángulos

Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1º Se dividen los grados entre el número.

2º El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos

3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.



4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

Ejercicios.-

1.- Realiza las siguientes sumas:

a) 68º 35' 42'' + 56º 46' 39''b) 25 h 48min 50 s + 6 h 45 min 30 s + 7 h 58 min 13 sc) 36 h 13 min 45 s + 7 h 12 min 43 s + 6 h 33 min 50 s

2.- Realiza los productos:

a) (132° 26' 33'') × 5 b) (15 h 13 min 42 s) ×7

c) (128° 42' 36'') × 3

3.- Efectúa los cocientes:

a) (132° 26' 33'') : 3 b) (226° 40' 36'') : 6

4.- Halla el ángulo complementario y el suplementario de 38° 36' 43''

5.- Halla el ángulo complementario y el suplementario de 25° 38' 40''



6.- Efectúa las siguientes operaciones:a) 27° 31' 15" - 43° 42' 57" b) 163° 15' 43" - 96° 37' 51"

c) (37° 42' 19") × 4 d) (143° 11' 56") : 11

7.- Halla el cuarto ángulo de un cuadrilátero sabiendo que los otros tres miden: A =47° 11' 15", B = 96° 51' 33", C = 68° 3"

8.- En el ángulo A = 80° 42' 56", trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide cada ángulo resultante?

TEMA 8.- Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Relaciones entre las razones trigonométricas.

Las razones trigonométricas relacionan los ángulos con los lados de un triángulo rectángulo.

EsquemaSeno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.


http://www.vitutor.com/al/trigo/esq.html


Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Identidades trigonométricas fundamentales.

cos² α + sen² α = 1; sec² α = 1 + tg² α; cosec² α =1+ cotg² α

Ejercicios.-

1.- Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2.- Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°.Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

3.-Sabiendo que cos α = ¼, y que 270º <α <360°.Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4.- Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°.Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5.-Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

6.- Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

7.- Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

8.- Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°

9.- Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.



10.- Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

11.-Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

12.- Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

13.- De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos?

14.- Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera? a= 6° 53' 32. 0,84 km

15.- En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785 m. Tres kilómetros más adelante, la altitud es de 1 265 m. Halla la pendiente media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.

16.- Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?



17.- Calcula x e y en la siguiente figura.

18.- La altura de los ojos de un observador es de 1,60 m. El observador ve el punto más alto de un poste con un ángulo de elevación de 33º. La distancia entre los pies del observador y el pie del poste es de 6 metros. Calcula la altura del poste.

19.-Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo de elevación de 48º. Si se retrocede 30m, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 24º. Calcula la altura de la torre.

20.-Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4m se ve bajo un ángulo de28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

21.- Dos observadores situados a 70 metros de distancia ven un globo situado entre ellos y en el mismo plano vertical bajo ángulos de elevación de 25º y 70º. Halla la altura del globo y las distancias que los separan de cada uno de los dos observadores.

22.- La diagonal de un rectángulo mide 7cm y forma con uno de los lados un ángulo de 39º. Calcula la medida de los lados del rectángulo, así como su área.



TEMA 9.- Triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos.

Elementos de un triángulo rectángulo:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo. Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo.

Área de un triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Teorema del cateto.-En todo triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.


http://www.ditutor.com/proporcionalidad/medio_proporcional.html


Teorema de la alturaEn un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Teorema de Pitágoras.-El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.


http://es.wikipedia.org/wiki/Cateto

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pythagorean.


Ejercicios.-1.- Resolver el triángulo conociendo:

a) a = 415 m y b = 280 m. b) b = 33 m y c = 21 m.c) a = 45 m y B = 22°. d) b= 5.2 m y B = 37º

2.-Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa.a) Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50cm y el cateto mayor 40 cm.b) La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa9 cm. Halla el cateto mayor.c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.

3.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 m y su proyección sobre la hipotenusa mide 7,2 calcula el área y el perímetro del triángulo.

4.- Halla el perímetro del triángulo ABC del que conocemos AH = 9 cm, BH= 12 cm.

5.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

6.- Tenemos un triángulo rectángulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina sobre ésta, dos segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla:

a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa.



b) La longitud de los catetos.c) El área del triángulo

7.- Tenemos un triángulo rectángulo, como el de la figura en el que se conoce la hipotenusa a=100 m. y el área A=2.400 m2. Halla:

a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa.b) la longitud de nc) la longitud del cateto b.

8.- Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm.

9.- La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor.

UNIDAD 3. FUNCIONES.

TEMA 10.-Concepto de función. Diferentes expresiones de una función. Dominio y recorrido. Gráfica.



Concepto de función.-

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x).Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Diferentes expresiones de una función.-

Funciones definidas mediante una expresión analítica

Funciones definidas mediante tablas

Lo usual es dar la expresión analítica, pero otras veces nos van a dar una tabla con los datos de la función. El siguiente ejemplo muestra el dinero que nos cobra un taxista por kilómetro recorrido.

Kilómetros 0 1 2 3 4

Precio 2 € 2,5 € 3 € 3,5 € 4 €

Funciones definidas mediante gráficas



Funciones definidas a trozos

En algunas ocasiones, la función que nos dan se compone de varios trozos de otras funciones:

La función valor absoluto es un claro ejemplo.

Funciones definidas mediante un enunciado.

En otras ocasiones nos dan un enunciado:

“El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica

es de 0,15 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos

cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total

de la llamada según los minutos que estemos hablando.”

Dominio y recorrido.-



El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen: D= x / f (x)

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes:R = f (x) / x D

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Ej: f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R. Ej.:

Dominio de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.



Dominio de la función logarítmicaEl dominio está formado por todos los valores que hacen que el

radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencialEl dominio es el mismo que el dominio del exponente.

Dominio de la función seno y de la función cosenoEl dominio es R.

Dominio de la función tangente

Ejercicios.-

1.- Calcular el dominio de las funciones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

K) l)

ll) m)

n) o)

p) q)



TEMA 11.- Representación gráfica de las funciones elementales: constantes, lineales, cuadráticas y proporcionalidad inversa.

Funciones constantes

La función constante es del tipo: y = n. El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas.

Función lineal La función lineales del tipo: y = m.x. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ej.: y = 2x

x 0 1 2 3Y = 2x 0 2 4 6

m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Pero si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.



Función afín

La función afín es del tipo: y = mx + n. Donde mes la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Y n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

x 0 -1y = 2x- 1 1 1

Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola: f(x) = ax² + bx +c

Representación gráfica de la parábola

1. Vértice

2. Puntos de corte con el eje OX.

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c =0. Resolviendo la ecuación podemos obtener: dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac >0.

3. Punto de corte con el eje OY. En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c (0,c).Ejemplo: f(x) = x² - 4x + 3



1. Vértice: x v = - (-4) / 2 = 2 y v = 2² - 4· 2 + 3 = -1 V(2, -1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 =0.

A(3, 0) B (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

x = 0 y = 3 luego C(0,3)

Función de proporcionalidad inversa.

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Su ecuación es:



Ejercicios.-

1.- Asocia a cada gráfica su ecuación:

53 a) xy 22 b) xy xy3

5 c) 24 d) xy

I) II)

III) IV)

2.- Representa la gráfica de la siguiente función:1

5

3

xy

3.- Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:

4.- Representa la gráfica de la siguiente función:42 xy

5.- Representa gráficamente:

1si21si12

2 xxxx

y

6.- Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:



a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?

b) Construye la función que nos da el área del recinto.

7.- Haz la gráfica de la función: 3,50,5 xy

8.- Halla la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y cuya pendiente es -1/3.

9.- Representa gráficamente la siguiente función: xxxf 42 2

10.- Dibuja la gráfica de la función:

1si

1si/212 xx

xxy

11.- Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.

12.- Obtén la gráfica de la función: 12

2

2

xx

xf

13.- Representa la siguiente función:

1si421si2 2

xxxxy

14.- El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base.

15.- Dibuja la gráfica de la siguiente función:

1si211si2

xxxx

y

16.- El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.



17.- Julia ha abierto una tienda de ropa. A cada prenda que compra le aumenta un 70% su precio inicial, obteniendo así el precio de venta. Como en el último mes no vendía mucho, decidió aplicar a todas las prendas un descuento del 18%.a) construye una tabla de valores que indique el importe actual de cada prenda en función del importe al que la compró.b) Realiza una gráfica con los datos obtenidos.c) Escribe la expresión algebraica que representa el precio de venta actual de cada prenda en función del importe al que la compró.d) Halla el dominio y el recorrido de la función.e) ¿La función corta al eje de coordenadas?f) ¿Es una función continua?

18.- Calcula la expresión algebraica que permite obtener el diámetro que debe tener una lata de 500 mililitros, de forma cilíndrica, en función de su altura.Si la altura de la lata puede oscilar entre 12 y 16 cm, ¿cuáles son el dominio y el recorrido de esa función?

19.- Juan está estudiando dos ofertas de trabajo como comercial de electrodomésticos que solo se diferencian en el sueldo.Oferta A: 1050 euros mensuales y 10 euros por cada aparato vendido, hasta un máximo de 20 al mes.Oferta B: 600 euros al mes y 20 euros por cada electrodoméstico vendido.

a) Escribe, para cada caso, la expresión algebraica que representa el sueldo mensual de Juan en función del número de electrodomésticos vendidos.

b) Calcula el dominio y el recorrido de cada una de las funciones.c) ¿Son funciones crecientes o decrecientes?d) ¿Tienen algún máximo o mínimo?

20.- El coste de producción de un número x de DVD viene dado por la siguiente expresión: C(x) = ½ x2 -25x-15. El precio de venta de

cada uno de ellos es P(x) = 75 –

¿Cuál es la función que expresa el beneficio obtenido con la venta de x DVD?



TEMA 12.- Estudio gráfico de funciones: monotonía, extremos, periodicidad, simetrías y continuidad.

La monotonía es el estudio del crecimiento o decrecimiento de una función.

Gráfica creciente

Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la otra variable.

Gráfica decreciente

Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.

Máximo absoluto



Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x=b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = -1 y b =1Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x+ zT). Ejemplo: f(x) = sen x



Simetría respecto del eje de ordenadas. Función parUna función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = f(x). Dichas funciones se llaman pares.

Simetría respecto al origen. Función impar

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = −f(x). Dichas funciones se denominan impares.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.



Tipos de discontinuidades: discontinuidad evitable. Discontinuidad de salto finito, discontinuidad de salto infinito.

Ejercicios.-

1.- Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio, su imagen y los puntos de corte.

2.- En las siguientes gráficas determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento e indica los mínimos o máximos relativos (si los tiene).



3.- A partir de la gráfica, indica las características que presenta cada una de las siguientes funciones:



4.- Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se detiene para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida.

Observando la gráfica anterior, responder:a. ¿.A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer?b. ¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada?c. ¿Cuánto tiempo ha estado comiendo?d. ¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar?e. ¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada?f. ¿Durante que franja de tiempo pedaleo a más velocidad el ciclista?g. ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función?h. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta?



5. Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que si lo sean, indica cual representa la variable independiente y cuál la dependiente y escribe su expresión analítica.a. A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente.b. A todo número natural se le asocian sus divisores.c. A cada día del año se le asocia la cotización del euro frente al dólar.d. A todo número fraccionario se le asocia su inverso.e. A todo número se le asocia su raíz cuadrada.f. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase.g. A todo número se le asocia su doble más siete.

UNIDAD 4. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD.

TEMA 13.- Idea intuitiva de probabilidad. Experimentos aleatorios. Regla de Laplace.

Idea intuitiva de probabilidad.-

Un experimento se dice aleatorio si a pesar de conocer los posibles resultados, no puede predecir cuál se va a obtener en una experiencia concreta. Es aquel que repetido en las mismas condiciones el resultado puede cambiar de una vez para otra; por ejemplo, sacar una carta de una baraja, lanzar una moneda al aire,...

En contraposición está el experimento determinístico, es aquel en el que en igualdad de condiciones se obtiene el mismo resultado; por ejemplo, velocidad de un objeto al caer al suelo, el espacio recorrido por un vehículo dada una velocidad,...

Experimentos aleatorios.-

Los experimentos aleatorios se caracterizan por: Todos los posibles resultados del experimento son conocidos

con anterioridad a su realización.



No puede predecir cuál será el resultado de una realización concreta del experimento.

El experimento puede ser repetido bajo las mismas condiciones las veces que queramos.

Se llama suceso muestral de un experimento aleatorio E al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Se representa por Ω.

Se llama suceso elemental a los posibles resultados de un experimento aleatorio que no se pueden descomponer en otros más sencillos; estos resultados son excluyentes entre sí.

Se llama suceso a todo subconjunto del espacio muestral o, lo que es lo mismo, a la unión de cualquier número de sucesos elementales, Los sucesos se describen enumerando todos sus elementos o dando las condiciones que lo determinen. Existen dos sucesos especiales:

Suceso imposible es aquel que nunca ocurre. Se representa por ∅. Suceso seguro es aquel que ocurre siempre. Es el espacio muestral, es decir, Ω. Sucesos compatibles son aquellos que pueden darse simultáneamente, ya que la realización de uno no impide la realización de otro. Si dos sucesos A y B son compatibles, se cumple que A∩B ≠ ∅. Sucesos incompatibles son aquellos que no pueden darse simultáneamente, ya que la realización de uno impide la realización del otro. Suceso contrario de un suceso A, y se representa por A, es el que ocurre cuando no se da A.Las operaciones más usuales con sucesos son la unión, la intersección y la diferencia entre sucesos.o Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de sucesos, A∪B, al conjunto formado por los sucesos elementales comunes y no comunes de A y B. Es decir, será el suceso que se verifique cuando se cumple A o B o ambos a la vez.

o Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de sucesos, A∩B, al conjunto formado por los sucesos elementales comunes de A y B. Es decir, será el suceso que se verifica cuando se cumple A y B simultáneamente.



o Dados dos sucesos A y B, llamamos diferencia de sucesos, A-B, al conjunto formado por los sucesos elementales de A que no están en B. Es decir, será el suceso que sucede cuando se realizan A y B simultáneamente.

Regla de Laplace.-

Cada suceso aleatorio tiene una probabilidad de que ocurra. Se llama probabilidad de un suceso A al cociente entre el número de sucesos elementales de que consta A y el número total de sucesos elementales, definida por la Ley de Laplace.

En las experiencias compuestas por sucesivas extracciones pueden darse dos modalidades: extracciones con reemplazamiento, que son en las que después de cada extracción el elemento extraído se repone, de este modo cada extracción se realiza en las mismas condiciones que la anterior; o extracciones sin reemplazamiento, que son las que se realizan sin devolver el elemento anteriormente extraído.

La probabilidad cumple los siguientes axiomas:a. La probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1.b. La probabilidad del suceso cierto es la unidad.

Propiedades:

1. Probabilidad del suceso complementario: P(A) = 1 – P(Ac).2. Probabilidad del suceso imposible: P(Ø) = 0.3. Si A1, A2, ... An son incompatibles dos a dos:

P(A1U A2 U ... U An) = P(A1) + P(A2) + ...+P( An)4. Probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)5. Probabilidad de la diferencia de sucesos:

P(A-B) = P(A) - P(A∩B)6. Otras probabilidades de interés:



P(A U B)’ = P(A∩B)

P(A∩B)’ = P(A U B)

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDAD

1.- En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son amarillas y 5 son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola?

2.-En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50 italianos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión no sea español?

3.- Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a) Sea de color azul. B) No sea de color amarillo.

4.- Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a) Sea de color amarillo. B) No sea de color verde.

5.- En una clase del instituto hay 12 chicos morenos, 8 rubios, 4 castaños y 1 pelirrojo. El profesor saca a la pizarra a uno de ellos de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rubio? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea moreno?

6.- ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta de oros de una baraja española de 40 naipes?. ¿Y de extraer una carta que no sea un as de una baraja española de 40 naipes?.



7.- Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a) Sumen 6. B) La suma sea un número impar.

8.- Lanzamos dos dados y anotamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a) Salga un número igual y par en cada dado. b) Salgan números menores que 5 en cada dado.

9.- Lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Calcula la probabilidad de que: a) Salgan dos caras y una cruz. B) Salgan tres caras.

10.- En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) La bola extraída contenga una sola cifra. b) El número extraído sea mayor que 90.

11.- Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a) Sumen 7. B) Sumen 12.

12.- Consideremos el experimento lanzar dos monedas al aire. Calcular la probabilidad del suceso sacar una cara y una cruz.

13.- Calcula la probabilidad de obtener dos 6 al lanzar dos dados.

14.- ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea 5?.

15.- ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea menor o igual que 10?

16.- Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y siete verdes. Si se extrae una bola al azar. Calcular la probabilidad de que sea:

a) Roja. b) Amarilla c) Verde.

d) No sea roja. e) No sea verde f) Sea roja o amarilla.

17.- En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Encontrar la probabilidad de que un alumno:a) Sea Hombre b) Sea mujer morena. c) Sea hombre o mujer.

18.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide las siguientes probabilidades:a) Salga siete b) Se un número par. c) Sea múltiplo de tres.

19.- Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:a) Dos caras b) Dos cruces c) Una cara y una cruz.



20.- De una baraja de 40 cartas se extraen dos de ellas a la vez. Calcula la probabilidad de que:a) las dos sean reyesb) Una sea copas y otra el rey de espadas.c) al menos una sea copas.

21.- En un Instituto de Secundaria se sabe que el 45% de los estudiantes es varón., de estos el 25% lleva gafas y de las chicas sólo lleva gafas el 15%. Calcula el porcentaje de alumnos que usan gafas en el instituto.

22.- En un examen hay que contestar a 2 temas elegidos al azar entre 30. Un alumno ha estudiado sólo 12 de los 30 temas. Halla la probabilidad de que:

A) El alumno haya estudiado los dos temas elegidos.B) El alumno sólo haya estudiado uno de los dos temas elegidos.C) Ninguno de los temas elegidos haya sido estudiado por el alumno.

TEMA 14.- Variables estadísticas discretas y continuas. Recuento y presentación de datos. Tablas de frecuencias, histogramas, polígono de frecuencias, gráficos de barras y sectores.

Variables estadísticas discretas y continuas.-Una variable estadística es cada una de las características o

cualidades que poseen los individuos de una población.Tipos de variable estadísticas:

Variable cualitativa y variable cuantitativa. Las variables cualitativas se refieren a características o

cualidades que no pueden ser medidas con números.Las variables cuantitativas se refieren a características que

pueden ser medibles. Distinguimos dos tipos: discretas y continuas. Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3. Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.Recuento y presentación de datos.-

Las tablas estadísticas son una forma de presentar la información de una variable estadística. En la primera columna se



colocan los valores (xi), marcas de clase o modalidades de la variable, y en la siguiente, las frecuencias. Para tabular los datos, procederemos de la siguiente manera:

Recogida de los datos. Ordenación de los datos de menor a mayor. Recuento de las frecuencias o veces que se repite cada

dato. Agrupación de los datos. Se agrupan cuando la variable

es continua, las clases no deben ser menos de 5 ni más de 20. Se debe procurar que todas las clases tengan el mismo tamaño. Siendo la marca de clase el punto medio de los extremos de cada clase. Los valores extremos se llaman límites de la clase, inferior Li, y superior Li+1.

Tablas de frecuencias, histogramas, polígono de frecuencias, gráficos de barras y sectores.-

En las tablas estadísticas colocamos en orden las variables, la marca de clase (si son variables continuas), frecuencias absolutas y frecuencias relativas.

La frecuencia absoluta del valor xi de una variable estadística es el número de veces que se repite dicho valor, lo representamos por fi. La frecuencia absoluta acumulada del valor xi es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a x i más la frecuencia absoluta de xi, y la representamos por Fi.

La frecuencia relativa de un valor de xi es el cociente entre la frecuencia absoluta de xi y el tamaño de la muestra (N), y la representamos por hi. La frecuencia relativa acumulada, Hi, es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de un valor de xi y el tamaño de la muestra.

Para calcular el tanto por ciento de cada variable lo que hacemos es multiplicar su frecuencia relativa por 100.Ejemplos.

1. Las notas de los 25 alumnos y alumnas de 1º de Bachillerato son las siguientes:5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 3, 6, 5, 4, 2, 1, 7, 2, 1, 9, 5, 10, 1, 8, 3, 8, 3..Efectúa la tabla adecuada a dichos datos con frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

xi fi Fi hi Hi



1 4 4 0’16 0’162 3 7 0’12 0’283 4 11 0’16 0’444 2 13 0’08 0’525 3 16 0’12 0’646 1 17 0’04 0’687 1 18 0’04 0’728 4 22 0’16 0’889 2 24 0’08 0’9610 1 25 0’04 1’00

25 1

2. Las edades de un grupo de personas son:3, 2, 11, 13, 4, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 22, 4, 5, 3, 2, 5, 6, 27, 15, 4, 21, 12, 4, 5, 3, 6, 29, 13, 6, 17, 6, 13, 6, 5, 12, 26, 12.Construye la tabla estadística de datos agrupados.

CLASES MARCAS fi Fi hi Hi

[0,5) 2’5 14 14 0’350 0’350[5,10) 7’5 12 26 0’300 0’650[10,15) 12’5 7 33 0’175 0’825[15,20) 17’5 2 35 0’050 0’875[20,25) 22’5 2 37 0’050 0’925[25,30) 27’5 3 40 0’075 1

40 1

Representaciones gráficas.-

Diagramas de barras.Los diagramas de barras son útiles para representar datos

cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.Se representan los valores de la variable en el eje de abscisas, y

las frecuencias absolutas o relativas en el de ordenadas, según proceda. Por los puntos marcados de la variable en el eje X, se levantan barras de altura igual a la frecuencia correspondiente.

Histograma.



Los histogramas se usan para representar datos cuantitativos continuos.

Sobre el eje de abscisas se señalan los límites de las clases. Sobre el mismo eje se construyen rectángulos que tienen por base la amplitud de la clase y por altura la frecuencia correspondiente.

Polígono de frecuencia.Los polígonos de frecuencias se usan para representar datos

cuantitativos de tipo discreto o continuo. Si es discreta se unen los extremos del diagrama de barras; si es continua se unen los puntos medios de los rectángulos formados en el histograma.

Diagramas de sectores.Los diagramas de sectores se usan para distribuciones

cualitativas o cuantitativas discretas.

Para dibujarlo debemos tener en cuenta que cada sector representa los distintos valores de la variable. El ángulo de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta o relativa correspondiente: i=360º.fi

Diagrama de barra Histograma Polígono de frecuencia Diagrama de sectores

TEMA 15.- Parámetros estadísticos: moda, media, mediana, recorrido, varianza y desviación típica.

Media aritmética.La media aritmética de una variable estadística, x, es el cociente

entre la suma de todos los valores de la variable, x i, multiplicados por sus correspondientes frecuencias absolutas, fi, y el número total de valores, N.



Para distribuciones continuas, el cálculo de la media se efectúa con las marcas de clase. No se puede calcular la media con datos cualitativos o si la distribución tiene clases abiertas.

Moda.La moda de una variable estadística, Mo, es el valor de la

variable que presenta la mayor frecuencia absoluta. La moda no tiene por qué ser única, puede haber varios valores de la variable con la mayor frecuencia; si tiene dos modas, se dice que es bimodal, si tiene tres, trimodal, etc.

Para calcular el valor de Mo se distinguen dos casos, según el tipo de datos de la variable:

o Datos simples, Mo será el valor de xi de mayor frecuencia, fi. Si todos los datos de una distribución tienen la misma frecuencia, esa distribución no tiene moda.

o Datos agrupados: el intervalo modal es el intervalo de mayor frecuencia absoluta, fi; a partir de este se calcula la moda con la siguiente fórmula.

Siendo:Linf, límite inferior del intervalo modal.c, amplitud del intervalo modal.D1, la frecuencia absoluta de la clase modal menos la de la clase anterior (fi-fi-1).D2, la frecuencia absoluta de la clase modal menos la de la clase posterior (fi-fi+1).La moda es menos representativa que la media aritmética, pero

se puede hallar aún cuando se trate de distribuciones de datos cualitativos. En la moda no intervienen todos los datos de una distribución. La moda puede tomar valores extremos de la distribución y no tiene porqué estar centrada.

Mediana.



La mediana de una variable estadística, Me, es el valor central, es decir, aquel que verifica que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. Para el cálculo de la mediana distinguimos varios casos, como por ejemplo:

o Hallar la mediana de las siguientes series estadísticas:a) 3, 6, 2, 9, 5, 12, 11En primer lugar se ordenan los datos de menor a mayor:2, 3, 5, 6, 9, 11, 12. El número de datos es impar, en consecuencia hay un valor central que es único, este valor es el de la mediana Me = 6.b) 6, 5, 9, 3, 2, 13, 11, 12.Ordenamos los datos de menor a mayor: 2, 3, 5, 6, 9, 11, 12, 13. El número de datos es par, por lo tanto son dos los valores centrales, el 6 y el 9. La mediana es la media aritmética de ambos valores, es decir, (6+9)/2= 7’5.o Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de

los 40 alumnos de una clase vienen dadas por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9Número de alumnos, fi 2 2 4 5 8 9 3 4 3Fi 2 4 8 13 21 30 33 37 40

Hallar la mediana.La mediana viene dada por el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada supere a la mitad del número de datos. Como el número de datos es 40, la mitad es 20. Observando la tabla, se deduce que la Me = 5.o Para datos agrupados, el intervalo que corresponde a la

clase mediana viene dado por el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada, Fi, supere a la mitad del número de datos. A continuación, en la columna de frecuencias acumuladas se calcula dónde está el valor mediano mediante la fórmula.

Siendo:Linf, límite inferior del intervalo modal.c, amplitud del intervalo modal.



N, número total de datos.Fant., frecuencia absoluta acumulada de la clase

anterior a la mediana.fi, frecuencia absoluta de la clase mediana.

La mediana es muy útil cuando existe algún valor raro que afecta a la media, o cuando los datos están agrupados en clases y alguna de ellas es abierta. La mediana es un parámetro que depende del orden en que estén situados los datos y no de su valor.

Varianza.Se llama varianza de una variable, y se representa por s2, a la

media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Para calcularla se utiliza la siguiente fórmula:

La varianza depende de todos los valores de la distribución y de la media. La varianza es siempre positiva.Desviación típica.

Se llama desviación típica de una variable, s, a la raíz cuadrada positiva de la varianza de dicha variable.Ejercicios.-Calcular de los siguientes ejercicios:

a) Construir la tabla de frecuencias absolutas y relativas.b) Representar gráficamente: diagrama de barras, polígono de

frecuencias y diagrama de sectores.c) Calcular la media aritmética, la moda, la mediana, la varianza,

la desviación típica y el coeficiente de variación.

1. Las notas de las 30 alumnas de una clase de Filosofía de 1º Bachiller son las siguientes: 6, 3, 5, 1, 2, 8, 9, 8, 3, 7, 6, 4, 5, 2, 9, 1, 7, 2, 1, 7, 8, 9, 5, 10, 2, 10, 3, 8, 3, 10. 2. Dada la distribución siguiente:

xi 2 4 6 7 9fi 3 5 7 4 2

3. Dada la siguiente distribución, calcula su moda y mediana.xi 1 2 3 4 5 6fi 6 5 4 10 4 1

4. Las puntuaciones obtenidas en un test por 20 alumnos han sido: 16-22-21-20-23-22-17-15-13-22-17-18-20-17-22-16-23-21-22-18. 5. Durante el mes de julio se han registrado las siguientes temperaturas en una ciudad levantina: 32-31-28-29-33-32-31-30-31-27-28-29-29-30-32-31-31-30-30-29-29-30-30-31-30-31-34-33-33-29-31.



6. El número de hijos de 20 familias es: 3-2-1-2-1-5-2-2-0-6-3-2-4-3-4-2-3-1-7-17. Dada la siguiente distribución:

xi 5 7 9 10 13 14fi 8 12 17 20 26 30

8. Dada la siguiente distribución:

xi (0,6] (6,12] (12,18] (18,24] (24,30]fi 2 6 7 10 5

9. Dada la siguiente distribución:

xi [10-15) [15-20) [20-25) [25-30) [30-35)fi 3 5 7 4 2

PRUEBA 1.-

Ejercicio 1.- El número irracional conocido como número de oro, Φ, es la mayor de las soluciones de la ecuación x2– x – 1 = 0.a) Calcula el valor de Φ redondeando a las milésimas. (0,75 puntos)

b) El número de oro está presente en la naturaleza y las artes. Es conocida su presencia en la pirámide de Keops. El cociente entre el área lateral y el área total de la pirámide es, precisamente, el número de oro.

Comprueba que es así, sabiendo que la pirámide de Keops es una pirámide de base cuadrada de altura 146,6 m y que el lado de la base mide 230 m. (2 puntos)



c) ¿Cuál es el volumen de la pirámide? (0,75 puntos)

Ejercicio 2.- Cuando un grupo de amigos fue de camping este verano decidió acampar junto a un río. Deciden construir un recinto para colocar su tienda con una cuerda de 50 m de largo y cuatro estacas. Por el lado del río no colocan cuerda.a) Si deciden hacer un recinto con una anchura de 20 metros, ¿cuál será su longitud? (0,5 puntos)

b) Completa la tabla: (1 punto)

Anchura (m) 0 5 10 15 20 25Longitud (m)

Área (m2)

c) Dibuja una gráfica en la que se muestre cómo varía el área encerrada al aumentar la anchura.Coloca la anchura en el eje OX y el área en el eje OY. (1 punto)

d) Escribe la fórmula de la gráfica. (1 punto)

Ejercicio 3.- Carmen y Daniel han inventado un juego con las siguientes reglas:

- Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de puntuación entre ambos resultados.

1 2 3 4 5 6123456

- Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2, Carmen gana.



- Si resulta una diferencia de 3, 4 o 5, gana Daniel.a) ¿En qué casos gana Carmen? ¿Qué probabilidad tiene Carmen de ganar? (1,5 puntos)

b) ¿En qué casos gana Daniel? ¿Qué probabilidad tiene Daniel de ganar? (1,5 puntos)

Prueba 2.-

Ejercicio 1.- Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez recibió como recompensa por su invento la cantidad de trigo consistente en colocar un grano en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta; y así sucesivamente, duplicando en cada casilla el número de granos de la casilla anterior.

a) ¿Cuántos granos de trigo habría que depositar en la casilla número 27? Expresa el resultado en notación científica.(0,5 puntos)

b) ¿Cuántos granos de trigo se depositaron en la casilla número 64? Expresa también el resultado en notación científica. (0,5 puntos)

c) Suponiendo que en 100 gramos de trigo hay 2500 granos, ¿cuánto pesará el trigo de la casilla 64? Expresa el resultado en notación científica. (1,5 puntos)

d) ¿Cuántos camiones de 40 toneladas de capacidad de carga serían necesarios para transportar el trigo? Otra vez debes dar el resultado en notación científica. (1,5 puntos)

Ejercicio 2.- En la gráfica adjunta se representa el precio de venta (en cientos de euros) y el coste de producción (en cientos de euros) por unidad de un procesador específico para ordenadores portátiles con respecto al momento de fabricación (en meses):



Responder a las siguientes cuestiones:a. ¿Cuánto tiempo ha estado este tipo de procesador en el mercado? (0’5

puntos)b. ¿Durante qué intervalo de tiempo el precio de venta fue decreciendo?

(0’5 puntos)c. ¿Durante cuánto tiempo la empresa perdía dinero por la venta de cada procesador? (0’5 puntos)d. ¿Cuál fue el mayor beneficio que obtuvo la empresa por la venta de un procesador? ¿En qué momento se produjo? (1 punto)e. ¿En qué momentos la empresa no tiene ni beneficios ni pérdidas? (0’5

puntos)

Ejercicio 3.- En el siguiente gráfico se muestra el consumo en kW realizado por una familia durante el año2007 (NOTA: las facturas son bimensuales):



Marca en cada apartado con una X, la opción que consideres correcta:a. El tipo de representación usado es: (1 punto)

o Un diagrama de sectoreso Un diagrama de barraso Un polígono de frecuenciaso Ninguno de los anteriores

b. El consumo medio por factura durante el año 2007 fue de: (1 punto)o 869 kWo 1.500 kWo 969 kWo Ninguno de los anteriores

c. El consumo medio mensual durante el año 2007 fue de: (1 punto)o 400 kWo 484’5 kWo 969 kWo Ninguno de los anteriores

PRUEBA 3.-

Ejercicio 1.- Los televisores viene caracterizados por el tamaño de la diagonal de la pantalla en pulgadas y el formato que es la relación entre el ancho y alto de la pantalla (4:3 ó 16:9). En el dibujo se representa una pantalla en formato 16:9DATO: Una pulgada son 2’54 cm

Responder a las siguientes cuestiones:a. Si compramos un televisor en formato 4:3 y de diagonal tiene 20

pulgadas, calcula las dimensiones del ancho y largo del televisor en centímetros. (1’5 puntos)



b. Calcula la medida de la diagonal (en pulgadas) de un televisor en formato 16:9 si el ancho es de 708mm.(1’5 puntos)

c. ¿Qué televisor tiene más superficie de pantalla uno en formato 4:3 u otro en formato 16:9 si ambos sonde 30 pulgadas? (1 punto)

Ejercicio 2.- Relacionar mediante una flecha cada expresión de la columna de la izquierda con su correspondiente intervalo: (3 puntos)

A Números reales mayores que 2 (B x Є R / |x| 5 (2, + )C Números reales positivos y menores

que 2(0.2)

D Números reales cuya mitad es menor que 2 y mayor que 1

[-5 ,5]

E (2 , 4)

Ejercicio 3.- En una empresa, el director cobra 8000 euros mensuales; el subdirector, 4000 euros al mes; tiene 6 capataces con un sueldo mensual de 2000 euros y 20 operarios que cobran 800 euros al mes.a. ¿Cuál es el sueldo medio de la empresa? (1 punto)b. ¿Y el sueldo moda? (0,5 puntos)c. ¿Cuál es la mediana? (0,75 puntos)d. Justifica cuál de estas tres medidas es más representativa de los sueldos de la empresa. (0.75 puntos)

PRUEBA 4.-

Ejercicio 1.- El área de un triángulo isósceles es 48 m2 y su base mide 12 m. Otro triángulo semejante a él tiene una altura de 27 m.

a) La altura del primer triángulo mide m. (1 punto)b) La razón de semejanza es (1 punto)c) La base del segundo triángulo es m. (0,5 puntos)d) El área del segundo triángulo es m2 (1 puntos)

Ejercicio 2.- Como sabemos el número π = 3,14159265358979323846…. tiene infinitas

cifras decimales. El chino Wang Fan utilizó como aproximación la cantidad .a) ¿La aproximación de Wang Fan es por exceso o por defecto? (1 punto)b) Aproximar π con un error menor que una diezmilésima. (1 punto)c) Usando como π, la aproximación π ≈ 3'1416, calcular el área de la siguiente figura:

(1,5 puntos)



Ejercicio 3.- La figura muestra una diana sobre la que lanzamos dardos de manera aleatoria

Señalar con una X la respuesta o respuestas correctas:a. La probabilidad de que al lanzar un dardo impacte en un nº impar es: (1 punto)

6 0’4 0’5 Ninguno de los anterioresb. La probabilidad de impactar en un nº múltiplo de 3 ó en un nº impar es: (1 punto)

2/3 0’9 1 Ninguno de los anteriores.

c. Si lanzamos dos dardos y sumamos los puntos y el primero impactó en el 7, la probabilidad de obtener al menos 12 puntos es: (1 punto)

2/3 5/12 0 Ninguno de los anteriores

PRUEBA 5.-

Ejercicio 1.- Un examen tipo test para unas oposiciones consta de 100 preguntas. La convocatoria establece que cada pregunta acertada suma 1 punto y cada pregunta errónea o no respondida penaliza con 0’25 puntos.El aprobado es a partir de 60 puntos. Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones:

Respondiendo a 65 preguntas correctamente, el opositor aprueba.Para obtener exactamente 70 puntos, el opositor debe responder correctamente a 76 preguntasRespondiendo al menos 68 preguntas correctamente, el opositor aprueba.



Ejercicio 2.- Sobre plano a escala 1:50, el salón rectangular de un piso tiene de dimensiones 12 cm de largo por 8 cm de ancho. El constructor quiere poner tarima flotante en el salón y recibe una oferta de 15 € por m2más el 16 % de IVA. Rellena los huecos de las afirmaciones siguientes:

a. La superficie real del salón es de….m2.b. El IVA que tiene que pagar el constructor es de…. €c. Si el constructor tiene otra oferta de 13’5 € por m2 más el 16 % de IVA, el

ahorro total sería de…. €.

Ejercicio 3.- La siguiente gráfica muestra, para dos operadores de móviles, el coste en céntimos de euro de una llamada según la duración de ésta en minutos.

Responde a las siguientes preguntas:a. ¿Tiene algún operador coste por establecimiento de llamada? Si es

afirmativo, indicar la cantidad.b. Si siempre realizamos llamadas inferiores a 30 segundos, ¿qué operador

es el más barato?c. Para una llamada de minuto y medio, ¿qué operador es el más

económico?d. Dar una expresión analítica de la función que representa al operador

móvil 1

Ejercicio 4.- La cotización de la empresa química Ercros durante el mes de noviembre de 2007 en la Bolsa de Madrid viene dada por la siguiente gráfica:

a. Señala con una X el histograma o histogramas que representan a los datos anteriores:

Cotización



Nº de días

Cotización

c. Una empresa desea comprar las acciones de Ercros pagando un extra de 0’30 € sobre la cotización media durante el mes de Noviembre de 2007, ¿cuánto debe pagar por cada acción?

JUNIO 2008

Ejercicio 1.- La empresa SunEnergy Renovables, S.L. fabrica dos tipos de paneles solares: los de tipo Policristalino, con precio de venta 700 € la unidad, y los de tipo Monocristalinos, con precio de venta 1.000 € la unidad. Un día produce un total de 40 paneles que vende por un total de 32.500 €,



a) Plantea un sistema de ecuaciones con el nº de paneles de cada tipo producidos como incógnitas. (1 punto)b) Resuelve dicho sistema por el método que te parezca más conveniente. (1 puntos)c) Si al día siguiente la empresa produce 30 paneles Policristalinos y 11 paneles Monocristalinos, ¿obtuvo mayor o menor beneficio que el día anterior? (1 punto)

Ejercicio 2.-En unas excavaciones arqueológicas en el Peloponeso, se encontró un trozo de cuero en el que se describía el método utilizado por los antiguos griegos para hallar la profundidad de un pozo: Se colocaba el (o la) geómetra con un bastón, perpendicular al suelo, de manera que la visual del geómetra pasara por el extremo del bastón y dos vértices opuestos del pozo, tal como se muestra en el dibujo.

a) Explica cómo hacían para calcular la profundidad del pozo y por qué.(1 punto)

b) Calcula las dimensiones del pozo del dibujo si el palo mide 1 m, la distancia de B a C, 40 cm y la anchura del pozo 1,2 m.(2 puntos)

Ejercicio nº 3.-



Hay que construir un cercado para animales con 22 metros de valla metálica. Queremos construir el cercado de mayor área con el material disponible.

a) Construye una tabla en la que se relacione la longitud del cercado con el área encerrada: (1 punto)

Longitud del cercado (m)Área (m2)

b) Dibuja la gráfica correspondiente.(1 punto)

c) ¿De qué tipo de gráfica se trata? (0,5 puntos)

d) ¿Cuál es su fórmula?(1 punto)

e) ¿Qué largo y qué ancho tiene el cercado de mayor área? (0,5 puntos)

SEPTIEMBRE 2008.-



Ejercicio 1.-Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo: la distancia del árbol al extremo de su reflejo es 4 m, la distancia de Eduardo a dicho extremo es 1,2 m y la altura de Eduardo es 162 cm.a) Calcula la altura del árbol. (2 puntos)b) ¿En qué resultados teóricos te has apoyado para hacer los cálculos? (1 punto)

1,2 m 4 m

Ejercicio 2.- El recibo de agua de cierta localidad se calcula del siguiente modo:Cuota fija (da derecho a 10 m2de agua 5 €Volumen de agua gastado de 10 m2a 25 m20, 60 €/ m2

Volumen de agua gastado por encima de 25 m2……€/ m2

Este último precio se ha borrado, pero sabemos que en una vivienda en la que se han gastado 41 m2de agua, han pagado 26 euros.

a) ¿Cuál es el precio del m2de agua a partir de los 25 m3 de consumo?(1 punto)

b) Completa la tabla: (1,5 puntos)Consumo (m2) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45Importe (€)

c) Dibuja la gráfica correspondiente.(1,5 puntos)Ejercicio 3.- Las temperaturas máximas, en grados centígrados, de una ciudad durante los 20 primeros días del mes de abril han sido: 8, 6, 12, 9, 8, 7, 9, 11, 10, 8, 7, 10, 9, 7, 9, 6, 12, 11, 5, 9.a. Rellena la siguiente tabla de frecuencias absolutas con los datos proporcionados. (1 punto)TemperaturaFrecuenciab. Representa los datos mediante un polígono de frecuencias. (1 punto)c. Calcula la desviación típica de esta variable estadística. (1 punto)

JUNIO 2009.-



1. Un transportista lleva en su furgoneta sacos de sal de dos pesos distintos. Los sacos grandes tienen un peso de 30 kilogramos, mientras que los pequeños pesan un 20% menos. El conductor recuerda que el número de sacos pequeños es el triple del de sacos grandes, y que el peso total de la mercancía es de 714kilogramos. Calcula el número de sacos de cada tipo que son transportados. (2,5 puntos)SOLUCIÓN:

2. Un gran ventanal tiene forma de triángulo isósceles, con el lado desigual en su base (como aparece en la figura siguiente). La longitud del mencionado lado desigual es de 6 metros y el ángulo que forma la base del triángulo con los lados iguales es de 30º. Calcula el área del ventanal. (2,5 puntos)

3. Representa la gráfica de las siguientes funciones y estudia la monotonía, la continuidad y la acotación de las mismas. (2,5 puntos)a) y= 2/x b) y = x2 - 4x + 4

4. En una clase el tutor ha anotado el número de hermanos/as que tiene cada uno de sus alumnos/as, obteniendo el siguiente listado:

1 0 2 1 42 2 3 1 31 3 0 2 32 3 1 2 22 1 2 1 3

A. Construye la tabla de frecuencias. (0,5 puntos)

B. Representa estos datos mediante un diagrama de barras. (0,5 puntos)

C. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. (1 punto)

D. Halla la desviación típica. (0,5 puntos)

SEPTIEMBRE 2009.-



1. Tengo que vallar un terreno con forma rectangular que he comprado, pero al llegar a la ferretería no sabía cuántos metros de valla necesitaba. Recordaba que tiene 6 metros de largo más que de ancho y que su superficie es de 775m2. ¿Cuántos metros de valla debo comprar? (2,5 puntos)

2. Un carpintero quiere construir una escalera de tijeras cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60º. Responde a las cuestiones siguientes sabiendo que la altura de la escalera abierta es de 2 metros.

A. ¿Qué longitud debería tener cada brazo? (1.25 puntos)B. ¿Qué distancia quedará entre los dos pies de la escalera cuando

los brazos están totalmente abiertos? (1.25 puntos)3. Dada la gráfica siguiente de una función f(x). Estudia y comenta:

A. La monotonía. ¿Tiene máximos o mínimos? Indica en qué puntos. ¿Son absolutos? (1 punto)

B. La continuidad. Indica dónde es continua, dónde es discontinua y, en su caso, el tipo de discontinuidad. (1 punto)

C. La acotación. (0.5 puntos)4. El siguiente gráfico representa la distribución de la variable

“número de suspensos en la primera evaluación” de los 30 alumnos/as de un grupo de Bachillerato. Halle la media, la mediana, la moda y la desviación típica. (2.5 puntos)



JUNIO 2010.-

1.- Una empresa, tras realizar el balance anual y observar que ha obtenido importantes beneficios, decide obsequiar a sus 32 empleados con un ordenador portátil para cada uno. Este regalo le ha supuesto a la empresa un coste total de 22040 €.La empresa ha elegido un modelo valorado en 835 € para los jefes de equipo y un modelo con un coste de 640 € para los operarios que componen los distintos equipos.

A. ¿Cuántos ordenadores de cada modelo ha comprado la empresa? (1.5 puntos)

B. ¿Cuántos jefes de equipo hay en la empresa? (0.5 puntos)

C. Si cada jefe de equipo tiene bajo su supervisión al mismo número de operarios. ¿Cuántos operarios componen cada equipo? (0.5 puntos)

2.- Obtén la incógnita y la unidad de medida de dicha incógnita en cada uno de los siguientes casos relacionados con lados, áreas y perímetros de figuras planas: (2.5 puntos):

Figura Datos Resolución IncógnitaRectángulo Base = 5 cm

Área = 29 cm2

Cuadrado Área = 56 km2

Triángulo Altura = 8 cmÁrea = 20 cm2

Rombo Diagonal Mayor = 5 mÁrea = 25 m2

Rectángulo Base = 3 kmÁrea = 27 km2



3.- Revelado de fotografías. En una tienda de fotografía digital, revelar una fotografía digital tiene un coste de 0.15 €.

A. Elaborar una tabla donde se muestre el coste de revelar 1, 2, 3, 4, 5,…, 10 fotografías. Posteriormente, representar gráficamente la tabla de valores obtenida. (1.5 puntos)

B. Halla la ecuación de la función que calcula el coste total del revelado en función del número de fotografías reveladas. (0.5 puntos)

D. Durante el verano, la tienda coloca un anuncio publicitario de oferta con el siguiente texto: “Si revelas 100 fotografías, te haremos un descuento del 20%”. Dispones de 115 fotografías de tus últimas vacaciones y decides revelarlas. ¿Qué cantidad (en euros) te costará durante el tiempo que dure la oferta? (0.5 puntos)

4.- En una encuesta, realizada por una compañía de teléfonos para evaluar el grado de satisfacción entre sus clientes de un determinado servicio prestado por dicha compañía, para la pregunta: “¿Cómo valoraría usted el servicio de acceso a Internet prestado por nuestra compañía?” se le proponía a los clientes encuestados elegir una de las siguientes opciones:

Muy Bueno (MB) Bueno (B) Regular (R) Malo (M)

Las respuestas de los encuestados fueron las siguientes:

B B B BM R B B

MB R M MBB B R M

MB B R RA. Construye la tabla de frecuencias con las respuestas de los

clientes. ¿Es una variable cualitativa o cuantitativa? Justifica tu respuesta (1 punto)

B. Realiza un diagrama de barras con las frecuencias absolutas. (0.5 puntos)

C. Representa en un diagrama de sectores las frecuencias relativas. A la vista del diagrama obtenido, ¿consideras que los clientes, en general, están satisfechos con el servicio? Razona tu respuesta. (1 punto)



SEPTIEMBRE 20101.- Relaciona cada expresión de la columna de la izquierda, con su correspondiente intervalo o semirrecta de la columna de la derecha. Para ello escribe la letra correcta en cada corchete. (2,5 puntos)

a. Números reales menores que 4 [ …] [ - 2 , 2 ]b. − ∞ <x ≤ 4 [… ] ( 3 , + ∞ )c. x ∈R / |x| ≤ 2 [… ] ( - ∞ , 4 ]d. Números reales cuya tercera parte es menor que 2 y mayor o igual que 1

[… ] ( - ∞ , 4 )

e. Números reales mayores que 3 [… ] [ 3 , 6 )

2.- En un colegio hay un total de 350 estudiantes, entre chicos y chicas. Del total del alumnado del centro asisten a una excursión 180 estudiantes.Se sabe que además a la excursión han ido el 40 % de los alumnos y el 65 % de las alumnas del centro. Responde a continuación a las siguientes cuestiones (2,5 puntos)A. Del total de alumnos y alumnas, ¿cuántos son chicos y cuantas son chicas? (1,5 puntos)SOLUCIÓN:B. ¿Cuántas alumnas han ido de excursión? (0,5 puntos)SOLUCIÓN:

C. ¿Cuántos alumnos no han ido de excursión? (0,5 puntos)SOLUCIÓN:

3.- Una cámara de seguridad, situada en el muro de una edificación (punto B de la figura), detecta a través de un rayo infrarrojo de 9,85 metros de longitud a una persona. El ángulo que forma el rayo infrarrojo con el propio muro mide 66,04o. Calcula: (2,5 puntos)

A. ¿A qué distancia del pie del muro se encuentra la persona detectada por la cámara? (1,25 puntos)SOLUCIÓN:



B. ¿A qué altura del suelo se encuentra la cámara? (1,25 puntos)SOLUCIÓN:

4.- Juan y María deciden jugar a las cartas y se encuentran con la sorpresa de que faltan muchas cartas de la baraja, pero, observan que el palo de bastos está casi completo. Ante esta situación, deciden inventar su propio juego al que denominan: “la baraja reducida”.El juego consiste en lo siguiente:

Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 de bastos forman la baraja reducida. De esta baraja reducida extraen una carta, anotan su valor y la vuelven a

devolver a la baraja. A continuación, repiten de nuevo la misma acción, esto es, sacan una carta, anotan su valor y la devuelven a la baraja.

Finalmente, calculan la diferencia entre el valor de las cartas extraídas. (Si las dos son distintas, restan el menor valor al mayor).

Si la diferencia obtenida vale 0, 1 ó 2, gana Juan. Si la diferencia obtenida vale 3, 4 ó 5, gana María

Responde a las siguientes cuestiones: (2,5 puntos)A. ¿En qué casos gana Juan? Calcula la probabilidad que tiene Juan de ganar. (1,25 puntos)SOLUCIÓN:

B. ¿En qué casos gana María? Calcula la probabilidad que tiene María de ganar. (1,25 puntos)SOLUCIÓN:



JUNIO 20111. Según las condiciones de mi cuenta corriente, puedo gastar mensualmente un poco más de lo que gano, siempre que la diferencia entre los gastos totales y mi nómina no supere un 15% de la misma.A. Expresa algebraicamente con una única línea las condiciones de gasto anteriormente descritas sabiendo que mi nómina asciende a 1.350 €. (1 punto)SOLUCIÓN:

B. Resuelve la expresión anterior y proporciona el intervalo en el que se pueden mover mis gastos este mes. ¿Cómo es el intervalo? Representa el intervalo obtenido sobre la recta real. (1 punto)SOLUCIÓN:

C. Dado los altos intereses que me cobran por el dinero adelantado intento no gastar más de lo que gano. Sin embargo, por un imprevisto, este mes he gastado 1478,75€. Calcula los errores absolutos y relativos de este gasto respecto a mi nómina, expresando los resultados en notación científica. (0,5 puntos)SOLUCIÓN:

2. Una placa descansa sobre 4 tuercas hexagonales como la de la figura. Para averiguar la superficie de apoyo y el peso al que puede ser sometida, calcula la superficie de apoyo que generan dichas tuercas. El diámetro de la circunferencia interior es de 16 mm y el lado del hexágono regular es de 16mm. (3 puntos)

Nota: Recuerda que en un hexágono regular como este, el radio tiene la misma longitud que el lado. En caso de ser necesario, redondea a las centésimas los resultados.SOLUCIÓN:

3. Esta gráfica corresponde a un trozo de la monitorización de la respiración de un paciente y representa el volumen de aire durante la inspiración y la expiración en mm3 a lo largo del tiempo, expresado en segundos:Volumen (mm3)



A. Indica el dominio y el rango de las respectivas variables. Indica cuál es la variable independiente. (0,5 puntos)

B. Completa la tabla de valores siguientes (0,3 puntos)Tiempo en s Cantidad de aire en mm3

2616

C. Numera todos los extremos de la función. (0,5 puntos) ¿Qué ocurre en los puntos A y B? (0,5 puntos) Identifica un trozo de la gráfica correspondiente a una inspiración y otro a una expiración. (0,2 puntos)

D. Razona si es una función periódica y/o simétrica. ¿Y continua?(0,5 puntos)

4. He solicitado a mi banco el gráfico de gastos del último mes de mi tarjeta (1.022,98€), y es el siguiente:

A. Construye un diagrama de barras que represente los mismos resultados, utilizando como variables el tipo de gastos, y la cantidad en € (no el porcentaje). (0,75 puntos: 0,5 puntos por cálculos + 0,25 por representación)En caso necesario, trunca a las centésimas los resultados obtenidos.

5. Completa la tabla de frecuencias absolutas y relativas (simples y acumuladas) observando los diagramas anteriores. (0,5 puntos = 0,025 por celda)

Valor f. absoluta(ni )

F. abs. Acumulada (Ni)

F. relativa(fi )

f. rel.Acumulada (Fi)

Gasolineras

Grandes superficiesOcio

Alimentación

Cajeros

TOTAL



6. Indica cuál es la moda y la mediana razonadamente e interprétalas. (0,75 puntos)

SEPTIEMBRE 20111. De la comparación de recorridos en distintos intervalos de tiempos

de una sonda espacial se ha deducido la siguiente inecuación, donde x representa la velocidad en m/s. (3 puntos)

A. Averigua la velocidad a partir de la cual la sonda comienza a ahorrar combustible, resolviendo la desigualdad. (1,5 puntos)

B. La luz recorre en un día 259·108 kilómetros aproximadamente. La galaxia Andrómeda se encuentra a 236 x 1017 kilómetros de la Tierra. Expresa ambas cifras en notación científica y calcula cuántos años tarda la luz (distancia que recorre la luz en un año) que emite Andrómeda en alcanzarnos. (1,5 puntos)

2.-Dos edificios enfrentados distan entre sí 60m. Desde la azotea del primer edificio, que se encuentra a una altura de 35m, se observa el tejado del otro edificio con un ángulo de elevación de 38º. Averigua la altura del edificio más alto. (2,5 puntos)Nota: En caso de ser necesario, redondea a las centésimas los resultados.

3.- Para transportar una mercancía de 6,4 toneladas, disponemos de camiones de 800 Kg. De capacidad. (2 puntos)

A. Rellena la siguiente tabla con el número de viajes necesarios para trasladar toda la carga si contamos con una flota de: (0,5 puntos)

Nº de camiones Nº viajes necesarios

Cálculos

Recuerda incluir también los cálculos y razonamientos, no sólo las soluciones.



B. Expresa la relación anterior mediante una función. Detalla quién es la variable independiente y por qué. (0,75 puntos)

C. Identifica la función obtenida y esboza su gráfica. (0,75 puntos)

4.- En el billar, jugamos con 16 bolas, 15 de las cuales numeradas del 1 al 15, y una lisa blanca. De las bolas numeradas 8 son de un color liso, y 7 presentan una franja de color como en la fotografía. Las 8 primeras son de color liso y las 7 últimas con franja. (2,5 puntos)

Calcula las siguientes probabilidades, teniendo en cuenta que elegimos una bola al azar:

A. Escribe el espacio muestral asociado a este experimento. (0,25 puntos)

B. Sea de color liso. (0,75 puntos)

C. Sea numerada par. (0,75 puntos)

D. Sea numerada par y lisa al mismo tiempo. (0,75 puntos)



Junio 2012

1. En algunas culturas la riqueza de una familia se mide por el número de animales que poseen. (2,5 puntos)

A. Una familia hace el siguiente reparto según el testamento del patriarca "La tercera parte de sus camellos se entregarán a su primogénito, una cuarta parte a su segundo hijo, y el resto los conservará su viuda. Si a la esposa le corresponden 10 camellos ¿cuántos camellos componían el rebaño de esta familia? (1,25 puntos)

B. El rebaño de una de las familias, que llamaremos familia 1, tiene actualmente 220 reses, pero, como es muy mala gestora, cada mes su rebaño disminuye en 2 animales. Sin embargo el rebaño de otra de las familias, que llamaremos familia 2, se compone de 100 reses y mensualmente su número aumenta en 20 animales. ¿Cuántos meses han de pasar para que la riqueza de la familia 2 sea superior a la de la familia 1? (1,25 puntos)

2. Tres pelotas de tenis se introducen en un tubo cilíndrico de 6,6 cm de diámetro en el que encajan hasta el borde. (2,5 puntos)

A. Calcula el volumen total de las tres pelotas de tenis, (1 punto)

B. ¿Cuáles el volumen del cilindro que contiene las pelotas? (1 punto)

C. ¿Cuál será el volumen de la parte vacía del bote? (0,5 puntos)



3. El INE (lnstituto Nacional de Estadística) a través de una nota de prensa nos ofrece los siguientes datos en modo de gráfico: (2,5 puntos)Gráfico l.

A. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función? ¿Qué representan? (0,5 puntos)B, ¿El salario medio a qué número de asalariados corresponde aproximadamente? ¿Y el salario mediano? (0,5 puntos)

C. Haz un análisis del crecimiento y decrecimiento de la función teniendo en cuenta el contexto. (1Punto)

D. ¿A qué valor tiende el número de asalariados al ir aumentando el salario? Razona si podría tener sentido que a partir de salarios mayores de 90.000 se produjera un nuevo crecimiento. 0,5 puntos)

4. En informática se usa como unidad de información el bit, que puede tomar únicamente dos valores, 0 y 1.Es, pues, frecuente encontrarse con cadenas de 2 bits (00, 01, 10, 11), de 3 bits, de 4 bits... (2,5 puntos)Tomemos, por ejemplo, las cadenas de 4 bits.

A. Enumera todas las posibles cadenas. (0,5 puntos)Si se elige al azar una cualquiera

B. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga sólo dos unos? (0,5 puntos)

C. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente tres ceros? (0,5 puntos)



D. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de sus bits sean iguales? (0,5 puntos)E. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra justamente lo contrario de lo exigido en el apartado anterior? (0,5puntos)

SEPTIEMBRE 2012

1. El sueño es un estado de reposo que todas las personas en mayor o menor medida llevamos a cabo. (2,5 puntos)

A. Entre una madre y su hijo duermen un total de 17 horas de sueño reparador. Si al tiempo que invierte la madre al dormir le restamos 2 horas, da como resultado la mitad de las horas que duerme el hijo. ¿Cuántas horas dedican cada uno a dormir? (1 punto)

B. Suponiendo que una persona duerme una media de 7 horas diarias ¿Cuánto ha dormido una persona de 5º años? Expresa el resultado en notación científica y en dos tipos de unidades: segundos y años. (1,5 puntos). Nota: Tomar todos los años con 365 días.

2. Los constructores y urbanistas diseñan su obra en dimensiones reducidas como paso previo a su construcción. Para ello hacen uso de maquetas y planos, que vienen acompañados por una escala. Una empresa de este sector tiene entre manos dos proyectos, del primero sólo tiene el solar, y del segundo ya tiene la maquetación.. (2,5 puntos)

A. En el primer proyecto: Una distancia real de5 Km en un plano cuya escala es 1:20000, ¿qué longitud representa? (1 punto)

B. Como segundo proyecto unas viviendas con forma de ortoedro (caja de zapatos). Sus dimensiones son de 135 m de largo, 70 m de ancho y 43 m de alto. La maqueta que ha hecho ha sido con la escala 1:100. Calcula el volumen de la maqueta que está realizando la empresa. (1,5 puntos)

3. Para hacer una paella, la proporción de agua y arroz (en volumen) es de 3 a 1, respectivamente. (2,5 puntos)

A. Para 5 tazas de arroz, ¿cuántas tazas de agua serán necesarias? (0,5 puntos)B. Si se echan 5 tazas de agua, ¿cuántas tazas de arroz lleva la paella? (0,5 puntos)C. Escribe la expresión analítica de la función que relaciona el volumen de arroz con el de agua. ¿Qué tipo de funciones? 0,75 puntos)



4, La siguiente lista indica los goles que ha marcado un equipo en los 12 partidos de un campeonato: (2,5 puntos)2 1 0 3 7 4 0 0 1 5 2 0A. Estudia si el equipo es regular, calculando su media y su desviación típica. (1,5 puntos)B. Representa la información en un diagrama de barras. (1 punto)


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